Apuntes_mecanica__de_solidos_I_-_Cap02

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Apuntes Mecánica de Sólidos 
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CAPÍTULO 2 
RELACIONES ESFUERZO-DEFORMACIÓN PARA MATERIALES 
DE COMPORTAMIENTO ELÁSTICO LINEAL 
 
2.1 Introducción 
 
 En el capítulo anterior, se han estudiado los conceptos de esfuerzo y deformación, 
que resultan por la acción de cargas externas al actuar sobre un cuerpo deformable. 
 
 Las relaciones entre el esfuerzo y la deformación en un punto de un cuerpo, 
dependen del material considerado, y para un mismo material, de la magnitud de las 
cargas aplicadas. 
 
 En el caso de la mayoría de los materiales metálicos, dentro de ciertos límites de 
carga, puede existir un comportamiento elástico lineal, elástico no lineal o plástico. 
Comportamiento elástico es aquel en que el elemento deformado bajo la acción de cargas 
externas, recupera totalmente su forma y dimensiones originales al retirar las cargas, en 
cambio, comportamiento plástico, se refiere al caso en que aunque se retiren las cargas 
externas queda una deformación permanente. 
 
 En este capítulo se establecen las relaciones entre esfuerzo y deformación para 
materiales elásticos, en los que se presenta un comportamiento lineal. Además se inicia el 
estudio de concepto de energía de deformación elástica. 
2.2 Curvas Esfuerzo-Deformación 
 
 Supongamos, se tiene una probeta para un ensayo de tracción uniaxial Fig. 2- 1(a) 
con una longitud calibrada 𝑙0 y una sección transversal 𝐴0. 
 
 Este ensayo, consiste en aplicar a una probeta normalmente cilíndrica, una carga 
de tracción centrada y progresiva que produce un alargamiento ∆𝑙 = 𝑙 − 𝑙0, donde 𝑙0 es la 
longitud en un instante dado. 
 
 La carga es proporcionada por una máquina diseñada para estos efectos, 
denominada Máquina universal de Ensayos y el alargamiento de la longitud calibrada se 
registra por medio de un extensómetro. 
 
 En la Fig. 2- 1Probeta y curvas carga-Deformación.(b) hay una curva típica que 
muestra la variación del alargamiento ∆𝑙 con la carga P para un material metálico. 
 
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Fig. 2- 1Probeta y curvas carga-Deformación. 
 La Fig. 2- 1(c), corresponde al gráfico esfuerzo-deformación (𝜎 − 𝜀), y tiene la 
misma forma que en el gráfico carga-alargamiento, ya que 𝐴0 y 𝑙0 son dos constantes que 
dividen carga y alargamiento respectivamente, para obtener esfuerzo y deformación. 
 
 Como la longitud calibrada tiene sección uniforme, y está sometidaa una carga 
centrada, tanto la deformación como el esfuerzo son uniformes en esta zona. 
 
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 El esfuerzo y la deformación definidos como 𝜎 = 𝑃 𝐴0⁄ y 𝜀 = ∆𝑙 𝑙0⁄ , se denominan 
esfuerzo y deformación convencionales o ingenieriles respectivamente. 
 
 En el caso del esfuerzo se ve claro que no se trata del esfuerzo real, ya que el área 
de la sección transversal no es constante, sino que disminuye al producirse el 
alargamiento, sin embargo, en el rango de deformaciones elástica esta variación es 
pequeña y para efectos prácticos se puede despreciar. 
 
 En el gráfico esfuerzo-deformación convencional, Fig. 2- 1(c), hay que distinguir 
cuatro puntos. 
 
 El punto A, corresponde al límite de proporcionalidad, que es el punto hasta el cual 
el esfuerzo y la deformación están en relación lineal. 
 
 El punto B o límite elástico, corresponden al punto hasta el cual la deformación se 
recupera totalmente al volver la carga al valor cero. Entre los puntos A y B hay un 
comportamiento elástico no lineal, sin embargo, por existir en la práctica muy pequeña 
diferencia entre ellos, se considera como uno solo y que es el límite 𝜎0, o punto de 
fluencia. 
 
 Pasado el límite elástico, la relación entre esfuerzo y deformación deja de ser 
lineal. EL proceso de descarga, se produce aproximadamente a lo largo de una recta 
paralela a la parte lineal, quedando una deformación plástica permanente 𝜀𝑃. De la 
deformación total 𝜀𝑇, se recupera sólo una parte 𝜀𝐸. 
 
