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Apuntes Mecánica de Sólidos 151 CAPÍTULO 8 TEORÍAS DE FALLA 8.1 Falla Se entenderá por falla de un material cuando en algún punto se alcanza el límite elástico a fluencia (deformación permanente). Caso de carga uniaxial: La falla se produce cuando 𝜎 = 𝜎0. Fig. 8- 15 Concepto de Falla en carga uniaxial. 8.2 Teoría de fallas 8.2.1 Teoría del esfuerzo normal máximo La falla o fluencia se produce cuando el esfuerzo normal máximo alcanza un valor crítico igual al esfuerzo normal de falla en tracción uniaxial (𝜎0). 𝜎1 = ±𝜎0 𝑜 𝜎2 = ±𝜎0 (8. 01) Apuntes Mecánica de Sólidos 152 Fig. 8- 2 Concepto de Falla según teoría del esfuerzo normal máximo. 8.2.2 Teoría del esfuerzo de corte máximo La falla o fluencia se produce cuando el esfuerzo de corte máximo alcanza un valor crítico igual al valor del esfuerzo de corte de falla en tracción uniaxial. Fig. 8- 3 Concepto de Falla según teoría del esfuerzo de corte máximo. Fig. 8- 4 Esfuerzo de corte máximo en las 3 dimensiones. Si se limita a un estado de esfuerzo plano, 𝜎3 = 0, se tiene que el esfuerzo de corte máximo puede ser: 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝜎1 − 𝜎2 2 𝑜 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝜎1 2 𝑜 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝜎2 2 Apuntes Mecánica de Sólidos 153 Caso I: 𝜎1y𝜎2 tienen igual signo (1 er y 3er cuadrante): 𝜏𝑚𝑎𝑥 = ± 𝜎1 2 𝑜 𝜏𝑚𝑎𝑥 = ± 𝜎2 2 Entonces hay falla si 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝜏0 = 𝜎0 2 Por lo tanto 𝜎1 = ±𝜎0 𝑜 𝜎2 = ±𝜎0 (8. 02) Caso II: 𝜎1y𝜎2 tienen distinto signo (2º y 4º cuadrante): 𝜏𝑚𝑎𝑥 = ± 𝜎1 − 𝜎2 2 = 𝜎0 2 Por lo tanto 𝜎1 − 𝜎2 = ±𝜎0 (8. 03) Fig. 8- 5 Diagrama de Falla, Teoría del esfuerzo de corte máximo. 8.2.3 Teoría de la deformación normal máxima La falla o fluencia se produce cuando la deformación normal máxima en un punto alcanza el valor de la deformación normal de falla en simple tensión. 𝜀0 = 𝜎0 𝐸 Apuntes Mecánica de Sólidos 154 Así 𝜀1 = 1 𝐸 𝜎1 − 𝜈 𝜎2 = ± 𝜎0 𝐸 𝜀2 = 1 𝐸 𝜎2 − 𝜈 𝜎1 = ± 𝜎0 𝐸 Por lo tanto 𝜎1 − 𝜈 𝜎2 = ±𝜎0 𝜎2 − 𝜈 𝜎1 = ±𝜎0 (8. 04) Fig. 8- 6 Diagrama de Falla, Teoría de la deformación normal máxima. 8.2.4 Teoría de la energía de distorsión máxima La falla o fluencia se inicia cuando la energía de distorsión por unidad de volumen, alcanza un valor crítico, igual a la energía de distorsión por unidad de volumen de falla en tracción uniaxial. 