Apuntes de Engranajes

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DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA
Ingeniería Civil Mecánica
APUNTES DE ENGRANAJES
CURSO: SISTEMAS MECANICOS
Preparados por:
Dr. Mario Razeto M.
Juan Pablo Quiroz S.
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos2
ENGRANAJES
Uno de los problemas principales de la Ingeniería Mecánica es la transmisión de
movimiento, entre un conjunto motor y máquinas conducidas. Desde épocas muy remotas
se han utilizado cuerdas y elementos fabricados de madera para solucionar los problemas
de transporte, impulsión, elevación y movimiento.
El inventor de los engranajes en todas sus formas fue Leonardo da Vinci, quien a su
muerte en la Francia de 1519, dejó para nosotros sus valiosos dibujos y esquemas de
muchas de los mecanismos que hoy utilizamos diariamente.
En general la transmisión de movimiento se realiza a través de un par de elementos
que tienen superficies curvas en contacto. Las superficies de contacto pueden moverse entre
si con rodadura pura, deslizamiento puro o una combinación de ambas, (figura 1).
Se puede transmitir movimiento por contacto directo únicamente si hay una fuerza
normal a las superficies en contacto por lo tanto la fuerza entre 2 y 3 tiene la dirección NN
(normal a ambas superficies en el punto de contacto).
Además, cualesquiera que sean las velocidades de P2 y P3, sus componentes en la
dirección NN deben ser iguales. Las componentes tangenciales de las velocidades de los
puntos coincidentes P2 y P3 tienen la dirección de la tangente común TT, pero pueden tener
distinto valor y sentido. La diferencia entre las componentes tangenciales representa el
grado de deslizamiento. Cuando las componentes tangenciales son iguales (magnitud y
sentido), el funcionamiento es de tipo, rodadura pura. Esto ocurre cuando O2-P-O3 están
en la misma línea recta.
Figura 1: Superficies en contacto directo
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En el caso general, “la relación de transmisión de velocidades angulares” varía
continuamente. Para el ejemplo de la figura 1, si la velocidad angular del cuerpo dos es ω2
y del cuerpo tres es ω3, la relación de velocidades angulares es:
Esta expresión puede simplificarse, llegándose a
Si la normal común NN corta a la recta de centros O2O3 en el punto K, formándose
triángulos semejantes O2Kf y O3Kg, se puede escribir
Por lo tanto “Las velocidades angulares son inversamente proporcionales a los
segmentos en que la recta que une sus centros queda dividida por la normal que pasa
por el punto de contacto” de lo que se deduce que: Para una relación de transmisión de
velocidades constante, la normal que pasa por el punto de contacto debe dividir a la
recta en segmentos que guarden una relación fija.
En el diseño de los engranajes, las superficies de contacto de los dientes tienen una
forma tal que el movimiento transmitido es el mismo que en el caso de las ruedas de
fricción cuando no se presenta resbalamiento. Siendo las circunferencias de ficción iguales
a las llamadas circunferencias primitivas de los engranajes.
Generalidades
Las ruedas dentadas son elementos destinados a transmitir el movimiento de rotación
y con él, determinar la fuerza periférica útil. En las ruedas dentadas el contacto es directo
como en las ruedas de fricción, pero este contacto se realiza mediante dientes que presentan
una parte saliente exteriormente a las circunferencias tangentes de contacto y una parte
entrante; interior a estas, de tal modo que las salientes de una rueda se alojan en las
entrantes de la otra.
Los dientes de una rueda ejercen entonces un empuje contra los dientes de la otra,
produciéndose así el movimiento y la transmisión de la energía, sin depender de la fuerza
de rozamiento.
MP
PO
PO
MP = 
22
22
33
33
2
3
ω
ω
gO
fO = 
nP
fO
gO
nP = 
3
2
2
2
3
3
2
3
ω
ω
KO
KO = 
gO
fO = 
3
2
3
2
2
3
ω
ω
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Existen tres condiciones que son fundamentales para los engranajes, que son:
a) La forma de las salientes o dientes, ha de ofrecer superficies en las que el contacto se
realice con suavidad y sin choque, para que con esto se conserve invariable la relación
de transmisión deseada.
b) Los dientes deben poseer formas y dimensiones tales que puedan resistir el esfuerzo
periférico a transmitir.
c) La normal en el punto de tangencial de los perfiles de los dientes que engranan ha de
pasar siempre por el punto de contacto de las circunferencias primitivas de las ruedas a
las cuales respectivamente pertenecen.
Obs: Un engrane en una rueda dentada y engranajes son mas de un engrane, (o sea mas de
una rueda dentada).
CLASIFICACION DE LOS ENGRANAJES
Nombre Clase Disposición de ejes Superficies
Primitivas
Engranajes Rectos Paralelos Cilindros
Engranajes
Cónicos
De diente Recto
De diente Espiral
De diente Oblicuo
De diente Hipoidal
Se cortan
Se cortan
Se cruzan
Se cruzan
Conos
Conos
Hiperboloides
Conos
Engranajes
Helicoidales
Paralelo (simples y
dobles)
Cruzado
Paralelos
Se Cruzan
Cilindros
Cilindros
De Tornillo sin fin Ortogonales Hiperboloides
Definiciones:
La figura 2 nos muestra las formas de un par de engranajes rectos e indican sus principales
parámetros. Estos son definidos a continuación.
1.- Superficie Primitiva es la del cilindro de rodadura (cono, etc.) imaginario que podemos
suponer reemplaza a la rueda dentada.
2.- Circunferencia de Cabeza (Diámetro de cabeza dc) es la que limita a los dientes por
el exterior.
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 3.- Circunferencia Primitiva (Diámetro primitivo d0 = mZ) es la base de medición de
los engranajes. las circunferencias primitivas corresponden a los circulos imaginarios
tangentes. En algunos casos, dependiendo del montaje, pueden existir circunferencias
primitivas de funcionamiento, distintas a las circunferencias primitivas nominales.
4.- Circunferencia de Pié (Diámetro de pié dp) es la que limita a los espacios entre
dientes por el interior.
5.- Altura de Cabeza (hc) (Addendum) es la distancia radial entre la circunferencia
primitiva y la de cabeza.
6.- Altura de Pié (hp) (Dedendum) es la distancia radial entre la circunferencia primitiva
y la de pié.
7.- Altura total (h) es la altura total del diente (hc +hp).
8.- Huelgo o juego de cabeza (jc) es la diferencia entre la altura de pié de una rueda y la
altura de cabeza de la otra rueda del par.
9.- Cara de un diente es la parte de su superficie que queda por el exterior de la superficie
primitiva.
Figura 2: Geometría de los engranajes
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10.- Flanco de un diente es la parte de su superficie que queda por el interior de la
superficie primitiva.
11.- Espesor del diente (e) es el ancho del diente, medido sobre la circunferencia primitiva
(arco).
12.- Ancho del hueco (s) es la distancia entre dos dientes consecutivos, medida sobre la
circunferencia primitiva.
13.- Juego de flanco es la diferencia entre el espesor del diente de una rueda y el ancho del
hueco de la otra rueda del par. (espacio necesario debido a imperfecciones de tallado y a
lubricación)
14.- Paso (p) o Paso circular (pc = ΠΠ m) es el ancho de un diente y un hueco, medido
sobre la circunferencia primitiva.
15.- Paso basal (pb) es el ancho de un diente o un hueco, medido sobre la circunferencia de
base
16.- Número de dientes (Z) es la cantidad de dientes que tiene un engrane
17.- Piñón se designa a la menor rueda de un par de engranajes, la mayor se llama Rueda.
18.- Relación de velocidades o Relación de transmisión (i = ωω3/ωω2 = Z2/Z3 = d02/d03 ) es
la razón entre el número de revoluciones de la rueda motriz y el de la rueda conducida.
19.- Punto Primitivo (P) es el de tangencia de las dos circunferencias primitivas del par.
20.- Línea de acción o línea de presión es la línea normal a los perfiles de los dientes
engranados en el punto de contacto.
21.- Curva de Engrane es la línea descrita por el punto de contacto de los perfiles de dos
dientes engranados
22.- Angulo de presión (φφ o αα ) es el formado por la normal común en el punto de contactoy la tangente común a las circunferencias primitivas. ( Línea de acción y la tangente
común).
23.- Paso diametral (pd) es el número de dientes por pulgada de diámetro primitivo
24.- Módulo (m) es el cuociente entre el diámetro primitivo y el número de dientes
(m=d0/Z) número característico del engrane. (en mm). El módulo es el índice del tamaño
del diente en el SI. (m=25.4/pd).
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25.- Circunferencia de Base (diámetro de base db =d0/cos φφ ) es una circunferencia
imaginaria usada en engranajes de evolvente para generar los perfiles de los dientes, es
tangente a la línea de acción.
26.- Distancia entre Centros (A0) Distancia entre los centros de los engranajes en
contacto (A0 = (d02 + d03) / 2 ).
Para que la relación de transmisión sea constante, es preciso que los perfiles de los
dientes tengan determinada forma. Para esto la normal común NN en el punto de contacto
A debe dividir en todo momento a la recta de centros según una relación constante, por lo
tanto, la normal NN debe cortar a la recta de centros en el punto de tangencia de las
circunferencias primitivas.
Varias son las formas que podrían satisfacer las exigencias anteriores y se
denominan perfiles o curvas conjugados; pero solamente dos son las formas más usadas
para perfiles de dientes. Evolvente (90%) y Cicloidal (10%). Cuando esto ocurre se dice
que las superficies son conjugadas.
CURVAS CONJUGADAS
Perfil de los dientes
El perfil de los dientes debe quedar establecido de tal modo, que se cumpla la ley
fundamental del engrane, cualquiera sea la forma de le curva adoptada. Pero esto no puede
hacerse en forma arbitraria si la condición demostrada debe cumplirse totalmente.
Teóricamente, a toda curva corresponde un perfil o curva conjugada, consideradas ambas
formando parte de dos cuerpos en rotación, destinados a transmitir el movimiento. Sentado
esto y dado el perfil del diente de una rueda, siempre es posible determinar el perfil del
diente correspondiente a la otra rueda.
