Analisis-cinematico-de-una-escultura-transformable

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FACULTAD DE INGENIERÍA
ANÁLISIS CINEMÁTICO DE UNA 
ESCULTURA TRANSFORMABLE
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
PROGRAMA DE MAESTRÍA Y DOCTORADO EN 
INGENIERÍA
T E S I S
ANTONIO HERNÁNDEZ DELGADILLO
QUE PARA OPTAR POR EL GRADO DE
MESTRO EN INGENIERÍA
INGENIERÍA MECÁNICA – MECATRÓNICA
P R E S E N T A:
TUTOR
Dr. FRANCISCO CUENCA JIMÉNEZ
AÑO
2009
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UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
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Presidente: Dr. González González Leopoldo Adrián 
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Vocal: Dr. Cuenca Jiménez Francisco 
1er. Suplente: Dr. Espinoza Bautista Adrián
2do. Suplente: M.I. Peñuelas Rivas Ulises Martín
Lugar donde se realizó la tesis:Lugar donde se realizó la tesis:
Ciudad Universitaria, México, Distrito Federal
TUTOR DE LA TESIS:
Dr. Francisco Cuenca Jiménez
__________________________________
FIRMA
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Agradezco 
A mi Señor Jesucristo por permitirme terminar una etapa más; a mis padres Antonio y 
Yolanda por su incomparable amor, paciencia y ayuda durante mis estudios; a mi amor 
Nayeli por su compañía y ánimo en esta empresa; a Serafín por su amistad, motivación 
y gran apoyo recibido durante la licenciatura y la maestría; a Francisco por ser un 
mentor generoso compartiendo su conocimiento y tiempo conmigo; a Jesús Manuel por 
su experiencia y valiosos consejos durante todo este trayecto; a Itzel y Ana por su 
amistad, confianza y apoyo dentro y fuera del aula; a Emilio, Arianna y Humberto por 
dejarme hacer equipo con ustedes; a todas las personas que no mencioné y que de 
muchas maneras contribuyeron a la realización de este trabajo, de corazón gracias. 
 
