Las ecuaciones no tienen prejuicios - Gina Solorzano (1)

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Las ecuaciones no tienen prejuicios
Por Stéphane Durand
Volumen 4.1 - invierno-primavera 2009
A menudo, las ecuaciones conducen a predicciones físicas escandalosas que
inicialmente parecían inaceptables incluso para su propio autor.
Big Bang, expansión del Universo, antimateria, agujero negro, quarks, cuantos. ¿Cómo se les ocurrieron estas
ideas a los físicos? ¡No los imaginaban exactamente! Las matemáticas lo hicieron por ellos ... Estas ideas
surgieron de las ecuaciones por sí mismas sin que ningún físico las hubiera introducido deliberadamente. Peor
aún, ¡los físicos ni siquiera creyeron inicialmente en estas ideas que, sin embargo, eran consecuencia de sus
propias ecuaciones! Estas ideas les parecieron absolutamente irracionales e incluso absurdas. Pero eran las
ecuaciones las que estaban bien. A diferencia de los físicos, ¡no tenían prejuicios! Quizás el mejor ejemplo lo dé
el propio Einstein.
El mayor error de Einstein
En 1915, Albert Einstein completó el desarrollo de su teoría de la relatividad general, una teoría de la gravitación
que mejoró y reemplazó a la de Newton, y finalmente proporcionó una explicación para un fenómeno inexplicable
en el marco newtoniano . Cuando Einstein aplica su teoría a los movimientos de las estrellas en el cosmos,
funciona de maravilla. Describe, por ejemplo, el movimiento de los planetas alrededor del Sol de una manera
extremadamente precisa. Ahora, cuando Einstein posteriormente decide aplicar su teoría al Universo mismo, al
cosmos como un todo, ¿qué descubre y qué le dice su ecuación? Ella le dice que el Universo se está
expandiendo. ¡Estupor! Incluso para Einstein, aunque revolucionario, la idea de un Universo en expansión parece
absurda. En particular, tal idea implica que hubo un comienzo para el Universo, un nacimiento para el cosmos, un
Big Bang. ¡Herejía! El Universo debería ser inmutable y eterno, como todos pensaban desde Aristóteles.
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http://accromath.uqam.ca/author/durand/
http://accromath.uqam.ca/volume/volume-4-1-2009/
La teoría de la relatividad
Esta teoría tiene dos partes. La primera, la relatividad especial, es una teoría que fusiona el espacio y el
tiempo en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones y que conduce a la famosa relación \ (E = mc ^ 2 \).
La segunda, la relatividad general, incorpora la gravedad al doblar este espacio-tiempo. La fuerza de la
gravedad se explica luego como efecto de estas curvaturas. Esta teoría predice la expansión (o
contracción) del Universo, así como la existencia de agujeros negros. . La
segunda, la relatividad general, incorpora la gravedad al doblar este espacio-tiempo. La fuerza de la
gravedad se explica luego como efecto de estas curvaturas. Esta teoría predice la expansión (o
contracción) del Universo, así como la existencia de agujeros negros.
Una de las consecuencias más espectaculares de la teoría de la relatividad es la desaceleración del
tiempo. El paso del tiempo puede ralentizarse por la velocidad o la gravedad. Sin embargo, para que los
efectos sean significativos, la velocidad debe ser muy alta (cercana a la de la luz) o la fuerza de gravedad
debe ser muy fuerte (cercana a un agujero negro). Los efectos también están presentes en la vida
cotidiana, pero son demasiado débiles para ser notorios. Por otro lado, cuando los instrumentos son ultra
precisos hay que tenerlo en cuenta. Por tanto, el GPS no podría funcionar si no tuviéramos en cuenta la
ralentización en el tiempo que afecta a los satélites que orbitan la Tierra enviando las señales de
seguimiento a nuestro sensor GPS!
