analisis_sistemas_dinamicos_2009 _cap_4

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Capítulo 4 
 
 
Vibraciones de sistemas continuos 
 
 
Hasta ahora hemos visto sistemas discretos, donde la masa, rigidez y amortiguamiento 
estaban concentrados en algunos elementos. Ahora consideremos el caso donde estas 
propiedades están distribuidas continuamente a lo largo del sistema. 
 
 
1. Vibraciones longitudinales libres en una barra. Cuerda vibrando transversalmente 
 
 
 Supongamos una barra fija longitudinalmente en ambos extremos, como se muestra en figura 
4.1, a la cual se le da una perturbación axial inicial generando vibraciones axiales en la viga. 
Se quiere determinar la ecuación del movimiento de la barra en vibraciones libres axiales. 
 
Consideremos que la barra es homogénea, isotrópica y que sigue la Ley de Hooke. 
Llamemos: 
 
( ) =txu , Desplazamiento axial de la sección transversal en x respecto a su posición 
de equilibrio 
 
 
 
FIG. 4.1. Viga vibrando axialmente 
 
Suponemos que la sección transversal de la viga permanece plana durante las vibraciones 
(propagación de ondas planas). Esto es efectivo si las dimensiones de la sección transversal 
son pequeñas respecto a su largo. 
 
La ecuación del movimiento para el elemento infinitesimal, dx, es: 
 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 2
( )
2
2 ,
t
txuAdxNdx
x
NN
xmFx
∂
∂
=−
∂
∂
+
=∑
ρ
&&
 (4-1) 
 
Utilizando la ley de Hooke se obtiene: 
 
2
2 ),(
),(
x
txuEA
x
N
x
txuEANE
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=⇒= εσ
 (4-2) 
 
Reemplazando ecuación (4-2) en (4-1), se obtiene: 
 
 
Ecuación de la onda en una dirección: 
 
( )
2
2
2
2 ,1),(
t
txu
cx
txu
∂
∂
=
∂
∂ (4-3) 
 
 c = ρ/Ε = Velocidad de propagación de la onda longitudinal o del sonido 
en el material. 
 
 
 
Cuerda vibrando transversalmente 
 
 
Supongamos una cuerda fija en sus extremos, a la que se le da una perturbación inicial 
transversal como se indica en figura 4.2a), generando vibraciones transversales en la cuerda. 
Se quiere determinar la ecuación del movimiento de la cuerda en vibraciones libres 
transversales. 
 
Si la deflexión transversal de la cuerda es pequeña, el cambio de la tracción de la cuerda con 
la deflexión puede ignorarse. 
 
La ecuación del movimiento es: 
 
2
2
t
ydxTdx
x
T
ymFy
∂
∂
=−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
=∑
ρθθθ
&&
 
 2
2
t
y
Tx ∂
∂
=
∂
∂ ρθ
 
Introduciendo en la ecuación anterior: 
 
x
y
∂
∂
=θ 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 3
 
 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
FIG. 4.2. a) Desplazamiento transversal inicial 
b) Fuerzas actuando en un elemento “ds” de la cuerda 
 
 Se obtiene: 
 
 
 2
2
22
2 1
t
y
cx
y
∂
∂
=
∂
∂ (4-4) 
 
 ρ/tc = = Velocidad de propagación de las ondas a lo largo de 
la cuerda. 
 
 
 
La solución general de la ecuación (4-3) o (4-4) es de la forma: 
 
( ) )()(, 21 ctxfctxftxu ++−= (4-5) 
 
 
donde f1(x) y f2(x) son funciones arbitrarias cuyas formas deben satisfacer las condiciones 
iníciales y de borde (verificar que ecuación (4-5) satisface las ecuaciones diferenciales (4-3) y 
(4-4)). 
 
