Aplicaciones de la integral indefinida - Carlos Tomas Santana Colin

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Unidad 6. Aplicaciones del cálculo integral 
La ciencia en cualquiera de sus ramas, se dedica a estudiar una parte o bien un 
aspecto del Universo, que tiene entre sus principales características el cambio y la 
evolución. Apenas uno empieza a entender algún proceso en un determinado 
momento cuando éste ya está cambiando. Una cosa permanente en este Universo 
es paradójicamente el cambio. 
6.1 Aplicaciones de la integral indefinida 
La integral indefinida se aplica a numerosos modelos en ciencias naturales y 
sociales, por ejemplo: 
- En la solución de problemas de movimiento, para calcular la velocidad de un 
móvil, conocida su aceleración y en el cálculo de la posición de un móvil, 
conocida su velocidad. 
- Al calcular los costos de producción de artículos y modelar una función de 
demanda, por ejemplo. 
6.1.1 Ecuaciones diferenciales de primer orden con variables separables 
En matemáticas la principal herramienta que tenemos para entender o modelar de 
alguna manera el cambio es mediante la derivada de una función. Por tanto, muchas 
veces para poder entender la esencia de un proceso, es necesario establecer 
relaciones que expliquen de qué manera se llevan a cabo sus cambios, y esto nos 
conduce directamente a las ecuaciones diferenciales. Es mediante las ED como se 
pueden plantear modelos matemáticos para muchos procesos. 
Indudablemente gran variedad de modelos se plantea en términos de ED, sin 
embargo, aquí sólo se tratará de presentar algunos modelos representativos de esa 
gran variedad. 
Una ecuación separable es una ecuación diferencial de primer orden en que la 
expresión para dy/dx se puede factorizar como una función de x y una función de 
y. En otras palabras, se puede escribir en la forma: 
 
El nombre separable viene del hecho de que la expresión del lado derecho se puede 
“separar” en una función de x y una función de y. De manera equivalente, si f (y) ≠ 
0, se podría escribir: 
 Ec. 1 
donde h(y) = 1 / f(y). Para resolver esta ecuación se reescribe en la forma diferencial 
 
de modo que las y estén de un lado de la ecuación y las x estén del otro lado. 
Después se integran ambos lados de la ecuación: 
 Ec. 2 
La ecuación 2 define y implícitamente como una función de x. En algunos casos se 
podría resolver para y en términos de x. 
Se emplea la regla de la cadena para justificar este procedimiento: si h y g 
satisfacen la ecuación 2, entonces: 
 
Multiplico y divido por dy: 
Simplificando se tiene: 
 
 
 
 
Si quisiéramos expresar la solución explicita, despejamos y: 
𝑦 = √𝑥3 + 3𝐶
3
 
Se podría dejar la solución de esta manera o se podría escribir en la forma: 
𝑦 = √𝑥3 + 𝐾
3
 Solución general 
 
b) Sustituyendo la condición inicial y(0)=2, hacemos x = 0 en la solución general 
cuando y = 2, se tiene: 
2 = √+𝐾
3
 
