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Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 
Curso 
Transferencia de Calor
Dpto. de Ingeniería Mecánica
Facultad de Ingeniería 
Universidad de Concepción 
Código: 541215 (MEC)
Nº de créditos: 4
Pre requisitos: Mecánica de fluidos – Cálculo numérico
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Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción Apuntes de Transferencia de Calor – Revisión 2011
II. OBJETIVOS
Comprender la fundamentación analítica y fenomenológica de la transferencia de calor por conducción, convección 
y radiación. Aplicar soluciones analíticas, numéricas y empíricas para resolver problemas reales.
III. OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE LA ASIGNATURA
Introducción: 
• Conocer los diferentes mecanismos de la transferencia de calor, la hipótesis de Fourier, la relación de 
Newton y la ley de Stefan Boltzmann.
Conducción:
• Dominar la ecuación de Fourier. Aplicarla a la conducción unidimensional en la placa, el cilindro y la esfera. 
• Comprender la analogía eléctrica de la conducción y el coeficiente global de intercambio de calor
• Dominar el régimen transiente y los números de Biot y Fourier. Comprender la resolución de la ecuación de 
Fourier con resistencia térmica interna despreciable.
• Aplicar la resolución de la ecuación de Fourier con resistencia térmica interna no despreciable a la 
conducción transiente en la placa, el cilindro (y la esfera). 
• Aplicar soluciones gráficas de transferencia de calor en una aleta.
•Aplicar el método de diferencias finitas para resolver problemas de conducción en régimen permanente y 
transiente.
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Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción Apuntes de Transferencia de Calor – Revisión 2011
Convección: 
• Comprender los mecanismos de transferencia de calor por convección y las ecuaciones de continuidad y 
conservación del momento y energía.
• Comprender el análisis adimensional y el significado físico de los números de Reynolds, Grashof, Prandtl y 
Nusselt.
• Comprender los conceptos de la capa límite hidráulica y térmica. Aplicar la solución analítica para placa 
plana en régimen laminar.
• Aplicar las correlaciones empíricas para convección forzada y convección natural en régimen laminar y 
turbulento. 
Cambio de fase: 
• Comprender algunos conceptos generales de la condensación y de la ebullición. Comprender la curva de 
Nukijama. 
• Aplicar estos conceptos al diseño de equipos con cambio de fase.
Radiación: 
• Dominar los conceptos y definiciones de la radiación térmica.
• Dominar las relaciones entre las variables fundamentales y las definiciones para un cuerpo negro.
• Dominar la definición de un cuerpo gris y la Ley de Kirchhoff.
• Conocer los factores de forma y las relaciones entre éstos. 
• Aplicar la analogía eléctrica para calcular la transferencia de calor por radiación entre cuerpos grises.
• Comprender el balance térmico por radiación a nivel de superficie.
• Aplicar la transferencia de calor por radiación en presencia de CO2 y de vapor de agua.
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Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción Apuntes de Transferencia de Calor – Revisión 2011
Intercambiadores de calor: 
• Conocer los diferentes tipos de intercambiadores de calor y el concepto de diferencia de temperatura 
media logarítmica.
• Conocer las características térmicas de un intercambiador y los coeficientes globales típicos de transferencia 
de calor en intercambiadores. 
• Aplicar la teoría de transferencia de calor al dimensionamiento de intercambiadores de calor. 
Objetivos transversales:
• Dominar el cálculo de errores en los resultados.
• Dominar la técnica para la detección de errores groseros en los cálculos
• Aplicar la teoría a problemas reales donde falten o sobre datos, considerando además el costo de obtener 
la información en reelección al beneficio que se obtiene con ella.
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Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 
IV. METODOLOGÍA DE TRABAJO
•TEORÍA: Exposición de los diferentes temas ilustrados con problemas, actividades grupales, tareas, etc.. 
• PRACTICA: Resolución de ejercicios, actividades grupales, tareas, etc.
•LABORATORIOS: Realización de laboratorios en los temas principales.
V. EVALUACIÓN
• Certamen 1 (22%), Certamen 2 (28%), Certamen 3 (35%), Laboratorios, test, tareas y participación en clases 
(15%).
•La realización de los laboratorios se consideran como un requisito para la aprobación de la asignatura. 
