Logo Studenta

Acerca_de_la_Geometria_de_Lobachevski

Vista previa del material en texto

Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 1
 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 2
PREFACIO DEL AUTOR 
 
El objetivo de este libro es dar a conocer al lector los fundamentos principales de la 
geometría no euclidiana de Lobachevski. 
El célebre científico ruso Nikolai Ivanovich Lobachevski era un pensador notable. A 
él le pertenece uno de los inventos matemáticos más importantes, la creación de un 
sistema geométrico original distinto de la geometría de Euclides. Los datos 
biográficos breves de Lobachevski el lector los hallará en el Capítulo 1 de nuestro 
libro. 
Las geometrías de Euclides y Lobachevski tienen mucho de común; en ellas sólo son 
diferentes las definiciones, los teoremas y las fórmulas ligadas al axioma del 
paralelismo. Para comprender qué es lo que suscitó esta diferencia se debe 
examinar cómo surgieron y desarrollaron las nociones geométricas fundamentales. 
El Capítulo 2 está dedicado a esta cuestión. 
Para la comprensión del libro, además del conocimiento de geometría (planimetría) 
y de trigonometría en el grado del curso de segunda enseñanza, se requiere el 
conocimiento de la transformación denominada inversión. En el Capítulo 3 damos un 
resumen de sus propiedades más importantes. 
Esperamos que el lector, sin gran trabajo y con provecho para sí, asimile el 
contenido de este párrafo que, igual que el Capítulo 10, juega en nuestro libro un 
papel que aunque es auxiliar, es de suma importancia. 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 3
Capítulo 1 
BOSQUEJO RESUMIDO DE LA VIDA Y ACTIVIDAD DE N. I. LOBACHEVSKI 
 
Nikolai Ivanovich Lobachevski nació el 20 de noviembre (1 de diciembre según el 
estilo nuevo) de 1792 en la familia de un funcionario pobre. Nikolai Lobachevski y 
sus dos hermanos quedaron prematuramente a cargo de su madre, mujer enérgica 
y sensata que, a pesar de la excesiva escasez de medios, envió a todos sus hijos a 
estudiar en el gimnasio de Kazán. 
N. I. Lobachevski estudió en el gimnasio de Kazán desde 1802 hasta 1807, y en la 
Universidad de Kazán, desde 1807 basta 1811. Disponiendo de brillantes aptitudes 
matemáticas, Lobachevski cursó exitosamente los estudios y, una vez acabados 
éstos en la Universidad, fue retenido en ella para prepararse a ser catedrático, título 
que le fue concedido en el año 1816. 
La actividad pedagógica de Lobachevski dejó una viva impresión en la memoria de 
sus discípulos. Sus conferencias se caracterizaban por la claridad y plenitud de 
exposición. Los conocimientos de Lobachevski en las diversas ramas de la ciencia 
eran vastos y multifacéticos, hecho que le permitía asumir sobre sí, ciclos de 
conferencias no sólo de asignaturas de la serie matemática, sino también de 
mecánica, física, astronomía, geodesia, topografía. 
Habiendo sido elegido en el año 1827 rector de la Universidad de Kazán, 
Lobachevski desempeñó esta función cerca de veinte años. Siendo un administrador 
talentoso y enérgico que comprendía bien los problemas de la enseñanza superior; 
pudo convertir la Universidad de Kazán en un centro modelo de enseñanza superior 
de aquel tiempo. Por iniciativa de Lobachevski, la Universidad comenzó a editar las 
“Memorias científicas”, se fomentó la construcción de edificios universitarios y se 
inauguró el observatorio de astronomía de la Universidad. 
Su actividad científica dio a Lobachevski fama mundial. El inmortalizó su nombre 
con la creación de la geometría no euclidiana que en la actualidad, de acuerdo al 
nombre de su fundador, la denominan geometría de Lobachevski1. 
 
1 Otra de sus denominaciones, la de geometría hiperbólica, está vinculada al hecho que en ésta la línea recta, igual 
que la hipérbola en la geometría euclidiana, tiene dos puntos alejados infinitamente (véase Capítulo 4) 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 4
El 11 (23) de febrero de 1826, en la sesión de la Sección de ciencias físico-
matemáticas de la Universidad de Kazán. Lobachevski intervino con una conferencia 
en la que, por primera vez, informó respecto a su invento de la geometría no 
euclidiana. La primera exposición de los principios de ésta, aparecida en la prensa, 
fue la memoria de Lobachevski “Sobre los fundamentos de la Geometría”, publicada 
en los años 1829 - 1830 en la revista “Boletín de Kazán". 
El invento de Lobachevski no fue concebido por la mayoría de sus contemporáneos; 
sus trabajos respecto a la geometría obtuvieron juicios negativos tanto en Rusia 
como en el extranjero. Las ideas del gran sabio ruso eran demasiado audaces y 
diferían ostensiblemente con los puntos de vista que entonces predominaban en la 
ciencia; precisamente por esto transcurrió mucho tiempo antes que dichas ideas se 
ganaran el reconocimiento común que vino solamente después de la muerte de 
Lobachevski. 
 
 
N. I. Lobachevski 
 
Lobachevski no fue disuadido de la justeza de sus deducciones por los ataques de la 
crítica y, con la energía e insistencia que le caracterizaban, prosiguió el estudio del 
sistema geométrico creado por él. Publica una serie de trabajos dedicados a la 
geometría no euclidiana. El último de éstos, terminado por Lobachevski algo antes 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 5
de su muerte, fue dictado por él cuando ya no podía escribir por la ceguedad que le 
afectó en su vejez. 
La actividad científica de Lobachevski no quedaba reducida a las investigaciones 
geométricas, perteneciéndole también varios trabajos fundamentales en la rama del 
álgebra y del análisis matemático. El método de solución aproximada de ecuaciones 
algebraicas, inventado por Lobachevski, es muy fino y práctico. 
Los criterios filosóficos de Lobachevski tenían tendencia materialista bien destacada, 
y éste consideraba que el medio más seguro de comprobación de las deducciones 
teóricas era la experiencia, la práctica. Lobachevski exigía una enseñanza de las 
matemáticas que avezara a ver tras las operaciones matemáticas los fenómenos 
reales de la vida. 
En el año 1846 Lobachevski fue destituido de su trabajo en la Universidad y 
nombrado ayudante del curador del distrito de enseñanza de Kazán. Aunque 
formalmente esto era ascenso en el cargo, prácticamente, de esta manera, los jefes 
superiores se esforzaron por deshacerse del rector que, por ser de orientación 
progresista, les era indeseable. En su nuevo cargo, subordinado al curador del 
distrito de enseñanza de Kazán, Lobachevski se veía mucho más restringido en sus 
actividades que durante su permanencia en el cargo de rector de la Universidad y 
sufría por su retiro de ésta, a la que estaba unida toda su vida. 
Lobachevski falleció el 12 (24) de febrero de 1856. En 1896, frente al edilicio de la 
Universidad de Kazán, fue erigido un monumento al eminente sabio2 
 
 
2 El lector puede encontrar datos biográficos más amplios respecto a Lobachevski en los libros siguientes: 
 V. F Kagan. Lobachevski, M., L., 1948. Este amplio trabajo (506 págs.), además de la biografía detallada 
de Lobachevski, contiene también un resumen de sus obras. 
 V F. Kagan. El gran sabio N. I. Lobachevski y su puesto en la ciencia mundial, M., L., 1943. Un libro 
pequeño escrito de manera popular. 
 P. A. Shirokov, V. F. Kagan. Estructura de la geometría no euclidiana. Edición I de la serie “La geometría 
de Lobachevskiy el desarrollo de sus ideas”, M., L, 1950. En una de las partes de este libro se da un 
resumen breve, bien llevado a cabo, de los fundamentos de la geometría de Lobachevski, resumen 
comprensible para el amplio círculo de lectores. 
 Véase también el articulo “Lobachevski” en el tomo 25 de la Gran Enciclopedia Soviética (2da edición, págs. 
314 a 317). 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 6
Capítulo 2 
RESPECTO AL ORIGEN DE LOS AXIOMAS Y SU PAPEL EN LA GEOMETRIA 
 