El perfil de los dientes puede responder a diferentes principios de trazado, pero
siempre las superficies laterales deben ser de tal forma, que entre dos ruedas que engranan
se verifique el contacto en los respectivos dientes sin resbalamiento ni choques. El perfil de
los dientes es, por lo general, un segmento de curva perfectamente definida, capaz de
cumplir la condición fundamental del engrane, como:
• Una curva cualquiera para el perfil del diente de una de las ruedas, a condición de
trazar por puntos el perfil que corresponde a los dientes de la otra (Método de
Reuleaux)
• Las curvas cíclicas o perfiles cicloídales (cicloide, epicicloíde, hipocicloide,
pericicloide y Circulo generador o Rodante)
• La evolvente de círculo o perfiles de evolvente
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El perfil obtenido por las curvas cíclicas es, en teoría, el más exacto, pero esta
ventaja no es verdadera si la distancia entre los ejes de las ruedas no es perfectamente
realizada y conservada. El perfil obtenido de la evolvente de círculo es más simple y fácil
de ejecutar, un perfil que no exige una distancia axial invariable, pues el engrane se verifica
siempre en buenas condiciones.
La determinación gráfica de estos perfiles sólo se practica para engranajes de
fuerza, cuyos dientes no han de ser trabajados, caso poco frecuente; por esta misma
circunstancia, los perfiles cicloídales no son aconsejables.
A continuación damos el método de Reuleaux ( figura 3 ). En este método, se trata
de establecer la forma del perfil del diente de una rueda, cuando se conoce o se ha fijado la
forma del que ha de engranar con aquél, sin choques ni resbalamiento. Esta resolución
gráfica tiene su aplicación solamente para dientes de grandes dimensiones, cuando éstos
deben obtenerse en bruto, tal como salen del molde utilizado en la Fundería, por lo tanto, es
de gran utilidad para los dibujantes y modelistas, exclusivamente.
MÉTODO DE REULEAUX
Suponiendo que los diámetros primitivos están conocidos y el perfil de la rueda O1 ,
se precederá ordenadamente de la siguiente manera:
Desde puntos arbitrarios a1, b1, c1,d1, trazar normales al perfil dado:
A1, a1, B1 b1, C1 c1, D1 d1
Desde O1 como centro, describir dos arcos pasando por a1,
b1, A partir de O1 determinar sobre la circunferencia
primitiva la rueda O2 las longitudes de arco:
OA2 = OA1 ; OB2 = OB1 ; OC2 = OC1; OD2 = OD1
Desde O1, como centro trazar arcos de radio:
Oa = A1, a1 ; Ob=B1 b1 ; Oc = C1 c1 ; Od = D1 d1
Con lo que se produce las intersecciones a, b, c, d, desde
O2, como centro describir los arcos pasando por a, b, c, d.
Tomar.-
A2 a2 =Al al, B2 b2 = B1, bl,
C2 c2 = Cl cl, D2 d2 = D1 d1
La curva formada uniendo, los puntos a2, b2, c2, d2,
produce el perfil buscado y corresponde a los
dientes de la rueda O2. Figura 3: Método de Reuleaux
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PERFILES CICLOIDALES
Estos perfiles se obtienen trazando curvas cíclicas. El perfil del diente de una
cremallera está, formado por una cicloide para la cara superior o cabeza del diente y otra
cicloide para el flanco, raíz o parte inferior del diente. En una rueda cilíndrica dentada
exteriormente, el perfil comprende una epicicloíde para la cara o cabeza y una hípocícloide
para el flanco o raíz del diente, en una rueda dentada interiormente, la cara del diente es una
hipocícloíde y el flanco una epicicloíde.
Para el trazado de estas curvas, es necesario utilizar un circulo rodante, el cual,
apoyando sin resbalar sobre una recta o sobre una circunferencia, interior o exteriormente,
engendra en cada una de ellas.
La pericicloide, curva obtenida por el rodamiento de la circunferencia primitiva de
una rueda, rodando sobre otra circunferencia de menor diámetro colocada interiormente a
ella, se utiliza también para formar la cara superior del diente de la rueda interior.
El perfil cicloidal sólo se emplea actualmente en la industria de relojería, en los
criques de cremallera y en los engranajes de linterna
Trazado de la cicloíde
La cicloíde es la curva engendrada ( figura 4 ) por un punto de una circunferencia
que rueda sin resbalar sobre una recta tangentes a una recta indefinida A A', se trazan dos
círculos generadores, con centro Cl Y C2 y se dividen éstos en partes iguales.
Cada una de las partes de la circunferencia se llevan sobre la recta A A’, hacía la
derecha y hacia la izquierda, obteniéndose los puntos 1, 2, 3 ... que corresponderán a los
puntos 1, 2, 3 ... de los círculos. Desde estos puntos se levantan perpendiculares. Se toman
alturas iguales a los radios, obteniéndose los centros O1, O2, O3, etc., desde estos puntos de
división de los círculos se trazan paralelos a A A' y haciendo centro, respectivamente, en
O1, O2, O3, ... se trazan arcos; los puntos de intersección de los arcos respectivos con las
paralelas pertenecen a las cicloides.
Figura 4: Perfil cicloídal
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos10
Los dientes de una cremallera, están limitados por una recta denominada de cabeza, y
por una recta denominada de base. La recta A A' es denominada primitiva.
Trazado de la epicícloide
La epicícloide es una curva formada por un punto del círculo generador ( figura 5 ),
cuando éste rueda sin resbalar apoyado sobre una circunferencia.
Sea la circunferencia del centro C sobre un radio C A prolongado, Se traza el círculo
generador, y se divide éste en partes iguales. Se llevan las partes sobre la circunferencia y
por cada punto 1, 2, 3, se hacen pasar radios, a partir de C.
Sobre estos radios y exteriormente, se marcan los puntos O1, O2, O3, etc., centros
sucesivos del círculo generador.
Tracemos los arcos con centro C, que pasen por cada punto 1, 2, 3,... del círculo
generador, tracemos, con centro en O1, O2, O3..... los arcos descriptos con el radio del
círculo generador.
Las intersecciones de arcos correspondientes serán puntos de la epicícloide.
Trazado de la hipocícloide
Si se repite el trazado de laepicicloíde; pero hacia el interior del círculo de base,
siguiendo la misma marcha, se tendrá la hípocícloide. El perfil de los dientes de las ruedas
cilíndricas quedará limitado por los círculos de base y de cabeza. La cabeza del diente es
una epicicloíde y el flanco una hipocicloide.
Figura 5: Perfil epicícloidal
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos11
Trazado de la pericícloide
La pericicloide es una curva formada por un punto de una circunferencia que rueda
sin resbalar sobre un círculo de base interior a ella, ambos en el mismo plano, ( Figura 6 ).
Sea O1 el centro del círculo de base de radio O1 A. Se divide en partes iguales: A, 1, 2, 3 ...
Sean O el centro y O A el radio de la circunferencia generadora tangente en A;
1" el centro de la misma cuando es tangente en 1;
2" el centro cuando es tangente en 2, etc., etc. y sobre ellos y a partir del punto
tangencial respectivo, 1, 2, 3 .... se toman partes iguales a las divisiones correspondientes
del círculo generador.
Tracemos arcos de radio 0 A y con sucesivos centros en 1”, 2”, 3”.... Sobre el círculo
generador marquemos puntos 1’, 2’, 3’. distantes de A de igual medida que los arcos Al, A2,
A3...
Con centro en O1 tracemos los arcos de radio O1, 1', O1, 2’, O1 3' ... La intersección
de estos arcos con los correspondientes ya descriptos de radio O A determinan puntos de la
pericícloide.
Círculo Generador o Rodante
El círculo generador de las curvas cíclicas, puede tener un diámetro arbitrario para
ruedas dentadas aisladas, pero no sucede así para ruedas armónicas en las que una debe
engranar con otra cualquiera del mismo juego, las que sólo difieren entre sí por el número
de dientes. En este caso, el círculo generador debe ser el mismo para todas ellas.
Se dímensiona el radio del círculo generador de las ruedas armónicas en función del
paso de los dientes.
r = 0,875 p
Figura 6: Perfil pericícloidal
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos12
Para ruedas importantes que engranan entre si sin formar parte de un juego, se
construyen como ruedas aisladas. En este caso si, adopta para la cabeza de cada rueda un
circulo generador distinto. Sí denominamos Rp, al radio de la circunferencia tangente o
primitiva de una rueda se adopta para ruedas aisladas:
r = 0,4 Rp
Si se adoptara para radio del círculo generador
r = 0.5 Rp
La hípocícloide resulta una recta coincidente con un radio de la rueda, lo que solo es
aceptable en algunos casos, pues si el número de dientes es reducido, el espesor del diente
en la raíz es menor que sobre la circunferencia primitiva y, por lo tanto, sus condiciones de
resistencia resultan afectadas justamente en la raíz, lugar que soporta el máximo esfuerzo
del diente. Sin embargo, en algunos casos singulares, se acepta para radio del círculo
superior valores hasta superiores a:
r = 0,5 Rp
Cuando r = Rp, el perfil toma una forma especial que se denomina de "punto único".
Cuando r = Rp, en ambas ruedas, el perfil es de "doble punto".
PERFILES DE EVOLVENTE
La curva evolvente de círculo, es la trayectoria generada por un punto trazador de
una cuerda inextensible, conforme ésta se desenrolla de una circunferencia (llamada
Circunferencia de Base). Nótese que la cuerda AT es normal a la evolvente y que la
distancia AT es el valor instantáneo del radio de curvatura
Figura 7: Generación de la evolvente
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos13
Trazado de la evolvente de círculo
Se divide la circunferencia de centro O en partes iguales. Por los puntos 1', 2, 3' ....
se trazan radios y tangentes. Sobre las tangentes, se rectifican los arcos.
Sea AB la tangente correspondiente al punto 16’, en consecuencia AB será la longitud de
toda la circunferencia; si dividimos AB en 16 partes; podemos resolver el trazado haciendo.
1'1” = A1, 2'2” = A2, 3'3" = A3, …etc.
La curva esta determinada por los puntos 1", 2", 3' ....., resulta trazada por un punto
de una recta que rueda sobre un círculo ( Figura 8 ), apoyando continuamente sobre él, sin
resbalar.
Características De Funcionamiento De Los Dientes De Evolvente
Como ya se ha explicado, la normal a una pareja de dientes de evolvente en
contacto es siempre tangente a las dos circunferencias de base y es llamada línea de acción.
El punto de contacto está siempre situado sobre esta línea. El segmento de ella en el cual
tiene lugar el contacto se muestra en la figura 9.