Físicamente el primer término de la ecuación (4-5) representa una onda de forma f1(x) 
viajando en la dirección positiva de x con velocidad c y el segundo término una onda de forma 
f2(x) viajando en la dirección negativa de x con velocidad c. ¿está de acuerdo con esta 
afirmación? 
 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 4
Aunque la solución (4-5) es útil para estudiar el movimiento transiente (onda progresiva), 
cuando se forma la onda estacionaria es más práctico utilizar el método de separación de 
variables para resolver las ecuaciones (4-3) o (4-4). 
 
En este método, la solución de la ecuación (4-4) se puede expresar: 
 
)()(),( tfxYtxy ⋅= (4-6) 
 
 
Reemplazando en la ecuación de la onda en una dirección, se obtiene: 
 
( ) )(1 2
2
22
2
xY
dt
fd
c
tfdx
Yd ⋅=⋅ 
 
2
2
2
2
22 )(
)(
1)(
)(
ω−=== cte
dt
tfd
tfdx
xYd
xY
c
tdefunciónSóloxdefunciónSólo
44344214434421
 (4-7) 
 
 
Se obtiene de la ecuación (4-7) dos ecuaciones diferenciales: 
 
 
Cuyas soluciones son: 
 
 (4-8) 
 
 
 
 
Reemplazando ecuaciones (4-8) en (4-6) se obtiene: 
 
 
( ) )cos()cos(,
)(
43
)(
21 4444 34444 21
4444 34444 21 tf
xY
tCtsenCx
c
Cx
c
senCtxy ωωωω ++= (4-9) 
 
 
 
 Las constantes C1 y C2 y las frecuencias naturales ωi son determinadas de las 
condiciones de borde: 
 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 5
Supongamos por ejemplo, una barra que se encuentra empotrada en sus dos extremos. 
Para este caso las condiciones de borde son: 
 
 
⎩
⎨
⎧
=
=
0),(
0),0(
tLy
ty
 
 
Reemplazándolas en la ecuación (4-10) se obtiene: 
00
0
1
2
=→=→
=→
c
Lsen
c
LsenC
C
ωω 
Esta última ecuación se satisface para los valores de ωi dados por: 
 
 (4-10) 
Y por lo tanto: 
 para i =1,2,3 ...∞ (4-11) 
 
La solución general de una ecuación diferencial es la suma de todas sus soluciones 
independientes, por lo tanto: 
 
( )∑
∞
=
+=
1
43),(
i
ii
i
i tcosCtsenCc
xsenCtxy ωωω (4-12) 
 
Note que las ecuaciones (4-10) y (4-11) representan las frecuencias naturales y modos 
de vibrar respectivamente. En Figura 4-3 se han graficado los primeros dos 
modos de vibrar 
 
i=1 Primer modo de vibrar: 
L
xsenc
xsenxY
L
c
πω
πω
==
=
1
1
1
)(
 
 
(normalizando a Ci=1). 
 
 
 
 
i=2 Segundo modo de vibrar: 
L
cπω 22 = 
 L
xsenxY π2)(2 = 
 
 
 
FIG. 4-3. Primeros dos modos de vibrar axialmente de una barra empotrada en sus dos 
extremos. 
 
 Las constantes C3 y C4 son determinadas de las condiciones iníciales. 
 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 6
Para las vibraciones longitudinales de una barra, se pueden tener otras condiciones de borde: 
 
Si se tiene un extremo libre de la barra en x=L , entonces las condiciones de borde en ese 
extremo serán: 
 
 0)( =lN 
 xuEAN ∂∂= / 0),( =→ tL
dx
du 
 
 
 
2. Vibraciones libres en torsión de ejes circulares 
 
Supongamos un eje circular, como se muestra en figura 4.4, a la cual se le da una perturbación 
angular inicial generando vibraciones torsionales en el eje. Se quiere determinar la ecuación 
del movimiento del eje en vibraciones libres en torsión. 
 
