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Clase 16 Oscilaciones - MAS-2020

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Física 1 Ing. Ricardo Moyano
 Movimientos oscilatorios
 Movimiento oscilatorio armónico
 Oscilador armónico simple
 Consideraciones energéticas en el MAS
 Relación entre el movimiento circular y el MAS
 Integración de la ecuación del movimiento
 Representación gráfica de las variables
 Péndulo simple y compuesto
 Movimiento armónico amortiguado
 Oscilaciones forzadas resonancia 
CAMINANTE
NO HAY CAMINO 
SE HACE CAMINO AL ANDAR
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
MOVIMIENTOS OSCILATORIOS
De los movimientos observados en la naturaleza, uno de los mas importantes es el
movimiento oscilatorio. Decimos que una partícula oscila cuando se mueve
periódicamente con respecto a la posición de equilibrio. Ejemplos: un péndulo en
movimiento, un cuerpo en el extremo de un resorte estirado una vez que se suelta, los
átomos de una molécula, etc.
Existen cuerpos que poseen tipos de movimientos que se repiten una y otra vez
Se dice que cualquier objeto que repite su movimiento a intervalos de tiempo regulares,
realiza un movimiento periódico u oscilatorio
El movimiento oscilatorio mas importante es el movimiento armónico simple, debido a
que, además de ser el movimiento mas simple de describir matemáticamente, es una
aproximación muy cercana de muchas oscilaciones naturales.
Si el movimiento es una función
sinusoidal del tiempo, lo llamaremos
Movimiento Armónico Simple ( MAS)
En la figura adyacente, se asume el
movimiento de una partícula que 
se mueve de atrás y hacia adelante
sobre el origen “o” del eje x entre
los límites x =+A y x = -A
Elegimos t = 0 en el punto donde la 
partícula está en x = + A y t = T cuando
la partícula regresa al mismo punto
x = + A después de un ciclo completo.
En este caso, el tiempo T representa 
el período del movimiento. 
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
La frecuencia 𝑓 del movimiento MAS, es igual al número de oscilaciones por unidad
de tiempo. La frecuencia se relaciona con el período por la siguiente expresión:
𝑓 = Τ𝟏 𝑻
Su unidad en el Sistema Internacional (SI) es [𝑠−1] , Τ𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐𝒔 𝒔 o Hertz [Hz]
También se define la frecuencia angular 𝝎 del movimiento por la relación:
𝝎 =
𝟐𝝅
𝑻
y en función de la frecuencia es: 𝜔 = 𝟐𝝅 𝒇
Las unidades en el sistema internacional SI: [rad/s]
Por definición, se dice que una partícula que se mueve a lo largo del eje de las X
tiene un movimiento armónico simple (MAS), cuando su desplazamiento x
respecto al origen del sistema de coordenadas, está dado por una función del
tiempo, cuya relación es:
x(t) = A sen (𝜔𝑡 + 𝜑)
donde la cantidad (𝜔𝑡 + 𝜑) se denomina fase y 𝜑 es la fase inicial para t=0
También puede expresarse en función de una función cosenoidal, el único
cambio sería una diferencia de inicial de fase de Τ𝜋 2 .
Como la función seno varía entre -1 y +1 el desplazamiento de la partícula varía
entre x = -A y x= +A . El desplazamiento máximo a partir del origen “A” se
denomina “amplitud” del movimiento armónico simple.
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Como la función seno se repite cada vez que el ángulo aumenta en 2𝜋 , el
desplazamiento de la partícula se repite después de un intervalo de tiempo
igual a Τ2𝜋 𝜔 , lo que nos dice que el MAS es periódico y su período: T = Τ𝟐𝝅 𝝎
La velocidad de la partícula se determina derivando la ecuación de la posición
respecto del tiempo: 𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑑(A sin(𝜔𝑡+𝜑)
𝑑𝑡
= A 𝜔 cos(𝜔𝑡 + 𝜑)
La aceleración se obtiene derivando la expresión de la velocidad, es decir
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
=
𝑑2(A sin(𝜔𝑡+𝜑)
𝑑𝑡2
=  𝜔2 A sin(𝜔𝑡 + 𝜑) =  𝜔2. 𝑥
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x=0
MOVIMIENTOS PERIÓDICOS
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Ejemplos 
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Movimiento oscilatorio
Consideramos un sistema formado por un cuerpo conectado a un resorte de 
masa despreciable que puede estirarse o comprimirse.
