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Ejercicios Procesos industriales
ilario caguano
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Fundamentos de Transferencia de CalorFundamentos de Transferencia de Calor ℎℎ == 3030 mm⁄⁄ .. == 0.0.00004 m4 m == 10℃ 10℃ℎℎ == 6655 mm⁄⁄ .. Suposiciones:Suposiciones: a)a) Condición de estado estable.Condición de estado estable. b)b) Propiedades constantes.Propiedades constantes. Análisis:Análisis: (a)(a) Según el problema anterior, se tiene:Según el problema anterior, se tiene: (()) == ℎℎ ℎℎ.. ++ 11 ++ ℎ ℎℎℎ .. ℎℎ ++ …….(1)…….(1) Reemplazando:Reemplazando: (()) == 65(65(1010 40)40) 6655 ×× 00..000044 ++ 11..44 11 ++ 6565 3030 .. 1.41.43030 ++ ++ 4040 ParaPara == 00:: → → ((==)) == 7.7.68℃68℃ == ParaPara == 0.0.00004m4m → → ((==..)) == 4.4.9℃9℃ == (b)(b) Usamos la ecuación (1)Usamos la ecuación (1) •• ParaPara ℎℎ == 22 mm⁄⁄ .. :: (()) == 1.1.33332211 4040.. 1.41.43030 ++ ++ 4040 == 00 →→ (()) == 0.0.060621216666 4040 ++ 4040 == →→ (()) == 0.0.060674749696 4040 ++ 4040 •• ParaPara ℎℎ == 6655 mm⁄⁄ .. Fundamentos de Transferencia de CalorFundamentos de Transferencia de Calor == →→ (()) == 0.0.707017170505 4040 ++ 4040 •• ParaPara ℎℎ == 110000 mm⁄⁄ .. (()) == 1515.4.4636399 4040.. 1.41.43030 ++ ++ 4040 == 00 →→ (()) == 0.0.727216164949 4040 ++ 4040 == →→ (()) == 0.0.787835350505 4040 ++ 4040 PROBLEMA 3.3PROBLEMA 3.3 La ventana trasera de un automóvil se desempaña uniendo un elemento de calentamiento delga-La ventana trasera de un automóvil se desempaña uniendo un elemento de calentamiento delga- do de tipo película transparente a su superficie interior. Al calentar eléctricamente este elemento,do de tipo película transparente a su superficie interior. Al calentar eléctricamente este elemento, se establece un flujo de calor uniforme en la se establece un flujo de calor uniforme en la superficie interna.superficie interna. (a)(a) Para una ventana de vidrio de 4 mm, determine la potencia eléctrica que se requiere porPara una ventana de vidrio de 4 mm, determine la potencia eléctrica que se requiere por unidad de área de la ventana para mantener una temperatura en la superficie interna deunidad de área de la ventana para mantener una temperatura en la superficie interna de 1515℃℃ cuando la temperatura del aire interior y el coeficiente de convección soncuando la temperatura del aire interior y el coeficiente de convección son ,, ==25℃25℃ y y ℎℎ == 1010 mm.. ⁄⁄ , mientras la temperatura del aire exterior (ambiente) y el coefi-, mientras la temperatura del aire exterior (ambiente) y el coefi- ciente de convección sonciente de convección son ,, == 10℃ 10℃ y y ℎℎ == 6565 mm.. ⁄⁄ .. (b)(b) En la práctica,En la práctica, ,, y y ℎℎ varían de acuerdo con las condiciones climáticas y la velocidad del varían de acuerdo con las condiciones climáticas y la velocidad del automóvil. Para valores deautomóvil. Para valores de ℎℎ == 2,202,20,, 65 65 y 1y 10000 mm.. ⁄⁄ , determine y elabore una gráfica, determine y elabore una gráfica del requerimiento de potencia eléctrica como función dedel requerimiento de potencia eléctrica como función de ,, para para 3030 ≤ ≤ ,, ≤ 0℃≤ 0℃. De. De sus resultados, ¿qué concluye acerca de la necesidad de operar el calentador con valoressus resultados, ¿qué concluye acerca de la necesidad de operar el calentador con valores bajos debajos de ℎℎ? ¿Cómo resulta afectada esta conclusión por el valor de? ¿Cómo resulta afectada esta conclusión por el valor de ,,? Si? Si ℎℎ ∝ ∝ , don-, don- dede es la velocidad del vehiculo y es la velocidad del vehiculo y es un exponente positivo, ¿Cómo afecta la velocidad es un exponente positivo, ¿Cómo afecta la velocidad del auto a la del auto a la necesidad de la operación del calentador?necesidad de la operación del calentador? SOLUCION 3.3SOLUCION 3.3 Fundamentos de Transferencia de CalorFundamentos de Transferencia de Calor Esquema:Esquema: Suposiciones:Suposiciones: a)a) Estado estable.Estado estable. b)b) No hay generación interna.No hay generación interna. Análisis:Análisis: Como el material a usar es vComo el material a usar es vidrio de tablas obtenemos queidrio de tablas obtenemos que vv == 11..44 mm⁄⁄ .. (a)(a) •• Del balance energético, superficie externa:Del balance energético, superficie externa: ″″ == ″″ == ( (,,))″″ •• Del balance general:Del balance general: ″″ ++ ″″ == ″″ →→ ,, ((1/1/ℎℎ)) ++ ″″ == ,, 11ℎℎ ++ vv … … . . ( 1 )… … . . ( 1 ) →→ ((2525 1515)) 11 1/101/10 .. ++ ″″ == ((1515 ((10)10))) 11 6565 .. ++ 0.004 m0.004 m 1.41.4 .. → → ″″ == 13137070.5.5 mm⁄⁄ 100100 mm⁄⁄ == 1122770.0.55 mm⁄⁄ (b)(b) De la ecuación (1):De la ecuación (1): 100100 mm⁄⁄ ++ ″″ == 1515 ,,ℎℎ−− ++ 22..885577 ×× 1100−− Fundamentos de Transferencia de Calor → ″ = 15 ,ℎ− + 2.857 × 10− 100 • Para ℎ = 2 m⁄ .→ ″ = 1.98815 , 100 • Para ℎ = 20 m⁄ .→ ″ = 18.91915 , 100 • Para ℎ = 65 m⁄ .→ ″ = 54.81915 , 100 • Para ℎ = 100 m⁄ .→ ″ = 77.77815 , 100 PROBLEMA 3.4 En un proceso de fabricación se unirá una película transparente a un sustrato como se muestra en el diagrama. Para curar la unión a una temperatura , se utiliza una fuente radiante que propor- ciona un flujo de calor ″( m⁄ ), la totalidad del cual es absorbido en la superficie unida. La par- te posterior del sustrato se mantiene a mientras la superficie libre de la película se expone al aire a y a un coeficiente de transferencia de calor por convección ℎ. Fundamentos de Transferencia de Calor (a) Muestre el circuito térmico que represente la situación de transferencia de calor de estado estable. Asegúrese de etiquetar todos los elementos, nodos y flujos de calor. Déjelo en forma simbólica. (b) Suponga las siguientes condiciones: = 20℃, ℎ = 50 m. ⁄ y = 30℃. Calcule el flujo de calor ″ que se requiere para mantener la superficie unida a = 60℃. (c) Calcule y trace el flujo de calor que se requiere como función del espesor de la película pa- ra 0 ≤ ≤ 1 mm. (d) Si la película no es transparente y la totalidad del flujo de calor radiante se absorbe en su superficie superior, determine el flujo de calor que se requiere para lograr la unión. Elabore una gráfica de sus resultados como función de para 0 ≤ ≤ 1 mm. SOLUCION 3.4 Esquema: Suposiciones: a) Estado estable. b) Propiedades constantes. Análisis: (a) (b) Se sabe: = 20℃ ℎ = 50 m⁄ = 30℃ = 60℃ Fundamentos de Transferencia de Calor Por balance energético: ″ + ″ = ″ → 1ℎ + + = ″ → ″ = (60 30)0.001 m × 0.05 m⁄ . + (60 20)50 − + 0.00025m 0.025 .″ = 2833.3 m⁄ (c) ″: ″ = 1500 + 400.02 + 40. (d) Se tiene lo siguiente: Del balance de energía: ″ = ″ + ″ Dónde: ″ = ″ = ″ ″ = . ( ) = 0.05 m⁄ . 0.001 m × (60℃ 30℃) = 1500 m⁄ → ″ = 1500 = ( ) = 0.025 m⁄ . 0.00025 m ( ) Fundamentos de Transferencia de Calor = 75℃ → En general: = 1500. + = 60000. + 60 Del balance: ″ = ″ + ″″ = ℎ( ) + 1500″ = 5060000. + 60 20℃ + 1500 → ″ = 3 × 1 0. + 3500 ; en (m) ″ en PROBLEMA 3.5 Se consideran cobre y acero inoxidable (AISI 304) como material para las paredes de tobera de un cohete enfriada por líquido. El exterior enfriado de la pared se mantiene a 150℃, mientras que los gases de combustión dentro de la tobera estána 2750℃. El coeficiente de transferencia de calor del lado del gas es ℎ = 2 × 1 0 m. ⁄ y el radio de la tobera es mucho mayor que el espesor de la pared. Limitaciones técnicas indican que la temperatura del cobre y la del acero no exceden 540℃ y 980℃, respectivamente. ¿Cuál es el espesor máximo de la pared que se podría emplear para cada uno de los dos materiales? Si la tobera se construye con el espesor máximo de pared, ¿cuál material se preferiría? SOLUCION 3.5 Esquema: Fundamentos de Transferencia de Calor Suposiciones: a) Condición de estado estable. b) No hay generación de energía. Análisis: Para el uso del cobre: b = 401 m⁄ . Para el uso del SS (AISI 304) AISI = 14.9 m⁄ . • Se cumple: ″ = ″ - Para el cobre: = 540℃ → 2 × 1 0 . × (2750 540)K = (540 150) 2 × 1 0. (2750 540) = 401 (540 150) = 0.003538 m - Para el acero inoxidable (SS) AISI 304: = 980℃ → 2 × 1 0(2750 980) = 14.9 (980 150) = 0.000349 m Si se construye con el espesor máximo se usará el cobre. PROBLEMA 3.6 Una técnica para medir coeficientes de transferencia de calor implica adherir una superficie de una hoja metálica delgada a un material aislante y exponer la otra superficie a las condiciones de corriente del fluido de interés. Fundamentos de Transferencia de Calor ″v″ = 0.553 (b) Para el cálculo de : • Día calmado (ℎ = 25 m⁄ .): / = ℎ[ ] → = /ℎ + = 927.2725 15 = 22.09℃ • Día con viento (ℎ = 65 m⁄ .) = /ℎ + = 1678.4865 15 = 10.82℃ (c) Para el día con viento: / = 1678.48 m⁄ a = 15℃ Para el día calmado: / = + 1ℎ = 1678.48 m ⁄ 36 0.003 0.2 + 1 25 = 1678.48 → = 56.31℃ PROBLEMA 3.8 Considere el transistor montado en superficie que se ilustra en el problema 1.51. Construya el cir- cuito térmico, escriba una expresión para una temperatura de caja y evalúe para dos situa- ciones, una en la que el hueco está lleno de aire estancado y otra en la que está lleno de una pasta conductora. SOLUCION 3.8 Fundamentos de Transferencia de Calor Análisis: Por el balance energético en la caja del transistor; se realiza el análisis mediante uso de un circuito térmico: Dónde: = distancia del hueco = 25 m⁄ . (Para el alambre) = 0.0263 m⁄ . (Aire en el hueco) = 0.12 m⁄ . (Pasta en el hueco) ℎ = 50 m⁄ . Del circuito: • Para; aire en el hueco: + + + + + → = 1 ℎ. ⁄ + . ⁄ + . ⁄ + . ⁄ + . ⁄ …….