Analisis-estructural-elemental

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reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el 
respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
Agradecimientos 
 
A Dios padre: 
 
Por todas sus bendiciones. 
 
 
A mis padres: 
 
José Ricardo Méndez Gaona. 
María de las Mercedes González Suárez. 
 
Que hoy recogen un fruto más que sembraron gracias a su gran dedicación y amor. 
 
 
A mis familiares: 
 
Que junto a mis padres y hermanos son una de las cosas más preciadas que puede existir, la 
familia. 
 
 
A mis compañeros y amigos: 
 
Por su amistad desinteresada, comprensión y apoyo. 
 
 
A mi director de tesis: 
 
Ingeniero Gustavo Adolfo Jiménez Villegas. 
 
Su dedicación y esfuerzo hicieron posible que pudiera realizar este trabajo de tesis que a su 
vez será una puerta que me permitirá seguir adelante y llegar a la meta que me he 
propuesto. 
 
 
A la jefa de sección Yolanda Romero: 
 
Gracias a sus atenciones y trato amable fue posible la realización del presente trabajo. 
 
Índice 
 
Introducción……………………………………………………………………...I 
 
 
Capítulo 1: Tipos de cargas……………………………………………………..1 
 
1.1 – Cargas muertas……………………………………………………………….2 
 
1.2 – Cargas vivas………………………………………………………………….2 
 
1.3 – Cargas de impacto…………………………………………………………….2 
 
1.4 – Cargas laterales……………………………………………………………….2 
 
 
Capítulo 2: Sistemas de cargas…………………………………………………3 
 
2.1 – Introducción……………………………………………………………….....4 
 
2.2 – Sistema de fuerzas paralelas en un plano………………………………………4 
 
2.3 – Sistema de fuerzas no paralelas en un plano…………………………………...5 
 
2.4 – Sistema de fuerzas concurrentes en un plano…………………………………..5 
 
2.5 – Sistema de fuerzas en el espacio………………………………………………6 
 
 
Capítulo 3: Tipos de estructuras………………………………………………..7 
 
3.1 – Introducción…………………………………………………………………8 
 
3.2 – Reacciones en los apoyos…………………………………………………….8 
 
3.3 – Ecuaciones de condición……………………………………………………..9 
 
3.4 – Grado de indeterminación…………………………………………………...10 
 
3.5 – Cálculo del grado de indeterminación en vigas………………………………10 
 
3.6 – Cálculo del grado de indeterminación en marcos……………………………..13 
 
3.7 – Cálculo del grado de indeterminación en armaduras………………………….17 
3.8 – Inestabilidad geométrica……………………………………………………..21 
 
Capítulo 4: Estructuras isostáticas…………………………………………….23 
 
4.1 – Análisis de vigas isostáticas………………………………………………….24 
 
4.2 – Análisis de marcos isostáticos………………………………………………..39 
 
4.3 – Análisis de armaduras isostáticas…………………………………………….52 
 
4.4 – Método de Newmark………………………………………………………...60 
 
4.4.1 – Cargas concentradas………………………………………………..60 
4.4.2 – Cargas distribuidas…………………………………………………64 
 
 
Capítulo 5: Líneas de influencia para estructuras isostáticas………………...74 
 
5.1 – Definición…………………………………………………………………...75 
 
5.2 – Método directo……………………………………………………………....77 
 
5.3 – Principio de Müller-Breslau………………………………………………….85 
 
5.4 – Líneas de influencia en armaduras……………………………………………97 
 
5.5 – Momento flexionante máximo absoluto……………………………………..104 
 
 
Capítulo 6: Deformaciones…………………………………………………...111 
 
6.1 – Introducción……………………………………………………………….112 
 
6.2 – Teoría de la viga elástica…………………………………………………...115 
 
6.3 – Método de la doble integración……………………………………………..120 
 
6.4 – Teoremas área-momento…………………………………………………...130 
 
6.5 – Método de la viga conjugada……………………………………………….142 
 
6.6 – Método de Newmark………………………………………………………164 
 
6.7 – Métodos energéticos……………………………………………………….181 
 
6.8 – Trabajo externo…………………………………………………………….182 
 
6.9 – Trabajo interno…………………………………………………………….185 
 
6.10 – Método del Principio del Trabajo y la Energía……………………………..186 
 
6.11 – Método del Principio del Trabajo Virtual…………………………………..188 
 
6.11.1 – Método del trabajo virtual para vigas……………………………..191 
6.11.2 – Método del trabajo virtual para marcos…………………………...201 
6.11.3 – Método del trabajo virtual para armaduras………………………..207 
 
