ALGEBRA (1)

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1
2015
• Aptitud Académica
• Matemática
• Ciencias Naturales
• Cultura General
Preguntas propuestas
Álgebra
2
Operaciones básicas y Potenciación
NIVEL BÁSICO
1. Si m= – 2; n=3; p=4 y q= – 6, determine el 
valor numérico de
 m3 – n · q – p2
A) 6 B) – 4 C) – 7
D) 10 E) – 6
2. Determine el valor reducido de N.
 N=0,1+0,2+0,3+0,4+...+2,8+2,9
A) 12,8 B) 25,7 C) 39,43
D) 43,5 E) 8,4
3. Determine el valor reducido de E.
 E=22+42+62+82+102+122
A) 91 B) 360 C) 364
D) 346 E) 306
4. Determine el exponente final de x en la si-
guiente expresión.
 
x x x
x
x
5 2 3 23
3 2
3 1
⋅ ( ) ⋅
( )( )
∈ − { }+; R
A) 3 B) 2 C) 1
D) 4 E) 8
5. Si se cumple que
 
5 625
2 64
x y
x y
+
−
=
=




 determine el valor de x2 – y2.
 
A) 0 B) 2 C) 4
D) 6 E) 24
6. Luego de simplificar la expresión
 
25
10
3
6
1024 5 2
2
5
6
10 0
( ) × 


× −( )
× × +( )π
, se obtiene 
m
n
 Calcule el valor de m – n. Considere que m y n 
son PESI.
A) 6/5 B) 1 C) 2
D) 3 E) – 1
NIVEL INTERMEDIO
7. Determine el valor de M.
 M=1×3+2×4+3×5+...+20×22
A) 3720 B) 3270 C) 3890
D) 3290 E) 3920
8. Reduzca la siguiente expresión 
 
A = × ×
×( )
45 75 225
3 5
8 11 7
20 21 2
 indique la suma de las cifras de A.
A) 10 B) 11 C) 12
D) 14 E) 9
9. Simplifique la siguiente expresión.
 
2 2 4
2 8
3 6 1 2 1
1
− + + − +
−
+ ⋅
⋅
n n n
n
A) 3,0 B) 3,5 C) 4,5
D) 16,5 E) 7,5
10. Si x yy x= ∧ =1
2
2, 
 calcule el valor de xy
x+
+
1
1.
A) 1/4 B) 1/2 C) 3/4
D) 5/4 E) 3/2
11. Si 5x=m y 5z=n, halle (0,04) – x+2z
A) m2 · n – 4 B) m1/2 · n – 4 C) m2 · n – 1/4
D) m – 2 · n4 E) m2 · n4
12. Al reducir la expresión
 x y
x y
x y
x y
3 3
4 2
3 3
2 2
5
−





 ⋅ −





 se obtiene 
y
x
m



−
 Determine el valor de mm+1.
A) 2 B) 8 C) 4
D) – 3 E) – 2
Álgebra
3
NIVEL AVANZADO
13. Calcule la suma de
 S=7×31+9×29+11×27+13×25+...+31×7
A) 3955 
B) 3965 
C) 3945
D) 3975 
E) 3985
14. Determine el valor de a si se cumple que
 27 381
1 729 2a a+ −=
A) 1/2 B) 5/3 C) 7/6
D) 17/2 E) – 1/3
15. Determine el valor reducido de M.
 M = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
( )5 5 5 5 512 16 112 120 1420
21
20
...
A) 5
1
2 B) 5
2013
2012 C) 5
2012
2013
D) 50 E) 5
16. Si al reducir la expresión
 
x y
x y
x
y
n
m
n
m n
n n
m n
n
n
−
+
−
+
⋅
⋅










÷
















1
1
1
 resulta xn · yb, calcule el valor de nb+bn.
A) 1 B) 3 C) 5
D) 13 E) 2m
17. Si x x ax
x xx a
a
a+ +
−
( )( ) =3 2 2
1
 ¿a qué es equivalente 
1
1
a
x
a x



⋅
−


 − ?
A) 1 B) x C) xx+1
D) x2 E) x
18. Luego de resolver x x xx( ) ; ,− = + >1
2
2 1 0
 indique el valor de x
x
− 1 .
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 10
Álgebra
4
Radicación en R
NIVEL BÁSICO
1. Determine el valor reducido de M.
 M = ⋅ ⋅ ⋅
−3 2 3 223 54 3 14
A) 2 B) – 4 C) – 6
D) 6 E) 4
2. Determine el valor reducido de la siguiente 
expresión.
 
M = + + +
+ + +
6 12 18 24
3 6 9 12
A) 2 B) 2
1
2 C) 3
1
2
D) 6
1
2 E) 4
1
2
3. Determine el valor reducido de J.
 
J = ⋅
⋅
2 4
2 2
3
3
A) – 2 B) 2 C) – 1
D) 1 E) 3
4. Si se tiene que xx=798,
 calcule el valor de x +1
2
.
A) 4 B) 7 C) 8
D) 5 E) 6
5. Determine el valor aproximado de J.
 J = − − −12 12 12 ...
A) – 4 B) 1 C) 12
D) 6 E) 3
6. Si n=10, determine el valor simplificado de
 
J
n n
n
nn
n
= ⋅
−+
−+
11
42 2
A) 
1
10
 B) 1 C) 1000
D) 100 E) 10
NIVEL INTERMEDIO
7. Si se cumple que xx
5 322= , determine el valor 
 de 2 53 x .
A) 5 B) 32 C) 8
D) 2 E) 4
8. Dada la sucesión {xn}, de modo que
 x b x b b x b b b1 2 3= = =; ; ; ...
 donde b es un número real positivo, determine 
el valor de 
x x
x x
3 10
4 11
2
⋅
⋅( )
.
A) b – 1/2 B) b – 2 C) b – 1/8
D) b – 3 E) b – 4
9. Si se cumple que xx
1
2 1
2
= , determine el valor 
de x – 1.
A) 64 B) 4 C) 16
D) 256 E) 512
10. Dado a > 0, calcule el valor de x en la siguiente 
igualdad.
 
a a
a
x x
x
2 13 2 34
1
1+ −
−
⋅ =
A) – 3/5 B) – 4/5 C) – 1
D) – 5/4 E) – 5/2
11. Si x x equivale a 2, determine cuánto equivale
 
( )x x
x
x
x
+
+
−
1
1
1
A) 1/2 B) 1 C) 
2
2
D) 2 E) 2
Álgebra
5
12. Si a y b son números primos entre sí, además, 
 x
a
b es lo que resulta de reducir la expresión
 
x x x x
x x
⋅ ⋅ ⋅
⋅ 23
 entonces halle el valor de b2 – a2.
A) 144 B) 5 C) 169
D) 119 E) 36
13. Sean los números
 
A
B
= + + + +
= − + + +
3 2 2 2
2 6 6 6
...
...
 Determine el valor de A · B.
A) – 5 B) 12 C) 9
D) 1 E) – 12
NIVEL AVANZADO
14. Determine el equivalente reducido de P.
 P = − −
−
−
0 5 2 24
42
50
, ( )
A) – 1 B) – 0,5 C) 0
D) 1 E) 0,25
15. Si x x+ =2 23 2 , calcule el valor de
 
J
x
x
= + 2
28
A) 4 B) 5 C) 5
D) 16 E) 28
16. Sean a; b ∈ R+, tal que 
1 1
12 2a b
+ =
 Determine el valor de S.
 
S
x x
x x
ba ab
a b
= +
+
22 22
2 2
A) x – x B) 1/x C) x
D) x2 E) 2
17. Sea {a; b; x} un conjunto de elementos dis-
tintos de la unidad, tal que verifican ax=b3=x. 
 Calcule el valor de xx
− −3 1
 en términos de a y b.
A) ab2 B) ab C) ab
2
D) a b2 E) b a2
18. Indique el exponente final de x en la expresión J.
 J x x x x= ⋅ ⋅ ⋅4 24 2401795
3
... (m radicales)
A) 
2 1
2
m
m
+
 B) 2 1
2 1
m
m
−
+
 C) 2 1
2 1
m
m
+
−
D) 2
2 1
m
m −
 E) 2
2 1
m
m +
19. Si se cumplen las igualdades
 x y x
x yy
x9 3
1
3= =








;
 calcule el valor de y3x.
A) 3 B) 2 C) 2
D) 3 E) 27
Álgebra
6
Productos notables I
NIVEL BÁSICO
1. Reduzca la siguiente expresión si x = 3.
 M=(x+1)2+(x+2)2 – 2(x+5)(x+1)+6(x+1)
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
2. Si se cumple que x2+6x=11, determine el va-
lor de J.
 
J
x x
x x
= + + −
+ + +
( )( )
( )( )
1 5 8
4 2 13
3
5
A) 1 B) 23 C) 25
1−
D) 
2
3
3
5 E) 
5
2
3
5
3. La suma de dos números es 24 y la suma de sus 
cuadrados es 296. Encuentre la raíz cuadrada 
del producto de dichos números.
A) 30 B) 17 C) 24
D) 2 35 E) 12
4. Si el polinomio P(x)=4x
2+(n+1)x+1 es un tri-
nomio cuadrado perfecto, determine el valor 
de n4+n3+n2+n+1. Considere n > 0.
A) 125 B) 121 C) 122
D) 123 E) 124
5. Calcule el valor reducido de M.
 
M =
+
−
+
−
+
3 2
3 2
3 2
3 2
A) 9 B) 10 C) 3 2 2+
D) 2 3 2+ E) 3 2−
6. Si x < y, además, se cumple
 
x y
xy
+ =
=




2 5
1
 determine el valor de x – y.
A) 4 B) 2 2 C) – 4
D) 16 E) – 16
NIVEL INTERMEDIO
7. A partir de la siguiente igualdad, ¿cuál es el 
valor de a – b?
 
3 5
2 2
0+ = + > >a b a b;
 
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
8. Si x x2 2 2 2 2+ = + +− , calcule el valor de 
x16+x – 16.
A) 0 B) – 1 C) – 2
D) – 3 E) 2
9. Simplifique
 
4 12 5 2 6 3 8
2 4 2 24
+ + − + −
+( ) −( )
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 0
10. En la siguiente igualdad, determine el valor 
de n.
 
13 85 7 6 7 6 6 74 4 8 8 168 3
1
( )( ) +( ) +( ) + = ( )− −n
 
A) 4 B) 6 C) 7
D) 8 E) 5
11. Sea x = +2 1. Determine el valor de N.
 N x x x= +( ) +
( ) +( ) + −2 1 1 1 1 12 48
A) 2 
B) 216 
C) 3
D) 1 
E) 2
Álgebra
7
12. Dada las condiciones
 
ab ac bc a b c+ + = + + =
3 2
2
2 2 2
 determine el valor de a b c+ +
−2 1
 Considere que {a; b; c} ⊂ R+.
A) 2 B) 3 C) 5
D) 1 E) 4
NIVEL AVANZADO
13. ¿Cuál debe ser el valor de x, de modo que la 
siguiente igualdad se verifique?
 2 3 2 3 6
4
813+ + −( ) =
x
A) 12 B) 20 C) 15
D) 22 E) 17
14. Sea x un número real, tal que x3+4x=8. Deter-
mine el valor de x7+64x2.
A) 128 B) 64 C) 32
D) 110 E) 16
15. Si se cumple que m
n
n
m
mn+ = ≠2 0; ,
 determine el valor de Q.
 
Q
m n
m n
= + − −
− − +
( ) ( )
( ) ( )
1 1
3 3
2 2
2 2
A) – 2 B) 1/3 C) – 1/3
D) 3/2 E) 4/3
16. Sabiendo que un radical doble a b+ 2 
con a > 0 y b ∈ +I se puede escribir comoradicales simples c d+ , tal que
 
c d c
a
d
a> > ∧ = + ∧ = −0
2 2
∆ ∆
 Determine la relación correcta entre ∆, a y b.
A) ∆2=a2+b2 
B) ∆2=a2 – b2 
C) ∆2=a2+4b
D) ∆2=a2 – 4b 
E) ∆2=a– b
17. Si tenemos que
 
a b c
ab bc ac abc
+ + =
+ + =



1
 halle el valor de 
a b
c
c a
b
b c
a
+ + + + + .
A) 1 B) 2 C) – 2
D) 4 E) 5
18. Simplifique el siguiente valor.
J a b c ab bc ac a b c a b c= + + + + +( ) − + + + +( )2 2 2 2 2 2 2 2( )
 Considere que {a; b; c} ⊂ R+.
A) a2+b2+c2
B) ab+bc+ac
C) 22
D) 1
E) 0
Álgebra
8
Productos notables II
NIVEL BÁSICO
1. Si se tiene que
 (x+2)3=x3+6x2+mx+n
 (x – 5)3=x3 – px2+qx – 125
 determine el valor de m+n+p+q.
A) 20 B) – 15 C) 40
D) – 10 E) 110
2. Si x
x
+ =1 23 , determine el valor de x
x
6
3
1+ .
A) 3 2 33− 
B) 3 2 23− 
C) 2 3 23−
D) 1 2 3− 
E) 1 2 23−
3. Se tienen las dimensiones de un campo depor-
tivo.
 (x – 1) m
(x2 +x+1) m
 Determine el área del gramado de fútbol si
 x = 200
3
A) 2 2003 2m B) 199 m2 C) 4003 2m
D) 215 m2 E) 169 m2
4. Determine el equivalente reducido de M3 si
 
M
a b
a b a ab b
b a b= −
+( ) − +( )
+ ≠ −
6 6
2 2
3;
A) a B) 0 C) – 2
D) b E) 2
5. Sea x3=8; x ≠ 2.
 Determine el valor de x2+2x+6.
A) 4 B) 6 C) – 1
D) 2 E) 3
6. Sean x y z= = − = −1 2 5 5 3; ; .
 Determine el valor numérico de J.
 
J
x y z
xy yz xz
x y z
xyz
= + +
+ +
⋅ + +
3 3 3 2 2 2
A) 3 B) – 3 C) 2
D) – 2 E) – 6
NIVEL INTERMEDIO
7. Si 2(x2+y2)=3(x+y)=12,
 calcule el valor de A.
 A x x y xy y= + + + +
3 2 2 3 1
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
8. Si se cumple que a+b=4; ab=1; a > b, calcule 
el valor de a3 – b3.
A) 1 3+ B) 30 3+ C) 10 3+
D) 30 3 E) 3
9. Si se cumple que
 
( ) ( )a b
a b
+ + − =
+ =




1 1 18
3
3 3
 Determine el valor de (a+1)(b+1).
A) 6 B) – 9 C) 1
D) 2 E) – 5
10. ¿Cuál es el valor de n
n
5
5
5
1+ si se sabe que 
 n
n
+ =1 1?
A) 25 B) 1 C) – 1
D) 55 E) 5
Álgebra
9
11. Sean x; y; z números reales, tal que 
 x y z+ + = 15 ∧ x2+y2+z2=5. 
 Calcule el valor de M.
 
M
x y z
xyz
x
z
y
x
z
y
=
+ +
+ + +
3 3 3
A) 3 B) 5 C) 6
D) 9 E) 10
12. Sean a b c= + = − = −2 2 1 2 3; y .
 Reduzca la siguiente expresión.
c
a b ab
b
a c ac
a
b c bc
a b c
abc
2
2 2
2
2 2
2
2 2
3 3 3
2 2 2+ +
+
+ +
+
+ +
− + +
A) 3 B) 4 C) 0
D) 1 E) 6
NIVEL AVANZADO
13. Si x= + + −2 3 2 33 3 , determine el valor de 
E2+1, de modo que E=x3 – 3x+6.
A) 49 B) 26 C) 48
D) 101 E) 82
14. Teniendo en cuenta que x3+y3+z3=a3+b3+c3,
 calcule P(11a; 6b; 3c) si
 
P
x a y b z c
x ax a y yb b z
x y z( ; ; ) =
−( ) + −( ) + −( )
+ +( ) + +( ) +
3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 zzc c+( )2
A) 3abc
B) 30abc
C) 300abc
D) 3(a3+b3+c3)
E) 3(a+b+c)
15. Sean a; b y c tres números reales que satisfacen 
la siguiente igualdad.
 a2+b2+c2+21=2(a+2b+4c)
 Determine el valor de cb
 – a
.
A) 16 B) 4 C) 2
D) 8 E) 6
16. Se cumple que
 a(b+1)=a2+b(b+1)
 c(d+1)=c2+d(d+1)
 simplifique la expresión J.
 
J
a b c d
a b c d
= − + −
+ + +
2 2 2 2
3 3 3 3
A) 1 B) 0 C) a
b
D) a b
c d
+
+
 E) 
c d
a b
+
+
17. Si x+y+z=1, calcule el valor numérico de T.
 
T
x y z
xy yz zx xyz
= + + −
+ + −
3 3 3 1
A) 1 B) – 1 C) – 3
D) 3 E) 2
18. Si a+b+c=0, determine el valor de x en
 
a
x
bc
b
x
ac
c
x
ab
abc a b c
2 2 2
1 1 1
1 1 1
5
−



+ −



+ −



=
= + +− − −(( )
A) a+b+c
B) ab+bc+ac
C) a2+b2+c2
D) abc
E) 
1 1 1
a b c
+ +
Álgebra
10
Polinomios I
NIVEL BÁSICO
1. Indique cuáles de las siguientes expresiones 
matemáticas representan a un polinomio.
 P(x; y)=2x
2y5 – 4xy7+6
 Q x y zx y( ; ) = − +
6 6
 R x xx( ) = + − +1 2
 
S
x
xx( )
= −
+
3 7
6
 T x xx y( ; ) = − +5 3
A) P, Q y R
B) R, S y T
C) P, Q y T
D) solo P
E) P y Q
2. Si P x x nxx
n
n
n
( ) = + −
−
+
−5 73
1
2 12 2
 es un polinomio, determine el valor de 
 1+2+...+n.
A) 10 B) 55 C) 21
D) 15 E) 17
3. Dada las expresiones matemáticas
 P x Q xx x( ) ( )= =
3 3y
 halle el valor numérico de Q P
P Q( ) ( )3 8   
+ .
A) 7 B) 35 C) 18
D) 12 E) 11
4. Si P xx( )2 1
2 5+ = + ,
 indique el valor de P(5)+P(7).
A) 74 B) 21 C) 23
D) 84 E) 12
5. Si P(x; y)=x
6 – y6, calcule el valor de M.
 M=P(1; 2)+P(2; 3)+P(3; 4)+...+P(9; 10)
A) 999 999 B) 1 000 000 C) – 1 000 000
D) – 999 999 E) 1 000 001
6. Sea P(x+1)=2x+6. Determine el valor reducido 
de M=P(2x – 1)+P(1 – 2x).
A) 15 B) 6 C) 8
D) 12 E) 20
NIVEL INTERMEDIO
7. Si el polinomio
 P n x x nx
n
n
( ) ( )= − − +
+
−
4 53
3 4
2 2
 es de menor grado posible, calcule el valor de 
P(1).
A) 9 B) – 7 C) – 3
D) 11 E) – 11
8. Si P(x)=5P(x+1),
 Calcule el valor de 
P P P
P P P
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 1 2
2 3 4
+ +
+ +
.
A) 4 B) – 5 C) 30
D) 25 E) 5
9. Dada la expresión irracional definida por
 
M x y xy x yx y( ; ) ;= + − > >2 0
 determine el valor de la siguiente expresión.
 J=M(9; 8)+ M(8; 7)+ M(7; 6)+ M(6; 5)+ M(5; 4)
A) – 2 B) 3 C) 1
D) 4 E) 5
10. Dada la expresión matemática
 
f
xx( )
=
+
1
1
 calcule el valor de
 
f f f f f f( ) ( ) ( )... ...1 2 10 1
1
1
2
1
10
+ + + + + + +











A) 
1
10
B) 100
C) 8
D) 10
E) 20
Álgebra
11
11. Sea P(x)=x
2 – mx+n; m ≠ n, un polinomio 
cuadrático, tal que P(n)=m. Evalúe P(m).
A) – 2 B) – 1 C) 0
D) 1 E) 2
12. Si se cumple que
 
F x F xx g x( ) ( )+ +( )= + ∧ = +1 12 1 5 1
 indique el valor de g(2).
A) 1 B) 5/2 C) 2/5
D) 4 E) 5
NIVEL AVANZADO
13. Sea el polinomio
 
P x x x x x x x xx
n
( ) ...= +( ) +( ) +( ) +( )2 6 2 12 3 20 4
 factores
� ��������� ����������
 calcule el grado de P(x).
A) 
n n( )+ 2
6
B) n(n+1)
C) n n( )+1
2
D) n n n( )( )+ +1 2
6
E) 
n n n( )( )+ +1 2
3
14. Sean a y b dos números reales no nulos; ade-
más, sea F(x)=a
x+bx, donde F(1)=1 y F(2)=2.
 Determine el valor de F(– 1).
A) 5 B) 3 C) – 1
D) – 2 E) 6
15. Si el grado del polinomio
 P(x)=3x
m+n+5x2m+n+14x3m+2n+x2+10
 es 20, donde {m; n} ⊂ Z+, calcule el valor de
 
30
20
1m n
+ −
A) 10 
B) 20 
C) 200
D) 1 
E) 10/3
16. Dado g x
x
gx x
x
( ) =
+
−




⋅ ++
−




1
1
31
1
 halle el valor de g 1
2




.
A) 
12
5
 B) 
5
12
 C) −
5
12
D) −
12
5
 E) 
1
2
17. Si P x
xx1
2
3
5−



=
+
−
 halle el equivalente de P
x+



1
2
.
A) 
x
x
2
3
2
5
+
−
 B) 
x
x
+
−
3
5
 C) x
x
−
−
3
5
D) 
3
5x +
 E) 
x
x
−
+
3
5
18. Sean f x x x
x x3 2
22 3 6+ +( ) = + +
 
f f f
x
g
g
x x x x
x
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
− +
+
=
−− +1 1
22
6
2
 
M xg x( )( ) = +2 3
 Calcule M(x).
A) 2 2x −
B) 2 4x −
C) 2 5x −
D) 2 1x −
E) 2 7x −
Álgebra
12
Anual UNI
01 - D
02 - B
03 - D
04 - D
05 - E
06 - D
07 - E
08 - B
09 - D
10 - B
11 - D
12 - D
13 - A
14 - C
15 - B
16 - B
17 - C
18 - B
19 - D
01 - E
02 - D
03 - C
04 - C
05 - E
06 - B
07 - D
08 - C
09 - C
10 - D
11 - A
12 - B
13 - B
14 - D
15 - E
16 - B
17 - D
18 - A
01 - a
02 - a
03 - d 18 - b
01 - e
02 - c
03 - b
04 - a
05 - d
06 - e
07 - e
08 - d
09 - c
10 - b
11 - c
12 - c
13 - d
14 - c
15 - c
16 - a
17 - c
18 - b
01 - e
02 - d
03 - e
04 - c
05 - d
06 - c
07 - d
08 - d
09 - c
10 - d
11 - b
12 - e
13 - e
14 - d
15 - c
16 - d
17 - e
18 - d
OperaciOnes básicas y pOtenciación
radicación en R
prOductOs nOtables i
prOductOs nOtables ii
pOlinOmiOs i
2
2015
• Aptitud Académica
• Matemática
• Ciencias Naturales
• Cultura General
Preguntas propuestas
Álgebra
2
Polinomios II
NIVEL BÁSICO
1. Si el siguiente polinomio no es mónico
 P(x)=(n – 11)x
14 – n+2nxn – 11+3
 determine el valor de n.
A) 13 B) 12 C) 2
D) A y B E) no existe
2. Dado el polinomio
 
P x x xx2 1
3
2011 2010 25 9 3 1 10−



= −( ) + −( ) + +( ) − ,
 determine la suma de coeficientes de P(x).
A) 1 B) 2009 C) 2010
D) 0 E) –1
3. Calcule el menor valorde k si en el polinomio
 P(x)=(3kx – k)
2+x2013 – 12x
 se cumple que la suma de coeficientes de P(x) 
excede a su término independiente en la unidad.
A) 2 B) – 2 C) 1
D) 10 E) 12
4. Si se cumple que
 2x2 – x+3 ≡ a0(x – 1)
2+a1(x – 1)+a2
 calcule el valor de a0+a1+a2.
A) 4 B) 9 C) 7
D) 12 E) 3
5. Si se cumple que
 (x+1)5+(x – 1)5 ≡ 2x5+ax3+10x+b
 calcule el valor de (a – 18)(b+3).
A) 8 B) 32 C) 1024
D) 729 E) 64
6. Relacione el polinomio del primer bloque con 
su respectiva característica que figura en el 
bloque posterior.
 I. Px( ) = −2 3
 II. Q(x)=3x
6 – 2x7+5x+x8
 III. M(x+1)=(x+1)(x+2)(x+3)
 IV. N(x)=(x – 3)
4+2
 a. es mónico.
 b. la suma de coeficientes es 6.
 c. es un polinomio constante.
 d. su término independiente es 83.
A) Id, IIc, IIIb, IVa
B) Ic, IIa, IIIb, IVd
C) Ic, IIa, IIId, IVb
D) Ia, IIc, IIIb, IVd
E) Id, IIb, IIIa, IVc
NIVEL INTERMEDIO
7. Si la suma de coeficientes y el término inde-
pendiente del polinomio
 P(x)=x
n+(x+2)n – (x – 1)n
 suman 13, calcule el valor de n.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
8. ¿Cuántos de los polinomios
 f1(x)=(x+1)
2 ; f2(x)=(x2+1)
3
 ;
 f3(x)=(x3+1)
4
 ; f4(x)=(x4+1)
5
 ; ...
 deberán multiplicarse a fin de que el grado del 
producto de ellos sea 440?
A) 20 B) 10 C) 16
D) 12 E) 14
9. Sea f(x)=n+1 un polinomio que verifica
 f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n)=20.
 Evalúe f(n)+f(n+1)+f(n+2).
A) 10 B) 15 C) 20
D) 3n+1 E) n+3
10. Sea P(x) un polinomio de segundo grado que 
carece de término independiente, tal que 
P(x) – P(x+1) ≡ x. Calcule la suma de coeficien-
tes de Q(x), si Q(x)=[P(x)]2.
A) 2 B) 1/4 C) 1/2
D) 0 E) –1
Álgebra
3
11. Si P(x) es un polinomio idénticamente nulo de-
finido por
 P(x)=(x
2+2x+3)(a – b)+(x2+2x+5)
 (b – c)+(x2+2x+11)(c – a)
 entonces, ¿qué se puede afirmar?
A) a=b=c B) 3c+b=4a C) a+2b=3c
D) b+c=2a E) 4b+3c=7a
12. El polinomio
 P(x)=(9x8 – 7)
n(2x2+3x3 – 1)
n – 2
(x9+3)
 tiene como grado 47. Determine el valor de la 
raíz quinta del coeficiente principal de P(x).
A) 3 B) 6 C) 9
D) 12 E) 27
NIVEL AVANZADO
13. Determine el polinomio constante que debe 
adicionarse al polinomio
 P
n
x x x x nx( ) = +( ) + +( ) + +( ) + + +( ) 
1
1 2 32 2 2 2...
 para que sea un cuadrado perfecto.
A) 
n n +( )1
2
B) 
n2 1
12
−
C) 
1
12
2− n
D) 
n n −( )1
12
E) 
n n n+( ) −( )1 2 1
12
14. Sean P(x+1)=ax
2 – x+b y Q(x – 1)=x
2 – bx+c dos 
polinomios, tales que ∀ x ∈ R: P(x)=Q(x). Cal-
cule el producto abc.
A) 11 B) 5 C) 10
D) 55 E) 44
15. Dado el polinomio mónico y cúbico P(x) tal que 
P(1)=2013; P(2)=2013; P(3)=2013, determine el 
término independiente de P(x).
A) 2013 B) 0 C) 49
D) 2009 E) 2007
16. Dado el polinomio lineal f(x)=ax+b;
 {a; b} ⊂ Q – {0} ∧ a > 0, tales que
 I. f(a+b)=ab
 II. f
a
ba b−( )
= −
 III. f(ab2)=c
 Determine el valor de a2 · b2+c2.
A) 5 B) 2 C) 1
D) 8 E) 10
17. Si el polinomio
 N(x)=(a
3+b – c+9)xa
3+1+(c – b – 10)xa
3
; a ≠ 1
 es idénticamente nulo, calcule el valor de
 a
a
4
4
1
+



.
A) 1 B) 2 C) – 1
D) – 2 E) 3
18. Sabiendo que xa
2 – bc; xb
2 – ac; xc
2 – ab y 1 son los 
términos 1.º, 7.º, 13.º y último, respectivamen-
te, de un polinomio P(x) completo y ordenado 
en forma decreciente; calcule el valor de
 a b c
b c a c
+ +( )
−
+
−{ }−1 1 2 .
A) 1/2 B) 1/3 C) 2
D) 4 E) 1/6
Álgebra
4
División algebraica
NIVEL BÁSICO
1. Efectúe la siguiente división
 10 3 17 5
2 3 2
5 4 3 2
3 2
x x x x
x x x
+ − − −
+ − −
 y determine la suma del cociente con el residuo.
A) – x2 – 3x+4
B) x2 – 15x+4
C) – x2 – 15x – 4
D) – x2 – 15x+4
E) x2+6x – 13
2. Determine el residuo de la siguiente división
 
x
x x
4
2
4
2 2
+
− +
A) x+1 
B) x – 1 
C) 2x – 1
D) 2x+1 
E) 0
3. Si la división exacta
 
Ax A x A x A
Bx C
3 2
2
1 2 3+ −( ) + −( ) + −
+
 genera un cociente q(x)=x – 1. Determine el va-
lor de A2.
A) 3/2 B) 1/2 C) – 3/2
D) 4/9 E) 9/4
4. Respecto a la siguiente división
 (15x5+25x4 – 18x3 – 18x2+17x – 11) ÷ (3x+5)
 ¿qué se puede afirmar?
A) El residuo no es constante.
B) La suma de coeficientes del cociente es 6.
C) Es una división exacta.
D) q(x)=5x
4 – 6x2+4x – 3 es el cociente.
E) El cociente carece de término cúbico.
5. Al dividir 
P
x
x( )
− 2
, se obtiene como cociente
 q(x)=x
2+ax+2, resto r(x)= – 5;
 además, P(1)= – 11. Indique la alternativa co-
rrecta.
A) P(0)= – 5
B) P(x)=x
3+x2 – 4x+9
C) P(x)=x
3 – 9
D) P(x)=x
3+x2 – 4x – 9
E) P(2)=0
6. Determine el resto de
 x x
x x
−( ) + −( ) +
−( ) −( )
4 5 7
4 5
7 5
A) 2x+2
B) – 2x+2
C) 3x – 5
D) 5x – 3
E) 2x – 2
NIVEL INTERMEDIO
7. Si x bx cx
ax x
n n n
n
+ + −
+
+ +
+ −
2 2 1 3 2
1 2
, a ≠ 0, genera un co-
ciente de grado 7, calcule el grado del dividen-
do aumentado en n.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 18
8. Si el cociente de la división
 
x x x
x x
15 13
2
1
1
+ + +
− −
 tiene la forma q(x)=a0x
13+a1x
12+a2x
11+...+a13, 
 halle el valor de 
a a
a a
3 2
0 1
+
+
.
A) 9 B) 7 C) 7/2
D) 11/2 E) 10
Álgebra
5
9. Si la división algebraica
 
x x x x
x
n n n+ + + + +
−
− −1 2 1
1
...
 genera un cociente q(x), tal que q(1)=210, de-
termine el valor de n.
A) 10
B) 19 
C) 15
D) 20 
E) 210
10. Determine el término central del polinomio 
P(x)=nx+(n – 1)x
2+(n – 2)x3+...+2xn – 1+xn, si 
se sabe que el resto que resulta de dividir 
P
x
x( )
−1
 
es 153.
A) 11x7 
B) 10x8 
C) 9x9
D) 8x10 
E) 7x11
11. Al dividir (3x40 – mx+2) entre (x – 1) se obtie-
ne un cociente cuyos coeficientes suman 115. 
Calcule el valor de m.
A) 120 
B) 2 
C) 10
D) 3 
E) 5
12. Calcule el resto de la siguiente división.
 
x x x x x
x x
+( ) − +( ) +( ) +( )
+ +
2 1 3 4
4 3
2
2
A) 1 
B) – 2x+1 
C) x+21
D) 3x – 2 
E) 2x
NIVEL AVANZADO
13. Al efectuar la división
 
3 4 2 2 2
3 2
4 3 2
2
ax dx cx x
x x a
− − + +
+ −
 se obtiene un cociente cuya suma de co-
eficientes es igual a 30 y un resto idéntico a 
(5ax+a+2), a ≠ 0.
 Determine el valor de 
a
q a1( ) −
; donde q(x) es el 
cociente.
A) 1 B) 4 – 1 C) – 1
D) – 4 – 1 E) 4
14. El polinomio P(x)=ax
5 – bx4+cx3 – 7x2+3x+2 
 es divisible por (2x2 – 3x+2). Además, se sabe 
que la suma de coeficientes del cociente es 7. 
Calcule el valor de (a+bc).
A) 112 
B) – 105 
C) 111
D) 114 
E) – 121
15. Dado el esquema de Horner de una división 
algebraica
 
** * *
3 * *
1a
* * * 28
**
a *
4
*
b
*
*
 calcule el mayor valor de a2+b2.
A) 1/9 B) 27/9 C) 82/9
D) 1/81 E) 2
Álgebra
6
16. Sea P x x
xx( )
=
− +
−
6 52 3
2
, si M={x ∈ Z/P(x) ∈ Z}
 Indique la alternativa correcta respecto al con-
junto M.
A) M ⊂ {1; 3}
B) {3; 1; 5; 0; – 1} ⊂ M
C) M={x/x2+2013=0}
D) M={ – 1; 1; 3; 5}
E) M ⊂ {1; 2; 3; 4; 5}
17. El cociente y residuo de la división
 
1 1
2 2
3 1
2
51
2
37
b
x
a
x x
x




+ 



+ −
−
 son (c0x
50+c1x
49+c2x
48+...+c49x+c50) y – 5,
 respectivamente, donde c
a b
a bi
i
= + ∧ ∈
=
∑ 2 1
0
50
R.
 Calcule el valor de a+b.
A) 2/3 B) 3/4 C) 3/2
D) – 1/2 E) 5
18. Luego de dividir el polinomio (x2013 – 1) entre 
el polinomio (x2+1)(x2+x+1) se obtiene de 
residuo r(x). Determine el valor de r(4).
A) 77 B) 105 C) – 65
D) 41 E) – 32
Álgebra
7
Cocientes notables
NIVEL BÁSICO
1. Calcule el residuo cuando 
 6x1000 – 17x562+12x+26 se divide entre x+1.
A) 7 B) 6 C) 5
D) 4 E) 3
2. Sea P(x)=x
3+5
 si R1(x) es el resto en 
P
x
x( )
−1
 R2(x) es el resto en 
P
x
x( )
− 2
 R3(x) es el resto en 
P
x
x( )
− 3
 halle el valor de Q(x)=R1(x)+R2(x)+R3(x).
A) 50 B) 27 C) 105
D) 51 E) 55
3. Si el residuo de la división
 
2 3 4 1
1
17 14 2
2
x x x
x
+ + −
+
 es de la forma R(x)=mx+n,
 determine el valor de R(m – n).
A) 0 B) 12 C) 1
D) 15 E) 14
4. La división x
x
n
n
9 1
1
−
−
 genera un cociente notable 
 cuyo término central es x36. Calcule el valor de 
n + 7.
A) 25 B) 16 C) 4
D) 5 E)1
5. Calcule el término 25 en el desarrollo del CN.
 
a b
a b
150 100
3 2
−
+
A) a75b48 B) a25b24 C) a75b56
D) – a75b48 E) – a75b56
6. Si 
x y
x y
n
m
+
+
18
2 genera un cociente notable, 
 {n; m} ⊂ Z+, ¿cuántos valores puede tomar 
m+n?
A) 6 B) 4 C) 18
D) 3 E) 5
NIVEL INTERMEDIO
7. Si R(x) es el resto de la división
 
x b a x b ab x ab
x a
3 2 2 2 8+ −( ) + −( ) − +
−
 calcule
 R R R R R R1 2 1
2
3 1
3
1
10
( ) ( ) 



( ) 







+ + + + + +... .
A) 80 B) 88 C) 110
D) 220 E) 152
8. Halle el resto en la siguiente división.
 
3 5 6 4 3
1
10 4 3
2
x x x x
x x
+ + + −
− +
A) R(x)=4x+9 B) R(x)=4x – 9 C) R(0)=9
D) R(x)= – 4x – 9 E) R(1)=13
9. Dado el cociente notable 
x y
x y
8 8+
+
;
 halle 
T
T
T
T
T
T
1
3
3
5
5
7
+ + , donde Tk indica el término 
 de lugar k.
A) 3x2 B) 3y2 C) 3x2y2
D) 
x
y
2
2 E) 3
2
2
x
y
10. Determine el término independiente del desa-
rrollo del siguiente cociente notable.
 Q
x
xx( )
=
+( ) −2 2100 100
A) 100 B) 200×290 C) 100×299
D) 2009 E) 1000
Álgebra
8
11. Si uno de los términos del desarrollo del co-
ciente notable
 
x a
x a
m m+
+
−3 15
2 es x
10a2n, calcule el valor de n.
A) 2 B) 6 C) 8
D) 1 E) 4
12. En el cociente notable a b
a b
105 63
5 3
−
−
;
 el grado del término que ocupa el lugar k supe-
ra en 8 al grado del término de lugar k contan-
do desde el final. Calcule el valor de k.
A) 3 B) 5 C) 6
D) 9 E) 10
NIVEL AVANZADO
13. Al dividir el polinomio
 P(x)=x
n+xn – 1 – 8xn – 4+n – p entre d(x)=x – 2 se 
obtiene como cociente a un polinomio de gra-
do menor o igual a 7 y, como resto, a un polino-
mio nulo. Halle el valor de p, donde p es primo.
A) 137 B) 23 C) 71
D) 37 E) 51
14. Sea Q x
xx( )
=
−
−
10 1024
2
, halle aproximadamente 
 el valor de Q 2
1
102013
+



.
A) 29 B) 210 C) 5 · 210
D) 10 · 28 E) 220
15. Si a=f(x), tal que
 
a
a
x x x x x x
n+ −
−
≡( )+ +( )+ + +( )+
1
2 3 21
1
2 3 3 ...
20 sumandos
� ������� �������� +21
 indique la alternativa correcta.
A) a=21 B) n=21 C) a=x+1
D) a=x+21 E) a=21x
16. La expresión 
x x y y
x y
8 2 2 8
2 2 1
( ) +
+
−
 genera un cociente notable. Si Tk(x; y)=x
ny – n 
es un término de este cociente notable, halle 
Tk(x; y).
A) x6y – 6 B) x – 5y5 C) x4y – 4
D) xy – 1 E) x – 3y3
17. Reduzca la siguiente expresión.
 F
x x x
x x x
x
x x
=
+ + + +
+ + + +
⋅
−
− +
69 66 63
21 18 15
12
24 12
1
1
1
1
...
...
A) x24 – 1 B) x36 – 1 C) x24+1
D) x72 – 1 E) 1
18. Determine el valor reducido de
 S
n
= + + + + +8 88 888 8888 888 8... ...
 sumandos
� ������� �������
A) 
1
5
10 9 181n n− − −( )
B) 
1
5
10 10 19n n− −( )
C) 
8
81
10 9 101n n+ − −( )
D) 
8
9
10 9 191n n− − −( )
E) 
8
3
10 9 181n n+ − +( )
Álgebra
9
Factorización sobre Z
NIVEL BÁSICO
19. Si J(x)=x
2+x+1 es un factor algebraico de 
P(x)=x
4+mx2+n; indique el valor de m+n.
A) 6 B) 5 C) 4
D) 3 E) 2
20. Si F(x)=x
2+x es un factor algebraico del poli-
nomio P(x)=ax
4 – bx3 – cx – 3, entonces deter-
mine el valor numérico de a+b+c.
A) 3 B) 4 C) 5
D) 2 E) 6
21. Indique el número de factores lineales que 
presenta el siguiente polinomio.
 M(x; y)= x
8y+3x7y+2x6y+6x5y
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
22. Factorice el siguiente polinomio.
 M(a; x)=(a+b)
2+2(a+b)(a – b)+(a – b)2 – x2
 Indique la suma de factores primos.
A) 3a B) 4a C) 5ax
D) ax E) 2x
23. Determine la suma de los factores primos de
 P(x; y)=(1+xy)
2 – (x+y)2.
A) 2(x+y) B) x+y+1 C) 2x+2y – 1
D) x+y+2 E) x+y
24. Factorice
 P(x; n)=(x+y)(x – y)+(y+z)(y – z)+
 +(z+m)(z – m)+(m+n)(m – n)
 e indique el número de factores primos.
A) 3 B) 4 C) 5
D) 2 E) 8
NIVEL INTERMEDIO
25. Si S(a; b) representa la suma de los factores 
primos que presenta el polinomio
 P(a; b)=ab(a
2 – 6a – b2+9)(a2 – 169);
 Determine S(a; b).
A) S(a; b)=ab+4a – 6
B) S(a; b)=ab+3a – 7
C) S(a; b)=5a+b
D) S(a; b)=4a+b – 1
E) S(a; b)=5a+b – 6
26. Al factorizar el polinomio mediante el criterio 
de aspa simple se obtuvo
 
P(x)=4 x
a
 – (k+p)x2+4
mx2
nx2
– n
– m
 siendo m, n, k, p ∈ R+ m ≠ n. Determine un 
factor primo de P(x).
A) x+2 
B) 2x+3 
C) 2x+2
D) x – 1 
E) x2+2
27. Sean F(x; y) y g(x; y) los factores primos cuadrá-
ticos del polinomio
 P(x; y)=(a
2 – b2)x2+4abxy – (a2 – b2)y2.
 Determine el equivalente de F(x; y)+g(x; y).
A) F(x; y)+g(x; y)=2ax+2by
B) F(x; y)+g(x; y)=2ax – 2by
C) F(x; y)+g(x; y)=2bx+2ay
D) F(x; y)+g(x; y)=2bx – 2ay
E) F(x; y)+g(x; y)=2abx+2y
28. Indique el número de factores primos de
 P(x)=(x
2+5x)2 – 4+x(15+3x).
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
Álgebra
10
29. Indique un factor cuadrático irreductible del 
siguiente polinomio de cuarto grado.
 M(x)=x
4+108+9x2+x3
A) x2+9x+12
B) x2 – 9x+81
C) x2+x+9
D) x2 – 3x+9
E) x2+4x+10
30. Determine el factor primo g(x) de mayor grado 
que presenta el siguiente polinomio.
 f(x)=x
4+3x3 – 5x2 – 13x+6
A) g(x)=x
2+4x+1
B) g(x)=x
2 – 3x+1
C) g(x)=x
2+2x – 1
D) g(x)=x
2+x – 6
E) g(x)=x
2+2x+3
NIVEL AVANZADO
31. Indique el número de factores primos que pre-
senta el siguiente polinomio.
 P(a; b; c)=2[(a+b)2+c2]+4c(a+b) – 5(a+b+c)+2
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
32. Los trinomios (2x2+ax+6) y (2x2+bx+3) ad-
miten un factor en común de la forma (2x+c). 
Calcule el valor de (a – b)c.
A) – 3 B) 2 C) 6
D) – 2 E) 3
UNI 1996 - II
33. Considere el siguiente polinomio.
 P(x; y)=2x
2+7xy+6y2 – 5x – 8y+2
 además, P(a; b)=11; {a; b} ⊂ Z.
 Halle el máximo valor de a+b.
A) – 11 B) 9 C) – 9
D) 12 E) 11
34. ¿Cuántos de los siguientes polinomios son pri-
mos sobre Z?
 I. P(x)=x
2 – 6x+24
 II. Q(x)=x
4+4
 III. R(x)=x
4+x2+1
 IV. L(x)=x
4+1
A) 1 
B) 2 
C) 3
D) 4 
E) ninguno
35. Si n es el número de factores primos de 
P(n)=x(x+1)
2(x+2) – 12, indique el número 
que no es divisible entre n.
A) 72 B) 26 C) 30
D) 126 E) 6
36. Luego de factorizar el siguiente polinomio
 (x – 5)(x – 7)(x+6)(x+4) – 504;
 indique uno de los factores primos.
A) x – 5 B) x+7 C) x+6
D) x+3 E) x – 2
Álgebra
11
Factorización sobre Q
NIVEL BÁSICO
1. Si 2 es raíz del polinomio P(x)=x
3 – 5x+a, en-
tonces determine el factor primo de mayor tér-
mino independiente.
A) F(x)=x – 2
B) F(x)=x – 4
C) F(x)=x
2 – 2
D) F(x)=x
2 – 2x – 1
E) F(x)=x
2+2x – 1
2. Dado el siguiente polinomio.
 P(x)=2x
3+4x2+nx+6; n ∈ Z
 ¿Qué alternativa no pertenece al conjunto de 
las posibles raíces racionales de P(x)?
A) 2 B) 1/3 C) 3/2
D) – 6 E) 3
3. Factorice e indique uno de los factores primos 
del siguiente polinomio.
 P(x)=2x
3 – 3x2 – 4.
A) F(x)=x+2
B) F(x)=x+4
C) F(x)=2x
2 – 1
D) F(x)=2x
2 – 2x – 1
E) F(x)=2x
2+x+2
4. Factorice el siguiente polinomio.
 P(x)=2x
3+7x2+7x+2
 Indique como respuesta la suma de los facto-
res primos.
A) 4(x+1) B) 2(x+1) C) 3(x+1)
D) 3x+4 E) 4x+3
5. Determine un factor primo del siguiente poli-
nomio.
 Q(x)=12x
3 – 8x2 – x+1
A) x – 1 B) 2x+1 C) 3x+10
D) 2x – 1 E) 3x – 1
6. Si n representa el número de factores primos 
que posee el siguiente polinomio
 Q(x)=2x
5+x4 – 10x3 – 5x2+8x+4
 Entonces, determine el valor de 1+2+3+...+2n.
A) 55 
B) 66 
C) 36
D) 10 
E) 24
NIVEL INTERMEDIO
7. De los siguientes polinomios, ¿cuántos son pri-
mos sobre Q?
 I. A(x)=x
3+x – 1
 II. B(x)=x
3+2x – 2
 III. C(x)=2x
3+x2+1
 IV. D(x)=3x
3+2x2 – 6x+1
A) 1 
B) 2 
C) 3
D) 5 
E) ninguno
8. Señale la secuencia correcta de verdad (V) o 
falsedad (F) de las siguientes afirmaciones.
 I. El polinomio P(x)=6x
2 – 7x – 24 es primo.
 II. Si b2 – 4ac es un cuadro perfecto, entonces 
el polinomio P(x)=ax
2+bx+c no es primo.
 III. El polinomio P(x)=x
3+x+1 es primo.
 IV. El polinomio P(x)=x
4 – 2x3+x2 – x – 2 es primo.
A) FVVF 
B) VFVV 
C) VVFV
D) FVVV 
E) VVVF
9. Si f(x) es la suma de los factores primos linea-
les del polinomio P(x)=6x
4 – 5x3 – 7x2+5x+1, 
calculef(2).
A) 6 B) 17 C) 8
D) 9 E) 10
Álgebra
12
10. Luego de factorizar el polinomio
 L(x)=x
4 – 3x3+2x2 – 5x – 3; señale la secuencia 
correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las 
siguientes afirmaciones.
 I. L(x) tiene cuatro factores primos.
 II. L(x) tiene un factor cuadrático.
 III. L(x) solo tiene dos factores primos.
A) VFV B) FVV C) VVF
D) FVF E) FFV
11. Factorice el siguiente polinomio.
 P(x)=x
5+x4+1
 Dé como respuesta el factor primo de mayor 
grado.
A) x2 – x+1
B) x2+x+1
C) x3 – x+1
D) x3+2x – 1
E) x3+x – 1
12. De la siguiente identidad
 x5+x+1 ≡ (x3+ax2+bx+c)(x2+mx+n);
 donde a, b, c, m y n ∈ Z;
 calcule el valor de abc+mn.
A) 2 B) – 1 C) – 2
D) 0 E) 1
NIVEL AVANZADO
13. Respecto al siguiente polinomio.
 P(x)=x
4+x2 – 2x+1
 Indique las proposiciones que son verdaderas.
 I. Tiene cuatro factores primos.
 II. Tiene dos factores primos cuadráticos.
 III. Es un polinomio primo sobre Q.
 IV. Acepta un factor lineal.
A) I y IV B) solo II C) solo III
D) I y II E) ninguna
14. Factorice el siguiente polinomio.
 M(x)=x
5+2x3+2x2+4
 Dé como respuesta la cantidad de factores 
primos sobre Q.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
15. Calcule la suma de coeficientes del factor pri-
mo cuadrático del siguiente polinomio.
 T(x)=32(x+1)
5+2x+3
A) 12 B) 18 C) 15
D) 21 E) 24
16. Determine la suma de los factores primos del 
siguiente polinomio.
 P(x)=x
6 – 2x3+2x – 1
A) x3 – x – 2 B) x4+x – 4 C) x4+x2 – 2
D) x4+x2 +1 E) 2x3+2x – 1
17. Indique el número de factores primos sobre Q 
del siguiente polinomio.
 P(x)=x
7+x2+1
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
18. Señale un factor primo del siguiente polinomio.
 M(x)=(2x+1)
7+4x(x+1)+2
A) 4x2+7x+3
B) 4x2+6x+3
C) 4x2+4x+1
D) 4x2+2x+1
E) 4x2 – 2x+1
Anual UNI
Polinomios ii
01 - A
02 - A
03 - B
04 - B
05 - A
06 - B
07 - B
08 - B
09 - B
10 - D
11 - B
12 - C
13 - C
14 - D
15 - E
16 - C
17 - C
18 - B
01 - d
02 - e
03 - e
04 - e
05 - d
06 - e
07 - e
08 - c
09 - d
10 - c
11 - e
12 - a
13 - e
14 - d
15 - c
16 - d
17 - c
18 - b
01 - e
02 - d
03 - b 18 - c
01 - e
02 - a
03 - b
04 - b
05 - a
06 - d
07 - e
08 - a
09 - a
10 - c
11 - d
12 - c
13 - b
14 - c
15 - b
16 - b
17 - b
18 - b
01 - e
02 - b
03 - e
04 - a
05 - d
06 - a
07 - b
08 - a
09 - b
10 - e
11 - c
12 - e
13 - c
14 - b
15 - d
16 - d
17 - a
18 - b
División algebraica
cocientes notables
Factorización sobre Z
Factorización sobre Q
3
2015
• Aptitud Académica
• Matemática
• Ciencias Naturales
• Cultura General
Preguntas propuestas
Álgebra
2
Números complejos
NIVEL BÁSICO
1. Si i39=ai ∧ (2i)– 3=bi, donde {a; b} ⊂ R, deter-
mine el valor de 
a
b
2
2
..
A) 1/64 B) 64 C) 32
D) 1/8 E) 4
2. Sea A=i+i2+i3+i4+...+i ab.
 Halle mín(ab)+máx(ab), tal que A=0.
A) 96 B) 108 C) 12
D) 100 E) 112
3. Determine el equivalente reducido de M.
 
M
i
i
i
i
=
+
−
+
−
+






1
1
1
1
5
5
5
5
2
A) 2i B) 5i C) 0
D) 2 E) 4
4. Determine el valor de n si se sabe que
 z
n i
i
=
+ +( )
+
3 1
2 5
 es un complejo real. Considere 
que n ∈ R.
A) 8,3 B) 8,5 C) 2,5
D) 6,5 E) 5,2
5. Determine el valor de b si se sabe que
 z
i
bi
=
+
+
3 4
1
 es un imaginario puro. Considere 
que b ∈ R.
A) 1/2 B) 2/3 C) 3/2
D) 1/4 E) – 3/4
6. Calcule el módulo del complejo z si se sabe 
que 
1
2 3
1 1
+( )
+
= +
i z
i
icos º sen º .
A) 6 B) 
13
2
 C) 12
D) 
13
2
 E) 6
NIVEL INTERMEDIO
7. Dado w=(2+i)2+(1+3i)(1– 3i) – 8i, halle el va-
lor de |w|+|w|+|w*|+|– w|.
A) 2 34 B) 34 C) 2 136
D) 4 185 E) 8 17
8. Halle la suma A de números complejos.
 A=(1+i)+(2+i2)+(3+i3)+...+(4n+i4n)
A) n(2n+1) B) 2n(4n+1) C) 0
D) n(4n+1) E) 2n(4n –1)
9. Dados z=a2+6i, w=9+(b2+a)i, i = −1 y z=w, 
indique la alternativa incorrecta.
A) z=9+6i
B) a+b=0 para algunos a ∧ b
C) ab = 9 3
D) ab ab= ± ∨ = ±3 3 9
E) 
a
b
= −1 para algunos a ∧ b
10. Sean P(x)=x
2 – 4x+13 ∧ z=2 – 3i, indique la se-
cuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) 
según corresponda.
 I. P
z( ) = 0
 II. P(z+2)=4 –12i
 III. P(z*)=0
 IV. P(z)=0
A) FVFV B) FFVV C) VVVV
D) VVFF E) VVFV
11. Determine la parte real de z15 si z=1+i.
A) –128 B) 128 C) 0
D) 1 E) 64
Álgebra
3
12. Si z=x+yi; x, y ∈ R ∧ i = −1, tal que 1
1
1
−
+
=
z
z
; 
entonces podemos afirmar que
 I. z es un número real.
 II. z es un número primo.
 III. z es un complejo nulo.
 IV. z es un imaginario puro.
A) solo IV B) solo III C) I y II
D) II y III E) III y IV
NIVEL AVANZADO
13. Se define f(k; x)=x+x
2+x3+...+xk+1. Halle el 
conjugado de (f(4; i)+f(9; i)).
A) –1+2i B) 1+2i C) –1– 2i
D) 2– i E) – 2– i
14. Sea el complejo
 
z
i
i
i
i
i
i
i=
−
−
+
−
−
−
−
−
= −
9 3
1 2
20 4
2 3
35 5
3 4
1; ,
 determine el valor de Re(z4)
A) –16 B) – 32 C) – 64
D) 32 E) 64
15. Si Re(z1 · z2)=–1, además, 
 k z z z z i= +( )1 2 1 2· · ,
 determine el valor de (k+i).
A) 5 B) 3 C) 2
D) 2 E) 1
16. Determine el módulo del complejo w.
 
w
i i
i i
=
+( ) −
−( ) +( )
3 5 1
26 2 2 2 2
5 7 2
4 7 7
A) 27 B) 17 C) 14
D) 29 E) 2 47
17. Si
 
z
i
i
i
i
i
=
+
−
+
−
+
−
+
−
1
1
1
1
1
1
1
1
 determine el valor de z2013.
A) 1 B) –1 C) i
D) – i E) 1+i
18. Determine el valor de n si se sabe que el mó-
dulo del complejo z es igual a n 530 .
 
z k k ik
k
n
= + −( ) +( ) 
=
∑ 1 1
1
2
A) 10 B) 11 C) 12
D) 13 E) 14
Álgebra
4
Ecuaciones polinomiales
NIVEL BÁSICO
1. Si b es una solución de la ecuación x2+7x – 5=0, 
determine el valor de k.
 
k =
+
+
β β
β
2 17
1 2
A) 5 B) –1 C) 0
D) 1 E) 10
2. Determine los valores reales de n, de modo 
que la siguiente ecuación paramétrica de in-
cógnita x sea compatible determinada.
 (2n –1)(n – 3)x=(n – 5)(n – 3)
A) n ∈ R – {3; 5}
B) n ∈ R – {3}
C) n ∈ R – {5}
D) n∈ −{ }R 12 3;
E) n∈ −{ }R 12
3. Calcule el valor de mn si se sabe que la si-
guiente ecuación paramétrica de incógnita x 
tiene infinitas soluciones.
 (m+n+100)x=2m – 40 – 2n
A) 2400 B) 1000 C) 600
D) –1200 E) – 2400
4. Determine el valor de λ para que la siguiente 
ecuación paramétrica de variable x sea incom-
patible.
 (λ2 –1)x=(λ2 – 2λ – 3)
A) 1 B) –1 C) 3
D) – 3 E) 2
5. Resuelva la siguiente ecuación polinomial.
 (x2 – x+1)(x+1) – (x2+x+1)(x –1)=2(x – 2)
A) {6} B) 
2
7
1
5
;{ } C) {3}
D) 1
5
3
4
; −{ } E) {0}
6. En la ecuación lineal (5a+10)x2+3ax+48=6x, 
calcule el valor de (a+x).
A) 2 B) – 2 C) 1
D) –1 E) 0
NIVEL INTERMEDIO
7. Si x0 es una solución de la ecuación
 x3 – 3x2+3x+3=0, determine el valor de M.
 M=(x0 –1)
6 – 2
A) 12 B) 14 C) 16
D) − +4 13 E) 2 13 +
8. Si la siguiente ecuación de incógnita x es inde-
terminada, halle el menor valor de m – n.
 (m+n)x+6=5x+mn ∧ {m; n} ⊂ Z+
A) 0 B) –1 C) 1
D) – 2 E) – 3
9. Dada la siguiente ecuación paramétrica de 
incógnita x. 
 (9n2 –1)x=(3n+1)(n+2)
 Determine el valor de (12n+1) si se sabe que 
el conjunto solución de la ecuación es el vacío.
A) 4 B) 5 C) 3
D) 13 E) 14
10. Respecto a la ecuación paramétrica de varia-
ble x: (a2 – 4)x=(9 – b2), indique la secuencia 
correcta de verdad (V) o falsedad (F) según 
corresponda.
 I. Si a=2 ∧ b=3 → es compatible indetermi-
nada.
 II. Si a=0 → b=– 3 es inconsistente
 III. Si a=2 ∧ b ≠ 3 → es indeterminada.
A) FVV B) VFV C) FFV
D) VVV E) VFF
Álgebra
5
11. Resuelva la siguiente ecuación.
 (x –10)+(2x – 9)+(3x – 8)+...+(10x –1)=
2+4+6+...+20
A) 2 B) {2} C) 3
D) {3} E) {5}
12. Dada la ecuación polinomial
 (x2 – 3x+2)(x2 – 5x+6)(x2 – 7x+12)...
(x2 –19x+90)=0
 si m es la suma de raíces y n representa la 
suma de soluciones, calcule el valor de m2 – n2.
A) 4554 B) 6776 C) 5225
D) 5335 E) 5445
NIVEL AVANZADO
13. Determine un valor del parámetro λ para que 
la siguiente ecuación de incógnita x sea deter-
minada, indeterminada e incompatible, res-
pectivamente.(λ2 – 5λ+6)x=λ2 – 4λ+3
A) 1; 2; 3 B) 5; 2; 3 C) 3; 2; 1
D) 2; 3; 1 E) 5; 3; 2
14. Sea la ecuación lineal de variable x.
 (x –1)(n2+n)=2 – x, donde x ∈ Z ∧ n ∈ Z.
 Determine el mayor valor de x+n.
A) 5 B) 4 C) 1
D) 2 E) 3
15. Si x0 es la solución de la ecuación lineal en x.
 
x a b
c
x b c
a
x c a
b
− −
+
− −
+
− −
= 3,
 donde {a; b; c} ⊂ R+. Calcule el valor de 
 
x a b
c
0 − − .
A) 2 B) – a – b – c C) –1
D) 1 E) – 2
16. Determine el valor de la solución de la siguien-
te ecuación lineal.
 (x2 – x – 3)2+(x2+x+3)2=2x2(x2+1)
A) 4/5 B) – 3/2 C) – 3/7
D) 2/9 E) – 3/4
17. Si la ecuación polinomial tiene 9 raíces
 (x – q)2(x – 2)m(x – m)q=0
 y la suma de sus raíces es 26, halle el valor de 
q2+m2.
A) 8 B) 25 C) 9
D) 10 E) 12
18. Resuelva la siguiente ecuación lineal de in-
cógnita x.
 
ix i
i i ii
− +( )
+( ) +( )
=
=
∑ 22 1
103
2022
100
A) CS = { }12 B) CS = { }99102 C) CS = { }10399
D) CS = { }3411 E) CS = { }32
Álgebra
6
Ecuaciones cuadráticas
NIVEL BÁSICO
1. Resuelva la siguiente ecuación.
 (x – 2)2+(x+1)2=(x –1)2+x+3
A) CS =
+ −





1 2
2
1 2
2
i i
;
B) CS =
+ −





1 3
3
1 3
3
i i
;
C) CS =
+ −





1 3
2
1 3
2
;
D) CS = −
+
−
−





1 3
2
1 3
2
i i
;
E) CS =
+ −





1 3
2
1 3
2
i i
;
2. Determine el valor de la suma de los inversos 
de las raíces de la ecuación 2x2 – 3x+4=0.
A) – 3/4 B) 4/3 C) 3/4
D) – 4/3 E) 0
3. Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación 
x2 – x – 2=0, determine el valor de T.
 
T
x
x
x
x
= +1
2
2
1
A) – 3,6 B) – 3,5 C) – 6,5
D) – 2,5 E) 2,6
4. Si las ecuaciones cuadráticas
 
m n x m n x n
x x
−( ) + +( ) + − =
+ − =




2
2
41 0
6 7 20 0
 tienen las mismas raíces, determine el valor 
de m/n.
A) –1/3 B) 13 C) 14
D) –14 E) 1/13
5. Dado el trinomio
 f(x)=(r+3)x
2 – 2(r+3)x+(r2+1),
 indique la secuencia correcta de verdad (V) o 
falsedad (F) respecto a las siguientes proposi-
ciones.
 I. f(x) tiene raíces simétricas ↔ r=– 3
 II. f(x) tiene raíces recíprocas ↔ r=2 ∨ r=–1
 III. La suma de raíces de f(x) es 2; ∀ r ∈ R.
A) VVV B) VFV C) FVV
D) FVF E) FFF
6. Sea la ecuación x2+bx+c=0, indique la rela-
ción que cumplen b y c para que sus raíces se 
diferencien en 5c.
A) b2=c B) b+1=x C) b=9c
D) b2=9c E) c2=3b
NIVEL INTERMEDIO
7. Las dimensiones exteriores de un marco de 
fotografía son 12 por 15 cm. Si se sabe que su 
ancho permanece constante, halle el ancho 
del marco, tomando en cuenta que el área de 
la fotografía es de 88 cm2.
A) 11 cm B) 2,5 cm C) 2 cm
D) 4 cm E) 3,5 cm
8. Si x1 ∧ x2 son las raíces de la ecuación cuadrá-
tica 234x2+233x+232=0, determine el equiva-
lente reducido de M.
 M x x x x x x= +( ) + +( ) + +( )234 233 23215 25 14 24 13 23
A) 2 B) – 2 C) 3
D) 0 E) – 3
9. Calcule el valor de 2m – 3 si se conoce que 
las ecuaciones cuadráticas 3mx2+x – 2=0 y 
45x2+(3m – 2)x – 2=0 tienen una raíz en común 
y la raíz restante de la segunda ecuación es el 
cuadrado de la raíz restante de la primera. 
 Considere m ∈ Z.
A) 17 B) 5 C) 7
D) 9 E) 19
Álgebra
7
10. ¿Qué cantidad es necesaria aumentar a las raí-
ces de la ecuación?
 
a
b
b
a
x a b x
a
b
b
a
−




 + +( ) + + =2 2 1
 para que las cantidades resultantes sean igua-
les en magnitud pero de signos opuestos.
A) 
a b
ab
−
 B) 
ab
a b−
 C) 
a b
ab
+
D) 
ab
a b+
 E) 
b a
ab
−
11. Dada la ecuación cuadrática en x
 2x2+2(a+1)x+(a2 –1)=0 si la ecuación tiene 2 
raíces iguales, determine dicha raíz.
 Considere a > 0.
A) 3 B) – 2 C) –1
D) 4 E) 2
12. Si las ecuaciones polinomiales de incógnita x
 
x x k
x
k
x
m
2 2 0
3
3
5
+ + =
+
− =





 son equivalentes, determine el valor de m.
A) −
1
4
 B) 
3
5
 C) −
5
4
D) 
7
20
 E) −
7
20
NIVEL AVANZADO
13. En la ecuación cuadrática 
 2ax2+(3a –1)x+(a+b)=0, 
 calcule un valor de b para que exista un solo 
valor de a que permita que las raíces de dicha 
ecuación sean iguales
A) –1/2 B) 1/2 C) – 2
D) 2 E) 1/4
14. Dadas las ecuaciones cuadráticas
 2!x2 – 0!x+1!=0
 3!x2 –1!x+2!=0
 4!x2 – 2!x+3!=0
 5!x2 – 3!x+4!=0
 
 11!x2 – 9!x+10!=0
 determine la suma de todas las raíces.
A) 
9
10
 B) 
10
11
 C) 
9
11
D) 
7
9
 E) 
8
9
15. Sea la ecuación cuadrática ax2+bx+c=0 con 
raíces r y s, determine una ecuación cuadrática 
cuyas raíces son r3 y s3.
A) a3x2 – (3abc – b3)x+c3=0
B) ax2 – (3abc – b3)x+c=0
C) a3x2 – (b3 – abc)+2c3=0
D) (a3+b3+c3)x2+(a2+b2+c2)x+a+b+c=0
E) a3x2+b3x+c3=0
16. Determine el valor de x si es el resultado de la 
siguiente fracción continua.
 
x = +
+
+
+
+
1
1
3
1
2
1
3
1
2 ...
A) 5 B) 3 C) 
15
3
D) 3,1415... E) 2,718281...
17. Si P x e x ex( ) = + + +
2 2 21 3 , tal que a ∧ b son 
las raíces del polinomio, determine el valor de 
P(a3) – P(b3)
A) e B) 1 C) 0
D) e2 1− E) e −1
18. Determine el mayor valor de p+q si la ecuación 
cuadrática x2+px+q=0 tiene como raíces a ∆ 
y (1– ∆); donde ∆ es el discriminante.
A) –15/16 B) –13/16 C) –1/16
D) – 3/4 E) –1/4
Álgebra
8
Teoremas sobre ecuaciones polinomiales
NIVEL BÁSICO
1. Dada la ecuación x3 – 4x2+ax – 8=0 de raíces x1, 
x2 y x3, tal que x1+x2=2, calcule el valor de a.
A) 8 B) 0 C) 4
D) –1 E) 2
2. Dada la ecuación
 2 2 2 2 1332 03 2x x x− + + =
 de raíces a; b; c, indique la secuencia correcta 
de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las si-
guientes proposiciones.
 I. a b c+ + =
1
2
 II. ab bc ac+ + =
2
2
 III. abc a b c( ) + +( ) = −2 666
A) VFF B) FFF C) VVF
D) VVV E) VFV
3. Si a, b y q son las raíces de la ecuación cúbica 
ax3+bx2+5x – 20=0, determine el valor de E.
 
E = + +
1 1 1
α β θ
A) 4 B) 2 C) 100
D) 1/2 E) 1/4
4. Si x3+bx+c=0 es una ecuación cúbica de 
raíces x1; x2 y x3, determine el valor de L.
 
L
x x x
x x x
=
+ +
+ +
1
3
2
3
3
3
1
2
2
2
3
2
A) c/b B) – 3c/b C) 3c/2b
D) – c/b E) b/c
5. Respecto a las raíces del polinomio
 P(x)=x
4 – 2x3+3x2 – 4x+5, 
 marque la alternativa correcta.
A) No tiene raíces negativas.
B) Solo tiene dos raíces negativas.
C) Tiene cuatro raíces negativas.
D) Solo tiene tres raíces negativas.
E) Solo tiene una raíz negativa.
6. Se sabe que las raíces de la ecuación 
 x3 –12x2+rx – 28=0 están en progresión aritmé-
tica. Halle el valor de r.
A) 20 B) 24 C) 39
D) 16 E) – 20
NIVEL INTERMEDIO
7. Si la ecuación cúbica x3 – 3x2+4x+m=0 tiene 
CS={– 2; a; b}, halle la ecuación cuadrática de 
raíces a y b.
A) x2 – 6x+14=0
B) x2 – 7x+14=0
C) x2 – 5x+14=0
D) x2 – 8x+14=0
E) x2 – 4x+14=0
8. Resuelva la ecuación polinomial
 (3x –1)(x –1)(3x – 2)=– 2
 e indique la parte imaginaria de una de sus so-
luciones.
A) 2 B) 10 C) –1
D) 
2
3
 E) 3
9. Si – 2 es una raíz doble de la ecuación polino-
mial x3+ax2+b=0, calcule el valor de ab.
A) 10 B) –12 C) – 8
D) 12 E) – 6
10. Resuelva la ecuación polinomial
 x7 – 6x6+19x5 –16x4 – 33x3+22x2+13x=0
 si una de sus raíces es 2– 3i.
A) CS={0; 2; 2 – 3i; 2+3i}
B) CS= 0 2 3 2 3 1 1 1 2 1 2; ; ; ; ; ;− + − + −{ }i i
C) CS= 0 2 3 2 3 1 1 2 5 2 5; ; ; ; ; ;− + − + −{ }i i
D) CS={0; 2– 3i; 2+3i; 1+i; 1– i; 2; – 2}
E) CS={0; 2; – 2; 2– 3i; 2+3i; 1; –1}
Álgebra
9
11. Si z=1+i es una raíz de la ecuación 
 x5+ax3+b=0, a ∧ b ∈ R, 
 determine el valor de a+b.
A) 10 B) 12 C) 6
D) 15 E) 5
12. La ecuación de coeficientes racionales
 x4+mx3+nx2+px+q=0 tiene como raíces a 
tan60º y al resultado de efectuar 3i+2i3 – i2.
 Determine el valor de m+n+p+q.
A) – 3 B) 4 C) – 4
D) 3 E) 2
NIVEL AVANZADO
13. Si la ecuación x4+mx3+2x+n=0 admite una 
raíz triple, determine su conjunto solución.
A) {1; –1} B) {–1; 2} C) {–1; – 2}
D) {1; 2} E) {1; – 2}
14. Si x1; x2 y x3 son las raíces de la ecuación cú-
bica 3x3 – 5x+3=0, forme otra ecuación cúbica 
de raíces 
3 2
1
1
3
1
x
x
−
−
; x x2
2
2
1+ − y − 5
3
.
A) x x
x3 25
25
9
125
9
0− − + =
B) x x
x3 25
25
9
125
9
0+ − − =
C)x x
x3 25
25
9
125
9
0− − − =
D) x x
x3 25
25
9
125
9
0+ − − =
E) x x
x3 25
25
9
125 0− − − =
15. Indique una raíz real de la ecuación cúbica
 x3 – 6x+6=0
A) 2 33 3+
B) 5 43 3−
C) 2 43 3+
D) − −4 23 3
E) − +






1
2
3
2
43
16. Dada la ecuación cuadrática en x
 (a2 – b)x2 – 2000ax+1000 000=0; {a; b} ⊂ Q.
 Si una raíz es de la forma x1=P1+P2+P3+...+Pn 
donde P
n
na n b
n =
− 2
, calcule el valor de n. 
Considere que n > 0 ∧ b ∈ I .
A) 10 B) 100 C) 1000
D) 10 000 E) 100 000
17. Si P(x)=ax
3+bx2+cx+d es un polinomio de 
tercer grado cuyas raíces son términos de una 
progresión aritmética de razón 2, además, 
P(–1)=–1, P(0)=0 y P(1)=1. Determine los va-
lores de a y c, respectivamente.
A) 3 y 2 B) 2 y –1 C) −
1
3
4
3
 y 
D) 1
2
1
2
 y E) –1 y 2
18. La figura es un esbozo del gráfico del polinomio
 Y=P(x)=(x – a)(x – b)(x
2 – 2x+c)
 X
Y
– 1– 2 0
10
 Determine una de las raíces complejas de P(x).
A) 1
1
2
− i B) 1+i C) 
1
2
− i
D) 1+2i E) 2 – i
Álgebra
10
Ecuaciones bicuadradas y fraccionarias
NIVEL BÁSICO
1. Respecto a la ecuación bicuadrada
 x4 – 7x2=6x2 – 36, determine el valor de verdad (V) 
o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
 I. Su CS={2; – 2; 3; – 3}
 II. La suma de los cuadrados de las raíces es 26.
 III. Las raíces están en progresión aritmética.
A) VFF B) VVF C) FVF
D) VVV E) VFV
2. Halle la suma de los cuadrados de las raíces de 
la ecuación 4x4 –17x2+4=0.
A) –1/2 B) 1 C) 17/4
D) 17/2 E) – 9
3. Si x1; x2; x3 y x4 son las raíces de la ecuación 
bicuadrada x4+x2+2=0, determine el valor de J.
 
J x x x x x x x x= +( ) + +( ) + +( ) + +( )13 1 23 2 33 3 43 4
A) 1 B) – 2 C) 2
D) 0 E) –1
4. Reconstruya una ecuación bicuadrada, donde 
una de sus raíces es 1 y, además, la suma de 
los cuadrados de sus raíces sea 20.
A) x2 –10x+9=0
B) x4+10x2+9=0
C) x4 –10x2 – 9=0
D) x4 –10x2+9=0
E) x2 – 10x+3=0
5. Indique la mayor solución de la ecuación
 
2
2
1 1
2
1
3
1
6x x+
+ = + +
A) 3 B) 2 C) 0
D) – 2 E) –1
6. Resuelva la siguiente ecuación fraccionaria.
 
