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Física 1 Ing. Ricardo Moyano Movimientos oscilatorios Movimiento oscilatorio armónico Oscilador armónico simple Consideraciones energéticas en el MAS Relación entre el movimiento circular y el MAS Integración de la ecuación del movimiento Representación gráfica de las variables Péndulo simple y compuesto Movimiento armónico amortiguado Oscilaciones forzadas resonancia CAMINANTE NO HAY CAMINO SE HACE CAMINO AL ANDAR Física 1 Ing. Ricardo Moyano MOVIMIENTOS OSCILATORIOS De los movimientos observados en la naturaleza, uno de los mas importantes es el movimiento oscilatorio. Decimos que una partícula oscila cuando se mueve periódicamente con respecto a la posición de equilibrio. Ejemplos: un péndulo en movimiento, un cuerpo en el extremo de un resorte estirado una vez que se suelta, los átomos de una molécula, etc. Existen cuerpos que poseen tipos de movimientos que se repiten una y otra vez Se dice que cualquier objeto que repite su movimiento a intervalos de tiempo regulares, realiza un movimiento periódico u oscilatorio El movimiento oscilatorio mas importante es el movimiento armónico simple, debido a que, además de ser el movimiento mas simple de describir matemáticamente, es una aproximación muy cercana de muchas oscilaciones naturales. Si el movimiento es una función sinusoidal del tiempo, lo llamaremos Movimiento Armónico Simple ( MAS) En la figura adyacente, se asume el movimiento de una partícula que se mueve de atrás y hacia adelante sobre el origen “o” del eje x entre los límites x =+A y x = -A Elegimos t = 0 en el punto donde la partícula está en x = + A y t = T cuando la partícula regresa al mismo punto x = + A después de un ciclo completo. En este caso, el tiempo T representa el período del movimiento. Física 1 Ing. Ricardo Moyano La frecuencia 𝑓 del movimiento MAS, es igual al número de oscilaciones por unidad de tiempo. La frecuencia se relaciona con el período por la siguiente expresión: 𝑓 = Τ𝟏 𝑻 Su unidad en el Sistema Internacional (SI) es [𝑠−1] , Τ𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐𝒔 𝒔 o Hertz [Hz] También se define la frecuencia angular 𝝎 del movimiento por la relación: 𝝎 = 𝟐𝝅 𝑻 y en función de la frecuencia es: 𝜔 = 𝟐𝝅 𝒇 Las unidades en el sistema internacional SI: [rad/s] Por definición, se dice que una partícula que se mueve a lo largo del eje de las X tiene un movimiento armónico simple (MAS), cuando su desplazamiento x respecto al origen del sistema de coordenadas, está dado por una función del tiempo, cuya relación es: x(t) = A sen (𝜔𝑡 + 𝜑) donde la cantidad (𝜔𝑡 + 𝜑) se denomina fase y 𝜑 es la fase inicial para t=0 También puede expresarse en función de una función cosenoidal, el único cambio sería una diferencia de inicial de fase de Τ𝜋 2 . Como la función seno varía entre -1 y +1 el desplazamiento de la partícula varía entre x = -A y x= +A . El desplazamiento máximo a partir del origen “A” se denomina “amplitud” del movimiento armónico simple. Física 1 Ing. Ricardo Moyano Como la función seno se repite cada vez que el ángulo aumenta en 2𝜋 , el desplazamiento de la partícula se repite después de un intervalo de tiempo igual a Τ2𝜋 𝜔 , lo que nos dice que el MAS es periódico y su período: T = Τ𝟐𝝅 𝝎 La velocidad de la partícula se determina derivando la ecuación de la posición respecto del tiempo: 𝑣 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑑(A sin(𝜔𝑡+𝜑) 𝑑𝑡 = A 𝜔 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) La aceleración se obtiene derivando la expresión de la velocidad, es decir 𝑎 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = 𝑑2(A sin(𝜔𝑡+𝜑) 𝑑𝑡2 = 𝜔2 A sin(𝜔𝑡 + 𝜑) = 𝜔2. 