Apuntes_mecanica__de_solidos_I_-_Cap05

Vista previa del material en texto

Apuntes Mecánica de Sólidos 
105 
 
CAPÍTULO 5 
FLEXIÓN 
5.1 Introducción 
 
 En primer término se estudiará la distribución de deformaciones y esfuerzos, 
producidos en una barra recta por una solicitación de flexión pura. El análisis permitirá 
obtener la conocida fórmula de flexión por la cual es también aplicable en forma 
aproximada al caso de flexión por cargas transversales, donde además del esfuerzo de 
flexión, se presenta un esfuerzo de corte en la sección de la barra, cuya distribución será 
también estudiada en el presente capítulo. 
 
 El análisis se extenderá al de flexión de piezas curvas. 
5.2 Flexión pura de barra recta 
 
 La Fig. 5- 1 muestra una barra recta solicitada en sus extremos por momentos de 
flexión M. Estos momentos como magnitud vectorial tienen la dirección del eje z. 
 
 Consideramos inicialmente que la sección transversal es tal, que el eje y es un eje 
de simetría y por lo tanto el plano xy es un plano de simetría para la barra. 
 
 La aplicación del momento M produce un curvado de la barra, existiendo 
elementos que sufren alargamiento y otros acortamiento. Supongamos que el plano zx 
contiene los elementos que no experimentan alargamiento ni acortamiento (plano 
neutro). Se define como línea neutra de la barra, a la línea que resulta de la intersección 
del plano de simetría con el plano neutro. Eje neutro, será la línea que resulta de la 
intersección del plano neutro con la sección transversal de la barra. 
 
 Para la barra solicitada como se muestra en la Fig. 5- 1, aislamos la porción limitada 
por el extremo izquierdo y la sección A-A. Para cumplir con la condición de equilibrio de 
momentos debe existir en la sección A-A un momento interno 𝑀𝑖 tal que 𝑀𝑖 = 𝑀, este 
momento interno es la resultante de una distribución del esfuerzo normal 𝜎𝑥 de tracción 
bajo el plano neutro y de compresión sobre él. 
 
 La distribución del esfuerzo normal en la sección transversal A-A, debe entonces 
tener como única resultante un momento 𝑀𝑖 = 𝑀, ya que como fuerza su resultante debe 
ser nula, esto significa que la fuerza en la zona de compresión debe ser igual a la fuerza 
que se produce en la zona de tracción. 
 
 En este caso se habla de flexión pura debido a que el único esfuerzo que existe en 
la barra es por el efecto de flexión. Veremos más adelante que cuando la flexión se 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
106 
 
produce por cargas transversales, existe además del esfuerzo de flexión un esfuerzo de 
corte o cizalle. 
 
 Para determinar la distribución del esfuerzo 𝜎𝑥, se supondrá que una sección 
transversal plana antes de la deformación sigue siendo plana después de ella. Esta 
hipótesis inicial resulta ser verdadera en el caso de flexión pura, y es sólo aproximada al 
existir componentes de esfuerzo de corte por efecto de carga transversal. 
 
 Teniendo presente la hipótesis enunciada previamente, se analizará con la ayuda 
de la Fig. 5- 2 Deformación por flexión. el estado de deformaciones en la barra. 
 
 La Fig. 5- 2 (a) muestra una parte de la barra antes de la deformación en la cual se 
ha tomado dos secciones próximas separadas por una distancia ∆𝑥. El elemento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ de 
longitud ∆𝑥 está en la línea neutra y el elemento 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ a una distancia y de ella. 
 
 
Fig. 5- 1 Flexión pura de barra recta. 
 
 Después de la deformación, Fig. 5- 2 (b), la barra se ha curvado y la línea neutra 
tiene un radio de curvatura R, sin que haya experimentado alargamiento o acortamiento, 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐴′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅ . Sin embargo, el elemento 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ ha experimentado un alargamiento 
representado por 𝑅𝑄′̅̅ ̅̅ ̅. 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
107 
 
 
Fig. 5- 2 Deformación por flexión. 
 
De esta manera el alargamiento unitario en la dirección x será: 
 
𝜀𝑥 =
𝑅𝑄′̅̅ ̅̅ ̅
𝐴′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅
=
𝑦 ∆𝜃
𝑅 ∆𝜃
 
𝜀𝑥 = (
1
𝑅
) 𝑦 (5. 1) 
 
 De acuerdo a la expresión (5. 1) la deformación 𝜀𝑥 es proporcional a la distancia 
medida desde la línea neutra. 
 
 La Fig. 5- 3 Deformaciones transversales. muestra la forma que tiene una sección 
inicialmente rectangular al ser sometida a flexión. La tensión uniaxial 𝜎𝑥 es causante de la 
deformación longitudinal 𝜀𝑥 y de las deformaciones transversales 𝜀𝑦 y 𝜀𝑧, que de acuerdo 
a la definición de la relación de Poisson son iguales a: 
𝜀𝑦 = 𝜀𝑧 = −𝜈 𝜀𝑥 
𝜀𝑦 = 𝜀𝑧 = −𝜈 
𝑦
𝑅
 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
108 
 
 
Fig. 5- 3 Deformaciones transversales. 
 
