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Engenharias

Ingeniería Fácil

13/7/2022

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES
ARAGON
" MECANISMO DE DAÑO POR CAVITACIÓN"
T E s I s
QUE PARA DeTENER El T1TUlO OE:
INGENIERO MECÁNICO
ELECTRICISTA
PRESENTA:
CLAUDIO ERNESTO LEDEZMA CABRERA
DIRECTOR OE TESIS: ING. RAUl CRUZ ARRIETA
MARZO DEL 2009

UNAM – Dirección General de Bibliotecas
Tesis Digitales
Restricciones de uso

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PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL

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respectivo titular de los Derechos de Autor.

Mecanismo de daño por cavitación

AGRADECIMIENTOS

Deseo agradecer a todas las personas que me ofrecieron su generosa ayuda
durante la realización de esta investigación, revisando, comentando y
corrigiendo el manuscrito: Ing. Raul Cruz Arrieta, Ing. Damaso Velázquez
Velázquez, Ing. Alejandro Rodriguez Lorenzana, Ing. Alfredo Montaño Serrano
y la Lic. Carmen María Herrera Reyes.
A Bidi-UNAM y la base de datos JSTOR, por la facilidades para la consulta de
artículos especializados.
Así como el apoyo moral y técnico en la captura y correcciones de estilo a mi
hermana, Isis Clementina Ledezma Cabrera.
No sin olvidar agradecer muy en especial a mis padres, por su infinito amor y
paciencia.
Así como a todos los integrantes de los SGJ, por su incondicional amistad y
apoyo. Siempre son una inspiración para investigar más.

Mecanismo de daño por cavitación

ÍNDICE

Introducción 6

1. CONCEPTOS BÁSICOS 7

1.1 Cavitación 8
1.2 Presión absoluta y presión relativa 13
1.3 Ley de Dalton 14
1.4 Presión de vapor 15
1.5 Densidad 15
1.6 Tensión superficial 16
1.7 Número de Reynolds 17
1.8 Número de Weber 20
1.9 Carga neta positiva de succión 20
1.10 Viscosidad dinámica 21
1.11 Viscosidad cinemática 22
1.12 Fluido Newtoniano 22
1.13 Compresibilidad 22
1.14 Máquinas hidráulicas 23
1.15 Impulso lineal 25
1.16 Proceso isoentrópico 25
1.17 Carga axial 26
1.18 Esfuerzo cortante 27
1.19 Microestructura 29
1.20 Deformación unitaria 29
1.21 Deformación elástica 29
Mecanismo de daño por cavitación

1.22 Deformación plástica 30
1.23 Fatiga 30
1.24 Ensayo de tensión 31
1.25 Esfuerzo y deformación ingenieriles 31
1.26 Dureza 35
1.27 Trabajo en frío 36
1.28 Análisis espectral 37
1.29 Densidad espectral 37

2. COLAPSO DE LA BURBUJA DE CAVITACIÓN 38

2.1 Nucleación en flujo de líquidos 39
2.2 Cavitación en vórtice 41
2.3 Nube de cavitación 43
2.4 Mecanismo de implosión de Rayleigh 44
2.5 Ruido por cavitación 50
2.6 Compresibilidad de líquido en el modelo de implosión 52
2.7 Perturbaciones a la geometría esférica 52

3. DAÑO PROVOCADO A LA FRONTERA SÓLIDA 59

3.1 Desgaste unitario por cavitación 60
3.2 Espectro de energía de la burbuja 61
3.3 Periodo de incubación 64
3.4 Parámetros de erosión 65
3.5 Efecto de la velocidad de flujo 70
3.6 Efecto de la dureza 73
Mecanismo de daño por cavitación

3.7 Influencia del número de Weber 76
3.8 Efecto del preesfuerzo 78
3.9 Correlación de la pureza del fluido y el daño provocado
a la frontera sólida 79
3.10 Selección de materiales y recubrimientos 81

4. ENSAYOS Y EXPERIMENTOS DE LABORATORIO 84

4.1 Cámara de alta velocidad 85
4.2 Método para generar cavitación 87
4.3 Medición de presión en la frontera sólida 89
4.4 El arreglo experimental 93

CONCLUSIONES 94

BIBLIOGRAFÍA 95

Mecanismo de daño por cavitación

INTRODUCCIÓN

La cavitación ha sido objeto durante casi dos siglos de profundos estudios, sin
alcanzar, aún, su total comprensión.
El presente documento se divide en 4 capítulos, en los cuales en el primero se
desarrollan los conceptos básicos para entender los modelos que gobiernan el
mecanismo de daño por cavitación desarrollados en el capítulo 2, basados en
los trabajos de Rayleigh.
Sin embargo, estas primeras ecuaciones contemplan una geometría esférica
sin perturbación para la burbuja de cavitación (la cual es donde se obtiene el
máximo valor en presión y temperaturas generadas al momento de colapsar),
así que se desarrollan las ecuaciones que describen esta perdida de la forma
esférica y sus efectos.
En el capítulo 3 se detallan los efectos de la cavitación sobre la frontera sólida,
el daño causado sobre ésta; así como los elementos propios del flujo del fluido
que afectan de algún modo el daño por cavitación, y el tipo de materiales para
evitar o al menos minimizar el daño.
Finalmente, los ensayos y experimentos de laboratorio, esenciales para
obtener datos que después se convierten en modelos matemáticos, son
explicados en cuanto a su construcción y equipamiento en el capítulo 4.

Mecanismo de daño por cavitación

CAPÍTULO I

CONCEPTOS BÁSICOS
Mecanismo de daño por cavitación

1.1 CAVITACIÓN
La formación y subsecuente colapso de las cavidades llenas de vapor en un
líquido debido a la acción dinámica, se llama cavitación. Las cavidades pueden
ser burbujas o bolsas llenas de vapor, o una combinación de ambas. Para que
la cavitación se inicie la presión en el lugar debe ser igual o menor que la
presión de vapor del líquido, y las cavidades deben encontrar una región de
presión más alta que la presión de vapor para que imploten. Los gases
disueltos con frecuencia se liberan poco antes de que empiece la vaporización.
Esto puede ser una indicación de cavitación inminente, pero la verdadera
cavitación requiere la vaporización del líquido. De la definición de cavitación se
excluye arbitrariamente la ebullición acompañada por la adición de calor o la
reducción de presión estática sin la acción dinámica del fluido. Con mezclas de
líquidos, como la gasolina, las fracciones ligeras tienden a cavitar primero.
Cuando un fluido fluye sobre una superficie con curvatura convexa, la presión
cerca de la superficie se reduce y el flujo tiende a separarse de la superficie. La
separación y la cavitación son fenómenos completamente diferentes. Sin
cavitación, una región separada contiene fluido turbulento con corrientes
parásitas a presiones más altas que la presión de vapor. Cuando la presión es
suficientemente baja, la región separada puede contener una bolsa de vapor
que se llena a partir del extremo de la corriente hacia abajo, se rompe y se
forma nuevamente muchas veces en cada segundo. Esto origina ruido y si es
suficientemente severo, vibración. Las burbujas llenas de vapor que se rompen
Mecanismo de daño por cavitación

muy rápidamente generalmente están presentes en cualquier región en donde
la presión se encuentra por arriba de la presión de vapor1.
Si las burbujas de vapor se encuentran cerca o en contacto con una frontera
sólida cuando colapsan, las fuerzas que ejerzan por el flujo del líquido hacia las
cavidades crean presiones locales muy altas que causan perforaciones en la
superficie sólida. El fenómeno está acompañado por ruido y vibraciones que se
asemejan a aquellos que producen las gravas al pasar por una bombacentrífuga. Estos impactos son además periódicos, es decir, se produce un
fenómeno vibratorio que aumenta la erosión del material por fatiga. A estas
vibraciones hay que referir la explicación de la falla de algunas piezas, por
ejemplo, de los pernos de sujeción de los cojinetes de los generadores en las
centrales hidroeléctricas cuando se está produciendo la cavitación.

Figura 1
En un líquido que fluye, el parámetro de cavitación, es útil para caracterizar
la susceptibilidad del sistema a la cavitación, se define mediante:
……. (1.1)

Donde:

1 Igor J. Kavassik, Krutzsch, et. al. Manual de bombas. Diseño, aplicación, especificaciones,
operación y mantenimiento, México, Mc Graw Hill, 1983, pp. 2-147,2-148.
Mecanismo de daño por cavitación

Presión absoluta en el punto de interés
Presión de vapor del líquido
Densidad del líquido
Velocidad no perturbada o de referencia

El parámetro de cavitación es una forma de coeficiente de presión. Dos
sistemas geométricamente similares deberían comportarse de igual forma con
respecto a la cavitación o tener el mismo grado de cavitación para el mismo
valor de . Cuando , la presión se reduce a la presión de vapor y ocurrirá
la ebullición.
Un índice de cavitación, ´, es útil para una selección apropiada de la
turbomáquina y su localización con respecto a la succión o a la elevación de
aguas abajo. La presión mínima en una bomba o en una turbina ocurre
generalmente a lo largo de los lados convexos de los álabes cerca de la zona
de baja presión del impulsor. En la figura 1, si e es el punto de presión mínima,
la ecuación de energía aplicada entre e y la superficie líquida aguas abajo
puede escribirse como:
…….. (1.2)
En la cual es la presión atmosférica y la presión absoluta. Para que la
cavitación ocurra en e, la presión debe ser igual o menor que , la presión de
vapor. Si , entonces:
Mecanismo de daño por cavitación

…….. (1.3)
Es la relación de energía disponible en e con respecto a la energía total H a
través de la unidad, debido a que la única energía es la energía cinética. La
relación es el índice o número de cavitación. El valor crítico puede
determinarse mediante pruebas en un modelo de una serie homóloga. Para
tener un funcionamiento sin cavitación, la elevación de baja presión de un
impulsor, debe ser tal que el valor resultante de sea mayor que . Cuando
el flujo se invierte en la figura 2, como ocurre en una bomba, el signo de
cambia2.

