31289_ConstrastesdeHipotesis

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA 
FACULTAD DE ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA 
DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA Y ECONOMETRÍA 
 
 
UNIDAD IV: Inferencia Estadística PROFESOR HUGO GONZÁLEZ A. 
 
 
 
 
 
 
CONTRASTES DE HIPÓTESIS 
 
 
 I.- Conceptos Básicos: 
 
 
 
 
HIPÓTESIS: De acuerdo al diccionario el concepto de hipótesis es “ Suposición 
imaginada, sin pruebas o con pruebas insuficientes, para deducir de ella ciertas 
conclusiones que están de acuerdo con los hechos reales, mientras que una HIPÓTESIS 
DE TRABAJO, es la que se formula, no con el fin de elaborar una teoría, sino para servir 
de guía en una investigación científica”.(1)
La definición anterior, permite establecer que una hipótesis es una posible 
explicación respecto de un determinado fenómeno. 
 
HIPÓTESIS ESTADÍSTICA: Es una posible explicación respecto del efecto que tiene 
sobre una población un factor o tratamiento específico, efecto que se refleja en el 
comportamiento probabilístico de ésta. Considerando que el comportamiento probabilístico 
de una población es descrito a través de una ley de probabilidades y que las leyes de 
probabilidades se identifican por los parámetros, se tiene que las hipótesis estadísticas se 
reducen a asignaciones numéricas o relaciones entre parámetros poblacionales. 
Obs.: En este contexto se llama factor o tratamiento a cualquier fenómeno que pueda 
ser la causa atribuible a los cambios experimentados por la población. 
 
CONTRASTE DE HIPÓTESIS: Es la confrontación entre dos afirmaciones que tratan de 
explicar a la población de manera contrapuesta. La realización de un contraste requiere de 
los elementos de prueba que permitan establecer cual de las explicaciones ( hipótesis) es la 
que mejor se ajusta a la realidad, estos elementos de prueba se constituyen con la 
información que proporciona una muestra aleatoria de la población objetivo. 
 Las hipótesis que participan en un contraste se denominan genéricamente Hipótesis 
Nula e Hipótesis alternativa. 
 
HIPÓTESIS NULA (H0): Es la explicación formulada en base que el tratamiento no tiene 
efectos significativos sobre la población, por lo que se plantea basándose en los 
antecedentes conocidos ésta, de ahí que la hipótesis nula tiene la connotación de “NO 
CAMBIO”. El rol de H0 en el contraste es permitir la identificación de la distribución de 
probabilidades sobre la cual se evaluará la información muestral. 
 
HIPÓTESIS ALTERNATIVA (H1): Es la afirmación que conlleva el cambio, es decir, la 
que establece el efecto del tratamiento sobre la población. En general, puede asociarse con 
la idea de hipótesis de trabajo. Su rol en el contraste es identificarlo y orientar la 
construcción de la regla de decisión. 
 
ESTADÍSTICA DE PRUEBA (T): Es la medida que resume la información 
proporcionada por la muestra aleatoria, con base a la cual se tomará la decisión. Ésta 
medida está dada por la mejor estimación del parámetro considerado para explicar a la 
población. 
 
( )n21 X,...,X,XgˆT =θ= 
 
 Para efectos operativos, la estadística de prueba puede ser trabajada directamente 
sobre la base de su distribución de muestreo construida bajo H0, o bien estandarizada de 
acuerdo a esta misma distribución. 
 
 
 
(1) Microsoft Bookshelf en Español – Diccionario de la Lengua Española 
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UNIDAD IV: Inferencia Estadística PROFESOR HUGO GONZÁLEZ A. 
 
REGIÓN CRÍTICA (R.C. o R.R.): Conjunto de valores del parámetro que favorecen lo 
establecido por la hipótesis alternativa, es decir, conjunto de valores posibles para la 
estadística de prueba que conducen a la decisión de rechazar H0. 
 Dado el carácter de número real que tienen los parámetros poblacionales, la región 
crítica o región de rechazo tiene la forma de un intervalo real, cuyo(s) punto(s) frontera(s), 
se denomina(n) PUNTO(S) CRÍTICO(S). 
 
 
NIVEL DE SIGNIFICACIÓN (α) : Es la probabilidad asociada al hecho de que la 
estadística de prueba se encuentre en la región crítica, probabilidad que se obtiene de 
acuerdo a la distribución de muestreo construida bajo H0. 
 
Considerando la naturaleza de esta probabilidad “evaluar la posible pertenencia de 
la estadística a la R.C.”, o sea evaluar la opción de rechazar H0, que se realiza de acuerdo a 
lo que establece esta misma hipótesis, se puede asociar al nivel de significación como una 
medida del riesgo dado por tomar una decisión equivocada, cual es, “Rechazar H0 teniendo 
como base que H0 es cierta”. 
α = P(Τ ∈ R.C. / H0 ) 
 Dado el carácter de medida de riesgo que tiene el nivel de significación, ésta puede 
ser fijado a priori por el administrador (presupuesto), de acuerdo a los aspectos particulares 
en los que se circunscribe la situación que le interesa conocer. 
 
p-VALUE (p ∨ α*): Es el mínimo valor asociado al nivel de significación., es decir, la 
menor probabilidad para el rechazo de H0 , cuando H0 es cierta. Esta probabilidad depende 
exclusivamente del contraste y de la información proporcionada por la muestra de trabajo 
(estadística de prueba), por lo que puede asociarse a la idea de costo que debe asumirse por 
la equivocación. 
 
