Analisis-del-proceso-de-la-reduccion-directa-del-Fe2O3

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO 
 
FACULTAD DE QUÍMICA 
 
 
 
ANÁLISIS DEL PROCESO DE LA REDUCCIÓN  
DIRECTA DEL Fe2O3 
 
 
 
 
 
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE 
INGENIERO QUÍMICO METALÚRGICO 
  
PRESENTA  
ALEXIS RAÚL JOFFRE TORRES 
 
MÉXICO, D.F.            2009 
 
 
    
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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1er.  SUPLENTE:   Profesor:  Dr. Marco A. Ramírez Argaez 
2° SUPLENTE:   Profesor:  IQM. Claudia Flores Vargas 
 
 
SITIO DONDE SE DESARROLLÓ EL TEMA: UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA 
DE MÉXICO EDIFICO D FACULTAD DE QUÍMICA. 
 
ASESOR DEL TEMA:  
ALBERTO INGALLS CRUZ  
 
SUSTENTANTE: 
ALEXIS RAÚL JOFFRE TORRES 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEDICATORIAS. 
 
A mi madre por su amor, cariño y porque con su apoyo incondicional 
he llegado hasta aquí, dando un gran paso en mi vida. 
A mi hermana Sara Elizabeth, demostrando mi responsabilidad como 
hermano mayor y como un ejemplo para ella, porque las cosas pueden 
conseguirse con perseverancia y dedicación a pesar de lo difícil que estas 
parezcan. 
 
AGRADECIMIENTOS. 
Mi mayor gratitud 
A Dios por darme las herramientas, que me hacen afrontar todas las 
adversidades que se presentan en la vida y ponerme en el lugar adecuado. 
A mi madre por apoyarme en todo momento sin descanso, por estar ahí 
siempre que la necesitaba, por darme la vida, gracias a su inmenso impulso, he 
logrado alcanzar varias metas. 
A mi hermana por esa amistad solidaria y desinteresada, acompañándome 
siempre desde su llegada a este mundo, haciendo me ver siempre el mejor camino, 
cuando parecía perdido. 
A mi familia Torres, por su apoyo incondicional, por darme siempre una 
guía para ser el mejor y una persona de bien. 
A mi familia Joffre, por mostrarme esa fortaleza que se requiere para ser el 
mejor usándola con inteligencia. 
 A una gran compañera en mi vida Akemi Lidia, por ser una gran persona, 
desde que la conozco, me otorgó consejo para ser prudente, ayudándome a mostrar y 
actuar con sinceridad e inteligencia. 
A mi maestro y asesor M. en C. Alberto Ingalls Cruz por orientarme con arte 
y destreza en mi trabajo, además de enseñarme el valor del conocimiento que 
obtengo y aporto con mi trabajo. 
A mis maestros de la facultad por su trabajo constante aportando sus 
conocimientos día a día, nunca faltando a su responsabilidad tan grande con los 
alumnos. 
A mis compañeros y amigos de la facultad que estuvieron siempre 
apoyándome y juntos vivimos la lucha constante, para obtener los conocimientos: 
Felix, Niza, Tonatiuh, Laura Mendoza, Federico (Kiko), Vicente, Sustaita, Karina 
Flores, Paola, Mónica, Anita, Lalo, Daniel Amalric (Suizo), José de Jesús Cruz, 
Pedro García, Gabriela Lee, Ricardo Trejo, Itzel, Gerardo Zavaleta, Pedro Zaragoza, 
Hiro, Haru, Mariana Climent, Dorys López, Perla Cruz, Fabiola Lemus, Oliver 
Walls, Rafael Arcos, Ignacio Vásquez, César Menchaca. 
A mis amigos y compañeros de metalurgia: Gerardo Vallejo, Eudoxio, Héctor 
Martín, Gabriela Saksida, Andrés Tenorio, Rodrigo Hernández, Francisco Camacho, 
Francisco Magaña, Emanuel, Carlos, Ivan, Claudia, Alma. 
A mis, más allegados amigos: Melvin García, José Luis Borunda y Cesar 
Martínez, porque siempre estuvieron apoyándome, afrontando los problemas de la 
vida con sabiduría y fortaleza, cuando esta última faltaba, nunca me dejaron solo. 
A todo el departamento de metalurgia, en especial: 
Dr. Javier Francisco Rodríguez G. Por apoyarme siempre en mis, opiniones y 
decisiones, siempre aportando más, para ayudarme a sobrepasar los obstáculos y 
prepararme para los tiempos venideros. 
I.Q.M. Guillermo Salas con su experiencia, fue mi guía tanto 
académicamente como personal. 
M. en I. José Hernández, por ser un gran amigo y saber reconocer el gran 
trabajo que realizan los alumnos en su deber. 
I.Q.M. Balbina Ojeda Ramírez, además de ser una gran amiga y maestra, por 
su gran responsabilidad y apoyo incondicional. 
M. en C. Antonio Huerta Cerdán, por apoyarme académicamente y 
escucharme en todo momento. 
A todo aquel que tomo una pequeña parte pero importante en mi lucha 
constante, para sobrepasar los obstáculos e infortunios de la vida, entre ellos destaca 
Javier Villamar. 
A la Universidad Nacional Autónoma de México por sus hermosas y 
agradables instalaciones, además de los conocimientos universitarios desde el nivel 
medio superior, me aportó una formación integral para ser un gran ciudadano y 
ayudar a mi país. 
 
 
9 
 
RESUMEN. 
 
La producción de acero implica un proceso largo y controlado. Desde el 
beneficio de minerales hasta los microaleantes que contendrá el acero. Dentro del 
proceso de manufactura de acero se encuentra el proceso de reducción directa, 
aquí se transforma el mineral aglomerado en forma de pellet, tratado dentro de 
reactores tipo continuo, de lecho móvil y de lecho fijo, bajo la influencia de gases 
con potencial reductor sobre los pellets, para pasar de su estado más estable a su 
estado más inestable que es el metal puro, proceso conocido como reducción; 
para después ser procesado en su siguiente etapa de metalurgia secundaria. Para 
llegar a esto existen variables importantes dentro del proceso de reducción directa, 
entre ellas: composición de gases H2 y CO, temperatura de trabajo, tipo de 
mineral, carga del reactor, tiempo de proceso, etc. Para controlar cada punto 
exitosamente, además de elegir la variable o variables más importantes se deben 
aplicar los conocimientos que se han desarrollado hasta ahora. Además de 
obtener propiedades, las cuales la ingeniería aplica a favor de la productividad, de 
la calidad del producto, del ahorro de energía y de la protección del medio 
ambiente. 
 
Los datos que se obtienen de el manejo de los modelos matemáticos son 
importantes para este trabajo los más importantes serán los coeficientes de 
difusión. 
 
El análisis que se realizó en este trabajo, detalla el uso de un modelo 
matemático ya existente conocido como el de núcleo decreciente desarrollado por 
Yagi y Kunii 1955[15], que al aplicarlo de manera apropiada, servirá para obtener 
los coeficientes de difusión para los minerales de hierro, en forma de pellets. 
Usando los resultados experimentales reportados en gráficos por el Dr. J.A. 
Aguilar, se aplicará el modelo de núcleo decreciente. 
 
10 
 
Se extraen los datos necesarios de los resultados experimentales, 
concentraciones de gases ya sea CO o H2, concentraciones de compuestos 
hematita, magnetita o wustita, peso molecular, densidad de pellet, pellets por 
unidad de volumen, además se obtiene también constantes de cinética de 
reacción, de las curvas reportadas por la experimentación desarrollada por el Dr. 
J.A. Aguilar, tomando en cuenta que el diámetro de los pellets que está 
estandarizado a 1 pulgada o 2.54 cm aproximadamente (el área de reacción es de 
suma importancia), todo lo anterior necesario para el modelo matemático de 
núcleo decreciente manipulado de tal manera que como resultado sean los 
coeficientes de difusión. Se comparan los coeficientes de difusión obtenidos con 
losreportados para ese mismo experimento obtenidos en el modelo matemático 
del Dr. J. A. Aguilar. 
 
Aplicando los conocimientos de la termodinámica al proceso de reducción 
directa, se demuestra cómo se seleccionan ciertas concentraciones y 
temperaturas, dada la transformación en el proceso. 
 
Los coeficientes de difusión son intrínsecos de los pellets usados para la 
experimentación, la metodología de obtención de propiedades, puede cambiar 
dependiendo del tipo de diseño experimental; aplicando un modelo matemático 
podemos obtener estos coeficientes de difusión. El proceso de reducción directa 
de pellets para llevarse a cabo, consta de tres etapas que suceden 
simultáneamente, la difusión a través de la película de gases, la difusión a través 
de las cenizas y la reacción química, existen modelos matemáticos que toman en 
cuenta las tres etapas como son el de Q. T. Say, Y. Hara, y otros que consideran 
una sola etapa controlante como el de Ross, Seth y Ross, Lahiri Smith, Makewan, 
Tokuda y el que se usa en este trabajo de Yagi y Kunii conocido como el de 
núcleo decreciente. Dependiendo del modelo puede hacerse un diseño 
experimental o también dependiendo del diseño experimental se seleccionará el 
modelo matemático. En este caso se aplica un modelo matemático de una sola 
etapa a un proceso experimental desarrollado separado en tres compuestos a 
reducir, esto es posible dado a la estructura del experimento ya que se puede 
11 
 
aplicar el modelo a cada transformación las cuales son: hematita a magnetita, 
magnetita a wustita y de wustita a hierro). 
 
Los valores de difusión obtenidos con el modelo de núcleo decreciente 
difieren a los del modelo del Dr. J.A. Aguilar, no solo por tratarse de otro modelo 
matemático con consideraciones para aplicarlo, sino también porque hace un 
ajuste para que su modelo se acople a lo experimental y además, la k de reacción 
que no reporta, debe tener también consideraciones como el área de reacción que 
probablemente es diferente a la obtenida en este trabajo, ya que la consideración 
de esta, afecta los valores de los coeficientes de difusión obtenidos con el modelo 
de Yagii y Kunii[15]. 
12 
 
 
1. INTRODUCCIÓN. 
 
La industria del hierro y el acero, es parte fundamental del sector 
socioeconómico del país, es vital para su desarrollo y crecimiento. Esta industria 
siempre refleja el desarrollo en tecnología en un país que crece en tecnología, se 
desarrolla y avanza en sus conocimientos. 
 
