Un Curso de Geometría Proyectiva para un Amigo - J M Pedret - Javier Alejandro Solís Roque

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Curso de 
Geometría Proyectiva 
para un amigo 
 
 
 
por José María Pedret Yebra 
 
 
 
 
 
 
Contenido 
 
0. Introducción ................................................................... 
1. Homografía entre rectas proyectivas ............................. 
2. Homografía entre haces de rectas .................................. 
3. Homografía entre rectas proyectivas y haces de rectas . 
4. Homografía de la recta proyectiva sobre sí misma ........ 
5. Involuciones de una recta proyectiva sobre sí misma .... 
6. El segundo teorema de Desargues ................................. 
7. Un mínimo de álgebra con los puntos ........................... 
8. Homografías entre planos proyectivos .......................... 
9. Homografías del plano proyectivo sobre sí mismo ....... 
10. Correlaciones y polaridades ........................................... 
11. Cónicas proyectivas ....................................................... 
12. Aspectos afines (y euclídeos) de las cónicas ................. 
13. Cónicas, Ecuaciones y Coordenadas ............................. 
1 
7 
15 
19 
41 
63 
81 
97 
134 
149 
191 
225 
281 
323 
 
 
 
0. INTRODUCCIÓN
0.1 ÁMBITO GENERAL
En principio, nos moveremos en el plano (con sus subespacios). Trabajaremos con puntos, rectas
proyectivas y sus duales. Y no estaremos excesivamente pendientes de los temas fórmales como
profundización en demostraciones o notaciones excesivamente "bourbakianas".
Intentaremos movernos de forma cómoda con el ánimo de conocer donde empiezan y donde acaban las
herramientas que nos proporciona la geometría proyectiva. Y en especial, en que parte cabe ubicar cada
una de esas herramientas con el fin de no tenerlas mezcladas.
0.2 CONOCIMIENTOS SUPUESTOS
Se supone conocido que tres puntos de una recta constituyen un sistema de referencia proyectiva de la
recta y también que cuatro puntos, tres a tres no alineados, constituyen un sistema de referencia en el
plano.
Se supone conocida la razón doble de cuatro puntos alineados y una expresión para su cálculo (tanto en
segmentos con signo como en coordenadas homogéneas).
[ , , , ] : :A B C D AC
AD
BC
BD
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
A
A
C
C
A
A
D
D
B
B
C
C
B
B
D
D
= =
Se supone algún conocimiento sobre coordenadas homogéneas y que la representación de un punto P del
espacio proyectivo es única salvo un factor de proporcionalidad.
P x y z x y z≡ ≡( , , ) ( , , )μ μ μ
Se supone también conocido que cada recta tiene un punto de infinito y que cada plano tiene una recta de
infinito que en principio son tratados como puntos ordinarios y rectas ordinarias.
Se supone conocido que una homografía es una biyección que conserva la razón doble. Y que si se conoce
la imagen de un sistema de referencia proyectivo, queda definida la homografía.
Se supone que se entiende el principio de dualidad en el plano.
1
0. INTRODUCCIÓN
0.3 PROPIEDADES DE LA RAZÓN DOBLE
Dados cuatro puntos alineados existen 24 permutaciones entre ellos; pero sólo dan seis razones dobles
distintas. Como los cuatro puntos son distintos la razón doble no puede ni ser 1 ni anularse. Si no fuera
así tendríamos
[ , , , ] : , [ , , , ] : , [ , , , ] :A A C D AC
AD
AC
AD
A B A D AA
AD
BA
BD
A B C A AC
AA
BC
BA
= = = = = = ∞1 0
En general para cuatro puntos alineados distintos se verifica que
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
1234 2143 3412 4321
1243 2134 4312 3421 1
1324 3142 2413 4231 1
1342 3124 4213 2431 1
1
1432 4123 3214 2341
1
1423 4132 2314 3241 1
= = = =
= = = =
= = = = −
= = = =
−
= = = =
−
= = = =
−
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
Cuando la razón doble de cuatro punto alineados A, B, C, D es -1, se dice que C y D son conjugados
armónicos de A,B
[ , , , ] [ , , , ] ( ) [ , , , ]
( )
A B C D A C B D A C D B= − ⇒ = − − = ⇒ =
− −
=1 1 1 2 1
1 1
1
2
por lo que podemos decir que cuando la razón doble de cuatro puntos alineados es 2 ó ½, una distinta
ordenación de esos cuatro puntos forma una cuaterna armónica.
Para acabar
[ , , , ] [ , , , ] : :A B C M A B C N AC
AM
BC
BM
AC
AN
BC
BN
BM
AM
BN
AN
= ⇒ = ⇒ =
y de aquí
BM AN BN AM BM AM MN BM MN AM BM MN MN AM⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ + = + ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ =( ) ( ) 0
que lleva a
BM MN MN AM MN BM MA MN BA MN M N⋅ − ⋅ = ⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ =0 0 0 0( )
y por lo tanto
[ , , , ] [ , , , ]A B C M A B C N M N= ⇒ =
2
0. INTRODUCCIÓN
0.4 RAZÓN DOBLE DE CUATRO RECTAS CONCURRENTES
Sean p, q, r, s cuatro rectas concurrentes del plano proyectivo y sean sus duales los puntos P, Q, R, S. (Es
decir, hacemos corresponder los elementos de un plano de rectas con los elementos de un plano de puntos
y viceversa; esta correspondencia se llama correlación). Definimos la razón doble de las cuatro rectas p, q,
r, s como la de los cuatro puntos P, Q, R, S (que como son duales de rectas concurrentes, están alineados)
[ , , , ] [ , , , ]p q r s P Q R S=
Con esta definición se puede demostrar que dadas en un plano cuatro rectas a, b, c, d distintas y
concurrentes en un punto O y una secante p que no pase por O y que corta a estas cuatro rectas en los
puntos A, B, C, D; las razones dobles de las rectas y los puntos son iguales.
[ , , , ] [ , , , ]a b c d A B C D=
Entonces podemos expresar
[ , , , ] : sin( )
sin( )
: sin( )
sin( )
a b c d AC
AD
BC
BD
ac
ad
bc
bd
= =
∠
∠
∠
∠
Si conocemos la pendiente de cada una de las rectas
[ , , , ] :a b c d m m
m m
m m
m m
a c
a d
b c
b d
=
−
−
−
−
3
0. INTRODUCCIÓN
0.5 EJERCICIOS
Ejercicio 0.01 GP V 18
Dados tres puntos alineados A, B, C; demostrar que existe en la misma recta un único punto M cuya razón
doble [A,B,C,M] sea igual a un número dado k. Construir gráficamente dicho punto (k=p/q).
Ejercicio 0.02 DC 129
Sea un eje orientado de origen O y cuatro puntos sobre él A, B, A', B' definidos por sus abscisas; demostrar
que existe en la misma recta un único punto M tal que
[O,M,A,B]=[O,M,A',B']
Construir gráficamente dicho punto M. ¿Cuándo es M el punto de infinito?
Ejercicio 0.03 DC 125
Damos a, b, c tres números distintos. x1, x2, x3, x4 son cuatro valores distintos de una variable. Si
[a,b,c,x1]=λ1, [a,b,c,x2]=λ2, [a,b,c,x3]=λ3, [a,b,c,x4]=λ4 
establecer que
[x1,x2,x3,x4]=[λ1,λ2,λ3,λ4]
Ejercicio 0.04 GP V 27
Si M designa un punto cualquiera de la recta que contiene a cuatro puntos A, B, C, D; demostrar la fórmula
de Euler para cuatro puntos de una recta A, B, C, M
MA BC MB CA MC AB⋅ + ⋅ + ⋅ = 0
y utilizarla para probar que
[ , , , ]A B C D
MB
AB
MD
AD
MB
AB
MC
AC
=
−
−
(15)
Y como conclusión demostrar que también podemos escribir
[ , , , ]A B C D AB AD
AB AC
=
−
−
1 1
1 1
Mediante el uso de abscisas, hallar analíticamente una demostración alternativa de (15).
4
0. INTRODUCCIÓN
Ejercicio 0.05 GP V 31
Sean d1, d2, d3 y d4 cuatro rectas de un mismo haz D*. Una recta r que no pertenece al haz encuentra a
las rectas del mismo en los puntos A, B, C, D respectivamente y otra recta distinta r' que tampoco
pertenece al haz las encuentra en A', B', C', D'. Demostrar que las razones dobles [A,B,C,D] y
[A',B',C',D'] son iguales.
Por definición (hasta ahora), la razón doble anterior es la razón doble de las cuatro rectas concurrentes
[d1,d2,d3,d4]. Así como somos capaces de expresar la razón doble de cuatro puntos alineados por medio
de las abscisas (coordenadas NO homogéneas) que definen unívocamente a cada punto de la recta, deducir
unas coordenadas (NO homogéneas) de las rectas del haz y expresar, en función de ellas, la razón doble de
las cuatro rectas.
También sabemos expresar la razón doble de cuatro puntos alineados en función de las coordenadas
homogéneas de cada uno de los puntos de la recta. Deducir unas coordenadas homogéneas de las rectas de
un haz, por dualización de lo anterior, y expresar en función de ellas la razón doble de cuatro rectas
concurrentes.
Ejercicio 0.06 GP V 39-40 DC 126-127
Se Dan cuatro puntos A, B, C, D alineados de abscisas a, b, c, d tales que a<c<b<d. Sedan dos círculos
Γ y Γ' de diámetros respectivos AB y CD que se cortan bajo un ángulo φ. Demostrar que
[ , , , ] tanA B C D = − 2
2
ϕ
Deducir de ello una expresión sencilla de los seis valores distintos de la razón doble de los cuatro puntos
alineados A, B, C, D. Cada razón doble se dará sólo como el cuadrado de una sola función trigonométrica
del ángulo φ.
Sea ahora un punto cualquiera O del plano que contiene a los círculos y consideremos el haz O* que
contiene a las cuatro rectas OA, OB, OC, OD. Sea ahora una recta r que corta a las rectas del haz O* en
A', B', C', D' respectivamente. Demostrar que los círculos Ω y Ω' de diámetros respectivos A'B' y C', D'
se cortan bajo el mismo ángulo que los círculos Γ y Γ'.
Sean ahora OM y ON dos rectas perpendiculares de O*. Con centro en O, rotamos un ángulo φ las rectas
del haz de tal manera que OM y ON se transforman en OM' y ON'. Demostrar que en estas condiciones
[ , , ' , '] tanOM ON OM ON = − 2
2
ϕ
Supongamos ahora que dada una recta OM de O*. Con centro en O rotamos esta recta un ángulo φ y
obtenemos OM', tomamos OM' y con la misma rotación obtenemos OM" y de OM" obtenemos OM'".
Comprobar que
[ , ' , ", ]
tan
OM OM OM OM ′′′ =
−
4
3 2ϕ
5
0. INTRODUCCIÓN
Ejercicio 0.07 GP V 48-50-53
Sean cuatro puntos E, F, G, H situados sobre un círculo Γ. Dado un punto M cualquiera del círculo Γ
demostrar que 
.[ , , , ]ME MF MG MH constante M= ∀ ∈Γ
A esta razón doble se la denomina razón doble de cuatro puntos de un círculo [E,F,G,H].
Sean a, b, c, d cuatro tangentes del círculo Γ y dos tangentes más t y t' que cortan a las tangentes dadas en
los puntos A, B, C, D y A', B', C', D' respectivamente. Demostrar la igualdad de razones dobles
[ , , , ] [ ' , ' , ' , '] , 'A B C D A B C D t t= ∀
A esta razón doble se la denomina razón doble de cuatro tangentes de un círculo.
Hallar la razón doble de los vértices de un rectángulo inscrito en el círculo Γ, en función de la semi-longitud
de sus lados.
Ejercicio 0.08 (ideas para la definición formal de razón doble)
El interés de este ejercicio consiste en que indica el camino para una definición formal de la razón doble
 para cuatro elementos del espacio proyectivo que pertenecen a un espacio proyectivo de dimensión 1.
Demostrar que la razón doble no cambia si los puntos sufren una transformación del tipo
x ax b
cx d
con ad bc→ +
+
− ≠ 0
Sean A, B, C, M cuatro puntos alineados de la recta proyectiva. ¿Qué relación tiene la razón doble
[A,B,C,M] con las coordenadas de M para todo M de la recta proyectiva ?
Resuelto lo anterior, dar una definición general del concepto de razón doble.