 En la zona de compresión se tiene que 𝑦 < 0, 𝜀𝑦 > 0, y consecuentemente se 
produce un ensanchamiento de la sección en esa zona. Ocurre lo contrario en la zona de 
tracción. 
 La distribución de 𝜎𝑥 se obtiene utilizando la Ley de Hooke para estado de 
esfuerzos uniaxial. 
𝜎𝑥 = 𝐸 𝜀𝑥 
 
𝜎𝑥 = (
𝐸
𝑅
) 𝑦 (5. 2) 
 
La expresión (5. 2) indica que la distribución de 𝜎𝑥 varía linealmente con la 
distancia medida desde la línea neutra al punto considerado. La Fig. 5- 4 muestra la 
distribución para 𝜎𝑥. 
 
Fig. 5- 4 Distribución de esfuerzos de flexión pura. 
 
 Como se dijo anteriormente, esta distribución de esfuerzos debe satisfacer las 
condiciones de equilibrio de fuerzas y momentos. 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
109 
 
 La condición de equilibrio de fuerzas requiere que en la sección de la barra se 
cumpla: 
∬ 𝑑𝐹
𝐴
= ∬ 𝜎𝑥 𝑑𝐴
𝐴
= 0 
 
 Con la expresión (5. 2) se tiene: 
 
∬ (
𝐸
𝑅
) 𝑦 𝑑𝐴
𝐴
= 0 
 De donde 
∬ 𝑦 𝑑𝐴
𝐴
= 0 (5. 3) 
 
 La expresión (5. 3) indica que el primer momento de área de la sección transversal 
respecto de la línea neutra debe ser nulo, en otras palabras, nos dice que la línea neutra 
necesariamente debe coincidir con el eje centroidal de la barra. De esta manera, para 
conocer la ubicación de la línea neutra bastará ubicar el centro de gravedad de la sección 
transversal de la barra. 
 
 De la condición de equilibrio de momentos se tiene: 
 
∬ 𝑑𝑀𝑖
𝐴
= ∬ 𝜎𝑥 𝑦 𝑑𝐴
𝐴
= 𝑀 
 
 Donde 𝑀𝑖 es el momento de flexión interno y 𝑀 el momento externo, luego: 
 
𝑀 = ∬ (
𝐸
𝑅
) 𝑦2 𝑑𝐴
𝐴
=
𝐸
𝑅
∬ 𝑦2 𝑑𝐴
𝐴
 
 
 La integral en la expresión, corresponde al momento de inercia de la sección 
respecto al eje de flexión Z. 
𝐼𝑧 = ∬ 𝑦
2 𝑑𝐴
𝐴
 
 Así 
1
𝑅
=
𝑀
𝐸 𝐼𝑧
 (5. 4) 
 
 Reemplazando esta relación en la expresión (5. 2), se obtiene la fórmula de flexión 
para barras rectas: 
𝜎𝑥 =
𝑀
 𝐼𝑧
𝑦 (5. 5) 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
110 
 
 
 Es claro que el esfuerzo máximo en valor absoluto, se producirá en los elementos o 
puntos que se encuentran más alejados de la línea neutra. 
 
 Así 
(𝜎𝑥)𝑚á𝑥 =
𝑀
 𝐼𝑧
𝑦𝑚á𝑥 
 
 Se define como módulo resistente de la sección 𝑍, a la relación: 
 
 𝐼𝑧
𝑦𝑚á𝑥
= 𝑍 
 
 De esta manera: 
(𝜎𝑥)𝑚á𝑥 =
𝑀
𝑍
 (5. 6) 
 
 Para perfiles estructurales se dispone de tablas completas para los valores de 𝐼𝑧 y 
𝑍. 
 Al examinar la expresión (5. 6) se puede observar que para efectos de resistencia a 
la flexión, interesa un valor de Z alto. En algunos casos se puede obtener un aumento del 
módulo resistente, eliminando alguna porción de la sección en los puntos más alejados de 
la línea neutra con poca contribución al momento de inercia. 
 
 Los ejemplos ilustrados en la Fig. 5- 5 Aumento del módulo resistente de una 
sección. servirán para explicar con mayor detalle lo expuesto. 
 
Fig. 5- 5 Aumento del módulo resistente de una sección. 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
111 
 
 Tanto en la sección triangular como en la tubular, la eliminación del material que 
se indica en la región achurada, produce una disminución en el momento de inercia (𝐼𝑍) y 
en la distancia a la fibra más alejada (𝑦𝑚á𝑥). Lo que interesa es, la variación del módulo 
resistente (𝑍), si este aumenta, la eliminación de estas zonas producen un mejoramiento 
en las propiedades de resistencia a la flexión de la sección. 
 
 En los perfiles estructurales que sean solicitados fundamentalmente a flexión, 
interesa obtener la máxima resistencia a la flexióncon el mínimo peso, esto se consigue 
por ejemplo con el perfil 𝐼 que se muestra en la Fig. 5- 6 Optimización de la relación 
resistencia-peso., que para efectos de la explicación suponemos que se ha obtenido 
quitando parte de una sección inicialmente rectangular. 
 