VI. BIBLIOGRAFÍA
Apuntes:
•A. Fissore. Apuntes del curso transferencia de calor. Planilla de calculo Excell y base de datos de programas 
EES
Libro Guía
• Incropera – De Witt. Fundamentos de Transferencia de Calor. Prentice Hall. Mexico. 1999. 
Otros Libros
• MILLS A.F. “Transferencia de calor”. IRWIN 1995.
• NECATI OZISIK. "Transferencia de Calor". McGraw Hill Latinoamericana, 1979.
• KREITH, FRANK. "Principles of Heat Transfer". Ed.Interna¬tio¬nal Textbook Co., 1966.
• ECKERT, E.R. & DRAKE, R.N. "Heat Transmis-sion". Ed. McGraw Hill, 1954.
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Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 
Nomenclatura
A Superficie [m2]
Cp Calor específico [J/kg K]
g Energía entregada por unidad de volumen y tiempo [W/m3]
g aceleración de gravedad [m/s2]
h Coeficiente de transferencia de calor por convección [W/m2K]
k Conductividad térmica [W/m K]
L Longitud característica [m] 
P Presión [Pa]
P Perímetro [m]
Q Calor transferido [W]
q Flujo de calor por unidad de superficie [W/m2]
r Radio [m]
R Resistencia térmica
T Temperatura [K]
t tiempo [s]
Te Temperatura de entrada a la zona considerada [K]
Tr Temperatura de referencia [K]
Ts Temperatura de salida de la zona considerada [K]
Tw Temperatura de la pared [K]
Tf Temperatura del fluido no perturbado [K]
U Coeficiente global de transferencia de calor
V Velocidad [m/s] 
Vf Velocidad del fluido no perturbado [m/s]
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Letras griegas
Difusividad térmica [m2/s]
Coef. de expansión térmica [1/k]
Viscosidad dinámica [kg/m s]
Diferencia de temperaturas [K]
Densidad [kg/m3]
Viscosidad cinemática [m2/s]
Bi
hsL
k
Números adimensionales
Biot
Fourier
Grashof
Nusselt
Fo
t
L2
Gr
g L3
2
Nu
hL
k
Prandt
Reynolds
Pr
C
k
p
Re
uL
2
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Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 
1.- Introducción
1.- Introducción
Mecanismos de Transferencia de Calor
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Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 
• Conducción: El calor se transfiere por contacto directo entre una partícula y otra. No hay traslación 
de las partículas. 
• Convección: Similar a la conducción. La diferencia es que existe una traslación de las partículas. La 
tasa de transferencia de calor es mucho mas alta. Sin embargo, en rigor la forma física de 
transferencia de calor es la misma, cambia principalmente el método de cálculo. 
• Radiación: Mecanismo completamente diferente a los anteriores. La transferencia de calor se 
produce por ondas electromagnéticas. Cumple con todas las leyes de las ondas.
En el capítulo de introducción se verán en forma simplificada los 3 mecanismos de transferencia de 
calor. Luego, en el resto del curso se retomará cada uno de ellos para verlo en forma detallada. 
1.1.- Conducción
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x
T
kq
A
Q T1 T2
X
Sólido
k es la conductividad térmica de un material, en general es 
función de P (presión) y T (temperatura) 
Con k [W/mK]
Se calcula la transferencia de calor por conducción como:
Ver en planilla Excel el detalle de 
las propiedades de los materiales.
1.1.- Conducción
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Material T Densidad Cp k
[K] [kg/m3] [J/kgK] [W/mK]
Acero al carbon ordinario 300 7854 434 60.5
Acero Inoxidable AISI 347 300 7978 480 14.2
Aluminio 195 300 7870 883 168
Arcilla 300 1460 880 1.3
Arena 300 1515 800 0.27
Asfalto 300 2115 920 0.062
Bronce comercial 300 8800 420 52
Caucho vulcanizado blando 300 1100 2010 0.13
Cobre puro 300 8933 385 401
Constantan 300 8920 384 23
Cuero (suela) 300 998 0.159
Espuma rígida de poliuretano 300 70 1045 0.026
Fibra de vidrio revestida de papel 300 16 0.046
Goma espumada rígida 300 70 0.032
Hielo 273 273 920 2040 1.88
Ladrillo común 300 1920 835 0.72
Ladrillo de arcilla refractárea 478 2645 960 1
Madera contraplacada 300 545 1215 0.12
Maderas blandas 300 510 1380 0.12
Maderas duras 300 720 1255 0.16
Mantas de fibra de oxido de silicio 300 48 0.017
Mantas de fibra de vidrio 300 12 0.046
Plata 300 10500 235 429
Poliestireno expandido moldeado 300 16 1210 0.04
Relleno suelto de celulosa, madera, pulpa o papel300 45 0.039
Relleno suelto de corcho granulado 300 160 0.045
Roca arenisca 300 2150 745 2.9
Tablero de particulas alta densidad 300 1000 1300 0.17
Tablero de particulas baja densidad 300 590 1300 0.078
Tablero de yeso carton 300 800 0.17
Propiedades de los materiales
1.1.- Conducción
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e1 e2 e3 e4
k1
k2
k3
k4
T1 T2
Para régimen permanente, conducción unidimensional, material homogéneo e isotópico:
T1 T2
Q
e
)(
)(
12
12
21 TT
e
k
xx
TT
k
x
T
kq
cdR
TT
k
e
TT
q
)()( 1212
k
e
Rcd
Para una pared multicapas . . 
