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Apuntes_mecanica__de_solidos_I_-_Cap08

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Apuntes Mecánica de Sólidos 
151 
 
CAPÍTULO 8 TEORÍAS DE FALLA 
 
8.1 Falla 
 
Se entenderá por falla de un material cuando en algún punto se alcanza el límite 
elástico a fluencia (deformación permanente). 
 
Caso de carga uniaxial: 
 
La falla se produce cuando 𝜎 = 𝜎0. 
 
Fig. 8- 15 Concepto de Falla en carga uniaxial. 
8.2 Teoría de fallas 
 
8.2.1 Teoría del esfuerzo normal máximo 
 
La falla o fluencia se produce cuando el esfuerzo normal máximo alcanza un valor 
crítico igual al esfuerzo normal de falla en tracción uniaxial (𝜎0). 
 
𝜎1 = ±𝜎0 𝑜 𝜎2 = ±𝜎0 (8. 01) 
 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
152 
 
 
Fig. 8- 2 Concepto de Falla según teoría del esfuerzo normal máximo. 
8.2.2 Teoría del esfuerzo de corte máximo 
 
La falla o fluencia se produce cuando el esfuerzo de corte máximo alcanza un valor 
crítico igual al valor del esfuerzo de corte de falla en tracción uniaxial. 
 
Fig. 8- 3 Concepto de Falla según teoría del esfuerzo de corte máximo. 
 
Fig. 8- 4 Esfuerzo de corte máximo en las 3 dimensiones. 
 
Si se limita a un estado de esfuerzo plano, 𝜎3 = 0, se tiene que el esfuerzo de corte 
máximo puede ser: 
 
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝜎1 − 𝜎2
2
 𝑜 𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝜎1
2
 𝑜 𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝜎2
2
 
 
 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
153 
 
Caso I: 
 
𝜎1y𝜎2 tienen igual signo (1
er y 3er cuadrante): 
 
𝜏𝑚𝑎𝑥 = ±
𝜎1
2
 𝑜 𝜏𝑚𝑎𝑥 = ±
𝜎2
2
 
Entonces hay falla si 
𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝜏0 =
𝜎0
2
 
Por lo tanto 
𝜎1 = ±𝜎0 𝑜 𝜎2 = ±𝜎0 (8. 02) 
 
Caso II: 
 
𝜎1y𝜎2 tienen distinto signo (2º y 4º cuadrante): 
 
𝜏𝑚𝑎𝑥 = ±
𝜎1 − 𝜎2
2
=
𝜎0
2
 
Por lo tanto 
𝜎1 − 𝜎2 = ±𝜎0 (8. 03) 
 
Fig. 8- 5 Diagrama de Falla, Teoría del esfuerzo de corte máximo. 
8.2.3 Teoría de la deformación normal máxima 
 
La falla o fluencia se produce cuando la deformación normal máxima en un punto 
alcanza el valor de la deformación normal de falla en simple tensión. 
 
𝜀0 =
𝜎0
𝐸
 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
154 
 
 
Así 
𝜀1 =
1
𝐸
 𝜎1 − 𝜈 𝜎2 = ±
𝜎0
𝐸
 
𝜀2 =
1
𝐸
 𝜎2 − 𝜈 𝜎1 = ±
𝜎0
𝐸
 
Por lo tanto 
𝜎1 − 𝜈 𝜎2 = ±𝜎0 
𝜎2 − 𝜈 𝜎1 = ±𝜎0 
(8. 04) 
 
Fig. 8- 6 Diagrama de Falla, Teoría de la deformación normal máxima. 
8.2.4 Teoría de la energía de distorsión máxima 
 
La falla o fluencia se inicia cuando la energía de distorsión por unidad de volumen, 
alcanza un valor crítico, igual a la energía de distorsión por unidad de volumen de falla en 
tracción uniaxial. 
 
𝑈 =
1
2𝐸
(𝜎1
2 + 𝜎2
2 + 𝜎3
2 − 2𝜈(𝜎1𝜎2 + 𝜎2𝜎3 + 𝜎1𝜎3)) (8. 05) 
 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
155 
 
 
Fig. 8- 7 Separación de efectos de deformación en un cuerpo sometido a esfuerzos. 
 