(1) = ℎ. . + [ . ⁄ + 3( . ⁄ )] + ℎ. + . + 3. . ………(2) Dónde: = = 32 × 10− m =25×10− m =4×1 0− m Fundamentos de Transferencia de Calor = 0.2 × 10− m = 150 × 10− = 20℃ = 35℃→ = 47.04℃ • Para pasta en el hueco: Se obtendrá la misma ecuación de (1) y (2), selo existirá el cambio de por (pasta). = ℎ. . + [ . ⁄ + 3 . ⁄ ] + ℎ. + . + 3. . con = 0.12 . = 39.92℃ PROBLEMA 3.9 Una placa de acero de 1 m de largo ( = 50 m.⁄ ) está bien aislada en sus lados, mientras que la superficie superior está a 100℃ y la superficie inferior se enfría por convección mediante un fluido a 20℃. En condiciones de estado estable sin generación, un termopar en el punto medio de la placa revela una temperatura de 85℃. Fundamentos de Transferencia de Calor ¿Cuál es el valor del coeficiente de transferencia de calor por convección en la superficie inferior? SOLUCION 3.9 Esquema: Suposición: a) Estado estable. b) No hay generación de energía interna. Análisis: Para la superficie de control en el punto medio: ( = 85℃), se tiene el siguiente balance: ̇ = ̇″ = ″ → 2⁄ = 2⁄ + 1ℎ → ℎ = 2⁄ . 2⁄ − ℎ = 0.5 50 85 20 100 85 0.550− ℎ = 30 . PROBLEMA 3.10 Fundamentos de Transferencia de Calor Una ventana térmica de vidrio consiste en dos piezas de vidrio de 7 mm de espesor que encierran un espacio de aire de 7 mm de espesor. La ventana separa el aire del cuarto a 20 ℃ del aire am- biente del exterior a 10℃. El coeficiente de convección asociado con la superficie interna (lado del cuarto) es 10 m. ⁄ . (a) Si el coeficiente de convección asociado con el aire exterior (ambiente) es ℎ = 80 m. ⁄ , ¿cuál es la pérdida de calor a través de una ventana que tiene 0.8 m de largo por 0.5 m de ancho? No tome en cuenta la radiación, y suponga que el aire encerrado en- tre las hojas de vidrio está estancado. (b) Calcule y trace el efecto de ℎ sobre la pérdida de calor para 10 ≤ ℎ ≤ 100 m. ⁄ . Repita este cálculo para una construcción de tres vidrios en la que se agrega un tercer vi- drio y un segundo espacio de aire de espesor equivalente. SOLUCION 3.10 Esquema: Suposiciones: a) Estado estable. b) No hay generación de energía interna. Análisis: De las tablas A.3: v = 1.4 m⁄ . (300K) = 0.0243 (273K) (a) Pérdida de calor: Fundamentos de Transferencia de Calor Suposiciones: a) Transferencia de calor en una dirección. b) Condición de estado estable. c) Efectos de radiación insignificantes. d) Propiedades constantes. Análisis: Para las propiedades: • de tabla A.1: Acero inoxidable (AISI 304) a � = 1000 K se tiene: = 25.4 m⁄ . • de tabla A.2: Oxido de Berilio: (� = 1500 K) = 21.5 m⁄ . (a) para la pérdida de calor por unidad de área (″) ″ = , , 1ℎ + + + + 1ℎ = 2600 100 1 50 + 0.01 21.5 + 0.05 1 + 0.02 25.4 + 1 1000 = 34600 (b) para la distribución de temperatura, calculamos las temperaturas de superficie en: • ,: ″ = ℎ, , → , = , ″ℎ = 2600 3460050 = 1908℃ • ,: ″ = , , → , = , . ″ = 1908 (0.01)(34600)21.5 = 1892℃ • ,: ″ = , ,, → , = , ,. ″ = 1892 (0.05)(34600) = 162℃ • ,: Fundamentos de Transferencia de Calor ″ = , , → , = , . ″ = 162 0.02(34600)25.4 = 134.6℃ → La distribución será: PROBLEMA 3.21 Dos placas de acero inoxidable de 10 mm de espesor están sujetas a una presión de contacto de 1 bar bajo condiciones de vacío para las que hay una caída general de temperatura de 100 ℃ a lo largo de las placas. ¿Cuál es la caída de temperatura a través del plano de contacto? SOLUCION 3.21 Esquema: Suposiciones: a) Transferencia de calor unidimensional. Fundamentos de Transferencia de Calor c) Propiedades constantes. Análisis: Para el acero inoxidable: (� ≈ 400 K) : = 16.6 m⁄ . Tabla A.1 • Para 1 bar, de la tabla 3.1, para acero inoxidable obtenemos: ″ = 15 × 10− m. / Además: = 0.0116.6 = 6.02 × 10−m./ → ″ = 2 + ″ = 27 × 10−m./ (Resistencia total de contacto) Para el flujo de calor (″) ″ = ∆″ = 100℃27 × 10−m./ = 3.70 × 10− /m • Del circuito térmico (figura superior) ″″ = ∆, , = 1 5 × 1 0 −m. / 2 7 × 1 0−m. / = 0.556 → Por tanto: ∆ = 0.556, , = 0.556(100℃) = 55.6℃ PROBLEMA 3.22 Considere una pared plana compuesta integrada por dos materiales de conductividades térmicas = 0.1 m.⁄ y = 0.04 m.⁄ y espesores = 10 mm y = 20 mm. Se sabe que la resistencia de contacto en la interfaz entre los dos materiales es 0.30 m. /. El material A está al lado de un fluido a 200℃ para el que ℎ = 10 m.⁄ , y el material B a un fluido a 40℃ para el que ℎ = 20 m. ⁄ . (a) ¿Cuál es la transferencia de calor a través de una pared que tiene 2 m de altura por 2.5 m de ancho? (b) Dibuje la distribución de temperaturas. Fundamentos de Transferencia de Calor SOLUCION 3.22 Esquema: Suposiciones: a) Condición de estado estable b) Transferencia de calor unidimensional c) Propiedades constantes. Análisis: (a) Según = 2 m ∧ = 2.5 m ⇒ A = 5 m Para la resistencia total: = 1ℎ + + ″ + + 1ℎ = 11 0× 5 + 0.010 . 1 × 5 + 0.35 + 0.020.04 × 5 + 12 0 × 5 = 0.21 / Transferencia de calor: Fundamentos de Transferencia de Calor → = , , = 200 4000.21 = 762 (b) Para la distribución de temperaturas: ( como el problema 3.20) ∗ , = , ℎ. = 200 76210×5 = 184.8℃ ∗ = , . . = 184.8 (762)(0.01)(0.1)(5) = 169.6℃ ∗ = .″ = 169.6℃ (762). (0.3)5 = 123.8℃ ∗ , = . . = 123.8 (762)(0.02)(0.04)(5) = 47.6℃ Se obtiene: PROBLEMA 3.23 El rendimiento de los motores de turbinas de gas se mejora aumentando la tolerancia de las hojas de las turbinas a los gases calientes que salen del combustor. Un método para lograr altas tempe- raturas de operación implica la aplicación de un revestimiento de barrera térmica (TBC) para la superficie externa de una hoja, mientras pasa aire de enfriamiento a través de la hoja. Por lo co- mún, la hoja está fabricada de una superaleación de alta temperatura, como Inconel ( ≈ 25 m.⁄ ), mientras una cerámica, como circonia ( ≈ 1.3 m.⁄ ), se usa como revestimien- to de barra térmica TBC. Fundamentos de Transferencia de Calor Considere condiciones para las que gases caliente a , = 1700 K y aire de enfriamiento a, = 400 K proporcionana coeficientes de convección de la superficie externa e interna deℎ = 1000 m.⁄ y ℎ = 500 m.⁄ , respectivamente. Si un TBC de circonio de 0.5 mm de espesor se une a la pares de una hoja de inconel de 5 mm de espesor por medio de un agente de unión metálico, que proporciona una resistencia térmica entre las interfaces de ,″ = 10−m./, ¿es posible mantener el Inconel a una temperatura que esté por debajo de su va- lor máximo permisible de 12500 K? Deje de lado los efectos de radiación, y aproxime la hoja de la turbina como una pared plana. Elabore una gráfica de la distribución de temperaturas con y sin el TBC. ¿Existe algún límite al espesor de TBC? SOLUCION 3.23 Esquema: Suposiciones: a) Condición de estado estable. b) Transferencia de calor en una sola dirección. c) Radiación insignificante. Análisis: Calculamos la resistencia total por unidad de área: Fundamentos de Transferencia de Calor ″ = 1ℎ + + ″ + + 1ℎ = 11000 + 0.5 × 10 − 1.3 + 10− + 5 × 1 0− 25 + 1 500 = 3.69 × 10−. → Para el flujo de calor (″): ″ = , ,″ = 13003.69 × 10− = 3.52 × 10/m • Para las temperaturas de superficie interior y exterior del inconel: ( ∧ ) = , + ″ℎ = 400 + 3.52 × 10 500 = 1104 K = , + ″ 1ℎ + = 400 + 3.52 × 10 1500 + 5 × 1 0 − 25 = 1174 K • Sin el TBC; la resistencia por unidad de área, sería: ″ = 1ℎ + + 1ℎ = 3.2 × 10−. (Flujo de calor ″): ″ = , ,″ = 4.06 × 10/m Por tanto: = , + ″ℎ = 400 + 4.06 × 10 500 = 1212 K = , + ″ 1ℎ + = 400 + 4.06 × 10 1500 + 5 × 1 0 − 25 = 1293 K → Distribución de temperaturas: Fundamentos de Transferencia de Calor Además con la ayuda de la unión del TBC de zirconio es posible mantener al inconel bajo su valor de temperatura máximo permisible de 1250 K PROBLEMA 3.24 Un chip de silicio se encapsula de modo que, bajo condiciones de estado estable. La totalidad de la potencia que se disipa se transfiere por convección a una corriente de fluido para el queℎ = 1000 m.