Análisis Funcional Espacios Seminormados - Edith Vera Sereno, Rigoberto Vera Mendoza - Pedro Samuel

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Ana Irene Ramírez-Galarza
Un acercamiento a los 
fundamentos del cálculo
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Teoría de la medida
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orgánico
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Faustino Sánchez Garduño
Actualmente el desarrollo del análisis funcional y el de la teoría de funciones generalizadas muestra que el marco de los espacios vectoriales normados es un 
tanto restrictivo, la tendencia es estudiar espacios vectoriales con topologías generadas 
por familias de seminormas; este libro muestra cómo trabajar con seminormas. Es 
un hecho que los problemas concretos más interesantes del análisis, surgidos en los 
últimos años, están ubicados en los espacios vectoriales topológicos, algunos de ellos 
aún están a la espera de ser resueltos.
Nuevos avances en esta y otras áreas de la matemática tales como el análisis 
geométrico asintótico y la teoría de operadores lineales, han utilizados técnicas 
análogas a las que se trabajan en este libro. El material aquí contenido puede servir 
en diversos cursos, total o parcialmente, de una licenciatura o de una maestría en 
matemáticas, con la originalidad de las seminormas, es decir, desde una perspectiva 
más amplia y minuciosa pero accesible y amena, con la virtud de contar con 94 
ejercicios resueltos a detalle completo. 
El lector encontrará en esta obra una fuente única, ya que provee de un 
panorama exhaustivo de los conceptos elementales del análisis funcional.
Edith Matilde Vera Sereno
estudió la licenciatura en ciencias físico-mate-
máticas en la Facultad de Ciencias Físico-Ma-
temáticas de la Universidad Michoacana de 
San Nicolás de Hidalgo y la maestría en Tec-
nologías de la Información en la Universidad 
Interamericana para el Desarrollo. Durante 
varios años ha estado colaborando en el dise-
ño del contenido de diversos cursos que ofre-
ce el Programa Profesional de la Universidad 
Tec Milenio, Física I y Física II entre otros. Ha 
trabajado también en la biblioteca del Depar-
tamento de Astronomía de la Universidad de 
Guanajuato. Eventualmente realiza trabajos 
de traducción de artículos entre los idiomas 
español, inglés e italiano.
Rigoberto Vera Mendoza
estudió la licenciatura y la maestría en ma-
temáticas en la Facultad de Ciencias de la 
Universidad Nacional Autónoma de México 
(UNAM). Obtuvo el doctorado, en el área 
de análisis funcional, en la Universidad de 
Arizona, E.U.A. Se desempeñó durante tres 
años como profesor de tiempo completo en 
la Facultad de Ciencias de la UNAM y 34 
años en la Facultad de Ciencias Físico-Ma-
temáticas de la Universidad Michoacana de 
San Nicolás de Hidalgo. En los últimos tres 
años ha estado adscrito al Departamento de 
Matemáticas Aplicadas del Instituto Tecnoló-
gico Autónomo de México (ITAM). Tiene en 
su haber numerosos artículos publicados en 
el área de análisis funcional.
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Edith Vera Sereno
Rigoberto Vera Mendoza
Análisis
funcional
Espacios seminormados
isbn: 978-607-30-0443-5
9 786073 004435
Edith M. Vera Sereno
Rigoberto Vera Mendoza
ANÁLISIS FUNCIONAL
Espacios seminormados
Facultad de Ciencias, UNAM
2018
Análisis funcional. Espacios seminormados
1a edición, 28 de marzo de 2018
© DR. 2018. Universidad Nacional Autónoma de México. 
Facultad de Ciencias
Ciudad Universitaria, Delegación Coyoacán.
C.P. 04510. Ciudad de México
editoriales@ciencias.unam.mx
tienda.fciencias.unam.mx
ISBN: 978-607-30-0443-5
Diseño de portada: Laura Uribe
Prohibida la reproducción total o parcial de la obra, por cual-
quier medio, sin la autorización por escrito del titular de los 
derechos.
Impreso y hecho en México.
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Contenido
Introducción VII
1. SEMINORMAS Y NORMAS 1
1.1. Seminormas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3. Espacios de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.4. La topoloǵıa τρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.5. Teorema de la categoŕıa de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.6. Seminormas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.7. Dimensión finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.8. Espacio cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1.9. Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2. OPERADORES LINEALES 101
2.1. Criterios de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.2. Seminorma de un operador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.3. Seminorma de un operador lineal . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.4. Extensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.5. Teorema de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2.6. Versión más general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
2.7. Consecuencias geométricas del teorema de Hahn-Banach . . . 147
2.8. Teorema de Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2.9. Teorema del mapeo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
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2.10. Teorema de la gráfica cerrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
2.11. Teorema de Krein-Milman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
2.12. El dual de Cpr0, 1sq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
2.13. Reflexividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
2.14. Ejemplos y contraejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
3. LAS TOPOLOGÍAS DÉBIL y DÉBIL ESTRELLA 179
3.1. La topoloǵıa débil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3.2. Una aplicación del Teorema de Banach-Steinhaus . . . . . . . 207
3.3. La Topoloǵıa Débil Estrella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
3.4. El Teorema de Alaoglu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
3.5. Espacios Separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
3.6. Mejorando al Teorema 2.44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
3.7. Reflexividad Nuevamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
3.8. Teorema de Hahn Banach Geométrico . . . . . . . . . . . . . 253
3.9. Mejorando al Teorema 3.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
4. SOLUCIÓN DE EJERCICIOS 267
Bibliograf́ıa 343
Índice anaĺıtico 346
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Introducción
El análisis funcional surgió como tal en los años treinta del siglo XX y gra-
cias a los relevantes trabajos de matemáticos como Stefan Banach, Fred
Riesz, Michael Stone, Alex Kolmogoroff, entre otros, se fue consolidando
hasta lograr la importancia que tiene actualmente. El crecimiento del análi-
sis funcional ha sido sostenido y abundante, con múltiples conexiones y
aplicaciones a otras ramas de la matemática como la teoŕıa espectral de
operadores, de operadores diferenciales, de operadores integrales, la teoŕıa
de control, el análisis complejo, la teoŕıa de probabilidad, el análisis armóni-
co, la geometŕıa convexa, entre otras.
Las ráıces históricas de lo que hoy llamamos análisis funcional, se sitúan a
finales del siglo XIX y principio del XX. Durante este lapso se fueron acu-
mulando problemas sobre series trigonométricas, cuerdas vibrantes, cálculo
variacional, teoŕıa del potencial, teoŕıa espectral de matrices y determinan-
tes infinitos.
Lo que vino después de los trabajos de Stefan Banach fueronlas topoloǵıas
débil y débil estrella, el teorema de Krein-Milman, la integración de funcio-
nes vectoriales, medidas vectoriales con el teorema de Radon Nykodym y el
teorema de aproximación de Stone-Weierstrass.
Actualmente el desarrollo del anális funcional y de la teoŕıa de funciones
generalizadas, muestra que el marco de los espacios normados es un tanto
restrictivo, la tendencia es estudiar espacios vectoriales topológicos (topo-
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loǵıas con las cuales las operaciones del espacio vectorial son continuas).
Estas topoloǵıas, en el caso de espacios con vecindades convexas, están dadas
por seminormas (familias finitas e infinitas); es un hecho que los problemas
más interesantes para problemas concretos del análisis, no están en los es-
pacios normados, sino en aquellos cuyas topoloǵıas están dadas por familias
de seminormas.
Los contraejemplos nos muestran los ĺımites de la teoŕıa; con todo, aún
existen problemas abiertos interesantes, esperando solución. Por otro lado,
nuevos avances en áreas recientes de la matemática, tales como la del análisis
geométrico asintótico y de la teoŕıa de espacios de operadores lineales, las
técnicas aqúı usadas, juegan un papel esencial.
El principal objetivo de este libro es exponer el material de un curso de
análisis funcional de una licenciatura en ciencias f́ısico-matemáticas o de un
curso básico de una maestŕıa en matemáticas. El material está abordado
desde una perspectiva más general que la de la literatura correspondiente
usual. Es decir, nosotros abordamos esta rama del análisis funcional a través
de espacios seminormados.
Esto presenta aspectos interesantes y únicos en el sentido de que no se pue-
den trabajar como si fueran espacios normados, ya que requieren estrategias
y procedimientos diferentes. Finalmente, en el caso seminormado hay nuevos
resultados pero hay también resultados del caso normado que se pierden.
Sabemos que en la actualidad las diferencias en conocimientos y habilida-
des que presentan los alumnos en un mismo curso suelen ser muy grandes.
Exponer los resultados de una manera detallada y prolija seguramente con-
tribuirá a darle al alumno un panorama más amplio de lo que es el análisis
funcional y, más generalmente, de lo que es la matemática y, de este modo,
acceder con menos dificultades a cursos de análisis en un posgrado.
La primera gran diferencia entre este libro y la bibliograf́ıa existente sobre
los temas aqúı tratados es, como ya dijimos, que lo hacemos con base en
seminormas. Esto es, los espacios (reales o complejos) aqúı considerados
son espacios vectoriales seminormados, a diferencia de que en la literatura
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prevalece el hecho de trabajar sólo con espacios normados. Todo espacio
normado es seminormado.
Aunque en general los resultados obtenidos con normas prevalecen a través
de seminormas, las pruebas de ellos con estas últimas presentan retos adi-
cionales que, desde nuestro punto de vista, son un gran aporte al reconoci-
miento de los aspectos finos (no muy obvios) del tema y por ende una mejor
comprensión local y global del mismo.
Esto lo hicimos aśı no sólo porque le da una mayor generalidad a cada tema
sino porque, además, intentamos desmitificar la creencia de que sólo en es-
pacios Hausdorff se pueden conseguir resultados interesantes. No olvidemos
que uno de los pilares del análisis funcional es el constitúıdo por los espacios
Lpra, bs , los cuales son, precisamente, seminormados.