Ejercicio 0.09 (fórmula de Laguerre - introducción proyectiva al concepto de ángulo)
Sean d, d' dos rectas del plano con pendientes respectivas m y m'. Sabemos que el ángulo V que forman
las dos rectas (salvo un múltiplo de π) viene definido por
tan '
'
V m m
mm
=
−
+1
Definimos (por ahora) las rectas isótropas como las rectas del plano de pendientes respectivas i y -i (i²=-1).
Establecer que
[ ' , , , ]m m i i e iV− = 2
Apoyándonos en el resultado anterior, enunciemos la condición, respecto a las rectas isótropas, para que
dos rectas de un haz sean perpendiculares entre sí.
6
1. HOMOGRAFÍAS ENTRE RECTAS PROYECTIVAS
1.0 PARA EMPEZAR
La recta (como haz de puntos).
El haz de rectas (por un punto) en el plano.
El haz de planos (por una recta) en el espacio.
Los tres son espacios proyectivos de dimensión 1. Cualquier resultado obtenido en cualquiera de los tres
puede ser aplicado a los otros dos.
El dual de la recta en el plano es el haz de rectas.
El dual de la recta en el espacio es el haz de planos.
En la figura se observan las distintas proyecciones entre ellos.
7
1. HOMOGRAFÍAS ENTRE RECTAS PROYECTIVAS
1.1 GENERALIDADES
Como tres puntos constituyen una referencia de la recta proyectiva, podemos escribir:
Teorema 1
Sean A, B, C tres puntos distintos de una recta proyectiva d y A', B', C' tres puntos distintos de una recta
proyectiva d'. Existe entonces una y sólo una homografía
h d d tal que h A A h B B h C C: ' ( ) ' , ( ) ' , ( ) '→ = = =
Corolario 1
Dos homografías entre rectas proyectivas que coinciden sobre tres puntos distintos son iguales.
Nuestra definición de homografía admite un recíproco en las rectas proyectivas,
Teorema 2
Una biyección entre dos rectas proyectivas es una homografía si y sólo si conserva la razón doble de cuatro
puntos cualesquiera.
Demostración 2
Ya sabemos que una homografía conserva la razón doble. Veamos el recíproco. Sean A, B, C tres puntos
distintos de una recta d y A', B', C' sus imágenes por una biyección entre rectas proyectivas
β: 'd d→
pero según el Teorema 1 existe una homografía
h d d tal que h A A h B B h C C: ' ( ) ' , ( ) ' , ( ) '→ = = =
Como h conserva la razón doble, si exigimos a que conserve la razón doble
[ , , , ] [ ( ), ( ), ( ), ( )] [ ' , ' , ' , ( )]
[ , , , ] [ ( ), ( ), ( ), ( )] [ ', ' , ' , ( )]
A B C M h A h B h C h M A B C h M
A B C M A B C M A B C M
= =
= =β β β β β
de donde β es una homografía ya que
.[ ', ' , ' , ( )] [ ' , ' , ' , ( )] ( ) ( )A B C h M A B C M M h M M d= ⇒ = ∀ ∈β β
Corolario 2
Sean A, B, C tres puntos distintos de una recta proyectiva d y A', B', C' tres puntos distintos de una recta
proyectiva d' y sea una homografía
h d d tal que h A A h B B h C C: ' ( ) ' , ( ) ' , ( ) '→ = = =
h transforma M0d en N0d' si y sólo si
[ , , , ] [ ', ' , ' , ]A B C M A B C N=
8
1. HOMOGRAFÍAS ENTRE RECTAS PROYECTIVAS
1.2 PROYECCIONES
Una proyección es una homografía (¡Ojo! Estas son las famosas perspectividades.)
Sean d, d' dos rectas proyectivas distintas de un plano proyectivo y S un punto de este plano que no
pertenece ni a d ni a d'. La aplicación de d sobre d' tal que
M SM d M da ∩ ∀ ∈'
recibe el nombre de proyección de centro S.
Esta aplicación es evidentemente una biyección y como hemos visto en [ 0.], la razón doble de cuatro rectas
concurrentes, esta biyección conserva la razón doble y por tanto, Teorema 2, es una homografía.
Teorema 3
Una homografía entre dos rectas distintas de un plano proyectivo es una proyección si y sólo si el punto
de intersección O de estas rectas se transforma en sí mismo.
Demostración 3 
Sea una proyección entre dos rectas proyectivas d y d'
π: ' 'd d y O d d→ = ∩
Por la definición (ver figura) es evidente que
π ( )O O=
Recíprocamente, sea una homografía
ξ ξ: ' ( )d d tal que O O→ =
Sean A, B dos puntos de d distintos de O cuyas imágenes por ξ son A', B' respectivamente; escribamos
S AA BB= ∩' '
y consideremos la proyección de centro S
π: 'd d→
En estas condiciones tenemos
π ξ π ξ π ξ( ) ' ' ( ), ( ) ' ' ( ), ( ) ' ( )A SA d A A B SB d B B O SO d O O= ∩ = = = ∩ = = = ∩ = =
Por lo tanto ξ es idéntica a π ya que coinciden en tres puntos de la recta proyectiva.
9
1. HOMOGRAFÍAS ENTRE RECTAS PROYECTIVAS
1.3 PRIMER TEOREMA DE DESARGUES
Teorema 4 (PRIMER TEOREMA DE DESARGUES)
Sean ABC, A'B'C' dos triángulos de vértices y lados distintos. Las intersecciones de sus lados tomados dos
a dos, es decir
BC B'C P ', CA C'A'=Q AB A'B'=R∩ = ∩ ∩,
son tres puntos alineados si y sólo si son concurrentes las rectas
.AA p BB q CC r' , ' , '= = =
Demostración 4 
Si las rectas AA', BB', CC' son concurrentes en un punto O, podemos considerar dos proyecciones
π
π
R
P
AA BB con centro en R
BB CC con centro en P
: ' '
: ' '
→
→
Consideremos ahora la homografía composición de las anteriores
π π π π: ' 'AA CC tal que P R→ = o
Tenemos entonces que π es una proyección
π π π π π π π π π π π π( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( ') ( ') ( ') 'O O O O A A B C A A B CP R P P R P P R P= = = = = = = = =o o o
y deducimos que su centro está en
Q AC A C b b= ∩ = ∩' ' '
Tomemos en AA' el punto
M RP AA o p M RP o= ∩ = ∩ ⇒ ∈ =' ( )π
Como la recta Mπ(M) pasa por Q, el punto Q pertenece a RP.
Para demostrar el recíproco basta escribir el dual.
10
1. HOMOGRAFÍAS ENTRE RECTAS PROYECTIVAS
1.4 EJE DE HOMOGRAFÍA
Veremos como una homografía se descompone de infinitasmaneras en producto de dos proyecciones y con
ello podremos construir, sólo con regla, la imagen por la homografía de un punto dado.
Teorema 5
Sea h una homografía entre dos rectas proyectivas d, d' tal que
h d d tal que h M M M d: ' ( ) '→ = ∀ ∈
(1) Si h es una proyección, para todo par (M,N) de puntos distintos de d, las rectas MN' y NM' se
cortan sobre una recta fija que pasa por d1d'.
(2) Si h no es una proyección, para todo par (M,N) de puntos distintos de d, las rectas MN' y NM'
se cortan sobre la recta que une los puntos h(d1d') y h-1(d1d')
La recta definida en (1) y (2) recibe el nombre de eje de homografía.
Demostración 5
Esta demostración está ajustada al material visto hasta aquí. En [3.] veremos una más completa para (1).
Sean dos rectas d, d' del plano proyectivo con
d d O M N P d h M M h N N h P P d∩ = ∈ = = = ∈; , , ; ( ) ', ( ) ' , ( ) ' '
(1) Si h es una proyección, no es más que una aplicación del PRIMER TEOREMA DE
DESARGUES.
Sea h la proyección entre las rectas proyectivas d, d' con centro en un punto S del plano
proyectivo; consideremos los triángulos (ver figura) AB'C y A'BC' y aplicamos el teorema.
Como por la proyección MM', NN', PP' son concurrentes
d d O MN NM PN NP∩ = ∩ ∩' , ' ' , ' '
están alineados.
11
1. HOMOGRAFÍAS ENTRE RECTAS PROYECTIVAS
(2) Si h no es una proyección, por el Teorema 3 sabemos que
d d O
h O Q O
h O P O
∩ = ⇒
= ≠
= ≠
⎧
⎨
⎩
−'
( ) '
( )1
Sea
M d tal que h M M d con M O y M P∈ = ∈ ≠ ≠( ) ' '
Consideremos ahora la proyección de centro M'
π ′ →M d PQ: '
y la proyección de centro M
πM PQ d: ' '→
y su composición
π π π π π π π π πM M M M M M M M MO Q Q P P O M M Mo o o′ ′ ′= = = = = ′′ = ′( ) ( ') ', ( ) ( ) , ( ) ( )
Con
π ′ = ′′ = ∩M M M M M PQ( ) ' '
Entonces h y πMBπM' coinciden en tres puntos O, P, M de d y por lo tanto (Corolario 1) son
idénticas.
h N d N h N N M N PQ N MN dM M M M N M≡ ∀ ∈ ⇒ = = = ∩ = ′′ = ′′ ∩′ ′π π π π π πo o' ( ) ( ) ( ' ') ( ) '
En este caso, está claro que la recta PQ' es fija, pues pasa por dos puntos que son fijos para la
homografía estudiada
Q h d d y P h d d' ( ') ( ')= ∩ = ∩−1
Aplicando sucesivamente πM y πM' a cualquier punto N 0 d, se construye N' y N" recorre PQ'; por
lo tanto el teorema queda probado.
Corolario 5
Una homografía entre rectas proyectivas es, de una infinidad de maneras, un producto de dos proyecciones.
12
1. HOMOGRAFÍAS ENTRE RECTAS PROYECTIVAS
1.5 TEOREMA DE PAPPUS
Teorema 6 (TEOREMA DE PAPPUS)
Sean dos rectas distintas d, d'. Sean A, B, C tres puntos distintos de d y A', B', C' tres puntos distintos de
d'. Los puntos
X AB A B Y CA C A Z BC B C= ∩ = ∩ = ∩' ' , ' ' , ' '
están alineados.
Demostración 6
Consideremos la homografía entre d y d' definida por
A A B B C Ca a a' , ' , '
Construimos su eje de homografía XY con
X AB A B Y CA C A= ∩ = ∩' ' , ' '
Después del Teorema 5
Z BC B C= ∩' '
est sobre el eje de homografía y en consecuencia alineado con X, Y.
13
1. HOMOGRAFÍAS ENTRE RECTAS PROYECTIVAS
1.6 PUNTOS LÍMITE
Para acabar particularizaremos el Corolario 2 enunciando el
Teorema 7
Sean los puntos I 0d y J' 0d' y β una biyección de la recta proyectiva d sobre la recta proyectiva d'
β β β: ' ( ) ( ) ''d d tal que I y Jd d→ = ∞ ∞ =
Esta biyección es una homografía si y sólo si
∃ ≠ ⋅ = ∀ ∈ =k tal que IM JM k M d con M M0 ' ( ) 'β
Demostración 7
Si β es una homografía
[ , , , ] [ ', ' , , '] : '
' '
: '
' '
' '
' ''
' 'M N I M N J MI
M
NI
N
M
M J
N
N J
MI
NI
N J
M Jd d d d
d d∞ = ∞ ⇒
∞ ∞
=
∞ ∞
⇒ =
Lo que nos lleva a
IM J M IN J N k⋅ = ⋅ =' ' ' '
Si se cumple la relación y tomamos M…I, podemos definir M' mediante la relación
IM J M k con M M⋅ = =' ' ( ) 'β
Tomemos además una homografía h
h d d definida por h I h J y h M Md d: ' ( ) , ( ) ' ( ) ''→ = ∞ ∞ = =
como la relación se cumple, tendremos también
IM J M k⋅ =' ( )β
con lo que
k IM J M IM J h M IM J M IM J h M IM J M J h M= ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ ⋅ − =' ( ) ' ( ) ' ( ) ' ( ) ( ' ( ) ' ( ))β β β0 0
y de aquí
J M J h M M d M h M M d' ( ) ' ( ) ( ) ( )β β− = ∀ ∈ ⇒ = ∀ ∈0
I y J' reciben el nombre de puntos límite de la homografía.
14
2. HOMOGRAFÍAS ENTRE HACES DE RECTAS
2.1 GENERALIDADES
Definición 1
El conjunto de rectas de un plano proyectivo que pasan por un punto A se llama haz de rectas A*.