⁄ y = 25℃. El chip se separa del fluido mediante una cubierta de placa de aluminio de 2 mm de espesor, y la resistencia de contacto de la interfaz chip/aluminio es 0.5 × 10−m./. Si el área de la superficie del chip es 100 mm y la temperatura máxima permisible es 85℃, ¿cuál es la disipación de potencia máxima permisible en el chip? SOLUCION 3.24 Esquema: Suposiciones: Fundamentos de Transferencia de Calor b) Transferencia de calor en una dirección. c) Chip isotérmico. Análisis: • Para el aluminio: ( ≈ 325 K) → A = 238 m⁄ . • Para una superficie de control en el chip, la conservación de energía será: ̇ ̇ = 0 → A + ″ + 1ℎ 1 = 0 → = A + ″ + 1ℎ 1 = (85 25)0.002 238 +0.5×10− + 1 1000 1 10− = 5.67 La cual es la disipación de potencia máxima permisible en el chip. PROBLEMA 3.25 Aproximadamente 10 componentes eléctricos discretos se colocan en un solo circuito integrado (chip), con disipación de calor eléctrico tan alta como 30,000 m⁄ . El chip, que es muy delgado, se expone a un líquido dieléctrico en la superficie externa, con ℎ = 1000 m⁄ . y , =20℃, y se une a una tarjeta de circuitos en la superficie interior. La resistencia térmica de contacto entre el chip y la tarjeta es 10−m. /, y el espesor y conductividad térmica de la tarjeta son = mm y = 1 m⁄ . , respectivamente. LA otra superficie de la tarjeta se expone al aire del ambiente para el que ℎ = 40 m⁄ . y , = 20℃. Fundamentos de Transferencia de CalorFundamentos de Transferencia de Calor 25℃25℃ == ″″.. ((0.025 m0.025 m)) 1010 mm⁄⁄ .. .. lnln 0.025 m0.025 m0.038 m0.038 m ++ ,, 2255 == 11..004466 ×× 1100−−″″ ++ ,, →→ ″″ == 2525 ,,11..004466 ×× 1100−− == 232388882.82.866 95955.5.3131 ×× ,, … … … . ( I )… … … . ( I ) Se sabe:Se sabe: ′′ == == .. 22 →→ ′′ == == .. 22 ″″.. .. == 22″″.. Potencia por unidad de longitud:Potencia por unidad de longitud: →→ ′′ == 2.2. ((0.0250.025))23882.23882.8686 95955.5.3131 ×× ,,′′ == 37374949.6.611 14149.9.9898 ×× ,, Para la resolución de la potencia es necesario el Para la resolución de la potencia es necesario el valor numérico de la temperatura constante de lavalor numérico de la temperatura constante de la superficie exterior.superficie exterior. PROBLEMA 3.40PROBLEMA 3.40 Considere un cilindro hueco largo de cConsidere un cilindro hueco largo de conductividad térmicaonductividad térmica con radios con radios interior y exteriorinterior y exterior y y ,, respectivamente. La temperatura de la superficie interna se mantiene arespectivamente. La temperatura de la superficie interna se mantiene a mientras que la superfi- mientras que la superfi- cie externa expericie externa experimenta un flujo de menta un flujo de calor uniformecalor uniforme ″″.. Fundamentos de Transferencia de CalorFundamentos de Transferencia de Calor (a)(a) Comenzando con la forma apropiada de la Comenzando con la forma apropiada de la ecuación de difusión de calor, derive una expre-ecuación de difusión de calor, derive una expre- sión para la sión para la distribución de temperatura,distribución de temperatura, (()), entérminos de, entérminos de ,, ,,,, y y ″″.. (b)(b) Dibuje la distribución de Dibuje la distribución de temperaturas en coordenadastemperaturas en coordenadas .. (c)(c) Escriba una expresión para la transferencia de calor por unidad de longitud del cilindro enEscriba una expresión para la transferencia de calor por unidad de longitud del cilindro en la superficie interna,la superficie interna, ″″(()), en términos de, en términos de ″″ y los parámetros de la geometría del cilin- y los parámetros de la geometría del cilin- dro.dro. SOLUCION 3.40SOLUCION 3.40 Esquema:Esquema: Suposiciones:Suposiciones: a)a) Condición de estado estable.Condición de estado estable. b)b) No hay generación de energía interna.No hay generación de energía interna. c)c) Conducción unidimensional radial.Conducción unidimensional radial. Análisis:Análisis: (a)(a) A partir de la ecuación 3.25:A partir de la ecuación 3.25: (()) == lnln ++ ……. .(1)……. . (1) •• Condiciones de frontera:Condiciones de frontera: (()) == ………….(2)………….(2) == == ″″ ……….(3)……….(3) De (3):De (3): (( lnln ++ ))== == ″″ Fundamentos de Transferencia de CalorFundamentos de Transferenciade Calor . . == ″″ →→ == ″″.. En (1):En (1): (()) == ″″ lnln ++ De (2):De (2): (()) == == ″″ lnln ++ →→ == ++ ″″ lnln En (1):En (1): (()) == ″″ lnln ++ ″″ lnln ++ → → (()) == ″″ lnln ++ •• Cabe recordar queCabe recordar que (()) == lnln ++ , Proviene de:, Proviene de: 11 .. == 00 (b)(b) Distribución:Distribución: (()) (c)(c) Para la transferencia de calor por unidad de Para la transferencia de calor por unidad de longitud: enlongitud: en ((′′ )) ′′ == == ((//))== == 22 == Fundamentos de Transferencia de CalorFundamentos de Transferencia de Calor ′′ (()) == ((//))== == 22.. .. ″″.. .. →→ ′′ (()) == 22″″.. PROBLEMA 3.41PROBLEMA 3.41 La sección del evaporador de una unidad de refrigeración consiste en tubos de pared delgada deLa sección del evaporador de una unidad de refrigeración consiste en tubos de pared delgada de 10 mm de diámetro a t10 mm de diámetro a través de los que pasa ravés de los que pasa el fluido refrigerante a una temperatura deel fluido refrigerante a una temperatura de 18℃18℃. Se. Se enfría aire conforme fluye sobre los tubos, manteniendo un coeficiente de convección de superfi-enfría aire conforme fluye sobre los tubos, manteniendo un coeficiente de convección de superfi- cie decie de 100100 mm⁄⁄ .. , y en seguida se , y en seguida se dirige a la sección del refrigerador.dirige a la sección del refrigerador. (a)(a) Para las condiciones precedentes y una temperatura del aire dePara las condiciones precedentes y una temperatura del aire de 3℃3℃, ¿cuál es la rapidez a, ¿cuál es la rapidez a la que se extrae calor del aire por unidad de longitud del tubo?la que se extrae calor del aire por unidad de longitud del tubo? (b)(b) Si la unidad de descongelación funciona mal, lentamente se acumulará escarcha sobre laSi la unidad de descongelación funciona mal, lentamente se acumulará escarcha sobre la superficie externa del tubo. Evalúe el efecto de la formación de escarcha sobre la capaci-superficie externa del tubo. Evalúe el efecto de la formación de escarcha sobre la capaci- dad de enfriamiento de un tubo para espesores de la capa de escarcha en el rangodad de enfriamiento de un tubo para espesores de la capa de escarcha en el rango 00 ≤ ≤ ≤≤ 4 mm4 mm. Se supone que la escarcha tiene una conductividad térmica de. Se supone que la escarcha tiene una conductividad térmica de 0.40.4 mm⁄⁄ .. .. (c)(c) Se desconecta el refrigerador después de que falla la unidad de descongelamiento y de queSe desconecta el refrigerador después de que falla la unidad de descongelamiento y de que se ha formado una capa de escarcha de se ha formado una capa de escarcha de 2 mm de grosor. Si 2 mm de grosor. Si los tubos están en aire ambien-los tubos están en aire ambien- te para el quete para el que == 20℃ 20℃ y una convección natural y una convección natural mantiene un coeficiente de convecciónmantiene un coeficiente de convección dede 22 mm⁄⁄ .. , ¿cuánto tiempo tardará la escarcha en derretirse? Se supone que , ¿cuánto tiempo tardará la escarcha en derretirse? Se supone que la escar-la escar- cha tiene una densidad decha tiene una densidad de 77000 0 kkgg mm⁄⁄ y una entalpía de y una entalpía de fusión defusión de 334 kJ/kg334 kJ/kg.. SOLUCION 3.41SOLUCION 3.41 Esquema:Esquema: Fundamentos de Transferencia de CalorFundamentos de Transferencia de Calor esespespesor or (m(m) ) RRcconond d (m(m22**/W/W)K )K RcRcononv v (m(m22**K/K/WW) ) q/q/L L (W(W/m/m)) 0 0 00..000 0 00..332 2 4477..1100 00..0000005 5 00..004 4 00..229 9 4455..8811 00..00001 1 00..007 7 00..227 7 4444..3388 00..0000115 5 00..110 0 00..224 4 4422..9933 00..00002 2 00..113 3 00..223 3 4411..5500 00..0000225 5 00..116 6 00..221 1 4400..1144 00..00003 3 00..119 9 00..220 0 3388..8855 00..0000335 5 00..221 1 00..119 9 3377..6633 00..00004 4 00..223 3 00..118 8 3366..5500 Suposiciones:Suposiciones: a)a) Condición de estado estable.Condición de estado estable. b)b) Conducción unidimensional dirección radial.Conducción unidimensional dirección radial. c)c) Insignificante resistencInsignificante resistencia conductiva por parte de la ia conductiva por parte de la pared del tubo.pared del tubo. Análisis:Análisis: (a)(a) Rapidez de extracción de calor por unidad de Rapidez de extracción de calor por unidad de longitud.longitud. CondiciónCondición (( == 00)):: ⁄⁄ == ′′ == ℎ ℎ.. 22.. ,, ,, == 110000 mm⁄⁄ .. .. 22.. 0.00.005 m05 m((3 + 1 83 + 1 8))℃℃→→ ⁄⁄ == 4477.1.1 mm⁄⁄ (b)(b) Para la existencia de un espesor:Para la existencia de un espesor: ⁄⁄ == ,, ,, ++ == ,, ,,11ℎℎ.. 22 ++ lnln(( ⁄⁄ ))22.. == lnln(( ++ ⁄⁄ ))22 == 1122.. ℎℎ Fundamentos de Transferencia de CalorFundamentos de Transferencia de Calor Se observa que ante el aumento de espesor la extracción de vapor y el rendimiento del evapora-Se observa que ante el aumento de espesor la extracción de vapor y el rendimiento del evapora- dor disminuye, esto será debido al aumento en la resistencia total a la transferencia de calor, estodor disminuye, esto será debido al aumento en la resistencia total a la transferencia de calor, esto es principalmente por el aumento en la resistencia conductiva.es principalmente por el aumento en la resistencia conductiva. (c)(c) El tiempoEl tiempo requerido para fundir una capa de 2 mm de espesor se puede determinar requerido para fundir una capa de 2 mm de espesor se puede determinar mediante la aplicación de un balance de energía, según mediante la aplicación de un balance de energía, según la ecuación 1.11 b.la ecuación 1.11 b. ⇒⇒ ̇ ̇.. == == UUℎℎ((22.. .. )),, .. == ℎ ℎ.... == ℎ ℎ.... ((22.. .. )) ℎℎ,, == ..