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1 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor Curso Transferencia de Calor Dpto. de Ingeniería Mecánica Facultad de Ingeniería Universidad de Concepción Código: 541215 (MEC) Nº de créditos: 4 Pre requisitos: Mecánica de fluidos – Cálculo numérico 2 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción Apuntes de Transferencia de Calor – Revisión 2011 II. OBJETIVOS Comprender la fundamentación analítica y fenomenológica de la transferencia de calor por conducción, convección y radiación. Aplicar soluciones analíticas, numéricas y empíricas para resolver problemas reales. III. OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE LA ASIGNATURA Introducción: • Conocer los diferentes mecanismos de la transferencia de calor, la hipótesis de Fourier, la relación de Newton y la ley de Stefan Boltzmann. Conducción: • Dominar la ecuación de Fourier. Aplicarla a la conducción unidimensional en la placa, el cilindro y la esfera. • Comprender la analogía eléctrica de la conducción y el coeficiente global de intercambio de calor • Dominar el régimen transiente y los números de Biot y Fourier. Comprender la resolución de la ecuación de Fourier con resistencia térmica interna despreciable. • Aplicar la resolución de la ecuación de Fourier con resistencia térmica interna no despreciable a la conducción transiente en la placa, el cilindro (y la esfera). • Aplicar soluciones gráficas de transferencia de calor en una aleta. •Aplicar el método de diferencias finitas para resolver problemas de conducción en régimen permanente y transiente. 3 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción Apuntes de Transferencia de Calor – Revisión 2011 Convección: • Comprender los mecanismos de transferencia de calor por convección y las ecuaciones de continuidad y conservación del momento y energía. • Comprender el análisis adimensional y el significado físico de los números de Reynolds, Grashof, Prandtl y Nusselt. • Comprender los conceptos de la capa límite hidráulica y térmica. Aplicar la solución analítica para placa plana en régimen laminar. • Aplicar las correlaciones empíricas para convección forzada y convección natural en régimen laminar y turbulento. Cambio de fase: • Comprender algunos conceptos generales de la condensación y de la ebullición. Comprender la curva de Nukijama. • Aplicar estos conceptos al diseño de equipos con cambio de fase. Radiación: • Dominar los conceptos y definiciones de la radiación térmica. • Dominar las relaciones entre las variables fundamentales y las definiciones para un cuerpo negro. • Dominar la definición de un cuerpo gris y la Ley de Kirchhoff. • Conocer los factores de forma y las relaciones entre éstos. • Aplicar la analogía eléctrica para calcular la transferencia de calor por radiación entre cuerpos grises. • Comprender el balance térmico por radiación a nivel de superficie. • Aplicar la transferencia de calor por radiación en presencia de CO2 y de vapor de agua. 4 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción Apuntes de Transferencia de Calor – Revisión 2011 Intercambiadores de calor: • Conocer los diferentes tipos de intercambiadores de calor y el concepto de diferencia de temperatura media logarítmica. • Conocer las características térmicas de un intercambiador y los coeficientes globales típicos de transferencia de calor en intercambiadores. • Aplicar la teoría de transferencia de calor al dimensionamiento de intercambiadores de calor. Objetivos transversales: • Dominar el cálculo de errores en los resultados. • Dominar la técnica para la detección de errores groseros en los cálculos • Aplicar la teoría a problemas reales donde falten o sobre datos, considerando además el costo de obtener la información en reelección al beneficio que se obtiene con ella. 5 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor IV. METODOLOGÍA DE