2 2 4
8
3 9
6
1
2
3 2
x x
x
x
x x
− +( )
+
+
−
− −
=
A) {3} B) {– 2; 3} C) {– 3}
D) {2} E) f
NIVEL INTERMEDIO
7. Si a y b son raíces de la ecuación x2 – 3x+4=0, 
halle la ecuación bicuadrada donde dos de sus 
raíces son 2a y 2b.
A) x4 – 8x2+162=0
B) x4+8x2+44=0
C) x4 – 4x2+16=0
D) x4 –12x2+26=0
E) x4 – 4x2+44=0
8. Determine la variación de λ, de modo que 
la ecuación bicuadrada tenga solo dos raíces 
reales.
 x4+(1– λ)x2+2(λ – 3)=0
A) λ ∈ 〈– ∞; 2〉
B) λ ∈R – {5}
C) λ ∈ 〈– 6; 7〉
D) λ ∈〈– ∞; 3〉
E) λ ∈ 〈0; 3〉
9. Halle la suma de los cuadrados de las raíces 
que se obtienen en la ecuación bicuadrada 
generada por x
x
2
2
8
6 0− − = .
A) 17 B) 21 C) 12
D) 68 E) 6
10. Indique la solución de la ecuación
 
1
1 2
1
2 3
1
3 5
0
x x x x x x−( ) −( )
+
−( ) −( )
+
−( ) −( )
=
A) 11 B) 11/2 C) 11/3
D) 11/4 E) 11/5
Álgebra
11
11. Dada la ecuación fraccionaria
 
1
1
1
2
1
1
0
x x x+
+
+
+
−
= ,
 determine la suma y producto de soluciones, 
respectivamente.
A) − −
1
3
4
3
y B) 
1
3
4
3
y − C) −
1
3
4
3
y
D) −1
4
3
y E) − −
4
3
1
3
y
12. Si a es la solución de la ecuación
 
x x
x x
x
x
2
2
2
2
6 10
8 17
3
4
− +
+ +
=
−( )
+( )
,
 determine el valor de 2a2+a+1.
A) –1/2 B) 4 C) 3
D) 2 E) 1
NIVEL AVANZADO
13. Al resolver la ecuación bicuadrada de incógnita x.
 x4 – (a – b)(x3+1)+(x –1)3 – c(x+3) –1=0,
 determine el producto de todas las soluciones.
A) –12 B) – 6 C) –1
D) 3 E) 12
14. El producto de tres raíces de la ecuación
 2x4 – (m – 46)x2+m=0 es m/6. 
 Halle el valor de m.
A) 36 B) 48 C) 72
D) 144 E) 18
15. Si las cuatro raíces de la ecuación
 x4 – 30x2+(m+1)2=0
 están en progresión aritmética, halle la suma 
de los valores de m.
A) –10 B) 8 C) 2
D) – 2 E) 18
16. Calcule la suma de todas las soluciones positi-
vas de la ecuación fraccionaria.
 
10
1
6
2
2
+ +
= − −
x x
x x
A) 
− − +2 5 17
2
B) 
− + +2 5 17
2
C) 
2 5 17
2
+ +
D) 
− + +3 5 17
2
E) 3 5 17
2
+ +
17. Siendo x1 y x2 soluciones de la ecuación
 
1
2
5 1
1
1
3
5 5
1
2
2
2
2
2
x x
x x
x x
x x
+ +
− +





 +
+ +
+ +





 = ,
 determine el valor de 
1 1
1 2x x
+ .
A) –1/5 B) 15 C) 5
D) – 5 E) –1
18. ¿Cuál es el producto de las soluciones reales 
de la siguiente ecuación?
 
x
x x x
x
x x
1 1
1
2
1
1
3
1 1
1
0
2 2+ +
+
+ +
−
+ +
=
A) – 2 B) 0 C) –1
D) 2 E) 6
Anual UNI
Números complejos
01 - B
02 - B
03 - C
04 - D
05 - E
06 - D
07 - D
08 - B
09 - C
10 - E
11 - B
12 - A
13 - C
14 - C
15 - E
16 - B
17 - C
18 - B
01 - A
02 - D
03 - A
04 - A
05 - C
06 - A
07 - B
08 - B
09 - B
10 - E
11 - D
12 - B
13 - E
14 - D
15 - D
16 - B
17 - B
18 - D
ecuacioNes poliNomiales
01 - E
02 - C
03 - D
- - - -
18 - B
ecuacioNes cuadráticas
01 - A
02 - C
03 - E
04 - C
05 - A
06 - C
07 - C
08 - D
09 - B
10 - B
11 - A
12 - A
13 - A
14 - A
15 - D
16 - C
17 - C
18 - D
teoremas sobre ecuacioNes poliNomiales
01 - B
02 - D
03 - D
04 - D
05 - B
06 - E
07 - E
08 - D
09 - C
10 - C
11 - E
12 - E
13 - A
14 - C
15 - D
16 - B
17 - D
18 - D
ecuacioNes bicuadradas y fraccioNarias
4
2015
• Aptitud Académica
• Matemática
• Ciencias Naturales
• Cultura General
Preguntas propuestas
Álgebra
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2
Desigualdades e Intervalos
NIVEL BÁSICO
1. Determine el signo (> o <) que corresponde 
a cada relación.
 I. 33 55
 II. – 0,19 – 0,199
 III. e – p p
 Luego, indique la secuencia correcta.
A) <; <; <
B) >; >; >
C) <; >; <
D) >; <; >
E) >; >; <
2. Si
 A={x ∈ R/x > 3};
 B={x ∈ R/ – 2 < x < 12},
 determine B – A.
A) 〈3; 12〉 B) 〈– 2; 12] C) 〈– 2; 3]
D) 〈– 2; 3〉 E) [– 2; 3]
3. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o 
falsedad (F) según corresponda.
 I. 〈– ∞; 5〉 ∩ 〈3; +∞〉=〈3; 5〉
 II. 〈– 6; 1〉 – 〈–1; 6〉=〈– 6; –1〉
 III. [– 1; 2〉 – {0}=[–1; 0〉 ∪ 〈0; 2〉
A) FVV B) VFF C) VFV
D) FFV E) FFF
4. Sea f
xx( )
=
+
1
2 1
, de modo que f(x) ∈ [1; 8]. 
 Entonces, ¿cuál es el menor valor de x?
A) – 7/16 B) – 5/15 C) – 1/8
D) 5/16 E) 7/8
5. Si M=[2; 5〉, señale el supremo del conjunto A, 
tal que 
 A z z
x
x
x M= ∈ = + ∧ ∈{ }R 1 .
A) 6/5 B) 2 C) 11/2
D) 3/2 E) 2/3
6. Halle la variación de la expresión 
1
6x +
 si se sabe que (2x –1) ∈ [– 5; 7].
A) [1; 20] B) 
1
10
1
4
;



 C) −



1
1
10
;
D) 〈– 4; 0] E) 0
1
5
; 

NIVEL INTERMEDIO
7. Dados los intervalos
 A={(x – 2) ∈ R / 5 ≤ 2x+1 < 7}
 B x
x
A= −( ) ∈ ∈{ }1 2R
 Determine (A – B) ∪ (B – A).
A) [ – 1; 1] B) [ – 1; 0] C) 〈 – 1; 1〉
D) [ – 1; 0〉 E) f
8. Si
 A=〈1; 6],
 B x
x
A= ∈ −

 ∈






Z
3 2
4
,
 determine (A – B).
A) 10 B) 3 C) 5
D) 6 E) 4
9. Si x ∈ Z+ es un número que verifica las siguien-
tes desigualdades:
 y+3 > 2x ∧ 3x < 12 – y
 calcule la suma de todos los valores de x.
A) 3
B) 6
C) 10
D) 15
E) no existe tal suma.
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3
10. Dado el conjunto
 M x
x= ∈ −

 ∈ −








R
3 1
3
7
2
51
5
;
 Halle el valor de m+n si se sabe que m es la 
mayor cota inferior entera, y n es la menor cota 
superior entera.
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
11. Si (2x+1) ∈ 〈0; 7〉, ¿cuántos valores enteros no 
toma la expresión 1/x?
A) 6 B) 5 C) 4
D) 3 E) 2
12. Si x ∈ −

4
1
2
; , determine cuántos valores ente-
ros no puede tomar la expresión fraccionaria
 f
x
xx( )
=
−
+
2
1
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
NIVEL AVANZADO
13. Dados los intervalos
 A b
a
= − ;
1
; B=[ – a; a]; C
b
b= 

1
;
 halle A ∩ B ∩ C, si a < b y {a; b} ⊂ Z+ – {1}
A) [a; b] B)1 1
b a
; C) 
1
b
a; 

D) f E) 〈 – a; b]
14. Sean
 Ii i i= − − +
1
2
1
21 1
; ; i ∈ N; 
 A Ii
i
=
=1
11

 Luego, halle el valor de x ∈ (A ∩ Z).
A) –1 B) – 2 C) 1
D) 2 E) 0
UNI 1995 - II
15. Determine los valores de n si se sabe que los 
siguientes intervalos no nulos son disjuntos.
 A=〈–1; n+1〉 ; B=〈2n –1; 7]
A) 〈 – 2; 4〉 
B) 〈2; 4] 
C) [2; 4〉
D) [2; 4] 
E) [1; 3]
16. Escriba el conjunto
 S x
x
x
= ∈ − ≤ −
+
<{ }R 1 11 1
 como intervalo.
A) S=〈 – 1; 0]
B) S=[ – 1; 1〉
C) S=[0; +∞〉
D) S=〈0; +∞〉
E) S=〈 – 1; +∞〉
17. Sea x un número entero, tal que a=3x+1; 
b=x+9; c=2x+3. Si a > b > c, calcule el valor 
de a+b+c.
A) 43 B) 45 C) 37
D) 55 E) 49
18. Si (2x+1) ∉ [– 9; 9]
 determine la variación de J
x
=
−1 5
3
.
A) −∞ − ∪ + ∞; ;
7
3
22
3
B) −∞ − ∪ + ∞; ;
19
3
26
3
C) 
19
3
26
3
;
D) −∞


∪ + ∞


; ;
15
2
31
2
E) −



7
3
22
3
;
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4
Teoremas sobre desigualdades
NIVEL BÁSICO
1. Si (x+1) ∈ [ – 3; 5] ∧ (y – 2) ∈ [ – 1; 2], determi-
ne la variación de la expresión xy.
A) [ – 4; 20] 
B) [3; 10] 
C) 〈0; 16〉
D) [ – 4; 16] 
E) [ – 16; 16]
2. Determine la variación de 
3 1
2 1
y
x
+
+
 si se sabe que
 4 ≤ x ≤ 7 ∧ 2 ≤ y ≤ 10.
A) 7
31
9
;



 B) 
7
15
31
9
;



 C) [7; 31]
D) 8
31
2
;



 E) 8
32
3
;



3. Si f(x)= – (x – 2)(x – 6) ∧ x ∈ [3; 5〉; determine la 
variación de f(x).
A) [ – 3; 4] B) 〈 – 3; 4] C) 〈3; 4〉
D) 〈3; 4] E) [3; 4]
4. Si x ∈ R+, calcule el mínimo valor de J.
 J
x
x
= +
3
6
A) 2 3 
B) 2 2 
C) 1
D) 0 
E) 6
5. Sean x; y ∈ R+, tales que x+y=6 ∧ xy=9. Cal-
cule el valor de xy.
A) 2 B) 3 C) 27
D) 81 E) 18
6. Del siguiente gráfico,
 
b
A
C Ba
 calcule el mayor valor de 2a+b si AB=1.
A) 5 B) 2 5 C) 3
D) 7 E) 2
NIVEL INTERMEDIO
7. Si 7 ≤ 2x+5 ≤ 13 ∧ 4
3
2
3
4≤ ≤
y
, entonces la va-
 riación de x+y es el intervalo A, y 
6x
y varía en
 el intervalo B. Halle A ∩ B.
A) 〈2; 10] B) 〈3; 12〉 C) [6; 10]
D) [3; 6] E) [3; 10]
8. Determine el menor valor de J= – x2+2x+3 si 
x ∈ [ – 2; 3].
A) – 5 B) – 6 C) – 8
D) – 2 E) 4
9. De la siguiente figura,
 b
c
a
 determine el máximo volumen del paralelepí-
pedo si se cumple que
 a b
b c
+ =
− =



2 8
2
A) 27 u3 B) 2 u3 C) 6 u3
D) 4 u3 E) 8 u3
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5
10. Si a; b y c son positivos que verifican 
 a3+b3+c3 ≥ (l – 2)abc, determine el mayor va-
lor de l.
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
11. Si se cumple que
 
x y xyz
xy z
k x y z
2 2
3
+ +
≥ ∧ ∀ ∈ +; ; R
 calcule el máximo valor de k+2.
A) 9 B) 3 C) 4
D) 6 E) 5
12. Halle el máximo valor de la expresión f(x).
 f
x xx
( ) =
− +
5
8 212
; x ∈ R.
A) 1 B) 4 C) 5
D) 10 E) 21
NIVEL AVANZADO
13. Si – 2 ≤ x ≤ 1 ∧ – 2 ≤ y < 2,
 encuentre la suma de los valores enteros que 
toma la expresión A.
 A=x2+y2+2(x – y+1)
A) 91 B) 78 C) 55
D) 105 E) 82
14. Sea
 A={4x2+4xy+y2 – 4x – 2y+1 / 2 ≤ x < 5 ∧ – 6 < y < 2}
 calcule Sup(A)+Inf(A).
A) 80 B) 130 C) 100
D) 121 E) 25
15. Determine el mayor valor que admite la si-
guiente expresión.
 f
x y x y
x y
x yx y; ; ;( )
+=
+( ) − −( )
+
∈
2 2
2 2 R
A) 4 
B) 8 
C) 16
D) 2 
E) 1
16. Determine el intervalo al cual pertenece la ex-
presión h(x).
 h
x
x x
xx( ) =
−
− +
>
1
1
12 ;
A) 0
1
3
; B) 0
1
3
; 

 C) 
1
3
1; 

D) 
1
5
1
3
; 

 E) 
1
6
; + ∞
17. Calcule el menor valor que toma k.
 k
x
x x
x=
+
+ +
∈ +
3
4
5
2 12
; R
A) 12/21 
B) 1/21 
C) 13/12
D) 1/3 
E) 0
18. Si f(x)=a
x+bx+cx tal que f(1)=1, determine el 
mayor valor de k si f(2) ≥ k; a; b; c ∈ R
+.
A) 1/2 B) 1/3 C) 1
D) 0 E) 1/5
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6
Inecuaciones polinomiales
NIVEL BÁSICO
1. Dado el conjunto
 w x
x x x= ∈ + − < −{ }R 3 2 15 215 ,
 indique lo correcto.
A) w ⊂ 〈 – ∞; 10〉
B) w ⊂ 〈 – ∞; –10〉
C) w ⊂ + ∞
1
10
;
D) w ⊂ − + ∞
1
10
;
E) w ⊂ −∞
−
;
1
10
2. Si la inecuación polinomial (m – 1)x2+nx ≤ m 
tiene CS={x ∈ R/x ≥ – 1/2}, calcule el valor de 
(m+n).
A) – 2 B) – 1 C) 0
D) 1 E) 2
3. Calcule el valor de 2a+3b si se sabe que [a; b〉 
es el conjunto solución de la siguiente inecua-
ción.
 