6.12 – Integrales de Mohr………………………………………………………..216 
 
6.13 – Método de Castigliano (primer teorema).…………………………………..222 
 
6.14 – Deformaciones generadas por fuerza cortante y torsión…………………….228 
 
6.15 – Teorema de Maxwell……………………………………………………...230 
 
6.16 – Ley de Betti………………………………………………………………233 
 
 
Capítulo 7: Estructuras hiperestáticas……………………………………….234 
 
7.1 – Introducción……………………………………………………………….235 
 
7.2 – Método de las fuerzas………………………………………………………235 
 
7.2.1 – Método de las fuerzas para vigas…………………………………..236 
7.2.2 – Método de las fuerzas para marcos………………………………...261 
7.2.3 – Método de las fuerzas para armaduras……………………………..270 
 
7.3 – Rigidez angular, factor de transporte y rigidez lineal………………………...282 
 
7.4 – Rigidez en el elemento de una armadura…………………………………….291 
 
7.5 – Método de las rigideces…………………………………………………….295 
 
7.5.1 – Método de las rigideces para vigas………………………………...296 
7.5.2 – Método de las rigideces para marcos………………………………318 
7.5.3 – Método de las rigideces para armaduras…………………………...331 
 
7.6 – Ecuaciones pendiente - desviación………………………………………….338 
7.7 – Método pendiente - desviación………………………………………………341 
 
7.7.1 – Método pendiente - desviación para vigas………………………….342 
7.7.2 – Método pendiente - desviación para marcos………………………..350 
 
7.8 – Conceptos fundamentales para el método de Hardy Cross…………………...384 
 
7.9 – Método de Hardy Cross…………………………………………………….389 
 
7.9.1 – Método de Cross para vigas……………………………………….390 
7.9.2 – Método de Cross para marcos sin desplazamiento lateral…………...410 
7.9.3 – Método de Cross para marcos con desplazamiento lateral…………..425 
 
7.10 – Método de Castigliano (segundo teorema)………………………………....461 
 
7.11 – Vigas de sección variable……………………………………………………...465 
 
 
Capítulo 8: Líneas de influencia para estructuras hiperestáticas……………475 
 
8.1 – Método directo…………………………………………………………………..476 
 
8.2 – Principio de Müller-Breslau…………………………………………………….496 
 
 
Conclusiones………………………………………………………………………..511 
 
 
Bibliografía…………………………………………………………………………512 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I 
 
Introducción 
 
El objetivo del análisis estructural es crear una estructura segura ante los diversos 
esfuerzos y deformaciones que se puedan presentar en ella, misma que también deberá 
satisfacer un conjunto de diversos requisitos impuestos por factores tales como la 
función que vaya a dársele a la estructura, condiciones del lugar, aspectos económicos, 
estética, facilidades para construir y las restricciones legales. 
 
El cálculo de las fuerzas internas y los desplazamientos es una parte integral del proceso 
de revisión de la estructura existente. Por lo regular nos interesan los esfuerzos internos 
producidos por las cargas, porque la finalidad es revisar el diseño de las estructuras 
existentes, de manera que los esfuerzos no excedan los valores límites de seguridad. 
 
Otro criterio que se usa con frecuencia es el de establecer un margen de seguridad con 
respecto a cargas de fallas que aún se pueden prever. En algunos casos, las limitacionesa los desplazamientos regulan la funcionalidad de la estructura, por lo tanto, en el 
aspecto cuantitativo son tres los criterios principales que se deben considerar en la 
revisión de las estructuras existentes: 
 
1) Límites de los esfuerzos (estado límite de falla). 
2) Seguridad contra cualquier falla. 
3) Desplazamientos (estado límite de servicio). 
 
Las estructuras se analizan para conocer las fuerzas internas y a menudo también las 
cargas que pueden producir una falla; si se conocen estas cantidades y las propiedades 
de los materiales de la estructura, se puede valuar el margen de seguridad. 
 
Un buen análisis se basa en prever con cierta certeza el comportamiento de las 
estructuras en las condiciones de servicio actual, a pesar que todas las estructuras se 
deforman continuamente a causa de las cargas, de los cambios de humedad, de la 
temperatura y por otras causas. 
 
En los capítulos posteriores se describirán los conceptos necesarios para comprender 
este tema, además se presentarán diversas aplicaciones mediante ejemplos que irán 
desde el cálculo del grado de indeterminación que posea una estructura, hasta las formas 
de analizar vigas, marcos y armaduras. 
 
Se describirán diferentes formas de proceder ante un mismo caso, con lo que al final el 
lector tendrá la capacidad para decidir el método óptimo para proceder, ya sea por 
sentido común o por preferencia de algún método en específico. 
 
