47714_31622_EJERCICIOS_RESUELTOS_FUNCIONES_MAT62100

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Prof.:luis orozcofuenzalida
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS I MAT62100
FUNCIONES
1.- Sea 0ÐBÑ œ É &#BB , determine .H970
Solución: , luego debemos resolver la inecuación .H970 œ B −   !   !š ‚ ›‘ &#B &#BB B
Los puntos críticos para poder aplicar el "TVI" sonš ›!ß &# . De esta manera podemos
construir el "cuairito":
B _ß! ! !ß ß _
  ! b
“ “ “’ ’ ’& & &# # #
&#B
B /
¾ H970 œ !ß“ “&# .
2.- Sea 0ÐBÑ œ É$ # BB #B ** , determine .H970
Solución: , luego debemos resolver la ecuaciónH970 œ B − Á !š ‚ ›‘ B  #B **#
B  #B **# œ !, cuyo conjunto solución es .˜ ™""ß *
¾ H970 œ ‘ ˜ ™""ß * .
3.- Sea 0ÐBÑ œ $B%
%$BÈ , determine .H970
Solución: H970 œ % $B  !
H970 œ %  $B
H970 œ B 
˜ ™
˜ ™
˜ ™
B − Î
Ê B − Î
Ê B − Î
‘
‘
‘
%
$
¾ H970 œ _ß‘ %$ .
4.- Sea 0ÐBÑ œ $691Ð$B%Ñ , determine .H970
2
Solución: H970 œ $B %  ! $B % œ "
H970 œ $B  % $B œ &
H970 œ B  B œ
˜ ™ ˜ ™
˜ ™ ˜ ™
˜ ™ ˜ ™
B − Î  B − Î
Ê B − Î  B − Î
Ê B − Î  B − Î
‘ ‘
‘ ‘
‘ ‘
% &
$ $
¾ H970 œ  ß _‘ ‹% &$ $š ›.
5.- Sea 0ÐBÑ œ #691 Ð&B 'Ñ
%
, determine .H970
Solución: H970 œ &B '  ! &B ' œ "
H970 œ &B  ' &B œ (
H970 œ B  B œ
˜ ™ ˜ ™
˜ ™ ˜ ™
˜ ™ ˜ ™
B − Î  B − Î
Ê B − Î  B − Î
Ê B − Î  B − Î
‘ ‘
‘ ‘
‘ ‘
' (
& &
¾ H970 œ ß _‘ ' (& &š ›.
6.- Sea 0ÐBÑ œ %
" B$É ¸ ¸ , determine .H970
Solución: H970 œ " B $  !
H970 œ " B $  !
H970 œ B $  "
H970 œ  B $  "
H970 œ  B   #
˜ ™
˜ ™
˜ ™
˜ ™
˜ ™
B − Î
Ê B − Î
Ê B − Î
Ê B − Î "
Ê B − Î %
‘
‘
‘
‘
‘
¸ ¸
¸ ¸
¸ ¸
¾ H970 œ  %ß  #‘ .
7.- Sea 0ÐBÑ œ %
691 Ð $B" #Ñ
&
¸ ¸ , determine .H970
Solución: H970 œ $B "  #  ! $B "  # œ "
H970 œ $B "  # $B " œ $
H970 œ $B "  # ” $B "   # $B " œ „$
H970
˜ ™ ˜ ™
˜ ™ ˜ ™
˜ ™ ˜ ™
B − Î  B − Î
Ê B − Î  B − Î
Ê B − Î  B − Î
Ê
‘ ‘
‘ ‘
‘ ‘
¸ ¸ ¸ ¸
¸ ¸ ¸ ¸
œ $B  $ ” $B   " $B œ "„$
H970 œ B  " ” B   B œ
˜ ™ ˜ ™
˜ ™ ˜ ™
B − Î  B − Î
Ê B − Î  B − Î
‘ ‘
‘ ‘
" "„$
$ $
¾ H970 œ _ß   "ß _ ߊ ‹‘  ‘ " # %$ $ $ š ›.
8.- Sea 0ÐBÑ œ %È% ",B%B# , determine todos los valores de para los cuales la,
función está definida.0 no
3
Solución: 0 no está definida si "  ,B %B# Ÿ ! o, luego el discriminante de la
expresión cuadrática %B  ,B "# debe ser un número no-negativo, es decir:
,  % † % † " !
Ê ,  "' !
Ê , "'
Ê , %
#
#
#
 
 
 