α* = mín{α /α =P(Τ∈R.C./H0)} 
 
El p-value o simplemente probabilidad para la mayoría de los software especializados, se 
utiliza de acuerdo al siguiente criterio: 
 
Si α* < 0,01 ⇒ Se rechaza H0 
Si α* > 0,1 ⇒ No se rechaza H0 
Si 0,01 ≤ α* ≤ 0,1 ⇒ Se rechaza H0 ⇔ α ≥ α*
 
Una esquematización de los conceptos anteriores: 
 
 
NO RECHAZAR H0
Θ0 Θ1
RECHAZAR H0 
α
Conjunto de valores de la estadística 
que favorecen lo establecido por H0
Conjunto de valores de la estadística 
que favorecen lo establecido por H1
R.C
( )n21 X,...,X,XgˆT =θ= 
Estadística de prueba proporcionada por {X1, X2, . . . Xn} 
 H0 V/S H1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo: 
 El gerente de personal de una empresa piensa que la productividad de sus 
trabajadores no es adecuada a los requerimientos del mercado ni a la tecnología en uso, por 
lo que considera la alternativa de diseñar un plan de capacitación y estímulo económico 
para los trabajadores. Resulta evidente que los costos asociados a este plan deben ser 
cubiertos por los ingresos que produzca la aplicación de la misma política, por lo que su 
aplicación exige una certeza respecto de la efectividad del plan. 
 
 Según los registros de producción, la producción semanal media por trabajador se 
encuentra en torno a las 250 unidades, con una desviación estándar de 32 unidades. 
 
a) De acuerdo a la situación descrita ¿Cuál es el contraste de interés y la estadística de 
prueba? 
b) El gerente implementará el plan diseñado en la empresa, sólo si puede comprobar 
que éste es eficiente, para lo cual decide aplicarlo de manera experimental en un 
grupo de 20 trabajadores. ¿Cuál debe ser el rendimiento mínimo que muestren los 
trabajadores para convencerlo de aplicar el plan a todos los trabajadores, si el riesgo 
de implementarlo cuando no es eficiente, no puede ocurrir con una probabilidad 
mayor al 1%? 
 
Según la situación descrita, la decisión de implementar el plan diseñado, depende 
fundamentalmente del rendimiento de los trabajadores, por lo tanto las opciones son dejar 
la situación tal como está o bien implementarlo, así: 
 
H0 : El plan diseñado por el gerente no produce cambios relevantes en la productividad de 
los trabajadores. 
 
H1 : El plan diseñado por el gerente produce cambiosrelevantes en la productividad de los 
trabajadores. 
 
Luego, si X = Nº de unidades producidas semanalmente por trabajador, es lógico 
pensar que si el plan diseñado es efectivo, el rendimiento tiene que incrementarse y por lo 
tanto debe incrementarse la producción media por trabajador, lo que conduce a que el 
contraste pueda formularse de la siguiente manera: 
 
H0 : µ = 250 
H1 : µ > 250 
 
 Dado que el parámetro considerado en el contraste el rendimiento semanal medio de 
los trabajadores, entonces la estadística de prueba es el rendimiento promedio en una 
muestra de trabajadores. 
 
 Dada las características del experimento y las condiciones fijadas por el gerente, la 
implementación del plan se realizará sólo si la producción observada en los trabajadores 
que participen en el plan piloto es significativamente superior a la registrada con 
anterioridad y teniendo en cuenta que la probabilidad de equivocarse en su decisión es del 
1%, esto nos indica que la región crítica se ubica a la derecha de la distribución, 
consignando un área de probabilidad igual al 1% es esa zona. 
 
Graficando la situación en la distribución normal estándar, se tiene que la región 
crítica comienza a partir de 2,33 (2,33 = punto crítico). 
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UNIDAD IV: Inferencia Estadística PROFE
 
 
 
 
 Además, si se tiene presente que en este caso la variable aleatoria Z está dada por la 
estandarización del promedio, es decir: 
0,01 
0 2,33 
n
XZ
σ
µ−
= 
y teniendo en cuenta que su valor numérico es 2,33; entonces al igualar y despejar al 
promedio, se obtiene: 
n
33,2X σ⋅+µ= 
expresión que al reemplazar los datos: 
 
672,266
20
3233,2250X =⋅+= 
 Es decir, el plan diseñado por el gerente será aplicado a todos los trabajadores, sólo 
si los resultados obtenidos de la aplicación en carácter de experimental sobre los 20 
trabajadores que formarán parte de la prueba, arroja una producción semanal promedio por 
trabajador de a lo menos 266,672 unidades. Este es el valor mínimo para calificar al plan 
como eficiente. 
 
Gráficamente: 
Lo que nos permite establecer formalmente que la región crítica e
0,01 
0
 
{ 672,266X.C.R ≥= 
Si la estadística es utilizada directamente, o bien 
 
{ 33,2Z.C.R ≥= 
 
Si la estadística es estandarizada, según la distribución de 
acuerdo a lo establecido por H0 
 
 
 
 
 
 
 
266,672
25
SOR HUGO GONZÁLEZ A. 
 
stá dada por: 
muestreo caracterizada de 
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II.- Clasificación De Contrastes
 
 Los contrastes se clasifican de acuerdo a lo establecido por la hipótesis alternativa, 
de acuerdo a ésta, un contraste puede ser: 
 
EXACTO: Este tipo de contraste se presenta toda vez que la hipótesis alternativa cuantifica 
la magnitud del cambio. 
 