Para aclarar el papel de los axiomas examinaremos en rasgos generales las etapas 
más importantes del desarrollo de la geometría desde los tiempos remotos. 
La patria de la geometría son los países del Antiguo Oriente donde, hace varios 
milenios y debido a las necesidades de la agrimensura, arquitectura y astronomía, 
fueron elaborados importantes principios de aspecto práctico para la medición de 
ángulos, áreas de algunas figuras y volúmenes de los cuerpos más simples. Estos 
principios se elaboraron empíricamente (por vías prácticas) y. por lo visto, se 
transmitían oralmente; en los textos matemáticos que llegaron hasta nosotros 
hallamos frecuentemente aplicaciones de los principios geométricos, pero no 
encontramos tentativas de formularlos. 
Con el tiempo, cuando se amplió el círculo de objetos a los que se aplicaban los 
conocimientos geométricos adquiridos, se puso en claro la necesidad de formular los 
principios geométricos en su forma más general, hecho que determinó el paso en la 
geometría de conceptos concretos a conceptos abstractos. Así, por ejemplo, el 
principio elaborado para medir el área de una parcela rectangular de tierra resultó 
ser apto para medir el área de una alfombra, la superficie de una pared, etc., y, 
como resultado, surgió la noción abstracta de rectángulo. 
De este modo se constituyó el sistema de conocimientos que obtuvo el nombre de 
geometría. En la primera fase de su desarrollo, la geometría era una ciencia 
empírica, es decir, una ciencia en la que todos los resultados se deducen 
directamente en la práctica. 
El desarrollo de la geometría marchó por un nuevo camino cuando se reparó en que 
algunas de sus proposiciones no requieren argumentación empírica, ya que éstas 
pueden ser derivadas de otras proposiciones mediante deducciones basadas en las 
leyes de la lógica. Se comenzó a diferenciar en la geometría proposiciones de dos 
géneros: las establecidas por vía práctica (más tarde denominadas axiomas) y las 
demostrables lógicamente basándose en los axiomas (teoremas). 
Puesto que, por no requerir dispositivos especiales, ni numerosas mediciones 
fastidiosas, la argumentación lógica en el aspecto técnico es considerablemente más 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 7
simple que la empírica, ante los sabios de la antigüedad, como es natural, se 
planteó el problema de reducir al mínimo el número de proposiciones del primer 
género (axiomas) para facilitar de este modo el trabajo del geómetra trasladando el 
peso fundamental a la esfera del raciocinio lógico. Este objetivo resultó ser 
realizable, ya que la geometría se abstrae de todas las propiedades de los cuerpos 
excepto su extensión, propiedad muy esencial pero tan simple, que toda clase de 
relaciones geométricas pueden ser deducidas de un número reducido de 
proposiciones, axiomas según las leyes de la lógica. 
De esta manera la geometría se transformó de ciencia empírica en ciencia deductiva 
de exposición axiomática, que caracteriza su estado actual3. 
La primera exposición sistemática de las tesis fundamentales de la geometría 
llegada hasta nosotros fueron los “Elementos” de Euclides, escritos cerca de 300 
años antes de nuestra era. Esta obra está construida según el esquema siguiente: 
después de las definiciones y de los axiomas se exponen las demostraciones de los 
teoremas y las soluciones de los problemas, y, con eso, todo teorema nuevo se 
demuestra basándose en los axiomas y en los teoremas demostrados 
anteriormente. Los axiomas no se demuestran, solamente se enuncian. 
Durante el transcurso de dos milenios los “Elementos” de Euclides gozaron de 
autoridad innegable en el mundo científico. Sin embargo, un pasaje de este trabajo 
parecía no estar suficientemente justificado. Se sobreentiende el axioma del 
paralelismo, que Euclides formuló así: 
Si dos líneas rectas, al intersecarse con una tercera, forman ángulos internos 
unilaterales cuya suma es inferior a dos ángulos rectos, resulta ser que estas dos 
rectas, al prolongarlas ilimitadamente, se encontrarán por aquél lado en el que esta 
suma es inferior a dos ángulos rectos4. 
La justeza del axioma del paralelismo de Euclides no suscitaba dudas. La duda 
respecto a este axioma radicaba en otra cosa: ¿era justo el haberlo relacionado a la 
 
3 Deducción: acción de deducir. Se llama deductiva a la ciencia en la que las tesis nuevas se derivan de las 
anteriores de manera puramente lógica. 
4 En los manuales escolares de geometría, el axioma del paralelismo de Euclides está sustituido por la siguiente 
proposición equivalente: a través de un punto situado fuera de una recta, se puede trazar sólo una recta paralela a 
la primera. 
Cualesquiera dos axiomas de la geometría euclidiana u otra geometría se consideran similares (equivalentes) si de 
ambos se deducen unos mismos resultados, a la par que todos los axiomas restantes de esta geometría queden en 
vigor. 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 8
categoría de los axiomas?, ¿no sería posible demostrar este axioma con ayuda de 
otros axiomas de los "Elementos” euclidianos y, de esta manera, pasarlo a la 
categoría de los teoremas? 
Al principio, los intentos de demostrar el axioma del paralelismo reflejaban la 
tendencia señalada anteriormente de disminuir el número de proposiciones 
geométricas, que exigían fundamentación empírica. Con el transcurso del tiempo la 
situación varió: se olvidó el origen experimental de los axiomas y éstos se 
comenzaron a interpretar como verdades evidentes de por si, independientemente 
de cualquiera que fuera el experimento5. Semejante punto de vista engendró la 
seguridad que el axioma del paralelismo, que por su complejidad es difícil admitirlo 
como axiomático, en realidad no es un axioma y por consiguiente, se puede hallar la 
demostración de la afirmación contenida en él. Sin embargo, los numerosos 
esfuerzos en este sentido no dieron resultados positivos y el axioma del paralelismo, 
cual tesoro hechizado, no descubría sus secretos a los investigadores. Los intentos 
de demostrar este axioma, condenados al fracaso, exigieron un consumo enorme de 
trabajo intelectual de numerosas generaciones de sabios y fueron la expiación por la 
interpretación idealista de la esencia de los axiomas. 
El tipo de demostración errónea del axioma del paralelismo de Euclides más 
difundido era el de su sustitución por otra proposición equivalente como, por 
ejemplo: la perpendicular y la oblicua respecto a una misma recta se cortan; o: 
existe un triángulo semejante al triángulo dado pero no igual a éste; o: el lugar 
geométrico de puntos equidistantes de una recta dada, si se encuentran a un mismo 
lado de ésta, es una recta; o: a través de cualesquiera tres puntos se puede trazar 
o bien una recta, o bien una circunferencia. Más adelante demostraremos que, si el 
axioma del paralelismo de Euclides no tiene lugar, todas estas proposiciones son 
erróneas. Por consiguiente, admitiendo cualquiera de las proposiciones enumeradas 
como un axioma, consideramos que el axioma euclidiano del paralelismo es justo,es decir, partimos de la justeza de aquello que queríamos demostrar 
 
5 Es sabido que los ciegos de nacimiento que en la edad madura han recuperado la vista por vía quirúrgica, al 
principio, después de la operación, no pueden distinguir el cubo de la esfera sin haberlos palpado. Así se demuestra 
la necesidad del experimento para una percepción justa de las figuras geométricas, sin lo cual no pueden elaborarse 
Conceptos geométricos. 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 9
En sus investigaciones de la teoría de las líneas paralelas, Lobachevski fue por otro 
camino. Habiendo comenzado por intentos de demostrar el axioma del paralelismo 
pronto advirtió que uno de ellos conduce a resultados absolutamente inesperados. 
Este intento consistía en la utilización del método de demostración por oposición y 
se basaba en la consideración siguiente: si el axioma del paralelismo de Euclides es 
resultado de otros axiomas de los "Elementos” y si, no obstante, se admite que a 
través de un punto fuera de una recta, en el plano determinado por éstos, se 
pueden trazar por lo menos dos rectas que no cortan a la recta dada, resultará ser 
que esta suposición tarde o temprano, en sus resultados más inmediatos o más 
lejanos, conducirá a una contradicción. 
Entre tanto, analizando los nuevos resultados de la admisión hecha por él, 
paradójicos desde el punto de vista de la geometría euclidiana, Lobachevski se 
persuadía que éstos formaban un sistema lógico no contradictorio de teoremas 
capaces de constituir la base de una nueva teoría científica. 
Así fue fundamentada la geometría no euclidiana; su axioma del paralelismo se 
diferencia del euclidiano y coincide con la suposición citada anteriormente, que en lo 
sucesivo denominaremos axioma del paralelismo de Lobachevski6. 
No obstante, no quedaba claro si se podía afirmar con seguridad que ninguno de los 
numerosos posibles resultados del axioma del paralelismo de Lobachevski 
conduciría a una contradicción. Lobachevski fijó la solución de esta cuestión: señaló 
que la no contrariedad de la geometría descubierta por él debe deducirse de la 
posibilidad de aritmetizarla, es decir, de la posibilidad de reducir la solución de 
cualquier problema geométrico a cálculos aritméticos y transformaciones analíticas, 
utilizando para ello las fórmulas de la trigonometría hiperbólica deducidas por él 
mismo. Ulteriormente fueron halladas por otros sabios demostraciones rigurosas de 
la no contrariedad de la geometría de Lobachevski. 
Las investigaciones de Lobachevski en la rama de la geometría hiperbólica son muy 
vastas: abarcan su parte elemental, la trigonometría, la geometría analítica y la 
geometría diferencial. Utilizando los métodos de la geometría creada por él, 
 