TRABAJO •TEORÍA: Exposición de los diferentes temas ilustrados con problemas, actividades grupales, tareas, etc.. • PRACTICA: Resolución de ejercicios, actividades grupales, tareas, etc. •LABORATORIOS: Realización de laboratorios en los temas principales. V. EVALUACIÓN • Certamen 1 (22%), Certamen 2 (28%), Certamen 3 (35%), Laboratorios, test, tareas y participación en clases (15%). •La realización de los laboratorios se consideran como un requisito para la aprobación de la asignatura. VI. BIBLIOGRAFÍA Apuntes: •A. Fissore. Apuntes del curso transferencia de calor. Planilla de calculo Excell y base de datos de programas EES Libro Guía • Incropera – De Witt. Fundamentos de Transferencia de Calor. Prentice Hall. Mexico. 1999. Otros Libros • MILLS A.F. “Transferencia de calor”. IRWIN 1995. • NECATI OZISIK. "Transferencia de Calor". McGraw Hill Latinoamericana, 1979. • KREITH, FRANK. "Principles of Heat Transfer". Ed.Interna¬tio¬nal Textbook Co., 1966. • ECKERT, E.R. & DRAKE, R.N. "Heat Transmis-sion". Ed. McGraw Hill, 1954. 6 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor Nomenclatura A Superficie [m2] Cp Calor específico [J/kg K] g Energía entregada por unidad de volumen y tiempo [W/m3] g aceleración de gravedad [m/s2] h Coeficiente de transferencia de calor por convección [W/m2K] k Conductividad térmica [W/m K] L Longitud característica [m] P Presión [Pa] P Perímetro [m] Q Calor transferido [W] q Flujo de calor por unidad de superficie [W/m2] r Radio [m] R Resistencia térmica T Temperatura [K] t tiempo [s] Te Temperatura de entrada a la zona considerada [K] Tr Temperatura de referencia [K] Ts Temperatura de salida de la zona considerada [K] Tw Temperatura de la pared [K] Tf Temperatura del fluido no perturbado [K] U Coeficiente global de transferencia de calor V Velocidad [m/s] Vf Velocidad del fluido no perturbado [m/s] 7 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor Letras griegas Difusividad térmica [m2/s] Coef. de expansión térmica [1/k] Viscosidad dinámica [kg/m s] Diferencia de temperaturas [K] Densidad [kg/m3] Viscosidad cinemática [m2/s] Bi hsL k Números adimensionales Biot Fourier Grashof Nusselt Fo t L2 Gr g L3 2 Nu hL k Prandt Reynolds Pr C k p Re uL 2 8 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 1.- Introducción 1.- Introducción Mecanismos de Transferencia de Calor 9 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor • Conducción: El calor se transfiere por contacto directo entre una partícula y otra. No hay traslación de las partículas. • Convección: Similar a la conducción. La diferencia es que existe una traslación de las partículas. La tasa de transferencia de calor es mucho mas alta. Sin embargo, en rigor la forma física de transferencia de calor es la misma, cambia principalmente el método de cálculo. • Radiación: Mecanismo completamente diferente a los anteriores. La transferencia de calor se produce por ondas electromagnéticas. Cumple con todas las leyes de las ondas. En el capítulo de introducción se verán en forma simplificada los 3 mecanismos de transferencia de calor. Luego, en el resto del curso se retomará cada uno de ellos para verlo en forma detallada. 1.1.- Conducción 10 Dpto.Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor x T kq A Q T1 T2 X Sólido k es la conductividad térmica de un material, en general es función de P (presión) y T (temperatura) Con k [W/mK] Se calcula la transferencia de calor por conducción como: Ver en planilla Excel el detalle de las propiedades de los materiales. 1.1.