Después de lo visto en [0.], dualidad y correlación, las rectas de un haz se identifican con los puntos de una
recta proyectiva y por lo tanto un haz se identifica con una recta; se puede pues aplicar a los haces los
resultados de [1.] concernientes a homografías entre rectas proyectivas.
Teorema 1 (Dual del Teorema 1 de [1.])
Dadas tres rectas distintas a, b, c de un haz D* y tres rectas distintas a', b', c' de un haz D'*. Existe una
única homografía
h D D tal que h a a h b b h c c*: * '* *( ) ', * ( ) ', * ( ) '→ = = =
Teorema 2 (Dual del Teorema 2 de [1.])
Una biyección entre dos haces de rectas es una homografía si y sólo si conserva la razón doble de cuatro
rectas cualesquiera.
2.2 PROYECCIONES
Una proyección es una homografía (¡Ojo! Estas también son las famosas perspectividades.)
Sean D, D' dos puntos distintos de un plano proyectivo y s una recta de este plano que no contiene ni a D
ni a D'. La biyección
π π*: * '* ( ) ' ' *D D tal que m m y m m s m D→ = ∩ ∈ ∀ ∈
recibe el nombre de proyección de eje s.
Aquí la recta DD' sería o. Como se ve en la figura y hemos visto en [ 0.], la razón doble de cuatro rectas
concurrentes, esta biyección conserva la razón doble y por tanto es una homografía.
[ , , , ] [ , , , ] [ ', ' , ' , ']m n p q M N P Q m n p q= =
Teorema 3
Una homografía entre dos haces de rectas D*, D'* es una proyección si y sólo si transforma la recta DD'
en la recta D'D, es decir si la recta o se transforma en sí misma.
15
2. HOMOGRAFÍAS ENTRE HACES DE RECTAS
2.3 DUAL DEL PRIMER TEOREMA DE DESARGUES
Teorema 4 (DUAL DEL PRIMER TEOREMA DE DESARGUES)
Sean dos triángulos formados respectivamente por las rectas a, b, c y a', b', c' de lados y vértices distintos.
Las rectas que unen sus vértices dos a dos, es decir
p b b b c q c a c a r a b a b= ∩ ∩ = ∩ ∩ = ∩ ∩( )( ' ' ), ( )( ' '), ( )( ' ')
son concurrentes si y sólo si los puntos
P a a Q b b R c c= ∩ = ∩ = ∩' , ' , '
están alineados.
Demostración 4
Si los puntos a 1 a', b 1 b', c 1 c' están alineados en una recta o, podemos considerar dos proyecciones
π
π
r
p
P Q de eje r
Q R de eje p
*
*
: * *
: * *
→
→
Consideremos ahora la homografía composición de las anteriores
π π π π*: * * * * *P R tal que p R→ = o
Tenemos entonces que π* es una proyección
π π π π π π π π π π π π* * * * * * * * * * * *( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( ') ( ') ( ') 'o o o o a a b c a a b cp r p p r p p r p= = = = = = = = =o o o
y deducimos que su eje es
q a c a c BB= ∩ ∩ =( )( ' ') '
Tenemos ahora en (a1a')*=Q* la recta
m r p a a OP m r p O= ∩ ∩ = ⇒ ∈ ∩ =( )( ') ( ) ( )* **π
Como el punto m1 π*(m) está en q, la recta q pasa por (r 1 p)*=O*.
Para demostrar el recíproco basta escribir el dual.
16
2. HOMOGRAFÍAS ENTRE HACES DE RECTAS
2.4 CENTRO DE HOMOGRAFÍA
Teorema 5
Sea h* una homografía entre haces de rectas D*, D'* 
h D D tal que h m m m D*: * '* *( ) ' *→ = ∀ ∈
(1) Si h* es una proyección, para todo par (m,n) de rectas distintas de D*, la recta que une los puntos
(m 1 n') y (m' 1 n) pasa por un punto fijo de la recta DD'
(2) Si h* no es una proyección, para todo par (m,n) de rectas distintas de D*, la recta que une los
puntos (m 1 n') y (m' 1 n) pasa por un punto fijo h*(DD') 1 H*-1(D'D).
2.5 DUAL DEL TEOREMA DE PAPPUS
Teorema 6 (DUAL DEL TEOREMA DE PAPPUS)
Sean dos puntos distintas D, D'. Sean a, b, c tres rectas distintas de D* y a', b', c' tres rectas distintas de D'*.
Las rectas
 x a b a b y c a c a z b c b c= ∩ ∩ = ∩ ∩ = ∩ ∩( ')( ' ), ( ')( ' ), ( ')( ' )
son concurrentes.
17
18
3. HOMOGRAFÍAS ENTRE RECTAS PROYECTIVAS Y HACES DE RECTAS
3.1 GENERALIDADES
Dada, en el plano proyectivo, una recta proyectiva d y un haz de rectas D*; existe una biyección canónica
σ entre la rectaproyectiva d y el haz de rectas D*
σ σ: * ( )d D tal que M DM M d→ = ∀ ∈
e inversamente
σ σ− −→ = ∩ ∀ ∈1 1: * ( ) *D d tal que m m d m D
Esta biyección, por construcción ( [0.] razón doble de cuatro rectas concurrentes), conserva la razón doble,
por ello es una homografía llamada proyección de d sobre D*. Su inversa proyección de D* sobre d.
Teorema 1
La aplicación del grupo de homografías de la recta proyectiva d en el grupo de las homografías del haz de
rectas D*
Ψ Ψ: ( ) ( *) ( )GP d GP D tal que h h→ = −σ σo o 1
es un isomorfismo de grupos. (Ver teorema 3)
El grupo de homografías de un espacio proyectivo Χ sobre sí mismo recibe el nombre de grupo proyectivo
GP(Χ).
3.2 APLICACIÓN AL EJE DE HOMOGRAFÍA ENTRE RECTAS
PROYECTIVAS CUANDO LA HOMOGRAFÍA ES UNA PROYECCIÓN
Demostración adicional de [1.4] Teorema 5 (1)
Sea h una homografía entre dos rectas proyectivas d, d' tal que
h d d tal que h M M M d: ' ( ) '→ = ∀ ∈
Si h es una proyección, para todo par (M,N) de puntos distintos de d, las rectas MN' y NM' se cortan sobre
una recta fija que pasa por d1d'.
La demostración (1) de [1.4] Teorema 5, que a nivel inicial está bien, no demuestra de verdad que la recta
buscada sea fija; por ello incluimos ahora otra demostración más completa para el caso de la proyección.
19
3. HOMOGRAFÍAS ENTRE RECTAS PROYECTIVAS Y HACES DE RECTAS
Sean los puntos M, N, P 0 d y sean los puntos M', N', P' 0 d' tales que
M h M SM d N h N SN d P h P SP d' ( ), ' , ' ( ), ' , ' ( ), '= = ∩ = = ∩ = = ∩
Para estudiar la razón de las rectas del haz O*, tomamos
d OM d OM OS y OO con O MN M N≡ ≡ = ∩, ' ' , " " ' '
Proyectamos el haz O* sobre la recta MM' .[ , ', , "] [ , ', , "]OM OM OS OM M M S M=
Proyectamos la recta MM' sobre el haz O"* .[ , ' , , "] [ " , " ' , " , " "]M M S M O M O M O S O M=
Proyectamos el haz O"* sobre NN' .[ " , " ', " , " "] [ ' , , , "]O M O M O S O M N N S N=
Proyectamos la recta NN' sobre el haz O* [ ', , , "] [ ' , , , "]N N S N ON ON OS ON=
donde
.ON OM d ON OM d ON OM OO' ' , , " " "≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡
si recordamos [0.], propiedades de la razón doble, nos queda
[ , ', , "] [ ' , , , "]
[ , ', , "]
[ , ', , "]d d OS OO d d OS OO
d d OS OO
d d OS OO= = ⇒ =1 12
La razón doble no puede ser 1 porque las cuatro rectas son distintas; luego
[ , ' , , "]d d OS OO = −1
Tomando P,P' en lugar de N,N' con
O MP M P' ' ' ' '= ∩
obtenemos
[ , ', , ' ' ']d d OS OO = −1
Dadas d y d', O es fijo. Dada h, S es fijo. Si O y S son fijos, la recta OS también es fija. Como -1 es una
constante, podemos escribir
[ , ' , , "] [ , ' , , ' ' ' ]d d OS OO d d OS OO=
y concluir que los puntos O, O'', O''' están alineados y la recta que los contiene es fija.
20
3. HOMOGRAFÍAS ENTRE RECTAS PROYECTIVAS Y HACES DE RECTAS
3.3 OTRO MÉTODO DE CONSTRUCCIÓN DE LA IMAGEN DE UN PUNTO
POR UNA HOMOGRAFÍA ENTRE DOS RECTAS PROYECTIVAS
Por un camino distinto al del eje de homografía, veremos como una homografía se descompone de infinitas
maneras en producto de dos proyecciones y con ello podremos construir, sólo con regla, la imagen por la
homografía de un punto dado.
Teorema 2
Sea h una homografía entre dos rectas proyectivas d, d' tal que
h d d tal que h M M M d: ' ( ) '→ = ∀ ∈
y dos puntos cualesquiera S y S' sobre la recta que une dos puntos correspondientes; existe una recta d" del
plano y dos proyecciones
π π: ", ': " 'd d d d→ →
tales que
h M d= ∀ ∈π π'o
Demostración 2 
Sean A, B, C tres puntos de d y A', B' C' tres puntos de d' que determinan h
h A A h B B h C C( ) ' , ( ) ' , ( ) '= = =
21
3. HOMOGRAFÍAS ENTRE RECTAS PROYECTIVAS Y HACES DE RECTAS
Sobre una recta que una dos puntos que se correspondan, por ejemplo AA', tomamos dos puntos arbitrarios
S y S'.
Definimos las proyecciones entre recta proyectiva y haz de recta
σ σ σ σ
σ σ σ σ
: * ( ) , ( ) , ( )
': ' '* '( ') ' ' , '( ') ' ' , ( ') ' '
d S tal que A SA B SB C SC
d S tal que A S A B S B C S C
→ = = =
→ = = =
Definimos ahora los siguientes tres puntos alineados
B SB S B C SC S C y A AA B C" ' ' , " ' ' " ' " "= ∩ = ∩ = ∩
Basta tomar
A SA S A" ' '= ∩
para poder asegurar que la biyección entre haces de rectas
σ σ σ σ*: * '* *( ) ' ' , * ( ) ' ' , * ( ) ' 'S S tal que SA S A SB S B SC S C→ = = =
es una proyección entre haces de rectas [2.] Teorema 3 y su eje de proyección es d"/B"C".
Hallada d", con centros respectivos en S y S', podemos definir las proyecciones entre rectas proyectivas
π π π π
π π π π
: " ( ) " ", ( ) " ", ( ) " "
': " ' ' ( ") ' " ' ' ' ' ' , ( ') ' ' " ", ( ') ' ' " "
d d tal que A SA d A B SB d B C SC d C
d d tal que A S A d S A d A B S B d B C S C d C
→ = ∩ = = ∩ = = ∩ =
→ = ∩ = ∩ = = ∩ = = ∩ =
Definidas estas dos proyecciones, podemos estudiar la composición
π π π
π π π
π π π
' ( ) '( ") ' ( )
' ( ) '( ") ' ( )
' ( ) '( ") ' ( )
o
o
o
A A A h A
B B B h B
C C A h C
= = =
= = =
= = =
Y de acuerdo con [1.] Corolario 1 como h y la composición coinciden en tres puntos distintos
h = π π'o
Corolario 2
La descomposición de h en dos proyecciones, permite la determinación de la imagen de cualquier punto
M de d sólo con la regla.
22
3. HOMOGRAFÍAS ENTRE RECTAS PROYECTIVAS Y HACES DE RECTAS
h M M SM d M S M d M d( ) ' ( ) '( ") '( ") ' " '= = ∩ = = ∩ ∀ ∈π π π πo
a) Tomamos dos puntos arbitrarios S, S' sobre AA'.
b) Trazamos B"=SB1S'B' y C"=SC1S'C'.
c) Obtenemos la recta d"=B"C".
d) Dado M 0d, hallamos M"=SM1d".
e) Determinamos M' como S'M"1d'.
Para trazar la imagen del punto infinito de d, basta llevar M al punto de infinito y SM será paralela a d.
h Jd( ) '∞ =
Análogamente para la ant-imagen del punto infinito de d', llevamos M' al punto de infinito y S'M' será
paralela a d'.
h I d( ) '= ∞
Recordemos que es costumbre denominar a I y J' puntos límite.