El extremo izquierdo del resorte está fijo y el derecho 
unido al cuerpo
Se define el sistema de coordenadas con el origen O en la
posición de equilibrio, en donde el resorte no está 
estirado ni comprimido.
La componente del desplazamiento del cuerpo respecto
al equilibrio es “x” y también del cambio de longitud
Solo puede haber oscilación si hay una fuerza de 
restitución que tiende a regresar al sistema al equilibrio
Si desplazamos el cuerpo a la derecha hasta x= 𝑥𝑚𝑎𝑥 y se
lo suelta la fuerza neta y la aceleración son hacia la 
izquierda. La rapidez aumenta al aproximarse el cuerpo a la posición de 
equilibrio. Cuando el cuerpo está en O la fuerza neta es cero, pero a causa de su 
movimiento (velocidad) rebasa esta posición.
A la izquierda de la posición de equilibrio O, el sentido de la velocidad es a la 
izquierda pero la aceleración a la derecha 
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
La rapidez disminuye hasta que el cuerpo se detiene 
𝑣 = 0 para x= - 𝑥𝑚𝑎𝑥
Ahora el cuerpo acelera hacia la derecha, la aceleración 
y la fuerza son positivas 
Cuando alcanza el punto de equilibrio la velocidad es 
Máxima, la fuerza =0 y la aceleración a =0
Al alcanzar el punto x= +𝑥𝑚𝑎𝑥se detiene y vuelve a 
Iniciar todo el proceso nuevamente. 
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Movimiento Armónico Simple (MAS)
Si la fuerza de restitución es directamente proporcional al desplazamiento 
respecto al equilibrio, la oscilación se denomina Movimiento Armónico Simple
El movimiento armónico simple es la proyección del movimiento circular 
uniforme sobre un diámetro
Fx = - K x fuerza restauradora lineal
Aplicamos la segunda Ley de Newton
σF𝑥 = m 𝑎𝑥
- k x = m 
d2𝑥
dt2
el signo menos indica
que la aceleración y el desplazamiento 
siempre tienen signos opuestos(sentido)
d2𝑥
dt2
+ 
k x
m
= 0 Ecuación de movimiento del oscilador armónico simple
Su solución es una función de x(t)que describe la posición del oscilador en 
función del tiempo
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ECUACIONES DEL M.A.S.
Se debe resolver la ecuación del movimiento del oscilador armónico
d2𝑥
dt2
+
k x
m
= 0 (1)
Se trata de encontrar expresiones para para la elongación o desplazamiento,
velocidad y aceleración de un cuerpo que se mueve con movimiento armónico
simple.
Se debe destacar que en este caso de movimiento la aceleración varia
constantemente por lo que no se pueden aplicar las ecuaciones del movimiento
uniformemente acelerado.
La ecuación incluye una relación entre una función del tiempo x(t) y su segunda
derivada temporal
d2𝑥
dt2
Escribiendo la ecuación (1) de la siguiente forma:
d2𝑥
dt2
= -
k
m
𝑥
La solución requiere que x(t) sea una función cuya segunda derivada sea negativa de
la misma función, exceptuando un factor constante k/m
Se conoce por el cálculo que las funciones seno y coseno poseen esa propiedad.