 El perfil rectangular tiene una determinada relación resistencia-peso. Al suprimir la 
zona achurada, disminuye la resistencia a la flexión ya que el módulo resistente de la 
sección es menor, disminuye también el peso del perfil ya que se ha quitado material. Se 
puede demostrar fácilmente que la relación resistencia-peso ha aumentado 
considerablemente al quitar adecuadamente material a la sección rectangular. 
 
 
Fig. 5- 6 Optimización de la relación resistencia-peso. 
 
Ejemplo: 
 
 Para la barra mostrada en la figura, determine el momento máximo sin que se 
sobrepase el límite elástico del material, 𝜎0 = 2800 
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
⁄ . Dimensiones de la sección 
en cm. 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
112 
 
 
Solución: 
 
 Para conocer la ubicación del eje neutro es 
necesario determinar el centro de gravedad de la 
sección, ya que en éste pasa por ese punto. 
 
 Es fácil ver que: 
 
𝐶 =
𝐴1ℎ1 + 𝐴2ℎ2
𝐴1 + 𝐴2
=
(20 · 2)10 + (20 · 2) 21
20 · 2 + 20 · 2
= 15,5 𝑐𝑚 
 
 Donde ℎ1 y ℎ2 son las respectivas distancias de 
los centros de gravedad de las áreas parciales 𝐴1 y 𝐴2, medidas desde la base de la 
sección. 
 
 Como el esfuerzo máximo se produce en las fibras más alejadas medidas desde el 
eje neutro, y no debe sobrepasar el valor 𝜎0, al aplicar la expresión (5. 6) se tiene: 
 
𝜎0 =
𝑀𝑚á𝑥
 𝐼𝑧
𝐶 
 De donde 
𝑀𝑚á𝑥 =
𝜎0 𝐼𝑧
𝐶
 
 
 Para la sección dada 𝐼𝑧 = 3766,7 𝑐𝑚
4 
 
𝑀𝑚á𝑥 =
2800 · 3766,7
15,5
= 6,8 · 105 𝑘𝑔 · 𝑐𝑚 
 
 
 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
113 
 
5.3 Condición de ejes principales de inercia 
 
 Para la deducción de la fórmula de flexión, se supuso que el eje 𝑦 era un eje de 
simetría para la sección 𝑦 por lo tanto un eje principal de inercia. Como los ejes principales 
de inercia para una figura plana son perpendiculares entre sí, el otro eje principal es el eje 
z. 
 Demostraremos que la fórmula de flexión deducida, es aplicable a cualquier 
sección donde los ejes 𝑦, 𝑧, sean ejes principales de inercia. Es conveniente tener presente 
que un eje de simetría es siempre un eje principal de inercia, mientras que un eje principal 
de inercia no siempre es un eje de simetría. 
 
 La Fig. 5- 7 muestra una sección transversal de una barra que está solicitada en el 
extremo por un momento flector 𝑀𝑍, representado por un vector. 
 
Fig. 5- 7 Condición de ejes principales de inercia. 
 
 La distribución del esfuerzo 𝜎𝑥 en la sección debe cumplir: 
𝑀𝑧 = ∬ (𝜎𝑥 𝑑𝐴 ) 𝑦
𝐴
 
𝑀𝑦 = ∬ (𝜎𝑥 𝑑𝐴 ) 𝑧
𝐴
 
 Como 𝑀𝑦 = 0, tenemos 
∬ 𝜎𝑥 𝑑𝐴 𝑧
𝐴
= 0 
 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
114 
 
 Reemplazando 𝜎𝑥 por la expresión (5. 5), se obtiene: 
∬ 𝑦 𝑧 𝑑𝐴
𝐴
= 0 (5. 7) 
 
Esta expresión nos indica que el producto de inercia 𝐼𝑦𝑧 debe ser nulo, y que por lo 
tanto los ejes 𝑦, 𝑧 deben cumplir con la condición de ser ejes principales de inercia para 
que se pueda aplicar la fórmula de flexión deducida anteriormente, para que un momento 
flector solicitante que como vector tenga la dirección 𝑧 o 𝑦. 
5.4 Flexión Compuesta 
 
 Cuando la dirección del momento flector solicitante representado vectorialmente, 
no coincide con la dirección de uno de los ejes principales de inercia, se presenta lo que se 
conoce como flexión compuesta. 
 
 La Fig. 5- 8 muestra una porción de una barra solicitada por un momento flector 
𝑀𝑠 en su extremo izquierdo. La sección interna muestra el momento interno 𝑀𝑖, que por 
su condición de equilibrio debe ser de igual magnitud y dirección que 𝑀𝑠, pero de sentido 
contrario. 
 
