Analisis-y-diseno-de-losas-aligeradas-mediante-nervaduras-postensadas

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UNIVERSIDAD NACIONAL 
AUTÓNOMA DE MÉXICO 
 
 
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES 
A C A T L Á N 
 
 
ANÁLISIS Y DISEÑO DE LOSAS ALIGERADAS MEDIANTE 
NERVADURAS POSTENSADAS 
 
 
TESIS 
 
 
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE 
 
 
INGENIERO CIVIL 
 
 
PRESENTA 
 
VALENTE APÁEZ LARA 
 
 
ASESOR: ING. MIGUEL M. ZURITA ESQUIVEL 
 
 
 
NOVIEMBRE DE 2009 
 
 
 
 
 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
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DEDICATORIA 
 
 
 
PARA MI ESPOSA MARÍA DE LA CRUZ QUE ME INSPIRÓ A REALIZAR ESTE TRABAJO Y 
A MI HIJA DIANA MARÍA QUE CEDIÓ EL TIEMPO QUE LE CORRESPONDÍA. 
 
 PARA MIS PADRES QUE ME OPOYARON ECONOMICAMENTE Y MORALMENTE EN MIS 
ESTUDIOS. 
 
 A MIS HERMANOS QUE ME DIERON SUAPOYO Y SU AFECTO; EN ESPECIAL A RUBÉN. 
 
PARA LOS PROFESORES QUE ME IMPARTIERON CLASES. 
 
PARA MI ASESOR ING. MIGUEL M. ZURITA ESQUIVEL QUE PACIENTEMENTE 
CONTRIBUYÓ CON SUS OBSERVACIONES A ESTA TESIS. 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
I N D I C E 
 
OBJETIVO GENERAL ____________________________________________________________ 4 
1. CONCEPTOS GENERALES DE CONCRETO PRESFORZADO. ______________________ 5 
1.1 DEFINICIÓN DE CONCRETO PRESFORZADO ______________________________________ 5 
1.2 DESARROLLO HISTÓRICO. _________________________________________________________ 6 
1.3 TIPOS DE PRESFUERZO. ____________________________________________________________ 6 
1.3.1 PRESFUERZO PARCIAL. _______________________________________________________________________ 6 
1.3.2 PRESFUERZO TOTAL. _________________________________________________________________________ 6 
1.3.3 ELEMENTOS PRETENSADOS___________________________________________________________________ 7 
1.3.4 ELEMENTOS POSTENSADOS___________________________________________________________________ 7 
1.4 TIPOS DE ACERO PARA EL PRESFUERZO. __________________________________________ 8 
1.4.1 ALAMBRES REDONDOS. ______________________________________________________________________ 8 
1.4.2 CABLES TRENSADOS O TORONES _____________________________________________________________ 8 
1.4.2.1 TORONES DE RELAJAMIENTO NORMAL__________________________________________________ 8 
1.4.2.2. TORÓN DE BAJO RELAJAMIENTO “LO-LAX”______________________________________________ 8 
1.5 CONCRETO PARA EL PRESFORZADO. ______________________________________________ 9 
1.5.1 RESISTENCIA DEL CONCRETO A LA COMPRESIÓN ___________________________________________ 9 
1.5.2 PESO VOLUMÉTRICO DEL CONCRETO ______________________________________________________ 9 
1.5.3 MÓDULO DE RUPTURA DEL CONCRETO.___________________________________________________ 10 
1.5.4 MÓDULO DE ELASTICIDAD DEL CONCRETO. _______________________________________________ 10 
1.5.5 FLUENCIA Y CONTRACCIÓN DEL CONCRETO.______________________________________________ 11 
1.6 TABLAS __________________________________________________________________________ 12 
2. CONCRETO POSTENSADO ____________________________________________________ 14 
2.1 PRINCIPIOS DE TRABAJO DE LOS ANCLAJES_______________________________________ 14 
2.2 SISTEMAS DE POSTENSADO._______________________________________________________ 14 
2.2.1 SISTEMA FREYSSINET. ______________________________________________________________________ 14 
2.2.2 SISTEMA BBRV _____________________________________________________________________________ 15 
2.3 DUCTOS PARA POSTENSADO SEGÚN EL REGLAMENTO DEL ACI_________________ 16 
2.4 LECHADA PARA TENDONES ADHERIDOS. _______________________________________ 17 
2.5 TABLAS __________________________________________________________________________ 18 
3. ANÁLISIS DE VIGAS POSTENSADAS ___________________________________________ 20 
3.1 PÉRDIDAS DEL PRESFUERZO ___________________________________________________ 20 
3.1.1 CÁLCULO DE PÉRDIDAS DE PRESFUERZO: MÉTODO 1__________________________________________ 20 
3.1.2 CÁLCULO DE PÉRDIDAS DE PRESFUERZO: MÉTODO 2__________________________________________ 29 
3.2 ESFUERZOS PERMISIBLES ______________________________________________________ 34 
3.2.1 ESFUERZOS PERMISIBLES DEL CONCRETO_________________________________________________ 34 
3.2.1.1 SEGÚN EL REGLAMENTO DEL ACI ______________________________________________________ 34 
3.2.1.2 SEGÚN LAS NORMAS TÉCNICAS COMPLEMENTARIAS DEL REGLAMENTO DE CONSTRUCCIONES 
PARA EL D. F. _________________________________________________________________________________ 34 
3.2.2 ESFUERZOS PERMISIBLES EN EL ACERO DE PRESFUERZO___________________________________ 35 
3.2.2.1 SEGÚN EL REGLAMENTO DEL ACI ______________________________________________________ 35 
3.2.2.2 SEGÚN LAS NORMAS TÉCNICAS COMPLEMENTARIAS DEL REGLAMENTO DE 
CONSTRUCCIONES PARA EL DISTRITO FEDERAL (RCDF) _______________________________________ 35 
3.3 ESFUERZOS EN EL CONCRETO DEBIDOS AL PRESFUERZO Y A LAS CARGAS _______ 35 
3.4 BLOQUE RECTANGULAR DE ESFUERZOS EQUIVALENTES _________________________ 37 
3.5 MOMENTO DE AGRIETAMIENTO__________________________________________________ 38 
2 
 
3.6 SECCIONES COMPUESTAS ________________________________________________________ 39 
3.7 RESISTENCIA A LA FLEXIÓN______________________________________________________ 46 
3.7.1 CALCULO DEL ESFUERZO DEL ACERO A LA FALLA ( psf ) _______________________________________ 46 
3.7.2 SECCIÓN CON REFUERZO DE TENSIÓN Y COMPRESIÓN_________________________________________ 49 
3.7.3 MÉTODO DE COMPATIBILIDAD DE DEFORMACIONES.__________________________________________ 52 
3.7.4 REFUERZO MÍNIMO DE ACERO NO PRESFORZADO (ACERO COMÚN)_____________________________ 54 
3.7.5 REVISIÓN POR RESISTENCIA A LA FLEXION ___________________________________________________ 55 
3.7.6 EJEMPLO ILUSTRATIVO______________________________________________________________________ 56 
3.8 TABLAS __________________________________________________________________________ 62 
4. DISEÑO DE VIGAS POR FLEXIÓN _____________________________________________ 68 
4.1 DISEÑO DE VIGAS BASADO EN LOS ESFUERZOS PERMISIBLES______________________ 68 
4.1.1 DISEÑO DE LA SECCIÓN ÓPTIMA DE CONCRETO. ______________________________________________ 68 
4.1.2 CÁLCULO DE LA FUERZA DE PRESFUERZO Y SU EXCENTRICIDAD PARA UNA SECCIÓN ÓPTIMA. __ 70 
4.1.3 EJEMPLO DE DISEÑO DE UNA SECCIÓN ÓPTIMA _______________________________________________ 72 
4.1.4 DISEÑO DE SECCIONES DE CONCRETO EXCEDIDAS ____________________________________________ 77 
4.1.5 Ejemplo: Diseño del acero de presfuerzo y su perfil para una viga que tiene su sección excedida. _______________ 80 
4. 2 LONGITUD DE TRANSFERENCIA Y LONGITUD DE DESARROLLO ___________________ 90 
4.3 DISEÑO DE LAS ZONAS DEL ANCLAJE _____________________________________________ 91 
4.3.1 DISEÑO DE LA ZONA DEL ANCLAJE PARA PRETENSADO (METODO DEL PCA) ____________________ 91 
4.3.2 DISEÑO DE LA ZONA DEL ANCLAJE PARA POSTENSADO (MÉTODO DEL EQUILIBRIO) ____________ 92 
4.3.3 EJEMPLO: DISEÑO DE LA ZONA DEL ANCLAJE PARA UNA VIGA POSTENSADA ___________________ 97 
4.4 DEFLEXIONES___________________________________________________________________ 100 
4.4.1 DEFLEXIONES DE MIEMBROS PRESFORZADOS COMPUESTOS SIN APUNTALAR__________________ 100 
4.4.2 DEFLEXIONES MÁXIMAS PERMISIBLES SEGÚN EL REGLAMENTO DEL ACI______________________ 105 
4.4.3 MOMENTOS DE INERCIA DE SECCIONES AGRIETADAS (Icr) ____________________________________ 105 
4.4.4EJEMPLO DE DEFLEXIONES _________________________________________________________________ 107 
4.5 TABLAS _________________________________________________________________________ 117 
5. ANÁLISIS Y DISEÑO DE VIGAS POR CORTANTE ______________________________ 119 
5.1 INTRODUCCIÓN _________________________________________________________________ 119 
5.2 CONTRIBUCIÓN DEL CONCRETO A RESISTIR LA FUERZA CORTANTE. _____________ 120 
5.3 CONTRIBUCIÓN DEL REFUERZO A RESISTIR LA FUERZA CORTANTE. _____________ 122 
5.4 DISEÑO DEL REFUERZO POR CORTANTE SEGÚN EL REGLAMENTO DEL ACI. ______ 125 
5.5 EJEMPLO: Diseño por cortante de una viga postensada__________________________________ 128 
6. ANÁLISIS Y DISEÑO DE LOSAS ALIGERADAS MEDIANTE NERVADURAS 
POSTENSADAS. ________________________________________________________________ 136 
6.1 CONSIDERACIONES GENERALES._________________________________________________ 136 
6.2 COMBINACIONES DE CARGA PARA DISEÑO_______________________________________ 136 
6.2.1 DE ACUERDO AL REGLAMENTO DEL ACI_____________________________________________________ 136 
6.2.2 DE ACUERDO AL REGLAMENTO DE CONSTRUCCIONES PARA EL D. F. __________________________ 136 
6.3 ANÁLISIS Y DISEÑO DE NERVADURAS POSTENSADAS _____________________________ 137 
6.3.1 NERVADURAS POSTENSADAS CON UN SOLO CLARO. _________________________________________ 137 
6.3.2 NERVADURAS POSTENSADAS CONTINUAS EN DOS O MÁS CLAROS.____________________________ 137 
6.3.3 ANÁLISIS ELÁSTICO________________________________________________________________________ 138 
6.3.4 EXCENTRICIDAD REPRESENTADA MEDIANTE PARÁBOLAS____________________________________ 140 
6.3.5 MOMENTOS EN EL EXTREMO FIJO ___________________________________________________________ 143 
6.4 EJEMPLO ILUSTRATIVO _________________________________________________________ 147 
7. EJEMPLO DE APLICACIÓN __________________________________________________ 150 
3 
 