 ¸ ¸
¾ , _ß  %  %ß _− ‘ ‘  .
9.- Sea 0ÐBÑ œ $ #B ß B   "$ . Determine .V/-0
Solución: B   "
  "
0ÐBÑ
ÎÐÑ
Ê B Î †  #
Ê #B  # Î $
Ê $ #B "
Ê "
$
$
$
$
Ÿ
Ÿ
Ÿ
luego V/-0 _ß"œ ‘ ‘.
10.- Sea 0ÐBÑ œ "!  %Bß B   ! . Determine .V/-0
Solución: B   !
!
!
0ÐBÑ !
Ê  %B
Ê "! %B "
Ê "
Ÿ
Ÿ
Ÿ
luego V/-0 _ß"!œ ‘ ‘.
11.- Sea . Determine Dominio y recorrido de .0ÐBÑ œ 0%B  "$ #B
Solución: Sea .C œ %B  "$ #B
Para que se debe tener que .C − B Á  ¾ H970 œ  ‘ ‘$ $# #š ›
4
Si C œ à B Á %B  " $$ #B #
$C"
%#C
Ê $C #BC œ %B "
Ê $C  " œ %B #BC
Ê $C  " œ BÐ%  #CÑ
Ê œ B
Para que se debe tener que .B − C Á # ¾ V/-0 œ  #‘ ‘ š ›
12.- Sea . Determine dominio y recorrido de .0ÐBÑ œ 0É B  "$  &B
Solución: .H970 œ B −   ! œ ß "š ‚ › “ “‘ B  "$  &B $&
V/-0 œ C − C œ ß C   !ß B − H970š ‚ ›É‘ B  "$  &B
C œ œ
$  &BÑ
B  &B
BÐ"  &
É B  " B  "
$  &B $  &B
$C "
"&C
Ê C
Ê C Ð œ B "
Ê $C  " œ C
Ê $C  " œ C Ñ
Ê B œ
 #
#
# #
# #
#
#
¾ V/-0 œ !ß _’ ’.
13.- Sea . Determine Dominio y recorrido de .0ÐBÑ œ 0$B  ") &B
Solución: Sea .C œ $B  ") &B
Para que se debe tener que .C − B Á ¾ H970 œ ‘ ‘) )& &š ›
Si C œ à B Á$B  " )) &B &
)C"
$&C
Ê )C &BC œ $B "
Ê )C  " œ $B &BC
Ê )C  " œ BÐ$  &CÑ
Ê œ B
Para que se debe tener que .B − C Á  ¾ V/-0 œ  ‘ ‘$ $& &š ›
14.- Sea . Determine Dominio y recorrido de .0ÐBÑ œ 0#B  $B#
5
Solución: Sea .C œ #B  $B#
Para que se debe tener que .C − B Á ! ¾ H970 œ  !‘ ‘ š ›
Si C œ à B Á !
C Á !
C Á !
#B  $
B#
Ê B C œ #B $
Ê CB  #B $ œ !
Ê B œ
Ê B œ
#
#
Ð#Ñ„ Ð#Ñ %†ÐCцÐ$Ñ
#†C
#„ %"#C
#C
È
È
#
à
à
Para que se debe tener que , además que si ,B − C    B œ ‘ " $$ #
entonces , .C œ ! ¾ V/-0 œ  ß _” ”"$
15.- Sea . Determine Dominio y recorrido de .0Ð>Ñ œ 0
$#>
>#
Solución: Sea .C œ $#>>#
Para que se debe tener que .C − > Á ! ¾ H970 œ  !‘ ‘ š ›
Si C œ à > Á !
C Á !
C Á !
$#>
>
Ð#Ñ„ Ð#Ñ %†ÐCцÐ$Ñ
#†C
#„ %"#C
#C
#
#
Ê > C œ $ #>
Ê C>  #>  $ œ !
Ê > œ
Ê > œ
#
#
È
È
à
à
Para que se debe tener que , además que si , entonces> − C    > œ ‘ " $$ #
C œ ! ¾ V/-0 œ  ß _, .” ”"$
16.- Sean 0ÐBÑ œ 1ÐBÑ œ
Š ‹È
È
&#B
&#B
#
 y È&  #B . ¿Es ?0 œ 1
Solución: , luego H970 œ Á œ H971“ ’ “ “_ß _ß& &# # 0 Á 1.
6
17.- Sean y 0ÐBÑ œ $ 1ÐBÑ œ " 0 ‰ 1 ÐBÑ 1 ‰ 0 ÐBÑ" "B &B#
É Š ‹ Š ‹, determine y y
sus respectivos dominios.
Solución: y .H970 œ  ! H971 œ _ß! _‘ ˜ ™ “ ’ ’ ’ ß "&
Š ‹ Š ‹
Œ É “
“ “
0 ‰ 1 ÐBÑ 0 1ÐBÑ
0 "  àB − _ß! _
$ àB − _ß! _
$
œ
œ  ß 
œ  ß 
œ
œ Þ
" "
&B &
" "
&
&B
&B"
#!B$
&B"
’ ’ ’
’ ’
Œ É" "&B
#
Luego H97 0 ‰ 1 œ _ß! _Š ‹ “ “’ ’ ß "& .
Š ‹ Š ‹
Œ  ˜ ™
Ê ˜ ™
Ê ˜ ™
Ê ˜ ™
1 ‰ 0 ÐBÑ 1 0ÐBÑ
1 $  à  !
"  à  !
"  à  !
à  !
œ
œ
œ
œ
œ Þ
"
B
"
& $
B
"&B &
"%B "
"&B &
#
"
B#
#
#
#
#
‘
‘
‘
‘
Š ‹
Luego H97 1 ‰ 0 œ  !Š ‹ ˜ ™‘ .
18.- y , determine y .Sea 0ÐBÑ œ 1ÐBÑ œ& B$B$ & Š ‹1 ‰ 0 ÐBÑ V/-Ð1 ‰ 0Ñ
Solución:
.
.
.
Š ‹ Š ‹
Œ  ˜ ™
˜ ™
˜ ™
1 ‰ 0 œ
œ
œ
œ
ÐBÑ 1 0ÐBÑ
1 à B −   $
àB −   $
àB −   $
&
B$
$
&
&
‘
‘
‘
&
B$
$B"%
B$
Luego Š ‹1 ‰ 0 ÐBÑ œ $B"% $&B"& & y V/- 1 ‰ 0 œ Š ‹ ˜ ™‘ .
7
19.- . Determine y su respectivo dominio y recorrido.Sea 0ÐBÑ œ "B# Š0 ‰ 0 ÐBÑ‹
Solución: y .H970 œ  # V/-0 œ  !‘ ‘˜ ™ ˜ ™ 
Š ‹ Š ‹
Œ  ˜ ™
˜ ™
š ›
0 ‰ 0 ÐBÑ 0 0ÐBÑ
0 à B −  #
àB −  #
àB −  #ß
œ
œ
œ
œ
"
B#
"
#
B# &
&#B #
‘
‘
‘
.
.
.
"
B#
Luego , H97 0 ‰ 0 œ  #ß V/- 0 ‰ 0 œ  !ß Š ‹ š › Š ‹ ˜ ™‘ ‘& "# # .
20.- . Determine y su respectivo dominio y recorrido.Sea 1ÐBÑ œ &BB$ Š1 ‰ 1 ÐBÑ‹
Solución: y .H970 œ   $ V/-0 œ  &‘ ‘˜ ™ ˜ ™ 
Š1 ‰ 1 ÐBÑ œ
œ
œ
œ
œ
‹ 1 1ÐBÑ
0 à B −   $
àB −   $
àB −   $ß 
àB −   $ß 
Š ‹
Œ  ˜ ™
˜ ™
š ›
š ›
&B
B$
&
$
*
)
#&B *
)B* )
‘
‘
‘
‘
Œ 
Œ 
&B
B$
&B
B$
#&B
B$
)B*
B$
.
Luego , H97 œ  $ß  V/- œ  &ߊ Š1 ‰ 1 1 ‰ 1‹ ‹‘ ‘š › ˜ ™* #&) ) .
21.- y . Determine .Sea 0ÐBÑ œ 1ÐBÑ œ#B$ B$B" B# Š ‹0 ‰ 1 ÐBÑ H97Ð0 ‰ 1Ñ V/-Ð0 ‰ 1Ñ, y 
8
Solución:
.
Š ‹ Š ‹
Œ  ˜ ™
˜ ™
˜ ™
˜ ™
0 ‰ 1 œ
œ
œ
œ
œ
ÐBÑ 0 1ÐBÑ
0 à B −  #
àB −  #
àB −  #
B àB −  #
B$
B#
#† $
"
‘
‘
‘
‘
B$
B#
B$
B#
B
B#
"
B#
Luego Š ‹0 ‰ 1 ÐBÑ œ B H97Ð0 ‰ 1Ñ 0 ‰ 1, y œ  # V/- œ  #‘ ‘˜ ™ ˜ ™Š ‹ .
22.- y . Determine Sea 0ÐBÑ œ B  & 1ÐBÑ œ# È ‹"  %B Š0 ‰ 1 ÐBÑ H97Ð0 ‰ 1Ñ V/-Ð0 ‰ 1Ñ, y Þ
Solución:
.
Š ‹ Š ‹
Œ 
Š ‹
0 ‰ 1 œ
œ
œ
œ
œ
ÐBÑ 0 1ÐBÑ
0 à B Ÿ
 & àB Ÿ
àB Ÿ
àB Ÿ
È
È
"  %B
" %B
" %B &
' %B
"
%
"
%
"
%
"
%
#
 
Luego Š ‹ ‘ ‘0 ‰ 1 ÐBÑ œ H97Ð0 ‰ 1Ñ _ß'  %B y œ "% .
Además,
Si B Ÿ
Ê %B Ÿ "
Ê %B  "
Ê
Ê ÐBÑ
"
%
 