 
2 = √𝐾
3
 ; 𝐾 = 23 = 8 
 
𝑦 = √𝑥3 + 8
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.1.2 Problemas con ecuaciones diferenciales 
La actividad científica busca principalmente proporcionar explicaciones racionales y 
sistemáticas de los procesos que estudia; una vez que una teoría explica 
satisfactoriamente un proceso, es posible aplicar el entendimiento adquirido para 
predecir el comportamiento de ese proceso y, si es posible, modificarlo en beneficio 
de la sociedad. Se puede decir que en ese momento surge la tecnología que es, 
expresado de una manera simple, ciencia aplicada a la solución de problemas 
prácticos. Dentro de la actividad científica, las ED han desempeñado un papel muy 
importante porque se utilizan muy frecuentemente para modelar procesos, por 
ejemplo: En química se ha logrado entender el mecanismo del decaimiento 
radioactivo utilizando un modelo con ED que presentaremos en la próxima sección. 
Algunos ejemplos de aplicación de la solución de ese modelo incluyen el fechado 
de piezas mediante trazas de materiales radioactivos, de gran importancia en 
arqueología e historia. 
Para algunas áreas de biología y ciencias sociales, es importante llegar a determinar 
cómo evolucionan las poblaciones (animales o humanas) bajo diversas condiciones, 
tales como abundancia o escasez de recursos (alimento, espacio...), competencia 
entre la misma especie (o con otras), etc. 
Otros problemas de interés para la ingeniería incluyen: enfriamiento o calentamiento 
de piezas en un ambiente a temperatura constante; mezclas dinámicas de 
soluciones con diferentes concentraciones de un soluto; problemas de mecánica; 
problemas geométricos y otros. 
En muchas aplicaciones, la razón de cambio de una variable y es proporcional al 
valor dy. Si y es una función del tiempo, la proporcionalidad puede escribirse como: 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑘𝑦 
La solución general de la ecuación diferencial dada obedece el siguiente teorema: 
“Si y es una función diferenciable de t, tal que y>0, y y’=ky, para alguna constante 
k, entonces se tiene que y = Cekt.” 
Donde: 
C >>> es el valor inicial de y (constante) 
k >>> es la constante de proporcionalidad 
Para alguna constante k, el crecimiento exponencial tiene lugar cuando k > 0; el 
decremento exponencial tiene lugar cuando k < 0. 
Demostración: 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑘𝑦 >>> 
𝑑𝑦
𝑦
= 𝑘 𝑑𝑡 >>> ∫
𝑑𝑦
𝑦
= ∫ 𝑘 𝑑𝑡 
ln 𝑦 = 𝑘𝑡 + 𝐶 Despejo y: 𝑒ln 𝑦 = 𝑒𝑘𝑡+𝐶 >>> 𝑦 = 𝑒𝑘𝑡𝑒𝐶 
Finalmente se tiene: 𝑦 = 𝑐 𝑒𝑘𝑡 
Ejemplo 4. La razón de cambio dy es proporcional a y. Cuando t = 0, y = 2; cuando 
t = 2, y = 4. Determina el valor de y cuando t = 3. 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
≈ 𝑦 >>> 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑘𝑦 
Cuya solución general, de acuerdo al teorema es: 𝑦 = 𝑐 𝑒𝑘𝑡 
Sustituyo la primera condición inicial y(0) = 2: 
2 = 𝑐 𝑒𝑘(0) >>> 2 = 𝑐 ∗ (1) >>> c = 2 
Sustituyo la segunda condición inicial y(2) = 4 y c = 2. 
4 = 𝑐 𝑒𝑘(2) >>> 4 = 2 𝑒2𝑘 >>> 2 = 𝑒2𝑘 
Despejo k: 
 ln 2 = ln 𝑒2𝑘 >>> 0.6931 = 2𝑘 >>> k = 0.3466 
Por lo tanto, sustituyendo c y k en la solución propuesta, obtengo la solución 
particular: 
𝑦 = 2 𝑒0.3466𝑡 
Considerando t = 3, determino y: 
𝑦 = 2 𝑒0.3466(3) = 5.6569 
Ejemplo 5. La desintegración radiactiva se mide en términos del periodo de 
descomposición, que son los años que se requieren para que la mitad de los átomos 
de una muestra de material radiactivo se descomponga, los periodos de 
descomposición de algunos isotopos radiactivos son: 
Uranio (U288) 4, 510, 000, 000 años 
Plutonio (PU239) 24, 360 años 
Carbono (C14) 5, 730 años 
Radio (Ra226) 1, 620 años 
Nobelio (No 257) 23 segundos 
Einstenio (Es 254) 270 días 
Suponga que 10 gramos del isotopo PU239 se escaparon en el accidente nuclear de 
Chernobyl, ¿Cuánto tiempo pasará, para que los 10 gr se descompongan en 1 gr? 
Cuya solución general, de acuerdo al teorema es: 𝑦 = 𝑐 𝑒𝑘𝑡 
Sustituyo la primera condición inicial, en el tiempo cero hay 10 gramos: y(0) = 10: 
10 = 𝑐 𝑒𝑘(0) >>> 10 = 𝑐 ∗ (1) >>> c = 10 
Sustituyo la segunda condición, toma 24, 360 años descomponer la mitad de los 
átomos: y(24360) = 5 y sustituyo el valor obtenido de c = 10. 
5 = 10 𝑒𝑘(24360) >>> 0.5 = 𝑒24360𝑘 
Despejo k: 
 ln 0.5 = ln 𝑒24360𝑘 >>> −0.6931 = 24360𝑘 >>> k = -2.845x10-5 
Por lo tanto, sustituyendo c y k en la solución propuesta, obtengo la solución 
particular:𝑦 = 10 𝑒−2.845∗10
−5 𝑡 
Considerando y = 1 gr, determino t: 
1 = 10 𝑒−2.845∗10
−5 𝑡 >>> 0.1 = 𝑒−2.845∗10
−5 𝑡 >> ln 0.1 = ln 𝑒−2.845∗10
−5 𝑡 
 −2.303 = −2.845 ∗ 10−5 𝑡 >>> t = 80, 949 años