El libro consta de cuatro caṕıtulos, tres de teoŕıa y uno de ejercicios resuel-
tos. En los caṕıtulos 1 (Seminormas y Normas), 2 (Operadores lineales) y
3 (Topoloǵıas débil y Débil estrella) vemos que, con seminormas, propieda-
des tradicionales como el hecho de que los espacios de dimensión finita son
topológicamente cerrados o que toda función lineal con dominio un espacio
vectorial de dimensión finita es continua o el isomorfismo que en el caso
normado de dimensión finita se da entre el espacio vectorial y su espacio
dual algebraico, se pierden en el caso seminormado; sin embargo, surgen a
su vez otras propiedades, también interesantes y dignas de consideración.
Justo porque en espacios vectoriales (normados o seminormados) de dimen-
sión infinita existen funciones lineales que no son continuas, para cada uno
de ellos se estarán considerando dos espacios duales, el del álgebra lineal,
esto es, el espacio dual algebraico, que consta de todas las funciones lineales
del espacio vectorial al campo y el dual topológico, que consta de aque-
llas funciones lineales que sean continuas con alguna seminorma dada en el
dominio.
Lo más importante es que en el caso seminormado prevalece la validez de los
cuatro teoremas fundamentales del análisis funcional, a saber: el Teorema
de Hahn-Banach, el Teorema de Banach-Steinahus, el Teorema del mapeo
abierto y el Teorema de la gráfica cerrada.
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En el caṕıtulo de Operadores lineales tratamos a la función lineal evaluación
e , con dominio el espacio vectorial X y codominio su doble dual topológi-
co X2 , la cual, en el caso seminormado, no normado, no es una función
inyectiva y por lo tanto no sucede que el espacio vectorial X pueda ser
considerado o identificado (v́ıa un monomorfismo) como subespacio vecto-
rial de su doble dual topológico. No obstante esto, el tema de la reflexividad
de espacios sigue teniendo, en esencia, los mismos resultados en relación
con la topoloǵıas débil y débil estrella tratadas en el caṕıtulo 3, titulado
precisamente Topoloǵıas débil y Débil estrella. Uno de tales resultados cuya
validez prevalece en el caso seminormado, es el teorema de Alaoglu.
En el caṕıtulo 4, titulado Solución de ejercicios (94 en total), hay un grupo
de esos ejercicios que tratan temas que no están contenidos en los otros tres
caṕıtulos. Los temas tratados sólo a través de los ejercios resueltos son: lo
básico de operadores compactos, elementos de la teoŕıa espectral y algo de
espacios separables.
Abundando un poco más diremos que otro grupo de los ejercicios del caṕıtu-
lo 4, bien podŕıan ser considerados como corolarios o consecuencias de lo
que se hizo en los aṕıtulos 1, 2 y 3.
Dentro de esta otra gama de ejercicios se tratan aspectos adicionales de
la reflexividad de subespacios vectoriales, de la teoŕıa de espacios cociente
y de la teoŕıa de operadores adjuntos (que está en aumento), tratados en
extenso en los caṕıtulos 2 (Operadores lineales) y 3 (Topoloǵıas débil y Débil
estrella).
A lo largo de este libro, el subespacio vectorial de los elementos de un espacio
vectorial seminormado, cuya seminorma es cero, juega un papel relevante y
fundamental, tanto aśı, que es el motor del cúmulo de detalles y aspectos
que surgen en el desarrollo de los temas tratados y que, en el caso normado,
pasan desapercibidos.
Otra diferencia de este libro con los de la bibliograf́ıa correspondiente usual,
es el último caṕıtulo que, como ya dijimos, consta de 94 ejercicios resueltos,
resueltos de manera detallada y prolija, tratando de no omitir “sutilezas”
o subjetivas “nimiedades”, con el fin de que sean realmente un verdadero
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complemento a la parte teórica, que es uno de los propósitos de este libro.
Otra virtud de los problemas resueltos es que ellos incluyen una variedad
amplia de temas y son también aportes relevantes de un curso de análisis
funcional.
Otra diferencia más de este libro es que está escrito en español, lo cual es
una ventaja, no sólo de tipo idiomático para muchos de nuestros alumnos,
sino porque temáticamente no existe un libro aśı.
Con el fin de tener una mejor comprensión del material de este libro y
obtener de él un mayor provecho, esrecomendable que el lector tenga cono-
cimientos de espacios métricos y sus topoloǵıas, de análisis matemático, de
análisis real, de álgebra lineal y rudimentos del plano complejo de los cursos
que se ofrecen en cualquier licenciatura en matemáticas.
Para hacer un poco más ágil la lectura de este libro, la terminación de una
demostración o el final de la solución de un ejercicio lo indicamos con el
śımbolo � .
Mucho agradecemos a la Dra. Claudia Gómez Wulschner y al Dr. Carlos
Bosch Giral, Profesores de Tiempo Completo del Departamento de Ma-
temáticas del Intituto Tecnológico Autónomo de México (ITAM), sus va-
liosos y acertados comentarios y sugerencias durante la elaboración de este
libro.
Aśı también, agradecemos al Dr. Andreas Wachtel, Profesor de Tiempo
Completo del Departamento de Matemáticas del ITAM, por su asesora-
miento técnico-editorial, sin el cual este libro no hubiera sido posible.
Edith M. Vera S.
Rigoberto Vera M.
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Caṕıtulo 1
En este caṕıtulo presentaremos los conceptos básicos de seminormas en es-
pacios vectoriales, aśı como los conceptos geométricos, es decir, dependientes
sólo de la estructura algebraico-vectorial del espacio X.
Al final de cada lema, proposición o teorema, se indicarán los ejercicios del
Caṕıtulo 4 que complementan convenientemente a la teoŕıa en ellos expre-
sada; los ejemplos refuerzan a la teoŕıa o, mejor dicho, muestran evidencias
de la misma.
Los espacios vectoriales X que trataremos en este libro estarán definidos
sobre el campo de los números reales o sobre el campo de los números
complejos, es decir, la letra K denotará, indistintamente, al campo R
(números reales) o al campo C (números complejos).
Nota 1.1. Una aclaración importante, dado el espacio vectorial X , si el
conjunto S es sólo un subconjunto de él, lo denotaremos S � X . Si el
subconjunto S es, además, un subespacio vectorial, lo denotaremos S   X .
Para cada par de subconjuntos A, B � X y para todo λ P K
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SEMINORMAS Y NORMAS
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2 1. SEMINORMAS Y NORMAS
A�B � tx� y |x P A, y P Bu λA � tλx |x P Au
Notemos que 2A � A�A y, para λ, α P K , pλ�αqA � λA�αA siempre.
En general λA� αA�pλ� αqA . Veamos un ejemplo:
A � tp0, 1q, p1, 0qu � R2 , s � 1 � t , pt� sqA � 2A � tp0, 2q, p2, 0qu .
Por otro lado tA� sA � tp0, 2q, p1, 1q, p2, 0qu .
Las siguientes dos definiciones se refieren a objetos puramente algebraico-
vectoriales dentro de un espacio vectorial X , es decir, ninguna seminorma
o topoloǵıa que se le dé al espacio vectorial les modifica su estatus.
En el Lema 1.4 probaremos que si el conjunto A es convexo y si t y
s son números reales del mismo signo, entonces los conjuntos tA � sA y
pt� sqA son iguales.
Definición 1.2. Para todo par de puntos distintos x, y P X , al conjunto
ttx � p1 � tqy | 0 ¤ t ¤ 1u � tp1 � tqx � ty | 0 ¤ t ¤ 1u le llamaremos el
segmento determinado por x y y y lo denotaremos rx, ys .
Al conjunto ttx� p1� tqy | t P Ru � tp1� tqx� ty | t P Ru le llamaremos la
recta determinada por los puntos x y y del espacio vectorial.
Observando la Figura 1.1 diremos que la diferencia entre segmento y recta
es que el segmento es un subconjunto convexo de la recta de longitud fini-
ta; en cambio, la recta, que también es un conjunto convexo, se extiende
indefinidamente en ambas direcciones.
Definición 1.3. Un subconjunto A del espacio vectorial X es convexo
si para todo par de vectores x, y P A , el segmento rx, ys está contenido
en A .
El subconjunto A es balanceado si λA � A para toda λ P K, |λ| ¤ 1 .
El subconjunto A es absorbente si para cada vector x P X existe un
número real tx ¡ 0 tal que x P λA para todo λ P K con |λ| ¥ tx .
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Figura 1.1: Segmento y Recta
Todo subespacio vectorial del espacio vectorial X es un subconjunto con-
vexo y balanceado; sin embargo, el único subespacio vectorial que es absor-
bente es el espacio X mismo.
El conjunto formado por un punto es convexo, pero sólo cuando ese punto
es el vector cero ( t0̂u). En este caso, además, es un conjunto balanceado,
pero nunca será un conjunto absorbente.
Notemos que si el conjunto A � X es balanceado o absorbente entonces
0̂ P A .
Los conjuntos convexos de un espacio vectorial X son los mismos ya sea
que podamos ver a X como espacio vectorial sobre el campo de los reales
o como espacio vectorial sobre el campo complejo. Esto se debe a que la
definición de conjunto convexo sólo involucra números reales. En cambio,
los conjuntos balanceados si dependen del campo, ya que su definición in-
volucra sólo números reales si el espacio vectorial es real, pero, si el campo
sobre el cual es espacio vectorial es el de los números complejos, entonces
la definición involucra números complejos y, geométricamente, la multipli-
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4 1. SEMINORMAS Y NORMAS
Figura 1.2: Convexo no balanceado
Figura 1.3: Balanceado no convexo
cación escalar con números reales es diferente de la multiplicación escalar
con números complejos. La primera desplaza al vector sólo linealmente y la
segunda además lo hace girar.
El siguiente lema, que enmarca algunas de las propiedades generales de los
conjuntos balanceados, resulta ser de mucha utilidad para los tres lemas
subsecuentes y algunos otros posteriores a ellos. Su principal importancia
radica en que ayuda a resaltar detalles en las demostraciones que de otra
forma pasaŕıan desapercibidos y, por ende, una menor comprensión del tema.
Lema 1.4. Sea A un subconjunto de un espacio vectorial X . Si A es
un conjunto balanceado entonces se cumple la igualdad αA � |α|A para
todo número α P K .