ℎℎ Fundamentos de Transferencia de Calor → = . ℎ. ( )ℎ, = (700)(334 × 10 )(0.002 m) (2)(20 0℃) = 11690 = 3.25 ℎ Donde = 0℃ (temperatura de fusión) PROBLEMA 3.42 Una pared cilíndrica está compuesta por dos materiales de conductividad térmica y . Sepa- rados por un calentador de resistencia eléctrica muy delgado para el cual as resistencias térmicas de contacto de las interfaces son insignificantes. Un líquido que se bombea a través del tubo está a una temperatura , y proporciona un coefi- ciente de convección de ℎ en la superficie interna del compuesto. La superficie externa se expone al aire ambiente, el cual está a , y proporciona un coeficiente de convección de ℎ. En condi- ciones de estado estable, el calentador disipa un flujo de calor uniforme ″. (a) Dibuje el circuito térmico equivalente del sistema y exprese todas las resistencias en tér- minos de variables relevantes. (b) Obtenga una expresión que sirva para determinar la temperatura del calentador, . (c) Obtenga una expresión para la razón de los flujos de calor a los fluidos externo e interno,′ ′⁄ . ¿Cómo ajustar las variables del problema para minimizar esta razón? SOLUCION 3.42 Fundamentos de Transferencia de Calor Esquema: Dónde: ″: Flujo de calor ′: Rapidez de transferencia de calor por longitud Suposiciones: a) Conducción unidimensional, radial. b) Condición de estado estable. c) Calentador isotérmico. d) Propiedades constantes. Análisis: (a) Circuito térmico equivalente: (b) Realizando un balance energético del calentador: ̇ = ̇ → ″(2)= ′ + ′ → ′ + ′ = ,1ℎ . 2. + ln( ⁄ )2 + , 1ℎ. 2. + ln( ⁄ )2 (c) Del circuito se puede obtener: Fundamentos de Transferencia de Calor ′′ = , , . 1ℎ . 2. + ln( ⁄ )2 1ℎ. 2. + ln( ⁄ )2 PROBLEMA 3.43 Un alambre eléctrico que tiene un radio de = 5 mm y una resistencia por unidad de longitud de 10−Ω/m, se cubre con un aislante plástico de conductividad térmica = 0.20 m⁄ .. El ais- lante se expone al aire del ambiente para el que = 300 K y ℎ = 10 m⁄ .. Si el aislante tiene una temperatura máxima permisible de 450 K, ¿cuál es la corriente máxima posible que se puede hacer pasar por el alambre? SOLUCION 3.43 Esquema: Suposiciones: a) Estado estable b) Conducción unidimensional, dirección radial. c) Propiedades constantes. Análisis: Del balance energético en el alambre. ̇ = ′ . = Fundamentos de Transferencia de Calor (c) Hay cierta preocupación sobre la capacidad del aislante para resistir temperaturas eleva- das. ¿Cuál espesor de este aislante ( = 0.5 m⁄ .) dará el valor más bajo de la tempe- ratura máxima del aislante? ¿Cuál es el valor de la temperatura máxima cuando se usa di- cho espesor? SOLUCION 3.44 Esquema: Suposiciones: a) Condición de estado estable. b) Conducción unidimensional, radial. c) Propiedades constantes. Análisis: (a) Para este caso, la rapidez a la cual el calor se transfiere, se ajusta a la rapidez de generación de energía (calor) en el cable. Realizando un balance de energía para la superficie de con- trol en (sobre el cable), se obtiene: ̇ = Dónde: ̇ = .′ = → ′ = ⁄ = .′ = (700)(6×10−)→ .′ = ℎ..( ) → = + ′ = + .′ = 30℃ + 294 Fundamentos de Transferencia de Calor → = 778.7℃ (b) Para el caso: con aislante eléctrico, existe una resistencia de contacto y de convección adi- cionalmente a la resistencia conducción a la transferencia de calor del cable. Para la rapidez de transferencia de calor: = , + 1ℎ. . = ,″. + 1ℎ. . → ⁄ = . ( ),″ + 1ℎ → = ( ⁄ ). . ,″ + 1ℎ + Reemplazando: = (294)(0.005) . [0.02 + 0.04] + 30℃ = 1153℃ Para obtener : = , → = , = (/) ,″. = 1153℃ 294 × 0.02.(0.005 m) = 778.7℃ (c) La temperatura máxima de aislamiento podría reducirse mediante la disminución la resis- tencia a la transferencia de calor desde la superficie exterior del aislante. • Esta disminución será posible si < → Radio de aislamiento crítico: = ℎ = 0.5 m⁄ . 25 m⁄ = 0.02 m Fundamentos de Transferencia de Calor Se obtuvo: = 0.04 m > = 0.005 m Para reducir al mínimo la temperatura máxima que existe en la superficie interior del aislamiento, se agrega una cantidad. = 2 = 2 = (0.04 0.005) m 2 = 0.0175 m Al usar dicho espesor: ⁄ = ,″ + ln( ⁄ )2 + 1ℎ. ⁄ = ( 30) 0.02(0.005) + ln(0.04/0.005)2(0.5) + 125 ∙ ∙ (0.04) = 30 2.25 → (294) = 30 2.25 → = 692.5℃ Además: (/) = , = ,″ ( ) ⇒ = ,″ = 692.5 (294)(0.02)(0.005) = 318.2℃ PROBLEMA 3.45 Un tubo de acero de pared delgada de 0.20 m de diámetro se utiliza para transportar vapor satu- rado a una presión de 20 bar en un cuarto para el que la temperatura del aire es 25 ℃ y el coefi- ciente de transferencia de calor en la superficie externa del tubo es 20 m⁄ . . (a) ¿Cuál es la pérdida de calor por unidad de longitud del tubo expuesto (sin aislante)? Estime la pérdida de calor por unidad de longitud si se agrega a una capa de 50 mm de aislante (óxido de magnesio, 85%). Suponga que el acero y el óxido de magnesio tiene cada uno una emisividad de 0.8, y no tome en cuenta la resistencia de convección del lado del vapor. Fundamentos de Transferencia de Calor h/año, recomiende un espesor de aislante y determine del ahorro anual correspondiente en cos- tos de energía. Elabore una gráfica de la distribución de temperaturas para el espesor recomenda- do. SOLUCION 3.47 Esquema: El circuito será: Suposiciones: a) Condición de estado estable. b) Transferencia de calor unidimensional. c) Propiedades constantes. Análisis: Para los materiales: • Acero AISI 100 ( = 450 ) ∶ = 56.5 m⁄ . (Tabla A-1) • Oxido de Magnesio 85% ( = 365 ) ∶ = 0.055 m⁄ . (Tabla A-3) Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 100 Fundamentos de Transferencia de Calor Segú el circuito térmico, el cual se sigue un balance de energía en la superficie externa., ,,′ + ,′ + ,′ = , ,,′ + , ′ De las ecuaciones 3.9, 3.28 y 1.17, , 1 2ℎ + ln(/)2 + ln(/)2 = , , 1 2 ∙ ℎ + , (2)ℰ ∙ ∙ , , + − → 2. ℎ, , + (2) ∙ℰ ∙ , + , , 12ℎ + ln(/)2 + ln(/)2 − = 0 → ℎ, , + ∙ ℰ ∙ , (2) + , , 12ℎ + ln(/)2 + ln(/)2 − = 0 → Obtenemos al reemplazar: 25, 293 + 4.536× 10−, 293. + , 523 115 + ln(3.75/30)56.5 + ln(/0.0375)0.055 − = 0 → De ella obtenemos , para cada valor de , (Mediante métodos numéricos) Fundamentos de Transferencia de Calor r3(m) Ts,o (K) q' (W/m) 0.0378 471.22 1509.17 0.0380 455.68 1357.48 0.0400 381.58 713.89 0.0450 333.62 351.30 0.0500 318.55 242.21 0.0550 311.24 189.05 0.0600 306.98 157.45 0.0650 304.20 136.43 0.0700 302.27 121.39 0.0750 300.86 110.08 0.0575 308.86 171.48 Calculo para la temperatura Ts,o Para ′: ′ = ⁄ = 2. 25,293 + 2. 5.67 × 10−.0.8, 293 Fundamentos de Transferencia de Calor • El rápido deterioro o decaimiento de ′ ante el incremento de es atribuible a la contri- bución dominante que el aislamiento empieza a hacer a la resistencia térmica global. • El calor perdido puede reducirse en casi un 91% del valor del problema anterior de 1831 W/m en = = 37.5 mm (sin aislamiento) a 172 W/m en = 57.5 mm y por sólo un 3% adicional si el espesor del aislamiento aumenta hasta = 77.5 mm. Por tanto, el espe- sor de aislamiento = 20 mm se recomienda, para lo cual ′ = 172 ( = 0.0575), del Excel. El ahorro anual: = (1831 172) . $410J . 7000 ñ . 3600 = $167.2 m Para la variación de la temperatura en el espesor, será de forma lineal por ser la transferencia de calor por conducción. Además en: = = 0.0375 m () = 521 k = = 0.0575 () = 309 k Distribución de (): PROBLEMA 3.48 Un tubo de pared delgada de 100 mm de diámetro sin aislar se usa para transportar agua a equipo Fundamentos de Transferencia de Calor larmente adversas la pared del tubo alcanza una temperatura de 15℃ y se forma una capa cilín- drica de hielo sobre la superficie interna de la pared. Si la temperatura media del agua es 3 ℃ y se mantiene un coeficiente de convección de 2000 m⁄ . en la superficie interna del hielo, que está a 0℃, ¿cuál es el espesor de la capa de hielo? SOLUCION 3.48 Esquema: Suposiciones: a) Estado estable. b) Conducción unidimensional, radial. c) Resistencia de contacto hielo y tubo despreciable. d) Conductividad térmica del hielo (k) constante. Análisis: Para el hielo Tabla A-3: Hielo ( = 265 ) ∶ ≃ 1.94 m⁄ . Realizando un balance de energía, en la superficie de control sobre la interface agua-hielo, se tie- ne: = ℎ . (2), , = , ,ln(/) 2. Dividiendo ambos lados por : Fundamentos de Transferencia de Calor ln(/) (/) = ℎ . . , ,, , = (1.94)(2000)(0.05) . 