Otros puntos notables son
h d d h P P S P d h d d h Q Q SQ d( ") ( ) ' ' ' , ( " ') ( ') '∩ = = = ∩ ∩ = = = ∩− −1 1
23
3. HOMOGRAFÍAS ENTRE RECTAS PROYECTIVAS Y HACES DE RECTAS
Notas
La única condición que imponemos a S y S' centros de las dos proyecciones la de pertenecer a la recta AA'
y en esa recta su posición es arbitraria.
Por ello, ver figura, si tomamos
S A S A= =' , '
se cumple que
S A
S A
SQ d
S P d
=
=
⎫
⎬
⎭
⇒
=
=
⎧
⎨
⎩
'
'
' '
'
y por lo tanto
h d d h P P S P d d d O h d d h Q Q SQ d d d O( ") ( ) ' ' ' ' , ( " ') ( ') ' '∩ = = = ∩ = ∩ = ∩ = = = ∩ = ∩ =− −1 1
y en este caso
el eje de proyección de la proyección de haces σ* es el eje de homografía de la homografía h
En el caso en que h es una proyección entre rectas proyectivas
h d d h O O( ') ( )∩ = =
y por lo tanto O, P, P', Q, Q' coinciden; d" que todavía es el eje de homografía pasa por O y por lo tanto
sólo necesitamos dos pares de puntos correspondientes para determinar d" y por tanto h.
24
3. HOMOGRAFÍAS ENTRE RECTAS PROYECTIVAS Y HACES DE RECTAS
3.4 LAS HOMOGRAFÍAS ENTRE HACES Y LAS HOMOGRAFÍAS ENTRE
RECTAS PROYECTIVAS
Teorema 3
Dados en un mismo plano dos rectas proyectivas d, d' y dos puntos D, D'; si h es una homografía entre
rectas proyectivas
h d d tal que M d h M M d: ' ( ) ' '→ ∈ = ∈a
entonces la correspondencia h* entre haces de rectas
h D D tal que h DM D M M d*: * '* *( ) ' '→ = ∀ ∈
es una homografía entre haces de rectas.
Y el teorema dual. Si h* es una homografía entre haces de rectas
h D D tal que m D h m m D*: * '* * *( ) ' '*→ ∈ = ∈a
entonces la correspondencia h entre rectas proyectivas
h d d tal que h m d m d m d: ' ( ) ' '→ ∩ = ∩ ∀ ∈
es una homografía.
Demostración 3
Consideremos dos proyecciones (teorema 1)
σ σ σ σ: * ( ) ': ' '* '( ') ' ' ' 'd D con M DM M d y d D con M D M M d→ = ∀ ∈ → = ∀ ∈
Entonces
h DM D M M h M h DM h h M d*( ) ' ' '( ') ' ( ) ' ( ) * '= = = = ⇒ = ∀ ∈− −σ σ σ σ σ σo o o o o1 1
y como h* es una composición de homografías es a su vez una homografía.
Y para el dual
h m d m d m h m h m d h h m D( ) ' ' ' ( ' ) ' * ( ) ' * ( ) ' * *∩ = ∩ = = = ∩ ⇒ = ∀ ∈− − − −σ σ σ σ σ σ1 1 1 1o o o o o
y como h es una composición de homografías es a su vez una homografía.
25
3. HOMOGRAFÍASENTRE RECTAS PROYECTIVAS Y HACES DE RECTAS
26
3. HOMOGRAFÍAS ENTRE RECTAS PROYECTIVAS Y HACES DE RECTAS
3.5 EJERCICIOS
El alumno de los programas de educación de hoy adquiere una cierto manejo en tratar temas geométricos
analíticamente. Para crear una geometría proyectiva analítica de la recta, establecemos coordenadas
homogéneas en la recta proyectiva; pero el alumno sólo ha manejado coordenadas NO homogéneas. Si hay
más facilidad en el manejo la recta real ú ( puntos M de una recta representados por una abscisa x respecto
a un origen O) ¿Por qué no buscamos una identificación de ú con la recta proyectiva d que nos permita
pasar fácilmente de las abscisas de una a las coordenadas homogéneas de la otra y viceversa?
Esta identificación existe y para que sea completa hay que añadir a ú el elemento 4 para identificarlo con
el punto de infinito de la recta proyectiva ( ¡Ojo! {4}…{-4,4} ).
x R x x x x x d
x x d x x
x
R
∈ ∪ ∞ ≡ ≡ ≡ ∈
∈ = ∈ ∪ ∞
{ } ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) { }
a
a
1 1 1 2
1 2 1
2
λ λ λ
En particular
( , )
( , )
( , )
0 1 0
1 1 1
1 0
≡
≡
≡ ∞
Por lo tanto, si sobre la recta proyectiva definimos un sistema de coordenadas homogéneas mediante el
establecimiento de una referencia proyectiva, tenemos las herramientas para crear una geometría proyectiva
analítica. Es más, dadas las coordenadas homogéneas sabemos obtener su abscisa sobre la recta.
Ejercicio 3.01
Una biyección entre rectas proyectivas es una homografía si y sólo si conserva la razón doble de cuatro
puntos (Teorema 2).
Usar el teorema y establecer la representación analítica de una homografía h entre rectas proyectivas d,d'
h d d tal que x d h x x d: ' ( ) ' '→ ∈ = ∈a
Se darán dos representaciones analíticas de la homografía indicando sus restricciones:
(a) una explícita x h x' ( )=
(b) otra implícita f x x( , ') = 0
Utilizar cualquiera de las representaciones para demostrar el teorema1 y el corolario 1.
¿Cuál sería la representación de h en coordenadas homogéneas?
27
3. HOMOGRAFÍAS ENTRE RECTAS PROYECTIVAS Y HACES DE RECTAS
Ejercicio 3.02 GP VII 9
Dada, en forma implícita, una homografía como
Axx Bx Cx D A AD BC' ' , ,+ + + = ≠ − ≠0 0 0
determinar, en función de A, B, C y D, tres escalares α, β, η para pasar de la forma anterior a una nueva
expresión de la ecuación de la homografía como
x
x
x
x
'
'
−
−
=
−
−
α
β
η α
β
¿Qué significado tienen, concretamente, α y β?
 ¿Cómo cambia η si intercambiamos α y β?
Aprovechar la formulación anterior de una homografía para resolver el siguiente enunciado:
Sea h una transformación real de tipo homográfico. Definimos xi0ú, 1#i#n por el
siguiente proceso
h x x h x x h x x( ) , ( ) , ( )0 1 1 2 2 3= = = L
Expresar xn en función de x0. ¿Qué restricciones existen?
Ejercicio 3.03 GP VII 16-23
Se dan dos rectas d, d' y P un punto del plano que las contiene. Por P se traza una secante s cualquiera que
corta a d, d' en M, M' respectivamente. Demostrar que la correspondencia h entre M y M' expresada por
la siguiente ecuación
h d d tal que h M M
M s d
M s d
: ' ( ) '
' '
→ =
= ∩
= ∩
⎧
⎨
⎩
es una homografía entre rectas proyectivas y determinar su ecuación, calcular los puntos límite y
determinar la expresión correspondiente al teorema 7 (calcular k).
Determinar el eje de homografía correspondiente y buscar por medio de él la imagen de cualquier punto.
¿Qué relación se observa entre el eje de homografía y la recta que une los puntos límite? ¿Podría demostrar
esa relación en este caso?
¿Sabríamos encontrar una descomposición en dos proyecciones? Justificar convenientemente la
contestación.
28
3. HOMOGRAFÍAS ENTRE RECTAS PROYECTIVAS Y HACES DE RECTAS
Ejercicio 3.04 GP VII 18-25
Dado un círculo Γ, se consideran d, d' dos tangentes fijas del mismo. Una tercera tangente variable t
encuentra a d, d' en los puntos M, M' respectivamente. Demostrar que la tangente t induce una homografía
h entre d y d'
h d d tal que h M M
M t d
M t d
: ' ( ) '
' '
→ =
= ∩
= ∩
⎧
⎨
⎩
de la que estableceremos su ecuación, calcularemos los puntos límite y determinaremos la expresión
correspondiente al teorema 7 (calcularemos k).
Determinar el eje de homografía correspondiente y buscar por medio de él la imagen de cualquier punto.
¿Qué relación se observa entre el eje de homografía y la recta que une los puntos límite? ¿Podría demostrar
que esa relación se da en cualquier homografía entre rectas proyectivas?
¿Sabríamos encontrar una descomposición en dos proyecciones?
Ejercicio 3.05 GP VII 19-26
Se dan dos rectas d, d' y P un punto del plano que las contiene. Por P se trazan dos secantes variables s, s'
cuyo ángulo V entre ellas es un ángulo dado constante. s corta a d en el punto M y s' corta a d' en el punto
M'. Demostrar que la correspondencia entre M y M'
h d d tal que h M M
M s d
M s d
: ' ( ) '
' ' '
→ =
= ∩
= ∩
⎧
⎨
⎩
es una homografía entre rectas proyectivas y determinar su ecuación, calcular los puntos límite y
determinar la expresión correspondiente al teorema 7 (calcular k).
Determinar el eje de homografía correspondiente y buscar por medio de él la imagen M' de cualquier punto
M 0d.
¿Qué relación se observa entre el eje de homografía y la recta que une los puntos límite? ¿Podría demostrar
que esa relación se da en cualquier homografía entre rectas proyectivas?
¿Sabríamos encontrar una descomposición en dos proyecciones?
Ejercicio 3.06 GP VII 28
Sea un triángulo isósceles ABC y una recta d paralela a la base BC. Tomamos un punto cualquiera M sobre
d y trazamos las rectas BM, CM que cortan a AC, CB en N, P respectivamente. Demostrar que
1 1
BP CN
constante M d+ = ∀ ∈
Se tomará como sentido positivo de BP el de BA y en el caso de CN el de CA.
29
3. HOMOGRAFÍAS ENTRE RECTAS PROYECTIVAS Y HACES DE RECTAS
Ejercicio 3.07 GP VII 29
Se da un círculo Γ y dos puntos sobre él A, A'. Tomamos dos rectas cualesquiera d, d' en el plano de Γ.
Trazamos las rectas AM y A'M, AM corta a d en el punto P y A'M corta a d' en P'. Demostrar que existen
dos puntos I sobre d e I' sobre d' tales que
IP I P constante M⋅ = ∀ ∈' ' Γ
Ejercicio 3.08 GP VII 30-32
Sea P un punto variable sobre el círculo Γ circunscrito a un triángulo equilátero ABC; la recta BP encuentra
a la recta CA en un punto M y AP encuentra a CB en N. Demostrar la relación
,AM BN CA⋅ = 2
los sentidos positivos de AM y BN son respectivamente los de CA y CB.
Tomemos ahora dos puntos D, D' diametralmente opuestos sobre Γ y tracemos d, d' las tangentes al círculo
en esos puntos. Tomemos ahora un punto Q sobre el diámetro DD' y trazamos la recta PQ. Trazamos
por P la perpendicular a PQ que corta a d, d' en Z, Z' respectivamente. Demostrar que
.DZ D Z cons te Q DD⋅ = ∀ ∈' ' tan '
Ejercicio 3.09 S 2.1
Dado un cuadrilátero de vértices A, B, C, D tomar P, Q, R, S cuatro puntos sobre los lados AB, BC, CD,
DA respectivamente. Demostrar que si PQ1RS está sobre el lado AC, entonces PS1QR está sobre el lado
BD.
Escribir el dual del enunciado.
Ejercicio 3.10 S 2.2
Se dan dos rectas d, d' y un punto O de su plano que no pertenece a ellas. Sean A, B dos puntos alineados
con O. Una recta variable m que pasa por O corta a d en P y a d' en Q. Determinar el lugar geométrico
del punto AP1BQ.
Estudiar la situación dual.
Ejercicio 3.11 S 2.3
Sea un punto A y dos rectas p, q que se cortan en un punto O. Dos rectas d, d' que pasan por A y son
simétricas respecto a OA cortan a p, q en P,Q respectivamente. Demostrar que la recta PQ pasa por un
punto fijo.
Ejercicio 3.12 S 2.4
Sea ABC un triángulo. Por el pie A' de la altura por A, se trazan las perpendiculares a los lados AB y AC
que cortan a las perpendiculares a BC desde B y C en los puntos P, Q respectivamente. Demostrar que P,
Q están alineados con H el ortocentro del triángulo.
