Clase 18 movimiento ondulatorio y ejercicios de aplicación 2019 - March DR

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Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Principio de superposición
Reflexión de ondas 
Ondas complejas. Ondas estacionarias
Resonancia 
Ejemplos de aplicación 
UNIDAD 11 
MOVIMIENTO ONDULATORIO
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Principio de superposición 
Dos ondas o mas, pueden desplazarse simultáneamente por la misma región del espacio. Combinar los desplazamientos de los pulsos individuales en cada punto para obtener el desplazamiento real es un ejemplo de superposición de ondas. 
El Principio de Superposición puede expresarse como: cuando varias ondas se combinan en un punto el desplazamiento de una partícula cualquiera en determinado momento, es simplemente la suma de los desplazamientos que podrían producir las ondas que actúan de manera individual. 
Por ejemplo si dos ondas se desplazan simultáneamente a través de la misma cuerda estirada. Sean dos ondas (x,t) y (x,t) el desplazamiento de la cuerda cuando actúan ambas ondas será:
		y(x,t) = (x,t) + (x,t) Principio de superposición
La siguiente figura muestra la secuencia temporal de este principio
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Dos pulsos desplazándose
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Dos trenes de ondas
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Interferencia de onda o superposición de onda
Consideramos las ondas: (x,t) = A . 
			 (x,t) = A . 
La onda resultante, tomamos la suma de la ecuaciones:
	 y(x,t) = (x,t) + (x,t) 
	 y(x,t) = A . + A . 
Utilizando la identidad trigonométrica de la suma de los senos de dos ángulos
	 + = 2. . 
Reemplazamos y ordenamos tendremos:
Si los argumentos son A = 
		 B = 
Entonces: y(x,t) = (2A . ) . 
Esta onda resultante corresponde a una nueva onda que tiene la misma frecuencia pero con una amplitud que es el termino A’ = 2A . 
Siendo = diferencia de fases entre las ondas.
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Si = 0 la suma de las ondas es: y(x,t) = 2 A 
Se dice que la interferencia es constructiva
 Si = 180º = la suma de las ondas tiene amplitud cero, es: y(x,t) = 0
Se dice que la interferencia es destructiva
La siguiente imagen lo ejemplifica:
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Ondas Estacionarias
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
En la imagen se observa dos ondas que se desplazan en sentidos opuestos la roja hacia la izquierda la azul hacia la derecha
Generando un onda estacionaria de color negro, esta onda no se desplaza y se observan los puntos rojos que son partículas que están en reposo, esas posiciones se denominan nodos.
La posición de las partículas que alcanzan la máxima amplitud se denominan antinodos
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Para deducir la función de onda para la onda estacionaria, consideramos dos trenes de onda que tienen la misma rapidez de propagación, la misma longitud de onda y la misma amplitud. Una onda se desplaza o viaja hacia la derecha de las x, mientras que la otra onda se desplaza o viaja hacia la izquierda. 
Las ondas son:
		(x,t) = A . hacia la derecha
		(x,t) = A . hacia la izquierda
La onda estacionaria se obtiene al sumar las dos ondas, de modo que:
 y(x, t) = (x,t) + (x,t) 
		 y(x, t) = A . + A . 
Podemos replantear los términos utilizando las identidades trigonométricas para el seno de la diferencia y suma de dos ángulos 
 	sen (a-b) = sen (a) cos (b) – sen (b) cos (a)
	sen (a+b) = sen (a) cos (b) + sen (b) cos (a)
Entonces 
 y(x, t) = A. (  ) + A.( + )
 y(x, t) = A. (  + + )
 y(x, t) = 2 A 
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
La onda estacionaria obtenida tiene la siguiente ecuación:
 y(x, t) = 2 A 
Donde la expresión (2 A ) es la amplitud de la onda resultante y depende de la posición.
La expresión es y(x, t) = (2 A ) 
		y(x, t) = A* 
La ecuación tiene dos factores: una que es función de x y otro función de t
La onda permanece en la misma posición, oscilando verticalmente según el factor: 
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
De acuerdo a la expresión de la Amplitud de una onda estacionaria, la amplitud no es igual en las partículas, sino que varia con la ubicación “x” de la partícula. 
Se observa que la amplitud tiene un valor máximo cuando la expresión 
 2 A = 2A 
Por lo tanto esto va a ocurrir en la posiciones donde el argumento del seno sea
	 k.x = ; ; 
Es decir podemos escribir la expresión
	k.x = ( n + ) donde n = 0, 1, 2, 3, …
Si se sustituye la expresión del numero de ondas k = entonces se tiene :
 	 .x = ( n + ) 
	 x = ( n + ) donde n = 0, 1, 2, 3, …
Estas posiciones donde la amplitud es máxima se denominan antinodos 
Para n=0 	 x = 
 n=1		 x = 
Donde se puede observar que la separación entre dos puntos o antinodos es igual a media longitud de onda 
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Ahora la posiciones donde se tiene el valor cero es decir los puntos que permanecen en reposo, son aquellas donde el argumento es :
	 k.x = ; ; ; …
Es decir se puede escribir en forma general
	 k.x = n . donde n = 0, 1, 2, 3, …
Si se sustituye la expresión del numero de ondas k = entonces se tiene :
	 .x = n . 
	 x = n 		donde n = 0, 1, 2, 3, …
Estas posiciones donde la amplitud es cero, se denominan nodos y corresponden
Para n=0		x = 0
 n= 1 x = 
 n=2 x = 
Donde se puede observar que la separación entre dos puntos o nodos es igual a media longitud de onda 
En la siguiente figura se puede visualizar lo expresado
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Si tenemos una cuerda de longitud L que está sujeta por ambos extremos, si se pulsa se tendra una onda estacionaria con un nodo en ambos extremos y un antinodo en la mitad
La siguiente figura nos muestras las vibraciones
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Se deduce de la imagen que la condicion de una onda estacionaria que debe crearse en una cuerda de longitud L fija en ambos extremos es:
		L = n con n= 1 , 2, 3, 4 , . . . 
Si usamos la expresion de la velocidad de propagacion de la onda v = .f se puede escribir la ecuacion de la siguiente forma:
		f = = n 		con n= 1 , 2, 3, 4 , . . . 
Que son las frecuencias permitidas de las ondas estacionarias
Estas frecuencias se llaman armónicos y la serie es una serie armónica 
El modo normal de un sistema oscilante es un movimiento en el que todas las partículas del sistema se mueven senoidalmente con la misma frecuencia.
En el caso de una cuerda fija en ambos extremos de longitud L , cada una de las longitudes de onda corresponden al patrón y frecuencia de un posible modo normal de vibración:
Frecuencia fundamental o primer armónico: = 2L
Primer sobretono o segundo armónico: = L
Segundo sobretono o tercer armónico: = 
Tercer sobretono o cuarto armónico: = 
En la figura siguiente se observan estos armónicos
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Armónicos en una cuerda fija en ambos extremos
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Ejercicio 2- Un veraneante que descansa en la playa observa que durante los últimos 30 minutos han arribado 90 olas a la orilla. Luego se mete al mar y se dirige nadando hacia un bote anclado y ubicado a 450 m mar adentro, tomándole un total de 5 minutos en llegar. En el trayecto el nadador sorteó 60 olas. Halle la velocidad con que las olas se acercan a la orilla.
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
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