6 Posteriormente se puso en claro que, además de la geometría descubierta por Lobachevski, se pueden construir 
otras muchas geometrías no euclídeas. 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 10
Lobachevski halló más de 200 fórmulas nuevas para el cálculo de las integrales 
definidas. 
El descubrimiento de Lobachevski se calificaba por sus contemporáneos, e incluso 
por sus discípulos, como un disparate monstruoso, como un desafío audaz a las 
leyes de la lógica y del sentido común7. No nos asombra tal actitud respecto a la 
idea genial que demolía las nociones de aquella época. Con la mina hostilidad 
también había sido acogida la teoría heliocéntrica de Copérnico, que negaba aquello 
que parecía ser absolutamente evidente y afirmaba aquello que parecía ser 
inconcebible. Se requerían consideraciones muy profundas para comprender la 
admisibilidad de dos geometrías diferentes. A continuación pasamos precisamente a 
exponer algunas de estas consideraciones, las más comprensibles. 
En los manuales escolares de geometría, en la parte “Planimetría”, se estudia el 
plano independientemente del espacio que lo rodea; con otras palabras; la 
planimetría es la geometría del plano euclidiano. También han sido bien estudiadas 
las geometrías de ciertas superficies curvilíneas; puede servir de ejemplo la 
geometría esférica, que encuentra amplio uso en la astronomía y en otras ramas de 
la ciencia. 
En toda ciencia los conceptos simplísimos tienen mucha importancia. En la 
geometría euclidiana semejantes conceptos son el punto, la recta, el plano. Estas 
denominaciones se conservan también en las geometrías no euclidianas, llamándose 
“recta” a la línea por la que se mide la distancia más corta entre dos puntos y 
“plano” a la superficie que tiene la siguiente propiedad: si dos puntos de la “recta” 
pertenecen a esta superficie, resultara ser que todos los puntos restantes de la 
misma “recta” también pertenecen a dicha superficie. Por ejemplo, en la geometría 
esférica, se denominan “plano” y “rectas”, respectivamente, a la esfera y a las 
circunferencias de sus círculos mayores. Esta terminología es completamente 
oportuna ya que en cualquiera de las geometrías la “recta” es la línea más simple y 
 
7 Desde luego, no puede sospecharse infundadamente de ineptitud de los sabios contemporáneos de Lobachevski 
por la incomprensión de su invento; es posible que muchos de ellos no emitieron su opinión respecto al invento por 
pertenecer las investigaciones de Lobachevski a una rama que no entraba en la esfera de sus intereses científicos, 
también se sabe que el célebre matemático alemán Carlos Gauss y el eminente geómetra húngaro Juan Bolyai, que 
independientemente de Lobachevski llegaron a la conclusión de la posibilidad de construir una geometría no 
euclidiana, compartían los puntos de vista de éste. Sin embargo, Gauss, temiendo ser incomprendido y ridiculizado, 
nunca intervino en la prensa apoyando las ideas de Lobachevski, y Bolyai, viendo que sus propias investigaciones 
de la geometría no euclidiana (publicadas en el año 1832) no fueron reconocidas, se apartó de los ejercicios 
matemáticos. De tal modo, Lobachevski tuvo que luchar solitariamente, justificando sus ideas. 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 11
el “plano” es también la superficie más simple y, además, la primera tiene la 
propiedad más importante de la recta euclidiana y el segundo, la propiedad más 
importante del plano euclidiano8. 
Señalaremos algunas singularidades de la geometría esférica. Para mayor evidencia 
la examinaremos como la geometría de la superficie del globo. No es difícil 
comprender que dos “rectas” de esta geometría (por ejemplo, dos meridianos) 
siempre se cortan en dos puntos del globo diametralmente opuestos. Después, la 
suma de los ángulos del triángulo esférico es mayor que 2d por ejemplo, en el 
triángulo limitado por un cuarto del ecuador y por los arcos de dos meridianos 
(Figura 1) todos los tres ángulos son rectos9. 
 
 
Figura 2 
 
Es sabido que en la geografía, a la par con el globo, se utilizan mapas de la 
superficie terrestre. Esto equivale al estudio de la geometría esférica mediante el 
examen de los mapas de la esfera, hecho posible si se indica de qué manera se 
hallan por medio de las efigies de las líneas en el mapa sus longitudes reales y las 
magnitudes reales de los ángulos entre ellas. La cosa consiste en que en el mapa se 
obtienen efigies desfiguradas y el carácter de esta desfiguración no es el mismo en 
 
8 Advertiremos que en la geometría proyectiva falta la noción de distancia entre dos puntos; en el caso de una 
geometría de tal género la interpretación de las nociones “recta” y “plano" expuestaanteriormente, es inaplicable. 
9 Se denomina ángulo entre dos líneas en el punto de su intersección al ángulo entre las tangentes a éstas en dicho 
punto. 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 12
todas partes. Por ejemplo, en el mapa de la superficie terrestre ejecutado en la 
proyección de Mercator10 (figura 2) a los meridianos les corresponden líneas rectas 
paralelas a las que son perpendiculares otras líneas rectas, equivalentes a los 
paralelos geográficos y, al mismo tiempo, el segmento que representa 1° del 
paralelo tiene, independientemente de su latitud, una misma longitud, mientras que 
en la realidad la longitud del grado de un paralelo es tanto menor cuanto más 
elevada es su latitud. 
 
 
Figura 3 
 
En vista de que la superficie tiene dos dimensiones se ha aceptado denominar 
bidimensional a la geometría que estudia las figuras que se encuentran sobre una 
superficie determinada, y denominar espacio bidimensional a la propia superficie. 
Desde hace mucho tiempo se conocen dos variedades de la geometría 
bidimensional: la euclidiana (para el plano) y la esférica. Al hecho de existir una 
geometría bidimensional no euclidiana los matemáticos no le daban gran 
importancia por la simple razón que la esfera se estudiaba en el espacio euclidiano 
 
10 Gerardo Mercator (1512 - 1594), eminente cartógrafo flamenco. La proyección cartográfica propuesta por él en el 
año 1569 obtuvo una divulgación general y desde entonces, las cartas marítimas se ejecutan en esta proyección. 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 13
tridimensional, y esto obligaba a olvidar las propiedades no euclidianas de la esfera 
como tal 
Como resultado de las investigaciones de Lobachevski se puso en claro que no sólo 
son concebibles las superficies con propiedades no euclidianas, sino que también lo 
son los espacios no euclidianos tridimensionales. 
La introducción del concepto de las geometrías tridimensionales no euclidianas 
puede provocar dudas si no se hacen las aclaraciones siguientes. 
A veces es cómodo representar en forma geométrica los resultados del estudio de 
una clase determinada de fenómenos. Por ejemplo, los datos concernientes al 
incremento de la productividad del trabajo frecuentemente se exponen en forma de 
gráficas y diagramas. Esto demuestra que mediante imágenes geométricas se 
pueden describir diversos procesos y estados reales que no tienen relación directa 
con la geometría. 
Si se considera la gráfica como una línea del plano euclidiano, es evidente que en el 
ejemplo expuesto anteriormente se han empleado imágenes de la geometría 
euclidiana bidimensional. En otros casos más complicados se tiene que recurrir a las 
geometrías euclidianas y no euclidianas tridimensionales e, incluso, 
polidimensionales. De esto no se debe deducir que todas ellas describen relaciones 
de extensión; éstas son teorías que, en sus formulaciones, utilizan términos 
geométricos a los que, hablando en general, se les atribuye un contenido no ligado 
a las nociones espaciales. Así, por ejemplo, al agregar el tiempo a las tres 
dimensiones del espacio real en calidad de una cuarta dimensión, introducimos el 
concepto de espacio cuatridimensional en el que el intervalo determinado de tiempo 
se considera como un “segmento de la recta”. En la mayoría de los casos semejante 
enfoque crea solamente la apariencia de claridad, cosa que, hasta cierto grado, 
facilita el análisis del fenómeno que se estudia por este método. 
De tal modo, la construcción de las geometrías no euclidianas se justifica por la 
posibilidad de utilizar sus deducciones para objetos que en la realidad existen. La 
circunstancia de que estas deducciones se formulan con términos de la geometría 
no tiene importancia esencial: las formulaciones geométricas se pueden modificar 
fácilmente de tal manera que correspondan a las propiedades de los objetos y 
fenómenos que se estudian. 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 14
Advertiremos que en las aplicaciones de la matemática, en aquellos casos en los 
que la teoría presta servicio a objetos que se someten a unas mismas leyes 
matemáticas aunque cualitativamente son diferentes, se practica con frecuencia la 
sustitución de unos conceptos por otros11. 
Se debe hablar especialmente de las geometrías tridimensionales. Estas pueden 
considerarse, independientemente de otras aplicaciones que tengan, como hipótesis 
que pretenden a describir las propiedades del espacio real. La cuestión respecto a 
cuál de estas hipótesis esté más cerca de la realidad, solamente puede ser resuella 
mediante la comprobación experimental de sus tesis. 
Señalaremos el hecho siguiente, muy importante para la exposición ulterior; en el 
plano euclidiano se puede construir (así como se hace para la esfera y, además, no 
por un solo procedimiento) la carta del plano de Lobachevski. El estudio de una de 
semejantes cartas se admitirá en nuestro libro como base para el estudio de la 
geometría hiperbólica. 
Es característico que la geometría de Lobachevski obtuvo reconocimiento general en 
las circunstancias siguientes. En el año 1868 el matemático italiano Eugenio 
Beltrami descubrió que en el espacio euclidiano existe una superficie que tiene las 
propiedades del plano de Lobachevski, mejor dicho, de cierto pedazo de este plano 
(si se consideran como “rectas” en esta superficie las líneas más cortas). Este 
descubrimiento, que al poco tiempo condujo a la construcción de diferentes cartas 
del plano de Lobachevski, convenció a los sabios de la justeza de las ideas del gran 
geómetra ruso, sirvió de impulso para el estudio profundo de sus obras y dio 
comienzo a numerosas investigaciones en la rama de las geometrías no euclidianas. 
El descubrimiento de las geometrías no euclidianas planteó ante la física un 
problema extraordinariamente complejo: aclarar si el espacio físico real es 
euclidiano, como antes pensaban, y si no lo es, a qué tipo de espacios no 
euclidianos pertenece”12. Para la solución de este problema se requiere una 
comprobación experimental de la justeza de los axiomas, estando claro que con el 
perfeccionamiento de los instrumentos de medición aumenta la seguridad de los 
 