En resumen se presentarán todas las herramientas disponibles que un ingeniero puede 
llegar a necesitar para la proposición y ejecución de alternativas de solución para los 
posibles problemas que pudieran llegar a presentársele, hablando en términos 
estructurales. 
 
Capítulo 1 
 
 
Tipos de cargas 
 
 
1.1 – Cargas muertas 
 
1.2 – Cargas vivas 
 
1.3 – Cargas de impacto 
 
1.4 – Cargas laterales 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
1.1 – Cargas muertas 
 
Este tipo de cargas se caracteriza por poseer una magnitud constante y mantenerse en 
una sola ubicación. 
 
Por ejemplo el peso propio de los elementos que conforman una estructura. 
 
 
1.2 – Cargas vivas 
 
Son aquellas que no permanecen en una sola ubicación y cuya magnitud puede variar en 
un periodo de tiempo relativamente corto. 
 
En otras palabras, aquellas que no son cargas muertas son cargas vivas. Las que se 
mueven por sí solas se denominan cargas móviles; por ejemplo vehículos y personas; 
mientras que otras requieren ser desplazadas y se denominan cargas movibles, como los 
muebles o los materiales almacenados en alguna bodega. 
 
 
1.3 – Cargas de impacto 
 
Son las que se originan por la vibración, explosión, etcétera. 
 
Por ejemplo cuando ocurre una explosión, la fuerza producida es mucho mayor que un 
caso en el que la carga se aplicara de forma gradual y suavemente. 
 
 
1.4 – Cargas laterales 
 
Estas pueden ser de dos tipos: 
 
1) Causadas por el viento. 
2) Originadas por sismos o terremotos. 
Capítulo 2 
 
 
Sistemas de cargas 
 
 
2.1 – Introducción 
 
2.2 – Sistema de fuerzas paralelas en un plano 
 
2.3 – Sistema de fuerzas no paralelas en un plano 
 
2.4 – Sistema de fuerzas concurrentes en un plano 
 
2.5 – Sistema de fuerzas en el espacio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
2.1 – Introducción 
 
Cuando la resultante de un sistema es igual a cero, se dice que existe equilibrio estático; 
un cuerpo permanecerá en reposo si está sujeto a un sistema de fuerzas en equilibrio 
estático, en caso contrario dicho cuerpo se moverá. 
 
Pero un cuerpo en movimiento puede estar en equilibrio dinámico, como en el caso de 
una bicicleta, si este movimiento junto con la fuerza de inercia y las fuerzas que se 
aplican generan una fuerza resultante nula. 
 
Para corroborar que la resultante de un sistema de fuerzas sea nula, es necesario revisar 
que se cumplan las llamadas “ecuaciones de equilibrio”, mismas que varían de acuerdo 
al sistema de fuerzas que se tenga. 
 
En adelante, cuando se hable de equilibrio se deberá entender que se trata de equilibrio 
estático. 
 
 
2.2 – Sistema de fuerzas paralelas en un plano 
 
Este caso se presenta con frecuencia en estructuras planas sujetas únicamente a cargas 
por gravedad. Las cargas y reacciones de apoyo tienen la misma dirección y por lo tanto 
son paralelas. 
 
Las ecuaciones de equilibrio son: 
 
0 0 
(2.1) 
 
Donde: 
Σ Sumatoria de las cargas. 
Σ Sumatoria de momentos alrededor de cualquier punto situado en el plano en que 
 están contenidas las fuerzas. 
 
También se pueden plantear dos ecuaciones de equilibrio que expresen la sumatoria de 
momentos alrededor de dos puntos distintos A y B; sin alterarse el número de 
ecuaciones: 
 
Σ 0 Σ 0 
(2.2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
2.3 – Sistema de fuerzas no paralelas en un plano 
 
Cuando las cargas que actúan en una estructura tengan distintas direcciones, dichas 
fuerzas y las reacciones de apoyo conforman un sistema de fuerzas no paralelas. 
 
En este caso se tendrían tres ecuaciones de equilibrio: 
 
Σ 0, Σ 0, Σ 0 
(2.3) 
 
Donde: 
Σ Sumatoria de fuerzas paralelas al eje X. 
Σ Sumatoria de fuerzas paralelas al eje Y. 
 
El otro término ya se definió. 
 
El sistema anterior también se puede plantear en la forma siguiente: 
 
Σ 0, Σ 0, Σ 0 
(2.4) 
 
Siempre y cuando la línea que une los puntos A y B no pertenezca al eje X; o bien en la 
forma: 
 
Σ 0, Σ 0, Σ 0 
(2.5) 
 
Siempre que los puntos A, B y C no sean colineales. 
 