Figura 2
La cavitación aparece también en equipos donde se usan lubricantes líquidos,
la cual se presenta de dos formas: cavitación gaseosa y cavitación de vapor.
Cavitación gaseosa. Los aceites lubricante contienen aproximadamente un
10% de su volumen de gas disuelto cuando está saturado con aire (o la
mayoría de otros gases). Si la presión del aceite cae por debajo de la presión
atmosférica de saturación, el aire disuelto tiende a salir de la solución como
burbujas de cavitación. En una flecha que opera con una carga estacionaria

2 Victor L. Streeter, E. Benjamin Wyle, et. al. Mecánica de fluidos, Colombia, Mc Graw Hill,
2003, p.p. 534-536.

Mecanismo de daño por cavitación

bajo condiciones de estado estacionario, esta cavitación toma lugar a la presión
negativa comúnmente encontrada en la sección divergente de la película de
aceite.
El agujero de la película convergente del aceite presurizado no puede ocupar el
espacio entero que encuentra en la sección divergente después de pasar al
mínimo grosor de la película. Este volumen insuficiente de aceite entonces se
rompe, comúnmente en escurrimientos separados por burbujas en formas
ovales. Al caer la presión ambiente hacia el cero absoluto, el aire disuelto en el
aceite tiende a expandirse y crear burbujas libres. Estas cavidades, con su aire
a bajas presiones, pueden entonces ser conducidas por la película incompleta
de aceite hacia la región de carga del cojinete. Aquí las cavidades
experimentan un relativo incremento gradual de la presión, disminuyen su
tamaño y se vuelven a disolver en el aceite, sin efectos dañinos.
Cavitación de vapor. Si la carga en el cojinete fluctúa a altas frecuencias, como
con la carga de reacción en un engranaje, se forman cavidades en la película
de aceite al ir retrocediendo la superficie de la flecha, y entonces las cavidades
se contraen al acercarse las superficies unas a otras3. El resultado de este
colapso es una alta presión, la cual erosiona la superficie de la flecha, como se
muestra en la figura 3, donde la cavitación a causado una serie de “surcos” en
la película de aceite. La presión del aceite lubricante tiene alguna habilidad de
reducir la cavitación en el área adyacente a la ranura4.

3 Michael M. Khonsan, E. Richard Booser, Applied tribology, bearing design and lubrication,
Canadá, Wiley, p.p. 213,214.
4 Gwidon W. Stachowiak, Andrew W. Batchelor, Engineering tribology, USA, Butterworth-
Heinemann, 2001, pág. 163.
Mecanismo de daño por cavitación

Figura 3
A grosso modo, el control de la cavitación consta de:
-Diseñar contra la cavilación, es decir, diseñar tanto la máquina como la
instalación de la misma para que no se produzca este fenómeno.
-Utilizar materiales resistentes a la cavitación, si se tolera en el diseño que en
algún caso se presente este fenómeno.

1.2 PRESIÓN ABSOLUTA Y PRESIÓN RELATIVA
Las presiones absolutas se miden con relación al 0 absoluto (vacío total o
100% de vacío) y las presiones relativas con relación a la atmósfera.
La mayoría de los manómetros están construidos de manera que miden
presiones relativas con relación a la atmósfera local. Para hallar la presión
absoluta con exactitud habrá que sumar a la presión leída en el manómetro la
presión local exactamente con un barómetro. De aquí resulta
…….. (1.4)
Donde
Presión absoluta
Presión relativa (medida con manómetro)
Mecanismo de daño por cavitación

Presión atmosférica, presión ambiente o presión barométrica (medida
con un barómetro)
La ecuación anterior puede representarse gráficamente en la figura 4, donde se
abarcan las presiones ya mencionadas5.

Figura 4

1.3 LEY DE DALTON
La ley de Dalton para las presiones parciales establece que la presión total de
una mezcla, p, es la suma de las presiones que cada gas ejercería si ocupara
por si solo el recipiente de volumen V a la temperatura T.
Esto es rigurosamente válido sólo en el caso de los gases ideales. El
enunciado algebraico de la ley de Dalton de las presiones parciales es6:

5 Claudio Mataix.Mecánica de fluidos y máquinas hidráulicas, México, Oxford, 2004, p.p.39-40.
Mecanismo de daño por cavitación

……. (1.5)
…….. (1.6)
…….. (1.7)

1.4 PRESIÓN DE VAPOR
Todo líquido, a cualquier temperatura arriba de su punto de congelación, ejerce
una presión debida a la formación de vapor en su superficie libre. Esta presión,
conocida como presión de vapor del líquido, es función de la temperatura del
líquido: mientras más alta sea la temperatura, mayor será la presión de vapor.
En cualquier sistema de bombeo, la presión en cualquier punto nunca debe
reducirse más allá de la presión de vapor correspondiente a la temperatura del
líquido, porque el líquido formará vapor que puede, parcial o totalmente, hacer
que cese el flujo del líquido en la bomba.

1.5 DENSIDAD
La densidad de un fluido se define como su masa por unidad de volumen.
Para definir la densidad en un punto, la masa de un fluido contenido en un
volumen pequeño que rodea dicho punto se divide por y se toma el6 M. David Burghardt. Ingeniería Termodinámica, México, Harla, 1991, p.p. 271-272
Mecanismo de daño por cavitación

límite a medida que tiende a ser el valor , en el cual, es todavía grande
comparado con la distancia media entre las moléculas7
…….. (1.8)

1.6 TENSIÓN SUPERFICIAL
En la interface entre un líquido y un gas, o dos líquidos no miscibles, parece
formarse una película en el líquido, aparentemente debida a la atracción de las
moléculas del líquido por debajo de la superficie.
La formación de esta película puede visualizarse con base en la energía
superficial o el trabajo por unidad de área requerido para llevar las moléculas a
la superficie. La tensión superficial entonces es la fuerza de tensión requerida
para formar la película, obtenida dividiendo el término e, energía superficial por
unidad de longitud de la película en equilibrio.
La acción de la tensión superficial es incrementar la presión dentro de una
pequeña gota de líquido o dentro de un pequeño chorro de líquido. Para una
pequeña gota esférica de radio r, la presión interna p necesaria para balancear
la fuerza de tensión debida a la tensión superficial se calcula en función de
las fuerzas que actúan sobre un cuerpo libre semiesférico,
ó …….. (1.9)

7 Streeter op. cit., pág. 12.

Mecanismo de daño por cavitación

Para un chorro cilíndrico de radio r, se puede aplicar la ecuación de tensión
superficial:
…….. (1.10)
Ambas ecuaciones muestran que la presión se incrementa para radios muy
pequeños tanto de la gota como del cilindro8.
1.7 NÚMERO DE REYNOLDS
Relaciona las fuerzas de inercia y las viscosas. Determina la naturaleza del
flujo, laminar o turbulento, bajo los parámetros que se muestran en la tabla 1.

Tabla 1

El flujo laminar se caracteriza porque las partículas se mueven siguiendo
trayectorias separadas perfectamente definidas (no necesariamente paralelas),
sin existir mezcla macroscópica o intercambio transversal entre ellas.
En un flujo turbulento, las partículas se mueven con trayectorias muy erráticas,
sin seguir un orden establecido, presentando diversas componentes de la
velocidad en direcciones transversales entre sí, que originan un mezclado

8 Streeter op. cit., p.p. 20-21.
Re<500 Flujo laminar
500<Re<2000 Flujo de transición
2000<Re Flujo turbulento
Mecanismo de daño por cavitación

intenso de las partículas. En la figura 5 se muestra el comportamiento de estos
dos flujos.

Un número de Reynolds grande indica una superioridad marcada de las
fuerzas de inercia sobre las fuerzas viscosas (flujo turbulento), condiciones bajo
las cuales la viscosidad tiene escasa importancia. Por el contrario, si el número
de Reynolds presenta un valor muy bajo, entonces las fuerzas viscosas son las
que rigen el desempeño del flujo (flujo laminar). Mediante la expresión que se
muestra a continuación podemos determinar el número de Reynolds:
…….. (1.11)
Donde
Número de Reynolds
Velocidad de flujo
Diámetro

Figura 5

Mecanismo de daño por cavitación

Viscosidad cinemática
El número de Reynolds es un valor exclusivo utilizado para caracterizar el flujo
que se genera en tuberías, para poder aplicarlo a un flujo en un canal abierto
es necesario realizar algunas adecuaciones. Para ello es factible considerar en
lugar del diámetro de la tubería, el radio hidráulico (RH) de la sección en la cual
fluye el gasto
…….. (1.12)
Para calcular el radio hidráulico, se utiliza la siguiente ecuación
…….. (1.13)
Donde
Radio hidráulico
Área hidráulica de la sección
Perímetro mojado de la sección

El número de Reynolds es un parámetro fundamental para determinar las
pérdidas por fricción que se generan en conductos a presión, así como también
para modelar el comportamiento del flujo.