𝑥 Física 1 Ing. Ricardo Moyano x=0 MOVIMIENTOS PERIÓDICOS Física 1 Ing. Ricardo Moyano Ejemplos Física 1 Ing. Ricardo Moyano Movimiento oscilatorio Consideramos un sistema formado por un cuerpo conectado a un resorte de masa despreciable que puede estirarse o comprimirse. El extremo izquierdo del resorte está fijo y el derecho unido al cuerpo Se define el sistema de coordenadas con el origen O en la posición de equilibrio, en donde el resorte no está estirado ni comprimido. La componente del desplazamiento del cuerpo respecto al equilibrio es “x” y también del cambio de longitud Solo puede haber oscilación si hay una fuerza de restitución que tiende a regresar al sistema al equilibrio Si desplazamos el cuerpo a la derecha hasta x= 𝑥𝑚𝑎𝑥 y se lo suelta la fuerza neta y la aceleración son hacia la izquierda. La rapidez aumenta al aproximarse el cuerpo a la posición de equilibrio. Cuando el cuerpo está en O la fuerza neta es cero, pero a causa de su movimiento (velocidad) rebasa esta posición. A la izquierda de la posición de equilibrio O, el sentido de la velocidad es a la izquierda pero la aceleración a la derecha Física 1 Ing. Ricardo Moyano La rapidez disminuye hasta que el cuerpo se detiene 𝑣 = 0 para x= - 𝑥𝑚𝑎𝑥 Ahora el cuerpo acelera hacia la derecha, la aceleración y la fuerza son positivas Cuando alcanza el punto de equilibrio la velocidad es Máxima, la fuerza =0 y la aceleración a =0 Al alcanzar el punto x= +𝑥𝑚𝑎𝑥se detiene y vuelve a Iniciar todo el proceso nuevamente. Física 1 Ing. Ricardo Moyano Movimiento Armónico Simple (MAS) Si la fuerza de restitución es directamente proporcional al desplazamiento respecto al equilibrio, la oscilación se denomina Movimiento Armónico Simple El movimiento armónico simple es la proyección del movimiento circular uniforme sobre un diámetro Fx = - K x fuerza restauradora lineal Aplicamos la segunda Ley de Newton σF𝑥 = m 𝑎𝑥 - k x = m d2𝑥 dt2 el signo menos indica que la aceleración y el desplazamiento siempre tienen signos opuestos(sentido) d2𝑥 dt2 + k x m = 0 Ecuación de movimiento del oscilador armónico simple Su solución es una función de x(t)que describe la posición del oscilador en función del tiempo Física 1 Ing. Ricardo Moyano ECUACIONES DEL M.A.S. Se debe resolver la ecuación del movimiento del oscilador armónico d2𝑥 dt2 + k x m = 0 (1) Se trata de encontrar expresiones para para la elongación o desplazamiento, velocidad y aceleración de un cuerpo que se mueve con movimiento armónico simple. Se debe destacar que en este caso de movimiento la aceleración varia constantemente por lo que no se pueden aplicar las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado. La ecuación incluye una relación entre una función del tiempo x(t) y su segunda derivada temporal d2𝑥 dt2 Escribiendo la ecuación (1) de la siguiente forma: d2𝑥 dt2 = - k m 𝑥 La solución requiere que x(t) sea una función cuya segunda derivada sea negativa de la misma función, exceptuando un factor constante k/m Se conoce por el cálculo que las funciones seno y coseno poseen esa propiedad. Ejemplo x= sin𝜔𝑡 𝑑 (sin 𝜔𝑡) 𝑑𝑡 = 𝜔 cos𝜔𝑡 𝑑2(𝜔 cos 𝜔𝑡) 𝑑𝑡2 = 𝜔2 sin𝜔𝑡 Física 1 Ing. Ricardo Moyano Considerando el movimiento del cuerpo representado por el punto Q que se mueve en una circunferencia de radio “A” con velocidad angular constante “” y “P” la proyección de ortogonal de Q sobre el diámetro horizontal Q P La elongación para cualquier instante t es la distancia OP o distancia x y 𝜃 el ángulo que forma OQ con el diámetro horizontal Entonces x = A cos 𝜃 siendo 𝜃 = fase = 𝜔𝑡 + 𝜑0 reemplazando x = A cos(𝜔𝑡 + 𝜑0) Que es la solución