 
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Análisis Cinemático de una Escultura Transformable
Antonio Hernández Delgadillo
Febrero, 2009
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Índice general
Introducción V
1. Brancusi: La Escultura Transformable 1
1.1. Brancusi y Sebastián . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Estructuras Desplegables de Hedgepeth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5. Metas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Descripción Geométrica del Brancusi 7
2.1. Geometría del Brancusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Configuraciones del Brancusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3. Secuencias de Movimiento del Brancusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3. Método Matricial de Transformaciones Homogéneas 17
3.1. Generalidades en Cadenas y Pares Cinemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.1. Cadenas Cinemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.2. Mecanismos y Pares Cinemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.3. Grados de Libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2. Método Matricial de Transformaciones Homogéneas . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.1. Posición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.2. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.3. Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.4. Movimientos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.5. Matrices Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3. Fórmulas Generales de Movimientos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4. Análisis Cinemático 37
4.1. Definición de Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2. Análisis de Posición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3. Análisis de Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4. Análisis de Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5. Solución del Modelo 45
5.1. Número de Grados de Libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2. Perfil de Trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3. Solución de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6. Resultados, Conclusiones y Trabajo a Futuro 53
6.1. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3. Recomendaciones Para el Diseño del Brancusi . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.4. Trabajo a Futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
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�� ÍNDICE GENERAL
A. Perfil de Trayectoria Trapezoidal Suavizado. 63
B. El Método de Davidon-Fletcher-Powell (DFP) 65
C. Código Fuente 71
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Introducción
Ingeniería y arte son dos actividades humanas que tienen mucho en común, primero el
agente que las realiza y segundo las necesidades humanas de crear, comunicar e investigar.
La Real Academia Española define arte como la “Manifestación de la actividad
humana mediante la cual se expresa una visión personal y desinteresada que
interpreta lo real o imaginado con recursos plásticos, lingüísticos o sonoros (Del
lat. ars, artis, y este calco del gr. τεχνη)” a la ingeniería la define como “Estudio
y aplicación, por especialistas, de las diversas ramas de la tecnología” y a su vez
la definición de tecnología es “Conjunto de teorías y de técnicas que permiten
el aprovechamiento práctico del conocimiento científico (Del gr. τεχνoλoγια, de
τεχνoλγoς, de τεχνη, arte, y λoγoς, tratado)” [16]. Cabe señalar que las raíces
etimológicas de las palabras arte y tecnología son las mismas lo cual sugiere
un significado etimológico común de estas. La ingeniería está antecedida por el
conocimiento científico y el desarrollo de técnicas basadas en tal conocimiento y
el arte es una visión personal, literalmente no tiene leyes.
Sin embargo en tiempos antiguos era natural la equivalencia de los términos arte y
técnica, ya que no había una clara diferencia entre ellos, un ejemplo de esta situación es un
pasaje de la Biblia donde se hace referencia a artistas muy hábiles en ciertas tareas:
“Y lo he llenado del espíritu de Dios, en sabiduría y en inteligencia, en
ciencia y en todo arte, para inventar diseños, para trabajar en oro, en plata y en
bronce, para labrar piedras y engastarlas, tallar madera y trabajar en toda clase
de labor”[17].
Arte e ingeniería se pueden diferenciar simplemente considerando la finalidad de cada
una: La ingeniería busca satisfacer las necesidades y deseos humanos, es funcional, permite
resolver problemas prácticos y está basada en la ciencia que busca la verdad (correspondencia
entre la realidad y las ideas que nos hacemos de ella). El arte busca el placer que da la
expresión y evocación de los sentimientos humanos, la belleza de las formas, los sonidos y
los conceptos; el placer intelectual, sin embargo ingeniería, arte y ciencia se entrelazande
manera compleja en nuestra sociedad. La tecnología puede motivar el desarrollo del arte y
la ciencia, la ciencia puede motivar el desarrollo del arte y la tecnología, y el arte puede
motivar el desarrollo de la ciencia y la tecnología.
En múltiples ocasiones el conocimiento técnico y científico ha ayudado al arte. Por ejem-
plo, desde tiempos inmemoriales los hombres antiguos expresaron su visión del mundo por
medio de vasijas de barro que eran moldeadas y pintadas con técnicas y materiales rústicos;
piedras que fueron esculpidas y construcciones hechas hace milenios cuyos restos perduran
hasta hoy mostrándonos un poco de las culturas que las realizaron; Instrumentos musi-
cales que se fabricaron con fibras animales o vegetales y que modernamente son fabricados
con acero y plástico, fotografías hechas con nitrato de plata y que actualmente se realizan
digitalmente, solo por mencionar algunos casos.
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�� INTRODUCCIÓN
"En un tiempo muy distinto del nuestro, y por hombres cuyo poder de acción
sobre las cosas era insignificante comparado con el que nosotros poseemos, fueron
instituidas nuestras Bellas Artes y fijados sus tipos y usos. Pero el incremento
sorprendente de nuestros medios, la flexibilidad y la precisión que éstos alcanzan,
las ideas y costumbres que introducen, nos aseguran respecto de cambios próximos
y profundos en la antigua industria de lo Bello. En todas las artes hay una
parte física que no puede ser tratada como antaño, que no puede sustraerse a la
acometividad del conocimiento y la fuerza modernos. Ni la materia, ni el espacio,
ni el tiempo son, desde hace veinte años, lo que han venido siendo desde siempre.
Es preciso contar con que novedades tan grandes transformen toda la técnica de
las artes y operen por tanto sobre la inventiva, llegando quizás hasta a modificar
de una manera maravillosa la noción misma del arte."[15]
En la actualidad la ciencia por medio de la ingeniería permite a los artistas tener mejores
materiales, herramientas, instrumentos, medios de comunicación y técnicas con las que su
creatividad se ha visto potencializada. Es así que se puede decir que conforme avanza la
ciencia y la técnica, en la misma manera cambia la forma en que hacemos arte.
Algunos artistas contemporáneos que han buscado basar su obra en principios científicos
y técnicos son los escultores Theo Jansen y Arthur Ganson. Las esculturas de A. Ganson
son una mezcla de arte y engranes hechos de alambre [19]. Theo Jansen ha construido
esculturas semejantes a esqueletos de animales que son capaces de caminar usando el viento
como fuente de energía. Su trabajo animado es una fusión de arte e ingeniería. En un
comercial de televisión, Jansen dijo:
"las barreras entre el arte y la ingeniería existen sólo en nuestra mente"[18]
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Capítulo 1
Brancusi: La Escultura
Transformable
1.1. Brancusi y Sebastián
El avance tecnológico vertiginoso de los últimos años está abriendo nuevos horizontes
para el arte, en este contexto el escultor mexicano Sebastián ha concebido una serie de
esculturas “transformables” con volúmenes geométricos que, al estar unidos por algunas de
sus aristas permiten la movilidad de la escultura, y esta, literalmente se transforma.
“En su deseo de dar homenaje a ciertos grandes artistas de diversas épocas,
que han sido determinantes en su formación y en la creación de sus esculturas,
Sebastián ha decidido bautizar su tercer cubo transformable con el nombre del
gran escultor rumano Constantin Brancusi. Sebastián realizó el Brancusi basado
en el análisis de los cinco cuerpos regulares del sistema regular de la cristalo-
grafía. El resultado es una fantasía juguetona que se transforma en el espacio y
llega a ser una escultura simple, vertical, como la columna sin fin de Brancusi”
(Figura 1.1) [14].
La escultura está compuesta por ocho volúmenes parecidos a prismas triangulares y
cuya base y tapa son triángulos rectángulos. Los prismas tienen un corte cuyo sobrante al
parecer fue colocado en la cara que originalmente tenía la mayor área (Figura 1.2), además
están unidos por las aristas de la base y tapa, alternando dicha unión de hipotenusa a
cateto respectivamente para cada prisma como se muestra en la Figura 1.3. Algunas de
las posiciones de los prismas que conforman la escultura dan como resultado las formas
mostradas en la Figura 1.4.
El Brancusi tiene las características de una familia de mecanismos ya conocidos. Según
Pellegrino [1] Dichos mecanismos tienen una articulación rotacional entre cada eslabón con-
secutivo y la orientación de cada articulación varia durante el movimiento. De hecho la
versión de cuatro eslabones es el clásico descubierto por G.T. Bennett [3] (Figura 1.5), y
el de seis eslabones fue descubierto por Bricard [4], sin embargo la primera propuesta de
realización de este tipo de mecanismos fue presentada por Hedgepeth [5]. Estos mecanismos
tienen potenciales aplicaciones en estructuras desplegables para el espacio, arreglos solares,
velas solares y apertura de antenas o radares [2].
1
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2 CAPÍTULO 1. BRANCUSI: LA ESCULTURA TRANSFORMABLE
Figura 1.1: Brancusi
Figura 1.2: Geometría de los Prismas
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1.1. BRANCUSI Y SEBASTIÁN 3
Figura 1.3: Uniones de los prismas
Figura 1.4: Algunas configuraciones geométricas del Brancusi
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4 CAPÍTULO 1. BRANCUSI: LA ESCULTURA TRANSFORMABLE
Figura 1.5: Mecanismo de Bennett, tomado de referencia [1]
1.2. Estructuras Desplegables de Hedgepeth
Hedgepeth [5][2] propuso una familia de estructuras desplegables formadas por una ca-
dena cinemática cerrada que consiste en n eslabones de igual geometría y dimensiones. La
geometría de estas cadenas es más fácilmente descrita por medio de la sección transversal de
sus eslabones, la cual se asume como un triángulo isósceles, aunque una forma más general
de los eslabones puede ser aceptada para que estos no interfieran con el movimiento (Figura
1.7). Para que los eslabones del mecanismo puedan acoplarse juntos cuando éste está en su
posición cerrada (Figura 1.6, foto 1) se necesita que el ángulo de los triángulos isósceles α1
tengan el valor descrito en la ecuación (1.1).
α1 =
360◦
n
(1.1)
Entonces los ángulos de la sección transversal de los eslabones son α1 y:
α2 = 90
◦
−
α1
n
(1.2)
Para asegurar que el mecanismo está en su posición de anillo cuando los eslabones se
acoplen (Figura 1.6, foto 4), las terminaciones de cada eslabón se deben cortar a un ángulo
de 180◦/n respecto al eje de rotación (Figura 1.7, derecha). Los eslabones se deben articular
alternadamente en las caras interior y exterior como se muestra en la Figura 1.7. Las
secciones de los extremos de los eslabones también son isósceles y los ángulos de la base
deben ser:
α3 = arctan(
cos2(α1/2)
sin(α1/2)
) (1.3)
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1.2. ESTRUCTURAS DESPLEGABLES DE HEDGEPETH 5
Figura 1.6: Anillo de Hedgepeth de diez eslabones, tomado de referencia [1]
Figura 1.7: Geometría del Anillo de Hedgepeth tomado de referencia [2]
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6 CAPÍTULO 1. BRANCUSI: LA ESCULTURA TRANSFORMABLE
1.3. Problema
Dar movimiento de manera automatizada a las transformaciones del Brancusi para así
alcanzar sus distintas configuraciones geométricas.
1.4. Objetivo
Tener un esquema teórico que permita obtener datos cinemáticos de la escultura que
sirvan para el diseño de los distintos sistemas que la automatizarán.
Para este análisis se tienen definidas la geometría y las dimensiones pero aún no están
definidas especificaciones que indiquen las posiciones por las que deba pasar la escultura,
ni con que velocidad o aceleración, ni requerimientos extraídos de alguna normatividad.
Este trabajo pretende dar luz al comportamiento cinemático del Brancusi, partiendo de los
requerimientos subjetivos dados a continuación y haciendo finalmente recomendaciones para
el diseño desde el punto de vista de la cinemática.
El Brancusi seráun espectáculo automatizado.
Para esta aplicación se tienen los siguientes requerimientos:
1. Ser un espectáculo de alto impacto visual.
2. Los movimientos se deben realizar de manera suave y exacta.
3. Realizar el mayor número de configuraciones geométricas.
4. La sujeción de la escultura debe ser lo menos visible.
5. Los equipos motrices no deben ser visibles o al menos no deben ser notorios para el
espectador.
Los requerimientos que afectan directamente el comportamiento cinemático son: el dos
y el tres.
1.5. Metas
1. Describir al Brancusi y sus distintos movimientos.
2. Aplicar el método de transformaciones homogéneas para analizar la cinemática del
Brancusi.
3. Solucionar el modelo matemático obtenido en el análisis.
4. Realizar recomendaciones para el diseño del Brancusi.
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Capítulo 2
Descripción Geométrica del
Brancusi
2.1. Geometría del Brancusi
Como se observa en la Figura 2.1 cada eslabón del Brancusi se puede simplificar como
un prisma triangular con las dimensiones ahí mostradas.
Figura 2.1: Dimensiones de los Eslabones Simplificados Como Prismas Triangulares [m]
Se articula cada par de prismas en sus aristas para formar una cadena. La característica
principal de las articulaciones es que se alternan entre la hipotenusa y uno de los catetos de
la base de cada eslabón. Se han nombrado los eslabones con números romanos comenzando
con el número I para el eslabón que se encuentra en la parte inferior de la Figura 2.2 y
siguiendo la cadena en sentido horario hasta llegar al número VIII para el último eslabón.
Las articulaciones de la cadena se muestran en color negro para diferenciarlas claramente.
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8 CAPÍTULO 2. DESCRIPCIÓN GEOMÉTRICA DEL BRANCUSI
Figura 2.2: Eslabones y Ejes de Articulación del Brancusi
Por ejemplo, al articular el eslabón I con el II en la hipotenusa y, si se dice que las
articulaciones se alternan, entonces la articulación entre el eslabón II y III será en uno de
los catetos. Para determinar cual cateto será el articulado simplemente se toma el cateto
del lado hacia donde se quiera cerrar la cadena. Este esquema se repite con los eslabones
restantes hasta lograr unir el eslabón VIII con el I por medio de uno de sus catetos. Con la
numeración romana asignada a cada eslabón es posible identificar a cada eje de articulación
con base en los eslabones específicos que acopla (Tabla 3.1 ).
Tabla 3.1: Tipos de Ejes
Eje Tipo
I-II Hipotenusa (H)
II-III Cateto (C)
III-IV Hipotenusa (H)
IV-V Cateto (C)
V-VI Hipotenusa (H)
VI-VII Cateto (C)
VII-VIII Hipotenusa (H)
VIII-I Cateto (C)
La geometría de los eslabones y la manera de articularlos impone restricciones de giro
en cada uno de los ejes. Si se considera a los eslabones como cuerpos rígidos, entonces las
características geométricas de dichos eslabones definen los límites de movimiento de las
articulaciones de la cadena. La restricción principal es que cada eslabón tiene un rango
de desplazamiento rotacional máximo de 180 grados. Los límites de giro están entonces
determinados por condiciones de contacto, es decir cuando las tapas o las caras de dos
prismas articulados entran en contacto coplanar se define físicamente su límite (Figura 2.3).
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2.2. CONFIGURACIONES DEL BRANCUSI 9
Figura 2.3: Desplazamiento Angular Máximo de la Articulación
2.2. Configuraciones del Brancusi
Al observar y analizar las distintas configuraciones geométricas que la cadena puede al-
canzar cuando sus eslabones tienen ciertos valores de desplazamiento angular, se encontraron
muchas con alto impacto visual. Algunas de estas configuraciones tienen la particularidad
de ser formadas cuando los desplazamientos angulares de los eslabones respecto a cada eje
de rotación medidos desde una condición de tapa con tapa o cara con cara tienen valores
de 0, 90 y 180 grados. Se buscó el mayor número de configuraciones con esta caracterís-
tica y se escogieron las más representativas para asignarles un nombre en particular por
lo que en la siguiente tabla se muestran los distintos nombres y sus abreviaturas y en las
siguientes páginas se muestran las figuras de tales configuraciones geométricas del Brancusi
como estructuras de alambre.
Tabla 3.2: Configuraciones Geométricas del Brancusi
Nombre Abreviatura
Cubo C
Media Torre Rectangular A MTRA
Media Torre Rectangular B MTRB
Media Torre Triangular A MTTA
Media Torre Triangular B MTTB
Torre Cuadrada A TCA
Torre Cuadrada B TCB
Torre Triangular A TTA
Torre Triangular B TTB
Ventana A VA
Ventana B VB
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10 CAPÍTULO 2. DESCRIPCIÓN GEOMÉTRICA DEL BRANCUSI
Figura 2.4: Cubo (C)
Figura 2.5: Media Torre Rectangular A (MTRA)
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2.2. CONFIGURACIONES DEL BRANCUSI 11
Figura 2.6: Media Torre Rectangular B (MTRB)
Figura 2.7: Media Torre Triangular A (MTTA)
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12 CAPÍTULO 2. DESCRIPCIÓN GEOMÉTRICA DEL BRANCUSI
Figura 2.8: Media Torre Triangular B (MTTB)
Figura 2.9: Torre Cuadrada A (TCA)
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2.2. CONFIGURACIONES DEL BRANCUSI 13
Figura 2.10: Torre Cuadrada B (TCB)
Figura 2.11: Torre Triangular A (TTA)
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14 CAPÍTULO 2. DESCRIPCIÓN GEOMÉTRICA DEL BRANCUSI
Figura 2.12: Torre Triangular B (TTB)
Figura 2.13: Ventana A (VA)
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2.3. SECUENCIAS DE MOVIMIENTO DEL BRANCUSI 15
Figura 2.14: Ventana B (VB)
2.3. Secuencias de Movimiento del Brancusi
La Figura 2.15 es un diagrama que muestra las configuraciones geométricas del Brancusi
con óvalos. Dichos óvalos están enlazados por medio de líneas con puntas de flecha que
representan los movimientos entre las configuraciones. Las líneas con ambas terminaciones
en flecha indican que los movimientos son reversibles y la leyenda escrita en su contorno
muestra el mínimo número de ejes respecto a los cuales debe haber movimiento simultáneo
para que sea posible la transformación de una configuración a otra.
Figura 2.15: Configuraciones, Movimientos y Ejes
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16 CAPÍTULO 2. DESCRIPCIÓN GEOMÉTRICA DEL BRANCUSI
No todas las configuraciones geométricas del Brancusi se pueden alcanzar partiendo de
la misma configuración inicial, sino que en algunos casos pasar de una a otra requiere que
se alcancen otras configuraciones intermedias debido a las restricciones que la geometría de
los eslabones impone en la rotación. Por ejemplo, no es posible pasar de la configuración
geométrica denominada Ventana A (VA) a la Ventana B (VB) de manera directa, es decir
usando solamente desplazamientos de 0, 90 o 180 grados y siempre en un sólo sentido para
cada eje que deba moverse. Para pasar de VA a VB se pueden tomar muchas rutas que
implican formar las demás configuraciones.
Si se quisiera pasar de la configuración geométrica C a la configuración geométrica VA y
viceversa, hay cinco rutas distintas, cuatro de ellas implican una configuración intermedia:
MTTA, MTTB, TTA, TTB y la última implica mover los 8 ejes simultáneamente. Con las 11
configuraciones geométricas distintas que se han definido es posible encontrar 18 movimien-
tos distintos (o 36 si se considera diferente el ir y el regresar de una a otra configuración
geométrica).
De todo lo anterior surgen algunas preguntas: ¿Cuáles son los valores de ángulo que deben
tener los eslabones para que el Brancusi sea configurado geométricamente de una manera
específica? otro factor igualmente importante es el tiempo, ¿Cómo debe cambiar la posición
angular de los eslabones del Brancusi en función del tiempo para obtener un comportamiento
cinemático adecuado? éstas y otras preguntas serán contestadas en los Capítulos siguientes.
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Capítulo 3
Método Matricial de
Transformaciones Homogéneas
3.1. Generalidades en Cadenas y Pares Cinemáticos
3.1.1. Cadenas Cinemáticas
El acoplamiento de cuerpos rígidos constituye una cadena cinemática, así cada uno de
sus cuerpos se denomina eslabón de la cadena. Si cadaeslabón de la cadena cinemática está
acoplado al menos a otros dos eslabones, se dice que la cadena es cerrada. Sin embargo, si
alguno de los eslabones de la cadena está acoplado a un solo eslabón, la cadena es abierta.
Dada una cadena cinemática, aunque abierta, puede contener un sub-arreglo de eslabones
que constituyan una sub-cadena cinemática cerrada, a esta también se le denomina mixta.
Si son cerradas o mixtas las cadenas cinemáticas pueden contener uno o múltiples lazos [8].
3.1.2. Mecanismos y Pares Cinemáticos
Una definición de mecanismo ampliamente aceptada es “un ensamble de cuerpos rígidos o
cuerpos resistentes conectados con el propósito de transformar movimiento” [8]. La amplia
variedad de mecanismos puede ser dividida en dos grandes clases: mecanismos de pares
inferiores y de pares superiores.
Un par cinemático es el acoplamiento de dos elementos mecánicos. Estos dos elementos
se consideran como cuerpos rígidos. El par cinemático puede ser de dos tipos: a) par inferior
o b) par superior. Un par inferior existe cuando un elemento es acoplado a otro por medio
de una acción envolvente y el contacto tiene lugar a lo largo de una superficie. Si el contacto
toma lugar a lo largo de una línea o punto el acoplamiento resultante es referido como un
par superior [11]. La característica básica de un par cinemático es el número de restricciones
que posee y tal número define la clase del par cinemático (un par cinemático de clase j
tiene j restricciones de movimiento). Todos los posibles pares cinemáticos inferiores pueden
ser agrupados en seis diferentes tipos: rotacional, prismático, de tornillo, plano, cilíndrico y
esférico (Figura 3.1). Usualmente se estudian los sistemas de multicuerpos restringidos por
pares cinemáticos y elementos de fuerza [8].
3.1.3. Grados de Libertad
El número de grados de libertad de una cadena cinemática está definido como el número
entero correspondiente al mínimo número de coordenadas generalizadas requeridas para es-
pecificar geométricamente una configuración de la cadena. Si el número de grados de libertad
de una cadena es un número positivo, ésta constituye un mecanismo; si es cero corresponde
17
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18CAPÍTULO 3. MÉTODO MATRICIAL DE TRANSFORMACIONES HOMOGÉNEAS
Figura 3.1: Pares Cinemáticos Inferiores
a una estructura estáticamente determinada, mientras que, un número de grados de libertad
negativo corresponde a estructura estáticamente indeterminada o hiperestática. Los grados
de libertad de un cuerpo rígido que se mueve libremente en el espacio es igual a seis, a
saber, traslación a lo largo de tres direcciones no coplanares y rotación alrededor de tres
direcciones no coplanares (no necesariamente correspondientes a las tres de traslación)[8].
El número de grados de libertad de una cadena cinemática puede ser obtenido con-
siderando que un sistema consistente de n elementos (uno de los cuales estaría fijo), los
n− 1 elementos móviles restantes tienen en conjunto 6(n− 1) grados de libertad. Cada par
cinemático impone j restricciones que disminuyen la libertad de movimiento del sistema en
j grados de libertad. Designando el número de pares cinemáticos de clase j como dj resulta
en que el número de grados de libertad de un sistema en particular es:
i = 6(n− 1)−
5∑
j=1
j · dj (3.1)
La ecuación (3.1) anterior está referida en la literatura como la fórmula de Grüebler-
Kutzback [9].
3.2. MétodoMatricial de Transformaciones Homogéneas
La base de todos los métodos de análisis y síntesis de mecanismos es la cinemática
del movimiento del punto y del cuerpo rígido. Por movimiento de un punto se entiende el
movimiento de un punto significativo de un cuerpo rígido [9].
La cinemática de un punto de un cuerpo puede ser resuelta desde varios puntos de
vista y usando varias formulaciones. Se debe usar el acercamiento analítico como punto de
partida, por lo que en la descripción y solución de la cinemática del Brancusi se usará la
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3.2. MÉTODO MATRICIAL DE TRANSFORMACIONES HOMOGÉNEAS 19
formulación matricial, la principal ventaja de ésta es su concisión y la fácil programación
de las relaciones resultantes. La desventaja es la falta de lucidez para la descripción de las
cantidades vectoriales. [9].
3.2.1. Posición
Dada la Figura 3.2 :
Figura 3.2: Bases en el Espacio
Designando las coordenadas del punto M en el sistema a por símbolos xaM , yaM , zaM
y para el mismo punto M en el sistema b por símbolos xbM , ybM , zbM y aquellos del punto
Ob en el sistema a por símbolos a1, a2, a3, se tiene la ec. de posición:
−→r aM =
−→r bM +
−→r ab
Escalarmente:
xaM = a11 xbM + a12 ybM + a13 zbM + a1
yaM = a21 xbM + a22 ybM + a23 zbM + a2 (3.2)
zaM = a31 xbM + a32 ybM + a33 zbM + a3
Donde aij es el coseno director del ángulo entre el i-ésimo eje del sistema a y el j-ésimo
eje del sistema b. Introduciendo las siguientes notaciones:
uaM =
[
xaM , yaM , zaM
]T
ubM =
[
xbM , ybM , zbM
]T
uab =
[
a1, a2, a3
]T
Sab =