11 Respecto al empleo práctico de este principio véase el artículo "Simulación” en el libro de V. G. Boltianski “¿Qué 
es el cálculo diferencial?” (serie de “Lecciones populares de matemáticas”, Editorial Mir, Moscú). 
12 Al examinar esta cuestión se debe tener en cuenta la posibilidad de que el espacio real sea heterogéneo, es decir, 
la circunstancia que su estructura geométrica pueda resultar no ser igual en todas partes. 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 15
datos experimentales obtenidos y aparece la posibilidad de penetrar en detalles que 
antes se escapaban de la atención de los investigadores. 
Así pues Lobachevski retornó la geometría a la interpretación materialista de los 
axiomas como proposiciones que constatan las propiedades geométricas 
fundamentales del espacio y que fueron concebidos por el hombre como resultado 
del experimento. 
Actualmente es imposible considerar resuelta hasta el fin la cuestión respecto a la 
estructura geométrica del espacio físico real. No obstante, señalaremos que la teoría 
contemporánea de la relatividad, basándose en numerosos datos, considera que el 
espacio real no es euclidiano y que además, por sus propiedades geométricas, esmucho más complejo que el espacio de Lobachevski. Uno de los golpes más fuertes 
a la convicción que la estructura del espacio real era euclidiana le asestó el 
descubrimiento de la ley física de acuerdo a la cual no existe velocidad alguna que 
supere la velocidad de la luz. 
Ahora podemos responder a una pregunta que con frecuencia oímos: ¿cuál de las 
dos geometrías es la verdadera, la de Euclides o la de Lobachevski? 
Semejante pregunta no surge respecto a las geometrías bidimensionales euclidiana 
y esférica, es absolutamente obvio que ambas son verdaderas, pero cada una de 
ellas tiene su campo de aplicación: no pueden ser usadas las fórmulas de la 
geometría esférica para las figuras planas, así como no pueden ser usadas las 
fórmulas de la geometría bidimensional euclidiana para las figuras en la esfera. Esto 
mismo es también justo respecto a las diversas geometrías tridimensionales cada 
una de ellas, siendo lógicamente no contradictoria, encuentra empleo en una rama 
determinada, no siendo obligatorio que ésta sea geométrica; no obstante, cada una 
de ellas se negará a servir si a sus principios se les atribuye un carácter universal. 
La cuestión referente a la estructura del espacio real, como ya señalábamos, 
pertenece a la competencia de la física y no puede ser resuelta con las fuerzas de la 
geometría pura. Su particularidad consiste, entre otras cosas, en que ninguna 
geometría refleja las relaciones de extensión con exactitud absoluta; así, por 
ejemplo, debido a la estructura molecular de la materia, no existen cuerpos 
accesibles a la apreciación de sus dimensiones que posean las propiedades 
geométricas de la esfera ideal. Precisamente por esto, la aplicación de reglas 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 16
geométricas a la solución de problemas concretos conduce inevitablemente a 
resultados aproximados. De tal modo, nuestra noción respecto a la estructura 
geométrica del espacio real se reduce de hecho a la convicción científicamente 
basada de que una geometría determinada describe mejor que otras las relaciones 
reales de la extensión. 
Por el hecho que en la teoría de la relatividad se utilizan fórmulas de la geometría 
no euclidiana no se deduce todavía la necesidad de entregar la geometría de 
Euclides al archivo, tal y como ocurrió con la astrología, la alquimia y otras seudo 
ciencias semejantes. Tanto una como otra geometría representan un instrumento 
para el estudio de las formas espaciales, pero la primera permite efectuar 
investigaciones mas detalladas, mientras que la segunda es suficiente para la 
solución de la inmensa mayoría de problemas prácticamente importantes de muy 
elevado grado de exactitud y como, además, se distingue por ser muy simple, 
siempre le estará asegurada una amplia aplicación. 
Al terminar nuestro breve esbozo señalaremos aquello nuevo que aportó 
Lobachevski en el desarrollo de las ideas geométricas. 
Los méritos científicos de este notable pensador no se agotan con el hecho de que 
haya arrancado el velo del misterio milenario del axioma del paralelismo; la 
importancia de sus investigaciones es inmensurablemente más amplia. 
Habiendo sometido a un análisis critico uno de los axiomas euclidianos, Lobachevski 
dio comienzo a la revisión de algunas posiciones iniciales del sistema de Euclides, 
hecho que posteriormente condujo a la elaboración de principios rigurosamente 
científicos de construcción axiomática de la geometría y de otras ciencias 
matemáticas. 
El descubrimiento por Lobachevski de la geometría hiperbólica sacó a la ciencia 
concerniente a las formas espaciales de los estrechos limites del sistema euclidiana 
La geometría de Lobachevski encontró aplicación directa en la teoría de integrales 
definidas y en otras ramas de la matemática. 
Lobachevski suscitó la elaboración de cuestiones que no podían surgir con el estado 
precedente de la matemática y, entre ellas, la cuestión respecto a la estructura 
geométrica del espacio real. Sin su descubrimiento no hubiera podido desarrollarse 
la teoría de la relatividad, uno de los mayores alcances de la física contemporánea. 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 17
Partiendo de las investigaciones de Lobachevski los sabios construyeron una teoría 
que permite efectuar el cálculo de los procesos que transcurren en el interior del 
núcleo atómico. 
Para concluir señalaremos la importancia gnoseológica13 de las ideas del gran 
matemático ruso. Antes de Lobachevski, durante el transcurso de muchos siglos, 
reinaba en la geometría el punto de vista idealista que remontaba a Platón, el 
filósofo de la Grecia antigua atribuyendo a los axiomas del sistema euclidiano un 
carácter absoluto éste negaba su procedencia experimental. Lobachevski rompió 
categóricamente con este punto de vista y retornó la geometría a las posiciones del 
materialismo. 
 
 
13 Gnoseología es la ciencia del conocimiento. 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 18
Capítulo 3 
INVERSIÓN 
 
Supongamos que se enseñó una regla que permite pasar de cualquier figura dada a 
otra, de tal manera que la segunda figura queda absolutamente determinada si se 
ha dado la primera y viceversa. Dicho paso se denomina transformación 
geométrica. La inversión, a la par con la traslación paralela, la transformación de 
similitud, el giro de la figura y la proyección, pertenece también al número de 
transformaciones geométricas más usuales. Por ejemplo, esta transformación se 
utiliza ampliamente en la matemática como método para la resolución de problemas 
de construcción, en la teoría de las funciones de variable compleja, en el estudio de 
las cartas de la superficie de Lobachevski. 
En el capítulo presente damos la determinación de la inversión y de las nociones 
relacionadas con ella y examinamos una serie de sus propiedades fundamentales. 
Supongamos que en el plano α se da la circunferencia k con el radio r y el centro O 
y el punto A diferente de O. Elijamos en la semirrecta OA el punto A’, de tal manera 
que el producto de los segmentos OA y OA’ sea igual al cuadrado del radio de la 
circunferencia k: 
 
OA · OA’=r (1) 
 
Convengamos decir que los puntos A y A’ son simétricos respecto a la circunferencia 
k. 
Si uno de los puntos A, A’ se encuentra fuera de la circunferencia k, el otro se 
hallará en el interior de ésta, y viceversa; por ejemplo, de la desigualdad OA > r 
deducimos, tomando en consideración la condición (1), que OA’ < r. Si el punto A o 
A’ se encuentra en la circunferencia k, resultará que A y A’ coinciden. 
 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 19
 
Figura 3 
 
Examinemos la figura 3 donde AB es la tangente a la circunferencia k y BA’ es la 
perpendicular a OA. Puesto que OA’ es la proyección del cateto OB del triángulo 
rectángulo OAB sobre la hipotenusa OA 
 
OA · OA’ = OB2 = r2 
 
y, por consiguiente, los puntos A y A’ son simétricos respecto a k. De aquí que sea 
evidente la construcción del punto A’, si se ha dado el punto A, y la del punto A si se 
ha dado el punto A’. 
 
Teorema 1. Si la circunferencia q pasa por dos puntos diferentes A y A’, simétricos 
respecto a la circunferencia k, resulta ser que las circunferencias k y q son 
ortogonales entre sí. 
Se denominan ortogonales dos circunferencias si éstas se cortan en ángulo recto, es 
decir, si las tangentes a ellas en el punto de intersección (o, lo que es lo mismo, sus 
radios trazados a este punto)son perpendiculares entre si. 
 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 20
 
Figura 4 
 
Sea P uno de los puntos de intersección de las circunferencias k y q (figura 4). 
Como OP es el radio de la circunferencia k, la igualdad (1) adquiere el aspecto: OA · 
OA’ = r2. Por otro lado, el producto de los segmentos OA y OA' es igual al cuadrado 
de la tangente trazada desde el punto O a la circunferencia q; entonces OP es la 
tangente a q. Por consiguiente, los radios OP y QP de las circunferencias dadas son 
perpendiculares entre si y estas circunferencias son ortogonales entre sí. 
Advertiremos que cualquier circunferencia que pasa por dos puntos diferentes, 
simétricos respecto a una recta, corta a ésta en ángulo recto. La analogía de esta 
propiedad con el caso expuesto en el teorema 1 condicionó el traslado del término 
“simetría” para el caso de dos puntos situados de tal manera respecto a la 
circunferencia dada que cualquier circunferencia que pasa por ellos es ortogonal 
respecto a la circunferencia dada. 
 