 
2.4 – Sistema de fuerzas concurrentes en un plano 
 
Para un sistema de fuerzas comprendidas en un plano que además concurren en un 
punto se pueden expresar de tres maneras las ecuaciones de equilibrio: 
 
Σ 0 Σ 0 
(2.6) 
 
Σ 0 Σ 0 
(2.7) 
 
Siempre que el punto A no esté situado sobre la recta perpendicular al eje Y que pasa 
por el punto de concurrencia; y además: 
 
Σ 0 Σ 0 
(2.8) 
 
Siempre que la recta que una a los puntos A y B no pase por el punto donde concurren 
las fuerzas. 
6 
 
2.5 – Sistema de fuerzas en el espacio 
 
Es el caso más general, que presenta en estructuras tridimensionales con cargas no 
paralelas. 
 
Se tendrán entonces seis ecuaciones de equilibrio: 
 
Σ 0, Σ 0, Σ 0 
 
Σ 0, Σ 0, Σ 0 
(2.9) 
 
Donde: 
Σ Sumatoria de las fuerzas paralelas al eje Z. 
Σ , Σ , Σ Sumatorias de momentos alrededor de los ejes X, Y, y Z, 
respectivamente. 
 
Los otros términos ya se han definido. 
Capítulo 3 
 
 
Tipos de estructuras 
 
 
3.1 – Introducción 
 
3.2 – Reacciones en los apoyos 
 
3.3 – Ecuaciones de condición 
 
3.4 – Grado de indeterminación 
 
3.5 – Cálculo del grado de indeterminación en vigas 
 
3.6 – Cálculo del grado de indeterminación en marcos 
 
3.7 – Cálculo del grado de indeterminación en armaduras 
 
3.8 – Inestabilidad geométrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
3.1 – Introducción 
 
Desde el punto de vista de los métodos de análisis, las estructuras se dividen en tres 
grupos: 
 
1) Hipostáticas o inestables. 
2) Isostáticas o estáticamente determinadas. 
3) Hiperestáticas o estáticamente indeterminadas. 
 
En las estructuras hipostáticas al haber una cantidad inferior de incógnitas (reacciones) 
podría ocurrir una situación de carga para la cual se consigue equilibrio, pero se trataría 
de equilibrio inestable, pues cualquier deformación impuesta a la estructura tendería a 
continuar hasta su falla. 
 
Las estructuras isostáticas pueden analizarse empleando únicamente las ecuaciones de 
equilibrio de la estática mencionadas en el capítulo anterior, por lo que en estas pueden 
encontrarse los elementos mecánicos a partir de condiciones de equilibrio. 
 
Finalmente, en las estructuras hiperestáticas además de las ecuaciones de equilibrio es 
necesario plantear ecuaciones de compatibilidad de deformaciones entre los miembros y 
los apoyos. 
 
 
3.2 – Reacciones en los apoyos 
 
Para determinar el tipo de estructura que se tiene, primero es necesario conocer el 
número de reacciones que cadatipo de apoyo que tenga la estructura desarrolla; por lo 
que es importante saber qué reacciones existen en los diversos tipos de apoyo. 
 
Los tres tipos básicos de apoyo se muestran en la siguiente figura. 
 
 
Apoyo simple Apoyo articulado Apoyo empotrado 
 
Figura 3.1: Tipos de apoyos. 
 
- Apoyo simple: 
 
Restringe a la estructura contra desplazamientos verticales, pero permite 
desplazamientos horizontales y rotaciones o giros. En este se desarrolla una reacción 
vertical (Ry), pero la reacción horizontal (Rx) y el momento (Mz) son nulos; por lo que 
sólo existe una reacción en el apoyo. 
 
 
9 
 
- Apoyo articulado: 
 
Este permite la rotación pero restringe los desplazamientos y horizontales verticales, por 
lo que este genera dos reacciones, Rx y Ry; siendo el momento Mz nulo 
 
- Apoyo empotrado: 
 
Restringe los movimientos verticales y horizontales, además de la rotación; por lo que 
en este de generan tres reacciones, Rx, Ry y Mz. 
 
 
3.3 – Ecuaciones de condición 
 
Algunas estructuras poseen características especiales que permiten plantear ecuaciones 
adicionales a las de equilibrio de la estática. Un ejemplo es el de vigas que tienen 
articulaciones en alguna sección interior; como las que se muestran en las siguientes 
figuras: 
 
 
 
Figura 3.2: Articulación de momento. 
 
Una articulación de momento equivale a pasadores sin fricción; en los que no puede 
desarrollarse un momento flexionante porque permiten el giro libre de los elementos 
estructurales que concurran en dicha articulación. Entonces puede plantearse una 
ecuación que exprese que el momento flexionante en esa sección es nulo; ese es un 
ejemplo de una ecuación de condición. 
 