de la ecuación del movimiento armónico simple O Física 1 Ing. Ricardo Moyano Si consideramos la proyección sobre el diámetro vertical se puede observar Por lo tanto la elongación x para cualquier tiempo t, utilizando la proyección sobre el diámetro vertical se tiene: x = A sin 𝜃 siendo 𝜃 = fase = 𝜔𝑡 + 𝜑0 Y denominando 𝜑0 la fase inicial, Reemplazando: x = A sin(𝜔𝑡 + 𝜑0) expresión para la elongación Expresión de la solución de la ecuación del movimiento armónico simple Siendo A = Amplitud (máxima elongación) 𝜔 =frecuencia angular= 2𝜋𝑓 = 2𝜋/𝑇 𝜑0 = fase inicial Física 1 Ing. Ricardo Moyano Las ecuaciones de la velocidad y aceleración se obtienen: 𝑣 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑑(A sin(𝜔𝑡+ 𝜑0) 𝑑𝑡 = A 𝜔 cos(𝜔𝑡 + 𝜑0) 𝑎 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = 𝑑2(A sin(𝜔𝑡+ 𝜑0) 𝑑𝑡2 = 𝜔2 A sin(𝜔𝑡 + 𝜑0) = 𝜔 2. 𝑥 Los valores máximos se obtienen cuando la función trigonométrica es = 1 Por lo tanto: 𝑣𝑚𝑎𝑥 = ± A 𝜔 y 𝑎𝑚𝑎𝑥 = ± 𝜔 2 A Física 1 Ing. Ricardo Moyano posición velocidad aceleración Física 1 Ing. Ricardo Moyano Grafica de comparación entre posición, velocidad y aceleración Física 1 Ing. Ricardo Moyano ENERGÍA EN EL MAS Integración de la ecuación del movimiento armónico simple: Partimos de la ecuación d2𝑥 dt2 + k x m = 0 𝑑𝑣 𝑑𝑡 + k x m = 0 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + k x m = 0 𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑥 + k x m = 0 m 𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑥 + 𝑘 𝑥 = 0 Resolvemos como ecuación diferencial de primer orden 𝑚𝑣 𝑑𝑣 𝑘𝑥 + 𝑑𝑥 = 0 1 2 m 𝑣2 + 1 2 k 𝑥2 = 𝐶1 = 𝐸𝑀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 Energía Cinética + Energía Potencial de la fuerza restitución = 𝐸𝑀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 Como no actúan fuerzas disipatívas la energía mecánica total es K + U = 𝐸𝑚 Si observamos el gráfico de Energía vs desplazamiento, en los extremos se tiene la Amplitud, por lo tanto allí la Energía Cinética es cero y solo se tiene Energía Potencial elástica, por lo tanto 𝐸𝑚𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙= + 1 2 k 𝑥2 pero como x = A U 𝑬𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍= 𝟏 𝟐 k 𝑨𝟐 0 Física 1 Ing. Ricardo Moyano Si se alcanza el punto donde la velocidad es máxima se tendrá energía total E = 1 2 m 𝑣2𝑚𝑎𝑥 𝑣𝑚𝑎𝑥 = 2 𝐸 𝑚 Para un extremo x = A Tenemos E = 1 2 K 𝐴2 𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝐾 𝑚 .A = 𝜔. A Para un punto cualquiera x, se plantea: 1 2 m 𝑣2 + 1 2 k 𝑥2 = E = 𝟏 𝟐 k 𝑨𝟐 despejo velocidad v= 1 𝑚 (K𝑨𝟐− K𝑥2) Resolvemos v = 𝑘 𝑚 . 𝐴2 − 𝑥2 si 𝜔 = 𝑘 𝑚 entonces v = 𝜔. 𝐴2 − 𝑥2 Ecuación para calcular la velocidad en cualquier punto El período puede calcularse de 𝜔 = 𝑘 𝑚 y como 𝜔 = 2 𝜋 𝑇 Por lo tanto 𝑇 = 2𝜋 𝑚 𝐾 (s) también f = 1 2𝜋 𝑘 𝑚 (1/s) APLICACIONES DEL MAS Péndulo SIMPLE: Consideramos un péndulo donde oscila una masa m soportada por un hilo inextensible L L de masa despreciable Fuerza restauradora 𝐹𝑇 = m . 𝑎𝑡 Si 𝑎𝑡 = 𝛼 . R = 𝛼 . L = L 𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 Y 𝐹𝑇 = mg sin 𝜃 Por lo tanto: - mg sin 𝜃 = m L 𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 - g sin 𝜃 = L 𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 entonces L 𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 + g sin 𝜃 =0 entonces 𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 + 𝑔 𝐿 sin 𝜃 = 0 El movimiento no es armónico simple, debido a la presencia del 𝒔𝒊𝒏𝜽, sin embargo si el ángulo 𝜃 es pequeño lo que es cierto si la amplitud de las oscilaciones es pequeña, se puede aproximar sin 𝜃 ≅ 𝜃 en radianes y el movimiento es aproximadamente armónico