Anexo II Ecuaciones Homogéneas

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ANEXO II 
Ejercicios de Ayudantía. 
Capítulo I. Ecuaciones de Primer Orden. Métodos de Resolución. 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. 
Profesor: Milton Jaramillo. 
Ayudante: Pablo Atuán M. 
 
 
 
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Anexo II. Ecuaciones Homogéneas y Sustituciones. 
Una función f se dice homogénea si se cumple: 
Donde es un número real, más conocido como grado de la función. 
Una ecuación diferencial de la forma: 
Se dice homogénea, si y solo si las funciones M y N son homogéneas del mismo grado, es decir: 
 
 
En este caso, se hace la sustitución , obteniéndose una ecuación de V.S. (EJERCICIO 2), 
ojo con las diferenciales, ya que estas se presentan de distintas formas, trabajemos con ellas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXO II 
Ejercicios de Ayudantía. 
Capítulo I. Ecuaciones de Primer Orden. Métodos de Resolución. 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. 
Profesor: Milton Jaramillo. 
Ayudante: Pablo Atuán M. 
 
 
 
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EJERCICIO 1: Verifique el grado de las siguientes funciones. 
a) 
b) 
c) 
Para comprobar el grado de las funciones, cambiamos las variables, para la primera función 
tenemos: 
 
 
 
 
 
 Luego la función F es homogénea de grado 5, para la segunda función tenemos que: 
 
 
 
 
Luego la función G es homogénea de grado 2, para la tercera función tenemos que: 
 
 
 
Luego, la función H no es homogénea. 
 
 
 
 
ANEXO II 
Ejercicios de Ayudantía. 
Capítulo I. Ecuaciones de Primer Orden. Métodos de Resolución. 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. 
Profesor: Milton Jaramillo. 
Ayudante: Pablo Atuán M. 
 
 
 
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EJERCICIO 2: Sea una ecuación diferencial de coeficientes 
homogéneos, donde son funciones homogéneas de grado . 
Demuestre que la sustitución , transforma la ecuación homogénea a una ecuación de 
variables separables. 
Sea: 
Reemplazamos en la ecuación original: 
 
 
Como son funciones homogéneas de grado , pueden ser reescritas como: 
 
 
Si suponemos que , entonces: 
 
 
 
Desarrollando nos queda una ecuación en V.S. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXO II 
Ejercicios de Ayudantía. 
Capítulo I. Ecuaciones de Primer Orden. Métodos de Resolución. 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. 
Profesor: Milton Jaramillo. 
Ayudante: Pablo Atuán M. 
 
 
 
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EJERCICIO 3: 
Resolver: 
Con la práctica te podrás dar cuenta de que las funciones son o no homogéneas, en este caso 
ambas son homogéneas de grado 2, por lo tanto la ecuación diferencial es homogénea. Si no 
puedes verlo al ojo, te mostramos la forma de hacerlo: 
De la ecuación diferencial , se concluye que: 
 
 
Por lo tanto: 
 
Son funciones homogéneas de grado 2, por lo tanto, estamos en presencia de una ecuación 
diferencial de homogénea de grado 2. 
Tenemos dos posibles formas de resolver el problema, la primera es ocupar la demostración 
del ejercicio 2, en la cuál, solo basta reemplazar e integrar. La otra forma es hacerla con el 
cambio de variables para las homogéneas, para que nos quede clara la película, lo haremos de 
las dos formas, para comprobar si llegamos a lo mismo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXO II 
Ejercicios de Ayudantía. 
Capítulo I. Ecuaciones de Primer Orden. Métodos de Resolución. 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. 
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Ayudante: Pablo Atuán M. 
 
 
 
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1ERA FORMA: 
 
 
Reemplazamos en la ecuación V.S: 
 
 
 
Si integramos esta ecuación V.S. obtenemos: 
 
 
 
 
Pero como , reemplazamos este valor en la solución: 
 
Ahora veamos la segunda manera. 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXO II 
Ejercicios de Ayudantía. 
Capítulo I. Ecuaciones de Primer Orden. Métodos de Resolución. 
 
 
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2DA FORMA: 
 
Como esta ecuación es homogénea de grado 2, hacemos: 
 
Reemplazamos en la ecuación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Llegamos a la misma ecuación en V.S. donde la solución está dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EJERCICIO 4: 
Use el cambio de variables , para resolver la ecuación diferencial: 
 = 
Primero acomodamos la ecuación: 
 = 
 = 
Hacemos: 
 
Luego reemplazamos: 
 
 
 
 
 
 
Integramos esta ecuación V.S. 
 
 
 
 
 
 
ANEXO II 
Ejercicios de Ayudantía. 
Capítulo I. Ecuaciones de Primer Orden. Métodos de Resolución. 
 
 
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EJERCICIO 5: 
Resolver: 
Queda como tarea comprobar que las funciones son homogéneas, hacemos: 
 
Luego reemplazamos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integramos la ecuación en V.S. 
 
 
 
 
 
 
ANEXO II 
Ejercicios de Ayudantía. 
Capítulo I. Ecuaciones de Primer Orden. Métodos de Resolución. 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. 
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Ayudante: Pablo Atuán M. 
 
 
 
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EJERCICIO 6: 
Resolver: 
Hacemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si integramos esta ecuación en V.S. obtenemos que: 
 
 
 
Si volvemos a las variables iniciales: 
 
 
 
 
 
ANEXO II 
Ejercicios de Ayudantía. 
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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. 
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EJERCICIO 7: 
Use el cambio de variables , para resolver la ecuación diferencial: 
 
Hacemos: 
 
Luego reemplazamos: 
 
 
 
 
 
Si integramos esta ecuación en V.S obtenemos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXO II 
Ejercicios de Ayudantía. 
Capítulo I. Ecuaciones de Primer Orden. Métodos de Resolución. 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. 
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EJERCICIO 8: 
Una ecuación de la forma: 
 
no es separable. Sin embargo, compruebe que la transformación dada por convierte 
la ecuación anterior en otra separable. Aplique esta técnica para calcular la solución de las 
siguientes ecuaciones: 
Hacemos: 
 
Reemplazando en la ecuación: 
 
 
 
 
 
La cuál es una ecuación de variables separables. 
 
 
 
 
 
 
ANEXO II 
Ejercicios de Ayudantía. 
Capítulo I. Ecuaciones de Primer Orden. Métodos de Resolución. 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. 
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EJERCICIO 9: 
Utilice el resultado anterior para calcular la solución de: 
 
Resumiendo el ejercicio anterior, si tenemos una ecuación diferencial de la forma: 
 
Hacemos: 
 
Para obtener la ecuación en V.S. 
 
Primero le damos forma a la ecuación diferencial: 
 
 
Ahora reemplazamos en la V.S. 
 
 
Si integramos y volvemos a las variables iniciales nos queda la solución implícita: 
 
 
 
ANEXO II 
Ejercicios de Ayudantía. 
Capítulo I. Ecuaciones de Primer Orden. Métodos de Resolución. 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. 
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EJERCICIOS PROPUESTOS: 
1. 
 
2. 
 
3. 
 
4. 
 
5. 
 
6. 
 
7. 
 
 
8. 
 
9. 
 
10. 
 
11. 
 
12. 
 
13. 
 
14. 
 
15.