Anexo I Variables Separables

Vista previa del material en texto

ANEXO I 
Ejercicios de Ayudantía. 
Capítulo I. Ecuaciones de Primer Orden. Métodos de Resolución. 
 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. 
Profesor: Milton Jaramillo. 
Ayudante: Pablo Atuán M. 
 
 
1 
 
Anexo I. Variables Separables. 
Toda ecuación diferencial se puede escribir de la forma 
 
Este tipo de ecuaciones se resuelve por integración directa, es decir: 
 = 
 
EJERCICIO 1: 
Resolver: 
Antes de integrar la ecuación, debemos darle la forma de variable separable, si ordenamos un 
poco lo que tenemos llegamos a que: 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
Esta es una ecuación de variables separables, por lo que integrando obtenemos: 
 
 
 = 
 
 
 
 = 
 
 
 + 
Utilizando las propiedades del logaritmo: 
 
 
Nota: A modo de truco, en vez de agregar la constante de integración entre tantos logaritmos 
naturales presentes, mejor agregamos el logaritmo natural de la constante. Esto es para 
mayor comodidad para poder despejar algunas de las variables con las propiedades del 
logaritmo. 
ANEXO I 
Ejercicios de Ayudantía. 
Capítulo I. Ecuaciones de Primer Orden. Métodos de Resolución. 
 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. 
Profesor: Milton Jaramillo. 
Ayudante: Pablo Atuán M. 
 
 
2 
 
EJERCICIO 2: 
Resolver: 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
Evidentemente tenemos una ecuación en V.S, por lo tanto hacemos integración directa, nos 
queda: 
 
 
 
 = 
 
 
 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXO I 
Ejercicios de Ayudantía. 
Capítulo I. Ecuaciones de Primer Orden. Métodos de Resolución. 
 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. 
Profesor: Milton Jaramillo. 
Ayudante: Pablo Atuán M. 
 
 
3 
 
EJERCICIO 3: 
Resolver: 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
Como es complicado despejar alguna de las variables, dejamos la solución en forma implícita. 
EJERCICIO 4: 
Resolver: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Después de integrar nos queda: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXO I 
Ejercicios de Ayudantía. 
Capítulo I. Ecuaciones de Primer Orden. Métodos de Resolución. 
 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. 
Profesor: Milton Jaramillo. 
Ayudante: Pablo Atuán M. 
 
 
4 
 
EJERCICIO 5: 
Resolver: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIO 6: 
Resolver: 
 
 
 
Juntamos las funciones y sus diferenciales respectivamente: 
 
 
 
 
 
 
Como está en la forma de V.S. Nos basta solo integrar. 
 
Aplicando las propiedades del logaritmo natural, obtenemos que: 
 
 
 
 
 , si tomamos como 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXO I 
Ejercicios de Ayudantía. 
Capítulo I. Ecuaciones de Primer Orden. Métodos de Resolución. 
 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. 
Profesor: Milton Jaramillo. 
Ayudante: Pablo Atuán M. 
 
 
5 
 
EJERCICIO 7: 
Resolver: 
 
 
 
 
 
Este tipo de problemas están hechos para confundir, al fijarse detenidamente, no hay nada de 
otro mundo, porque sabemos que: 
 
 
 
 
 
Volviendo al problema, lo reescribimos para darle forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ahora podemos integrar esta igualdad sin ningún tipo de dificultad (ojo con las 
sustituciones). 
 
 
 
Si despejamos algunas de las variables, obtendremos la solución de la ecuación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXO I 
Ejercicios de Ayudantía. 
Capítulo I. Ecuaciones de Primer Orden. Métodos de Resolución. 
 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. 
Profesor: Milton Jaramillo. 
Ayudante: Pablo Atuán M. 
 