Condición de deformaciones para que no se produzca cambio de volumen 
(Distorsión pura): 
 
Sean 1, 2 y 3 direcciones principales 
 
Fig. 8- 8 Deformación en un cuerpo tridimensional. 
Volumen inicial: 
𝑉0 = 𝑙1 · 𝑙2 · 𝑙3 
 
Volumen definido: 
𝑉 = 𝑙1 + 𝜀1𝑙1 · 𝑙2 + 𝜀2𝑙2 · 𝑙3 + 𝜀3𝑙3 
𝑉 = 𝑉0 · 1 + 𝜀1 · 1 + 𝜀2 · 1 + 𝜀3 
 
Variación unitaria de volumen: 
 
∆𝑉
𝑉0
= 1 + 𝜀1 · 1 + 𝜀2 · 1 + 𝜀3 − 1 
∆𝑉
𝑉0
= 1 + 𝜀1 + 𝜀2 + 𝜀3 + 𝜀1𝜀2 + 𝜀1𝜀3 + 𝜀2𝜀3 + 𝜀1𝜀2𝜀3 − 1 
∆𝑉
𝑉0
= 𝜀1 + 𝜀2 + 𝜀3 (𝐷𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠) 
 
Condición para que no haya cambia de volumen ∆𝑉 = 0 → 𝜀1 + 𝜀2 + 𝜀3 = 0 
 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
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Para obtener el valor de 𝜎𝑚 en la condición de distorsión pura deseada: 
 
 𝜀1 𝑑 =
1
𝐸
 𝜎1 − 𝜎𝑚 − 𝜈 𝜎2 + 𝜎3 − 2𝜎𝑚 
 𝜀2 𝑑 =
1
𝐸
 𝜎2 − 𝜎𝑚 − 𝜈 𝜎1 + 𝜎3 − 2𝜎𝑚 
(𝜀3)𝑑 =
1
𝐸
 𝜎3 − 𝜎𝑚 − 𝜈 𝜎1 + 𝜎2 − 2𝜎𝑚 
Luego 
 𝜀1 𝑑 + 𝜀2 𝑑 + 𝜀3 𝑑 =
1
𝐸
{ 𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 − 3𝜎𝑚 − 2𝜈 𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 − 3𝜎𝑚 } 
 
Por lo tanto para la condición de distorsión pura: 
 
 𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 − 3𝜎𝑚 · 1 − 2𝜈 = 0 
 
Como 𝜈 ≠ 0,5 ya que el material es compresible 
 
𝜎𝑚 =
𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3
3
 (8. 06) 
 
Energía asociada por cambio de volumen: 
𝑈𝑣 =
1
2
 𝜎𝑚𝜀𝑣 + 𝜎𝑚𝜀𝑣 + 𝜎𝑚𝜀𝑣 =
3
2
𝜎𝑚𝜀𝑣 
 
Donde 𝜀𝑣 corresponde a la deformación normal cuando hay solo cambio de 
volumen, por lo que: 
𝜀𝑣 =
1
𝐸
 𝜎𝑚 − 𝜈 𝜎𝑚 + 𝜎𝑚 =
𝜎𝑚
𝐸
(1 − 2𝜈) 
Así 
𝑈𝑣 =
3 1 − 2𝜈 
2𝐸
𝜎𝑚
2 
 
𝑈𝑣 =
 1 − 2𝜈 
6𝐸
(𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3)
2 (8. 06) 
 
Energía de distorsión: 
 
La energía de deformación elástica asociada 𝑈 se conforma de la energía por 
cambio de volumen 𝑈𝑣 y la energía de distorsión pura 𝑈𝑑 . 
 
𝑈 = 𝑈𝑑 + 𝑈𝑣 
De aquí 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
157 
 
 
𝑈𝑑 =
1
2𝐸
 𝜎1
2 + 𝜎2
2 + 𝜎3
2 − 2𝜈 𝜎1𝜎2 + 𝜎2𝜎3 + 𝜎1𝜎3 −
 1 − 2𝜈 
6𝐸
 𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 
2 
 
𝑈𝑑 =
1 + 𝜈
6𝐸
 𝜎1 − 𝜎2 
2 + 𝜎1 − 𝜎3 
2 + 𝜎2 − 𝜎3 
2 (8. 06) 
 
En tracción el límite elástico o falla se alcanza cuando 
 
𝜎1 = 𝜎0, 𝜎2 = 𝜎3 = 0 
 
Así la energía de distorsión de falla en tracción es 
 
(𝑈𝑑)0 =
1 + 𝜈
3𝐸
𝜎0
2 
 
Se asume que el criterio de falla de la energía de distorsión máxima: 
 
(𝑈𝑑)0 = 𝑈𝑑 
1 + 𝜈
6𝐸
 𝜎1 − 𝜎2 
2 + 𝜎1 − 𝜎3 
2 + 𝜎2 − 𝜎3 
2 =
1 + 𝜈
3𝐸
𝜎0
2 
 
 𝜎1 − 𝜎2 
2 + 𝜎1 − 𝜎3 
2 + 𝜎2 − 𝜎3 
2 = 2𝜎0
2 
 
Se define el esfuerzo equivalente como 
 
𝜎𝑒𝑞 =
1
 2
 𝜎1 − 𝜎2 2 + 𝜎1 − 𝜎3 2 + 𝜎2 − 𝜎3 2 
𝜎𝑒𝑞 =
1
 2
 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 
2
+ 𝜎𝑦 − 𝜎𝑧 
2
+ 𝜎𝑥 − 𝜎𝑧 2 + 6(𝜏𝑥𝑧 2 + 𝜏𝑦𝑧 2 + 𝜏𝑥𝑦 2) 
(8. 07) 
 