Ejemplo
x= sin𝜔𝑡
𝑑 (sin 𝜔𝑡)
𝑑𝑡
= 𝜔 cos𝜔𝑡
𝑑2(𝜔 cos 𝜔𝑡)
𝑑𝑡2
=  𝜔2 sin𝜔𝑡
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Considerando el movimiento del cuerpo representado por el punto Q que se 
mueve en una circunferencia de radio “A” con velocidad angular constante “” y 
“P” la proyección de ortogonal de Q sobre el diámetro horizontal
Q
P
La elongación para cualquier instante t es la distancia OP o distancia x
y 𝜃 el ángulo que forma OQ con el diámetro horizontal
Entonces x = A cos 𝜃 siendo 𝜃 = fase = 𝜔𝑡 + 𝜑0
reemplazando x = A cos(𝜔𝑡 + 𝜑0)
Que es la solución de la ecuación del movimiento armónico simple
O
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Si consideramos la proyección sobre el diámetro vertical se puede observar 
Por lo tanto la elongación x para cualquier tiempo t, utilizando la proyección 
sobre el diámetro vertical se tiene: x = A sin 𝜃 siendo 𝜃 = fase = 𝜔𝑡 + 𝜑0
Y denominando 𝜑0 la fase inicial, 
Reemplazando:
x = A sin(𝜔𝑡 + 𝜑0) expresión para la elongación
Expresión de la solución de la ecuación del movimiento armónico simple
Siendo A = Amplitud (máxima elongación) 𝜔 =frecuencia angular= 2𝜋𝑓 = 2𝜋/𝑇
𝜑0 = fase inicial
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Las ecuaciones de la velocidad y aceleración se obtienen:
𝑣 = 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 
𝑑(A sin(𝜔𝑡+ 𝜑0)
𝑑𝑡
= A 𝜔 cos(𝜔𝑡 + 𝜑0)
𝑎 = 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
= 
𝑑2(A sin(𝜔𝑡+ 𝜑0)
𝑑𝑡2
=  𝜔2 A sin(𝜔𝑡 + 𝜑0) =  𝜔
2. 𝑥
Los valores máximos se obtienen cuando la función trigonométrica es = 1
Por lo tanto: 𝑣𝑚𝑎𝑥 = ± A 𝜔 y 𝑎𝑚𝑎𝑥 = ± 𝜔
2 A 
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posición
velocidad
aceleración
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Grafica de comparación entre
posición, velocidad y aceleración
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
ENERGÍA EN EL MAS
Integración de la ecuación del movimiento armónico simple:
Partimos de la ecuación
d2𝑥
dt2
+ 
k x
m
= 0 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+ 
k x
m
= 0 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 
k x
m
= 0  𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 
k x
m
= 0 
m 𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 𝑘 𝑥 = 0 
Resolvemos como ecuación diferencial de primer orden
𝑚𝑣׬ 𝑑𝑣 𝑘𝑥׬ + 𝑑𝑥 = 0 
1
2
m 𝑣2 + 
1
2
k 𝑥2 = 𝐶1 = 𝐸𝑀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
Energía Cinética + Energía Potencial de la fuerza restitución = 𝐸𝑀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
Como no actúan fuerzas disipatívas la energía mecánica total es K + U = 𝐸𝑚
Si observamos el gráfico de Energía vs desplazamiento, en los extremos se tiene la 
Amplitud, por lo tanto allí la Energía Cinética es cero y solo se tiene Energía Potencial 
elástica, por lo tanto 
𝐸𝑚𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙= + 
1
2
k 𝑥2 pero como x = A 
U 𝑬𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍= 
𝟏
𝟐
k 𝑨𝟐
0
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Si se alcanza el punto donde la velocidad es máxima se tendrá
energía total E = 
1
2
m 𝑣2𝑚𝑎𝑥  𝑣𝑚𝑎𝑥 = 
2 𝐸
𝑚
Para un extremo x = A Tenemos E = 
1
2
K 𝐴2  𝑣𝑚𝑎𝑥 = 
𝐾
𝑚
.A = 𝜔. A
Para un punto cualquiera x, se plantea:
1
2
m 𝑣2 + 
1
2
k 𝑥2 = E = 
𝟏
𝟐
k 𝑨𝟐 despejo velocidad v= 
1
𝑚
(K𝑨𝟐− K𝑥2)
Resolvemos v = 
𝑘
𝑚
. 𝐴2 − 𝑥2 si 𝜔 = 
𝑘
𝑚
entonces
v = 𝜔. 𝐴2 − 𝑥2 Ecuación para calcular la velocidad
en cualquier punto 
El período puede calcularse de 
𝜔 = 
𝑘
𝑚
y como 𝜔 = 
2 𝜋
𝑇
Por lo tanto 𝑇 = 2𝜋
𝑚
𝐾
(s) también f = 
1
2𝜋
𝑘
𝑚
(1/s)
APLICACIONES DEL MAS
Péndulo SIMPLE:
Consideramos un péndulo donde oscila una
masa m soportada por un hilo inextensible L L
de masa despreciable
Fuerza restauradora 𝐹𝑇 = m . 𝑎𝑡
Si 𝑎𝑡 = 𝛼 . R = 𝛼 . L = L 
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
Y 𝐹𝑇 = mg sin 𝜃
Por lo tanto: - mg sin 𝜃 = m L 
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
- g sin 𝜃 = L 
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
entonces L 
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
+ g sin 𝜃 =0
entonces 
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
+ 
𝑔
𝐿
sin 𝜃 = 0
El movimiento no es armónico simple, debido a la presencia del 𝒔𝒊𝒏𝜽, sin 
embargo si el ángulo 𝜃 es pequeño lo que es cierto si la amplitud de las 
oscilaciones es pequeña, se puede aproximar sin 𝜃 ≅ 𝜃 en radianes y el 
movimiento es aproximadamente armónico simple, reemplazando se obtiene:
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
+ 
𝑔
𝐿
𝜃= 0 ecuación de MAS referida al movimiento angular
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L
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La solución de la ecuación es :
𝜃 = 𝜃𝑚 sin(𝜔𝑡 + 𝜑)
Donde 𝜃𝑚 es el desplazamiento angular máximo, la amplitud de la oscilación.
