apoyo_practica_engranajes

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Caṕıtulo 1
Engranajes
Los engranajes fallan por diversas razones, pero su mecanismo está cen-
trado en tres factores determinantes:
1. Fatiga por flexión, que siempre debe considerar la opción de flexión
(estática) por sobrecarga. En el caso de fatiga se utiliza la teoŕıa de
flexión de una viga, ya que el diente se simula como una viga en voladi-
zo, con las correccionones adecuadas a la teoŕıa de engranajes.
2. Fatiga por contacto (pitting) o picadura basada en la teoŕıa de con-
tacto de Hertz. Después de un número suficiente de ciclos de carga
fragmentos de metal sobre la superficie se fatigarán y se desprenderán.
Dificultades en la lubricación pueden contribuir a las fallas por pi-
caduras.
3. Desgaste superficial abrasivo de dif́ıcil cuantificación debido a la falta
de valores de esfuerzos admisibles reales asociado al mecanismo de
desgaste de los materiales. La mayoŕıa de los metalkes no presentan
un claro ĺımite de fatiga por esfuerzos superficiales de contacto.
Generalmente los engranajes se calculan basados en los dos primeros formas
de falla. Todo lo anterior se ve afectado por parámetros que no están bajo
control del diseñador, por lo que cuando se trata de un análisi serio, debe
aplicarse la norma que en este caso se denomina NORMA AGMA (American
Gear Manufacturers Association). Un cálculo basado en estas normas se
estudia en detalle en el curso de Elementos de Máquinas de cuarto año de
la Carrera.
9
10 CAPÍTULO 1. ENGRANAJES
1.1. Geometŕıa
1.1.1. Introducción
Las ruedas dentadas (engranajes) son elementos destinados a transmitir
el movimiento de rotación y através de él, determinar la fuerzas de inter-
acción que permitan diseñarlo como un elemento de máquinas expuesto a
distintos tipos de cargas y por ende a distintos tipos de fallas. En las ruedas
dentadas el contacto es directo como en las ruedas de fricción. Los dientes
de una rueda ejercen entonces un empuje contra los dientes de la otra, pro-
duciéndose aśı el movimiento y la transmisión de las fuerzas.
Existen tres condiciones que son fundamentales para el correcto funcionamien-
to de los engranajes:
1. La forma de las salientes o dientes, ha de ofrecer superficies en las que
el contacto se realice con suavidad y sin choque, para que con esto se
conserve invariable la relación de transmisión deseada.
2. Los dientes deben poseer formas y dimensiones tales que puedan resi-
stir el esfuerzo periférico a transmitir.
3. La normal en el punto de tangencial de los perfiles de los dientes que
engranan ha de pasar siempre por el punto de contacto de las circunfer-
encias primitivas de las ruedas a las cuales respectivamente pertenecen.
1.1.2. Definiciones
La figura 1.1 nos muestra las formas de un par de engranajes rectos e
indican sus principales parámetros.
1. Superficie Primitiva es la del cilindro de rodadura (cono, etc.) imagi-
nario que podemos suponer reemplaza a la rueda dentada.
2. Circunferencia de Cabeza (Diámetro de cabeza dc) es la que limita a
los dientes por el exterior.
3. Circunferencia Primitiva (Diámetro primitivo d0 = mZ) es la base
de medición de los engranajes. Las circunferencias primitivas corre-
sponden a los circulos imaginarios tangentes. En algunos casos, de-
pendiendo del montaje, pueden existir circunferencias primitivas de
funcionamiento, distintas a las circunferencias primitivas nominales.
1.1. GEOMETRÍA 11
Figura 1.1: Geometŕıa básica de engranajes
12 CAPÍTULO 1. ENGRANAJES
Tabla 1.1.1. Disposición de los diversos tipos de engranajes
Nombre Clase Disposición
de ejes
Superficies primiti-
vas
Engranajes
Rectos
Paralelos Ciĺındricos
Engranajes
cónicos
De diente
Recto
Se cortan conos
De diente
espiral
Se cortan Conos
De diente
oblicuo
Se cruzan Hiperboloides
De diente
Hipoidal
Se cruzan Conos
Engranajes
Heli-
coidales
Paralelos
(simples y
dobles)
Paralelos Cilindros
Cruzados Se cruzan Cilindros
Tornillo
sinfin
Ortogonales Hiperboloides
4. Circunferencia de Pié (Diámetro de pié dp) es la que limita a los espa-
cios entre dientes por el interior.
5. Altura de Cabeza (hc) (Addendum) es la distancia radial entre la cir-
cunferencia primitiva y la de cabeza.