- Conducción 11 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor Material T Densidad Cp k [K] [kg/m3] [J/kgK] [W/mK] Acero al carbon ordinario 300 7854 434 60.5 Acero Inoxidable AISI 347 300 7978 480 14.2 Aluminio 195 300 7870 883 168 Arcilla 300 1460 880 1.3 Arena 300 1515 800 0.27 Asfalto 300 2115 920 0.062 Bronce comercial 300 8800 420 52 Caucho vulcanizado blando 300 1100 2010 0.13 Cobre puro 300 8933 385 401 Constantan 300 8920 384 23 Cuero (suela) 300 998 0.159 Espuma rígida de poliuretano 300 70 1045 0.026 Fibra de vidrio revestida de papel 300 16 0.046 Goma espumada rígida 300 70 0.032 Hielo 273 273 920 2040 1.88 Ladrillo común 300 1920 835 0.72 Ladrillo de arcilla refractárea 478 2645 960 1 Madera contraplacada 300 545 1215 0.12 Maderas blandas 300 510 1380 0.12 Maderas duras 300 720 1255 0.16 Mantas de fibra de oxido de silicio 300 48 0.017 Mantas de fibra de vidrio 300 12 0.046 Plata 300 10500 235 429 Poliestireno expandido moldeado 300 16 1210 0.04 Relleno suelto de celulosa, madera, pulpa o papel300 45 0.039 Relleno suelto de corcho granulado 300 160 0.045 Roca arenisca 300 2150 745 2.9 Tablero de particulas alta densidad 300 1000 1300 0.17 Tablero de particulas baja densidad 300 590 1300 0.078 Tablero de yeso carton 300 800 0.17 Propiedades de los materiales 1.1.- Conducción 12 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor e1 e2 e3 e4 k1 k2 k3 k4 T1 T2 Para régimen permanente, conducción unidimensional, material homogéneo e isotópico: T1 T2 Q e )( )( 12 12 21 TT e k xx TT k x T kq cdR TT k e TT q )()( 1212 k e Rcd Para una pared multicapas . . CDR TT kekekeke T q 21 44332211 21 - //// T- [W/m2] AqQ [W] 1.2.- Convección 13 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor V T Tf Ts )( TfThq A Q s En la práctica, la transferencia de calor por convección se calcula mediante la siguiente ecuación El cálculo de h es muy complejo y en la gran mayoría de los casos no tiene solución teórica. Por tanto, generalmente se resuelve en forma empírica. Existe convección natural y convección forzada. En la convección natural el movimiento de las partículas se produce debido a la diferencia de temperaturas entre la superficie en cuestión y el fluido cercano a esta superficie. h se denomina coeficiente de transferencia de calor por convección. [W/m2K] cv fsfs R TT h TT q 1 h Rcv 1 1.2.- Convección 14 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 1.2.- Convección 15 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor Efecto combinado Convección - Conducción 12121112 /)()( RTTTThq 2323223 /)())(/( RTTTTekq 34343234 /)()( RTTTThq T1 T2 T3 T4 qqqq 342312 R T RRR TT q 321 41 1.3.- Radiación 16 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor I Iρ Iα Iτ La figura muestra el balance de calor por radiación en una superficie. Se tiene una cantidad de radiación incidente (I), la que puede ser reflejada, absorbida y transmitida. En los materiales opacos la radiación transmitida es nula. Nota: en radiación la temperara debe trabajarse en Kelvin. Calor por radiación emitido por un cuerpo (ley de Stefan Boltzmann) Calor emitido por cuerpo negro: : constante de Stefan Boltzmann. [W/m2K4] Calor emitido por cuerpo gris. Donde :emisividad promedio de un cuerpo gris. 4= Tσq 8-1067.5 4= Tσεq 1.3.- Radiación 17 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor Transferencia de calor entre 2 superficies. Por ahora se verán solo 2 casos especiales: Caso1. Transferencia de calor por radiación entre 2 placas planas paralelas infinitas. Caso 2. Dos superficies. Superficie 2 rodea completamente a la superficie 1. Además A2>>A1 Linearización de la radiación para Dt pequeño ( DT = 80 K, da aprox 1% de error) 1/1/1 )-( 21 4 2 4 1 21 TT q 1 2 )( 4 2 4 1121 TTq - )-( 2121 TThq r 1 34 mr Th 1.4.- Efecto combinado CCR 18 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor T1 T2 T3 q1 q2 Rcd Rcv Rr cdR TT q 211 3222 TThrTThcqqq arcv Ta 3TTa )( 22 arc TThhq rc hhk e TT q 1 31 si Resolviendo las 2 ecuaciones anteriores en forma simultánea se tiene: 1.4.