x
x x
2
2 2 1< − + ≤ −
A) 2 B) 5 C) 6
D) 7 E) 10
4. Luego de resolver la inecuación
 x2 – 4nx+4m > 0
 se obtiene como conjunto solución
 〈 – ∞; 4〉 ∪ 〈12; +∞〉. Determine m – n.
A) 7 B) 8 C) 10
D) 13 E) 16
5. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o 
falsedad (F) según corresponda.
 I. Si x2 – 4x+4 ≥ 0 → CS=R – {2}
 II. Si 9x2+6x – 1 < 0 → CS={ – 1/3}
 III. Si x2 – 8x+16 > 0 → CS=R
A) FFV B) VFF C) FVF
D) VFV E) FFF
6. Si x2+ax+b > 0 tiene CS=R – { – 13}, determi-
ne el valor de ab.
A) 4934 B) 9443 C) 4394
D) 3449 E) 4349
NIVEL INTERMEDIO
7. Determine el conjunto solución de la siguiente 
inecuación cuadrática.
 (2x – 2)(9 – 3x) ≤ (3x+6)(2x – 6)
A) 〈 – ∞; – 1/3] ∪ [3; +∞〉
B) 〈 – ∞; – 1/2] ∪ [3; +∞〉
C) 〈 – ∞; – 1/3] ∪ [2; +∞〉
D) 〈 – ∞; 1/2] ∪ [3; +∞〉
E) 〈 – ∞; – 1/2] ∪ [2; +∞〉
8. De las inecuaciones cuadráticas,
 x2 – 30x+200 > 0
 x2 – 30x+144 ≤ 0
 indique la mayor solución entera en común.
A) 27 B) 24 C) 19
D) 18 E) 30
9. Luego de resolver la inecuación
 x2 – 7x – 15 > 0,
 obtenemos el conjunto solución 
 〈 – ∞; a〉 ∪ 〈b; +∞〉, a < b.
 ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son 
verdaderas?
 I. a+b=7
 II. (a+1)(b+1)= – 7
 III. (a – b)2=109
A) solo I B) I y II C) solo II
D) todas E) ninguna
10. Calcule el valor de a/b si el conjunto solución 
de la inecuación 2x2 – 2ax+b ≤ 0 es {3}.
A) 3 B) 1/3 C) 1
D) 1/2 E) 2
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7
11. Al resolver la inecuación x2 – bx+9 < 0 se ob-
tuvo CS=f. Determine la suma de los valores 
enteros de b.
A) 0 B) 12 C) 32
D) 48 E) 52
12. Halle el mayor número real r que satisface la 
relación r ≤ x2+4x+6; ∀ x ∈ R.
A) – 2 B) 2 C) 0
D) 1 E) – 1
NIVEL AVANZADO
13. Resuelva la siguiente inecuación lineal de in-
cógnita x.
 
x a
bc
x b
ac
x c
ab a b c
−
+
−
+
−
> + +

2
1 1 1
 donde {a; b; c} ⊂ R–
A) 〈a; +∞〉
B) 〈 – ∞; a+b+c〉
C) 〈a+b+c; +∞〉
D) 〈 – a – b – c; +∞〉
E) 〈 – ∞; – a – b – c〉
14. Resuelva el siguiente sistema.
 x
x e
2 2
2 2
≤
>




π
A) 〈e; p]
B) [ – p; – e〉 ∪ 〈e; p]
C) 〈 – p; – e〉 ∪ [e; p]
D) 〈 – e; e〉
E) [ – p; p]
15. Tenemos que
 2x2 – 10x+ab > 0; ∀ x ∈ R y
 t2+2t+3 ≥ k; ∀ t ∈ R
 Determine el valor de abmín+kmáx.
A) 19 
B) 17 
C) 16
D) 15 
E) 10
16. Determine los valores de m para que el poli-
nomio
 P(x)=x
2+mx+m2+6m
 tenga valores negativos en x=0 y en x=2.
A) m ∈ 〈 – 8; 0〉
B) m ∈ − ∪ − + ∞6 0 4 2 3; ;
C) m ∈ − + + ∞4 2 2;
D) m ∈ − − +6 4 2 3;
E) m ∈ − − +4 2 3 4 2 3;
UNI 1997 - II
17. Sean los conjuntos,
 A x x x= ∈ + − <{ }R 2 3 3 5 5
 B={x ∈ R/(x – 3)2 > 5}
 Determine (A ∩ B).
A) 2 B) 3 C) 6
D) 4 E) 5
18. ¿Qué valores debe tomar n (n ∈ R) para que 
cualquiera que sea el valor de x en R, el valor 
del polinomio P(x)=x
2+2nx+n sea no menor 
que 3/16?
A) 
1
2
3
4
;
B) 
1
4
3
4
;
C) −∞ ∪ + ∞; ;
1
4
3
4
D) 
1
4
3
4
;



E) 
1
2
3
2
; 

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8
Inecuaciones de grado superior y fraccionarias
NIVEL BÁSICO
1. Resuelva la siguiente inecuación.
 x2(x2+1)(x+1) < (x2+1)(x+1)
A) 〈 – ∞; – 1〉 ∪ 〈 – 1; 1〉
B) 〈 – ∞; 1〉 ∪ 〈1; 2〉
C) 〈 – ∞; 0〉 ∪ 〈 – 1; 1〉
D) 〈 – ∞; – 2〉 ∪ 〈 – 2; 1〉
E) 〈 – ∞; – 3〉 ∪ 〈 – 3; 1〉
2. Determineel conjunto de todos aquellos nú-
meros reales cuya quinta no sea menor que su 
cubo.
A) 〈 – ∞; 0] ∪ [1; +∞〉
B) 〈 – ∞; – 1〉 ∪ 〈0; 1〉
C) 〈 – ∞; 0〉 ∪ 〈1; +∞〉
D) [ – 1; 0] ∪ [1; +∞〉
E) 〈 – ∞; – 1] ∪ [1; +∞〉
3. Resuelva la siguiente inecuación polinomial.
 2x3(x+1) < (x+6)(2x+2)x
A) 〈 – 2; – 1〉 ∪ 〈0; 5〉
B) 〈 – 3; – 1〉 ∪ 〈 – 1; 3〉
C) 〈 – 2; – 1〉 ∪ 〈1; 3〉
D) 〈 – 3; – 1〉 ∪ 〈0; 3〉
E) 〈 – 2; – 1〉 ∪ 〈0; 3〉
4. Si la inecuación fraccionaria x x
x
2
2
1
11
0
+ +
−
≤
 tiene CS=〈a; b〉, indique la relación correcta.
A) ab=11 B) a2+b2=0 C) a+b=0
D) 
α
β
β
α
+ = 2 E) a2 > b2
5. Calcule la suma de los valores enteros positivos 
que satisfacen la desigualdad.
 
x x x
x x x
−( ) − +( )
+( ) − +( )
≤
1 8 15
1 5 6
0
2
2 2
A) 14 B) 7 C) 11
D) 10 E) 9
6. Determine el número de soluciones enteras que 
presenta la siguiente inecuación fraccionaria.
 
x
x x−
−
+
≤
1
1
2
0
A) 45 B) 32 C) 13
D) 0 E) 2
 
NIVEL INTERMEDIO
7. Al resolver la inecuación polinomial
 (3x2+1)(x2+5x+1) > 0
 se obtiene como conjunto solución R – [m; n].
 Determine el valor de mn.
A) 1 B) – 3 C) – 4
D) – 1 E) 0
8. Si P(x) es un polinomio cuadrático y mónico de 
raíces 5 y – 2, resuelve la siguiente inecuación.
 (x2 – x)(x2+1) P(x) < 0
A) 〈 – 2; 5〉
B) 〈 – 2; 1〉
C) 〈 – ∞; – 2〉 ∪ 〈0; 1〉
D) 〈 – 2; 0〉 ∪ 〈5; +∞〉
E) 〈 – 2; 0〉 ∪ 〈1; 5〉
9. Sea x5 – 2x3+ax2+bx+c < 0 cuyo conjunto so-
lución es 〈 – ∞; 0〉 ∪ 〈1; 4〉. Halle la relación co-
rrecta entre a; b y c.
A) a=b=2c
B) ab=c
C) a+2b=c
D) ab < c
E) a+2b < c
10. Si el conjunto solución de la inecuación
 x5 – x4 – 7x3+5x2+10x ≤ 0 es
 CS=〈 – ∞; a] ∪ [ – 1; 0] ∪ [b; c], calcule el valor 
de ac/b.
A) 5 B) 2 5 C) 0
D) – 1/2 E) – 5/2
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9
11. Determine el conjunto solución de la siguiente 
inecuación.
 (x – 4)4(x – 9)25(x+3)102(x – 1)40 ≥ 0
A) 〈 – ∞; – 3] ∪ [1; 4] ∪ [9; +∞〉
B) 〈 – ∞; 4] ∪ [9; +∞〉
C) 〈 – ∞; – 3] ∪ [1; +∞〉
D) [9; +∞〉 ∪ { – 3; 1; 4}
E) [ – 3; +∞〉 – {1; 4}
12. Determine en qué conjunto de números nega-
tivos debe estar contenido x.
 
x x
x x x
4 2
2
17 60
8 5
0
− +
− +( )
>
A) − −12 5;
B) −∞ −; 12
C) − 12 0;
D) −∞ −; 5
E) − 5 0;
UNI 1999
NIVEL AVANZADO
13. Si la inecuación polinomial
 (2x – 1)m(x+2)n(x – 3) ≤ 0
 tiene CS ;= 



∪ −{ }1
n
m n .
 Calcule el valor de (m+n).
A) 2 B) 3 C) 5
D) 8 E) 13
14. Luego de resolver la inecuación
 nx x n x n+( ) −( ) −( ) <+ − +1 02
11 1 213 1 2 3
11 2
,
 considerando que 0 < n < 1, obtenemos co-
mo conjunto solución a 〈 – ∞; a〉 ∪ 〈b; c〉. Deter-
mine la proposición verdadera.
A) – a > – b > c
B) 1 < ab < cb
C) – a > c > b3
D) a2 < b
E) a3 > b > 0
15. Determine la longitud del conjunto S.
 S x
x x x x
= +( )
− +
>
+ +






2
2 21
1
2 1
1
4
A) 4 B) 7 C) 9
D) 12 E) 1
16. Determine la relación correcta si se cumple 
que
 
a x ax a
x x
k x
+( ) + +
+ +
> ∀ ∈
1
1
2
2 ; R
A) k < a 
B) k > a 
C) k=a+1
D) k < a –1 
E) k < 2a
17. Determine el conjunto solución de la siguiente 
inecuación.
 
x n
x n
n x
nx
n
+ +
+
≥
+( ) +
+
∈ − { }+1 1 1
1
1; Z
A) − −n
n
;
1
B) − −


∪ + ∞1
1
1; ;
n
C) − − ∪
−
+ ∞n
n
; ;1
1
D) − − ∪
−
n
n
; ;1
1
1
E) − − ]∪ − 

n
n
; ;1
1
1
18. Si A x x x
x
= ∈ − < +
−
≤






R 1
1
1
2
2 ,
 determine el equivalente de A en forma de in-
tervalo.
A) [1/2; +∞〉
B) 〈 – ∞; – 1〉 ∪ 〈 – 1; 1/2]
C) 〈0; 1/2]
D) 〈0; +∞〉
E) 〈0; 1〉
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10
Expresiones irracionales
NIVEL BÁSICO
1. Determine el conjunto de valores admisibles 
de la siguiente expresión.
 g
xx( )
= −2
3
A) 〈 – ∞; 0] ∪ [3/2; +∞〉
B) 〈 – ∞; 0〉 ∪ [3/2; +∞〉
C) R+
D) R – 〈0; 3/2]
E) 〈 – ∞; 0〉
2. Determine la solución de la siguiente ecuación 
irracional.
 x x x2 4 5 1+ = −
A) 1/12 B) 1/8 C) 1/5
D) 1/4 E) 1/2
3. Resuelva la siguiente inecuación irracional.
 x x− < −1 2 5
A) 
13
4
; + ∞ B) −2
1
2
; C) −
13
4
2;
D) 
5
2
13
4
; E) −
5
2
13
4
;
4. ¿Cuántos números enteros verifican la inecua-
ción x + ≤3 2?
A) 5 B) 4 C) 3
D) 2 E) 1
5. Respecto de la inecuación irracional
 2 3 3− + > +x x
 halle su conjunto solución.
A) [ – 3; +∞〉 
B) [ – 3; – 2〉 
C) [ – 3; – 1〉
D) [ – 3; 1] 
E) [ – 3; 2〉
6. Resuelva la siguiente inecuación irracional.
 2 6 5 15 8 2 5x x− + − > +
A) [8; +∞〉 
B) 〈7; +∞〉 
C) 〈5; +∞〉
D) [3; +∞〉 
E) 〈4; +∞〉
NIVEL INTERMEDIO
7. Se sabe que [a; b] – {c}, con a < c < b es el 
CVA de la expresión irracional
 f
x x
xx
( ) =
− − −
− −
16 5
2 1
216 5
 Además, definimos p=a+b y q=2c. Señale la 
relación correcta entre p y q.
A) p=q+1 B) p=q – 1 C) p > q
D) p < q E) p=q
8. De la ecuación irracional
 
x
x
x
x
3
2
1
1
6+
−
= +
 se obtiene CS={a; b}; a > b. Halle a – b.
A) 1/6 B) 2/3 C) 6/5
D) 5/6 E) 3/2
9. Resuelva la siguiente ecuación irracional.
 x x x x x2
5
2 2
3
2 23 3 3 3 4−( ) = −( ) + +( ) −( ) ⋅ −( )
 Calcule el producto de las soluciones.
A) 4 3 B) 2 3 C) 36
D) 12 E) – 48
10. Calcule la suma de soluciones de la siguiente 
ecuación irracional.
 2 3 2 2 0x x+ − − − =
A) 3 B) 11 C) 13
D) 14 E) 24
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11
11. Determine la suma de soluciones de la si-
guiente ecuación
 x x x x x3 1+ = +( )
A) 1 B) – 1 C) 2
D) 7 E) – 2
12. Dado el conjunto
 M x x x= −( ) ∈ − < −{ }1 2 2 12R
 halle el equivalente de M.
A) [1/2; +∞〉
B) 0 2 1; − 
C) 〈1; +∞〉
D) 1 2; 
E) 2 1 2 1− + ;
NIVEL AVANZADO
13. Si x0 es la solución de la ecuación
 
4
3 2 2 3
1
3 2
1
2 3x x x x− + +
=
−
+
+
 determine el valor de x
x0 0
1
+ .
A) 5,3 B) 5,2 C) 5,4
D) 5,1 E) 5,5
14. Halle la suma de soluciones de la siguiente 
ecuación
 − −( ) + = +2 3 2 13 x x
A) 30 B) 32 C) 37
D) 38 E) 40
15. Resuelva la inecuación irracional
 x
x x
x+ − − ≥
1 1
0
 e indique un intervalo solución.
A) 〈 – 1; 1〉 
B) 〈0; +∞〉 
C) 〈 – ∞; 1]
D) 〈0; 1〉 
E) 〈 – 1; 0〉
16. Respecto de la inecuación
 
x
x
− −
− −
≤
1 2
2 3
0
 podemos afirmar que
A) su mayor solución es 11.
B) su menor solución es 4.
C) 26 1+ es una solución.
D) 
24 1
2
−
 es una solución.
E) CS=[5; 11].
17. Resuelva la siguiente inecuación
 a x a x a a+ + − ≥ >3 3 3 2 1;
A) −∞


;
28
27
2a
B) 〈 – a; 28a2]
C) 0
28
27
2
;
a





D) f
E) 0 2; a 
18. Luego de resolver la inecuación
 2 1 3 8x x+ − > +
 se obtiene CS ;= + + ∞a b c
 con a; b; c ∈ Z+. Calcule el menor valor de 
(a+b+c).
A) 93 B) 237 C) 73
D) 56 E) 1223
Anual UNI
DesigualDaDes e intervalos
01 - e
02 - c
03 - c
04 - a
05 - d
06 - b
07 - d
08 - c
09 - a
10 - c
11 - d
12 - b
13 - b
14 - e
15 - c
16 - c
17 - a
18 - b
01 - e
02 - b
03 - e
04 - b
05 - C
06 - A
07 - e
08 - A
09 - e
10 - C
11 - e
12 - A
13 - A
14 - D
15 - D
16 - b
17 - A
18 - b
01 - a
02 - b
03 - c 18 - d
01 - A
02 - d
03 - E
04 - c
05 - d
06 - E
07 - A
08 - E
09 - d
10 - E
11 - d
12 - A
13 - c
14 - c
15 - c
16 - A
17 - E
18 - b
01 - B
02 - e
03 - a
04 - a
05 - B
06 - B
07 - e
08 - d
09 - d
10 - d
11 - d
12 - B
13 - B
14 - C
15 - d
16 - C
17 - e
18 - C
teoremas sobre DesigualDaDes
inecuaciones polinomiales
inecuaciones De graDo superior y fraccionarias
expresiones irracionales
5
2015
• Aptitud Académica
• Matemática
• Ciencias Naturales
• Cultura General
Preguntas propuestas
Álgebra
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2
Valor absoluto
7
Práctica por Niveles
NIVEL BÁSICO
1. Si x ∈ 〈7;	10〉, entonces halle el valor de la ex-
presión	k.
 k
x x
x x
=
− − −
− + −
16 3 2
5 6
A)–	1	 B)		–	2	 	 	 C)	3
D)		–	3	 	 	 	 	 	 E)	1
2. Resuelva la ecuación
 4
1
2
2 1 3x x x− + − =
	 e	indique	la	suma	de	soluciones.
A)	1/3	 B)	2/3	 	 	 C)	1
D)	4/3	 	 	 	 	 	 E)	5/3
3. Sea la igualdad
 |x – a+b|=|x+a – b|	 (*)
	 entonces,	la	proposición	verdadera	es
A)	(*)	si	y	solo	si	x=0	 ∨ a2=b2
B)	(*)	si	y	solo	si	x=a=b
C)	(*)	si	y	solo	si	x=0	 ∧ a=b
D)	(*)	si	y	solo	si	x=0	 ∨ a=b
E)	(*)	si	y	solo	si	x=a= – b
UNI 2009 - I
4. Indique	el	número	de	soluciones	de	la	ecuación
 x2+7+|x	–	3|=6x
A)	0	 B)	1 C)	2
D)	3	 	 	 	 	 	 E)	4
5. Si x0 es una solución de la ecuación
 |x2	–	4|+|x+2|+|x|=|	–	x|
 determine el valor de x0
3.
A)	1 B)	8	 	 	 	 C)	27
D)		–	8	 	 	 	 	 	 E)	 	–	27
6. Sean	 los	 puntos	x;	 y;	z	 de	 la	 recta	 numérica	
real;	 x	 ubicado	 a	 la	 izquierda	 del	 origen	 0	
(cero),	y ∧ z ubicados a la derecha del origen. 
Además y	está	entre	0	y	z.	Si	se	sabe	que
 |x|+|y|=18
 |x|+|z|=20
 |y|+|z|=22
 calcule 
y
x z+




−2
A)	2 B)	2	–	1 C)	2	–	2
D)	22 E)	23
NIVEL INTERMEDIO
7. Determine el conjunto
 A={x ∈ R/|x	–	1|=x2	–	x	–	1}
	 por	extensión.
A)	 0 2 2 2; ; ;−{ }
B)	f
C)	{0;	2}
D)	 −{ }2 2;
E)	 0 2 2; ; −{ }
8. Resuelva la siguiente ecuación
 x x
x
+ − + =
−
2 2 3
12
2
 y determine la mayor solución.
A)	3	 B)		–	3	 	 	 C)	4
D)		–	4	 	 	 	 	 	 E)	8
9. Resuelva la siguiente ecuación
 x x x− − = −1 1
A)	
3
2
1;{ } B)	 12 2;{ } C)	{2}
D)	
1
7
2;{ } E)	{2;		–	2}
10. Resuelva la ecuación
 |x|+|x	–	1|=x+3
 luego determine la suma de los valores absolu-
tos de las soluciones.
A)	11/3	 B)	14/3	 	 	 C)	14/5
D)	12/5	 	 	 	 	 	 E)	13/3
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3 8
Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico N.o 5
11. Determine el área de la región triangular ABC.
A
B
C
|x+1|
|3 – x|
x x x
 Considere x	el	mayor	entero	posible.
A)	45	u2 B)	16 u2 C)	24 u2
D)	30	u2 E)	12 u2
12. Indique	la	cantidad	de	soluciones	de	la	ecuación
 
x
x
x
− −
−
= −
2 3
1
1
A)	0	 B)	1 C)	2
D)	3	 	 	 	 	 	 E)	más de tres
NIVEL AVANZADO
13. Si |x|=	–	x,	indique	la	variación	de
 f
xx( )
= −
−
1
2
1
A)	f(x) ∈	[	–	1;	1〉
B)	f(x) ∈	[	–	1;	+∞〉
C)	f(x) ∈ 〈	–	1;	1〉
D)	f(x) ∈	[0;	1〉
E)	 f(x) ∈ R
	– 
14. Indique	verdadero	(V)	o	falso	(F)	según	corres-
ponda	respecto	a	la	ecuación.
 
3
2
3
2
22
2
−
−
+ +
−
−( )
= + − +
x
x
x
x
x
x x x
	 I.	 No	presenta	solución	negativa.
 II. Presenta solución racional.
 III. Presenta una solución irracional.
A)	VFV	 B)	VVV	 	 	 C)	FVV
D)	VFF	 	 	 	 	 	 E)	VVF
15. Si x1;	x2;	...;	xn son las soluciones de la ecuación
 x2(x	–	1)2=|x2	–	x|+6
 calcule el valor de x1 · x2 · ... · xn.
A)	6 B)		–	6	 	 	 C)	9
D)		–	3	 	 	 	 	 	 E)	27
16. Halle el conjunto solución de la ecuación
	 |3x+2|	–	|x	–	1|=2x+3
A)	[1;	+∞〉
B)	 − + ∞


3
2
;
C)	 −{ }32
D)	 −{ } ∪ + ∞32 1;
E)	 1
3
2
; + ∞ − { }
17. Calcule la suma de las soluciones de la ecua-
ción siguiente.
 
x x
x x
x x
x x
2
2
2
2
1
3
3
1
2
+ +
− −
+
− −
+ +
=
A)	–	2	 B)	–	3	 	 	 C)	2
D)	1 E)	0
18. Si a y b son las soluciones de la ecuación
 x
x
x
x
+ + − =
4 4
4
 determine el valor de ab+ba.
A)	5/2	 B)	1 C)	17/4
D)		–	4	 	 	 	 	 	 E)	4
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4
Valor absoluto II
13
Práctica por Niveles
NIVEL BÁSICO
1. Resuelva el siguiente sistema
 x
x
<
− >



5
2
	 e	indique	el	número	de	soluciones	enteras.
A)	0	 B)	2 C)	5
D)	4 E)	3
2. Si A={x ∈ R/ 2 ≤ |x+1|	<	5}
 determine la longitud de A.
A)	7	 B)	4 C)	3
D)	5	 	 	 	 	 	 E)	6
3. Resuelva la inecuación
 x x x2 1 3 1+ + + < −
A)	〈1;	3〉
B)	 − 5 5;
C)	〈	–	∞;	1〉 ∪ 〈3;	+∞〉
D)	R
E)	f
4. Resuelva la siguiente inecuación
 x2	–	2x	–	2	<	2|x	–	1|
A)	CS={x ∈ R/	–	2	<	x ∨ x	<	3}
B)	CS={x ∈ R/	–	2	<	x ∧ x	<	3}
C)	CS={x ∈ R/	–	1	<	x ∧ x	<	4}
D)	CS={x ∈ R/	–	2	<	x ∨ x	<	4}
E)	CS={x ∈ R/	–	2	<	x ∧ x	<	4}
5. Determine el conjunto T	por	extensión
 T x
x
= ∈
−
∈




Z
2
2
1
2
3
2
;
A)	T={4;	5}
B)	T={4;	5;	6}
C)	T={–	6;	–	5;	–	4;	4;	5;	6}
D)	T={–	5;	–	4;	4;	5}
E)	T={–	5;	–	4;	–	3;	–	3;	4;	5}
6. Dados los conjuntos
 A={x ∈ R/|x2	–	x|	<	6}
 B={x ∈ R/|3x	–	1|	≥	5}
 halle A ∩ B.
A)	[2;	+∞〉
B)	〈3;	+∞〉
C)	〈	–	2;	2]
D)	〈	–	∞;		–	2〉 ∪	[2;	3〉
E)	 − − 

∪ [2 4
3
2 3; ;
NIVEL INTERMEDIO
7. Luego de resolver el sistema
 x x x
x x
2
2
4 3 2
2
− < −
< +




 se obtiene S=〈a;	b〉. Halle el valor de |a|+|b|.
A)	4 B)	5	 	 	 	 C)	6
D)	8	 	 	 	 	 	 E)	10
8. Sabiendo	que	la	desigualdad
 |x	–	a|+5x	<	8
	 se	verifica	para	todo	x ∈ 〈	–	∞;	1〉. Determine un 
valor de a.
A)		–	2	 B)	0	 	 	 	 C)	2
D)	3	 	 	 	 	 	 E)	 	–	4
9. Resuelva la siguiente ecuación.
 |x2	–	3|+|5	–	x2|=2
A)	CS=f
B)	CS=R
C)	CS ; ;= − − ∪5 3 3 5
D)	CS ; ; ;= −∞ − ∪ − ∪ + ∞5 3 3 5
E)	CS ; ;= −∞ − ∪ + ∞5 5
10. Determine el conjunto solución de la inecuación
 |2x	–	3|+2x ≤	3
A)	R − { }32 B)	 −∞ ; 32 C)	 32 ; + ∞
D)	f E)	R
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5 14
Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico N.o 5
11. Determine el conjunto solución de la siguiente 
inecuación.
 
2 1
5
2
x x
x
− −
−
<
A)	〈	–	∞;	5〉 ∪ 〈9;	+∞〉
B)	〈	–	∞;	4〉 ∪ 〈8;	+∞〉
C)	〈	–	5;	6〉
D)	〈	–	5;	7〉
E)	 〈	–	3;	4〉
12. Si E x
x
x= ∈ <
−
+ −




R 2
1
2
2 ,
	 halle	el	complemento	de	E.
A)	Z	– B)	Z+ C)	f
D)	{1;	3}	 	 	 	 	 	 E)	{1;	2;	3}
NIVEL AVANZADO
13. Resuelva la siguiente inecuación.
	 |3x	–	1|	<	|5x	–	p|+|2x+1	–	p|
A)	CS ;=
−1
3
1
2
π
B)	CS=f
C)	CS=R
D)	CS ; ;= −∞ ∪
−
+ ∞
π π
5
1
2
E)	CS ;=
−π π
5
1
2
14. Determine el conjunto solución de la inecuación
 1
1 1 1
22
+ + ≤
x x
A)	 −∞ −  ∪ + + ∞; ;2 5 2 5
B)	R
C)	R	–	{0}
D)	 2 5 2 5− + ;
E)	f
15. Luego de resolver la ecuación
	 (|x|	–	1)(|x|	–	2)	≤	0
	 determine	 la	veracidad	(V)	o	 falsedad	(F)	de	
las	siguientes	proposiciones.
 I. La longitud del conjunto solución es 2.
 II. Posee solo 4 soluciones enteras.
	 III.	No	posee	soluciones	irracionales.
A)	VVV	 B)	VVF	 	 	 C)	VFV
D)	FVV	 	 	 	 	 	 E)	FFF
16. Si y=|x	–	1|+|x	–	2|+|x	–	3|+|x	–	4|;	x ∈ R
 ¿cuál es el mínimo valor de y?
A)	6 B)	8	 	 	 	 C)	1
D)	2 E)	4
17. Si B=〈	– a;	b〉 es el conjunto solución de la si-
guiente inecuación:
 2 7 5 12− + ≥ −( ) +( )x x x
 determine el valor de a+b.
A)	4 B)	6 C)	8
D)		–	2	 	 	 	 	 	 E)	0
18. Sea la inecuación
 
x x
x x
− + −
+ −
≥ −
+ −
4 9
1 7
1
1 7
 Determine su conjunto solución.
A)	[–	4;	9]	–	{–	8;	6}
B)	R	–	{–	8;	6}
C)	[–	9;	–	4]	∪	[4;	9]
D)	([–	9;	–	4]	∪	[4;	9])	–	{–	8;	6}
E)	f
Álgebra
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6
Funciones
19
Práctica por Niveles
NIVEL BÁSICO
1. Si el conjunto
 f={(3;	9),	(a;	7),	(3;	a2),	(b;		–	1),	(5;	b2),	(5;	4b	–	3)}
	 representa	una	función,	indique	f.
A)	f={(3;	9),	(3;		–	3),	(	–	1;		–	1),	(5;	1)}
B)	f={(3;	9),	(5;	9)}
C)	f={(3;	9),	(3;	7),	(5;	25),	(5;	1)}
D)	f={(3;	9),	(–	3;	7),	(5;	–	1)}
E)	 f={(3;	9),	(–	3;	7),	(1;	–	1),	(5;	1)}
2. Se	sabe	que	f	es	una	función,	tal	que
 f
x x
xx( )
=
− ≤ <
≤ ≤



2 1 0 3
2 3 10
;
;
 además
 f f f m
m m2
2
2 5 1 1 2



+( ) ( )− = − < ≤;
 calcule f(m).
A)	0	 B)	1 C)	2
D)	3	 	 	 	 	 	 E)	5
3. Determine el dominio de la función
 f
xx
( ) = −
9
12
A)	[–	3;	3]
B)	[–	3;	3]	–	{0}
C)	〈–	∞;	–	3]	∪	[3;	+∞〉
D)	[–	2;	2]
E)	[–	2;	2]	–	{0}
4. Sea la función
 h: 〈a;	b〉 → R
 x → 2x+5
 cuyo rango es 〈3;	9〉. Determine el valor de a+b.
A)	0	 B)	1 C)		–	1
D)		–	2	 	 	 	 	 	 E)	2
5. Halle el rango de la función
 g
x
x
xx( ) =
+
+
− ≤ ≤
1
3 2
1
3
4;
A)	
15
42
2
3
; B)	[2;	15]		 	 C)	〈	–	1;		–	1/2〉
D)	
15
42
2
3
;



 E)	
15
42
2;



6. Sea f: S → R	una	función	definida	por
 f={(2t+1;	4t2	–	2t+1)	∈ R×R/ t ∈ R}
	 Halle