 
 
Figura 3.3: Articulación de cortante. 
 
La articulación de cortante permite el desplazamiento lineal relativo de los elementos 
que concurren en ella, sin permitir que giren uno respecto del otro. En esta la ecuación 
de condición correspondiente expresaría que la fuerza cortante es nula en la 
articulación. 
 
En resumen, en las articulaciones de momento el momento flexionante es nulo y existe 
fuerza cortante, mientras que en las articulaciones de cortante no hay fuerza cortante 
pero sí momento flexionante. 
 
 
 
 
 
10 
 
3.4 – Grado de indeterminación 
 
Cuando una estructura es isostática, su grado de indeterminación es cero, ya que es 
estáticamente determinada; por otro lado las estructuras hiperestáticas pueden tener 
distintos grados de indeterminación. Por cada grado se requerirá una ecuación adicional 
de compatibilidad de deformaciones. Cabe mencionar que cuando el grado de 
indeterminación es nulo, se podrán usar los métodos de análisis del capítulo 4. 
 
En el capítulo siguiente se describe la forma de calcular el grado de indeterminación en 
diferentes estructuras. 
 
 
3.5 – Cálculo del grado de indeterminación en vigas 
 
El procedimiento consiste en comparar el número de reacciones de los apoyos con el 
número de ecuaciones de equilibrio de la estática. 
 
- Si el número de reacciones de los apoyos es menor que el número de ecuaciones de 
equilibrio, la viga es hipostática ya que no podrá mantenerse en equilibrio. 
 
- Si ambos números son iguales, la viga es isostática; es decir, su grado de 
indeterminación es cero. 
 
- Si el número de reacciones producidas por los apoyos es mayor que el de ecuaciones 
de equilibrio, la viga es hiperestática de grado x, donde x es la diferencia entre ambos 
números. 
 
Si la viga tiene ecuaciones de condición, el número de estas ecuaciones debe agregarse 
al de ecuaciones de equilibrio y comparar el resultado con el número de reacciones. 
 
Ahora si n fuera el número de ecuaciones de equilibrio, c el número de ecuaciones de 
condición y r el número de reacciones, se pueden plantear las siguientes condiciones: 
 
Si , la viga es hipostática. 
 
Si , la viga es isostática. 
 
Si , la viga es hiperestática. 
 (3.1) 
 
Bajo condiciones especiales, pueden existir vigas que sean inestables aun cuando se 
cumplan las condiciones para vigas isostáticas o hiperestáticas; debido a esto las 
condiciones mencionadas son necesarias pero no suficientes para la estabilidad en vigas. 
 
 
 
 
 
 
11 
 
Ejemplo 3.1 
 
En este ejemplo se ilustra el cálculo del grado de indeterminación de las vigas 
mostradas en la siguiente tabla. 
 
 
 
Ejemplo 3.1: Cálculo del grado de indeterminación en vigas. 
 
- Caso 1: 
 
Se tienen 3 incógnitas de reacción (r), 2 en el apoyo izquierdo y 1 en el derecho, y 3 
ecuaciones de equilibrio (n), ya que se trata de un sistema de fuerzas no paralelas 
contenidas en un plano; resultando en una viga isostática. 
 
 
 
 
12 
 
- Caso 2: 
 
Dado que el número de reacciones de apoyo es mayor al número de ecuaciones de 
equilibrio, la viga es hiperestática de grado 2. 
 
- Caso 3: 
 
Ya que solo hay 2 reacciones de apoyo y 3 ecuaciones de equilibrio, la viga es inestable; 
sin embargo si las cargas que actúan sobre la viga fueran todas verticales, la viga sería 
estable por tratarse de un sistema de fuerzas paralelas en un plano en donde habría 2 
ecuaciones de equilibrio; pero al existir cargas inclinadas la viga se desplazará 
horizontalmente, mientras que si todas las cargas son verticales permanece estable. 
 
- Caso 4: 
 
Aquí hay 3 reacciones de apoyo y 3 ecuaciones de equilibrio, por lo que la viga es 
isostática. 
 
- Caso 5: 
 
En esta viga al encontrarse empotrados ambos extremos de la viga el número de 
reacciones de apoyo es 6 mientras que solo hay 3 ecuaciones de equilibrio y debido a 
esto la viga es hiperestática de grado 3. 
 
- Caso 6: 
 
Se tienen 4 reacciones de apoyo, con lo que el grado de indeterminación es 1. 
 