- Efecto combinado CCR 19 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor Ta1 Ts1 Ta2 Ts2 q Ta1=Ts1 Ta2=Ts2 El concepto de Coeficiente Global de Transferencia de Calor (U) es válido para conducción unidimensional en régimen permanente para un sólido homogéneo e isotópico, donde la temperatura de las superficies que rodean el sólido considerado son iguales a la temperatura del fluido. Además, se debe cumplir que el DT (entre el sólido y Ts1 o Ts2) sea pequeño para poder linearizar la radiación. COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR ( U ) 21 aa TTU A Q q - R U 1 21 11 SS hk e h R rcs hhh += Donde hs es el coeficiente superficial de transferencia de calor. 2. Conducción 20 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 2.1- Ecuación General de Fourier 21 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor n T kq ∂ ∂ -=Para un material isotrópico se tiene: Si se proyecta en coordenadas cartesianas: x T kqx ∂ ∂ -= y T kqy ∂ ∂ -= z T kqz ∂ ∂ -= Qx Qx dx Qy Qy dy Qz Qz dzx y z x x Q QQ xxdxx Δ+=+ ∂ ∂ V x T k x zyx x q x x Q x x Q QQQQ xxx xxdxxx Δ=ΔΔΔ=Δ=Δ=+ ∂ ∂ - ∂ ∂ ∂ ∂ - ∂ ∂ - ∂ ∂ --- Se considera un volumen de control cerrado en el interior de un material sólido. Con esto, el balance de calor en la dirección x queda: Incluyendo la ecuación de Fourier en la ecuación del balance se tiene: V y T k y ∂ ∂ ∂ ∂ V z T k z ∂ ∂ - ∂ ∂ En forma análoga, haciendo los balances de calor para las direcciones y, z se tienen las siguientes ecuaciones del flujo de calor neto. 2.1- Ecuación General de Fourier 22 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor Balance térmico del elemento de volumen Aplicando la ley de conservación de la energía al volumen de control se tiene: (Flujo de calor que atraviesa la frontera del volumen ) ( (calor generado internamente ) ( Variación de la energía almacenada en el volumen ) + = Si g es la generación de calor internapor unidad de volumen, la generación de energía en el volumen se expresa por: VgΔ La variación de energía interna se expresa por: d dT Vc d dT mcu ppLa velocidad de variación de energía interna se expresa por: Tmcu pΔ=Δ Luego, la ecuación de conservación de la energía queda: d dT cg z T k zy T k yx T k x p ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2.1- Ecuación General de Fourier 23 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor Restricción 2 Se considera que la conductividad térmica del material es constante. d dT cg z T y T x T k p2 2 2 2 2 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ d dT cgTk p 2∇ Expresando la ecuación en función del operador Laplaciano, se tiene Donde, el operador Laplaciano en coordenadas cartesianas es: 2 2 2 2 2 2 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ z T y T x T 2.1- Ecuación General de Fourier 24 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor El Laplaciano se puede expresar en coordenadas cilíndricas y esféricas. Laplaciano en coordenadas cilíndricas Laplaciano en coordenadas esféricas Z r r 2 22 22 2 2 11 z TT rr T rr T T ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ 2 2 2222 2 2 sin 1 )(sin sin 11 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ T r T rr rT r T 2.2- Solución para placa plana 25 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor Solución válida para flujo de calor unidimensional, sin fuentes de energía interna y régimen permanente. La ecuación general de la transferencia de calor se simplifica como sigue: Solución para la Placa plana T1 T2 X Sólido e 0= 2 2 x T ∂ ∂ La solución general de la ecuación anterior es: xCCT 21 += Las condiciones de borde a considerar son: En x=0, T=T1 ; En x=e, T=T2 d dT cg z T y T x T k p2 2 2 2 2 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ • Unidimensional: las derivadas con respecto a y, z son nulas. • Sin fuentes de energía interna: g =0 • Régimen permanente: la derivada con respecto al tiempo es nula. 2.2- Solución para placa plana 26 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 011 CT 11 TC, luego 212 eCTT e TT C 122, luego Reemplazando los valores de las constantes de integración en la ecuación para el campo de temperaturas, se tiene: e x TTTT )( 121 La ecuación anterior representa el campo de temperaturas al interior de un sólido, bajo las restricciones indicadas anteriormente. La ecuación representa la ecuación de una recta; luego, para este caso, la variación de temperaturas en función de x es lineal. 