Demostración. El Lema es claro si α � 0 Sea α � 0 .
�qComo | α|α| | � 1 , tenemos αA � |α||α|αA � |α|p α|α|Aq � |α|A .
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Figura 1.4: Absorbente no convexo y no balanceado
�qComo | |α|α | � 1 , |α|α A � A . De aqúı, |α|A � αA . �
(Información adicional sobre este tema en el ejercicio 33 del Caṕıtulo 4).
Lema 1.5. i) Si A � X es un conjunto convexo entonces
tA� sA � pt� sqA para todo par de números t, s P R tales que ts ¥ 0 .
ii) Si tA � sA �pt � sqA para todo par de números reales t, s , con
0 ¤ t, s ¤ 1 , entonces el conjunto A es convexo.
iii) Si el conjunto A es balanceado y si los números s, t P K son tales que
| st | ¤ 1 entonces se da la siguiente contención de conjuntos sA � tA .
Demostración. i) Sean x, y P A y t, s P R tales que st ¥ 0 .
Como el producto st es positivo, tenemos 0 ¤ tt�s , st�s ¤ 1 .
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6 1. SEMINORMAS Y NORMAS
Por ser A un conjunto convexo tt�sx� st�sy P A . Por lo tanto,
tx� sy � pt� sqp tt�sx� st�syq P pt� sqA .
ii) Sean los vectores x, y P A y el número t P R tal que 0   t   1 .
De esto, 0   1� t   1 .
De aqúı, tx� p1� tqy P tA� p1� tqA � pt� p1� tqqA � A .
iii) sA � tp st qA � tA por ser | st | ¤ 1 . �
Si el producto st , es negativo, aun cuando el conjunto A sea convexo, no
necesariamente se dará la igualdad pt � sqA � tA � sA , como lo muestra
el siguiente ejemplo:
A � p0, 1q � R , s � �1 , t � 1 , pt� sqA � 0A � t0u . Por otro lado,
tA� sA � p1qA� p�1qA � tx� y |x P A , y P p�1, 0qu � p�1, 1q .
Figura 1.5: A , 2A � A�A
El conjunto A no siempre es un subconjunto del conjunto 2A � p1�1qA .
A su vez, el conjunto 2A es siempre un subconjunto del conjunto A�A .
Lema 1.6. Sean X un espacio vectorial y A � X cualquier subconjunto.
i) Si A es un conjunto balanceado (convexo) y α P K es cualquier número,
entonces, αA es también un conjunto balanceado (convexo).
ii) Si el conjunto A es absorbente, entonces, para cualquier número α � 0
tenemos que αA es un conjunto absorbente.
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iii) Si A es absorbente y B es cualquier otro subconjunto de X tal que
A � B entonces el conjunto B también es absorbente.
Demostración. Sólo probaremos ii): Sea x P X y sea t un número real
positivo tal que x P λA para todo número λ P K que cumpla |λ| ¥ t .
Sea t1 � t|α| .
Veamos que este número t1 cumple con lo establecido en la Definición 1.3
para el subconjunto αA .
Sea λ P K tal que |λ| ¥ t1 :
|λ| ¥ t1 � t|α| ñ |λα| � |λ||α| ¥ t ñ x P pλαqA � λpαAq . �
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b
a
c
Figura 1.6: aqA b) αA pα   1q c) αA pα ¡ 1q
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8 1. SEMINORMAS Y NORMAS
Para subconjuntos del espacio vectorial X balanceados, daremos en se-
guida una caracterización de la propiedad de absorbencia que nos permi-
tirá demostraciones un poco menos laboriosas. Hacer esto lo consideramos
muy conveniente, ya que los subconjuntos que estaremos considerando a lo
largo de este libro serán casi siempre balanceados.
Lema 1.7. Sean X un espacio vectorial y A un subconjunto de X
balanceado. Entonces, A es un conjunto absorbente si y sólo si, para cada
vector x P X existe un número t P R , t ¡ 0 tal que x P tA (el número
t depende del vector x ).
Demostración. ñ) Sea A � X un conjunto absorbente según la Definición
1.3 y sea t P R un número positivo ( 0   t ) tal que para toda λ P K ,
λ ¥ t ñ x P λA .
En particular, para λ � t tenemos que x P tA .
Como puede notarse, para la prueba de esta implicación no se utilizó el
hecho de que el conjunto A fuera balanceado.
ð) Sea A � X un conjunto con la propiedad de que para cada vector
x P X existe un número tx P R positivo tal que x P txA .
Sea λ P K tal que |λ| ¥ tx : x P txA � λλ txA � λp txλ Aq � λA .
La última contención de conjuntos se debe a que el subconjunto A es
balanceado. �
Como en todo, es conveniente, para la identificación de ciertos objetos, ya
sean conjuntos, funciones o de cualquier otra ı́ndole, que no sólo disponga-
mos de la definición de ellos, sino que también contemos con caracteŕısticas
equivalentes a las de la definición que, ante la falta de claridad de aque-
llas, observando a estas otras, podamos, finalmente, reconocer al objeto de
estudio o interés.
Para esto, presentaremos la siguiente caracterización de los conjuntos con-
vexos, es decir, una propiedad equivalente a la de la Definición 1.3.
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Definición 1.8. Dados los vectores x1, ... , xn P X y los números t1, ... , tn P
R , diremos que el vector x � °ni�1 tixi es una combinación convexa de los
vectores x1is si ti ¥ 0 para todo ı́ndice i � 1, ... , n y,
°n
i�1 ti � 1 .
El conjunto de las combinaciones convexas de un sólo vector es el mismo; el
conjunto de combinaciones convexas de dos vectores distintos es su segmen-
to; el conjunto de combinaciones convexas de tres puntos no colineales es el
triángulo “relleno” que ellos determinan; de cuatro puntos no coplanares es
el tetraedro “relleno” que determinan.
Proposición 1.9. En un espacio vectorial X , el subconjunto A � X es
convexo si y sólo si, para todo número n P N , todos los vectores que sean
combinaciones convexas de n vectores de A están en A.
Demostración. ñ ) Haremos inducción sobre el número n P N .
Para n � 1 , las combinaciones convexas de un vector de A son exacta-
mente los vectores del conjunto A .
Para n � 2 las combinaciones convexas son exactamente los segmentos de
la definición de convexidad.
Supongamos el resultado cierto para combinaciones convexas de n � 1
puntos de A con n ¥ 3 .
Demostremos que las combinaciones convexas de n vectores del conjunto
A , es otro vector de él.
Sean los vectores x1, ... , xn P A y los números t1, ... , tn P R , mayores o
iguales a cero, tales que
°n
i�1 ti � 1 .
Si algún ti � 0 , digamos t1 � 0 entonces
°n
i�1 tixi �
°n
i�2 tixi .
Esta última combinación convexa de vectores del conjunto A está en A
por hipótesis de inducción.
Podemos ahora suponer que ti ¡ 0 para todo ı́ndice i � 1, ... , n .
Sea el número s � °n�1i�1 ti . Observemos que 0   s � 1� tn   1 .
Sean los números t1i � tis , i � 1, 2, ..., n . Entonces
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10 1. SEMINORMAS Y NORMAS
t1i ¡ 0 y
°n�1
i�1 t
1
i � 1 , es decir, x �
°n�1
i�1 t
1
ixi es una combinación
convexa de los vectores x1, ... , xn�1 y, por hipótesis de inducción, x P A .
Por la convexidad del conjunto A , sx� p1� sqxn P A .
De aqúı,
°n
i�1 tixi � sx� p1� sqxn P A .
ð ) Para n � 2 es la Definición 2. �
(Información adicional al respecto en el ejercicio 34 del Caṕıtulo 4).
Dejamos al lector, como ejercicio, probar que la intersección de cualquier
colección de conjuntos convexos es un conjunto convexo y que la intersección
de cualquier colección de conjuntos balanceados es un conjunto balanceado.
La intersección de familias infinitas de conjuntos absorbentes podŕıa ser sólo
el vector 0̂ y por lo tanto no ser absorbente; sin embargo, la intersección de
colecciones finitas de conjuntos absorbentes śı es un conjunto absorbente.
De lo anterior, y del hecho de que el espacio vectorial X es un conjuntoconvexo y balanceado, se sigue que podemos definir los siguientes conjuntos:
Definición 1.10. Dado el espacio vectorial X y dado el subconjunto S de
X , diremos que el conjunto cbpSq � �tA � X |S � A, A balanceadou
es la cápsula balanceada de S .
Diremos que el conjunto ccpSq � �tA � X |S � A, A convexou es la
cápsula convexa del conjunto S .
Los conjuntos cbpSq y ccpSq son, respectivamente, el subconjunto (de
X ) balanceado y el subconjunto (de X ) convexo más pequeños que contie-
ne al conjunto S . Esto quiere decir que cualquier subconjunto balanceado
del espacio vectorial X que contenga al conjunto S , contendrá también
al conjunto cbpSq y cualquier subconjunto convexo de X que contenga al
conjunto S , contendrá también al conjunto ccpSq .
Como primeros ejemplos de los conceptos anteriores tenemos ccptxuq � txu
sin importar el campo (real o complejo) que esté actuando en el espacio
vectorial X . Por otro lado, cbptxuq � r�x, xs en el caso de espacios
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vectoriales reales, es decir, cuando el campo K que actua en X sea el de
los números reales, R .
Cuando el campo actuando en el espacio vectorial X sea el de los números
complejos, cbptxuq es el ćırculo con centro en el vector 0̂ y radio el número
real |x| .
Con cualquiera de los dos campos, las cápsulas convexas de los conjuntos
formados por dos puntos o por tres puntos no colineales, son, respectiva-
mente:
ccptx, yuq � rx, ys (su segmento) y ccptx, y, zuq � su triángulo
relleno.
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rh
o
Figura 1.7: % pT q
Nota 1.11. Para cada subconjunto S del espacio vectorial X tenemos
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12 1. SEMINORMAS Y NORMAS
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x
Figura 1.8: cbpxq caso complejo
cbpSq � �tλS |λ P K y |λ| ¤ 1u �
� tλs |λ P K s P S y |λ| ¤ 1u .
