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Ayudantía 2010 Distribuciones Muestrales - M Rivera

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Mauricio Rivera 
Ayudantía Estadística II 2010
Distribuciones Muestrales
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DISTRIBUCIONES MUESTRALES
DEFINICIÓN Una distribución muestral es una distribución de probabilidades de un estadístico muestral calculado a partir de todas las muestras posibles de tamaño n elegidas al azar en una población determinada.
OBSERVACIONES
	Cuando la población es infinita la hablamos de una distribución muestral teórica. 
	Cuando la población es finita y de tamaño moderado se puede construir una distribución muestral experimental, extrayendo todas las muestras posibles de tamaño n, calculando el valor del estadístico de interés para cada una, e indicándolos junto a sus probabilidades de ocurrencia.
CARACTERISTICAS DE INTERÉS
	Su forma funcional
	Su media
	Su desviación estándar
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DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS
PARA COMPRENDER vamos a construir una distribución muestral experimental de medias, a partir del siguiente ejemplo:
EJEMPLO Una escuela emplea 10 maestros. La variable de interés es el número de años de experiencia docente de cada profesor. La siguiente tabla muestra los datos: 
MEDIA
VARIANZA
	Número de maestros	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Años de Experiencia	6	1	2	9	5	8	4	3	10	7
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PASO 1 Extraemos con reemplazamiento todas las muestras posibles de tamaño n=2. En un muestreo con reemplazamiento el número de todas las muestras posibles es igual a Nn. En este caso 102 = 100. 
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	1,10
	2	2,1	2,2	2,3	2,4	2,5	2,6	2,7	2,8	2,9	2,10
	3	3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	3,6	3,7	3,8	3,9	3,10
	4	4,1	4,2	4,3	4,4	4,5	4,6	4,7	4,8	4,9	4,10
	5	5,1	5,2	5,3	5,4	5,5	5,6	5,7	5,8	5,9	5,10
	6	6,1	6,2	6,3	6,4	6,5	6,6	6,7	6,8	6,9	6,10
	7	7,1	7,2	7,3	7,4	7,5	7,6	7,7	7,8	7,9	7,10
	8	8,1	8,2	8,3	8,4	8,5	8,6	8,7	8,8	8,9	8,10
	9	9,1	9,2	9,3	9,4	9,5	9,6	9,7	9,8	9,9	9,10
	10	10,1	10,2	10,3	10,4	10,5	10,6	10,7	10,8	10,9	10,10
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PASO 2 Calculamos la media para cada muestra. 
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5	5,5
	2	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5	5,5	6
	3	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5	5,5	6	6,5
	4	2,5	3	3,5	4	4,5	5	5,5	6	6,5	7
	5	3	3,5	4	4,5	5	5,5	6	6,5	7	7,5
	6	3,5	4	4,5	5	5,5	6	6,5	7	7,5	8
	7	4	4,5	5	5,5	6	6,5	7	7,5	8	8,5
	8	4,5	5	5,5	6	6,5	7	7,5	8	8,5	9
	9	5	5,5	6	6,5	7	7,5	8	8,5	9	9,5
	10	5,5	6	6,5	7	7,5	8	8,5	9	9,5	10
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PASO 3 Se realiza una lista con todos los valores distintos de las medias junto con la probabilidad de ocurrencia de cada uno. 
	x	Probabilidad	x	Probabilidad
	1,0	1/100	6,0	9/100
	1,5	2/100	6,5	8/100
	2,0	3/100	7,0	7/100
	2,5	4/100	7,5	6/100
	3,0	5/100	8,0	5/100
	3,5	6/100	8,5	4/100
	4,0	7/100	9,0	3/100
	4,5	8/100	9,5	2/100
	5,0	9/100	10,0	1/100
	5,5	10/100	Total	100/100=1
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DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS
MEDIA Y VARIANZA (muestreo con reemplazamiento)
MEDIA
VARIANZA
La media de todas las medias muestrales es exactamente igual a la media de la población 
La varianza de las medias muestrales es igual a la varianza de la población dividida por el tamaño de la muestra 
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En un MUESTREO SIN REEMPLAZAMIENTO el número de muestras posibles está dado por NCn en este caso 10C2 = 45. 