 
 
 
 
FIG.4.4. Vibraciones libres en torsión de un eje circular 
 
 
 
Consideremos un eje homogéneo, isotrópico y que sigue la Ley de Hooke. Llamemos: 
 
 θ(x, t) = ángulo de torsión de la sección transversal en x respecto a su posición de 
equilibrio. 
 
La ecuación del movimiento para un segmento diferencial en torsión es: 
2
2
t
ITdx
x
TT
IM
x
xx
∂
∂
⋅=−
∂
∂
+
=∑
θ
θ&&
 (4-13) 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 7
 
Para un eje circular: Ix= J ρ dx 
 
donde: 
 
 J= Momento de Inercia polar sección trasversal 
 ρ= densidad del material del eje 
 
2
2
.
t
J
x
T
∂
∂
=
∂
∂
→
θρ 
 
Utilizando: 
 2
2
x
GJ
x
T
x
GJ
L
GJT
∂
∂
=
∂
∂
→
∂
∂
==
θθθ (4-14) 
 
 
(4-14) en (4-13) se obtiene: 
 
 
2
2
22
2 1
tcx ∂
∂
=
∂
∂ θθ (4-15) 
 
 c = =ρ/G Velocidad de propagación de la onda torsional. 
 
 
 
 
3. Vibraciones transversales (en flexión) de barras prismáticas 
 
Para analizar el problema se utilizan dos tipos de viga: 
 
 La viga de Euler-Bernoulli 
 La viga de Timoshenko 
 
 Modelo de viga de Euler- Bernoulli 
 
Este modelo es el más simple,pues desprecia el efecto de: 
 
 Las deformaciones por esfuerzo de corte. 
 Las inercias a la rotación 
 
Las ecuaciones del movimiento para un elemento de viga “dx” de la figura 4.5, son: 
 
 
 (4-16) 
 
∑ = ymFy &&
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 8
 
 
( ) 0)(2,
0
2
=∂
∂+−++⋅
=∑
x
MMVdxMdxtxp
M z
 
 Vx
M =∂
∂ (4-17) 
 
 
 
 
FIG.4.5. Viga de Euler-Bernoulli sometida a una carga dinámica repartida 
 
 
(4-17) en (4-16): 
 
 
Utilizando la ecuación de la elástica: 
 
se obtiene: 
 
 
),(2
2
4
4
txp
t
yA
x
yEI =
∂
∂
+
∂
∂ ρ (4-18) 
 Si EI es constante 
 
 
 
 Modelo de viga de Timoshenko 
 
Este modelo toma en cuenta tanto la deformación por corte como la inercia a la rotación. 
Suponiendo que la sección transversal se mantiene plana, se obtiene: 
( ) ( )
2
2
2
2
),(
,
t
yAtxpx
V
t
yAdxdVVVtxp
∂
∂−=∂
∂
∂
∂=+−+
ρ
ρ
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 9
 
 
 
),(4
4
2
2
2
2
22
4
22
4
2
2
4
4
txp
t
y
kAG
J
t
p
kAG
J
x
p
kAG
EI
tx
y
kAG
EI
tx
yJ
t
yA
x
yEI
rotaciónlaainerciae
cortedelcombinadoEfecto
m
corteporangularnDeformació
m
rotación
laaInerciaEulervigaSolución
=
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂∂
∂
−
∂∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
444 3444 214444 34444 2143421444 3444 21
ρ 
 
 
 
3.1. Vibraciones libres de vigas de Euler 
 
La solución de (4-18) para p(x,t)=0 se puede obtener utilizando el método de separación de 
variables, es decir: 
 
( ) ( ) ( )tfxYtxy =, (4-19) 
 
reemplazando ecuación (4-19) en (4-18) se obtiene: 
 
2
2
2
4
4 )(
)(
1)(
)(
1 ω
ρ
==−= cte
dt
tfd
tfdx
xYd
xYA
EI (4-20) 
 
