Analisis Numerico Plan antiguo

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脚酬M酬脚誹却
Y M田町①砂⑲S Ⅱ関田⑪聡棚AⅢC⑭S
Universidad Polit6cnica de Madrid
E.T.S. de lngenieros de Minas
P刷MERA PRU馳A PARCiAL　　轍離醗緒
21 d6 FGb伯ro (fe J990, 16.30 horas 7冶mpo: 4　ho伯S
Noね; Se recomienda a /os seIわ伯s a/umnos responder exc/usivamente y de
bma concisa y包鉦a_a伯s cuestiones p/antead生s.
Ejerclclo l 就〇二S
欝‡諾悪霊盤講説謹諾諾詮議霊霊藍蕊嵩蕊謹呈
figura, que eS arI郡調da a una velacidad vo constante・
velocidad inicial
delamasa: X’(0)=0
Un bloquede masa m conectado a una pa∫ed fija mediante un muelle de rigidez c se mantiene
sobre la cinta. La ecuaci6n del movim上ento de este sistema se escribe:
mx.i十ex二g(vo-X-)
donde se supone que la fueIZa de fricci6n g depende de la diferencia de vel∝idades entre la cinta y
lamasa・ Vo- X一・en lafoma:
g も I �i 
lこ 〇〇〇〇 �CI　　　　　I 
≠‾X 
‾も 
g(u)=
ーgo p網u象
÷u p剛∈(-8・こ)
go pa「a唯戴u子守
(i)Demosけar que, Para C >0 , el p「oblema admite soluci6n血ica. i Qu6∝uITe Si c-> 0? GZ
p勅tOS).
Aへ」ム○ 」_ /仔詔つの)
個冊 い
一　∴
(ii) Se pretende aproximar el problemm mediante el sigiente m6tor]o de Runge-Kutta:
donde :
un+l =un + hF(tn・ un; h)
uO二uo
F(t・u;h)=鉦+3k,+3k3+k4)
kl=母・u)
ち=時寧u-串十hり
巨f(車・u+担
2
k4=母+h’u+hkl-hk2+hk3)
(a)血e嘘Iaoonvengenciadel m6tedo y±ii一重粗C叫`I)一品TS`‘ Q’C` Jode- C諒レ
(b)轟霊豊霊脳) fuera posidva・ ` Serfa ap脚e este m6todo al
高　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3p調所O∫ )
(iii)塵血dr la parqja predictora - COrreCtOra de tipo Adams que sea estable y del m名ximo orden
溜ま窪等葦韓霊器器嵩露盤豊葦弊誌碧等
劇団tOの・
Ej。,。i。i。 2　{証・〕 ‾主上:品
La concentraci6n de un contaminante en un canal se rige por la ecuaci6n de difusi6n - ∞nVeCCi6n:
∂`u+る・両u-8△u=f en 〔2x(0・T)
u=g en「dX[0:r)
∂u=O cn 「nx[0,T)
u(・・0)=uo en寄
donde:
c = C(x,t) es la velacidad del fluido en cada punto de (2 y en cada instante.
f = f(x,t) es el aporte de contanrinante en cada punto de r2 y en cada instante.
8 es el coeficiente de difusi6n del contaminante en el l垂uido (SuPueStO COnSta血te).
g = g(X,t) es la concentraci6n, SuPueSta COnacida’en Cada instante en un punto de la frontera
deDirichlet.
初ム。_β_左を冷窃)
団図四 圧印。
se considera entonces un canal unidimensional de longitud unidad ( Q = (0,1) ) con 「d = (0) y
「n=(1)・
Se pretende aproximar dicho problema mediante un metodo en dife「encias finitas con un mallado
regularde paso h = 1/4. Se supondra’ademds' que C(x・t) 20 en I2x (0・T).
para ello, Se utili乙a, Para -a aproximaci6n de las p「lme「aS de「ivadas en espacio・ un Parinetro
(denominadopar。ner,O COntrαCOrrte昭) 1 ∈時1 1 q=e regula el ca∫紙er Cen融o o regresivo de
la aproximaCi6n en diferencias finitas:
4prorfma扉C嗣雄a叩rimeraf ‘der面chzJ Cn CV,aCio = (/ - y) ApγOrimci6n ce”J7tZde +
γA研鋤;棚c;6n regre∫iva・
(i)幽el sistema de ecuaciones que es ne{ieSario 「esoIver en cada paso de 。empo・ SuPOniendo′●　　　　　　　　　　臆　臆_　臆“ _二_1　_一　1_
ifcito en tiempo.塵並el sisteina en foma matricial en la
que se aplica
あma:
un m6t(rdo de Euler im
囲
A山芋十1 =もれ
盛観Ia e簿yresi6n completa de las matrices y vectores que intervengan en dicha exp「esi6n.
!2.5型n離し
(ii) Q±出血., en funci6r} de γ , Cual es el o「den de co=Sistencia en tiempo y en espacio del metedo
propuesto, aSi como las condiciones que debe cumplir la soluci6n exacta para que puedan
verificarse en la practica dichas estimaciones ”a pri。ri”. ff音型!1地上
(ii肱後塵zfZr_el organigrama壷出血ZQ de un algom11O que Pemita resoIver el problema mediante
un m6todo O de Euler, en el caso particu血de que la ¥′elocidad del fluido nodependa del tiempo.
心地adecuadamente el m6todo elegido pa「a l種「esoluci6n del sistema de ecuaciones lineales
resultante en cada paso de tiempo. (ユ5 /,聞出⊥
(iv) Consid6「ese el caso血ite con 8 = 0 (CO白、′eCCi6n pura). Ei!血Ia estabilidad de un
esquema exp庇ito en tiempo en funci6n de車血1etro de co皿COrriente γ ・必出金座Ia relaci6n
que debe darse entre el肩mero 。c C値`I′~‘ α = C △吊y el pard′7~e,rO COn,raCOrrienJe YJJ2J±
型面0∫上
Ejercicio　3
出Qf24L嘘f un m6todo de aproximaciones sucesivas para resolver un sistema de ecuaciones
algebraicas lineales con matriz cuad「ada y definida positiva言必出蝕むsus propiedades de
convergencia. L臆2 p踊随喜⊥
獄′ん0享/芹詔今0)
田　園
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APしICADA Y METODOS
UNIVERSIDAD POLITECNiCA DE MADRID.
E.T.S. de lngenieros de Minas
SEGUNDA PRUEBA PARCIAし　ÅNÅuSIS NuME刷CO
Fecha: 28 de Mayo de 1990
滝餌蒜完Q$ 、シ
Hora:1 6’30h.
Du「aci6n:4 ho「as.