Por ejemplo: 
 En la situación descrita anteriormente, el gerente considerará efectivo el plan 
diseñado, si logra incrementar la producción en un promedio de 25 unidades semanales por 
trabajador. En este caso el contraste a considerar es: 
 
 H0 : µ = 250 
H1 : µ = 275 
 
INEXACTO: Contraste que se presenta cuando la hipótesis alternativa establece la 
ocurrencia de un cambio, sin especificar la magnitud de éste. 
 
Por ejemplo: 
 El contraste formulado en la situación descrita originalmente, donde la 
política se implementará sólo si esta produce un incremento significativo, no especificando 
la magnitud del cambio: 
H0 : µ = 250 
H1 : µ > 250 
 Los contraste no exactos, admiten además una subclasificación de acuerdo al tipo de 
cambio establecido, distinguiéndose los contraste Unilaterales y Bilaterales. 
 
CONTRASTE UNILATERAL: “El cambio” indicado por la hipótesis alternativa se 
produce en un sólo sentido, ya sea por incremento en el parámetro – CONTRASTE 
UNILATERAL DERECHO - o por decrecimiento de éste – CONTRASTE 
UNILATERAL IZQUIERDO. 
 
En la práctica muchos lo conocen como prueba de “una cola” 
 
CONTRASTE BILATERAL : “El cambio” indicado por la hipótesis alternativa se 
puede producir en cualquier sentido, ya sea por incremento o decrecimiento en el 
parámetro. 
 En la práctica se les denomina prueba de “dos colas”. 
 
Así los diferentes contraste que pueden formularse respecto del parámetro θ son: 
 
CONTRASTE UNILATERAL DERECHO H0 : θ = k v/s H1 : θ > k 
CONTRASTE UNILATERAL IZQUIERDO H0 : θ = k v/s H1 : θ < k 
CONTRASTE BILATERAL H0 : θ = k v/s H1 : θ ≠ k 
CONTRASTE EXACTO H0 : θ = k v/s H1 : θ = r 
 
III.- Construcción de la regla de decisión (R.C.)
 
Si T = g(X1 , X2 , X3 , . . . Xn) es la estadística de prueba en base a la cual se tomará 
la decisión y α es el nivel de significación establecido, entonces la regla de decisión se 
construye de acuerdo al tipo de contraste. Así la correspondiente región crítica de tamaño α 
(regla de decisión), según el tipo de contraste, se define de la siguiente manera. 
 
 
 
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CONTRASTE REGIÓN CRÍTICA 
Unilateral Derecho 
H0 : θ = k v/s H1 : θ > k 
 Si H1 es cierta y teniendo presente que T 
es un buen estimador puntual de θ, entonces 
es lógico esperar que el valor de T sea 
grande respecto del consignado por H0, por 
lo que éste debería ubicarse en el extremo 
derecho de la distribución de muestreo de T. 
R.C. = { T ≥ C 
 
 donde 
 
P(T ≥ C) = α 
 
Representación 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONTRASTE REGIÓN CRÍTICA 
Unilateral Izquierdo 
H0 : θ = k v/s H1 : θ < k 
 De manera análoga, si H1 es cierta, 
entonces es lógico esperar que el valor de T 
sea pequeño respecto de lo establecido en 
H0, por lo que éste debería ubicarse en el 
extremo derecho de la distribución de 
muestreo de T. 
R.C. = { T ≤ C 
 
 donde 
 
P(T ≤ C) = α 
 
Representación 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONTRASTE REGIÓN CRÍTICA 
Bilateral 
H0 : θ = k v/s H1 : θ ≠ k 
 De manera análoga, si H1 es cierta, 
entonces es lógico esperar que el valor de T 
sea muy pequeño respecto de lo establecido 
en H0, o bien muy grande, por lo que éste 
debería ubicarse en alguno de los extremos 
de la distribución de muestreo de T. 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
∨
≤
2
1
CT
CT
.C.R 
 
 donde 
 
P(T ≤ C1) = P(T ≥ C2) = α/2 
 
Representación: 
R.C. 
α 
 C 
R.C. 
α 
 C 
 R.C. 
α/2 
R.C. 
α/2 
 C2 C1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CONTRASTE REGIÓN CRÍTICA 
EXACTO: 
H0 : θ = k v/s H1 : θ = r 
 En un contraste exacto, la región de 
rechazo para H0 depende de la posición de 
“r” respecto de “k”, procediendo de acuerdo 
a un contraste unilateral derecho si r > k o 
izquierdo si r < k. 
 
R.C. = { T ≥ C si r > k 
 O bien 
 R.C. = { T ≤ C si r < k 
 
 
 
IV.- Contrastes más frecuentes: 
 C O N T R A S T E S D E H I P O T É S I S 
PARÁMETRO HIPÓTESIS 
NULA 
ESTADÍSTICA 
DE PRUEBA 
ESTANDARIZACIÓN 
 (Bajo H0) 
MEDIA H0 : µ = k X
X
n
i
i
n
=
∑
=1 
ZOBS = 
X k
n
−
σ
 ~ N(0,1) 
TOBS = 
X k
S
n
−
 ~ t(n-1) 
 
 
PROPORCIÓN 
 
 
H0 : p = k 
 
p X
n
^
= ZOBS = 
p k
k k
n
∧
−
−*( )1
 ~ N(0,1) 
 