153 = 0.097 → ln() () = 0.097 → Por métodos numéricos: = 1.114 → = 1.114→ = 0.05 m→ = 0.045 m→ = = 0.05 m 0.045 m = 0.005 m= 5 mm PROBLEMA 3.49 El vapor que fluye a través de un tubo largo de pared delgada mantiene la pared del tubo a una temperatura uniforme de 500 K. El tubo está cubierto con una manta aislante compuesta con dos materiales diferentes, A y B. Se supone que la interfaz entre los dos materiales tiene una resistencia de contacto infinita, y que toda la superficie externa está expuesta al aire, para el cual = 300 K y ℎ = 25 m⁄ . . (a) Dibuje el circuito térmico del sistema. Usando los símbolos precedentes, marque todos los nodos y resistencias pertinentes. (b) Para las condiciones que se establecen, ¿cuál es la pérdida total de calor del tubo? ¿Cuáles son las temperaturas de la superficie externa () y ()? Fundamentos de Transferencia de CalorFundamentos de Transferencia de Calor el contenedor en aguas oceánicas que están a el contenedor en aguas oceánicas que están a una temperatura deuna temperatura de == 10℃ 10℃ y que proporcionan y que proporcionan un coeficiente de convección uniformeun coeficiente de convección uniforme ℎℎ == 550000 mm.. KK⁄⁄ en la superficie externa del contenedor. en la superficie externa del contenedor. ¿Hay algún problema asociado con esta propuesta?¿Hay algún problema asociado con esta propuesta? SOLUCION 3.57SOLUCION 3.57 Esquema:Esquema: Suposiciones:Suposiciones: a)a) Conducción unidimensional, radial.Conducción unidimensional, radial. b)b) Condición estado estable.Condición estado estable. c)c) Propiedades constantes a 300 K.Propiedades constantes a 300 K. Análisis:Análisis: Para los materiales:Para los materiales: Plomo:Plomo: == 3355..33 m.m. KK⁄⁄ ,, uóuó == 660011KK (Tabla (Tabla A A – – 1)1) Acero inoxidable (AISI 302):Acero inoxidable (AISI 302): == 1515..11 m.m. KK⁄⁄ (( == 33000 0 KK)) (Tabla (Tabla A A – – 1)1) •• Del circuito térmico:Del circuito térmico: Fundamentos de Transferencia de CalorFundamentos de Transferencia de Calor == == ̇ ̇.. 4433 •• Para las Para las resistencias térmicas:resistencias térmicas: ∗∗ == 11 00..225 5 mm⁄⁄ 11 00..330 0 mm⁄⁄44((35.335.3 m.m. KK⁄⁄ )) == 0.0.000015 15 K/K/ ∗∗ == 11 330 0 mm⁄⁄ 11 00..331 1 mm⁄⁄44((15.115.1 m.m. KK⁄⁄ )) == 0.0.0000050567 K/67 K/ ∗∗ == ((44 ×× 00..3311mm ×× 550000 mm.. KK⁄⁄ ))−− == 0.0.000016166 K/6 K/⇒⇒ == ++ ++ == 0.0.000037372 K/2 K/ En la primera ecuación:En la primera ecuación: == ++ .. ̇ ̇ 4433 == 22883 3 KK ++ ((0.00372 K0.00372 K)) 5 × 1 05 × 1 0 mm 4433 ((0.25 m0.25 m)) == 44005 5 KK ComoComo << uóuó →→ ((44005 5 KK << 66001 K1 K)) No hay problema con esta propuesta, ya que el plomo no llega al punto de fundirseNo hay problema con esta propuesta, ya que el plomo no llega al punto de fundirse PROBLEMA 3.58PROBLEMA 3.58 Como una alternativa para almacenar materiales radioactivos en aguas Como una alternativa para almacenar materiales radioactivos en aguas oceánicas, se propone queoceánicas, se propone que el sistema del problema 3.57 se coloque en una tanque grande en el cual se controle el flujo deel sistema del problema 3.57 se coloque en una tanque grande en el cual se controle el flujo de agua y, por siguiente, el coeficiente de convecciónagua y, por siguiente, el coeficiente de convección ℎℎ. Calcule y trace la temperatura máxima del. Calcule y trace la temperatura máxima del plomo,plomo, (()), como función de, como función de ℎℎ para para 100100 ≤ ≤ ℎ ℎ ≤≤ 10001000 mm.. KK⁄⁄ . Si la temperatura del plomo no. Si la temperatura del plomo no deberá exceder 500 K, ¿cuál es el valor mínimo permisible dedeberá exceder 500 K, ¿cuál es el valor mínimo permisible de ℎℎ? Para mejorar la seguridad del? Para mejorar la seguridad del sistema, es deseable aumentar el espesor de la capa de acero inoxidable. Parasistema, es deseable aumentar el espesor de la capa de acero inoxidable. Paraℎℎ == 30300,500,5000 1000 1000 mm.. KK⁄⁄ , calcule y trace la temperatura máxima del plomo como función, calcule y trace la temperatura máxima del plomo como función del espesor de la capa paradel espesor de la capa para ≥ ≥ 0.30 m0.30 m. ¿Cuáles son los valores correspondientes del espesor. ¿Cuáles son los valores correspondientes del espesor máximo permisible?máximo permisible? SOLUCION 3.58SOLUCION 3.58 Fundamentos de Transferencia de CalorFundamentos de Transferencia de Calor Suposiciones:Suposiciones: a)a) Conducción unidimensional, radial.Conducción unidimensional, radial. b)b) Condición de estado estable.Condición de estado estable. c)c) Propiedades constantes a 300 KPropiedades constantes a 300 K Análisis:Análisis: Del problema anterior, se obtuvo el circuito térmico:Del problema anterior, se obtuvo el circuito térmico: (a)(a) De la ecuación del problema anterior:De la ecuación del problema anterior: == ̇ ̇ 44 33 1133 = 5 × 1 0= 5 × 1 0 ×× 4433 ((0.25 m0.25 m))33 == 3232.7.725 25 WW También:También: == ++ .. Dónde:Dónde: == 11 ⁄⁄ 11 ⁄⁄44 ++ 11 ⁄⁄ 11 ⁄⁄44 ++ 1144.. ℎℎ De los datos anteriores (problema 3.57)De los datos anteriores (problema 3.57) ((℃℃)) = 1 0 += 1 0 + 11 00..225 5 mm⁄⁄ 11 00..3 3 mm⁄⁄44 ×× 3535.3.3 m.m. KK⁄⁄ ++ 11 00..3 3 mm⁄⁄ 11 00..331 1 mm⁄⁄44 ×× 1515..11 m.m. KK⁄⁄ ++ 1144.. ((0.31 m0.31 m))ℎℎ .. 32732725 25 WW (()) == ((1100 ++ 227733)) ++ 323272725.5. 22..0077 ×× 1100−− ++ 0.82840.8284ℎℎ Fundamentos de Transferencia de CalorFundamentos de Transferencia de Calor h(h(WW/m/m22**K) K) TT11(K(K)) 11000 0 662211..7777 11550 0 553311..3399 22000 0 448866..2200 22550 0 445599..0099 33000 0 444411..0022 33550 0 442288..1111 44000 0 441188..4422 44550 0 441100..8899 55000 0 440044..8877 55550 0 339999..9944 66000 0 339955..8833 66550 0 339922..3355 77000 0 338899..3377 77550 0 338866..7799 88000 0 338844..5533 88550 0 338822..5544 99000 0 338800..7777 99550 0 337799..1188 1100000 0 337777..7755 11882 2 449999..6611 Para variacion de hPara variacion de h Además para mantener una temperatura menor a 500 K, se debe Además para mantener una temperatura menor a 500 K, se debe trabajar con un coeficiente detrabajar con un coeficiente de convección:convección: ℎ ℎ ≥≥ 182182 mm⁄⁄ KK (b)(b) Para el caso, de variarPara el caso, de variar :: Ecuación general:Ecuación general: (()) == ((1100 ++ 227733)) ++ 11 00..225 5 mm⁄⁄ 11 00..3 3 mm⁄⁄ 44 ×× 3535.3.3 m.m. KK⁄⁄ ++ 11 00..3 3 mm⁄⁄ 11 ⁄⁄44 ×× 1515.1.1 m.m. KK⁄⁄ ++ 1144.. ℎℎ .. 32732725 25 WW •• ParaPara ℎℎ == 330000 mm.. KK⁄⁄ → → (()) == 228833 ++ 0.0.00001515 ++ 0.00.00101505066((11 00..33⁄⁄ 11 ⁄⁄ )) ++ 1144((300300)) .. 3232727255 •• ParaPara ℎℎ == 550000 mm.. KK⁄⁄ → → (()) == 228833 ++ 0.0.00001515 ++ 0.00.00101505066((11 00..33⁄⁄ 11 ⁄⁄ )) ++ 1144((500500)) .. 3232727255 •• ParaPara ℎℎ == 10100000 mm.. KK⁄⁄ Fundamentos de Transferencia de CalorFundamentos de Transferencia de Calor rr33((mm) T) T11((KK) ) rr33((mm) T) T11((KK) ) rr33((mm) T) T11((KK)) 00..33000 0 442288..55887722664 4 00..33000 0 338899..99887733558 8 00..33000 0 336611..003377442299 00..33225 5 445588..55555555448 8 00..33225 5 442255..66665566887 7 00..33225 5 440000..999988229922 00..33550 0 448855..11551155994 4 00..33550 0 445566..779922448 8 00..33550 0 443355..552233114444 00..33775 5 550088..888800118 8 00..33775 5 448844..11776622441 1 00..33775 5 446655..664488228866 00..44000 0 553300..11559966557 7 00..44000 0 550088..444477221 1 00..44000 0 449922..116622887744 00..44225 5 554499..33336633556 6 00..44225 5 553300..11003311885 5 00..442255 551155..667788330077 00..44550 0 556666..669977667 7 00..44550 0 554499..55442211556 6 00..44550 0 553366..667755552211 00..44775 5 558822..44883300665 5 00..44775 5 556677..00885588773 3 00..44775 5 555555..553377997788 00..55000 0 559966..88993300778 8 00..55000 0 558822..99997711112 2 00..55000 0 557722..557755113377 PPaarra a h h = = 33000 0 WW//mm22**K K PPaarra a h h = = 55000 0 WW//mm22**K K PPaarra a h h = = 1100000 0 WW//mm22**KK → → (()) == 228833 ++ 0.0.00001155 ++ 0.0.001506001506((11 00..33⁄⁄ 11 ⁄⁄ )) ++ (()) .. 