 El punto C, corresponde al punto de máxima resistencia a la ruptura. Hasta ese 
punto la deformación ha sido uniforme a lo largo de la zona cilíndrica de la probeta. Aquí 
comienza una deformación localizada, iniciándose la formación de una cintura o cuello, en 
la cual la sección transversal disminuye rápidamente, por lo que la carga necesaria para 
continuar con el alargamiento disminuye, hasta el punto en que se produce la fractura o 
ruptura propiamente tal, punto D. La tensión máxima 𝜎𝑇, es una característica propia de 
cada material y comúnmente se conoce como resistencia a la ruptura. 
 
 El punto C, también se conoce como un punto de inestabilidad en tracción o punto 
de estricción. A partir de ese punto el estado de esfuerzos, deja de ser uniaxial. 
 
 En el gráfico esfuerzo-deformación, la máxima deformación alcanzada antes de la 
ruptura, es un índice de la propiedad de los materiales llamada ductilidad. Así, un material 
tiene comportamiento dúctil, si permite una gran deformación antes de que se produzca 
la ruptura, para las condiciones de temperatura y velocidad de deformación del ensayo. 
 
 
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 Como ejemplo, se puede mencionar que el Cobre recocido permite una 
deformación del orden de 0,5 y que un Acero SAE-4135 con tratamiento térmico (dureza 
35 Rc), tiene una deformación máxima igual a 0,06. 
 
 Hay materiales como los aceros estructurales, en que el límite elástico o punto de 
fluencia está claramente definido, como se puede apreciar en el gráfico esfuerzo-
deformación, Fig. 2- 2 (a), sin embargo, hay materiales como el Cobre, Aluminio, Aceros 
aleados, y otros, en que este punto no define claramente la transición de estado elástico a 
estado plástico, (b). En este último caso, se define “límite elástico convencional”, que se 
obtiene trazando una paralela a la parte lineal del gráfico esfuerzo-deformación para una 
deformación de 0,002. El punto de intersección entre la recta y la curva, corresponde 
entonces al límite elástico convencional. 
 
Fig. 2- 2 Gráficos esfuerzo-deformación. 
2.3 Constantes elásticas 𝝂, G, E. Ley de Hooke 
 
 En el estudio de la mecánica de los cuerpos deformables, se supone que la materia 
es continua, homogénea e isotrópica. 
 
 Que la materia sea continua, significa que no hay espacios vacíos o huecos en su 
estructura, que sea homogénea significa que sus propiedades específicas son las mismas 
para diferentes puntos y que sea isotrópica significa que presenta igual comportamiento 
en todas las direcciones. 
 
 Las propiedades elásticas de un sólido continuo, homogéneo e isotrópico con 
comportamiento lineal, quedan definidas completamente por tres constantes 
características del material, y que se verán a continuación. 
 
 
 
 
 
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Módulo elástico o módulo de Young (E) 
 
 El gráfico 𝜎 − 𝜀 para el caso de tracción uniaxial, se muestra en la Fig. 2- 3. Este 
gráfico representa la variación de la deformación 𝜀 con la tensión 𝜎, para un esfuerzo 
uniaxial. 
 
 Se define el módulo elástico o módulo de Young de un material elástico lineal a la 
pendiente de la parte recta de la curva 𝜎 − 𝜀, y normalmente se denota por la letra E. 
 
 De esta manera se puede escribir: 
 
𝜎 = 𝐸𝜀 (2. 1) 
 
 La expresión (2. 1) se conoce como Ley de Hooke para el caso uniaxial. El valor de E 
varía para los distintos materiales, en el caso del acero tiene un valor de 2,1·106 (kg/cm2). 
 
Fig. 2- 3 Gráfico 𝝈 − 𝜺 para estado de esfuerzo uniaxial. 
 
Módulo de rigidez (G) 
 
Más adelante se estudiará que en el caso de torsión de una barra, se obtiene un 
estado de corte puro. La variación de la deformación angular 𝛾 con el esfuerzo de corte 𝜏, 
se puede graficar en forma análoga a como se hizo para 𝜀 en el caso uniaxial,Fig. 2- 4. 
 
