Probabilidad Condicional e Independencia Parte 2 - Letras Nocturnas

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Universidad de Sonora 
 
Probabilidad y estadística 
 
 
II.2 PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA 
 
 
Definición de Probabilidad Condicional 
Supóngase que realizamos un experimento aleatorio y Ω es el espacio muestral correspondiente, 
nuestro interés es ahora, estudiar el efecto que produce sobre el valor de 𝑃(𝐴), el hecho de que otro 
evento B ha ocurrido. 
 
Definición 
Sean 𝑨 y 𝑩 dos eventos arbitrarios, la Probabilidad Condicional del evento 𝑨 dado que el evento 
𝑩 ha ocurrido, se define como: 
𝑷(𝑨 𝑩⁄ ) = 
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
𝑷(𝑩)
 =
#(𝑨 ∩ 𝑩)
#(𝑩)
 𝑃(𝐵) > 0 
Además, la Probabilidad Condicional del evento 𝑩 dado que el evento 𝑨 ha ocurrido, se define 
como 
𝑷(𝑩 𝑨⁄ ) = 
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
𝑷(𝑨)
= 
#(𝑨 ∩ 𝑩)
#(𝑨)
 𝑃(𝐴) > 0 
 
P(A) = 0.8, P(B) = 0.4 y P(A ∩ B) = 0.3 
 
P(A B⁄ ) = 
P(A ∩ B)
P(B)
= 
0.3
0.4
 
P(B A⁄ ) = 
P(A ∩ B)
P(A)
= 
0.3
0.8
 
Observaciones 
 
𝑃(𝐴 𝐵⁄ ): "𝐿𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑨, 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑩 𝑦𝑎 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖ó" 
𝑃(𝐴 𝐵⁄ ) = 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
= 
#(𝐴 ∩ 𝐵)
#(Ω)
#(𝐵)
#(Ω)
= 
#(𝐴 ∩ 𝐵)
#(𝐵)
 
hay que recordar que la definición clásica de la probabilidad establece que 𝑃(𝐴) = 
#(𝐴)
#(Ω)
 
 
OBSERVACIONES 
➢ 𝑃(𝐴) = 
#(𝐴)
#(Ω)
 VS 𝑃(𝐴 ∕ Ω) = 
#(𝐴∩Ω)
#(Ω)
= 
#(𝐴)
#(Ω)
 ➔ 𝑃(𝐴 ∕ Ω) = 𝑃(𝐴) 
➢ 𝑃(𝐴 𝐵⁄ ) + 𝑃(𝐴𝐶 𝐵⁄ ) = 1 
𝑃(𝐴𝐶 𝐵⁄ ) = 
𝑃(𝐵 ∩ 𝐴𝐶)
𝑃(𝐵)
= 
𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴)
𝑃(𝐵)
= 
𝑃(𝐵)
𝑃(𝐵)
− 
𝑃(𝐵 ∩ 𝐴)
𝑃(𝐵)
= 1 − 𝑃(𝐴 𝐵⁄ ) 
𝑃(𝐴𝐶 𝐵⁄ ) = 0.85 ENTONCES 𝑃(𝐴 𝐵⁄ ) = 0.15 
𝑃(𝐴𝐶 𝐷⁄ ) = 0.05 ENTONCES 𝑃(𝐴 𝐷⁄ ) = 0.95 
➢ 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∕ 𝐶) = 𝑃(𝐴 ∕ 𝐶) + 𝑃(𝐵 ∕ 𝐶) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∕ 𝐶) 
Teorema de la Multiplicación 
De la definición de Probabilidad Condicional, podemos obtener un resultado que resultará importante 
en el cálculo de probabilidades, el cual que enunciamos a continuación: 
Teorema. 
 Si A y B son eventos arbitrarios, entonces: 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∗ 𝑃(𝐵 ∕ 𝐴) 
ó 
𝑃(𝐵 ∩ 𝐴) = 𝑃(𝐵) ∗ 𝑃(𝐴 ∕ 𝐵) 
Demostración: 
De la definición de probabilidad condicional 
𝑃(𝐴 𝐵⁄ ) = 
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)
 ➔ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵)(𝐴 𝐵⁄ ) 
𝑃(𝐵 𝐴⁄ ) = 
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐴)
 ➔ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)(𝐵 𝐴⁄ ) 
 