7.1 PLANTEAMIENTO________________________________________________________________ 150 
7.2 ESTRUCTURACIÓN DEL ESTACIONAMIENTO _____________________________________ 155 
7.3 ANÁLISIS Y DISEÑO DE LA CAPA DE COMPRESIÓN DE LA LOSA ___________________ 155 
7.4 ANÁLISIS Y DISEÑO DE LAS NERVADURAS ________________________________________ 160 
7.4.1 ANÁLISIS DE CARGAS Y MOMENTOS ACTUANTES____________________________________________ 160 
7.4.2 GEOMETRÍA DE LA SECCIÓN ________________________________________________________________ 161 
7.4.3 DISEÑO DE PRESFUERZO ___________________________________________________________________ 165 
7.4.3.1 CÁLCULO DE LA FUERZA DE PRESFUERZO (Pi) Y SU EXCENTRICIDAD (e)____________________ 165 
7.4.3.2 DISEÑO DEL ACERO DE PRESFUERZO ( pif ,Ap, Y Pj )________________________________________ 165 
7.4.3.3 REVISIÓN DE ESFUERZOS POR TEORÍA ELÁSTICA (CONDICIONES DE SERVICIO)_____________ 167 
7.4.3.4 REVISION DE ESFUERZOS CONSIDERANDO UNA SECION COMPUESTA ______________________ 169 
7.4.4 REVISIÓN POR RESISTENCIA A LA FLEXIÓN __________________________________________________ 171 
7.4.4.1 CÁLCULO DEL ESFUERZO DE ACERO A LA FALLA PSf CON LA ECUACIÓN NO. 3.31: _________ 171 
7.4.4.2 RESISTENCIA NOMINAL A LA FLEXIÓN ( Mn ) ___________________________________________ 172 
7.4.5 PÉRDIDAS DE PRESFUERZO._________________________________________________________________ 173 
7.4.6 ANÁLISIS Y DISEÑO POR CORTANTE_________________________________________________________ 176 
7.4.7 ANALISIS Y DISEÑO DEL ANCLAJE __________________________________________________________ 182 
7.4.8 DEFLEXIONES _____________________________________________________________________________ 188 
7.5 TABLAS _________________________________________________________________________ 193 
CONCLUSIONES _______________________________________________________________ 195 
A P E N D I C E __________________________________________________ 197 
APÉNDICE A ________________________________________________________________ 197 
APÉNDICE B ________________________________________________________________ 198 
APÉNDICE C ________________________________________________________________ 201 
APÉNDICE D ________________________________________________________________ 216 
APÉNDICE E ________________________________________________________________ 238 
APÉNDICE F_________________________________________________________________ 240 
BIBLIOGRAFÍA ________________________________________________________________ 252 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
OBJETIVO GENERAL 
 
 
Establecer una metodología que permita analizar y diseñar losas aligeradas mediante nervaduras 
postensadas que trabajen en una dirección. Describiendo los principios fundamentales del concreto 
presforzado pretensado y postensado. 
 
 
 
 
5 
1. CONCEPTOS GENERALES DE CONCRETO PRESFORZADO. 
 
1.1 DEFINICIÓN DE CONCRETO PRESFORZADO 
 
El presforzado, es la imposición de un estado de esfuerzos en un miembro estructural antes de ponerlo en 
servicio, el cual permitirá soportar mejor las cargas y esfuerzos que se le apliquen durante el servicio, y 
de esta forma, cumplir mejor las funciones para las que fue diseñado. 
 
Según el Reglamento del ACI (American Concrete Institute). Es aquel concreto en el cual han sido 
introducidos esfuerzos internos de tal magnitud y distribución que los esfuerzos resultantes de las cargas 
externas dadas, se equilibran hasta un grado deseado. En miembros de concreto reforzado, comúnmente, 
se introduce el presfuerzo dando tensión al refuerzo de acero. 
 
VIG AS
M ES A DE C O LAD O
AN C LAJE G ATO
A) V IG A PR ETE NS AD A C O N TE ND ON E S R EC TO S
 
 
ANCLAJE
MESA DE COLADO
VIGAS
GATO
SOPORTE
B) VIGA PRETENSADA CON TENDONES INCLINADOS 
 
A N C LA JE
G A TO
C ) V IG A PO STE N SA D A C O N T EN D O N ES C U R VO S
T EN D O N ES C U R VO S
 
FIGURA 1.1 Esquemas de construcción de elementos de concreto presforzado: pretensado y postensado. 
 
 
 
 
 
6 
1.2 DESARROLLO HISTÓRICO. 
 
La primera aplicación del concreto presforzado se atribuye al ingeniero P. A. Jackson de San Francisco 
EE. UU., el cual patentó en 1872 un esquema novedoso para la construcción de arcos y bóvedas. En este 
método Jackson hizo pasar tirantes de hierro a través de los bloques de mampostería o concreto y los fijó 
por medio de tuercas. 
Pero el crédito por haber considerado los efectos de la contracción y del flujo plástico le corresponde a R. 
E. Oill, de Alejandría Nebraska, y para contrarrestarlos propuso un método, el cual consiste en ir 
apretando las tuercas ocasionalmente. 
En 1928, el ingeniero francés E. Freyssinet introdujo una importante innovación al utilizar el acero de alta 
resistencia para el presforzado. Este método redujo costos y logró presforzados altos. Freyssinet 
demostró claramente el efecto de deformación progresiva o escurrimiento en el concreto, y mediante el 
uso del acero de alta resistencia, demostró que la mayor parte del presfuerzo puede conservarse. 
 
 
1.3 TIPOS DE PRESFUERZO. 
 
1.3.1 PRESFUERZO PARCIAL. 
 
Es cuando un elemento se diseña permitiendo tensión en el concreto bajo cargas de servicio. Las 
características más relevantes son: 
 
 Se permite cierta tensión en el concreto bajo cargas de servicio. 
 Presenta una gran ductilidad (deflexión) ante la falla. 
 Se ahorra en acero de presfuerzo. 
 
 
1.3.2 PRESFUERZO TOTAL. 
 
El elemento se diseña, de tal forma que desaparezcan totalmente los esfuerzos de tensión en las cargas 
de servicio, y se utiliza principalmente en tanques de almacenamiento de agua, contenedores de líquidos, 
y estructuras donde se requiera de una total hermeticidad. 
 
Algunas características son: 
 No se permite tensión en el concreto bajo las cargas de servicio. 
 Su falla es de tipo frágil. 
 Existe un gran combeo en el momento de la transferencia del preesfuerzo, lo cual es peligroso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
1.3.3 ELEMENTOS PRETENSADOS 
 
El pretensado puede usarse en la obra cuando se requiera de un grannúmero de unidades similares 
prefabricadas, pero normalmente se lleva acabo en la planta donde ya han sido previamente 
construidas mesas permanentes de tensado. El método más efectivo es el de producción a gran 
escala, en la que un cierto número de unidades análogas se producen simultáneamente. 
 
Los elementos de concreto pretensado (ver figura 1.1 incisos A y B) tienen las siguientes propiedades 
generales: 
 
1) El acero de presfuerzo se tensa antes del curado. 
2) El acero se ancla inicialmente en los muertos de anclaje, por lo general, en el patio de prefabricado, 
aunque en algunos casos la mesa de colado se localiza en la obra. 
3) El concreto se cura a vapor durante un lapso menor en un día. 
4) Al soltar de sus anclajes el acero pretensado, el concreto recibe una compactación previa por medio 
de de la transferencia de esfuerzos y a través de la adherencia entre el acero y el concreto. Por 
consiguiente, los cables quedan necesariamente adheridos. 
5) Con frecuencia, se flexiona el acero en uno o en dos puntos, a fin de mejorar su excentricidad, la 
cual se encuentra cerca del centro del claro, y así mantener niveles de esfuerzo aceptables en los 
extremos de la viga. Se puede lograr que el acero que se encuentra cerca de los extremos de la 
viga no quede adherido, con la finalidad de no sobrepasar los esfuerzos de compresión. 
 
1.3.4 ELEMENTOS POSTENSADOS 
 
El postensado puede usarse en la producción industrial para grandes unidades prefabricadas con 
propósitos especiales, tanto en la obra como fuera de ella. 
 
Los elementos postensados tienen las siguientes propiedades generales: 
 
1) El acero de presfuerzo se coloca en ductos y se tensa una vez que el concreto ha fraguado. Un 
método opcional consiste en emplear “tendones envueltos”. 
2) Los elementos se pueden construir como unidades prefabricadas ya sea en un patio de colado, en 
la obra, o bien, pueden ser colados en obra. 
3) El acero se ancla en un extremo y se tensa por medio de un gato en el otro extremo. Al concreto se 
le aplica previamente una fuerza de compresión por medio de anclajes en los extremos de la viga. 
4) Inicialmente el acero no está adherido, pero se puede inyectar una lechada en los ductos después 
del tensado, de manera que el acero quede adherido, y así mejorar el comportamiento de la 
deflexión y de la resistencia última (mediante una distribución de las grietas con cables adheridos). 
5) Con frecuencia, al acero de presfuerzo se le da una forma de curva parabólica; por ejemplo, dicha 
configuración puede facilitar una compensación entre el momento de presfuerzo y el momento de 
carga muerta, que también es parabólico. 
 
 
8 
1.4 TIPOS DE ACERO PARA EL PRESFUERZO. 
 
El acero para el presfuerzo puede consistir en alambres, cables (torones) y varillas de alta resistencia. 
 
MÓDULO DE ELASTICIDAD ( Ep ) 
 
El módulo de elasticidad lo proporciona el fabricante o se puede obtener mediante pruebas de laboratorio; 
pero pueden considerarse los valores de la tabla 1.1 
 
 
1.4.1 ALAMBRES REDONDOS. 
 
Deberán cumplir con las especificaciones de la ASTM[2] A-421, ”Alambres sin revestimientos relevados de 
esfuerzos para concreto presforzado”. En la tabla 1.2 se muestran las propiedades geométricas y 
mecánicas de los alambres fabricados por CAMESA S.A. de C. V.[3] , la cual cumple con las 
especificaciones de la ASTM A-421. 
 
 
1.4.2 CABLES TRENSADOS O TORONES 
 
Deberán cumplir con la especificación de la ASTM A-416 “Cables sin recubrimiento de 7 alambres 
aliviados de esfuerzo para concreto presforzado”. 
 
El fabricante nacional CAMESA S.A. de C. V., llama torones a los cables trenzados. 
 
1.4.2.1 TORONES DE RELAJAMIENTO NORMAL 
 
En la tabla 1.3 se muestran las propiedades geométricas y mecánicas de los torones fabricados por 
CAMESA S.A. de C. V. 
 
1.4.2.2. TORÓN DE BAJO RELAJAMIENTO “LO-LAX” 
 
Es fabricado por CAMESA S.A. de C. V., y tiene la propiedad de reducir significativamente el índice de 
relajación del presfuerzo. Algunas ventajas del torón LO-LAX son: 
 
 Reduce pérdidas de tensión tanto a temperatura ambiente como a temperaturas elevadas. 
 Alto límite de proporcionalidad. 
 Auto-desenrollable y con mejor rectitud final. 
 Una relación constante entre carga y deformación (esfuerzo de tensión). 
 
Las propiedades geométricas y mecánicas del torón LO-LAX se resumen en la tabla 1.4 
 
 
 Ver bibliografías: 4 (Págs. 63-69) y No. 5 ( Págs. 58-61) 
[2] American Society For Testing And Materials 
[3] Fábrica de acero de origen nacional, la cual es la principal proveedora de acero de presfuerzo en La República Mexicana. 
 
 
9 
1.5 CONCRETO PARA EL PRESFORZADO. 
 
RESISTENCIA: 
 
El concreto utilizado en el presfuerzo debe ser de alta resistencia con el objeto de obtener las siguientes 
ventajas: 
 
 Módulo de elasticidad más alto (menos pérdidas de presfuerzo debidas al acortamiento elástico) 
 Menos pérdidas por flujo plástico 
 Los altos esfuerzos en los extremos se toman satisfactoriamente y se reducen el tamaño y el costo 
de los dispositivos de anclaje. 
 Reducción de las dimensiones transversales de los elementos a un mínimo. 
 Mayor resistencia a la tensión se disminuye el potencial de las grietas y la tensión diagonal. 
 
Las resistencias más comúnmente usadas son de 350, 420, 490 y 560 kg/cm2 
 
MEZCLADO: 
 
El mezclado debe ser cuidadosamente controlado según lo especificado en el proyecto, y debe 
0observarse una baja relación agua-cemento 
 
CURADO: 
 
Preferentemente debe hacerse un curado a vapor en el momento de inicio del fraguado. Aunque pueden 
utilizarse otros métodos como el recubrimiento con yute, arena o la aplicación de membrana liquida. 
 
