Antiderivada de las funciones elementales - Carlos Tomas Santana Colin

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Unidad 2. Antiderivada de las funciones elementales 
2.1 Integral Indefinida 
2.1.1 Antiderivada 
Definición: Se dice que una función “F” es una antiderivada o primitiva de “ƒ”, en un 
intervalo “I” si 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) para todo “x” en “I”. 
Nótese que “F” es una antiderivada de “f”, en vez de “la antiderivada de ƒ”. 
Suponga que se decide encontrar una función “F”, cuya derivada es 𝑓(𝑥) = 3𝑥2, 
por lo que se sabe de derivadas, es posible afirmar que 𝐹(𝑥) = 𝑥3 
Porque: 𝐹′ =
𝑑
𝑑𝑥
[𝑥3] = 3𝑥2 
La función F es una antiderivada de ƒ. Para entender por qué, observar que las 
siguientes expresiones también son antiderivadas de 𝑓(𝑥) = 3𝑥2: 
𝐹1(𝑥) = 𝑥
3
𝐹2(𝑥) = 𝑥
3 − 7
𝐹3(𝑥) = 𝑥
3 + 78
 } 𝑆𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖vas 
Generalizando podemos afirmar que: 
𝐹(𝑥) = 𝑥3 + 𝐶 
El siguiente Teorema nos permite representar las antiderivadas o primitivas: “Si F 
es una antiderivada de ƒ en un intervalo I, entonces la antiderivada más general 
de f en el intervalo I es: 𝐹(𝑥) + 𝐶, donde C es una constante”. 
Ejemplo 1: Encuentre la antiderivada más general de cada una de las funciones 
siguientes: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
b) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 
Solución: 
a) Si 𝐹(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑥 , entonces 𝐹′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), de manera que una antiderivada 
de f(x) = sen (x) es F(x) = - cos (x), por lo que la antiderivada general es 
𝐹(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝐶 
b) Recordemos que 
𝑑(ln |𝑥|)
𝑑𝑥
=
1
𝑥
 , por consiguiente en el intervalo (0,∞) la 
antiderivada general de la función es F(x) = ln |x|+C 
En la siguiente tabla se enlistan algunas antiderivadas. 
 
2.1.2 Propiedades 
Empezaremos estudiando la integral de funciones generadas a partir de algunas 
operaciones básicas entre funciones elementales, particularmente sobre la suma, 
la resta y la multiplicación por un escalar. Formalmente, Sean una función 
y un escalar, entonces tenemos que: 
1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas 
funciones. 
 
Ejemplo: 
 
2. La integral de una resta de funciones es igual a la resta de las integrales de esas 
funciones. 
3. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante 
por la integral de la función. 
 
Ejemplo: 
 
Ejemplo: 
 = 
 = 
Notemos que no se ha definido una propiedad para el producto y la división porque 
pues NO EXISTE UNA REGLA GENERAL PARA CALCULAR LA INTEGRAL DEL 
PRODUCTO O DIVISIÓN ENTRE DOS FUNCIONES, así que, si bien podemos 
separar las sumas, no podemos separar los productos ni divisiones. 
 
2.1.3 Patrones para 𝑥, 𝑥2, 𝑥3 
El reconocimiento de patrones es una técnica utilizada para integrar funciones 
compuestas, al igual que la técnica de cambio de variables. Con el reconocimiento 
de patrones se efectúa la sustitución mentalmente, y con el cambio de variable se 
escriben los pasos de la sustitución. 
El papel de la sustitución en la integración es comparable al de la regla de la cadena 
en la derivación. Recordar que para funciones derivables dadas por y = F(u) y u = 
g(x), la regla de la cadena establece que: 
 
De acuerdo con la definición de una antiderivada o primitiva, se sigue 
 
Estos resultados se resumen en el siguiente teorema. 
Sea g una función cuyo recorrido o rango es un intervalo I, y sea ƒ una función 
continua en I. Si g es derivable en su dominio y F es una antiderivada o primitiva de 
ƒ en I, entonces: 
 
Si u = g(x), entonces du = g´(x) dx, y 
 
Notar que la función compuesta en el integrando tiene una función exterior ƒ y una 
función interior g. Además, la derivada g’(x) está presente como un factor del 
integrando. 
 
Ejemplo 1. Determinar 
Solución. Tomando g(x) = x2+1, se obtiene: 
g’(x) = 2x y f ( g(x) ) = f(x2+1) = ( x2+1) 2 
A partir de esto, se puede reconocer que el integrando sigue el patrón ƒ(g(x))g’(x). 
Utilizando la regla de la potencia para la integración y el teorema antes visto, es 
posible escribir: 
 
Ejemplo 2. Determinar 
Solución. Esto es similar a la integral dada en el ejemplo 1, salvo porque al 
integrando le falta un factor 2. Al reconocer que 2x es la derivada de x2 + 1, se toma 
g(x) = x2 + 1 y se incluye el término 2x de la manera siguiente: 
 
2.1.4 Integración directa 
Necesitamos una conveniente notación para las antiderivadas que nos facilite el 
trabajo con ellas. Debido a la relación dada por el teorema fundamental entre las 
antiderivadas y las integrales, por tradición se usa la notación ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) para 
una antiderivada de f y se llama integral indefinida. Así, se tiene: 
 
Por ejemplo, podemos escribir: 
 
De este modo, consideramos la integral indefinida como la representante de toda 
una familia de funciones (es decir, una antiderivada para cada valor de la constante 
C). 
 
 
La eficacia del teorema fundamental depende de que se cuente con una lista de 
antiderivadas de funciones. Por tanto, se presenta una tabla de fórmulas de 
antiderivación, en la notación de las integrales indefinidas. Cualquiera de las 
fórmulas puede comprobarse al derivar la función del lado derecho y obtener el 
integrando. 
 
 
 
Ejemplo 1. Calcula la integral indefinida: 
Solución. Empezamos aplicando la regla para separar el integrando y así formar 
dos integrales: 
Ahora aplicamos las reglas para calcular las integrales. Para la primera integral, 
tenemos n = 2, con lo que n +1 = 3: 
 
Ejemplo 2. Calcula la integral indefinida: 
Solución. 
 
 
 
 
Ejemplo 3. Calcula la integral indefinida: 
Solución. 
 
Ejemplo 4. Calcula la integral indefinida: 
Solución. 
 
Ejemplo 5. Calcula la integral indefinida: 
Solución. 
 
Ejemplo 6. Calcula la integral indefinida: 
Solución. 
 
 
Ejemplo 7. Calcula la integral indefinida: 
Solución. 
 
Ejemplo 8. Calcula la integral indefinida: 
Solución. 
 
Actividad 4. Resuelva completa y correctamente el procedimiento