Es tan importante la industria del acero en el sector socioeconómico, tanto 
que el PIB total de esta industria es de 453 876 millones de pesos[1] comparado 
con el de electricidad, gas y suministro de gas por ductos al consumidor final, que 
es de 113 450 millones de pesos[1]. La sociedad mexicana se ve constantemente 
en la exigencia de hierro y acero, incrementándose constantemente su consumo 
cada año, ya sea en la construcción, en la fabricación de herramientas de uso 
común, en el sector automotriz, etc.. El sector acerero es un primer consumidor de 
los servicios energéticos como electricidad y gas, además del uso constante de 
transporte ferroviario en el país, esto resulta en una movilización general del país 
en el sector laboral. 
 
La producción de acero se ve afectada por su consumo que aumenta con el 
tiempo. Esta afección se ve reflejada en el crecimiento de la industria y en el 
número de industrias que radican en el país, SIMEC, Ahmsa, Ternium Hylsa, 
Aceros CORSA, MITTAL STEEL, SICARTSA, Tenaris Tamsa, Sid. Yucatán, Sid. 
Tultitlan, DEACERO, Acero San Luis, Mexinox, por citar algunos ejemplos. Estas 
industrias se encuentran sujetas a una continua competencia internacional. La 
producción se debe aumentar y la inversión se incrementará en este sector. 
Porque esta industria es necesaria para el país. 
 
Hace 50 años que la ingeniería desarrolló una tecnología para la obtención 
de hierro a partir del mineral de alta ley, conocida comúnmente como reducción 
13 
 
directa, DRI, (direct reduction of Iron). Técnicamente se define como la reducción 
de partículas aglomeradas de forma esférica de óxido de hierro o mineral de hierro 
a hierro[2]. Los materiales de mineral de hierro más comunes usados en la 
industria del acero son la hematita (Fe2O3) con contenido aprovechable de 40 
hasta 70%, limonita [FeO (OOH)] su contenido utilizable va desde el 50%; 
magnetita (Fe3O4) puede contener hasta un 72.4% de ley, y siderita (FeCO3) con 
una ley de 48.3%[2]. Para la obtención de las diferentes formas de mineral tratable, 
existen diferentes procesos de aglomeración nodulizado, briqueteado, 
sinterización y pelletización. Los cuales son usados para fabricar el material y 
alimentar con estos los procesos de reducción HyL III usado en México y Midrex[2]. 
 
Existe una planta peletizadora en México conocida como Imexsa[3] con una 
capacidad de 3.5 millones de toneladas métricas por año. Los componentes de los 
pellets incluyen: al mineral de hierro, SiO2, CaO, MgO, S, B2, Al2O3, coque, 
dolomita y piedra caliza. Los finos que serán convertidos en pellets son 
alimentados a 320 toneladas por hora en los molinos de bolas de molienda 
húmeda, la pulpa esta a 75% en peso de sólidos[3]. En el caso de la producción de 
pellets se ha encontrado que la basicidad afecta desfavorablemente la reducción 
de los pellets en un rango de 0.76 y 1.32 unidades[3], los valores más bajos de 
metalización que se han obtenido son de 87.10 a 88.66%[3]. 
 
Dentro del sector comercial existen tecnologías exitosas para realizar la 
reducción directa y producir hierro reducido o “hierro esponja” con el uso de gas, 
como son: el horno de lecho fluidizado, reactores de lecho móvil, los hornos 
rotatorios, el horno de retorta, el horno de Lehr. Además, existen otras tecnologías 
que están en desarrollo como son: el horno de corazón rotatorio, los hornos de 
hogar múltiple, los hornos rotatorios de descarga lateral, los hornos tipo D, los tipo 
reverberatorios y los hornos de hogar abierto. 
 
A continuación se describirá el proceso de reducción directa, para producir 
hierro metálico a partir de la remoción del oxígeno del mineral de hierro. Por lo 
general se usan diferentes tipos de agentes reductores como coque, carbón, fuel 
14 
 
oil, alquitrán, gas natural, gas de carbón, agua en forma de gas y gases de 
monóxido de carbono e hidrógeno Éstos últimos, CO e H2 son los reductores más 
importantes y en este trabajo serán estudiados con detalle. 
 
En México la reducción directa se realiza a través del HyL III que es muy 
parecido al del proceso Midrex, Este proceso usa como reductores a los gases de 
monóxido de carbono e hidrógeno. 
 
Figura 1.1. Diagrama del proceso HyL III[6].a 
 
El proceso HyL III utiliza un reactor de lecho móvil que está dividido 
esencialmente en dos distintas secciones de proceso, generación del gas reducido 
y reducción del mineral. En el proceso de reducción de mineral los pellets son 
 
a Hierro de reducción directa (HRD): Se utiliza normalmente en acerías cercanas a la planta de 
reducción directa. Puede también ser embarcado y transportado a largas distancias, con las 
medidas pertinentes para evitar la reoxidación. 
 
Hierro briqueteado en caliente (HBC): descargado en caliente y briqueteado a alta temperatura, el 
cual se produce normalmente para exportación por transporte marítimo. 
 
Hierro HYTEMP: HRD descargado en caliente y transportado neumáticamente de la planta de 
reducción directa a la acería, para ser alimentado en forma directa a hornos eléctricos de arco y/o 
convertidores al oxígeno. 
 
Hierro HYTEMP: HRD descargado en caliente y transportado neumáticamente de la planta de 
reducción directa a la acería, para ser alimentado en forma directa a hornos eléctricos de arco y/o 
convertidores al oxígeno. 
15 
 
despojados de finos para evitar problemas de produccióny proceso; el reactor 
tiene dos secciones, la superior de reducción y la inferior de enfriamiento. 
 
Los sólidos son distribuidos después de entrar por los tubos alimentadores 
en la parte superior del horno, los gases entran justo en la parte final de la sección 
de reducción y salen por la parte superior del reactor, mientras los sólidos 
descienden en contra corriente al gas. Los sólidos al dejar la sección de reducción 
son enfriados para después ser descargados, el gas utilizado para enfriar es 
recirculado después de ser limpiado por depuradores y enfriado por torres 
empacadas de enfriamiento. Esto mismo se aplica sobre el gas sobrante de la 
reducción, se recircula hacia un reformador para usarse como combustible. 
 
Existen 5 importantes plantas de producción de acero en México, como 
ARCELOR MITTAL que incluye a SICARTSA la máxima productora de acero 
hasta 2007 con 5,192,000 toneladas métricas por año, le sigue AHMSA con 
3,541,000 toneladas métricas por año, HYLSA con 3,212,000 toneladas métricas 
por año, DEACERO 2,126 toneladas métricas por año, TAMSA con 817 mil 
toneladas métricas por año y esto por manufactura de tubería y materiales 
especializados, entre otras con producción menor que entre todas suman 
2,675,000 toneladas métricas por año. Por lo anterior México se coloca en el lugar 
15 de entre los países productores de acero con cerca de 17.6 millones de 
toneladas métricas por año, para ser precisos hasta 2007[5]. 
 
En cuanto a producción en el horno de reducción directa como el de hierro 
esponja con 6,265,000 toneladas métricas por año y “pig iron” con 4,078,000 
toneladas por año. Se puede notar que la industria del acero es muy importante, 
tanto para el sector económico como para el desarrollo del país, además de que 
éste continuara vigente por el desarrollo de las nuevas tecnologías[5]. 
Debe aclararse que la tecnología de la reducción directa es muy flexible en 
cuanto a alimentación de gases con potencial reductor. Ejemplo de éstos son : 
 
• Gases de procesos de gasificación de carbón. 
16 
 
• Gases de coquerías. 
• Gases de procesos de gasificación de hidrocarburos. 
• Gases de desperdicio Corexb. 
• Gases parcialmente agotados de otros procesos de R.D. 
 
Para la generación de los gases reductores se necesita un reformador 
convencional de vapor y gas natural. La interacción de los gases con el material 
sólido es de suma importancia para este trabajo porque se deben hacer 
consideraciones muy importantes acerca de esta interacción. 
 
Por lo general antes de llevar a cabo un proceso a gran escala se estudia el 
comportamiento del proceso y se verifican las variables del mismo en plantas 
piloto, un estudio reciente hecho por el Dr. J.A. Aguilar[11][12], se desarrolló con 
las siguientes características y se explica más a detalle en el capítulo 2 tema 
2.7.1: 
 
1. Dentro de un tanque de lecho fluidizado con 500 g. de partículas de 
mineral de hierro (pellets), de forma esférica de r = 1.27cm. 
2. Una atmosfera controlada y de flujo constante de 55L/min, de gases 
de CO e H2, los cuales ayudan a la reducción del mineral de hierro 
por su potencial reductor, a temperaturas de 750, 850 y 950 °C. 
 
Durante el proceso de reducción o contacto de los gases con los sólidos los 
pellets pasan por tres estados de reducción, primero se tiene Fe2O3 , mejor 
conocida como hematita, que se reduce a Fe3O4, llamada magnetita, para 
después reducirse y pasar a FeO conocida como wustita y finalmente esta 
reducirse y pasar a Fe (hierro). Para la reducción de cada compuesto el Dr. J. A. 
Aguilar propuso tres diferentes proporciones en la concentración de gases, que se 
muestran en las tablas 1.1, 1.2 y 1.3. Estas concentraciones y temperaturas fueron 
utilizadas en un tipo de mineral de hierro (ver tabla 1.4). 
 
b Gases de H2 y CO producto de el proceso COREX desarrollado por SIEMENS [38], [39]. 
17 
 
 
Para entender las tablas 1.1, 1.2 y 1.3 se hablara del diagrama de 
predominancia o de estabilidad donde están marcadas las áreas para ciertos 
compuestos de óxido de hierro y donde se encuentra también la reacción de 
Boundouard, ver la figura 1.2. 
 
Figura 1.2. Diagrama de predominancia con la reacción de equilibrio de 
Bouduard[7]. 
 
La figura 1.2 muestra las zonas de predominancia de la magnetita (Fe3O4), 
la wustita (FeO) y el hierro (Fe) que coexisten ya sea con monóxido o con bióxido 
de carbón según se vaya desarrollando el equilibrio de Boudouard. 
 
Por lo general para la reducción del mineral de hierro a hierro se usa como 
reductor al carbón sólido, usándolo como monóxido de carbono (CO) que se 
transforma a dióxido de carbono (CO2). La reacción química se presenta en la 
figura 1.2 con el número (1). La curva (1) es conocida como el equilibrio de 
Bouduard, donde la concentración de monóxido de carbón está bajo esa curva 
que se desarrolla en el sentido de izquierda a derecha y es la formación de 
18 
 
monóxido de carbón que es conocida como la reacción de solución de carbón o 
reacción de pérdida de carbón. Se puede observar que pasando los 925 (K), (652 
°C) aproximadamente se encuentra el cambio de Fe3O4 a FeO y la formación del 
dióxido de carbono viéndose así reflejada la capacidad de reductor del gas de CO. 
Por otro lado en la región que se encuentra sobre la curva (1), cuando se 
incrementa la concentración de monóxido aumenta la reacción de depositacion de 
carbono ocurre de acuerdo a la teoría de equilibrio, es aquí donde el monóxido de 
carbono es disociado en dióxido de carbón y el carbón es depositado. Sin 
embargo la posibilidad de lo anterior es difícil a bajas concentraciones de 
monóxido de carbono y de baja temperatura. La depositacion de carbón ocurre en 
la región donde el hierro metálico coexiste para proveer una reacción catalítica y 
en la región donde la temperatura es mayor que 600°C y en concentraciones 
grandes de monóxido de carbón. Ésta zona es la sombreada. 
 