6. Altura de Pié (hp) (Dedendum) es la distancia radial entre la circun-
ferencia primitiva y la de pié.
7. Altura total (h) es la altura total del diente (hc + hp).
8. Huelgo o juego de cabeza (jc) es la diferencia entre la altura de pié de
una rueda y la altura de cabeza de la otra rueda del par.
9. Cara de un diente es la parte de su superficie que queda por el exterior
de la superficie primitiva.
10. Flanco de un diente es la parte de su superficie que queda por el interior
de la superficie primitiva.
11. Espesor del diente (e) es el ancho del diente, medido sobre la circun-
ferencia primitiva (arco).
1.1. GEOMETRÍA 13
12. Ancho del hueco (s) es la distancia entre dos dientes consecutivos,
medida sobre la circunferencia primitiva.
13. Juego de flanco es la diferencia entre el espesor del diente de una rueda
y el ancho del hueco de la otra rueda del par. (espacio necesario debido
a imperfecciones de tallado y a lubricación)
14. Paso (p) o Paso circular (pc = Pm) es el ancho de un diente y un hueco,
medido sobre la circunferencia primitiva.
15. Paso basal (pb) es el ancho de un diente o un hueco, medido sobre la
circunferencia de base
16. Número de dientes (Z) es la cantidad de dientes que tiene un engrane
17. Piñón se designa a la menor rueda de un par de engranajes, la mayor
se llama Rueda.
18. Relación de velocidades o Relación de transmisión (i = w3/w2 =
Z2/Z3 = d02/d03 ) es la razón entre el número de revoluciones de
la rueda motriz y el de la rueda conducida.
19. Punto Primitivo (P ) es el de tangencia de las dos circunferencias prim-
itivas del par.
20. Ĺınea de acción o ĺınea de presión es la ĺınea normal a los perfiles de
los dientes engranados en el punto de contacto.
21. Curva de Engrane es la ĺınea descrita por el punto de contacto de los
perfiles de dos dientes engranados
22. Angulo de presión (φ o α) es el formado por la normal común en el
punto de contacto y la tangente común a las circunferencias primitivas.
( Ĺınea de acción y la tangente común).
23. Paso diametral (pd) es el número de dientes por pulgada de diámetro
primitivo
24. Módulo (m) es el cuociente entre el diámetro primitivo y el número de
dientes (m = d0/Z) número caracteŕıstico del engrane. (en mm). El
módulo es el ı́ndice del tamaño del diente en el SI. (m = 25,4/pd).
25. Circunferencia de Base (diámetro de base db = d0/cosφ ) es una cir-
cunferencia imaginaria usada en engranajes de evolvente para generar
los perfiles de los dientes, es tangente a la ĺınea de acción.
14 CAPÍTULO 1. ENGRANAJES
26. Distancia entre Centros (A0) Distancia entre los centros de los en-
granajes en contacto (A0 = (d02 + d03)/2 ).
Para que la relación de transmisión sea constante, es preciso que los
perfiles de los dientes tengan determinada forma. Varias son las formas que
podŕıan satisfacer las exigencias anteriores y se denominan perfiles o curvas
conjugados; pero solamente dos son las formas más usadas para perfiles de
dientes. Evolvente (90 %) y Cicloidal (10 %). Cuando esto ocurre se dice que
las superficies son conjugadas.
1.2. Diseño por resistencia
En el caṕıtulo ?? se entrega un completo detalle de las fuerzas involu-
cradas en el cálculo de engranajes rectos, helicoidales, cónicos y de tornillo
sin fin. Son dichas fuerzas las que se usan en el diseño de engranajes. Un di-
ente de engranaje transmite la fuerza en la dirección de la ĺınea de contacto,
es decir, siempre la fuerza en el engrane mantiene su dirección que depende
directamente del ángulo de presión α. Esta fuerza es la que hará fallar al
engranaje según lo expuesto: flexión y/o pitting.
1.2.1. Esfuerzos en engranajes rectos
Flexión
La figura 1.2 muestra los tipos de esfuerzos que se producen en la base del
diente debido a la fuerza radialy a la fuerza tangencial. Cada componente
genera un tipo de esfuerzos que se dibuja en colores. La fuerza tangencial Ft
genera flexión y corte transversal y la componente radial Fr genera compre-
sión y flexión. Estos esfuerzos son fácilmente evaluables a partir de la teoŕıa
de resistencia de materiales. A nivel industrial, sólo se diseñan engranajes
usando los criterios dados por la norma AGMA (American Gear Manufac-
terurs Association). Básicamente existen dos fórmulas de diseño: a la flexión
y al picado superficial (pitting).