2.2- Solución para placa plana 27 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor Cálculo del calor Conocido el campo de temperaturas, y aplicando la ecuación de Fourier se puede obtener el flujo de calor. e TT dx dT 12 = - 2112 -- TT e k TT e k q dx dT kq x T kqx - ∂ ∂ - Derivando la ecuación para el campo de temperaturas obtenida anteriormente, se obtiene la derivada de T con respecto a x y luego se reemplaza en la ecuación de Fourier, con esto se tiene: 2.3- Resistencia de contacto. 28 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor A B TA TBq TT R BA cont - = La resistencia de contacto se produce debido a una resistencia térmica adicional debido al contacto imperfecto entre 2 materiales. Generalmente, solo tiene interés en el contacto entre metales, ya que para el resto de los materiales, generalmente este efecto es despreciable. La resistencia de contacto se define como: Generalmente la determinación de esta resistencia es puramente empírica. En la literatura se encuentras algunos valores considerando diferentes materiales, rugosidades de las superficies, presión de contacto y fluido de la interface. 2.3- Resistencia de contacto. 29 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 2.4- Solución en coordenadas cilíndricas. 30 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 0=+ 1 + 1 += 2 22 22 2 2 z T υ T rr T rr T T ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ A continuación se presenta la solución para flujo unidimensional, sin fuentes de energía interna y régimen permanente. La ecuación de Fourier es: r2 r1 T1 T2 0= 1 + 2 2 r T rr T ∂ ∂ ∂ ∂ 0= dr dT r dr d d dT cgTk p 2∇ Si se considera régimen permanente, las derivadas con respecto al tiempo son nulas. Además, sin fuente de energía interna, se tiene g=0. Con eso, la ecuación de Fourier queda: 0∇∇ 22 TTk Ahora se debe considerar el Laplaciano en coordenadas cilíndricas, el cual queda expresado por la ecuación: Considerando un flujo unidimensional (en r) las derivadas con respecto al ángulo y a z son nulas, con esto se tiene: 2.4- Solución en coordenadas cilíndricas. 31 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor • Notar que si bien es cierto, la condición de derivada nula respecto al eje parece ser muy restrictiva, en realidad no lo es tanto. • Imaginar situaciones en que las derivadas respecto al ángulo y a la dirección del eje son nulas. • En la práctica, esto no representa mayor problemas y la gran mayoría de los problemas donde hay involucrada una geometría cilíndrica (hueco), se calcula considerando las simplificaciones anteriores. Desarrollando la ecuación diferencial anterior se tiene: 1=Cdr dT r r C dr dT 1 = 21 += CrCT ln Las condiciones de borde para resolver la ecuación anterior son: • en r=r1, T=T1 • en r=R2, T=T2 Luego, la solución general es: r2 r1 T1 T2 2.4- Solución en coordenadas cilíndricas. 32 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 2111 += CrCT ln 2212 += CrCT ln Resolviendo el sistema y ordenando se tiene: ( ) ( )[ ]1 21 21 1 += rrrr TT TT /ln /ln - Reemplazando las condiciones de borde en la ecuación general anterior se tiene el siguiente sistema de ecuaciones. La ecuación anterior representa el campo o perfil de temperaturas en el interior del sólido. Recordar que la solución encontrada corresponde al campo de temperaturas en un cilindro hueco con variaciones de temperatura en la dirección radial. La ecuación anterior ya no es una recta (como en el caso de las coordenadas cartesianas) sino que corresponde a una curva. T X T X r1 r2 Placa plana Cilindro 2.4- Solución en coordenadas cilíndricas. 