- Caso 7: 
 
Existe una ecuación de condición originada por la articulación interior, en donde el 
momento flexionante vale 0, con lo que la viga sería isostática. 
 
- Caso 8: 
 
La viga ahora presenta 2 ecuaciones de condición, que sumadas a las de equilibrio 
generan una viga isostática. 
 
- Caso 9: 
 
Hay 5 reacciones de apoyo, 3 ecuaciones de equilibrio y 2 de condición; entonces la 
viga es isostática, sin embargo si todas las cargas fueran verticales solo habría 3 
reacciones de apoyo, 2 ecuaciones de equilibrio y 1 de condición, ya que las 
articulaciones están situadas en un eje vertical y solo podría plantearse una ecuación en 
donde la sumatoria de momentos fuese igual a 0. 
 
 
 
 
 
13 
 
3.6 – Cálculo del grado de indeterminación en marcos 
 
Para deducir una expresión que permita calcular el grado de indeterminación en marcos, 
considérese la siguiente estructura. 
 
 
 
Figura 3.4: Marco con grado de indeterminación de 12. 
 
Si se hacen secciones en los miembros del marco, de tal forma que cada nudo se 
convierte en un cuerpo libre, como se muestra a continuación. 
 
 
 
Figura 3.5: Fuerzas internas en las secciones de un marco. 
 
Se tendría que existirán tres incógnitas en cada sección de cada miembro: 
 
1) Fuerza normal. 
2) Fuerza cortante. 
3) Momento flexionante. 
 
Con lo que en cada miembro habrá seis fuerzas internas desconocidas; pero si se 
conocieran las tres fuerzas de una sección; podrían obtenerse las tres fuerzas de la otra 
sección del mismo miembro, resultando en tres fuerzas internas desconocidas e 
independientes por cada miembro. 
 
Siendo m el número de miembros del marco, el número de incógnitas total en los 
miembros vendría siendo 3m, y si r fuese el número de incógnitas de reacción en la 
estructura, se tendría que el número total de incógnitas es r + 3m. 
14 
 
Si se consideran los diagramas de cuerpo libre de los nudos de la figura 3.5, se puede 
observar que en cada nudo, incluidos los de los apoyos, se pueden plantear tres 
ecuaciones de equilibrio independientes. 
 
Y si la estructura tiene n nudos, el número total de ecuaciones de equilibrio será 3n. 
 
Por lo que cuando el número de incógnitas y el de ecuaciones de equilibrio sea igual, la 
estructura será isostática, si es mayor el número de reaccionesserá hiperestática y si es 
menor la cantidad de reacciones, será hipostática. 
 
De manera semejante que en las vigas, cuando se tengan ecuaciones de condición, su 
número deberá añadirse al de ecuaciones de equilibrio. 
 
Entonces si c es el número de ecuaciones de condición, pueden plantearse las siguientes 
ecuaciones para encontrar el grado de indeterminación en marcos: 
 
Si 3 3 , el marco es hipostático. 
 
Si 3 3 , el marco es isostático. 
 
Si 3 3 , el marco es hiperestático. 
 (3.2) 
 
Con la siguiente figura se explica otra manera de conocer el grado de indeterminación 
en marcos; este método resulta más conveniente cuando se tienen marcos de varios 
niveles. 
 
 
 
Figura 3.6: Cortes para el método alternativo. 
 
15 
 
Supóngase que se hacen cortes en las secciones a-a y b-b del marco de la figura 3.6, de 
forma que la estructura original se convierte en tres estructuras, mismas que se muestran 
en la siguiente figura. 
 
 
 
Figura 3.7: Fuerzas internas en las estructuras. 
 
Las tres estructuras formadas son isostáticas por poseer tres reacciones de apoyo y tres 
ecuaciones de equilibrio, pero nuevamente se presentan tres incógnitas en cada sección 
de corte: 
 
1) Fuerza normal. 
2) Fuerza cortante. 
3) Momento flexionante. 
 
Con esto queda claro que el grado de indeterminación equivale a tres veces el número 
de secciones de corte en las vigas, ya que las fuerzas internas son idénticas a ambos 
lados del corte. En el ejemplo anterior se tienen 10 cortes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
Ejemplo 3.2 
 
En este ejemplo se muestra el cálculo del grado de indeterminación de los diferentes 
marcos de la tabla. 
 
 
 
Ejemplo 3.2: Cálculo del grado de indeterminación en marcos. 
 
- Marco 1: 
 
Posee 4 nudos (n), dos que son de la unión entre columna y viga y dos que de los 
apoyos; entonces hay 3 miembros (m) y 6 reacciones de apoyo (r), debidas a los dos 
empotramientos. De acuerdo con lo previamente establecido, el marco tiene una 
indeterminación de grado 3; usando el segundo método se haría un corte en la sección 
17 
 
1-1, con el cual aparecerían 3 acciones internas desconocidas que indicarían el grado de 
indeterminación. 
 