Figura 8: Perfil evolvente
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Las líneas sombreadas A y B representan una pareja de perfiles de dientes
engranados dibujados en su primero y último puntos de contacto, respectivamente. El
contacto comienza en el punto A, donde la circunferencia de cabeza de la rueda 3 corta la
línea de acción, al girar las ruedas, el punto de contacto se moverá a lo largo de la línea de
acción hasta el punto B, donde esta línea es cortada por la circunferencia de cabeza de la
rueda 2. Si el movimiento continua, los dientes se separan, la línea APB es llamada Línea
de Engrane (AB), por lo tanto el contacto queda limitado por la intersección de las dos
circunferencias de cabeza con la línea de acción. El arco CP es llamado arco de
acercamiento (ga ), y PC’, arco de alejamiento (qr ) . Los respectivos ángulos α2 y β2
son los ángulos de acercamiento y alejamiento. El arco de acción (qt = qa + qr) es la
suma de los de acercamiento y alejamiento. (idem para la rueda 3).
“ La relación entre el arco de acción y el paso se denomina Razón de Contacto (mc) y
representa el promedio de pares de dientes en contacto. “ [ (mc = q t/p) > 1,4]
La longitud de la recta de engrane, medida sobre la línea de acción y comprendida entre los
puntos de inicio y fin del contacto viene dada por
 senA - )r - r( + )r - r( = AB 0
1/22
b2
2
p2
1/22
b
2
p3 3 φ
Figura 9: Pareja de dientes en contacto
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos15
 tg d 
2
1
 = = r = bb φφρ tg
Donde A0 es la distancia entre centros. Esta ecuación es aplicable solamente cuando
las intersecciones de las circunferencias de cabeza y la línea de acción están entre los
puntos de tangencia de la línea de acción y las circunferencias de base. De esta manera la
Razón de Contacto también puede ser calculada por
Cabe hacer notar que los puntos de tangencia de la línea de acción con las
circunferencias de base respectivas F y G pueden quedar afuera o adentro de la línea de
engrane AB sobre la línea de acción.
Ventajas de los perfiles a evolvente
Los perfiles a evolvente presentan sobre las curvas cíclicas las siguientes ventajas:
• El perfil forma una curva sin puntos de inflexión.
• La transmisión del movimiento es invariable aun si la distancia axial no es
perfectamente constante.
• La dimensión del diente en la raíz es mayor que sobre la circunferencia tangente o
primitiva por consiguiente, los dientes ofrecen mayor resistencia.
• Son de más fácil construcción, pues la herramienta que los talla (fresa), penetra
gradualmente en virtud de su forma de ensanchamiento gradual, sin cambios de
curvatura bruscos, puntos de inflexión o ensanchamiento mayores en la acanaladura
del diente cerca de la raíz.
GEOMETRIA DEL DIENTE EN EVOLVENTE
La figura 10 muestra una circunferencia de base con radio rb y centro en O, de la
cual se genera la evolvente BC. El radio de curvatura instantáneo es ϕ y el radio de un
punto T de la curva es rt. La recta AT tiene la misma longitud que el arco AB, con lo cual
ϕ = rb ( θ + φ)
donde θ es el ángulo entre los radios que definen el origen de la evolvente y cualquier
punto T; φ es el ángulo entre los radios que determinan cualquier punto T en la evolvente y
el origen A en la circunferencia de base de la recta AT. Como OTA es un triángulo
rectángulo, se verifica
φ p
AB
 = 
p
AB
 = m
b
c
cos
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos16
 - tg = 
φφφ - tg = ev
resolviendo estas dos ecuaciones para eliminar el radio de curvatura ϕ se obtiene
que puede ser escrito en la forma, con lo que queda definida la función evolvente.
Con las definiciones anterioreses posible determinar las dimensiones del diente como
veremos a continuación. En la figura 11 se dibuja la parte del diente por encima de la
circunferencia de base y se da el punto A que define el espesor del diente medido sobre la
circunferencia primitiva.
Figura 10: Perfil Evolvente
Figura 11: Geometría del diente en evolvente
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos17
Si: eT = espesor circular del diente en el punto T,
φφT = ángulo de engrane correspondiente al punto T
β = ángulo definido por la mitad del espesor circular del diente
ββT = ángulo definido por la mitad del espesor del diente en el diámetro al punto T,
los espesores de los semidientes en los puntos A y T son:
de donde podemos deducir:
por lo que el espesor del diente correspondiente al punto T se obtiene despejando;
GEOMETRIA DE ENGRANES CILINDRICOS
En los engranes de talla recta o cilíndricos, los dientes son rectos y están alineados
con el eje del engrane. En los engranes helicoidales los dientes presentan inclinación a un
cierto ángulo, a este ángulo se le da el nombre de ángulo helícoidal
Si él engrane fuera muy ancho parecería que los dientes se enrollan alrededor del
disco con que se fabrica el engrane describiendo una trayectoria helicoidal, Sin embargo,
las consideraciones prácticas limitan el ancho o espesor de los dientes de manera que al
parecer, por lo regular, están apenas inclinados con respecto al eje.
Las formas de los dientes de engranes helicoidales, y por consiguiente los métodos
para analizarlos, son muy similares a los engranes de talla recta. La actividad básica
consiste en considerar el efecto del ángulo helicoidal.
El ángulo helícoidal, que se denomina (ϕ, letra griega psi), es el ángulo entre el
plano a través del eje del engrane y la tangente a la hélice que sigue a la superficie de paso
del diente.
Cuando dos engranes helicoidales funcionan juntos, uno debe tener una hélice
derecha y el otro una hélice izquierda. El aspecto de la hélice derecha es similar al de la
cuerda estándar derecha de un tomillo.
La figura 12 muestra la geometría pertinente de los dientes de engranes
helicoídales.
d = e d = e TTT ββ
d
e - 
d
e = - = ev - ev
T
T
TT ββφφ
) ev + ev - 
d
e
( d = e TTT αφ
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos18
NOMENCLATURA DE ENGRANES
Se dice que un juego de ruedas es intercambiable cuando dos ruedas cualesquiera
de dicho juego pueden ser engranadas correctamente. Para que las ruedas de evolvente
cumplan esta característica deben cumplir las siguientes condiciones: Igual paso, igual
módulo, igual ángulo de presión de generación, igual altura de pie y de cabeza e igual
espesor del diente.
 Los términos y símbolos se utilizan de conformidad con las normas o
estándares de la American Gear Manufacturers Association (AGMA).
La figura 13 nos muestra los dientes de engranes cilíndricos y nos muestra sus
diversas características ya descritas anteriormente:
A continuación se describen los más importantes
Figura 12: Engrane helicoídal
Figura 13: Características de un engrane cilíndrico
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos19
Angulo De Presión.-
El ángulo de presión es el ángulo entre la tangente a los círculos de paso y la línea
que se traza en forma normal, es decir, perpendicular a la superficie del diente del engrane.
En oacciones a la línea normal se le conoce como línea de acción.
Cuando dos dientes están entrelazados y transmitiendo potencia, la fuerza que se
transfiere de los dientes del disco impulsor a los del diente que es impulsado actúa en un
sentido a lo largo de la línea de acción. A su vez, la forma real de los dientes del engrane
depende del ángulo de presión, como se ilustra en la figura 14.
Los dientes en la figura se dibujaron de acuerdo con las proporciones para un
engrane de 20 dientes paso 5 que tiene un diámetro de paso de 4. La diferencia entre los
dientes que se ilustran se debe a los distintos ángulos de presión porque el ángulo de
presión determina el tamaño del 1círculo base. Recuerde que él circulo base es el círculo a
partir del cual se genera la curva evolvente.
La línea de acción es siempre tangente al círculo base. Por consiguiente, el tamaño
del círculo base se encuentra a partir de:
db = d0 cosφφ
Los fabricantes de engranes establecen valores estándar del ángulo de presión y los
ángulos de presión de dos engranes enlazados en acción conjunta deben ser iguales. Los
ángulos de presión actuales son 14,5º, 20º y 25º.
En realidad, se considera que la forma de diente de 14,5º es obsoleta. Si bien aún se
encuentra en el mercado, debe evitarse en diseños nuevos. Al momento, la forma de 20º es
la más común en el mercado Las ventajas y desventajas de los distintos valores de ángulo
de presión se relaciona con la resistencia de los dientes, la presencia de interferencias y la
magnitud de las fuerzas que se ejercen sobre los dientes.
Figura 14: Forma de dient6e evolvente para distintos ángulos de presión
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos20
Perfiles Normalizados
Existen varios perfiles normalizados, todos basados en el trazado de la envolvente,
los mas conocidos son:
♦ Sistema Fellows
♦ Brown Sharpe
♦ Stub
♦ Dimensiones Normalizadas Americanas( DiametralPitch )
♦ Sistema de dientes cortos (ASA)
♦ Norma AGMA ( Sistema de evolvente de altura completa)
Las diferencias entre ellos son reducidas, por lo general se requieren al ángulo φ de la
línea de acción y a la altura de la cabeza del diente.
Ahora veremos las dimensiones de los dientes de cada sistema.
Dimensiones Normalizadas Del Diente En Sistema Fellows
Ángulo φ = 14.30º
Altura del diente, (h) = 2.25 m
Espesor = 1.57 m
Addendum = m
Dedendum = 1.25 m
Diámetro primitivo = Z m
Diámetro exterior = (Z + 2) m
Juego de flanco = 0.02m
En este sistema los módulos varían de 0.25 mm entre 0.75 y6.5; de0.5 mm entre 6.5 y
8; y de 1 mm entre 8 y 20.
Dimensiones Normalizadas Del Diente En Sistema Brown Sharpe
Ángulo φ = 15º
Altura del diente, (h) = 2.166 m
Espesor = 1.57 m
Addendum = m
Dedendum = 1.166 m
Diámetro primitivo = Z m
Diámetro exterior = (Z + 2) m
Juego de flanco = 0.02m
En este sistema los módulos varían de 0.5 mm entre 6.5; de 0.5 mm entre 6.5 y 8; y
de 1 mm entre 8 y 20.