Aquí el módulo de rigidez es la pendiente de la parte recta de la curva 𝜏 − 𝛾 , de 
manera que: 
𝜏 = 𝐺𝛾 (2. 2) 
 
Y se conoce como Ley de Hooke para el esfuerzo de corte puro. 
 
 
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Fig. 2- 4 Gráfico 𝝉 −𝜸 para estado de corte puro. 
 
Relación de Poisson (𝜈) 
 
 Cuando un material por efecto de una tracción sufre un alargamiento, las 
dimensiones transversales disminuyen, de manera que existen además de la deformación 
axial deformaciones transversales a la carga. 
 
Fig. 2- 5 Relación de Poisson. 
 
 En la Fig. 2- 5 (a) la barra de longitud y diámetro iniciales 𝑙0, 𝐷0, tiene una 
deformación longitudinal 𝜀𝐿 = ∆𝑙 𝑙0⁄ y además una deformación transversal 𝜀𝑇 = ∆𝐷 𝐷0⁄ . 
La relación de Poisson (ν) es la razón entre la deformación transversal y la deformación 
longitudinal precedida por signo negativo. 
 
𝜈 = −
𝜀𝑇
𝜀𝐿
 (2. 3) 
 
 Hay que notar que la relación de Poisson así definida, es siempre un número 
positivo, ya que cuando 𝜀𝐿 > 0, 𝜀𝑇 < 0. 
 
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 En un material isotrópico, la relación de Poisson es independiente de la dirección 
transversal. Por ejemplo, utilizando la Fig. 2- 5 (b),se puede escribir: 
 
𝜈 = −
𝜀𝑧
𝜀𝑥
= −
𝜀𝑦
𝜀𝑥
 
 
 Para la mayoría de los metales, la Relación de Poisson varía entre los valores de 
0,25 y 0,33, en el caso del acero se utiliza 𝜈 =0,3. 
 
 Las tres constantes elásticas 𝜈, G, E no son independientes entre sí, se puede 
demostrar que están relacionas por la expresión: 
 
𝐺 =
𝐸
2(1 + 𝜈)
 (2. 4) 
 
2.4 Ley generalizada de Hooke 
 
 En el caso general de esfuerzos, para establecer las relaciones con las componente 
de la deformación, hay que tener presente que las componentes normales no producen 
deformaciones angulares, y que además, las componentes de corte no tienen influencia 
en las componentes normales de deformación. 
 
 La Fig. 2- 6, muestra un estado de esfuerzos con las tres componentes normales 
𝜎𝑥, 𝜎𝑦,y𝜎𝑧. Este estado de esfuerzos puede considerarse como una superposición de tres 
estados uniaxiales. 
 
Fig. 2- 6 Superposición de tres estados de esfuerzos uniaxiales. 
 
 Los estados uniaxiales (a), (b), y (c) producen, respectivamente, las siguientes 
deformaciones en la dirección x. 
 
𝜀𝑥,𝑎 =
𝜎𝑥
𝐸
𝜀𝑥,𝑏 = −𝜈
𝜎𝑦
𝐸
𝜀𝑥,𝑐 = −𝜈
𝜎𝑧
𝐸
 
 
 
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 Aplicando el principio de la superposición, la deformación total en la dirección x 
será: 
𝜀𝑥 = 𝜀𝑥,𝑎 + 𝜀𝑥,𝑏 + 𝜀𝑥,𝑐 
 De donde: 
𝜀𝑥 =
1
𝐸
(𝜎𝑥 − 𝜈(𝜎𝑦 + 𝜎𝑧)) 
 
 En forma análoga, se obtiene 𝜀𝑦 y 𝜀𝑧 de manera que la Ley de Hooke generalizada 
para un material elástico isotrópico queda expresada por: 
 
𝜀𝑥 =
1
𝐸
(𝜎𝑥 − 𝜈(𝜎𝑦 + 𝜎𝑧)) 
𝜀𝑦 =
1
𝐸
(𝜎𝑦 − 𝜈(𝜎𝑥 + 𝜎𝑧)) 
𝜀𝑧 =
1
𝐸
(𝜎𝑧 − 𝜈(𝜎𝑥 + 𝜎𝑦)) 
𝛾𝑥𝑦 =
𝜏𝑥𝑦
𝐺
=
2(1 + 𝜈)
𝐸
𝜏𝑥𝑦 
𝛾𝑥𝑧 =
𝜏𝑥𝑧
𝐺
=
2(1 + 𝜈)
𝐸
𝜏𝑥𝑧 
𝛾𝑦𝑧 =
𝜏𝑦𝑧
𝐺
=
2(1 + 𝜈)
𝐸
𝜏𝑦𝑧 
(2. 5) 
 