CDR
TT
kekekeke
T
q 21
44332211
21 -
////
T-
 [W/m2]
AqQ  [W]
1.2.- Convección
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V
T
Tf
Ts
)( TfThq
A
Q
s
En la práctica, la transferencia de calor por convección se 
calcula mediante la siguiente ecuación
El cálculo de h es muy complejo y en la gran mayoría de los casos no tiene solución teórica. Por 
tanto, generalmente se resuelve en forma empírica.
Existe convección natural y convección forzada. En la convección natural el movimiento de las 
partículas se produce debido a la diferencia de temperaturas entre la superficie en cuestión y 
el fluido cercano a esta superficie.
h se denomina coeficiente de transferencia 
de calor por convección. [W/m2K]
cv
fsfs
R
TT
h
TT
q
1 h
Rcv
1
1.2.- Convección
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1.2.- Convección
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Efecto combinado Convección - Conducción
12121112 /)()( RTTTThq
2323223 /)())(/( RTTTTekq
34343234 /)()( RTTTThq
T1
T2 T3
T4
qqqq 342312
R
T
RRR
TT
q
321
41
1.3.- Radiación
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I Iρ
Iα
Iτ
La figura muestra el balance de calor por radiación en una superficie.
Se tiene una cantidad de radiación incidente (I), la que puede ser
reflejada, absorbida y transmitida. En los materiales opacos la
radiación transmitida es nula.
Nota: en radiación la temperara debe trabajarse en Kelvin.
Calor por radiación emitido por un cuerpo (ley de Stefan Boltzmann)
Calor emitido por cuerpo negro: 
: constante de Stefan Boltzmann. [W/m2K4]
Calor emitido por cuerpo gris. 
Donde :emisividad promedio de un cuerpo gris.
4= Tσq
8-1067.5
4= Tσεq
1.3.- Radiación
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Transferencia de calor entre 2 superficies.
Por ahora se verán solo 2 casos especiales:
Caso1. Transferencia de calor por radiación entre 2 placas planas paralelas infinitas.
Caso 2. Dos superficies. Superficie 2 rodea completamente a la superficie 1. Además A2>>A1
Linearización de la radiación para Dt pequeño ( DT = 80 K, da aprox 1% de error)
1/1/1
)-(
21
4
2
4
1
21
TT
q
1
2
)( 4
2
4
1121
TTq -
)-( 2121 TThq r 1
34 mr Th
1.4.- Efecto combinado CCR
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T1
T2
T3
q1 q2
Rcd
Rcv
Rr
cdR
TT
q 211
3222 TThrTThcqqq arcv
Ta
3TTa
)( 22 arc TThhq
rc hhk
e
TT
q
1
31
si
Resolviendo las 2 ecuaciones anteriores en forma simultánea 
se tiene:
1.4.- Efecto combinado CCR
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Ta1
Ts1
Ta2
Ts2
q
Ta1=Ts1 Ta2=Ts2
El concepto de Coeficiente Global de Transferencia de Calor 
(U) es válido para conducción unidimensional en régimen 
permanente para un sólido homogéneo e isotópico, donde la 
temperatura de las superficies que rodean el sólido 
considerado son iguales a la temperatura del fluido. Además, 
se debe cumplir que el DT (entre el sólido y Ts1 o Ts2) sea 
pequeño para poder linearizar la radiación.
COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR ( U )
21 aa TTU
A
Q
q -


R
U
1
21
11
SS hk
e
h
R
rcs hhh +=
Donde hs es el coeficiente superficial de transferencia de calor.
2. Conducción
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2.1- Ecuación General de Fourier
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n
T
kq
∂
∂
-=Para un material isotrópico se tiene:
Si se proyecta en coordenadas cartesianas:
x
T
kqx
∂
∂
-=
y
T
kqy
∂
∂
-=
z
T
kqz
∂
∂
-=
Qx
Qx dx
Qy
Qy dy
Qz
Qz dzx
y
z
x
x
Q
QQ xxdxx Δ+=+
∂
∂ 
V
x
T
k
x
zyx
x
q
x
x
Q
x
x
Q
QQQQ
xxx
xxdxxx Δ=ΔΔΔ=Δ=Δ=+
∂
∂
-
∂
∂
∂
∂
-
∂
∂
-
∂
∂
---


Se considera un volumen de control cerrado en el interior de un 
material sólido.
Con esto, el balance de calor en la dirección x queda: 
Incluyendo la ecuación de Fourier en la ecuación del 
balance se tiene:
V
y
T
k
y ∂
∂
∂
∂
V
z
T
k
z ∂
∂
-
∂
∂
En forma análoga, haciendo los balances de calor para las direcciones y, z se tienen las 
siguientes ecuaciones del flujo de calor neto.
2.1- Ecuación General de Fourier
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Balance térmico del elemento de volumen
Aplicando la ley de conservación de la energía al volumen de control se tiene:
(Flujo de calor que 
atraviesa la frontera 
del volumen )
( (calor generado 
internamente )
( Variación de la 
energía almacenada 
en el volumen )
+ =
Si g es la generación de calor internapor unidad de volumen, la generación de energía en el volumen 
se expresa por: VgΔ
La variación de energía interna se expresa por: 
d
dT
Vc
d
dT
mcu ppLa velocidad de variación de energía interna se expresa por: 
Tmcu pΔ=Δ
Luego, la ecuación de conservación de la energía queda:
d
dT
cg
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
x
p

∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2.1- Ecuación General de Fourier
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Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 
Restricción 2
Se considera que la conductividad térmica del material es constante.
d
dT
cg
z
T
y
T
x
T
k p2
2
2
2
2
2
∂
∂
∂
∂
∂
∂
d
dT
cgTk p
2∇
Expresando la ecuación en función del operador Laplaciano, se tiene
Donde, el operador Laplaciano en coordenadas cartesianas es:
2
2
2
2
2
2
2
∂
∂
∂
∂
∂
∂
z
T
y
T
x
T
2.1- Ecuación General de Fourier
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El Laplaciano se puede expresar en coordenadas cilíndricas y esféricas.
Laplaciano en coordenadas cilíndricas
Laplaciano en coordenadas esféricas
Z
r
r
2
22
22
2
2 11
z
TT
rr
T
rr
T
T
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∇
2
2
2222
2
2
sin
1
)(sin
sin
11
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∇
T
r
T
rr
rT
r
T
2.2- Solución para placa plana
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Solución válida para flujo de calor unidimensional, sin fuentes de energía interna y
régimen permanente. La ecuación general de la transferencia de calor se simplifica
como sigue:
Solución para la Placa plana
T1
T2
X
Sólido
e
0=
2
2
x
T
∂
∂
La solución general de la ecuación anterior es:
xCCT 21 +=
Las condiciones de borde a considerar son: 
En x=0, T=T1 ; En x=e, T=T2
d
dT
cg
z
T
y
T
x
T
k p2
2
2
2
2
2
∂
∂
∂
∂
∂
∂
• Unidimensional: las derivadas con respecto a y, z son nulas.
• Sin fuentes de energía interna: g =0
• Régimen permanente: la derivada con respecto al tiempo es nula. 
2.2- Solución para placa plana
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011 CT 11 TC, luego
212 eCTT
e
TT
C 122, luego
Reemplazando los valores de las constantes de integración en la ecuación para el 
campo de temperaturas, se tiene:
e
x
TTTT )( 121
La ecuación anterior representa el campo de temperaturas al interior de un sólido, 
bajo las restricciones indicadas anteriormente.
La ecuación representa la ecuación de una recta; luego, para este caso, la variación 
de temperaturas en función de x es lineal. 