Mecanismo de daño por cavitación

1.8 NÚMERO DE WEBER
Es el parámetro adimensional de semejanza en los problemas con predominio
de la tensión superficial, el cual es9

…….. (1.14)
Donde
Velocidad característica
Longitud característica
Tensión superficial

1.9 CARGA NETA POSITIVA DE SUCCIÓN
La carga neta positiva de succión o NPSH por sus siglas en ingles, se utiliza
frecuentemente para especificar las condiciones de succión mínima para una
turbomaquinaria. Ésta se define como10
…….. (1.15)
Donde el signo positivo de es para turbinas y el signo negativo es para
bombas. Se hace una prueba sobre la máquina para determinar el máximo

9 Mataix op. cit., pág. 178.
10 Streeter op. cit., pág. 536

Mecanismo de daño por cavitación

valor de para una operación sin deterioro de la eficiencia y sin producir ruido
o daños inconvenientes. Luego de esta prueba se calcula el NPSH utilizando la
ecuación anterior. Cualquier montaje de esta máquina donde la elevación de
succión sea menor que , calculado en la ecuación, es aceptable. Nótese que
es positivo cuando el tanque de succión se encuentra por debajo de la
turbomáquina, como en la figura 2.

1.10 VISCOSIDAD DINÁMICA
La viscosidad es aquella propiedad del fluido mediante la cual éste ofrece
resistencia al esfuerzo cortante. La ley de viscosidad de Newton establece que
para una tasa dada de deformación angular del fluido, el esfuerzo cortante es
directamente proporcional a la viscosidad. Esto es
…….. (1.16)
Donde:
Esfuerzo cortante
Tasa de deformación angular del fluido
Viscosidad dinámica del fluido

Mecanismo de daño por cavitación

1.11 VISCOSIDAD CINEMÁTICA
Es la viscosidad dinámica referida a la densidad, o sea la relación de la
viscosidad dinámica a la densidad
…….. (1.17)

1.12 FLUIDO NEWTONIANO
Un fluido newtoniano es aquel fluido cuya viscosidad dinámica depende de la
presión y de la temperatura, pero no del gradiente de velocidad . Fluidos
newtonianos son el agua, el aire, la mayor parte de los gases y en general, los
fluidos de pequeña viscosidad.

1.13 COMPRESIBILIDAD
En los fluidos lo mismo que en los sólidos se verifica la ley fundamental de la
elasticidad (el esfuerzo unitario es proporcional a la deformación unitaria). En
nuestro caso, el esfuerzo unitario considerado es el de compresión, la
deformación unitaria es la deformación unitaria de volumen . Por lo
tanto, la ley anterior se traduce en la fórmula siguiente
…….. (1.18)

Mecanismo de daño por cavitación

Donde
Esfuerzo unitario de compresión
Volumen específico
Módulo de elasticidad volumétrica. El signo (-) expresa que a un
incremento de presión corresponde un decremento (o menos
incremento) de volumen
Es, sin embargo, necesario hacer notar que existen innumerables problemas
que se resuelven aceptablemente en ingeniería, suponiendo que el fluido es
incompresible; sea el caso de los líquidos.

1.14 MÁQUINAS HIDRÁULICAS
Las máquinas hidráulicas pertenecen al grupo de las máquinas de fluido, que
son aquellas máquinas en que el fluido, o bien proporcionan energía que
absorbe la máquina o bien aquellas en que el fluido es el receptor de energía,
al que la máquina restituye la energía mecánica absorbida.
En toda máquina de fluido hay un intercambio entre la energía de fluido y
energía mecánica.
Las máquinas de fluido se clasifican en máquinas hidráulicas y máquinas
térmicas.
Máquina hidráulica es aquella en que el fluido que intercambia su energía no
varía sensiblemente de densidad en su paso a través de la máquina, por lo cual
en el diseño y estudio de la misma se hace la hipótesis de que
Mecanismo de daño por cavitación

Máquina térmica es aquella en que el fluido en su paso a través de lamáquina
varía sensiblemente de densidad y volumen específico, el cual en el diseño y
estudio de la máquina ya no puede suponerse constante.
Para clasificar las máquinas hidráulicas se atiende al órgano principal de la
máquina, o sea, al órgano en que se intercambia la energía mecánica en
energía de fluido o viceversa. Este órgano, según los casos, se llama rodete,
émbolo, etc.
Las máquinas hidráulicas se clasifican en turbomáquinas y máquinas de
desplazamiento positivo.
En las máquinas de desplazamiento positivo, también llamadas máquinas
volumétricas, el órgano intercambiador de energía cede energía al fluido o el
fluido a él en forma de energía de presión generada por la variación de
volumen. Los cambios en la dirección y valor absoluto de la velocidad del fluido
no juegan papel esencial alguno.
En las turbomáquinas, denominadas también máquinas de corriente, los
cambios en la dirección y valor absoluto de la velocidad del fluido juegan un
papel esencial.
Las turbomáquinas y máquinas de desplazamiento positivo se subdividen en
motoras y generadoras. Las primeras absorben energía del fluido y restituyen
energía mecánica; mientras que las segundas absorben energía mecánica y
restituyen energía al fluido.

Mecanismo de daño por cavitación

1.15 IMPULSO LINEAL
Es la cantidad vectorial que mide el efecto de la fuerza durante el tiempo que
ésta actúa. Como el tiempo es un escalar positivo, el vector del impulso actúa
en la misma dirección que la fuerza, y se define por11
…….. (1.19)
Donde:
Impulso
Fuerza aplicada
Diferencial de tiempo

1.16 PROCESO ISOENTRÓPICO
Proceso termodinámico donde la entropía permanece constante, por lo que12
…….. (1.20)
Donde:
Presión
Volumen
Constante isoentrópica (k=1 cuando la temperatura es constante)

11 R.C. Hibbeler, Ingeniería Mecánica Dinámica, México, Pearson Education, 2004, pág. 190
12 Burghardt op. cit., pág. 110
Mecanismo de daño por cavitación

1.17 CARGA AXIAL
Considerando la siguiente barra, elemento sujeto a dos fuerzas actuando en los
extremos, están dirigidos a lo largo del eje de la varilla. Decimos entonces que
la varilla está cargada axialmente.
Si se realiza un corte, observamos que la fuerza interna N se distribuye
uniformemente porque:
La sección está lo suficientemente alejada del punto de aplicación P.
La resultante de la fuerza interna N pasa a través del centroide de la
sección.
El material es homogéneo
No hay cambios de sección a lo largo de la barra

Entonces el esfuerzo normal nos da fuerza por unidad de área
…….. (1.21)

Mecanismo de daño por cavitación

Figura 6

Donde
Esfuerzo normal
Área transversal
Fuerza aplicada

1.18 ESFUERZO CORTANTE
Las fuerzas internas estudiadas en la sección anterior y los esfuerzos
correspondientes, eran perpendiculares a la sección considerada.
Se obtiene un tipo muy diferente de esfuerzo cuando se aplican fuerzas
transversales al elemento.
Mecanismo de daño por cavitación

Figura 7

Entonces el esfuerzo cortante se expresa como
…….. (1.22)

Donde
Esfuerzo cortante
Área de la sección de corte (paralela a la fuerza P)
Fuerza aplicada

Mecanismo de daño por cavitación

1.19 MICROESTRUCTURA
El término estructura indica el arreglo atómico de un material. La
microestructura es la estructura del material a una escala de longitud de ~10 a
1000nm. La escala de longitud es una longitud o intervalo de dimensiones
características dentro de la que se describen las propiedades de un material o
los fenómenos que suceden con los materiales.
Algunos materiales pueden ser:
Cristalinos. Los átomos del material se ordenan en forma periódica
Amorfos. Donde los átomos del material no tienen orden en gran escala
Algunos materiales cristalinos pueden estar en forma de un cristal y se llaman
monocristales. Otros están formados por muchos cristales o granos y se
llaman policristalinos. Las características de los cristales o granos (tamaño,
forma, etc.) y la de las regiones entre ellos, llamadas límites de grano, influyen
también sobre sus propiedades.

1.20 DEFORMACIÓN UNITARIA
Se define como el cambio de dimensión por unidad de longitud. La deformación
unitaria no tiene dimensiones y con frecuencia se expresa en in/in o en cm/cm.

1.21 DEFORMACIÓN ELÁSTICA
Es la deformación restaurable debido a un esfuerzo aplicado. La deformación
es elástica si se desarrolla en forma instantánea; es decir, se presenta tan
Mecanismo de daño por cavitación

pronto como se aplica la fuerza, permanece mientras se aplica el esfuerzo y
desaparece tan pronto como se retira la fuerza. Un material sujeto a una
deformación elástica no muestra deformación permanente.

1.22 DEFORMACIÓN PLÁSTICA
La deformación permanente de un material se llama deformación plástica. En
este caso, cuando se quita el esfuerzo, el material no regresa a su forma
original.

1.23 FATIGA
La fatiga es la disminución de la resistencia de un material debida a esfuerzos
repetitivos, que pueden ser mayores o menores que la resistencia a la
cedencia. Es un fenómeno común en componentes que están sujetos en forma
constante a cargas repetitivas en forma de tensión, compresión, flexión,
vibración, dilatación térmica y contracción u otros. Estos esfuerzos con
frecuencia son menores que la resistencia de cedencia del material. Sin
embargo, cuando el esfuerzo se aplica una cantidad suficiente de veces, causa
falla por fatiga. La fatiga puede presentarse aún cuando los componentes se
sometan a esfuerzos arriba de la resistencia de cedencia. Un componente se
somete, con frecuencia, a la aplicación repetida de un esfuerzo menor que la
resistencia de cedencia del material.

Mecanismo de daño por cavitación

1.24 ENSAYO DE TENSIÓN
Este ensayo mide la resistencia de un material a una fuerza estática o aplicada
lentamente. En la figura se muestra un arreglo del ensayo; una probeta
estándar (0.505 in de diámetro y longitud calibrada de 2 in) se coloca en la
máquina de prueba y se aplica una fuerza F, llamada carga. Para medir la
cantidad que se estira el espécimen entre las marcas de calibración cuando se
aplica la carga, se usa un extensómetro o galga extensométrica. Así, lo que se
mide es el cambio de longitud del espécimen, en una longitud determinada,
En ese ensayo de tensión, se puede obtener información acerca de la
resistencia, el módulo de Young y la ductilidad del material13.

Figura 8

1.25 ESFUERZO Y DEFORMACIÓN INGENIERILES
Estos se definen por las siguientes ecuaciones14:

13 Donald R. Askeland, Pradeep P. Phulé, Ciencia e ingeniería de los materiales, México,
Thomson Learning, 2005, pp. 240-241
14 Askeland op. cit., pág 242.
Mecanismo de daño por cavitación

…….. (1.23)
…….. (1.24)
Donde
Área de la sección transversal original del espécimen antes que
comience el ensayo
Distancia original entre las marcas de calibración
Elongación después de haber aplicado la fuerza
Del ensayo de tensión se obtiene:
Límite de proporcionalidad. Se define como el valor del esfuerzo arriba
del cual la relación entre esfuerzo y deformación ingenieriles no es
lineal.
Resistencia a la cedencia. Ya que el valor del límite elástico y del límite
de proporcionalidad no se pueden determinar con precisión, se define un
valor convencional de deformación plástica del 0.2%. A continuación se
traza una recta comenzando en este valor desplazado, paralela a la
parte lineal de la curva esfuerzo-deformación ingenieril. El valor de
esfuerzo que corresponde al cruce de esta recta y la curva de esfuerzo-
deformación ingenieril se ledefine como la resistencia a la cedencia.
Punto de fluencia. Es la transición que presentan algunos materiales de
deformación elástica a flujo plástico de forma abrupta. En estos
materiales, al comenzar la deformación plástica, el valor del esfuerzo
Mecanismo de daño por cavitación

baja primero desde el punto de fluencia superior ( ). El valor del
esfuerzo sigue decreciendo y oscila en torno a un valor promedio que se
define como punto de fluencia inferior ( ).
Resistencia a la tensión. Es el esfuerzo obtenido con la máxima fuerza
aplicada, también llamada resistencia a la tracción ( ), que es el
esfuerzo máximo en la curva esfuerzo-deformación ingenieril.
Módulo de elasticidad. También conocido como módulo de Young (E),
es la pendiente de la curva esfuerzo-deformación unitaria en la región
elástica. Esta relación es la ley de Hooke
…….. (1.25)
Módulo de resiliencia ( ). Es el área contenida bajo la parte elástica de
una curva de esfuerzo-deformación ingenieril, es la energía elástica que
absorbe un material durante la carga y que después se desprende,
cuando se quita la carga.
Ductilidad. La ductilidad mide la cantidad de deformación que puede
resistir un material sin romperse.
Elongación porcentual. Describe la deformación plástica antes de la falla

…….. (1.26)

Mecanismo de daño por cavitación

Donde
Distancia entre las marcas de calibración después de que se ha
roto el espécimen
Reducción porcentual de área. Describe la cantidad de adelgazamiento
que sufre el espécimen durante el ensayo en dicho punto15:

…….. (1.27)

Donde
Área final transversal en la superficie de fractura

Figura 9

15 Askeland op. cit., pág 250
Mecanismo de daño por cavitación

1.26 DUREZA
La dureza es la resistencia a la penetración y al rayado. Hay varios ensayos de
dureza, de los cuales los más comunes son:
Brinell (HB). En éste, se comprime una esfera de acero duro, por lo
general de 10 mm de diámetro, contra la superficie del material y se
mide el diámetro de la impresión.
Rockwell (HR). Usa una bola de acero de pequeño diámetro, para
materiales blandos, y un indentador de diamante, para los materiales
más duros. Se puede usar para medir la dureza de una película dura
que envuelve un núcleo blando, solo variando la carga.
Vickers (HV). Es una prueba de dureza de materiales solo homogéneos,
pues de lo contrario la punta de diamante se rompe. Este ensayo es
usado para medir dureza que los otros sistemas les queda en el extremo
superior de sus escalas, y para microdureza.

Figura 10

Mecanismo de daño por cavitación

1.27 TRABAJO EN FRÍO
Es la deformación de un metal por debajo de su temperatura de
recristalización. El trabajo en frío es acumulativo, ya que aumentan el número
de dislocaciones en el material, aumentando su dureza y por ende, haciéndolo
más frágil conforme se añade más trabajo en frío. Esto sucede cuando se
aplica un esfuerzo mayor que la resistencia a la cedencia original del material
metálico.
Las dislocaciones son imperfecciones lineales en un cristal que de otra manera
sería perfecto. Se suelen introducir en el cristal durante la solidificación del
material o cuando el material se deforma permanentemente.

Figura 11

Mientras se puedan mover las dislocaciones, se puede deformar plásticamente
el material, cuando ya no se puede deformar es porque las dislocaciones ya no
pueden moverse, ya sea porque queda anclada en alguna impureza o cualquier
otro defecto del material, entonces el material se endurece, se fragiliza y
finalmente se fractura.

Mecanismo de daño por cavitación

1.28 ANÁLISIS ESPECTRAL
Análisis se refiere a la acción de descomponer algo complejo en partes simples
o identificar en ese algo complejo las partes más simples que lo forman. Una
fuente de ondas sonoras puede ser una superposición de frecuencias
diferentes. Cada frecuencia estimula una parte diferente de nuestra cóclea
(caracol del oído). Cuando escuchamos una onda sonora con una sola
frecuencia predominante escuchamos una nota. Pero en cambio un silbido
cualquiera o un golpe repentino que estimule todos los receptores, diremos que
contiene frecuencias dentro de todo el rango audible. Muchas cosas en nuestro
entorno que calificamos como ruido frecuentemente contienen frecuencias de
todo el rango audible..Un proceso que cuantifique las diversas intensidades de
cada frecuencia se llama análisis espectral.
Matemáticamente el análisis espectral está relacionado con una herramienta
llamada transformada de Fourier o análisis de Fourier. Ese análisis puede
llevarse a cabo para pequeños intervalos de tiempo, o menos frecuentemente
para intervalos largos

1.29 DENSIDAD ESPECTRAL
La densidad espectral de una señal es una función matemática que nos
informa de cómo está distribuida la potencia o la energía de dicha señal sobre
las distintas frecuencias de las que está formada, es decir, su espectro. Se
expresa en para energía y en para potencia.
http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%B3clea
http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier
Mecanismo de daño por cavitación

CAPÍTULO II

COLAPSO DE LAS BURBUJAS DE CAVITACIÓN
Mecanismo de daño por cavitación

2.1 NUCLEACIÓN EN FLUJO DE LÍQUIDOS
Para que ocurra la cavitación en flujo de líquidos se requiere de regiones donde
la presión caiga por debajo de la presión de vapor. Para explicar este
fenómeno, consideramos un flujo líquido de tipo newtoniano, de densidad
constante , velocidad y presión . Donde tenemos la velocidad de
referencia del líquido y presión de flujo externo alrededor del sólido .
Entonces el coeficiente de presión que es la relación de la presión con respecto
a la presión dinámica queda:

…….. (2.1)

Y es independiente de para una geometría dada de las fronteras del flujo
macroscópico. Hay regiones, dentro del flujo donde y son mínimos, por
lo que el valor de será denotado convenientemente por .

El efecto de la viscosidad dentro del flujo es representado por el número de
Reynolds. Para una geometría dada, y están en función
únicamente de Re. En flujos ideales, no viscosos y sin fricción solo aplica
Bernoulli y y sólo dependen de las fronteras del flujo. El valor de
se obtiene experimentalmente.

Mecanismo de daño por cavitación

Como se hablo anteriormente, tenemos el número de cavitación dado por

…….. (2.2)

Cualquier flujo, cavite o no, posee un valor de . Si es lo suficientemente
grande ( ó suficientemente pequeño), permanecerá en estado
líquido. Pero al reducirse la nucleación ocurrirá en un valor de llamado
número de cavitación incipiente Si este valor sigue reduciéndose por debajo
de , se tendrá un incremento en el número y extensión de las burbujas
generadas.

En un flujo hipotético donde hay aparición de burbujas instantáneamente
cuando p alcanza , entonces

…….. (2.3)

Para ejemplificar esto, obsérvese la figura 12, donde la nucleación se desplaza
a través de una trayectoria en una línea que contiene . Para la
presión a lo largo de la trayectoria entera es mayor a . Para el
núcleo se encuentra en solo por un momento infinitesimal. Para
el núcleo experimenta por un tiempo finito16.
Sin embargo, en la realidad, es diferente del valor de por:

16 Christopher Earls Brennen, Cavitation and bubble Dynamics, Oxford University Press, 1995,
pág. 36

Mecanismo de daño por cavitación

Existencia de gases contaminantes en el líquido que incrementan a ,
la dependencia de en el número de Reynolds pueden causar que
sea función de Re,
la turbulencia incrementaa .

Figura 12

Si fuese por estos efectos, calcular se reduciría al hecho de obtener el valor
de . Sin embargo, esto provoca grandes diferencias del criterio de
.

2.2 CAVITACIÓN EN VÓRTICE

En números altos de Reynolds se generan regiones donde se concentran
vórtices en los cuales la presión en el núcleo del remolino es más pequeña que
en el resto del fluido. Este tipo de cavitación sucede comúnmente en
Mecanismo de daño por cavitación

propulsores de barcos e impulsores de bombas. Entonces el origen de este tipo
de cavitación se da en el remolino, y con la disminución de número de
cavitación el núcleo entero del vórtice se llena de vapor. Al seguir bajando ,
la cavitación aparece sobre la superficie de reacción hidráulica.
Por ejemplo, en la figura 13 se presenta un modelo a escala del impulsor de
una turbobomba de LOX (oxígeno líquido), que presenta cavitación con una
en la superficie de reacción hidráulica17

Figura 13
En la figura 14 se muestra el caso cuando esta forma de cavitación aparece en
las orillas de los álabes de los propulsores donde se genera una estructura
estable de flujo a lo largo de la geometría del mismo18.

17 Christopher Earls Brennen op. cit. pág. 118

18 Christopher Earls Brennen op. cit. pág. 118

Mecanismo de daño por cavitación

Figura 14

2.3 NUBE DE CAVITACIÓN

La estructura conocida como nube de cavitación es la formación y colapso de
una nube de burbujas, la cual tiene propiamente una gran población de
burbujas de cavitación, como se observa en la figura 15. Este tipo de cavitación
es efecto directo de la cavitación de vórtice y es debido a perturbaciones
periódicas en el flujo, como por ejemplo, la interacción entre los álabes del rotor
y el estator de bombas y turbinas o la interacción entre la estela generada por
el barco de un casco y su propulsor.
En esta nube de cavitación se presenta una periodicidad temporal en el
colapso de las cavidades, generando mucho más daño y ruido en comparación
a un flujo que no interactúe de esta manera19.

19 Christopher Earls Brennen op. cit. pág. 94

Mecanismo de daño por cavitación

Figura 15

2.4 MECANISMO DE IMPLOSIÓN DE RAYLEIGH

Este trabajo fue el primer análisis teórico realizado acerca de la implosión de
las burbujas de cavitación, y es aún la base para estudios más profundos, se
basó en un problema planteado por Besant, que enuncia:
“Una masa infinita de un fluido homogéneo incompresible en el cual no actúa fuerza alguna en
reposo, y una porción esférica del fluido es de pronto aniquilada, se requiere encontrar la
alteración instantánea de la presión en cualquier punto de la masa, y el tiempo en el cuál la
cavidad será rellenada, la presión a la distancia infinita se supone permanece constante.”20
Consideró primeramente una cavidad esférica aislada de radio R(t), donde t es
el tiempo, colapsando en una masa infinita de fluido homogéneo incompresible

20 Charl F. Naudé, On the mechanism of cavitation damage by non-hemispherical cavities
collapsing in contact with a solid boundary, California , California Institute of Technology, 1960,
pág. 2
Mecanismo de daño por cavitación

con una presión y temperatura constante y uniforme p∞(t) y T∞ respectivamente
(véase la figura 16)21.

Figura 16

Aunque la compresibilidad del líquido puede ser importante en el contexto del
colapso de la burbuja, se considerará, para este caso, que la densidad del
líquido ρL es constante. Además, que la viscosidad dinámica, μL es constante y
uniforme.
La distancia r denota la posición radial dentro del líquido al centro de la burbuja.
También se asignan la presión p(r, t), la velocidad radial fuera de la burbuja u(r,
t) y la temperatura, T(r, t).
Al reducirse el volumen V, la energía total, que es la suma de las energías
cinética y potencial T+V, se convierte en una energía inicial potencial,
representada principalmente por el segundo término de la derecha de la
ecuación (2.4)22
…….. (2.4)

21 Christopher Earls Brennen op. cit. pág. 48
22 T.B. Benjamin, A.T. Ellis, The Collapse of Cavitation Bubbles and the Pressures thereby
Produced Against Solid Boundaries , pp. 221-240.
Mecanismo de daño por cavitación

Donde:
V Energía potencial
V Volumen de la cavidad
Presión al infinito, asumida constante
Presión en el interior de la cavidad
F Fuerza externa ejercida sobre la burbuja
En este caso, se considera que no actúa ninguna fuerza externa sobre la
cavidad y la gravedad se considera muy pequeña, por lo que el primer término
de la derecha de la ecuación (2.4) es despreciable.
Hay una transformación a energía cinética por el movimiento radial, hasta que
finalmente hay una rápida reconversión a energía potencial cuando la presión
del contenido comprimido de la cavidad crece a niveles tan altos que el
término final de (1) se vuelve predominante.
La velocidad a la cual decrece el radio viene dada por:

…….. (2.5)

Mecanismo de daño por cavitación

Donde:
Primera derivada con respecto al tiempo de R
Densidad del líquido
Presión parcial del gas en el interior de la burbuja
Constante isoentrópica del gas
Tensión superficial
Radio original de la cavidad
Presión de vapor

Se considera que el comportamiento del gas en la burbuja es politrópico por lo
que
…….. (2.6)
Donde k es aproximadamente constante, claramente implica una
temperatura constante de la burbuja y modela un comportamiento
adiabático.
Se considera un proceso politrópico porque durante el crecimiento de la
burbuja de vapor el gas juega un rol poco importante y además el vapor
tenderá a determinar la temperatura de la burbuja. Además, durante las últimas
fases del colapso, cuando el gas predomina, la velocidad es muy alta, así que
al asumir la constante adiabática de es apropiada. Además de que una
Mecanismo de daño por cavitación

burbuja colapsando pierde su forma esférica, los movimientos internos de gas
generaran mezclas, por lo que, automáticamente quedan negados los modelos
basados en simetrías esféricas más sofisticados.

La presión máxima es:

…….. (2.7)

El radio mínimo en la cual se genera la máxima presión está definido por:
…….. (2.8)

La temperatura máxima del gas viene dada por23:
…….. (2.9)

23 Christopher Earls Brennen op. cit. pág. 57
Mecanismo de daño por cavitación

Nótese la importancia de la presencia de gas dentro de la cavidad. Si
consideráramos que ésta se encuentra completamente vacía ( ), la
velocidad, así como la presión alcanzada al colapsar la burbuja, sería
indefinidamente grande al igual que la temperatura y el radio mínimo alcanzado
sería cero, todo lo cual es físicamente inaceptable y fue uno de los principales
problemas de la solución de Rayleigh. Es por ello que al modelo se le incorpora
una pequeña cantidad de gas insoluble dentro de la cavidad, la cual
teóricamente frena el movimiento interno de la burbuja y provoca en ésta un
“rebote”. Esto puede ser observado en la siguiente fotografía24, tomada durante
el colapso (A,B) y el rebote (C,D ) de una cavidad alejada de cualquier frontera
sólida y en intervalos entre cada imagen de 2 ms.

Figura 17
En condiciones típicas, la duración del pulso de presión proveniente de una
sola burbuja colapsando en agua es de alrededor de . Aunque la teoría
indica que se pueden lograr presiones mayores (del orden de 106 atm), el24 T.B. Benjamin, A.T. Ellis op. cit. pág. 235 placa 2
Mecanismo de daño por cavitación

modelo se vuelve poco realista pues requiere de un radio de la cavidad
demasiado pequeño (véase ecuación (4)), y experimentalmente solo se ha
obtenido evidencia de presiones en el centro de la implosión de 104 atm, la cual
es una magnitud enorme, a tal grado que pueden llegar a generar el fenómeno
de sonoluminiscencia, en el cual el fluido genera un destello luminoso (además
de temperaturas cercanas a los 1000 °K).
Los altos valores de presión predichos por la teoría de Rayleigh solo ocurren
cuando una cavidad se ha encogido a un tamaño extremadamente pequeño, y
la amplitud de la onda de presión irradiada disminuye con la distancia radial
relativa r/R tan rápido como (r/R)-1.

2.5 RUIDO POR CAVITACIÓN
La violenta implosión de las burbujas resulta en la producción de ruido. El ruido
es consecuencia de las grandes presiones momentáneas generadas cuando el
contenido de la burbuja es altamente comprimido. Considere el flujo en el
líquido causado por el volumen desplazado por una cavidad que implota, para
la componente variante en el tiempo de la presión es dada por:
…….. (2.10)
Donde es la presión acústica radiada y denotamos la distancia, r, del centro
de la cavidad al punto de medida por . Como el ruido es directamente
proporcional a la segunda derivada del volumen con respecto al tiempo, es
claro que el ruido generado en el colapso de la burbuja ocurre cuando tenemos
Mecanismo de daño por cavitación

el valor más grande y positivo de , o sea, cuando la burbuja está a su
tamaño mínimo.
El ruido característico que acompaña la cavitación es una de las más evidentes
características de este fenómeno para investigadores como para ingenieros. El
inicio de la cavitación es generalmente detectado primero por el ruido que por
inspección visual. Incluso, se han desarrollado métodos para detectar y estimar
el daño por cavitación midiendo el ruido generado.
Por ejemplo, en la siguiente figura se muestra la gráfica del espectro de la
potencia acústica del modelo de una válvula operando bajo condiciones de no-
cavitación25 ( ) y cavitación (

Figura 18

25 Christopher Earls Brennen op. cit. pág. 96

Mecanismo de daño por cavitación

2.6 COMPRESIBILIDAD DE LÍQUIDO EN EL MODELO DE IMPLOSIÓN
Como se mencionó anteriormente, Rayleigh consideró un líquido incompresible
para su análisis, sin embargo, estudios posteriores han mostrado que la
compresibilidad tiene una influencia moderada en el colapso de la cavidad, en
el sentido de que una gran parte de la energía disponible puede ser
almacenada en una onda de compresión hasta que finalmente el movimiento
interior de la cavidad es frenado; así que la concentración de energía hacia el
centro de la cavidad es menos intenso que en un líquido incompresible. Así, el
pulso de presión irradiado del centro de la burbuja tomará la forma de onda de
choque.
La onda de choque no se forma durante el colapso, sino que puede aparecer
ya sea después de que la cavidad llena de gas comienza a rebotar o cuando
una cavidad vacía finalmente colapsa.

2.7 PERTURBACIONES A LA GEOMETRÍA ESFÉRICA
Todo el análisis anterior asume el ideal de que la cavidad permanece
perfectamente esférica, sin embargo, según demostró Birkhoff, Plesset y
Mitchel, la forma esférica de una cavidad colapsando es inestable a pequeñas
perturbaciones. Sin embargo, el análisis de la cavidad esférica es el que
proporciona el máximo posible de consecuencias del colapso de la burbuja en
términos de temperatura, presión y potencial de daño.
El punto que se desea enfatizar es que probablemente cualquier cavidad que
produzca daño debe, en la práctica, durante el colapso, estar demasiado cerca
Mecanismo de daño por cavitación

a la frontera sólida para que se mantengan durante el trayecto la simetría
esférica.
Véase la figura 19, donde se presentan cuatro imágenes representativas del
colapso de una cavidad bastante cerca de la frontera sólida, la cual su distancia
al centro de la cavidad a su máximo tamaño, mostrado en la primer imagen, es
de 1 a 3 veces el radio. La segunda foto, tomada 5 ms después de la segunda,
muestra la cavidad deformada en la dirección normal al comenzar el colapso.
En la tercer toma, 9 ms después de la primera, la cavidad tiene una involución
del lado opuesto a la pared, y en la última foto, 10 ms después de la primera, la
cavidad toma una forma toroidal.
La cavidad toma forma de toroide debido a que se forma una circulación de
líquido, para mantener el impulso generado por la implosión, esto es porque la
cavidad que colapsa adquiere movimiento de translación relativo al líquido que
lo rodea. Se forma un “jet” por involución en la parte trasera de la cavidad y un
agujero que finalmente le da la forma de toroide26.

26 T.B. Benjamin, A.T. Ellis op. cit. pág. 238, placa 3
Mecanismo de daño por cavitación

Figura 19
En la figura 20 la cavidad crece a una distancia de 1.5 mm de la pared, lo cual
es muchísimo más cercano que en la secuencia anterior27.
Las tres primeras fotos de la fila superior cubre la fase temprana del
crecimiento de la cavidad, donde la pared no tiene ningún efecto considerable.
En la segunda fila son una fase cubierta 6 ms después, muestra la cavidad de
una forma casi hemisférica. La siguiente fila es tomada en el mismo intervalo,
donde la cavidad toma una forma de estratificada. La secuencia de las últimas
dos filas abarca la fase final del colapso a intervalos de 0.2 ms.

27 T.B. Benjamin, A.T. Ellis op. cit. pág 236, placa 5
Mecanismo de daño por cavitación

Figura 20
En la geometría esférica de la cavidad, la tensión superficial tiene un papel
estabilizador, así como la presión del gas, deduciéndose los siguientes
parámetros:

…….. (2.11)
…….. (2.12)

Mecanismo de daño por cavitación

cuales representan los efectos de la superficie de tensión y el gas contenido en
la burbuja sobre la esfericidad de la cavidad, respectivamente.
Sin embargo, cuando el movimiento de translación de la cavidad es lo
suficientemente grande como para enviar el centroide de la burbuja hacia la
frontera sólida, ésta pierde su geometría esférica. Sea la energía cinética :

…….. (2.13)

Donde M es la inercia, la energía es una propiedad del radio de
deformación, la coordenada axial del centroide del volumen desplazado y
un conjunto de parámetros que determinan la esfericidad de la cavidad, cuando
la cavidad es esférica es igual a cero.
Entonces, representa, en efecto el impulso autogenerado por la cavidad en un
marco de referencia de movimiento con el centroide, esto es, el impulso con el
cual la cavidad tiende a propulsarse a si misma desde su original marco de
inercia. Desde este punto de vista es necesario que la cavidad pierda
considerablemente su forma esférica para que sea lo suficientemente grande
y sus efectos sean apreciados.
Entonces, aparte del efecto de implosión, tenemos un impacto líquido en la
frontera sólida por el volumen desplazado al colapsar la burbuja, lo cual
genera un daño extra en el mecanismo de implosión de Rayleigh.
Mecanismo de daño por cavitación

El efecto de la geometría de la cavidad puede comprenderse mejor al analizar
la gráfica de la distancia de la cavidad contra la presión generada hacia la
frontera sólida (figura 21).

Figura 21
En esta gráfica encontramos dos puntos de interés, A y B, los cuales son
cavidades colapsando a la distancia dada de la frontera. Su secuencia de
imágenes son las figuras 22 y 23 respectivamente.Figura 22

Mecanismo de daño por cavitación

Figura 23

Se observa que la presión mínima es en el punto A, donde la burbuja apenas
toca la pared y colapsa sobre la superficie, sin embargo pierde rápidamente su
forma esférica. Lo contrario sucede en el punto B donde el colapso sucede a
una distancia mayor que en A pero la cavidad mantiene durante más tiempo la
forma esférica y por ende la presión generada es mayor.
Mecanismo de daño por cavitación

CAPÍTULO III

DAÑO PROVOCADO A LA FRONTERA SÓLIDA

Mecanismo de daño por cavitación

3.1 DESGASTE UNITARIO POR CAVITACIÓN
En las primeras fases de daño se observan dos tipos de picaduras:
Picaduras en cráter, las cuales se deben al colapso de una sola burbuja
de cavitación, por la simetría y la apariencia general que éstas
presentan.
Falla local por fatiga, picaduras superficiales e irregulares, causadas por
cargas repetidas de burbujas con menos energía. Se considera una
picadura en un solo evento puesto que el tamaño y la forma de las
picaduras no cambian en las pruebas posteriores.
En la figura 24 se presentan dos fotomicrografías donde se puede observar las
picaduras de tipo cráter y tipo falla local en un área de 46.5 milésimas de
pulgada, en pruebas realizadas con duraciones de 15 y 30 horas
respectivamente.
Mecanismo de daño por cavitación

Figura 24
Empíricamente, se puede calcular la profundidad de las picaduras de tipo cráter
como el 0.07 al 0.02 de su diámetro.
Ni la forma ni la profundidad de las picaduras cambia durante la prueba, lo cual
demuestra que el desgaste es generado en un solo evento.
La figura 25 muestra un cráter relativamente grande (con un aumento de 5x),
así como también numerosas picaduras de menor tamaño, formadas en acero
inoxidable por cavitación de mercurio en uno de los pasos de una bomba
centrífuga, después de 596 horas.
Mecanismo de daño por cavitación

Figura 25

Las observaciones en las picaduras de la figura anterior sugieren que en fases
tempranas se forman al azar, tanto en su localización como en su tamaño.
La existencia de daño previo no afecta la localización de nuevas picaduras, sin
embargo, como se muestra en la figura 26, una aleación columbio-1% zirconio
sometida a 50 horas de cavitación en mercurio a una velocidad de 48 ft/s, si el
daño es lo suficientemente extendido, entonces es posible que haya cavitación
localizada, un área de daño específico.
Mecanismo de daño por cavitación

Figura 26

3.2 ESPECTRO DE ENERGÍA DE LA BURBUJA
La densidad de picaduras se incrementa sin límite al reducirse el tamaño, lo
que sugiere un espectro de energía de la burbuja. Esto se expresa
gráficamente como:

Figura 27
Mecanismo de daño por cavitación

Donde la ordenada es el número de burbujas, que ceden una cantidad de
energía durante su colapso en la superficie del espécimen.
El número de burbujas aumenta al aumentar el grado de cavitación, pero su
energía, y por tanto, su capacidad de causar daño, disminuye.

3.3. PERIODO DE INCUBACIÓN
Se entiende por periodo de incubación el lapso inicial de daño por cavitación en
el cual no se puede observar daño alguno pero sin embargo se está
acumulando trabajo sobre la superficie afectada, lo cual al seguir siendo
sometido a estas condiciones suma el daño acumulado al daño provocado
posteriormente.
La aleatoriedad de las picaduras de tipo cráter nos indican que no existe un
periodo de incubación para este tipo de desgaste si es que nuestro método de
observación es lo suficientemente preciso.
Con los resultados obtenidos de exposiciones repetidas de materiales de
prueba en situaciones de cavitación, se gráfica el peso perdido contra el
tiempo, lo cual es un parámetro de erosión que se analizará con más detalle
posteriormente.
De tal gráfica se puede observar que la erosión no comienza desde el principio
de la prueba. Véase la figura 28.
El periodo de incubación es afectado por las condiciones de la superficie, por
ejemplo su rugosidad o la presencia de una capa más dura
Mecanismo de daño por cavitación

Solo existe un periodo de incubación en las picaduras de tipo de falla por fatiga.
De hecho, para este mecanismo específico, y en caso de que sea
predominante en el desgaste del material, la incubación es inminente.