Así hay falla o fluencia si: 
𝜎𝑒𝑞 = 𝜎0 (8. 08) 
 
Si se trata de esfuerzo plano 𝜎3 = 0 y así 
 
𝜎1
2 − 𝜎1𝜎2 + 𝜎2
2 = 𝜎0
2 (Ecuación de una elipse) 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
158 
 
 
 
Fig. 8- 7 Diagrama de Falla, Teoría de la energía de distorsión máxima. 
8.2.5 Comparación de las Teorías 
 
 
 
Fig. 8- 8 Comparación de las teorías de falla. 
 
 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
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Ejemplo1: 
 
Determinar 𝑃𝑚𝑎𝑥 de modo que los valores de esfuerzo principales ni el esfuerzo de corte 
máximo supere a: 
 
 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 1200 
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
 
𝜏𝑎𝑑𝑚 = 800 
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
 
 
 
𝑁𝑜𝑡𝑎:𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑚𝑚 
 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
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Caso (a) en A y B 
𝜎𝑥 =
50 𝑃
𝜋𝑑2/4
= 0,64 𝑃 
Caso (b) en A y B 
𝜏𝑥𝑧 =
𝑀𝑡
𝐽
 
𝑑
2
 =
16 𝑀𝑡
𝜋𝑑3
= 0,20 𝑃 
Caso (c) en B 
𝜏𝑥𝑦 =
4
3
𝑃
𝐴
 =
4 𝑃
3 𝜋𝑑2/4
= 0,017 𝑃 
Caso (d) en Ay B 
𝜎𝑥 = ±
𝑀𝑓
𝐼
 
𝑑
2
 = ±
32𝑀𝑓
𝜋 𝑑3
= ±0,92 𝑃 
 
Punto A es el más crítico, los esfuerzos principales en A son: 
 
𝜎1,2 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
± 
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
 
2
+ 𝜏𝑥𝑦 2 
𝜎1,2 =
1,56 𝑃
2
± 
1,56 𝑃
2
 
2
+ 0,20𝑃 2 
𝜎1,2 = 0,78 𝑃 ± 0,80 𝑃 
Entonces 
 
𝜎𝑚𝑎𝑥 = 1,58 𝑃 ≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 1200 → 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 759 𝑘𝑔 
𝜏𝑚𝑎𝑥 = 0,80 𝑃 ≤ 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 800 → 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 1000 𝑘𝑔 
 
Luego la carga máxima que se puede aplicar es de 759 kg. 
 
 
Nota: Es posible resolver el ejercicio con alguno de los criterios de falla previamente 
analizados, conociendo el esfuerzo de fluencia del material 𝜎0. 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
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Ejemplo 2: 
 
Calcular la carga máxima que se puede aplicar según las diferentes teorías de falla. 
Se sabe que: 
𝜎1 = 1,27 𝑃 
𝜎2 = −0,05 𝑃 
𝜏𝑥𝑦 = 0,66 𝑃 
𝜎0 = 5000
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
 
 
 
1. Teoría del esfuerzo normal máximo 
 
𝜎1 = 𝜎0 
1,27 𝑃 = 5000 → 𝑃 = 3937 𝑘𝑔 
 
2. Teoría del esfuerzo de corte máximo 
 
𝜏1 =
𝜎0
2 
0,66 𝑃 = 2500 → 𝑃 = 3787 𝑘𝑔 
 
3. Teoría de la deformación normal máxima 
 
𝜀1 =
1
𝐸
 𝜎1 − 𝜈𝜎2 = 𝜀0 =
𝜎0
𝐸
 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
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𝜎1 − 𝜈𝜎2 = 𝜎0 
 
1,285 𝑃 = 𝜎0 → 𝑃 = 3891 𝑘𝑔 
 
 
4. Teoría de la Energía de distorsión máxima 
 
𝜎𝑒𝑞 =
1
 2
 𝜎1 − 𝜎2 2 + 𝜎12 + 𝜎22 = 𝜎0 
 
 1.27 𝑃 + 0.05 𝑃 2 + 1.27 𝑃 2 + −0.05 𝑃 2 = 2𝜎0
2 
 
𝑃 = 3859 𝑘𝑔 
 
Ejemplo 3: 
 
Determinar el diámetro mínimo del eje: 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 1200
𝑘𝑔
𝑐𝑚 2
 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 850 
𝑘𝑔
𝑐𝑚 2
 