simple, reemplazando se obtiene: 𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 + 𝑔 𝐿 𝜃= 0 ecuación de MAS referida al movimiento angular Física 1 Ing. Ricardo Moyano L Física 1 Ing. Ricardo Moyano La solución de la ecuación es : 𝜃 = 𝜃𝑚 sin(𝜔𝑡 + 𝜑) Donde 𝜃𝑚 es el desplazamiento angular máximo, la amplitud de la oscilación. En este caso 𝝎 denota la frecuencia angular y no la velocidad angular Para el movimiento MAS angular del péndulo 𝜔2 = g/L entonces usando la ecuación que relaciona con el período T = 2𝜋 /𝜔 El período de la oscilación estará dado por la expresión: T = 2𝜋 𝐿 𝑔 Se observa que el período es independiente de la masa del péndulo Para mayores amplitudes la aproximación sin 𝜃 ≅ 𝜃 no es válida. En tal caso la fórmula del período depende de la amplitud, pudiéndose expresar por la serie: T = 2𝜋 𝐿 𝑔 ( 1 + 1 4 𝑠𝑖𝑛2( 1 2 𝜃0) + 9 64 𝑠𝑖𝑛4( 1 2 𝜃0) + … Física 1 Ing. Ricardo Moyano En el siguiente gráfico se observa la variación del período de un péndulo en función de la amplitud Física 1 Ing. Ricardo Moyano Péndulo Compuesto (Físico) Es cualquier cuerpo rígido que puede oscilar libremente alrededor de un eje horizontal bajo la acción de la gravedad. La esquematización del péndulo es la siguiente: Z’ Donde ZZ’ eje horizontal “C” centro de masa Z Cuando la línea OC hace un ángulo 𝜃 con la Vertical, la componente del torque actuante sobre el cuerpo es 𝜏 = - mgb sin 𝜃 Además 𝜏 = I 𝛼 𝜏 = I d2𝜃 dt2 = - mgb sin 𝜃 I d2𝜃 dt2 + mgb sin 𝜃 = 0 Suponiendo pequeñas oscilaciones sin 𝜃 ≅ 𝜃 y I = m 𝐾2 k radio de giro d2𝜃 dt2 + mgb 𝐼 𝜃= 0 Comparamos la ecuación obtenida y demostramos el movimiento es MAS Con 𝜔2 = g b/𝑘2 por consiguiente el período de las oscilaciones Es T = 2𝜋 𝐾2 𝑏 𝑔 cantidad L = 𝑘2 𝑏 longitud equivalente del péndulo simple Física 1 Ing. Ricardo Moyano Ejemplos de problemas de aplicación: Física 1 Ing. Ricardo Moyano Ejemplo de aplicación del libro ALONSO - FINN Física 1 Ing. Ricardo Moyano Física 1 Ing. Ricardo Moyano Física 1 Ing. Ricardo Moyano Superposición de dos MAS Física 1 Ing. Ricardo Moyano Superposición de dos MAS Física 1 Ing. Ricardo Moyano Dos MAS con MISMA DIRECCION Y FRECUENCIA Física 1 Ing. Ricardo Moyano Física 1 Ing. Ricardo Moyano Consideramos 2 movimientos MAS en direcciones perpendiculares. Los movimientos son en un plano de modo que: Escogemos para t=0 𝜑0=0 de modo que x = A sin(𝜔𝑡) El movimiento a lo largo del eje Y es descripto por la ecuación y = B sin(𝜔𝑡 + 𝜑0) La trayectoria de la partícula obviamente esta limitada por las lineas: x = ± A y = ± B CONSIDERAMOS los siguientes casos: 1) Los dos MAS están en fase : 𝜑0=0 x = A sin(𝜔𝑡) y= B sin(𝜔𝑡) Que combinados obtenemos: 𝑦 𝑥 = B sin(𝜔𝑡) A sin(𝜔𝑡) = 𝐵 𝐴 y = ( 𝐵 𝐴 ) x esta es la ecuación de la línea recta PQ de la figura Debido a que el desplazamiento es a lo Largo de la línea PQ la amplitud del MAS resultante es A’’ = 𝐴2 + 𝐵2 La ecuación del MAS resultante es: r = 𝐴2 + 𝐵2 sin(𝜔𝑡) Física 1 Ing. Ricardo Moyano Si los movimientos están en oposición 𝜑0= 𝜋 e y= B sin(𝜔𝑡) Combinando con la ecuación x = A sin(𝜔𝑡) Nos da: y = ( 𝐵 𝐴 ) x la cual es la ecuación de la línea recta RS Cuando 𝜑0= 𝜋 2 los movimientos están en cuadratura y = B sin(𝜔𝑡 + 𝜋 2 ) y = B cos𝜔𝑡 Combinando con la ecuación x = A sin(𝜔𝑡) Se obtiene: 𝑥2 𝐴2 + 𝑦2 𝐵2 = 1 que es la ecuación de la elipse de la figura, que es recorrida en el sentido de giro de las agujas de un reloj Física 1 Ing. Ricardo Moyano CURVAS DE LISSAJOUS Física 1 Ing. Ricardo Moyano Física 1 Ing. Ricardo Moyano OSCILACIONES AMORTIGUADAS Consideramos el movimiento de un resorte con una parte dentro de un recipiente con líquido viscoso (glicerina) Entonces