Con lo anterior se puede conocer si existe la posibilidad de que la reacción 
sea posible y saber en qué condiciones. Para el control práctico de la reacción hay 
que controlar la rapidez de reacción que es claramente conocer la transferencia de 
calor y conocer las bases de fenómenos de transporte. Ahora bien en las tablas 
1.1, 1.2 y 1.3 se aprecian las concentraciones de H2 y CO que serán utilizadas 
para una cierta temperatura y una cierta transformación. Cómo se ve en la figura 
1.2 se puede observar la concentración de CO en % que está asignada a cada 
compuesto, la tabla 1.1 es para la transformación de hematita a magnetita y la 1.2 
de magnetita a wustita y la 1.3 de wustita a hierro, éstas concentraciones fueron 
las que propuso el Dr. J. A. Aguilar para el diseño experimental que se explica en 
el capítulo dos tema 2.7 y se puede notar que conforme cambia de transformación 
y aumenta la temperatura la concentración propuesta es mayor a la que le 
antecede y para las tres concentraciones propuestas aumenta de 1 a 3. 
 
Tabla 1.1. Concentraciones propuestas para la reducción de hematita a 
magnetita (Dr. J.A. Aguilar, 1991, [11][12]). 
T°C H2/H2O [1] 
H2/H2O 
[2] 
H2/H2O
 [3] 
CO/CO2
[1] 
CO/CO2
[2] 
CO/CO2 
[3] 
19 
 
750 0.1 0.37 0.64 0.1 0.28 0.47 
850 0.1 0.22 0.34 0.1 0.22 0.36 
950 0.1 0.15 0.20 0.1 0.19 0.29 
 
Tabla 1.2. Concentraciones propuestas para la reducción de magnetita a 
wustita(Dr. J.A. Aguilar, 1991, [11][12]. 
T°C H2/H2O [1] 
H2/H2O 
[2] 
H2/H2O 
[3] 
CO/CO2
[1] 
CO/CO2 
[2] 
CO/CO2
[3] 
750 0.70 0.40 0.22 0.51 0.39 0.31 
850 1.41 1.09 0.90 1.05 1.16 1.28 
950 2.18 1.84 1.60 1.63 1.97 2.28 
 
Tabla 1.3. Concentraciones propuestas para la reducción de wustita a hierro 
(Dr. J.A. Aguilar, 1991, [11][12]). 
T°C H2/H2O [1] 
H2/H2O 
[2] 
H2/H2O 
[3] 
CO/CO2
[1] 
CO/CO2
[2] 
CO/CO2 
[3] 
750 2.39 2.02 1.76 1.79 2.16 2.50 
850 4.13 3.56 3.18 3.05 3.784.54 
950 6.08 5.29 4.77 4.47 5.64 6.84 
 
Tabla 1.4. Composiciones de pellet manejado por J.A. Aguilar y R. Fuentes, 
R. Viramontes(Dr. J.A. Aguilar, 1991, [11][12]). 
FÍSICAS 
Densidad 4.222 g/cm3
Densidad aparente 2.200 g/cm3
QUÍMICAS 
Fe Total 66.5% 
Fe2+ 0.65% 
Ganga 5.3% 
CaO 37% 
MgO 11% 
SiO2 38% 
Al2O3 14% 
 
20 
 
1.1. OBJETIVOS. 
 
Para aplicar los conocimientos y herramientas existentes actualmente en la 
obtención de propiedades importantes en el proceso de la reducción directa, hacer 
una mejor descripción de este proceso y además aplicar un modelo matemático a 
una problemática actual se tienen los siguientes objetivos. 
 
• Con el modelo conocido como de núcleo decreciente (Yagi y 
Kunii 1955[15]), obtener coeficientes de difusión de hierro poroso; haciendo 
uso de las gráficas de los resultados experimentales del Dr. J.A. Aguilar 
bajo las condiciones mencionadas en las tablas 1.1, 1.2 y 1.3. y de estas 
obtener datos necesarios para aplicar el modelo de núcleo decreciente y 
poder así determinar los coeficientes de difusión. 
• Analizar y comparar los resultados con los obtenidos con el 
modelo desarrollado y propuesto por el Dr. J.A. Aguilar[11][12]. 
• Corroborar con el diagrama de Ellingham las transformaciones 
para la reducción del mineral de hierro (Fe2O3), con sus respectivas 
reacciones a temperatura prefijada, con el fin de conocer el intervalo de las, 
composiciones de gases reductores para el desarrollo del proceso de 
reducción directa. 
21 
 
 
1.2. HIPÓTESIS. 
 
El Dr. J. A. Aguilar diseñó un método experimental para el proceso de 
reducción directa en planta piloto, de ahí obtuvo un modelo matemático y además 
coeficientes de difusión. 
 
• Es posible aplicar otro modelo matemático de un sistema físico, al 
diseño experimental del Dr. Aguilar bajo las condiciones que se 
requieren para aplicar este nuevo modelo y obtener coeficientes de 
difusión que son tan válidos como el modelo mismo, tanto por la 
descripción fenomenológica del modelo hacia el proceso, (ajuste con 
la realidad del fenómeno), también por el resultado de las ecuaciones 
matemáticas para describir el fenómeno y el manejo sencillo de 
estas; este modelo sigue siendo vigente como lo era antes, por lo 
que en este mismo párrafo se mencionó y porque ahora con la ayuda 
de los sistemas de avance tecnológico nos permite usar con mayor 
eficiencia y eficacia. 
 
22 
 
2. MARCO TEÓRICO. 
2.1. TERMODINÁMICA[7][8][9][25]. 
 
Para analizar las reacciones que se llevan a cabo en la reducción directa 
primero se debe conocer la termodinámica por que todas las reacciones químicas 
obedecen dos leyes fundamentales, la de conservación de la masa y la ley de la 
conservación de la energía. La termodinámica es el estudio de la interconversión 
del calor y otras formas de energía. Las leyes de la termodinámica proporcionan 
guías útiles para entender la energética y la dirección de los procesos de reacción. 
En la termodinámica se examinan los cambios en el estado de un sistema, que se 
define por los valores de todas sus propiedades macroscópicas importantes, por 
ejemplo, composición, energía, temperatura, presión y volumen. Se tiene 
entendido que la energía, la presión, el volumen y la temperatura son funciones de 
estado, propiedades determinadas por el estado del sistema, independientemente 
de cómo esa condición se haya alcanzado. Cuando cambia el estado de un 
sistema, la magnitud del cambio de cualquier función de estado depende 
únicamente del estado inicial y final del sistema y no de cómo se efectuó dicho 
cambio. 
 
La termodinámica permite calcular el calor desprendido o absorbido durante 
la reacción y la magnitud del mismo. 
Considerando la reacción: 
⎩
⎨
⎧
−
+
Δ+→ ]1.2[
,
,
,
exotérmica
aendotérmic
HrsSñÑaA
 
 
El calor de reacción a una temperatura dada, es el calor transferido desde 
los alrededores al sistema reaccionante cuando las moles (cantidad de sustancia) 
en este caso de “a” que pertenecen a “A” reaccionan para formar las moles “ñ" 
pertenecientes a “Ñ” y “s” moles de “S”, suponiendo el sistema a la misma 
temperatura y presión antes y después de la reacción. Puede calcularse la 
magnitud de los efectos caloríficos durante la reacción, conocidos los calores de 
reacción, o estimados a partir de datos termodinámicos. 
23 
 
 
La termodinámica permite también el cálculo de la constante de equilibrio k, 
necesaria para conocer el estado de equilibrio, del sistema reaccionante en el 
proceso de reducción directa, a partir de la entalpia libre normal G° de las 
sustancias reaccionantes. Por lo tanto, para la reacción 2.1 tenemos. 
 
]2.2[ln kRTaGsGñGG ASÑ −=°−°+°=°Δ
 
Conocida la constante de equilibrio puede estimarse el rendimiento máximo 
de los productos de reacción. 
 
Las reacciones químicas que ocurren en el proceso metalúrgico de la 
reducción directa del mineral de hierro se puede explicar en términos de la energía 
libre y la termodinámica. Cuando la energía libre de los reactivos es diferente a la 
de los productos, una reacción se lleva a cabo. Si predomina el decremento de la 
energía libre, puede alcanzar el equilibrio cuando la energía libre de los reactivos y 
productos es igual. Para la interpretación de la reacción de refinación, la energía 
libre de Gibbs (energía libre a presión constante) se calcula bajo condiciones de 
temperatura, presión y variables independientes de concentración. Las reacciones 
de fundición y refinación están basadas en la reducción y la oxidación. 
 
El diagrama de Ellingham muestra el cambio de la energía estándar de 
Gibbs, cuando ocurre la formación de óxidos en las reacciones de producción de 
hierro y acero. En general la reacción en la cual los elementos reaccionan (M+O2 
= MO2 ), con una mol de oxigeno para formar óxidos y en la energía libre de esta 
reacción está dada por ΔG° =RT lnPO..Ver el gráfico 4.9 del capítulo 4 tema 4.4 
 
Tomando la reacción de magnetita (Fe3O4) combinada con oxigeno para 
formar (Fe2O3), la energía de Gibbs cambia a 1000 (K) (727 °C), y la energía 
durante la reacción es de 200 kJ por mol y el valor de la presión de oxígeno es 
cerca de 10-6 (Pa), la reacción alcanza el equilibrio con gas bajo las condiciones 
antes mencionadas. En presencia de presiones parciales de oxigeno mayores a 
24 
 
esas condiciones la reacción forma hematita. Sin embargo cuando la presión 
parcial de oxigeno es menor a las condiciones descritas la hematita se 
descompone y la magnetita se forma, en otras palabras la hematita es reducida a 
magnetita. 
 
Generalmente con los óxidos cuando la temperatura se incrementa el valor 
negativo de la energía de Gibbs de formación es pequeño, el cual hace a los 
óxidos inestables y fáciles de reducir. De la misma forma el grado de estabilidad 
de varios óxidos puede verse y compararse en el diagrama de Ellingham. Los 
óxidos de hierro son progresivamente menos estables termodinámicamente, en el 
orden de hematita, magnetita, wustita y Fe. 
 