𝑈 = 1 2𝐸 (𝜎1 2 + 𝜎2 2 + 𝜎3 2 − 2𝜈(𝜎1𝜎2 + 𝜎2𝜎3 + 𝜎1𝜎3)) (8. 05) Apuntes Mecánica de Sólidos 155 Fig. 8- 7 Separación de efectos de deformación en un cuerpo sometido a esfuerzos. Condición de deformaciones para que no se produzca cambio de volumen (Distorsión pura): Sean 1, 2 y 3 direcciones principales Fig. 8- 8 Deformación en un cuerpo tridimensional. Volumen inicial: 𝑉0 = 𝑙1 · 𝑙2 · 𝑙3 Volumen definido: 𝑉 = 𝑙1 + 𝜀1𝑙1 · 𝑙2 + 𝜀2𝑙2 · 𝑙3 + 𝜀3𝑙3 𝑉 = 𝑉0 · 1 + 𝜀1 · 1 + 𝜀2 · 1 + 𝜀3 Variación unitaria de volumen: ∆𝑉 𝑉0 = 1 + 𝜀1 · 1 + 𝜀2 · 1 + 𝜀3 − 1 ∆𝑉 𝑉0 = 1 + 𝜀1 + 𝜀2 + 𝜀3 + 𝜀1𝜀2 + 𝜀1𝜀3 + 𝜀2𝜀3 + 𝜀1𝜀2𝜀3 − 1 ∆𝑉 𝑉0 = 𝜀1 + 𝜀2 + 𝜀3 (𝐷𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠) Condición para que no haya cambia de volumen ∆𝑉 = 0 → 𝜀1 + 𝜀2 + 𝜀3 = 0 Apuntes Mecánica de Sólidos 156 Para obtener el valor de 𝜎𝑚 en la condición de distorsión pura deseada: 𝜀1 𝑑 = 1 𝐸 𝜎1 − 𝜎𝑚 − 𝜈 𝜎2 + 𝜎3 − 2𝜎𝑚 𝜀2 𝑑 = 1 𝐸 𝜎2 − 𝜎𝑚 − 𝜈 𝜎1 + 𝜎3 − 2𝜎𝑚 (𝜀3)𝑑 = 1 𝐸 𝜎3 − 𝜎𝑚 − 𝜈 𝜎1 + 𝜎2 − 2𝜎𝑚 Luego 𝜀1 𝑑 + 𝜀2 𝑑 + 𝜀3 𝑑 = 1 𝐸 { 𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 − 3𝜎𝑚 − 2𝜈 𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 − 3𝜎𝑚 } Por lo tanto para la condición de distorsión pura: 𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 − 3𝜎𝑚 · 1 − 2𝜈 = 0 Como 𝜈 ≠ 0,5 ya que el material es compresible 𝜎𝑚 = 𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 3 (8. 06) Energía asociada por cambio de volumen: 𝑈𝑣 = 1 2 𝜎𝑚𝜀𝑣 + 𝜎𝑚𝜀𝑣 + 𝜎𝑚𝜀𝑣 = 3 2 𝜎𝑚𝜀𝑣 Donde 𝜀𝑣 corresponde a la deformación normal cuando hay solo cambio de volumen, por lo que: 𝜀𝑣 = 1 𝐸 𝜎𝑚 − 𝜈 𝜎𝑚 + 𝜎𝑚 = 𝜎𝑚 𝐸 (1 − 2𝜈) Así 𝑈𝑣 = 3 1 − 2𝜈 2𝐸 𝜎𝑚 2 𝑈𝑣 = 1 − 2𝜈 6𝐸 (𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3) 2 (8. 06) Energía de distorsión: La energía de deformación elástica asociada 𝑈 se conforma de la energía por cambio de volumen 𝑈𝑣 y la energía de distorsión pura 𝑈𝑑 . 𝑈 = 𝑈𝑑 + 𝑈𝑣 De aquí Apuntes Mecánica de Sólidos 157 𝑈𝑑 = 1 2𝐸 𝜎1 2 + 𝜎2 2 + 𝜎3 2 − 2𝜈 𝜎1𝜎2 + 𝜎2𝜎3 + 𝜎1𝜎3 − 1 − 2𝜈 6𝐸 𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 2 𝑈𝑑 = 1 + 𝜈 6𝐸 𝜎1 − 𝜎2 2 + 𝜎1 − 𝜎3 2 + 𝜎2 − 𝜎3 2 (8. 06) En tracción el límite elástico o falla se alcanza cuando 𝜎1 = 𝜎0, 𝜎2 = 𝜎3 = 0 Así la energía de distorsión de falla en tracción es (𝑈𝑑)0 = 1 + 𝜈 3𝐸 𝜎0 2 Se asume que el criterio de falla de la energía de distorsión máxima: (𝑈𝑑)0 = 𝑈𝑑 1 + 𝜈 6𝐸 𝜎1 − 𝜎2 2 + 𝜎1 − 𝜎3 2 + 𝜎2 − 𝜎3 2 = 1 + 𝜈 3𝐸 𝜎0 2 𝜎1 − 𝜎2 2 + 𝜎1 − 𝜎3 2 + 𝜎2 − 𝜎3 2 = 2𝜎0 2 Se define el esfuerzo equivalente como 𝜎𝑒𝑞 = 1 2 𝜎1 − 𝜎2 2 + 𝜎1 − 𝜎3 2 + 𝜎2 − 𝜎3 2 𝜎𝑒𝑞 = 1 2 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 2 + 𝜎𝑦 − 𝜎𝑧 2 + 𝜎𝑥 − 𝜎𝑧 2 + 6(𝜏𝑥𝑧 2 + 𝜏𝑦𝑧 2 + 𝜏𝑥𝑦 2) (8. 