en adición a la fuerza restauradora o elástica actúa otra fuerza opuesta a la velocidad es la fuerza viscosa o amortiguadora F= - Kx fuerza elástica F’ = - b v fuerza amortiguadora La fuerza resultante sobre el cuerpo es F + F’ y la ecuación de movimiento es: σ𝐹 = m.a F + F’ = m.a -Kx b v = m.a recordando que: v = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 a = 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 Tenemos: m 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 + b 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + Kx = 0 Es una ecuación diferencial, cuya solución para el caso de pequeño amortiguamiento x = A 𝑒−𝑏𝑡/2𝑚 cos(𝜔′𝑡 + 𝜑) Física 1 Ing. Ricardo Moyano Donde 𝜔′ = 𝑘 𝑚 − 𝑏2 (2𝑚)2 La amplitud de las oscilacionesno es constante y está dado por A’ = A 𝑒−𝑏𝑡/2𝑚 la amplitud decrece a medida que el tiempo aumenta resultando un movimiento amortiguado Física 1 Ing. Ricardo Moyano sentido Física 1 Ing. Ricardo Moyano Oscilaciones Forzadas Se refiere cuando se aplica una fuerza oscilatoria externa a una partícula sometida a una fuerza elástica. F = 𝐹0 cos(𝜔𝑓.t) esta fuerza externa compensa el amortiguamiento F= - Kx fuerza elástica F’ = - b v fuerza amortiguadora Aplicamos σ𝐹 = m.a 𝐹0 cos(𝜔𝑓.t) Kx b v = m.a m 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 + b 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + Kx = 𝐹0 cos(𝜔𝑓.t) 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 + 𝑏 𝑚 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝑘 𝑚 x = 𝐹0 𝑚 cos(𝜔𝑓.t) Ecuación diferencial de segundo orden Suponemos como solución una expresión de la forma x = A sin(𝜔𝑡 − 𝛼) La sustitución directa en la ecuación demuestra que será satisfecha si la amplitud esta dada por: Y la fase inicial del desplazamiento tan𝛼= 𝜔2 − 𝜔20 2𝛾𝜔𝑓 Tanto la amplitud como la fase inicial no son constante Física 1 Ing. Ricardo Moyano El fenómeno de resonancia se manifiesta en la mayoría de los sistemas naturales. Es bien conocido que cuando una formación de soldados cruza un puente, rompe el paso, para evitar que la frecuencia de la marcha sea próxima a la frecuencia natural de la estructura. La resonancia es observada con frecuencia en maquinaria rotatoria. Y sistemas atómicos o nucleares exhiben fenómenos de resonancia cuando son excitados con luz o partículas. El fenómeno de resonancia se produce cuando la frecuencia angular de la fuerza externa coincide con la frecuencia natural de oscilación del sistema, con un aumento de la amplitud. Ejemplos de esto son un muelle que haces oscilar moviendo la mano de arriba hacia abajo y consigues que oscile con gran amplitud, o el hecho de empujar el columpio que consigues que se mueva con gran amplitud Se destaca que la resonancia no se produce porque la fuerza externa sea muy grande sino porque coinciden las frecuencias. Cuando el amortiguamiento es pequeño, las oscilaciones forzadas alcanzan su máximo amplitud de desplazamiento, si la frecuencia de la fuerza externa es igual a la frecuencia natural. A este estados se loa conoce como resonancia y a la frecuencia correspondiente “𝜔” como la frecuencia angular resonante. Ejemplo de caso de resonancia del viento que generaba vortices, ocasionando pequeños soplos que golpeaban el puente con una frecuencia una de las frecuencias naturales. Puente Tacoma Narrow, en Washington en 1940. Escriba aquí la ecuación. Física 1 Ing. Ricardo Moyano AMPLITUD DE UN OSCILADOR FORZADO Física 1 Ing. Ricardo Moyano AMPLITUD DE UN OSCILADOR FORZADO Física 1 Ing. Ricardo Moyano Física 1 Ing. Ricardo Moyano Física 1 Ing. Ricardo Moyano
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