33 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor En forma similar al caso de la placa plana ( ver solución para la placa plana) el cálculo del flujo de calor se hace a partir de la ecuación de Fourier. dr dT kq -= ( )21 211 == rrr TT r C dr dT /ln - ( ) ( )12 21 = rr TT r k q /ln - Notar que el flujo de calor depende del radio r donde se está calculando. Por ejemplo, las ecuaciones para el cálculo del flujo de calor en el radio interior (r1) y exterior quedan respectivamente: 12 21 1 1 /ln - rr TT r k q 12 21 2 2 /ln - rr TT r k q Como r1 es menor que r2,entonces q1 es mayor que q2. 2.4- Solución en coordenadas cilíndricas. 34 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor dr dT kq -= Si se considera la ecuación: Para el radio 1 y 2 se tiene: 1 1 - rrdr dT kq 2 2 - rrdr dT kq Como la conductividad térmica es la misma, para que q1 sea mayor que q2, se debe cumplir que el gradiente de temperatura en 1 sea mayor que el gradiente de temperaturas en 2. Eso es exactamente lo que se observa en el campo de temperaturas mostrada anteriormente. Se puede mostrar que Q1=Q2 (conservación de la energía). Luego, como A1 es menor que A2, q1 debe ser mayor que q2 para que se cumpla que Q1=Q2 2.4- Solución en coordenadas cilíndricas. 35 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor A continuación se muestra la solución general para un cilindro de n capas con convección interior y convección mas radiación exterior. Para el cálculo del q se define un área de referencia (L es el largo de la cañería). Esta es arbitraria pero se debe indicar clamarte donde se considera el área de referencia. En realidad lo único que importa es el Q, por lo tanto el q se puede calcular con cualquier área, pero cuidando de calcular finalmente el Q con el área correcta. LrAref 12 senn n nci hr r r r k r r r k r r r k r h R 1 ++++ 1 = 1+ 11+1 2 3 2 1 1 2 1 1 ln.....lnln∑ ∑ - R TT A Q q fefi ref == Donde n es el número de capas, Tfi es la temperatura del fluido al interior e la cañería y Tfe la temperatura del fluido al exterior de la cañería. Notar que por el interior sólo se usa el coeficiente convectivo (no el superficial) ya que se supone que no hay radiación interior, debido principalmente a que no hay diferencias de temperaturas. Por el exterior se debe usar hse, que es el coeficiente superficial, donde se incluye tanto la convección como la radiación. 2.4- Solución en coordenadas cilíndricas. 36 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor U R 1 ∑Notar que el coeficiente global de transferencia de calor U, es el inverso de la sumatoria de las resistencias térmicas. Evidentemente, al igual que para la solución de la placa plana, para utilizar el concepto de U se deben cumplir varia condiciones. Tarea: 1. Indicar claramente cuales son las condiciones que debe cumplirse para que se pueda utilizar el concepto de U en este caso. 2. Indicar algunos problemas prácticos en que no se pueda utilizar el concepto de U 3. Como sería el procedimiento de cálculo para estos casos. 2.5- Solución en coordenadas esféricas. 37 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor En forma análoga a los casos anteriores se obtiene la solución en coordenadas esféricas. rrk TT Q ss 1 - 1 4 1 - 1 21 r Recordar que geométricamente representa el flujo de calor radial para una esfera hueca. Recordar además que se consideró que no hay gradiente en las otras direcciones. Tarea: 1. Que pasa para r=0? 2. Como se explica el fenómeno? 3. Tiene alguna explicación física plausible este fenómeno? Cual? 2.6- Superficies extendidas - Aletas. 38 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 2.6- Superficies extendidas - Aletas. 39 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor Q1 Q2 e l Q3 A X 321 += QQQ xdx dT kAQ -1 xxdxx dx dx Td dx dT kA dx dT kAQ 2 2 ( TfTPdxhQ s -3 ( ) 0= 2 2 fx s TT kA Ph dx Td -- fx TT θm dx θd 2 2 2 = kA Ph m s =Sea: 2.6- Superficies extendidas - Aletas. 