 Si las direcciones 𝑦, 𝑧 son ejes principales de inercia, entonces la fórmula de flexión 
no es aplicable directamente a 𝑀𝑠, pero sí por separado a las componentes 𝑀𝑦 , 𝑀𝑧. Así, 
por ejemplo, para determinar el esfuerzo de flexión en un punto P cualquiera de la sección 
de coordenadas 𝑦, 𝑧, superponemos las tensiones calculadas en forma independiente para 
𝑀𝑦 y 𝑀𝑧. 
𝜎𝑥 =
𝑀𝑧
 𝐼𝑧
 𝑦 +
𝑀𝑦
 𝐼𝑦
 𝑧 
 Como además se tiene que 
𝑀𝑧 = 𝑀𝑠 sin 𝛼 
𝑀𝑦 = 𝑀𝑠 cos 𝛼 
 Se puede escribir 
 
𝜎𝑥 = 𝑀𝑠 (
𝑦 sin 𝛼
 𝐼𝑧
 +
𝑧 cos 𝛼
 𝐼𝑦
) (5. 8) 
 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
115 
 
 
Fig. 5- 8 Flexión Compuesta. 
 
 Para las componentes 𝑀𝑦, 𝑀𝑧 , al considerar su acción en forma separada, los ejes 
neutros son las direcciones 𝑦, 𝑧 respectivamente, sin embargo el eje neutro para la 
situación compuesta, en general no coincide con la dirección de 𝑀𝑠 como pudiera 
pensarse a priori. 
 
 La ecuación de la recta que tiene la dirección de 𝑀𝑠 es 
 
𝑦 = (− cot 𝛼) 𝑧 
 
 La ecuación del eje neutro, por definición se obtiene con la condición 𝜎𝑥 = 0. 
 
0 = 𝑀𝑠 (
𝑦 sin 𝛼
 𝐼𝑧
 +
𝑧 cos 𝛼
 𝐼𝑦
) 
 De donde 
𝑦 = (−
𝐼𝑧
𝐼𝑦
cot 𝛼) 𝑧 = (− cot 𝜃) 𝑧 
 
 El ángulo 𝜃 que el eje neutro forma con la dirección 𝑦, queda definido como: 
 
tan 𝜃 =
𝐼𝑦
𝐼𝑧
tan 𝛼 (5. 9) 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
116 
 
 
 Las pendientes de las dos rectas difieren por la relación 𝐼𝑦/ 𝐼𝑧. 
 
 Sólo cuando 𝐼𝑦/ 𝐼𝑧 = 1, las direcciones del momento y el eje neutro coinciden 
como es el caso de sección circular, cuadrada y otras. 
 
 Para determinar en este caso de flexión compuesta, el esfuerzo máximo, es 
necesario conocer el punto más alejado del eje neutro determinado de acuerdo a la 
expresión (5. 9). 
 
 La determinación de este punto dependerá de la forma de la sección, en todo caso 
se puede determinar gráficamente trazando una paralela al eje neutro hasta hacerla 
coincidir con el punto más alejado del contorno. En la Fig. 5- 8, en el punto Q de 
coordenadas 𝑦1, 𝑧1 actúa el esfuerzo máximo dado por: 
 
(𝜎𝑥)𝑚á𝑥 = 𝑀𝑠 (
𝑦1 sin 𝛼
 𝐼𝑧
 +
𝑧1 cos 𝛼
 𝐼𝑦
) (5. 10) 
Ejemplo: 
 
 Una barra de sección rectangular está solicitada en sus extremos por un momento 
de flexión como se indica en la figura 
 
𝑀𝑠 = 2 · 10
5 𝑘𝑔 · 𝑐𝑚 
 
 Determine la distribución de 
esfuerzos en una sección transversal 
cualquiera. Dimensión 𝑏 = 6 𝑐𝑚. 
 
Solución: 
 
 Para la geometría dada se 
tiene: 
𝐼𝑦
𝐼𝑧
=
1
4
 
 
 La posición de eje neutro se 
determina con la expresión (5. 9). 
 
tan 𝜃 =
𝐼𝑦
𝐼𝑧
tan 𝜑 
tan 𝜃 =
1
4
tan 60º 
 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
117 
 
De donde 
𝜃 = 23,4º 
 
 En este caso particular se puede apreciar fácilmente, que la superposición de las 
flexiones producidas en forma independiente por las componentes 𝑀𝑦, 𝑀𝑧 , hace que el 
punto con un mayor esfuerzo de tracción sea el punto Q, lo cual es confirmado al trazar la 
paralela al eje neutro. En la sección rectangular sometida a flexión compuesta siempre se 
cumplirá que el esfuerzo máximo de flexión estará en uno de los puntos de las esquinas 
del rectángulo. 
 
 El esfuerzo máximo de tracción en el punto Q, que es igual al esfuerzo de 
compresión en el punto R, resulta de la aplicación de la expresión (5. 10) con los siguientes 
datos. 
 
 
𝐼𝑦 = 216 𝑐𝑚
4 
𝐼𝑧 = 864 𝑐𝑚
4 
𝑦1 = 6 𝑐𝑚 
𝑧1 = 3 𝑐𝑚 
𝑀𝑠 = 2 · 10
5 𝑘𝑔 · 𝑐𝑚 
(𝜎𝑥)𝑚á𝑥 = 2591,7 
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
⁄ 
 
 
 
Ejemplo: 
 
 Resolver lo mismo que el ejemplo anterior para una sección circular de radio 
𝑅 = 6 𝑐𝑚. 
 