PRIMERA PARTE
Sup6ngase un fen6meno estacionario de difusi6∩一∞∩Ve∞めn 「egido por eI siguiente sistema
diferenciaI:
一V△∪ +盲g「adu =fenQ
∂u
V-=gen「∩
∂n
u=uOen「d
dende[2es un abierto a∞tadode P2de frontera ∂Q = 「dJ獲れtalq=e 「dn 「n = O. Se suponen
∞nOCidas Ias funciones f=f(×)・ b=b(×) = (b「(×)一b2(×))t en tode pu=tO X = (×1・×2)t的y
g=g(の∀γ⊂ 「∩,Uo=Uo(巾∨γ ∈ 「d・
Fisieamente se tendra, POr ejemple, Ia situacめn siguiente:
Q 。S.n d。mini。 d。 F¥2 ∞。t。ni。nd。 … f1.ide 。Uya Velecidad-F(X〉 es ∞nOCida en cada
punto del mismo. En el仙do hay un ∞ntaminante cuya ∞∩∞ntraC胎n u(×) 8e Pre(ende
∞nO∞r en cada punto x de r2, Sabiendo que la ∞n∞ntraC胎n en eI bo「de rd eS uo, qUe eI
叫O de ∞ntamiante a traves deぬpared 「n es g, qUe k)S aPOrteS de ∞ntamInante en los
puntos interb「es a f2 vienen dades por la funcidn f〈×〉 y que el ∞ntaminanle tiene un
co〔症Ciente de difusi6n en el冊ido ∞nSiderado, dado por la constante o
Eje「Cicio工
(i)　D鑓山並una formulaci6n variacienai debil vaIida para eI probIema (1〉. razonando en qu6
espacios funcionales tiene sentido dicha formuIacich. (1 punto〉
(ii〉　EQ叩uぬ[, Cuando sea pes酬e, eI p「oblema variacjonai d6b= haIlade en (i) ∞mO un
p「oblema de mi=im庄acめn de una fu=CionaI・ Ha∞「. Para eIto, Ias h匝tesis ne∞Sarias
SObre bs dalos. (1 punto)・
如J (了/ん一′研初句のl
汗
V
ノ
`
.
」
」
、
J
、
ノ
　
　
ノ
・
-
1
1
-
、
日
田
田
園
、
l
-
“
当
つ
l
I
ノ
正午O
日並　　　　　　　　　　　　　　神州阜
(i〉　曲ZQ重出C=ales se「at Ias hitx5tesis suficie=teS SObre 10S datos del probIema (1 〉 que
pemitan asegu「ar la existencia de una soIuci6両nica deI mismo. (1 punto〉・
(ii) Supuesto que se verifica=一as h匝tesis del apartado ante「io「・ d坦OStrar que el m6todo de
Galerkin, aPIicado a Ia aproximaci6n de …a fo「muIaci6n variacionaI d6bil de 〈1〉 es
estable. (1 punto).
日e「Cicio 3二
( i ) Elegida una base de un esPaCio aproximador de tipo
elemento finito conforme deしagrange
∂∴∴∴∴ q
P「 mediante un maiiado ∞mO el de la figura一
曲Ia expresk5n, en funci6n de dichas
funciones de base, de cada eIeme=書o de Ia
誓書豊譜藍悪霊書tante’ `
seg…do m-embro・出血血・ aSimismo' Cual
sera eI se恵ancho de banda de Ia matriz deI sistema.
po「踊mo, dade Ia est「uctu調de dicha matrLz・華Onar撃O[a聖mente・ … m6tode
directo y otrO ife「ativo, Pa「a la resoiuc畑de dicho sistema. (1punto).
(ii)　Dadoel elementofinitodeIafigu「a∞n:
a「 = (0,0時∴∴∴∴ ↑
a2=(1・2)阜　　/′ノ、¥ 。- ∠ゝ。之
豊島皿鉛。。,晶。 。。 ∞nV。∞謡。「読
/一一一-葛へ-÷¥ _
deI p「obIema (1) a la mal「iz
elemental de dicho elemento刷O' Sabiendo para e一一o q=e la velocidad en los nodos viene
dadapor:
b(a「) = (0・0)’b(a2) = (1・1)’b(a3) = (-1・-1)
垣垂範oatlos calculos. (1 punto).
A人出0 _,年初挽)
DEPARTAMENTO DE調ATEMATICA APしICADA Y舶ETODOS INFORMATICOS
uNIVERSIDAD POしけECNICA DE MAD剛D・
E.T.S. de ingenleros de Minas
SEGUNDA PRUEBA PARCiAし　ANAしISiS NUME削CO
Fecha: 28 de Mayo de 1990
宣⊆寧UNDA珊Ⅱ王
Dado un prob-ema de transferencla de calor definide por Ia eouac畑:
Jl[k(X,y岬u(×.y)]瞳時y)　×,yeQ
con las condicわnes de ∞ntO「nO:
ui「「=a
∂u
-k_ l「2 =h(u-u∞)+q.
∂n
(1〉
se pide ca-cular -as matri∞S 【k(e)一y 【f(e)一Para el e-emento trianguiar de la figu「a・ Siendo
lk(e)}=巨dy十片e、] dJ
l弓。。伸弓「2 q冊一宮〉向
Ias matri∞S eIementales 「es=Ita=teS de mi=imiza「 -a f…CionaI equivaIente ai problema (1〉
WattS
Kxx= Kyy =30一更生
cm-oK
必訂　〇十各_(偽唖のl
‖V・
十′
∨都　心中も
En la fomuIaci6n de tipo isoparametrico:
i)　　　Las t「ansformacienes (Te : Q→Qe) e = 1 …‥E
もQu色propiedades deben cumpiir?.
ii) lndica「 la diferencia entre Ias fo「muiaciones:
Isoparametrica.
Subpa「am色trica.
Superparam6trica.
Senalando cu負ndo es a∞nSejabIe utiIkar las dos unimas.
〈1 ,5 pun10S〉
AN互0工一(仰帥弓0)
十年
EXAM剛DE翻脚蟻嚇搬轡闘醗
p櫨I鵬と櫨　PA櫨clAし
FECHA: 15　Ene「o de
姦加
粛
二三=二・
Dado el problema de Cauchy:
繋鮮y●(X)…　塵直b]y(a)蜜yo
HORA: 16-OOh。
que se aproxima utiIizando ei siguiente m6todo de un paso
y。+1草∩十h(Lf(X,y)+封(X+祖,y+独f(X,y〉〉　　(1)
4　　　　　4　　　　3　　　　3
se Fideestudiar la convergencia del metodo (1 ) .　,-
雪轟艶二
声(年/・言千　言’i
2. Tras arduas de=beraciones, Ia comis-6n mixta GobiemO-CAMPSA'　=eg6
a la concIusion que la evo一山Ci6n del precio de la gasoIina SUPER・ debe
venir gobernado a partir del afro 1990 por la siguiente ecuaci6n
diferenciaI:
y- =y-×
、陣)=’詰
、」
donde x es la variab-e tiempo, COn la co=dici6n面ciaI para el afro 1991 :
y (1991) = 87 ptas.
usando ei m6todo de Runge-Kutta de 4Q orden con hな1' determinar el
precio de dicha gasoIina・ Para e- afro siguiente・ eS decir eI valor
、二、泣ara 。。uaCiones diferenciales o「dinarias　`Puede haber un m6todo de
一へへdiferencias finitas Iineal de 2 pasos exp-foitos de orden sup轡rior a 3?.
1Puede haber uno imp剛O de 2 pasos y orden 4?・ Razonarlo.
4.もC6mo ap-icarfas u=a t6cnica de calcu!o predictora-COrreCtOra COn
f6rmulas de Adams?んC6mo puedes iniciar eI proceso? Da un ejempio en
el caso de 2 pasos.
両生0-8一存月刊l
冨
・、一　子　‾
章一。:
日　田
ノ
′ i
押′
∵
三
言1¥
園
●、
洋
二
劇
画
賀田
四
囲
圏
●
詳
葦
相
聞
∵
h
∵
升
5. Dado el probiema dependiente de=iempo:
pe:- ∇(K(X,y) ∇u(x・y) = f(x,y) ∀x・y ∈ Q x (0・T)
con las condiciones de contomo
車=u({) ∀{∈(0・T)
ーK
1 1a c○n証d
「之= h(u-u∞)十q
n　請じしel
u(X,0) = uo(X) ∀ x∈Q
Cuya funcional equjvalente es:
f.udx dy
Se Pide:
ウA parti「 de ‥
串dx?y
図四
日
i¥了)　)
.,′十十〇、
/了
申e口腔
」∴し: →
q.u・dγ
para un elemento trianguiar ijk. obtener las matrices de masa y masa
concentrada.
2Q) Rea。zado el proceso de minimizaci6n de J(u〉 se obtiene:
正也十[k]〈。〉十〈F〉=0
∂t
indicar Ia forma de calculo a trav6s de un e-m6todo言ndicando de forma
mまs detallada el m6todo de EuIer-implfoito. 5二!
A母　も0〆q_イセv「印1
I
上
口
上
十
、
¥
小
当
弓
J
¥∵
∴圏-高へ∴、
ヽ
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㌧
u聞
閥
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2
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2
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葛
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細
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l
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二
二
田
園
田
園
閣
r
l
′
-
¥
囚
室
岡
Iうつ) (十千年
薄的Å鵬I登、叩同駅Ico ~
22 Parcial
Fecha: 16　de Marzo 1991
Duraci6n: 3　Ho「as.
19〉 D。d。 。 = (1,4),剛zando un modeIo con treS elementos fin更迫垣早口9ngitud y
諾器嵩蓄謂盤諾霊淳諸悪詳詩語諾COnS刷a
轟音0高…†
2Q〉 Aproximar nedian-e e- M.E.F・ (冊Cando ∞mPletamente eI sistema algeb「aico aI que se
lIega una vez eStablecida la disc「e-izaci6n) eI siguieいくe Sistema de E・D.:
ーU購「 +u.1 →2u2雪0
∪十+U“2=8×
con Ias condiciones de conto「nO
=1(0) = ∪2(0) =ul(4) = ∪2(4) =O
en los dos casos siguientes:
a) Con 4 elementos finitos y polinomios ap「oximado「es de g「ado l.
b) Con 2 elementos個OS y PO-inomios aproximado「es de grado 2・
39) Dado eI probIema siguiente:
(× C (0,4〉
"Hailar u = ∪(×,y) 1aI que:
-∇0((x,y)∇u) = f(X,y) en 〔2i (i=1・2)
匝剖=Ocn「
-K(S)蔀) = p(S) [u(s)一軸e融2--
d。nd。 K(×,y), f(×,y), G (S) y P(S) son ∞nOCidos
a) Esc「ibi「Io en su fo「ma variacional o de帆
b) Disc「etizar-o刷Cando Ia ap「oximaci6n g-oba- y loca- que se Obtiene seg帥a fo「ma de los
elementos finitos u細Zados pa「a dicho calcuIo.
け1し/
Aへ圧O-し0へん騎l)　′　/7
く
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:Studiara
ntroduce
Para la m
le nodos).
lue hge la
2三
園
圏
主j副
因
l.j=1i
u(叫
]onde las l
k=(
墨壷堅固
A) Sob「e一
計　eleml印
面angu嶋
計a「ame血
書霊靖
Por otra
lados rec
」_ん鮎
Studia「 ia existencia y …icidad de soIuci6n de:
-△u=f　∀x,y∈Q; Q:AbiertoenR2;Siendof∈L2(Q)
「=0 ∀x,y∈ 「;「fronteradeQ
町
apIicando eI Teorema de Lax-M的ram.
5Q)EvaIuar las funciones de Iorma del elemento y calcuIar eI valor de la presi6「
Ia figura, Sabiendo que bs valores nodaIes de la presi6n son:
園田
」(4・‡)
69) Demostra「 que la soIuci6n que se obtiene ai m面mizar Ia funci6n:
J(u) =直中dx
es iguaI a Ia soI=Ci6n deI p「ObIema:
a(u,∨〉=f(V)血⊂亡妻)面C吐皿一一
a(u・V)=巨…=土fv dx
./)!仁!′l
雷∧/ [,0　‘」んAQc3I‘
(一〇一‾‾
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十手で　〔」
石? ‾1
議
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∵
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∵言、、幸
′
′
「
-
1
、
i
l
a
恥伸し0
∴:
Teniendo en cuenta lo anterior, Obt6ngase la contribuci6n a la matri白de
rigidez e-emental del e萱emento el de la evaluaci6n correspondiente
al punto (0,0), eS decir:
[揮(。,。)].揮(0,0)]-1.師0)]揮(0,0)]-1揮(0,0)] +一輪0)〉・6(0,0南面0)〉瞳(0朝
出QエA: No es "eCeSario realizar ,os prodL‘CtOS mtγiciales de /a cxpresi6n
an卒研PeγO S了debe叩C殖arse claramente c6mo cs cada∴〃na de /as
棚trjCeS q礁en ella jn/erVlenen・
C) EI vector de cargas elemental correspondiente a el Se Puede expresar
(Fe-〉=僅)+〈刊
donde何e〉 es la parte del vector de carga obtenido de las correspondientes
integraciones sobre el, mientras que (F計es la parte correspondiente a las
integrales sobre la frontera del elemento.
Evaldese e冒vector 〈F鉦Para ello, los calculos sobre lados de el Se
referirin a=ado de referencia construido sobre el segmento口・1] y las
integrales sobre dicho segmento se aproximarin por la f6mula de integraci6n
f11綱串0・577350壷0・5773503))
D) La matriz de rigidez elemental correspondiente a el eS:
[Rel]二
1-959　0-381
0-699　43●422
1-384 17-767
-0-854　-14’025
-0-658　-60’099
-2-371 12-694
y el vector de cargas elemental es‥
〈Fel)
0-429　-0-854　0’615　-2-371
18-722 -14-025 -60-099 1l-421
36-711 11-92l -51i27l -16’326
11-921 50-642　0-316　-48-000
_55'091 0-316 113’216　2’317
_12-506 -48-000 -2’776　52-959
2-1841
16’778
20-442
憶絡
ん勾0」で_ /旬月門I)
アヤ服〔映し
⑲
軍
‘HalIal u (Xl.X2) laIque:
4. Sobro un domInk,∴Q ⊂ m2 co ∞nSide「a 〇回ObIema de ∞nlomo:
S±」出直ovaIuar la mat「iz de rioidez elemen'a- y eI vec(or
“∴
心情
de ca「ga olemen血I
∞r「eSPondichle aI problema ( P ) sob鴫oI oIemen(O O
(k面)計
+u雪5cn露
埴∴喜・∞S (晶3叫
(xI・X2)=9　cn登録
∝弛れa出藍:
子　;∴∴:し¥
‾ (P)
闘圏
donde 「l U 「2= 「 eS Ia fron(e「adeQ. ylasfunciones Kj.申1*2) es伽dadas
調子:　kl.1"Xl・具2.2事1・ kl.2・〇・七.1教職2・
Para Ia resoIuci6n mediante oI M.E-F・ de- problema anlerio「 se introduce sobre Q un
maIIado de olemenIos finitos isopa「am6tri∞S Cuad舶Ie「aIes de cualro nodos. Uno de
tales eIemenくるS eS el paraIe吋「aro de la fioura aqjunla cuyos n∝los estan dados po「 Ias
′ヽ �1 �反れ′i �《 n3 
n‡ )。、おし- � 
宇 � 
1 ・ヽ nl �0鳥。1 � �甚? 《 nま 
-1 � 
〔しこ(0/○¥
皇帝
時こし0上)
nl ≡ (0.0), n2馨(l.-1), n3な(l,0),叫姿(0,l)
y eslando o=ad〇両sobrc.「l y siendo Ios
O(「OS I「esぬくめs ln書e「io「es a Q.
Como eIemenlo de refelenC厄　de Ios
Cuad「帽te「os de 8 ilOdos se ∞nSidera「亀oI cuadraくb
魚Q,,筒)古) en oI que los v6rttoes y
叫inombs de base son los sIoulentes:
; e重の雷神宣写十箪)
eまG・のなれ亮-9・含?)
②3缶・のなさ(l+令書9十箪)
e4命の雪沖宣+?一箪)
Ademas, ∞mO f6rmuIa de inteo「acめn num鍋a sobro i se ∞nSider卿亀:
のG9) d含d9雪4.⑦0,の
初が〆雪措盤書評
imo. sI hubiera que JeaIiza「 inteoraIes sob「e aIp面$eOmen書o, Ias mIsmas $e
〔
一
瞥
・
.
1
1
:
と
凧
世
す
ら
う
・
,
8
轍
i
し
と
で
・
購
鱗
意
裏
書
き
ロ
さ
す
雷
教
書
農
言
寄
多
事
曇
ら
せ
3
1
重
曹
西
田
.
十
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∑
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四
国
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は
国
書
　
　
軍
　
　
書
　
　
　
婁
[Ke]=l
J/紺冊
(t匝(河[合戸丁(河上軸[訴丁(油吟唖十・-〈戸(弾(弾勅
一軸華(両∂昨(欄) ・酬坤c∂-e])
(Fe)= (碕掴引合千丁相撲十
+評恒埴輪-(輔南朝
肌。/臣出座甫l)
A蘭越山勘S NUM喜劇cb予
EXAMEN円NAしJUNIO
喧吐
Fecha: 24　de Junio de 1991　　　　　　　　　Hora: 9-OO
Duraci6n: 3　horas
l. Estudio de Ia estab掴dad dei m6todo de Punge-Kutta de o「den 4.
2. Ha=ar y(0.4〉 para la E.D.O.: y“-3y’+ 2y = 0; y(0) =-1; y一〈0〉雪O usando eI m6todo de Euler
COn h=0.1.
3・ Deduci=a f6r鴫ula de aproximaci6n de la ecuaci6n de Poisson en ei t「atamiento de ∞ntOrnOS
S, �叩edianleieim61odod 
he2 う �P¥ � 
0 �奇計 � 
h ・○○-〇一〇・-→ 
丁4 
e diferencias finitas (Ver figura〉
eくel<1
0くら2<1
4 ・露盤蒜∪諾b豊誓書‾器誓書嵩墨書u豊富霊嵩芸
∞nCent「aCi6n u(×) se reparte por difusi6n. Dicha simuIaci6n viene dada per:
- div (a(×) g「ad u(×〉) + b(×) g「ad u(×) = f(×)
読en 「。・中一一車両中′古畑弓∴汀子∩
嵩=gCn「1
donde a〈×): 「ePreSenta la difusi6∩・
b(×): rePreSenta Ia convecci6n.
Se申de:
1〉 FormuIaci6∩ VariacionaI d6bil deI p「ObIema・
2〉 PIantea「 eI probIema de optimizaci6n equivaiente.
一五月I十
鴨∧( I-0 _ (ガで/車間句Il
l
・
し
「
i
‖
V
間柄甘
f.udxdy+
5. Comprobar si:
es el problema equivale=te OPtimizado de:
-∇[k(x,y) ∇u(X,y)]=妬y) ∀x,y∈Q
con ias condicbnes de ∞ntOmO:
-k(S)‡ =重u∞)十qen「2
ー∴
匪串udγ
6. Pa「a ei caso genera- de e-asticidad a tensi6n plana donde Ia malriz de las ca「acteristicas deI
mate「iaI es:
轟
l上∴∴/
上[所出
1) La energia de deformaci6n de un e-emeneto gen6「ico al discretizar un dominie con嵩嵩ntr#lares de t「es nOdos, habiendo calcu’ado previamen-e O- valo’de la
濯豊覇塁雑書一a expresI6n de -a matriz de rigide朝
出工申し引
航卓出↓、中年」
かJ」。-昭一録画千月
一「0申′上l(坤1車中
詰寄。
0
　
　
　
　
0
ー∴ 時間中
7. CalcuIar ia matriz de rigidez y ei vector de f=e「ZaS t6rmicas en eI caso de tensi6n pIana dei
elemento de Ia figu「a, Sabiendo q=e Se eXPe「imenta … incremento de tempe「atu「a de lOQC
(∪輔zar para su calculo las expresiones oblenidas en 6〉・
(の有れ)
8. Dado ei esquema de Iafigura:
(-l,一・)
Obtener
巨x dy
en eI eIemento Ce, CaIculando previamente la f…Ci6n de Paso Fc supuesIas conOCidas las
abcisas y ∞eficie=teS de pesos de la formuIa de cuad「atura de Gauss・
事件/′′側め(
引当∴∴上
小出O _○○〆佃。C引l
伸一年ブイ′申し0一
囚
圏
ASIGNATURA: ANAしISiS NUMERICO
PRIMER呈YAMEN PARCIA±
FECHA: 8 FEBRERO 1992
一・ ‾‾‾へへ←、
直往輿
園田
HORA: 9’30.
DURACION: 2h..30m.
し」,上、　-・。上言上
Dado eI probIema de Cauchy:
y'=f(X,y(X)) ∀x∈ [xo,Xo+a]
y(xo)=Tl;ndadoen R
que resoiveremos por un m6todo iterativo de un paso:　　　　{
yn+1= yn + h F(xn,yn,h)
yo=T¥h mhd車O en R
donde F es con而ua en sus tres variabIes y Lipschitziana respecto a la
SegUnda, COn una COnStante L independiente de h.
Se pide:
J昔Describir eI sistema perturbado y definir el concepto de estabiIidad.
壷㌻将at)emostrarque el m6todo es estable para unas constantes
甲、量言　　　Ml=eLa yM2=苧
三言E千尋;m話語g。_Ku,,a (。_K) 。。 。.。。n 4 。a.a un。..。.O. d。 1er 。.d。∩
Viene dado por:
Y」十1=Yj十
Kl+2K2十2K3+K4
Kl= hf (xj,Yj)
K2二hf (x」十申せ小
器誓瑠、 、
Obtener:
1Q) El esquema (R-k) que se utiliza parauna E.D.O. de 2Q orden, teniendo
en cuenta que todos Ios vectores tienen dos componentes:
29’lnd’Ca’e’ordende-oscaIcu詰申し十㌢畠
私用0_つI_′石と玖午フ)
、・十
晴
田
圃
へ　」
胴
劃
細い
ィ
ANAしISIS_ NUM蛾IcO
CONVOCA「ORIA: ‘FEBRERO 92
Fecha: 12 de Febrero 1992
Ho「a: 16 Horas
Duraci6n: 2,5 horas
1. DadalaE.D.O.:y・・+3y,+2y=SeneX y(0〉=y'(0〉=Ode=trode=nterva10 0=X=1 ∞nh=0.1・
usando ei M6todo de Bunge-Kutta de orden 4.
Sepide:
1Q) Definir el esquema de reso-uci6n para este CaSO de [o「ma generai・
2Q〉 Obtene「 ei vaior aproximado en y (0.2仁∴⑮ ‘ :「、‖J‘十6
2. DadalaE.D.P.
聖二。2連,x ∈[。,,]
∂t　　∂x2
u(0,t)=u(l,t)=0　∀t>0
se pide, Partiendo del esquema de un O-m6todo estud-ar la estab剛ad de- esq=ema eXPIfcito y
dempl予cito.　　　　　　　　　　　+叩小言に`
′、、 、ヤ　ー、ハト二つ⊥
3 Comp「Oba∴士v(x) d∴ ‾iP
de仙dopo「: (.‘.)…:L2(Q)xL2(Q)→R esunproductoescalar.
4　Dado Au=f que resu-ta de ap-ica「dos veces el ltorema de Riesz-Frechel a las aplicaciones:
Au:H →　R　　　　　　′A‥H →　H’(dual)
∨　→　Au(∨)=a(u.∨)　　　∪ →　Au
仁H　→　R
demostrarqueeXisteunl]nicoe-emento u ∈ H′a(∪,∨)=f(∨), ∀ ∨ ∈ H suponiendoque a(∪一∨)es
b冊ea上COnt血a y H-el(pticay f(∨) es lineaIy cont血a・
申しJ) ¥品)
へ¥十」l　」l
l l 、一　へ　I l
0_ 22_停努租¥
(、 -二/言申i、
椅音園田
劇
か-I　_ (上∴∴.〆　ヽ
Estudiar la existencia y unicidad deI problema:
-△u=f　∀x,y Q :Q:Abiertoen R2
∂u
一　=0 ∀x,y ∈「 : 「eSlafronterade(2
∂n
suponiendo que f∈ L2(Q)
「㊥
Dado eI esquema deぬfigura:
噂梓か　　　　(a壷)
正二竜÷」鷲
×
Obtener:
1Q.
29
上
j書、
(a3,む)　(a2,膝)
f($?)did? enelelemento T
f(xy)dxdy
嗣田圃
¥
en el elemento l七- a Pa而de los resu-tados obtenidos e= eI apartado IQ y habiendo caIcuIado
previamente -a {uneitin de paso FT ・
小川0-まも一し醸)
4
I
阜
.
1
ノ
軒
レ
l
A
I
 
-
卜
:
∴--
ANAしiSIS NUMERICO
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL
FECHA: 26 de Mayo 1992
HORA: 16’00.
器国書
圏
/、‾丁　/′
受ノー∴/
OmPrObar que
u(x) v(x)dx(u,V)0,露=
DURACION: 3 horas.
de帥do por (.・・)oQ: L2(Q)xL2(Q)→ R es … PrOducto escaiar
2・ Dado ei problema de Neuman homogeneo’aSOCiado a Ia ecuaci6n de Poisson
mas eI operador unidad.
-△u+au=f　∀x,y∈Q; Q:Abiertoen R2y
たL2(寄)
竺こ0 ∀x.y∈「; 「eS la fronteradel Abierto
∂n
Se p記e:
1) Estudio de Existencia y unicidad de soiucich.
2) P「oblema eqしIivaiente optimizado. (En caso de existencia, Se Pide
COmPrObario).
十一　二三　十1十
A人lし0置2もで伽姐雪つ¥
3. En el problema:
一∇ GC(X,y) ∇u(x,y)) = f(x’y) ∀ x・y ∈Q
ーK
au (S)
∂n
= q+h(u-u∞)
圃50四
囲圏
uI「lこ令
despu6s de obtener e- prob-ema equivaIente oPtimizado y m面mizar la
funcional resuitante se llega a u= Sistema dado por:
華]〈u〉=〈F〉
do「lde :
[K]=∑[珂; (F〉=- ∑(到
e=l e=1
。。∩。。 [K車軸興宮刷亜
〈可。刷dxdy -巨亜車中
Se pide evaluar:
上刷碑y車中
s岬miendo q=e 「2 =一ado Kl de lafigura paraambos caSOS.
河山O一客一(個勘
一一一∴二
∴∴∴
4〉 lndica「 Ia diferencia entre formuIaci6n isoparametrica, SuPerParametrica y
Su bparam6trica.
-ノ　′●　　●十′ 「l-
En eI eiemento de tipo subparam6trico de la figura,
∇uこ
‾ヽ
Ou
∂x
∂u
∂v
1　　　5　　　2
ro mdrcando de fo- eSquematica como se obtlenen lo書p-1 caso
逆。三重
∂x　∂y　, (haciendoeIcalcuIode lasfuncionesdeformaquese necesitan en
el elemento (2.)
NOTA: O : APQOx‘MACIOu G∈OM∈T則CA
口‥A?寄O大間ACl帥　畦しA F〇人C(〇時
小串ゼ名_/個A汚之)
ヽ“
EX膿N諾藷器器諾FRB職。
FECHA: 17　de Febrero de 1994
1呈　Pa重亡e:
Dado el problema de valor inicial:
yl二y-Ⅹ i y(0)二2
魂へ3〇 、・へイ
二二
T。。and。un。aS。 h=0.1。 Se pide: ∴ 2ヽ2i2←岬一ねI
a〉 Ob亡ener el va|or y(0.3) utilizando Ios m6todos de Euler y
Euler Modificado.2_ 2(2('S弓(c沈十王C`1C¥
b) Realizar una tabla con los valores de la funci6n y(Ⅹ〉 para los
puntos del sopOrte O≦x≦0.3　con (h=0・1〉　de los matodos
anteriores, COmParandoIos con la s01uci6n anali亡ica que se
ob亡endra utilizando el mctodo de las series de Tay|or de亡reS
¥l
モノ・へ
t6rminos.
しシDada
1a EcuaCion en Derivadas ParCiales:
∂2u　∂2u-謂‾古豪
a) El esquema que aPrOXima a la ecuaCi6n utilizando diferencias
finitas cen亡rales en un PuntO (i′j).
b) Estudiar la estabi|idad por e| matodo de Von Neumann’s.
32) Dada la EcuaCi6n en Derivadas ParCiales:
霊二α薯
∀Ⅹ∈ ] 0′1 [
donde U eS COnOCido para O≦x≦1 cuando亡=O y en x=O y x=1 cuando
亡>0. Se pide′ u亡ilizando el esquema eXPlicito que aprOXima a la
ecuaci6n, realizar el estudio analitico de la convergenCia.
村山。 _増子詫垂剣)
・古手∴上し工事中
a) Escribir eI sistema:
y” = f(×,y,Z,y’,Z’〉 ; Z” = g(X,y,Z,y’,Z’)
como un sistemade E.D.O. de lerorden.
b) Adapta「 el m6todo de EuIera ia resoiuci6n deI probIema:
溜帝王:雷鳥∴ ¥
∴∴二、
中¥、、)町中))
y con una Iongitud de paso h = 1/2・ determinar una aproximaci6∩
′タメ、工も干
、J± Dada-aE・D.。・‥約汗イl
(×3十3)y・・+×2y・-4xy=6
con las condiciones de contorno‥ y(0) = 0; y(2〉=4. Se pide resoIverla
…m6ricamente por diferencias冊as’tOmando en la discretizaci6n 5
subintervaIos.
亘タ、しまも、、、点二つ賀　田　鷲
5Q) Sきa la siguiente ecuaCi6n en derivadas parciaIes parab6"cas' que
」　representa e。一ujo de ca-ora lo largo de u=aVar川a aislada lateralmente:
∂u　∂2u
…　　書　手○　‾‾ニー
∂t　∂x2
0≦x≦1 ; t>0
con las condiciones de contomo:
u(O,t)=u(1,t)=0 ; t>O
y la condici6n面Cial
u(x,0)=Sen(7[X) :0≦x≦1
se pide, Obtener, u帥zando un esquema eXPlicito, el va-or aproximado de la
funci6n u en e。nstante t =0.1, COn △t = 0’02・ Comova-orde htomareI
minimo necesario para poder aplicar ei m6todo.
丁、し。、_。、_ t　∴正　し小∵上(¥リ
○_フ刃( (乍差昇小
し主、 ・/レ、大言一一亘「
’6. La funci6n u, Satis(ace la ecuaci6n en derivadas parciaies hipe「b6"ca
∂2u　∂2u
.-　=　-
∂x2　∂章2
0≦x≦1;t>0
COn las condiciones de contomo:
u(0,t)=u(1,t)=0 ; t=0
y las condiciones面Ciales
u(x,0) = Sen (7tX)
辿(X,0) =0
∂t
0≦x≦1
p'antear el problema, Para CaIcular eI valor aproximado de Ia funci6n u e= eI
instante t=0.5,tOmando h=0.2 y k=0.5
魚用〇一1第一作を節用
し王ノ
ANALISIS NUMERICO
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL
申組
FECHA: 11 de Junio de 1994　　　　　DURACION: 2H.30 MIN.
plantear un sist,ema algebraico de ecuaciones lineales que represente una
elementos finit,OS, COn dos element‘OS y POlinonrios de grado dos,
_u′′二6(x」) x∈(0,1) I。し　ナゝ　し、　-h?〔。
i葦‾廿(0’1∴
一丁う　くつ∴リi)　　言? )
し∴∴∴　′∵ら　ししGl　　¥上_し　′・
roximaci6n por
Para:
ado Q=(0,2), ut,ilizalldo un modelo de dos elemenしos finitos de igual loI車tudl　　　　一　書_　」　《　_〇、._　(
de base constituidas en cada ele【nentO POr POlinomios de grado uno・1　章　　　　　　　　　」　-
rigrdez (K) y el vect・Or de fuerzas (F} para el problema de
-u′′十u/-u二X ; X∈(0,2)
しし(0) = 1
し1/(2)二　0
construir la mat‘riz de
COntOrnO:
÷
山a 【natriz 。btenida es sII-16trica 《?・拒)r 。u6?
′′3t!) Dado el読tema de dos ecuaciones dif証enciales
ーu′十a(x)u一(x) + b(x)u車) = flx)
一u′′リ+ C(x)u2(x) + d(x)ul(x) = g(x)
x∈(0,せ)
siendo a(x) , b(x) , C(x) ’d(x) ’flx) y g(x汗u重ICiones conoeidas con las condiciones de
eonしorn0:
ui(0)=里(0)ニO
ul(巳)二匹(e)=0
se pretende
a) Est,ablecer su fbrmulaci(うn variacional.b) Aproximar el problema, indicando la fdrma de calcular las
妹Iしo_30- αJ(酌)
図四用
間柄1)
/ .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　)
expres10neS de ulト、 ,u2h aPrOXimadoras, reSPeCtivamente, de ul,
c圧Que consecuencias se pueden extraer respecto a una ecu叫6n
de orden n y su transfomaci6n en un sistema de n ecuac10neS
de primer orden?.
cuales son las etapas fundament’ales en la construcci6n de soluciones por e1
6todo de elementos finitos?.
胴星権
en Q
s∈∂豊
¶ 
8n 
」ユ 
信　　　　　× 
siendo (2 el circulo de radio r。 y CentrO en el origen de coordenadas・ Determinar C
y ro Para que
sea solucidn del problema
u =C(x2+y2-1)
∴ /?
、くい　l　-
6" Demostrar el Lema de Cea, eS decir que verificandose las hip6tesis del Teorema
de Lax-Milgram existe una constante C, tal que‥
=u-し1l、一一H恒≦C Inf=u-V=旧い
ヽ・三Hh
si。nd。 H-1 。I sulつ。SPa。i。 d。 H恒) de dimensi6n finita, donde buscamos la
apr。Ximaci(うn por Gallerkinde u ∈ H座).
姻　げ_礼_小∩`油
圃圏
、 ∴一
20)Sobro el tetraedro de referencia considerado?se debe que‥
串・簿=
岬k!
(申+k+3〉 !
dx=
(3〉
岬k両!
(i可十k十m +3〉!
(4〉
3Q)Para las integraciones de frontera sobre las caras de=etraedro' Se tOma「a
∞mO “cara d;lefe「encia” i el triangu10 de v6rtices (0,0〉, (1●,0), (0,1〉 cuyos
POlinomios de base son:
Se sabe que:
ージ　ス
日　　　　　岡
今、言、i」今　　時
(γ1)-(セリdl =
(i+j+2〉!
鉦予言〉=1-11 -堪
′ヽ　　　　　′ヽ
令2 (令完〉 =
奇。 (予言) =
′ヽ
′ヽ
γ1
′ヽ
′ヽ
12
(5〉
4O)Si。nd。綱Ia func滝n que nos tranSforma la ca「a de referencie i
en ia cara de T sobre la que se quiere integrar’Se reCuerda que:
《ズ∴∴ズ
dl=J(の・dl
Siendo:
論=臨掴26)出潮1I2
悶ム魚--扱一日0所用
(6〉
㈹m4(巾㈹」秘軸的
.
(
l
印
′
1
1
ト
几
圏‖}qy
Ⅵ/両
用卑
Indicar c6mo se ensamblan esta matriz y este vector en la matriz
de rigidez global y en el vector de cargas gIobal.
E) Una vez obtenida la matriz de rigidez global y el el vector de ca「gas global,
Se deben imponer las condiciones de contomo de tipo Dirichlet. iC6mo
deben modifica「se Ias ecuaciones∴COrreSPOndientes a Ios nodos 50 y
73　en e看　sistema de ecuaciones resuItante para imponer dichas
COndiciones de conto「no?
l/ALORACION DE LOS APAR7ADOS DE ESTE EJERCICIO.
Apartado A)..
Apartado B).’
Apartado C).・
Apar/ado D).
Aparta(lo E).’
FIGURA l
初Jぴ「3なく」湖上)
%
%
%
%
%
5
0
0
5
0
1
　
3
　
3
　
7
1
　
7
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什叫
/‾　¥
劃
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く)
●、、ヽ
ee
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圏国案
圏
州げ一勤、録Jn乱し
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い、二
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園
田
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∴
∴
∴
で
囚図画国昭
斑雪亜 ∴二㌧-
●　書籍d器諾‡豊島詳し言「轟言霊豊島霊霊
y cuarto y lado 4 eI que uhe Ios nodos cuarto y primero. El espacio
inte「polador sobre eI eIemento de 「eferencia sera Ql, eS deci「 eI
espacio de po=nomios de la forma: P(×,y〉なa + b.×1 +C.X2+d;×1・X2・ Una
base de dicho espacio, que SerまIa u帥zada en eI metodo, eS:
締高)=神一品(1孟2)=坤一念1宣命劫
節1・劫=神+轟(1-劫=神+含1亮一華2)
詐詣)=坤十品(1功=神埼+牽十轟)
範謡)=神一組(1十貪2)=井高十宣-宣言2)
Por tanto el vector de poIinomios de base se「a:-
(轟2)車中一缶2十凋/(1 +串2一凋′ (読1 +缶132)/恒1 +演1よ2))
隅　　　　　間　　　　　隔　　　　隅
ANげっゴー
柄剛し直○ 四四四
dende rl U r2= 「 eS Ia fronterade(2 , y iasfunciones Ki,j (Xl.×2) estandadas
叩「:　kl.1雪×1・k2,2こ1・ kl,2ま0・セ.1雪×2・
Pa「a la 「esoIuci6n medianle eI M.E.F. deI p「Oblema ante「io「 Se introduce sob「e Q un
ma=ado de eIementos f刷OS isopa「am6tri∞S Cuad「iialeraIes de cuat「O nOdos. Uno de
tales elemenlos es ei paralelQg「amO de ia figura adjunta cuyos nodos estan dados por Ias
∞orden adas :
1 ��《 
l′ヽ 
n4 �� �n3 
《 T 
1 《 nl � � �《 n2 
-1 � 
了〆書‾‾÷“ふ
nl ≡ (0,0), n2≡ (1,-1), n3≡ (1,0),叫≡ (0,1)∴_∴∴’了
y estando e=ado而sobre 「l y Siendo Ios
OtroS treS lados interio「es a Q.
Como eIemento de 「eferencia de ios
cuad「胎te「os de 8 nodos se conside「a「a ei cuadrado
(宇,Ql,(航=,) en el que 10S Vertices y
POIinomk)S de base son Ios siguientes:
令1≡(-1・-1) ; ㊨1ぐ・の=評言守+貪9)
竜≡(1・-1) ; ②2倉の=井高一手一帯)
宣≡(1・1) ; ㊨打合の=沖十念十?+会9)
缶詰1) ; ②4仔・の=沖一斉十?-含?)
Ademas, COmO f6rmuia de integ「aci6n num6「ica sob「e T se conside「a「a:
②倉のd含d9墓4.②(0,0)
Por冊mo, Si hubie「a que rea=za「 integ「aies sob「e aIg血segmento' las mismas se
t「asIadarian al segmentoい,1】 y sobre dicho segmento se calcuIaran de fo「ma exacta・
Se由de臆三eVaiuar Ia matriz de rigidez elemenlal y el vector de carga eIemental
∞r「eSPOnC晶ente aI p「obIema 〈 P ) sob「e eI elemenlo e anteS desc「ito・
A人」正一3`一
小槌軌のげ J軌巧
NOTA PARA EしEJERCICIO N' 4:
寿′篭離料I〇億a que岨e町eS伽de to m劃riz d串的ez elomor調洋裁,∴
[K・]= [K叫+[K可=
=匠㊦牌・肌脚耐重・醐十・的祥席㊦幅融+
軌・軸腔・痛く軸も中国)
∞so On que Ias ln晦grdes se eva]ua阻n num帥Came同o:
[K生血叫十[K・中
置ず読稚拙談。「l同上請出的+ ・(予G晶)・(軸揮謝十
品国訓軸g(『)・(輔∂・車可
馳eぬddⅥ葉蘭め∞喝a地の帥勘劇
(F・〉=(F・可+(F・・「)=
車㊦}・鞘瑚・d墨p恒陣痛鵡叫崎罷軸叩
nu調el屯種同enめ:霊
(Fc) = (F・可十(『・・車
都制㈲}申融や蒔車軸)・珂謝
趣聞かめ∞めSゆ種めp耽
A付も〇一三十一
相
田
了
"
塵
緊
薗
乾
常
盤
一
撃
`
/
鳥
ソ
--
へ
の国
人
も
圃回田 Jム乱し0く
[璃彊油臣
y COmO:
㌫1(0.0)孔1(0,0)
屯1(0,0) ㌫1(0.0)
ヽ手
乳㈹号K初=膏(0・0)=初雪壷0品㈱=0 ・轟0)ま軸雪l
言ヽ草生resultara
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用休しO
〈箪勅=
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∨仏(五〇う
Por踊mo, la funci6n que nos t「ansforma el segementoい,1】 en e=ado
2 de o estara dada por:
合的=呈出十王封情
POr Io que:
缶㈱2+(鞠2阜十据
Por tanto utilizando la expresi6n antes escrita del vector de
CargaS eIementaI se tendra que:
(F〉 = 4.5.
村阜㌧街一
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'　　2豊En un dominio plano Q abierto de fronte「a 「=rlU「2Con
rlnr2≡㊨, Se ConSidera eI siguiente problema:
‘’Ha=ar u(Xl,X2) tai que:
一拍K而2)計2))+血) =5・ en露
哩細
u(Ⅹ1,東2)=9 en「l
一∑
世知
堰画
(K両2)計2)・cO軸)=3・ en 「2
Para ia resoluci6n dei prob寒ema anterior se introduce en
e看　dominio un ma=ado de elementos finitos. Uno de los
elementos deI mallado es ei que se recoge en Ia figura de la
Pagina siguiente y es un elemeto finito cuadrilaterai
isoparam6trico de cuatro nodos y cuyos v6「tices,
coincidentes con Ios nodos, Son:
nl　=(O,0), n2　=(1,・1),n3=(1,O) y n4= (O, 1)・
Se sefiala ademas que e=ado que une los nodos n3 y n4　eSt亀
sob「e la fronte「a r2　no eStando los otros tres lados del
cuadril負tero sob「e Ia fronte「a deI dominlo.
