analisis_sistemas_dinamicos_2009_cap_6

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Capítulo 6. Analogías eléctricas 
 
Debe tenerse presente que los métodos analizados en los capítulos anteriores, han sido en 
realidad, métodos generales de cómo obtener la respuesta de sistemas dinámicos lineales en 
general. Se han ilustrado a través del análisis del movimiento dinámico de sistemas 
dinámicos, pues los desplazamientos se pueden graficar con un significado físico directo. 
 
Estos métodos son aplicables a sistemas de otra naturaleza (eléctricos, fluídicos, térmicos , 
etc.), los cuales tengan ecuaciones que rigen su comportamiento, análogas a las vistas hasta 
el momento. 
 
Dos sistemas de distinta naturaleza son análogos si las ecuaciones del movimiento de ambos 
son semejantes. Por ejemplo, los sistemas siguientes son análogos. 
 
 
∫ =++
=++
=++
)(
)(
)(
thzdtCBz
dt
dzA
tgyyBy
tfcxxbxa
γα &&&
&&&
 
 
Estas ecuaciones son análogas ya que las tres son de segundo orden, coeficientes constantes y 
lineales. 
 
 
6.1. Analogías electro- mecánicas 
 
 Figura 6.1 muestra los elementos básicos de los circuitos eléctricos: resistencia, R, 
inductancia, L , capacidad C, voltaje V, y corriente i. 
 
 
 Resistencia Inductancia Capacidad 
 
 
Representación 
Simbólica 
Relación general 
entre voltaje V y 
corriente i 
RiV = 
dt
diLV = Cqidt
C
V /1 == ∫ 
 
FIG. 6.1. Elementos básicos de un circuito eléctrico 
 
Figura 6.2 muestra los elementos básicos de los sistemas mecánicos: masa m, rigidez k, 
amortiguamiento c, fuerza f y velocidad v. 
 
2 
 
 2
 
 Amortiguador Masa Resorte 
Representación 
Relación general 
entre fuerza f y 
velocidad v 
vcf ⋅= 
dt
dvmf = ∫= vdtkf 
 
FIG. 6.2. Elementos básicos de un sistema mecánico 
 
Comparando las figuras 6.1 y 6.2 se encuentran las analogías resumidas en figura 6.3: 
 
 Para cambiar la velocidad de un cuerpo es necesario aplicar una fuerza f, para variar la 
corriente en un circuito eléctrico es necesario aplicar un voltaje V. De aquí una 
analogía directa entre: Fuerza y voltaje y entre velocidad y corriente 
 
 Lo que se opone a los cambios de velocidad es la inercia o masa m: dv/dt = f/m 
Lo que se opone a los cambios de corriente es la inductancia L: di/dt=V/L 
 
 La disipación de energía en un sistema mecánico se realiza en el amortiguador 
viscosos equivalente, donde f=c v. 
La disipación de energía en un sistema eléctrico se realiza en la resistencia eléctrica, 
donde V= R i 
 
 La energía se almacena en un sistema mecánico en el resorte donde: ∫= vdtkf 
La energía se almacena en un sistema eléctrico en el condensador donde: ∫= idtCV
1 
 
Sistema Mecánico Sistema eléctrico 
 
f(t) Fuerza v(t) Tensión 
m Masa L Inductancia 
x Desplazamiento q Carga 
v Velocidad i Corriente en una malla 
c Amortiguación R Resistencia 
k Elasticidad 1/C 1/Capacitancia 
Grado de libertad Malla 
 
FIG. 6.3. Analogías electro- mecánicas 
 
 
6.2. Ejemplos básicos de circuitos eléctricos 
 
 
Figura 6.4 muestra un circuito con un generador de corriente: 
3 
 
 3
Para encontrar la ecuación que modela el comportamiento del circuito de figura 6.4, se utiliza 
la Ley de Kirchhoff de corrientes: La suma algebraica de las corrientes que llegan a cada nodo 
es cero. 
Por lo tanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 6.4. Circuito eléctrico con un generador de corrientes 
 
 
 
Para encontrar la ecuación que modela el comportamiento del circuito de figura 6.5 se utiliza 
la Ley de Kirchhoff de voltajes: La suma algebraica de voltajes a lo largo de una malla es 
cero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 6.5. Circuito eléctrico con un generador de voltaje. 
 
 
corrientede
Generador
ti )(
ci↓ Ri↓ ↓
C R L
voltajede
Generador
tv )(
L
C
R
)(1
0)(
tivdt
LR
v
dt
dvC
iiiti LRC
=++
=−−−
∫
)(1
0)(
tvidt
C
Ri
dt
diL
vvvtv CLR
=++
=−−−
∫
4 
 
 4
Circuito dual 
 
Comparando las ecuaciones para los circuitos de las figuras 6.4 y 6.5, se puede concluir que 
son análogas. Dos circuitos de la misma naturaleza( en este caso de naturaleza eléctrica) cuyas 
ecuaciones son análogas, se llaman duales. Estudiando las 2 ecuaciones se puede formar la 
siguiente tabla de dualidades: 
 
 Tabla Nº1. Circuitos duales voltaje y corriente 
Voltaje Corriente 
Malla Nodo 
L C 
C L 
R 
R
1 
 
 
6.3. Método gráfico para obtener el circuito dual 
 
1.- Toda malla se transforma en nodo 
2.- Los elementos compartidos por dos mallas adyacentes al pasar al dual se convierten en 
elementos conectados entre los nodos correspondientes. 
 
Ejemplo 1 
 
Obtener el circuito dual del circuito de la figura 6.6 
 
 
FIG. 6.6. Circuito de ejemplo 1 
 
El circuito tiene dos nodos, por lo que se transforma en el dual en dos mallas: la malla 1 y la 
malla 2(exterior), como indica figura 6.7. Los elementos entre nodos: C,R y L se transforman 
en el dual de acuerdo a Tabla Nº1 en L*, R* y C*, como se indica en figura 6.7 
 
 
 
 
FIG. 6.7. Circuito dual del ejemplo 1 
 
∗
∗
∗
→
=→
→
CL
RRR
LC
1
∗L
∗C ∗R
1)(tv
5 
 
 5
El símbolo (*) indica que las unidades utilizadas son las correspondientes a las magnitudes 
del circuito original. Así si por ejemplo, si C = 2(faradio) y R = 10(ohm) en el circuito de 
figura 6.6; en el circuito de figura 6.7: L*= 2(faradio) y R*=1/10(1/ohm). Para resaltar que 
estas magnitudes tienen las unidades del sistema original se usa el símbolo (*). 
 
Ejemplo 2. 
 
Obtener el circuito dual del circuito de la figura 6.6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 6.8. Circuito de ejemplo 2 
 
El circuito tiene tres mallas la 1 y 2 que son las mallas internas y la 3 que es la exterior, por lo 
que se transforma en el dual en tres nodos, como indica figura 6.9. Los elementos entre mallas 
se transforman en el dual de acuerdo a Tabla Nº1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 6.9. Circuito dual del ejemplo 2 
 
 
6.4. Representación de un sistema mecánico en un circuito eléctrico. 
 
Los pasos a seguir son los siguientes: 
 
1. Representar el sistema mecánico como un circuito eléctrico. Para esto todas las fuerzas y 
las masas están conectadas al nodo tierra (sistema inercial) 
 
2. La forma del circuito eléctrico análogo fuerza corriente tiene la misma forma que el 
circuito mecánico. Las magnitudes análogas son obtenidas de la Tabla Nº2 
 
 
Ejemplo 3. 
 