30
3. HOMOGRAFÍAS ENTRE RECTAS PROYECTIVAS Y HACES DE RECTAS
Ejercicio 3.13 S 2.5
Dos rectas p, p' que pasan por un punto A y dos rectas q, q' que pasan por un punto B forman un
cuadrilátero. Una recta a que pasa por A corta a q, q' en Q, Q'; unarecta b que pasa por B corta a p, p' en
P, P'. Determinar el lugar de los puntos PQ1P'Q' y PQ'1P'Q.
Ejercicio 3.14 ( el teorema de Pappus) S 2.6
Sean A, B, C tres puntos de una recta d y A', B', C' tres puntos de una recta d'. Por el teorema de Pappus
los puntos P=AB'1A'B, Q=AC'1A'C y R=BC'1B'C están alineados. Establecer este resultado mostrando
que P y Q se corresponden en una perspectiva de centro R.
Ejercicio 3.15 S 2.7
Una recta d corta los lados AB, BC, CA de un triángulo ABC en A', B', C' respectivamente. Sea
L=AB'1BC', M=BC'1CA' y N=CA'1AB'. Mostrar que las rectas AM, BN, CL son concurrentes.
Ejercicio 3.16 S 2.8
Sea ABC un triángulo, E un punto de AB, y F un punto de AC, la paralela a BF por el E corta a AC en H
y la paralela a CE que pasa por F corta a AB en G. Mostrar que la recta GH es paralela al lado BC.
Ejercicio 3.17 S 2.12 
Encontrar el teorema de Tales con ayuda del teorema 3 que caracteriza a las proyecciones.
Ejercicio 3.18 S 2.11 
Sea h una homografía entre las rectas a y b
.h a b con
h A B
h A B
h A B
h A B
:
( )
( )
( )
( )
→
=
=
=
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
1 1
2 2
3 3
4 4
 Demostrar que los cuatro puntos
A B A B
A B A B
A B A B
A B A B
1 4 3 2
2 4 3 1
1 1 2 2
4 1 2 3
∩
∩
∩
∩
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
 están alineados.
Escribir el dual de este enunciado.
31
3. HOMOGRAFÍAS ENTRE RECTAS PROYECTIVAS Y HACES DE RECTAS
Ejercicio 3.19 C 99
Sea s una biyección entre rectas proyectivas d, d'
s d d con s M M M d M d: ' ( ) ' ( ' ')→ = ∀ ∈ ∈
dicha biyección se denomina semejanza si existe una constante k tal que
.
MN
M N
k M N d
' '
,= ∀ ∈
Si k>0 la semejanza se llama directa, si k<0 se llama inversa.
Para k=1 la semejanza recibe el nombre de congruencia directa e inversa si k=-1.
Demostrar que toda semejanza es una homografía entre rectas proyectivas.
¿Cuáles son la imagen y la ant-imagen del punto d1d'? Trazar su eje de homografía. ¿Qué se puede decir
del eje si la semejanza es una congruencia?.
Determinar los puntos límite.
Demostrar que si en una homografía entre rectas proyectivas, los respectivos puntos de infinito 4d, 4d' de
cada recta se corresponden, la homografía es una semejanza.
Demostrar que una semejanza queda definida por dos pares de puntos homólogos.
Ejercicio 3.20 GP 59-60
Sean dos rectas paralelas d, d' y un punto O de su plano. Por O se traza una recta variable que encuentra
a d, d' en M, M' respectivamente. Demostrar que la biyección
h d d tal que h M M M d: ' ( ) '→ = ∀ ∈
es una semejanza.
¿Cuáles son la imagen y la ant-imagen del punto d1d'? Trazar su eje de homografía. Y determinar la
imagen de un punto M prescindiendo de la construcción del enunciado.
Determinar los puntos límite.
Y demostrar recíprocamente que, si h es una semejanza entre rectas paralelas, las rectas que unen pares de
puntos homólogos, pasan por un punto fijo.
32
3. HOMOGRAFÍAS ENTRE RECTAS PROYECTIVAS Y HACES DE RECTAS
Ejercicio 3.21 interpretación personal S 2.9 -2.10 B C 116
Me presento a mi examen de dibujo técnico con tan mala pata que olvido todas mis herramientas de dibujo
en el autobús. De mis compañeros sólo consigo un lápiz, un papel pequeño y una regla de bordes paralelos,
plana sin ninguna graduación, más bien corta y a punto de romperse. El papel es de tan alta calidad que se
aprecia de forma clara la marca de agua del fabricante consistente en un rectángulo inscrito en un círculo.
En la primera cuestión, me piden que construya el punto medio de un segmento AB.
Segunda cuestión, dados un punto y dos rectas, trazar una recta que pase por el punto dado y el punto de
intersección de las rectas. Se valora el presentar varios métodos. ¡Las rectas dadas se cortan fuera del papel!
Como tercera cuestión proponen hallar la intersección entre una recta dada y otra recta definida por dos
puntos. Los dos puntos están tan separados que la regla no me llega para trazar la recta por ellos.
Para la cuarta cuestión, me piden que por un punto dado trace la paralela a una recta dada.
En la quinta y última, con el punto y la recta de la cuarta, trazar la perpendicular por el punto a la recta.
Sorprendentemente veo que todo se puede hacer y me pongo manos a la obra.
Mi mala pata no acaba ahí, cuando voy a contestar la cuarta cuestión, se me acaba de romper la regla a lo
largo y sólo puedo usar uno de los bordes.
Para colmo de males, una vez acabado, al comprobar la tercera cuestión veo que, a pesar de haberla resuelto
sin unir los dos puntos y aun teniendo la regla corta, podía haber trazado la recta que unía los dos puntos.
Si el del examen fueras tú ¿Cómo lo harías? Explicar las operaciones a realizar y su justificación. Y a pesar
de que no ha sido necesario ¿Cómo se traza la recta entre dos puntos si la longitud de la regla es menor que
la distancia entre los dos puntos?
Ejercicio 3.22 GP 61-62 
En un plano se dan dos rectas d, d' que se cortan en un punto O. Dada una tercera recta cualquiera r,
tomamos un punto variable M de d. Una paralela a r por M corta a d' en M'. Demostrar que la biyección
h d d tal que h M M M d: ' ( ) '→ = ∀ ∈
es una semejanza.
¿Cuáles son la imagen y la ant-imagen del punto d1d'? Trazar su eje de homografía. Y determinar la
imagen de un punto M prescindiendo de la construcción del enunciado.
Determinar los puntos límite.
Y demostrar recíprocamente que, si en una semejanza entre rectas proyectivas el punto de intersección de
las dos rectas es homólogo de sí mismo, las rectas que unen pares de puntos homólogos, son paralelas.
33
3. HOMOGRAFÍAS ENTRE RECTAS PROYECTIVAS Y HACES DE RECTAS
Ejercicio 3.23 GP 63-64
En un mismo plano tenemos 5 rectas d, d', m, m', n. Por N un punto cualquiera de n trazamos paralelas
a m y a m' que cortan respectivamente a d y a d' en M y M'. Demostrar que es una semejanza la biyección
.h d d tal que h M M M d: ' ( ) '→ = ∀ ∈
¿Cuáles son la imagen y la ant-imagen del punto d1d'? Trazar su eje de homografía. Y determinar la
imagen de un punto M prescindiendo de la construcción del enunciado.
Determinar los puntos límite.
Y demostrar recíprocamente que dadas en un mismo plano una semejanza h entre dos rectas d, d' y dos
rectas m, m'. Si por un punto M de d se traza una paralela a m y por el punto correspondiente en la
semejanza M' se traza una paralela a m' que se cortan en N; entonces el lugar geométrico de N es una recta.
Ejercicio 3.24 GP 67
Sobre la recta que une los puntos homólogos M, M' de una semejanza, se toma un punto N definido por
la siguiente igualdad
NM
NM
k
'
=
donde k designa una constante. Demostrar que el lugar geométrico del punto N es una recta.
Ejercicio 3.25 GP ½ 68
Sea un triángulo OAB. Por un punto cualquiera N de AB trazamos paralelas a OB y a OA que cortan
respectivamente a OA y OB en los puntos M y M'.
Hallar el lugar geométrico del ortocentro del triángulo OMM'.
Ejercicio 3.26 GP b 69
Sean dos rectas OX, OY y un punto A en su plano. Trazamos Γ un círculo cualquiera por O, A. Este
círculo corta a OX , OY respectivamente en M, M'.
Determinar el lugar geométrico del baricentro del triángulo OMM' y el lugar geométrico del centro del
círculo circunscrito a este mismo triángulo.
Ejercicio 3.27 VY III 2-2'
Dados tres puntos A, B, C, de una recta d y dados tres puntos A', B', C' de d', encontrar cuantas
homografías existen que hacen corresponder a A, B, C alguna de las seis permutaciones de A', B', C'.
Establecer dichas homografías y determinar para cada una de ellas la imagen M' de otro punto M de d.
Añadimos a A, B, C un punto más D perteneciente a d y a A', B', C' otro D' perteneciente a d'. ¿Cuántas
homografías existen que hagan corresponder a A, B, C, D alguna de las permutaciones de A', B', C', D'?
Determinar dichas homografías y establecer para cada una de ella la imagen M' de otro punto M de d.
34
3. HOMOGRAFÍAS ENTRE RECTAS PROYECTIVAS Y HACES DE RECTAS
Ejercicio 3.28 VY III 3
Dadas, en el mismo plano, tres rectas d, d', d"concurrentes en un mismo punto O, tenemos la proyección
σ1 de centro S1 ded en d'
σ σ1 1 1: ' ( ) ' 'd d tal que M M S M d M d→ = = ∩ ∀ ∈
y la proyección σ2 de centro S2 de d' en d"
σ σ2 1 2: ' " ( ') " ' " ' 'd d tal que M M S M d M d→ = = ∩ ∀ ∈
Demostrar que la composición de proyecciones
σ σ σ σσ σ: ' " ( ) ( ) "d d d con M M M M d1 2 2 1⎯ →⎯⎯ ⎯ →⎯⎯ = = ∀ ∈o
Es una proyección cuyo centro es un punto S alineado con S1 y S2.
Ejercicio 3.29 GP 74 y 83
Se dan, en un mismo plano, una recta d y dos puntos O, O'. Dado M un punto variable de d, trazamos las
rectas OM, O'M. Demostrar que es una homografía la correspondencia
h O O tal que h OM O M M d*: * '* *( ) '→ = ∀ ∈
Hallar el centro de homografía y construir la imagen de una recta cualquiera de O* prescindiendo de la
recta d.
Hallar la imagen de la recta OO' y la ant-imagen de la recta O'O.
Ejercicio 3.30 GP 75
Se da un círculo Γ y dos puntos O, O' sobre el mismo. Tomamos sobre Γ un punto variable M y trazamos
las rectas OM y O'M. Demostrar que es una homografía la correspondencia
h O O tal que h OM O M M*: * '* *( ) '→ = ∀ ∈Γ
Hallar el centro de homografía y construir la imagen de una recta cualquiera de O* prescindiendo del
círculo Γ
Hallar la imagen de la recta OO' y la ant-imagen de la recta O'O.
35
3. HOMOGRAFÍAS ENTRE RECTAS PROYECTIVAS Y HACES DE RECTAS
Ejercicio 3.31 GP 79
Sean en un mismo plano tres rectas a, b, c que concurren en un mismo punto O y tres rectas a', b', c' que
concurren en otro mismo punto O'. A toda recta m que pasa por O se le hace corresponder una recta m'
que pasa por O' de manera que
[ , , , ] [ ' , ' , ' , ']a b c m a b c m=
Demostrar que la correspondencia
h O O tal que h m m m O*: * '* *( ) ' *→ = ∀ ∈
es una homografía entre haces de rectas. ¿Cuáles son las imágenes de a, b, c?
Ejercicio 3.32 GP 91
Se da un triángulo ABC y dos puntos P, Q sobre el lado BC. Una recta cualquiera trazada por P corta a AB,
AC respectivamente en N, N'. Trazamos las rectas BN', CN que se cortan en un punto M. Hallar el lugar
geométrico del punto M.
Ejercicio 3.33 GP 92
En el plano de un triángulo ABC tomamos dos puntos O, O'. Sobre el lado BC tomamos un punto
variable N. Trazamos las rectas ON, O'N que encuentran a los lados AB, AC en A', B' respectivamente.
Hallar el lugar geométrico del punto M intersección de las rectas OA', O'B'.
Ejercicio 3.34 GP 93
Dado un triángulo ABC, tomamos sobre CA un punto variable A'. Sobre CB tomamos un punto variable
B' tal que
.AA BB' '=
¿Cuál es el lugar geométrico M punto de encuentro de AB' y BA'.