Cuando el ΔG° de formación puede verse en forma gráfica con respecto al 
cambio de este, se puede estimar la presión parcial de oxígeno en función de la 
temperatura. De esta manera se puede predecir la temperatura a la cual el metal 
es estable y la temperatura sobre la cual se oxida o se reduce espontáneamente. 
Para las temperatura a las cuales la energía libre de formación de el óxido es 
positivo, la reacción es inversa y el o los óxidos se descomponen 
espontáneamente[13] Ver capítulo 4 tema 4.4. 
 
La termodinámica describe el cambio de las propiedades de un sistema en 
un cambio de estado, pero no proporciona ninguna información acerca tiempo 
requerido para efectuar el cambio. En la práctica, el intervalo de tiempo requerido 
para cualquier cambio determinado de estado es muy importante. Es poco solo 
saber cuánto tiempo tomará en realizarse una reacción. Gran parte de la 
termodinámica radica enel hecho de que las predicciones termodinámicas no 
dependen de la forma detallada en que un sistema sufre la transformación de su 
estado inicial al final. El análisis de las velocidades de las transformaciones 
requiere la postulación de un modelo de la estructura del sistema, ver tema 2.2. 
Probando la velocidad por determinado modelo con los datos experimentales, se 
puede juzgar la idoneidad del modelo. 
 
25 
 
Observamos las leyes puramente empíricas que gobiernan las velocidades 
de los distintos procesos. Después aplicando el conocimiento de la termodinámica, 
se intenta explicar las leyes en función de la constitución del sistema y de las 
propiedades fundamentales de los átomos y las moléculas que lo forman. 
2.2. CINÉTICA DE REACCIÓN[14][16][25]. 
 
Un ejercicio muy importante para la ingeniería es la optimización y la 
simulación de procesos dentro de los reactores ya diseñados. La optimización se 
basa en la economía global del proceso, para esto se debe disponer de 
información, conocimientos y experiencia en diferentes campos: termodinámica , 
cinética química, transporte de materia y economía. 
 
Si se requiere optimizar y/o diseñar un reactor hemos de hacernos las 
siguientes preguntas. 
 
1.- ¿Qué transformación(es) hemos de esperar que ocurra(n)?. 
2.- ¿Con que rapidez tendrán lugar?. 
 
La primera tiene referencia a la rama termodinámica y la segunda a los 
procesos asociados a la rapidez de la transformación (cinética química, transporte 
de masa). 
 
En la actualidad es necesario medir la rapidez de un proceso. Esto requiere 
de usar un reactor preferiblemente a pequeña escala, como unidad de laboratorio 
(planta piloto) sin embargo la rapidez no puede medirse, directamente y se 
obtienen por medio de la interpretación de la información obtenida en el reactor. 
 
En general los datos consisten en las concentraciones de reactivos y 
productos, y los resultados específicos dependen del tipo de reactor utilizado. 
 
Con los principios de la termodinámica y los datos termodinámicos del 
sistema, puede conocerse el punto de equilibrio al cual puede llegar una reacción 
26 
 
química, dado el cambio con respecto al tiempo de la reacción. Por lo tanto la 
rapidez total de una reacción química debe ser cero en el punto de equilibrio. 
 
Si observamos la figura 2.1, de la curva A se puede verificar que la rapidez 
se aproxima a cero asintóticamente. Existen casos para los cuales se alcanza el 
equilibrio con más rapidez, por lo que se vuelve cero a un tiempo finito como lo 
ilustra la curva B. 
 
De igual forma la fracción de reactante transformada o convertida calculada 
a partir de datos termodinámicos sería el punto final de una curva de conversión 
en función del tiempo, como se muestra en la figura 2.2. la curva A muestra que el 
tiempo requerido para alcanzar las condiciones de equilibrio es grande, en tanto 
que en el caso B, la conversión de equilibrio se alcanza con más rapidez y se 
logra esencialmente en un tiempo finito. Las curvas A y B de la figura 2.2, podrían 
aplicarse con exactitud a la misma reacción. Sin embargo, la diferencia que se 
presenta entre ellas se debe a la rapidez de la transformación que para el caso B, 
ha sido aumentada con un catalizador. 
 
Figura 2.1. Rapidez de reacción[14]. 
 
El tiempo disponible para efectuar una reacción química en escala 
comercial se encuentra limitado si el proceso debe ser económico. Por esto, el 
intervalo importante en las figuras 2.1 y 2.2, desde el punto de vista práctico, es a 
27 
 
valores de tiempos bajos. Por otra parte, la conversión de equilibrio es importante 
como una referencia para evaluar el rendimiento real del equipo de reacción. 
 
Figura 2.2. Conversión en función del tiempo[14]. 
 
Cuando se realiza experimentación cinética, se obtiene información sobre 
las concentraciones de las especies reaccionantes en función del tiempo. La 
ecuación cinética que gobierna la reacción es una ecuación diferencial que da las 
velocidades de variación de las concentraciones de las especies que reaccionan 
d[A]/dt. 
 
A continuación se citarán los métodos para deducir la ecuación cinética 
postulada, con resultados experimentales. La mayoría de los métodos de cálculo 
comparan las concentraciones de las especies reaccionantes predichas por la 
ecuación cinética postulada, con resultados experimentales. Para obtener las 
concentraciones respecto al tiempo a partir de la ecuación cinética, debe 
integrarse la misma. 
 
Por lo tanto se puede elegir un modelo de cinética de reacción química, 
dependiendo el orden de reacción, aplicando los modelos ya clasificados ya sea 
por orden de reacción, 0, 1º, 2º, 3º, ó reversibles, competitivas, además de la 
posibilidad de el desarrollo de las mismas. Éstas se aplican sobre los datos 
experimentales y realizando una correlación de variables (obteniendo la ecuación 
28 
 
que represente la gráfica), se podrá observar que curva se ajusta mejor, con esto 
se podrá elegir el modelo de cinética de reacción química o desarrollarlo en su 
defecto. Después se integra ésta ecuación dependiendo de su forma diferencial y 
con esto obtendremos una ecuación para la cinética de reacción aplicada a los 
datos experimentales, ver capítulo 4 y ecuaciones 4.1 a 4.5. 
2.3. ASPECTOS IMPORTANTES SOBRE DIFUSIÓN [10]. 
 
El objetivo de este trabajo es calcular coeficientes de difusión por lo tanto se 
puede citar lo siguiente. La difusión en el estado sólido ocurre por el movimiento 
aleatorio de los átomos. En sistemas binarios la difusión ocurre bajo gradientes de 
concentración y la primera ley de Fick establece que el flux difusivo es 
proporcional al gradiente de concentración, con su constante de proporcionalidad 
llamado coeficiente de difusión de las especies. La segunda ley de Fick establece 
que la rapidez del cambio de concentración de las especies que difunden en 
cualquier lugar es igual al cambio en la rapidez del flux difusivo con respecto a la 
distancia ( la cual por si misma es proporcional a la segunda derivada de la 
concentración con respecto a la distancia). 
 
Si se revisa la difusión sustitucional en una solución sólida se puede ver 
que el coeficiente de difusión definido por la primera ley de Fick varia 
significativamente con la composición. Este coeficiente de difusión, es solo una 
medida de la rapidez a la cual los gradientes de concentración en el sistema son 
eliminados por el proceso de difusión. Esto es función de los coeficientes de 
difusión de los componentes químicos de las especies y es función de la 
composición. La ley de Fick se cumple para soluciónes termodinámicamente 
ideales en las cuales la actividad termodinámica del soluto es proporcional a su 
concentración (i.e. el soluto obedece la ley de Henry y el solvente obedece la ley 
de Raoult). En general el transporte de masa por difusión ocurre bajo gradientes 
de potencial químico (gradientes activos termodinámicamente), con la 
consecuencia de que los coeficientes de difusión químicos de las especies en 
difusión son sólo dependientes de la composición, si el sistema es 
termodinámicamente ideal. En algunos sistemas el coeficiente de difusión químico 
29 
 
de las especies es proporcional a su movilidad, donde la movilidad es definida 
como la rapidez de difusión de un átomo por la fuerza que actúa sobre el, y la 
fuerza surge del gradiente en el potencial químico. El coeficiente de difusión 
químico de las especies en difusión en un sistema multicomponente es 
termodinámicamente ideal. En sistemas en los cuales las difusividades químicas 
de los componentes tienen diferentes valores, el proceso de difusión causa 
movimiento de la posición de los planos de la red para llegar a estar en una 
posición estable y por lo tanto el transporte de masa en el sistema es la suma del 
movimiento por difusión bajo gradientes concentraciones y el movimiento de los 
planosde las redes cristalinas. 
 
La difusión es un proceso que es activado por la temperatura y por lo tanto, 
la difusión se incrementa exponencialmente con el incremento de la temperatura, 
el incremento de la rapidez es determinado por la energía de activación requerida 
por un átomo que salta de un lugar a otro. 
2.4.MODELOS MATEMÁTICOS [26][28]. 
 
Hasta aquí ya se habló de teoría, conocimiento empírico y la introducción al 
modelo cinético ahora se hablará, de los modelos matemáticos que como objetivo 
de este trabajo es el de aplicar el de núcleo decreciente. 
 
El objetivo de la aplicación de los modelos matemáticos y físicos, es la 
solución de problemas específicos, como en operaciones de procesamiento de 
metales. Para esto el tratamiento hace énfasis en los principios y en la discusión 
de estrategias que pueden ser empleadas en una situación dada. Usando modelos 
matemáticos, modelos físicos o plantas piloto. 
 
Un modelo matemático consiste en un conjunto de ecuaciones algebraicas 
o diferenciales, las cuales representan cuantitativamente el proceso o algún 
aspecto del proceso. 
 
30 
 
Un modelo matemático teórico es derivado de las leyes básicas de la física, 
con un ajuste empírico. Es una representación cuantitativa del proceso. En la 
mayoría de los casos tal representación puede aparecer en la forma de una 
ecuación diferencial parcial, asociada a las condiciones límites apropiadas. 
 
Los modelos matemáticos son una herramienta muy importante para 
analizar y controlar procesos de transformación ya existentes y para diseñar 
aquellos que están en desarrollo: 
 
Principales usos de los modelos matemáticos de procesos de 
transformación ya existentes. 
 
a) Para mejorar nuestro conocimiento general del comportamiento del 
proceso. 
b) Nos muestran el efecto de las variables del proceso y de esta manera nos 
proveen de medios para optimizar los procesos. 
c) Para planear y evaluar plantas piloto. 
 