 En este caso por ser 𝐼𝑦 = 𝐼𝑧, la dirección del eje neutro coincide con la dirección 
del momento 𝑀𝑠, luego: 
 
𝜃 = 60º 
 
 Las flexiones producidas por las 
componentes 𝑀𝑦, 𝑀𝑧 , considerando su 
acción en forma independiente, hacen 
que los puntos con mayor esfuerzo de 
tracción sean los puntos A y B 
respectivamente, sin embargo la 
resultante de ambas distribuciones de 
esfuerzo hace que el punto con máxima 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
118 
 
tracción sea Q y con máxima compresión sea S. Como en el eje neutro, en este caso, estambién un eje principal de inercia, no es necesario tratar el problema como flexión 
compuesta, sino como una flexión simple alrededor del eje neutro. 
 
 Así el esfuerzo máximo en los puntos Q o S, será de acuerdo a la expresión (5. 5). 
 
(𝜎𝑥)𝑚á𝑥 =
𝑀
𝐼
· 𝑅 
 Con 
𝐼 = 𝜋
𝑅4
4
= 1017,9 𝑐𝑚4 
𝑀 = 2 · 105 𝑘𝑔 · 𝑐𝑚 
𝑅 = 6 𝑐𝑚 
 Se obtiene 
(𝜎𝑥)𝑚á𝑥 = 1178,9 
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
⁄ 
Ejemplo: 
 
 Para la viga en voladizo que se 
muestra en la figura, determine el 
máximo esfuerzo debido a la flexión. 
La viga es de acero A37-2E, Acero 
estructural con: 
𝜎0 = 24 
𝑘𝑔
𝑚𝑚2
⁄ 
𝜎𝑟 = 37 
𝑘𝑔
𝑚𝑚2
⁄ 
 Diga si la tensión calculada se 
puede considerar excesiva o no. 
Medida en centímetros, 𝑡 = 2 𝑐𝑚. 
 
Solución: 
 
 El momento flector máximo se presenta en el empotramiento con un valor igual a: 
 
𝑀𝑠 = 𝑃 · 𝐿 
𝑀𝑠 = 1000 · 100 𝑘𝑔 · 𝑐𝑚 
𝑀𝑠 = 10
5 𝑘𝑔 · 𝑐𝑚 
 
Como las direcciones 𝑦′, 𝑧′ no son direcciones principales de inercia, la fórmula de 
flexión no es aplicable directamente y por lo tanto se hace necesario determinar la 
ubicación de las direcciones principales de inercia 𝑦, z, con el valor de los momentos 
principales de inercia 𝐼𝑦 y 𝐼𝑧. 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
119 
 
Para la sección en estudio se tiene: 
 
𝐼𝑦′ = 984 𝑐𝑚
4 
𝐼𝑧′ = 3936 𝑐𝑚
4 
𝐼𝑦′𝑧′ = −1440 𝑐𝑚
4 
 
𝐼𝑧 = 4522,1 𝑐𝑚
4 
𝐼𝑦 = 397,9 𝑐𝑚
4 
𝜑 = 22,15º 
 
 
 
 
 
La tensión 𝜎𝑥 en cualquier punto de la sección de coordenadas 𝑦, 𝑧, estará dada 
por: 
𝜎𝑥 = − (
𝑀𝑧
 𝐼𝑧
 𝑦 +
𝑀𝑦
 𝐼𝑦
 𝑧) 
 Con 
𝑀𝑧 = 𝑀𝑠 cos 𝜑 
𝑀𝑦 = 𝑀𝑠 sin 𝜑 
 Se obtiene 
𝜎𝑥 = −𝑀𝑠 (
cos 𝜑
 𝐼𝑧
 𝑦 +
sin 𝜑
 𝐼𝑦
 𝑧) 
 
 La ecuación del eje neutro se obtiene con la condición 𝜎𝑥 = 0. 
 
𝑦 = (−
𝐼𝑧
𝐼𝑦
tan 𝜑) 𝑧 
 Haciendo 
−
𝐼𝑧
𝐼𝑦
tan 𝜑 = tan 𝜃 
 Se tiene 
𝑦 = (tan 𝜃)𝑧 
 
Donde 
𝜃 = tan−1 (−
𝐼𝑧
𝐼𝑦
tan 𝜑) 
 
Con los valores numéricos se calcula: 
𝜃 = −77,8º 
𝜑 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
120 
 
 De la figura se puede observar que los puntos más alejado del eje neutro, y por lo 
tanto más solicitados por la flexión, son el punto 𝐴 en tracción y el punto 𝐴′ en 
compresión. 
 