40 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor mxmx BeAeθ += Condiciones de borde considerando extremo aislado 0x 0=θθ Lx 0= dx θd Solución general mL xLm e e e e mL mx mL mx cosh -cosh 11 22- - 0 Perfil de temperaturas en una aleta 0xdx dT kAQ El calor, se calcula como el calor que pasa por la base de la aleta ( )mLtghθPkAh ee mθkAQ smLmL 0220 = +1 1 +1 1 = )( -- - Derivando se obtiene: 2.6- Superficies extendidas - Aletas. 41 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor ( ) ( ) mL mLtgh θPLh mLtghθPkAh η s s == 0 0 El rendimiento es el calor real dividido por el máximo calor que es posible transferir. El máximo calor se calcula como si toda la aleta estuviera a la temperatura de la base. Aleta ideal. 2.6- Superficies extendidas - Aletas. 42 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor Soluciones gráficas para aletas circulares 2.6- Superficies extendidas - Aletas. 43 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor Soluciones gráficas para aletas rectangulares de área variable 2.7- Régimen Transiente. 44 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 2.7.1. Resistencia interna despreciable Q Tf T ( ) V τd dT cρTThA pf -- = τ Vcρ hA f f pe TT TT - - - = 0 BiFoe T T -= Δ Δ 0 2.7- Régimen Transiente. 45 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 2.7.2.- Resistencia interna no despreciable τ T αk g T ∂ ∂ ∇ 1 =+2 + restricciones: -Material isotópico - k cte. - sin fuentes internas - unidimensional τ T x T α ∂ ∂ ∂ ∂ = 2 2 Cambio de variables fTTθ -=Se reemplaza T por θ , donde: τ θ x θ α ∂ ∂ ∂ ∂ = 2 2 La solución general es: ( ) ( ) ( )( )mxBmxAeτxθ ατm sincos, += 2 Donde m es el parámetro del método de separación de variables usado para resolver la ecuación diferencial. 2.7- Régimen Transiente. 46 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 2.7.2.- Resistencia interna no despreciable Condiciones de borde 0=x 0= x θ ∂ ∂ Lx = θh x θ k = ∂ ∂ 0 0= θθ 0 T0 T Solución particular 0=x 0= x θ ∂ ∂Con condición de borde 1 : Se obtiene B=0, luego: ( ) ( )( )mxAeτxθ ατm cos, 2 = Lx = θh x θ k = ∂ ∂Usando condición de borde 2: ( ) ( )( )∑ 2 = mi ii τmiα xmAeτxθ cos, _ El problema físico a resolver es la introducción brusca de una placa en un medio a una temperatura diferente 2.7- Régimen Transiente. 47 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 2.7.2.- Resistencia interna no despreciable 0 T0 T 0 0= θθCon la condición de borde 3: ∑=0 )cos( xmAθ ii )cos()sin( )sin( LmLmLm Lmθ A iii i i + 2 = 0 De la teoría de funciones ortogonales se tiene: Resolviendo …….. Se tiene : Distribución de temperaturas ∑ ∞ 1=0 + 2= 2 i ii iiτmiα LmLm xmLm e θ θ )sin( )cos()sin(_ ∫ ∂ ∂ τ Lx τd x T kq 0 = = _ ( ) ( ) ( )∑ ∞ 1= 2 1 + 1 2= 2 i ατmi iii i o e LmLmLm Lm mLQ Q _ cossin sin........ 00 = θcρVQ p Calor transferido 2.7- Régimen Transiente. Solución gráfica 48 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 2.7- Régimen Transiente. 49 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 1 2 TT TT Y c c Bihr k m m 1 Nomenclatura utilizada en el gráfico anterior y en los dos siguientes: Donde: Tc es la temperatura del fluido en que se sumerge el sólido, T1 la temperatura inicial del material (que se supone homogénea) y T2 la temperatura final del sólido en el centro. La variable identificada por m, se define como : También existen soluciones similares para el cilindro y la esfera. Estas se obtienen a partir de la ecuación general de la transferencia de calor en coordenadas cilíndricas y esféricas, y mediante procedimientos de cálculo similares. Ver detalle en Incropera. 2.7- Régimen Transiente. Solución gráfica para el cilindro 50 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 2.7- Régimen Transiente. Solución gráfica para la esfera 51 Dpto. Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción – Adelqui Fissore Sch. Apuntes de Transferencia de Calor 52
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