Principales usos de los modelos matemáticos que representan a los procesos 
de transformación en desarrollo. 
 
a) Para apoyar en la evaluación de un proceso. 
b) Para ayudar en la planeación de experimentos de laboratorio. 
c) Para coadyuvar en la evaluación de plantas piloto. 
 
Si un modelo se ajusta al comportamiento real, su expresión cinética 
predecirá y describirá el proceso cinético real; si el modelo difiere mucho del 
comportamiento real, su expresión cinética resultará inútil. Debe resaltarse que el 
análisis matemático más elegante y poderoso basado en un modelo que no 
corresponde a la realidad, es simplemente un ejercicio matemático inútil para el 
que a de efectuar el diseño de el proceso. Esta afirmación referente a un modelo, 
31 
 
no solo se cumple en la deducción de expresiones cinéticas sino en todos los 
campos de la ingeniería. 
 
Las condiciones que ha de cumplir un modelo, desde el punto de vista de la 
ingeniería, son que constituya la representación más próxima al proceso real y que 
pueda emplearse sin excesiva complicación matemática; resulta poco útil 
seleccionar un modelo que se aproxime mucho a la realidad, pero que sea tan 
complicado que resulte inaplicable. 
 
Con los modelos matemáticos que describen la cinética química de la 
reducción, desarrollados hasta ahora, la vasta investigación sobre el proceso, los 
diferentes resultados y trabajos experimentales realizados se ha decidido usar la 
información disponible sobre la experimentación y aplicarla a un modelo 
matemático ya desarrollado, para obtener constantes que permitan la optimización 
y simulación de los procesos de reducción directa además de compararlos y así 
obtener resultados que podrán ser aplicados para la optimización del proceso de 
reducción directa. 
 
En este trabajo, el análisis de las reacciones no catalíticas de las partículas 
sólidas con el fluido que las rodea (reacción heterogénea), que es la base del 
proceso de reducción directa, se necesitan entender y conocer los antecedentes y 
el desarrollo de dos modelos ya desarrollados y son: 
 
1. Yagi y Kunii. Modelo de núcleo sin reaccionar. 
2. El del Dr. J. A. Aguilar. Modelo de las constantes aparentes. 
 
Ahora los temas que vienen a continuación, son de suma importancia ya que 
no puede verse al reactor de reducción directa como una caja negra donde lo que 
entra y lo que sale se transforma, porque realmente dentro del reactor se realiza la 
reducción de los pellets y es lo que se analiza en este trabajo además de que las 
variables temperatura, concentración de gases reductores, concentración de pellet 
son las que afectan la reducción, y para aplicar el modelo matemático se deben 
32 
 
cumplir ciertas condiciones. Los temas siguientes hacen referencia a la parte de 
obtención del modelo matemático a partir del sistema físico, es decir se hace el 
estudio del fenómeno de transporte, en este caso transporte de masa y se 
obtienen las ecuaciones que describen el fenómeno; para este trabajo será la 
reducción de pellet esférico. En el tema 2.5 se aborda el modelo de núcleo 
decreciente con sus respectivas etapas controlantes, subtemas, 2.5.1, 2.5.2, 2.5.3, 
estas etapas controlantes deben ser claras para poder entender el sistema de 
pellet en reducción y para poder decidir en cuál es la etapa controlante y aplicar el 
modelo; en el tema 2.6 se aborda el balance general de la rapidez de reacción 
llevada a cabo dentro del horno de reducción directa del proceso midrex que 
implica al núcleo decreciente y que contiene la ecuación importante para obtener 
los coeficientes de difusión (ecuación 2.39). En el tema 2.7 se aborda 
fenomenología también de la reducción directa del Fe2O3 para el modelo del Dr. J. 
A. Aguilar donde se muestra el modelo, su desarrollo experimental subtema 2.7.1, 
la técnica de obtención del modelo bajo las respuestas experimentales y la 
obtención de coeficientes de difusión, subtema 2.7.2 
2.5. EL MODELO MATEMÁTICO DE YAGI Y KUNII 1955. (MODELO DE NÚCLEO 
DECRECIENTE, MODELO DE NÚCLEO SIN REACCIONAR)[10][15][16][17]. 
 
Teniendo claro el beneficio de los modelos matemáticos, ahora se explicará 
el desarrollo del modelo que se desprende de el tema conocido como de cinética 
de reacción para sistemas heterogéneos no catalíticos, donde destaca el modelo 
de Yagi y Kunii, el modelo considera que la reacción tiene lugar primero en la 
superficie exterior de la partícula sólida; después la zona de reacción se desplaza 
hacia el interior del sólido, dejando atrás el material completamente convertido y 
sólido inerte (al que denominaremos cenizas). De este modo, durante la reacción 
existirá un núcleo de material sin reaccionar, cuyo tamaño estará disminuyendo a 
medida que trascurre la reacción, como se muestra en la figura 2.3 en la cual se 
muestra que de acuerdo con el modelo de núcleo sin reaccionar la reacción se 
efectúa en una capa estrecha que se va desplazando hacia el interior de la 
partícula sólida. El reactivo se convierte completamente a medida que la capa se 
va desplazando. 
33 
 
 
Figura 2.3. Conversión de partícula. 
 
Yagi y Kunii[15] desarrollaron el modelo haciendo las siguientes 
consideraciónes: 
 
Etapa 1. Difusión del reactivo gaseoso A hasta la superficie del sólido a 
través de la película gaseosa que le rodea, ver figuras 2.3 y 2.4. 
 
Etapa 2. Penetración y difusión de A, a través de la capa de ceniza hasta la 
superficie del núcleo que no ha reaccionado o superficie de reacción. 
 
Etapa 3. Reacción del reactante gaseoso A con el sólido en la superficie de 
reacción. 
 
Etapa 4. Difusión de los productos gaseosos formados a través de la capa 
de cenizas hacia la superficie exterior del sólido. 
 
Etapa 5. Difusión de los productos gaseosos de reacción a través de la 
capa gaseosa hacia el seno del fluido. 
 
34 
 
En la realidad, es frecuente que no se presente alguna de estas etapas; por 
ejemplo, si no se forman productosgaseosos o si la reacción es irreversible, las 
etapas 4 y 5 no contribuyen a la reacción. 
 
 
Figura 2.4. Representación de una partícula que no cambia de tamaño. 
 
En la figura 2.4. se encuentra una representación de las concentraciones de 
los reactantes y de los productos para la reacción A(g)+bB(s) ñÑ(g)+sS(s) en el 
caso de una partícula que no cambia de tamaño. 
 
Por otra parte, las resistencias de las distintas etapas suelen ser muy 
diferentes; en tales casos hemos de tener en cuenta que la etapa que presente 
mayor resistencia constituye la etapa controlante de la rapidez de conversión de 
partícula. 
35 
 
 
2.5.1 La difusión a través de la película gaseosa como etapa controlante 
 
Cuando la etapa controlante es la resistencia de la película gaseosa, el 
perfil de concentración del reactivo A en fase gaseosa será representado en la 
figura 2.5. que representa una partícula reactante cuando la difusión a través de la 
película gaseosa es la resistencia controlante. En esta figura se observa que no 
existe reactante en la superficie; por lo tanto, el potencial de concentración CAg-CAr 
es constante durante el transcurso de la reacción. Como es conveniente deducir 
las ecuaciones cinéticas basándose en la superficie disponible se efectúan los 
cálculos con referencia a la superficie exterior constante de la partícula, Sex. 
 
]5.2[)()(
]4.2[)()(
]3.2[)()(
sólidosyfluidosproductossólidobBfluidoA
sólidosproductossólidobBfluidoA
fluidosproductossólidobBfluidoA
→+
→+
→+
 
Teniendo en cuenta que, por la estequiometria de las ecuaciones 2.3, 2.4 y 
2.5, dNB=bdNA, se puede escribir: 
 
]6.2[)(
44
11
22 cteCbkCCbkdt
dN
R
b
dt
dN
Rdt
dN
S AggAsAgg
ABB
ex
==−=−=−=−
ππ
 
Si se designa a ρB a la densidad molar de B en el sólido, y por V al volumen 
de una partícula, la cantidad de B presente en una partícula es: 
 
]7.2[)( 33 sólidocmsólidocm
molesBVN BB ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛== ρ
 
La disminución del volumen o del radio del núcleo sin reaccionar que 
corresponde al consumo de dNB moles de sólido reactante o de b dNA moles de 
fluido reactante viene dada por: 
36 
 
 
]8.2[4)
3
4( 23 CCBcBBAB drrrddVbdNdN πρπρρ −=−=−=−=−
 
Sustituyendo la ecuación 2.8 en la 2.6 se obtiene la velocidad de reacción 
en función de la disminución del radio del núcleo sin reaccionar, como sigue: 
 
]9.2[1 2
2
Ag
CCB bkgC
dt
dr
R
Br
dt
dN
Sex
=−=−
ρ
 
En la que kg es el coeficiente de transporte de materia entre el fluido y la 
partícula véase la deducción de la ecuación 2.26. Efectuando operaciones e 
integrando deducimos una expresión para el radio del núcleo sin reaccionar en 
función del tiempo, es decir: 
 
]10.2[1
3
3
0
2
2
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
=− ∫ ∫
R
r
bkgC
R
t
bieno
dtCbkdrr
R
c
Ag
B
r
R
t
Aggc
B C
ρ
ρ
 
Designando por τ al tiempo necesario para la reacción completa de una 
partícula haciendo rc=0 en la ecuación 2.10 resulta: 
 
]11.2[
3 Ag
B
bkgC
Rρ
τ =
 
 
 
37 
 
 
Figura 2.5. Difusión a través de la película gaseosa como la resistencia 
controlante. 
 
El radio del núcleo sin reaccionar en función del tiempo fraccional, referido a 
la conversión completa, se calcula combinando las ecuaciones 2.10 y 2.11, 
quedando de la siguiente forma: 
 
]12.2[1
3
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
R
rt c
τ
 
Que también puede escribirse en función de la conversión fraccional, 
recordando que: 
 
]13.2[
sin
1
3
3
3
4
3
3
4
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
==
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=−
R
r
R
r
partículaladetotalvolumen
reaccionarnúcleodelvolumen
X ccB π
π
38 
 
 
Por lo tanto: 
 
]14.2[1
3
B
C X
R
rt
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
τ
 
Obtenemos así la relación entre el tiempo, el radio y la conversión, que se 
representa gráficamente en las figuras 2.8 y 2.9. 
 
2.5.2 La difusión a través de la capa de cenizas como etapa controlante. 
 
La figura 2.6 representa el caso en que la difusión a través de la ceniza 
controla la velocidad de reacción. Para deducir una expresión entre el tiempo y el 
radio, del tipo de la ecuación 2.10 para la resistencia de la película, se debe 
efectuar un análisis en dos etapas: primero, se considera una partícula que ha 
reaccionado parcialmente, escribiendo las relaciones del flujo para este caso; 
después se aplica esta relación a todos los valores de rc, es decir se integra rC 
entre R y 0. 
 
Figura 2.6. Difusión a través de las cenizas como la resistencia controlante. 
 
39 
 
Consideremos una partícula que ha reaccionado parcialmente, como se 
representa en la figura 2.6. Tanto el reactivo A como la superficie límite del núcleo 
que no a reaccionado, se desplazarán hacia el centro de la partícula, pero la 
disminución del núcleo que no ha reaccionado es unas 1000 veces menor que la 
velocidad de desplazamiento de A hacia la zona sin reaccionar; la relación entre 
estas velocidades es aproximadamente igual a la relación entre las densidades del 
sólido y del gas. Por consiguiente, en todo momento puede suponerse que le 
núcleo sin reaccionar permanece estacionario por lo que respecta al gradiente de 
concentración de A en la ceniza. Esta hipótesis de condiciones estacionarias para 
la difusión de A en cualquier instante y para cualquier radio del núcleo sin 
reaccionar, permite una gran simplificación en el planteamiento matemático 
indicado a continuación. De acuerdo con esta hipótesis, la rapidez de reacción de 
A, en cualquier instante, viene dada por su rapidez de difusión hacia la superficie 
de reacción, es decir: 
 
]15.2[.444 222 cteQrQRQr
dt
dN
AcCASA
A ====− πππ
 
El flujo de A a través de la capa de cenizas se expresa por la ley de 
interdifusión equimolecular de Fick aunque conducirán al mismo resultado otras 
expresiones de la difusión. Por consiguiente, recordando que tanto QA como dCA/dr 
son positivos se tiene: 
 
]16.2[
dr
dC
DeQ AA =
 
Donde De es el coeficiente de difusión efectiva del reactante gaseoso en la 
capa de cenizas. Frecuentemente resulta difícil asignar previamente un valor a 
esta magnitud, debido a que las propiedades de las cenizas pueden variar 
sensiblemente a causa de pequeñas cantidades de impurezas en el sólido, y 
debido también a las variaciones del entorno de las partículas. Combinando las 
ecuaciones 2.15 y 2.16 obtenemos para cualquier radio r: 
 
40 
 
]17.2[.4 2 cte
dr
dC
Der
dt
dN AA ==− π
 
Integrando a lo largo de la capa de ceniza desde R hasta rc, resulta: 
 
]18.2[411
4
0
2
Ag
c
A
r
R
CAc
CAsCAg A
A
DeC
Rrdt
dN
o
dCDe
r
dr
dt
dN C
π
π
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−
=− ∫ ∫
=
=
 
Esta expresión representa las condiciones de una partícula reactante en 
cualquier momento. 
 
En la segunda parte del análisis se considerará la variación del tamaño del 
núcleo sin reaccionar con el tiempo. Para un determinado tamaño del núcleo sin 
reaccionar , dNA/dt, es constante; sin embargo, a medida que el núcleo disminuye 
la capa de ceniza será mayor originando una disminución de la rapidez de difusión 
de A. En consecuencia, la integración de la ecuación 2.18 con respecto al tiempo y 
a otras variables conducirá a las relaciones buscadas. Como esta ecuación 
cinética contiene tres variables: t, NA y rc, ha de eliminarse una de ellas o ponerse 
en función de las otras dos antes de efectuar la integración. Del mismo modo que 
para la difusión en película, expresamos NA en función de rc; esta relación viene 
dada por la ecuación 2.8, que sustituida en la ecuación 2.18, separando variables 
e integrando conduce a : 
]19.2[231
6
11
322
0
2
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−=
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−− ∫∫ =
R
r
R
r
bDeC
Rt
dtbDeCdrr
Rr
cc
Ag
B
t
AgcC
r
Rr
c
B
C
C
ρ
ρ
 
El tiempo necesario para la conversión completa de una partícula se 
obtiene cuando rc= 0, sea: 
 
41 
 
]20.2[
6
2
Ag
B
bDeC
Rρ
τ =
 
El transcurso de la reacción, en función del tiempo necesario para la 
conversión completa, se calcula dividiendo la ecuación 2.19 en2.20: 
 
]21.2[231
32
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−=
R
r
R
rt cc
τ
 
Que, en función de la conversión fraccional dada por la ecuación 2.13 
resulta: 
 
( ) ]22.2[)1(2131 3/2 BB XX
t
−+−−=
τ
 
Estos resultados están representados gráficamente en las figuras 2.8 y 2.9 
42 
 
 
 2.5.3 La reacción química como etapa controlante. 
 
En la figura 2.7 se representan los gradientes, de concentración dentro de 
una partícula cuando la etapa controlante es la de reacción química. 
 
Figura 2.7. Reacción química como la resistencia controlante, en el caso de 
la reacción A(g)+bB(s) productos. 
 
Como el transcurso de la reacción es independiente de la presencia de 
cualquier capa de ceniza, la cantidad de sustancia reactante es proporcional a la 
superficie disponible del núcleo sin reaccionar. Por consiguiente, la rapidez de 
reacción, está basada en la unidad de superficie del núcleo sin reaccionar, para la 
estequiometria de las ecuaciones 2.3, 2.4, 2.5: 
]23.2[
44
1
22 Ags
A
c
B
c
Cbk
dt
dN
r
b
dt
dN
r
=−=−
ππ
 
Donde ks es el coeficiente cinético de primer orden para la reacción en la 
superficie. Escribiendo NB en función de la disminución del radio, dada por la 
ecuación 2.8, 
43 
 
]24.2[4
4
1 2
2 Ags
c
B
c
cB
c
Cbk
dt
dr
dt
dr
r
r
=−=− ρπρ
π
 
Que integrando se obtiene: 
 
]25.2[)(
0
c
Ags
B
t
Ag
r
R
scB
rR
Cbk
t
dtCbkdr
C
−=
=− ∫∫
ρ
ρ
 
El tiempo τ necesario para la reacción completa se obtiene cuando rc= 0, o sea: 
 
]26.2[
Ags
B
Cbk
Rρ
τ =
 
La disminución del radio o el aumento de la conversión fraccional de la 
partícula en función de τ se calcula por combinación de las ecuaciones 2.26 y 2.25 
es decir: 
 
]27.2[)1(11 3
1
B
c X
R
rt
−−=−=
τ
 
El resultado se puede observar en las figuras 2.8 y 2.9. 
 
La determinación cinética y de las etapas controlantes de la rapidez en una 
reacción sólido-fluido, se efectúa siguiendo la conversión de las partículas sólidas 
y observando cómo influye su tamaño y la temperatura en dicha conversión. Esta 
información puede obtenerse de varias maneras, que dependen de las 
condiciones y de los medios disponibles. Las observaciones siguientes constituyen 
una guía para un plan racional de experimentación y para la interpretación 
correcta de los resultados experimentales. 
 
44 
 
En general la etapa química depende mucho más de la temperatura que las 
etapas físicas. Por consiguiente, los resultados experimentales a distintas 
temperaturas permitirán distinguir fácilmente si la etapa controlante es la difusión a 
través de la película gaseosa, a través de la ceniza, o si es la de reacción química. 
 
En las figuras 2.8 y 2.9 se representa la conversión progresiva de sólidos 
esféricos, cuando la etapa controlante es la de reacción química, la de difusión en 
la película gaseosa y la de difusión en la ceniza. Los resultados de las 
experiencias cinéticas para distintos periodos, comparados con estas curvas de 
predicción, indicaran cual es la etapa controlante; sin embargo, como la diferencia 
entre la difusión en la ceniza y la reacción química, como etapas controlantes, es 
pequeña, los resultados pueden estar enmascarados por la dispersión de los 
datos experimentales. 
 
 
Figura 2.8. Conversión de de rc /R en función del tiempo. 
 
El tamaño de partícula para las ecuaciones 2.25, 2.19, 2.10, indican que el 
tiempo necesario para alcanzar la misma conversión fraccional, para partículas de 
tamaños diferentes pero constantes, viene dado por: 
45 
 
5.25.1 aRtα Cuando la etapa controlante es la difusión en la película (el exponente 
disminuye al aumentar el módulo de Reynolds). 
2Rtα Cuanto la etapa controlante es la difusión a través de las cenizas 
Rtα Cuando la etapa controlante es la reacción química. 
 
 Por consiguiente, las experiencias cinéticas con diferentes tamaños de 
partículas permiten distinguir las reacciones en las que las etapas controlantes son 
físicas o químicas. 
 
 Cuando se forma una ceniza sólida consistente durante la reacción, la 
resistencia ofrecida al paso del reactante en fase gaseosa suele ser mucho mayor 
a través de esta capa de ceniza que a través de la película gaseosa que rodea a la 
partícula; por consiguiente, puede despreciarse la resistencia de la película 
cuando se forma ceniza que no se desprende. 
 
Figura 2.9. Conversión progresiva de de 1-XB en función del tiempo. 
46 
 
 
2.6. MODELO DE YAGI Y KUNII REPRESENTANDO EL PROCESO DE REDUCCIÓN 
DIRECTA [MIDREX][15][17]. 
 
En el tema 2.5 se presento el desarrollo del modelo de núcleo decreciente y 
sus tres etapas controlantes, ahora se aplicará de lleno al proceso de reducción 
directa, donde se toma solo una etapa controlante que es la difusión a través de la 
capa de cenizas. En el capítulo 1 se describió al proceso de reducción ahora para 
modelar la reducción del pellet en el horno de reducción directa se le aplica en 
este tema, el modelo que se describió en la sección anterior bajo las condiciones 
siguientes véase la figura 2.10. 
 
Figura 2.10. Geometría del Horno de Reducción directa. 
 
Para aplicar el modelo con etapa controlante de la difusión en la partícula o 
capa de cenizas se deben hacer las siguientes consideraciones. 
 
a) El consumo de mineral de hierro (pellet) es gobernado por el modelo de 
núcleo decreciente. 
47 
 
b) La resistencia al transporte de masa y de calor a través de la película de 
la partícula sólida es insignificante a comparación a la resistencia 
difusional dentro de los poros sólidos ( kg>> D/2/r0). 
 
c) Se consideran condiciones de operación del reactor de reducción directa 
de estado estable, el régimen turbulento se descarta totalmente. Bajo 
esta situación los efectos inerciales son predominantes. 
 
Se considerará solo la dirección del flujo de gas en dirección z. El área de 
interés es la zona de reducción del reactor. 
 