 
1.5.1 RESISTENCIA DEL CONCRETO A LA COMPRESIÓN 
 
Según Branson[4] las resistencias pueden ser de: 
c'f 250, 300,350, 400 y 450 2cm/kg 
 
Los valores característicos son: 
2
c cm/kg250'f  
2
c cm/kg300'f  
 
1.5.2 PESO VOLUMÉTRICO DEL CONCRETO 
 
Los valores que se usarán para el peso volumétrico del concreto son 3c m/kg)2410(2320 para 
concreto de peso normal, 3c m/kg)2000(1920 para concreto con arena ligera y 
 
[4] Véase bibliografía No. 15, Págs. 25-28 
 
 
10 
3
c m/kg)1660(1600 para el concreto ligero. Los valores entre paréntesis se refiere a los elementos 
que tienen acero (se añade el 4% para el cálculo de carga muerta). 
 
 
1.5.3 MÓDULO DE RUPTURA DEL CONCRETO. 
 
La resistencia a flexión del concreto, denominada Módulo de Ruptura (fr) se evalúa mediante el ensayo a 
flexión de viguetas de concreto simple de 50 cm de longitud y sección cuadrada de 15 cm de lado, con 
cargas aplicadas en los tercios de la luz. 
 
Las ecuaciones que a continuación se escriben han sido recomendadas por el reglamento del ACI y por la 
AASHTO[5], respectivamente, para calcular el módulo de ruptura del concreto (fr). 
 
Reglamento del ACI 
Concreto de peso normal 
cr 'f989.1f  
Concreto de arena ligera 
cr 'f691.1f  
Concreto ligero 
cr 'f492.1f  
 
AASHTO 
Concreto de peso normal cr 'f989.1f  
Concreto de arena ligera cr 'f671.1f  
Concreto ligero cr 'f459.1f  
 
c'f en kg/cm
2 
 
 
1.5.4 MÓDULO DE ELASTICIDAD DEL CONCRETO. 
 
 
El módulo de elasticidad o módulo de Young es un parámetro que caracteriza el comportamiento elástico 
de un material, de acuerdo a la dirección en la que se aplica una fuerza 
 
 
Según el Reglamento del ACI y la AASHTO: 
 
2
c
3
c
3 kg/cmenf'10*5.136Ec   (1.1) 
 
[5] American Association of State Highway and Transportation Officials ( Asociación Americana de Autopistas Estatales y 
Oficiales de Transporte) 
 
 
 
11 
Concreto peso normal (c =2320 kg/m3) c'f15253Ec  
Concreto con arena ligera ( c =1920 kg/m3) c'f11484Ec  
Concreto ligero (c = 1600 kg/m3) c'f8736Ec  
 
c'f en kg/cm
2 
 
Segúnlas Normas Técnicas Complementarias del Reglamento de Construcciones para el D. F.: 
 
Concreto clase 1 (Peso fresco mayor que 3m/kg2200 ) c'f14000Ec  (1.2) 
Concreto clase 2 (Peso fresco en el rango: 3m/kg2200a1900 ) c'f8000Ec  (1.3) 
 
 
 
1.5.5 FLUENCIA Y CONTRACCIÓN DEL CONCRETO. 
 
Para el concreto que se ha curado con humedad o con vapor, el cual se utiliza en las estructuras 
presforzadas y presenta un 70% de humedad relativa promedio: Las siguientes cifras representan valores 
promedio para el coeficiente de fluencia último (definido como: la relación entre la deformación por 
fluencia y la deformación inicial), representado por u,sh
[6]. 
Cu promedio = 1.88 
u,sh prom.=546*10
-6 mm/mm 
 
Donde: 
Cu = Coeficiente de fluencia último (que varía según el tiempo determinado) 
ush, = Micro deformación última por contracción. 
 
Para más información Ver apartado 3.1.1 Pérdidas de presfuerzo. 
 
 
 
 
[6] Ver ficha bibliográfica No. 9, Págs. 21-26 
 
 
 12 
1.6 TABLAS 
 
 
TABLA 1.1 Módulo de elasticidad del acero de presfuerzo 
ACERO MÓDULO DE ELASTICIDAD 
ALAMBRES 2.03 x 106 kg/cm2 
CABLES O TORONES 1.89 x 106 kg/cm2 
VARILLAS 1.89 x 106 kg/cm2 
 
 
TABLA 1.2 Propiedades de alambres[a] 
DIÁMETRO 
NOMINAL 
RESISTENCIA MÍNIMA A 
LA TENSIÓN 
LÍMITE ELÁSTICO APARENTE % DE 
ELONGACIÓN 
A LA RUPTURA 
ÁREA DE 
ACERO 
PESO LINEAL RENDIMIENTO 
 
mm kg/mm2 kg kg/mm2 kg Mínima mm2 kg/m m/ton. 
4.0 180 2262 144 1810 3.5 12.57 0.0987 10132 
5.0 175 3436 140 2749 3.5 19.63 0.1541 6489 
6.0 170 4807 136 3845 3.5 28.27 0.2211 4506 
7.0 165 6350 132 5080 3.5 38.48 0.3021 3310 
9.4 160 11104 128 8883 3.5 69.40 0.5448 1835 
10.0 160 12566 128 10053 3.5 78.54 0.6165 1622 
 
 
 
 
 
 
 
[a] Cualquier aclaración de las propiedades mecánicas de los aceros en las tablas 1.2, 1.3 y 1.4 , deberán consultarse con el fabricante de aceros CAMESA S.A. DE C.V., la 
cual es de origen nacional. 
 13 
 
 
TABLA 1.3 Torones de relajamiento normal 
DIÁMETRO 
NOMINAL 
ÁREA 
NOMINAL 
PESO 
LINEAL 
RESISTENCIA 
A LA 
RUPTURA 
CARGA PARA UN 
ALARGAMIENTO 
AL 1% 
% DE ALARGAMIENTO 
MÍN. A LA RUPTURA 
EN UNA ELONG. DE 61 CM 
CARGA DE 
PRESFUERZO 
RANGO DE 
CARGA DE 
DISEÑO 
 
mm mm2 kg/m Mínima (kgf.) Mínima % kgf. kgf. 
 9.5 55 0.432 10430 8870 3.5 7300 5800 a 6100 
11.1 74 0.582 14060 11950 3.5 9840 7840 a 8350 
12.7 99 0. 780 18730 15920 3.5 13100 10470 a 11150 
15.3 151 1.102 26518 22590 3.5 18600 14880 a 15810 
 
 
 
TABLA 1.4 Torones de relajamiento “LO-LAX” 
DIÁMETRO 
NOMINAL 
ÁREA 
NOMINAL 
PESO 
LINEAL 
RESISTENCIA 
A LA 
RUPTURA 
CARGA PARA UN 
ALARGAMIENTO 
AL 1% 
% DE ALARGAMIENTO 
MÍN. A LA RUPTURA 
EN UNA ELONG. DE 61 CM 
MÁXIMO ALARGAMIENTO 
DESPUES DE 1000 HRS. DE 
CARGA INICIAL 
mm mm2 kg/m Mínima (kgf.) Mínima % AL 70% AL 80% 
9.5 55 432 10430 9397 3.5 2.5 3.5 
12.7 99 780 18730 16866 3.5 2.5 3.5 
15.3 151 1102 26518 23948 3.5 2.5 3.5 
 
 
 
 
 14 
2. CONCRETO POSTENSADO 
 
 
2.1 PRINCIPIOS DE TRABAJO DE LOS ANCLAJES 
 
Los anclajes para el postensado trabajan bajo alguno de los siguientes principios: 
 
 Principio de acción de cuñas, que producen una mordaza de fricción en los alambres (Sistema 
Freyssinet). 
 
 Por apoyo directo de las cabezas de remaches o pernos formados en el extremo de los alambres 
(sistemas PRESCON, BBRV, RYERSON, etc.). Ver apéndice F 
 
 
 
2.2 SISTEMAS DE POSTENSADO. 
 
Cada sistema de postensado se caracteriza por el dispositivo particular utilizado en el anclaje. 
 
 
2.2.1 SISTEMA FREYSSINET. 
 
Originalmente, este sistema se utilizó solo para cable de alambres en paralelo, habiendo estado 
disponibles tres tamaños: 12-0.498, 18-0.498 y 12-0.71. El primer dato indica el número de alambres por 
cable y el segundo, el diámetro del alambre en centímetros. Los alambres se insertan dentro de un 
revestimiento de metal flexible, tubería rígida o conductos preformados, y se anclan en cada extremo 
mediante un sistema de anclaje propio. 
 
El anclaje consiste de un conjunto simple de conos metálicos (antes de concreto) de cordón interno y 
externo (macho y hembra) que actúa a modo de cuña que ancla simultáneamente todos los alambres del 
cable. Ver figura 2.1 
 
Anclaje de cordón interno (Cono hembra). Consiste en un cilindro metálico (antes: de concreto 
altamente reforzado) con un orificio cónico central recubierto de alambre helicoidal enrollado 
cercanamente. 
 
Anclaje de cordón externo (Cono macho). Consiste en un tapón metálico (antes: de concreto 
reforzado) que separa uniformemente los alambres a través de su perímetro y que los acuña en contra del 
interior del cono hembra. Ver Apéndice F 
 
 
 
 
 
 15 
 
 
CONO
MANGUITO
APOYO
CINTA ESPIRAL
REVESTIMIENTO50.8 MM mín.
 
a) Anclaje de cordón interno 
CONO
PLACA DE APOYO
PERILLA
MANGUITO
CINTA
REVESTIMIENTO
270 MM MIN
 
 
b) Anclaje de cordón externo 
FIGURA 2.1 Arreglos esquemáticos para uso interno y externo de los anclajes de cordón 
Freyssinet. 
 
 
2.2.2 SISTEMA BBRV 
 
El anclaje BBRV de cabezal semiesférico facilita el tensado y anclaje simultáneo de un gran número de 
alambres. Existen diversos tipos de anclajes BBRV que se encuentran disponibles, en forma de las series 
B, J, C, S y E (ver figuras 2.2 y 2.3); los datos pueden encontrarse en la tabla 2.1 
Los anclajes de tipo B se muestran en la figura 2.2 se dispone de cuatro tamaños estándar: B32, B64, 
B100, B138, en el que el número indica la capacidad del cable en toneladas métricas. Los cables 
estándar se fabrican con alambres de 5.6 y 7 mm. 
 
 16 
Los anclajes de tipo B pueden utilizarse en el postensado de etapas y pueden anclarse temporalmente. 
La inyección final de rellenado con la pasta de cemento se logra a través del orificio central que se 
encuentra en el cabezal del anclaje. (Ver la tabla 2.1) 
En el apéndice F se muestra más información de este sistema. 
 
 
var illa tensora
Acoplador de varilla tensora
var illa tensora temporal B 21
tuerca sujetadora temporal B 22
tuerca sujetadora B 2
 
FIGURA 2.2 Anclaje movible BBRV del tipo B en el pretensado de cables puede utilizarse 
eficientemente en el postensado en etapas. 
 
Extremo de trompeta J 2
Espiral J 3
 
 
FIGURA 2.3 Anclaje movible BBRV tipo J que se utiliza con mayor frecuencia para el 
presforzado de cables. 
 
 
 
 
2.3 DUCTOS PARA POSTENSADO SEGÚN EL REGLAMENTO DEL ACI 
 
 Los ductos para los cables que se recubrirán con lechada o para aquellos que no quedarán adheridos 
deben ser impermeables al mortero y no deben reaccionar químicamente con el concreto, los tendones 
o el material del relleno. 
 Los ductos para cable de un solo alambre, torón o varilla que se van a recubrir con lechada deben 
tener un diámetro interior por lo menos de 6 mm. mayor que el diámetro del cable. 
 17 
 Los ductos para cables de alambres, torones o varillas múltiples deben tener un área trasversal 
interior mayor o igual a dos veces el área neta de los cables 
 Los ductos deben mantenerse libres de agua si los elementos que van a inyectarse con lechada están 
expuestos a temperaturas inferiores al punto de congelación antes de la inyección de la lechada. 
 
 
2.4 LECHADA PARA TENDONES ADHERIDOS. 
 
De acuerdo a las especificaciones del Reglamento del ACI: 
 
La lechada para inyección debe ser de cemento Pórtland y agua, o de cemento Portland, arena y agua. 
Para mejorar la manejabilidad y reducir el sangrado y la contracción, pueden usarse aditivos que no sean 
dañinos a la lechada, al acero, ni al concreto. No debe usarse cloruro de calcio. 
 
