Logo Studenta

Anexo IV

¡Estudia con miles de materiales!

Vista previa del material en texto

ANEXO IV 
Ejercicios de Ayudantía. 
Capítulo I. Ecuaciones de Primer Orden. Métodos de Resolución. 
 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. 
Profesor: Miltón Jaramillo. 
Ayudante: Pablo Atuán M. 
 
 
 
1 
Anexo IV. Ecuaciones Diferenciales Exactas. 
Sean � y � funciones de dos variables continuas con primeras derivadas parciales continuas. 
Una ecuación diferencial de la forma ���, �	
� � ���, �	
� 
 � es una ecuación exacta si y 
solo si existe una función � tal que ����, �	 
 ���, �	 y ����, �	 
 ���, �	. Es decir, una 
ecuación diferencial es exacta si y solo si ����, �	 
 ����, �	. 
La solución de la ecuación está dada por ���, �	 
 �, para calcular esta solución te 
presentamos dos formas para calcularla. 
1ERA FORMA: ���, �	 
 � ���, �	
� � ���	 
 � ���, �	
� � ���	 
2DA FORMA: 
1er Paso: Después de comprobar que la ecuación diferencial es exacta, elegimos la función 
más fácil de integrar, ya sea ���, �	 ó ���, �	. 
2do Paso: Si la función elegida es ���, �	 resolvemos ���, �	 
 � ���, �	
� � ���	, 
análogamente si la función elegida es ���, �	 resolvemos ���, �	 
 � ���, �	
� � ���	 . 
3er Paso: Una vez resueltas las integrales respectivas, derivamos parcialmente con respecto a 
la función de una variable respectiva, si tenemos: 
a) ���, �	 
 � ���, �	
� � ���	, derivamos parcialmente con respecto a � 
����, �	 
 ��� � ���, �	
� � �`��	, como ����, �	 
 ���, �	 
���, �	 
 ��� � ���, �	
� � �`��	, eliminamos algunos términos semejantes y 
despejamos �`��	, luego integramos con respecto a � para obtener ���	. 
Luego la solución está dada por ���, �	 
 �. 
NOTA: Si tenemos que �`��	 tiene algunos términos en �, significa que nos 
equivocamos en los pasos anteriores. 
 
b) ���, �	 
 � ���, �	
� � ���	 , derivamos parcialmente con respecto a � 
����, �	 
 ��� � ���, �	
� � �`��	, como ����, �	 
 ���, �	 
���, �	 
 ��� � ���, �	
� � �`��	, eliminamos algunos términos semejantes y 
despejamos �`��	, luego integramos con respecto a � para obtener ���	. 
Luego la solución está dada por ���, �	 
 �. 
NOTA: Si tenemos que �`��	 tiene algunos términos en �, significa que nos 
equivocamos en los pasos anteriores. 
 
 
ANEXO IV 
Ejercicios de Ayudantía. 
Capítulo I. Ecuaciones de Primer Orden. Métodos de Resolución. 
 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. 
Profesor: Miltón Jaramillo. 
Ayudante: Pablo Atuán M. 
 
 
 
2 
 EJERCICIO 1 
Resolver: �
� � �� � �	
� 
 � 
���, �	 
 � � ����, �	 
 � 
� ��, �	 
 � � � � ����, �	 
 � 
Como las derivadas parciales son iguales, la ecuación diferencial es exacta. Para resolver la 
ecuación, elegimos la función más fácil de integrar, en este caso, tomamos ���, �	 
 �. 
���, �	 
 � ���, �	
� � ���	 
 � �
� � ���	 
 �� � ���	 
Derivamos parcialmente con respecto a �, ocupamos ����, �	 
 ���, �	 
� � � 
 � � �`��	 � �`��	 
 � � ���	 
 �
 
 
���, �	 
 ! � �� � � 
 ! � �� � � 
 ", es solución de la ecuación diferencial. 
Si tomamos el otro método: 
���, �	 
 � ���, �	
� � ���	 
 � ���, �	
� � ���	 
� �
� � ���	 
 ��� � �	
� � ���	 
�� � ���	 
 �� � �
 
 � ���	 
���	 
 � � ���	 � ���	 
 � # ���	 
 
� 
 
La solución es la misma. 
 
 
 
 
 
 
ANEXO IV 
Ejercicios de Ayudantía. 
Capítulo I. Ecuaciones de Primer Orden. Métodos de Resolución. 
 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. 
Profesor: Miltón Jaramillo. 
Ayudante: Pablo Atuán M. 
 