La fórmula de diseño a la flexión de un diente de engranaje se encuentra
normalizada en AGMA y se basa en las siguientes hipótesis:
1. Todos los dientes están exentos de defectos
2. La razón de contacto transversal es entre 1 y 2.
1.2. DISEÑO POR RESISTENCIA 15
Figura 1.2: Esfuerzos en un diente de engranaje
3. No existe interferencia entre las puntas de los dientes y los filetes de
la ráız y no hay rebaje de los dientes sobre el inicio teórico del perfil
activo del diente,
4. Los dientes no son puntiagudos,
5. El huelgo es nulo,
6. Los filetes de las raices son estándar, tersos y producidos por un pro-
ceso de generación
La fórmula fundamental de flexión se basa en suponer el diente como una
viga en voladizo, para lo cual existen fórmulas básicas (como la fórmula
de Lewis) que permiten realizar un primer cálculo de estimación. Desde el
punto de vista del diseño, la norma exige usar la fórmula 1.1 de la AGMA:
WtKoKvKs
Pd
F
KmKB
J
≤ SatYN
SFKTKR
(1.1)
Wt = Ft es la carga transversal transmitida,
Ko es el factor de sobrecarga,
Kv es el factor dinámico,
16 CAPÍTULO 1. ENGRANAJES
Ks es el factor de tamaño,
Pd (para engranajes rectos = Pnd) es el paso diametral normal,
F es el ancho de cara del diente de menor longitud,
Km es el factor de distribución de carga,
KB es el factor de espesor de borde,
J es el factor geométrico de la resistencia a la flexión,
sates el esfuerzo permisible de flexión,
YN es el factor de ciclo de esfuerzo para resistencia a la flexión,
KT es el factor de temperatura,
KR es el factor de confiabilidad.
El correcto diseño de un engranaje debe satisfacer este criterio a la
flexión. Debe considerarse que en este cálculo está inclúıdo los efectos de
fatiga a la flexión, dado por los factores que considera la norma. Los distin-
tos parámetrso de cálculo se encuentran en cualquier literatura relacionada
a Diseño de elementos de Máquinas por ejemplo [14], [17], [20], entre otros.
Picadura
Como ya se mencionó una de los principales problemas de falla ocurre
por picaduras y/o desgastes en los flancos de los dientes. Espećıficamente
el diseño contra la posibilidad de picaduras en el flanco se basa en la teoŕıa
de contacto de Hertz, que supone que los flancos de los dientes son dos
superficies con curvatura definida que simulan dos cilindros en contacto.
Los valores de los esfuerzos de contacto se basan en la teoŕıa de Hertz y se
resumen en la ecuación de la AGMA dada por:
Cp
√
WtKoKv
Km
dF
Cf
I
≤ Sac
SH
ZN
KT
CH
KR
(1.2)
Cp es el coeficiente elástico,
Cf es el factor de condición superficial,
d es el diámetro del ćırculo primitivo operativo del piñón,
I es el factor goemétrico para la resistencia a la picadura,
ZN es el factor de ciclos de esfuerzos para la resistencia a la picadura,
SH factor de seguridad a la picadura,
Los factores Ki ya fueron definidos. Todos estos factores son fácilmente
obtebnidos de la literatura de Elementos de Máquinas.
1.3. DEFICICIÓN DE PARÁMETROS DE DISEÑO AGMA 17
1.2.2. Engranajes Helicoidales
Las fórmulas dadas por la AGMA para engranajes rectos en flexión y pit-
ting son totalmente válidas para engranajes helicoidales con la única diferen-
cia que los factores geométricos (en ambos casos) J e I se ven afectados por
el ángulo de hélice del engranaje. Para los engranajes helicoidales deberán
usarse las gráficas de las figura ?? para flexión y ?? para pitting.
1.2.3. Engranajes cónicos
Los engranajes cónicos también se diseñan a la flexión y al pitting. Las
fórmulas tienen leves variaciones y están dadas por las ecuaciones 1.3 y 1.4
siguientes:
2TpKa
K ′v
PdKsKm
FdKxJ
≥ SatKL
SFKTKR
(1.3)
CpCb
√
2TDCa
C ′v
1
Fd2
CsCmCxcCf
I
(
Tp
TD
)2 ≤ SacCLCH
SHCTCR
(1.4)
donde:
Tp; par de torsión aplicado al piñón,
Ka; factor dinámico externo,
Pd; paso diametral transversal en el extremo exterior del diente,
Ks; factor de tamaño.