Teorema 2. Si las circunferencias k y q son ortogonales entre si, resulta ser que la 
circunferencia que pasa por el centro O de la circunferencia k, y que corta a la 
circunferencia q, corta a ésta en puntos simétricos respecto la circunferencia k. 
Designemos por A y A’ los puntos de intersección de esta recta con q y por P uno de 
los puntos comunes de las circunferencias k y q (figura 4). Puesto que las 
circunferencias dadas son ortogonales entre si, la recta OP es tangente a la 
circunferencia k y, por esto, 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 21
 
OA · OA’ = OP2 
 
De aquí deducimos que los puntos A y A’ son simétricos respecto a la circunferencia 
k. 
 
Teorema 3. Sea dado el triángulo 0AB, donde O es el centro de la circunferencia k, 
y’ los puntos A’ y B’, simétricos con A y B respecto a k. Entonces 
 
 OAB =  OB'A' y 
 OBA =  OA' B' 
 
 
Examinemos la figura 5. De la igualdad 
 
OA · OA’ = OB · OB’ 
 
que se deduce de la condición (1) obtenemos: OA : OB’ = OB : OA'. Por 
consiguiente, los triángulos OAB y OB'A’, que tienen común el ángulo AOB, son 
semejantes. De aquí deducimos que el teorema es justo. 
Señalaremos que alrededor del cuadrilítero ABB’A’ puede ser circunscrita una 
circunferencia de tal manera que A’AB + A’B’B = 2d. Del teorema 1 se deduce 
que esta circunferencia es ortogonal a la circunferencia k. 
Examinemos ahora la transformación del plano, que consiste en lo siguiente: cada 
dos puntos de este plano, simétricos respecto a la circunferencia k intercambian de 
sitio. Semejante transformación se denomina inversión, la circunferencia k se 
denomina circunferencia de inversión y su centro es el polo de la inversión. Si la 
inversión respecto a k transforma la figura F en la figura F', se dice que F es 
simétrica con F’, y que F es simétrica con F' respecto a la circunferencia k. 
 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 22
 
Figura 5 
 
Advertiremos que no existe punto alguno simétrico al polo de la inversión respecto a 
la circunferencia de inversión. 
No es difícil ver que los puntos que se encuentran fuera del círculo limitado por la 
circunferencia de inversión se transforman en puntos de este circulo, a excepción 
del polo de inversión, y viceversa, los puntos de la circunferencia de inversión se 
pasan a si mismos; la recta que pasa por el polo de inversión O se pasa a si misma, 
pero pierde con ello el punto O. 
 
Teorema 4. La inversión transforma la recta que no pasa por el polo de inversión 
en una circunferencia que pasa por el polo de inversión. 
Supongamos que A es la base de la perpendicular bajada desde el polo de inversión 
O sobre la recia l, B es un punto cualquiera de la recia l y A’ y B’ son los puntos 
simétricos, respectivamente, con A y B en relación a la circunferencia de inversión k 
(figura 6). Construyamos en el segmento OX, como en el diámetro, la circunferencia 
q. En virtud del teorema 3, OB'A' = OAB y, por esto, OB’A' = d por consiguiente, 
el punto B’ se encuentra en la circunferencia q. Por otro lado, sea C’ cualquier otro 
punto diferente de O en la circunferencia q; entonces la recta OC cortará l en cierto 
punto C que, como es fácil ver, durante la inversión dada se convertirá en el punto 
C'. 
 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 23
 
Figura 6 
 
Así pues, el teorema ha sido demostrado, pero es menester tener en cuenta que la 
recta l se transforma en una figura compuesta por la circunferencia q, sin el punto 
O. 
Advertiremos que el centro de la circunferencia q pertenece a la perpendicular 
bajada desde O sobre l. 
Si la recta l no tiene puntos comunes con la circunferencia de inversión k, entonces 
la circunferencia q se encuentra en el interior de k. 
Si l hace contacto con k en cierto punto, entonces q hará contacto con k en el 
mismo punto. 
Si l y k se cortan, entonces q pasará por el punto de su intersección. 
 
Teorema 5. La inversión transforma la circunferencia que pasa por el polo de 
inversión en una recta que no pasa por el polo de inversión. 
 
Supongamos que O (el polo de inversión), A y B son tres puntos diversos de la 
circunferencia q, y .A’ y B’ son puntos simétricos con A y B respecto a la 
circunferencia de inversión. En virtud del teorema 4 la recta A’B’ se transforma en 
una circunferencia que pasa por O, A y B, es decir, en la circunferencia q, y de aquí 
se deduce que q se transforma en la recta A’B’. 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 24
Teorema 6. La inversión transforma la circunferencia que no pasa a través del polo 
de inversión en una circunferencia que tampoco pasa por el polo de inversión. 
 
Sean k la circunferencia de inversión con el radio r y el centro O, y q, la 
circunferencia dada que no pasa por O (figura 7). 
 
 
Figura 7 
 
Tomemos en q un punto cualquiera A y designemos por B el segundo punto de 
intersección de la recta OA con q, y designemos por A’ y B’ los puntos 
respectivamente simétricos con A y B respecto a k. Entonces 
 
OA · OA’ = OB · 0B = r2. 
 
De aquí 
OA/OB' = OB/OA' (2) 
 
y 
OA · OB · OA' · OB' = r4 
El producto 
 
OA · OB = g, 
 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 25
en virtud de los conocidos teoremas de la geometría elemental, no varía al 
desplazar el punto A por q. Por consiguiente, y es una magnitud constante que es 
positiva si O se encuentra fuera de q, y que es negativa si O se encuentra en el 
interior de q (ya que en este último caso las direcciones de los segmentos OA y OB 
son opuestas). 
De las dos igualdades últimas hallamos: OA' · OB' = r4/ g y por lo tanto 
 
(OA / OB') · (OB · OA') = g2 / r4 
 
o. teniendo en cuenta la relación (2), 
 
(OA / OB') = g / r2 
 
(el signo está bien elegido pues los segmentos OB y OB’ tienen una misma 
dirección). De la última igualdad se deduce que las figuras descritas por los puntos 
A y B’ son semejantes; por consiguiente, el teorema está demostrado: el punto B’ 
describe una circunferencia (que designaremos por q'. 
El polo de inversión O será el centro de similitud de las circunferencias q y q’, y 
resultará ser exterior si g> 0 e interior si g < 0. En el primer caso Q se encuentra 
fuera y en el segundo,dentro de las circunferencias q y q’. 
Si la circunferencia q hace contacto con la circunferencia k en cierto punto, entonces 
q’ hará contacto con k en ese mismo punto. 
Si las circunferencias k y q se cortan, entonces q’ pasará por el punto de su 
intersección. 
La circunferencia q es ortogonal a k y, durante la inversión, se transforma en sí 
respecto a k (q’ coincide con q), hecho que se deduce del teorema 2. 
Si la línea de los centros de las circunferencias k y q corta q en los puntos M y N 
(donde M' y N’ son los puntos simétricos a M y N respecto a k), entonces el 
segmento M'N’ será el diámetro de la circunferencia q’ (figura 7). Al construir la 
circunferencia q’ se puede hacer uso de esta observación. 
Señalaremos que los centros de las circunferencias q y q’ no son simétricos respecto 
a la circunferencia de inversión k. 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 26
 
Teorema 7. Los puntos de intersección de dos circunferencias p y q, ortogonales a 
la circunferencia k, son simétricos respecto a k. 
 
El teorema es obvio, ya que cada una de las circunferencias p y q. durante la 
inversión respecto a k, se transforma en si y, por consiguiente, los puntos de su 
intersección A y A’ permutarán de lugar (figura 8). 
 
 
Figura 8 
 
Teorema 8. Si M y M’ son puntos simétricos respecto a la circunferencia k de dos 
líneas m y m’, que también son simétricas respecto a k, resulta ser que las 
tangentes a m y m’ en los puntos M y M’ o bien son perpendiculares a la recta MM’, 
o bien forman con ésta un triángulo isósceles con base MM’. 
 
Tomemos en m el punto N, diferente de M y construyamos el punto N’, simétrico a 
N respecto a k (figura 9). Es evidente que N’ pertenece a m’. Las rectas MM’ y NN’ 
pasan por el centro O de la circunferencia k. 
 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 27
 
Figura 9 
 
Construyamos las rectas MN y M’N’: sea así que éstas se cortan en el punto P. Si 
 
MON = θ, OMN = φ 
 
en virtud del teorema 3. ON’M’ = φ. Por esto, en el triángulo MM’P 
 
M = φ, M’ = φ + θ. 
 
Supongamos que el ángulo O tiende a cero en la condición de que el punto M es 
inmóvil. Entonces, en el límite, las secantes MN y M'N' pasarán a ser tangentes a m 
y m' en los puntos M y M', y el triángulo MM’P se convertirá en isósceles. 
Efectivamente 
 
 
 
De tal manera, el teorema queda demostrado. 
 