Sólo se toman en cuenta las reacciones globales de la reducción directa. El 
área de interés es la zona de reacción del reactor. La reacción de carburización no 
es considerada. 
 
El sistema de reacción que se toma es el siguiente: 
 
24332
243232
23
23
COOFeCOOFe
OHOFeHOFe
+→+
+→+
 
 
El grado de reacción está definido en términos de la concentración como lo 
indica la ecuación 2.28, Para cada especie j y donde αij es el coeficiente 
estequiométrico. De lo anterior se pueden escribir para la fase gaseosa las 
ecuaciones 2.29 y 2.30 y para el estado sólido (pellet) 2.31. Hay un listado de 
símbolos al final de este tema para corroborar las letras. 
48 
 
.
( )
]32.2[
4
]31.2[321
]30.2[2
]29.2[1
]28.2[
3
1
33
0
3
0
0
0
0
3232
22
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
=−=+=
−=
−=
+= ∑
πρ
α
p
c
OFeOFe
COCO
HH
i
i
i
jj
n
MwXrr
XCCXXXrs
CCX
CCX
XCCj
 
Considerando el modelo de núcleo decreciente y la concentración del 
reactivo sólido que debe ser medido por unidad de volumen del reactor, es posible 
relacionar la capa sin reaccionar (rc) con la conversión del sólido (X3) con la 
ecuación 2.32. Donde r0 es el radio externo del pellet, np es el número de pellets 
por unidad de volumen del reactor. Mw y ρ son el peso molecular y la densidad del 
reactivo sólido.
 
 
Bajo las suposiciones anteriores los balances de masa y energía en estado 
estable de un reactor de lecho móvil en contra corriente son: 
 
Fase Gaseosa (gases de CO e H2): 
]35.2[0
),,(
)(
]34.2[0),(ˆ
]33.2[0),(ˆ
21
322
1
311
1
=
−
−
=+
=+
gpm
gsolppg
p
p
TXXCG
TThAn
dz
dT
XXRn
dz
dXu
XXRn
dz
dXu
gg
 
La ecuación 2.33 se refiere a la velocidad del gas mientras se da la 
conversión con respecto al cambio del eje z más el número de pellets convertidos 
en función de la concentración de gases de hidrógeno. 
 
49 
 
La ecuación 2.34 es la velocidad del gas en el eje z por el cambio de la 
conversión de pellet, más el número de pellets convertidos en función de la 
concentración de gases de monóxidode carbono. 
 
La ecuación 2.35 es el cambio de temperatura en el eje z menos la 
influencia del la temperatura sobre el área de reacción que está entre la 
concentración del gas, el flujo de gas y la temperatura del gas, fuera de la 
partícula. 
 
Fase sólida (pellet): 
( ) ( ) ]37.2[0),,(
ˆ)(
,)(
]36.2[0)),(ˆ),(ˆ(
3
33
322311
3
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Δ−−−
=++
∑ soli
i
p
solsolm
psol
psol
TXXiRTsolHiTgTsolhAx
TXCpXG
n
dz
dT
XXRXXRn
dz
dxu
sol
 
 La ecuación 2.36 se refiere a la conversión del pellet bajo el dominio de los 
dos gases H2 y CO. 
 
 La ecuación 2.37 indica la influencia de la temperatura en el sólido, bajo el 
influjo del calor específico en la temperatura de la superficie y la suma de la 
entalpía de la reacción que se lleva a cabo bajo la influencia de los gases H2 y CO 
más la interacción del mineral. 
 
Condiciones límite: 
]38.3[)0(
,)(,0)0(3
,0)(2,0)(1
TatmzTs
TLzTgzX
LzXLzX
in
g
==
====
====
 
El sistema de ecuaciones diferenciales de 2.33 a 2.37 es resuelto por el 
método de Runge-Kutta basado en Dorman-Prince[26]. El problema es resuelto 
intentando hacer una predicción de X1 y X2 y Tg a z=0 (salida del alto horno) así que 
después de resolver el sistema de ecuaciones 2.33 a 2.37, con las condiciones 
límite a z= L se satisface, X1 (z=L)=X2(z=L)=0 y Tg(z=L)=Tgin . 
50 
 
 
El modelo de núcleo decreciente se aplica usualmente al pellet sólido; y la 
expresión correspondiente a la rapidez de reacción por pellet es dada por : 
 
]39.2[
1
.4ˆ
0
2
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+
−
=
n
c
n
c
n
nc
Dr
r
D
r
k
Cr
R
π
 
Donde n=1,2 indica a H2 y CO respectivamente, esta será la que se usará 
para calcular los coeficientes de difusión, por lo tanto hay que despejar los 
coeficientes de difusión, y aplicarla a las tres transformaciones con los dos tipos 
de gas reductor H2 y CO con las tres temperaturas respectivas 750 850 y 950°C 
esto se explica en el tema 3. Las siguientes transformaciones son las que se 
llevan a cabo: 
 
OHFeHFeO
hierroawustitade
COFeCOFeO
OHFeOHOFe
wustitaamagnetitade
COFeOCOOFe
OHOFeHOFe
magnetitaahematitade
COOFeCOOFe
22
2
2243
243
243232
24332
3
3
23
23
+→+
+→+
+→+
+→+
+→+
+→+
 
 
La rapidez de reacción por unidad de volumen del reactor (ř) es obtenida a 
través de la siguiente ecuación: 
]40.2[ˆˆ Rnr p=
 
Para cinética irreversible que solo aplica cuando se habla de situaciones 
fuera del equilibrio se menciona a continuación. 
 
51 
 
El flujo molar (Gmsol) es función de X3 relacionando el radio del núcleo por la 
ecuación 2.32 de núcleo decreciente, Gmsol puede ser evaluado usando la 
siguiente expresión: 
 
( )
( )
]41.2[
2
1
)(
33
0
3
33
03
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+
=
ps
ps
c
rs
rsc
ps
ps
c
n
rs
cL
mcsol
Mw
rr
Mw
r
Mw
rr
Mwr
GrGm
sol ρρ
ρρ
 
Se requieren parámetros de cinética química y difusión desarrollados en el 
laboratorio. Los coeficientes de cinética deben seguir la ley de Arrhenius. 
 
El calor específico se calcula con: 
 
( )[ ]
( )[ ] ]42.2[3303
33
0
3
cpsrsc
cps
ps
pcrs
rs
p
s rrr
rrcrc
Cp
−+
−+
=
ρρ
ρρ
 
Esta expresión considera al Cp que debe ser medido con el promedio de la 
reacción con productos sólidos para cualquier estado de transformación que es 
dada por el radio sin reaccionar. El coeficiente de transferencia (h) es obtenido por 
la correlación de Chilton y Colburn usado para reactores con lecho móvil 
omitiendo la resistencia en la película gaseosa. Por tanto considerando el calor a 
cualquier radio y en cualquier momento del proceso se tiene la siguiente 
expresión. 
 
]43.2[Pr1 3/2
GmgCp
h =
 
Tomar valores de Δh y calor específico. 
Hasta aquí se tiene ya el modelo para aplicarlo, se pretende tomar la 
ecuación 2.39 que requiere también de los parámetros de la ecuación 2.32, pero 
relacionándola con tres transformaciones (de hematita a magnetita, de magnetita a 
wustita y de wustita a hierro) con sus respectivos parámetros experimentales, 
52 
 
concentración y temperatura, que fueron propuestos por el Dr. J. A. Aguilar, 
acomodando la ecuación 2.39 y así obtener los coeficientes de difusión para los 
datos experimentales reportados para ver este paso ver el capítulo 3. 
 
Listado de símbolos: 
 
Pr = Número de Prandtl. 
Ap = área externa del pellet [cm2]. 
C = concentración del gas en el reactor [mol/cm3]. 
D = Coeficiente de difusión efectivo [cm2/s]. 
Gm = Flujo molar [mol/cm2s]. 
H = entalpía de reacción [cal/mol]. 
h = coeficiente global de transferencia de calor (pellets/gas).[cal/cm2/K]. 
k = constante cinética de la superficie de reacción [cm/s]. 
kg = coeficiente externo de transferencia de masa. [cm/s]. 
L = longitud de la zona reacción [cm]. 
Mw = peso molecular. 
np = número de pellets por unidad de volumen [1/cm3]. 
ř = rapidez de reacción [mol/cm3]. 
Ř = rapidez de reacción por pellet [mol/s]. 
r0 = radio externo del pellet [cm]. 
rc = radio del núcleo sin reaccionar.[cm] 
T = Temperatura [°C]. 
u = velocidad del gas [cm/s]. 
X = constante de reacción/medida de la conversión del reactivo [mol/cm3]. 
z = espacio variable dentro del reactor. [cm]. 
 
Subíndices: 
 
atm = atmósfera. 
i = i-ésima reacción. 
in = entrada del reactor. 
53 
 
j = j-ésimo reactante (gas o sólido). 
n = reactivo gaseoso. 
rs = reactivo sólido (Fe2O3). 
ps = producto sólido [Fe]. 
sol = sólido. 
g = gas. 
Letras griegas. 
α = coeficiente estequimétrico. 
ρ = densidad del sólido. [g/cm3]. 
 
2.6.1 Excepciones del modelo Yagi y Kunii. 
 
El modelo puede no ajustarse totalmente a la realidad; por ejemplo puede la 
conversión efectuarse a lo largo de un frente difuso en lugar de hacerlo en una 
superficie nítida entre el sólido sin reaccionar y las cenizas. Esto último indicará un 
comportamiento intermedio entre los modelos de núcleo sin reaccionar y de 
conversión progresiva. Wen (1968) e Ishida et al (1971) han estudiado este 
problema. 
 
Por otra parte, para reacciones rápidas, la intensidad de desprendimiento 
de calor puede ser suficientemente grande para dar lugar a un gradiente de 
temperaturas significativo dentro de las partículas entre las partículas y el seno del 
fluido. Wen y Wang (1970) estudiaron ya este problema. 
 
A pesar de estas complicaciones. Wen (1968) e Ishida et al (1971) 
basándose en el estudio de numerosos sistemas llegaron a la conclusión de que el 
modelo de núcleo sin reaccionar constituye la mejor representación para la mayor 
parte de los sistemas reaccionantes gas-sólido. 
 
Sin embargo, hay dos tipos amplios de excepciones a la conclusión 
anterior. 
 
54 
 
La primera es la que corresponde a la reacción lenta de un gas con un 
sólido muy poroso; en este caso la reacción puede efectuarse en todo el sólido y 
cabe esperar que sea otro modelo el que represente la conversión de las 
partículas. 
 
