Integracion por fracciones parciales - Carlos Tomas Santana Colin

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3.1 Técnicas de Integración (parte 4) 
3.1.4 Por fracciones parciales 
En esta sección se examina un procedimiento para descomponer una función 
racional en funciones racionales más simples para poder aplicar las fórmulas 
básicas de la integración. Este método es preferible a los cambios de variable 
trigonométricas. Sin embargo, su uso depende de la habilidad para factorizar el 
denominador. consideremos la función racional: 
 
donde P y Q son funciones polinomiales. Es posible expresar f como una suma de 
fracciones simples, siempre que el grado de P sea menor que el grado de Q. A una 
función racional de este estilo se le llama propia. Recuerde que si: 
 
donde , entonces el grado de P es n. 
Si f es impropia, esto es, el grado de P es mayor que el grado de Q, entonces 
debemos dividir P entre Q (por división larga) hasta obtener el residuo R(x) de 
manera que: 
 
donde S y R también son funciones polinomiales 
 
 
 
 
 
 
1 = Ax – 2A + Bx – 3B 
Igualando coeficientes de X: 0 = A + B Ec-1 
Coeficientes independientes: 1 = - 2A – 3B Ec-2 
Despejo A de Ec-1 y sustituyo en Ec-2: 
A = -B ; Ec-3 
por tanto: 1 = -2(-B) – 3B 
 1 = 2B – 3B ; 1 = -B; B = -1 
Sustituyo el valor de B en la Ec-3: A = -(-1) = 1 
 
 
 
Suponga que el primer factor lineal (a1x + b1) se repite r veces; esto es, (a1x + b1)
r 
aparece en la factorización de Q(x). Entonces, en lugar del termino simple A1/(a1x + 
b1) de la ecuación del caso 1, usaríamos: 
 
 
 
 
 5x2 + 20x + 6 = Ax2 + 2Ax + A + Bx2 + Bx + Cx 
Igualando coeficientes de X2: 5 = A + B Ec-1 
Igualando coeficientes de X: 20 = 2A + B + C Ec-2 
Coeficientes independientes: 6 = A 
Sustituyo A en Ec-1: 
5 = (6) + B ; B = -1 
Sustituyo A y B en Ec-2: 
20 = 2(6) + (-1) + C; 20 = 11 + C ; C = 9 
 
 
 
Si Q(x) tiene el factor ax2 + bx + C, donde b2 – 4ac < 0, entonces, además de las 
fracciones parciales del caso 1 y 2, la expresión para R(x)/Q(x) tendrá un término 
de la forma: 
 
donde A y B son constantes que han de determinarse. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si Q(x) tiene el factor (ax2 + bx + C)2, donde b2 – 4ac < 0, entonces, además de la 
única fracción parcial del caso 3, la expresión para R(x)/Q(x) tendrá un término de 
la forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio en clase: