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academia fisica 2

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A CADEMIA CAS 7TNEIRA
SANTIAGO RUSINoL, 4
91 5338201 -91 5341664
28040 MADRID
G/E/ GI77W / GIG / GIRECE
皇室西脇書ひ鱒:膚SICん〃
frofesor: Boザa Wa/era
CAMPOS
CAMPO ESCALAR
Un campo escalar es una 「egi6n deI espacio en Ia que la magnitud fisica 「ep「esentada VescaIar, tOma en
cada punto deI espacio … Valo「面co; en funci6n de las ∞O「denadas deI punto. [∨ = ∨ ( X, y, Z ) ].
=> SUPERFICIE DE NIVEL 6 EQUIESCALAR.
Es e=uga「 geometrico de los puntos del espacio en los que la magnitud escalar V toma el mismo valo「
(V(X,y,之)=Vo)
Cada punto del espacio s6lo puede tene「 u= unlCO Valo「 de Ia funci6n escala「 V; de Io cont「ario ias
SuPe面cies equIeScala「es se pod「ian corfa「 o se「 tangentes y de ninguna mane「a esto puede ocurri「.
二> EJEMPLOS
El caso mas gene「al de un campo escaIa「 que nos encont「a「emos es el POTENC!AL ELEcTRICO.
No obstante’eXisten muchisimos mas : Las de igual p「esi6∩ ( isoba「as ); las de igua=empe「atu「a (
lsote「mas ),… ‥_ …
CAMPO VECTOR!AL
Un campo vecto「ial es una 「egi6n deI espacio en la que a cada punto del espacio se le hace co「responde「
un vector como valor que toma la magnitud vecto「iai estudiada.
E=Ex(X,y’Z〉i +Ey(X,y,Z)j +Ez(X,y,Z)k
二⇒ EJEMPLOS
Existen campos vectoriales importantisimos en Fisica‥ Campo de veIocidades, CamPO de aceIe「aciones,
CamPO ei6ct「ico, CamPO magn6tico,...…....
Campos
A CADEMIA CAS7TNEIRA
SANTIAGO RUSl内oL, 4
91 53さら201 -91 5341e64
28O40 MADRID
GIE/ GI7確J / GIG / GIRECE
角s白厭光雄鱒;蕗ICA-〃
Profesor: Bo所団yera
GRADIENTE DE UNA MAGNITUD ESCALAR
Sea una magnitud escala「V =∨ (X, y, Z), eSta eXPe「imenta「atnavariaci6n dVal pasa「de … PuntO P (X, y,
Z ) a otro in血jtamente pr6xjmo P’( X+dx, y+dy,Z+dz 〉 y Ia variaci6n dV :
dV=些・dx号dy号dz  ∂× 
y el進塁s2.[ g「adiente de la magnitud escaIa「∨
両=計十許十抹
OPERADORES DIFERENCIALES
GRADIENTE.
Dado … CamPO eSCala「V
元高二面二計十許十罫 
El g「adiente de un campo escala「V es un ±.
DlVERGENCIA.
Dado un campovectoriaI a=axi +ay」十azk
div○○∇註∂ax ∂ay ∂a之 a- °--十-十-    ∂× み ∂z 
臆Campos
A CADEMIA CAS〃NEIRA
SANTIAGO RUS内Oし, 4
91 5338201 -91 5341664
28040 MADR!D
GIE/ G/T肋/ GIG / GIRECE
4s毎n甜鱒:宮§IC角誰
Profesor Bo碕Na/era
La divergencia de un campo vectoriel a es un escala「 que 「epresenta el nume「o de lineas de campo que
atraviesa una supe巾Cie cerrada eIemental po「 unidad de voIumen.
ROTACIONAL
Dado un campo vectoria丁看=axl +a,亘azk
「otる=∇大き二 �ijk ∂∂∂ ∂x∂y∂乙 axayaz �専一却鳴一部十倍一部 
Ei 「otacional de … CamPO VeCtO「ial a es un y§J重工.
C寒RCULAC16N DE UN VECTOR AしO LARGO DE UNA LiNEA
Sea una臨ea L, definida po「 el vecto「 posjci6n二
戸:〒(∪)=X(u)i +y(u)j+Z(u)k
SeanAy Bdos puntosde ia冊ea L.
Sea a unvecto「continuoen los puntos de Ia冊ea L:
a(X,y,Z)=ax(X,y,Z)i +a,(X,y,Z)j +az(×,y,Z)k
La ci「culaci6n C del vecto「 a a lo Ia「go de la =nea Lent「e los puntosAy Bde esta linea.
B       B 
CA→B=J§・dテ=J(axdx十a,dy+azdz) 
A        A 
Campos
A CADEMIA CAS乃NE/RA
SANTIAGO RUSlftoL, 4
91 5338201 ・91 5341664
28O40 MADRID
GIE/ GI77W / G/G / GIRECE
Asignatura; HSICAイI
Profesor: Bo所Na/e帽
La ci「cuIaci6n no depende deI camino 「ecorrido.
Un ejempIo 「ep「esentativo:
EI T「abajo de una fuerza ent「e 2 puntos es una ci「culaci6n.
=> Si Ia "nea es ce「「ada la ci「culacj6n:
Y en este caso debemos establece「 D「eVio al calcuIo de la ci「culaci6n un sentido Dara reCOrre「 Ia Iinea.
FLUJO DE UN VECTORA TRAVES DE UNA SUPERF!CIE
Sea el vecto「言:
言(×,y,Z)=ax(X,y,Z)i +a,(X,y,Z)j +az(X,y,Z)k
EI仙jo del vecto「 a a t「av6s de una supe而cie S es la suma de los fluJOS elementales y po「tanto su
exp「esi6n es:
TEOREMA DE STOKES.
“La ci「cuIaci6n de un vecto「a lo la「gode una linea ce「「ada es igual alflujo deI 「otacionaI deI vecto「a t「aves
de la superficje cualquie「a Ijmjtada po口a血ea.
幸・d千二J「。t講
」       s
Camp(〕S
A CADEMIA CAS〃NEIRA
SANTIAGO RUS内OL, 4
91 5338201 -91 534166年
28O40 MADRID
GIE / GI77W / GIG / GIRECE
A郭的協調I盲:鹿ICA誰
Profesor: Boウa N辞e贈
TEOREMA DE GREEN
`( En un campo vectorial, eI叫O de! vecto「 dei campo a t「aves de una supe而cie ce「「ada S, eS igual a Ia
而eg「ai de †a dive「gencia del vector extendida aI voIumen V denmitado po「 la supe甫cies S, “
Ja.d…= Jdiva.dV
S V
CAMPO EしECTRICO
Se define pa「a cada punto dei espacio- una magnitud independiente de la ca「ga de p田eba q2 que Se
denomina campo e/6cthco, que eS PO「tantO Ia fue「za po「 unidad de ca「ga que actha sob「e una ca「ga de
P「ueba coIocada en dicho pu=tO. A=guai que dicha fue「za- tiene ca「acte「 vecto「ial y e= de師tiva depende
de la ca「ga gene「ado「a q- y del punto de apiicaci6n.
亘二王= ql「2‾「} q24幸一印可 
Donde嘩≡‡)
Si en luga「 de una dist「ibuci6n disc「eta de ca「gas, Se tiene una distribuci6n co面nua:
- VOLUMETRICA →dq=P.dV
- SUPERFICIAL →dq=O.dA
- LINEAL→dq=訂dS
Se tiene que:
正子葦正吉 
Camp°S
A CAD日間IA CAS7TN朋A
SANTIAGO RUSI内oL, 4
91 5338201 -91 5341664
28040 MADRID
GIE/ GI7棚/ GIG / G僻CE
生s由わ垂:確鳩角招
Profesor: Boウa Na/e船
LINEAS DE CA剛PO
Es posible medi「 eI valo「 de Een todos Ios puntos del espacio y el conjunto de valo「es obtenidos, eS ia
「ep「esentaci6n cuantitativa del campo eIect「ico. Si dibujamos cada valo「 de E y se t「azan las冊eas
ta∩gentes en todos sus p踊tos a tos vectores E - Se Obtienen las neas de campo elediri∞・ Fisieamente, bs
臨eas de campo nacen en Ias ca「gas positivas (旬entes) y mue「en en las ca「gas negativas (Sumideros).
. S=a carga esta aislada, Si es (+) Ias lineas de campo saIen de eIIa y buscan una (-) y como no existe,
tende「an a ∞. Si es (輸), Ias lineasde campo =egan a e=a.
. En el caso de existencia de dos ca「gas, Se Pueden da「t「es situaciones distintas. Dos ca「gas iguales y
de signos opuestos (dipoIo eI6ctrico〉 y dos ca「gas iguales ya sean (十) o (-).
POTENCiAL EしECTRtCO.
Campo escala「 : ente matemati∞ que aSIgna un eSCala「 a cada punto deI espacio.
( Po「 ejempio: V二3xy +z2 +4yx2).
Campo vecto「ia!: ente matematCO que aSig=a … VeCtO「 a Cada punto deI espacio.
( Po「 ejempIo:巨=3xyzi+4zj+4yk).
+ 7-EOREMA FuNDAMEN7AL DE LA 7EOR払DE CAMPOS.
Se demuest「a que dado el campo vecto「iaI eIct「ostatico, (O Sea, C「eado po「 ca「gas en 「eposo)E, eS
iI丁Ofacion aI (COnSerVativQ) → 「OtE=O yquepo「tantode「ivadeu= POtenCial → ヨV/E=-gradV
些二王手dこ=段註Q肯市vd三二-Q艦x十㌢十許二-Q葺v
-Q△Ⅴ
二αVB -VA)
Si una ca「ga Q se desplaza desde eI punto A al B bajo la輔ue=Cia de un campo elect「ost:油co, la
disminucich de su ene「gia potencial se calcula midiendo e冊abajo que 「ealiza -a fuerza del campo. O sea,
王手mp些
A CADEMIA CAS乃NEIRA
SANTIAGO RUS内OL, 4
91 5338201 -915341664
28O40 MADRID
重圧/ GI7M / G/G / GIRE壁
鼻s宙I坦塑壁:膚SIC4・〃
Profesor: Bo所W句era
ia ci「culaci6n de F desde A hasta B es independiente del camino.
WA→B=QVA-QVB=EpA-EpB=-△EpoT 
Siendo: EpoT =QV
PO惟NCIAL CR且ADO POR owA CARGA `′cI’′二
q V=司司(v。Itl。S≡ね 
PO7ENC仏L CREADO POR uM DIS∴7RIBUC/6N DISCRETA:
N ・qi 
‾】こ-司司 �(vot】OS) 
POTENC伯L CREADO POR UM OISTRIBUC16N CON7面哩:
- VOLUMETRICA →dq=P.dV
- SUPERFICIAL →dq=O.dA
- LiNEAL→dq=^.dS
Se tiene que:
K二言=9・109Nn莞
2 (constante de proporciona】idad).
go = 8 8542.]0‾}2ラ〈m2 (permitlVidad electricadel vacio)・
隻mpo亨
ACAD剖肌A CAS7AN朋A
SANTIAGO RUSiNOL, 4
91 5338201葛91 5341664
28040 MADRID
GIE / GI7M / GIG / GIRECE
As向巾a同情商IC角誰
PIOfesor: Bo所Na/era
PROBLEMA.1.- Calcula「 eI campo y eI potencial electri∞S, en el eje de un anⅢo cargado de radio R en eI
CaSO de que e! aniiIo este cargado con 入.こCte.
PROBLEMA"2○○ EI campo eIectrico de una regi6n deI espacio viene dada po「 E=kzk siendo k una
COnStante.
a) Determina「 si ese campo es o no eIectrostatico. Caso de serio, CalcuIa「 Su POtenCiaI. (Se tomara
POtenCiaI nuIo en z=0).
PROBしEMA,3.-
a〉 Determinar la expresi6n de! campo eI6ctrico en eI centro O creado po「 medjo ani!lo de radio “a",
SObre el que se ha dis師buido u面ormemente una ca「ga eiectrica totaI Q.
b) ∪輔Ce el resuItado anterio「 para determinar eI campo eIectri∞ en el ∞n什O O oreado por una chapa
Cargada uniformemente con densidad supe而ciaI de carga o.
.PROBLEMA・4.一En e=nterio「 de una esfera de radio R hay dos ca「gas punfuales iguales y opuestas.
a〉 Determina「 cual es el valo「 de川ujo del campo ei6ctri∞ a traVeS de la supe而cie esferica.
b) Jus帥que ayudandose de un dibujo,la compatibilidad deI 「esuItado con eI hecho de que existan
Iineas de campo electrico que at「aviesan dicha supe而Cie.
PROBしEMA・5・- Se conside「a un c冊d「O muy largo de 「adio R en cuyo voiumen se ha distribuido ca「ga
eiectrica con densidad voIumc面ca p, Siendo 「Ia distancia de cualquie「 punto del ci=nd「o a su?jey c una
COnStante・ Determine Ia dife「encia de potenciaI ent「e ei eje del c冊d「o y un punto P situado a una distancia
2R deI mismo.
ACADEMIA CAS胴A
SANTIAGO RUSmOし, 4
91 5338201 -91 5341664
28040 MADRID
臆G侮/ G17M / GIG / G脈ECE
As向na仙鱒麻ICA誰
PIOfesor Boザa M新era
PROBLEMA.6○○
a) Determine en todo punto deI espacio el campo elect「ostatco c「eado po「 Ia ca「ga puntuaI q=O y
Ia ∞rOna eSfedca de radios inte「jor y exterio「 R y 2R, Ca「gada con densidad voIum6師ca de
Carga p=Cte.
b) Detemine Ia ddp ent「e Ios puntos A y B.
国璽圏図日
PROBLEMAエ" Detemina「 eI campo eIec鵬∞ oreado po「 un hiIo muy Ia喝O cargado eIectricamente ∞n
densidad lineaI de ca「ga ^ = cte.
PROBLEMA"8・- Determina「 eI campo elec軸co c「eado po「 un pIano in軸o ca「gado con densidad superficja[
de carga o = cte.
PROBLE肌A・9・- Un hilo in軸o esta ca「gado co= densidad -inea- de ca「ga入∞nStante y S血ado en OZ. Un
Plano in軸o esta cargado con densidad supe巾cial de ca「ga o ∞nSfante positiva. Dicho plano esta situado
en x=2a- Sjendo O(0,0,0〉 y A(2a,0,0) se pjde :
1) Valo「 de ^ pa「a que eI campo electrico se anuie en e` punto medio de OA (se suponen no
COnOCidos eI campo c「eado po「 un hilo y un pIano infinito).
2) Para eI vaior de柾alcuiado anteriormente calcula「 eI campo y e- potencia- en un pu=tO CuaIquie「a
de OA (Se tOma「a POtenCiaI nulo en el punto medio de OA).
里聖軋EMA.1Qr Se dispo=e de un hilo infinito ca「gado con h y un semia刷o
de radio a’ca「gado con ^2, dispuestos como se indica en la figu「a・
Suponiendo no conocidos ios campos gene「ados po「 cada uno de ellos, Se Pide:
1・- Campo eIec師CO tOtal gene「ado po「 ambos en el punto A.
2・- Relaci6n ent「e亙y ^2 Para que eI campo se anule en A.
ACADEM/A CAS7TN朋A
SANTIAGO RUSmOL, 4
91 5338201 -91 5341664
28040 MADRID
G/E / G/77W / GIG / G/RECE
Asi卿J]a中里: Fis/CA-I/
PIOfesor: Boりa M却e帽
PROBLEMA"1 1○○ Determina「 Ia deneidad supe而cial de carga deI plano
infinito de la figura, Para que el campo en el punto A generado
PO「la carga q, Ia ca「ga 2q y ei p「opio pIano, Sea nulo,
Nota: EI valo「de la ca「ga q=2いC y ia distancia dこ10cm.
十を打診十〇
i p血n。
PROBLEMA-12〇一Dos hilos muy Iargos y paraIeIos, unO de densidad lineal de carga ), y el otro 2 ^ , ambos
uniformes, eStan SeParados una distancia “d"・ Determinar e冊ga「 geometrico de los puntos para tos cuales
el campo electrostatico es nulo.
Junio-201 1.- Se ∞nSide「a una co「ona esferica de 「adios interio「 R/2 y exterio「 R. En ia supe巾cie de la
esfera interio「 se coIoca una ca「ga -Q y en Ia de Ia esfera exterio「 una ca喝a Q. Se pide determinar el
CamPO eIectrico en todas Ias zonas det espacio.
G昭執軌に・ Cu疏¥
紳∨二もvニ謀華子豊で
聖堂尊重〔改醜貌¥
も清二詰二葉埼豊
輸ru○○蓑卦¥ → _(噂基衡¥ つ つ
頓奇二詰二位南
田園
有性G韮卜Qdq G点て立腹〔、く這小
国璽堅国
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草書ン蛤④d>。、=lる
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㌔こ塙噂言霊叫千時+串こ高雷〃
干しか茅一読十主しも、ニー幸二尋
もム頓ゝ血や心外も心技専心d′料亭や岬へもゝ守、十両ゝ
竿や01匂定¥cぬ
机上持帰∪もう拙論由項L高空楊
華岬等心地?
も的槌今がvし中、二〇
千随大高。鵬」→ ①←ぜ¥せ 中華等啓≠○
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体の心∴ ○良子紅ゝ碑●一・
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上申音質即事厨
」葛」  し一¥   」し
ろdAc鴎ゝ吏.∈d仏eの女事  で。 OAceゝ人、
平弱毒 ややりぐ
的l諦=)手相松雪=。
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圏
雪物欲こ巨串彊暮雪毒
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色①∴‾ “…-  一>
・ Q白鴎で.
星団話
一‾一三ヲ
堅田国璽
も・O心、C②
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心↑e定琴
笠十㌔やむ
言。 .∴
丁も。詰こ巨、げ「∴⇒
喜郎石生Q時土曜メ卓二
圏圏園圏
小心e筑心この
モC「)
ニ
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田
岡
田
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て
ー言
↓dA↓己
∩〉
基
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伏
「
榊&艇身噂疋出水」Gooss
品評∨
鼻e仁場主神玖 d主 SもK公
畠中享ふき(嘉。
了○○寄卯亀 健 も
囲幅
松草_主上書聖と〇三
心技か息的-小 ①噂∋ ㊧池ユ厨-
生食、巾O憾。直 面・子っ。・白むくるぐぬ小¥ニ⑫
3ゝd追ゝ ②ぐやひも妙徳高嶋
片古座…二胆ud増引
当ふd醜人か仏心へもや迫専一恥畦一婆
一>   」>
千・d五・二〇
職美帆ふい
廿日 千手も同u・
」○○-、丁色oくせ小台ゝ
音
Vd
↓
「
‖
‖
▼
」Q
鰹、いu
困 ‖り
軸
一一
↓⊂
一団∪
山融
あodi「
・→い甜、。車l ∇言  か同比か
→eぬ庇い→∇謡 生唾・
圏(空文〕小(之∩
卑錆や○虫。肘.
細川→ ∨抄。向直轟∇山
千●O肌もぬ○竜し っ
調†F
d高子
ふ亀厄包- d ∞点押出陸○ ○ dd、∪佃や主〇、
轡は色も哩・もd中立近い二△し一時捗的l
帖峠∇帖(鉦箪帥輔唖l
幽細山¥ニ碧十尊重
担÷ △山も軍法q畑¥
寅IQ心o掛や凄地(S主点¥
A CADEMIA CAS〃NEIRA
SANTIAGO RUSmO」, 4
91 5338201 -91 5341664
28O40 MADRID
G/E / GI77W / GIG / GIRECE
Asi寄natura: Fis/CA-I/
PIOfesor: Bo巧∂ Na/era
GRAVITACION
a) Leves de Kepier・
・ Los planetasdescriben 6rbitas elipticas, COn eI soI en uno de losfocos de la e!ipse・
● El 「adio-VeCtO「(「ecta que une cuaiquie「pianeta con eI sol) “ba汀e" a「eas igualesentiempos iguaies・
e Los cuad「ados de Ios periodos de cuaiqujer planeta, SOn PrOPOrCionaies a !os cubos de las
distancias p「omedio ai soi:
T2=虹→千手
La fue-Za g「aVitacional c「ea ia a∞Ie「aci6= cent「ipeta necesa「ia pa「a el movimiento circuIa「‥
GMm v2
千二m‾
A一「eempIazar la ve-ocIdad “v,, po「苧(el t-emPO de una 6rb-ta COmPIeta) obtenemos
丁2=上土十
GM
Donde, T es el periodo o「b圃, r el sem-qe mayO「de la 6「bita’M es Ia masa del cuerpo ∞nt「al y G la
Constante de g「avitaci6n universai・
b〉 Lev de 。raVitaci6n unive「sai"
Dos cuerpos se at「aen en eI espacio ∞n u=afuerza di「ectamente p「OPO「Cionai aI p「Oducto de sus masas e
inve「samente propo「Cional aI cuadrado de la distancia que las sepa「a.
F=G告→ F-G半らF-G筆舌→ S-endoG=667 10-一書Iaconstantede
g輪vifaci6n universaI・
GIa Viねci6n
A CADEM/A CA S 7ANEIRA
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As向natu桐 F7SICA-/′
PIOfesor: Bo句a N辞era
F es una fuerza conservativa, luego F二-gradEp siendo E, =-G型
d
Sea go =筈二9.8担ava-oresde h<<RT Engene「aIset-eneque
g=中一嶺
Se conside「a e! peso como la fueiZa COn fa que fa tie汀a atraeaI oPjeto en estudio y asi:
請=G岩ys- h<<R丁 →前半=mgo
Enestecaso Ep=-G岩ysiconsIde「oque h<<RT →Ep=mgh-G哩
R丁
d) Velocidad de escape.
Lavelocidad de escapees la velocidad con la quedebe lanza「se un cuerpo pa「a que =egue a=nfinito con
VeIocidad ce「O, eS deci「, eS Ia velocidad minima con la que debe lanza「seei cuerpo pa「a queescape de la
at「acci6n g「avitato「ia de la Tie「「a o de cualquie「 ot「O aSt「O.
Esto significa que eI cue「po o p「oyectil no voIve「a a cae「 SOb「e la Tie「ra o ast「o de pa巾da, quedando en
「eposo a una distancia suficientemente g「ande (en p「incipio言nfinita) de la Tie「「a o del ast「o.
La veIocjdad de escape es apijcabIe tan soIo a objetos que dependan 〔injcamente de su jmpuIso iniciaI
(P「OyeCt=es) pa「a vencer la atracci6n g「avitato「ia; Obviamente, nO eS aPlicabie a los cohetes, lanzade「as
espaciaIes u otros artefactos con propuIsi6n p「opia.
G青aviねCi6n
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As幻n締り胤戸応ICんII
Profesor: Boザa Wa/era
」a veIocidad de escape depende de la fo「ma del potencial g「avitato「io en que se encuent「a el p「oyectil, PO「
Io que eI planteamjento se「ja lige「amente djstinto si eI punto de partjda esta situado en e=nterior o en eI
exte「ior del ast「o. En ei exte「io「 deI astro, SOb「e la supe而cie de 6ste, la velocidad de escape depende
SOiamente de la altu「a del punto de ianzamiento, Si se desp「ecian las fue「zas de f「icci6n en la atm6sfe「a, Si
la hubiere (COmO eS eI caso de la Tie「「a).
La ve10Cidad de escape desde la superficie de la Tie「「a es =.2 kmls, lo que equivale a 40320 km/h. La
Veiocidad de escape no depende de la masa deI p「oyect= ni de Ia di「ecci6n de=anzamiento.
A velocidades infe「iores a Ia de escape, eI proyectil se conve巾「ia en un sat釦te artificial en 6「bita eIfptica
al「ededo「 del ast「o que io at「aiga. Seg山n Ias dimensiones dei ast「o y la velocidad面cial del p「oyec坤Puede
OCu「「i「 que esa trayecto「ia e=ptica se complete o que te「mine en co=si6n con eI astro que at「ae al p「oyec帥
En este segundo caso, Suele ap「oxima「se la t「ayecto「ia eliptica po「 una pa「abola (Tiro pa「ab釦co).
Ap=cando eI p「incipio de conservaci6n de la ene「gia, al que imponemos la condici6n de que ei objeto se
al匂e hasta una distancia infinita y quede en reposo:
÷互-G些R
de modo que:
donde:
・ “V。 “eS IaveIocidaddeescape〇
・ “G,, es la Constante deg「avitaci6n universaI (6,672×10‾11 N m2Ikg2).
・ “M” esla masadei ast「o(Pa「a latie「「a M=5,97.1024Kg)
・ “m” esIa masadeIp「oyect=.
・ “R’’esel 「adiodeI ast「O (Para latie「「a R=6365Km))
・ =g,, es la intensidad del campo g「avitato「io en ia supe両cie del astro. En la Tie「ra, g = 9・81 m/s2
Gra viねci6n
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As細na巾贈;用SICA-//
Profesor: Boザa W辞era
e〉 Radio de Schwarzschild. Aauieros neqros.
Ei radio de Schwarおc軸d es la medida de( tama再o de un agujero negro de Schwa「zschiid, eS decir, un
agujero neg「O de simet「ia esfe「ica.
Puesto que ei tama脅o de un agu」e「O neg「O depende de la energia absorbida po「 eI mismo, CuantO mayO「eS
Ia masa deI agujero neg「O, tantO mayOr eS e汗adio de Schwa「zsc剛d, que Viene dada po「:
2GM
因昌一
c2
f) Sat61ites qeoestaciona「ios.
Un sat6"te se Hama geoestacionario cuando se encuent「a siemp「e sob「e el mismo punto de la supe而cie
te「「est「e, eS deci「, 「eCO什e tOda su o「bita en el tiempo que la tie「「a hace una rotaci6n completa (24 h).
Pa「a que un sate怖e se enouent「e siemp「e en e( cenit de un luga「, ha de gi「a「 con (a misma velocidad
angula「 que ia tierra y por tanto ha de estar sobre el ecuado「ter「estre.
no coincidia ∞n el de 「otacich de fa Tierra sob「e su eje, PO自O que tenian un movimiento apa「ente.
Existe una altu「a pa「a la cuaI el pe「iodo orbital del sat釦te coincide exactamente con ei de 「otaci6n de la
丁ie汀a・ Esta altu「a es de 35.786,04 kiI6metros. La 6rbita correspondiente se cono∞ COmO eI cjntu「6n de
Ciarke. Po「 tanto’las drbitas g∞eStaCionarfas son軸es debido a que un sat訓te pa「ece estacionario
「especto a un punto fijo de fa Tie汀a en 「OtaCi6∩_
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As雨露a餌楢F応化A誰
PIOfesor: Bo房a Na/era
PROBLEMA.-1・ - Dos cuerpos de masas m = 50 kg y 2m se encuentran en Ios v全面CeS de un trianguIo
equ帽tero de lado lO cm.
Encontra「 Ia fue「Za que ejercen sobre ot「a masa m y su energia potenciai, Si esta se encuent「a:
a) en el punto medio ent「e los dos v〔inices
b) en el te「Cer Ve宜ice del triangulo.
. I
国圃
一一一一‾ 臆→    け“レ
。一千千
今“>二 一一二二二
七二_」二
争知久
如/ニ肌I
(合二的宏一高宮)
/ン千二一年芋も・
了 >=一筆
・一〇〇予
∂ェ一重半玉手
車,ゴー壁土
÷二軍亮一幸一軍手
ヰ‡畠中′)二一細からニ(定)
㊥子 羊=_毎聖二_紅エ′生
二立言竿くま。ふ、
干             。舶雁。i。n
上
島
Q
団
扇
副
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Asi卿na如帽: F応ICA-II
Profesor: Boげa Wa/era
PROBLEMA.・2〇一Ut=izando eI teo「ema de Gauss, determinar el campo g「avitatorio c「eado por la tierra en
PuntOS eXterio「es e jnterjo「es a eiIa, SUPueSfa una esfe「a de 「adjo R conocjdo y densjdad vo山m台trica de
masa homogenea y tambien conocida. Ap=ca「 e廿esuItado pa「a determina「 el campo electrico c「eado po「
una esfe「a con carga eI台ctrica distribuida uniformemente・
材 - う当一  、J I
i諒‾牢
固田園【∴∴l   ノー
み=一週「去只も
GIa Vifaci6n
毎朝字
画廊二伸二幸叫
_〇・一」∋
∂二二一填る「rチ
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A CADEMIA CAS〃NEI代A
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As幻nafu略: F/S/CAJ/
Profesor: Bo巧a N句era
PROBLEMA.+ - Determine Ia veIocidad de escape del SoI y apliquelo pa「a determina「 el 「adio que debe「ia
tene「 Pa「a que fuese un aguje「O neg「0 (「adio de Scwa「tzsch潤).
Datos: Msol = l,99.1030 Kg ;Rsolニ6,96-108 m
回ニ/雫こ
⑯ニ誓ニ
ノメメ楠本め
(うねる羊
三雄ノ①高も
ニ∠中4qル
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As心na如raこFis/CA-〃
PIOfesor: Bo巧a N句era
Juni○○2011. -
a) Dete「mina「 Ia altu「a a la que debe esta「 un sat訓te pa「a se「 geoestaciona「io.
b〉 Calcuiar la veIocidad con Ia que ha de manda「lo pa「a que se coIoque en Ia 6「bita.
「二
姦≦乏∠キムa
聞∵囲
一一-〇才
「二ロ丁十叶
名うて○ ○とゝ仝
四国
ヂ雪中を毒一
丁≒4せ「ろ
争当千
星型獲固
国軍
み「二2克硲
二軍2クノ客?去リム母
匝彊蓄繋卑
うら 三三a実多重
皇恥泌十重声も仝
(亀 T)有り丁
田園国メイ.  ノ
在十却
磨丁 「
坤王朝∂図画萄 Gra yita ci6n
く
墓園回国国
軍や¥賦役申髄ゝ
吋中臣デ尋㊨尋専小二で
国璽墨
ふもても了や、 ・¥
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歓心にもぐさ○ -、
9二一止∴二一ご′陣中二島慧
G中軸格①,    、
-/言霊拒′8S証を 呼)乞也嵩詰
㊥
叩こう0J守
れ、こし∞レも
しニl①c釦∩置○小野¥
四囲四囲
一一号
をこ一堂ごニーG旦留鳥
ヽ  -‾    ‾ ‾
ン∴二年弓雪や。迫ややぶ・
専Lso樋ニ乙筆 や車′L㌢)中華(。)紅ぐ‾佑○¥
唱居「招ご薄雪喜
盲いニーG昔軌(謹告へ担、昔空 々二爪∠マ/
園田重畳扇e′ 、辛
毛色掴→場G(鏡言や掌、暮一女々し
○○し喜       一
@′、辛
′
干草∴三・こ、,66…葦〔享凌一筆干上
堅固
J=-G巳」
Iトロ
メ了
主宰団V手‾G警十(-G誓当ニー与、貴
・一°7   ・一一ヽ   ‾“ア
キこちへteぴぃ
◎義
撃、へ毛、 恥
デ二時を亨。⇒ l討I副
l宮中G叢こ詫言膚のl 圭ふ王ら
仏も三〇 †{清い単軸①や…笠や哩
よ:
圃圏圏
」地車高地〈
♀ヂq・具的連呼如
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下郷で恥久 &_食ゆ父
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火ニq縫∋q
皇S●、軽空足や砥のめや∪∞「財
聖堂 S¥隼聖、附束ね地G四半, ・Q煩いの
や陣伍坤もミ
クニ穂苅詰迄
国圃ふ高富.du
言帖軒漣評
危地二一、日G当時日録掛言色。
牢聖選、
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㊥尋v⇒漣立言 士
△>ニー、(-「や(隼ふ的l →も。心地Cや叫帥三
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也や小以、、時㊧こ、○㌻抄
録捕手・
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⇒封殺車塁も揮〆て春
圃囲古壷フ⊥-もし旬で 今重・…虻トこ
ぅ寧高二語草童
A華黒註鉦所
盲Cぐう・
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>詩宗言幸一宣言や∽ニー峯子
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二言の表毎、心(ぐめ
躍起圏話
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圏憂国
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田国
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基軸ニ叫喚→釣二岬や王的
〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 ‾                                                                                                  ‾              ‾   ‾       〇 〇 〇 〇 〇 〇 ‾
戸虹・殖=古や誓耶㌔
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陣没恥沖霊浮草
‰幸江豊満言直v症・
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壇主n高言一問、小 や二葉⊇弓やdu⇒拒
二d言
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也常在d豊ふやこ。・良三〇
時′ふ他心以叱¥、へ辱
十三虹一弓哉二一号亜
㊤幸誌二一、噂二謹聴や㊤巨ニー、中吉噌
当n「七二㊤
も二G聖
一画字で=⑤
串二甲高や、衆
へ・〇〇〇、.
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聖二坤d色
園田日田
呼 ′つへ
圏匿四囲
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圏

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