Si el subconjunto S del espacio vectorial X es convexo, su cápsula balan-
ceada, cbpSq , no es necesariamente un conjunto convexo. Como ejemplo
de esto consideremos el siguiente conjunto convexo S � X � R2 .
S � tpx, yq P R2 | 0 ¤ x, 0 ¤ y ¤ �x� 1u
cbpSq � S Y p�Sq Que no es un subconjunto convexo de R2 .
Lema 1.12. Si X es un espacio vectorial sobre el campo K y si S es un
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Figura 1.9: Cápsulas convexas de dos, tres y cuatro puntos
subconjunto de X , entonces se cumple la siguiente igualdad de conjuntos:
ccpSq � t
ņ
i�1
tisi |n P N, 0 ¤ ti ¤ 1, si P S y
ņ
i�1
ti � 1u
Demostración. Sea C � t°ni�1 tisi | 0 ¤ ti ¤ 1, si P S y
°n
i�1 ti � 1u .
Por la Proposición 1.1, C � ccpSq .
Notemos que S � C tomando n � 1 y t � 1 .
Por lo tanto, la otra contención la obtendremos en cuanto probemos que el
conjunto C es convexo:
Sean los vectores x � °ni�1 tisi y y �
°m
i�1 t
1
is
1
i en C .
Sea t P R tal que 0   t   1 . Hagamos
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14 1. SEMINORMAS Y NORMAS
s21 � s1, ... , s2n � sn, s2n�1 � s11, ... , s2n�m � s1m y
t21 � tt1, ... , t2n � ttn, t2n�1 � p1� tqt11, ... , t2n�m � p1� tqt1m .
Observemos que t2j ¥ 0 para todo ı́ndice j � 1, ... , n � m , y que°n�m
j�1 t
2
j � 1 .
Por lo tanto, tx� p1� tqy � °n�mj�1 t2js2j P C . �
El siguiente lema probará que a diferencia de que si empezamos con un
conjunto convexo y le constrúımos su cápsula balanceada, puede suceder
que esta, como lo vimos en el ejemplo anterior, no sea un conjunto convexo,
resulta que si empezamos con un conjunto balanceado y constrúımos su
cápsula convexa, esta sigue siendo un conjunto balanceado.
Lema 1.13. Sea X un espacio vectorial, si S � X es un conjunto balan-
ceado, entonces la cápsula convexa de S , ccpSq , también es un conjunto
balanceado.
Demostración. Sea x P ccpSq y el número λ P K tal que |λ| ¤ 1 .
λx � λ°ni�1 tisi �
°n
i�1 tipλsiq �
°n
i�1 tis
1
i P ccpSq .
Donde s1i � λsi P S por ser el conjunto S balanceado. �
1.1. Seminormas
Empecemos a conocer lo que es la materia prima de este libro, las funciones
definidas en un espacio vectorial que llamaremos seminormas.
Definición 1.14. Una seminorma en un espacio vectorial X (real o com-
plejo) es una función ρ : X Ñ R tal que se cumplen las siguientes tres
propiedades:
1.- ρpxq ¥ 0 .
2.- ρpλxq � |λ|ρpxq .
3.- ρpx� yq ¤ ρpxq � ρpyq .
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1.1. Seminormas 15
Si la función ρ cumple además que ρpxq � 0 sólo cuando el vector x es
el vector cero (x � 0̂ ), entonces diremos que la función ρ es una norma
en el espacio vectorial X .
Definición 1.15. A la pareja pX, ρq , donde X es un espacio vectorial de-
finido en el campo K y ρ es una seminorma (norma) en él, le diremos un
espacio vectorial seminormado (espacio vectorial normado) o simplemente
espacio seminormado (espacio normado).
Si la función ρ es una seminorma en el espacio vectorial X , la función
d : X � X Ñ R , con regla de asociación dpx, yq � ρpx � yq es una
pseudométrica en X , es decir, la función d cumple las propiedades de
una función distancia (métrica), excepto que puede suceder que dpx, yq � 0
para x y y vectores distintos.
Todo espacio normado es también seminormado y es, a su vez, un espacio
métrico, con la métrica d : X �X Ñ R , con regla de asociación
dpx, yq � ρpx� yq .
Toda seminorma definida en el espacio vectorial de los números reales, R ,
distinta de cero ( ρp1q ¡ 0 ), es una norma, veamos porque:
Si 0 � ρpxq � |x|ρp1q entonces |x| � 0 , de aqúı, x � 0 .
Nota 1.16. Dos espacios vectoriales seminormados pX, ρq y pY, σq son
iguales si y sólo si X � Y como espacios vectoriales y ρ � σ como
funciones.
Veamos a continuación los primeros cuatro ejemplos de seminormas en un
mismo espacio vectorial X . Dejamos al lector la tarea de verificar que
las funciones ρ definidas en cada ejemplo, satisfacen los requisitos de la
Definición 1.14:
1.- Con cada función f : X Ñ K lineal, tenemos la seminorma en X ,
ρf : X Ñ R con regla de asociaciónρf pxq � |fpxq| .
Estas seminormas son tratadas en extenso para definir las topoloǵıas débil
y débil estrella en el Caṕıtulo 3.
2.- ρ : X Ñ R , ρpxq � 0 para toda x P X es una seminorma en X .
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16 1. SEMINORMAS Y NORMAS
Para los siguientes ejemplos, sea tejuJ � X una base de Hamel fija, con
#pJq ¥ 2 . De este modo, para cada vector x P X , existen números λj P
K , tales que x � °jPJ λjej recordando que λj � 0 para casi todo ı́ndice
j P J .
3a.- Escojamos el ı́ndice jo P J fijo y definamos ρpxq � |λjo | . ρ es una
seminorma en el espacio vectorial X .
3b.- Si escogemos una cantidad finita de ı́ndices j1, ..., jn P J fijos, entonces,
la función ρ : X Ñ R , ρpxq � |λj1 | � ... � |λjn | es una seminorma en
X .
Será una norma si n � #pJq P N , es deicr, si el espacio vectorial es de
dimensión finita.
3c.- Si escogemos una colección finita de ı́ndices j1, ..., jn P J , fijos, n P N ,
entonces la función ρpxq � max t|λj1 |, ..., |λjn |u es una seminorma.
Será una norma si n � #pJq . (Dimensión finita)
4.- Si escogemos j1, ..., jn P J fijos, con n P N ,
entonces, para cada número real p , con 1   p tenemos que la función,
ρpxq � p|λj1 |p � ...� |λjn |pq
1
p es una seminorma y,
será una norma, si n � #pJq P N .
Cada una de estas seminormas (algunas de ellas, normas), haciendo pareja
con el mismo espacio vectorial X , nos dan espacios vectoriales seminor-
mados o espacios vectoriales normados, distintos entre śı, ya que las semi-
normas, como funciones, son distintas.
Nota 1.17. Aunque ρpxq � 0 para toda x P X es una seminorma, a lo
largo de este libro siempre consideraremos ρ� 0 , es decir, consideraremos
que existe un vector x P X tal que ρpxq ¡ 0 .
Nota 1.18. A lo largo de este libro hemos denotado (y seguiremos haciéndo-
lo), por 0̂ al vector cero o el neutro aditivo del espacio vectorial X y por
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1.1. Seminormas 17
0 al número cero del campo K , ya sea este campo el de los números reales
o el de los números complejos.
Veamos a continuación tres de las principales propiedades que tienen las
seminormas:
Lema 1.19. Sea X un espacio vectorial y sea ρ una seminorma definida
en él, entonces, se cumplen las siguientes tres propiedades:
i) ρp0̂q � 0 .
ii) |ρpxq � ρpyq| ¤ ρpx� yq para todo par de vectores x, y P X .
iii) ρpxq � ρp�xq para todo vector x P X .
Demostración. i) ρp0̂q � ρp00̂q � 0ρp0̂q � 0 .
ii) ρpxq � ρppx� yq � yq ¤ ρpx� yq � ρpyq ñ ρpxq � ρpyq ¤ ρpx� yq .
ρpyq ¤ ρpy � xq � ρpxq � ρpx� yq � ρpxq ñ ρpyq � ρpxq ¤ ρpx� yq .
De los dos renglones anteriores obtenemos la siguiente desigualdad:
|ρpxq � ρpyq| ¤ ρpx� yq .
iii) ρp�xq � ρpp�1qxq � | � 1|ρpxq � ρpxq . �
Mencionamos anteriormente que ser un conjunto convexo o balanceado o
absorbente depende exclusivamente de la estructura algebraica del espacio.
Veremos en seguida otra propiedad de los subconjuntos del espacio vecto-
rial X que, a diferencia de las mencionadas, depende totalmente de la
seminorma que estemos considerando en el espacio.
Definición 1.20. Sea X un espacio vectorial y sea ρ una seminorma de-
finida en él, diremos que un subconjunto A de X es acotado ( ρ-acotado)
si existe un número real M ¡ 0 tal que ρpxq ¤ M para todo vector
x P A .
(Información adicional al respecto en los ejercicios 35 y 39 del último
caṕıtulo).
Un mismo subconjunto del espacio vectorial X puede ser acotado con una
seminorma y no con otra. Veamos un ejemplo de esto:
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18 1. SEMINORMAS Y NORMAS
a
b
menos
a
b
suma
Figura 1.10: ρpa� bq y ρpa� bq
Consideremos en el espacio vectorial real X � R2 al conjunto
A � tpx, yq P R2 | �M ¤ x ¤Mu .
Con la norma euclidiana A no es un conjunto acotado (se extiende a lo
largo del eje Y) pero con la seminorma ρpx, yq � |x| śı lo es.
El espacio vectorial X � t0̂u (dimensión positiva) nunca es ρ-acotado,
excepto con la seminorma trivial ( ρpxq � 0 para todo vector x P X ), la
cual, como lo dijimos antes, esta fuera de consideración.
Los subconjuntos finitos del espacio vectorial X siempre son conjuntos
ρ-acotados para toda seminorma ρ definida en él.
En el caso de seminormas no es intuitivamente tan claro, como lo es con nor-
mas, que un conjunto es acotado si lo podemos meter en una circunferencia
de radio finito.