KM ; factor de distribución de carga
1.2.4. Engrane tornillo sinfin
Al contrario a los otros tipos de engrane, la selección y/o diseño de los
tornillos sin fin se basan en la capacidad de potencia y no en la resistencia a la
flexiión y/o al pitting. El estandart 6034-B92 de la AGMA entrega las bases
para su proceso de diseño. AGMA recomienda como primera limitación el
tamaño del tornillo, entregando la siguiente recomendación para el diámetro
del tornillo:
1.3. Deficición de parámetros de diseño AGMA
1. K0. Factor de sobrecarga. Pondera el sobredimensionamiento estático
del engranaje respecto a la carga tangencial. El valor K0 = 1 indica
una capacidad de absorber hasta el doble de Wt en forma momentánea.
Sobrecargas mayores al 200 % implican usar este vfactor mayor a 1.
18 CAPÍTULO 1. ENGRANAJES
2. Kv. Factor dinámico.
3. Ks. Factor de tamaño.
4. Km. Factor de distribución de carga.
5. KB. Factor de espesor de borde.
6. J . Factor geométrico de la resistencia a la flexión.
7. YN . Factor de ciclos de esfuerzos para flexión.
8. KT . Factor de temperatura
9. KR. Factor de conbiabilidad.
10. Cp. Coeficiente elástico
11. Cf . Factor de condición superficial.
12. I. Factor geométrico para la resistencia a la picadura.
13. ZN . Factor de ciclos de esfuerzos para resistencia a la picadura.
14.
Figura 1.3: Esfuerzo Sac permisible de contacto para engranajes de acero
totalmente endurecidos
1.3. DEFICICIÓN DE PARÁMETROS DE DISEÑO AGMA 19
Figura 1.4: Esfuewrzo permisible de flexión Sat para engranajes de acero
totalmente endurecidos
Figura 1.5: Factor dinámico Kv dependiente del ı́ndice de calidad Qv
20 CAPÍTULO 1. ENGRANAJES
Figura 1.6: Factor de ciclos de esfuerzos por resistencia a la flexión YN
Figura 1.7: Factor de ciclos de esfuerzos por pitting ZN
1.3. DEFICICIÓN DE PARÁMETROS DE DISEÑO AGMA 21
Figura 1.8: Factor geométrico J para engranajes rectos
Figura 1.9: Factor geométrico J ’ para engranajes helicoidales
22 CAPÍTULO 1. ENGRANAJES
Figura 1.10: Factor de corrección para obtener J final de engranajes heli-
coidales
Figura 1.11: Factor de espesor del aro KB
1.3. DEFICICIÓN DE PARÁMETROS DE DISEÑO AGMA 23
Figura 1.12: Factor geométrico J para engranajes cónicos
24 CAPÍTULO 1. ENGRANAJES
Figura 1.13: Factor geométrico I para engranajes cónicos
1.4. Aplicaciones
1. El engranaje recto D es fijo con dientes por su interior. A es una
polea-correa en V que transmite potencia a 1500 rpm y está conectado
ŕıgidamente con el engranaje B. Tres engranajes C igualmente espaci-
ados ruedan entre los engranajes B y D, arrastrando en su movimiento
al brazo E, el cual está ŕıgidamente unido al eje F. Si la relación de
diámetros nominales es: dB = 3 dC, explique claramente cómo de-
termina el ancho mı́nimo del diente si no tiene las normas AGMA a
disposición. Establezca claramente sus hipótesis. La geometŕıa (excep-
to el espesor del diente) es toda conocida
2. La figura representa un tren planetario de engranes rectos. La corona
dentada está fija (no rota) y el engrane sol (rota en sentido horario)
transmite una potencia P que se divide en partes iguales a cada uno de
los cuatro engranes planetarios que están sujetos por el elemento de-
nominado .acarreador”. Determine el ancho mı́nimo de los dientes del
sistema usando el criterio de falla por fatiga debido a los esfuerzos de
flexión. Se conoce la geometŕıa del diente, sus velocidades de rotación,
y el material de cada uno de ellos. Supongaque el grado de cubrimien-
to o razón de contacto es 2,3. USE SOLO ECUACIONES BASICAS
1.4. APLICACIONES 25
Figura 1.14: Figura ejemplo 1
DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES (NO USE NORMAS). Ex-
plique claramente usando dibujos y/o esquemas para definir cada una
de las variables que usará en los cálculos.
3.
26 CAPÍTULO 1. ENGRANAJES
Figura 1.15: Figura ejemplo 2
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