En este caso 𝝎 denota la frecuencia angular y no la velocidad angular 
Para el movimiento MAS angular del péndulo 𝜔2 = g/L entonces usando la 
ecuación que relaciona con el período T = 2𝜋 /𝜔
El período de la oscilación estará dado por la expresión:
T = 2𝜋
𝐿
𝑔
Se observa que el período es independiente de la masa del péndulo
Para mayores amplitudes la aproximación sin 𝜃 ≅ 𝜃 no es válida. En tal caso la 
fórmula del período depende de la amplitud, pudiéndose expresar por la serie:
T = 2𝜋
𝐿
𝑔
( 1 + 
1
4
𝑠𝑖𝑛2(
1
2
𝜃0) + 
9
64
𝑠𝑖𝑛4(
1
2
𝜃0) + …
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En el siguiente gráfico se observa la variación del período de un péndulo en 
función de la amplitud 
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Péndulo Compuesto (Físico)
Es cualquier cuerpo rígido que puede oscilar libremente alrededor de un eje 
horizontal bajo la acción de la gravedad.
La esquematización del péndulo es la siguiente: Z’
Donde ZZ’ eje horizontal 
“C” centro de masa Z
Cuando la línea OC hace un ángulo 𝜃 con la 
Vertical, la componente del torque actuante sobre
el cuerpo es 𝜏 = - mgb sin 𝜃
Además 𝜏 = I 𝛼
𝜏 = I 
d2𝜃
dt2
= - mgb sin 𝜃
I 
d2𝜃
dt2
+ mgb sin 𝜃 = 0
Suponiendo pequeñas oscilaciones sin 𝜃 ≅ 𝜃 y I = m 𝐾2 k radio de giro
d2𝜃
dt2
+ 
mgb
𝐼
𝜃= 0
Comparamos la ecuación obtenida y demostramos el movimiento es MAS
Con 𝜔2 = g b/𝑘2 por consiguiente el período de las oscilaciones 
Es T = 2𝜋
𝐾2
𝑏 𝑔
cantidad L = 
𝑘2
𝑏
longitud equivalente del péndulo 
simple
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Ejemplos de problemas de aplicación:
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Ejemplo de aplicación del libro ALONSO - FINN
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Superposición de dos MAS 
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Superposición de dos MAS 
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Dos MAS con
MISMA DIRECCION Y FRECUENCIA
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Consideramos 2 movimientos MAS en direcciones perpendiculares. Los 
movimientos son en un plano de modo que:
Escogemos para t=0 𝜑0=0 de modo que x = A sin(𝜔𝑡)
El movimiento a lo largo del eje Y es descripto por la ecuación
y = B sin(𝜔𝑡 + 𝜑0)
La trayectoria de la partícula obviamente esta limitada por las lineas:
x = ± A y = ± B
CONSIDERAMOS los siguientes casos:
1) Los dos MAS están en fase : 𝜑0=0  x = A sin(𝜔𝑡)
y= B sin(𝜔𝑡)
Que combinados obtenemos:
𝑦
𝑥
= 
B sin(𝜔𝑡)
A sin(𝜔𝑡) = 
𝐵
𝐴
 y = (
𝐵
𝐴
) x esta es la ecuación de la línea 
recta PQ de la figura
Debido a que el desplazamiento es a lo 
Largo de la línea PQ la amplitud del MAS
resultante es A’’ = 𝐴2 + 𝐵2
La ecuación del MAS resultante es:
r = 𝐴2 + 𝐵2 sin(𝜔𝑡)
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Si los movimientos están en oposición 𝜑0= 𝜋 e y= B sin(𝜔𝑡)
Combinando con la ecuación x = A sin(𝜔𝑡)
Nos da: y = ( 
𝐵
𝐴
) x la cual es la ecuación de la línea recta RS
Cuando 𝜑0= 
𝜋
2
los movimientos están en cuadratura y = B sin(𝜔𝑡 +
𝜋
2
)
y = B cos𝜔𝑡
Combinando con la ecuación x = A sin(𝜔𝑡)
Se obtiene:
𝑥2
𝐴2
+ 
𝑦2
𝐵2
= 1 que es la ecuación de la elipse de la figura, 
que es recorrida en el sentido de giro de las agujas de un reloj
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CURVAS DE LISSAJOUS
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OSCILACIONES AMORTIGUADAS
Consideramos el movimiento de un resorte con 
una parte dentro de un recipiente con líquido 
viscoso (glicerina)
Entonces en adición a la fuerza restauradora 
o elástica actúa otra fuerza opuesta a la velocidad
es la fuerza viscosa o amortiguadora