Cabe decir que en el caso de normas ningún subespacio vectorial de dimen-
sión positiva es acotado, con seminormas algunos subespacios vectoriales de
dimensión positiva, śı lo son.
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1.1. Seminormas 19
Proposición 1.21. Sea pX, ρq un espacio vectorial seminormado, sea
r ¡ 0 un número real y sea A � tx P X | ρpxq ¤ ru . Entonces, el conjunto
A es absorbente, balanceado y convexo.
Demostración. A es absorbente:
Usaremos la caracterización de absorbencia dada en el Lema 1.7.
Sea x P X . ρpxq � 0 ñ x P A .
Si ρpxq ¡ 0 y � ¡ 0 es un número real, entonces
ρp rxρpxq��q � rρpxq��ρpxq   r .
De esto, rρpxq��x P A y por lo tanto, x P ρpxq��r A .
El conjunto A es balanceado:
Sea x P A , es decir, ρpxq ¤ r .
Para λ � 0 , 0x � 0̂ P A .
Sea 0   |λ| ¤ 1 . De esto, ρpλxq � |λ|ρpxq ¤ 1r � r .
De donde, λx P A .
Probemos ahora que el conjunto A es convexo:
Sean x, y P A . De esto, ρpxq, ρpyq ¤ r .
Sea t P R tal que 0   t   1 .
ρptx� p1� tqyq ¤ tρpxq � p1� tqρpyq ¤ tr � p1� tqr � r
Lo anterior nos dice que tx� p1� tqy P A . �
En seguida introduciremos algunos conceptos algebraico-vectoriales, a través
de subconjuntos del campo R , que harán más expedito o, tal vez debamos
decir, menos laborioso, el trabajo correspondiente a versiones y caracteriza-
ciones de seminormas y, esperamos, más entendible.
Definición 1.22. Sea X un espacio vectorial. Para cada conjunto A � X
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20 1. SEMINORMAS Y NORMAS
y cada vector x P X , definimos el siguiente subconjunto de números reales:
Rpx,Aq � tt P R� |x P tAu
Ejemplos:
Si A � t0̂u � X entonces Rp0̂, Aq � r0,8q .
Si x � 0̂ y si A � t0̂u , entonces Rpx,Aq � H .
Si el conjunto A es el ćırculo unitario en el espacio vectorial X � Rn ,
es decir, si A � tâ � pa1, ..., anq P Rn |
a
a21 � ...� a2n ¤ 1u , entonces el
conjunto Rpx,Aq es el intervalo r
a
x21 � ...� x2n, 8q para cada vector
x � px1, ..., xnq P Rn .
Probemos algunas propiedades (muy técnicas) del conjunto Rpx,Aq , no-
tando que son válidas sin importar el campo con respecto al cual el espacio
vectorial X esté definido y, notando también, la ausencia de seminormas
para su definición y en cada uno de los ejemplos arriba dados.
Lema 1.23. Sean X un espacio vectorial y A � X cualquier subcon-
junto. Entonces:
i) Si A es un conjunto absorbente, entonces Rpx,Aq � H
para toda x P X .
ii) Si A es un conjunto balanceado, entonces Rpαx,Aq � |α|Rpx,Aq
para todo número α P K y para todo vector x P X .
iii) Rpx, αAq � Rp 1αx,Aq � 1|α|Rpx,Aq para todo número α � 0 y para
todo vector x P X .
iv) Si A es un subconjunto convexo en X entonces Rpx,Aq es un sub-
conjunto convexo en R y además se cumple la siguiente contención
de conjuntos:
Rpx,Aq �Rpy,Aq � Rpx� y,Aq para todo par de vectores x, y P X .
Demostración. i) Definición 1.3 de absorbencia.
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1.1. Seminormas 21
ii) Cuando α � 0 es claro.
Sea α � 0 .
Si t P Rpαx,Aq entonces αx P tA .
De donde, x P tαA � | tα |A � t|α|A .
De lo anterior t|α| P Rpx,Aq . De esto, t P |α|Rpx,Aq .
Por lo tanto, Rpαx,Aq � |α|Rpx,Aq .
Veamos la otra contención:
t P Rpx,Aq ñ x P tA ñ αx P αtA � |α|tA ñ |α|t P Rpαx,Aq .
iii) x P tαA ô 1αx P tA .
iv) Sean t1, t2 P Rpx,Aq , 0   s   1 y x P t1AX t2A .
x � sx� p1� sqx P st1A� p1� sqt2A � pst1 � p1� sqt2qA .
Esto implica que st1 � p1� sqt2 P Rpx,Aq .
La última igualdad de las anteriores, se debe a que el conjunto A es con-
vexo.
Para probar la última contención enunciada en este lema, sean:
t1 P Rpx,Aqy t2 P Rpy,Aq .
x� y P t1A� t2A � pt1 � t2qA ñ t1 � t2 P Rpx� y,Aq . �
Nota 1.24. Observemos (sin prueba) que si A y B son (ambos) subcon-
juntos absorbentes de X , y A � B , entonces
Rpx,Aq � Rpx,Bq para todo vector x P X .
Otra de las razones para introducir los conjuntos Rpx,Aq (lo cual se hizo
sin utilizar seminormas), es para presentar lo que, a fin de cuentas es, a partir
de ellos, la manera universal de definir seminormas, es decir, toda seminorma
es una de las funciones que a continuación daremos. La asignatura pendiente
en cada caso será encontrar el conjunto A apropiado.
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22 1. SEMINORMAS Y NORMAS
Dicho sea de paso, todo esto está muy relacionado con lo que se conoce en
la literatura como la funcional de Minkowski.
Definición 1.25. Sea X un espacio vectorial y A � X un conjunto
absorbente, balanceado y convexo. Consideremos la función ρA : X Ñ R ,
con regla de asociación ρApxq � ı́nf Rpx,Aq .
Observemos inmediatamente que A � tx P X | ρA ¤ 1u .
Ahora trabajemos alrededor de esta función ρA :
Lema 1.26. Sea X un espacio vectorial y sea A � X un subconjunto
absorbente, balanceado y convexo. Entonces, la función ρA de la definición
anterior cumple lo que establecen cada uno de los siguientes tres incisos:
i) ρAp0̂q � 0 .
ii) tx P X | ρApxq   1u � A .
iii) Si A � B � X y el subconjunto B también es balanceado y convexo,
entonces ρBpxq ¤ ρApxq para todo vector x P X .
Demostración. i) Como 0̂ P A , 0̂ P tA para todo número real t ¡ 0 .
De donde, inf Rpx,Aq � 0 .
ii) Sea x P X tal que ρApxq   1 . Entonces existe t P Rpx,Aq
tal que ρApxq   t   1 . De aqúı, x P tA � A .
iii) Recordemos que en el Lema 1.6 iii) se probó que el conjunto B es
absorbente.
A � B ñ Rpx,Aq � Rpx,Bq . De aqúı,
ρBpxq � ı́nf Rpx,Bq ¤ ı́nf Rpx,Aq � ρApxq para todo vector x P X . �
Teorema 1.27. Sea X un espacio vectorial. Para cada subconjunto A
de X , absorbente, balanceado y convexo, no necesariamente cerrado, la
función ρA es una seminorma en X .
Demostración. La absorbencia del conjunto A nos asegura que no es vaćıo
(A � H ).
Veamos que se cumplen las tres condiciones de la Definición 1.5:
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1.1. Seminormas 23
1.- ρA ¥ 0 porque es el ı́nfimo de un conjunto no vaćıo de números reales
positivos.
2.- Sea el número λ P K y sea el vector x P X .
ρApλxq � ı́nf Rpλx,Aq � ı́nf |λ|Rpx,Aq � |λ| ı́nf Rpx,Aq � |λ|ρApxq .
3.- ρApx� yq � ı́nf Rpx� y,Aq ¤ ı́nf pRpx,Aq �Rpy,Aqq �
¤ ı́nf Rpx,Aq � ı́nf Rpy,Aq � ρApxq � ρApyq . �
Algunos ejemplos de conjuntos A absorbentes, balanceados y convexos en
el espacio vectorial real R2 , son todos los ćırculos y elipses (rellenas) con
centro en 0̂ � p0, 0q , también son ejemplos todos los rectángulos (rellenos)
cuyas diagonales se intersecten en el punto 0̂ � p0, 0q . Para estos con-
juntos A , en espacios vectoriales de dimensión finita, ρA resulta ser una
norma. En R3 , las esferas rellenas, elipsoides rellenas y prismas rectangu-
lares (rellenos) son conjuntos absorbente, balanceados y convexos con los
cuales podemos definir normas de acuerdo a la Definición 1.25.
Definición 1.28. Sea X un espacio vectorial y sea la función ρ una
seminorma definida en él. Para cada número real positivo r y cada vector
xo P X , al conjunto Drpxoq � tx P X | ρpx � xoq ¤ ru le llamaremos el
disco cerrado de radio r con centro en el vector xo .
Cabe aclarar que geométricamente no debemos imaginar a un disco como un
ćırculo o como una esfera. La figura depende de la seminorma. Por ejemplo,
en R2 con la norma Euclideana, un disco es un ćırculo pero con otras
normas es un rombo o un cuadrado y con seminormas que no son normas,
los discos son bandas de longitud infinita.
En el espacio vectorial real Rn con el ćırculo de radio uno,
D1p0̂q � tpx1, ..., xnq P Rn |
a
x21 � ...� x2n ¤ 1u , la función ρD1p0̂q es la
conocida norma Euclidiana de Rn la cual, para R2 y R3 , se calcula con
el teorema de Pitágoras.
Para continuar la lista de ejemplos necesitamos recordar lo que es una va-
riedad y una hipervariedad: Una variedad V en un espacio vectorial X de
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24 1. SEMINORMAS Y NORMAS
cualquier dimensión, es un conjunto de la forma V � Y �x � ty�x | y P Y u ,
donde Y es un subespacio vectorial propio de X y x P X un vector cual-
quiera fijo.
Cada subespacio propio Y es, el mismo, una variedad, tomando x � 0̂ .