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos21
Dimensiones Normalizadas Del Diente En Sistema Stub
Ángulo φ = 20º y 22.3º
Altura del diente, (h) = 1.727 m
Espesor = 1.57 m
Addendum = 0.785 m
Dedendum = 0.972 m
Diámetro primitivo = Z m
Diámetro exterior = (Z + 1.57) m
Juego de flanco = 0.02m
Estos perfiles dan dientes de menor altura, mas robustos, mas económicos y su
funcionamiento es mas silencioso. Se utilizan en ruedas cilíndricas y cónicas los módulos
varían uno de otro, 0.25 mm y comprenden desde 1.75 hasta 6.5 mm
Norma AGMA (sistema de evolvente de altura completa)
Ángulo φ = 20º y 25º
Addendum = m
Dedendum = 1.25 m
Juego de fondo = 0.25 m
Altura de trabajo = 2 m
Altura total = 2.25 m
Diámetro de cabeza = d0 + 2m
Diámetro de pie = d0 - 2.5m
Juego de flanco = 0.02
Sistema de dientes cortos (ASA)
Ángulo φ = 20º
Addendum = 0.75 m
Dedendum = m
Juego de fondo = 0.25 m
Altura de trabajo = 1.5 m
Altura total = 1.75 m
Diámetro de cabeza = d0 + 1.5 m
Diámetro de pie = d0 - 2 m
Juego de flanco = 0.02m
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos22
TABLAS Y RECOMENDACIONES
Se prefieren los perfiles de altura completa a no ser que las dificultades de
interferencia sean severas (pocos dientes en el piñón y muchos en la rueda), para ruedas con
un pequeño número de dientes, el diámetro de base es mayor que el diámetro de pie, en este
caso la forma del diente entre el diámetro de pié y el de base se construye en forma radial.
Los módulos también están normalizados, de las tres series que se indican a
continuación, debe evitarse en lo posible el empleo de la serie III y dar preferencia a la serie
I, según norma ISO.
En las tablas siguientes se muestran los sistemas de dientes basados en el paso
diametral. Los valores recomendados del paso diametral para serie normal son: 2, 2.25,2.5,
3, 4, 6, 8, 10, 12, 16 y para serie fina son: 20, 24, 32, 40, 48, 64, 80, 120, 150, 200.
Serie de módulos para mecánica general
I II III
1 1.125
1,25 1.375
1.5 1.75
2 2.25
2.5 2.75
3 3.5 3.25
4 4.5 3.75
5 5.5
6 7 6.5
8 9
10 11
12 14
16 18
20
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos23
Sistemas de dientes en evolvente basados en el paso diametral en pulgadas.
Magnitud Paso diam. normal Paso diam. normal Paso diametral fino
Angulo de presión 20º 25º 20º
Addendem 1/P 1/P 1/P
Dedendum 1,25/P 1,25/P 1,25/P
Prof. del diente 2.25/P 2.25/P 2.0/P + 0.002"
Espesor del diente Π/2P Π/2P 1,5708/P
Juego de Fondo 0.35/P 0.35/P 0.35/P + 0.002"
Juego lateral 0.25/P 0.25/P 0.2/P + 0.002"
Z mínimo 18 12 18
Esp. circ. mínimo 0.25/P 0.25/P ***
Dimensiones Normalizadas Americanas (Diametral Pitch)
Se define como diametral pitch al numero de divisiones o pasos diametrales que
corresponden a 1” del diámetro primitivo.
d pitch (dp) = 1"/ (D / Z)
Z = numero de dientes
D = diámetro primitivo expresado en pulgadas
(D/Z) =m m = 1”/ d pitch
Numero de dientes Z = d pitch D
Circular pitch cp = Π / dp
Diámetro Primitivo D = z / dp
Diámetro exterior De = (Z + 2) / dp
Addemdum = 1 / dp
Altura total = 2.1661 dp
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos24
Sistema De Modulo Métrico
En el sistema de unidades SI, el milímetro es la unidades de longitud común, El paso
de los engranajes en el sistema métrico se basa en esta unidad y se le designa como modulo,
(m).
El modulo de un engrane se encuentra al dividir el diámetro de paso del engrane en
milímetros entre el numero de dientes es decir:
m= DG / NG = Dp / Np
Debido a que en este momento la gente está mas familiarizada con los pasos
diametrales estándar, como se ilustra en la figura 15, desarrollaremos la relación entre m y
Pd., con esto se puede afirmar que:
m =1 / Pd
No obstante, recuerde que en el paso diametral se utiliza la unidad de pulgadas y en el
módulo se recurre al milímetro (mm). En consecuencia, hay que usar el factor de
conversión de 25.4 milímetros por pulgada.
Figura 14: Tamaño de dientes en función del paso diametral
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos25
Módulos ó Coeficientes Estándar
Módulo (mm) Equivalente Pd Pd estándar más cercano
(Dientes /pulgadas)
0.3 84.667 80
0.4 63.5 64
0.5 50.8 48
0.8 31.75 32
1 25.4 24
1.25 20.32 20
1.5 16.933 16
2 12.7 12
2.5 10.16 10
3 8.466 8
4 6.35 6
5 5.08 5
6 4.233 4
10 2.54 2.5
12 2.117 2
16 1.587 1.5
20 1.27 1.25
25 1.106 1
CONSTRUCCIÓN DE LOS DIENTES DE ENGRANE
Existen muchas maneras de darle forma a los dientes de los engranajes, por
ejemplo, Fundición (fundición en moldes de arena, vaciado en cascarón, fundición en
molde permanente, fundición centrifuga), Conformado (Forja, estampado, extrusión,
metalurgia de polvos), Corte (fresas de forma, fresa madre y cortadores generadores,
tallado con copiadora).
En el fresado de forma (figura 15), el espacio entre dientes, toma la forma exacta
del cortador o fresa de forma. Es el método más utilizado en pequeños talleres. Se usa una
fresa que corresponde a la forma del espacio entre dientes para cortar un espacio a la vez,
después el engranaje se hace girar un paso circular hasta la posición siguiente. Con esta
método, teóricamente se necesita un cortador diferente para cada Número de dientes de
cada módulo y de cada ángulo de presión. En la práctica el cambio de la forma del diente
no es muy grande para ruedas de números de dientes consecutivos y se utilizan solo ocho
cortadores para cortar cualquier engranaje dentro de la gama de 12 hasta una cremallera con
una exactitud razonable. (Un juego para cada módulo y cada ángulo de presión).
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos26
 
 En el generado de engranajes, una herramienta que tiene una forma diferente a la del
perfil del diente se mueve en relación con el disco en blanco para obtener la forma
apropiada del diente. La herramienta cortadora es una cremallera que posee movimiento
alternativo. Primero esta herramienta se acerca (cortando) hacia el centro del disco en
blanco hasta que los círculos de paso sean tangentes. Luego, después de cada carrera de
corte, el disco y el cortador ruedan ligeramente y así sucesivamente ( figura 16 ).
 Cuando el disco y el cortador han girado una distancia igual al paso circular, el
cortador se regresa al punto de partida y el proceso continúa hasta que se han cortado todos
los dientes. En este caso en algunas condiciones se puede producir interferencia de
generación. (el diente queda
rebajado en la base).
Figura 15: Fresa de forma
Figura 16: Generación de dientes
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos27
El fresado con fresa madre ( figura 17 ) es un método de generar dientes muy
parecido al de cortador de cremallera. La fresa madre es un cortador cilíndrico con una o
más roscas helicoidales, semejantes a un tornillo, con lados rectos como la cremallera. La
fresa madre y el disco en blanco se hacen girar continuamente con una razón de
velocidades angulares apropiada, y entonces se alimenta lentamente la fresa madre a través
de la cara del disco en blanco, desde un extremo del diente hasta el otro. Igualmente como
en el método anterior, en algunas condiciones se puede producir interferencia de
generación.
En estos dos últimos métodos, se tiene la ventaja de requerir solo una herramienta para
tallar ruedas de cualquier número de dientes del mismo módulo.
VARIACIÓN DE LA DISTANCIA ENTRE CENTROS
En la figura 17 a) se muestra un engranaje con dientes de evolvente y ángulo de
presión 20º. Los dos lados de los dientes están en contacto, por lo tanto, la distancia entre
centros no puede acortarse. En la figura 17 b) el mismo engranaje aparece corregido, para
lo cual se ha incrementado ligeramente la distancia entre centros.
 Todos los valores correspondientes a los dientes corregidos se designan por las
mismas letras y símbolos, pero añadiendo un apóstrofe. Ahora existe juego entre los
dientes. En este caso se crean nuevas circunferencias primitivas de funcionamiento (de
mayor diámetro).
Como las circunferencias de base no varían, el ángulo de presión de funcionamiento
φ’ es mayor al de generación φ.
En este caso la relación de velocidades permanece constante, pero se produce un
acortamiento de la curva de engrane y por consiguiente una disminución del grado de
cubrimiento.
Figura 16: Fresa madre
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos28
INTERFERENCIA
Para ciertas combinaciones de números de dientes en un engrane se presenta
interferencia entre la punta del diente en el piñón y el chaflán o raíz del diente en el
engrane.
Es obvio que esto no puede tolerarse porque los engranajes no coincidirían. La
probabilidad de que se presente interferencia es mayor cuando un piñón pequeño impulsa a
un engrane grande, el peor de los casos sería, aquel en que un piñón pequeño impulsa a un
rack. Un rack es un engrane con una línea de paso recta y puede ser considerado como un
engrane con un diámetro de paso infinito.
Es responsabilidad del diseñador asegurar que no se presente interferencia en una
aplicación en particular. La forma mas certera de hacer esto es controlar el número mínimo
de dientes en el piñón conforme a los valores límite que se muestran en la tabla continua.
Con este número de dientes, o uno mayor, no habrá interferencia con una cremallera
ni con cualquier otro engrane. Aquel diseñador que pretenda utilizar un número de dientes
menor que el que se enumera puede utilizar un plano gráfico auxiliar para probar la
combinación de piñón y engrane en cuanto a interferencia. Los textos especializados en
cinética proporcionan el procedimiento que se requiere.
La parte derecha de la tabla indica el numero máximo de dientes de engranes que el
lector puede utilizar para un numero particular de dientes de piñón para evitar la presencia
de interferencia.
Figura 17: Efecto de incrementar la distancia entre centros.
a) Distancia normal - b) Distancia corregida.
