Aproximaciones y estimación de errores - Carlos Tomas Santana Colin

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Unidad 1. Resolución de problemas de aproximaciones y 
estimación de errores, utilizando el diferencial de una función 
1.1 Concepto de Diferencial 
Definición: La diferencial de una función es el producto de la derivada de la 
función por el incremento de la variable independiente. 
Para expresar la diferencial de una función usamos la letra “d” colocada antes de 
la función. 
Ejemplo1: Sea la función y = x4 
Su primera derivada es dy/dx = y’ = 4x3 
Su diferencial se expresa dy = 4x3 Δx 
 
Ejemplo2: Calcular la diferencial de la función y = 3x2 para x=4 y Δx=0.2 
Su primera derivada es y’ = 6x 
Su diferencial se expresa dy = 6x Δx 
Sustituyendo se tiene: d(3x2) = 6(4)(0.2) = 4.8 
 
1.1.1 Interpretación geométrica 
 
El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de la 
tangente desde el punto en que se toma el diferencial. 
Recuérdese que la derivada de la función en el punto es la pendiente de la recta 
tangente a la función en el punto, como sabemos que la tangente de un ángulo es 
igual al cociente entre el cateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo 
(incremento de x) de un hipotético triángulo rectángulo, sólo hay que despejar el 
incremento de y que equivale a nuestro diferencial. 
Vista geométricamente, la elevación se produce verticalmente a partir del punto en 
que se toma el diferencial. El incremento Δx, que se tome representará el 
alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestión. 
 
Así la elevación de la tangente que se obtenga como resultado dependerá del 
punto en cuestión y del alejamiento horizontal que se tomen, que en las fórmulas 
matemáticas están definidos respectivamente por x, y Δx. 
La diferencial de una variable independiente es, por definición, el incremento que 
experimenta; sin embargo, la diferencial de una variable dependiente o función no 
es igual a su incremento. 
Es decir: dx = Δx ; pero dy ≠ Δy 
 
Ejemplo: Considere la función y = x2 y determine: 
a) dx 
b) dy 
c) Δy 
Solución 
a) dx = Δx 
b) dy = 2x Δx ; recordemos que d(x2)/dx = 2x 
c) Δy = f(x+Δx) – f(x) = (x+ Δx)2 – x2 = x2+ 2xΔx + (Δx)2 – x2 = 2xΔx + (Δx)2 
 
 
Se recomienda revisar los siguientes enlaces: 
https://www.youtube.com/watch?v=r14HjwK_ZI8 
https://www.geogebra.org/m/PzppbDQ9 
1.1.2 Interpretación analítica 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=r14HjwK_ZI8
https://www.geogebra.org/m/PzppbDQ9