Se obtiene de la ecuación (4-20) dos ecuaciones diferenciales: 
 
 
La solución para la primera ecuación es: 
 
 (4-21) 
 
La solución para la segunda ecuación es de la forma: 
 
 Y(x) = A ert (4-22) 
reemplazando (4-22) en la ecuación , con: 
 
 (4-23) 
 
se obtiene la ecuación característica: 
044 =− βr 
β
β
β
β
jr
jr
r
r
−=
=
−=
=
4
3
2
1
 (4-24) 
 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 10
Por lo tanto la solución general (suma de las soluciones de ecuación (4-24)): 
 
xjxjxx eCeCeCeCxY ββββ −− ′+′+′+′= 4321)( 
xcoshCxsenhCxcosCxsenCxY ββββ 4321)( +++= 
 
obteniéndose: 
 
))(()()(),( 4321 tcosBtsenAxcoshCxsenhCxcosCxsenCtfxYtxy ωωββββ ++++== 
 (4-25) 
 
 
 
Las constantes C1, C2, C3, C4 y los iω son determinadas de las condiciones de borde 
siguientes: 
 
( ) 0,0
0),(0
33
22
=∂∂→=
=∂∂→=
⎭
⎬
⎫
= xtLyV
xtLyM
Lxen
libreExtremo
 
 
( ) 0,0
0),(0 22
=→=
=∂∂→=
⎭
⎬
⎫
= tLyy
xtLyM
Lxen
apoyadoExtremo
 
 
( ) 0,
0),(0
=∂∂
=→=
⎭
⎬
⎫
= xtLy
tLyy
Lxen
empotradoExtremo
 
 
 
Ejemplo. 
Determinar las frecuencias naturales y modos de vibrar en flexión de la viga simplemente 
apoyada de la figura 4.6 
 
 
 
 
FIG. 4.6 . Viga del ejemplo 
Aplicando las condiciones de borde: 
 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 11
00)0000(
0),0(
00000
0),0(
424321
2
2
2
4321
==⇒=++−−⇒
∂
=∂
=+++⇒
=
CCcoshCsenhCcosCsenC
x
ty
coshCsenhCcosCsenC
ty
β
 
 
 
( )
( ) ( ) 00,
00,
31
2
2
2
31
=+−⇒=
∂
∂
=+⇒=
lsenhClsenCtl
x
y
lsenhClsenCtly
βββ
ββ
 
 
πββ
β
illsenC
ClsenhC
i =⇒=
=⇒=
0
00
1
33 
 
 
A
EI
l
i
EI
A
i
i
i ρ
πω
ωρ
β 2
22
4
2
=⇒=⇒ 
 
l
xisenCxY i
π
=)( 
Figura 4.7 muestra las dos primeras frecuencias y modos de vibrar de la viga 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 4.7. Dos primeros modos de vibrar en flexión de una viga apoyada en sus extremos 
 
Ejemplo 
Determine las frecuencias naturales de una viga empotrada en un extremo como se muestra en 
figura 4.8 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 12
 
FIG. 4.8. Viga empotrada en un extremo 
 
 
Aplicando las condiciones de borde: 
 
 
se obtiene un sistema de ecuaciones homogéneas las cuales tienen solución cuando el 
determinante de los coeficientes = 0. Haciendo el determinante de los coeficientes igual a 
cero, se obtiene: 
 
 0coshcos1 =+ ll ββ 
 
Cuyas soluciones para β i (resolviendo el problema numéricamente) son : 
l
l
l
/8543,7
/6936,4
/8751,1
3
2
1
=
=
=
β
β
β
 
A
EIi
i ρ
β
ω
4
2 =⇒ 
Con C1=1 se puede determinar para cada βi ( iω ) el modo de vibrar del sistema de ecuaciones. 
 
Nota: Al igual que para las vibraciones longitudinales de las barras, las constantes A y B son 
determinadas de las condiciones iniciales.