 
Observación: 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴) ∗ 𝑃(𝐵 𝐴⁄ ) ∗ 𝑃(𝐶 𝐴⁄ ∩ 𝐵) 
𝑃(𝐶 ∩ 𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐶) ∗ 𝑃(𝐴 𝐶⁄ ) ∗ 𝑃(𝐵 𝐶⁄ ∩ 𝐴) 
 : “Marcar un número telefónico de seis cifras” 
253852 no es igual 352852 son resultados distintos? SI, ES UNA PRUEBA ORDENADA CON 
SUSTITUCIÓN 
 = {(x1, x2, x3, x4, x5, x6) / x1, x2, x3, x4, x5, x6 son dígitos} 
#( )= )10)(10)(10)(10)(10)(10(10
6 = 
 
 
F = {(x1, x2, x3, x4, x5, x6) / x1, x2, x3, x4, x5, x6 son dígitos diferentes} 
#(F)= )5)(6)(7)(8)(9)(10(106 =O 
( ) 6
10
6
10#
)(#
)(
OF
FP =

= 
 
𝑃(𝐹) = (
10
10
) (
9
10
) (
8
10
) (
7
10
) (
6
10
) (
5
10
) 
Una caja contiene 30 fichas: 10 rojas y 20 azules 
 : “Seleccionar tres fichas de una por una y sin sustitución” 
P(las tres fichas sean rojas) = P(𝑅1 ∩ 𝑅2 ∩ 𝑅3) = P(𝑅1)𝑃(𝑅2 𝑅1⁄ )𝑃(𝑅3 ∕ 𝑅1 ∩ 𝑅2) 
P(𝑅1 ∩ 𝑅2 ∩ 𝑅3) = (
10
30
) (
9
29
) (
8
28
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema de la Probabilidad Total, 
 
Definición 
Una Colección de eventos 
n
AAA ,........,,
21
, es una Partición del espacio muestral  si satisfacen 
con: 
a. ( ) 0iAP , para toda ni ,1= 
b. = ji AA , para toda ji  
c. =
=

n
i
iA
1
 
 
Partición 
4321
,,, AAAA 
 
 
Teorema (de la Probabilidad Total) 
 
Sean 
n
AAA ,........,,
21
, es una Partición del espacio muestral  . Para cualquier evento arbitrario 
B (asociado con  ), se tiene que 
𝑃(𝐵) = ∑ 𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵 𝐴𝑖⁄ )
𝑛
𝑖=1
= 𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵 𝐴1⁄ ) + 𝑃(𝐴2)𝑃(𝐵 𝐴2⁄ )+. . +𝑃(𝐴𝑛)𝑃(𝐵 𝐴𝑛⁄ ) 
 
Demostración 
Observemos que: 
 
𝐵 = (𝐴1 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴2 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴3 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴4 ∩ 𝐵) 
𝑃(𝐵) = 𝑃[(𝐴1 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴2 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴3 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴4 ∩ 𝐵)] 
Aplicado la propiedad 3 del enfoque axiomático de la probabilidad 
𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐵) + 𝑃(𝐴2 ∩ 𝐵) + 𝑃(𝐴3 ∩ 𝐵) + 𝑃(𝐴4 ∩ 𝐵) 
Aplicando en cada sumando el Teorema de la Multiplicación 
𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵 ∕ 𝐴1) + 𝑃(𝐴2)𝑃(𝐵 ∕ 𝐴2) + 𝑃(𝐴3)𝑃(𝐵 ∕ 𝐴3) + 𝑃(𝐴4)𝑃(𝐵 ∕ 𝐴4) 
 
 
 
Teorema (de Bayes) 
 
Si  nAAA ,........,, 21 es una Partición del espacio muestral  con ( ) 0iAP para toda ni ,1= . y B
es un evento asociado con  con ( ) 0BP , entonces se tiene que 
𝑃(𝐴𝑘 𝐵⁄ ) = 
𝑃(𝐴𝑘)𝑃(𝐵 ∕ 𝐴𝐾)
∑ 𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵 𝐴𝑖⁄ )
𝑛
𝑖=1
 