El contenido de agua será el mínimo necesario para que la lechada pueda bombearse adecuadamente, 
pero no será mayor de 0.45 con relación al cemento, en peso. 
 
La lechada debe mezclarse en equipo capaz de suministrar mezclado y agitación mecánicos continuos 
que den lugar a una distribuciónuniforme de los materiales, asimismo, debe cribarse y bombearse de 
modo que llene completamente los ductos de los tendones. 
 
La temperatura del elemento presforzado, cuando se inyecte la lechada, debe ser mayor a 2 C, y debe 
mantenerse por encima del valor hasta que la resistencia de cubos de 5*5 cm, fabricados con la lechada y 
curados en la obra, llegue a 56 kg/cm2. 
 
Durante el mezclado y el bombeo, la temperatura de la lechada no debe exceder de 32 C. Para facilitar la 
inyección de lechada, el diámetro interior de ductos que alojen un solo tendón será al menos 6 mm mayor 
que el diámetro del tendón. El área transversal interior de ductos que alojen varios tendones será por lo 
menos igual al doble del área transversal de los tendones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 18 
 
2.5 TABLAS 
 
 
TABLA 2.1 
ANCLAJE TIPO B DESIGNACIÓN DEL TIPO NOMEN- 
CLATURA 
UNIDAD B32 B64 B100 B138 
Alambres de acero por anclaje, número máximo 5 mm  14 28 44 
 6 mm  10 20 32 44 
 7 mm  8 16 24 34 
Carga permanente en ton. Máx. t 32.3 64.6 99.5 137.4 
Carga de plazo breve durante el sobres forzado, ton. Máx. t 36 72 110 150 
cabezal anclaje B1: diámetro roscado DA mm 75 100 113 130 
 longitud estándar LA mm 40 60 80 90 
 longitud especial(a) LA mm 60 80 100 120 
Tuerca de sujeción B2: diámetro exterior DM mm 105 135 135 180 
 altura HM mm 22 30 40 50 
Placa de apoyo B2 : longitud lateral SP mm 140 180 220 260 
 Espesor DP mm 14 16 20 25 
Trompeta terminal B4 : diámetro exterior DT mm 87 112 128 148 
 diámetro conexión DT mm 33.5 41.5 57.5 62.5 
 long. básica aproximada(b) LC mm 120 155 170 190 
 longitudes estándar LT mm 210 260 345 345 
 mm 345 450 450 450 
 mm 510 570 570 570 
 longitud del cono LK mm 110 130 150 170 
Espiral B5 diámetro exterior DS mm 140 180 220 260 
 longitud (alrededor) LS mm 250 250 250 250 
Varilla de montaje B11 longitud mínima mm 500 500 500 500 
Varilla de tracción B21 : longitud mínima mm 350 400 400 400 
 diámetro roscado DH mm 42 52 52 52 
Longitud de instalación(c), estándar 
 
(a) Para cables de presforzado sumamente largos con algunas condiciones de fricción indefinidas. 
(b) LT depende del desplazamiento del cabezal de anclaje B1; LT~LC + desplazamiento. 
(c) a y b pueden reducirse considerablemente al tomarse en cuenta todos los factores determinantes. 
 
 
 
 19 
 
 
 
Continúa TABLA 2.1 
ANCLAJE TIPO J DESIGNACIÓN DEL TIPO NOMEN- 
CLATURA 
UNIDAD J32 J64 J100 J138 
Alambres de acero por anclaje, número máximo 5 mm  14 28 44 
 6 mm  10 20 32 44 
 7 mm  8 16 24 34 
Carga permanente en ton. Máx. t 32.3 64.6 99.5 137.4 
Carga de plazo breve durante el sobresforzado, ton. Máx. t 36 72 110 150 
Cabezal de anclaje J1: diámetro exterior DA mm 74 95 110 125 
 longitud LA mm 35 45 60 70 
Trompeta terminal J2: diámetro exterior DT mm 82 107 122 142 
 diámetro conexión DI mm 33.5 41.5 57.5 62.5 
 longitud estándar(4) LT mm 205 205 255 255 
 mm 340 340 340 340 
 mm 505 505 505 505 
Espiral J3 longitud de cono LK mm 140 218 250 263 
 diámetro exterior DS mm 140 180 220 260 
 longitud mínima(5) LS mm 300 300 300 300 
Varilla de montaje J11: longitud mínima mm 500 500 500 500 
Placa de apoyo J21: longitudes laterales Sp mm 150 200 220 260 
Varilla de tracción J23: longitud mínima mm 350 400 400 450 
 diámetro roscado DH mm 42 52 52 62 
Longitud lateral de placa de inserción de madera a mm 200 250 270 300 
(4) LT depende del desplazamiento del cabezal de anclaje J1; LT~LA +30+ desplazamiento. 
(5) Con el suficiente recubrimiento de concreto y refuerzo adicional para la trompeta terminal J2; de este 
modo, LS = LT+LK 
 
 
 
 
 20 
3. ANÁLISIS DE VIGAS POSTENSADAS 
 
 
3.1 PÉRDIDAS DEL PRESFUERZO 
 
3.1.1 CÁLCULO DE PÉRDIDAS DE PRESFUERZO: MÉTODO 1[7] 
 
 
1) PÉRDIDA POR DESLIZAMIENTO DEL ANCLAJE. 
 
 
La magnitud de la pérdida de presfuerzo dependerá del sistema particular que se use en el presfuerzo o 
en el dispositivo de anclaje. La gran variedad de anclajes excluye cualquier generalización. La fuente más 
confiable de información puede ser el fabricante del dispositivo seleccionado o mejor aún, pruebas 
específicas del equipo en laboratorio. 
 
Conocida la característica del deslizamiento del dispositivo de anclaje especificado, la pérdida por 
deslizamiento en el anclaje se puede calcular fácilmente con la expresión: 
 
panc EL
Lf  (3.1) 
 
Donde: 
 
ancf = pérdida de presfuerzo por deslizamiento del anclaje en kg/cm2 
L = cantidad de deslizamiento en cm 
L = Longitud del tendón cm 
Ep = Módulo de elasticidad del acero de presfuerzo en kg/cm2 
 
 
2) PÉRDIDA POR FRICCIÓN. 
 
En los miembros postensados por lo general los tendones se anclan en un extremo y se estiran mediante 
los gatos desde el otro extremo. A medida en que el acero se tensa, se desarrolla la resistencia 
friccionante con las paredes del ducto, con el resultado de que la tensión en el extremo anclado es menor 
que la tensión en el gato. 
 
La pérdida puede calcularse con la siguiente ecuación: 
 
)LK( X
pApB eff

 (3. 2) 
 
Donde: 
 
[7] Ver bibliografías No. 4 (Págs. 109-140 ) y No. 5 (Págs. 267-284) 
 21 
 
Lx = distancia horizontal entre A y B en metros 
 = cambio de pendiente entre A y B (B-A) en radianes 
 = coeficiente de fricción entre el ducto y el acero (adimensional) 
K = coeficiente de oscilación, en m-1 
fpA = esfuerzo en el acero en el punto A en kg/cm2 
fpB = esfuerzo en el acero en el punto B (ya reducido por fricción) en kg/cm2 
e = base del logaritmo natural  2.7182 
(Ver la figura 3.1) 
 
 
  yp
Lx
L /2 L /2
yp
Xp
BA
 
FIGURA 3.1 Pérdidas por fricción en vigas de concreto postensado. 
 
 
EJEMPLO: 
 
Para una viga postensada con un solo tendón de 7 alambres (un torón de 7 alambres) alojados en un 
ducto metálico e inyectado con lechada, cuyo perfil es parabólico y con fpj = 14080 kg/cm2 (inducido por el 
gato). Determinar el esfuerzo reducido por fricción en las secciones a) apoyo, b) L/4, c) L/2, d)3L/4 y e) L. 
(Ver figura 3.2 ) 
 
5.00m
68.71cm
X yp
Xp
5.00m 5.00m 5.00m
Xp
Pj
anclaje ac tivo
anclaje pasivo
 
FIGURA 3.2 Ejemplo de Pérdidas por fricción en una viga postensada. 
 
 
 22 
SOLUCIÓN: 
 
De acuerdo con las características del presfuerzo y su condición de adherencia, se obtienen los 
coeficientes de fricción K = 1.62x10-3 m-1 y oscilación  = 0.18 (ver tabla 3.1). 
 
El valor del coeficiente K es arbitrario escogido en el rango 0.0016 a 0.0066; de igual manera el de 
oscilación  en el rango de 0.15 a 0.25 
 
Definición del perfil: 
 
2
pp xCy  Esta ecuación sirve para determinar el perfil del acero de presfuerzo, 
que es aproximadamente igual a una parábola de segundo grado. 
 
Donde: 
C = Constante que se determina despejándola: = 2
p
p
x
y
 
xp = Variable que toma el valor de la distancia entre el origen del sistema coordenado 
a cualquier punto del claro; (ver figura 3.2) 
 
para: 
xp = 1000 cm 
yp = 68.71 cm (excentricidad del acero presforzado en el centro del claro) 
Obtenemos el valor de C de la ecuación: 
21000
71.68C 
=
16 cm10*71.68  
 
 
quedando definido el perfil del acero de presfuerzo con la ecuación: 
yp = 68.71x10-6 *x2p 
 
Determinación de las pendientes del perfil del acero de presfuerzo: 
 
Con la ecuación que nos define el perfil podemos derivar una expresión que nos sirva para determinar la 
pendiente en cualquier sección deseada: 
p
6
p
p x1042137
dx
dy
 .tan 
 
de la cual obtenemos: 
).(tan p
61 x1042137   
Donde la xp estará en cm. y  en radianes 
 
Cálculo de los esfuerzos netos (reducidos ya por fricción) en las secciones requeridas: 
 
Usando la ecuación 3.2 y partiendo del esfuerzo fpj = 14080 kg/cm2 se puede efectuar el cálculo usando 
una hoja electrónica de cálculo o un programa (ver programa D1 en el apéndice D) 
 23 
 
X (m) xp (cm) Lx (m) pend.  (rad)α fpx (kg/cm2) 
0 -1000 0.0 -0.137 0.000 14080.00 
5 -500 5.0 -0.069 0.068 13796.51 
10 0 5.0 0 0.069 13516.29 
15 500 5.0 0.069 0.069 13241.76 
20 1000 5.0 0.137 0.068 12975.14 
 
 
Ejemplo de cálculo de los valores de la tabla anterior ( en radianes ): 
 
(-1000) = tan-1(137.42*10-6*(-1000)) = -0.137 
(-500) = tan-1(137.42*10-6*(-500)) = -0.069 
(0) = tan-1(137.42*10-6*(0)) = 0 
(500) = tan-1(137.42*10-6*(500)) = 0.069 
(1000) = tan-1(137.42*10-6*(1000)) = 0.137 
 
Cambio de pendiente A-B 
 
1 = en el extremo = 0 
2 = -0.069-(-0.137) = 0.068 
3 = 0-(-0.069) = 0.069 
4 = 0.069-(0) = 0.069 
5 = 0.137-(0.069) = 0.068 
fpx(0)=14080*e-(1.62*E-3*0+0.18*0) = 14080 kg/cm2 
fpx(5)=14080* e-(1.62*E-3*5+0.18*0.068) = 13796.506  13796.51 kg/cm2 
fpx(5)=13796.51* e-(1.62*E-3*5+0.18*0.069) = 13516.290  13516.29 kg/cm2 
fpx(5)=13516.29* e-(1.62*E-3*5+0.18*0.069) = 13241.762  13241.76 kg/cm2 
fpx(5)=13241.76* e-(1.62*E-3*5+0.18*0.068) = 12975.143  12975.14 kg/cm2 
 
Nota: Los valores de fpx pueden variar si se usa un programa o una hoja electrónica de cálculo. por 
ejemplo los siguientes resultados lo arroja un programa hecho con MATHEMATICA ( programa D1 en 
apéndice D). 
 