2.2- Solución para placa plana
27
Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 
Cálculo del calor
Conocido el campo de temperaturas, y aplicando la ecuación de Fourier se puede 
obtener el flujo de calor.
e
TT
dx
dT 12
=
-
2112 -- TT
e
k
TT
e
k
q
dx
dT
kq
x
T
kqx -
∂
∂
- 
Derivando la ecuación para el campo de temperaturas obtenida anteriormente, se 
obtiene la derivada de T con respecto a x y luego se reemplaza en la ecuación de Fourier, 
con esto se tiene: 
2.3- Resistencia de contacto.
28
Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 
A B
TA
TBq
TT
R
BA
cont 
-
=
La resistencia de contacto se produce debido a una resistencia térmica adicional debido al 
contacto imperfecto entre 2 materiales. Generalmente, solo tiene interés en el contacto 
entre metales, ya que para el resto de los materiales, generalmente este efecto es 
despreciable.
La resistencia de contacto se define como: 
Generalmente la determinación de esta resistencia es puramente empírica. En la 
literatura se encuentras algunos valores considerando diferentes materiales, 
rugosidades de las superficies, presión de contacto y fluido de la interface. 
2.3- Resistencia de contacto.
29
Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 
2.4- Solución en coordenadas cilíndricas.
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Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 
0=+
1
+
1
+=
2
22
22
2
2
z
T
υ
T
rr
T
rr
T
T
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∇
A continuación se presenta la solución para flujo unidimensional, sin fuentes de energía
interna y régimen permanente.
La ecuación de Fourier es:
r2
r1
T1 T2
0=
1
+
2
2
r
T
rr
T
∂
∂
∂
∂
0=
dr
dT
r
dr
d
d
dT
cgTk p
2∇
Si se considera régimen permanente, las derivadas con respecto al tiempo son nulas. 
Además, sin fuente de energía interna, se tiene g=0. Con eso, la ecuación de Fourier 
queda: 
0∇∇ 22 TTk
Ahora se debe considerar el Laplaciano en coordenadas cilíndricas, el cual 
queda expresado por la ecuación:
Considerando un flujo unidimensional (en r) las derivadas con respecto 
al ángulo y a z son nulas, con esto se tiene:
2.4- Solución en coordenadas cilíndricas.
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Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 
• Notar que si bien es cierto, la condición de derivada nula respecto al eje parece ser muy 
restrictiva, en realidad no lo es tanto. 
• Imaginar situaciones en que las derivadas respecto al ángulo y a la dirección del eje son 
nulas. 
• En la práctica, esto no representa mayor problemas y la gran mayoría de los problemas 
donde hay involucrada una geometría cilíndrica (hueco), se calcula considerando las 
simplificaciones anteriores.
Desarrollando la ecuación diferencial anterior se tiene:
1=Cdr
dT
r
r
C
dr
dT 1
=
21 += CrCT ln
Las condiciones de borde para resolver la ecuación anterior son:
• en r=r1, T=T1
• en r=R2, T=T2
Luego, la solución general es:
r2
r1
T1 T2
2.4- Solución en coordenadas cilíndricas.
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Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 
2111 += CrCT ln
2212 += CrCT ln
Resolviendo el sistema y ordenando se tiene:
( )
( )[ ]1
21
21
1 += rrrr
TT
TT /ln
/ln
-
Reemplazando las condiciones de borde en la ecuación general anterior se tiene el 
siguiente sistema de ecuaciones. 
La ecuación anterior representa el campo o perfil de temperaturas en el interior del 
sólido. Recordar que la solución encontrada corresponde al campo de temperaturas en 
un cilindro hueco con variaciones de temperatura en la dirección radial. 
La ecuación anterior ya no es una recta (como en el caso de las coordenadas cartesianas) 
sino que corresponde a una curva. 
T
X
T
X
r1
r2
Placa 
plana
Cilindro
2.4- Solución en coordenadas cilíndricas.
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Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 
En forma similar al caso de la placa plana ( ver solución para la placa plana) el cálculo del 
flujo de calor se hace a partir de la ecuación de Fourier.
dr
dT
kq -=
( )21
211
==
rrr
TT
r
C
dr
dT
/ln
-
( )
( )12
21
=
rr
TT
r
k
q
/ln
-

Notar que el flujo de calor depende del radio r donde se está calculando. Por ejemplo, las 
ecuaciones para el cálculo del flujo de calor en el radio interior (r1) y exterior quedan 
respectivamente:
12
21
1
1
/ln
-
rr
TT
r
k
q
12
21
2
2
/ln
-
rr
TT
r
k
q
Como r1 es menor que r2,entonces q1 es mayor que q2. 