Ante tal improbabilidad , Einstein modifica artificialmente su ecuación para que conduzca a una solución
"aceptable", es decir a un Universo inmutable y eterno . Sin embargo, diez años después, los telescopios se
vuelven más poderosos y finalmente permiten a los astrónomos ver más lejos y con mayor precisión el cosmos,
más allá de nuestra galaxia. ¿Qué descubren? Que el Universo contiene miles de galaxias como la nuestra y,
especialmente, que todas estas galaxias se alejan unas de otras: ¡el Universo se está expandiendo! Einstein nunca
debería haber cambiado su ecuación. Luego, llamará a este cambio "el mayor error de su vida" porque podría
haber, sentado en su escritorio, simplemente por cálculo y reflexión, predijo la expansión del Universo. ¡Qué gran
predicción habría sido esa! Pero no lo hizo. No confiaba lo suficiente en las matemáticas, ¡no quería creer lo que
su ecuación estaba tratando de decirle! !
El Big Bang
Es el fenómeno inicial, producido hace unos 14 mil millones de años, que condujo a la formación y
expansión del Universo. Hoy podemos detectar el resto de esta "explosión" llamada radiación cósmica (o
ruido de fondo).
La expansión del Universo
Así, designamos el hecho de que todas las galaxias que nos rodean se alejan de nosotros, y esto a una
velocidad tanto mayor cuanto más distantes están. No es una expansión de materia en el Universo, sino
una expansión del Universo mismo (es decir, del espacio-tiempo), que lleva consigo todas las galaxias.
Agujeros negros
mi = metrovs
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2 .
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© Foto: NASA
Los agujeros negros son otra predicción matemática que surgió de la teoría de
Einstein en contra de su voluntad. Encontró esta idea absurda, ¡e incluso publicó
un artículo en el que intentaba demostrar que los agujeros negros no podían
existir! Su teoría predice que se puede formar un agujero negro cuando una
estrella colapsa sobre sí misma al final de su vida. La estrella se vuelve tan
compacta que a su alrededor se forma una zona sin retorno, de la que nada
puede 
escapar, ni siquiera la luz. La estrella se vuelve invisible, por lo tanto negra, y
todo eso
cruza este límite es cortado para siempre de nuestro Universo. Einstein no creía en la existencia de un área tan
singular y extraña. Trató de demostrar que un cuerpo celeste no podía colapsar lo suficiente como para formar un
agujero negro. Sin embargo, hoy en día, una multitud de candidatos se enumeran en el Universo. De hecho,
comprender el interior exacto de los agujeros negros es una de las cuestiones más fundamentales de la física
actual.
Agujeros negros
Son objetos celestes extraordinariamente compactos formados por la implosión de los corazones de
grandes estrellas al final de su vida. ¡Una cucharada de material de agujero negro puede pesar mil millones
de toneladas! Debido a su inmensa fuerza de gravedad, nada puede escapar de un agujero negro, ¡ni
siquiera la luz! Por tanto, son invisibles, es decir, negras. Cualquier cosa que caiga en un agujero negro
queda aislada para siempre de nuestro Universo. Incluso podrían ser puertas a otros Universos. Se dice
que los agujeros negros formados durante la muerte de las estrellas son estelares, pero también hay
agujeros negros ultramasivos en el corazón de las galaxias, así como agujeros negros quizás
microscópicos.
Antimateria
La existencia de antimateria, predicha por la ecuación de Dirac, también fue en contra de la voluntad de su autor.
En 1928, Paul Dirac estableció su famosa ecuación que describe el comportamiento de los electrones a alta
velocidad . Esta ecuación explica dramáticamente los resultados experimentales del tiempo, a saber, el valor del
mini campo magnético del electrón así como el valor de los niveles de energía fina del átomo de hidrógeno. Es
un triunfo. Sin embargo, luego Dirac se da cuenta de que su ecuación implica la existencia de un electrón positivo,
es decir, una partícula de la misma masa que el electrón pero de carga opuesta. ¡Nadie ha observado jamás una
partícula así! Al principio, por tanto, Dirac no cree lo que le dice su ecuación. Espera que este electrón positivo
coincida con el protón, a pesar de la diferencia de masa. Solo tres años después, finalmente admitió a
regañadientes que su ecuación sí predecía un nuevo tipo de partícula: a cada partícula le correspondería una
antipartícula. Al año siguiente, se descubre experimentalmente la primera antipartícula: ¡la antimateria existe! Alsignificar que debería haber confiado en las matemáticas desde el principio,  ”.