 El esfuerzo de compresión 𝐴′ estará dado por: 
 
(𝜎𝑥)𝐴′ = − (
𝑀𝑧
 𝐼𝑧
𝑦𝐴′ +
𝑀𝑦
 𝐼𝑦
𝑧𝐴′) 
 
 O bien 
(𝜎𝑥)𝐴′ = −𝑀𝑠 (
cos 𝜑
 𝐼𝑧
𝑦𝐴′ +
sin 𝜑
 𝐼𝑦
𝑧𝐴′) 
 
 Las coordenadas del punto 𝐴′ resultan ser 𝑦𝐴′ = 8,9 𝑐𝑚, 𝑧𝐴′ = 4,7 𝑐𝑚, con lo que 
 
(𝜎𝑥)𝐴′ = −10
5 (
cos 22,15º
4522,1
8,9 +
sin 22,15º
397,9
 4,7) 
(𝜎𝑥)𝐴′ = −627,63 
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
⁄ 
 La tensión calculada no se puede considerar excesiva ya que es igual a 0,26 · 𝜎0 
 
5.5 Fuerza de corte y momento de flexión en vigas 
 
 La Fig. 5- 9 muestra una viga simplemente apoyada, solicitada por cargas 
transversales concentradas y distribuidas. 
 
 Se trata de una viga estáticamente determinada, ya que las reacciones externas𝑅𝐴 
y 𝑅𝐵 se pueden obtener directamente de las ecuaciones de la estática. 
 
 La fuerza interna de corte (𝑉𝑖) en una sección cualquiera m-m de la viga, es igual a 
la suma algebraica de todas las fuerzas transversales que actúan en la posición izquierda o 
derecha de ésta, y es la resultante de una distribución de esfuerzos de corte en la sección. 
 
Estableciendo el equilibrio de fuerzas verticales para el diagrama de cuerpo libre 
de la porción izquierda de la viga, se tiene: 
−𝑉𝑖 − ∫ 𝑞(𝑥)𝑑𝑥 − 𝑃1 + 𝑅𝐴
𝑥
𝑎+𝑏
= 0 
 De donde 
𝑉𝑖 = 𝑅𝐴 − 𝑃1 − ∫ 𝑞(𝑥)𝑑𝑥
𝑥
𝑎+𝑏
= 0 
 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
121 
 
 
Fig. 5- 9 Fuerza de Corte y momento de flexión. 
 
 En forma análoga, el momento de flexión (𝑀𝑖) en una sección dada, es la 
resultante de la distribución de esfuerzos de flexión ya estudiada, y es igual a la suma de 
los momentos de las fuerzas externas de la porción izquierda o derecha a la sección 
tomados respecto a ella. 
 
 Estableciendo el equilibrio de momentos de la porción a la izquierda de la viga, 
respecto al apoyo A, se tiene: 
 
𝑀𝑖 − 𝑉𝑖𝑥 − ∫ 𝑥 𝑞(𝑥)𝑑𝑥 − 𝑃1𝑎
𝑥
𝑎+𝑏
= 0 
 De donde 
𝑀𝑖 = 𝑉𝑖𝑥 + ∫ 𝑥 𝑞(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑃1𝑎
𝑥
𝑎+𝑏
 
 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
122 
 
 En general tanto la fuerza de corte (𝑉𝑖) como el momento de flexión (𝑀𝑖), son 
funciones de la variable x y pueden graficarse en diagramas tales que, la ordenada 
correspondiente a una sección dada, represente el valor de la fuerza de corte o momento 
de flexión, Fig. 5- 10. 
 
 Es necesario hacer notar que para la evaluación de esfuerzos y deformaciones la 
variable y define puntos de la sección interna se considera positiva hacia abajo, mientras 
que para efectos de la medición de deflexiones, la dirección positiva del eje y está hacia 
arriba. 
 
Fig. 5- 10 Diagrama de fuerza de corte y momento de flexión. 
 
 Los puntos donde actúa una carga concentrada y los puntos de inicio y término de 
una carga distribuida, son puntos de discontinuidad en los diagramas de fuerza de corte y 
momento. Si para su representación se utilizan funciones analíticas continuas será 
necesario especificar una para cada tramo, indicando el rango de validez, en Fig. 5- 10, 
tramos AB, BC, CD, DE y EF. 
 
 Es necesario hacer notar, que es posible representar los valores medio de una 
expresión única utilizando funciones especiales. 
 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
123 
 
 A continuación se muestra, en la Fig. 5- 11, una representación de la convención de 
signos adoptada para la fuerza de corte y momento de flexión. 
 
Fig. 5- 11 Convención de signos. 
5.6 Relaciones entre carga, fuerza de corte y momento de flexión. 
 
 Consideremos el diagrama de cuerpo libre de un elemento diferencial de viga, 
limitada por las dos secciones vecinas m-m y n-n, como se indica en la Fig. 5- 12. 
 
 Con la condición de equilibrio de fuerzas verticales 
 
𝑉 − 𝑞 𝑑𝑥 − (𝑉 + 𝑑𝑉) = 0 
 Se llega a 
𝑞 = −
𝑑𝑉
𝑑𝑥
 (5. 11) 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
124 
 
 La condición de equilibrio de momentos respecto al punto P, queda expresada por: 
 
𝑀 + 𝑉 𝑑𝑥 − 𝑞 𝑑𝑥 (
𝑑𝑥
2
) − (𝑀 + 𝑑𝑀) = 0 
 
Fig. 5- 12 Elemento diferencial de viga. 
 