2.4- Solución en coordenadas cilíndricas.
34
Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 
dr
dT
kq -=
Si se considera la ecuación: 
Para el radio 1 y 2 se tiene:
1
1 -
rrdr
dT
kq
2
2 -
rrdr
dT
kq
Como la conductividad térmica es la misma, para que q1 sea mayor que q2, se debe 
cumplir que el gradiente de temperatura en 1 sea mayor que el gradiente de 
temperaturas en 2. Eso es exactamente lo que se observa en el campo de temperaturas 
mostrada anteriormente.
Se puede mostrar que Q1=Q2 (conservación de la energía). Luego, como A1 es menor 
que A2, q1 debe ser mayor que q2 para que se cumpla que Q1=Q2
2.4- Solución en coordenadas cilíndricas.
35
Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 
A continuación se muestra la solución general para un cilindro de n capas con convección interior y
convección mas radiación exterior.
Para el cálculo del q se define un área de referencia (L es el largo de la cañería). Esta es arbitraria pero
se debe indicar clamarte donde se considera el área de referencia. En realidad lo único que importa
es el Q, por lo tanto el q se puede calcular con cualquier área, pero cuidando de calcular finalmente el
Q con el área correcta.
LrAref 12
senn
n
nci hr
r
r
r
k
r
r
r
k
r
r
r
k
r
h
R
1
++++
1
=
1+
11+1
2
3
2
1
1
2
1
1 ln.....lnln∑
∑
-
R
TT
A
Q
q
fefi
ref
==


Donde n es el número de capas, Tfi es la temperatura del fluido al interior e la cañería y Tfe la 
temperatura del fluido al exterior de la cañería. 
Notar que por el interior sólo se usa el coeficiente convectivo (no el superficial) ya que se 
supone que no hay radiación interior, debido principalmente a que no hay diferencias de 
temperaturas. Por el exterior se debe usar hse, que es el coeficiente superficial, donde se 
incluye tanto la convección como la radiación.
2.4- Solución en coordenadas cilíndricas.
36
Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 
U
R
1
∑Notar que el coeficiente global de transferencia de calor U, es el inverso 
de la sumatoria de las resistencias térmicas.
Evidentemente, al igual que para la solución de la placa plana, para utilizar el concepto 
de U se deben cumplir varia condiciones.
Tarea:
1. Indicar claramente cuales son las condiciones que debe cumplirse para que se 
pueda utilizar el concepto de U en este caso.
2. Indicar algunos problemas prácticos en que no se pueda utilizar el concepto de U
3. Como sería el procedimiento de cálculo para estos casos. 
2.5- Solución en coordenadas esféricas.
37
Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 
En forma análoga a los casos anteriores se obtiene la solución en coordenadas esféricas. 
rrk
TT
Q ss
1
-
1
4
1
-
1
21
r
Recordar que geométricamente representa 
el flujo de calor radial para una esfera hueca. 
Recordar además que se consideró que no 
hay gradiente en las otras direcciones. 
Tarea:
1. Que pasa para r=0?
2. Como se explica el fenómeno?
3. Tiene alguna explicación física plausible este fenómeno? Cual?
2.6- Superficies extendidas - Aletas.
38
Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 
2.6- Superficies extendidas - Aletas.
39
Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 
Q1
Q2
e
l
Q3
A
X
321 += QQQ

xdx
dT
kAQ -1
xxdxx
dx
dx
Td
dx
dT
kA
dx
dT
kAQ
2
2 (
TfTPdxhQ s -3
( ) 0=
2
2
fx
s
TT
kA
Ph
dx
Td
--
fx TT
θm
dx
θd 2
2
2
=
kA
Ph
m
s
=Sea:
2.6- Superficies extendidas - Aletas.
40
Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 
mxmx BeAeθ +=
Condiciones de borde considerando extremo aislado
0x 0=θθ
Lx 0=
dx
θd
Solución general
mL
xLm
e
e
e
e
mL
mx
mL
mx
cosh
-cosh
11 22-
-
0
Perfil de temperaturas en una aleta
0xdx
dT
kAQ
El calor, se calcula como el calor que pasa por la base de la aleta
( )mLtghθPkAh
ee
mθkAQ smLmL 0220
=
+1
1
+1
1
= )( --
-

Derivando se obtiene:
2.6- Superficies extendidas - Aletas.