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Antimateria
A cada partícula se le asocia una antipartícula, es decir, una partícula idéntica pero de carga eléctrica
opuesta. Existen, por ejemplo, antiprotones y antielectrones. Incluso logramos construir átomos anti-
hidrógeno colocando un antielectrón en órbita alrededor de un antiprotón. Cuando una partícula y su
antipartícula se encuentran, se aniquilan entre sí, transformándose completamente en energía (a través de
la relación \ (E = mc ^ 2 \)). Esta conversión de materia en energía es aproximadamente 1000 veces más
eficiente que una reacción nuclear tradicional. Por lo tanto, no podemos mantener la antimateria en
contenedores de material ordinario, en su lugar usamos "cajas" magnéticas. ).
Esta conversión de materia en energía es aproximadamente 1000 veces más eficiente que una reacción
nuclear tradicional. Por lo tanto, no podemos mantener la antimateria en contenedores de material
ordinario, en su lugar usamos "cajas" magnéticas.
Una posible aplicación de la antimateria (prevista por la NASA) sería en la propulsión de cohetes. Estos
motores que funcionan mediante la aniquilación de materia y antimateria serían increíblemente más
eficientes que los actuales motores químicos e incluso que los posibles motores nucleares.
El quanta
En 1900, Max Planck trabajó en el problema de la radiación luminosa de los cuerpos calientes: por ejemplo, la luz
emitida por un metal calentado al rojo (un anillo de la estufa) o la que emite un objeto calentado al blanco (una
bombilla). Para explicar los resultados experimentales, es decir la forma en que varía el color según la
temperatura, introduce por razones matemáticas una determinada constante que ahora lleva su nombre (la
famosa constante de Planck). La nueva fórmula funciona de maravilla: es la ley de Planck. Luego intenta
interpretarlo físicamente. Con horror, descubre que implica que la radiación luminosa es discontinua o, al menos,
emitida y absorbida por paquetes de energía: los famosos cuantos. Cinco años después, Einstein muestra que
una consecuencia de esta idea es que la luz misma está hecha de partículas: fotones. Todo esto es inaceptable
para Planck. Se niega a creer en esta idea, ¡su idea! - discontinuidad de la radiación. Durante años, trata
desesperadamente de modificar su teoría para eliminar esta discontinuidad. Pasarán años antes de que admita
que su idea no era solo un truco matemático, sino que se correspondía bien con cierta realidad. Sin embargo,
esta idea fue la chispa que generaría la revolución cuántica.
Quarks
Otro ejemplo es el descubrimiento de las partículas que constituyen el protón y el neutrón. En 1961, Murray Gell-
Mann se dio cuenta de que la teoría que parecía describir las simetrías de las partículas nucleares tenía la
consecuencia matemática de que el protón y el neutrón debían estar formados por partículas más pequeñas. Sin
embargo, para obtener la carga eléctrica del protón y el neutrón, se debe asumir que estas nuevas partículas, los
quarks, tienen una carga fraccionada (-1/3 y +2/3). ¡Herejía! Nadie había observado nunca una carga fraccionaria
y, de todos modos, iría en contra de una de las tradiciones más sagradas de la física: las cargas eléctricas son
siempre múltiplos enteros. E incluso suponiendo que existan los quarks, ¿Por qué nunca los hubiéramos visto? A
pesar de la belleza de la idea (las veinte partículas nucleares conocidas podrían explicarse a partir de solo tres
quarks), Gell-Mann esperó tres años antes de publicarla porque la idea le parecía muy absurda. Y cuando lo hace,
usa guantes blancos. De hecho, en su artículo original menciona que concebir el protón y el neutrón como
compuestos de tres quarks es solo un truco matemático que permite deducir de manera interesante las
propiedades del protón y del neutrón, así como de todas las otras partículas nucleares. Incluso insiste en que los
mi = metrovs
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quarks no existen realmente. Cinco años después, sin embargo, comenzarán a detectarse las primeras pistas
experimentales de la presencia de componentes en el protón y el neutrón.
Quarks
Estas son las partículas que componen el protón y el neutrón (así como varias otras partículas nucleares).
Tienen cargas fraccionarias: +2/3 y -1/3. Dos quarks de carga +2/3 y un quark de carga -1/3 forman el
protón de carga 1, mientras que un quark de carga +2/3 y dos de carga -1/3 forman el neutrón de carga 0.
Los quarks se consideran hoy en día, junto con los electrones y los neutrinos, como las partículas
fundamentales que componen la materia ordinaria.