De donde se obtiene 
𝑉 = −
𝑑𝑀
𝑑𝑥
 (5. 12) 
 
 Las expresiones (5. 11) y (5. 12) relacionan la carga (𝑞) y la fuerza de corte (𝑉), con 
las pendientes de los diagramas de corte y momento respectivamente, para una sección 
cualquiera de la viga. 
 
 Integrando la expresión (5. 11) se puede escribir 
 
∫ 𝑑𝑉
𝑉2
𝑉1
= ∫ −𝑞 𝑑𝑥
𝑞2
𝑞1
 
 
𝑉2 − 𝑉1 = −∆𝑤 (5. 13) 
 
Análogamente para la expresión (5. 12) se tiene 
 
∫ 𝑑𝑀
𝑀2
𝑀1
= ∫ 𝑣 𝑑𝑥
𝑉2
𝑉1
 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
125 
 
𝑀2 − 𝑀1 = ∆𝑉 (5. 14) 
 
 La expresión (5. 13) establece que la diferencia algebraica entre los valores de la 
fuerza de corte de dos secciones cualesquiera, es numéricamente igual al área del 
diagrama de carga, comprendida entre estas secciones. En forma similar, la ecuación (5. 
14) relaciona los momentos en dos secciones, con el área del diagrama de fuerzas de 
corte, Fig. 5- 13 Relaciones entre carga, corte y momento.. 
 
Fig. 5- 13 Relaciones entre carga, corte y momento. 
Ejemplo: 
 
 Para la viga simplemente apoyada en sus extremos, con carga uniformemente 
repartida como se indica en la figura, obtener las expresiones para la fuerza de corte y 
momento de flexión para cualquier sección. Además dibujar los respectivos diagramas, 
indicando valores relevantes. 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
126 
 
 
Solución: 
 
 En primer término, es necesario dibujar el diagrama de cuerpo libre de viga. 
 
 
 
 
De las ecuaciones de la estática 
∑ 𝐹𝑦 = 0 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 − 𝑞𝐿 = 0 
∑ 𝑀𝑧 = 0 𝑅𝐵𝐿 − 𝑞𝐿 (
𝐿
2
) = 0 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
127 
 
𝑅𝐴 = 𝑅𝐵 =
𝑞𝐿
2
 
 
 Para una sección cualquiera de la viga se tiene 
 
∑ 𝐹𝑦 = 0 
𝑞𝐿
2
− 𝑞𝑥 − 𝑉 = 0 
∑ 𝑀𝑧 = 0 𝑀 + 𝑞𝑥 (
𝑥
2
)−
𝑞𝐿
2
𝑥 = 0 
 De donde 
 
𝑉 = 𝑞 (
𝐿
2
− 𝑥) 
𝑀 =
𝑞𝑥
2
(𝐿 − 𝑥) 
𝑉á𝑙𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 
 
 En este ejemplo, las expresiones de V y M son válidas para toda la viga, ya que no 
hay puntos de discontinuidad. 
 
 En los diagramas respectivos se indican relevantes. El diagrama de fuerza de corte 
tiene distribución lineal, mientras que el de momentos tiene distribución parabólica. 
 
Ejemplo: 
 
 Lo mismo que el ejemplo 
anterior, para una carga concentrada 
como se muestra en la figura. 
 
Solución: 
 
 Para el cálculo de las reacciones se procede igual que en el caso anterior 
obteniéndose para las reacciones. 
 
𝑅𝐴 = 𝑃 (1 −
𝑎
𝐿
) 𝑅𝐵 = 𝑃 (
𝑎
𝐿
) 
 
 Para obtener expresiones de la fuerza de corte y momento de flexión, es necesario 
analizar en forma independiente dos tramos, desde el apoyo izquierdo hasta el punto de 
aplicación de la carga P, y desde este punto hasta el apoyo derecho. 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
128 
 
 
 
 
 Para el tramo a la izquierda de la carga P se tiene 
 
∑ 𝐹𝑦 = 0 𝑃 (1 −
𝑎
𝐿
) − 𝑉 = 0 
∑ 𝑀𝑧 = 0 𝑀 − 𝑃 (1 −
𝑎
𝐿
) 𝑥 = 0 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
129 
 
 De donde 
𝑉 = 𝑃 (1 −
𝑎
𝐿
) 0 < 𝑥 < 𝑎 
𝑀 = 𝑃 (1 −
𝑎
𝐿
) 𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 
 
 Para el tramo a la derecha de la carga se tiene 
 
∑ 𝐹𝑦 = 0 𝑃 (1 −
𝑎
𝐿
) − 𝑃 − 𝑉 = 0 
∑ 𝑀𝑧 = 0 𝑀 + 𝑃(𝑥 − 𝑎) − 𝑃 (1 −
𝑎
𝐿
) 𝑥 = 0 
 
De donde 
𝑉 = −𝑃 (
𝑎
𝐿
) 𝑎 < 𝑥 < 𝐿 
𝑀 = 𝑃𝑎 (1 −
𝑥
𝐿
) 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 
 
 
En este caso, a diferencia del ejemplo anterior, se tiene dos expresiones para la 
fuerza de corte y dos para el momento de flexión. En la sección donde está aplicada la 
carga concentrada la fuerza de corte es nula y el momento de flexión es máximo como se 
muestra en los diagramas respectivos. 
 