 
𝑃(𝐴𝑘 𝐵⁄ ) =
𝑃(𝐴𝑘) 𝑃(𝐵 𝐴𝑘⁄ )
𝑃(𝐵)
 
𝑃(𝐴𝑘 𝐵⁄ ) =
𝑃(𝐴𝑘 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
 
 
Independencia 
En los temas anteriores, hemos estudiado el cálculo de probabilidades en donde intervienen la 
ocurrencia de uno o más eventos al mismo tiempo, particularmente la ocurrencia del evento 𝐴 ∩ 𝐵, 
que nos modela un gran número de procesos. La probabilidad de que ocurra el evento A tomando 
como condición todos los posibles resultados del espacio muestral  , )(AP en muchas ocasiones 
es igual a la probabilidad de que ocurra el evento A , condicionado a que el evento B ya ocurrió, 
( )BAP / , esto es, ( ) )(/ APBAP = . Que suceda esto significa que la ocurrencia del evento A no 
depende de que B ocurra. A continuación, enunciamos este resultado que será muy importante para 
el desarrollo del curso. 
 
Definición 
 Los eventos A y B son independientes, si y sólo si, 
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨)𝑷(𝑩) 
 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵)𝑃(𝐴 𝐵⁄ ) = 𝑃(𝐵)𝑃(𝐴) 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵 𝐴⁄ ) = 𝑷(𝑨)𝑷(𝑩) 
Observación: 
El hecho de que los eventos A y B sean independientes es equivalentes a decir que 
𝑷(𝑩 𝑨⁄ ) = 𝑷(𝑩) 
y 
𝑷(𝑨 𝑩⁄ ) = 𝑷(𝑨) 
Ejemplo: 
Una caja contiene 30 fichas: 10 rojas y 20 azules 
 : “Seleccionar tres fichas de una por una y CON sustitución” 
P(las tres fichas sean rojas) = P(𝑅1 ∩ 𝑅2 ∩ 𝑅3) = P(𝑅1)𝑃(𝑅2 𝑅1⁄ )𝑃(𝑅3 ∕ 𝑅1 ∩ 𝑅2) 
P(𝑅1 ∩ 𝑅2 ∩ 𝑅3) = (
10
30
) (
10
30
) (
10
30
) = 𝑃(𝑅1)𝑃(𝑅2)𝑃(𝑅3) 
𝑃(𝑅2 𝑅1⁄ ) = 𝑃(𝑅2) 
𝑃(𝑅3 𝑅1⁄ ∩ 𝑅2) = 𝑃(𝑅3) 
 
 
 
Ejemplo: 
Si Ω = {1, 2, 3, 4} y 𝐴 = {1, 3} , 𝐵 = {3, 4} y 𝐶 = {1, 2, 4}, demuestre que: 
a. Los eventos A y B son independientes. 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨)𝑷(𝑩)? 
𝑷(𝑨) = 
#(𝐴)
#(Ω)
= 
2
4
, 𝑷(𝐵) = 
#(𝐵)
#(Ω)
= 
2
4
 y 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
#(𝐴∩𝐵)
#(Ω)
=
1
4
 
 
Ahora 
𝑃(𝐴)𝑃(𝐵) = 
2
4
∗
2
4
= 
1
4
 
𝑶𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨)𝑷(𝑩), por lo tanto, A y B son eventos independientes 
 
b. ¿Los eventos B y C son independientes? 
𝑃(𝐶) = 
#(𝐶)
#(Ω)
= 
3
4
 , además 𝑃(𝐵) = 
#(𝐵)
#(Ω)
= 
2
4
 y 𝑃(𝐶 ∩ 𝐵) =
#(𝐶∩𝐵)
#(Ω)
= 
1
4
 
𝑃(𝐶)𝑃(𝐵) = 
3
4
∗
2
4
= 
3
8
 
𝑶𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝑷(𝑪 ∩ 𝑩) ≠ 𝑷(𝑪)𝑷(𝑩), por lo tanto, C y B NO son eventos independientes 
 
 
Problema: Si los eventos A y B son eventos independientes demuestre que: 
a. Los eventos A y BC son independientes. 
b. Los eventos B y AC son independientes. 
 
