SOLUCION_AL_CUESTIONARIO_10

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SOLUCIÓN CUESTIONARIO 10 
Ejercicio 1 
Utilice una integral doble para calcular el área encerrada por un pétalo de la rosa de 4 hojas 
dada por la ecuación cos(2 )r  . 
Solución 
Lo más sencillo es calcular el área mediante una integral simple 
   
2
1
4
2 24 4
4 4
4
1 1 1 1 (4 )
cos 2 1 cos(4
2 2 4 4 4 8
sen
A r d d d

 

 
 
 
     
 

 
       
 
   
Usando la integral doble: 
Primero se observa el recinto ( , ) / , 0 cos(2 )
4 4
D r r
 
  
 
     
 
 
El área es  
cos2
2
cos2
24 4 4
0
4 4 40
1
cos 2
2 2 8
r
D r
r
A dA rdrd d d
  

  

   

  

 
     
 
     
Ejercicio 2 
Encontrar el volumen del sólido bajo el paraboloide 2 2z x y  y por encima del plano xy y 
dentro del cilindro 2 2 2x y x  
Solución 
El cilindro se puede escribir 2 2 2 22 ( 1) 1x y x x y      que en coordenadas polares se 
expresa 2 2 cos 2cosr r r    . 
Por tanto el disco D se escribe ( , ) / , 0 2cos
2 2
D r r
 
  
 
      
 
 
   
 
2cos
4
2cos
2 2 2 42 2 2
0
2 2 20
2
42 2 2
0 0 0
2
0
4 cos
4
1 cos41 cos2
8 cos 8 2 1 2cos2
2 2
3 1 3
2 2 4
2 8 2
D
r
V x y dA r rdrd d d
d d d
sen sen
  

  
  

   

    

  
  
 
      
 
   
       
   
 
    
 
    
  
 
 
Ejercicio 3 
Encontrar el centro de masa de la lámina de densidad  constante. La lámina está acotada 
por la gráfica 2( ) 4 y en el eje f x x x  
 
2 
 
Solución 
Como el centro de masa está en el eje de simetría se sabe que 0 x
M
x y
m
   . 
La masa de la lámina es  
2
3
2
2
2
2
32
4 4
3 3
x
m x dx x

 


 
     
 
 
Para calcular el momento respecto al eje x, la distancia del centro del rectángulo elemental al 
eje x es 
2( ) 4
2 2
i
f x x
y

  
 
2
2 3 5
2 2
2 2 4
2 2
2
4 8 256
4 16 8 16
2 2 2 3 5 15
x
x x x
M x dx x x dx x
  

 

 
           
 
  
256
8 815 Centro de masa: 0,
32 5 5
3
xMy
m


 
     
 
 
Observar no depende de la densidad sino de la forma de la lámina. 
Ejercicio 4 
Hallar el centro de masa de una lámina correspondiente a una región parabólica 
20 4x x   si la densidad en cada punto es proporcional a su distancia al eje x. 
Solución 
Como la lámina es simétrica respecto al eje y, el centro de masa estará situado en el eje y, por 
tanto 0, y la densidad de cada punto será: ( , )x
M
x y x y ky
m
   . 
a) Se calcula la masa 
 
2
2 42 4 2 2
2 2 4
2 0 2 2
0
2
3 5
2
( ) 16 8
2 2
8 256
16
2 3 5 15
x
x k k
m ky dydx y dx x x dx
k x x k
x


  

       
 
    
 
   
 
b) Se calcula el momento respecto al eje x 
2
2 42 4 2 2
3 2 4 6
2 0 2 2
0
2
5 7
3
2
( ) 64 48 12
3 3
12 4096
64 16
3 5 7 105
x
x
x
k k
M y ky dydx y dx x x x dx
k x x k
x x


  

            
 
     
 
   
 
3 
 
4096
16105
256 7
15
k
y
k
  Por tanto el centro de masa será: 
16
0,
7
 
 
 
 
Ejercicio 5 
Calcular el volumen del elipsoide 2 2 24 4 16x y z   utilizando una integral triple. 
Solución 
Fórmula 
Se sabe que el volumen del elipsoide responde a la fórmula 
4
3
abc
V

 . El elipsoide dado se 
puede expresar: 
2 2 2
2
64
1 2
4 4 16 3
4
a
x y z
b V
c



      
 
 
Integral triple 
 
   
 
2 2 2 2 2 2
2
2
2 4 2 4 2 4 2 4
00 0 0 0 0
4
2 4 2
2 2 2 2 2
20 0 0
0
2 2 2 2 2
2
2
0
8 8
16 4 8 4 4
4
1
ya que 
2
8 0 4 (1) 0 0 8 4
x x y x x y
E
x
x
V dV dzdydx z
y
x y dydx y x y x arcsen dx
x
u
a u u a u a arcsen C
a
V x arcsen dx x
     


   
 
       
 
 
      
 
       
 
     
  

  
2
3
2
2
0
0
64
4 4
2 3 3
x
dx x
 

 
   
 

 
Ejercicio 6 
Calcular la integral triple 
E
dV donde E es el tetraedro acotado por los planos 
 0, 0, 0, 1x y z x y z      
Solución 
Fórmula: 
2 2
1 1
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) ( , , )
b g x u x y
a g x u x y
E
f x y z dV f x y z dzdydx    Regio tipo 1 y D tipo I 
 ( , , ) ( , , ) / 0 1, 0 1 , 0 1E x y z x y z x y x z x y          
 
1
2
1 1 1 1 1 1 1 2
0 0 0 0 0 0 0
0
1
1
2 2
x y
x x y x x
E
z
dV zdzdydx dydx x y dydx
 
     
      
 
        
4 
 
 
 
1 13 4
1 1 3
0 0
00
11 1 1 (1 ) 1
1
2 3 6 6 4 24
x
x y x
dx x dx

    
         
    
 