Xm Xpcm Lx m Pend.rad  fpx kgcm2
     
0.000 1000.000 0.000 0.137 0.000 14080.000
5.000 500.000 5.000 0.069 0.068 13796.600
10.000 0.000 5.000 0.000 0.069 13517.350
15.000 500.000 5.000 0.069 0.069 13243.740
20.000 1000.000 5.000 0.137 0.068 12977.180 
 
 
 
 24 
3) POR ACORTAMIENTO ELÁSTICO DEL CONCRETO. 
 
Al transferirse la fuerza de presfuerzo al concreto, se provoca un acortamiento elástico en este, a medida 
de que este elemento se va comprimiendo. El acortamiento elástico unitario del concreto está dado por la 
siguiente expresión: 
 
)EAE(A
Pδ
ppcc
i

 (3.3) 
 
Donde: 
 = Acortamiento elástico unitario del concreto , y es adimensional. 
iP = Presfuerzo inicial en kg fuerza. 
cA 
= Área de la sección en cm2 
pA = Área de acero de presfuerzo en cm2 
cE = Módulo de elasticidad del concreto en kg/cm2 
pE = Módulo de elasticidad del acero de presfuerzo en kg/cm2 
 
Las pérdidas de presfuerzo en el acero por la deformación elástica del concreto están dadas por la 
siguiente expresión: 
t
i
pc
i
ppcc
ip
ps A
Pn
AnA
Pn
EAEA
PE
Ef







 
 
 
t
i
s A
Pn
f

 (3.4) 
 
Donde: 
sf = pérdidas de presfuerzo debidas al acortamiento elástico en kg/cm
2 
ptA pc AnA  en cm
2 
n 
= 
c
p
E
E
(Adimensional) 
iP = Fuerza total de presfuerzo inicial en kg 
 
 
4) ESCURRIMIENTO PLÁSTICO (FLUJO PLÁSTICO) 
 
Es la propiedad de muchos materiales mediante la cual ellos continúan deformándose a través de lapsos 
considerables de tiempo bajo un estado de esfuerzos o carga. 
 
Factores: tiempo, proporciones de la mezcla, humedad, condiciones de curado, la edad del concreto a la 
cual comienza a ser cargado y medio ambiente. 
 
 25 
Magnitud: Depende de la composición del concreto en términos del tipo y proporciones del agregado, tipo 
y contenido del cemento, relación de agua-cemento, y aditivos. 
 
La magnitud de las pérdidas por flujo plástico está dada por la siguiente fórmula: 
 
t
iu
cp A
PnCf  (3.5) 
Donde: 
fcp = Pérdida de presfuerzo por flujo plástico 
uC 
 
= Coeficiente de escurrimiento plástico último = 
ci
cu
ε
ε
 (Consultar valor en tabla 3.2);toma 
valores de 1.30 a 4.15 con un promedio de 2.35 
 cuε Coeficiente de escurrimiento plástico último. 
 ciε Deformación elástica inicial 
 n = 
c
p
E
E
 
iP = Presfuerzo inicial (en kg) 
tA = Área total de la sección en cm
2 
 
Observaciones: 
 
 Los agregados son volumétricamente más estables que la pasta de cemento; en consecuencia, un 
aumento en el contenido de agregados conduce a una disminución en las deformaciones por flujo 
plástico. 
 Un aumento en la relación agua cemento aumenta el flujo plástico. 
 Las deformaciones por flujo plástico son bajas cuando la humedad relativa es alta. 
 El flujo plástico se reduce si se restringe la pérdida. 
 
Consecuencias del flujo plástico: 
 
 Aumento de las deformaciones en el elemento en cuestión. 
 Reduce los esfuerzos del concreto provocados por asentamientos diferenciales. 
 Demora el agrietamiento en el concreto a tensión. 
 
Ejemplo: Calcular las pérdidas por flujo plástico. Considérese un valor promedio de uC de 2.35 y los 
siguientes datos: 
Datos: 
cE = 
2350550 kg/cm 
 26 
pE = 
22090300 kg/cm 
cA = 2cm1250 
2
c
i
A
P
 
= 2/30.70 cmkg (Esfuerzo debido al presfuerz o inicial) 
n 
= 696.5
E
E
c
p  
uC = 35.2 
 
Solución: sustituyendo valores en la ecuación 3.5: 
 
2
cp cm/kg23.9913.70*6*35.2f  
 
Para un presfuerzo inicial en el acero = 10 546 kg/cm2 existe una pérdida de: 
 
%39.9100*70.09399108100*
10546
23.991fcp  
 
 
5) CONTRACCIÓN DEL CONCRETO[8] 
 
El concreto se contrae cuando pierde humedad por evaporación; esto es, que las deformaciones por 
contracción son independientes del estado de esfuerzos del concreto, las cuales pueden provocar el 
agrietamiento del concreto y aumentar las deflexiones de los miembros estructurales. 
 
Las deformaciones finales por contracción varían desde 0.0002 a .0006, aunque a veces llega hasta 
.0010. Los valores de las deformaciones son adimensionales (mm/mm). 
 
En gran medida, la contracción es un fenómeno reversible. Si se satura el concreto con agua después de 
haberse contraído, se dilatará casi a su volumen original. 
 
Branson y Kripanarayanan sugieren ecuaciones estándar para relacionar la contracción con el tiempo: 
 
Para concreto curado a vapor en cualquier tiempo después de la edad de 1 a 3 días 
 
t
t ush
tsh 

55
* ,
.

 (3.6) 
 
Para el concreto curado con humedad en cualquier tiempo t después de la edad de 7 días: 
 
t
t ush
tsh 

35
* ,
.

 (3.7) 
 
 
[8] Ver bibliografías No. 4 (Págs. 55-57 y 113-116) y No. 5 (Págs. 74-76) 
 27 
Donde: 
t.sh = Deformación total (contracción total) (mm/mm) 
adimensional. 
t = Tiempo en días (hasta 90 días) 
u,sh = Coeficiente de contracción ver tabla 3.2 
es adimensional (mm/mm) 
 
El valor sh,u puede tomarse como 800x10-6 si no se dispone de información local. Se sugiere un valor 
promedio para sh.u de 730x10-6 (unidimensional) para concreto curado a vapor. Para otras condiciones 
de humedad pueden modificarse las ecuaciones[9]. 
 
Con el objeto de diseño un valor promedio de deformación por contracción sería 0.0002 hasta 0.0004 para 
mezclas usuales de concreto empleadas en la construcción del presfuerzo[10] 
 
Cálculo de pérdidas por contracción. 
 
Pt,hsfs E* 
Donde: 
 
fs =Pérdida de presfuerzo. 
t.sh 
t.sh 
=
t55
*t u,sh


 = contracción del concreto curado a vapor en cualquier tiempo de la edad de 1 a 3 días 
(ver ecuación 3.6) 
=
t35
*t u,sh


 = contracción después de 7 días del concreto curado con humedad (Ver ecuación 3.7) 
u,sh 
= Coeficiente por contracción adimensional 
pE 
=Módulo de elasticidad del acero de presfuerzo (kg/cm2) 
 
Ejemplo: 
 
Sea un elemento de concreto presforzado curado a vapor y con humedad relativa del 70%. Se desea 
saber la pérdida de presfuerzo por contracción. 
 
t = 60 días 
mm/mm10261 6u,sh
 (ver tabla 3.2) 
s = esh, t 
Ep = 1.9x106 kg/cm2 
Pi = 10540 kg/cm2 
 
 
Pérdida para 1 día: aplicando la ecuación 3.6 
 
[9] Ver bibliografía No. 9 Págs. 21-26 
[10] Ver bibliografía No. 4, Pág. 56 
 28 
00000975.0
155
10*546*1
t55
*t 6u,sh
t,hs 





 
 
fs 1= 0.00000975x1.9x106 kg/cm2 =18.52 kg/cm2 
 
Pérdida para 60 días: aplicando ecuación 3.7 
 
000136.0
6035
10*261*60
t35
*t 6u,sh
t,hs 





 
 
fs2 = 0.000136x1.9x106 gk/cm2 = 258.73 kg/cm2 
 
La suma de las pérdidas será: 
 
fs=fs1+fs2= 18.52+258.73 = 277.25Porcentaje de pérdida total por contracción es: 
 
(fs / Pi)x100 = (277.25 kg/cm2 /10540 kg/cm2 )x100 = 2.63 % 
 
 
6) RELAJAMIENTO DEL ACERO 
 
El relajamiento se define como la pérdida de esfuerzo en un material esforzado mantenido con 
longitud constante. Este fenómeno continúa indefinidamente a través del tiempo a una velocidad 
decreciente. 
 
La magnitud varía dependiendo del tipo y del grado del acero, pero los parámetros más importantes son 
el tiempo y la intensidad del esfuerzo inicial. 
 
El esfuerzo inicial se considera en general del 70 % de la resistencia total (fpu) y según estudios, no es 
posible sobresforzarlo en más de un 15 %. 
 
Para medir la magnitud se utiliza el método de deformación constante. 
 
Las pérdidas por relajamiento se pueden reducir mediante un prealargamiento, el cual consiste en 
incrementar el esfuerzo del acero hasta un nivel más alto del propuesto en el diseño, durante un corto 
lapso de tiempo y reduciéndose luego hasta el nivel inicialmente propuesto. 
Para la mayoría de las clases de aceros existentes en el mercado; esforzados a los valores tolerables 
usuales, el porcentaje de deformación plástica varía desde 1% hasta el 5%, con un promedio del 3 %. 
 
Ver la tabla 3.3 para los valores característicos de las pérdidas por relajamiento del acero. 
 
 
 
 
 29 
 
3.1.2 CÁLCULO DE PÉRDIDAS DE PRESFUERZO: MÉTODO 2[11] 
 
1) ACORTAMIENTO ELÁSTICO DEL CONCRETO (ES) 
 
 
Para elementos con tendones adheridos: 
 
ci
cir
pes E
f
EKES  (3.8) 
 
Donde: 
 
ES = Acortamiento elástico del concreto 
Kes = 1.00 para elementos pretensados 
 = 0.5 para elementos postensados cuando los cables se tensan en orden secuencial a la misma 
tensión. Para otros procedimientos de postensado , el valor de Kes puede variar de 0 a 0.5 
fcir = gcpicir f-fK  
Kcir = 1.0 para elementos postensados 
Kcir = 0.9 para elementos pretensados 
fg 
fg 
= Esfuerzo en el concreto en el centro de gravedad de los tendones, debido al peso de la viga en 
el instante de aplicar el presfuerzo. 
=
cI
eMo 
 Mo Momento máximo debido al peso propio del elemento. 
fcpi 
=esfuerzo en el concreto en el centro de gravedad de los tendones, debido a Pi = 
c
2
i
c
i
I
eP
I
P 
 
Donde: 
Pi = Fuerza de presfuerzo después de las pérdidas por fricción y por deslizamiento del anclaje. 
e = Excentricidad en el centro del claro. 
Ic = Momento de inercia de la sección. 
Ep = Módulo de elasticidad del acero de presfuerzo ver tabla 1.1 
Eci = Módulo de elasticidad del concreto usando f’ci (resistencia del concreto en el momento de 
aplicar el presfuerzo) 
 
Para elementos con tendones no adheridos 
 
ci
cpa
pes E
f
EKES  (3.9) 
 
Donde: 
 
fcpa = esfuerzo promedio de compresión en el concreto a lo largo de la longitud del elemento 
en el centroide de los cables, inmediatamente después de haber aplicado el presfuerzo al 
concreto. 
 