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos29
Numerode dientes en el piñón para asegurar que no exista interferencia
Para un piñón que se enlaza con una
cremallera
Para un piñón de profundidad total a 20º
que se enlaza con un engrane
Forma del diente Nº mínimo de
dientes
Nº de dientes del
piñón
Nº max de dientes en
los engranes
Evolvente, Prof. Total, 14.5º 32 17 1309
Evolvente, Prof. Total, 20º 18 16 101
Evolvente, Prof. Total, 25º 12 15 45
14 26
13 16
Si utilizará la información que se ofrece en esta tabla llegará a las conclusiones
siguientes:
Si un diseñador desea estar seguro de que no habrá interferencia entre dos engranes
cualquiera, cuando utilice el sistema evolvente de profundidad máxima con 14.5º el piñón
del par de engranes no debe tener menos de 32 dientes. Para el sistema evolvente de
profundidad total a 20º, sí utiliza no menos de 18 dientes asegurara que no se genere
interferencia. Para el sistema evolvente de profundidad total a 25º, si usa no menos de 12
dientes asegurara que no exista interferencia.
En caso que el diseñador pretenda utilizar menos de 18 dientes en un piñón que tiene
dientes de profundidad total a 20º, existe un número máximo en cuanto al número de
dientes que pueden utilizarse en el engrane que embona sin que se genere interferencia.
Para 17 dientes en el piñón, se puede emplear cualquier número de dientes en el engrane
hasta 1309; un numero en extremo alto.
La mayor parte de los sistemas impulsores de engrane no utiliza mas de 20 dientes en
cualquier engrane, Sin embargo, un piñón de 17 dientes tendrá interferencia con una
cremallera que, en efecto es un engrane cuyo numero de engranes, es infinito o tiene un
diámetro de paso infinito.
v Un engrane de 16 dientes requiere de un engrane que tenga 101 o menos dientes,
lo que produce una relación de velocidad máxima de
101 /16 = 6.3
v Un piñón de 15 dientes requiere un engrane que tenga 45 dientes o menos, con los
que se obtiene una relación de velocidad máxima de
45/15 = 3
v Un piñón de 14 dientes necesita un engrane que tenga 26 dientes o menos, lo cual
da la relación de velocidad máxima de
26/14 = 1.85
v Un piñón con 13 dientes necesita de un engrane que tenga 16 o menos dientes, de
lo cual se obtiene una relación de velocidad máxima de
16/13 = 1.23
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos30
Como se hizo antes notar, se considera que el sistema de 14.5º es obsoleto. La
información de la tabla señala una de las desventajas más importantes en ese sistema es su
potencial para originar interferencia.
Sí un diseño que se propone se encuentra con interferencia, existen varios métodos
para lograr que funcione. No obstante hay que tener cuidado porque cambia la forma de
los dientes o la alineación de los engranes que embonan, lo que da origen a que el análisis
en cuanto a esfuerzos o tensión y desgaste seca poco preciso.
Con esto en mente, el diseñador puede pensar en reducir dimensiones, modificar la
cabeza en el piñón o el engrane, o modificar la distancia central
Reducir dimensiones es el proceso de cortar el material en el chaflán o raíz del diente
del engrane, lo que alivia, en consecuencia, la interferencia.
La figura 18 muestra el resultado de reducir dimensiones. Resulta evidente que este
proceso debilita los dientes; este aspecto se analiza en una sección subsecuente, la relativa a
tensiones o esfuerzos que se generan en los dientes de engranes.
El problema de la interferencia puede atenuarle incrementando la cabeza del piñón en
tanto se disminuye la cabeza del engrane. La distancia central puede permanecer igual que
su valor teórico para el número de dientes en el par. Pero los engranes resultantes no son,
desde luego, estándar, es posible hacer el piñón de un par de engranes más grande de lo
estándar, mientras el engrane conserva su tamaño estándar, si se alarga la distancia central.
Por eso es que se estudian los efectos que se consiguen al modificar el ángulo de presión, la
profundidad del diente, y la distancia entre centros. (esto generalmente por razones
económicas y de diseño).
Se dice que se produce interferencia de funcionamiento en el engrane cuando el
contacto entre dos dientes se produce fuera de la zona evolvente. No siendo superficies
conjugadas, se producen variaciones de la relación de transmisión.
Figura 18: Debilitamiento de la raíz
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos31
Para que no ocurra esta interferencia debe cumplirse que
La interferencia de funcionamiento, se produce en el proceso de tallado por
generación de las ruedas, siendo lo más desfavorable, cuando la herramienta es de tipo
cremallera.
El mínimo número de dientes que puede tener una rueda para que no se produzca
interferencia de generación, se puede deducir de la figura 19
.
El radio exterior de la cremallera no debe cortar la línea de acción AP más allá del
punto A, o sea
por lo tanto
 ) senA(+ )r( r
2
0
2
b3c3 φ≤
mZ/2 = /2d = OP 0
PN sen OP = senAP 2 ≥φφ
m = PN
α2sen/2>Z
Figura 19: Tallado por generación con cremallera
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos32
Cuando se produce el fenómeno de interferencia por generación, se produce un
vaciado en el pie del diente y por lo tanto baja su resistencia (figura 20), además que se
presenta una unión no conjugada. En la práctica se acepta un pequeño grado de
interferencia y el Zmín práctico es 5/6 de Zmín teórico.
En la tabla siguiente se muestra el mínimo número de dientes (teórico) para que no
se produzca interferencia de generación ni funcionamiento
Número mínimo de dientes para asegurar que no exista interferencia de funcionamiento
Forma del diente N� mínimo de
dientes del piñón
N� máximo de
dientes de la rueda
Evol. 14.5º 32* (26) cremallera
Evol. 25º 12* (10) cremallera
Evol. 20º 17* (14) cremallera
Evol. 20º 17 1309
Evol 20º 16 101
Evol 20º 15 45
Evol 20º 14 26
Evol 20º 13 16
Obs: “ representan el mínimo número de dientes teórico para que no exista interferencia de
generación, (entre paréntesis, en mínimo de dientes práctico)”
Figura 20: Generación del diente con interferencia
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos33
El espesor del diente, medido sobre el círculo primitivo de generación aumenta con
un desplazamiento positivo y disminuye con uno negativo.
Para las ruedas con pequeño número de dientes, un desplazamiento positivo del perfil muy
grande conduce a dientes muy puntiagudos.
Como se dijo anteriormente, las ruedas que tienen menos de 17 dientes (α =20º ) sin
desplazamiento positivo presentan perfiles con interferencia de tallado, que da como
resultado un diente debilitado en la base.
Por otro lado ruedas de gran número de dientes con un desplazamiento negativo
muy importante presentan perfiles de evolvente muy cortos, esto produce acuñamiento
desgaste y ruido.
DESPLAZAMIENTO DE PERFILES O RUEDAS CORREGIDAS
Hemos establecido que en el caso de ruedas dentadas de perfil evolvente la línea de
empuje, era una recta que coincida con la línea de engrane, y que formaba un ángulo con la
recta que une los centros de ambas ruedas.
Cuando el numero de dientes Z de una rueda, es menor que 30, se observa que los
dientes presentan en la base un ancho menor que sobre la línea primitiva. Lo que resulta un
inconveniente para la resistencia de los mismos. Además el perfil termina en punta.
Para evitar esto es necesario corregir los dientes. Esta corrección puede practicarse de
varios modos. Que son los siguientes:
1. Desplazando la circunferencia primitiva en un valor.
X = 1 / m * (h / 2 *m) - ( Z’/ Z")
2. Variando el ángulo de presiones; se toma un distinto valor sea él numero de diente del
piñón.
Según la siguiente tabla α = 90 -ϕ
Nº mínimo de dientes Z = 30 26 23 21 20 17 16 14 13 12 11 10 9 8
Angulo de presión αα = 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62
Las principales razones para utilizar ruedas corregidas son: Eliminar interferencia
de tallado, prevenir interferencia de funcionamiento, obtener grado de cubrimiento
razonable, hacer variación de la distancia entre centros, disminuir el grado de
deslizamiento entre un parde dientes y mejorar la distribución de presiones en los
dientes.
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos34
La figura 20 esquematiza la generación de una rueda de Z dientes a partir de una
cremallera generatriz. El dentado será “normal” si, durante su generación la línea
primitiva de generación de la cremallera, coincide con la línea de referencia de ésta.
El dentado se llamará “corregido” si durante su generación la línea de generación
de la cremallera es diferente de la línea de referencia de la misma.
La condición para que los dos elementos rueden sin deslizar conduce a la relación
siguiente.
p (paso del dentado sobre el círculo primitivo de generación) = p0 (paso de la cremallera)
y el diámetro primitivo de generación de la rueda valdrá entonces
La línea de acción de generación es normal al perfil de la cremallera y tangente a la
circunferencia base de la rueda tallada (α = α0), entonces
Estas relaciones indican que ellas solo dependen del módulo y el ángulo de presión
de la cremallera y no de la posición de ésta con relación al centro de la rueda (son
independientes si el dentado es normal o corregido).
DENTADO EXTERIOR CORREGIDO
La corrección se llama positiva si la línea de referencia es exterior a la
circunferencia primitiva de generación y negativa si la línea de referencia corta la
circunferencia primitiva de generación.
El desplazamiento de perfil es la distancia entre la línea de referencia y la línea
primitiva de generación. El coeficiente de corrección o simplemente corrección, es el
cuociente entre el desplazamiento del perfil y el módulo de la cremallera generatriz.
De la definición de circunferencia primitiva de generación que rueda sin deslizar
sobre la línea primitiva de generación de la cremallera, obtenemos que el espesor “s” del
diente sobre la circunferencia primitiva de generación es igual al intervalo de la cremallera
sobre la línea primitiva de generación.
m Z= 
p Z
 = d 00 π
α00b m Z= d cos
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos35
Considerando a “x” con su valor algebraico (+ o -); tenemos:
además:
La siguiente tabla da las características geométricas de un dentado recto corregido,
ver figura 20
Addendum = m0 ( 1 + x )
Dedendum = m0 (1.25 - x )
Altura del diente = 2.25 m0
Diámetro primitivo de generación d = Z m0
Diámetro de base db = Z m0 cos α0
Diámetro de cabeza dc = m0 (z + 2 + 2x)
Espesor sobre cir. prim. de generación s = m0 (Π/2 + 2x tg α0)
ENGRANE DE DOS RUEDAS
Hemos definido las características geométricas de una rueda tomada aisladamente y
solo con el simple conocimiento de las características de la cremallera generatriz.