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	1,10
	2	2,1	2,3	2,4	2,5	2,6	2,7	2,8	2,9	2,10
	3	3,1	3,2	3,4	3,5	3,6	3,7	3,8	3,9	3,10
	4	4,1	4,2	4,3	4,5	4,6	4,7	4,8	4,9	4,10
	5	5,1	5,2	5,3	5,4	5,6	5,7	5,8	5,9	5,10
	6	6,1	6,2	6,3	6,4	6,5	6,7	6,8	6,9	6,10
	7	7,1	7,2	7,3	7,4	7,5	7,6	7,8	7,9	7,10
	8	8,1	8,2	8,3	8,4	8,5	8,6	8,7	8,9	8,10
	9	9,1	9,2	9,3	9,4	9,5	9,6	9,7	9,8	9,10
	10	10,1	10,2	10,3	10,4	10,5	10,6	10,7	10,8	10,9
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DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS 
MEDIA Y VARIANZA (muestreo sin reemplazamiento)
MEDIA
VARIANZA
Nuevamente la media de las medias muestrales es igual a la media de la población
La varianza de las medias muestrales corresponde a: 
FACTOR DE CORRECCIÓN Se puede desestimar cuando n/N es menor o igual a 0,05
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DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS POBLACIONES INFINITAS
El muestreo con reemplazamiento en una población finita es equivalente al muestreo en una población infinita. 
Por lo tanto, si el muestreo se hace en una población infinita, la MEDIA de la distribución muestral de las medias muestrales es igual a la media de la población en que se toma la muestra y la VARIANZA es igual a σ2/n
Media
Varianza
Desviación Estándar
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DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS 
FORMA FUNCIONAL 
MUESTREO EN UNA POBLACIÓN DISTRIBUIDA NORMALMENTE
Si es la media de una muestra aleatoria de tamaño n sacada de una población distribuida normalmente con media µ y varianza σ2, entonces la distribución muestral de está distribuida normalmente con media µ y varianza σ2/n
EJERCICIO 
Los puntajes en facilidad de lectura de los niños de un jardín infantil están normalmente distribuídos con una media y una desviación típica de 75 y 10 respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 niños arroje un puntaje promedio entre 70 y 78?
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DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS 
FORMA FUNCIONAL (2)
MUESTREO EN POBLACIONES QUE NO ESTAN DISTRIBUIDAS NORMALMENTE
Cuando la población no está distribuída normalmente, o bien, se desconoce su forma funcional requerimos extraer una muestra grande. Una vez extraída la muestra podemos utilizar el teorema del limite central (TLC)
TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL
Sin tener en cuenta la forma funcional de la población de donde se extrae la muestra, la distribución de las medias muestrales, calculadas con muestras de tamaño n extraídas de una población con media µ y varianza σ2, se aproxima a una distribución normal con media µ y varianza σ2/n, cuando n aumenta. Si n es grande, la distribución de las medias muestrales puede aproximarse mucho a una distribución normal. (n > 30)
EJERCICIO
La ingestión media diaria de agua de un animal de laboratorio es de 16 gramos. La desviación estándar es de 2 gramos. ¿Cuál es la probabilidad de que la ingestión diaria de agua para una muestra aleatoria de 65 animales esté entre 15.5 y 16.25?
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DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS 
FORMA FUNCIONAL (3)
MUESTREO EN POBLACIONES FINITAS
EJERCICIO
En una población de 600 adolescentes la cantidad promedio de dinero gastada en recreación por semana es de $6.50 y la desviación estándar es de $6.00. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 36 adolescentes de esta población arroje una media mayor a $7.00?
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DISTRIBUCIÓN DE UNA PROPORCIÓN MUESTRAL
LA PROPORCIÓN MUESTRAL está dada por el numero de las entidades de la muestra que presentan la característica de interés dividido por el número total de entidades de la muestra
PARA CONSTRUIR la distribución muestral se extraen de una población todas las muestras posibles y se les calcula la proporción. Luego se presentan todos los valores de las proporciones junto a su probabilidad de ocurrencia. 
LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE PROPORCIONES, calculada con base a muestras aleatorias simples de tamaño n, sacadas de una población en que la proporción poblacional es P, se aproxima a la distribución normal si n es grande. 
LA MEDIA Y LA VARIANZA de la distribución muestral de proporciones equivalen a: 
np > 5
nq > 5 
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DISTRIBUCIÓN DE UNA PROPORCIÓN MUESTRAL (2)
EJERCICIO
Un estudio llevado a cabo en cierto distrito escolar dio como resultado que el 70% de los niños de primaria se habían mudado de casa por lo menos una vez en su vida. Se saca una muestra aleatoria de 200 niños de este distrito. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción de los niños que se han mudado de casa por lo menos una vez en su vida esté entre 0,65 y 0,75?
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