3232727255 PROBLEMA 3.59PROBLEMA 3.59 La energía que se transfiere de la cámara anterior del ojo a través de la córnea varía considera-La energía que se transfiere de la cámara anterior del ojo a través de la córnea varía considera- blemente depblemente dependiendo del uso de endiendo del uso de un lente de contacto. Trun lente de contacto. Trate al ojo como un sistema esférico yate al ojo como un sistema esférico y suponga que el sistema se encuentra en estado estable. El coeficiente de convecciónsuponga que el sistema se encuentra en estado estable. El coeficiente de convección ℎℎ se man- se man- tiene inalterable con y sin el lente de contacto en su sitio. La córnea y el lente cubren un tercio detiene inalterable con y sin el lente de contacto en su sitio. La córnea y el lente cubren un tercio de área de la área de la superficie esférica.superficie esférica. Fundamentos de Transferencia de CalorFundamentos de Transferencia de Calor Los valores de los parámetros que representan esta situación son los Los valores de los parámetros que representan esta situación son los siguientes:siguientes: == 1010.2 .2 mm ;mm ; == 1212.7 .7 mm ;mm ; == 1616.5 .5 mmmm,, == 37℃ 37℃ ;; ,, == 21℃ 21℃ == 1212 m.m. KK⁄⁄ ;; == 0.0.8800 m.m. KK⁄⁄ℎℎ == 1122 mm.. KK⁄⁄ ;; ℎℎ == 66 mm.. KK⁄⁄ (a)(a) Construya los circuitos térmicos, marcando todos los potenciales y flujos para los sistemasConstruya los circuitos térmicos, marcando todos los potenciales y flujos para los sistemas excluyentes e incluyendo los lentes de contacto. Escriba los elementos de resistencia enexcluyentes e incluyendo los lentes de contacto. Escriba los elementos de resistencia en térmicos de parámetros apropiados.térmicos de parámetros apropiados. (b)(b) Determinar la pérdida de calor de la Determinar la pérdida de calor de la cámara anterior con los lentes de contacto y cámara anterior con los lentes de contacto y sin ellos.sin ellos. (c)(c) Discuta la ampliación de los resultados.Discuta la ampliación de los resultados. SOLUCION 3.59SOLUCION 3.59 Esquema:Esquema: Suposiciones:Suposiciones: Web site: www.qukteach.com.pe e-mail: consultas@quk.com.pe Pág. 126 Fundamentos de Transferencia de Calor a) Condición de estado estable. b) El ojo es representado como 1/3 de la esfera. c) Resistencia de contacto despreciable. Análisis: (a) Se tiene los circuitos térmicos: Con lente: Sin lente: (b) El calor perdido para ambos casos, está determinado por: = , , Dónde : Resistencia térmica total del circuito. • Con lentes: = 3(12 m. K⁄ ). 4(0.0102 m) + 3(1 0.0102⁄ 1 0.0127⁄ )4(0.35 m. K⁄ ) + 3(1 0.0127⁄ 1 0.0165⁄ )4(0.8 m. K⁄ ) + 3(6 m. K⁄ )4(0.0165 m) Web site: www.qukteach.com.pe e-mail: consultas@quk.com.pe Pág. 127 Fundamentos de Transferencia de Calor = 191.2K ⁄ + 13.2K ⁄ + 5.41 K ⁄ + 146.2 K ⁄ = 356.01K ⁄ • Sin lentes: = 3(12 m. K⁄ ). 4(0.0102 m) + 3(1 0.0102⁄ 1 0.0127⁄ )4(0.35 m. K⁄ ) + 3(6 m. K⁄ ). 4(0.0127 m) = 191.2K ⁄ + 13.2 K ⁄ + 246.7K ⁄ = 451.1K ⁄ ⇒ Reemplazando en = , ,/ • Con lente: = (37 21)℃356.01 K ⁄ = 0.0449 = 44.9 m • Sin lente: = (37 21)℃451.1 K ⁄ = 0.0355 = 35.5 m (c) La pérdida de calor de la cámara anterior se incrementa en aproximadamente 26% cuando es colocado el lente de contacto, lo cual implica que el radio exterior, , es menor al radio crítico. 44.9 35.3 = 126.4% Fundamentos de Transferencia de Calor PROBLEMA 3.60 La superficie externa de una esfera hueca de radio se sujeta a un flujo de calor uniforme ″. La superficie interna en se conserva en una temperatura constante ,. (a) Desarrolle una expresión para la distribución de temperaturas () en la pared de la esfera en términos de ″, , , , , y la conductividad térmica del material de la pared . (b) Si los radios interno y externo son = 50 mm y = 100 mm, ¿qué flujo de calor ″ se requiere para mantener la superficie externa a , = 50℃, mientras que la superficie in- terna está a , = 20℃? LA conductividad térmica del material de la pared es = 10 m. K⁄ . SOLUCION 3.60 Esquema: Suposiciones: a) Condición de estado estable. b) Conducción unidimensional, radial. c) No hay generación de energía. d) Propiedades constantes. Análisis: (a) De la ecuación 3.34: 4 = , → 4 1 = Fundamentos de Transferencia de Calor → = , + 4 1 1 Dónde: = (4)″ → () = , + ″ × 1 1 (b) Con los datos: , = , + ″ × 1 1 → ″ = , ,. 1 1 = 10 m. K⁄ (50.20)℃ (0.1 m). 1 0.1 m 1 0.05 m ″ = 3000 m⁄ El signo negativo implica que para nuestra consideración el flujo de calor estará en el sentido in- verso. PROBLEMA 3.61 Una capa esférica de radios interior y exterior y , respectivamente, se llena con un material generador de calor que proporciona una rapidez de generación volumétrica uniforme (/m) dė. La superficie externa de la capa se expone a un fluido que tiene una temperatura y un coefi- ciente de convección ℎ. Obtenga una expresión para la distribución d temperaturas de estado es- table T() en la capa, y exprese los resultados en términos de , , ̇, ℎ, y la conductividad térmica del material de la capa. SOLUCION 3.61 Esquema: Fundamentos de Transferencia de Calor Suposiciones: a) Condición de estado estable. b) Conducción unidimensional, radial. c) Radiación despreciable. Análisis: Para las condiciones dadas, la ecuación apropiada para el calor será: . = 0 → = + ……. .(1) • Las condiciones de frontera pueden ser obtenidos de un balance energético en la superficie interior y exterior. En la superficie interna (): ̇ = ̇ 43 = , = . 4 ̇ 3 = → = = ̇3 …….(2) • En = :, = 4 = ℎ. 4[() ] → = = ℎ [() ]……. . (3) De (1): …….(4) Fundamentos de Transferencia de Calor De (2) y (4): = ̇/3 De (1), (4) y (3): ̇ 3 = ℎ ̇ 3 + → = ̇ 3ℎ ̇ 3 + En (1): → () = ̇ 3 1 1 + ̇ 3ℎ + PROBLEMA 3.62 Un transistor, que se aproxima como una fuente de calor hemisférica de radio = 0.1 mm, se empotra en un sustrato de silicio grande ( = 125 m. K⁄ ) y disipa calor a una velocidad . To- das las fronteras del silicio se mantienen a una temperatura ambiente de = 27℃, excepto para un superficie plana que está bien aislada. Obtenga una expresión general para la distribución de temperaturas del sustrato y evalúe la tem- peratura superficial de la fuente de calor para = 4. SOLUCION 3.62 Esquema: Fundamentos de Transferencia de Calor Suposiciones: a) Condición de estado estable. b) Superficie superior adiabática. Por tanto, la fuente hemisférica en medio semi-infinito es equivalente a la fuente esférica en medio infinito ( = 8) y la transferencia de calores unidimensional en la dirección radial. c) No hay generación de energía. Análisis: La ecuación de calor para este caso, se reduce a: 1 . . = 0 → = → () = + De condiciones de frontera: • () = ∧ ()= → = → () = + = → = ( ) La distribución de temperatura será: () = + ( ). La rapidez de transferencia de calor será: = . = . (2) ( ) . Fundamentos de Transferencia de Calor = + + /m ……… . (4) = + − + /m ……… . (5) De las ecuaciones (4) y (5): = m (1 )− ……… . (6) De (6) y (4): = m (1 )− m …… . . (7) Reemplazando en (1): () = ℎ()ℎ() ( 1) + 1 ℎ()ℎ() . (1 ) . m → () = + ℎ()ℎ() ( 1) ( ) + 1 ℎ()ℎ() . (1 ) . m (d) Para tal caso se debe tener que en = 0 → / = 0 Dónde: = . ( 1)ℎ() . cosh() (1 )ℎ() . m . . cosh() Para = 0: (1 ) m = ( ) 1 ( 1)ℎ() 4IℎD = 4ℎD . (1 )( )1 ( 1)ℎ() I = π. ℎ. D ℎ (1 )( )1 ( 1)ℎ() / Dónde: = 4ℎD/ Fundamentos de Transferencia de Calor PROBLEMA 3.76 La superficie expuesta ( = 0) de una pared plana de conductividad térmica está sujeta a radia- ción de microondas que ocasiona que el calentamiento volumétrico varíe como ̇() = ̇ 1 Donde ̇( m⁄ ) es una constante. La frontera en = está bien aislada, mientras que la super- ficie expuesta se mantiene a una temperatura constante . Determine la distribución de tempe- raturas () en términos de , ,, ̇ y . SOLUCION 3.76 Esquema: Suposiciones: a) Condición de estado estable. b) Conducción unidimensional en dirección . c) Propiedades constantes. Análisis: La forma apropiada para la ecuación de difusión de calor: + ̇ = 0 • Notar que: ̇ = ̇() = ̇ 1 , reemplazando en la ecuación anterior = ̇ 1 → = ̇ 1 Fundamentos de Transferencia de Calor Integrando: → = ̇ 2 + → = ̇ 2 + Integrando: → () = ̇ 2 6 + + • Para las condiciones de frontera: ∗ = 0: (=) = = ̇ 02 06 + (0) + = → = ∗ = : = = 0 = ̇ 2 + → = ̇2 Reemplazando: → () = ̇ 2 6 + ̇2 . + PROBLEMA 3.77 Considere una pared plana de espesor , que actúa como protección para un reactor nuclear. La superficie interna ( = 0) recibe radiación gama que se absorbe parcialmente dentro de la coraza y tiene el efecto de una fuente de calor distribuida internamente. En particular, se genera calor por unidad de volumen dentro de la coraza de acuerdo con la relación ̇() = ″ − Donde ″ es el flujo de radiación incidente y es una propiedad (coeficiente de absorción) del material de la coraza. Fundamentos de Transferencia de Calor (a) Si las superficies interna ( = 0) y externa ( = ) de la coraza se mantienen a tempera- turas y , respectivamente, ¿cuál es la forma de distribución de temperaturas dentro de la coraza? (b) Obtenga una expresión que sirva para determinar la posición en la coraza para la cual la temperatura es un máximo. SOLUCION 3.77 Esquema: Suposiciones: a) Condición de estado estable. b) Conducción unidimensional. c) Propiedades constantes. Análisis: (a) La ecuación de calor tiene la forma: + ̇ = 0 → + ″− = 0 → = ″. − + → () = ″. − + Condiciones de frontera: En = 0: = → () = = ″ + → = + ″ Fundamentos de Transferencia de Calor = → () = = ″. − + + → = 1 + ″. − ″ → () = ″. − + + ″ (− 1) + ″ + (b) La temperatura máxima se dará en: = 0 → ″. − + = 0 → = 1 ln .