Para definir los círculos primitivos de funcionamiento en un engrane constituido por un
piñón y una rueda conjugados es necesario conocer además la distancia entre los ejes de
funcionamiento. (se utilizará el apóstrofe ( ´ ) para indicar que se trata de magnitudes de
funcionamiento diferentes a las de generación)
Como los círculos primitivos de funcionamiento son círculos que ruedan sin deslizar,
entonces sus diámetros d’01 y d’02 quedan definidos por la distancia entre ejes normal, A0,
se define como la suma de los radios primitivos de generación de las ruedas dentadas que
engranan.
α
π
00
0 tg m 2x + 
2
m = s
p = m = e + spero e; s 00π≠
Z
Z = = 
d
d
2
1
1
2
02
01
ω
ω
m 
2
)Z + Z( = A 0
21
0
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos36
α
α
′′′′ 
 
 A = A = r + r 00021
cos
cos
α
α
α ′′
′
 
 
 r = 
 
r = r 001
b1
10
cos
cos
cos
α
α
α ′′′ 
 
 r = 
 
r = r 002
b2
20
cos
cos
cos
α
α
′
′ ′′
cos
cos 0
0
2
20
1
10 m = 
Z
d = 
Z
d = m
Considerando ahora un engrane con una distancia entre centros A’0 diferente a la
distancia entre ajes normal, (figura 21) se deduce:
Por lo tanto el módulo de funcionamiento queda definido por:
Dos posibilidades de funcionamiento tienes los engranajes corregidos: Engranajes con
corregido nulo y engranajes con corregido no-nulo
Figura 21: Engrane entre dos ruedas
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos37
m = ) tg x 2 + 
2
( m + ) tg x 2 + 
2
( m = e + e 002001021 πα
π
α
π
0 x + x 21 ≠
) ev + ev - 
d
e( d = e 0
01
1
101 αα′′′
CORREGIDO NULO: ( x1 + x2 = 0 )
Estos engranajes poseen la misma distancia entre centros y ángulo de presión de
funcionamiento que el dentado normal correspondiente.
La figura 22 representa un engrane con dentado normal (lado izquierdo) y un
engrane con dentado corregido nulo (lado derecho). La distancia entre centros es común y
vale A0.
En este caso, las circunferencias primitivas de funcionamiento se confunden con las
circunferencias primitivas de generación. La condición para que la distancia entre centros
de funcionamiento coincida con la normal “A0” es que la suma de los espesores de las dos
ruedas sobre las circunferencias de generación sea igual al paso de la cremallera generatriz.
CORREGIDO NO-NULO: ( x1 + x2 = 0 ) Dentado corregido con variación de distancia
entre centros.
Cuando se generan dentados de dos ruedas con desplazamientos cualesquiera con
una cremallera de referencia común, resulta un juego entre los dientes si operan a la
distancia entre centros normal, como se ve en la figura siguiente.
Para que el engrane quede sin juego, es necesario variar la distancia entre centros
(respecto a la distancia entre centros normal) en una cantidad “m0 y” menor que la suma
delos desplazamientos “m0 x1 + m0 x2". De esta manera, el engrane con una nueva
distancia entre centros A’0 ≠≠ A0.se realiza bajo un ángulo de presión de funcionamiento αα’0
≠≠ αα0.
La condición para que el engrane sea posible es que la suma de los espesores e’1 +
e’2 (medidos en la circunferencia primitiva de funcionamiento) de los dientes del piñón y la
rueda sean igual al paso.
Los espesores de funcionamiento e’1 y e’2 en función de e1 y e2 se determinan de la
siguiente manera
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos38
) ev + ev - 
d
e( d = e 0
02
2
202 αα′′′
Z + Z
x + x tg 2 + ev = ev
21
21
00 ααα′
reemplazando e1, e2, d1 y d2 y ordenando términos:
Esta ecuación permite determinar el ángulo de presión de funcionamiento y luego la
distancia entre centros A’0.
Figura 22: Engrane entre dos ruedas corregidas ( x1 + x2 ≠≠ 0 )
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos39
2 1, = i k); 2- x 2 + 2 + Z( m = d ii0ai
k) - (2.25 m = h = diente del altura 0
El paso desde la distancia entre centros A0 + m0 ( x1 + x2 ) a la de funcionamiento
A’0 tiene como consecuencia la reducción del espacio libre del fondo de los dientes (valor
normal 0.25 m0) en la cantidad k m0 (k = x1 + x2 - y). Si se quiere conservar el espacio
libre normal de fondo de diente deberá recortarse esta cantidad k m0 a los addendums de
diente en la rueda y el piñón; obteniéndose:
La figura siguiente muestra varias ruedas dentadas y sus engrane para distintas condiciones
de deslizamiento de perfiles
A continuación se muestran los dientes de dos engranes cuando su dentado sufre
corrección, tanto positiva como negativa
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos40
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos41
Figura 23: Ruedas con distintos desplazamiento de perfiles
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos42
CINEMA TICA DE LOS ENGRANAJES DE DIENTES RECTOS
Los dientes de los engranajes ruedan y deslizan el uno sobre el otro. El
deslizamiento relativo ocasiona pérdida de potencia por rozamiento y un apreciable
desgaste en aplicaciones a grandes cargas y velocidades.
Este deslizamiento relativo queda evidenciado en la Figura 24. En el punto A de la línea de
acción son los punto a1 y a2 los que están en contacto, en el punto C son los puntos c1 y
c2,, y así sucesivamente.
Los puntos ai, ci, di, fi, gi, y bi del perfil Pi, correspondientes a los puntos A, C, ...B
de la línea de acción son obtenidos abatiendo estos últimos puntos sobre el perfil Pi, por
arcos de círculo de centro Oi, (i=1,2).
Los arcos a1 c1 y a2 c2, se corresponden durante el tiempo necesario para el
desplazamiento del punto de contacto desde Aa C. Se ve que como a2 c2,> a1 c1 ,se
producirá un deslizamiento dado por:
g = deslizamiento relativo = a2 c2 - a1 c1
La velocidad de deslizamiento relativo vg será entonces tangente a los perfiles
conjugados de los dientes en cualquier punto de contacto M y puede ser determinada de
una manera simple.
En la Figura 25, los centros de curvatura son los puntos de T1 y T2, puntos donde
la línea de acción es tangente a los círculos de base; podemos así, reemplazar los dos
perfiles de involuta, en las vecindades de un punto de contacto cualquiera M, por dos arcos
de círculo de radio T1M y T2M respectivamente.
Figura 24: Deslizamiento relativo
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos43
PMvvv rrgM )( 2121 ωω +=−=
Por lo tanto la velocidad tangencial a los perfiles del punto M del perfil P1 y P2, que
llamaremos velocidades de rodamiento vr valdrán respectivamente.
MTvr 111 ω= MTvr 222 ω=
La velocidad de deslizamiento en cualquier punto M será igual a
Se puede observar que la velocidad de deslizamiento es nula en el punto primitivo P
y aumenta a medida que se aleja el contacto de dicho punto. El sentido del deslizamiento
cambia de signo al pasar el contacto de un lado al otro del punto P y por tanto cambia
también el sentido de la fuerza de rozamiento.
Deslizamiento específico:
El deslizamiento o la velocidad de deslizamiento no son suficientes para
caracterizar las condiciones de desgaste de los perfiles de los dientes, ya que, aunque el
deslizamiento relativo es el mismo en ambos perfiles, por ejemplo a2 c2 - a1 c1, este
deslizamiento está repartido sobre un arco a1 c1, bastante más importante que a2 c2, es decir,
el deslizamiento tendrá una influencia más nefasta para el dentado de la rueda que para el
piñón.
Figura 25: Velocidades de rodamiento y Deslizamiento
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos44
Por esta razón es que es importante definir una magnitud llamada el deslizamiento
específico como:
 
c a
c a - c a g rueda la de específico ntoDeslizamie
22
2211
s=
 
c a
c a - c a g rueda la de específico ntoDeslizamie
11
2211
s=
Cuando ac es tomado pequeño se puede definir el deslizamiento específico instantáneo en
cualquier
Punto P como el cuociente entre la velocidad de deslizamiento y de rodamiento.
Para el Piñón:
1
21 )(
r
rr
s v
vvg
−
=
Para la rueda:
2
21 )(
r
rr
s v
vv
g
−
=
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos45
TRENES DE ENGRANAJES
Introducción Al Estudio De Los Trenes De Engranajes
Normalmente, la transmisión del movimiento (y potencia) entre dos árboles no puede
resolverse con un par de ruedas dentadas engranadas. En efecto, si la posición de los ejes
de las ruedas está dada y se encuentran muy separados, resulta antieconómico e inviable la
creación de ruedas dentadas enormes. De la misma forma, si la relación de velocidades
necesaria es muy elevada, dos ruedas no resuelven el problema debido. no sólo a los
tamaños tan dispares entre ambas que ínviabilizan su fabricación e instalación, sino
también a problemas de interferencia y otros.
Por otro lado, la necesidad de emplear ruedas normalizadas en el mercado hace
imposible la mayor parte de las veces el empleo de un par de ruedas para lograr una
relación de velocidades dada.
Por todo los motivo anteriores se hace preciso sacrificar la simplicidad de un par de
engranajes y usar varios pares. Conectados en serie dando lusar a un tren de engranajes.
A continuación de dará un ejemplo para entender mejor lo dicho anteriormente.
Ejemplo Nº1
El tren de engranajes de la siguiente figura, consta de cuatro árboles y seis ruedas: en los
árboles e2 y e7 están casadas una sola rueda, mientras que en los e34, y e56 están caladas dos
ruedas.
El árbol de entrada (e2) recibe el movimiento desde el exterior (velocidad y par) y lo
transmite a la rueda (2) al que está calado. La rueda (2) transmite el movimiento a la (3),
con la cual engrana. La velocidad de rotación de esta última será diferente, dependiendo de
la relación de transmisión de ambas;
3
2
23 * Z
ZWW =
Las ruedas (3) y (4) están caladas en el mismo árbol (e34), por lo cual giran a la misma
velocidad. La rueda (4) engrana con la (5) a la cual hace girar con una velocidad que
dependerá de la relación de transmisión entre ambas;
4
5
45 * Z
ZWW =
La rueda (6) gira a igual velocidad que la (5) por estar caladas al mismo árbol (e56).