Si el espacio vectorial cociente X{Y tiene dimensión uno, decimos que la
variedad V es una hipervariedad.
Algunos ejemplos de hipervariedades en espacios vectoriales de dimensión
finita son: El conjunto de un punto si X � R ; cualquier recta si X � R2 ;
cualquier plano si X � R3 .
Extendamos ahora la lista de conjuntos absorbentes, balanceados y conve-
xos:
El conjunto A � tx̂ P Rn | distpx̂, L1q � distpx̂, L2q � r ¡ 0u donde r es
un número real fijo y L1 y L2 son dos hipervariedades paralelas distintas,
es decir, L1 y L2 son dos rectas paralelas si estamos en R2 , o son dos
planos paralelos si estamos en R3 , equidistantes del vector 0̂ .
Para este tipo de conjuntos A , que son absorbentes, balanceados y conve-
xos, la función ρA es una seminorma que no es norma en Rn .
La diferencia que existe entre los conjuntos de los primeros dos párrafos y
los del tercero estriba en que los primeros tienen “ĺımites” o son conjuntos
“limitados” y los segundos no. Más adelante diremos lo que significa la
palabra “ĺımitado” con toda precisión.
Lema 1.29. Sean X un espacio vectorial y A � X un conjunto absorben-
te, balanceado y convexo, entonces, si para x P X ρApxq   |α| entonces
x P αA .
Demostración. Si ρApxq   |α| entonces, por la definición de ı́nfimo, existe
t P Rpx,Aq tal que ρApxq   t   |α| .
De aqúı, x P tA � |α|A � αA . �
La razón de introducir el concepto de conjunto “limitado”, es porque gene-
raliza al de conjunto “acotado” y, al no depender de la seminorma, resulta
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1.1. Seminormas 25
más adecuado o más conveniente para los temas que estaremos tratando en
este caṕıtulo.
Definición 1.30. Un subconjunto balanceado A del espacio vectorial X
es un conjunto limitado si para cada vector x P A , x � 0̂ , existe un
número tx P R , 0   tx tal que txx RA .
Un subconjunto A balanceado será ilimitado si no es limitado, es decir,
si existe x P A , x � 0̂ tal que para todo número t P R , 0   t , se tiene
tx P A .
Definición 1.31. Un subconjunto S del espacio vectorial X es limitado
si su cápsula balanceada cbpSq es un conjunto limitado y, es ilimitado, si
el conjunto cbpSq lo es.
Como podemos ver, el concepto de conjunto limitado empieza con conjuntos
balanceados y es un concepto puramente algebraico, es decir, sólo depen-
de de la estructura algebraica del espacio vectorial, es independiente de
cualquier seminorma que definamos en él; en cambio, ser conjunto acotado
depende totalmente de la seminorma en X que estemos trabajando.
Para contenciones de subconjuntos, S1 � S � X , si S es un conjunto
limitado entonces S1 también; si S1 es un conjunto ilimitado entonces S
también.
Todo subespacio vectorial Y de dimensión positiva, de un espacio vecto-
rial X, es ilimitado y, dependiendo de la seminorma que tenga definida,
podrá ser acotado o no.
En espacios vectoriales normados ningún subespacio vectorial de dimensión
positiva es acotado con respecto a ninguna norma.
Lema 1.32. Sean X un espacio vectorial y S � X cualquier subconjunto.
Entonces, S es un conjunto limitado si y sólo si existe un subconjunto
A � X balanceado y limitado tal que S � A .
Demostración. ñ ) Tómese A � cbpSq.
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26 1. SEMINORMAS Y NORMAS
ð ) S � A con A un conjunto balanceado implica que cbpSq � A ya
que cbpSq es el mı́nimo subconjunto balanceado que contiene al conjunto
S . �
Aśı es que si A es un conjunto limitado, el conjunto cbpSq tambiénlo
será.
Con seminormas que no son normas, los discos pueden ser bandas de longi-
tud infinita y por lo tanto, ser conjuntos ilimitados, aunque siempre serán
conjuntos acotados con la seminorma en cuestión.
Figura 1.11: Disco acotado no limitado Disco acotado y limitado
Lema 1.33. Si ρ es una norma en el espacio vectorial X y S � X es
un subconjunto ρ-acotado entonces S es un conjunto limitado.
Demostración. Sea el número r P R , r ¡ 0 tal que ρpsq ¤ r para todo
vector s P S y sea 0̂ � s P S , es decir, ρpsq ¡ 0 .
Por la Propiedad Arquimediana de los números reales existe un número
natural n P N tal que r   nρpsq � ρpnsq . Esto nos dice que ns RS .
�
La gran diferencia en las demostraciones de resultados entre espacios nor-
mados y seminormados estriba en el subespacio vectorial que a continuación
presentamos (Zρ ), el cual resulta ser, en el caso seminormado, un espacio
vectorial de dimensión positiva ρ-acotado. En espacios vectoriales norma-
dos este subespacio (Zρ ) consta sólo del vector cero ( t0̂u ).
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1.1. Seminormas 27
Además, lo hemos dicho ya, en el caso normado, ningún subespacio vectorial
de dimensión positiva es acotado con ninguna norma.
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Figura 1.12: Disco no limitado
Definición 1.34. En cada espacio vectorial seminormado pX, ρq surge el
conjunto Zρ � tx P X | ρpxq � 0u .
Al conjunto Zρ no lo llamamos el núcleo de la función ρ porque esta no
es lineal, pero son los vectores del espacio vectorial X cuya imagen, bajo
la función ρ , es el número cero. Zρ resulta ser, tambén, un subespacio
vectorial de X (ver siguiente proposición).
Podemos darnos cuenta inmediatamente que ρ es una norma si y sólo si
Zρ � t0̂u .
(Información adicional en los ejercicios 56, 58 y 59 del Caṕıtulo 4).
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28 1. SEMINORMAS Y NORMAS
Proposición 1.35. Zρ es un subespacio vectorial del espacio vectorial se-
minormado pX, ρq (Zρ   X ).
Demostración. 0̂ P Zρ siempre. (Lema 1.19)
Para cada par de vectores x, y P Zρ y cada número λ P K tenemos
0 ¤ ρpλx� yq ¤ |λ|ρpxq � ρpyq � |λ|p0q � 0 � 0 .
Lo anterior nos dice que λx� y P Zρ . �
Por cierto, el subespacio vectorial Zρ , en el caso seminormado, no es un
conjunto limitado, como no lo es ningún subespacio vectorial de dimensión
positiva; pero śı es un conjunto ρ-acotado.
Compare esto con lo dicho justo antes de la Proposición 1.21.
Ejemplo: Sean X � R3 y A � tpx, y, zq P R3 | � 1 ¤ x ¤ 1u .
Este conjunto A es absorbente, balanceado y convexo; pero no es un con-
junto limitado.
El conjunto A śı es ρA-acotado, donde, en este caso, ρApx, y, zqq � |x| .
(Definición 1.25)
ZρA � tp0, y, zq | y, z P Ru que es el plano Y Z de R3 .
Algunos ejemplos de conjuntos ρ-acotados que no son conjuntos limitados,
son los siguientes:
Si la función ρ es una seminorma que no es norma en el espacio vectorial
X , A � tx P X | ρpxq ¤ ru es un conjunto ρ-acotado pero no es un
conjunto limitado porque t0̂u � Zρ � A . Zρ tampoco es un conjunto
limitado (para mayor abundamiento en este tema, se sugiere ver la Nota
1.31).
Sean el espacio vectorial real X � R2 y la función ρ la norma Euclidiana
en él. Sea tq1, q2, ...u � r0, π2 s .
Para cada n P N sea Sn � ttpcos qn, sin qnq | 0 ¤ t ¤ nu el segmento que
une al punto p0, 0q con el punto pn cos qn, n sin qnq , el cual es un segmento
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1.1. Seminormas 29
de longitud n para cada número n P N .
Sea J � r0, 2πs z tqnu y para cada j P J sea
Sj � ttpcos j, sin jq | 0 ¤ t ¤ 1u el segmento que une al punto p0, 0q con el
punto pcos j, sin jq , el cual tiene longitud uno.
Sea A � p�8n�1 Snq Y pYJ Sjq .
Este conjunto A es balanceado, absorbente y limitado pero no es
ρ-acotado.
Lema 1.36. Sea X un espacio vectorial y sea C � X un subconjunto
absorbente, balanceado y convexo. Entonces, ρC es una norma si y sólo si
C es un conjunto limitado.
Demostración. ñ ) Sea x P C con x � 0̂ .
Como estamos suponiendo que ρC es una norma, tenemos las siguientes
desigualdades 0   ρCpxq ¤ 1 .
Por la propiedad Arquimediana de los números reales, sabemos que existe
un número n P N tal que 1   nρCpxq � ρCpnxq .
De donde, nx RC .
Lo anterior nos dice que el conjunto C es limitado.
ð ) Sea x P X , x � 0̂ y supongamos que ρCpxq � 0 .
Por ser C un conjunto limitado, existe un número real t ¡ 0 tal que
tx RC .
Esto implica que existe un número t1 P Rpx,Cq tal que 0   t1   t .
De aqúı, x P t1C � tC .
Esta contradicción nos dice que ρCpxq ¡ 0 y por lo tanto, la seminorma
ρC es una norma. �
Teorema 1.37. Si pX, ρq es un espacio vectorial seminormado y
A � tx P X | ρpxq ¤ 1u , entonces ρ � ρA .
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30 1. SEMINORMAS Y NORMAS
Demostración. Por la Proposición 1.21 A es un conjunto absorbente, ba-
lanceado y convexo.
Sabemos que ρp0̂q � 0 � ρAp0̂q .
Si ρApxq � 0 entonces x P 1nA para todo número n P N .
De aqúı, x � 1nan para alguna an P A ,
de donde, ρpxq � ρp 1nanq � 1nρpanq ¤ 1n .
Esto implica que ρpxq � 0 . ρpxq � 0 ñ x P A .
De lo anterior obtenemos que para todo número real t , 0   t   1 x P tA .
De donde, ρApxq � 0 .