 
0 ‰ 1  
' %B &
&Š ‹
¾ 0 ‰ 1 _V/- œ &ß Š ‹  Þ
23.- . Determine y su respectivo dominio y recorrido.Sea 0ÐBÑ œ "$B% Š0 ‰ 0 ÐBÑ‹
Solución: y .H970 œ  V/-0 œ  !‘ ‘˜ ™ ˜ ™%$ 
9
Š ‹ Š ‹
Œ  ˜ ™
˜ ™
š ›
0 ‰ 0 ÐBÑ 0 0ÐBÑ
0 à B − 
àB − 
àB −  ß
œ
œ
œ
œ
" %
$B% $
" %
$† % $
$B% % "*
"*"#B $ "#
‘
‘
‘
.
.
.
"
$B%
Luego , H97 0 ‰ 0 œ  ß V/- 0 ‰ 0 œ  !ß Š ‹ š › Š ‹ ˜ ™‘ ‘% "* "$ "# % .
24.- Sea , determine recorrido de haciendo uso del gráfico de .0ÐBÑ œ $B  'B & 0 0#
Solución: El gráfico de está dado por una parábola convexa ( ) con vértice0 + œ $  !
Z Ð"ß #Ñ V/-0 œ #ß _, por lo que .’ ’
25.- Sea , determine recorrido de haciendo uso del gráfico de .0ÐBÑ œ ( #B  &B 0 0#
Solución: Sea y 0ÐBÑ œ  #B  &B ( ¾ + œ  #ß , œ  & - œ (#
Como la parábola es cóncava hacia abajo y su vértice es + œ  # Z Ð  ß Ñ& )"%)
10
¾ V/-0 œ _ß“ “)")
26.- Sea , determine .0ÐBÑ œ ( %B $B#
#†0Ð"Ñ&†0Ð#Ñ
&†0Ð#Ñ#†0Ð"Ñ
Solución: 0Ð"Ñ œ ! 0Ð  #Ñ œ $ 0Ð#Ñ œ  "$ ¾, y 
 
 
 
 
#†0Ð"Ñ&†0Ð#Ñ
&†0Ð#Ñ#†0Ð"Ñ &† "$#†!
#†!&†$
!"&
'&!
"&
'&
$
"$
œ
œ
œ
œ

27.- Sea , determine .0ÐBÑ œ $ &B #B#
$†0Ð!Ñ%†0Ð#Ñ
%†0Ð#Ñ$†0Ð!Ñ
Solución: 0Ð!Ñ œ $ 0Ð#Ñ œ " 0Ð  #Ñ œ #" ¾, y 
11
$†0Ð!Ñ%†0Ð#Ñ
%†0Ð#Ñ$†0Ð!Ñ %†#"$†$
$†$%†"
*%
)%*
&
(&
"
"&
œ
œ
œ
œ
28.- Sea . Determine .0ÐBÑ œ $ † 0Ð!Ñ  & † 0Ð#Ñ  % † 0Ð%Ñ
$B  % =3 B  #
 & =3 B œ #
& #B =3 B  #
Ú
ÛÜ #
Solución: 0Ð!Ñ œ  % 0Ð#Ñ œ  & 0Ð%Ñ œ $( ¾ $ † 0Ð!Ñ  & † 0Ð#Ñ  % † 0Ð%Ñ œ  ")&, y . 
29.- Sea . Determine 0ÐBÑ œ
%B & =3 B  $
 ) =3 B œ $
' $B =3 B  $
Ú
ÛÜ #
0Ð!Ñ#0Ð$Ñ$0Ð%Ñ
0Ð"Ñ
Solución: , , y 0Ð!Ñ œ  & 0Ð$Ñ œ  ) 0Ð%Ñ œ  %# 0Ð"Ñ œ  "
¾ œ
0Ð!Ñ#0Ð$Ñ$0Ð%Ñ Ð&Ñ#†Ð)Ñ$†Ð%#Ñ
0Ð"Ñ Ð"Ñ
&"' "#'
"œ
œ "!&.
30.- Sea . Determine 0ÐBÑ œ
$B  ' =3 B  #
 % =3 B œ #
' $B =3 B  #
Ú
ÛÜ
#
#
0Ð"Ñ#0Ð#Ñ$0Ð&Ñ
0Ð$Ñ
Solución: , , y 0Ð  "Ñ œ  $ 0Ð#Ñ œ  % 0Ð&Ñ œ  '* 0Ð$Ñ œ  #"
¾ œ
0Ð"Ñ#0Ð#Ñ$0Ð&Ñ Ð$Ñ#†Ð%Ñ$†Ð'*Ñ
0Ð$Ñ Ð#"Ñ
$) #!(
#"
#)
$
œ
œ  .
.
31.- Sea . Determine 0ÐBÑ œ
%B  ( =3 B   #
 % =3 B œ  #
( %B =3 B   #
Ú
ÛÜ
#
#
0Ð"Ñ#0Ð#Ñ$0Ð&Ñ
0Ð$Ñ
Solución: , , y 0Ð  "Ñ œ $ 0Ð  #Ñ œ  % 0Ð  &Ñ œ *$ 0Ð$Ñ œ  #*
12
¾ œ
0Ð"Ñ#0Ð#Ñ$0Ð&Ñ
0Ð$Ñ
Ð$Ñ#†Ð%Ñ$†Ð*$Ñ
Ð#*Ñ
$) #(*
#*
#)%
#*
œ
œ .
32.- Sea . Determine .0ÐBÑ œ 0Ð+  #Ñ
$B % =3 B  #
 & =3 B œ #
& #B =3 B  #
Ú
ÛÜ #
Solución: 0ÐBÑ œ œ
$Ð+  #Ñ  % =3 +  #  # $+  "! =3 +  %
 & =3 +  # œ #  & =3 + œ %
&  #Ð+  #Ñ =3 +  #  # #+  )+  "$ =3 +  %
Ú Ú
Û ÛÜ Ü# # 
33.- Sea . Determine .0ÐBÑ œ 0Ð,  $Ñ
%B & =3 B  $
 ) =3 B œ $
' $B =3 B  $
Ú
ÛÜ #
Solución: 0Ð,  $Ñ œ œ
%Ð,  $Ñ  & =3 ,  $  $ %,  "( =3 ,  '
 ) =3 ,  $ œ $  ) =3 , œ '
'  $Ð,  $Ñ =3 ,  $  $ "),  $,  #" =3 ,  '
Ú Ú
Û ÛÜ Ü# # 
34.- Sea . Determine .0ÐBÑ œ 0Ð&  >Ñ
$B  ' =3 B  #
 % =3 B œ #
' $B =3 B  #
Ú
ÛÜ
#
#
Solución: 0Ð&  >Ñ œ œ
$Ð&  >Ñ  ' =3 Ð&  >Ñ  # $>  $!>  '* =3 >  $
 % =3 Ð&  >Ñ œ #  % =3 > œ $
'  $Ð&  >Ñ =3 Ð&  >Ñ  #  $>  $!>  '* =3 >  $
Ú Ú
Û ÛÜ Ü
# #
# #
 
35.- Sea . Determine .0ÐBÑ œ 0Ð%  DÑ
%B  ( =3 B   #
 % =3 B œ  #
( %B =3 B   #
Ú
ÛÜ
#
#
Solución:
0 œ œÐ%  DÑ
%Ð%  DÑ  ( =3 Ð%  DÑ   # %D  $#D  &( =3 D   '
 % =3 Ð%  DÑ œ  #  % =3 D œ  '
( %Ð%  DÑ =3 Ð%  DÑ   #  %D  $#D  &( =3 D   '
Ú Ú
Û ÛÜ Ü
# #
# #
 
36.- Si , determine .1Ð%B &Ñ œ ÐB "Ñ 1Ð$Ñ#
13
Solución: Sea %B & ¾ B œ # 1Ð$Ñ œ Ð#  "Ñ œ *œ $ , luego .#
37.- Si , determine .1Ð#B $Ñ œ B 1Ð&Ñ#
Solución: Sea #B $ œ & ¾ B œ % 1Ð&Ñ œ % œ "', luego .#
38.- Si , determine .1Ð&B %Ñ œ ÐB #Ñ 1Ð>Ñ#
Solución: Sea &B % ¾ B œ 1Ð>Ñ œ  # œœ > >% >% >'& & &, luego .Š ‹ Š ‹
# #
39.- Si , determine .1Ð$  #BÑ œ Ð#  BÑ 1Ð>Ñ#
Solución: Sea $  #B œ > ¾ B œ 1Ð>Ñ œ # œ$> $> "># # #, luego .Š ‹ Š ‹
# #
40.-Sea 0ÐBÑ œ &B %B#. Demuestre que si 2 Á ! "$  %2, .
0Ð2"Ñ0Ð"Ñ
2 œ
Solución: 
0Ð2"Ñ0Ð"Ñ &Ð2"Ñ%Ð2"Ñ Ð*Ñ
2 2
"$2 %2
2
œ
"$  %2
#
#
œ
œ
41.- Sea . Demuestre que si 0ÐBÑ œ B  $B$ 2 Á !, 
0ÐB 2Ñ0ÐBÑ
2 œ $B  $ $B2  2
# #.
Solución: 
0ÐB 2Ñ0ÐBÑ
2 2
ÐB 2Ñ ÐB 2Ñ 
B 
2
2Ð Ñ
2
œ
œ
œ
œ $B  $B2  2  $
Š ‹ Š ‹$ $
$ # # $ $
# #
$ B  $B
$B 2$B2 2 $B$2 B  $B
$B $B22 $
 
 
 
 
# #
42.- Complete el siguiente cuadro. Simplifique y racionalice cuando corresponda.
0ÐBÑ &B # #B $B ""  (B
0Ð"Ñ
0Ð2  "Ñ
# È #&B
% $B
0Ð2"Ñ0Ð"Ñ
2 à 2 Á !
14
Solución:
0ÐBÑ &B # #B $B ""  (B
0Ð"Ñ $  " # (
0Ð2  "Ñ &2  $  $2  %2  " % (2
&  $2  %
#
#
È
È
#&B
% $B
&2(
" $2
0Ð2"Ñ0Ð"Ñ
2 " $2
( #'
%(2#
à 2 Á ! È
a)
0Ð2"Ñ0Ð"Ñ
2 2
&2$  $
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2
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œ
œ
 
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b)
0Ð2"Ñ0Ð"Ñ $2 %2"  Ð"Ñ
2 2
$2 %2
2
2Ð$2%Ñ
2
œ
œ
œ
#
#
 
œ $2  %
c)
0Ð2"Ñ0Ð"Ñ
2 2
%(2  # %(2  #
%(2  #
%(2 %
2 %(2  #
(2
2 %(2  #
(
%(2  #
œ
œ
œ
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È
Š ‹È
Š ‹È
È
 
 
 
 
 
†
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d)
0Ð2"Ñ0Ð"Ñ
2 2
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2
#'2
2Ð" $2Ñ
#'
" $2
œ
œ
œ
&2(
" $2
&2((#"2
" $2
 
 
 
 
œ
43.- Sea . Demuestre que si , 0ÐBÑ œ 2 Á !
" #
#B" 2
0ÐB 2Ñ0ÐBÑ
œ ˆ ˆ#B#2" #B"‰ ‰ .
15
Solución: 
0ÐB 2Ñ0ÐBÑ
2 2

#B"  #ÐB2Ñ"
2
#B" #B#2"
2
#2
2
œ
œ
œ
œ
Š ‹ Š ‹
Š ‹ Š ‹
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
" "
#ÐB2Ñ" #B" 
#B#2" #B"
#B#2" #B"
#B#2" #B"
‰ ‰
‰ ‰
‰ ‰
œ
#ˆ ˆ#B#2" #B"‰ ‰ .
44.- Sea . Demuestre que si , 0ÐBÑ œ 2 Á !
" #B2
B 2
0ÐB 2Ñ0ÐBÑ
B
# #
œ  ˆB2‰# .
Solución: 
0ÐB 2Ñ0ÐBÑ
2 2

B ÐB2Ñ
2B ÐB2Ñ
B ÐB #B22 Ñ
2B ÐB2Ñ
B B #B22
2B ÐB2Ñ
#B22
2B ÐB2Ñ
2Ð#B2Ñ
œ
œ
œ
œ
œ
œ
" "
ÐB2Ñ B# #
 
# #
# #
# # #
# #
# # #
# #
#
# #
 2B ÐB2Ñ# #
¾ œ
0ÐB 2Ñ0ÐBÑ
2
#B2
B#ˆB2‰# .
45.- . Sea Demuestre que si , 0ÐBÑ œ 2 Á !B  " %B" 2 ÐB2 "ÑÐB2 "Ñ
0ÐB 2Ñ0ÐB2Ñ
œ
Solución: 
0ÐB 2Ñ0ÐB2Ñ
2 2
2
B Ð2  "Ñ  B Ð2  "Ñ
2ÐB2 "ÑÐB2 "Ñ

œ
B2  " B2  "
B2 " B2 "
B Ð2  "Ñ  B Ð2  "Ñ
ÐB2 "ÑÐB2 "Ñ

œ
œ
œ
’ “ ’ “# # # #
# # # #’ “ ’ “
%2
2ÐB2 "ÑÐB2 "Ñ
%
ÐB2 "ÑÐB2 "Ñœ
16
46.- . .Sea Demuestre que si ,0ÐBÑ œ 2 Á ! œB # )B# 2 ÐB  2#ÑÐB  2#Ñ
0ÐB 2Ñ0ÐB2Ñ 
Solución: 
0ÐB 2Ñ0ÐB2Ñ
2 2
2
œ
B  2# B  2#
B  2# B  2#
ÐB  2#ÑÐB  2#ÑÐB  2#ÑÐB  2#Ñ
ÐB  2#ÑÐB  2#Ñ
B  2 %2%B 2 %2 %
ÐB  2#ÑÐB  2#Ñ

œ
œ
# # # #
2
)2
2ÐB  2#ÑÐB  2#Ñ
)
ÐB  2#ÑÐB  2#Ñ
œ
œ
47.- . .Sea Demuestre que si ,0ÐBÑ œ 2 Á ! œ#B " )"#B 2 Ð"#B#2ÑÐ"#B#2Ñ
0ÐB 2Ñ0ÐB2Ñ 
Solución: 
0ÐB 2Ñ0ÐB2Ñ
2 2
2
œ
œ
#ÐB2Ñ" #ÐB2Ñ"
"#ÐB2Ñ "#ÐB2Ñ
#B#2" #B#2"
"#B#2 "#B#2
Ð#B#2"ÑÐ"#B#2ÑÐ#B#2"ÑÐ"#B#2Ñ


œ
Ð"#B#2ÑÐ"#B#2Ñ
)2
Ð"#B#2ÑÐ"#B#2Ñ
2
2
)2
2Ð"#B#2ÑÐ"#B#2Ñ
)
Ð"#B#2ÑÐ"#B#2Ñ
œ
œ
œ
48.- . .Sea Demuestre que si ,0ÐBÑ œ 2 Á !#B  $ #B 'B#B2$2B 2 B ÐB2Ñ
0ÐB Ñ0ÐB2Ñ
# # #
#
œ
Solución: 
0ÐB Ñ0ÐB2Ñ
2 2
2
#B %B 2#B2 $B 'B2$2 #B #B 2$B
2B ÐB
œ
œ
#B  $
B ÐB2Ñ
#ÐB2Ñ$
Ð#B  $ÑÐB #B22 ÑÐ#B#2$ÑB
B ÐB2Ñ
# #
# # #
# #
$ # # # # $ # #
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œ 2Ñ
#B 2'B2#B2 $2
2B ÐB2Ñ
2Ð#B 'B#B2$2Ñ
2B ÐB2Ñ
#B 'B#B2$2
B ÐB2Ñ
#
# # #
# #
#
# #
#
# #
œ
œ
œ
17
49.- .Sea Demuestre que si ,0Ð>Ñ œœ 2 Á !
$#>
> 2
0Ð> Ñ0Ð>2Ñ
# .
'>$2#> #>2
> Ð>2Ñ
#
# #
Solución: 
0Ð> Ñ0Ð>2Ñ
2 œ
œ
$#>
> Ð>2Ñ
$#Ð>2Ñ
# #
2
2
$> '>2$2 #> %> 2#>2 $> #> #> 2
2> Ð>
Ð$#>ÑÐ> #>22 ÑÐ$#>#2Ñ>
> Ð>2Ñ
# # #
# #
# # $ # # # $ #
#œ 2Ñ
'>2$2 #> 2#>2
2> Ð>2Ñ
2Ð'>$2#> #>2Ñ
2> Ð>2Ñ
'>$2#> #>2
> Ð>2Ñ
#
# # #
# #
#
# #
#
# #
œ
œ
œ
50.- Los puntajes medios en las pruebas PSU de matemáticas, en el ingreso de
estudiantes a cierta universidad, han disminuido a una tasa constante en los años
recientes. En 2003, el puntaje medio fue 525, mientras en 2008 fue 495. Expresar el 
puntaje medio como una función del tiempo. Si la tendencia continúa, ¿cuál será el
puntaje medio de los estudiantes en el año 2010?
Solución: Sea el T puntaje medio en las pruebas PSU de matemáticas y el año en> 
que se toma la PSU (con , para el año 2003); luego si , y> œ ! > œ ! T œ &#& 
si , . De esta manera> œ & T œ %*&
7 œ %*&&#&&! œ '
¾ T  &#& œ TÐ>Ñ œ o .'Ð>  !Ñ  '>  &#&
Además, en el año 2010 se tiene que > œ (, por lo que el puntaje medio de
los estudiantes en ese año será de puntos.TÐ(Ñ œ %)$
51.- El modelo exponencial aproxima la cantidad de personas con laUÐ>Ñ œ
")Þ$!!
#*!$#!†#!ß&>
influenza AH1N1, durante una epidemia, después de días. ¿Cuántas personas con la influenza>
AH1N1 había en un comienzo? ¿En qué momento habrá 61 personas con la influenza AH1N1?
Solución: En un comienzo había UÐ!Ñ œ œ $!
")Þ$!!
#*!$#!†#! personas, aproximadamente, con la
influenza AH1N1.
Para determinar en que momento habrá 61 personas con la influenza AH1N1 debemos
resolver la ecuación .'" œ")Þ$!!
#*!$#!†#!ß&>
18
Si '"
#*!  $#! † #
#*!  $#! † #
$#! † #
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 !ß &>  &
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!ß&> &
'"
$#!
$#
> œ "!
Por lo tanto, a los 10 días habrá 61 personas, aproximadamente, con la influenza AH1N1.
52.- Grafique en un mismo sistema de coordenadas las funciones 0ÐBÑ œ B #,
1ÐBÑ œ % y .2ÐBÑ œ % B
Solución:
53.- Grafique la función dada por: .0ÐBÑ œ
=3 B  "
$ =3 B œ "
=3 B  "
Ú
ÛÜ
$  &B
" B#
Solución:
19
 
54.- Trazar la gráfica de la función , incluidas todas las0ÐBÑ œ B B #¸ ¸
intersecciones con los ejes y \ ] (si existen) Con la ayuda del gráfico determineÞ
V/-0 .
Solución: 
si 
si 0ÐBÑ œ
B   #
B    #œ
#B #
 #
Luego V/-0 œ _ß  #“ “
55.- Hallar los puntos de intersección (si los hay) de las parejas de curvas dadas y
dibujar las gráficas.
 e C œ % #B C œ B  (B %#
Solución: B  (B % % #B
B  *B !
BÐB *Ñ #
#
#
œ
œ
œ
20
¾ B œ ! B œ  * Ð  *ß ##Ñ y , luego los puntos de intersección son: y
Ð!ß %Ñ. Y su gráfico es:
56.- Grafique en un mismo sistema de coordenadas la región limitada por las curvas
C œ # C œ # ]""B B", y el eje , identificando claramente los puntos de intersección. 
Solución: C œ #""B C œ #B"
21
57.- Grafique en un mismo sistema de coordenadas la región limitada por las curvas
C œ $B  (B# y .B $C œ !
Solución:
58.- Grafique, en un mismo sistema de coordenadas, la región limitada por las curvas C œ #$B,
C œ #B" , identificando claramente los puntos donde se intersectan cada una de las y el eje ]
curvas.
Solución: Sean C œ #$B y C œ #B"
Para determinar el punto de intersección de la curva con el eje , hacemos yC œ #$B ] B œ !
obtenemos el punto ; para determinar el punto de intersección de la curva conÐ!ß )Ñ C œ #B"
el eje , hacemos y obtenemos el punto ; finalmente para determinar el punto de] B œ ! Ð!ß #Ñ
22
intersección de la curva con la curva resolvemos la ecuación C œ #$B C œ #B" # œ #$B B"
y obtenemos el punto .Ð"ß %Ñ
59.- El ingreso mensual por concepto de la venta de unidades de cierto artículo está dado porB
MÐBÑ œ 'B !ß "B#. Determine el número de unidades que deben venderse cada mes con el
propósito de maximizar el ingreso. ¿Cuál es el correspondiente ingreso máximo? Haga un dibujo
que represente la función ingreso.
Solución:
Como la función ingreso M se representa como una parábola cóncava, el punto máximo
es el vértice dado por , donde y ; luego elŒ  + œ  !ß " , œ '!, ,#+ #+ß MŠ ‹
vértice es Así, Ð$!ß *!ÑÞ deben venderse 30 unidades cada mes con el propósito de
maximizar el ingreso y el ingreso máximo es de 90 (u.m.).
60.- Grafique en un mismo sistema de coordenadas la región limitada por las curvas
C œ
"
B , e , identificando claramente los puntos de intersección.C œ %B C œ )
Solución:
23
61.- Grafique en un mismo sistema de coordenadas la región limitada por las curvas
C œ B  )B "## , e , identificando claramente los puntos deB &C  #% œ ! C œ ' B
intersección.
Solución: Para determinar los puntos de intersección , y se resuelven,E F G
respectivamente, los sistemas
C œ ' B
œ !B &C  #%
 yC œ
œ 'B
B  )B "##
C
C œ
œ !
B  )B "#
C  #%
#
B &
24
62.- Grafique en un mismo sistema de coordenadas la región en el primer cuadrante
limitada por las curvas BC œ ", e , C  *B œ ! B œ *C identificando claramente los
puntos de intersección.
Solución: Para determinar los puntos de intersección , y se resuelven,E F G
respectivamente, los sistemas
B B
B
C " C C  *B !
C  *B B
œ œ " œ
œ ! œ *C œ *C
 y 
25
63.- Grafique en un mismo sistema de coordenadas la región en el primer cuadrante
limitada por las curvas C œ "B , e , C  %B œ ! B œ %C identificando claramente los
puntos de intersección.
Solución: Para determinar los puntos de intersección , y se resuelven,E F G
respectivamente, los sistemas
C œ œ œ
œ ! œ %C œ %C
" "
B B
BC  %B B
C C  %B ! y 
64.- Grafique en un mismo sistema de coordenadas la región limitada por las curvas
C œ ÐB "Ñ#, e , identificando claramente los puntos deC œ B " C œ #B #
intersección.
Solución:
26
65.- El ingreso mensual (en cientos de dólares) obtenido por la venta de cierto artículo seM
relaciona con el precio unitario (en dólares) mediante la ecuación .: MÐ:Ñ œ 
"
#:  $!:
#
Determine el precio unitario que maximiza el ingreso mensual. ¿Cuál es el correspondiente
ingreso máximo? Haga la gráfica que represente la función ingreso
Solución:
Como la función ingreso M se representa como una parábola cóncava, el punto máximo
es el vértice dado por , donde y ; luego el vérticeŒ  + œ  , œ $!, ,#+ #+ß MŠ ‹ "#
es Así, Ð$!ß %&!ÑÞ el precio unitario que maximiza el ingreso mensual es de 30 dólares y el
ingreso máximo es de 45.000 dólares.
66.- Halle dos números tales que la suma de sus cuadrados sea mínima y la suma de ellos sea .#!
Solución: Sean B C e los números. La suma de los cuadrados está dada por:
W œ B  C# # (*)
y la restricción por
B C œ #!.
Despejando de esta ecuación se tiene queC
C œ #!  B,
sustituyendo esta expresión en (*), tenemos que
W œ B  Ð#!  BÑ œ #B  %!B %!!# # # .
De esta manera hemos expresado la suma de los cuadrados como una función de la
variable ,B
27
WÐBÑ œ #B  %!B %!!# ,
cuya gráfica es:
Puesto que la parábola se abre hacia arriba, el valor mínimo de se da en el vérticeW
Z Ð"!ß #!!Ñ B œ "! C œ "!. Luego los números son e .
67.- Halle los valores de y para que y sean raíces del polinomio E F " "
:ÐBÑ œ B EB FB B "& % $ .
Solución: Si y son raíces del polinomio , entonces" " :ÐBÑ œ B EB FB B "& % $
:Ð"Ñ œ "EF " " œ ! :Ð  "Ñ œ  "EF " " œ ! y ,
luego:
" EF œ !
EF " œ !
Y resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene que y .E œ " F œ !
68- Sean y . Usando división sintética, determine :ÐBÑ œ B  #B  " ;ÐBÑ œ B -ÐBÑ$ "#
y , con , tal que .<ÐBÑ 1<Ð<ÐBÑÑ  1<Ð;ÐBÑÑ :ÐBÑ œ ;ÐBÑ † -ÐBÑ  <ÐBÑ
28
Solución: Coeficientes de
Coeficientes de y
 
 
:ÐBÑ " !  # "
+ œ    
" " " "
# # # #† " † † 
-ÐBÑ "  
" (
# %
" (
# %<
"&
)
Por lo que -ÐBÑ œ B B#  " (# % y <ÐBÑ œ
"&
)
69.- Sean y . :ÐBÑ œ $B  B  'B # ;ÐBÑ œ B$ # "$ Usando división sintética,
determine y , con , tal que .-ÐBÑ <ÐBÑ 1<Ð<ÐBÑÑ  1<Ð;ÐBÑÑ :ÐBÑ œ ;ÐBÑ † -ÐBÑ  <ÐBÑ
Solución: Coeficientes de
Coeficientes de y
 
 
:ÐBÑ $  "  ' #
+ œ
"
$
" " "
$ $ $† $ † †!  '
-ÐBÑ $ !  '< !
Por lo que -ÐBÑ $  'œ B# y <ÐBÑ !œ .
70.- Sean y . Determine y , con:ÐBÑ œ #B  $B  # ;ÐBÑ œ B  &B " -ÐBÑ <ÐBÑ% $ #
1<Ð<ÐBÑÑ  1<Ð;ÐBÑÑ :ÐBÑ œ ;ÐBÑ † -ÐBÑ  <ÐBÑ, tal que .
Solución: #B  $B  !B  !B # ƒ B  &B "
#B  "!B  #B
B  #B  !B #
B  $&B  (B
B  (B #
B  "'&B $$
"&)B $"
% $ # #
% $ #
$ #
$ #
#
#
œ #B  (B $$

(

(
$$

$$
#
luego -ÐBÑ œ <ÐBÑ œ "&)B $"#B  (B $$# y .
71.- Sean y , determine y , con:ÐBÑ œ &B  &B  #% ;ÐBÑ œ B  #%B -ÐBÑ <ÐBÑ% # #
1< <ÐBÑ  1< ;ÐBÑ :ÐBÑ œ -ÐBÑ † ;ÐBÑ  <ÐBÑŠ ‹ Š ‹ tal que .
Solución:
29
 &B  !B  &B  !B #% ƒ B  #%B
&B  "#!B
B  &B  !B #%
B  #))!B
B  !B #%
B  '*#%!B
'*#%!B #%
% $ # #
% $
$ #
$ #
#
#
œ &B  "#!B #))&

"#!

"#!
#))&

#))&
#
luego -ÐBÑ œ <ÐBÑ œ '*#%!B #%&B  "#!B #))&# y .
72.- Sean y . Determine y , con :ÐBÑ œ %B  $B  #B " ;ÐBÑ œ B  " -ÐBÑ <ÐBÑ& $ #
1<Ð<ÐBÑÑ  1<Ð;ÐBÑÑ :ÐBÑ œ ;ÐBÑ † -ÐBÑ  <ÐBÑ, tal que .
Solución: %B  !B  $B  !B  #B " ƒ
%B  %B
(B  !B  #B "
 (B  (B
&B "
& % $ #
& $
$ #
$
B  "# œ %B  (B



$
luego -ÐBÑ œ <ÐBÑ œ%B  (B$ y &B ".
73.- Sean y . Determine y , con:ÐBÑ œ &B  #B  " ;ÐBÑ œ B  'B ( -ÐBÑ <ÐBÑ% # #
1<Ð<ÐBÑÑ  1<Ð;ÐBÑÑ :ÐBÑ œ ;ÐBÑ † -ÐBÑ  <ÐBÑ, tal que .
Solución: &B  !B  #B  !B " ƒ B  'B (
&B  $!B  $&B
B  $(B  !B "
B  ")!B  #"!B
B  #"!B"
B  )&)B "!!"
B "!
% $ # #
% $ #
$ #
$ #
#
#
œ &B  $!B "%$

 $!

 $!
"%$

"%$
 '%)
#
!!
luego -ÐBÑ œ <ÐBÑ œ B "!!!&B  $!B "%$  '%)# y .
30
74.- Sean y . Determine y , con:ÐBÑ œ B  #B  $ ;ÐBÑ œ B  B -ÐBÑ <ÐBÑ% # #
1<Ð<ÐBÑÑ  1<Ð;ÐBÑÑ œ -ÐBÑ , tal que .
:ÐBÑ <ÐBÑ
;ÐBÑ ;ÐBÑ
Solución:
B  !B  #B  !B  $ ƒ B B œ B B "

B  B
B  #B  !B  $

B  B
 B  !B  $

 B  B
 B  $
% $ # # #
% $
$ #
$ #
#
#
luego y -ÐBÑ œ B  B " <ÐBÑ œ B $# .
Por lo tanto .B  #B  $  B  $B  B B  B
% #
# #
 
 
œ B B "#
75.- Sean y . Determine y , con:ÐBÑ œ B  $B  # ;ÐBÑ œ B  $B -ÐBÑ <ÐBÑ% $ #
1<Ð<ÐBÑÑ  1<Ð;ÐBÑÑ œ -ÐBÑ , tal que .
:ÐBÑ <ÐBÑ
;ÐBÑ ;ÐBÑ
Solución: 
 
B  $B  !B  !B # ƒ
B  $B
B  $B  !B #
B  B
B  *B  #
% $ #
% #
$ #
$
#
B  $B
$
$ œ B  $

 $

 *
$
 
luego -ÐBÑ œ <ÐBÑ œ B  *B  #B  $ $ y # .
Por lo tanto .B  $B  #B  $B B  $B
% $
# #
 
 
œ B  $
$B  *B  ## 
76.- Sean y . Determine y , con:ÐBÑ œ B  $B  # ;ÐBÑ œ B  #B -ÐBÑ <ÐBÑ& % $
1<Ð<ÐBÑÑ  1<Ð;ÐBÑÑ œ -ÐBÑ , tal que .
:ÐBÑ <ÐBÑ
;ÐBÑ ;ÐBÑ
31
Solución: B  $ B  #B
$
$
& $B  !B  !B  !B # ƒ
B  #B
B B  !B  !B #
B  B
B  'B  !B #
B  %B
'B  %B #
% $ #
& $
% $ #
% #
$ #
$
#
œ B  $B #

  #

 '
 #

 #
#
luego -ÐBÑ œ <ÐBÑ œ 'B  %B #B  $B ## y # .
Por lo tanto .B  $B  #B  #B B  #B
& %
$ $
 
 
œ B  $B ##
'B  %B  ## 
77.- Sean y . Determine y , con :ÐBÑ œ %B  B  'B # ;ÐBÑ œ B -ÐBÑ <ÐBÑ& $
"
#
1<Ð<ÐBÑÑ  1<Ð;ÐBÑÑ :ÐBÑ œ ;ÐBÑ † -ÐBÑ  <ÐBÑ, tal que .
Solución: Usando división sintética
Coeficientes de
Coeficientes de y
 
 
:ÐBÑ % !  " !  ' #
+ œ      
" " " " " "
# # # # # #† % † † † † # ! !  '
-ÐBÑ %  # ! !  '< &
Por lo que -ÐBÑ œ B B%  #  '% $ y <ÐBÑ œ &.
Usando división larga
 %B  !B  B  !B  'B # ƒ
%B  #B
B  B  !B  'B #
B  B
 'B #
 'B $
& % $ #
& %
% $ #
% $
B
"
# œ %B  #B  '

 #

 #

&
% $
luego -ÐBÑ œ <ÐBÑ œ%B  #B  ' &% $ y .
78.- Sea . Verifique que y son raíces de:ÐBÑ œ B  &B  ""B  #!B #) B œ # B œ  #% $ #
:ÐBÑ y determine las raíces reales que faltan (si existen).
32
Solución: .:Ð#Ñ œ #  & † #  "" † #  #! † #  #) œ "' %! %% %! #) œ !% $ #
:Ð  #Ñ œ Ð  #Ñ  & † Ð  #Ñ  "" † Ð  #Ñ  #! † Ð  #Ñ  #)% $ #
œ "' %! %% %! #) œ !.
Luego y son raíces de y además es divisible por yB œ # B œ  # :ÐBÑ :ÐBÑ B  #
B # B  %, es decir es divisible por . De esta manera:#
 B  &B  ""B  #!B #) B  %
B  %B
% $ # #
% #
ƒ
B  (B  #!B #)
B  #!B
œ B  &B (

&

&
 (B  #)

 (B  #)
!
#
#
#
$ #
#
luego :ÐBÑ œ ÐB  %ÑÐ# B  &B (Ñ# y las otras raíces reales se obtienen resolviendo
la ecuación B  &B (# œ B œ!, las que son 
&„ &$
#
È
.
79.- .Descomponga en fracciones parciales la expresión racional #B "B  %B#
Solución: .#B " #B " E FB  %B# œ œ BÐB%Ñ B B%
¾ #B " œ EÐB %Ñ FB,
Si 
Si 
B œ ! Ê " Ê
B œ  % Ê * œ  %F Ê F
œ %E E œ
œ
"
%
*
%
¾ œ 
#B "
B  %B#
" *
% %
B B% .
80.- .Descomponga en fracciones parciales la expresión racional &  $B"'  B#
Solución: .&  $B &  $B"'  B Ð%BÑÐ%BÑ %B %B# œ œ 
E F
¾ & $B œ EÐ%  BÑ FÐ%  BÑ,
Si 
Si 
B œ % Ê ( Ê
B œ  % Ê "( œ  )F Ê F
œ )E E œ 
œ 
(
)
"(
)
De esta manera
33
&  $B
"'  B %B %B# œ 
 ( "() ) .
81.- .Descomponga en fracciones parciales la racional expresión )BB  %#
Solución: .)B )BB  % ÐB#ÑÐB#Ñ B# B## œ œ 
E F
¾ )B œ EÐB #Ñ FÐB #Ñ,
Si 
Si 
B œ # Ê "' Ê
B œ  # Ê "' œ  %E Ê E
œ %F F œ %
œ %
¾ œ 
)B
B  % B# B##
% % .
82.- Descomponer en fracciones parciales la función racional 0ÐBÑ œ $B"B )B(# .
Solución: .$B" $B" E FB )B( ÐB(ÑÐB"Ñ ÐB(Ñ ÐB"Ñ# œ œ 
¾ $B " œ EÐB "Ñ FÐB (Ñ,
Si 
Si 
B œ  ( Ê ## Ê
B œ  " Ê % œ 'F Ê
œ 'E E œ
F œ 
""
$
#
$
De esta manera
$B"
B )B( ÐB(Ñ ÐB"Ñ# œ 
"" #
$ $ .
80.- .Descomponga en fracciones parciales la expresión racional #B (B  &B #%B$ #
Solución: .#B ( #B ( E F GB  &B #%B BÐB)ÑÐB$Ñ B ÐB)Ñ ÐB$Ñ$ # œ œ  
¾ #B ( œ EÐB )ÑÐB  $Ñ FBÐB $Ñ GBÐB )Ñ,
Si 
Si 
Si 
B œ ! Ê ( Ê
B œ  ) Ê * œ ))F Ê
B œ $ Ê "$ œ $$G Ê
œ #%E E œ 
F œ 
G œ
(
#%
*
))
"$
$$ .
De esta manera
34
#B (
B  &B #%B B ÐB)Ñ ÐB$Ñ$ # œ  
 