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33


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20CAPÍTULO 3. MÉTODO MATRICIAL DE TRANSFORMACIONES HOMOGÉNEAS
La ecuación (3.2) , se reescribe como:
uaM = SabubM + uab (3.3)
Donde Sab = [aij ] , ij = 1, 2, 3, es la matriz de cosenos directores. Usando coordenadas ho-
mogéneas, se expresa mediante vectores extendidos, los vectores del punto M en los espacios
a y b:
raM =
[
uaM
1
]
, rbM =
[
ubM
1
]
(3.4)
Se desea además reescribir la ecuación (3.3), expresando la descomposición del movimiento
espacial general en la forma:
[
uaM
1
]
=
[
Sab uab
0 1
] [
ubM
1
]
(3.5)
En forma detallada la ecuación (3.5), se tiene:



xaM
yaM
zaM
1


 =



a11 a12 a13 a1
a21 a22 a23 a2
a31 a32 a33 a3
0 0 0 1






xbM
ybM
zbM
1


 (3.6)
La cual puede ser escrita como una ecuación matricial simbólica:
raM = Tab rbM (3.7)
Que expresa una transformación homogénea de vectores extendidos, donde la matriz de
transformación es:
Tab =
[
Sab uab
0 1
]
(3.8)
La inversa de esta transformación T−1ab , se obtiene como:
TabT
−1
ab = T
−1
ab Tab = E4 (3.9)
Donde E4 es la matriz unitaria de 4× 4. Además:
T
−1
ab =
[
A B
C D
]
, E4 =
[
E3 0
0
T 1
]
Sustituyendo en ecuación (3.9) se tiene:
[
Sab uab
0
T 1
] [
A B
C D
]
=
[
E3 0
0
T 1
]
Desarrollando:
SabA+ uabC = E3
SabB+ uabD = 0 (3.10)
0
T
A+1C = 0T
0
T
B+1D = 1
A partir de las ecuaciones (3.10), comenzando con la última de éstas se tiene:
D=1, C= 0T B = −S−1ab uab A = S
−1
ab
La inversa finalmente se define como:
T
−1
ab =
[
S
T
ab −S
T
abuab
0 1
]
(3.11)
También se cumple que:
T
−1
ab �= T
T
ab
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3.2. MÉTODO MATRICIAL DE TRANSFORMACIONES HOMOGÉNEAS 21
3.2.2. Velocidad
Matriz de velocidad V definida en el sistema a
Se tiene la ecuación (3.7)
raM = Tab rbM
Para obtener la velocidad, se deriva respecto al tiempo la ecuación (3.7), asumiendo
rbM =constante:
vaM =
•
Tab rbM (3.12)
Donde vaM es la velocidad extendida del punto M en el sistema a. Es decir:
vaM =
•
raM =
[
•
uaM
0
]
=



•
xaM
•
yaM
•
zaM
0



A partir de la ecuación (3.7) se despeja rbM :
rbM = T
−1
ab raM (3.13)
Sustituyendo la ecuación (3.13) en la ecuación (3.12):
vaM =
•
TabT
−1
ab raM = Va,ab raM (3.14)
Donde Vk,ij es la matriz de velocidad del movimiento de j visto desde i y proyectado en
k, tal que:
Va,ab =
•
TabT
−1
ab (3.15)
Esta definición de velocidad es correcta y es la definición comúnmente usada. A continuación
se desarrolla otro punto de vista para V definida en el sistema b, esto producirá la misma
definición con menos operaciones.
Matriz de velocidad V definida en el sistema b
Transformando Va,ab al sistema b :
Vb,ab = T
−1
ab (Va,ab)Tab
= T−1ab
(
•
TabT
−1
ab
)
Tab
= T−1ab
•
TabE4
Vb,ab = T
−1
ab
•
Tab (3.16)
Tal que:
Vb,ab = T
−1
ab
•
Tab
=
[
S
T
ab −S
T
abuab
0 1
][ •
Sab
•
uab
0 0
]
Vb,ab =
[
S
T
ab
•
Sab S
T
ab
•
uab
0 0
]
(3.17)Despejando
•
Tabde la ecuación (3.16):
•
Tab = TabVb,ab (3.18)
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22CAPÍTULO 3. MÉTODO MATRICIAL DE TRANSFORMACIONES HOMOGÉNEAS
Sustituyendo la ecuación (3.18) en la ecuación (3.12) escritas a continuación:
vaM =
•
Tab rbM
vaM = TabVb,abrbM (3.19)
Desarrollando la ecuación (3.14) y (3.18) para ver operaciones
De la ecuación (3.14) se tiene:
VaM =
•
TabT
−1
ab raM
=
[
•
Sab
•
uab
0 0
] [
S
T
ab −S
T
abuab
0 1
]
raM
=
[
•
SabS
T
ab
•
Sab
(
−S
T
abuab
)
+
•
uab
0 0
][
Sab uab
0 1
]
rbM
=


(
•
SabS
T
ab
)
Sab
(
•
SabS
T
ab
)
uab +
•
Sab
(
−S
T
abuab
)
+
•
uab
0 0

 rbM
VaM =
[
•
Sab
•
uab
0 0
]
rbM
De la ecuación (3.19) se tiene:
VaM = TabVb,abrbM
=
[
Sab uab
0 1
][
S
T
ab
•
Sab S
T
ab
•
uab
0 0
]
rbM
=

 Sab
(
S
T
ab
•
Sab
)
Sab
(
S
T
ab
•
uab
)
0 0

 rbM
La ecuación (3.19) es la mejor opción, ya que con menos operaciones se llega al mismo
resultado.
Por otra parte, introducimos Ωb,ab para la matriz de velocidad angular del sistema
b visto desde a y proyectado en b:
•
Sab = Sab Ωb,ab (3.20)
Tal que:
Ωb,ab = S
−1
ab
•
Sab = S
T
ab
•
Sab (3.21)
Ωb,ab =


0 −ωz ωy
ωz 0 −ωx
−ωy ωx 0

 (3.22)
El vector axial asociado con la matriz antisimétrica de velocidad angular es:
ωab =
[
ωx, ωy, ωz
]T
(3.23)
Sustituyendo la ecuación (3.21) en la (3.17):
Vb,ab =
[
S
T
ab
•
Sab S
T
ab
•
uab
0 0
]
=
[
Ωb,ab S
T
ab
•
uab
0 0
]
(3.24)
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3.2. MÉTODO MATRICIAL DE TRANSFORMACIONES HOMOGÉNEAS 23
3.2.3. Aceleración
Se sabe que derivando la ecuación (3.12) respecto al tiempo, se obtiene la aceleración:
vaM =
•
Tab rbM
aaM =
••
Tab rbM (3.25)
Donde aaM es la aceleración absoluta extendida del punto M en el sistema a. Es decir:
aaM =
•
vaM =
••
r aM =
[
••
uaM
0
]
=



••
xaM
••
y aM
••
z aM
0



(3.26)
A partir de la ecuación (3.18) se tiene:
••
Tab =
•
TabVb,ab +Tab
•
Vb,ab (3.27)
Tal que:
Ab,ab =
•
Vb,ab (3.28)
Donde Ak,ij es la matriz de aceleración del movimiento de j visto desde i y proyectado
en k. Sustituyendo las ecuaciones (3.18) y (3.28) en la ecuación(3.27) se obtiene:
••
Tab = (TabVb,ab)Vb,ab +TabAb,ab
= Tab
(
Ab,ab +V
2
b,ab
)
••
Tab = TabBb,ab (3.29)
Sustituyendo la ecuación (3.29) en la ecuación (3.25):
aaM = TabBb,abrbM (3.30)
A continuación se obtendrá la matriz Bb,ab, mediante sus componentes Ab,ab y V
2
b,ab.
Obteniendo la matriz Ab,ab
De la ecuación (3.17) se sabe:
Vb,ab =
[
S
T
ab
•
Sab S
T
ab
•
uab
0 0
]
Su derivada respecto al tiempo es:
Ab,ab =
•
Vb,ab =
[
•
S
T
ab
•
Sab + S
T
ab
••
Sab
•
S
T
ab
•
ua,ab + S
T
ab
••
ua,ab
0 0
]
La ecuación (3.20) es
•
Sab = Sab Ωb,ab y su derivada respecto al tiempo es:
••
Sab =
•
SabΩb,ab + Sab
•
Ωb,ab
= (Sab Ωb,ab) Ωb,ab + Sab
•
Ωb,ab
= Sab
(
•
Ωb,ab +Ω
2
b,ab
)
(3.31)
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24CAPÍTULO 3. MÉTODO MATRICIAL DE TRANSFORMACIONES HOMOGÉNEAS
Sustituyendo las ecuaciones (3.20) y (3.31) en el movimiento esférico de la matriz Ab,ab:
•
S
T
ab
•
Sab + S
T
ab
••
Sab = Ω
T
b,abS
T
ab (Sab Ωb,ab) + S
T
ab
••
Sab
= ΩTb,ab Ωb,ab + S
T
abSab
(
•
Ωb,ab +Ω
2
b,ab
)
= −Ω2b,ab +
(
•
Ωb,ab +Ω
2
b,ab
)
=
•
Ωb,ab (3.32)
Sustituyendo la ecuación (3.20) en la aceleración lineal de la matriz Ab,ab:
•
S
T
ab
•
ua,ab + S
T
ab
••
ua,ab = (Sab Ωb,ab)
T •
ua,ab + S
T
ab
••
ua,ab
= −Ωb,abS
T
ab
•
ua,ab + S
T
ab
••
ua,ab (3.33)
Sustituyendo las ecuaciones (3.32) y (3.33) en Ab,ab:
Ab,ab =
[
•
Ωb,ab −Ωb,abS
T
ab
•
ua,ab + S
T
ab
••
ua,ab
0 0
]
(3.34)
Donde la matriz
•
Ωb,ab es llamada la matriz de aceleración angular. Y el vector axial
asociado con la matriz antisimétrica de aceleración angular es:
•
Ωb,ab =