0   ρpxq ñ ρp 1ρpxqxq � 1 ñ 1ρpxqx P Añ x P ρpxqAñ ρApxq ¤ ρpxq .
Supongamos que ρApxq   ρpxq .
Entonces existe un número t P R , 0   t   ρpxq tal que x � ta .
De aqúı, ρpxq � tρpaq ¤ t   ρpxq .
Esta contradicción a lo que hab́ıamos supuesto, junto con la desigualdad
ρApxq ¤ ρpxq , nos dicen que ρApxq � ρpxq . �
Proposición 1.38. Si pX, ρq es un espacio vectorial seminormado y C �
X es un conjunto absorbente, balanceado, convexo y ρ-acotado, entonces
ρCpxq � 0 ñ ρpxq � 0 .
Demostración. Por ser el conjunto C ρ-acotado, existe un número real
r ¡ 0 tal que ρpcq ¤ r para todo vector c P C .
Si x P X es tal que ρCpxq� 0 entonces x P 1nC para todo número
n P N .
x � 1ncn P 1nC ñ nρpxq � ρpcnq ¤ r ñ ρpxq ¤ rn para todo n P N , esto
implica que ρpxq � 0 . �
Corolario 1.39. Si la seminorma ρ es una norma en el espacio vectorial
X y si C � X es un conjunto absorbente, balanceado, convexo, ρ-acotado,
entonces la función ρC es una norma en X .
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1.1. Seminormas 31
Demostración. Si ρCpxq � 0 entonces, por la proposición anterior,
ρpxq � 0 . Como ρ es una norma, x � 0̂ . �
En el campo K ( R o C ), vistos como espacios vectoriales sobre śı mismos,
no hay seminormas no triviales (funciones no idénticamente cero) que no
sean normas.
Una primera demostración de lo anterior se basa en cuestiones de dimensión
algebraica. Si ρ es una seminorma definida en el campo K y si Zρ es el
correspondiente subespacio vectorial de K definido anteriormente, veamos
lo que sucede con las dimensiones vectoriales de Zρ y de K :
Como dimKK � 1 , obliga a que el subespacio vectorial Zρ sólo tenga dos
posibilidades para su dimensión, a saber: dimKZρ � 0 o dimKZρ � 1 .
Si dimKZρ � 1 entonces Zρ � K , lo cual implicaŕıa que ρ es la semi-
norma trivial.
Si dimKZρ � 0 entonces Zρ � t0u lo cual nos dice que ρ es una norma.
Sin embargo, daremos a continuación sendas demostraciones por caso para
aplicar la teoŕıa vista hasta aqúı. Como el campo de los números reales
y el campo de los números complejos presentan caracteŕısticas diferentes,
haremos las demostraciones por separado para cada campo.
Ver también lo hecho inmediatamente antes de Nota 1.17.
Proposición 1.40. En K toda seminorma distinta de cero es una norma.
Demostración. Caso 1: K � R .
Sea ρ � 0 una seminorma en R como espacio vectorial sobre śı mismo,
y sea A � R un subconjunto absorbente, balanceado y convexo tal que
ρ � ρA .
Afirmación: A es un intervalo de la forma p�r, rq o de la forma r�r, rs
para algún número real r P p0, 8q .
Supongamos primero que el conjunto A no fuera ρA-acotado superior-
mente.
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32 1. SEMINORMAS Y NORMAS
Entonces, por ser un conjunto balanceado, si t P A , �t P A y por lo tanto
tampoco seŕıa acotado inferiormente.
Por ser un conjunto convexo, si t, �t P A , entonces el segmento (intervalo)
que determinan está contenido en A .
De esto tendŕıamos que A � p�8, 8q � R y por lo tanto ρA � 0 .
Por lo tanto el conjunto A debe ser ρA-acotado (superior e inferiormente)
en R .
Como no es un conjunto vaćıo de números reales, tiene supremo.
Sea r � supA P R .
Por ser A un conjunto balanceado, tenemos que �r � infA .
De aqúı, si r RA , entonces A � p�r, rq .
Afirmación 1: A � p�r, rq .
Sea s P p�r, rq . Es decir, �r   s   r .
Como �r � inf A , existe t1 P A tal que �r   t1   s .
Como r � supA , existe t2 P A tal que s   t2   r .
Es decir, s P rt1, t2s .
Por ser A un conjunto convexo, rt1, t2s � A .
De donde, s P A .
Si r P A , entonces r�r, rs � A � r�r, rs .
De lo anterior, A � r�r, rs .
Tenemos entonces que el conjunto A es limitado y, por el Lema 1.37, la
función ρA cumple las condiciones para ser una norma.
Caso 2: K � C como espacio vectorial complejo.
Sea ρ una seminorma definida en C . Por el Caso 1, ρ|R es una norma.
Sea z � x� iy tal que ρpzq � 0 . Como
|ρpxq � ρpyq| � |ρpxq � ρp�iyq| ¤ ρpx� p�iyqq � ρpx� iyq � ρpzq � 0 .
Tenemos entonces que
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1.2. Sucesiones 33
|x|ρp1q � ρpxq � ρpyq � |y|ρp1q , de donde, |x| � |y| , es decir, x� y ,
o sea, z � x� ix .
Si para algún xo � 0 , ρpxo� ixoq � 0 , entonces sucede que ρpx� ixq � 0
para todo número x P R :
ρpx� ixq � ρpxoxo px� ixqq � ρp xxo pxo � ixoqq � | xxo |ρpxo � ixoq � 0 .
Dado que para cada w P C existen α P C y z � x� ix tales que
w � αz , tendŕıamos que ρpwq � |α|ρpzq � 0 y ρ seŕıa la seminorma
trivial.
De modo que si la función ρ no es la seminorma trivial, entonces
Zρ � t0� i0u , es decir, la función ρ es una norma. �
Cabe aclarar que el campo de los números complejos, C , como espacio
vectorial real si puede tener seminormas no triviales, como lo hace ver el
ejercico 36 del último caṕıtulo.
Como siempre, para facilitar el trabajo topológico, presentamos las nocio-
nes de sucesión convergente y de sucesión de Cauchy, las cuales presentan
caracteŕısticas especiales en el caso de espacios vectoriales seminormados,
por ejemplo, los puntos de convergencia de una sucesión, cuando los hay, no
son únicos, de hecho, son una infinidad.
Sin embargo, algunos teoremas, como el teorema de Weierstrass: “toda su-
cesión en un conjunto compacto tiene un punto de acumulación”, siguen
siendo válidos en espacios vectoriales seminormados.
1.2. Sucesiones
Definición 1.41. Una sucesión txnuN � X , ρ-converge al vector x P X
si la sucesión de números reales tρpx� xnquN converge al número 0 .
La sucesión txnuN es ρ-Cauchy si para cada número real � ¡ 0 existe un
número natural N P N tal que ρpxn � xmq   � para todo par de números
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34 1. SEMINORMAS Y NORMAS
naturales n, m ¥ N .
Como sucede en el caso normado, si una sucesión es ρ-convergente entonces
también es ρ-Cauchy.
Toda sucesión convergente y toda sucesión de Cauchy, como subconjuntos
del espacio vectorial, son ρ-acotados, aunque, en algunos casos, pueden ser
conjuntos no limitados.
Hacemos énfasis en que en la Definición 1.41 no decimos que la sucesión de
vectores txnuN � X es ρ-convergente a x P X si la sucesión de números
reales tρpxnquN converge a ρpxq ; sino si la sucesión tρpxn�xquN converge
al número cero de R . Ni esta definición dice que la sucesión txnuN es
ρ-Cauchy si la sucesión de números reales tρpxnqu lo es; sino si la red
tρpxn � xmquN�N tiende al número cero cuando n y m tienden a 8 .
Tomando en cuenta la desigualdad |ρpxq � ρpyq| ¤ ρpx � yq , válida para
cualquier par de vectores x, y P X , la definición de sucesión convergent
o de de Cauchy de la Definición 1.41 implican que tρpxnquN � R es una
sucesión convergente o de Cauchy.
El rećıproco, empero, no siempre se cumple, es decir, podemos tener suce-
siones txnuN � X que no son ρ-convergentes o no son ρ-Cauchy según la
Definición 1.41 y sin embargo, la sucesión tρpxnquN � R śı serlo.
Veamos a continuación un ejemplo de ésta situación:
Sea X � R como espacio vectorial sobre śı mismo, con la norma usual
ρpxq � |x| del valor absoluto. Sea, para cada n P N , el número xn �
p�1qn , es decir, consideremos la sucesión t�1, 1, �1, 1, ...u la cual, ni
es ρ-Cauchy ni es ρ-convergente ya que ρpxn � xn�1q � | � 2| � 2 para
todo número n P N . Sin embargo, la sucesión tρpxnquN � t|xn|uN �
t1, 1, 1, ...u converge al uno.
Si ρ es sólo una seminorma en el espacio vectorial X , el punto de ρ-
convergencia de una sucesión, cuando existe, no es único. Si ρ es una
norma, śı lo es.
De hecho tenemos que si txnuN ρÑ x entonces txnuN ρÑ x� z para cada
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1.2. Sucesiones 35
vector z P Zρ .
También sucede que si txnuN ρÑ x y tznuN � Zρ , es cualquier subonjunto,
entonces txn � znuN ρÑ x .
Nota 1.42. En el párrafo anterior, la notación txnuN ρÑ x significa que
la sucesión converge con respecto a la seminorma ρ , al vector x . Esta
notación obedece a que una misma sucesión puede converger a un punto con
una seminorma y pude converger a otro, o no converger, si cambiamos de
seminorma.
Información adicional sobre sucesiones en los ejercicios 4, 5 y 6, Caṕıtulo 4.
Definición 1.43. Si cada sucesión ρ-Cauchy es ρ-convergente diremos que
el espacio vectorial seminormado pX, ρq es completo. Si ρ es una norma
con la cual X es completo , se dice que el espacio vectorial normado pX, ρq
es Banach.
