SOLUCION_AL_CUESTIONARIO_12

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SOLUCIÓN CUESTIONARIO 12 
Ejercicio 1 
Calcular la integral de línea  22
C
x y ds donde C es la mitad superior del círculo 
2 2 1x y  
Solución 
Primero se obtienen unas ecuaciones paramétricas de C:  cos ,x t y sent  . La mitad 
superior del círculo se describe para el intervalo 0 t   . 
Se calculan las derivadas:  ' , ' cosx sent y t   
Se utiliza la fórmula:   2 2( , ) ( ), ( ) ' '
b
a
C
f x y ds f x t y t x y dt   
     
3
2 2 2 2 2
0 0
0
cos 2
2 2 cos cos 2 cos 2 2
3 3
C
t
x y ds t sent sen t tdt t sent dt t

 

 
            
 
  
 Ejercicio 2 
Calcular la integral de línea 2
C
xds donde C consta de 
2
1
2
: Arco de parábola entre los puntos (0,0) y (1,1)
: Segmento rectilíneo vertical desde el punto (1,1) al punto (1,2)
C y x
C

 
Solución 
1 2
2 2 2
C C C
xds xds xds    . Se utiliza la fórmula:  
2 2( , ) ( ), ( ) ' '
b
a
C
f x y ds f x t y t x y dt   
Arco    21 : , 0 1 0 1 ' 1, ' 2C x t y t x t x y t         
 
1
11 3/2
2 2
0 0
1 2 5 5 1
2 2 1 4 1 4
4 3 6
C
xds t t dt t
     
    
Arco    2 : 1, 1 2 1 2 ' 0, ' 1C x y t y t x y         
    
2
2 22 2
11
2 2 1 0 1 2 2
C
xds dt t     
En total 
5 5 1
2 2
6
C
xds

 
 
Ejercicio 3 
Calcula el centro de gravedad de una semiesfera de radio R. 
 
2 
 
Solución 
Se considera que es un cuerpo con densidad homogénea ( , , ) 1f x y z  . Se hace coincidir el 
origen de coordenadas con el centro de la esfera de radio R y dada la simetría de la figura la 
única coordenada del centro de gravedad es: 
xy V
V
z dxdydz
M
z
m dxdydz

 


 
3 31 4 2
= La mitad del volumen de la esfera
2 3 3
V
R R
m dxdydz
  
   
 
 . 
También puede calcularse fácilmente pasando a coordenadas esféricas 
   
/2 2 /2 2
2 2
0 0 0 0 0 0
Jacobiano
3 3 3
/2 2
0 0
0
2
cos 1 2
3 3 3
R R
V
R
m dxdydz sen d d d d sen d d
R R
   
 
         
 
  
   
 
     
 
      
 
/2 2 /2 2
2 3
0 0 0 0 0 0
Jacobiano
/2
4 2 4
0 0
cos cos
cos
2
4 2 4
R R
xy
V z
R
M z dxdydz sen d d d d sen d d
R
   

            
  

    
   
    
   
      
 
4
3
34 , 0 , 0
2 8
3
R
R
z y x
R


    
Ejercicio 4 
Calcula el centro de gravedad del área comprendida entre la parábola 24y x  , la parte 
positiva del eje OX y la parte positiva del eje OY. 
Solución 
Se considera que es un cuerpo con densidad homogénea ( , ) 1f x y  . 
Fórmulas: ,
y xR R
R R
xdxdy ydxdy
M M
x y
m mdxdy dxdy
   
 
 
 
Para hallar los límites de integración se hace 
 2 20, 4 0 2 (parte positiva) , ( , ) / 0 2, 0 4y x x R x y x y x           
3 
 
La masa es el área señalada: 
 
2
3
2
2
0
0
16
4 4
3 3
x
m x dx x
 
     
 
 
 
 
2
2
4
2
2 4 2 2 2
2
0 0 0 0
0
2
3 5
2
2 4
0
0
4
2
8 128
16 8 16
3 5 15
x
x
x
R
y
M ydxdy ydydx dx x dx
x x
x x dx x

  
      
 
 
       
 
    

 
   
 
2
2 42 4 2 2
2
0 0 0 00
2
2 4
2
3
0
0
4
4
4 4
2 4
y xx
y
y
R
M xdxdy xdydx xy dx x x dx
x x
x x dx
 

     
 
     
 
    

 
128
4 3 815,
16 164 5
3 3
x y   
 
Ejercicio 5 
Calcular el momento de inercia respecto al eje OZ del volumen del paraboloide de revolución 
2 2z x y  limitado por el plano 4z  . 
Solución 
Fórmula: 2 , siendo, por simetría: z xz yz xz yz
V
I I I I I y dxdydz     
Pasando a coordenadas cilíndricas y multiplicando por 4, debido a la simetría resulta 
   
2
2
2
/2 4 4
2 2 2 3
0 0
Jacobiano
/2 2 /242 3 2 3 2
0 0 0 0
4 4
4 4 4
yz xz
y
I I sen d d dz sen d d dz
sen d z d sen d d


  

        
        
   
   
   
   
 
2
4 6 3
/2 /2
2
0 0
0
4 4 1 cos2 16
4 4
4 6 12 2 2 3
sen d d
    
  
    
       
  
  
2 16 32
3 3
z xz yzI I I
 
   