Los eventos A y B son independientes, es decir, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵) 
Por demostrar que los eventos B y AC son independientes, esto es, 
𝑃(𝐵 ∩ 𝐴𝐶) = 𝑃(𝐵)𝑃(𝐴𝐶) 
Demostración: 
𝑃(𝐵 ∩ 𝐴𝐶) = 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵), si aplicamos la hipótesis 
𝑃(𝐵 ∩ 𝐴𝐶) = 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐵)[1 − 𝑃(𝐴)] = 𝑃(𝐵)𝑃(𝐴𝐶) 
 
c. Los eventos AC y BC son independientes. 
 
Hipótesis: 
Los eventos A y B son independientes, es decir, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵) 
Por demostrar que los eventos BC y AC son independientes, esto es, 
 𝑃(𝐵𝐶 ∩ 𝐴𝐶) = 𝑃(𝐵𝐶)𝑃(𝐴𝐶) 
 
Demostración: 
𝑃(𝐵𝐶 ∩ 𝐴𝐶) = 1 − 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 1 − [ 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)], si aplicamos la hipótesis 
(𝐵𝐶 ∩ 𝐴𝐶) = 1 − [ 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)] = [1 − 𝑃(𝐴)] − [𝑃(𝐵){1 − 𝑃(𝐴)}] 
𝑃(𝐵𝐶 ∩ 𝐴𝐶) = 𝑃(𝐴𝐶) − [𝑃(𝐵)𝑃(𝐴𝐶)] = 𝑃(𝐴𝐶)[1 − 𝑃(𝐵)] = 𝑃(𝐴𝐶)𝑃(𝐵𝐶) 
 
Ejemplo: 
➢ Se lanzan dos dados normales. Calculelas siguientes probabilidades: 
El experimento aleatorio es: “Lanzar dos dados”, es una prueba ordenada con sustitución 
a. Que el total de números mostrados sea divisible entre dos. 
A= {La suma de los números mostrados es divisible entre dos} 
𝑷(𝑨) = 𝑃(𝐼1 ∩ 𝐼2) + 𝑃(𝑃1 ∩ 𝑃2) = 𝑃(𝐼1)𝑃(𝐼2) + 𝑃(𝑃1)𝑃(𝑃2) = (
3
6
) (
3
6
) + (
3
6
) (
3
6
) 
➢ Cuál es la probabilidad de que, al marcar un número telefónico de siete cifras, todas la cifras 
sean impares. 
𝑰𝒌: 𝐿𝑎 𝑘 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑘 = 1, 2, … . , 7 , los eventos 𝐼𝑘 son independientes 
𝑃(𝐼1 ∩ 𝐼2 ∩ 𝐼3 ∩ 𝐼4 ∩ 𝐼5 ∩ 𝐼6 ∩ 𝐼7) = 𝑃(𝐼1)𝑃(𝐼2)𝑃(𝐼3)𝑃(𝐼4)𝑃(𝐼5)𝑃(𝐼6)𝑃(𝐼7) 
𝑃(𝐼1 ∩ 𝐼2 ∩ 𝐼3 ∩ 𝐼4 ∩ 𝐼5 ∩ 𝐼6 ∩ 𝐼7) = (
5
10
) (
5
10
) (
5
10
) (
5
10
) (
5
10
) (
5
10
) (
5
10
) = (
5
10
)
7
 
 
 
RESUMEN: 
1. PROBABILIDAD CONDICIONAL: 
Sean 𝑨 y 𝑩 dos eventos arbitrarios, la Probabilidad Condicional del evento 𝑨 dado que el 
evento 𝑩 ha ocurrido, se define como: 
𝑷(𝑨 𝑩⁄ ) = 
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
𝑷(𝑩)
 =
#(𝑨 ∩ 𝑩)
#(𝑩)
 𝑃(𝐵) > 0 
 
2. TEOREMA DE LA MULTIPLICACIÓN 
Si A y B son eventos arbitrarios, entonces: 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∗ 𝑃(𝐵 ∕ 𝐴) 
ó 
𝑃(𝐵 ∩ 𝐴) = 𝑃(𝐵) ∗ 𝑃(𝐴 ∕ 𝐵) 
 
3. TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL 
Sean 
n
AAA ,........,,
21
, es una Partición del espacio muestral  . Para cualquier evento 
arbitrario B (asociado con  ), se tiene que 
𝑃(𝐵) = ∑ 𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵 𝐴𝑖⁄ )
𝑛
𝑖=1
= 𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵 𝐴1⁄ ) + 𝑃(𝐴2)𝑃(𝐵 𝐴2⁄ )+. . +𝑃(𝐴𝑛)𝑃(𝐵 𝐴𝑛⁄ ) 
 
4. TEOREMA DE BAYES 
Si  nAAA ,........,, 21 es una Partición del espacio muestral  con ( ) 0iAP para toda ni ,1= 
. y B es un evento asociado con  con ( ) 0BP , entonces se tiene que 
𝑃(𝐴𝑘 𝐵⁄ ) = 
𝑃(𝐴𝑘)𝑃(𝐵 ∕ 𝐴𝐾)
∑ 𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵 𝐴𝑖⁄ )
𝑛
𝑖=1
 
 
𝑃(𝐴𝑘 𝐵⁄ ) =
𝑃(𝐴𝑘) 𝑃(𝐵 𝐴𝑘⁄ )
𝑃(𝐵)
 
 
5. INDEPENDENCIA DE EVENTOS 
 
Los eventos A y B son independientes, si y sólo si, 
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨)𝑷(𝑩) 
 
 
 
 
EJERCICIOS 
• Problema 1. Sean A y B eventos arbitrarios tales que )(AP =0.75, )(BP =0.35 y )( BAP  =0.25, 
calcule las siguientes probabilidades: 
a. 𝑃(𝐴 𝐵⁄ ) = 
𝑷(𝑨∩𝑩)
𝑷(𝑩)
= 
0.25
0.35
= 0.7142 
b. 𝑃(𝐵 𝐴⁄ ) = 
𝑷(𝑨∩𝑩)
𝑷(𝑨)
= 
0.25
0.75
= 0.3333 
c. 𝑃(𝐴𝐶 𝐵⁄ ) = 
𝑷(𝑨𝑪∩𝑩)
𝑷(𝑩)
= 
𝑃(𝐵)− 𝑷(𝑨∩𝑩)
𝑃(𝐵)
= 
0.35−0.25
0.35
= 0.2857 
 
Observación: 
𝑃(𝐴𝐶 𝐵⁄ ) = 
𝑃(𝐴𝐶 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
= 
𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
= 
𝑃(𝐵)
𝑃(𝐵)
− 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
 
𝑃(𝐴𝐶 𝐵⁄ ) = 1 − 𝑃(𝐴 𝐵⁄ ) = 1 − 0.7142 = 0.2858 
 
d. 𝑷(𝑩𝑪 𝑨⁄ ) = 1 − 𝑃(𝐵 𝐴⁄ ) = 1 − 0.3333 = 0.6667 
 
Observación: 
𝑃(𝐵𝐶 𝐴⁄ ) = 
𝑃(𝐵𝐶 ∩ 𝐴)
𝑃(𝐴)
= 
𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴)
= 
0.75 − 0.25
0.75
= 0.6666 
e. 𝑷(𝑨 𝑩𝑪⁄ ) = 
𝑷(𝑨∩𝑩𝑪)
𝑷(𝑩𝑪)
= 
𝑃(𝐴)− 𝑷(𝑨∩𝑩)
1−𝑃(𝐵)
= 
0.75−0.25
1− 0.35
= 
0.50
0.65
= 0.7692 
f. 𝑷(𝑩 𝑨𝑪⁄ ) = 
𝑷(𝑩∩𝑨𝑪)
𝑷(𝑨𝑪)
= 
𝑃(𝐵)− 𝑷(𝑨∩𝑩)
1−𝑃(𝐴)
= 
0.35−0.25
1− 0.75
= 
0.10
0.25
= 0.40 
g. 𝑷(𝑨𝑪 𝑩𝑪⁄ ) = 1 − 𝑷(𝑨 𝑩𝑪⁄ ) = 1 − 0.7692 = 0.2308 
 
Otra forma de calcular la probabilidad es: 
𝑷(𝑨𝑪 𝑩𝑪⁄ ) = 
𝑷(𝑨𝑪 ∩ 𝑩𝑪)
𝑃(𝐵𝐶)
= 
1 − 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)
1 − 𝑃(𝐵)
= 
1 − [𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
1 − 𝑃(𝐵)
 
𝑷(𝑨𝑪 𝑩𝑪⁄ ) =
1 − [0.75 + 0.35 − 0.25]
1 − 0.35
= 0.2307 
 
h. 𝑷(𝑩𝑪 𝑨𝑪⁄ ) = 1 − 𝑷(𝑩 𝑨𝑪⁄ ) = 1 − 0.40 = 0.60 
Otra forma de calcular la probabilidad es: 
𝑷(𝑩𝑪 𝑨𝑪⁄ ) = 
𝑷(𝑨𝑪 ∩ 𝑩𝑪)
𝑃(𝐴𝐶)
= 
1 − 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)
1 − 𝑃(𝐴)
= 
1 − [𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
1 − 𝑃(𝐵)
 
𝑷(𝑨𝑪 𝑩𝑪⁄ ) =
1 − [0.75 + 0.35 − 0.25]
1 − 0.75
= 0.60 
 
i. P(A ∪ B ∕ A) = 
𝑃[(A∪B)∩(A)]
𝑃(𝐴)
= 
𝑃(𝐴)
𝑃(𝐴)
= 1 
Observación: En General si ⊂ 𝑁 , entonces 𝑃(𝑁 𝑀⁄ ) = 1 
 
j. P(A ∩ B ∕ B) = = 
𝑃[(𝐴∩𝐵)∩(𝐵)]
𝑃(𝐵)
= 
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)
=
0.25
0.35
 
Observación: En General si ⊂ 𝑁 , entonces 𝑃(𝑀 𝑁⁄ ) =
𝑃(𝑀)
𝑃(𝑁)
 
 
 
 
Problema 3. Un profesor de matemáticas da clases en una sección matutina y en una vespertina de cálculo 
diferencial. Sea A ={el profesor da una mala conferencia matutina} y B ={el profesor da una mala conferencia 
vespertina}. Si )(AP =0.3, )(BP =0.2 y )( BAP  =0.1, calcule e interprete las siguientes probabilidades: 
a. 𝑃(𝐴 𝐵⁄ ) =
𝑷(𝑨∩𝑩)
𝑷(𝑩)
= 
0.1
0.2
= 0.5: “La probabilidad de que, el profesor dé una mala conferencia 
matutina, dado que dio una mala conferencia vespertina” 
 
b. 𝑃(𝐵 𝐴⁄ ) = 
𝑷(𝑨∩𝑩)
𝑷(𝑨)
= 
0.1
0.3
= 0.3333: “La probabilidad de que, el profesor dé una mala conferencia 
vespertina, dado que dio una mala conferencia matutina” 
 
c. 𝑃(𝐵𝐶 𝐴⁄ ) = 1 − 𝑃(𝐵 𝐴⁄ ) = 1 − 0.3333 = 0.6667: “La probabilidad de que, el profesor NO 
dé una mala conferencia vespertina, dado que dio una mala conferencia matutina” 
 
d. 𝑃(𝐵 𝐴𝐶⁄ ) = 
𝑷(𝑩∩𝑨𝑪)
𝑷(𝑨𝑪)
= 
𝑃(𝐵)− 𝑷(𝑨∩𝑩)
1−𝑃(𝐴)
= 
0.2−0.1
1− 0.3
= 
0.10
0.7
= 0.1428: “La probabilidad de que, 
un profesor dé una mala conferencia vespertina, dado que NO dio una mala conferencia matutina” 
 
“El 14.28% de las veces, el profesor da una mala conferencia vespertina, dado que NO dio una mala 
conferencia matutina” 
 
e. 𝑃(𝐵𝐶 𝐴𝐶⁄ ) = 1 − 𝑷(𝑩 𝑨𝑪⁄ ) = 1 − 0.1428 = 0.8572: “El 85.72% de las veces, el profesor 
NO da una mala conferencia vespertina, dado que NO dio una mala conferencia matutina” 
“Cuando el profesor no da una mala conferencia matutina, el 85.72 % de la veces da una mala conferencia 
vespertina”