Teorema 9. La inversión no varía la magnitud del ángulo. 
 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 28
Examinemos las líneas m y n, que se cortan en el punto A. Supongamos que m, n y 
A se transforman en m', n' y A' durante la inversión respecto a la circunferencia k. 
Del teorema 8 se deduce que el ángulo entre las tangentes a m y n en el punto A es 
igual al ángulo entre las tangentes a m' y n’ en el punto A’, que es lo que se quería 
demostrar. 
A la transformación que no varía la magnitud de los ángulos se la denomina 
transformación conforme. De lo precedente se deduce que la inversión es una 
transformación conforme. 
 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 29
Capítulo 4 
CARTA DEL PLANO DE LOBACHEVSKI 
 
Examinemos el plano ω y, en él, la recta u, que divide a ω en los semiplanos  y '. 
Supongamos que el semiplano  representa la carta de cierto espacio bidimensional 
H. Vamos a diferenciar la longitud s de la línea del espacio H y la longitud σ de la 
imagen de esta línea en la carta dada; a las magnitudes s y σ las denominaremos, 
respectivamente, longitudes hiperbólica y euclidiana. 
 
 
Figura 10 
 
Para la medición de longitudes en la carta que examinamos pondremos como base 
los principios siguientes. 
1. La longitud hiperbólica del segmento MN, que es paralelo a la recta u y que 
se encuentra de ésta a la distancia y, es igual a MN/y, es decir, es igual al 
cociente de la división de la longitud euclidiana de este segmento por su 
distancia euclidiana de u. 
2. Si σ es euclidiana, s es la longitud hiperbólica del arco de la curva (o del 
segmento de la recta no paralela a u), y e y’ son, respectivamente, las 
distancias euclidianas mínima y máxima de sus puntos a u y, al mismo 
tiempo, y ≠ 0 (figura 10), resulta ser que se cumple la desigualdad σ/y' < s 
< σ/y 
 
Más tarde nos convenceremos que el espacio H, cuya carta posee las propiedades 
citadas más arriba, es el plano de Lobachevski. 
Partiendo de los principios 1 y 2 no es difícil indicar el procedimiento general de 
medición de las longitudes hiperbólicas. 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 30
Hallaremos al principio la longitud hiperbólica s del arco AB, que posee las 
propiedades siguientes: si el punto se desplaza por este arco desde A hacia B, su 
distancia de la recta u crece; la distancia del punto A a u no es igual a cero; el arco 
AB es suave, es decir, no tiene inflexiones (figura 11). 
 
 
Figura 11 
 
Marquemos en el arco AB, siguiendo de A hacia B, los puntos 
 
A, P1, P2,..., pn-1, B (*) 
 
Supongamos que las magnitudes 
y0, y1, y2, .... yn-1, yn 
σ1, σ2, ...., σn 
ζ1, ζ2, ...., ζn 
 
designan, respectivamente, la distancia euclidiana de los puntos (*) respecto a la 
recta u; las longitudes euclidianas de los arcos AP1, P1P2. ..., Pn-1B, que son partes 
del arco AB; las longitudes euclidianas de las cuerdas que comprenden estos arcos. 
Formemos las sumas: 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 31
 
 
En virtud del 2° principio tendremos: 
 
Σ < s < Σ' (3) 
 
ya que, de acuerdo a la condición, 0 < y0 < y1 <... < yn. Examinemos la diferencia 
 
     1
1
12
21
2
01
10
1


 nn
nn
n yy
yy
...yy
yy
yy
yy
'

 
 
El segundo miembro de esta igualdad aumentará si se sustituyen cada una de las 
magnitudes σ1, σ2, ...., σn por la mayor de ellas (que designaremos por σ’) y cada 
denominador se sustituye por y02. Por consiguiente: 
 
 
 
Si σ’ tiende a cero, de esta desigualdad se deduce que la diferencia Σ - Σ' también 
se aproxima a cero. 
Transformemos ahora la suma Z hasta que adquiera el aspecto de 
 
 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 32
 
De aquí, designando por α la menor y por β la mayor de las relaciones 
 
n
n,...,






2
2
1
1 
 
obtenemos 
 
αΣ < Z < βΣ (4) 
 
Supongamos que el número α aumenta ilimitadamente y supongamos que al mismo 
tiempo cada una de las magnitudes σ1, σ2, ...., σn, y, por consiguiente, la magnitud 
σ' tienden a cero. Entonces la diferencia Σ - Σ' se aproximará, como demostramos 
anteriormente, a cero, mientras que las magnitudes α y β tienden a la unidad14. 
Debido a esto, de las desigualdades (3) y (4) se deduce que cada una de las sumas 
Σ, Σ' y Z se aproximará a un mismo límite y que éste será igual a la longitud 
hiperbólica s del arco AB. 
Lo más cómodo es utilizar la suma Z, puesto que en ella figuran las longitudes de 
los segmentos euclidianos y no las de los arcos, Así pues 
 
 (5) 
 
donde la transición al límite se efectúa en las condiciones indicadas anteriormente. 
Advertiremos que en la igualdad (5) por y1 se puede admitir la distancia entre 
cualquier punto del segmento AP1 y la recta u, por y2 se puede admitirla distancia 
entre cualquier punto del segmento P1P2 y u, etc. Con esto la suma Z puede cambiar 
su magnitud, pero su límite no variará. 
 
 
14 Es sabido que la relación de la cuerda del arco que ésta comprende tiende a la unidad cuando la longitud del arco 
se aproxima a cero (aquí tenemos en cuenta un arco de una línea suave) 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 33
 
Figura 12 
 
Si el arco de cierta línea se puede dividir en un número finito de partes que 
satisfagan las condiciones expuestas más arriba para el arco AB, resulta ser que la 
longitud hiperbólica de este arco representa la suma de las longitudes hiperbólicas 
de dichas partes. Por ejemplo, el arco AD, expuesto en la figura 12, lo dividimos en 
las partes AB, BC y CD, pero los puntos de división los marcamos en el arco CD 
partiendo desde D hacía C. 
Supongamos que los puntos del semiplano  se desplazan de tal manera que la 
longitud hiperbólica de cualquier arco perteneciente a este semiplano es igual a la 
longitud hiperbólica de este mismo arco en su nueva posición. Semejante 
desplazamiento de les puntos lo denominaremos movimiento hiperbólico. Este 
concepto es análogo al concepto del movimiento del plano euclidiano, por ejemplo, 
al giro del plano euclidiano en cierto ángulo alrededor de cualquier punto de dicho 
plano. 
 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 34
 
Figuras 13 y 14 
 
Si el movimiento hiperbólico transforma la figura F en F1 entonces las figuras F y F1 
se denominan figuras hiperbólicamente iguales. 
Examinemos los tipos más simples de movimientos hiperbólicos: 
 
1) Si se traspasa cada punto del semiplano  en una misma distancia y en una 
misma dirección paralelamente a la recta u resulta que cada figura se 
transforma en otra hiperbólicamente igual a ella, pues no varia ni su 
magnitud euclidiana, ni la distancia de sus puntos a u. De aquí deducimos 
que el desplazamiento euclidiano del semiplano  a lo largo de la recta es un 
movimiento hiperbólico. 
2) Supongamos que la transformación de similitud con centro en el punto 
arbitrario O de la recta u y con coeficiente positivo de similitud transforma el 
segmento MN en el segmento M1N1 (figura 13). Designemos por y e y1, 
respectivamente, las distancias de los puntos N y N1 a la recta u. En virtud de 
la semejanza de los triángulos OMN y OM1N1 tendremos: MN/y = M1N1/y1. De 
aquí y de la igualdad (5) se deduce que durante dicha transformación no 
varía la longitud hiperbólica de un arco determinado de cualquier línea. Por 
consiguiente, la transformación de similitud con centro de similitud en lo 
recta u y con coeficiente positivo de similitud es un movimiento hiperbólico. 
El coeficiente de similitud se elige positivo con el fin que el segmento M1N1 
resulte estar en el semiplano  y no en ’. 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 35
3) Examinemos la inversión respecto a la circunferencia k del radio arbitrario R 
con el centro O en la recta u (figura 14). Supongamos que M y N son puntos 
suficientemente cercanos entre sí, M’ y N’ son los puntos simétricos a los dos 
primeros respecto a la circunferencia k. Designemos por y e y' las distancias 
entre los puntos de intersección de la bisectriz del ángulo MON con los 
segmentos MN y M'N’ y la recta u. Puesto que los triángulos OMN y ON’M’ son 
semejantes, entonces MN/y = M'N'/y'. De aquí y de la igualdad (5) 
deducimos que durante la transformación dada no varía la longitud 
hiperbólica de un arco determinado de cualquier línea. Por consiguiente, la 
inversión respecto a una circunferencia de cualquier radio con centro en la 
recta u es precisamente un movimiento hiperbólico. 
4) Y, por fin, no es difícil convencerse de que la transformación de simetría 
respecto a un eje perpendicular a la recta u es precisamente un movimiento 
hiperbólico. 
 
Señalaremos que cada uno de los movimientos hiperbólicos examinados es una 
transformación conforme. Esto es evidente respecto a los desplazamientos del 
semiplano  a lo largo de la recta u, y también en lo que se refiere a las 
transformaciones de similitud y de simetría en cuanto a la inversión, su conformidad 
quedó demostrada en el Capítulo 3. 
Puesto que el movimiento hiperbólico tiene la propiedad de pasar cualquier figura a 
otra hiperbólicamente igual, la transformación que representa la secuencia de varios 
movimientos hiperbólicos, posee esa misma propiedad y, en virtud de ello, 
semejante transformación es también un movimiento hiperbólico. 
Anotaremos sin demostración alguna que cualquier movimiento hiperbólico puede 
ser presentado en forma de secuencia de un número finito de movimientos 
hiperbólicos simplísimos que anteriormente examinamos. 
Mostraremos ahora que en el semiplano  con las regias de medición de longitudes 
establecidas para él, se cumplen las tesis de la geometría de Lobachevski. 
Para ello tendremos que examinar en el semiplano  ciertas figuras que se 
caracterizan por las mismas propiedades que las respectivas figuras de la geometría 
de Euclides pero que, posiblemente se diferencien de estas últimas por su forma; 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 36
para ellas conservaremos los términos de la geometría euclidiana con el prefijo 
“hiperbólico”: por ejemplo, denominaremos recta hiperbólica a la línea por la cual se 
mide la distancia hiperbólica más corta entre cualesquiera dos puntos de ella; 
denominaremos circunferencia hiperbólica al lugar geométrico de puntos que se 
encuentran a una misma distancia hiperbólica del punto dado, 
Aclaremos cuáles líneas del semiplano  son rectas hiperbólicas. 
 
 
Figuras 15 y 16 
 
Ante todo serán rectas hiperbólicas las semirrectas euclídeas perpendiculares a la 
recta u, hecho que se deduce de las consideraciones siguientes. 
Supongamos que los puntos A y B se encuentran en la perpendicular a la recta u 
(figura 15). Unamos estos puntos con el segmento de la recta AmB y con cualquiera 
otra curva o línea quebrada AnB. Supongamos que dos recias arbitrarias a y b, 
bastante próximas entre sí y paralelas a u, cortan el segmento AmB en los puntos C 
y D y la línea AnB, en los puntos E y F. Puesto que la longitud euclidiana del 
segmento CD, hablando en general, es menor que la longitud euclidiana del arco EF 
y sus longitudes hiperbólicas pueden considerarse iguales a CD/y y EF/y, donde y es 
la distancia entre el punto D (o F) y la recta u, la longitud hiperbólica del segmento 
CD, hablando también en general, es menor que la longitud hiperbólica del arco EF 
(estas longitudes hiperbólicas serán iguales entre si solamente en la condición que 
el arco EF sea un segmento de la recta euclidiana perpendicular a u; es evidente 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 37
que esta condición no se cumple siempre, ya que, de lo contrario, el arco AnB 
coincidiría con el segmento AmB). De aquí se deduce que la longitud hiperbólica del 
segmento AmB es menor que la longitud hiperbólica del arco AnB, que es lo que se 
quería demostrar. 
Demostraremos ahora que la semicircunferencia de la circunferencia euclidiana k 
con el centro en la recta u es también una recta hiperbólica. 
Supongamos que k corta la recta u en los puntos A y B (figura 16). Describamos la 
circunferencia q con el centro en el punto A y admitamos a ésta como circunferenciade inversión. Supongamos que k y q se cortan en los puntos M y N. Durante la 
inversión respecto a q la circunferencia k, que pasa por el polo de inversión, se 
transforma en la recta MN (véase el Capítulo 3). Ya que la inversión es un 
movimiento hiperbólico y la recta MN es perpendicular a u, se ve que la 
semicircunferencia k. mediante el movimiento hiperbólico, se transforma en una 
recta hiperbólica. Por consiguiente, esta semicircunferencia es también una recta 
hiperbólica. 
De esta manera las semirrectas euclídeas perpendiculares a la recta u y las 
semicircunferencias euclidianas con el centro en la recta u serán las recias 
hiperbólicas del semiplano . A continuación, examinando el axioma 1, nos 
convenceremos que no existen otras rectas hiperbólicas. 
 
 
Figura 17 
 
Levantemos en el semiplano  una perpendicular a la recta u por cualquier punto 
arbitrario M de ésta (figura 17), elijamos en dicha perpendicular un punto A y 
construyamos los puntos A1, A2, A3,... de tal manera que se cumplan las igualdades: 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 38
 
AA1 = A1M, A1A2 = A2M, A2A3 A3M,.. 
 
Con otras palabras, A1 es el centro del segmento AM, A2 es el centro del segmento 
A1M...A3 es el centro del segmento A2M, etc. 
Examinemos la transformación de similitud con centro de similitud M y coeficiente 
de similitud 1/2. Esta transformación es un movimiento hiperbólico que traspasa los 
puntos A, A1, A2..., respectivamente, a los puntos A1, A2, A3,... De aquí se deduce 
que las longitudes hiperbólicas de los segmentos AA1, A1A2,... son iguales entre si. 
De este mudo, la construcción efectuada por nosotros se reduce a trazar en la recta 
hiperbólica AM desde el punto A. los segmentos AA1, A1A2, A2A3 hiperbólicamente 
iguales entre sí, y como se ve en la construcción, por muchos segmentos 
semejantes que construyamos, nunca alcanzaremos el punto M. Por consiguiente, M 
es un punto de la recta hiperbólica AM infinitamente alejado. Como M es un punto 
arbitrario de la recta u de lo anterior se deduce que todo punto de la recta u es un 
punto del semiplano infinitamente alejado. 
El proceso del trazado de segmentos iguales entre sí AB1, B1B2, B2B3..., en la recta 
hiperbólica AM (figura 17) puede ser efectuado también en la dirección opuesta a la 
examinada más arriba, y este proceso también será infinito. De aquí se deduce que 
el punto de la recta AM, alejado infinitamente en el sentido de la geometría 
euclidiana, será al mismo tiempo un punto de la recta hiperbólica AM infinitamente 
alejado. 
Cualquier punto de la recta hiperbólica AM, a excepción de los dos puntos indicados 
anteriormente, se encontrará a una distancia finita hiperbólica de A ya que, para un 
valor finito suficientemente grande del número entero positivo n se encontrará o 
bien en el segmento AAn, o bien en el segmento ABn. 
Así pues, la recta hiperbólica AM, y por lo tanto toda recta hiperbólica, tiene dos, y 
solamente dos puntos infinitamente alejados. 
 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 39
 
Figura 18 
 
Si la recta hiperbólica se expone como una semicircunferencia euclidiana con centro 
en la recta u, los puntos de intersección con u serán sus puntos infinitamente 
alejados. 
Señalaremos que la recta euclidiana tiene sólo un punto infinitamente alejado: éste 
es el punto común de la recia dada y de todas las rectas paralelas a ella. 
Ahora no es difícil convencerse que en el semiplano  se cumplen todos los axiomas 
del plano de la geometría de Lobachevski. Nos limitaremos a examinar dos axiomas. 
 
Axioma 1. Por dos puntos diferentes puede ser trazada una, y solamente una recta 
hiperbólica. 
Si los puntos dados A y B se encuentran en la perpendicular euclidiana a la recta u, 
esta perpendicular será la recta hiperbólica que se busca. En caso contrario 
hallamos en la recta u el punto N, equidistante de A y B, y describimos desde el 
centro N con radio NA una semicircunferencia (figura 18); ésta será la recta 
hiperbólica que buscamos. 
Demostraremos que a través de dos puntos diferentes A y B no pueden pasar dos 
rectas hiperbólicas diferentes l y l’. Es suficiente suponer que A y B pertenecen a la 
perpendicular euclidiana l a la recta u (figura 19), ya que cualquier otro caso se 
reduce a éste mediante el correspondiente movimiento hiperbólico. Para semejante 
disposición de los puntos A y B la distancia hiperbólica más corta entre ellos se 
mide, como se demostró anteriormente, solamente por la recta euclidiana l, por lo 
que en el segmento AB coinciden l y l’. Admitamos ahora que el punto C, que se 
encuentra en l’, no pertenece a l, y que además B se encuentra en l’ entre A y C. 
 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 40
 
Figura 19 
 
Entonces el arco AC’ de la semicircunferencia euclidiana k con el centro en u 
pertenecerá a la recta hiperbólica, que en el segmento AC no coincide con l', cosa 
que como acabamos de ver, es imposible. Así pues, l y l' coinciden por completo. 
De aquí se deduce que no existen otras rectas hiperbólicas que no sean las 
semirrectas euclidianas perpendiculares a u y las semicircunferencias euclidianas 
con centros en u: por cualesquiera dos puntos dados pasa una sola recta hiperbólica 
que, además, es de uno de estos dos tipos. 
 
Axioma 2. Por el punto P, que no pertenece a la recta hiperbólica p, pueden ser 
trazadas dos rectas hiperbólicas paralelas a p 
. 
Dos rectas hiperbólicas se llaman paralelas si tienen un punto común alejado 
infinitamente. En particular, las rectas hiperbólicas expuestas en forma de 
perpendiculares euclidianas a u, son paralelas; su punto común, alejado 
infinitamente, es el mismo en el semiplano y que en el plano euclidiano ω. 
 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 41
 
Figura 20 
 
Designemos por A y B (figura 20) los puntos de la recia hiperbólica p infinitamente 
alejados. Tracemos a través P y A la semicircunferencia euclidiana m con centro M 
en la recta u, y a través de P y B la semicircunferencia euclidiana n con centro N en 
u. Las semicircunferencias euclidianas m y n serán las rectas hiperbólicas que 
buscamos; éstas serán paralelas a la recta hiperbólica p en sus diferentes 
direcciones: m, en la dirección de B hacia A y a, en la dirección de A hacia B. 
Por el punto P pasan rectas hiperbólicas de tres géneros: 
1. que cortan la recta p. 
2. paralelas a p, y 
3. que no cortan la recta p y no son paralelas a ésta. 
 