La segunda excepción corresponde al caso en que el sólido se convierte 
por la acción del calor sin necesidad del contacto con el gas. Por ejemplo, como 
se ve en la cocción de pan o de ladrillos. En este caso también el modelo de 
conversión progresiva representa mejor el comportamiento real. Wen (1968) , 
Kunii y Levenspiel (1969) estudiaron estas cinéticas. 
 
55 
 
 
2.7. EL MODELO MATEMÁTICO DE J.A. AGUILAR [11][12]. 
 
A continuación se mostrará otro modelo matemático que describe el 
proceso de reducción de mineral de hierro (pellet). Se mostrará su desarrollo con 
base en experimentación del propio autor. Con los datos experimentales se 
trabajará el modelo de núcleo decreciente, basado en lo explicado en los temas 
2.6, 2.5 y 2.4 para obtener lo que se establece en el objetivo de este trabajo. 
Especialmente se revisarán los coeficientes de difusión, reportados por el autor, 
porque serán comparados con los obtenidos con el modelo del tema 2.5 y 2.6. Al 
final de este tema se enlistan los símbolos para su corroboración con las 
ecuaciones.De acuerdo con la ley de acción de masas, la velocidad a la que se lleva a 
cabo una reacción química a temperatura constante, es proporcional a las 
actividades de las especies reactivas. Para un gas ideal la actividad es igual a su 
presión parcial, para un sólido o un líquido es proporcional a su concentración, y 
en el caso de ser especies puras su actividad es unitaria. 
 
Conforme la reacción avanza, la concentración de las especies reactivas 
disminuye, mientras que la de los productos aumenta, haciendo que la velocidad 
de reacción en el primer sentido disminuya mientras que en el segundo se 
incrementa. En el momento que la velocidad en ambos sentidos es igual, se tiene 
un estado de equilibrio ecuaciones 2.44 y 2.45. 
 
Considerando la reacción para obtener la constante de equilibrio. 
 
A+B=C+D 
 
La rapidez V1 y en sentido contrario V2, K para V1=V2. 
56 
 
]46.2[)ln(
]45.2[
]44.2[
22
11
KRTG
ABKCDV
CDKABV
−=Δ
−∝
−∝
 
La constante de equilibrio de la ecuación 2.46 para una reacción dada se 
expresa como el producto de las actividades de los productos dividida por las 
actividades de los reactivos. 
 
Para el modelo se considera una esfera de hematita de radio r0 dentro de 
una atmósfera reductora en la cual la concentración del reductor es C1° y la 
concentración de reductor oxidado es C2°, es decir que si el reductor es hidrógeno, 
el reductor oxidado será agua. 
 
Se considera que la cinética es heterogénea y que la reducción se 
presentará en esferas concéntricas de cada uno de los óxidos de hierro ver figura 
3.1 del capítulo 3. 
 
En el modelo no se considera la influencia de la ganga para efecto del 
transporte de materia, en realidad los parámetros experimentales incluyen este 
efecto, ya que la experimentación se realiza con pellet real ver tema 2.7.1 y 2.7.2. 
 
En la figura 2.11 se muestra el análisis que se hace para “las esferas” de 
hierro y wustita. En esta figura se puede observar que C1° y C2° son los gases 
externos que interactúan con la partícula, se muestra solo la cuarta parte de esta, 
se observa como el FeO ya reacciono desde el radio r0 dejando al Fe hasta un 
radio r1 y en dirección al centro de la partícula aun existe presencia de FeO. 
57 
 
 
Figura 2.11. Esquema de reducción de wustita a hierro. 
 
Las ecuaciones que veremos a continuación son un balance de materia a 
un elemento diferencial de fluido con el fin de establecer las ecuaciones de 
continuidad para las dos especies químicas, en este caso H2 y CO que se 
encuentran en una mezcla binaria de gases reaccionando en el pellet. 
Introduciendo después las expresiones de la densidad de flujo de materia se 
obtienen las ecuaciones de difusión. La ecuación [2.47] que se aplica para 
densidades bajas de gases a temperatura y presión constantes. Es conocida como 
el laplaciano elíptico de segundo orden o ecuación de continuidad, para minimizar 
las magnitudes de la concentración para el Fe la ec.[2.47] es igual a 0 y es una 
forma simplificada que se usa para difusión en sólidos o líquidos estacionarios. En 
coordenadas esféricas esta la condición a la frontera [2.49] el flux con difusividad 
variable y con la introducción de la adsorción. Para la zona de reacción se 
minimiza con el laplaciano también [2.48] o ecuación de continuidad en 
coordenadas esféricas con difusividad variable con el cambio de concentración e 
introduciendo a la constante de equilibrio y constante de reacción. Las ecuaciones 
[2.47], [2.48] [2.49] describen los perfiles de concentración en un sistema binario 
de difusión, son válidas para sistemas de densidad total variable y difusividad 
variable. 
( ) ]48.2[
]47.2[0
2
2
2211
2
1
2
CDCxCkCD
C
FF
F
F ∇−=−=∇
=∇
( ) ( ) ]49.2[202222101111 CChr
C
DCCh
r
C
D FF −−=
∂
∂
−=−=
∂
∂
 
58 
 
Resolviendo el sistema de ecuaciones queda. Para Fe [2.50], [2.51] y la 
zona de reacción Fe/FeO [2.52] a [2.56]. Por estar en coordenadas esféricas se 
obtienen las hipérbolas de [2.52] y [2.53] y aparece la constante A que se debe 
determinar experimentalmente ecuación [2.57]. 
]53.2[)(
1)cosh(
1
]52.2[)(
1)cosh(
1
]51.2[11
11
]50.2[11
11
11
,
0
11
1111
21
1
0
2
2
0
1
2
11
,
0
11
1111
21
1
0
2
1
0
1
1
,
011
,
0
2
0
22
,
011
,
0
1
0
11
r
rsenh
r
rgrD
A
D
x
D
D
C
D
C
C
r
rsenh
r
rgrD
A
D
x
D
D
C
D
C
xC
rrg
rr
D
ACC
rrg
rr
D
ACC
F
F
F
F
FF
F
F
F
F
FF
F
F
F
λ
λλ
λ
λλ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
−
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
−
−
=
−
−
+=
−
−
+=
 Las ecuaciones anteriores quedan en función de los siguientes términos ver 
página de símbolos para corroborar el significado. 
( )
]57.2[
1
]56.2[
1
]55.2[
tanh
1
]54.2[1
21
0
2
0
1
01
1
01
0
11
11
1
21
2
1
F
F
F
F
F
F
F
FF
D
x
D
CxC
A
rh
D
r
r
r
r
g
D
x
D
k
+
−
=
−
=
−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=
λ
λ
λ
 
59 
 
 
Figura 2.12. Esquema de reducción de magnetita a wustita. 
 
La figura 2.12 muestra el análisis que se hace para “las esferas” de wustita 
y magnetita. En esta figura se observa como el Fe3O4 ya reacciono desde el radio 
r1 dejando al FeO hasta un radio r2 y en dirección al centro de la partícula aun 
existe presencia de Fe3O4. 
 
El análisis en esta etapa es similar al del wustita a hierro pero ahora la 
condición a la frontera es r1. El laplaciano elíptico de segundo orden (ecuación de 
continuidad en coordenadas esféricas), para minimizar las magnitudes de la 
concentración para el FeO en la ec. [2.58],es igual a 0. La condición a la frontera 
[2.60] y [2.61] es el resultado de la reacción en el radio r1. Zona de Reacción se 
minimiza con el laplaciano también [2.59] igualado con la constante de reacción 
por las concentraciones y la constante de equilibrio. Para la zona Fe3O4/FeO se 
obtienen las ecuaciones [2.64] y [2.65]. 
( ) ]59.2[
]58.2[0
2
2
2
0
2
0
11
2
1
2
CDCxCkCD
C
WW
W
W ∇−=−=∇
=∇
( ) ( ) ]60.2[)( 1021 rCxC F=
60 
 
]63.2[11
11
)(
]62.2[11
11
)(
]61.2[
1
)(
122
1
2
122
122
1
1
121
1
21
1
0
2
2
0
1
12
rrg
rr
D
BrCC
rrg
rr
D
BrCxC
rr
D
x
D
D
C
D
C
rC
W
W
F
F
F
F
FF
−
−
+=
−
−
−=
=
−
−
=
 
Resolviendo el sistema de ecuaciones queda. Para Fe [2.62] y [2.63]. Para 
la zona de reacción Fe3O4/FeO [2.64] y [2.65]. Por estar en coordenadas esféricas 
se obtienen las hipérbolas y aparecen las constantes que se deben determinar 
experimentalmente ecuación [2.68]. 
]65.2[)(
1)cosh(
)(
]64.2[)(
1)cosh(
)(
11
1
22
2222
222
11
,
0
22
2221
221
r
rsenh
r
rgrD
BrCC
r
rsenh
r
rgrD
BrCxC
w
w
F
λ
λλ
λ
λλ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+=
 
( )
]68.2[
11
]67.2[tanh1
]66.2[1
21
1
0
2
2
0
1
21
22
22
2
21
2
2
F
F
F
FF
W
W
W
WF
W
W
WW
D
x
D
D
C
D
C
D
x
D
xx
B
r
rg
D
x
D
k
+
−
=
−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=
λ
λ
λ
 
Las ecuaciones [2.64] y [2.65] son función de las ecuaciones [2.66] a la 
[2,68]. 
61 
 
La figura 2.13 muestra el análisis que se hace para las esferas de magnetita 
y hematita. 
 
Figura 2.13. Esquema de reducción de hematita a magnetita. 
 
El análisis en esta etapa es similar al de la wustita a magnetita pero ahora 
la condición a la frontera es de r2. 
 
El laplaciano elíptico de segundo orden (ecuación de continuidad) para 
minimizar las magnitudes de la concentración para Fe3O4 (magnetita) [2.69] es 
igual a 0. El laplaciano también pero para la zona de Reacción [2.70].Condición a 
la frontera [2.71]. 
( ) ]70.2[
]69.2[0
2
2
2211
2
1
2
CDCxCkCD
C
WW
W
W ∇−=−=∇
=∇
 
( ) ( ) ]71.2[)( 121 rCxC W=
 
La solución de la ecuación, para Fe3O4 (magnetita), [2.72], [2.73]. 
 
62 
 
]74.2[11
11
)(
]73.2[11
11
)(
1
]72.2[
11
1
)(
233
2
2
222
233
2
1
221
21
1
0
2
2
0
1
21
21
12
rrg
rr
D
FrCC
rrg
rr
D
FrCxC
rr
D
x
D
D
C
D
C
D
x
D
D
x
DrC
M
M
W
F
F
F
FF
W
W
W
W
F
W
−
−
+=
−
−
−=
=
−
−
−
−
=
 
La solución para la Zona Fe2O3/Fe3O4