F= - Kx fuerza elástica
F’ = - b v fuerza amortiguadora
La fuerza resultante sobre el cuerpo es F + F’ y
la ecuación de movimiento es:
σ𝐹 = m.a
F + F’ = m.a
-Kx  b v = m.a recordando
que: v = 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
a = 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
Tenemos: m 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ b 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ Kx = 0
Es una ecuación diferencial, cuya solución para 
el caso de pequeño amortiguamiento x = A 𝑒−𝑏𝑡/2𝑚 cos(𝜔′𝑡 + 𝜑)
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Donde 𝜔′ =
𝑘
𝑚
−
𝑏2
(2𝑚)2
La amplitud de las oscilacionesno es constante y está dado por A’ = A 𝑒−𝑏𝑡/2𝑚
la amplitud decrece a medida que el tiempo aumenta resultando un 
movimiento amortiguado
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sentido
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Oscilaciones Forzadas
Se refiere cuando se aplica una fuerza oscilatoria externa a una partícula 
sometida a una fuerza elástica.
F = 𝐹0 cos(𝜔𝑓.t) esta fuerza externa compensa el amortiguamiento
F= - Kx fuerza elástica
F’ = - b v fuerza amortiguadora
Aplicamos σ𝐹 = m.a
𝐹0 cos(𝜔𝑓.t)  Kx  b v = m.a
m 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ b 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ Kx = 𝐹0 cos(𝜔𝑓.t) 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 
𝑏
𝑚
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 
𝑘
𝑚
x = 
𝐹0
𝑚
cos(𝜔𝑓.t) Ecuación diferencial de segundo orden
Suponemos como solución una expresión de la forma x = A sin(𝜔𝑡 − 𝛼)
La sustitución directa en la ecuación demuestra que será satisfecha si la 
amplitud esta dada por: 
Y la fase inicial del desplazamiento tan𝛼= 
𝜔2 − 𝜔20
2𝛾𝜔𝑓
Tanto la amplitud como la fase inicial no son constante
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El fenómeno de resonancia se manifiesta en la mayoría de los sistemas naturales. Es bien
conocido que cuando una formación de soldados cruza un puente, rompe el paso, para
evitar que la frecuencia de la marcha sea próxima a la frecuencia natural de la estructura.
La resonancia es observada con frecuencia en maquinaria rotatoria. Y sistemas atómicos o
nucleares exhiben fenómenos de resonancia cuando son excitados con luz o partículas.
El fenómeno de resonancia se produce cuando la frecuencia angular de la fuerza externa 
coincide con la frecuencia natural de oscilación del sistema, con un aumento de la 
amplitud.
Ejemplos de esto son un muelle que haces oscilar moviendo la mano de arriba hacia abajo 
y consigues que oscile con gran amplitud, o el hecho de empujar el columpio que 
consigues que se mueva con gran amplitud
Se destaca que la resonancia no se produce porque la fuerza externa sea muy grande sino 
porque coinciden las frecuencias.
Cuando el amortiguamiento es pequeño, las oscilaciones forzadas alcanzan su máximo
amplitud de desplazamiento, si la frecuencia de la fuerza externa es igual a la frecuencia
natural. A este estados se loa conoce como resonancia y a la frecuencia correspondiente
“𝜔” como la frecuencia angular resonante.
Ejemplo de caso de resonancia del viento que generaba vortices, ocasionando pequeños
soplos que golpeaban el puente con una frecuencia una de las frecuencias naturales.
Puente Tacoma Narrow, en Washington en 1940.
Escriba aquí la ecuación.
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AMPLITUD DE UN OSCILADOR FORZADO
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AMPLITUD DE UN OSCILADOR FORZADO
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