0 −αz αy
αz 0 −αx
−αy αx 0

 (3.35)
αab =
[
αx, αy, αz
]T
ab
(3.36)
Obteniendo la matriz V2b,ab
V
2
b,ab = Vb,abVb,ab
=
[
Ωb,ab S
T
ab
•
ua,ab
0 0
] [
Ωb,ab S
T
ab
•
ua,ab
0 0
]
=
[
Ω
2
b,ab Ωb,abS
T
ab
•
ua,ab
0 0
]
(3.37)
Finalmente de la ecuación (3.29) se tiene:
Bb,ab = Ab,ab +V
2
b,ab
=
[
•
Ωb,ab −Ωb,abS
T
ab
•
ua,ab + STab
••
ua,ab
0 0
]
+
[
Ω
2
b,ab Ωb,abS
T
ab
•
ua,ab
0 0
]
Bb,ab =
[
•
Ωb,ab +Ω2b,ab S
T
ab
••
ua,ab
0 0
]
(3.38)
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3.2. MÉTODO MATRICIAL DE TRANSFORMACIONES HOMOGÉNEAS 25
3.2.4. Movimientos Básicos
Sean sistemas de cuerpo a y b idénticos en el principio del movimiento. El cuerpo b puede
realizar una rotación o traslación, y si después de dicho movimiento algún par de ejes con
la misma designación (xa, xb o ya, yb o za, zb) coincide, entonces este tipo de movimiento es
llamado movimiento básico [9].
En este caso, la matriz de transformación, velocidad y aceleración tienen una forma
simple. Se quiere designar traslaciones en direcciones x, y, z por subíndices z1, z2, z3, o en
el caso de rotaciones alrededor de estos ejes por subíndices z4, z5, z6. Las matrices básicas
son funciones de una coordenada, que serán escritas entre paréntesis.
La importancia de los movimientos básicos, radica en el hecho, de que cada movimiento
espacial complejo de un cuerpo, puede estar compuesto de movimientos básicos. Ya que una
matriz de transformación, puede ser expresada como un producto de matrices de transforma-
ción a su vez, esto resulta muy conveniente para la descripción del movimiento de un cuerpo
o de un punto del mismo, para una solución manual o implementada por computadora [9].
3.2.5. Matrices Básicas
Las matrices de transformación, velocidad y aceleración de movimientos básicos son
obtenidas de las ecuaciones (3.8), (3.18), (3.29).
Tab =
[
Sab uab
0 1
]
•
Tab = TabVb,ab
••
Tab = TabBb,ab
Donde de las ecuaciones (3.24) y (3.38):
Vb,ab =
[
Ωb,ab S
T
ab
•
uab
0 0
]
Bb,ab =
[
•
Ωb,ab +Ω
2
b,ab S
T
ab
••
ua,ab
0 0
]
Traslación en x
Posición
Se tiene la Figura 3.3.
De la ecuación (3.8) se tiene Sab = I3×3 y uab = ux =
[
x, 0, 0
]T
, de esta manera
se tiene:
Tab = Tz1(x) =
[
I3×3 ux
0 1
]
Es decir:
Tz1(x) =



1 0 0 x
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1


 (3.39)
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26CAPÍTULO 3. MÉTODO MATRICIAL DE TRANSFORMACIONES HOMOGÉNEAS
Figura 3.3: Traslación en x
Velocidad
De la ecuación (3.24) se tiene:
Ωb,ab = S
T
ab
•
Sab = 03×3
S
T
ab
•
uab = I3×3
•
uab =
•
uab =
•
ux =
[
•
x, 0, 0
]T
Sustituyendo:
Vb,ab =
[
Ωb,ab S
T
ab
•
uab
0 0
]
=
[
03×3
•
ux
0 0
]
Para el cálculo de la velocidad y la aceleración, se introduce un operador diferencial matricial
Dz1 como sigue:
Dz1(
•
x) =



0 0 0
•
x
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0


 (3.40)
De esta manera Vb,ab se escribe como:
Vb,ab =Vz1 =Dz1(
•
x) (3.41)
Aceleración
De la ecuación (3.38) se tiene:
•
Ωb,ab +Ω
2
b,ab = 03×3
S
T
ab
••
uab = I3×3
••
uab =
••
ux =
[
••
x, 0, 0
]T
Sustituyendo:
Bb,ab =
[
•
Ωb,ab +Ω
2
b,ab S
T
ab
••
ua,ab
0 0
]
=
[
03×3
••
ux
0 0
]
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3.2. MÉTODO MATRICIAL DE TRANSFORMACIONES HOMOGÉNEAS 27
Usando el operador diferencial matricial Dz1 se tiene:
Dz1(
••
x) =



0 0 0
••
x
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0


 (3.42)
De esta manera Bb,ab se escribe como:
Bb,ab = Bz1 = Dz1(
••
x ) (3.43)
Las ecuaciones (3.18) y (3.29) se reescriben como:
•
Tz1(x) = Tz1(x)Vz1 = Tz1(x)Dz1(
•
x) (3.44)
••
Tz1(x) = Tz1(x)Bz1 = Tz1(x)Dz1(
••
x ) (3.45)
Traslación en y
Posición
Se tiene la Figura 3.4.
Figura 3.4: Traslación en y
De la ecuación (3.8) se tiene Sab = I3×3 y uab = uy =
[
0, y, 0
]T
, de esta manera
se tiene:
Tab = Tz2(y) =
[
I3×3 uy
0 1
]
Tz2(y) =



1 0 0 0
0 1 0 y
0 0 1 0
0 0 0 1


 (3.46)
Velocidad
De la ecuación (3.24) se tiene:
Ωb,ab = S
T
ab
•
Sab = 03×3
S
T
ab
•
uab = I3×3
•
uab =
•
uy =
[
0,
•
y, 0
]T
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28CAPÍTULO 3. MÉTODO MATRICIAL DE TRANSFORMACIONES HOMOGÉNEAS
Sustituyendo y usando el operador diferencial matricial Dz2 se tiene:
Vb,ab =
[
Ωb,ab S
T
ab
•uab
0 0
]
=
[
03×3
•
uy
0 0
]
Dz2(
•
y) =



0 0 0 0
0 0 0
•
y
0 0 0 0
0 0 0 0


 (3.47)
De esta manera Vb,ab se escribe como:
Vb,ab = Vz2 =Dz2(
•
y) (3.48)
Aceleración
De la ecuación (3.38) se tiene:
•
Ωb,ab +Ω
2
b,ab = 03×3
S
T
ab
••
uab = I3×3
••
uab =
••
uy =
[
0,
••
y , 0
]T
Sustituyendo y usando el operador diferencial matricial Dz2 se tiene:
Bb,ab =
[
•
Ωb,ab +Ω
2
b,ab S
T
ab
••
ua,ab
0 0
]
=
[
03×3
••
uy
0 0
]
Dz2(
••
y ) =



0 0 0 0
0 0 0
••
y
0 0 0 0
0 0 0 0


 (3.49)
De esta manera Bb,ab se escribe como:
Bb,ab = Bz2 = Dz2(
••
y ) (3.50)
Las ecuaciones (3.18) y (3.29) se reescriben como:
•
Tz2(y) = Tz2(y)Vz2 = Tz2(y)Dz2(
•
y) (3.51)
••
Tz2(y) = Tz2(y)Bz2 = Tz2(y)Dz2(
••
y ) (3.52)
Traslación en z
Posición
Se tiene la Figura 3.5.
Similar al análisis anterior:
Tab = Tz3(z) =
[
I3×3 uz
0 1
]
Tz3(z) =



1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 z
0 0 0 1


 (3.53)
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3.2. MÉTODO MATRICIAL DE TRANSFORMACIONES HOMOGÉNEAS 29
Figura 3.5: Traslación en z
Velocidad
De la ecuación (3.24) se tiene:
Ωb,ab = 03×3
S
T
ab
•
uab =
•
uz =
[
0, 0,
•
z
]T
Sustituyendo y usando el operador diferencial matricial Dz2 se tiene:
Vb,ab =
[
03×3
•
uz
0 0
]
Dz3(
•
z) =



0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
•
z
0 0 0 0


 (3.54)
De esta manera Vb,ab se escribe como:
Vb,ab = Vz3 = Dz3(
•
z) (3.55)
Aceleración
De la ecuación (3.38) se tiene:
•
Ωb,ab +Ω
2
b,ab = 03×3
S
T
ab
••
uab =
••
uz =
[
0, 0,
••
z
]T
Sustituyendo y usando el operador diferencial matricial Dz2 se tiene:
Bb,ab =
[
03×3
••
uz
0 0
]
Dz3(
••
z ) =



0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
••
y
0 0 0 0


 (3.56)
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30CAPÍTULO 3. MÉTODO MATRICIAL DE TRANSFORMACIONES HOMOGÉNEAS
De esta manera Bb,ab se escribe como:
Bb,ab = Bz3 = Dz3(
••
z ) (3.57)
Las ecuaciones (3.18) y (3.29) se reescriben como:
•
Tz3(z) = Tz3(z)Vz3 = Tz3(z)Dz3(
•
z) (3.58)
••
Tz3(z) = Tz3(z)Bz3 = Tz3(z)Dz3(
••
z ) (3.59)
Rotación en x
Posición
Se tiene la Figura 3.6.
Figura 3.6: Rotación en x
De la ecuación (3.8) se tiene Sab = Sθx y uab = 0, de esta manera se tiene:
Tab = Tz4(θx) =
[
Sθx 0
0 1
]
Es decir:
Tz4(θx) =



1 0 0 0
0 cθx −sθx 0
0 sθx cθx 0
0 0 0 1


 (3.60)
Velocidad
De manera general de la ecuación (3.22) se tiene:
Ωb,ab = S
T
ab
•
Sab =


0 −ωz ωy
ωz 0 −ωx
−ωy ωx 0


De la ecuación (3.24) se tiene:
Ωb,ab =



0 0 0
0 0 −
•
θx
0
•
θx 0



S
T
ab
•
uab = S
T
ab0 = 0
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3.2. MÉTODO MATRICIAL DE TRANSFORMACIONES HOMOGÉNEAS 31
Sustituyendo:
Vb,ab =
[
Ωb,ab 0
0 0
]
Para el cálculo de la velocidad y la aceleración, se introduce un operador diferencial matricial
Dz4 como sigue:
Dz4(
•
θx) =