Existe una multitud infinita de rectas hiperbólicas del primer género, multitud 
infinita de rectas hiperbólicas del tercer género, y sólo dos del segundo género. 
Para la construcción de una recta hiperbólica del primer género es menester desde 
cualquier punto arbitrario K del segmento MN, como desde el centro describir una 
semicircunferencia k de radio KP (figura 21). 
 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 42
 
Figura 21 
 
Si efectuamos esta misma construcción tomando por el centro de la 
semicircunferencia un punto arbitrario L de la recta u, que se encuentre fuera del 
segmento MN, obtendremos la recta hiperbólica l del tercer género (la misma 
figura). 
Ahora es obvio que el Axioma 2 es equivalente al axioma del paralelismo de 
Lobachevski formulado en el Capítulo 2. 
Si dos rectas hiperbólicas no se cortan y no son paralelas, se denominan 
divergentes. Por ejemplo, las rectasp y l (Fig. 21) son divergentes. 
De este modo, en el semiplano  se cumplen los axiomas, y quiere decir que 
también los teoremas, de la geometría de Lobachevski. Por esto el semiplano  con 
las reglas de medición de longitudes que anteriormente se establecieron para él, 
representa el plano de Lobachevski, o, hablando más exactamente, la carta del 
plano de Lobachevski en el plano euclidiano. 
Es aleccionador el comparar esta carta con la carta de la superficie terrestre 
ejecutada en la proyección de Mercator; en esta última los meridianos se exponen 
en forma de rectas paralelas a las que son perpendiculares las rectas que 
representan los paralelos (véase figura 2). Se deben considerar “rectas” en la esfera 
las circunferencias de los círculos mayores y en particular, los meridianos. Los 
paralelos, a excepción del ecuador, no son “rectas”, pero en la carta se exponen en 
forma de rectas euclidianas. De manera análoga, en el semiplano , de todas las 
rectas euclidianas perpendiculares a la recta u y paralelas a ella, las primeras son 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 43
rectas hiperbólicas y las segundas no (en el Capítulo 7 se hablará más 
detalladamente de éstas). 
Después, la longitud del grado del paralelo es tanto menor cuanto mayor es su 
latitud, pero en la carta de Mercator el segmento igual 1° del paralelo, 
independientemente de la latitud del paralelo, tiene una misma longitud. Un cuadro 
análogo se observa también en el semiplano  (véase principio L. 
Es importante señalar que la carta  es conforme, es decir, la magnitud euclidiana 
del ángulo en esta carta es igual a su magnitud real en el plano de Lobachevski. 
Primero demostraremos esto para el caso de un ángulo recto. Describamos la 
semicircunferencia k con el centro en el punto M de la recta u y tracemos en M la 
perpendicular p a la recta u (figura 22). 
 
 
Figuras 22 y 23 
 
Examinemos los ángulos 1, 2, 3, 4, formados por las rectas hiperbólicas k y p. 
Existe un movimiento hiperbólico que transforma los ángulos 1 en 2 y 3 en 4 
(simetría respecto a p), y un movimiento hiperbólico que transforma los ángulos 1 
en 3 y 2 en 4 (inversión respecto a k). De aquí se deduce que en el plano de 
Lobachevski (igual que en la carta )  1 =  2 =  3 =  4 y, por consiguiente, 
cada uno de estos ángulos es recto. Aprovechando la configuración de la figura 22 
designemos por A el punto de intersección de las líneas k y p, y por N, uno de los 
puntos de intersección de las líneas k y u (figura 23). Describamos desde el centro 
N la semicircunferencia euclidiana n del radio NA. Esta dividirá el ángulo 1, expuesto 
en la figura 22, en dos ángulos, 5 y 6, cuyas magnitudes euclidianas, como es fácil 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 44
convencerse, son iguales entre sí. La inversión respecto a n transformará k en p y p 
en k y, por consiguiente, los ángulos 5 y 6 cambiarán de sitio. De aquí se deduce 
que no sólo son iguales entre sí las magnitudes reales (hiperbólicas) de éstos, es 
decir, en el plano de Lobachevski (igual que en la carta ) cada uno de ellos es igual 
a la mitad de un ángulo recto. 
Designemos por L punto de intersección de las líneas u y n, que se encuentra al 
mismo lado del punto M que el punto N, y que es encuentra al mismo lado del punto 
M que el punto N, y describamos desde el centro L la circunferencia l del radio LA 
(figura 23). Esta dividirá el ángulo 6 en los ángulos 7 y 8, No es difícil convencerse 
de que 
 
 8 =  NAL = 1/4 d 
 
y. como  6 = 1/2 d,  7 = 1/4 d y. por consiguiente, las magnitudes euclidianas 
de los ángulos 7 y 8 son iguales entre sí. Al mismo tiempo también son iguales 
entre si sus magnitudes hiperbólicas, pues durante la inversión respecto a la 
circunferencia l estos ángulos permutan de sitio. 
De manera análoga demostramos que los ángulos que en la carta  tienen la 
magnitud euclidiana de 1/8 d, 1/16 d,.... tienen también esta misma magnitud en el 
plano de Lobachevski. 
Puesto que todo ángulo puede ser figurado en forma de una suma de un número 
finito o también en forma del límite de la suma de un número ilimitadamente 
creciente de sumandos tipo 
 
d, 1/2 d, 1/4 d, 1/8 d, 1/16 d, ... 
 
la conformidad de la carta  queda demostrada. 
 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 45
Capítulo 5 
LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO DE LOBACHEVSKI 
 
Aclaremos cómo se expresa en la carta  la circunferencia del plano de Lobachevski. 
Tracemos a través del punto M de la recta u la recta euclidiana p perpendicular a u, 
y elijamos en ella en el semiplano  dos puntos arbitrarios B y C (figura 24: MB > 
MC). Construyamos en p el punto A de tal manera que se cumpla la igualdad 
 
CM / AM = AM / BM 
 
De esta igualdad deducimos que las longitudes hiperbólicas de los segmentos CA y 
AB son iguales. Efectivamente, la transformación de similitud con centro de similitud 
M y coeficiente 
 
 
Figura 24 
 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 46
CM pasa el segmento AB a CA15. 
Designemos por O el centro euclidiano del segmento BC, describamos desde el 
centro O con radio OB la circunferencia euclidiana q y construyamos el punto 
simétrico a A respecto a la recta u. 
Como 
OA = OM — AM, OA1 = OM + MA1 = OM + AM, 
resulta que 
OA · OA1 = OM2 - AM2. (7) 
Luego, 
OM = 1/2 (BM + CM). 
y, en virtud de la igualdad (6), 
AM2 = BM · CM. 
 
Por consiguiente, a la igualdad (7) se le puede dar la forma 
OAOA1 = 1/4 (BM+ CM)2 - BM·CM= 
= 1/4 (BM2+ 2BM·CM + CM2 - 4BM · CM) 
o 
OA-OA1 = 1/4 (BM - CM)2. (8) 
Puesto que 
1/2 (BM - CM) = OB, 
 
de la igualdad (8) obtenemos 
 
OA · OA1 = OB2. 
 
De aquí vemos que los puntos A y A1 son simétricos respecto a la circunferencia q. 
Demostraremos que las distancias hiperbólicas de todos los puntos de la línea q 
respecto al punto A son iguales entre sí. 
 
15 BM·CM/AM = BM·AM/BM = AM y, por lo tanto B, pasa a ser A; AM·CM/AM = CM, por consiguiente, A pasa a ser 
C 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 47
Tracemos a través de A y A1 una circunferencia euclidiana arbitraria n (figura 25). 
Su centro N se encuentra en la recta u y, por consiguiente, su parte situada en el 
semiplano  representa en si una recta hiperbólica. 
 
 
Figura 25 
 
Supongamos que a y q se cortan en los puntos D y E, y que n y u se cortan en los 
puntos F y G. Describamos con el radio FA desde el centro F la circunferencia 
euclidiana f. Las circunferencias q y f son mutuamente ortogonales, ya que f pasa 
por los puntos A y A1, que son simétricos respecto a q (véase el Capítulo 3); por 
esto la inversión respecto a f transforma la circunferencia q en sí misma. 
Luego, esta misma inversión transforma la recta p, que no pasa por el polo de 
inversión F, en una circunferencia que pasa por F y también por los puntos A y A1, 
que durante la inversión dada permanecen inmóviles, es decir, la transforma en la 
Acerca de la Geometría de Lobachevski www.librosmaravillosos.com A. S. Smogorzhevski 
Traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas Preparado por Patricio Barros 48
circunferencia n. Por otro lado, la circunferencia n que pasa por el polo de inversión, 
se transforma en una recta que, precisamente, es p ya que esta recta debe pasar 
por los puntos A y A1. 
De aquí se deduce que los arcos AD y AE de la circunferencia

Otros materiales