 En el caso de esfuerzo plano, caracterizado por 𝜎𝑧 = 𝜏𝑥𝑧 = 𝜏𝑦𝑧 = 0 , estas 
expresiones se reducen a: 
 
𝜀𝑥 =
1
𝐸
(𝜎𝑥 − 𝜈𝜎𝑦) 
𝜀𝑦 =
1
𝐸
(𝜎𝑦 − 𝜈𝜎𝑥) 
𝜀𝑧 =
−𝜈
𝐸
(𝜎𝑥 + 𝜎𝑦) 
𝛾𝑥𝑦 =
𝜏𝑥𝑦
𝐺
 
(2. 6) 
 
Si es un estado de deformación plana, 𝜀𝑧 = 𝛾𝑥𝑧 = 𝛾𝑦𝑧 = 0, con la condición 𝜀𝑧 = 0, 
se tiene que: 
 
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𝜎𝑧 = 𝜈(𝜎𝑥 + 𝜎𝑦) (2. 7) 
 
De manera que las componentes no nulas quedan como: 
 
𝜀𝑥 =
1 + 𝜈
𝐸
((1 − 𝜈)𝜎𝑥−𝜈𝜎𝑦) 
𝜀𝑦 =
1 + 𝜈
𝐸
((1 − 𝜈)𝜎𝑦−𝜈𝜎𝑥) 
𝛾𝑥𝑦 =
𝜏𝑥𝑦
𝐺
 
(2. 8) 
 
2.5 Energía de Deformación Elástica. 
 
 Un material elástico ideal, es aquel en que al retirar las cargas externas, las 
deformaciones se recuperan totalmente. El trabajo efectuado por las cargas externas, 
queda almacenado como energía interna de deformación elástica. 
 
 La energía de deformación elástica puede ser expresada en términos de las 
componentes del esfuerzo o la deformación y las constantes elásticas del material. 
 
 En primer lugar, consideremos la acción de la componente normal 𝜎𝑥, en el 
elemento volumétrico infinitesimal (𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧) de la Fig. 2- 7 (a). 
 
 El trabajo efectuado por la fuerza externa (𝜎𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧) , en el incremento 
infinitesimal de alargamiento 𝑑(𝛿𝑥) es: 
 
𝑑𝑤 = (𝜎𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧) 𝑑(𝛿𝑥) 
 
 Como 𝑑(𝛿𝑥) = 𝑑(𝜀𝑥𝑑𝑥) podemos escribir: 
 
𝑑𝑤 = 𝜎𝑥 𝑑𝜀𝑥 𝑑𝑣 
 
 Este trabajo es igual a la variación de la energía interna del elemento elástico. Si 
llamamos U a la energía de deformación elástica total, entonces: 
 
𝑑𝑈 = 𝜎𝑥 𝑑𝜀𝑥 𝑑𝑣 
 
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Fig. 2- 7 Evaluación de la energía de deformación elástica. 
 
 La energía de deformación elástica por unidad de volumen (𝑑𝑢), en el 
alargamiento 𝑑(𝛿𝑥), será entonces: 
 
𝑑𝑢 = 𝜎𝑥 𝑑𝜀𝑥 
 
 Y en el alargamiento 𝛿𝑥: 
 
𝑢 = ∫ 𝜎𝑥 𝑑𝜀𝑥
𝜀𝑥
0
 
 
 La energía de deformación total en un volumen V, se obtiene como: 
 
𝑈 = ∫ 𝑢 𝑑𝑉
𝑣𝑜𝑙
= ∫ ∫ 𝜎𝑥 𝑑𝜀𝑥
𝜀𝑥
0
 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
𝑣𝑜𝑙
 
 
 La expresión de la energía elástica por unidad de volumen, puede ampliarse al caso 
en que actúen las tres componentes normales del esfuerzo, así: 
 
𝑢 = ∫ (𝜎𝑥 𝑑𝜀𝑥 + 𝜎𝑦 𝑑𝜀𝑦 + 𝜎𝑧 𝑑𝜀𝑧)
𝜀
0
 
 
 La contribución de las tres componentes de corte a la energía de deformación 
elástica, puede obtenerse en forma similar. 
 