[11] Las formulas y tablas se obtuvieron de la bibliografías: No. 12 y No. 18, pàgs. 26-5 a 26-35 
 30 
fcpa =
Ic
eP
A
P 2ii  
 
 
2) FLUENCIA DEL CONCRETO (CR) 
 
Para elementos con tendones adheridos: 
 
)ff(
E
E
KCR cdscir
c
p
cr  (3.10) 
 
Donde: 
 
Kcr = 2.0 para elementos pretensados 
Kcr = 1.6 para elementos postensados 
fcds 
= esfuerzo debido a todas las cargas muertas permanentes después del presfuerzo. 
Aquí no incluye el peso propio del elemento. 
= 
g
ds
I
eM 
 
gI = Momento de inercia de la sección total del concreto sin tomar en consideración el área 
del acero. 
Ec = Módulo de elasticidad del concreto con resistencia del concreto a los 28 días. 
fcir = gcpicir f-fK  
 
Nota: Para elementos de concreto ligero con arena ligera, los valores anteriores de Kcr deberán reducirse 
en un 20 % 
 
Para elementos con tendones no adheridos: 
 
cpa
c
p
cr fE
E
KCR  (3.11) 
 
 
3) CONTRACCIÓN DEL CONCRETO (SH) 
 
Para elementos con tendones adheridos: 
 
Cuando se usa como unidad la pulgada: 
 
)RH100(
S
V06.01EK102.8SH psh
6 




  
 
(3.12) 
´ 
 
Cuando se usa como unidad el centímetro: 
 31 
 
)RH100(
S
V023.01EK102.8SH psh
6 




   (3.13) 
 
Donde: 
Ksh = 1.0 para elementos postensados 
Ksh = se tomará de la tabla 3.4 para elementos pretensados 
RH = Humedad relativa promedio 
V/S = relación volumen superficie. Normalmente se toma como el área total de la sección 
transversal del elemento de concreto dividido entre el perímetro 
= 
ciónsecladePerimetro
Ac
 
 
 
4) RELAJACIÓN DEL ESFUERZO (RE) 
 
 C]ESCRSHJK[RE re  (3.14) 
 
Donde: Los valores de reK , J y C se toman de las tablas 3.5 y 3.6 
 
EJEMPLO: 
 
Para una viga doble T pretensada simplemente apoyada que se muestra en la figura 3.3, determinar la 
pérdida de presfuerzo. 
 
L =9.75 m 
f’ci =245 kg/cm2 
f’c =350 kg/cm2 
fpu =18984 kg/cm2 
fpy =0.9fpu = 17085.6 kg/cm2 
fpj =0.74 fpu =14075 ton/cm2 
fsi =0.70 fpu = 13280 kg/cm2 
5 cm
5 cm
35.6 cm
122 cm
6.3 cm 6.3 cm
centro de 
gravedad 
del acero
4 torones 
de 3/8"
 
 fpi =4*0.54*13280=29022.739 kg 
Figura 3.3 Sección para el ejemplo de pérdidas de presfuerzo 
 
 
 
 32 
O T R O S D A T O S 
Carga viva = 97.6 kg/m2 Wl=0.0976*1.22 =0.119 ton/m 
Carga azotea 
sobrepuesta 
= 97.6 kg/m2 Ws=Wl =0.119 ton/m 
Carga peso propio = 230 kg/m2 Wo=.23*1.22 =0.281 ton/m 
Claro L = 9.75 m 
Ml =Wl*L2/8*100 =333 ton-cm 
Ms = Ws*L2/8*100 =141.5 ton-cm 
Md = Wd*L2/8*100 =141.5 to-cm 
 
Esfuerzo de tensado Pj = 0.74 fpu =14.05 ton/cm2 
Esfuerzo en la transferencia = 0.70 fpu = 13.28 ton/cm2 
Fuerza de transferencia = Pi = 4*0.456*13.28 =29 ton 
 
 
MÓDULOS DE ELASTICIDAD 
 
Eci = 252 ton /cm2 
Ec = 301 ton /cm2 
Ep = 1969 ton /cm2 
 
PROPIEDADES DE LA SECCIÓN 
 
Ac = 1161 cm2 
Ic = 119209 cm4 
C1 =10.2 cm Distancia de la fibra superior al centroide de la sección 
C2 =25.4 cm Distancia de la fibra inferior al centroide de la sección 
Aps =2.06 cm2 = 4 cables * 0.546 
e =17.8 cm 
 
 
1) Acortamiento elástico del concreto (ES) 
 
Kes = 1 
Ep = 1969 Ton/cm2 
Kcir =0.9 
 
2*
Ic
ePi
Ac
Pifcpi  
119209
8.1729
1161
29 2
 = 0.102 ton/cm2 
Ic
eMdfg * 
119209
8.17*5.141
 =0.021 ton/cm2 
 33 
fgfcpi*Kcirfcir  = 0.9 (0.102)-0.021 =0.071 ton/cm2 
Eci
fcir*Ep*KesES  
252
0.071*1969*1
 =0.555 ton/cm2 
 
2) Fluencia del concreto (CR) 
 
Kcr = 2 
Ms = 141.5 to-cm 
c
s
I
e*Mfcds  
119209
8.17*5.141
 =0.021 ton/cm2 
)( cdscir
c
s
cr ffE
EKCR  
301
0.021)-(0.043*1969*2
 =0.287 ton/cm2 
3) Contracción del concreto (SH) 
 
Ksh = 1 
Perímetro sección = 376 cm. 
09.3
376
1161
S
V
 
Para la unidad en centímetros: 
)RH100)(
S
V
54.2
06.01(EK102.8SH psh
6   
)75100)(09.3*024.01(19691102.8 6   
=0.373 ton/cm2 
 
4) Relajación del esfuerzo en el cable (RE) 
 
Kre = 352/1000 = 0.352 ton/cm2 De tabla 3.5 
J = 0.04 De tabla 3.5 
C = 0.95 De Tabla 3.6 (fpi/f´pu= 0.74) 
  C]ESCRSHJK[RE re  
=(0.352-
0.04(0.373+0.287+0.336))(0.95) =0.296 ton/cm
2 
 
 
5) Suma total de pérdidas de presfuerzo: 
 
ES + CR + SH + RE = 0.555+0.287+0.373+0.296 = 1.511 ton/cm2 
 34 
 
6) Esfuerzo efectivo de presfuerzo y fuerza efectiva de presfuerzo Pe: 
 
fse = 0.74*fpu-Total de pérdidas de presfuerzo 
 = 0.74(18.984)-1.511 =12.54 ton/cm2 
Pe 
= fse Aps = 
12.54*2.06 
= 25.83 ton/cm2 
R = Pe/Pi =25.83/29.02 = 0.89 
 
 
 
 
3.2 ESFUERZOS PERMISIBLES 
 
Los esfuerzos permisibles son límites que se imponen a los esfuerzos en el concreto y al acero para cada 
estado particular; dichos estados son dos: 
 
1) Inmediatamente después de la transferencia del presfuerzo. 
2) Cuando se colocan las cargas de servicio 
 
 
 
 
3.2.1 ESFUERZOS PERMISIBLES DEL CONCRETO 
 
 
3.2.1.1 SEGÚN EL REGLAMENTO DEL ACI 
 
Los esfuerzos permisibles son aquellos valores máximos para las tensiones y compresiones del concreto 
establecidos en cada una de las etapas delelemento presforzado, los cuales se resumen en la tabla 3.7 
al final de este capítulo. 
 
3.2.1.2 SEGÚN LAS NORMAS TÉCNICAS COMPLEMENTARIAS DEL REGLAMENTO DE 
CONSTRUCCIONES PARA EL D. F. 
 
 Esfuerzos inmediatamente después de la transferencia y antes que ocurran las pérdidas por 
contracción y flujo plástico: 
 
Compresión 0.6 f’ci en kg/cm2 
Tensión en miembros sin refuerzo en 
zona de tensión 
0.8 ci'f en kg/cm
2 
Tensión en los extremos de miembros 
simplemente apoyados 
1.6 ci'f en kg/cm
2 
 
 
 
 35 
 Esfuerzos bajo cargas muertas y vivas de servicio. 
Compresión 0.45 f’c en kg/cm2 
Tensión c'f6.1 en kg/cm
2 
 
 
Nota: Estos valores pueden excederse siempre y cuando se justifique un buen comportamiento estructural 
del elemento, pero el esfuerzo de tensión no debe ser mayor a c'f2.3 
 
 
 
3.2.2 ESFUERZOS PERMISIBLES EN EL ACERO DE PRESFUERZO 
 
3.2.2.1 SEGÚN EL REGLAMENTO DEL ACI 
 
El esfuerzo de tensión en los tendones de presfuerzo no debe exceder los valores dados en la tabla 3.8 
 
3.2.2.2 SEGÚN LAS NORMAS TÉCNICAS COMPLEMENTARIAS DEL REGLAMENTO DE 
CONSTRUCCIONES PARA EL DISTRITO FEDERAL (RCDF) 
 
Debidos a la fuerza aplicada por el gato srf8.0 
Inmediatamente después de la transferencia srf7.0 
 
Donde: fsr = Esfuerzo resistente del acero de presfuerzo en kg/cm2 
 
3.3 ESFUERZOS EN EL CONCRETO DEBIDOS AL PRESFUERZO Y A LAS CARGAS 
 
Es muy importante calcular los esfuerzos en el concreto en cada una de las etapas (transferencia del 
presfuerzo y servicio) para poder determinar si caen dentro de los rangos permisibles establecidos en el 
Reglamento del ACI y/o el de las NTC del RCDF. 
 
 Las ecuaciones generalizadas para calcular los esfuerzos en el concreto son: 
 
c
y
c
Y
I
M
I
eP
A
Pf 

 (3.15) 
 
 
 
S
M
2r
Ce1
A
p
f
c





 
 (3.16) 
 
 
La ecuación 3.15 fue propuesta y utilizada por T. Y. LIN; y la ecuación 3.16 es una forma más usada por 
otros expertos en el tema del presfuerzo. 
 
 
 36 
Las variables en las ecuaciones 3.15 y 3.16 son: 
 
P = Presfuerzo inicial o efectivo de acuerdo ala etapa analizada 
Ac, A = Área del concreto 
Ic = Momento de inercia de la sección transversal del concreto 
r = Radio de giro 
C = Distancia de la fibra superior o inferior al centroide de la sección del concreto. 
S = Módulo superior o inferior de la sección del concreto 
e , ey = Excentricidad de los tendones 
M, My = Momento debido a el peso propio, carga muerta o viva 
 
 
Los esfuerzos en el concreto presforzado en sus dos etapas, se calculan con las siguientes 
ecuaciones[12]: 
 
 
1ª Etapa 
 
Inmediatamente después de la transferencia del presfuerzo: 
 
Fibra superior: 
 
1
o
2
1
c
i
1 S
M
r
Ce
1
A
p
f 




 
 (3.17) 
 
Fibra inferior: 
 
2
0
2
2
c
i
2 S
M
r
Ce
1
A
p
f 




 
 (3.18) 
 
 
2ª Etapa 
 
En la etapa de servicio cuando ya han ocurrido las pérdidas. Ver ejemplo en el apartado 3.6 
 
Fibra superior: 
 
1
ld0
2
1
c
e
1 S
MMM
r
Ce
1
A
p
f






 
 (3.19) 
 
Fibra inferior: 
 
2
ld0
2
2
c
e
2 S
MMM
r
Ce
1
A
p
f






 
 (3.20) 
 
[12] Ver bibliografías No . 5 y No. 7 
 37 
 
 
NOMENCLATURA UNIDAD INGLESA 
UNIDAD 
S.I.[13] 
Ac = Área del concreto pulg.2 cm2 
Ic = Momento de inercia de la sección transversal del concreto pulg.4 cm4 
r = radio de giro pulg.2 cm2 
C1 = 
Distancia de la fibra superior al centroide de la sección del 
concreto pulg. cm. 
C2 = 
Distancia de la fibra inferior al centroide de la sección del 
concreto pulg. cm. 
S1 = Módulo superior de la sección del concreto pulg.3 cm3 
S2 = Módulo inferior de la sección del concreto pulg.3 cm3 
e = Excentricidad de los tendones pulg. cm 
Mo = Momento debido al peso propio lb-pulg. kg-cm 
Md = Momento debido a la carga muerta lb-pulg. kg-cm 
Ml = Momento generado por la carga viva lb-pulg. kg-cm 
Pi = Presfuerzo inicial lb kg 
Pe = 
 
 
Presfuerzo efectivo después de todas las pérdidas. Para 
efectos prácticos puede evaluarse con la siguiente 
expresión: 
R*Pi donde: 
lb kg 
R 
R 
= 
= 
0.85 para vigas postensadas 
0.80 para vigas pretensadas 
 
 
En las ecuaciones para calcular los esfuerzos, los resultados se interpretan como sigue: 
 
Valor negativo: El esfuerzo es a compresión 
Valor positivo: El esfuerzo es a tensión 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.4 BLOQUE RECTANGULAR DE ESFUERZOS EQUIVALENTES 
 