0 0 0 0
0 0 −
•
θx 0
0
•
θx 0 0
0 0 0 0



(3.61)
De esta manera Vb,ab se escribe como:
Vb,ab =Vz4 = Dz4(
•
θx) (3.62)
Aceleración
De manera general de la ecuación (3.35) se tiene:
•
Ωb,ab =


0 −αz αy
αz 0 −αx
−αy αx 0


De la ecuación (3.38) se tiene:
•
Ωb,ab +Ω
2
b,ab =


0 0 0
0 0 −αx
0 αx 0

+


0 0 0
0 0 −ωx
0 ωx 0




0 0 0
0 0 −ωx
0 ωx 0


=


0 0 0
0 0 −αx
0 αx 0

+


0 0 0
0 − (ωx)
2 0
0 0 − (ωx)
2


S
T
ab
••
uab = 0
Sustituyendo:
Bb,ab =
[
•
Ωb,ab +Ω
2
b,ab 0
0 0
]
Usando el operador diferencial matricial Dz4 se tiene:
Bb,ab = Bz4 = Dz4(
••
θx) +Dz4(
•
θx)Dz4(
•
θx)
Bz4 = Dz4(
••
θx) +D
2
z4(
•
θx) (3.63)
Las ecuaciones (3.18) y (3.29) se reescriben como:
•
Tz4(θx) = Tz4(θx)Vz4 = Tz4(θx)Dz4(
•
θx) (3.64)
••
Tz4(θx) = Tz4(θx)Bz4 = Tz4(θx)
(
Dz4(
••
θx) +D
2
z4(
•
θx)
)
(3.65)
Rotación en y
Posición
Se tiene la Figura 3.7.
De la ecuación (3.8) se tiene:
Tab = Tz4(θy) =
[
Sθy 0
0 1
]
Neevia docConverter 5.1
32CAPÍTULO 3. MÉTODO MATRICIAL DE TRANSFORMACIONES HOMOGÉNEAS
Figura 3.7: Rotación en y
Es decir:
Tz5(θy) =



cθy 0 sθx 0
0 1 0 0
−sθx 0 cθx 0
0 0 0 1


 (3.66)
Velocidad
De igual manera de la ecuación (3.22) se tiene:
Ωb,ab = S
T
ab
•
Sab =


0 −ωz ωy
ωz 0 −ωx
−ωy ωx 0


De la ecuación (3.24) se tiene:
Ωb,ab =



0 0
•
θy
0 0 0
−
•
θy 0 0



S
T
ab
•
uab = S
T
ab0 = 0
Sustituyendo:
Vb,ab =
[
Ωb,ab 0
0 0
]
El operador diferencial matricial Dz5 es:
Dz5(
•
θy) =



0 0
•
θy 0
0 0 0 0
−
•
θy 0 0 0
0 0 0 0



(3.67)
De esta manera Vb,ab se escribe como:
Vb,ab =Vz5 = Dz5(
•
θy) (3.68)
Neevia docConverter 5.1
3.2. MÉTODO MATRICIAL DE TRANSFORMACIONES HOMOGÉNEAS 33
Aceleración
De manera general de la ecuación (3.35) se tiene:
•
Ωb,ab =


0 −αz αy
αz 0 −αx
−αy αx 0


De la ecuación (3.38) se tiene:
•
Ωb,ab +Ω
2
b,ab =


0 0 αy
0 0 0
−αy 0 0

+


0 0 ωy
0 0 0
−ωy 0 0




0 0 ωy
0 0 0
−ωy 0 0


=


0 0 αy
0 0 0
−αy 0 0

+


− (ωy)
2 0 0
0 0 0
0 0 − (ωy)
2


S
T
ab
••
uab = 0
Sustituyendo:
Bb,ab =
[
•
Ωb,ab +Ω
2
b,ab 0
0 0
]
Usando el operador diferencial matricial Dz5 se tiene:
Bb,ab = Bz5 = Dz5(
••
θy ) +Dz5(
•
θy)Dz5(
•
θy)
Bz5 = Dz5(
••
θy ) +D
2
z5(
•
θy) (3.69)
Las ecuaciones (3.18) y (3.29) se reescriben como:
•
Tz5(θy) = Tz5(θy)Vz5 = Tz5(θy)Dz5(
•
θy) (3.70)
••
Tz5(θy) = Tz5(θy)Bz5 = Tz5(θy)
(
Dz5(
••
θy ) +D
2
z5(
•
θy)
)
(3.71)
Rotación en z
Posición
Se tiene la Figura 3.8.
De la ecuación (3.8) se tiene:
Tab = Tz6(θz) =
[
Sθz 0
0 1
]
Es decir:
Tz6(θy) =



cθz −sθz 0 0
sθz cθz 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1


 (3.72)
Velocidad
De manera general de la ecuación (3.22) se tiene:
Ωb,ab = S
T
ab
•
Sab =


0 −ωz ωy
ωz 0 −ωx
−ωy ωx 0


Neevia docConverter 5.1
34CAPÍTULO 3. MÉTODO MATRICIAL DE TRANSFORMACIONES HOMOGÉNEAS
Figura 3.8: Rotación en z
De la ecuación (3.24) se tiene:
Ωb,ab =



0 −
•
θz 0
•
θz 0 0
0 0 0



Sustituyendo:
Vb,ab =
[
Ωb,ab 0
0 0
]
El operador diferencial matricial Dz6 es:
Dz6(
•
θz) =



0 −
•
θz 0 0
•
θz 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0



(3.73)
De esta manera Vb,ab se escribe como:
Vb,ab = Vz6 =Dz6(
•
θz) (3.74)
Aceleración
De manera general de la ecuación (3.35) se tiene:
•
Ωb,ab =


0 −αz αy
αz 0 −αx
−αy αx 0


De la ecuación (3.38) se tiene:
•
Ωb,ab +Ω
2
b,ab =


0 −αy 0
αy 0 0
0 0 0

+


0 −ωy 0
ωy 0 0
0 0 0




0 −ωy 0
ωy 0 0
0 0 0


=


0 −αy 0
αy 0 0
0 0 0

+


− (ωz)
2
0 0
0 − (ωz)
2 0
0 0 0


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3.3. FÓRMULAS GENERALES DE MOVIMIENTOS BÁSICOS 35
Sustituyendo:
Bb,ab =
[
•
Ωb,ab +Ω
2
b,ab 0
0 0
]
Usando el operador diferencial matricial Dz6 se tiene:
Bb,ab = Bz6 =Dz6(
••
θz ) +Dz6(
•
θz)Dz6(
•
θz)
Bz6 = Dz6(
••
θz ) +D
2
z6(
•
θz) (3.75)
Las ecuaciones (3.18) y (3.29) se reescriben como:
•
Tz6(θz) = Tz6(θz)Vz6 = Tz6(θz)Dz6(
•
θz) (3.76)
••
Tz6(θz) = Tz6(θz)Bz6 = Tz6(θz)
(
Dz6(
••
θz ) +D
2
z6(
•
θz)
)
(3.77)
3.3. Fórmulas Generales de Movimientos Básicos
Para la composición de movimientos básicos, las matrices de transformación relativas
al mismo eje, o matrices de traslación básicas, son conmutables. Esto se demuestra por
cálculo directo:
Tz1(x)Tz4(θx) = Tz4(θx)Tz1(x)
Tz1(x1)Tz1(x2) = Tz1(x2)Tz1(x1)
Tz4(θx1)Tz4(θx2) = Tz4(θx2)Tz4(θx1)
Tz1(x)Tz2(y) = Tz2(y)Tz1(x)
Las matrices de velocidad y aceleración de la sección anterior se pueden generalizar para
j = 1..,6 como:
•
Tzj(q) = Tzj(q)Dzj(
•
q) (3.78)
••
Tzj(q) = Tzj(q)
(
Dzj(
••
q ) +D2zj(
•
q)
)
(3.79)
Además:
D
2
z1(
•
q) = D2z2(
•
q) = D2z3(
•
q) = 04×4
La última relación importante es:
T
−1
zj (q) = Tzj(−q) (3.80)
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36CAPÍTULO 3. MÉTODO MATRICIAL DE TRANSFORMACIONES HOMOGÉNEAS
Neevia docConverter 5.1
Capítulo 4
Análisis Cinemático
Se ha seleccionado el método que utiliza matrices homogéneas para realizar el análisis
cinemático del Brancusi. Esto con base en las características principales del método:su
concisión y la fácil programación de las relaciones resultantes [9]. Es un método muy sis-
temático que al seguirlo lleva al resultado de manera relativamente sencilla, aunque está
última ventaja puede ser desventaja en ciertos casos ya que se pierde la visualización de la
descripción vectorial.
4.1. Definición de Bases
El Brancusi es un mecanismo espacial de ocho eslabones y ocho articulaciones rota-
cionales. La Figura 4.1 muestra tres eslabones articulados, para los que se han ubicado
marcos de referencia en puntos clave pertenecientes a la geometría y la movilidad de los
eslabones. Con la letra griega δ se han designado los ángulos que definen el desfasamiento
entre los ejes de rotación debido a la geometría particular de los eslabones (Prismas). Con
la letra griega θ se han designado los ángulos de rotación de los ejes.
Se busca obtener un esquema que simplifique la aplicación del método partiendo de la
ventaja de que todos los movimientos complejos en el espacio se pueden descomponer en
movimientos más simples y, cada movimiento simple en el espacio está representado por una
de las matrices de movimientos básicos. Entonces, como se deduce de la Figura 4.1 el mismo
patrón geométrico se repite cada dos eslabones del Brancusi hasta completar los ocho, por
lo que definiendo las matrices de movimientos básicos de dos de los eslabones y repitiendo el
esquema para los siguientes seis eslabones restantes, es suficiente para describir la posición
de todos los eslabones de la cadena.
De acuerdo a la Figura 4.1, se comienza con la triada de vectores unitarios de la base a
y se van siguiendo las aristas de cada eslabón de acuerdo a los desplazamientos y los giros
indicados. De esta manera se van tomando las letras del alfabeto para designar cada base
en el recorrido desde la parte inferior del eslabón I hasta la parte superior del eslabón II
que, al considerarse los eslabones como simples prismas triangulares, la base i estaría en la
misma posición de la base a correspondiente a la siguiente pareja de eslabones III y IV, y
así con los eslabones V y VI hasta cerrar la cadena cuando la base i de la última pareja de
eslabones VII y VIII está en la misma posición y orientación que la base a de los eslabones
I y II, de donde ser partió inicialmente. La cadena entonces estará cerrada por medio de
desplazamientos representados por las matrices de movimientos básicos, ya sea que definan
la geometría de los eslabones (δ, x, z) o la rotación los ejes (θ).
37
Neevia docConverter 5.1
38 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS CINEMÁTICO
El Método de transformaciones Homogéneas permite considerar los desplazamientos xcd
y xgh, estos desplazamientos en la dirección x no se requieren para el Brancusi puesto que
las articulaciones de este son rotacionales, sin embargo se decidió considerar en el modelo ar-
ticulaciones cilíndricas como una generalización de la cadena cinemática. Un caso particular
es el Brancusi, cuando xcd y xgh son nulos.
Figura 4.1: Definición de Bases, Eslabones I y II
Neevia docConverter 5.1
4.2. ANÁLISIS DE POSICIÓN 39
4.2. Análisis de Posición
De acuerdo a la información de la Figura 4.1 se definen las matrices de movimientos
básicos para cada una de las bases que describen la geometría y los movimientos entre los
eslabones. Por ejemplo, la traslación de la base a a la base b en la dirección de ka tiene una
magnitud zab (que se lee: z de a a b ) y por otro lado la rotación de un ángulo δbc (que se
lee: δ de b a c ) en la dirección de kb se representan en forma matricial por medio de las
ecuaciones (3.53) y (3.72) respectivamente:
Tz3(zab) =



1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 zab
0 0 0 1



Tz6(δbc) =



c(δbc) −s(δbc) 0 0
s(δbc) c(δbc) 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1



La misma lógica se usa para los desplazamientos de c a d y de d a e usando las ecuaciones
(3.39) y (3.60) respectivamente:
Tz1(xcd) =