 De la Fig. 2- 7 (b), los desplazamientos infinitesimales de las componentes 𝜏𝑦𝑥 y 
𝜏𝑥𝑦 , que actúan en los elementos de superficie (𝑑𝑥 𝑑𝑧) y (𝑑𝑦 𝑑𝑧) son, 
respectivamente, 𝑑(𝛾2𝑑𝑦) y 𝑑(𝛾1𝑑𝑥), de manera que: 
 
𝐱 
w
e
r
r
e
w
e
r
w
e
r
w
e
r 
 
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𝑑𝑤 = 𝜏𝑦𝑥(𝑑𝑥 𝑑𝑧) 𝑑(𝛾2𝑑𝑦) + 𝜏𝑥𝑦(𝑑𝑦 𝑑𝑧) 𝑑(𝛾1𝑑𝑥) 
 
 O bien 
 
𝑑𝑤 = 𝜏𝑥𝑦 𝑑(𝛾1 + 𝛾2)𝑑𝑉 = 𝜏𝑥𝑦 𝑑𝛾𝑥𝑦𝑑𝑉 
 
Se puede ver que: 
𝑢 = ∫ 𝜏𝑥𝑦 𝑑𝛾𝑥𝑦
𝛾𝑥𝑦
0
 
 
 Si actúan las tres componentes del esfuerzo de corte se tendrá que: 
 
𝑢 = ∫ (𝜏𝑥𝑦 𝑑𝛾𝑥𝑦 + 𝜏𝑥𝑧 𝑑𝛾𝑥𝑧 + 𝜏𝑦𝑧 𝑑𝛾𝑦𝑧)
𝛾
0
 
 
 Para un estado general de esfuerzos la expresión final para la energía de 
deformación elástica por unidad de volumen será: 
 
𝑢 = ∫ (𝜎𝑥 𝑑𝜀𝑥 + 𝜎𝑦 𝑑𝜀𝑦 + 𝜎𝑧 𝑑𝜀𝑧 + 𝜏𝑥𝑦 𝑑𝛾𝑥𝑦 + 𝜏𝑥𝑧 𝑑𝛾𝑥𝑧 + 𝜏𝑦𝑧 𝑑𝛾𝑦𝑧) (2. 9) 
 
 Hay que notar que está expresión se refiere a un material elástico en general, es 
decir, no se ha especificado el tipo de relación entre esfuerzo y deformación. En la Fig. 2- 8 
se puede apreciar, para el caso uniaxial, que la energía de deformación elástica por 
unidad de volumen es numéricamente igual al área bajo la curva del gráfico esfuerzo 
deformación. 
 
Fig. 2- 8 Energía de deformación elástica. 
 
 
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 Si se trata de un material elástico lineal, la expresión (2. 9) se puede integrar, 
haciendo uso de la ley generalizada de Hooke, para expresar u en términos de las 
componentes del esfuerzo, o de la deformación. 
 
𝑢 =
1
2
(𝜎𝑥𝜀𝑥 + 𝜎𝑦𝜀𝑦 + 𝜎𝑧𝜀𝑧 + 𝜏𝑥𝑦𝛾𝑥𝑦 + 𝜏𝑥𝑧𝛾𝑥𝑧 + 𝜏𝑦𝑧𝛾𝑦𝑧) 
𝑢 =
1
2𝐸
(𝜎𝑥
2 + 𝜎𝑦
2 + 𝜎𝑧
2 − 2𝜈(𝜎𝑥𝜎𝑦 + 𝜎𝑥𝜎𝑧 + 𝜎𝑦𝜎𝑧)) +
1
2𝐺
(𝜏𝑥𝑦
2 + 𝜏𝑥𝑧
2
+ 𝜏𝑦𝑧
2) 
(2. 10) 
 
 En el caso de esfuerzo plano 𝜎𝑧 = 𝜏𝑥𝑧 = 𝜏𝑧 = 0; estas expresiones se reducen a: 
 
𝑢 =
1
2
(𝜎𝑥𝜀𝑥 + 𝜎𝑦𝜀𝑦 + 𝜏𝑥𝑦𝛾𝑥𝑦) 
𝑢 =
1
2𝐸
(𝜎𝑥
2 + 𝜎𝑦
2 − 2𝜈 𝜎𝑥𝜎𝑦) +
𝜏𝑥𝑦
2
2𝐺
 
(2. 11) 
 