41
Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 
( ) ( )
mL
mLtgh
θPLh
mLtghθPkAh
η
s
s
==
0
0
El rendimiento es el calor real dividido por el máximo calor que es posible transferir.
El máximo calor se calcula como si toda la aleta estuviera a la temperatura de la base. 
Aleta ideal.
2.6- Superficies extendidas - Aletas.
42
Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 
Soluciones gráficas para aletas circulares
2.6- Superficies extendidas - Aletas.
43
Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 
Soluciones gráficas para aletas rectangulares de área variable
2.7- Régimen Transiente.
44
Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 
2.7.1. Resistencia interna despreciable
Q
Tf
T
( ) V
τd
dT
cρTThA pf -- =
τ
Vcρ
hA
f
f pe
TT
TT -
-
-
=
0
BiFoe
T
T -=
Δ
Δ
0
2.7- Régimen Transiente.
45
Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 
2.7.2.- Resistencia interna no despreciable
τ
T
αk
g
T
∂
∂
∇
1
=+2

+ restricciones:
-Material isotópico
- k cte.
- sin fuentes internas
- unidimensional
τ
T
x
T
α
∂
∂
∂
∂
=
2
2
Cambio de variables
fTTθ -=Se reemplaza T por 
θ
, donde:
τ
θ
x
θ
α
∂
∂
∂
∂
=
2
2
La solución general es:
( ) ( ) ( )( )mxBmxAeτxθ ατm sincos, +=
2
Donde m es el parámetro del método de separación de variables usado para 
resolver la ecuación diferencial.
2.7- Régimen Transiente.
46
Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 
2.7.2.- Resistencia interna no despreciable
Condiciones de borde
0=x 0=
x
θ
∂
∂
Lx = θh
x
θ
k =
∂
∂
0 0= θθ
 
0
T0
T
Solución particular
0=x 0=
x
θ
∂
∂Con condición de borde 1 :
Se obtiene B=0, luego: ( ) ( )( )mxAeτxθ ατm cos,
2
=
Lx = θh
x
θ
k =
∂
∂Usando condición de borde 2:
( ) ( )( )∑
2
=
mi
ii
τmiα xmAeτxθ cos, _
El problema físico a resolver es 
la introducción brusca de una 
placa en un medio a una 
temperatura diferente
2.7- Régimen Transiente.
47
Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 
2.7.2.- Resistencia interna no despreciable
 
0
T0
T
0 0= θθCon la condición de borde 3:
∑=0 )cos( xmAθ ii
)cos()sin(
)sin(
LmLmLm
Lmθ
A
iii
i
i +
2
=
0
De la teoría de funciones ortogonales se tiene:
Resolviendo …….. Se tiene : Distribución de temperaturas
∑
∞
1=0 +
2=
2
i ii
iiτmiα
LmLm
xmLm
e
θ
θ
)sin(
)cos()sin(_
∫
∂
∂
τ
Lx
τd
x
T
kq
0 =
= _
( )
( ) ( )∑
∞
1=
2
1
+
1
2=
2
i
ατmi
iii
i
o
e
LmLmLm
Lm
mLQ
Q _
cossin
sin........
00 = θcρVQ p
Calor transferido
2.7- Régimen Transiente. Solución gráfica
48
Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 
2.7- Régimen Transiente.
49
Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 
1
2
TT
TT
Y
c
c
Bihr
k
m
m
1
Nomenclatura utilizada en el gráfico anterior y en los dos siguientes:
Donde:
Tc es la temperatura del fluido en que se sumerge el sólido,
T1 la temperatura inicial del material (que se supone homogénea) y
T2 la temperatura final del sólido en el centro.
La variable identificada por m, se define como :
También existen soluciones similares para el cilindro y la esfera. Estas se 
obtienen a partir de la ecuación general de la transferencia de calor en 
coordenadas cilíndricas y esféricas, y mediante procedimientos de cálculo 
similares. Ver detalle en Incropera. 
2.7- Régimen Transiente. Solución gráfica para el cilindro
50
Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 
2.7- Régimen Transiente. Solución gráfica para la esfera
51
Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 
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