 
6 
 
EJERCICIO 8: 
Resolver: 
No nos asustemos por la forma en la que nos plantean el ejercicio, solo basta saber que: 
 
 
 
 
Ahora reescribimos la ecuación: 
 
 
 
 
 
Juntando variables y diferenciales, llegamos a que: 
 
 
 = 
Integramos y nos queda: 
 
 
 
Despejando la variable y de la ecuación: 
 
 , con 
 
 , con 
 
 
 
 
 
 
ANEXO I 
Ejercicios de Ayudantía. 
Capítulo I. Ecuaciones de Primer Orden. Métodos de Resolución. 
 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. 
Profesor: Milton Jaramillo. 
Ayudante: Pablo Atuán M. 
 
 
7 
 
A continuación, les presentamos una serie de ejercicios de V.S, pero con problemas de valor 
inicial, que significa resolver un problema de contorno o frontera. 
Las ecuaciones en V.S. que hemos resuelto a lo largo del texto, nos otorgan una solución 
general de la ecuación, debido a que existen infinitas soluciones que dependen del posible 
valor de la constante de integración. Pero cuando se pide resolver un problema de valor inicial 
(P.V.I), nos encontraremos con una solución única de la ecuación. 
En la práctica, esto sale mejor, así que mejor: ¡¡Manos a la obra!! 
EJERCICIO 9: 
Resolver: 
 
 
 
 
 con 
Se nos presenta un P.V.I, pero no te preocupes, primero resolvamos la ecuación como las 
veníamos haciendo y luego te explico el paso final. 
 
 
 
 
 
 
 
Integramos: 
 
 
 
 
 
 
 
Estamos casi listos, pero primero completemos cuadrados: 
 
 
Creo que ya es momento de aplicar el P.V.I, te explico: 
 Significa que cuando 
 
 
 
 
ANEXO I 
Ejercicios de Ayudantía. 
Capítulo I. Ecuaciones de Primer Orden. Métodos de Resolución. 
 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. 
Profesor: Milton Jaramillo. 
Ayudante: Pablo Atuán M. 
 
 
8 
 
Ahora podemos reemplazar, para poder despejar la constante: 
 , con 
 
 
 
Luego la única solución de la ecuación con P.V.I. es: 
 
Espero que hayas entendido la idea del P.V.I, por que aparecerá durante todo el curso, veamos 
un último ejercicio para calentar la mano con los ejercicios propuestos al final del anexo. 
EJERCICIO 10: 
Resolver: con 
Sin más explicación, aplicamos lo sabido: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integramos: 
 
 
Teniendo la solución general de la ecuación, apliquemos el P.V.I. para obtener la solución 
única. 
 , con: 
 
 
Luego la solución de la ecuación con problema de valor inicial es: 
 
ANEXO I 
Ejercicios de Ayudantía. 
Capítulo I. Ecuaciones de Primer Orden. Métodos de Resolución. 
 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. 
Profesor: Milton Jaramillo. 
Ayudante: Pablo Atuán M. 
 
 
9 
 
EJERCICIOS PROPUESTOS: 
1. 
 
2. 
 
 
 
 
3. 
 
 
 
 
4. 
 
5. 
 
 
 = 
 
6. 
 
7. 
 
8. 
 
 
 
 
9. 
 
 
 
 
10. 
 
11. 
 
 
12.13. 
 
 
 
 
 
14. 
 
 
 
 
 
15. 
 
 
ANEXO I 
Ejercicios de Ayudantía. 
Capítulo I. Ecuaciones de Primer Orden. Métodos de Resolución. 
 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. 
Profesor: Milton Jaramillo. 
Ayudante: Pablo Atuán M. 
 
 
10 
 
EJERCICIOS PROPUESTOS: 
16. 
 
17. 
 
 
 
18. 
 
 
 
 
19. 
 
 
 
 
20. 
 
21. 
 
22. 
 
23. 
 
 
 
 = 0 
 
24. 
 
 
25. 
 
 
26. 
 
 
 
 
 
27. 
 
 
 
 
 
28.