El bloque rectangular de esfuerzos, es un instrumento de cálculo desarrollado para calcular la resistencia 
última de una viga de concreto presforzado. Así pues, mediante este mecanismo se calcula el valor de la 
resultante de la compresión C (ver apartado 3.7.2), la cual debe ser igual que la fuerza de tensión T. El 
bloque rectangular de esfuerzos equivalentes se muestra en la figura 3.4 
 
 
 
[13] S.I.=Sistema Internacional de Unidades. 
 38 
 
Figura 3.4 Bloque rectangular de esfuerzos equivalentes 
 
Donde: 
 
b = Ancho de la sección. 
dp = Peralte efectivo. 
c = Profundidad del eje neutro. 
cu = Deformación unitaria del concreto=0.003. 
1 
 
= 0.85-0.05(f´c-280)/70 ; dicho valor no debe exceder de 0.85 ni debe ser menor que 0.65. 
a =1.c 
C = Bloque rectangular de esfuerzos equivalentes = 0.85*f’c*a*b. 
T = C 
 
 
Para la definición de las variables ver apartado 3.7.2 
 
 
 
3.5 MOMENTO DE AGRIETAMIENTO 
 
El momento que producen las primeras grietas capilares en una viga de concreto presfozado se calcula 
por la teoría elástica. Dicho momento está dado por la siguiente expresión: 
 
2r
c
2e
ecr SfA
SPePM  (3.21) 






 e
C
rPSfMcr
2
2
e2r (3.22) 
 
En donde: 
 
Pe = Fuerza efectiva de presfuerzo, después de todas las pérdidas. 
 39 
e = Excentricidad del acero de presfuerzo en la sección considerada 
Ac = Área de la sección total sin tomar en cuenta el acero (cm2) 
C2 = Distancia del eje centroidal al extremo inferior de la sección 
S2 = Módulo de la sección de la superficie inferior del elemento ( =Ic/C2 ) 
Donde: Ic= Momento de inercia de la sección (I = b*h3/12) para secciones rectangulares. 
fr = Módulo de ruptura cffr '2 
r = Radio de giro =
Ac
Ic
 
 
Según el apartado 9.5.2.3 del reglamento del ACI cffr '2 
 
 
 
3.6 SECCIONES COMPUESTAS[14] 
 
El término construcción compuesta, aplicado al concreto presforzado, se refiere por lo general a la 
construcción en la cual un miembro de concreto precolado actúa en combinación con concreto colado 
posteriormente en sitio. Ver figura 3.5 
 
 
DETERMINACIÓN DE ESFUERZOS 
 
1) PROPIEDADES DE LA VIGA PRESFORZADA 
 
Acp = Área del concreto 
Icp = Momento de inercia 
rp = Radio de giro 
S1p = Módulo superior de la sección = Icp/C1p 
S2p = Módulo inferior de la sección = Icp/C2p 
ep = Excentricidad de los tendones 
 
PROPIEDADES DE LA SECCIÓN COMPUESTA 
 
Acc = Área del concreto de la sección 
Icc = Momento de inercia 
rc = Radio de giro 
C1 = Distancia de la fibra superior de la sección al centroide. 
C2 = Distancia de la fibra inferior de la sección al centroide. 
S1c = Módulo superior de la sección = Icc/C1 
S2c = Módulo inferior de la sección = Icc/C2 
ec = Excentricidad de los tendones 
 
 
 
 
 
 
[14] Ver bibliografías No. 4 y 5. 
 40 
CARGAS UNIDAD INGLESA UNIDAD S. I. 
Wo = peso propio lb/pie kg/m 
Wdp = losa colada in situ lb/pie kg/m 
Wdc = carga muerta adicional lb/pie. kg/m 
Wl = carga viva lb/pie. kg/m 
 
 
PRIMERA EVALUACIÓN 
 
En la transferencia del presfuerzo: 
 
p1
0
2
p
p1p
cp
i
1 S
M
r
Ce
1
A
pf 







 
 (3.23) 
 
2p
0
2
p
2pp
cp
i
2 S
M
r
Ce
1
A
p
f 







 
 (3.24) 
 
Donde: 
Pi = Fuerza pretensora inmediatamente después de la transferencia. 
M0 = Momento debido al peso propio la viga presforzada.SEGUNDA EVALUACIÓN 
 
Esfuerzos tomando en cuenta el peso de la losa colada in situ. 
 
1p
dp0
p
1pp
cp
e
1 S
MM
r
Ce
1
A
p
f









 
 2 (3.25) 
 
2p
dp0
2
p
1pp
cp
e
2 S
MM
r
Ce
1
A
p
f









 
 (3.26) 
 
Donde: 
 
dpM = Momento debido al peso de la losa o firme 
 
 41 
 
 
TERCERA EVALUACIÓN: 
 
Cálculo de esfuerzos de la sección compuesta, cuando en ella actúan todas las cargas, peso propio, carga 
muerta y carga viva: 
 
1c
ldc
1p
dp0
2
p
1pp
cp
e
1 S
MM
S
MM
r
Ce
1
A
p
f











 

 
(3.27) 
 
2c
ldc
2p
dp0
2
p
2pp
cp
e
2 S
MM
S
MM
r
Ce
1
A
p
f











 
 (3.28) 
 
 
CUARTA EVALUACIÓN 
 
 
Esfuerzos en la losa: 
 
3c
ldc
3 S
MMf  (3.29) 
4c
ldc
4 S
MM
f

 (3.30) 
 
Donde: 
 
c1
cc
1 C
IS  
2c
cc
2 C
IS  
c3
cc
3 C
IS  
c4
cc
4 C
IS  
 
Ver figura 3.6 para ver el significado de C1c, C2c, C3c y C4c. 
 
 
 
EJEMPLO: 
 
Una viga AASTHO del tipo II de tres pies de peralte, precolada y pretensada, se usará con losa colada in 
situ de 5.75 pulg. * 96 pulg. para formar una viga compuesta de 55 pies de claro entre apoyos. La 
geometría de la sección transversal, y las cargas se muestran en las figuras 3.5 y 3.6. 
 
 
 
 42 
DATOS: 
 
VIGA PRETENSADA LOSA OTROS DATOS FUERZAS DE PRESFUERZO 
f’c = 5000 lb/pulg.2 f’c=3000 lb/pulg.2 N = Ecc/Ecp = 0.774 Pi = 468 000 lb 
f’ci = 0.80f’c = 
4000lb/pulg.2 Ecc =3.15*10
6 lb/pulg.2 btr=n*b=0.774*96 = 75 Pe = 398 000 lb 
Ecp =4.07*106 lb/pulg.2 
 
 
PROPIEDADES DE LA 
VIGA I 
Acp = 369 pulg.2 
C1p = 20.17 pulg. 
C2p = 15.83 pulg. 
rp2 = 138 pulg.2 
S1p = 2528 pulg.3 
S2p = 3220 pulg.3 
wo= 385 lb/pie 
wdp = 575 lb/pie 
wdc = 185 lb/pie 
wl = 1158 lb/pie 
 
 
75
B=96
27.25
13
20.17
15.83
36
H=5.75
11.59
40.75
7.25 8.25
centroide viga presforzada
centroide viga compuesta
 
 Icp = 50 980 pulg.
4 
FIGURA 3.5 Propiedades de la viga presforzada en pulgadas del 
ejemplo de aplicación de una viga compuesta. 
 
 
Cálculos: 
 
Las propiedades de la viga compuesta se calculan en base a las propiedades de viga presforzada. 
Área y momento de inercia de la losa transformada alrededor de su propio eje: 
 
 
DIMENSIONES FÓRMULAS PROPIEDADES 
H = 5.75 (espesor) Icl = b*h3/12 Icl = 75*5.752/12 =1188 pulg.4 
B = btr = 75 (ancho) Acl =b*h Acl = 75*5.75 = 431 pulg.2 
 
Momento de inercia de la sección compuesta: 
 43 
 
Icc = Icp + Acp(C2c-C1p)(2 + Icl + Acl(C3c-dl)(2) 
Icc = 50980+369(27.75-15.83)(2 )+ 1188 + 431(13-2.87)(2) 
Icc = 148826 pulg.4 
 
POPIEDADES SECCIÓN COMPUESTA: 
 
Acc = 800 pulg.2 
Icc = 148826 pulg.4 
rcc = 186.03 pulg.2 
C1c = 8.25 pulg. 
C2c= 27.75 pulg. 
C3c = 13.00 pulg. 
C4c = 7.25 pulg. 
S1c = 18040 pulg.3 
S2c = 5363 pulg.3 
S3c = 11448 pulg.3 
75
20.17
24.92
centroide viga presforzada
C2c
ep=11.59
centroide viga compuesta
C3c
C1cC4c
2.87
5.75
 
 S4c = 20527 pulg.3 
Mo = 146,000 lb-pie Mdp =218,000 lb-pie Mdc = 70,000 lb-pie Ml = 438,000 lb-pie 
FIGURA 3.6 Propiedades de la viga compuesta en pulgadas 
 
 
RESULTADOS: 
 
 
PRIMERA EVALUACIÓN (TRANSFERENCIA) 
 
1p
0
2
p
1pp
cp
i
1 S
M
r
Ce
1
A
p
f 







 

 
2p
0
2
p
2pp
cp
i
2 S
M
r
Ce
A
p
f 







 
 1
 
2528
12*146000
138
20.1711.59
1
369
468000
1f 

 





 
 
f1 = 187.14 lb/pul.g.2 
 
3220
12*146000
138
83.5111.59
1
369
468000
2f 

 





 
 
f2 = -2410 lb/pulg.2 
 
 44 
 
SEGUNDA EVALUACIÓN 
 
Esfuerzos debidos al peso propio y al peso de la losa colada in situ. 
 
1p
dp0
p
1pp
cp
e
1 S
MM
r
Ce
1
A
p
f









 
 2
 
2p
dp0
p
2pp
cp
e
2 S
MM
r
Ce
1
A
p
f









 
 2
 
2528
12*21800012*146000
138
20.1711.59
1
369
f
398000
1



 





 
f1 = -979 lb/pulg.2 
3220
12*21800012*146000
138
15.8311.59
1
369
f
398000
2



 





 
f2 = -1156 lb/pulg.2 
 
 
TERCERA EVALUACIÓN: 
 
Esfuerzos debido a la totalidad de las cargas ldcdpo w,w,w,w 
1c
ldc
1p
dp0
2
p
1pp
cp
e
1 S
MM
S
MM
r
Ce
1
A
p
f











 

 
40180
12000*438)(70
2528
12*21800012*146000
138
20.1711.59
1
369
f
398000
1





 





 
f1 = -1319 lb/pulg.2 
2c
ldc
2p
dp0
2
p
2pp
cp
e
2 S
MM
S
MM
r
Ce
1
A
p
f











 

 
40180
12000*438)(70
2528
12*21800012*146000
138
83.1511.59
1
369
f
398000
2





 





 
f2 = -19 lb/pulg.2 
 
 
ESFUERZOS EN LA LOSA COLODA IN SITU 
 
3c
ldc
3 S
MM
f

 
11448
12000*438)(70f3

 = -532 lb/pulg.2 
4c
ldc
4 S
MM
f

 
20527
12000*438)(70f4

 = -297 lb/pulg.2 
 
 45 
 
RESUMEN DE RESULTADOS 
 
 
Esfuerzo permitido en 
lb/pulg2 Debidos A: Fibra 
Esfuerzo 
calculado 
lb/pulg2 Fórmula Valor 
 cumple: 
Transferencia superior a tensión 187.14 ci`f3 189.74 si 
 inferior a compresión -2410.00 ci`f60.0 -2400.00 no 
superior a compresión -979.00 0.45 f’c -2250.00 si Peso propio y 
de la losa 
colada in situ inferior a compresión -1156.00 0.45 f’c -2250.00 si 
superior a compresión -1319.00 0.45 f’c -2250.00 si Todas las 
cargas inferior a compresión -19.00 0.45 f’c -2250.00 si 
 
 
CONCLUSIÓN: 
 