 
VARIANZA 
 
 
H0 : σ2 = k 
( )
S
X X
n
i
in
2
2
1
1
=
−∑
−
=
 
 
( )
χOBS
n S
k
2
21
=
− *
 ~ χ2 (n-1) 
DIFERENCIA 
DE 
MEDIAS 
(m.a. indep) 
H0 : µ1 = µ2 + k
 
⇕ 
 
H0 : µ1 - µ2 = k 
X X1 2− 
ZOBS =
( )X X k
n n
1 2
1
2
1
2
2
2
− −
+
σ σ
 ~ N(0,1) 
TOBS = 
( )
*
X X k
S
n nc
1 2
1 2
1 1
− −
+
~ t(n1+n2-2) 
TOBS= 
( )X X k
S
n
S
n
1 2
1
2
1
2
2
2
− −
+
 ~ t(ν) 
DIFERENCIA 
DE MEDIAS 
(m.a. pareada) 
H0 : µ1 = µ2 +k
 ⇕ 
H0 : µ1 - µ2 = k 
 ⇕ 
H0 : µD = k 
n
d
d
n
1i
i∑
== 
di = xi - yi
 
TOBS = 
d k
S
n
D
−
 ~ t(n-1) 
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DIFERENCIA 
DE 
PROPORCIO-
NES 
H0 : p1 = p2 + k 
⇕ 
H0 : p1 - p2 = k 
(**) 
p p
∧ ∧
−1 2 
ZOBS = 
p p k
p q
n
p q
n
∧ ∧
∧ ∧ ∧ ∧
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ −
•
+
•
1 2
1 1
1
2 2
2
~ 
(0,1) 
RAZÓN DE 
VARIANZAS 
H0 : σ σ 1
2
2
2=
⇕ 
H0: σ σ
1
2
2
2 = k 
S
S
1
2
2
2 FOBS = 
S
S k
1
2
2
2
1* ~ f (n1 –1,n2 –1)
 (**) Si k = 0 , entonces H0: p1 = p2 , la estadística de prueba es : 
 
p p
p q
n nc c
∧ ∧
∧ ∧
−⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1 2
1 2
1 1*
 Z = ~ N(0,1) con p X X
n n
n p n p
n nc
∧
∧ ∧
=
+
+
=
+
+
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
( ) ( )
 
Además: 
 
ν =
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
−
S
n
S
n
S
n
n
S
n
n
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
21 1
2S
n S n S
n nc
2 1 1
2
2 2
2
1 2
1 1
2
=
− + −
+ −
* *
 y 
 
Las regiones críticas en cada caso, se construyen de acuerdo al criterio de decisión 
construidos en III, teniendo en cuenta la distribución muestral asociada a la estadística de 
prueba, así por ejemplo: 
 
a) Prueba de hipótesis para la media poblacional con varianza conocida: 
 
Contraste Formulación R.C. Estadística 
Estandarizada 
R.C. Estadística sin 
estandarizar 
U. Derecho H0: θ = k v/s H1: θ > k ZOBS ≥ z 1-α nkX -1
σ
+≥ αz 
U. Izquierdo H0: θ = k v/s H1: θ < k ZOBS ≤ -z 1-α nkX -1
σ
−≤ αz 
Bilateral H0: θ = k v/s H1: θ ≠ k 
ZOBS ≤ -z 1-α/2 
∨ 
ZOBS ≥ z 1-α/2
n
kX 2/-1
σ
−≤ αz 
∨ 
n
kX 2/-1
σ
+≥ αz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 b) De manera análoga para una prueba de hipótesis para la varianza poblacional, se tiene: 
 
 
 
 
 
 
 
Contraste Formulación R.C. Estadística 
Estandarizada 
R.C. Estadística sin 
estandarizar 
U. Derecho H0: σ2 = k v/s H1: σ2 > k 
2
)1n(;1
2
OBS −α−χ≥χ 
1n
S
22
)1n(;12
−
σ⋅χ
≥ −α− 
U. Izquierdo H0: σ2 = k v/s H1: σ2 < k 
2
)1n(;
2
OBS −αχ≤χ 
1n
S
22
)1n(;2
−
σ⋅χ
≤ −α 
Bilateral H0: σ2 = k v/s H1: σ2 ≠ k 
2
)1n(;2/
2
OBS −αχ≤χ
∨ 
2
)1n(;2/1
2
OBS −α−χ≥χ 
1n
S
22
)1n(;2/2
−
σ⋅χ
≤ −α 
∨ 
1n
S
22
)1n(;2/12
−
σ⋅χ
≥ −α− 
 
c) Y para la comparación de varianzas: 
 
Contraste Formulación R.C. Estadística 
Estandarizada 
R.C. Estadística sin 
estandarizar 
U. Derecho 
kk:H 2
2
2
12
2
2
10 =σ
σ
⇔σ=σ
v/s 
kk:H 2
2
2
12
2
2
11 >σ
σ
⇔σ>σ
( )1n,1n;12
2
2
1
21
f
k
1
S
S
−−α−≥⋅ ( )1n,1n;12
2
2
1
21
fk
S
S
−−α−⋅≥ 
U. Izquierdo 
kk:H 2
2
2
12
2
2
10 =σ
σ
⇔σ=σ
v/s 
kk:H 2
2
2
12
2
2
11 <σ
σ
⇔σ<σ
( )1n,1n;2
2
2
1
21
f
k
1
S
S
−−α≤⋅ ( )1n,1n;2
2
2
1
21
fk
S
S
−−α⋅≤ 
Bilateral 
kk:H 2
2
2
12
2
2
10 =σ
σ
⇔σ=σ
v/s 
kk:H 2
2
2
12
2
2
11 ≠σ
σ
⇔σ≠σ
( )1n,1n;2/2
2
2
1
21
f
k
1
S
S
−−α≤⋅ 
∨ 
( )1n,1n;2/12
2
2
1
21
f
k
1
S
S
−−α−≥⋅
( )1n,1n;2/2
2
2
1
21
fk
S
S
−−α⋅≤ 
∨ 
( )1n,1n;2/12
2
2
1
21
fk
S
S
−−α−⋅≥ 
 
Ejercicio: Establezca la región crítica para los contrastes referidos a diferencias de medias 
y diferencias de proporciones. 
 