No localidad cuántica
La teoría cuántica (también decimos mecánica cuántica) es la teoría del mundo microscópico que ha desafiado
por completo nuestra visión de la materia. Esta teoría se basa en una visión ondulatoria de la materia que le
confiere todo tipo de propiedades desconcertantes; por ejemplo, ¡un electrón puede estar en dos lugares al
mismo tiempo! Una consecuencia revolucionaria de esta teoría es la existencia de un cierto tipo de influencia que
puede extenderse instantáneamente de un punto a otro: lo que se llama no localidad o efecto EPR (para Einstein,
Podolsky y Rosen).
Mecánica cuántica
Es la teoría que describe el mundo microscópico (la constitución de la materia) así como las fuerzas que
actúan allí (las fuerzas electromagnéticas y nucleares). Esta teoría es extraordinariamente eficiente y casi
toda la tecnología moderna se basa en ella (reproductor de CD, iPod, computadora). ¡Pero también es muy
misterioso, porque todavía no entendemos exactamente lo que significa!
Es una teoría fundamental y tiene múltiples ramificaciones. Explica la estabilidad de los átomos (¡y por
tanto de la materia!), Los enlaces químicos y la forma de las moléculas (la forma de V de la molécula de
agua, por ejemplo), así como toda la estructura de la tabla periódica. De hecho, todas las cajas de este
último son solo las diferentes soluciones de la ecuación básica de la mecánica cuántica (ecuación de
Schrödinger, luego generalizada por Dirac) aplicada a la fuerza eléctrica del núcleo atómico. Las
aplicaciones de la mecánica cuántica van desde láseres hasta microscopios electrónicos, pasando por
transistores y microprocesadores; en resumen, ¡casi toda la electrónica moderna!
Dado que esta influencia viaja a una velocidad mayor que la de la luz, parece ir en contra de la relatividad de
Einstein. Ninguno de los padres fundadores de la teoría cuántica había imaginado tal idea desde el principio: el
formalismo matemático de la teoría cuántica se desarrolló en los años veinte, pero solo diez años después lo
tenemos. entendió todo el significado e implicaciones, especialmente las relativas a la existencia del efecto EPR.
Muchos se negaron a admitir esta idea de influencia instantánea, Einstein en particular, y creyeron que la teoría
cuántica estaba parcialmente equivocada. Solo cincuenta años después, los experimentos han probado
magistralmente la teoría cuántica . Este efecto también es precisamente la base del fenómeno de la
teletransportación cuántica que se llevó a cabo en el laboratorio hace unos años: ¡el estado interno de una
partícula ha desaparecido en un lugar y reaparecido en otro! La no localidad cuántica y la teletransportación
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podrían tener aplicaciones revolucionarias en el campo de los códigos secretos (criptografía) y en las
generaciones futuras de computadoras.
Teletransportación cuántica
La no localidad cuántica y la teletransportación podrían tener aplicaciones en la criptografía (la ciencia de
los códigos secretos) así como en las futuras computadoras cuánticas (que, si emergen, serán
increíblemente más poderosas que las de hoy) . Hoy en día, todas nuestras transacciones bancarias a
través de cajeros automáticos y la mayoría de nuestras compras en la Web (el sitio de Amazon, por
ejemplo) están protegidas por el cifrado de los datos que se transmiten. Los métodos de codificación(no
cuánticos) que se utilizan hoy en día son muy seguros. Pero cuando las computadoras cuánticas ven la luz
del día, ¡su código se puede descifrar en segundos! ¡La criptografía cuántica tendrá que hacerse cargo!
Diez dimensiones
Este último ejemplo es un poco especial porque actualmente es totalmente especulativo. Pero, si alguna vez
resultara corresponder a una cierta realidad, sería la máxima demostración del extraordinario poder de las
matemáticas. Existen dos grandes teorías físicas fundamentales para explicar el Universo que nos rodea: la teoría
cuántica que describe el mundo microscópico (las partículas que constituyen la materia) y la relatividad general
que describe el mundo macroscópico (la gravitación y el cosmos). Durante unos treinta años, los físicos han
intentado unificar estas dos teorías en una más general e incluso más fundamental (lo que se llama teoría de la
unificación). Tal teoría es esencial para comprender el comienzo del Universo, ya que en ese momento todo el
cosmos observable estaba concentrado en una pequeña región.