″ → á = 1 ln + ″. − ″ . ″ PROBLEMA 3.78 Una ventana de cuarzo de espesor sirve como portilla de observación en un horno que se usa para recocer acero. La superficie interior ( = 0) de la ventana se irradia con un flujo de calor uni- forme ″ debido a la emisión de gases calientes en el horno. Una fracción, , de esta radiación se supone que se absorbe en la superficie interna, mientras que la radiación restante se absorbe par- cialmente conforme pasa a través del cuarzo. La generación volumétrica de calor debido a esta absorción se describe mediante una expresión de la forma ̇() = (1 )″− Donde es el coeficiente de absorción del cuarzo. Ocurre una transferencia de calor por convección desde la superficie exterior ( = ) de la venta- na hacia el aire ambiental a y se caracteriza por el coeficiente de convección ℎ. La convección y emisión por radiación de la superficie interior no se toman en cuenta, junto con la emisión de ra- diación desde la superficie externa. Determine la distribución de temperaturas en el cuarzo y ex- prese los resultados en términos de los parámetros precedentes. SOLUCION 3.78 Fundamentos de Transferencia de Calor Esquema: Suposiciones: a) Condición de estado estable. b) Conducción unidimensional. c) Emisión por radiación y convección despreciables en ( = 0). d) Propiedades constantes. Análisis: La forma apropiada para la ecuación de calor en cuarzo, se obtiene de la ecuación 3.39, al sustituir el valor ̇ = ̇() → + (1 )″ − = 0 Integrando: = (1 )″ . − + → () = (1 )″. . − + + • Para las condiciones de frontera: = = . ″ . = = ℎ[() ] En = 0: (1 ) ″. −() + = . ″ → = ″ En = : Fundamentos de Transferencia de Calor (1 ) ″. −() + = ℎ (1 ). ″. −()+ + → = ″ℎ [1 (1 )−] + ″ + ″(1 ). − + Por lo tanto: () = (1 )″. [− −] + ″ ( ) + ″ℎ [1 (1 )−] + PROBLEMA 3.79 Un cable de cobre de 30 mm de diámetro tiene una resistencia eléctrica de 5×10−Ω/m y se usa para conducir una corriente eléctrica de 25 A. El cable se expone al aire del ambiente a 20 ℃, y el coeficiente de convección asociado es 25 m. K⁄ . ¿Cuáles son las temperaturas de la superficie y de la línea central del cobre? SOLUCION 3.79 Esquema: Suposiciones: a) estado estable. b) Conducción unidimensional, radial. Análisis: La ecuación de calor, tiene la forma: Fundamentos de Transferencia de Calor 1 . + ̇ = 0 = ̇2 + () = ̇ 4 + ln + • Condiciones de frontera: En = 0: = = 0 → = 0 En = : () = → = + ̇4 ̇() = ℎ(2)[ ] → = + ̇2ℎ → () = ̇ 4 1 + ̇2ℎ + • Para el cobre ( = 300) = 401 m. ⁄ Reemplazando los valores numéricos para: ̇ = I. ′ = (250A) . (5 × 1 0−Ω/m)(0.015 m) ̇ = 442 321.3 /m • Para la superficie: = 20℃ + (442 321.3 m⁄ )(0.015 m)2(25 m. K⁄ ) = 152.70℃ • Para el centro: (0) = (442 321.3 m⁄ )(0.015 m) 4(401 m. K⁄ ) [1 0] + (442 321.3 m⁄ )(0.015 m)2(25 m. K⁄ ) + 25℃ = 152.76℃ Fundamentos de Transferencia de Calor PROBLEMA 3.80 Para las condiciones que se describen en el problema 1.36, determine la distribución de tempera- turas, (), en el contenedor; exprese el resultado en términos de ̇, ,, ℎ y la conductividad térmica de los desechos radioactivos. SOLUCION 3.80 Esquema: Suposiciones: a) Condición estado estable. b) Conducción unidimensional, radial. c) Propiedades constantes. Análisis: La forma apropiada de la ecuación de calor es: 1 . . + ̇ = 0 → 1 . = ̇ 1 → . = ̇. 2 + ̇4. + → () = ̇. 4 + ̇16. + ln + • Condiciones de frontera: - = 0: Fundamentos de Transferencia de Calor = = 0 → = 0 - = : = = ℎ[() ] → ̇ 2 ̇ 4 = ℎ ̇ 4 + ̇16 + → =̇4ℎ + 3̇16 + → () = + ̇4ℎ + ̇ 316 14 + 116 PROBLEMA 3.81 Una capa cilíndrica de radios interior y exterior, y , respectivamente, se llena con un material generador de calor que proporciona una rapidez de generación volumétrica uniforme ( m⁄ ) dė. La superficie interna está aislada, mientras que la superficie externa de la capa se expone a una fluido a y con un coeficiente d convección ℎ. (a) Obtenga una expresión para la distribución de temperaturas de estado estable, (), en la capa; exprese los resultados en términos de , , ̇,ℎ,, y la conductividad térmica del material de la capa. (b) Determine una expresión para la transferencia de calor, ′(), en el radio exterior de la capa en términos de ̇ y de las dimensiones de la capa. SOLUCION 3.81 Esquema: Fundamentos de Transferencia de Calor h(W/m2*K)= 2000 3000 5000 10000 r (m) Tr (K) Tr (K) Tr (K) Tr (K) 0.0000 3011.23 2282.06 1698.73 1261.23 0.0005 3010.50 2281.33 1698.00 1260.50 0.0010 3008.31 2279.15 1695.81 1258.31 0.0015 3004.67 2275.50 1692.17 1254.67 0.0020 2999.56 2270.40 1687.06 1249.56 0.0025 2993.00 2263.83 1680.50 1243.00 0.0030 2984.98 2255.81 1672.48 1234.98 0.0035 2975.50 2246.33 1663.00 1225.50 0.0040 2964.56 2235.40 1652.06 1214.56 0.0045 2952.17 2223.00 1639.67 1202.17 0.0050 2938.31 2209.15 1625.81 1188.31 0.0055 2923.00 2193.83 1610.50 1173.00 0.0060 2906.23 2177.06 1593.73 1156.23 0.0065 2888.00 2158.83 1575.50 1138.00 0.0070 2868.31 2139.15 1555.81 1118.31 0.0075 2847.17 2118.00 1534.67 1097.17 0.0080 2824.56 2095.40 1512.06 1074.56 0.0085 2800.50 2071.33 1488.00 1050.50 0.0090 2774.98 2045.81 1462.48 1024.98 0.0095 2748.00 2018.83 1435.50 998.00 0.0100 2719.56 1990.40 1407.06 969.56 0.0105 2689.67 1960.50 1377.17 939.67 0.0110 2658.31 1929.15 1345.81 908.31 0.0115 2625.50 1896.33 1313.00 875.50 0.0120 2591.23 1862.06 1278.73 841.23 0.0125 2555.50 1826.33 1243.00 805.50 Para qgen = 7*10^8 W/m3 (b) Para las condiciones establecidas; la distribución de temperatura será: (Ecu. 3.53) () = ̇ 4 1 + → () = ̇ 4 1 + ̇2ℎ + Fundamentos de Transferencia de Calor qgen(W/m3) = 5*10^8 7*10^8 9*10^8 r (m) Tr (K) Tr (K) Tr (K) 0.0000 1139.95 1448.73 1757.50893 0.0005 1139.43 1448.00 1756.57143 0.0010 1137.87 1445.81 1753.75893 0.0015 1135.26 1442.17 1749.07143 0.0020 1131.62 1437.06 1742.50893 0.0025 1126.93 1430.50 1734.07143 0.0030 1121.20 1422.48 1723.75893 0.0035 1114.43 1413.00 1711.57143 0.0040 1106.62 1402.06 1697.50893 0.0045 1097.76 1389.67 1681.57143 0.0050 1087.87 1375.81 1663.75893 0.0055 1076.93 1360.50 1644.07143 0.0060 1064.95 1343.73 1622.50893 0.0065 1051.93 1325.50 1599.07143 0.0070 1037.87 1305.81 1573.75893 0.0075 1022.76 1284.67 1546.57143 0.0080 1006.62 1262.06 1517.50893 0.0085 989.43 1238.00 1486.57143 0.0090 971.20 1212.48 1453.75893 0.0095 951.93 1185.50 1419.07143 0.0100 931.62 1157.06 1382.50893 0.0105 910.26 1127.17 1344.07143 0.0110 887.87 1095.81 1303.75893 0.0115 864.43 1063.00 1261.57143 0.0120 839.95 1028.73 1217.50893 0.0125 814.43 993.00 1171.57143 Para h= 7000W/m2*K • Se realizará el análisis de () con respecto a la variación de ̇ y ℎ. Fundamentos de Transferencia de Calor → Según las gráficas • A trabajar con un valor generado (̇) promedio, 7×10 m⁄ , se tiene que para que se pueda operar sería necesario tener valores más altos de ℎ (usar un fluido refrigerante con un mayor valor de si coeficiente de convección). • Al trabajar con un valor de ℎ = 7000 m. K⁄ , se obtiene que el valor de 7×10 m⁄ es un valor límite, sería preferible tener menores valores de generación volumétrica de energía. Las condiciones mencionadas anteriormente son con la finalidad de no alcanzar la temperatura de fusión del Aluminio y el torio. Cabe resaltar que se pueden combinar estas condiciones, por ejemplo al manejar altos valores deℎ, se puede usar valores de generación relativamente más altos como también si se tiene un valor de ℎ bajo es necesario reducir el valor de ̇. PROBLEMA 3.83 Un elemento de combustible de reactor nuclear consiste en una punta cilíndrica sólida de radio y conductividad térmica . La punta de combustible está en buen contacto con un material de encamisado de radio exterior y conductividad térmica . Considere condiciones de estado es- table para las que ocurre una generación de calor uniforme dentro del combustible a una razón volumétrica ̇ y la superficie externa del encamisado se expone a un fluido refrigerante que se caracteriza por una temperatura y un coeficiente de convección ℎ. Fundamentos de Transferencia de Calor (a) Obtenga ecuaciones para las distribuciones de temperaturas () y () en el combusti- ble y en el encamisado, respectivamente. Exprese los resultados exclusivamente en térmi- nos de las variables precedentes. (b) Considere una punta de combustible de óxido de uranio para la que = 2 m. K⁄ y = 6 mm y un encamisado para la que = 25 m. K⁄ y = 9 mm. Si ̇ = 2 × 10 m⁄ , ℎ = 2000 m. K⁄ y = 300 K, ¿cuál es la temperatura máxima en el elemento de combustible? (c) Calcule y dibuje la distribución de temperaturas (), para valores deℎ = 2000, 5000, 10 000 m. K⁄ . Si el operador desea mantener la temperatura de la línea central del elemento de combustible por debajo de 1000 K, ¿es posible esto ajustan- do el flujo de refrigerante y, por tanto, el valor de ℎ? SOLUCION 3.83 Esquema: Suposiciones: a) Condición estado estable. b) Conducción unidimensional, radial. c) Resistencia de contacto despreciable. Análisis: (a) De las ecuaciones 3.49 y 3.23, las ecuaciones de calor para el combustible ( ) y el encami- sado () son: 1 . + ̇ = 0 (0 ≤ ≤ ) ∧ 1 . . = 0 ; ( ≤ ≤ ) Integrando cada ecuación: Fundamentos de Transferencia de Calor () = ̇4 + ln + …… . . (1) = ̇2 + ……… . (2) • Encamisado: = …… . (3) = ln + …… . . (4) • Las condiciones de frontera correspondientes son: - = 0: = = 0…… (5) - = :() = ()…… . (6) = = = …… . . (7) - = : = = ℎ[() ] ……(8)→ Reemplazando la ecuación (5) en (2): = 0 → = ̇4 + ……(9) → De la ecuación (6): ̇ 4 + = ln + ……(10) → De la ecuación (7): Fundamentos de Transferencia de Calor ̇ 2 = → = ̇ 2 … … . (11) → De la ecuación (8): = ℎ ln + Reemplazando en la ecuación (11): = ̇2ℎ + ̇ 2 ln + … . . (12) → Reemplazando (11) y (12) en la ecuación (10): = ̇4 ̇ 2 ln + ̇ 2ℎ + ̇ 2 ln + → = ̇4 ̇ 2 . ln + ̇ 2ℎ + … … . (13) → Reemplazando la ecuación (13) en la ecuación (9): () = ̇4 ( ) + ̇ 2 . ln + ̇ 2ℎ + … … (15) (b) Para conocer la temperatura máxima del combustible será en el centro ( = 0) De la ecuación (14): á = () = ̇4 + ̇ 2 . ln + ̇ 2ℎ + á = 2 × 1 0 . (0.006 m)2 122 .K + ln(0.009/0.006)25 .K + 1 (0.009 m). 