 
Flexión: 
𝑇2𝑥 = 130 · sin 60º = 112,6 𝑘𝑔 
𝑇2𝑦 =130 · cos 60º = 65,0 𝑘𝑔 
 
𝑅𝑎
′ + 𝑅𝑏
′ = 185 
𝑅𝑏
′ · 66 = 6000 
 𝑅𝑎
′ = 90,91 𝑘𝑔 
𝑅𝑏
′ = 94,09 𝑘𝑔 
+𝑅𝑏
′′ = 112,6 
𝑅𝑏
′′ · 66 = 5404,8 
 𝑅𝑎
′ = 88,89 𝑘𝑔 
𝑅𝑏
′ = 30,71 𝑘𝑔 
 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
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𝑀𝑅 = 22582 + 7372 = 2375 𝑘𝑔 · 𝑐𝑚 𝑒𝑛 𝑥 = 24 
𝑀𝑅 = 16362 + 14742 = 2202 𝑘𝑔 · 𝑐𝑚 𝑒𝑛 𝑥 = 48 
 
Torsión: 
 
∴ La sección crítica se encuentra en x=24 
 
Esfuerzos: 
𝜎𝑚𝑎𝑥 =
𝑀𝑓 · 𝑐
𝐼
=
32 · 𝑀𝑓
𝜋 · 𝑑3
=
32 · 2375
𝜋 · 𝑑3
=
24203
𝑑3
 
 
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝑀𝑡 · 𝑅
𝐽
=
16 · 𝑀𝑡
𝜋 · 𝑑3
=
16 · 960
𝜋 · 𝑑3
 = 
4891
𝑑3
 
 
𝜎1,2 =
𝜎𝑥
2
± 
𝜎𝑥
2
 
2
+ 𝜏𝑥𝑦 2 =
12102
𝑑3
±
13053
𝑑3
 
 
𝜎1 =
25155
𝑑3
≤ 1200 → 𝑑𝑚𝑖𝑛 ≥ 2,75 𝑐𝑚 
 
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
13053
𝑑3
≤ 850 → 𝑑𝑚𝑖𝑛 ≥ 2,48 𝑐𝑚 
 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
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Por lo tanto el diámetro mínimo del eje para soportar las cargas es de 2,75 cm. 
 
Ejemplo 4: 
 
Calcular la máxima fuerza que se puede aplicar al resorte si el esfuerzo de corte 
admisible es de 20 
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
 . 
 
En el punto A, los esfuerzos de corte directo y torsión se suman, como también 
sucede con los esfuerzos normales. 
𝜎𝑥 = 𝜎𝑐 + 𝜎𝑓 
𝜎𝑐 = P ·
sin𝛼
A
 Esfuerzo de Compresión 
𝜎𝑓 =
𝑃 · 𝑟 · sin𝛼 ·
𝑑
2
𝜋 ·
𝑑4
64
=
32 · 𝑃 · 𝑟 · sin𝛼
𝜋 · 𝑑3
=
8 · 𝑃 · 𝑟 · sin𝛼
𝐴 · 𝑑
 flexión 
𝜎𝑥 =
P
A
· sin𝛼 · 1 +
8 · 𝑟
𝑑
 
 
Esfuerzos de corte: 
 
𝜏𝑣 =
4
3
𝑉
𝐴
=
4
3
𝑃
𝐴
cos𝛼 𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 
𝜏𝑡 =
𝑃 · 𝑟 · cos𝛼 ·
𝑑
2
𝜋 ·
𝑑4
32
=
16 · 𝑃 · 𝑟 · cos𝛼
𝜋 · 𝑑3
=
4 · 𝑃 · 𝑟 · cos𝛼
𝐴 · 𝑑
 𝑇𝑜𝑟𝑠𝑖ó𝑛 
𝜏𝑥𝑦 =
4
3
𝑃
𝐴
· cos𝛼 1 +
3 · 𝑟
𝑑
 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
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Esfuerzo de corte máximo: 
 
𝜏𝑚𝑎𝑥 = 
𝜎𝑥
2
 
2
+ 𝜏𝑥𝑦 2 
𝜏𝑚𝑎𝑥 = 
P
2 · A
· sin𝛼 · 1 +
8 · 𝑟
𝑑
 
2
+ 
4
3
𝑃
𝐴
· cos𝛼 1 +
3 · 𝑟
𝑑
 
2
 
 
Si 𝛼 ≈ 0, sin𝛼 ≈ 0 𝑦 cos𝛼 ≈ 1entonces: 
 
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
4
3
𝑃
𝐴
· 1 +
3 · 𝑟
𝑑
 ≤ 20 
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
 
Así, si r=30 mm y d=10 mm, entonces la máxima carga aplicable es de 118 kg.

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