En la transferencia del presfuerzo, la fibra inferior tiene un esfuerzo de compresión mayor al permisible, lo 
cual se puede resolver, ya sea incrementando la sección, o reduciendo la fuerza de presfuerzo o haciendo 
la transferencia de tal forma que la resistencia del concreto rebase el 80 % de su resistencia especificada 
a los 28 días. Por otra parte se observa que la fibra inferior en la etapa de servicio (todas las cargas 
actuando) estará a compresión lo que indica que está sobresforzada (más fuerza de presfuerzo de lo que 
necesita), ya que si disminuimos el presfuerzo, esta fibra estará a tensión permisible; desde luego que lo 
ideal es que la fibra inferior esté sin esfuerzo y que a medida que pase al extremo superior se tenga un 
esfuerzo a compresión. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 46 
 
3.7 RESISTENCIA A LA FLEXIÓN 
 
3.7.1 CALCULO DEL ESFUERZO DEL ACERO A LA FALLA ( psf ) 
 
De acuerdo con el Reglamento del ACI, la resistencia a la flexión de vigas de concreto presforzado se 
puede calcular usando el análisis de compatibilidad de deformaciones. Alternativamente dentro de ciertas 
limitaciones, se puede efectuar una determinación aproximada. Mientras el esfuerzo efectivo fpe no sea 
menor que 0.5fpu, el esfuerzo del acero a la falla ( psf ) puede tomarse igual a: 
 
a).- Para tendones adheridos y acero de refuerzo a tensión: 
 
SISTEMA FÓRMULA 
INTERNACIONAL   pu
pc
pu
p
1
p
pups f'd
d
f'
f
ρ
β
γ
1ff 
















 En kg/cm2 (3.31) 
 
 
p
p
pu
p
0.15dd' y
0.17'
d
d
cf'
f
ρ










 con
 
INGLÉS 
c
pu
ppups f'
f
)ρ05(1ff  En lb/pulg2 (3.32) 
 
Donde: 
p = factor que depende del tipo de acero de presfuerzo 
 = 0.55 para fpy/fpu no menor que 0.80 (0.80  fpy/fpu < 0.85) 
 = 0.40 para fpy/fpu no menor que 0.85 (0.85 fpy/fpu < 0.90) 
 = 0.28 para fpy/fpu no menor que 0.90 (0.90  fpy/fpu acero de bajo relajamiento) 
1 = 0.85β0.65:pero,70
280cf'0.050.85 1 




  
p = Ap/(bxdP) 
 = As/(bxd) 
’ = A’s/(bxd) 
 =fy/f’c 
’ =’fy/f’c 
dp = Distancia de centroide del acero de presfuerzo al extremo superior de la sección. 
d = Distancia de centroide del acero de refuerzo por tensión al extremo superior de la sección 
d’ = Distancia de centroide del acero de refuerzo por compresión al extremo superior de la sección 
 
 47 
b).- Para tendones no adheridos y con L/h35, tomar el menor de: 
 
 
SISTEMA INGLÉS (lib/pulg2) 
p
c
peps 100 ρ
f'10000ff  (3.33) 
 
SISTEMA INTERNACIONAL (kg/cm2) 
4200ffff
100 ρ
f'
700ff
peps
pyps
p
c
peps



 (3.34) 
 
c) Para acero de presfuerzo no adherido y con L/h>35, tomar el menor de: 
 
SISTEMA INTERNACIONAL 
2100ff
ff
300ρ
f'
700ff
peps
pyps
p
c
peps



 
 
(3.35) 
 
Unidades (kg y cm) 
 
 
 
d'
C2
b
a
d
dp
C1
h
 
FIGURA 3.7 Propiedades de una sección rectangular para el análisis a la flexión. 
 
 
 
 48 
Las propiedades de sección en figura 3.7 son: 
 
b = ancho de la sección de concreto 
C1 = Distancia desde el centroide de la sección de concreto a su extremo superior 
C2 = Distancia desde el centroide de la sección de concreto a su extremo inferior 
h = Peralte total de la sección del concreto 
A’s =Área del acero de refuerzo en lecho superior de la sección. 
As = Área del acero de refuerzo en lecho inferior de la sección. 
Ap = Área del acero de presfuerzo. 
d’ = Distancia del centroide del acero de refuerzo por compresión al lecho superior de la sección. 
d = distancia del centroide del acero de refuerzo por tensión, a la fibra superior de la sección 
dp = distancia del centroide del acero de presfuerzo a la fibra superior de la sección 
a = profundidad del bloque rectangular de esfuerzos en el concreto ver ecuación 3.37 
 
 
El porcentaje de acero de presfuerzo p es igual a: 
p
p
p db
A

 
 
 
VIGAS PRESFORZADAS SOBREREFORZADAS 
 
Las vigas de sección rectangular o vigas T que se comporten como rectangulares, serán sobrereforzadas 
si: 
 
1
p
p 36.0)'(d
d
 








 (3.36) 
 
1 = 0.85β0.65:pero,70
280f'
0.050.85 1
c 




 
 
p = Ap/(b*d) 
 = As/b*d 
’ = A’s/b*d 
p = p*fps/f’c (para calcular fps ver ecuaciones 3.31 a 3.35) 
 = fy/f’c 
’ = ’fy/f’c 
dp = Distancia de centroide del acero de presfuerzo al extremo superior de la sección. 
 49 
 
d = Distancia de centroide del acero de refuerzo por tensión al extremo superior de la sección. 
Ap = Área de acero de presfuerzo 
As = Área de refuerzo en lecho inferior (acero a tensión) 
A’s = Área de refuerzo en lecho superior (acero a compresión) 
 
 
 
 
Resistencia a la flexión de una viga sobrereforzada: 
 
  2112 8.036.0'   pn dbcfM (3.36’) 
 
 
Si la viga es sobrereforzada, la viga puede hacerse más dúctil (subreforzada) aumentando el acero de 
compresión. 
 
 
 
3.7.2 SECCIÓN CON REFUERZO DE TENSIÓN Y COMPRESIÓN 
 
 
Para vigas de sección transversal rectangular o para vigas T o I con espesor del patín (hf)a en los 
cuales la profundidad del bloque de esfuerzos cae dentro del patín a compresión, la resistencia nominal a 
la flexión se calcula con la siguiente fórmula: 
 
 
90
850
'
'
2
'
22
.
b*f'.
fAfAfA
a
dafAadfAadfAM
c
ysyspsp
ysysppspn















 




 




 


 
(3.37) 
 
 
La nomenclatura de la ecuación anterior es la misma que se usa en la figura 3.8 
 
 
 
 
 
 
 50 
 
 
 
a/2
b
d
d'
a
dp
d'
a/2-d'
dp-a/2 dp-a/2
c
 
 
FIGURA 3.8 Resistencia a la flexión de secciones rectangulares 
Nomenclatura de la figura 3.8: 
 
b = ancho de la sección de concreto 
d =Distancia del centroide del acero de refuerzo a tensión a la fibra superior de la sección. 
dp =Distancia del centroide del acero de presfuerzo a tensión a la fibra superior de la sección. 
h = Peralte total de la sección del concreto 
A’s =Área del acero de refuerzo en lecho superior de la sección. 
As = Área del acero de refuerzo en lecho inferior de la sección. 
Ap = Área del acero de presfuerzo. 
d’ = Distancia del centroide del acero de refuerzo por compresión al lecho superior de la sección. 
a = Profundidad del bloque rectangular de esfuerzos en el concreto ver ecuación 3.37 
c = Profundidad del eje neutro 
fps = Esfuerzo en el acero de presfuerzo a la falla kg/cm2 
fy = Esfuerzo de fluencia del acero ordinario de refuerzo (fy= 4200 kg/cm2) 
 
 
 
 
VIGAS I O T CON fha  
 
Para miembros con patines tales como las vigas I o T , en las cuales, la profundidad del bloque de 
esfuerzos es más grande que el espesor del patín, el área total del acero por razones de cálculo se divide 
en dos partes. La primera parte es el área pfA que actúa bajo el esfuerzo psf y equilibra exactamente a la 
compresión en las porciones sobresalientes del patín: 
 
  fw
ps
c
pf hbbf
'f85.0A  (3.38) 
 
Donde: 
 51 
b = Ancho de la sección de concreto 
bw = Ancho del alma en una viga I o T ver figura 3.9 
hf = Espesor del patín de la viga I o T ver figura 3.9 
f’c = Resistencia a la compresión del concreto 
fps = Esfuerzo en el acero de presfuerzo en kg/cm
2 ver ecuación 3.44 
 
Y actúa con un brazo de palanca interior de [d-(h f /2) ] . Todos los términos geométricos se definen en la 
figura 3.9 
 
Las partes restante del área de acero Apw viene dado por la siguiente expresión: 
pfppw AAA  
Y la profundidad del bloque de esfuerzos es: 
 
wc
pspw
b*f'.
fA
a



850
 (3.39) 
 
Apw = Es una parte del área de acero de presfuerzo 
fps = Esfuerzo del acero de presfuerzo ver ecuación 3.44 
bw = Ancho del alma en una viga I o T ver figura 3.9 
f’c = Resistencia a la compresión del concreto 
 
El brazo del par interno para esta parte del momento resistente es [d-(a/2)], el momento total resistente a 
la falla se halla sumando las dos partes: 
 
  










 
22
f
pspfpysppspwn
h
dfAddfAadfAM (3.40) 
 
d-hf/2
b
bw
a
d-a/2
dp
hf
d
hf/2
a/2
c
 
 
FIGURA 3.9 División de la zona de compresión en una viga con patín para el cálculo del 
momento resistente último 
 
 
 
 52 
Variables de la figura 3.9: 
 
b = Ancho del patín en una viga I o T ver figura 3.9 
bw = Ancho del alma en una viga I o T ver figura 3.9 
hf = Espesor del patín 
d = Distancia del centroide del acero de refuerzo a tensión a la fibra superior de la sección. 
dp =Distancia del centroide del acero de presfuerzo a tensión a la fibra superior de la sección. 
a = Profundidad del bloque rectangular de esfuerzos en el concreto ver ecuación 3.37 
c = Profundidad del eje neutro 
As = Área del acero de refuerzo en lecho inferior de la sección. 
Ap = Área del acero de presfuerzo. 
fps = Esfuerzo del acero de presfuerzo ver ecuación 3.44 
Cf = 0.85*f’c*a*b 
Tf = Ap*fps+As+fy 
 
 
 
3.7.3 MÉTODO DE COMPATIBILIDAD DE DEFORMACIONES[15]. 
 
 
Este método es aplicable cuando el acero de presfuerzo está adherido (pretensado o postensado con 
ductos con lechada). 
 
 
METODOLOGÍA 
 
De acuerdo a las figuras 3.8 y 3.9, la profundidad del eje neutro (c); se aproxima para su primera 
valuación con la siguiente expresión: 
 
c = profundidad del eje neutro a partir de la fibra superior = h/4 para la primera iteración, donde h = 
peralte total de la sección del de la viga por analizarse. 
 
1) Determinar la deformación 1 y 2 
 
Pe = Presfuerzo efectivo 
Ap = Área de acero de presfuerzo 
e = Excentricidad del acero de presfuerzo= distancia que va del eje centroidal del acero de 
presfuerzo al eje centroidal de la sección de la viga analizada. 
I = Momento de inercia con respecto al centroide de la sección. 
Ec = Módulo de elasticidad del concreto = c'f15253 según el -reglamento del ACI ver 
ecuación 1.1 
Ep = Módulo de elasticidad del acero de presfuerzo 
Ac = Área de la sección transversal de la viga. 
 
p
e
pe A
Pf  
 
[15] Ver bibliografía No. 7 (Págs. 40-42) 
 53 
p
pe
pe1 E
f
εε 
 
(3.41) 
 







I
eP
A
P
E
1ε
2
e
c
 e
c
2 (3.42) 
 
 
2) Determinación de 3 
 
c
cdp003.0
c
cdpεε u3



 (3.43) 
 
Donde: 
dp = distancia desde el centroide del acero de presfuerzo a la fibra superior de la sección 
c = se supone el 1er valor (=h/4) y luego se calcula con la formula: c =( Tf / Cf)*c. ver inciso 6 
 
 
3) Estimar t: 
321t εεεε  
4) Obtener el esfuerzo del acero