 V.- El Concepto de Significancia: 
 
 En un contraste, la decisión depende exclusivamente de la información muestral, la 
que puede conducir a rechazar o no la hipótesis nula. El rechazo de la Hipótesis nula se 
produce cuando la diferencia entre lo que esta establece y la estadística de prueba obtenida 
a partir de la muestra de trabajo es SIGNIFICATIVA. 
 Que esta diferencia sea significativa, quiere decir que ésta no es atribuible a la 
casualidad, es decir, no es a consecuencia de los efectos de los factores aleatorios. Si se 
tiene presente que los factores aleatorios son la causa de la variabilidad; también se puede 
afirmar que la diferencia es significativa cuando ésta se encuentra fuera de los márgenes 
permitidos por la variabilidad. 
 
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Lo anterior, permite establecer que la significancia de una diferencia, dice relación 
con el nivel de variabilidad de la población, o sea, diferencias pequeñas son significativas 
sólo si la varianza es pequeña. 
 
 
 
 
 
Por ejemplo, Si consideramos el contraste en el que H0 : µ = 80 y de la muestra aleatoria, 
se obtiene un promedio de 90, la significancia de esta diferencia entre 80 y 90, depende 
exclusivamente de σ2, así gráficamente: 
 
 
 
 
 Se puede observar que de acuerdo a la curva B, la diferencia no es significativa, 
mientras que en la curva D, la diferencia sí lo es. 
 
 Lo anterior, se puede conceptuar también como sigue. Una diferencia significativa, 
es muy poco probable de obtener, por lo que se infiere que si esta se ha obtenido, es por que 
ha habido un cambio notorio en la población. 
 
Obs: Nótese en la figura, que mientras más significativa es la diferencia, menor es el área 
(probabilidad) que queda en “la cola”. 
 
VII.- La decisión y sus consecuencias: 
 
a) Tipos de Errores: 
 
 Como ya se estableció en el punto anterior, la decisión de rechazar o no H0, depende 
exclusivamente de la información proporcionada por la muestra de trabajo, la que no 
considera absolutamente en nada el verdadero estado de H0 , de ahí que la decisión final 
puede ser correcta a incorrecta. 
 Lo anterior, se visualiza en la siguiente tabla: 
 
ESTADO DE H0 DECISIÓN H0 es Verdadera H0 es Falsa 
Rechazar H0 Decisión Errónea Decisión Correcta 
No rechazar H0 Decisión Correcta Decisión Errónea 
 
Las decisiones erróneas se presentan toda vez que se rechaza H0 siendo esta 
verdadera, lo que constituye un ERROR DE TIPO I o bien cuando no se rechaza H0 
siendo ésta falsa, lo que constituye un ERROR DE TIPO II. 
Un buen contraste se caracteriza por que la ocurrencia de los errores tengan una 
muy baja frecuencia, es decir, sus probabilidades de ocurrencia sean pequeñas. Si se tiene 
presente que los errores se producen por rechazar o no H0 y que el rechazo se produce 
cuando la estadística de prueba (T), se encuentra en la Región Crítica, tales probabilidades 
están dadas por: 
 
 
 
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α = P(Error Tipo I) 
 = P(Rechazar H0 / H0 es verdadero) 
 = P(T ∈ R.C./ H0 es verdadero) 
 
β = P(Error Tipo II) 
 = P(No rechazar H0 / H0 es falso) 
 = P(T ∉ R.C./ H0 es falso) 
 
 
Probabilidades que tienen el carácter de probabilidades condicionales (dependen del 
verdadero estado de H0 ) 
 
 Obs.: Nótese que la probabilidad de ocurrencia de un error de tipo I está dada por α y que 
α es el nivel de significación del contraste, además, según se estableció en el punto I, éste 
puede ser determinado con antelaciónpor el investigador; lo anterior, conlleva el hecho que 
la prioridad en “el control” en la ocurrencia de los errores está puesta en el error de tipo I, 
lo anterior se puede fundamentar de la siguiente manera: “El error que se produce al 
asumir un cambio cuando en realidad no ha ocurrido, es más difícil de revertir que aquel 
que se produce cuando no se asume el cambio que ocurrió”. Desde una perspectiva 
económica, con el error de tipo I se tiene pérdidas efectivas, mientras que con el error de 
tipo II se tiene pérdida de oportunidad. 
 