Ejercicio 3.35 GP 94
Se dan dos segmentos paralelos AA', BB'. Tomamos M' un punto cualquiera de A'B'. Por el punto A'
trazamos una paralela a BM' y por el punto B' una paralela a AM'. Estas dos paralelas se cortan en un
punto M cuyo lugar geométrico se pide.
Ejercicio 3.36 GP 95
Dado un círculo y un diámetro del mismo de extremos A y B; llamamos polar, por ahora, de un punto C del diámetro a la
perpendicular al diámetro y que pasa por el punto D conjugado armónico de C respecto A, B.
Se dan dos círculos Ω, Ω' de centros respectivos O, O' y una recta cualquiera d perpendicular a la línea de
centros. Tomamos sobre d un punto arbitrario P. Se pide hallar el lugar geométrico del punto Q
intersección de las polares de P respecto a Ω y Ω'.
36
3. HOMOGRAFÍAS ENTRE RECTAS PROYECTIVAS Y HACES DE RECTAS
Ejercicio 3.37 GP 96
Una recta cualquiera d corta a los lados BC, CA, AB de un triángulo ABC en los puntos A", B", C"
respectivamente. Sean A', B', C' los simétricos de A, B, C respecto de un punto cualquiera O de d.
Demostrar que las rectas A'A", B'B", C'C" pasan por un mismo punto M cuyo lugar geométrico, al
desplazarse O sobre d, se determinará.
Ejercicio 3.38 GP 97-49
Demostrar que si los lados A1A2, A2A3, A3A1 de un triángulo móvil A1A2A3 pasan respectivamente por
los puntos fijos O12, O23, O31 situados en línea recta y dos de los vértices A1, A2 describen
respectivamente dos rectas fijas d1, d2, el tercer vértice A3, se desplaza igualmente por una recta fija d3 que
pasa por el punto de intersección de d1, d2.
Deduzca, de lo anterior, la segunda parte del primer teorema de Desargues, [1.3] teorema 4: Dados dos
triángulos ABC, A'B'C', si los puntos
L BC B C M CA C A N AB A B= ∩ = ∩ = ∩' ' , ' ' , ' '
están alineados, las rectas AA', BB', CC' que unen los vértices son concurrentes.
Escriba ahora el enunciado dual y establezca su demostración sin dualizar la anterior.
Deduzca, del enunciado dual, la primera parte del primer teorema de Desargues, [1.3] teorema 4: Dados
dos triángulos ABC, A'B'C', si las rectas AA', BB', CC' que unen los vértices son concurrentes, los puntos
L BC B C M CA C A N AB A B= ∩ = ∩ = ∩' ' , ' ' , ' '
están alineados.
Ejercicio 3.39
En un mismo plano, sean tres rectas a, b, c que concurren en un punto O y tres rectas a', b', c' que
concurren en un punto O'. Si consideremos h* la homografía entre haces de rectas definida por
 h O O con
h a a
h b b
h c c
*: * '*
*( ) '
* ( ) '
* ( ) '
→
=
=
=
hallemos la imagen de cualquier recta d que pase por O.
37
3. HOMOGRAFÍAS ENTRE RECTAS PROYECTIVAS Y HACES DE RECTAS
Ejercicio 3.40 GP 104
Dados dos haces O, O' respectivamente y una recta d. Sea h* la homografía entre haces de rectas definida
por
h O O con
h a a
h b b
h c c
*: * '*
*( ) '
* ( ) '
* ( ) '
→
=
=
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
Se pide construir una recta d' tal que la biyección
β β: ' ( ) ' * ( ) 'd d tal que M M h OM d→ = = ∩
sea una semejanza entre rectas proyectivas.
Ejercicio 3.41 C 101-109
Desde el ejercicio 3.20 al 3.24 y ejercicio 3.40 hemos tratado las semejanzas y las congruencias entre rectas
proyectivas. En este ejercicio definiremos lo que son haces semejantes y haces congruentes.
Mediante la proyección de un haz sobre dos rectas paralelas, indique una manera sencilla de:
(a) establecer una congruencia directa.
(b) establecer una congruencia inversa.
De lo anterior diremos que dos haces con centro en infinito son semejantes si la proyección del primero
sobre una recta es semejante a la proyección del segundo sobre otra recta.
Diremos que dos haces son directamente congruentes si el ángulo que forman dos rectas cualesquiera del
primer haz es igual al ángulo que forman sus rectas homólogas en el segundo haz en magnitud y sentido.
Demuestre entonces que dos haces son directamente congruentes si los distintos ángulos que forman entre
sí tres rectas del primer haz son iguales a los distintos ángulos que forman entre sí sus rectas
correspondientes en el segundo haz.
Sean dos haces congruentes. Si tomamos una recta cualquiera del primero y la hacemos girar en un sentido,
su recta homóloga girará el mismo ángulo, está claro que si el giro es en el mismo sentido, la congruencia
es directa y si es en sentido contrario la congruencia es inversa. En este segundo caso, supongamos que el
segundo haz se desplaza paralelo a sí mismo hasta superponerse los centros. Seguiría habiendo una
congruencia; pero en este caso habría unas rectas imágenes de sí mismas. Caracterice dichas rectas.
Demuestre de esto último que en dos haces congruentes cualesquiera hay dos rectas del primer haz que son
paralelas a sus homólogas en el segundo ¿Qué ángulo forman esas dos rectas?
Demuestre también que si en dos haces homográficos tres pares de rectas correspondientes forman el mismo
ángulo en magnitud y sentido entonces todas las rectas del primero forman con sus homólogas del segundo
ese mismo ángulo.
38
3. HOMOGRAFÍAS ENTRE RECTAS PROYECTIVAS Y HACES DE RECTAS
Ejercicio 3.42
Mediante la proyección de un haz sobre la recta d definida por dos puntos A, B, hallar el punto C
conjugado armónico del punto de infinito 4d de la recta d.
Sea otra recta d' y cuatro puntos de ella A', B', C', D' con C', D' conjugados armónicos de A', B', si
tenemos un segmento AB y su punto medio C, trazar por un punto cualquiera S de AA' una paralela a AB.
Con los puntos anteriores A', B', C', D', A, B, C trazar por un punto cualquiera T una paralela a AB.
Ejercicio 3.43
Utilice la forma más general del teorema 2 de [3.3]para hallar la imagen de un punto en la homografía
definida en el ejercicio 3.04.
Hallar del mismo modo la imagen de un punto en la homografía del ejercicio 3.05.
Ejercicio 3.44
Escriba el dual del teorema 2 de [3.3.]
Use el dual escrito hallar la imagen de una recta cualquiera en la homografía definida en el ejercicio 3.31.
Hallar del mismo modo la imagen de una recta en la homografía del ejercicio 3.30.
39
40
4. HOMOGRAFÍAS DE UNA RECTA PROYECTIVA SOBRE SÍ MISMA
4.1 GENERALIDADES
Se cumplen aquí todas las generalidades de las homografías entre rectas proyectivas que hemos visto en [1.]
1.1 GENERALIDADES; en especial el Teorema 1 y el Teorema 2 y también sus corolarios.
Cambia el método de construcción de la imagen de un punto y, en este caso, se verá que, en general, una
homografía de la recta proyectiva sobre sí misma se descompone en producto de tres proyecciones.
Y aparece una nueva noción, el punto fijo (también llamado punto doble y punto unido).
4.2 PUNTO FIJO
Definición 1 (PUNTO FIJO)
Dada una homografía h de una recta proyectiva d sobre sí misma, un punto P de la recta d se define como
punto fijo de la homografía, si coincide con su imagen por la homografía.
h d d si P d tal que h P P P es un punto fijo: ( ) , .→ ∃ ∈ =
Teorema 1
Una homografía de la recta proyectiva sobre si misma con tres puntos fijos distintos es la identidad Id.
Demostración 1
Basta recordar el Corolario 1 de [1.], dos homografías entre rectas proyectivas que coinciden sobre tres
puntos distintos son iguales. Sean A, B, C los tres puntos fijos
h d d tal que A B C son fijos h A A h B B h C C
I d d tal que I X X X d I A A I B B I C Cd d d d d
: , , ( ) , ( ) , ( )
: ( ) ( ) , ( ) , ( )
→ ⇒ = = =
→ = ∀ ∈ ⇒ = = =
concluimos que h es la identidad.
Corolario 1
Una homografía de una recta proyectiva distinta de la identidad tiene a lo sumo dos puntos fijos.
Definición 2
Una homografía de una recta proyectiva (real) recibe el nombre de elíptica, parabólica o hiperbólica según
tenga cero, uno o dos puntos fijos.
Teorema 2
Si P,Q 0 d son los puntos fijos de una homografía h de la recta proyectiva d sobre sí misma, entonces lo
son también de la homografía inversa.
Demostración 2
h P P h h P h P P h P( ) ( ( )) ( ) ( )= ⇒ = ⇒ =− − −1 1 1
41
4. HOMOGRAFÍAS DE UNA RECTA PROYECTIVA SOBRE SÍ MISMA
4.3 DETERMINACIÓN DE LA IMAGEN SÓLO CON LA REGLA
Teorema 3
Sea h una homografía de una recta proyectiva d sobre sí misma
 h d d tal que M M M d: ( ) '→ = ∀ ∈γ
y dos puntos cualesquiera S y S" del plano proyectivo que contiene a d; existe un punto S' del plano y tres
proyecciones
π π π: " ' , ': " ' , ": , ' ' ( )d S A S A SA SA d con A A d y A h A→ → → ∈ =
tales que
h M d= ∀ ∈π π π" 'o o
Demostración 3
Sean A, B, C, A', B', C' seis puntos de d que determinan h
h A A h B B h C C( ) ', ( ) ', ( ) '= = =
Está claro que si proyectamos desde Z un punto cualquiera del plano los puntos A, B, C o A', B', C' sobre
d1 una recta cualquiera del plano hemos sustituido la proposición anterior por la [3.] Teorema 2 y por tanto
usamos la descomposición en dos proyecciones allí establecida y concluimos.
 Por ejemplo, si tomamos d1=A'S", Z=S y a π como proyección inicial tenemos
π π π π: ' " ( ) ' ", ( ) ' ", ( ) ' "d A S tal que A A SA A S B B SB A S C C SC A S→ = = ∩ = = ∩ = = ∩1 1 1
Es decir, pasamos a estudiar la siguiente homografía
β β β β: ' " ( ) ', ( ) ' , ( ) 'A S d tal que A A B B C C→ = = =1 1 1
42
4. HOMOGRAFÍAS DE UNA RECTA PROYECTIVA SOBRE SÍ MISMA
Pero
A h A h A B h B h B C h C h C' ( ) ( ), ' ( ) ( ), ' ( ) ( )= = = = = =− − −o o oπ π π1 1 11 1 1
Como β y la composición hBπ-1 coinciden en tres puntos, son idénticas
β π= −h o 1
Por otra parte, por el Teorema 2 de [3.3] si tomamos la proyección con centro en S"
π π π π" " ( ') " ' , " ( ') ' " ' , " ( ') ' " 'AS d y A A S A AS B B S B AS C C S C AS→ = = ∩ = = ∩ = = ∩− − −1 1 11 1 1
y después de definir el punto
S B B C C' ' '= ∩1 1 1 1
tomamos la proyección con centro en S'
π π π π' ' " '( ) ' ' , '( ) ' ' , '( ) ' 'A S AS y A A S A AS B B S B AS C C S C AS→ = = ∩ = = ∩ = = ∩1 1 1 1 1 1 1 1 1
podemos descomponer la homografía β en composición de las dos proyecciones π"-1Bπ'
β π π= " 'o
e igualando resultados
β π π π π π π= = ⇒ =−h ho o o o1 " ' " '
h A A A A A
h B B B B B
h C C C C C
( ) " ' ( ) " '( ) "( ) '
( ) " ' ( ) " ( ) "( ') '
( ) " ' ( ) " ( ) "( ') '
= = = =
= = = =
= = = =
π π π π π π
π π π π π π
π π π π π π
o o o
o o o
o o o
1 1
1 1
1 1
y de aquí para hallar la imagen de M
a) Elegimos S y S" en el mismo plano que d.
b) Con centro S proyectamos A, B, C sobre S"A' y obtenemos A1, B1, C1.
c) Con centro S" proyectamos A', B', C' sobre SA y obtenemos B1', C1'.
d) Obtenemos S'=B1B1'1C1C1'.
e) Proyección de M por π , obtenemos M1=SM1S"A'.
f) Proyección de M1 por π', obtenemos M1'=S'M11SA.
g) Proyección de M1' por π", obtenemos M''=S"M1'1d.