1 0 0 xcd
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1



Tz4(θde) =



1 0 0 0
0 c(θde) −s(θde) 0
0 s(θde) c(θde) 0
0 0 0 1



Y finalmente para los desplazamientos de e a f , de f a g, de g a h y de h a i usando las
ecuaciones (3.53), (3.72) (3.39) y (3.60) se tiene lo siguiente:
Tz3(zef ) =



1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 zef
0 0 0 1



Tz6(δfg) =



c(δfg) −s(δfg) 0 0
s(δfg) c(δfg) 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1



Tz1(xgh) =



1 0 0 xgh
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1



Tz4(θhi) =



1 0 0 0
0 c(θhi) −s(θhi) 0
0 s(θhi) c(θhi) 0
0 0 0 1



Al generarse todas las matrices homogéneas correspondientes a los desplazamientos
definidos se realiza la multiplicación de dichas matrices, pues como ya se explicó anteri-
ormente el movimiento de los sistemas de multicuerpos rígidos se describe por medio de la
Neevia docConverter 5.1
40 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS CINEMÁTICO
multiplicación de matrices [9]. La siguiente multiplicación matricial representa las transfor-
maciones desde a hasta i.
Tz3(zab)Tz6(δbc)Tz1(xcd)Tz4(θde)Tz3(zef )Tz6(δfg)Tz1(xgh)Tz4(θhi)
Haciendo la agrupación de términos que contengan una traslación y un giro:
Tz3(zab)Tz6(δbc) = Tac
Tz1(xcd)Tz4(θde) = Tce
Tz3(zef )Tz6(δfg) = Teg
Tz1(xgh)Tz4(θhi) = Tgi (4.1)
La relación se puede escribir como:
TacTceTegTgi (4.2)
Este esquema definido para los eslabones I y II puede aplicar a cada par de eslabones
de la cadena cinemática donde los subíndices de las ecuaciones pueden tomar los siguientes
valores:
a = 1, 9, 17, 25
b = 2, 10, 18, 26
c = 3, 11, 19, 27
d = 4, 12, 20, 28
e = 5, 13, 21, 29
f = 6, 14, 22, 30
g = 7, 15, 23, 31
h = 8, 16, 24, 32
i = 9, 17, 25, 33
Por lo que sustituyendo los subíndices para cada eslabón se llega a una ecuación matricial
que sigue la geometría y los movimientos de la cadena cinemática. Esta ecuación es idéntica
a la matriz identidad puesto que se está analizando una cadena cinemática cerrada donde
la base final tiene la misma posición y orientación que la base inicial [9].
T13T35T57T79T911T1113T1315T1517T1719T1921T2123T2325T2527T2729T2931T3133 = I
(4.3)
Donde las matrices correspondientes a los eslabones I y II son:
T13 = Tz3(z12)Tz6(δ23)
T35 = Tz1(x34)Tz4(θ45)
T57 = Tz3(z56)Tz6(δ67)
T79 = Tz1(x78)Tz4(θ89) (4.4)
Para los eslabones III y IV:
T911 = Tz3(z910)Tz6(δ1011)
T1113 = Tz1(x1112)Tz4(θ1213)
T1315 = Tz3(z1314)Tz6(δ1415)
T1517 = Tz1(x1516)Tz4(θ1617) (4.5)
Para los eslabones V y VI:
T1719 = Tz3(z1718)Tz6(δ1819)
T1921 = Tz1(x1920)Tz4(θ2021)
T2123 = Tz3(z2122)Tz6(δ2223)
T2325 = Tz1(x2324)Tz4(θ2425) (4.6)
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4.3. ANÁLISIS DE VELOCIDAD 41
Para los eslabones VII y VIII:
T2527 = Tz3(z2526)Tz6(δ2627)
T2729 = Tz1(x2728)Tz4(θ2829)
T2931 = Tz3(z2930)Tz6(δ3031)
T3133 = Tz1(x3132)Tz4(θ3233) (4.7)
4.3. Análisis de Velocidad
Para la obtención de una ecuación que represente el comportamiento de la velocidad de
la cadena cinemática es necesario derivar respecto al tiempo la ecuación (4.3) [12]. Usando
primero la representación general (4.2) de dos de los eslabones se tiene:
TacTceTegTgi
Su derivada respecto al tiempo es:
ṪacTceTegTgi +TacṪceTegTgi +TacTceṪegTgi +TacTceTegṪgi (4.8)
Donde:
Ṫac = Ṫz3(zab)Tz6(δbc) +Tz3(zab)Ṫz6(δbc)
Ṫce = Ṫz1(xcd)Tz4(θde) +Tz1(xcd)Ṫz4(θde)
Ṫeg = Ṫz3(zef )Tz6(δfg) +Tz3(zef )Ṫz6(δfg)
Ṫgi = Ṫz1(xgh)Tz4(θhi) +Tz1(xgh)Ṫz4(θhi)
De acuerdo a las definiciones de las matrices de movimientos básicos usadas en la descripción
de la posición, cuando el desplazamiento que define a la matriz ya sea traslacional o rota-
cional no cambia respecto a tiempo, entonces, es constante o cero, por lo que la matriz que
representa tal desplazamiento estará compuesta solo de constantes. Al aplicar la primera
derivada temporal a cualquier matriz de movimiento básico cuyos valores son constantes
respecto al tiempo, la matriz resultante es la matriz nula.
En el caso del Brancusi los desplazamientos que definen a la geometría son zab, δbc, zef ,
δfg y estos no cambian respecto al tiempo, son valores constantes por lo que la derivada
temporalde tales matrices de movimiento básico es la matriz nula. Para el caso de xcd y
xgh estos valores se ha definido que sean cero por lo que la derivada temporal de la matriz
de movimiento correspondiente es la matriz nula también. Las matrices que representan un
giro de los ejes (θde y θhi) son las que tienen una matriz derivada distinta de la matriz nula:
Ṫac = 0
Ṫce = 0+Tz1(xcd)Ṫz4(θde)
Ṫeg = 0
Ṫgi = 0+Tz1(xgh)Ṫz4(θhi) (4.9)
Donde de acuerdo a la ecuación (3.64):
Ṫz4(θde) = Tz4(θde)Dz4(θ̇de)
Ṫz4(θhi) = Tz4(θhi)Dz4(θ̇hi) (4.10)
Neevia docConverter 5.1
42 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS CINEMÁTICO
Donde a partir de la ecuación (3.61) se tiene que:
Dz4(θ̇de) =