2000 .K + 300k á = 1458k (c) Las distribuciones se observarán en el Excel para cado caso respectivo. Fundamentos de Transferencia de Calor h (W/m2*K)= 2000 5000 10000 r (m) Tr (K) Tr (K) Tr (K) 0.0000 1458.39 1338.39 1298.39 0.0005 1452.14 1332.14 1292.14 0.0010 1433.39 1313.39 1273.39 0.0015 1402.14 1282.14 1242.14 0.0020 1358.39 1238.39 1198.39 0.0025 1302.14 1182.14 1142.14 0.0030 1233.39 1113.39 1073.39 0.0035 1152.14 1032.14 992.14 0.0040 1058.39 938.39 898.39 0.0045 952.14 832.14 792.14 0.0050 833.39 713.39 673.39 0.0055 702.14 582.14 542.14 0.0060 558.39 438.39 398.39 Para el combustible h (W/m2*K)= 2000 5000 10000 r (m) Tr (K) Tr (K) Tr (K) 0.0060 558.39438.39 398.39 0.0065 546.86 426.86 386.86 0.0070 536.19 416.19 376.19 0.0075 526.25 406.25 366.25 0.0080 516.96 396.96 356.96 0.0085 508.23 388.23 348.23 0.0090 500.00 380.00 340.00 Para el encamisado Fundamentos de Transferencia de Calor PROBLEMA 3.84 Considere la configuración del ejemplo 3.7, donde el calentamiento volumétrico uniforme dentro de un tubo de acero inoxidable se induce mediante una corriente eléctrica y el calor se transfiere por convección al aire que fluye a través del tubo. La pared del tubo tiene radios interior y exterior de = 25 mm y = 35 mm, una conductividad térmica de = 15 m. K⁄ , una resistividad eléctrica de = 0.7 × 10−Ω ⋅ m y una temperatura de operación máxima permisible de 1400 K. (a) Suponiendo que la superficie externa del tubo está perfectamente aislada y que el flujo de aire se caracteriza por una temperatura y un coeficiente de convección de , = 400 K y ℎ = 100 m. K⁄ , determine la máxima corriente eléctrica permisible. (b) Calcule y trace la distribución de la temperatura radial en la pared del tubo para la corrien- te eléctrica de la parte (a) y con los valores de ℎ(100,500 y 1000 m. K⁄ ). Para cada valor de ℎ, determine la transferencia de calor al aire por unidad de largo del tubo. (c) En la práctica, aun el mejor material aislante sería incapaz de mantener condiciones adia- báticas en la superficie externa del tubo. Considere el uso de un material aislante refracta- rio de conductividad térmica = 1.0 m. K⁄ y no tome en cuenta el intercambio de ra- diación en la superficie externa. Para ℎ = 100 m. K⁄ y la corriente máxima permisible determinada en la parte (a), calcule y trace la distribución de temperaturas en la pared compuesta para dos valores del espesor del aislante ( = 25 y 50 mm). La superficie ex- terna del aislante se expone al aire del cuarto para el que , = 300 K y ℎ = 25 m. K⁄ . Para cada espesor del aislante, determine la transferencia de calor por uni- dad de longitud de tubo al flujo de aire interior y el aire ambiente. SOLUCION 3.84 Fundamentos de Transferencia de CalorFundamentos de Transferencia de Calor 3. El exceso de temperatura y el gradiente se acercan a 3. El exceso de temperatura y el gradiente se acercan a cero al incrementar el valor decero al incrementar el valor de xx PROBLEMA 3.98PROBLEMA 3.98 Un alambre metálico delgado de Un alambre metálico delgado de conductividad térmicaconductividad térmica , diámetro, diámetro , y longitud, y longitud 22 es recocido al es recocido al hacer pasar una corriente eléctrica a través del alambre para inducir una generación de calor vo-hacer pasar una corriente eléctrica a través del alambre para inducir una generación de calor vo- lumétrico uniformelumétrico uniforme ̇̇. El aire del ambiente alrededor del alambre está a una temperatura. El aire del ambiente alrededor del alambre está a una temperatura ,, mientras que los extremos del alambre enmientras que los extremos del alambre en == ±± también se mantienen a también se mantienen a . La transferencia. La transferencia de calor del alambre al aire se caracteriza por el coeficiente de convecciónde calor del alambre al aire se caracteriza por el coeficiente de convección ℎℎ. Obtenga una expre-. Obtenga una expre- sión para la distribución de estado establesión para la distribución de estado estable (()) a lo largo del alambre. a lo largo del alambre. SOLUCION 3.98SOLUCION 3.98 Esquema:Esquema: Fundamentos de Transferencia de CalorFundamentos de Transferencia de Calor Suposiciones:Suposiciones: a)a) Estado estableEstado estable b)b) Conducción unidimensional a través del alambre.Conducción unidimensional a través del alambre. c)c) Radiación despreciableRadiación despreciable Análisis:Análisis: Aplicando la conservación de energía al volumen de Aplicando la conservación de energía al volumen de control diferencialcontrol diferencial qq ++ EE ̇ ̇ gg dqdqvv == qq++ Dónde.Dónde. qq++ == qq ++ dqdqdxdx dx , qdx , q == k k ππDD44 dTdTdxdx dqdqvv == hh((ππDdxDdx)()(TT TT)) , , EE ̇ ̇ gg == qq ̇ ̇ ππDD44 dxdx Por tanto:Por tanto: k k ππDD 44 ddTT dxdx ++ qq ̇ ̇ ππDD44 dxdx hh((ππDdxDdx)) ((TT TT)) == 00 Con:Con: θθ == TT TT∞∞ →→ ddθθ dxdx 4h4hkDkD θθ ++ qq ̇ ̇k k == 00 La solución general será:La solución general será: θθ((xx)) == CCee ++ CCee−− ++ qq ̇ ̇kmkm DDónde:ónde: mm == 4h4h kDkD Las condiciones de frontera son:Las condiciones de frontera son: EEn n xx == 00:: ddθθ dxdx == 00 = m= mCCee == mCmCee →→ CC == CC EEn n xx LL Fundamentos de Transferencia de CalorFundamentos de Transferencia de Calor θθ((LL)) = 0 = C= 0 = C((memeLL ++ meme−L−L)) ++ qq ̇ ̇kmkm → → CC == CC == qq ̇ ̇ kmkm⁄⁄eeLL ++ ee−L−L Por lo tanto, la distribución de temperatura será:Por lo tanto, la distribución de temperatura será: TT == TT qq ̇ ̇kmkm ee ++ ee−−eeLL ++ ee−L−L 11 == TT qq ̇ ̇kmkm cosh(mx)cosh(mx)coshcosh((mLmL)) 11 PROBLEMA 3.99PROBLEMA 3.99 Un motor consume potencia eléctricaUn motor consume potencia eléctrica éé de una línea de suministro y entrega potencia mecáni- de una línea de suministro y entrega potencia mecáni- caca a una bomba a una bomba a través de un eje rotatorio de cobre con conduca través de un eje rotatorio de cobre con conductividad térmicatividad térmica , longitud, longitud y diámetro y diámetro . El motor se monta sobre una base cuadrada de ancho. El motor se monta sobre una base cuadrada de ancho , espesor, espesor y conductivi- y conductivi- dad térmicadad térmica . La superficie de la cubierta expuesta al aire ambiental a. La superficie de la cubierta expuesta al aire ambiental a tiene área tiene área . Los ex-. Los ex- tremos opuestos del eje están a temperaturastremos opuestos del eje están a temperaturas y y , y la transferencia de calor del eje al aire, y la transferencia de calor del eje al aire ambiental se caracteriza por el cambiental se caracteriza por el coeficiente de convecciónoeficiente de convección ℎℎ. La base de la carpeta está a. La base de la carpeta está a .. (a)(a) Exprese el resultado en términos deExprese el resultado en términos de éé ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ℎℎ y y ℎℎ, y obtenga una, y obtenga una expresión paraexpresión para (( )).. (b)(b) ¿Cuál es el valor de¿Cuál es el valor de si si éé == 225 5 k k ,, == 115 5 k k ,, == 440000 m.m. KK⁄⁄ ,, == 0.0.5 m5 m,, == 0.0.05 05 m,m, == 0.0.7 m7 m,, == 0.0.05 05 m,m, == 00..55 m.m. KK⁄⁄ ,, == 2 m2 m,, ℎℎ == 1100 mm.. KK⁄⁄ ,, ℎℎ == 330000 mm.. KK⁄⁄ ,, yy == 25℃ 25℃?? SOLUCION 3.99SOLUCION 3.99 Fundamentos de Transferencia de CalorFundamentos de Transferencia de Calor Esquema:Esquema: Suposiciones:Suposiciones: a)a) Estado estableEstado estable b)b) Conducción unidimensional en la base y el ejeConducción unidimensional en la base y el eje c)c) Radiación despreciableRadiación despreciable Análisis:Análisis: (a)(a) Por la conservación de energía en el Por la conservación de energía en el motor:motor: PP == P P ++ qq ++ qq ++ qq Dónde:Dónde: qq == hh.. AA.. ((TT TT)) ,, qq == k k w w TT TTt t ,, qq == MM coshcosh(mL)(mL) θ θLLθθbb senh (mL)senh (mL) .. θθLL == 00 . m. mLL == 4h4hLL k k DD ⁄⁄ MM == ππ 44 DD .. hh k k ⁄⁄ .. ((TT TT)) Por tanto:Por tanto: qq == ππ 44 DD.. hh.. k k ⁄⁄ ((TT TT)) Tan hTan h 4h4hLL k k DD ⁄⁄ Fundamentos de Transferencia de CalorFundamentos de Transferencia de Calor TT TT == PP P P hh.. AA ++ k k
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