 Sin embargo ambos errores, están relacionados entre sí a través del punto crítico, 
gráficamente para el contraste: 
 
H0 : θ = k v/s H1 : θ = r con r > k, se puede establecer observar que: 
 
 
b) El concepto de potencia: 
 
 La potencia de un contraste dice relación con la bondad de éste para detectar la 
falsedad de H0. Lo anterior permite establecer que si a través del contraste se puede 
detectar fácilmente la falsedad de H0, entonces, la decisión evidente es rechazar H0, por lo 
que la potencia se mide a través de 1-β, donde: 
 
1 - β = P(Rechazar H0 / H0 es falso) 
 = P (T ∈ R.C./ H0 es falso) 
 
Obs.: Es en el contexto de la falsedad de H0, donde cobra importancia el que un contraste 
sea exacto o no, es decir, en la evaluación de β y 1−β, puesto que en contraste exacto, estas 
medidas son específicas, mientras que en los contrastes inexactos pasan a ser funciones que 
dependen exclusivamente de los distintos valores que pueda tomar el parámetro, las que se 
denominan Función de Potencia (1−β) y Función Característica (β). 
 
Así, la función de potencia para los diferentes tipos de contrastes son: 
 
 
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a) Contraste Unilateral Derecho: H0 : θ = k v/s H1 : θ > k 
 
 
 
 
 
b) Contraste Unilateral Izquierdo: H0 : θ = k v/s H1 : θ < k 
 
 
 
c) Contraste Bilateral H0 : θ = k v/s H1 : θ ≠ k 
 
 
 
 
 
 
 
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VIII.- Respecto de los tamaños muestrales: 
 
En el contexto de los contrastes de hipótesis y de manera análoga a la estimación, 
debe tenerse presente que el tamaño muestral se relaciona: 
 
• Directamente con la variabilidad de la población (σ2) 
• Inversamente con la magnitud de los errores (α y β) 
 
• Inversamente con la magnitud de la diferencia entre lo establecido por H0 y H1 
(θ0 - θ1) 
 
Así, para el contraste: 
 
 H0 : µ = k v/s H1: µ = r (con r > k) se tiene: 
 
 R.C. = { X C≥
P chazar H H(Re /0 0 es Verdadera)
P No chazar H H( Re /0 0 es Falsa)
donde: 
 α = 
 β = 
 
es decir: 
α µ= ≥ =P X C k( / ) 
β µ= < =P X C r( / ) 
 
Estandarizando en cada caso se tiene: 
 
α
σ
= ≥
−
⎛
⎝
⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟
⎟⎟
P Z C k
n
⇒ 
C k
n
−
σ
= z 1−α 
β
σ
= <
−
⎛
⎝
⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟
⎟⎟
P Z C r
n
C r
n
−
σ
 ⇒ = z β = - z 1−β
 
Ordenando términos, se tiene: 
 
 C - k = z 1−α σ n 
 C - r = -z 1−β σ n /(-1) 
 
 (r - k) = σ
n
( z 1 + z 1 ) −α −β
Despejando n, se obtiene: 
 
 
( )
( )
n
z z
r k
=
+
−
− −σ α β
2
1 1
2
2 
 
 
 
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 IX.- Aplicaciones de EXCEL: 
 
 
 
 
 
 EXCEL, es un software utilitario y como tal contiene algunas herramientas de 
análisis estadístico, estas se encuentran ingresando en la barrra de menú HERRAMIENTAS 
↵ ANÁLISIS DE DATOS↵ . 
 
 
Generalmente esta opción no está activada. Para activarla debe seguirse la siguiente 
secuencia: 
 1.- Barrra de menú → HERRAMIENTAS → COMPLEMENTOS ↵ 
 
 
 
2.- Al ingresar a esta opción, se despliega la ventana complementos, en esta se debe marcar 
con un clic la opción HERRAMIENTAS PARA ANÁLISIS ↵ 
 
 
 
3.- Al dar la instrucción ACEPTAR o simplemente ↵, se activa la herramienta ANÁLISIS 
DE DATOS, por lo tanto, al repetir el ingreso a la barra de menú HERRAMIENTAS, ésta 
incluye ahora la opción ANÁLISIS DE DATOS, tal como se muestra a continuación: 
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4.- Ahora con la opción activada, al ingresar a ella, se despliega la ventana que se muestra a 
continuación, en la que se muestran todas las herramientas de análisis estadístico que 
incluye el EXCEL, Su denominación en algunos casos es bastante particular, 
lamentablemente sólo incluye las más comunes. 
 
 
 
USOS 
 Consideremos una aplicación específica: 
 
 El gerente general de una tienda de departamentos, está considerando la posibilidad 
de reforzar el Staff de vendedores durante el período previo a las fiestas de fin de año en los 
departamentos de mayor movimiento que son los de vestuario de hombres y de mujeres. 
Dado que la situación económica no permite el reforzamiento de ambos departamentos, 
éste lo hará sólo en aquel que presente un mayor nivel de ventas diarias, para lo cual 
registra las ventas diarias (en millones) en el Departamento de Hombres durante 10 días y 
en el Departamento de Mujeres durante 12 días, la información obtenida la consigna en la 
siguiente planilla de excel: 
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Para comparar las ventas medias diarias entre estos departamentos, primero se debe 
determinar la relación entre las varianzas poblacionales, por lo que se requiere este análisis, 
para ejecutarlo la secuencia es: 
Barra de Menú → HERRAMIENTAS → ANÁLISIS DE DATOS ↵ PRUEBA F 
PARA VARIANZAS DE DOS MUESTRAS ↵ 
 