Uno de los candidatos más prometedores para tal teoría de unificación se llama teoría de cuerdas. Esta teoría
tiene todo tipo de propiedades notables, ¡pero también predice que el espacio-tiempo tiene diez o veintiséis
dimensiones! Estos números particulares, diez y veintiséis, surgen de la teoría por sí solos, por razones de
coherencia interna. Inicialmente, la mayoría de los físicos consideraron absurda esta idea. Michio Kaku, un
pionero líder en el campo, recuerda: “Todavía recuerdo la conmoción y la consternación que sintieron muchos
físicos cuando se enteraron de que la teoría era consistente solo en diez y veintiséis dimensiones. Todos
recordamos el comentario de Niels Bohr, quien dijo que gran parte de la teoría debe ser "suficientemente loca",
pero parecía más allá de los límites de nuestra imaginación científica creer que el universo podría tener diez o
veintiséis dimensiones  ". Pero, por lo demás, la teoría de cuerdas parecía tan mágica (tenía todo tipo de
propiedades milagrosas que eludían todos los problemas que hasta ahora habían impedido la unificación de la
gravedad y la teoría cuántica) que esta idea merecía ser tomada en serio. serio. Los físicos se acostumbraron,
especialmente cuando entendieron cómo las dimensiones adicionales podían ser indetectables en la vida
cotidiana (enrolladas sobre sí mismas). Por supuesto, la idea de que el espacio-tiempo tiene más de cuatro
dimensiones obviamente aún no está confirmada, pero se están realizando algunos experimentos. ¡Este es uno
de los ejemplos más extraordinarios de predicción matemática! 
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Ley de planck
La ley de Planck es la curva de distribución de los colores emitidos por un cuerpo caliente que emite luz.
La propiedad notable de esta curva es que el color emitido no depende de la constitución del cuerpo sino
únicamente de su temperatura. En particular, cuando la temperatura aumenta, el color cambia de rojo a
blanco y luego a azul. Ésta es la razón por la que el hierro calentado al blanco (el filamento de una
bombilla) es más caliente que el hierro calentado al rojo (un anillo de estufa) y por qué, en el cielo, las
estrellas blancas son más calientes que las rojizas. (Betelgeuse y Aldébaran, por ejemplo) e incluso
azulados más cálidos (Rigel, por ejemplo). Entonces, si queremos reproducir artificialmente el color de la
luz solar, basta con calentar un filamento (en una bombilla por ejemplo) a la misma temperatura que la de
la superficie del Sol, es decir unos 6000 grados. El problema es que los filamentos, cualquiera que sea su
composición, se funden a esta temperatura. Por tanto, los filamentos de las bombillas están a menos de
6000 grados y, por tanto, la luz que emiten es más amarilla que la del sol. Los flashes fotográficos, que
solo se encienden durante una fracción de segundo, pueden ser un poco más cálidos y, por lo tanto, su
color se acerca más al color natural del sol. y por tanto la luz que emiten es más amarilla que la del sol. Los
flashes fotográficos, que solo se encienden durante una fracción de segundo, pueden ser un poco más
cálidos y, por lo tanto, su color se acerca más al color natural del sol. y por tanto la luz que emiten es más
amarilla que la del sol. Los flashes fotográficos, que solo se encienden durante una fracción de segundo,
pueden ser un poco más cálidos y, por lo tanto, su color se acerca más al color natural del sol.
¿Por qué es tan importante el papel de las matemáticas?