Finalmente. la rueda (6) engrana con la (7), calada al árbol de salida (e7), el cual girará con
la velocidad
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos46
6
7
67 * Z
ZWW =
OBS: En todos los trenes de engranajes, a cada árbol pueden ir caladas una o dos ruedas.
Las ruedas que reciben el movimiento por su periferia (dientes) y lo transmiten por el
árbol, se llaman ruedas conducidas; las que reciben el movimiento por el árbol y lo
transmiten por la periferia se llaman conductoras. En el ejemplo Nº1, las ruedas 2, 4 y 6
son conductoras y la 3, 5 y 9 conducidas.
La ruedas que reciben el movimiento por la periferia (dientes) y lo transmiten al mismo
tiempo por su periferia. se llaman ruedas intermedias o ruedas parásitas.
Figura 26: Ejemplo Nº1
Figura 27: Tren con eje fijo y rueda parásita, (3)
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos47
NOTA Nº 1
En los trenes de engranajes los árboles de todas las ruedas pueden ir montados sobre
unos cojinetes fijos al bastidor, o ir montados en unos cojinetes fijos a un brazo que al
mismo tiempo se mueve.
En el primer caso se tienen los trenes de engranajes ordinarios o de ejes fijos y en el
secundo caso los trenes de engranajes epicicloidales o de ejes móviles.
En la figura 27 se muestra un tren de ejes fijos, mientras que un tren de ejes móviles puede
ser el representado en la Figura 28. En él, el brazo y la rueda 2 reciben el movimiento
independientemente.
El movimiento de la rueda 5 es el resultado de 2W y bW
Como resumen pueden señalarse como finalidades de la creación de un tren de
engranajes las siguientes:
• Variar el sentido de la marcha entre dos árboles.
• Hacer posible la transmisión entre dos árboles muy distantes.
• Obtener una relación de velocidades dada entre dos árboles. bien:
Figura 28: Tren con brazo o eje móvil
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos48
1) Porque no se disponga de las ruedas precisas.
2) Porque la relación de velocidades deseada sea muy grande.
3) Porque la relación de velocidades sea una cantidad inconmensurable,
( ∏,2 ). y el error que se comete con sólo dos ruedas es muy grande.
En los dos primeros puntos y en el apartado 1) del tercero, los trenes de engranajes de
ejes fijos son los más empleados. En el apartado 2) del tercer punto, o sea, cuando se
desean relaciones de transmisión muy grandes con el empleo de pocas ruedas los trenes
epicicloidales son más indicados.
Aparte de todo lo anterior los trenes de engranajes, tanto de ejes fijos, como de ejes
móviles. Se emplean como vareadores de velocidad (cambios de marchas), como se verá al
final de este tema.
TRENES DE ENGRANAJES DE EJES FIJOS
Generalidades.- Como se ha dicho son los que tienen todos los ejes de las ruedas fijos al
bastidor del mecanismo.
En la figura 29 las ruedas 1, 3 y 7 son conductoras y las 2, 6 y 8 conducidas. Las ruedas
4 y 5 son parásitas.
Cuando los ejes primero y último están alineados, como se ve en la figura 30, se ha de
verificar la igualdad de la distancia entre centros.
5432 DDDD +=+
Figura 29: Tren de engranajes con varios ejes fijos
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos49
En el caso de que todas las ruedas tengan el mismo paso se verificará:
5432 ZZZZ +=+
Los trenes de engranajes de ejes fijos se pueden construir con cualquier par de ruedas
dentadas, así como con combinaciones de tipos diferentes. De esta manera las posiciones
de los ejes primero y último no tienen por qué ser paralelos.
También, con el objeto de ganar espacio, los ejes de todas las ruedas no se colocan en el
mismo plano, sino en planos paralelos, como se ve en la figura 30. En la figura 31 se
presentan diferentes ejemplos de lo expuesto..
Estudio Cinemática De Los Trenes De Ejes Fijos
Se llama relación de transmisión de un tren de engranajes (o razón de velocidades
total). al cociente entre la velocidad angular de la última rueda y de la primera (o del árbol
de salida respecto al de entrada):
Figura 30: Tren con ejes paralelos
Figura 31: Distintas posiciones de los ejes
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos50
e
s
W
Wj =
En el tren de engranaje de la figura 32 la relación de transmisión será:
2
7
W
Wj =
Las relacionas parciales de transmisión entre cada dos ruedas serán:
2
3
23 W
Wj = 
4
5
45 W
Wj = 
6
7
67 W
Wj =
La relación entre el número de dientes de cada rueda y la relación total de transmisión
puede deducirse fácilmente.
En efecto. y siguiendo la figura anterior, puede deducirse:
Entre las ruedas 2 y 3:
3
2
2
3
Z
Z
W
W =
Por ir las ruedas 3 y 4 caladas en el mismo árbol: 43 WW =
Entre las ruedas 4 y 5:
5
4
4
5
Z
Z
W
W =
Por ir las ruedas 5 y 6 caladas en el mismo árbol: 65 WW =
Figura 32: Relación de transmisión en trenes de engranajes con ejes fijos
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos51
Entre las ruedas 6 y 7: 
7
6
6
7
Z
Z
W
W =
Operando todas las relaciones anteriores, se tendrá:
753
642
2
7
**
**
ZZZ
ZZZ
W
W =
Al segundo término de esta ecuación se le denomina razón de dientes.
conducidasdientesdeNproducto
sconductoradientesdeNproducto
dr
..º..
..º..
.. =
En consecuencia, en un tren de engranajes de este tipo, la relación de transmisión es
igual a la razón de dientes (en módulo y signo):
drj .=
El sentido de rotación puede obtenerse fácilmente dibujando unas flechas sobre el
esquema del mecanismo, como se ve en la figura 32. En ella, 2W y 7W giran en sentidos
contrarios, con lo cual la relación de transmisión (y la razón de dientes) es negativa.
En términos generales la relación de transmisión no es más que el producto de las
relaciones parciales de transmisión de los diferentes engranajes que constituyan el tren.
....** 674523 jjjj =
ijjj ∏=
NOTA Nº 2
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos52
T
ji
T
ij FF =
Estudio Dinámico De Los Trenes De Ejes Fijos
Transmisión de esfuerzos.- La aplicación de todos los conceptos vistos para un par de
ruedas dentadas pueden ser aplicados a un tren de engranajes, pero teniendo presente que
éste está formado por una serie de ruedas engranadas dos a dos.
Para el cálculo de la transmisión de esfuerzos sólo es preciso tener en cuenta
1) Si no existen rozamientos, la potencia en el árbol de entrada se transmite
íntegramente al de salida
2) Entre cada dos ruedas engranadas, las fuerzas radial y tangencial son las mismas
R
ji
R
ij FF =
En la figura 33, e2 es el árbol de entrada sometido al par T2 y e7 el de salida, la
conservación de la potencia implica:
77674454332322 **............***** RWFRWFRWFWT
TTT ==
En el conjunto de las ruedas 3 y 4 se tiene
Como 45432343 ** RFRFWW
TT ==>=
Figura 33: Transmisión de esfuerzos en trenes de engranajes
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos53
Y como 43 RR ≠ queda finalmente 
TT FF 5423 ≠
es decir, las fuerzas tangenciales sobre las dos ruedas caladas en cada árbol son
distintas (y con ello las fuerzas radiales). El desequilibrio de todas estas fuerzas será
compensado por las reacciones del bastidor.
NOTA Nº 3
TRENES DE ENGRANAJES DE EJES MÓVILES
Generalidades.- Como se ha dicho, trenes de engranajes de ejes móviles o epicieloidales
son aquellos en los que los centros de todas las ruedas no están inmóviles, sin que alguno
de ellos puedan girar alrededor de los ejes de las otras.
Se llaman ruedas planetas a las que se mueven alrededor de ejes fijos. Y ruedas
satélites a las que tienen ejes móviles, que a su vez giran alrededor de las ruedas planetas.
Estas ruedas satélites van siempre unidas a un brazo, el cual gira sobre un eje fijo (también
pueden llamarse estas ruedas solares y planetas, respectivamente. aunque es una
nomenclatura menos usada.)
NOTA Nº4
Tipos De Trenes Epicicioldales o ejes móviles
1) Trenes epicicloidales simples:
Son los que tienen los árboles de entrada y salida alineados.
Estos trenes, bien el árbol de entrada, o el de salida, debe girar con el brazo (en
efecto, si el brazo no se moviera, se tendría un tren de ejes fijos). Al mismo tiempo uno de
los engranajes (bien el engranaje conductor o el conducido) debe estar fijo.
Trenes de engranaje epicicloidales simples sólo hay dos tipos:
1.- El tren de tres ruedas, figura 34 y 35
2.- El de cuatro ruedas, figura 36
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos54
Tanto uno como otro puede ser construido con cualquiera de los tipos de dientes vistos,
en todas ellas, la corona (planeta con dentado interior) es la rueda 2, el satélite la rueda 3 y
el planeta la 4. El brazo el b.
Por razones constructivas, siempre se hace pasar el brazo móvil por el interior de la
rueda que se inmoviliza, teniendo presente que la rueda inmovilizada puede ser tanto la
corona como el planeta.
Figura 34: Tren de tres ruedas con ejes paralelos
Figura 35: Tren de tres ruedas con ejes no paralelos
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos55
 2) Trenes epicicloidales De Balancín:
 En ellos los ejes de los árboles de entrada y de salida no coinciden. El movimiento de
la primera rueda conductora y del brazo se obtienen separadamente dando como resultado
el movimiento de la última rueda conducida, esto se muestra en la siguiente figura.
Figura 36: Tren de cuatro ruedas con ejes paralelos y no paralelos
Figura 37: Tren de Balancín
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos56
 3) Trenes epicicloidales diferenciales:
Se obtienen a partir de los trenes simples, pero sin fijar ninguna de las ruedas, la
figura 38 muestra dos combinaciones distintas de diferenciales.
Es decir habrá dos ejes de entrada y uno de salida o viceversa. (Con estos trenes se
consigue recoger en un solo eje el efecto del movimiento en otros dos ejes, o distribuir el
movimiento de un eje en otros dos).
4) Trenes epicieloidales compuestos:
Están formados por la combinación de dos trenes epicicloidales simples como se ve en
la figura 39. Este tren consta del tren simple2, 3, 4, 5 y del 5, 4, 6.