( * "$
#% )) $$ .
81.- .Descomponga en fracciones parciales la racional expresión )&BB  %B$
Solución: 
)&B )&B
B  %B$ œ œ  BÐB#ÑÐB#Ñ B B# B#
E F G
¾ ) &B œ EÐB #ÑÐB  #Ñ FBÐB #Ñ GB B #a b,
Si 
Si 
Si 
B œ ! Ê ) Ê
B œ # Ê # œ F Ê F
B œ  # Ê ") œ )G Ê G
œ %E E œ #
) œ 
œ
"
%
*
% .
¾ œ   
)&B
B  %B$
#
B B# B#
" *
% % .
82.- .Descomponga en fracciones parciales la expresión racional $B #B  %B$ #
Solución: .$B # $B # E F GB  %B B ÐB %Ñ B B B%$ # # #œ œ  
¾ $B # œ EBÐB %Ñ FÐB %Ñ GB#,
Si 
Si 
Si 
B œ ! Ê # Ê
B œ " Ê " œ G Ê &EG
B œ # Ê % œ  %G Ê %G
œ %F F œ 
&E œ
"#E $ "#E œ (
"
#
& (
# #
.
¾ œ œ E G
( (
) ) y 
De esta manera
$B #
B  %B B B B%$ # #œ  
( " (
) # ) .
83.- .Descomponga en fracciones parciales la expresión racional #B  "B  $B
#
$ #
Solución: .#B  " #B  " E F GB  $B B ÐB$Ñ
# #
$ # #œ œ  B B B$#
¾ #B  " œ EBÐB $Ñ FÐB $Ñ GB# #,
35
Si 
Si 
Si 
B œ ! Ê " Ê
B œ $ Ê "( œ *G Ê G
B œ " Ê " œ  #E Ê E
œ $F F œ
œ
 œ
"
$
"(
*
# "( "
$ * *
¾ œ  
#B  "
B  $B
#
$ #
" " "(
* $ *
B B B$# .
84.- .Descomponga en fracciones parciales la expresión racional B  #B  #B #B%$ #
Solución: .B  # B  # EBF GB  #B #B% ÐB #ÑÐB#Ñ ÐB #Ñ ÐB#Ñ$ # # #œ œ 
¾ B # œ ÐEBFÑÐB #Ñ GÐB  #Ñ# ,
Si 
Si 
Si 
B œ # Ê ! Ê
B œ ! Ê # œ  #F Ê
B œ " Ê " œ EF Ê
œ 'G G œ !
F œ "
E œ ! .
De esta manera
B  # " !
B  #B #B% ÐB #Ñ ÐB#Ñ$ # #œ  ,
lo cual era predecible, pues:
B  # B  # "
B  #B #B% ÐB #ÑÐB#Ñ B #$ # # #œ œ .
85.- .Descomponga en fracciones parciales la expresión racional $B  "B  $B
#
$
Solución: .$B  " $B  " E FBGB  $B BÐB  $Ñ B B  $
# #
$ # #œ œ 
¾ $B  " œ EÐB  $Ñ  ÐFBGÑB# # ,
Si 
Si 
Si 
B œ ! Ê " Ê
B œ " Ê # œ F G Ê FG
B œ  " Ê # œ F G Ê FG
œ $E E œ 
  œ
  œ
"
$
% "!
$ $
% "!
$ $ .
36
¾ œ œ !F G
"!
$ y .
De esta manera
$B  "
B  $B B B  $
B#
$ #œ  
" "!
$ $ .
86.- .Descomponga en fracciones parciales la racional expresión #B  B$
Solución: 
# #
B  B$ œ œ BÐB "Ñ B B "
E FBG
# #
¾ # œ EÐB  "Ñ  ÐFBGÑB# ,
Si 
Si 
Si 
B œ ! Ê # Ê
B œ " Ê # œ #EF G Ê FG
B œ  " Ê # œ #EF G Ê G
œ E E œ #
œ  #
F  œ # .
¾ œ  # œ !F G y .
De esta manera
#
B  B$ œ 
# #B
B B "# .
87.- .Descomponga en fracciones parciales la función racional 
#B$
B B B"$ #
Solución: 
#B$ #B$
B B B" ÐB"ÑÐB "Ñ B"$ # #œ œ 
E FBG
B "#
¾ #B $ œ EÐB  "Ñ  ÐFBGÑÐB "Ñ# ,
Si 
Si 
Si 
B œ " Ê " Ê
B œ ! Ê $ œ G Ê G
B œ  " Ê & œ  " # F  Ê
œ #E E œ 
 œ
F œ
"
" &
& "
#
# #
# #Š ‹ .
De esta manera
#B$
B B B" B"$ # œ 
 B
B "
" " &
# # # 
# .
91.- Descomponer en fracciones parciales la función racional 0ÐBÑ œ B "B (B)
#
# .
Solución: Como el grado del numerador es mayor o igual que el denominador, lo
37
primero que debemos hacer es dividir:
 B  !B " ƒ B  (B  )
B  (B )
B (
# #
#
œ "

 (
¾ œ " œ "
B " (B( (B(
B (B) B (B) ÐB)ÑÐB"Ñ
#
# # .
Ahora descomponemos en fracciones parciales:
(B( E F
ÐB)ÑÐB"Ñ ÐB)Ñ ÐB"Ñœ 
¾  (B ( œ EÐB "Ñ FÐB )Ñ,
luego y , lo cual era predecible, pues:E œ ( F œ !
(B( (
ÐB)ÑÐB"Ñ ÐB)ÑÐB"Ñ B)
(ÐB"Ñ
œ œ .
De esta manera
B " ( !
B (B) ÐB)Ñ ÐB"Ñ
#
# œ "  .
Cualquier error que detecte en esta corrección hágamelo saber , yo soy el único
culpable.