 Es interesante observar que el concepto de carga concentrada, corresponde en la 
realidad a una carga que actúa en un área muy pequeña. 
 
 Si para el ejemplo resuelto, consideramos la carga P y las reacciones en los apoyos 
como cargas uniformemente distribuidas en una pequeña extensión 𝛿, el diagrama de 
fuerzas de corte es el que se indica en la figura, donde se puede apreciar lo que 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
130 
 
aproximadamente sucede en la realidad ya que la distribución de la carga en el área de 
contacto no tiene que ser necesariamente uniforme. 
 
Ejemplo: 
 
 Dibujar los diagramas de fuerzas de corte y momento para la viga en voladizo 
cargada como se muestra. 
 
Solución: 
 
 Diagrama de cuerpo libre: 
 
 Del diagrama de cuerpo libre 
 
∑ 𝐹𝑦 = 0 𝑅𝐴 − 𝑞𝐿 = 0 
∑ 𝑀𝑧 = 0 − 𝑀𝐴 +
𝑞𝐿2
2
= 0 
 De donde 
𝑅𝐴 = 𝑞𝐿 𝑀𝐴 =
𝑞𝐿2
2
 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
131 
 
 
 Para una sección cualquiera, a la distancia x del extremo libre se tiene: 
 
𝑉 − 𝑞𝑥 = 0 𝑀 +
𝑞𝑥2
2
= 0 
 De donde 
𝑉 = 𝑞𝑥 0 < 𝑥 < 𝐿 
𝑀 = −
𝑞𝑥2
2
 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 
 
En la figura se muestran los diagramas respectivos 
 
Ejemplo: 
 
 Para la viga cargada como se muestra en la figura, dibuje indicando los valores 
relevantes, el diagrama de fuerzas de corte (V) y el diagrama de momento (M). 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
132 
 
 
 Además determine el valor del módulo resistente que se requiere para la sección 
transversal de la viga, si el esfuerzo admisible es: 
 
𝜎𝑎𝑑𝑚 = 2400 
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
⁄ 
𝑞0 = 9
𝑇𝑜𝑛
𝑚
 
𝐹 = 10 𝑇𝑜𝑛 
𝑑 = 1 𝑚 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
133 
 
Diagrama de cuerpo libre 
 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
134 
 
 
 Cálculo de reacciones 
∑ 𝐹𝑦 = 0 𝑅𝐵 − 𝑅𝐴 −
1
2
(9)2 = 0 
∑ 𝑀𝑧 = 0 𝑅𝐴3 − 10 −
1
2
(9) 2
1
3
 (2) = 0 
 De aquí 
𝑅𝐴 = 5,3 𝑇𝑜𝑛 
𝑅𝐵 = 14,3 𝑇𝑜𝑛 
 
 Para la fuerza de corte y momento de flexión es necesario analizar por tramos. Las 
fuerzas se expresarán en (Ton) y las longitudes en (m) 
 
 Tramo AB 
∑ 𝐹𝑦 = 0 = −5,3 − 𝑉 𝑉 = −5,3 0 < 𝑥 < 1 
∑ 𝑀𝑧 = 0 = 𝑀 + 5,3 𝑥 𝑀 = −5,3 𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 
 
 Tramo BC 
∑ 𝐹𝑦 = 0 = −5,3 − 𝑉 𝑉 = −5,3 1 < 𝑥 < 3 
∑ 𝑀𝑧 = 0 = 𝑀 + 5,3 𝑥 − 10 𝑀 = 10 − 5,3 𝑥 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 
 
 Tramo CD 
∑ 𝐹𝑦 = 0 = 𝑉 − (
1
2
)
9
2
(5 − 𝑥)2 𝑉 =
9
4
(5 − 𝑥)2 0 < 𝑥 < 1 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
135 
 
∑ 𝑀𝑧 = 0 = −𝑀 − (
1
2
)
9
2
(5 − 𝑥)2
1
3
 (5 − 𝑥) 𝑀 = −5,3 𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 
 
 Con estas expresiones se han obtenido los diagramas de fuerzas de corte y de 
momentos que se muestran en las figuras respectivas. 
 
 Del diagrama de momentos, se visualiza que el momento de flexión máximo se 
produce en la sección de apoyo B, con un valor de 6 Ton·m 
 
 Utilizando la fórmula de flexión, junto al valor del esfuerzo admisible, se determina 
el módulo resistente mínimo requerido para la sección de la viga. 
 
𝜎𝑚á𝑥 =
𝑀𝑚á𝑥
𝑍
≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚 
 
𝑍 ≥
𝑀𝑚á𝑥
𝜎𝑎𝑑𝑚
=
6 · 105 𝑘𝑔 𝑐𝑚
2400 𝑘𝑔/𝑐𝑚2
 
 
𝑍 ≥ 250 𝑐𝑚3