¿Cómo se podían hacer predicciones tan extravagantes, tan contrarias al sentido común o la voluntad de su
autor? ¡Gracias a las matemáticas! De hecho, para comprender lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande,
áreas inaccesibles a nuestros sentidos, los conceptos de la vida cotidiana ya no son adecuados: la "lógica" en
juego en estas áreas ya no es eso. todos los días; nuestras palabras y conceptos habituales ya no son
suficientes. Puede parecer sorprendente, pero no debemos olvidar que nuestro vocabulario y nuestra intuición
para describir el mundo físico se desarrollaron a partir de la enseñanza de nuestros sentidos. Por lo tanto, no son
necesariamente adecuados para comprender áreas a las que nuestros sentidos no tienen acceso. Aquí tienes un
ejemplo: cuando giras un electrón 360 grados, ¡no vuelve a su estado original! ¡Más bien, se debe hacer dos
rotaciones completas (720 grados) para que vuelva a su estado inicial! De hecho, aquí hay un fenómeno que no
tiene absolutamente ninguna analogía en la vida cotidiana, un fenómeno totalmente más allá de nuestra intuición
habitual. En definitiva, para comprender estas nuevas áreas de la física, tenemos que recurrir a otro lenguaje, y el
de las matemáticas parece perfectamente adecuado. De hecho, las matemáticas tienen el poder de extender
nuestros sentidos y nuestra imaginación. Son, en cierto modo, un sexto sentido En definitiva, para comprender
estas nuevas áreas de la física, tenemos que recurrir a otro lenguaje, y el de las matemáticas parece
perfectamente adecuado. De hecho, las matemáticas tienen el poder de extender nuestros sentidos y nuestra
imaginación. Son, en cierto modo, un sexto sentido En definitiva, para comprender estas nuevas áreas de la física,
tenemos que recurrir a otro lenguaje, y el de las matemáticas parece perfectamente adecuado. De hecho, las
matemáticas tienen el poder de extender nuestros sentidos y nuestra imaginación. Son, en cierto modo, un sexto
sentido .
1. Una anomalía en la órbita de Mercurio alrededor del Sol (llamada avance del perihelio). ↩
13
2. Añade a su ecuación el término que contiene la famosa constante cosmológica (véase también la
nota 3). ↩
3. En realidad, agregar la constante cosmológica no es en sí mismo un error. Está permitido por las
ecuaciones de Einstein y además es compatible con un Universo en expansión; también se
reintroduce hoy. El error de Einstein no fue introducirlo, sino haber querido fijarlo en un valor preciso
que condujera a un universo estático. Pero esta solución de Einstein es inestable, como entendimos
más tarde. Por lo tanto, ¡un Universo estático no es posible incluso con la constante cosmológica! De
cualquier manera, el punto importante aquí es que Einstein rechazó la predicción de su propia teoría.
↩
4. Es la generalización relativista de la ecuación de Schrödinger (la ecuación básica de la teoría
cuántica). ↩
5. Más precisamente, el valor del momento magnético del electrón debido a su espín. ↩
�. Citado en: RP Crease y CC Mann, The Second Creation (Macmillan Publishing Company, Nueva York,
1986), p. 90. ↩
7. Esto se llama radiación de cuerpo negro (no debe confundirse con la radiación de un agujero negro
por efecto cuántico). ↩
�. Contrariamente a las apariencias, el efecto EPR no va en contra de la relatividad porque la influencia
cuántica instantánea no es ni material ni energética y no permite la comunicación de mensajes.
Implica, por tanto, la existencia de unsegundo nivel de realidad inaccesible a nuestros sentidos. ↩
9. Sin embargo, tenga en cuenta que incluso si se basa en un efecto EPR instantáneo, la
teletransportación todavía está limitada por la velocidad de la luz, ya que se lleva a cabo en dos
etapas: una primera típicamente cuántica e instantánea (efecto EPR), y una segunda limitada por la
velocidad de la luz (efecto clásico). La teletransportación no se completa hasta después del
segundo paso, por lo que no surte efecto instantáneamente. ↩
10. De hecho, las versiones supersimétricas de las teorías de cuerdas (conocidas como supercuerdas)
involucran diez dimensiones, mientras que la versión no supersimétrica (menos realista) involucra
veintiséis dimensiones. ↩
11. M. Kaku, Más allá de Einstein (Anchor Books, 1995), pág. 94 ↩
12. Recientemente también ha surgido una teoría aún más general, la teoría de la membrana, que abarca
todas las versiones de las teorías de supercuerdas en el espacio-tiempo de once dimensiones. ↩
13. Para obtener más detalles sobre todos los ejemplos presentados, y para otros ejemplos, consulte S.
Durand, Bulletin AMQ , marzo de 2002, p. 10-18. ↩
Et iquetas: Matemáticas y AstronomíaMatemáticas y Astronomía
http://accromath.uqam.ca/sujet/dossier-mathematiques-et-astronomie/