Figura 28

3.4 PARÁMETROS DE EROSIÓN
La observación de los siguientes factores ha sido usada para estimar la
intensidad de erosión en materiales sólidos:
La profundidad de las picaduras.
Peso perdido del espécimen de prueba después de un periodo
específico,
Mecanismo de daño por cavitación

Volumen de material perdido en un cierto lapso,
Volumen perdido por unidad de área y por unidad de tiempo,
Duración de la prueba de un material específico para llegar a un cierto
grado de daño determinado visualmente.
Un parámetro no dimensional de erosión por cavitación es la relación entre la
energía requerida para desplazar el volumen de material descubierto durante la
prueba y la energía de la burbuja colapsando, esta última calculada
teóricamente por el modelo de implosión de Rayleigh.
El parámetro que relaciona el volumen del material perdido con la energía de
flujo perdida debido a la cavitación se conoce como el “parámetro de energía”.
De éste se obtiene el volumen de erosión por la fuerza aplicada, el cual es
…….. (3.1)
…….. (3.2)
Donde
Volumen de erosión por unidad de tiempo
Coeficiente de arranque de material por cavitación (adimensional)
Dimensión característica del perfil de prueba
Peso especifico del fluido cavitante
Velocidad de flujo
Mecanismo de daño por cavitación

Aceleración debida a la gravedad

Al calcular , resultan unidades de volumen por fuerza ( , con las
conversiones correspondientes en tiempo y volumen de erosión, pues debe
considerarse que el lapso antes y después de la prueba es de una hora y el
volumen de material perdido es muy pequeño), y el valor inverso nos da la
resistencia absoluta del material a la erosión en términos de la cantidad de
fuerza aplicada por unidad de volumen del material.
El volumen de erosión es:
…….. (3.3)
Donde:
Peso perdido del espécimen por la influencia de la cavitación
Tiempo del ensayo
Peso específico del material
El peso perdido se determina pesando el espécimen antes y después de la
prueba.
La función es caracterizada por al menos dos periodos de daño: el
periodo de incubación y el periodo donde el daño ya es visible. El periodo de
incubación no es tomado en cuenta al evaluar , sino que solo se considera el
periodo en el cual se comienza a perder material en el espécimen. Esto se
Mecanismo de daño por cavitación

entiende más claramente al observar la figura 28, donde (a) es el periodo inicial
o de incubación, y (b) presenta un estado desarrollado de daño por cavitación.

Figura 29
El efecto acumulativo tiene influencia en el daño en el segundo periodo, ya que
en el primero, el daño se presenta con la formación de picaduras superficiales
en los límites de grano.
La presencia de un punto crítico es claramente mostrado en la figura 29 donde
se grafica contra
Mecanismo de daño por cavitación

Figura 30
En la figura 30, la gráfica de demarca claramente un periodo de incubación.

Mecanismo de daño por cavitación

Figura 31

3.5 EFECTO DE LA VELOCIDAD DE FLUJO
La velocidad de flujo afecta la razón de daño por cavitación, pues este es
proporcional (aproximadamente) a la cuarta potencia de la velocidad.
Sin embargo, existe el concepto de “velocidad crítica” ( , debajo de la
cual, no existe erosión sobre la superficie.

Mecanismo dedaño por cavitación

Esto es:

Donde:
Velocidad de flujo
, y son constantes y son característicos de cada material
Por ejemplo, el Perspex (un termoplástico de alta resistencia a los impactos)
tiene una velocidad crítica de 331 km/h y una de 3.4. Esta proporción en es
debida a que la energía total absorbida por la superficie por impactos es
proporcional a su energía cinética ( y el número de gotas que impacta es
proporcional a .
La siguiente figura es una gráfica logarítmica ajustada de la velocidad de flujo
en una disminución de diámetro contra el peso perdido en un tubo de estelita.
Mecanismo de daño por cavitación

Figura 32

En la figura 33 se muestran resultados de volumen específico perdido graficado
contra la velocidad de flujo en un estrechamiento para tiempo constante y
diferentes condiciones de cavitación de acero inoxidable en mercurio: , inicia
cavitación visible; , cavitación frontal; , cavitación estándar; , fin de la
cavitación.
Mecanismo de daño por cavitación

Figura 33

Existe una similitud entre el ensayo de fatiga y el de velocidad crítica, pues las
piezas tienden a tener una vida infinita por debajo de ese valor crítico; así como
un periodo de incubación proporcional a la resistencia a la fatiga del material.

3.6 EFECTO DE LA DUREZA
Se ha observado un aumento lineal de la resistencia al desgaste por cavitación
al incrementarse la dureza del material pero solo hasta cierto límite, el cual al
sobrepasarse se comienza a observar un deterioro en su resistencia al
desgaste.
Mecanismo de daño por cavitación

Por ejemplo, para aceros con una dureza por arriba de hay un
pequeño incremento en la resistencia al desgaste al aumentar su dureza. Una
descripción gráfica de estos resultados se pueden observar en la siguiente
gráfica, donde: 40, acero al carbón %0.40; y8, acero al carbón 0.83%; y12,
acero al carbón 1.10%; x12, acero aleado con 2.35% de carbón y 11.9% de
cromo.

Figura 34

Para otros materiales no ferrosos, se presenta la siguiente gráfica de relación
entre la razón de erosión dado en unidades de tiempo por unidad de masa
contra dureza en escala Vickers, donde: x, estelita (80% Co-20% Cr); o, hierro;
, duraluminio (Al-Cu); , monel (75% Ni-35% Cu).
Mecanismo de daño por cavitación

Figura 35

Sin embargo, en pruebas de aceros nitrurados de durezas del rango de 980 a
1180 , la tendencia se invierte, pues la resistencia a la erosión comienza a
disminuir al irse incrementando la resistencia a la indentación. Estas piezas
altamente endurecidas son extremadamente frágiles y con poca resistencia al
impacto.
Es importante notar que la resistencia a la erosión de la estelita es por mucho
superior a la de los aceros, ello se debe al efecto que tiene el módulo elástico
Mecanismo de daño por cavitación

en la razón erosión/dureza, lo cual puede ser entendido más claramente con
esta tabla
La microdureza indica que los impactos repetidos por la cavitación causan
endurecimiento por trabajo, sin embargo aún no es posible determinar la
cantidad de trabajo añadido al material antes del desgaste y erosión del mismo.

3.7 INFLUENCIA DEL NÚMERO DE WEBER
Los datos arrojados por los experimentos del cálculo de y exhiben una
dependencia de estos en We; así como una función de We con el volumen de
erosión (We). Véase la siguiente figura, con

Figura 36

Mecanismo de daño por cavitación

La variación es debida a los valores de y del número Weber, pues sus
valores resultantes son del orden de , lo que indica que la tensión superficial
no es un factor relevante.
Es importante, sin embargo, tomar en cuenta la tensión superficial al prevenir la
erosión por cavitación. Por ejemplo, las paredes exteriores de los cilindros de los
motores diesel se protegen añadiendo aditivos al agua de enfriamiento, el cual su
funcionamiento se basa en reducir la tensión superficial del agua.

3.8 EFECTO DEL PREESFUERZO
El daño provocado a la frontera sólida se ve afectado por el régimen de carga
que existe en el miembro estructural sujeto al ataque de cavitación. La figura 37
muestra como se distribuyen esos esfuerzos alrededor del cráter de cavitación.

Figura 37
En pruebas llevadas a cabo en especímenes de acero inoxidable, se obtiene que para un esfuerzo
de tensión aplicado en combinación con la cavitación, se produce una reducción en la resistencia
última a la tensión, la cual es más notable al incrementarse el esfuerzo aplicado.
Mecanismo de daño por cavitación

El efecto se puede observar en la figura 38, donde la resistencia a la cedencia decrece después de
la cavitación para cargas anteriores al límite de proporción, pero se incrementa por encima de
este, debido al trabajo en frío por las cargas aplicadas.

Figura 38

3.9 CORRELACIÓN DE LA PUREZA DEL FLUIDO Y EL DAÑO PROVOCADO
A LA FRONTERA SÓLIDA
La presencia de gas disuelto en el fluido reduce sustancialmente el daño por
cavitación. El mecanismo se ha analizado al añadir ciertas cantidades de agua a
un flujo de mercurio. Para cantidades pequeñas de agua en el mercurio, el daño
Mecanismo de daño por cavitación

se ve incrementado significativamente, mientras que para una cantidad de agua
mayor, éste se reduce. Los mismos datos preliminares se muestran en la
siguiente figura.

Figura 39
Aquí se indica que el máximo daño ocurre cuando la proporción de agua en el
mercurio es de 1500 partes por millón. Mientras el efecto de pequeñas
cantidades de agua es incrementar la nucleación de burbujas y su crecimiento,
una mayor cantidad de agua amortigua su colapso. Un fenómeno similar ocurre
con el gas disuelto en líquidos.