 
 
3 
EJERCICIO 2 
Resolver: �$%&' ( ) '*+(	
$ ) $%&'(�$'*+( � �	
( 
 � 
Acomodamos la ecuación: 
 �$%&' ( ) '*+(	
$ � ,) $ '*+(%&'( ) $%&'(-
( 
 � 
��$, (	 
 $%&' ( ) '*+( � �( 
 ) $%&'('*+( ) %&'( 
��$, (	 
 ) $ '*+(%&'( ) $%&'( � �$ 
 ) $%&'('*+( ) %&'( 
Luego la ecuación diferencial es exacta, por lo tanto: 
��$, (	 
 � �$%&' ( ) '*+(	
$ � ��(	 
 $
 %&' (
 ) $'*+( � ��(	 
Derivamos parcialmente con respecto a ., ocupamos �/�0, .	 
 ��0, .	 
) $ '*+(%&'( ) $%&'( 
 ) $ '*+(%&'( – $%&'( � �`�(	 � �`�(	 
 � � ��(	 
 ! 
��$, (	 
 ! � $
 %&' (
 ) $'*+( 
 !, es la solución de la ecuación diferencial. 
EJERCICIO 3 
Resolver: ,@� � �� ) � -
� � ,� ) �� ) @� -
� 
 � 
���, �	 
 @� � �� ) � � ����, �	 
 � ) � 
� ��, �	 
 � ) �� ) @� � ����, �	 
 � ) � 
Luego la ecuación diferencial es exacta, por lo tanto: 
���, �	 
 � ���, �	
� � ���	 
 �,@� � �� ) � -
� � ���	 
���, �	 
 �@ � � � ) �� � ���	 
Derivamos parcialmente con respecto a �, ocupamos ����, �	 
 ���, �	 
� ) �� ) @� 
 � ) �� � �`��	 � �`��	 
 )@� � ���	 
 ) �@ 
���, �	 
 ! � �@ � � � ) �� ) �@ 
 !, es solución de la ecuación diferencial. 
 
 
 
ANEXO IV 
Ejercicios de Ayudantía. 
Capítulo I. Ecuaciones de Primer Orden. Métodos de Resolución. 
 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. 
Profesor: Miltón Jaramillo. 
Ayudante: Pablo Atuán M. 
 
 
 
4 
EJERCICIO 4 
Determine A B C de modo que la ecuación ,�@ � D��E-
� � ,@�� � �� �@-
� 
 � 
sea una ecuación diferencial exacta. 
Para que la ecuación diferencial sea exacta se debe cumplir ����, �	 
 ����, �	 
���, �	 
 �@ � D��E � ����, �	 
 @� � ED��@ 
���, �	 
 @�� � �� �@ � ����, �	 
 @� � ���@ 
@� � ED��@ 
 @� � ���@ � ED��@ 
 ���@ � ED 
 � � D 
 F 
EJERCICIO 5 
Obtenga una función ���, �	 tal que la siguiente ecuación diferencial sea exacta. 
���, �	
� � G�*�� � �� � ��H 
� 
 � 
���, �	 
 �*�� � �� � �� � ����, �	 
 *�� � ��*�� � � ) �I 
Para que la ecuación diferencial sea exacta se debe cumplir ����, �	 
 ����, �	 
����, �	 
 *�� � ��*�� � � ) �I , integramos con respecto a �. 
���, �	 
 *
��
� � 
��� ) �	*��
� � � ) �I � 
���, �	 
 �*�� � � ) �I � 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXO IV 
Ejercicios de Ayudantía. 
Capítulo I. Ecuaciones de Primer Orden. Métodos de Resolución. 
 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. 
Profesor: Miltón Jaramillo. 
Ayudante: Pablo Atuán M. 
 
 
 
5 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
1. ,� � � -
� � ��
� 
 � 
 
2. ��� ) �	
� ) ��� ) �	
� 
 � 
 
3. @� JK � 
� � �@�I�
� 
 � 
 
4. ,%&'� '*+� ) �� -
� � �,� ) � -
� 
 � 
 
5. � �� � @	
� � ,� ) �-
� 
 � 
 
6. �'*+� ) �'*+�	
� � �%&'� � �%&'� ) � 	
� 
 � 
 
7. , � � ) @-
� � , �� � E-
� 
 � 
 
8. �*� � �	
� � � � � � �*� 	
� 
 � 
���	 
 � 
 
9. �E� � � ) F	
� � �L� � E� ) �	
� 
 � 
��)�	 
 
 
10. Determine A B C de modo que , �� � �*�-
� � , � � D*� ) �-
� 
 � 
Sea una ecuación diferencial exacta.

Otros materiales