Por lo dicho justo antes de esta definición, con seminormas suceden cosas
que “chocan” o difieren grandemente con lo que estamos acostumbrados a
tratar sobre sucesiones en los espacios métricos o normados,por ejemplo:
Si el vector x P X es tal que ρpxq � 0 siendo x � 0̂ , entonces, la sucesión
tx, x, x, ...u Ñ 0̂ y la sucesión t0̂, 0̂, 0̂, ...u Ñ x .
Más generalmente, si txnu � Zρ , entonces, txnu ρÑ x para toda x P Zρ ,
en particular, para x � 0̂ .
En analoǵıa a lo que es una serie convergente de números reales, una serie
de vectores es convergente en el espacio vectorial seminormado pX, ρq , si la
sucesión de sumas parciales, es ρ-convergente. Es decir, decimos que la serie
de vectores
°8
k�1 xk es convergente si la sucesión (también de vectores)
t°nk�1 xkunPN converge en X según la Definición 1.41.
Veamos ahora un teorema para el caso seminormado, que aparece enunciado
y probado en la literatura para el caso normado pero que, debido a las
particularidades o diferencias de una seminorma con respecto a una norma,
la demostración requiere de más detalles:
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36 1. SEMINORMAS Y NORMAS
Proposición 1.44. Sea pX, ρq un espacio vectorial seminormado. Enton-
ces, pX, ρq es completo si y sólo si, para cada sucesión txkuN � X tal
que la serie de números reales
°8
k�1 ρpxkq converge (
°8
k�1 ρpxkq   8 ),
existe un vector x P X tal que t°nk�1 xkunPN
ρÑ x .
Demostración. ñ ) °8k�1 ρpxkq   8 implica que para cada número real
� ¡ 0 existe un número N P N tal que °8k�m ρpxkq   � para toda
m ¥ N .
Sean n, m P N tales que n ¡ m ¥ N :
ρp°nk�1 xk �
°m
k�1 xkq � ρp
°n
k�m�1 xkq ¤
°n
k�m�1 ρpxkq ¤
¤ °8k�m�1 ρpxkq   � .
Por lo tanto, la sucesión t°nk�1 xkunPN es ρ-Cauchy y por la completez
del espacio pX, ρq , converge.
ð ) Sea txnuN � X una sucesión de vectores del espacio X , que sea
ρ-Cauchy.
Para cada número �k � 12k sea nk P N tal que
ρpxn � xmq   �k para todo par de números naturales n, m ¥ nk y
además n1   n2   ... .
Sean y1 � xn1 , y2 � xn2 � xn1 , ..., yk � xnk � xnk�1 , ... .
°8
k�1 ρpykq ¤ ρpxn1q�
°8
k�2
1
2k�1
  8 implica que existe un vector y P X
tal que t°mk�1 ykumPN
ρÑ y cuando m Ñ 8 .
Como
°m
k�1 yk � xnm , la subsucesión txnkukPN
ρÑ y , esto implica que
txnuN ρÑ y . �
Para aclarar y comprender mejor la completez o completitud de un espacio
vectorial seminormado, sugerimos revisar los ejercicios 6, 9, 18, y 25 del
Caṕıtulo 4.
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1.2. Sucesiones 37
Regresemos a los conjuntos acotados para ver una caracterización interesan-
te y también muy útil de lo que es la ρ-acotación de conjuntos en espacios
vectoriales:
Lema 1.45. Sea pX, ρq un espacio vectorial seminormado y sea A � X
cualquier subconjunto. Entonces, A es un conjunto ρ-acotado, si y sólo si
t 1nanu
ρÑ 0̂ para toda sucesión tanuN � A , si y sólo si tλnanuN ρÑ 0̂
para toda sucesión de números tλnuN Ñ 0 en el campo K y para toda
sucesión tanuN � A .
Demostración. ñ ) Sea r ¡ 0 un número real tal que ρpaq ¤ r para
toda a P A .
De aqúı, ρp 1nanq � 1nρpanq ¤ 1nr Ñ 0 .
ð ) Supongamos que el conjunto A no fuera ρ-acotado, es decir, supon-
gamos que
para cada número n P N existe un vector an P A tal que n   ρpanq .
De esto, 1   1nρpanq � ρp 1nanq ñ ρp 1nanqÛ 0 . Lo cual es contradictorio.
La otra doble implicación (ô ) se prueba de manera análoga. �
Más Ejemplos de espacios vectoriales seminormados y espacios
vectoriales normados.
Nota 1.46. Recordemos que un subconjunto de vectores S de un espacio
vectorial X es una base de Hamel de X si los vectores del conjunto S
son linealmente independientes y cada vector x P X se puede representar
con una combinación lineal finita de vectores de S .
5.- Sea X � Kn con una base de Hamel te1, ..., enu cualquiera y
sea p P R , 1 ¤ p . Para cada x � °ni�1 λiei P X definimos
ρppxq � p
°n
i�1 |λi|pq
1
p .
Las funciones ρp ( 1 ¤ p P R ), junto con la función
ρ8pxq � max t|λ1|, ..., |λn|u constituyen una familia de normas en el espacio
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38 1. SEMINORMAS Y NORMAS
vectorial Kn (dimensión finita), tal que con cada una de ellas el espacio
vectorial Kn es un espacio vectorial normado completo.
6.- Sea X � Kn , sea te1, ..., enu una base de Hamel cualquiera en X y
sea el conjunto A � tx � °ni�1 λiei | |λ1|, ..., |λn�1| ¤ 1u .
Entonces, la función ρA es una seminorma en Kn tal que
ρApp0, ..., 0, λnqq � 0 y ρApp1, ..., 1, λnqq � 1, , con la cual el espacio
vectorial Kn es un espacio vectorial seminormado completo y
Zρ � tp0, ...0, xnq |xn P Ru , que es de dimensión vectorial uno.
7.- Sea X � Cra, bs � tf : ra, bs Ñ R continuas u .
Con la suma usual de funciones y el producto de números reales con fun-
ciones, usual, el conjunto X resulta ser un espacio vectorial sobre real, es
decir, un espacio vectorial definido sobre el campo de los números reales.
Definamos las funciones ρ8, ρ1, ρo : X Ñ R como
ρ8pfq � max t|fpxq| | a ¤ x ¤ bu , ρ1pfq �
³b
a |f | y
ρopfq � |
³b
a f | es sólo seminorma. ρ8 y ρ1 son normas ya que
Zρ8 � t0u � Zρ1 ;
ρo es una seminorma en el espacio vectorial X con
Zρo � tf P X |
³b
a f � 0u .
En este caso sabemos que la función ρo no es una norma ya que existen
funciones (reales de variable real) continuas, distintas de cero, que su integral
de Riemann es cero; ejemplos de este tipo de funciones tenemos a λ sinx
y a λ cosx en el intervalo r0, 2πs , con λ P R , λ � 0 .
La siguiente proposición nos da dos situaciones distintas sobre la completez
de los espacios vectoriales normados dados en el Ejemplo 7. La importancia
que tiene esta proposición, dentro del análisis funcional, radica en observar
que el espacio vectorial base Cra, bs es el mismo en los dos casos.
Definición 1.47. Diremos que una sucesión de funciones con dominio un
conjunto S y codominio un espacio vectorial seminormado pY, σq
tfn : S Ñ pY, σqu , es fuertemente Cauchy, si para cada número real � ¡ 0
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1.2. Sucesiones 39
existe un número natural N P N tal que σpfnpxq � fmpxqq   � para todo
par de números naturales n, m ¥ N y para todo vector x P S .
Con las normas ρ8, ρ1 y ρo definidas en el Ejemplo 7 para el espacio
vectorial Cra, bs , tenemos el siguiente resultado:
Proposición 1.48. i) pCra, bs, ρ8q es un espacio vectorial normado com-
pleto (Banach).
ii) pCra, bs, ρ1q y pCra, bs, ρoq son espacios vectoriales normados pero no
son completos.
Demostración. i) Sea tfnuN � Cra, bs una sucesión de funciones ρ8-
Cauchy.
Dado el número real � ¡ 0 , existe un número natural N P N tal que
|fnpxq � fmpxq| ¤ ρ8pfn � fmq   � para todo par de números naturales
n,m ¥ N y para todo número real x P ra, bs .
Esto dice que la sucesión de funciones tfnuN � Cra, bs es fuertemente
Cauchy.
En particular, la sucesión de números reales tfnpxqu es de Cauchy y por
lo tanto convergente para cada x P ra, bs .
Definamos la función f : ra, bs Ñ R como fpxq � ĺım fnpxq .
Probemos que f P Cra, bs .
Sea xo P ra, bs , sea el número real � ¡ 0 y sea N P N tales que
ρ8pfn � fmq   �3 para todo par n,m ¥ N .
Sea δN ¡ 0 el número real tal que |x�xo|   δN ñ |fN pxq�fN pxoq|   �3 .
|fpxq � fpxoq| ¤ |fpxq � fN pxq| � |fN pxq � fN pxoq| � |fN pxoq � fpxoq|  
  �3 � �3 � �3 � � si |x� xo|   δN .
Probemos que tfnuN ρ8Ñ f . Sea � ¡ 0 :
|fpxq � fnpxq| � | ĺımmÑ8 fmpxq � fn| � ĺımmÑ8 |fmpxq � fnpxq| ¤
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40 1. SEMINORMAS Y NORMAS
¤ ρ8pfm � fnq   � para todo par de números n,m ¥ N .
Lo anterior nos dice que ρ8pf � fnq ¤ � para todo número n ¥ N .
ii) y iii) Sea la sucesión de funciones tfnu � Cra, bs definidas aśı para cada
n P N : fnpxq � 1 si a ¤ x ¤ c ,
fnpxq � �nx� cn� 1 si c ¤ x ¤ c� 1n y fnpxq � 0 si
c� 1n ¤ x ¤ b , donde c � a�b2 .
Sea n ¡ m (números en N ) y sea � ¡ 0 un número real.
ρ1pfn � fmq �
³b
a |fnpxq � fmpxq|dx � 12m � 12n   � si m ¥ 12� .
Es decir, esta sucesión tfnuN es ρ1-Cauchy; sin embargo, no hay una
función continua a la cual ella converja con la norma ρ1. Veamos esto:
Supongamos que existiera una función f P Cpra, bsq tal que
ρ1pf