0 0 0 0
0 0 −θ̇de 0
0 θ̇de 0 0
0 0 0 0



Dz4(θ̇hi) =



0 0 0 0
0 0 −θ̇hi 0
0 θ̇hi 0 0
0 0 0 0



Renombrando la velocidad angular θ̇ como ω:
ωde = θ̇de
ωhi = θ̇hi
Y al sustituir la ecuaciones (4.10) en las (4.9) se tiene:
Ṫce = Tz1(xcd)Tz4(θde)Dz4(ωde)
Ṫgi = Tz1(xgh)Tz4(θhi)Dz4(ωhi) (4.11)
Por lo que al eliminar los elementos nulos de la expresión (4.8):
TacṪceTegTgi +TacTceTegṪgi (4.12)
Lo anterior representa la velocidad de los dos primeros eslabones, pero al aplicar la derivada
temporal a la ecuación (4.3) que describe la posición de toda la cadena, ahora es fácil ver
que las matrices que correspondan a Ṫac y Ṫeg son nulas:
Ṫ13 = Ṫ57 = Ṫ911 = Ṫ1315 = Ṫ1719 = Ṫ2123 = Ṫ2527 = Ṫ2931 = 0
Derivando la ecuación de posición (4.3) respecto al tiempo y eliminando los términos que
son cero, la ecuación de velocidad queda de la siguiente manera:
T13Ṫ35T57T79T911T1113T1315T1517T1719T1921T2123T2325T2527T2729T2931T3133 +
T13T35T57Ṫ79T911T1113T1315T1517T1719T1921T2123T2325T2527T2729T2931T3133 +
T13T35T57T79T911Ṫ1113T1315T1517T1719T1921T2123T2325T2527T2729T2931T3133 +
T13T35T57T79T911T1113T1315Ṫ1517T1719T1921T2123T2325T2527T2729T2931T3133 +
T13T35T57T79T911T1113T1315T1517T1719Ṫ1921T2123T2325T2527T2729T2931T3133 +
T13T35T57T79T911T1113T1315T1517T1719T1921T2123Ṫ2325T2527T2729T2931T3133 +
T13T35T57T79T911T1113T1315T1517T1719T1921T2123T2325T2527Ṫ2729T2931T3133 +
T13T35T57T79T911T1113T1315T1517T1719T1921T2123T2325T2527T2729T2931Ṫ3133 = 0
(4.13)
Los términos Ṫ35,Ṫ79,Ṫ1113,Ṫ1517,Ṫ1921,Ṫ2325,Ṫ2729,Ṫ3133 tienen la forma descrita en las
ecuaciones (4.11), por lo que:
Ṫ35 = Tz1(x34)Tz4(θ45)Dz4(ω45)
Ṫ79 = Tz1(x78)Tz4(θ89)Dz4(ω89)
Ṫ1113 = Tz1(x1112)Tz4(θ1213)Dz4(ω1213)
Ṫ1517 = Tz1(x1516)Tz4(θ1617)Dz4(ω1617)
Ṫ1921 = Tz1(x1920)Tz4(θ2021)Dz4(ω2021)
Ṫ2325 = Tz1(x2324)Tz4(θ2425)Dz4(ω2425)
Ṫ2729 = Tz1(x2728)Tz4(θ2829)Dz4(ω2829)
Ṫ3133 = Tz1(x3132)Tz4(θ3233)Dz4(ω3233)
Neevia docConverter 5.1
4.4. ANÁLISIS DE ACELERACIÓN 43
4.4. Análisis de Aceleración
El análisis de la aceleración se obtiene de manera similar al de la velocidad, primeramente
se verá lo que sucede con dos primeros eslabones usando literales, para después aplicar la
lógica resultante a toda la cadena cinemática. Derivando la expresión de velocidad (4.12)
respecto al tiempo se obtiene:
ṪacṪceTegTgi +TacT̈ceTegTgi +TacṪceṪegTgi +TacṪceTegṪgi +
ṪacTceTegṪgi +TacṪceTegṪgi +TacTceṪegṪgi +TacTceTegT̈gi (4.14)
De las ecuaciones (4.9) sabemos que:Ṫac = Ṫeg = 0 por lo que la expresión (4.14) queda:
TacT̈ceTegTgi +TacṪceTegṪgi +TacṪceTegṪgi +T+TacTceTegT̈gi (4.15)
Al de derivar las ecuaciones (4.9) se tiene que los términos T̈ce y T̈gi son:
T̈ce = Tz1(xcd)T̈z4(θde)
T̈gi = Tz1(xgh)T̈z4(θhi) (4.16)
Donde de acuerdo a la ecuación (3.65):
T̈z4(θde) = Tz4(θde)
(
Dz4(θ̈de) +D
2
z4(θ̇de)
)
T̈z4(θhi) = Tz4(θhi)
(
Dz4(θ̈hi) +D
2
z4(θ̇hi)
)
Y sustituyendo θ̇ por ω y θ̈ por α:
T̈z4(θde) = Tz4(θde)
(
Dz4(αde) +D
2
z4(ωde)
)
T̈z4(θhi) = Tz4(θhi)
(
Dz4(αhi) +D
2
z4(ωhi)
)
(4.17)
Por lo que sustituyendo (4.17) en (4.16):
T̈ce = Tz1(xcd)Tz4(θde)
(
Dz4(αde) +D
2
z4(ωde)
)
T̈gi = Tz1(xgh)Tz4(θhi)
(
Dz4(αhi) +D
2
z4(ωhi)
)
(4.18)
Ahora derivando a la ecuación de velocidad (4.13) que representa a toda la cadena. Es
notorio que T̈ac y T̈eg son las nulas, puesto que desde el análisis de velocidad Ṫac y Ṫeg
son nulas:
T̈13 = T̈57 = T̈911 = T̈1315 = T̈1719 = T̈2123 = T̈2527 = T̈2931 = 0
Y las matrices T̈35,T̈79,T̈1113,T̈1517,T̈1921,T̈2325,T̈2729,T̈3133 tienen la forma descrita en las
ecuaciones (4.18).
T̈35 = Tz1(x34)Tz4(θ45)
(
Dz4(α45) +D
2
z4(ω45)
)
T̈79 = Tz1(x78)Tz4(θ79)
(
Dz4(α79) +D
2
z4(ω79)
)
T̈1113 = Tz1(x1112)Tz4(θ1213)
(
Dz4(α1213) +D
2
z4(ω1213)
)
T̈1517 = Tz1(x1516)Tz4(θ1617)
(
Dz4(α1617) +D
2
z4(ω1617)
)
T̈1921 = Tz1(x1920)Tz4(θ2021)
(
Dz4(α2021) +D
2
z4(ω2021)
)
T̈2325 = Tz1(x2324)Tz4(θ2425)
(
Dz4(α2425) +D
2
z4(ω2425)
)
T̈2729 = Tz1(x2728)Tz4(θ2829)
(
Dz4(α2829) +D
2
z4(ω2829)
)
T̈3133 = Tz1(x3132)Tz4(θ3233)
(
Dz4(α3233) +D
2
z4(ω3233)
)
Entonces agrupando los términos no nulos, la ecuación de aceleración queda de la siguiente
manera:
Neevia docConverter 5.1
44 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS CINEMÁTICO
T13T̈35T57T79T911T1113T1315T1517T1719T1921T2123T2325T2527T2729T2931T3133 +
T13T35T57T̈79T911T1113T1315T1517T1719T1921T2123T2325T2527T2729T2931T3133 +
T13T35T57T79T911T̈1113T1315T1517T1719T1921T2123T2325T2527T2729T2931T3133 +
T13T35T57T79T911T1113T1315T̈1517T1719T1921T2123T2325T2527T2729T2931T3133 +
T13T35T57T79T911T1113T1315T1517T1719T̈1921T2123T2325T2527T2729T2931T3133 +
T13T35T57T79T911T1113T1315T1517T1719T1921T2123T̈2325T2527T2729T2931T3133 +
T13T35T57T79T911T1113T1315T1517T1719T1921T2123T2325T2527T̈2729T2931T3133 +
T13T35T57T79T911T1113T1315T1517T1719T1921T2123T2325T2527T2729T2931T̈3133 +
2T13Ṫ35T57Ṫ79T911T1113T1315T1517T1719T1921T2123T2325T2527T2729T2931T3133 +
2T13Ṫ35T57T79T911Ṫ1113T1315T1517T1719T1921T2123T2325T2527T2729T2931T3133 +
2T13Ṫ35T57T79T911T1113T1315Ṫ1517T1719T1921T2123T2325T2527T2729T2931T3133 +
2T13Ṫ35T57T79T911T1113T1315T1517T1719Ṫ1921T2123T2325T2527T2729T2931T3133 +
2T13Ṫ35T57T79T911T1113T1315T1517T1719T1921T2123Ṫ2325T2527T2729T2931T3133 +
2T13Ṫ35T57T79T911T1113T1315T1517T1719T1921T2123T2325T2527Ṫ2729T2931T3133 +
2T13Ṫ35T57T79T911T1113T1315T1517T1719T1921T2123T2325T2527T2729T2931Ṫ3133 +
2T13T35T57Ṫ79T911Ṫ1113T1315T1517T1719T1921T2123T2325T2527T2729T2931T3133 +
2T13T35T57Ṫ79T911T1113T1315Ṫ1517T1719T1921T2123T2325T2527T2729T2931T3133 +
2T13T35T57Ṫ79T911T1113T1315T1517T1719Ṫ1921T2123T2325T2527T2729T2931T3133 +
2T13T35T57Ṫ79T911T1113T1315T1517T1719T1921T2123Ṫ2325T2527T2729T2931T3133 +
2T13T35T57Ṫ79T911T1113T1315T1517T1719T1921T2123T2325T2527Ṫ2729T2931T3133 +
2T13T35T57Ṫ79T911T1113T1315T1517T1719T1921T2123T2325T2527T2729T2931Ṫ3133 +
2T13T35T57T79T911Ṫ1113T1315Ṫ1517T1719T1921T2123T2325T2527T2729T2931T3133 +
2T13T35T57T79T911Ṫ1113T1315T1517T1719Ṫ1921T2123T2325T2527T2729T2931T3133 +
2T13T35T57T79T911Ṫ1113T1315T1517T1719T1921T2123Ṫ2325T2527T2729T2931T3133 +
2T13T35T57T79T911Ṫ1113T1315T1517T1719T1921T2123T2325T2527Ṫ2729T2931T3133 +
2T13T35T57T79T911Ṫ1113T1315T1517T1719T1921T2123T2325T2527T2729T2931Ṫ3133 +
2T13T35T57T79T911T1113T1315Ṫ1517T1719Ṫ1921T2123T2325T2527T2729T2931T3133 +
2T13T35T57T79T911T1113T1315Ṫ1517T1719T1921T2123Ṫ2325T2527T2729T2931T3133 +
2T13T35T57T79T911T1113T1315Ṫ1517T1719T1921T2123T2325T2527Ṫ2729T2931T3133 +
2T13T35T57T79T911T1113T1315Ṫ1517T1719T1921T2123T2325T2527T2729T2931Ṫ3133+
2T13T35T57T79T911T1113T1315T1517T1719Ṫ1921T2123Ṫ2325T2527T2729T2931T3133 +
2T13T35T57T79T911T1113T1315T1517T1719Ṫ1921T2123T2325T2527Ṫ2729T2931T3133 +
2T13T35T57T79T911T1113T1315T1517T1719Ṫ1921T2123T2325T2527T2729T2931Ṫ3133 +
2T13T35T57T79T911T1113T1315T1517T1719T1921T2123Ṫ2325T2527Ṫ2729T2931T3133 +
2T13T35T57T79T911T1113T1315T1517T1719T1921T2123Ṫ2325T2527T2729T2931Ṫ3133 +
2T13T35T57T79T911T1113T1315T1517T1719T1921T2123T2325T2527Ṫ2729T2931Ṫ3133 = 0
(4.19)
Neevia docConverter 5.1
Capítulo 5
Solución del Modelo
Para solucionar las ecuaciones del modelo matemático es necesario conocer el valor de
los distintos parámetros que servirán como datos. En el capítulo 3 se establecieron las carac-
terísticas geométricas, sus valores, susconsideraciones y sus repercusiones en el movimiento
de la escultura que se pretende automatizar. En este capítulo se busca tener todos los demás
parámetros que acotarán el movimiento de la escultura desde un punto de vista cinemático.
5.1. Número de Grados de Libertad
El Brancusi, como se describió antes es una cadena cinemática espacial con ocho es-
labones que están acoplados sólo por pares rotacionales. Siendo un mecanismo espacial, el
primer parámetro de interés en el estudio de su comportamiento cinemático es el número
de grados de libertad (i)[10]. Si las ocho juntas (dj = 8) de los ocho eslabones (n = 8)son
rotacionales, entonces serán de clase 5 (j = 5) y aplicando la formula de Grüebler-Kutzbach
(Ecuación 3.1) se tiene lo siguiente:
i = 6(8− 1)− 5(8)
i = 42− 40 = 2 (5.1)
El resultado anterior muestra que sólo dos coordenadas generalizadas son necesarias para
definir geométricamente la configuración del Brancusi. Esto bajo la consideración de que
uno de los eslabones está fijo a tierra. Dos grados de libertad es un primer resultado que
también servirá como dato para la solución del modelo ya que indica que al determinar
la posición de dos de los ejes, los restantes seis quedan también determinados. Si esto es
cierto entonces es posible tomar dos de los ejes del Brancusi y aplicarles un movimiento
controlado para controlar el movimiento del resto de los ejes. El valor de los grados de
libertad es muy importante para la solución del modelo pues también indica el tamaño del
sistema de ecuaciones a solucionar que según este valor debe ser de seis ecuaciones por seis
incógnitas ya que dos de las ocho variables de los ejes deben ser dato [10].
5.2. Perfil de Trayectoria
El propósito de automatizar al Brancusi es mover sus articulaciones de manera sin-
cronizada para alcanzar una configuración geométrica determinada de sus eslabones. No se
pretende posicionar al Bracusi respecto a un marco de referencia, ni tampoco es importante
para este análisis el lugar que los eslabones del Brancusi ocupen en el espacio, sino que el
interés es la posición que cada eslabón tenga con respecto al inmediato anterior o posterior
como se mostró en el Capítulo 3. Por otro lado el perfil de trayectoria que se debe ejecutar
en ejes del Brancusi es fundamental para la solución del modelo obtenido pues a los dos ejes
45
Neevia docConverter 5.1
46 CAPÍTULO 5. SOLUCIÓN DEL MODELO
que se definan como entrada (según el calculo de grados de libertad) se les debe proporcionar
la posición, velocidad y aceleración que llevarán a obtener el comportamiento cinemático en
el resto de los ejes.
El requerimiento número dos de la lista presentada en el Capítulo 1: los movimientos
deben ser suaves y exactos, da la pauta para la definición del perfil de trayectoria. La
palabra suave se puede interpretar en robótica como un perfil de trayectoria cuyas variables
cinemáticas son continuas [10]. Los movimientos de un sistema mecánico robótico deben ser
por regla tan suaves como sea posible. Cambios abruptos en posición velocidad y aceleración
deberían ser evitados [11].En la literatura actualmente existen muchos tipos de perfiles de
trayectoria aplicables a robots que comúnmente se definen a partir de la curva de velocidad,
la cual comúnmente da nombre al perfil.
El perfil de trayectoria adecuado se puede seleccionar a la luz de la aplicación del
movimiento, sin embargo muchos factores como: equipos motrices a utilizar, capacidades
de programación, control de los equipos motrices, costo, tiempo de implementación y mu-
chos otros factores técnicos y de diseño pueden mover la balanza por uno u otro perfil de
trayectoria, estos factores no son tema del análisis cinemático que se está realizando, sin
embargo se propondrá un perfil de trayectoria con los datos disponibles en este punto del
análisis:
Al observar los movimientos de la escultura y, pensando en que esta será un espectáculo
donde se pueda apreciar la belleza de transformarse de una a otra configuración geométrica,
se ha propuesto un rango de velocidades angulares de 1 a 3 [rpm] el cual se considera
un rango conveniente para apreciar de la mejor manera la transformación de la escultura.
literalmente se podría usar cualquier valor de velocidad dentro de dicho rango, pero para
este trabajo se usará el valor de 2 [rpm] que es el valor intermedio del rango propuesto. Cabe
señalar que una definición completa de este valor depende de factores dinámicos que salen
fuera del objeto de estudio de este trabajo.