- Marco 2: 
 
Hay 4 nudos, uno interior y tres por los apoyos; 3 miembros y 9 reacciones de apoyo 
por los empotramientos. De acuerdo a la fórmula el grado de indeterminación es 6, 
mientras que con el segundo método se requerirían dos cortes, mismos que se señalaron, 
para generar estructuras isostáticas en cada corte quedarían tres acciones internas 
desconocidas. 
 
- Marco 3: 
 
Resolviéndolo de manera semejante que los dos primeros se obtiene un grado de 
indeterminación de 9. 
 
- Marco 4: 
 
En este se tienen ecuaciones de condición a causa de las articulaciones. En este caso 
particular, para aplicar el segundo método resultaría conveniente hacer los cortes 
justamente en las articulaciones, porque en cada una existen dos acciones internas 
desconocidas: la fuerza cortante y la fuerza normal, por ser el momento flexionante 
igual a cero. 
 
 
3.7 – Cálculo del grado de indeterminación en armaduras 
 
Las armaduras pueden ser indeterminadas tanto interna como externamente. 
 
Son externamente indeterminadas, igual que las vigas, cuando el número de reacciones 
de apoyo es mayor que el número de ecuaciones de equilibrio más el número de 
ecuaciones de condición. Si ambos números son iguales son externamente isostáticas; 
por lo tanto las condiciones para obtener el grado de indeterminación en vigas pueden 
emplearse para calcular la indeterminación externa en armaduras. 
 
Cuando el número de miembros es mayor que el mínimo necesario para asegurar la 
estabilidad de la armadura, se presentará un caso de indeterminación interna, cuando eso 
ocurre las armaduras no pueden resolverse solamente con las ecuaciones de equilibrio, 
ya sea por medio del método de los nudos o el de las secciones presentados en el 
siguiente capítulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
Para calcular el grado de indeterminación interna considérese la armadura más sencilla 
posible, que es el triángulo mostrado en la siguiente figura. 
 
 
 
Figura 3.3: Armadura internamente determinada. 
 
El método de los nudos puede resolver esta armadura, usando en cada uno las 
ecuaciones de equilibrio (Σ 0 Σ 0); por lo que es isostática. Si el número 
de reacciones es r, el número de nudos j y el número de barras con b, se puede plantear 
la siguiente ecuación: 
 
2 
(3.3) 
 
Se cumple para esta armadura, ya que r, b y j valen 3 cada una. Si a esta armadura se le 
agrega otro triángulo, como se muestra a continuación. 
 
 
 
Figura 3.4: Armadura estable. 
 
Esta armadura también es estable e isostática y puede resolverse aplicando las 
ecuaciones de equilibrio al nuevo nudo. 
 
Se sigue cumpliendo la ecuación 3.3 porque se agregaron 1 nudo y 2 barras; la armadura 
puede ampliarse agregando más triángulos y seguirá siendo estable, se podrá resolver 
aplicando las ecuaciones de equilibrio a cada nuevo nudo y también se seguirá 
cumpliendo la ecuación. 
 
Por lo que se cumple la ecuación 3.3 para cualquier armadura estable e isostática. 
 
 
19 
 
Si se agregara una barra adicional a una armadura estable e isostática, como la barra AE 
de la armadura mostrada a continuación. 
 
 
 
Figura 3.5: Armadura estáticamente indeterminada y estable. 
 
Esta armadura a pesar de ser estable ya no puede resolverse empleando solamente las 
ecuaciones de equilibrio, ya que en el nuevo nudo ahora hay más barras y por lo tanto 
más incógnitas que ecuaciones de equilibrio. 
 
Entonces se tienen las siguientes condiciones: 
 
Si 2 , la armadura es hipostática. 
 
Si 2 , la armadura es isostática. 
 
Si 2 , la armadura es hiperestática. 
 (3.4) 
 
Cabe mencionar que una armadura puede ser isostática externamente e hiperestática 
internamente o viceversa. También puede ser hiperestática tanto internamente como 
externamente. 
 
Las condiciones anteriores son válidas para todos los casos e indican, en su caso el 
grado total de indeterminación. Además al contar el número de nudos o nodos deben 
incluirse los localizados en los apoyos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
Ejemplo 3.3 
 
En este ejemplo se determina el grado de indeterminación de las armaduras mostradas a 
continuación. 
 
 
 
Ejemplo 3.3: Armadura internamente isostática. 
 