 
Se despliega la ventana correspondiente, en la que se deben consignar los datos 
requeridos: 
a) Rango de la 1ª variable = Esta se ubica desde la celda A1 a la celda A11 
b) Rango de la 2ª variable = Esta se ubica desde la celda B1 a la celda B13 
c) Rótulos = Se refiere a si la primera celda en cada columna identifica a la 
variable, es decir, si esta celda contiene un nombre. En este caso, cada variable 
está identificada, por lo que la celdilla asociada a rótulo está marcada. (Si existe 
rótulo y no se indica, excel arroja error, pues la primera observación de la 
variable no es numérica). 
d) Nivel de significación = α que en este caso se consignó como 5%, o sea 0,05. 
e) Especificación de salida = Esta puede consignarse en la misma hoja de trabajo o 
en una hoja nueva. Sugerencia: como generalmente no sabe cuanto espacio 
utilizará la salida, utilice la opción En una hoja Nueva. 
Lo anterior se muestra en la siguiente ventana: 
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 Al aceptar todas estas especificaciones, se procesa la información, arrojando la 
siguiente salida: 
 
 
 Ahora con todos los cálculoshechos, su rol es analizar los resultados, Nótese que la 
prueba F sólo se realiza en un sentido; el sentido en el que EXCEL realiza la prueba está 
dado por los datos bajo análisis, a saber para la prueba presente, las varianzas. 
 Si la varianza de la primera variable es menor que la de la segunda, la dirección del 
contraste es hacia la izquierda, en caso contrario a la derecha. En este caso, el contraste se 
formula a la derecha: 
1:H 2
2
2
12
2
2
10 =σ
σ
⇔σ=σ 1:H 2
2
2
12
2
2
11 >σ
σ
⇔σ>σ v/s 
 La salida incluye: 
a) Media: Promedio de cada una de las muestras. 
b) Varianza: Varianza observada en cada muestra 
c) Observaciones: Corresponde al tamaño de cada muestra 
d) Grados de libertad: Corresponde a los grados de libertad del numerador (9) y a 
los grados de libertad del denominador (11). 
e) F : Corresponde a la estadística de prueba, en este caso 0,73733333/0,624242 
f) P(F < f) una cola: Corresponde al p-value asociado al contraste, en este caso: 
P(F(9,11) ≥ ) = 0,3908, es decir, la mínima probabilidad de cometer un error de 
Tipo I es del 39,08%, lo cual a simple vista es muy alto, por lo que no se rechaza 
H0. 
g) Valor crítico para F (una cola): Corresponde al punto crítico para la prueba, 
dado por la distribución de muestreo para F. Según el nivel de significación 
especificado para la prueba (α = 0,05), se tiene f0,05;(9,11) = 2,8962, valor a partir 
del cual se determina la Región Crítica ( en este caso, a la derecha de la 
distribución). 
Por lo tanto y teniendo presente que el F obtenido no pertenece a la R.C., entonces 
no se rechaza H0, lo que permite concluir que las varianzas son iguales. 
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Gráficamente: 
 
 
 
p-value = 0,3908 
1,181165
R.C.
0.05
2,8962
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Nótese que si la prueba, se hubiese realizado al revés, es decir, considerando en 
primer lugar las ventas diarias del Departamento Mujeres, los cambios estarían dados por: 
 
a) El valor de la estadística F y 
b) El valor del punto crítico, que ahora sería un percentil inferior, pues el contraste 
que daría direccionado a la izquierda. Sin embargo, el valor del p-value sigue 
siendo el mismo (vea la tabla adjunta). Por la tanto la decisión se mantiene. 
 
 
Ejercicio: Formule el contraste que representa la salida anterior y represente gráficamente 
la región crítica y el p-value. 
 
 Ahora veamos que ocurre con la comparación de las ventas medias, la que de 
acuerdo al resultado de la comparación de varianzas debe hacerse considerando varianzas 
iguales. Así entonces, siguiendo la misma secuencia anterior: 
 
Barra de Menú → HERRAMIENTAS → ANÁLISIS DE DATOS ↵ PRUEBA T 
PARA DOS MUESTRAS SUPONIENDO VARIANZAS IGUALES ↵ 
 
 
 Procediendo a ingresar los datos tal como en el caso anterior, se tiene: 
a) Rango de la 1ª variable = Esta se ubica desde la celda A1 a la celda A11 
b) Rango de la 2ª variable = Esta se ubica desde la celda B1 a la celda B13 
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c) Diferencia hipotética entre las medias = Corresponde al valor en que 
supuestamente difieren las medias, éste valor no puede ser negativo, por lo 
tanto, si la diferencia es una magnitud negativa y dado que la planilla direcciona 
al contraste en el sentido de los datos, éstos deben ingresarse en orden inverso 
con el objeto de que la diferencia hipotética sea positiva. En el caso del 
problema en cuestión se consigna una diferencia cero. 
 
d) Rótulos = Se refiere a si la primera celda en cada variable la identifica (nomina o 
no), en este caso, cada variable está identificada, por lo que la celdilla asociada a 
rótulo está marcada. (Si existe rótulo y no se indica, excel arroja error, pues la 
primera observación de la variable no es numérica). 
e) Nivel de significación = α que en este caso se consignó como 5%, o sea 0,05. 
 
f) Especificación de salida = Esta puede consignarse en la misma hoja de trabajo o 
en una hoja nueva. Sugerencia: como generalmente no sabe cuanto espacio 
utilizará la salida, utilice la opción En una hoja Nueva. 
Lo anterior se muestra en la siguiente ventana: 
 
 
 
Al aceptar todas estas especificaciones, se procesa la información, arrojando la 
siguiente salida: 
 
 
Análisis de la salida excel: 
 
La salida incluye en primer lugar un resumen de los datos: 
 
a) Media : Promedio de cada una de las muestras. 
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ÁLEZ A. 
 
b) Varianza: Varianza observada en cada muestra. 
c) Observaciones: Corresponde al tamaño de cada muestra. 
d) Varianza Agrupada: Corresponde a la varianza ponderada, lo que en desarrollo del 
curso se ha denominado S2c. 
 