Mecanismo de daño por cavitación

3.10 SELECCIÓN DE MATERIALES Y RECUBRIMIENTOS
Se han desarrollado distintos materiales con el propósito de reducir el daño por
cavitación, sin embargo, se debe ser cuidadoso en su selección tomando en
cuenta su aplicación y la optimización del proceso que se llevará a cabo.
Los materiales que protegen contra la cavitación usualmente poseen una
microestructura uniforme, sin grandes diferencias mecánicas entre fases, ya
que ésta ataca preferencialmente a las fases más débiles del material. Un
ejemplo de ello son los cermets (un material compuesto por materiales
cerámicos y metálicos, comúnmente usados en turbinas de motores a
reacción), los cuales pueden contener un material duro, como partículas de
carburo de tungsteno rodeadas por una matriz metálica más suave. La
cavitación entonces puede desalojar el carburo de tungsteno removiendo
gradualmente la matriz envolvente.
La selección de materiales duros y tenaces que absorban la energía del
colapso de las burbujas de cavitación es esencial.
Anteriormente se mencionó la característica de la estelita en cuanto a su
resistencia al daño por cavitación. A pesar de ello, no es adecuado este
material para usos ordinarios debido a su costo relativamente alto y la
dificultad para maquinarlo y rectificarlo.
También ayuda a reducir la erosión el recubrimiento del material con un
elastómero absorbente de energía, ejemplos de ellos se pueden observar en la
siguiente tabla.
Mecanismo de daño por cavitación

Material Subtipo
Espesor de
recubrimiento
en las
pruebas de
cavitación
con disco
rotatorio (in)
Periodo de
exposición a
la prueba
(hrs)
Grado de
erosión
después del
periodo de
exposición
150 ft/s
Base de
solvente de
neopreno,
aplicada con
brocha
A 0.030
24
Ligera
B 0.025 17 Ligera
Hoja curada
de neopreno,
pegada en
frío
... 0.062
14
Ninguna
Neopreno in
situ, curado y
pegado
… 0.060 10.5 Ninguna
Poliuretano
líquido
A 0.062 12 LigeraB 0.018 12 Severa
C 0.062 12 Ninguna
Hoja de
poliuretano,
pegado en
frío
A
0.060
14
Ninguna
B 0.062 12 Severa
Polisulfuro
líquido
… 0.062 12 Severa
Polisiloxano
líquido
… 0.062 7 Severa
Hoja curada
de butilo,
pegada en
frío
… 0.060 2.25 Severa
Butilo in situ
curado y
pegado
… 0.060 12 Severa
Hoja curada de
Cis-
24polibutadieno
(9108%) pegada
en frío
…
0.060 10 Ninguna
Mecanismo de daño por cavitación

Polibutadieno
(polisulfuro
modificado)
curado y
pegado in situ
…
0.060 13 Severa
Copolimero
de butadieno
estireno,
curado y
pegado in situ
(SBR)
…
0.060 24 Ninguna
Hoja curada
de hule
natural,
pegada en
frío
…
0.062 10 Ninguna
Hule natural,
curado y
pegado en
frío in situ
…
0.060 16 Severa

Los mejores elastómeros superan la resistencia de la estelita a la erosión por
cavitación, pero solo recientemente se aseguró la adherencia adecuada entre
el recubrimiento y el material.
Mecanismo de daño por cavitación

CAPÍTULO IV

ENSAYOS Y EXPERIMENTOS DE LABORATORIO

Mecanismo de daño por cavitación

Para la obtención de datos acerca del daño por cavitación y el modelado de
éste, se requiere armar experimentos que ofrezcan la suficiente precisión para
poder corroborar los resultados una y otra vez. Puesto que es difícil medir las
variaciones en el sistema en escalas tan pequeñas ( nanométricas y en lapsos
de tiempo muy cortos), se requiere de instrumental muy sofisticado y costoso.
A continuación se mencionan los equipos requeridos y algunos procedimientos
para tales experimentos.

4.1 CÁMARA DE ALTA VELOCIDAD
En un estudio experimental del comportamiento del colapso de una burbuja de
cavitación, la cámara de alta velocidad juega un rol esencial. De hecho, para
estudiar este fenómeno se ha desarrollado una en especial, la cámara Ellis
Kerr la cual puede cubrir 1 600 000 cuadros por segundo, con una exposición
de 0.05 por cuadro. Reduciendo el número de cuadros por segundo, se
pueden estudiar procesos mucho más tardados, la única limitación proviene de
la duración de la luz utilizada para iluminar el objeto de estudio.
El obturador de la cámara Kerr es la base de la cámara, mostrada
esquemáticamente como:
Mecanismo de daño por cavitación

Figura 40

La cual es una celda electroquímica que al aplicársele un voltaje con frecuencia y amplitud
variable a los electrodos, actúa como un obturador de alta velocidad.
El resto de la cámara se representa esquemáticamente en la figura siguiente:

Figura 41

Donde el primer lente, , forma una imagen entre los electrodos de la celda
Kerr y el segundo lente , enfoca la imagen en la película F a través del
Mecanismo de daño por cavitación

espejo M. La película yace dentro del tambor cilíndrico D. Los pulsos de voltaje
en la celda de Kerr producen las imágenes sobre la película.
La fuente de luz consiste en una espiral de cuarzo con xenón en su interior por
el cual se descarga un banco de condensadores, el cual ofrece una intensidad
de luz casi constante durante un periodo de un milisegundo.

4.2 EL MÉTODO PARA GENERAR CAVITACIÓN
Debe ser posible generar cavitación bajo condiciones controladas de
laboratorio de tiempo y posición. Ya que la resolución óptica de la cámara es
limitada, es deseable que la cavitación generada dure tanto tiempo como sea
posible, pero que no exceda la duración del flash que ilumina la cavidad.
Actualmente el método más efectivo de generar una burbuja de cavitación que
satisfaga las condiciones anteriores es por medio de descargas eléctricas en el
líquido.
El tanque en el cual las burbujas son generadas se muestra en la siguiente
figura. La distancia del descargador a la placa del fondo es ajustable.
Mecanismo de daño por cavitación

Figura 42

Se usan dos tipos de descargadores para determinar los efectos de los
filamentos en el flujo, como se ilustra en la figura. Sin embargo, el comúnmente
utilizado es el de la figura a, puesto que con éste se facilita la obtención de la
medida de la presión generada sobre la frontera sólida.
Mecanismo de daño por cavitación

Figura 43

La figura muestra una fotografía de una burbuja generada por este método,
colapsando en la frontera sólida.

4.3 MEDICIÓN DE LA PRESIÓN EN LA FRONTERA SÓLIDA
Se tienen diferentes métodos para la medición de la presión en la frontera
sólida. Estos métodos se explican brevemente a continuación.
Captador de cristal de cuarzo. El captador de cristal de cuarzo
aprovecha el efecto piezoeléctrico del cuarzo, el cual sucede cuando se
aplica un esfuerzo sobre este material, genera una diferencia de
potencial, así, cuando se capta una presión sobre la pared de cristal de
cuarzo, ésta genera un pulso eléctrico medible mediante un
osciloscopio. Se construye como se muestra en la figura 44. El cristal Q
es pegado en el extremo final de una barra de aluminio la cual está
Mecanismo de daño por cavitación

conformada por los tubos , y y la varilla . Todos estos
elementos están eléctricamente aislados uno del otro y así se forma la
conexión de cuatro áreas diferentes en el dorso del cristal. El aislamiento
de , , y se logra anodizándolos antes de pegarlos uno con otro.
El fondo de aluminio P forma la conexión al frente del cristal. La barra
de plomo L minimiza los problemas por reflexión al frente del cristal. Las
conexiones eléctricas a , y y se obtienen con alambres
conectados a los tornillos , , . La unidad se inserta por el hoyo
de 0.5 in en el fondo del tanque y es suspendida por fricción por el sello
O-ring. Esta unidad se puede observar en la figura 42.
Mecanismo de daño por cavitación

Figura 44

En la figura 45 se muestra un dato de salida obtenido de y con , y P
cuando una bola de metal de 1/16 in se deja caer a una altura de 2 in en el
centro del cristal. La curva es fotografía de un osciloscopio. El trazo superior
está conectado a y el inferior a . Las escalas son:

-Escala horizontal 1 división = 10
-Escala vertical 1 división = 0.005 V
Mecanismo de daño por cavitación

En vista del resultado obtenido en la figura 45, se espera que una burbuja que
colapsa cerca de la frontera sólida, producirá un pulso en antes que
observar un pulso en .

Figura 45

Material fotoelástico. El material fotoelástico es colocado entre dos
placas de perspex de media pulgada de espesor, de modo que se tiene
una amplia superficie plana expuesta a la cavitación. Se usan dos tipos
de material fotoelástico, el CR 39 y el Hysol 8705.

Figura 46

Mecanismo de daño por cavitación

4.4 EL ARREGLO EXPERIMENTAL
Un diagrama esquemático del arreglo experimental para el estudio del
comportamiento y propiedades de la cavitación es mostrado en la figura 47. El
principal elemento de este experimento es el transductor piezocerámico (PZT),
el cual se encuentra conectado a un amplificador lineal y a un generador de
funciones para la generación de una sola burbuja de cavitación.
La dinámica de la burbuja de cavitación es grabada con una cámara de alta
velocidad y su señal es digitalizada y almacenada en una computadora. La
resolución más frecuente está entre los 1.8 y 2.5 por pixel. Solo las
burbujas con radios de son grabadas.

Figura 47
Mecanismo de daño por cavitación

CONCLUSIONES
El mecanismo de daño por cavitación requiere de un modelo físico y
matemático bastante robusto para poder describirlo. Es notable que los
trabajos actuales sobre el tema, tienen origen en el planteamiento original de
Rayleigh, el cual se ha ido modificando y adecuando conforme a los datos y
observaciones obtenidas actualmente