Debido a que las variables cinemáticas en los distintos perfiles de trayectoria cambian
de valor dentro de un rango definido, entonces el valor de velocidad angular de 2 [rpm]
representaría el valor de referencia a lo largo del movimiento, éste se ha usado para calcular
el tiempo correspondiente a un movimiento rotacional uniforme para un desplazamiento
de 180◦ (π [rad]), dando como resultado un tiempo de proceso promedio de 15 segundos
(tf = 15[s]) . Es decir se obtuvo el tiempo que tarda una articulación en rotar 180◦ si su
velocidad es constante con valor de 2 [rpm]. Definidos 180◦ en 15 segundos se pueden generar
los puntos para los distintos perfiles de trayectoria: Triangular, Trapezoidal, Trapezoidal
Suavizado, Quíntico con Periodo Estacionario, Quíntico y Octal.
Al ver las graficas de posición velocidad y aceleración de los distintos perfiles que a
continuación se presentan, es claro que el triangular, el trapezoidal, el trapezoidal suavizado,
e incluso el quíntico con estacionario tienen discontinuidades en la curva de aceleración. De
acuerdo a la Primera y Segunda ley de Newton es de esperarse que haya picos de fuerzas en
los instantes donde tienen lugar esas discontinuidades debido a que los cuerpos se resisten a
cambiar bruscamente de velocidad o dicho de otra manera: se requiere fuerza para cambiar
la cantidad de movimiento de un cuerpo [12] . Desde este punto de vista los mejores perfiles
son los continuos: quíntico y octal. Sin embargo los continuos tienen otro tipo de desventajas
de índole técnico y comercial. En este punto, la decisión final necesitaría la respuesta de la
dinámica, la tecnología, los costos y del proyecto en general para determinar el perfil más
adecuado. En este trabajo se usará el perfil Trapezoidal Suavizado para la obtención de
gráficas de posición, velocidad y aceleración de los movimientos del Brancusi, debido a que
este perfil es sencillo de programar y común en la industria actual. Las ecuaciones utilizadas
para generar el Perfil de trayectoria trapezoidal suavizado están registradas en el Apéndice
A.
Neevia docConverter 5.1
5.2. PERFIL DE TRAYECTORIA 47
Figura 5.1: Perfil Triangular
Figura 5.2: Perfil Trapezoidal
Neevia docConverter 5.1
48 CAPÍTULO 5. SOLUCIÓN DEL MODELO
Figura 5.3: Perfil Trapezoidal Suavizado
Figura 5.4: Perfil Quíntico con Periodo Estacionario
Neevia docConverter 5.1
5.2. PERFIL DE TRAYECTORIA 49
Figura 5.5: Perfil Quíntico
Figura 5.6: Perfil Octal
Neevia docConverter 5.1
50 CAPÍTULO 5. SOLUCIÓN DEL MODELO
5.3. Solución de Ecuaciones
Las Tabla 6.1 muestra los nombres y ángulos que puede rotar cada articulación sobre
cada eje y la Tabla 6.2 muestra los ángulos que definen a cada configuración geométrica
de acuerdo la definición de bases de la Figura 4.1, Cada configuración puede ser el inicio o
el fin del movimiento según se requiera. Para definir un movimiento conviene ver la Figura
2.15.
Tabla 6.1. Límites de las Variables
Eje Tipo Ángulo Variable Lím Tapa-Tapa Lím Cara-Cara
I-II H θde θ45 0
◦ 180◦
II-III C θhi θ89 360
◦ 180◦
III-IV H θde θ1213 0
◦ 180◦
IV-V C θhi θ1617 360
◦ 180◦
V-VI H θde θ2021 0
◦ 180◦
VI-VII C θhi θ2425 360
◦ 180◦
VII-VIII H θde θ2829 0
◦ 180◦
VIII-I C θhi θ3233 360
◦ 180◦
Tabla 6.2. Ángulos de las Configuraciones Geométricas
Var C MTRA MTRB MTTA MTTB TCA TCB TTA TTB VA VB
θ45 180
◦ 180◦ 180◦ 0◦ 180◦ 0◦ 180◦ 0◦ 0◦ 0◦ 90◦
θ89 180
◦ 360◦ 180◦ 180◦ 180◦ 360◦ 360◦ 360◦ 180◦ 270◦ 360◦
θ1213180
◦ 180◦ 180◦ 180◦ 0◦ 180◦ 0◦ 0◦ 0◦ 0◦ 90◦
θ1617 180
◦ 180◦ 360◦ 180◦ 180◦ 360◦ 360◦ 180◦ 360◦ 270◦ 360◦
θ2021 180
◦ 180◦ 180◦ 0◦ 180◦ 0◦ 180◦ 0◦ 0◦ 0◦ 90◦
θ2425 180
◦ 360◦ 180◦ 180◦ 180◦ 360◦ 360◦ 360◦ 180◦ 270◦ 360◦
θ2829 180
◦ 180◦ 180◦ 180◦ 0◦ 180◦ 0◦ 0◦ 0◦ 0◦ 90◦
θ3233 180
◦ 180◦ 360◦ 180◦ 180◦ 360◦ 360◦ 180◦ 360◦ 270◦ 360◦
Dado que el bracusi es una cadena cinemática de dos grados de libertad entonces para
determinar completamente la configuración de la cadena es necesario conocer y proveer al
sistema dos de la ocho incógnitas que representan los ángulos de rotación de los ejes. Entonces
se tienen dos variables independientes y se desean conocer las seis variables dependientes
restantes. Para la posición las variables incógnitas son:
θ45, θ89, θ1213, θ1617, θ2021, θ2425, θ2829, θ3233
Para la velocidad y la aceleración, las variables incógnitas son la primera y segunda derivada
temporal de cada ángulo de rotación mostrado en arriba.
ω45, ω89, ω1213, ω1617, ω2021, ω2425, ω2829, ω3233
α45, α89, α1213, α1617, α2021, α2425, α2829, α3233
Las dos variables independientes para la solución no son las mismas para todas las con-
figuraciones, es decir, si se usan por ejemplo θ45 y θ2021para alcanzar una determinada
configuración geométrica, entonces una configuración geométrica distinta no se lograría nece-
sariamente moviendoθ45 y θ2021.
El modelo debe proveer la posición, velocidad y aceleración instantáneas de las seis
variables dependientes cuando las otras dos independientes se dan por medio del perfil de
trayectoria deseado. Se calculará la posición, velocidad y aceleración de los puntos definidos
para el perfil de trayectoria por medio de la discretización y los valores obtenidos se intro-
ducirán al modelo como datos. Al resolver el sistema de ecuaciones para cada punto del
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5.3. SOLUCIÓN DE ECUACIONES 51
perfil, se obtendrá una combinación de 6 valores de ángulo que corresponden a los ejes in-
cógnita. Al graficar los valores de ángulo resultado de solucionar el modelo para cada punto
del perfil se podrá describir de una manera clara las características del movimiento de cada
una de las articulaciones.
Para obtener la solución del modelo y la simulación de los movimientos se utilizará el
software Mathematica donde se programará un algoritmo conveniente. Se utilizará el coman-
do de Mathematica FindMinimun para solucionar el sistema de ecuaciones, ya que utiliza
el método numérico de Davidon-Fletcher-Powell (DFP) (Apéndice B). DFP es un método
de optimización pero se puede utilizar para resolver sistemas de ecuaciones no lineales [13].
Dicho sistema de ecuaciones se obtiene al multiplicar las matrices de las ecuaciones 4.3, 4.13,
4.19 .
Para realizar los cálculos se utilizarán los siguientes datos:
z12 = z56 = z910 = z1314 = z1718 = z2122 = z2526 = z2930 = 1,10[m]
δ23 = δ1011 = δ1819 = δ2627 = 315◦
δ67 = δ1415 = δ2223 = δ3031 = 45◦
x34 = x78 = x1112 = x1516 = x1920 = x2324 = x2728 = x3132 = 0
Tiempo inicial = 0, Tiempo final = 15 [s], Desplazamiento = 180◦, Discretización: rango de
50 a 500 puntos, buscando buena convergencia con la menor cantidad de puntos. Se presenta
a continuación el algoritmo general del programa generado en el software Mathematica 6.0
que da solución al modelo:
1. Se dan de alta las funciones de matrices de movimientos básicos.
2. Se dan de alta las funciones del perfil de trayectoria.
3. Se dan de alta las funciones de graficación.
4. Se introducen los datos dimensionales y la discretización.
5. Se generan los puntos del perfil de trayectoria.
6. Se generan las ecuaciones matriciales del modelo para la posición.
7. Se calcula la posición inicial.
8. Se calculan los todos los puntos de posición con FindMinimun para todos los puntos
de la discretización del movimiento.
9. Se generan las ecuaciones de velocidad y se calcula para todos los puntos
10. Se generan las ecuaciones de aceleración y se calcula para todos los puntos
11. Se grafican lo resultados.
12. Se genera la simulación.
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52 CAPÍTULO 5. SOLUCIÓN DEL MODELO
Figura 5.7: Diagrama de Flujo
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Capítulo 6
Resultados, Conclusiones y
Trabajo a Futuro
6.1. Resultados
Se presenta la simulación y las gráficas de posición, velocidad y aceleración de los
movimientos más representativos.
Torre Cuadrada B a Ventana B
Simulación:
53
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54 CAPÍTULO 6. RESULTADOS, CONCLUSIONES Y TRABAJO A FUTURO
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6.1. RESULTADOS 55
Gráficas de Posición:
Gráficas de Velocidad:
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56 CAPÍTULO 6. RESULTADOS, CONCLUSIONES Y TRABAJO A FUTURO
Gráficas de Aceleración:
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6.1. RESULTADOS 57
Cubo a Torre Triangular A
Simulación:
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58 CAPÍTULO 6. RESULTADOS, CONCLUSIONES Y TRABAJO A FUTURO
Gráficas de Posición:
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6.1. RESULTADOS 59
Gráficas de Velocidad:
Gráficas de aceleración:
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60 CAPÍTULO 6. RESULTADOS, CONCLUSIONES Y TRABAJO A FUTURO
6.2. Conclusiones
Se utilizó el software Mathematica versión 6.0 para programar el algoritmo mostrado
en el Capítulo 5. El programa (Apéndice C) genera las ecuaciones de posición, veloci-
dad y aceleración al realizar las multiplicaciones matriciales que se le indican. Una vez
que se han generado las ecuaciones y se han introducido los datos correspondientes al
movimiento que se desea analizar, se calculan los valores de las incógnitas de posición,
velocidad y aceleración utilizando recursivamente la instrucción FindMimimun. En
Mathematica ésta instrucción utiliza el método de optimización de Davidon-Fletcher-
Powell (DFP) (Apéndice B) para solucionar el sistema de ecuaciones [13]. Aunque
en un inicio se intentó usar la instrucción FindRoot que usa el método de Newton-
Raphson (NR) a éste le fue muy difícil converger y en la gran mayoría de los intentos
divergió, por lo que se descartó.
De acuerdo a la ecuación (5.1), el número de grados de libertad del Brancusi es dos.
Según esta ecuación solo necesitamos proveer dos variables al modelo para obtener
el comportamiento de las seis restantes, sin embargo al tratar de obtener la solución
numérica con DFP dando dos de las ocho variables, las seis calculadas divergían aún
cuando se incrementó el número de discretización. Entonces se le dio al modelo una
tercera variable para el movimiento de Cubo a Torre triangular A (C a TTA) y se le
dieron dos variables más al movimiento de Torre Cuadrada B a Ventana B (TCB a
VB). Las variables adicionales tenían un valor constante durante todo el movimiento,
pues se escogieron los ángulos que en esos movimientos permanecían fijos. Al usar
dichos valores adicionales, estos funcionaron como restricciones que permitieron la
convergencia del método numérico. Esta fácil divergencia de los métodos numéricos
se debe a la alta complejidad y no linealidad del modelo. Una interpretación física
es que la disposición de los ejes provoca que haya posiciones en las que estos pueden
rotar de un lado a otro, es decir inestabilidad. A la luz de estas conclusiones y con-
siderando que el modelo es correcto, ¿Por qué la fórmula para grados de libertad de
Gruebler-Kutzbach no se cumplió? Dicha fórmula considera los eslabones y las juntas
del mecanismo con sus respectivas restricciones, pero no considera la geometría y dis-
posición de tales juntas en el espacio, tal vez sea necesario contemplar estos aspectos
si se quiere una fórmula más general para mecanismos espaciales complejos.
Un aspecto característico del Brancusi es su simetría, La escultura es muy simétrica
y esto se refleja en su comportamiento cinemático, si se observan las curvas obtenidas
es notorio que muchas variables tienen el mismo comportamiento cinemático y las
otras variables tienen un comportamiento simétrico. Sin embargo hay movimientos en
que esto se desvía ligeramente como es el caso del movimiento C a TTA que aunque
en la