( ) ( )
6751333,0
21210
624242,011737333,09
2nn
S1nS1n
S
21
2
22
2
112
c =−+
⋅+⋅
=
−+
−+−
= 
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e) La diferencia hipotética entre las medias: Para la prueba propuesta, ésta es cero, 
lo que permite establecer que la hipótesis nula considerada para el contraste es 
H0: µ1 − µ2 = 0, hipótesis que es equivalente a H0: µ1 = µ2, donde: 
X1 = Ventas diarias (en millones de pesos) en el Departamento Hombres y 
X2 = Ventas diarias (en millones de pesos) en el Departamento Mujeres. 
 
f) Grados de libertad: Cuando las varianzas desconocidas se consideran iguales, los 
grados de libertad para la t-Student están dados por n1 + n2 − 2 = 20. 
g) Estadístico t : Corresponde a la estandarización de la diferencia de promedios 
según lo establecido por H0 
1748568,1
12
1
10
16751333,0
2333,582,4T
n
1
n
1S
XXT OBS
21
c
21
OBS −=
+
−
=⇒
+
−
= 
h) P(T ≤ t) una cola: Corresponde al p-value para el contraste unilateral. Recuerde 
que el sentido del contraste lo direcciona el software de acuerdo a los datos, para 
este caso, la venta promedio diaria en el Depto. Hombres (1ª variable) es menor 
que la venta diaria promedio en el Depto. Mujeres (2ª variable). Por lo tanto el 
contraste es unilateral izquierdo: 
H0: µ1 = µ2 v/s H0: µ1 < µ2; por lo que 0,1269 representa P(T820) ≤ -1,1748568) 
i) Valor crítico t (una cola): Representa el punto crítico dado por la distribución t-
Student con 20 grados de libertad. Debe notar que el valor es positivo, esto no 
significa que sea un percentil superior, sino que excel no admite valores negativos 
para esta distribución, si así fuere debe considerarse el simétrico. Por lo tanto 
t0,05;20 = -1,7247 
j) P(T ≤ t) dos cola: Corresponde al p-value para el contraste bilateral, es decir: 
H0: µ1 = µ2 v/s H0: µ1 ≠ µ2, donde para un contraste bilateral el p-value está dado 
por el doble de la probabilidad contenida en “la cola más corta” respecto del 
estadístico de prueba. Para la prueba en cuestión 
α* = 2⋅ P(T820) ≤ -1,1748568) = 0,25385. 
k) Valor crítico t (dos colas): Representa los puntos críticos dado por la distribución 
t-Student con 20 grados de libertad. Teniendo presente la simetría de la 
distribución respecto del cero, los puntos críticos son ± 1,7247, que corresponde a 
± t0,975;20. 
 
Analizando los resultados para ambos contrastes, se observa que la estadística T no 
está incluida en la región crítica. 
Para el contraste unilateral: 
 H0: µ1 = µ2 v/s H0: µ1 < µ2 
La región crítica está dada por: 
 R.C. = { T ≤ t0,05;20 = -t0,95;20 = -1,7247 
 
Gráficamente: 
 
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Así entonces, es evidente que –1,1749 no se encuentra en dicha zona. Por lo tanto, 
la evidencia proporcionada por las muestras no es suficiente para rechazar H0. 
 
Para el contraste bilateral: 
 H0: µ1 = µ2 v/s H0: µ1 ≠ µ2 
La región crítica está dada por: 
 R.C. = { T ≤ -t0,975;20 ∨ T ≥ t0,975;20, con t0,975;20 = 2,08596 
Gráficamente: 
 
 
De la comparación entre la estadística T y los puntos críticos se observa que la 
estadís
inalmente: Se puede concluir que si el gerente quiere mantener su decisión de proveer de 
ota: 
La opción análisis de datos, contiene otras alternativas de aplicación, tales como: 
• en 
• onstituye la prueba 
• encia de dos medias (muestras emparejadas): Corresponde a la 
• s la prueba para diferencia de medias 
• esponde a la prueba ANOVA que permite 
• egresión lineal simple y múltiple, esta 
 
tica no está en la región crítica, por lo tanto se mantiene la decisión. Lo mismo 
ocurre si para decidir se considera el p-value. 
 
F
personal adicional para fin de año a sólo de uno de departamentos, deberá considerar otro 
criterio de decisión, puesto que las ventas diarias (en millones de pesos) realizadas en éstos, 
no presentan diferencias relevantes. 
 
N
 
Estadística Descriptiva : Opción que proporciona todas las medidas de resum
para un conjunto o varios conjuntos de datos simultáneamente. 
Prueba t para dos medias suponiendo varianzas desiguales: C
para diferencia de medias con varianzas desconocidas, las que presentan diferencias 
relevantes entre si. 
Prueba t para difer
diferencia de medias para muestras pareadas. 
Prueba Z para diferencia entre dos medias: E
cuando las varianzas son desconocidas. 
Análisis de varianza de un factor: Corr
comparar varias medias simultáneamente. 
Regresión: Corresponde al análisis de r
proporciona todas las medidas asociadas a la regresión, las pruebas para establecer 
su calidad, los parámetros del modelo, su estandarización y correspondiente 
probabilidad (p-value) obtenidas todas respecto del valor hipotético 0 para cada uno, 
además de los límites de confianza al nivel especificado y al 95% por defecto.