07) Así hay falla o fluencia si: 𝜎𝑒𝑞 = 𝜎0 (8. 08) Si se trata de esfuerzo plano 𝜎3 = 0 y así 𝜎1 2 − 𝜎1𝜎2 + 𝜎2 2 = 𝜎0 2 (Ecuación de una elipse) Apuntes Mecánica de Sólidos 158 Fig. 8- 7 Diagrama de Falla, Teoría de la energía de distorsión máxima. 8.2.5 Comparación de las Teorías Fig. 8- 8 Comparación de las teorías de falla. Apuntes Mecánica de Sólidos 159 Ejemplo1: Determinar 𝑃𝑚𝑎𝑥 de modo que los valores de esfuerzo principales ni el esfuerzo de corte máximo supere a: 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 1200 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 800 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝑁𝑜𝑡𝑎:𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑚𝑚 Apuntes Mecánica de Sólidos 160 Caso (a) en A y B 𝜎𝑥 = 50 𝑃 𝜋𝑑2/4 = 0,64 𝑃 Caso (b) en A y B 𝜏𝑥𝑧 = 𝑀𝑡 𝐽 𝑑 2 = 16 𝑀𝑡 𝜋𝑑3 = 0,20 𝑃 Caso (c) en B 𝜏𝑥𝑦 = 4 3 𝑃 𝐴 = 4 𝑃 3 𝜋𝑑2/4 = 0,017 𝑃 Caso (d) en Ay B 𝜎𝑥 = ± 𝑀𝑓 𝐼 𝑑 2 = ± 32𝑀𝑓 𝜋 𝑑3 = ±0,92 𝑃 Punto A es el más crítico, los esfuerzos principales en A son: 𝜎1,2 = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 2 ± 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 2 2 + 𝜏𝑥𝑦 2 𝜎1,2 = 1,56 𝑃 2 ± 1,56 𝑃 2 2 + 0,20𝑃 2 𝜎1,2 = 0,78 𝑃 ± 0,80 𝑃 Entonces 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 1,58 𝑃 ≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 1200 → 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 759 𝑘𝑔 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 0,80 𝑃 ≤ 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 800 → 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 1000 𝑘𝑔 Luego la carga máxima que se puede aplicar es de 759 kg. Nota: Es posible resolver el ejercicio con alguno de los criterios de falla previamente analizados, conociendo el esfuerzo de fluencia del material 𝜎0. Apuntes Mecánica de Sólidos 161 Ejemplo 2: Calcular la carga máxima que se puede aplicar según las diferentes teorías de falla. Se sabe que: 𝜎1 = 1,27 𝑃 𝜎2 = −0,05 𝑃 𝜏𝑥𝑦 = 0,66 𝑃 𝜎0 = 5000 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 1. Teoría del esfuerzo normal máximo 𝜎1 = 𝜎0 1,27 𝑃 = 5000 → 𝑃 = 3937 𝑘𝑔 2. Teoría del esfuerzo de corte máximo 𝜏1 = 𝜎0 2 0,66 𝑃 = 2500 → 𝑃 = 3787 𝑘𝑔 3. Teoría de la deformación normal máxima 𝜀1 = 1 𝐸 𝜎1 − 𝜈𝜎2 = 𝜀0 = 𝜎0 𝐸 Apuntes Mecánica de Sólidos 162 𝜎1 − 𝜈𝜎2 = 𝜎0 1,285 𝑃 = 𝜎0 → 𝑃 = 3891 𝑘𝑔 4. Teoría de la Energía de distorsión máxima 𝜎𝑒𝑞 = 1 2 𝜎1 − 𝜎2 2 + 𝜎12 + 𝜎22 = 𝜎0 1.27 𝑃 + 0.05 𝑃 2 + 1.27 𝑃 2 + −0.05 𝑃 2 = 2𝜎0 2 𝑃 = 3859 𝑘𝑔 Ejemplo 3: Determinar el diámetro mínimo del eje: 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 1200 𝑘𝑔 𝑐𝑚 2 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 850 𝑘𝑔 𝑐𝑚 2 Flexión: 𝑇2𝑥 = 130 · sin 60º = 112,6 𝑘𝑔 𝑇2𝑦 =130 · cos 60º = 65,0 𝑘𝑔 𝑅𝑎 ′ + 𝑅𝑏 ′ = 185 𝑅𝑏 ′ · 66 = 6000 𝑅𝑎 ′ = 90,91 𝑘𝑔 𝑅𝑏 ′ = 94,09 𝑘𝑔 +𝑅𝑏 ′′ = 112,6 𝑅𝑏 ′′ · 66 = 5404,8 𝑅𝑎 ′ = 88,89 𝑘𝑔 𝑅𝑏 ′ = 30,71 𝑘𝑔 Apuntes Mecánica de Sólidos 163 𝑀𝑅 = 22582 + 7372 = 2375 𝑘𝑔 · 𝑐𝑚 𝑒𝑛 𝑥 = 24 𝑀𝑅 = 16362 + 14742 = 2202 𝑘𝑔 · 𝑐𝑚 𝑒𝑛 𝑥 = 48 Torsión: ∴ La sección crítica se encuentra en x=24 Esfuerzos: 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝑀𝑓 · 𝑐 𝐼 = 32 · 𝑀𝑓 𝜋 · 𝑑3 = 32 · 2375 𝜋 · 𝑑3 = 24203 𝑑3 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝑀𝑡 · 𝑅 𝐽 = 16 · 𝑀𝑡 𝜋 · 𝑑3 = 16 · 960 𝜋 · 𝑑3 = 4891 𝑑3 𝜎1,2 = 𝜎𝑥 2 ± 𝜎𝑥 2 2 + 𝜏𝑥𝑦 2 = 12102 𝑑3 ± 13053 𝑑3 𝜎1 = 25155 𝑑3 ≤ 1200 → 𝑑𝑚𝑖𝑛 ≥ 2,75 𝑐𝑚 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 13053 𝑑3 ≤ 850 → 𝑑𝑚𝑖𝑛 ≥ 2,48 𝑐𝑚 Apuntes Mecánica de Sólidos 164 Por lo tanto el diámetro mínimo del eje para soportar las cargas es de 2,75 cm. Ejemplo 4: Calcular la máxima fuerza que se puede aplicar al resorte si el esfuerzo de corte admisible es de 20 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 . En el punto A, los esfuerzos de corte directo y torsión se suman, como también sucede con los esfuerzos normales. 𝜎𝑥 = 𝜎𝑐 + 𝜎𝑓 𝜎𝑐 = P · sin𝛼 A Esfuerzo de Compresión 𝜎𝑓 = 𝑃 · 𝑟 · sin𝛼 · 𝑑 2 𝜋 · 𝑑4 64 = 32 · 𝑃 · 𝑟 · sin𝛼 𝜋 · 𝑑3 = 8 · 𝑃 · 𝑟 · sin𝛼 𝐴 · 𝑑 flexión 𝜎𝑥 = P A · sin𝛼 · 1 + 8 · 𝑟 𝑑 Esfuerzos de corte: 𝜏𝑣 = 4 3 𝑉 𝐴 = 4 3 𝑃 𝐴 cos𝛼 𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 𝜏𝑡 = 𝑃 · 𝑟 · cos𝛼 · 𝑑 2 𝜋 · 𝑑4 32 = 16 · 𝑃 · 𝑟 · cos𝛼 𝜋 · 𝑑3 = 4 · 𝑃 · 𝑟 · cos𝛼 𝐴 · 𝑑 𝑇𝑜𝑟𝑠𝑖ó𝑛 𝜏𝑥𝑦 = 4 3 𝑃 𝐴 · cos𝛼 1 + 3 · 𝑟 𝑑 Apuntes Mecánica de Sólidos 165 Esfuerzo de corte máximo: 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑥 2 2 + 𝜏𝑥𝑦 2 𝜏𝑚𝑎𝑥 = P 2 · A · sin𝛼 · 1 + 8 · 𝑟 𝑑 2 + 4 3 𝑃 𝐴 · cos𝛼 1 + 3 · 𝑟 𝑑 2 Si 𝛼 ≈ 0, sin𝛼 ≈ 0 𝑦 cos𝛼 ≈ 1entonces: 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 4 3 𝑃 𝐴 · 1 + 3 · 𝑟 𝑑 ≤ 20 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 Así, si r=30 mm y d=10 mm, entonces la máxima carga aplicable es de 118 kg.
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