43
4. HOMOGRAFÍAS DE UNA RECTA PROYECTIVA SOBRE SÍ MISMA
4.4 PUNTOS LÍMITE - CONSTRUCCIÓN DE PUNTOS FIJOS
Hemos visto en [1.5] teorema 7 que para toda homografía se cumple
IM J M k⋅ =' '
Ahora, la relación se sigue cumpliendo; pero I, M, J' y M' son puntos de la misma recta d.
Por ello, tiene sentido tomar en consideración el punto O, punto medio de IJ' y el punto O' su imagen por
la homografía de la recta sobre sí misma. Entonces también se cumplirá
IM J M IO J O OM OI OM OJ OI OO OJ⋅ = ⋅ ⇒ − ⋅ − = − ⋅ −' ' ' ' ( ) ( ' ' ) ( ' ')
como OJ'=-OI
( ') ( ' ') ' ( ' ') ' ' ( ' ' )OM OJ OM OJ OJ OO OJ OM OM OJ OM OM OO+ ⋅ − = ⋅ − ⇒ ⋅ = ⋅ − +
Esta relación aplicada a los puntos fijos (M=M'=P) se convierte en
OP OP OJ OP OP OO OJ OO OP OJ OO⋅ = ⋅ − + = ⋅ ⇒ = ⋅' ( ' ) ' ' ' '2
Cuando O no está entre J' y O' entonces OJ'·OO' es positivo y por tanto existen dos puntos fijos P, Q que
obviamente equidistan de O y son tales que (demostrar esta razón doble).[ , , ' , ']P Q J O = −1
Cuando O está entre J' y O' entonces OJ'·OO' es negativo y no puede haber puntos fijos,
Cuando O coincide con O' entonces OJ'·OO' se anula y existe un sólo punto fijo O=P=O'.
La recta de S* paralela a d nos permite construir el punto límite I y la recta de S"* paralela a d nos permite
construir el otro punto límite J'. Con ellos hallamos O y a su vez O' y los puntos fijos por medio de la
tangente desde O a un círculo que pase por J' y O'.
44
4. HOMOGRAFÍAS DE UNA RECTA PROYECTIVA SOBRE SÍ MISMA
4.5 HOMOGRAFIAS HIPERBÓLICAS
Teorema 4
Sea una biyección β de la recta proyectiva d sobre sí misma que admite dos puntos fijos distintos P, Q
β
β
β
: ,
( )
( )
d d
P
Q
con P Q tal que
P
Q
P
Q
→ ∃
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
≠
=
=
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
Esta biyección es una homografía si y sólo si se verifica la siguiente relación
[ , , , ( )]P Q M M k M d tal que
M P
M Q
β = ≠ ∀ ∉
≠
≠
⎧
⎨
⎩
0
k recibe el nombre de parámetro característico de la homografía hiperbólica.
Demostración 4
Sea h una homografía de puntos fijos P, Q. Sean M…N dos puntos diferentes de P y Q; escribimos
h(M)=M' y h(N)=N', la conservación de la razón doble nos permite escribir
[ , , , ] [ ( ), ( ), ( ), ( )] [ , , ', ']P Q M N h P h Q h M h N P Q M N= =
y calculando esas razones dobles
[ , . . ] [ , , ', '] : '
'
: '
' '
:
' '
:
'
[ , . . '] [ , , , 'P Q M N P Q M N PM
PN
QM
QN
PM
PN
QM
QN
PM
PM
QM
QM
PN
PN
QN
QN
P Q M M P Q N N= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
Recíprocamente, sea N distinto de P, Q y sea N' definido por la relación
[ , , , ' ]P Q N N k= ≠ 0
Gracias a [1.] Teorema 1, sabemos que existe una única homografía
β β β β: ( ) , ( ) , ( ) 'd d tal que P P Q Q N N→ = = =
Y por la primera parte de este teorema 4,
k P Q M M P Q M h M M d= = ∀ ∈[ , , , ( )] [ , , , ( )]β
que por las propiedades de la razón doble, vistas en [0.], se deduce
h M M M d( ) ( )= ∀ ∈β
45
4. HOMOGRAFÍAS DE UNA RECTA PROYECTIVA SOBRE SÍ MISMA
Notas 1
Tomando como origen Q y P como punto del infinito, tenemos
k P Q M M PM
PM
QM
QM
QM
QM
k= = = =[ , , , ']
'
:
'
'
La homografía es una homotecia de centro Q y razón k. Si k=1 ka homografía es laidentidad. Si k=-1
la homografía es una simetría central.
Teorema 5
La composición de dos homografías hiperbólicas es hiperbólica; y su parámetro característico es el producto
de los parámetros de cada una de las dos homografías.
Demostración 5
Sea Υ una homografía hiperbólica de un recta proyectiva d sobre sí misma de puntos fijos P, Q y de
parámetro característico g
[ , , , ( )]P Q M M gγ =
Sea β una homografía hiperbólica de un recta proyectiva d sobre sí misma de puntos fijos P, Q (los mismos
que Υ) y parámetro característico b
[ , , , ( )]P Q M M bβ =
Entonces
[ , , , ( )] [ , , , ( )] ( )
( )
( )
( )
P Q M M P Q M M P M
Q M
Q M
P M
β γ β γ
γ
γ
γ
γ
o o
1 2444 3444
= ⋅ ⋅
1
[ , , , ( )] ( )
( )
( )
( ) ( )
:
( )
( )
( )
( )
( )
P Q M M P M
Q M
Q M
P M
PM
P M
QM
Q M
P M
Q M
Q M
P M
β γ γ
γ
γ
γ β γ β γ
γ
γ
γ
γ
o
1 2444 3444
o o
⋅ ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⋅ ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
y ordenando convenientemente
PM
P M
QM
Q M
P M
Q M
Q M
P M
PM
P M
QM
Q M
P M
P M
Q M
Q Mβ γ β γ
γ
γ
γ
γ γ γ
γ
β γ
γ
β γo o o o( )
:
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
:
( )
( )
( )
: ( )
( )
⋅ ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
PM
P M
QM
Q M
P M
P M
Q M
Q M
P Q M M P Q M M
γ γ
γ
β γ
γ
β γ
γ γ β γ
( )
:
( )
( )
( )
: ( )
( )
[ , , , ( )] [ , , ( ), ( ( ))]
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⋅
o o
[ , , , ( )] [ , , ( ), ( ( ))]P Q M M P Q M M g bγ γ β γ⋅ = ⋅
46
4. HOMOGRAFÍAS DE UNA RECTA PROYECTIVA SOBRE SÍ MISMA
Teorema 6
Sean Υ, β dos homografías hiperbólicas de una recta proyectiva d que tienen cada una un par de puntos fijos
distintos; además Υ es distinta de Υ -1. Estas homografías conmutan si y sólo si poseen los mismos puntos
fijos.
Demostración 6
Si Υ, β poseen los mismos puntos fijos P, Q; œ M0 d
[ , , , ( )]
[ , , , ( )]
[ , , , ( )] [ , , , ( )] ( ) ( )
P Q M M g b
P Q M M b g
P Q M M P Q M M M M
β γ
γ β
β γ γ β β γ γ β
o
o
o o o o
= ⋅
= ⋅
⎫
⎬
⎭
⇒ = ⇒ =
Si Υ, β conmutan
γ β β γ β β γ
γ β β γ β β γ
o o
o o
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
P P P P es un punto fijo de
Q Q Q Q es un punto fijo de
= = ⇒
= = ⇒
Entonces debe ser
β β( ) ( )P P y Q Q= =
ya que si P y Q no fueran puntos fijos de β tendríamos
β β( ) ( )P Q y Q P= =
y como por las propiedades de las razones dobles vistas en [0.]
[ , , ( ), ] [ , , , ( )]Q P M M P Q M Mβ β=
Obtenemos
[ , , ( ), ] [ , , , ( )] [ ( ), ( ), ( ), ( ( ))] [ , , ( ), ( )]Q P M M P Q M M P Q M M Q P M Mβ β β β β β β β β= = = 2
de donde
[ , , ( ), ( )] [ , , ( ), ] ( )Q P M M Q P M M M M I M ddβ β β β β
2 2 2= ⇒ = ⇒ = ∀ ∈
y como Υ, β conmutan por razonamiento parecido al anterior
β γ γ β γ β γ γ β γ γ βo o o o o( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P P Q Q y Q Q P P I M dd= = = = = = ⇒ = ∀ ∈
2
y en consecuencia podemos escribir
γ γ β β β γ β β γ β β β γ γ= = = = =− − − −o o o o o o o o( ) 1 1 1 1
lo que contradeciría la hipótesis del enunciado Υ…Υ -1.
47
4. HOMOGRAFÍAS DE UNA RECTA PROYECTIVA SOBRE SÍ MISMA
Teorema 7
Dados los puntos P, A, A', B, B' de una recta proyectiva d. Existe una homografía Υ y sólo una que tiene
a P por punto fijo y que transforma a A en A' y a B en B' ( con la des composición de Υ en sólo dos
proyecciones, hallamos la imagen de cualquier punto y también el segundo punto doble sólo con la regla).
Demostración 7
(1) Sea S un punto cualquiera de un plano proyectivo que contenga a d. Consideremos la proyección
σ de la recta proyectiva d sobre el haz de rectas S*
σ σ σ σ: * ( ) , ( ) , ( )d S con P SP A SA B SB→ = = =
Sea también S' 0 SP otro punto del plano que contiene a d y a S. Consideremos la proyección σ'
de la recta proyectiva d sobre el haz de rectas S'*
σ σ σ σ': '* '( ) ' , ' ( ) ' ' , '( ') ' 'd S con P S P A S A B S B→ = = =
Y consideremos ahora la homografía entre haces de rectas σ*
σ σ σ σ*: * '* *( ) ' , * ( ) ' ' , * ( ) ' 'S S con SP S P SA S A SB S B→ = = =
Tal como hemos escogido S' y σ*
S SP SP SS S S SS S S' ' ' * ( ') '∈ ⇒ ≡ ≡ ⇒ =σ
de lo que deducimos que σ* es una proyección de haces de rectas ( [2.] Teorema 3). Al ser σ* una
proyección entre haces, el lugar geométrico de la intersección de cualquier recta SM 0 S* con sus
imagen S'M' 0 S'* es la recta fija A1B1, su eje de proyección ( [2] 2.2.
A SA S A y B SB S B1 1= ∩ = ∩' ' ' '
Es decir, una homografía hiperbólica, conocidos un punto doble y dos pares de puntos
correspondientes, induce una proyección de haces con eje de proyección conocido.
48
4. HOMOGRAFÍAS DE UNA RECTA PROYECTIVA SOBRE SÍ MISMA
(2) Consideramos ahora la proyección entre rectas proyectivas
A B d y d d con P P A A y B BS S S S1 1 1 1 1≡ → = = =' : ' ( ) , ( ) ( )π π π π
Consideremos también la proyección entre rectas proyectivas
π π π πS S S Sd d con P P A A y B B' ' ' ': ' ( ) , ( ) ' ( ) '→ = = =1 1 1
entonces
γ π π= S So '
ya que
γ π π π
γ π π π
γ π π π
( ) ( ) )
( ) ( ) )
( ) ( ) )
P = P = (P =P
A = A = (A =A'
B = B = (B =B'
S' S S'
S' S S'
S' S S'
o
o
o
1
1
1
y de aquí para hallar la imagen de X
a) Elegimos S y S' en el mismo plano que d con S' sobre SP.
b) Con centro S proyectamos A, B sobre S* obtenemos SA y SB
c) Con centro S' proyectamos A', B' sobre S'* y obtenemos S'A' y S'B'
d) Obtenemos A1=SA1S'A' y B1=SB1S'B'
e) Proyección de M por πS y obtenemos M1=SM1A1B1
f) Proyección de M1 por πS' y obtenemos M'=S'M11d
Además el segundo punto fijo es (ver figura)
Q=A B d1 1∩
ya que
γ π π π π π( ) ( ) ( ) ( ) ;' ' 'Q Q Q Q Q Q dS S S S S= = = = ∈o o
49
4. HOMOGRAFÍAS DE UNA RECTA PROYECTIVA SOBRE SÍ MISMA
4.6 HOMOGRAFIAS PARABÓLICAS
Veamos una homografía parabólica Υ como hiperbólica; pero que tiene dos puntos fijos P,Q coincidentes;
lo que significa que su parámetro característico es la unidad.
 d d con (M) M' M dγ γ: → = ∀ ∈
Tomamos ahora una referencia en la que el punto fijo P es el punto de infinito de la recta proyectiva d.