Figura 37: Tren de engranajes diferencial
Figura 39: Tren de engranajes compuestos
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos57
Aplicaciones De Estos Trenes
Uno de los usos más importante de estos trenes es como mecanismo de reducción de
velocidades (o multiplicación), ya que con ellos pueden obtenerse fuertes multiplicaciones
o reducciones con poco número de ruedas y similares tamaños para todas ellas, como más
adelante se tendrá ocasión de comprobar. También pueden usarse para lograr relaciones de
transmisión exactas, difíciles de lograr con trenes ordinarios. Por otro lado, son muy útiles
para repartir una acción motriz entre dos árboles (diferencial de automóvil) que giran a
diferente velocidad, o para concentrar dos acciones motrices en un solo árbol.
Finalmente, y dado que en los trenes simples el engranaje conductor o el conducido debe
quedar fijo, y según se fije uno u otro se obtiene una diferente relación de transmisión, estos
trenes son empleados en las cajas de cambio de velocidad, sobre todo en las automáticas
para automóviles, ya que la acción de frenar una u otra rueda puede lograrse por la
aplicación de frenos o embragues movidos automáticamente en función de los
requerimientos de la máquina.
Estudio Cinemática De Los Trenes De Ejes Móviles
En el mecanismo de la figura 40, se va a ser la relación existente entre la velocidad
angular el brazo de arrastre la velocidad angular de la primera rueda y de la última.
Como se vio en el análisis cinemática de mecanismos, en el satélite 3 puede escribirse:
)3()3()3( OPPO VVV
→→→
+=
Figura 40: Relación de transmisión en trenes con ejes móviles
)3()3()3( POOP VVV
→→→
−=
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos58
Por otro lado, también ha de cumplirse:
22)2()3( *rwVV PP
→
→→
==
Dado que son vectores paralelos puede escribirse:)(*** 322233 rrwrwrw B ++−=
Operando: )(*)(* 2233 wwrwwr BB −=−
3
2
3
2
2
3
Z
Z
r
r
ww
ww
b
b ==
−
−
Multiplicando ambos miembros por (-1):
3
2
2
3
Z
Z
ww
ww
b
b −=
−
−
El segundo término no es más que la razón de dientes de este tren, calculada como si
fuera de ejes fijos.
 r.d. =
3
2
Z
Z−
Puede finalmente escribirse:
 r.d. = 
2
3
ww
ww
b
b
−
−−
que es la fórmula de Wallis, que da la relación entre la velocidad angular absoluta de la
última rueda del tren y la primera.
NOTA Nº 5
)(* 32)3( rrwV BOP +=
→
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos59
NOTA Nº 6
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos60
RESUMEN
En un tren de ejes fijos, la relación de transmisión pn WW / o entradasalida WW / , era igual a la
razón de dientes r.d.
e
s
W
WdrJ == ..
 En un tren epicicloidal, la relación de transmisión 
e
s
W
WdrJ == .. es diferente de la
razón de dientes, tanto en modulo como en signo. Lo que es igual a la r.d. es loa relación de
transmisión relativa
be
bs
WW
WW
/
/
.
Por supuesto, la sW puede ser por el brazo o por cualquiera de las ruedas. Por tanto, la j
puede variar, para un mismo tren (según sea la rueda inmovilizada).
A continuación se darán una serie de ejemplos, que relacionan lo descrito anteriormente.
Ejemplo Nº2
Calcular la velocidad de la rueda 3, como se muestra en la figura sí:
W2=200 r.p.m. : Wb=100 r.p.m. : W3=?
850
24
60
)100(200
)100(
3
3 −=⇒−=
−−
−−
W
W
r.p.m.
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos61
Ejemplo Nº3
Calcular la velocidad del brazo b, como se muestra en la figura sí:
W2=0 r.p.m. : W4 =200 r.p.m. : Wb=?
1440
120
80
)(3600
)(0
=⇒−=
−
−
b
b
b W
W
W
r.p.m.
Ejemplo Nº4
Calcular la velocidad de la rueda 5, como se muestra en la figura sí:
W2=0 r.p.m. : Wb =200 R.p.m. : W5 =?
2415.0
8281
8280
91
92
*
91
90
)2000(0
)2000(5 =⇒=−−=
−
−
bW
W
 r.p.m.
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos62
Ejemplo Nº5
Calcular la velocidad de la rueda 9, como se muestra en la figura sí:
W2=0 r.p.m. : Wb1 =2000 r.p.m. : W9 =?
Y del ejemplo anterior W5=0.2415 r.p.m.
 00002916.0
8281
8280
)2415.0(0
)2415.0(
9
9 =⇒=
−
−
W
W
 r.p.m.
OBS: Esto equivale a una revolución cada 23.8 días
Ejemplo Nº6
Calcular la velocidad de la rueda 10 perteneciente al tren diferencial , como se muestra en
la figura sí:
W2= 300 r.p.m. : W6 =100 r.p.m. : W10 =?
Las velocidades a la entrada del tren diferencial seran W3 = W4 = - 450 r.p.m., mientras que
W7= W8 = - 150 r.p.m..
La razón de dientes en el tren epicicloidal 4-5-8 vale –1, por ser 5 una rueda parasita
y las 4 y 8 iguales en numero de dientes
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos63
Por lo tanto:
2251
)(450
)(150
1
)(
)(
4
8 −=⇒−=
−−
−−
⇒−=
−
−
b
b
b
b
b W
W
W
WW
WW
r.p.m.
En el tren epicicloidal de salida se tiene
450
20
40
*225 =





−−=bW r.p.m.
Ejemplo Nº6
Calcular la velocidad de la rueda 5 perteneciente al tren epicicloidal compuesto , como se
muestra en la figura sí:
W2= 2000 r.p.m. : Wb =0 r.p.m. : W5 =?
En el tren 2-3-4-5 
91
6
70*65
15*20
2000
5 ==
−
−
b
b
W
WW
Despejando de aquí 
85
12000*91 5 −=
W
Wb
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos64
En el tren 6-4-5 
70
100
0
5 −=
−
−
b
b
W
WW
Despejando de aquí 5*170
70 WWb =
Despejando de las ecuaciones anteriores obtenemos:
3.214=bW r.p.m.
IMPORTANTE.- Se ha detener cuidado con el valor de la razón de dientes en los trenes
de ruedas cónicas, pues aparentemente se tiene tendencia a tratarlos como los de ruedas
cilíndricas, y esto puede inducir a error.
En la figura 41 se ha dibujado un tren cónico de tres ruedas con los árboles primero
y último paralelos, y encima un tren normal, aparentemente equivalente.
Obsérvese que el tren cónico tiene una razón de dientes negativa, y el otro tren
positiva, siendo su valor absoluto igual en ambas.
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos65
APLICACIONES DE LOS TRENES DE ENGRANAJES
Puente Trasero En Automóviles, Mecanismo Diferencial
Cuando un automóvil circula por una curva, las posiciones de las ruedas, desde el
punto de vista cinemática, son las mostradas en la figura 42. Los ejes de giro de las ruedas
motrices R1 y R2 y de las ruedas directrices R3y R4 han de pasar por el punto O, centro de la
curva descrita.
Dado que la rueda R1 describe una trayectoria mayor que la rueda R2,
la primera deberá girar más rápido que la segunda. (Si ambas giraran a igual velocidad, una
de ellas tendría forzosamente que patinar sobre el pavimento). La relación entre las
velocidades de ambas ruedas, en una curva de radio medio r, vendrá dada por:
r
ar
Ww
ar
a
r
W
W
RR
R
R
*2
*2
*
2
2
12
2
1 −=⇒⇒
−
+
=
Para conseguir que la potencia de¡ motor se transmita a las dos ruedas motrices, y éstas
puedan girar a diferentes velocidades en las curvas, se emplea el mecanismo diferencial de
la figura 43. Consta de piñón de ataque 6 (unido al árbol de salida de la caja de cambios),
la corona 5 que soporta los platos portasatélites 5', los satélites 3 y 4 (que giran libremente
en el plato soporte). y los planetas 1 y 2, unidos a las ruedas R,1 y R2 respectivamente.
Figura 41: Razón de dientes entre ruedas cónicas y cilíndricas
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos66
Cuando el vehículo marcha en línea recta, WR1 =WR2, y además, los pares sobre ambas
ruedas también son iguales NR1 =NR2. La corona 5, y los platos 5' giran, arrastrando a los
satélites 3 y 4. los cuales no girarán sobre sus ejes, (W3=W4=0)
El resultado es que los planetas 1 y 2, o sea, las ruedas R1 y R2 giran a la misma
velocidad que la corona 5.
En una curva. la rueda interior debe girar mas lenta, con la relación expresada
anteriormente. Para que ello ocurra los satélites 3 y 4 girarán sobre sus ejes (W3≠0 y
W4≠0). Como los pares no varían, la potencia de entrada se reparte entre las dos ruedas,
proporcionalmente a las velocidades de éstas. Si una de las ruedas se inmoviliza (por
ejemplo, WR = 0), la otra girará a doble velocidad que la corona, y la potencia se transmite
en su totalidad a la rueda móvil.
Figura 42: Gráfica descrita por un automóvil en curva
Figura 43: Tren diferencial de
un automóvil
Apuntes de Engranajes Sistemas Mecánicos67
BIBLIOGRAFIA:
* Diseño de elementos de máquinas - Robert L. Mott - PHH Prentice Hall 1995 (segunda
edición).
* Diseño en Ingeniería Mecánica - Joseph E. Shigley, Charles R. Mischke - Mc Graw Hill
1990 (quinta edición).
* Diseño de elementos de máquinas - Virgil M. Faires - LIMUSA Noriega Editores - 1997
(sexta edición).
* Teoría de máquinas y mecanismos - Joseph E. Shigley, John J. Uicker - Mc Graw Hill
1990 (quinta edición).
* Tratado teórico y práctico de elementos de máquinas - G. Niemmann - Editorial Labor
S.A. 1973.
* Análisis cinemático de mecanismos - Joseph E. Shigley - Mc Graw Hill 1970 (segunda
edición).
* Mecánica de Maquinas - C.W. Ham, E. J. Crane, W. L. Rogers - Mc Graw Hill 1964
(cuarta edición).
* Manual práctico de engranajes - G. Henriot - Ediciones Técnicas Marcombo S.A.1967
* Traité théorique et practique des engrenages - G. Henriot, R. Schweich - Editorial Dunod
1960.
* Curso de engranajes