 La energía de deformación elástica no depende de la orientación de referencia 
elegida, es una cantidad invariante, si se consideran las direcciones principales, se puede 
escribir: 
𝑢 =
1
2
(𝜎1𝜀1 + 𝜎1𝜀2) 
𝑢 =
1
2𝐸
(𝜎1
2 + 𝜎𝑦
2 − 2𝜈 𝜎1𝜎2) 
(2. 12) 
 
 A modo de ejemplo, se determinará la energía de deformación elástica total, de 
una barra sometida a carga axial centrada P, Fig. 2- 9 Energía de deformación elástica. 
 
 La energía de deformación elástica por unidad de volumen es: 
 
𝑢 =
𝜎𝑥
2
2𝐸
=
𝑝2
2𝐸𝐴2
 
 
 La energía de deformación elástica total: 
 
𝑈 = ∫ 𝑢 𝑑𝑉
𝑣𝑜𝑙
= ∫
𝑝2
2𝐸𝐴2
(𝐴𝑑𝑥)
𝐿
0
 
 
𝑈 =
𝑝2
2𝐸
∫
𝑑𝑥
𝐴
𝐿
0
 (2. 13) 
 
 
 
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Si la sección transversal esconstante: 
 
𝑢 =
𝑝2𝐿
2𝐸𝐴
 (2. 14) 
 
 
Fig. 2- 9 Energía de deformación elástica. 
 
 Es necesario observar que se ha hecho un análisis aproximado, ya que se ha 
supuesto que el estado de esfuerzos es uniforme en la sección transversal e igual a P/A. 
Sin embargo, en secciones próximas a los puntos de aplicación de la carga esto no es así. 
Por otro lado, si a la barra tiene una conicidad pequeña como se muestra en la Fig. 2- 9 
Energía de deformación elástica., el estado de tensiones no es rigurosamente uniaxial. 
 
Ejemplo: 
 
 El pequeño bloque de acero de la figura se comprime con una carga 
uniformemente repartida de 20 kg/mm2. Las paredes del depósito donde se encuentra 
ubicado, se suponen perfectamente rígidas y sin fricción. 
 
 Determine el alargamiento total experimentado por el bloque en la dirección x, y la 
energía de deformación elástica almacenada. 
 
𝐸 = 2,1 · 106
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
⁄ 𝜈 = 0,3 
Solución: 
 
Son condiciones del problema: 
 
𝜎𝑧 = −20 
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
⁄ 𝜎𝑥 = 0 𝜀𝑦 = 0 
 
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𝜀𝑦 =
1
𝐸
(𝜎𝑦 − 𝜈(𝜎𝑥 + 𝜎𝑧)) 
 
 De donde: 
𝜎𝑦 = 𝜈𝜎𝑧 
 
 Tenemos entonces que: 
 
𝜀𝑥 =
1
𝐸
(𝜎𝑥 − 𝜈(𝜎𝑦 + 𝜎𝑧)) 
𝜀𝑥 = −
𝜈(1 + 𝜈)
𝐸
𝜎𝑧 
∆𝑥
𝑥0
= −
𝜈(1 + 𝜈)
𝐸
𝜎𝑧 
 
 Reemplazando los valores numéricos correspondientes se obtiene para el 
alargamiento en la dirección x. 
 
∆𝑥 = 0,022 𝑚𝑚 
 
 Teniendo presente que se trata de un estado de esfuerzos uniforme, la energía de 
deformación elástico por unidad de volumen se puede escribir como: 
 
𝑢 =
1
2𝐸
(𝜎𝑦
2 + 𝜎𝑧
2 − 2 𝜈 𝜎𝑦𝜎𝑧) 
 
 Ya que todas las otras componentes del esfuerzo son nulas, con: 
𝜎𝑦 = 𝜈 𝜎𝑧 
 
𝑢 =
(1 − 𝜈2)
2𝐸
𝜎𝑧
2 
 
 
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 La energía de deformación total almacenada es, 
 
𝑈 = ∫ 𝑢 𝑑𝑉
𝑣𝑜𝑙
= 𝑢 · 𝑉𝑂 
 
 Con los valores numéricos correspondientes se obtiene: 
 
𝑈 = 780𝑘𝑔 · 𝑚𝑚