Procedemos paso a paso e imponemos, en primer lugar, que Υ conserva la razón doble
 Sea parabólica con M) M' M d P,N,Q,M (P), (N), (Q), (M)γ γ γ γ γ γ( [ ] [ ]= ∀ ∈ ⇒ =
Calculamos la razón doble e imponemos que P es punto fijo
PQ
PM
NQ
NM
PQ
PM
N Q
N X
PQ
PM
NM
NQ
PQ
PM
N X
N Q
: '
'
: ' '
' '
'
'
' '
' '
= ⇒ ⋅ = ⋅
Introducimos que P es punto de infinito
{ {
PQ
PM
NX
NQ
PQ
PM
N M
N Q
NM
NQ
N M
N Q
N M N Q
NQ
NM
1 1
⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ =
'
'
' '
' '
' '
' '
' ' ' '
Introduciendo ahora que Q también es el punto fijo repetido y por tanto punto de infinito
N M N Q
NQ
NM N M NM N N NM MM NM' ' ' ' ' ' ' '= ⇒ = ⇒ + + =
1
123
De donde obtenemos
N N MM N N MM M NN M' ' ' ' ' '+ = ⇒ + ⇒ = +0
y por tanto la homografía es una traslación.
Teorema 8
Dados tres puntos cualesquiera P, A, A' de una recta proyectiva d. Existe una homografía y sólo una que
admite a P como único punto fijo y que transforma A en A'.
Demostración 8
Démonos cuenta que la demostración del Teorema 6 es una adaptación de la construcción 4.3 al caso de
conocer un punto fijo. Si interpretamos este caso como una adaptación del Teorema 6 en el que conocemos
dos puntos fijos que se confunden, el eje de proyección entre haces de rectas que buscamos deberá pasar por
P ya que Q=P (ver figura anterior). Sólo precisamos otro punto y su imagen.
El punto fijo es P y los puntos correspondientes son A y A'. Queda probado el Teorema 8.
50
4. HOMOGRAFÍAS DE UNA RECTA PROYECTIVA SOBRE SÍ MISMA
a) Elegimos S y S' en el mismo plano que d con S' sobre SP.
b) Con centro S proyectamos A sobre S* obtenemos SA.
c) Con centro S' proyectamos A' sobre S'* y obtenemos S'A'.
d) Obtenemos A1=SA1S'A'.
e) Proyección de M por πS y obtenemos M1=SM1PA1.
f) Proyección de M1 por S' y obtenemos M'=S'M11d.
Teorema 9
Sea P un punto fijo de una homografía Υ de una recta proyectiva d sobre sí misma. Escribimos
.∀ ∈ = =M d M M y M Mγ γ( ) ' ( ') "
P 0d es el único punto fijo de Υ si y sólo si [ , ' , , "]P M M M = −1
Demostración 9
Si Pes el único punto fijo y M, M' un par de puntos correspondientes podemos hallar la imagen de M' por
medio del Teorema 7 y obtenemos la construcciónde la figura
Con centro en M1 proyectamos d sobre S'M" [ , ' , , "] [ ' , ' , ' ", "]P M M M M S M M S M M= ∩1 1
Con centro en S proyectamos S'M" sobre d [ ' , ' , ", "] [ ' , , , "]M S M M SM M M P M M1 1 ∩ =
Que nos lleva a
[ , ', , "] [ ', , , "]
[ , ' , , "]
[ , ', , "]P M M M M P M M
P M M M
P M M M= = ⇒ =1 12
Y como todos los puntos son distintos la razón doble no puede ser la unidad, entonces
51
4. HOMOGRAFÍAS DE UNA RECTA PROYECTIVA SOBRE SÍ MISMA
.[ , ' , , "]P M M M = −1
Y ahora el recíproco. Veamos que P es único, ya que si Q…P es otro punto fijo
[ , ' , , "] [ , ' , , "]Q M M M P M M M Q P= − = ⇒ =1
que contradice Q…P. Por lo tanto sólo puede haber un único punto fijo que es P.
4.7 HOMOGRAFIAS ELÍPTICAS
Para estudiar las homografías elípticas, procedemos por vía indirecta a través de una homografía de un haz
de rectas sobre sí mismo.
Sea la homografía de un haz de rectas sobre sí mismo en la que a cada recta del haz le corresponde otra recta
del haz que forma con ella un ángulo constante
h S S tal que h m m y m m constante m S*: * * *( ) ' ( , ') *→ = ∠ = = ∀ ∈θ
Consideremos ahora la proyección del haz de rectas S* sobre una recta d de su plano proyectivo y que no
pasa por S
π π: * ( ) *S d tal que m m d m S→ = ∩ ∀ ∈
Consideremos ahora la biyección de la recta d sobre sí misma
h d d con h A A h B B h C C: ( ) ', ( ) ', ( ) '→ = = =
Está claro que esta biyección es una homografía por ser composición de homografías
h M M m d m h m h M( ) ' ' ( ') * ( ) * ( )= = ∩ = = = −π π π πo o o 1
y está claro también que la homografía h no puede tener puntos dobles y por lo tanto es elíptica.
Aunque lo demostraremos al final de 4.8 podemos establecer el
Teorema 10
Toda homografía elíptica h de una recta proyectiva d sobre sí misma, siempre, puede considerarse como
la biyección entre los puntos de d que son proyección de las rectas de un haz S*, y los puntos de d que son
proyección de las rectas del haz S* que forman con las anteriores un ángulo constante.
52
4. HOMOGRAFÍAS DE UNA RECTA PROYECTIVA SOBRE SÍ MISMA
4.8 RECTAS PROYECTIVAS Y HACES DE RECTAS
( adaptación del teorema 3 de [3.4])
Sean d, d' dos rectas proyectivas y D, D' dos puntos de un mismo plano. Sea h una homografía entre rectas
proyectivas y sea h* una homografía entre haces de rectas.
 h d d tal que h M M d: ' ( ) ' '→ = ∈ h D D tal que h m m m D*: * '* *( ) '→ = ∀ ∈
Y dos proyecciones
σ σ: * ( )d D con M DM M d→ = ∀ ∈ σ σ': ' '* '( ') ' ' ' 'd D con M D M M d→ = ∀ ∈
Entonces
h h y h h* ' ' *= =− −σ σ σ σo o o o1 1
d…d' y D…D' [3.4] teorema 3
h es una homografía entre rectas proyectivas, induce una
homografía h* entre haces de rectas.
h* es una homografía entre haces de rectas, induce una
homografía h entre rectas proyectivas.
d=d' y D…D'
h es una homografía de la recta proyectiva sobre sí misma,
induce una homografía entre haces de rectas h*.
h* es una homografía entre haces de rectas, induce una
homografía de la recta proyectiva sobre sí misma h.
d…d' y D=D'
h es una homografía entre rectas proyectivas, induce una
homografía de un haz de rectas sobre sí mismo h*.
h* es una homografía de un haz de rectas sobre sí mismo,
induce una homografía entre rectas proyectivas h.
d=d' y D=D' σ coincide con σ'
h es una homografía de la recta proyectiva sobre sí misma,
induce una homografía de un haz de rectas sobre sí mismo
h*. 
h* es una homografía de un haz de rectas sobre sí mismo,
induce una homografía de la recta proyectiva sobre sí
misma h.
53
4. HOMOGRAFÍAS DE UNA RECTA PROYECTIVA SOBRE SÍ MISMA
Demostración 10
Sea h una homografía elíptica de la recta proyectiva d sobre sí misma de la que conocemos los puntos límite
I, J' y su punto medio O junto con la imagen de este último O'.
h d d tal que
h J
h I
h O O
d
d:
( ) '
( )
( ) '
→
∞ =
= ∞
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
O está entre J' y O', de [4.4] recordamos que cuando O está entre J' y O' entonces OJ'·OO' es negativo
y no puede haber puntos fijos.
Por el punto O, trazamos una perpendicular a d que corta al círculo Γ de diámetro O'J' en dos puntos. Sea
S uno de los puntos. Por S trazamos una paralela a d que denominaremos j ( o también i').
Examinando la figura vemos que
∠ = ∠ = ∠ =( , ') ( , ') ( , ')j j i i DO DO ϕ
Tenemos una homografía h* de un haz de rectas D* sobre sí mismo definido por tres pares de rectas
h D D tal que
h i i
h j j
h DO DO
*: * *
*( ) '
* ( ) '
* ( ) '
→
=
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
h* es la homografía de D* que hace corresponder a cada recta que pasa por D otra recta pasando por d y
forma con la anterior un ángulo constante n. Entonces h* induce una homografía β de d sobre sí misma
 β
β
β
β
:
( ) ' ( )
( ) ( )
( ) ' ( )
d d tal que
J h
I h I
O O h O
d d
d→
∞ = = ∞
= ∞ =
= =
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
Y como coinciden en tres pares de puntos
h = β
Como queríamos demostrar.
54
4. HOMOGRAFÍAS DE UNA RECTA PROYECTIVA SOBRE SÍ MISMA
4.9 EJERCICIOS
Ejercicio 4.01 GP 106
Puede ser de utilidad el ejercicio 3.30
Sean dos puntos O, O' sobre un círculo Γ y una recta d en el mismo plano. Tomamos un punto N variable
sobre Γ y trazamos las rectas ON, O'N que cortan a d en M, M' respectivamente. Demostrar que es una
homografía la biyección h
h d d tal que h M M N: ( ) '→ = ∀ ∈Γ
Determinar sus puntos límite I, J' y caracterizar su punto medio O.
Determinar la homografía por tres pares de puntos correspondientes y construir mediante tres proyecciones
la imagen de un punto cualquiera de d.
¿Cuál es la condición para que la homografía sea hiperbólica, parabólica o elíptica?
Si la homografía fuera hiperbólica, establecer una construcción de la imagen de un punto mediante el uso
de un punto fijo y dos pares de puntos correspondientes.
Si la homografía fuera hiperbólica, establecer una construcción de la imagen de un punto mediante el uso
de los dos puntos fijos y un par de puntos correspondientes.
Si la homografía fuera parabólica, establecer una construcción de la imagen de un punto mediante el uso
de del punto fijo y un par de puntos correspondientes.
Si la homografía es parabólica, una vez determinados el punto fijo y la imagen M' de un punto M, hallar
la imagen de M' sin volver a usar la construcción del enunciado ni ninguna de las construcciones anteriores.
Si la homografía fuera elíptica, de acuerdo con [4 7] teorema 10, determinar los haces de rectas y el ángulo
constante a los que el teorema se refiere.
Demostrar con los datos de este ejercicio que el recíproco de [4.7] teorema 10 es falso.
Ejercicio 4.02 GP 107
En un mismo plano se dan un punto O y una recta d. Por O trazamos una recta cualquiera m y otra recta
m' que forma con m un ángulo constante n. La recta d es cortada por m y m' respectivamente en M y M'.
Demostrar que es una homografía la biyección h
.h d d tal que h M M m O: ( ) ' *→ = ∀ ∈
Que tipo de homografía es.
Si se conocen a, b, c tres rectas que pasan por O y tres rectas a', b', c' por O que forman respectivamente
con las anteriores un ángulo dado n; establecer una construcción, sólo con regla, tal que para toda recta que
pase por O obtenga otra recta que pase por O y forme un ángulo n con la primera.
55
4. HOMOGRAFÍAS DE UNA RECTA PROYECTIVA SOBRE SÍ MISMA
Ejercicio 4.03 GP 118
En el plano se dan un punto O y tres rectas que pasan por él OX, OY, OZ. Se toman sobre OX dos puntos
fijos A, A' y sobre OY un punto móvil N. Trazamos las rectas NA, NA' que cortan respectivamente a OZ
en M, M'. Demostrar que existe una constante k que se determinará tal que
1 1
OM OM
constante N OY− = ∀ ∈
'
Ejercicio 4.04 GP 120, 122, 125 S 3.8 GP 80
Sea un triángulo ABC y su círculo inscrito Γ. Una tangente variable t de Γ corta a AB, CA y BC
respectivamente en N, N' y N". Sea O el punto de contacto de Γ con el lado BC. Trazamos la recta ON
que corta a la recta d paralela a BC en M, y la recta ON' que corta a la misma recta d en M'. Demostrar que
MM constante t'= ∀
Supongamos ahora que ABC es equilátero y consideremos además a los círculos ex-inscritos ΓA, ΓB,
trazamos desde N' la otra tangente a ΓB