Se pide evaluar la matriz de rigldez elemental
correspondiente al elemenIo e deI mallado y el vector de
carg種　elemental correspondiente a este mismo element○○
A大山0-も〇一
用件弧叫も
●　SOしUCION:　prl・砕8
EI problema ante「io「 fo「muIarse variacionalmente como:
へ、-→¥、
u∈Hl(Q) /可xl,X2) = 9 ∀(xl,X2k「l c轟丘儀狐do :
∀v∈Hl(Q) I可xl,X2) = 0 ∀(xl,X2k「l
Po「 tanto ei probIema aproximado al que nos conduce eI m6todo de
elementos f面tos sera:
[婦は(醐-1[甜[帥〉帽車軸⑯ =
= 〈壇]・陣間中一沖哩庶〉・剖〉
habi6ndose designado por :
(刊= 〈呼,,劫　al vectorde po血omios de base del elenento de refe則Cia
[詞=[爺や謡2知　ala鵬trizdederivadasde (?〉
合弁, ,劫a la funci6n que nos genen isaparanetrieamente e a par血de 6
匝J =験算l,剖　alamarizJa∞bianade翰1.釜)
間=匪揮重励l虹a∞bi劃o最訴1,劫
一　二　一一一一一一一一
石(中　認　諾]
○○〇・〇i　　臆臆「臆喜一「〇〇一一一一一一一一〇一
小IしO一自一
仙剛陣中
β16)I =
6,6)l =
∂合2 ∂合3
′ヽ　　　　　　　′ヽ
轟.乳
量重量　　　　　　O」こ
∂62 ∂63
ノヽ　　　　　　　　′ヽ
囲萱羽
i二〇さ　　　　　　i:重さ
∂合1 ∂62
ノヽ　　　　　　　　ノヽ
圏獲囲
「乙こ　　　　　　こ1こ
∂合1 ∂合2
′ヽ　　　　　　　　ノヽ
轟と　両2
とこさ　　　　　　　〇二〇〇
∂合3 ∂61
′ヽ　　　　　　　′ヽ
困獲困
iここ〇　　　　　　　°:重1
∂63 ∂61
′ヽ　　　　　　　　/ヽ
両2　轟
(7)
COn:
5Q) Para un probIema gen6rico:
一畳(kI鳴)+ b(X〉 u(×) =f(X) en [2
- ∑ k-・-(X)嵩高=g(軌㈹一u∞(伸「N
i,j=1
u(所=uD(Y)　en 「D
Ias exp「esiones de Ia matriz de rigidez elemental y del vector de
Carga eIementai son:
小月了一ん2 /
同値草　体伊
了ノ:幸市予言辱
「=L12:
「=L23:
「=L31:
「=L12:
「=L23:
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[《抑囲d「=
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二
幸
:
幸
覆　-
小間し’
educe ei problema de vaior iniciai:
x2y雪1
朝凪0! 園圏圃
a un sistema de primer orden・
6. Se considera un tubo sometido a torsi6n. La funci6n de torsi6n g en una
secci6n recta, Viene definida por ia ecuaci6n en derivadas parciaies:
重量+遮+2雪0　　叶1=1
∂x2　∂y2　　　　　可動=O
Piantear eI sistema de ecuaciones para calcuIar ei vaIor de Ia funci6n del
torsi6n LJ‘ en distintos puntos de Ia seccich, qUe aPareCe en Ia figura’
SeParados a una dista=Cia h = k = 0.5,
図日
¥、
墓園圏
1
Importante‥ u帥zar Ia simetrfa para reduci「 el c訓cI」Io a lI8 de ia
SeCCIOn.
へ薄
謝ム〇一とんへ
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屈伸串 ∨軌0!
u(a,y)=0 , i(b,y)=O cuando c<y<d
‡(x,C)二1 , ‡(x・d)二X Cuando a<X<b
、了やsea頓ub) x (c’d) y el problema
a) Establecer su formulaci6n variacional.
¥宣ノ
b) Estudiar la existencia y unicidad de la soluci6n de dicho problema d6bil.
_△u+u=f en(2, f∈L2(Q)
O en∂豊
/　-
Jし、、、三男ado
a) Establecer su formulaci6n variacional.
b) Demostrar que dicho problema variacional tiene soluci6n血rica・
n la fomulaci6n isoparam6trica ‥もque COndiciones deben sastifacer las
transformaciones de coordenadas T。 :金→Q。?言Que expresiones toman en
funci6n de las coordenadas de los nodos?. Si金es el elemento cuadrilateral de
nodos en (一1,-1),(1,-1),(1,1), y (-1,1), determinar laas ecuaciones de Te que le
transfomen en el element,O Q. de nodos (0,0),(1,0)’(2’0) y (0,1)・
---　X X X X X　--一
Mediante una red de dos elementos iguales, COnStruir la inteIPOlaci6n por
entos finit,OS de :
肝x喜; X∈[0,4]
utilizando polinomios de grado 2.
---　ⅩⅩⅩⅩⅩ　---
〆村もo-4∫一
ANALISIS NUMERICO
F∝ha: 22 dc Mayo de 2000・
Ho贈:宣6 ho皿s.
20私eq出し門/D 〇
㌔.小手C日舟vi、し4
Tiempo: 3 horas.
PARTE A
l. Sca Q el oua血ado de la丘gura’de lado 2 y frontera r. Dado el problema:
//ろ
一・Hallar u‥Q→R2血que:
-却1十Ⅹ)計訊十y)拒en鍵
u=O enr--
a) Estal)l∞er Su fomulaci6n d5bil
b) Si se subdiviide [2 en 4血ing山os iguales (Kl, K2, K3 y k4) ∞nS血uir explicitanente
g(Sl)+g(s2)+g(S3)
los valores de g en los vchi∝S de K-
2・ Dado el problema:
二二三
A∫eade K siendog(Sl),g(S2) y g(S3)
(3 p」ntOS)
“Hallar u tal que :
-△u十u=f en Q
生=0　。n「・I
f∈L2 (Q)
l. Establecer su fomulaci6n variacional.
2. Co皿PrObar que existe y es inca la soluci6n de dicha fom山aci6n variacional
潮」塙
(2 p血書os)
A・向いけど五子(○十〇
J∂紳βC子外しうり伯〔
3.詫誓Ias expresiones de fim。ones de foma del elenento cuad曲erall estindar de 4　Zち
) ��叩　　(1 
/“ヽ �〇〇〇 
∫1 
l) � � �"‾ (l 
l) b) Calcular la tra唯fomaci6n de ∞Ordenadas que
Prmite pasaI・ de !2 a I2e defiI]rda en e] plano
X-y POrlospu血tos(0, 0)(1, -1)(l, l)y(0, -3).
考
-1 )豊詰慧i霊ansfomraci6n? 4C6mo se
(2 puntos)
4. Dado e! prdbIema parab61i∞ en l dimensi6n:
c(塙一語計f en (0・宣)
u(0,t)=u(1,t)=O
u=(暮0)=X
a) Establecer su fomulaci6n debil
b) Calcul狐la aproximaci6n discretizando la g∞皿e廿ia por el m6todo de elementos
血ritos y el dempo por diferencias finitas mediante el皿6todo de Eu]er morli丘cado.
(宣.5 pⅢ競OS)
画工-婚
A・UJh読r∽.
々○擁公.高」的`
れ㌣み、レ
PARTE B
1. Plantear el sistema algebraico de ∞uaCiones que repres{加狐Ia aproxi皿a瓦6n por elementos
fhitos en l dimeusi6n de:
-u’’=6(x-1)　en (0,2)
u(0)=1
u(2)=2
eInPleando cuatro elementos y fimciones de fo皿a血eales (PO血onrios de grado l).
(重.5 p皿tos)
掴軌-49