Obtener el circuito eléctrico y el dual del sistema mecánico de la figura 6.10 
)(tv
1R 1L 2R
2C
1C
∗)(ti
∗
1R
∗
1C
∗
2R
∗
2L
1 2
3
∗
1L
6 
 
 6
 
 
(a) 
 
 
(b) 
 
FIG. 6.10 a) Sistema mecánico de ejemplo 3 
b) Sistema mecánico dibujado como circuito eléctrico 
 
El circuito análogo corriente-fuerza tiene la misma forma que el sistema mecánico como se 
ilustra en figura 6.11(b). Como existen 2 nodos el circuito dual tendrá dos mallas: la interna y 
la externa, como se observa en figura 6.11(c). 
 
 
 
 
(a) 
)(tfvdtkcv
dt
dvm =++ ∫ 
(b) 
)(1 tvidt
C
Ri
dt
diL =++ ∫ 
( c ) 
)(11 tivdt
L
v
Rdt
dvC =++ ∫ 
 
FIG. 6.11. Analogías mecánico - electrico 
 
 
 
TABLA Nº2. Analogías entre sistema mecánico y sistemas eléctricos 
Sistema Mecánico Sistema Eléctrico 
 Analogía tensión-fuerza Analogía corriente-fuerza 
 
f(t) Fuerza v(t) Tensión i(t) Corriente 
m Masa L Inductancia C Capacidad 
x Desplazamiento q Carga φ ∫ vdt 
v Velocidad i Corriente en una malla v Tensión en un nodo 
c Amortiguación R Resistencia 1/R 1/Resistencia 
k Elasticidad 1/C 1/Capacitancia 1/L 1/Inductancia 
Grado de libertad Malla Nodo 
 
Analogía tensión - fuerza: A con interpretación física directa 
Analogía corriente - fuerza: Es más fácil de aplicar. El circuito eléctrico y el mecánico son de 
la misma forma. 
RCL)(ti
R
C
L
)(tv
7 
 
 7
Ejemplo 4. 
Para el sistema eléctrico de la figura 6.11( c) , si: 
 
 
( )
( )
( )
( )OhmR
Volt
CoulombFaradioC
Amperio
segundoVoltHenrioL
Volttsentv
2,0
1,01,0
1,01,0
510)(
=
==
==
=
 
 
a) Determinar la frecuencia natural de vibrar utilizando el sistema mecánico análogo 
 
b) Determinar )(ti estacionario. 
 
a) Utilizando el circuito mecánico análogo defigura 6.11(a), se obtiene con: 
 
 
( )
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
⋅
===
==
==
∗
∗
∗
∗
sCLm
k
FaradioCk
HenrioLm
n
110
1,01,0
11
1101
1,0
ω
 
 
b) La corriente i(t) es análogo a la velocidad v(t) en la analogía tensión-fuerza, por lo tanto 
con: 
( )
)(10
1,0
2
2,0
*
0 voltF
m
c
OhmRc
n
=
==
==∗
ω
ξ 
 
la corriente será: 
 
 
 
 i(t) = 6.61 sen (5t -7.6º) 
 
 
( )
222
0
21
)()()(
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ Ω
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ Ω
−
−Ω
=⋅Ω==
nn
tsenk
F
txtvti
ω
ξ
ω
φ
8 
 
 8
Ejemplo 5 
 
Obtener el circuito eléctrico y el dual del sistema mecánico de la figura 6.12(a) 
 
 
 
(a) Sistema mecánico 
 
 
 
 
 
(b) Sistema mecánico como circuito 
 
FIG. 6.12. Sistema mecánico de ejemplo 5. 
 
 
El circuito análogo eléctrico corriente fuerza es de la misma forma que el sistema mecánico 
como se muestra en figura 6.13(a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Sistema análogo fuerza-corriente 
 
 
(b) Sistema análogo fuerza-corriente 
 
 
FIG. 6.13. Sistema análogos eléctricos de ejemplo 5. 
 
 
 
1
2
3
4
)(ti
3L
1C
2C
R
1L