- Armadura 1: 
 
Esta tiene tres apoyos: uno libremente apoyado y dos articulados. Con lo que el número 
de reacciones de apoyo (r) es 5; se tienen tres ecuaciones de equilibrio (n) y no hay 
ecuaciones de condición (c), por lo tanto, el grado de indeterminación externa es de 2. 
 
Por otra parte, el número de nudos (j) es de 10, se tienen 17 barras (b) y como ya se 
había mencionado hay 5 reacciones de apoyo; por lo que al emplear las condiciones 3.4 
se obtiene un grado de indeterminación total de 2. 
 
Y dado que ambos grados de indeterminación son iguales; la armadura es internamente 
isostática. 
 
21 
 
 
 
Ejemplo 3.3: Armadura con grado de indeterminación interna diferente al de indeterminación externa. 
 
- Armadura 2: 
 
Es isostática externamente al tener 3 reacciones de apoyo y 3 ecuaciones de equilibrio; 
pero al aplicar las condiciones previamente descritas se tiene un grado total de 
indeterminación de 2, que corresponde al de indeterminación interna. 
 
 
3.8 – Inestabilidad geométrica 
 
Como ya se había mencionado existen estructuras que son inestables a pesar de resultar 
estáticamente determinadas al aplicar las condiciones anteriores. 
 
La inestabilidad puede ser provocada por un número insuficiente de apoyos o a una 
mala disposición de estos; o también a un arreglo inadecuado de los elementos que 
conforman la estructura. 
 
En el primer caso se dice que la estructura tiene inestabilidad geométrica externa y en el 
segundo que existe inestabilidad geométrica interna. 
22 
 
Por citar un ejemplo considérese la viga continua mostrada a continuación. 
 
 
 
Figura 3.6: Inestabilidad geométrica externaen vigas. 
 
Aplicando las condiciones de la sección 3.5 se tiene que el número de reacciones de 
apoyo es 3; que es igual al número de ecuaciones de equilibrio, con lo que se diría que 
la viga es isostática. 
 
Sin embargo, bajo la acción de las cargas inclinadas, la viga se desplazaría 
horizontalmente hacia la derecha, ya que en ninguno de los apoyos se puede desarrollar 
una reacción horizontal que lo impida; por lo tanto se trata de un caso de inestabilidad 
geométrica externa. 
 
En la siguiente figura se ilustra un caso de inestabilidad geométrica en marcos. 
 
 
 
Figura 3.7: Inestabilidad geométrica interna en marcos. 
 
Este marco consta de 12 nudos, 3 ecuaciones de condición por las articulaciones y 15 
miembros, de acuerdo con las condiciones de la sección 3.6 sería isostático. 
 
A pesar de esto la viga 3-7 no podría resistir las cargas aplicadas ya que se deformaría 
como se indica con líneas punteadas; con lo que habría una falla local en esa viga. 
 
Por eso es importante revisar cuidadosamente si la estructura no presenta disposiciones 
inadecuadas en los apoyos o entre los miembros de esta que puedan conducir a casos de 
inestabilidad. 
Capítulo 4 
 
 
Estructuras isostáticas 
 
 
4.1 – Análisis de vigas isostáticas 
 
4.2 – Análisis de marcos isostáticos 
 
4.3 – Análisis de armaduras isostáticas 
 
4.4 – Método de Newmark 
 
4.4.1 – Cargas concentradas 
4.4.2 – Cargas distribuidas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
4.1 – Análisis de vigas isostáticas 
 
La resolución de estas normalmente comprende los siguientes pasos: 
 
1) Determinación de las reacciones en los apoyos. 
2) Determinación del diagrama de fuerza cortante. 
3) Determinación del diagrama de momento flexionante. 
4) Determinación de las deformaciones (giros y deflexiones). 
 
En algunos casos también se determinan los diagramas de momento torsionante y de 
fuerza normal. En esta tesis no se incluyen esos casos; a excepción de los ejemplos de 
marcos en los cuales si se determinan. 
 
- Determinación de las reacciones en los apoyos: 
 
Se obtienen mediante las ecuaciones de equilibrio y las de condición y como ya se había 
mencionado, una viga será isostática cuando los números de incógnitas de reacción y de 
ecuaciones de equilibrio sean iguales, obteniendo así un sistema compatible cuyo 
número de incógnitas es igual al número de ecuaciones. 
 
- Determinación del diagrama de fuerza cortante: 
 
La fuerza cortante en una determinada sección se define como la sumatoria de las 
fuerzas que actúen a la izquierda de esa sección de la viga; también se puede obtener 
sumando las fuerzas que actúen a la derecha de la misma sección, pero con signo 
opuesto. 
 
El diagrama de fuerza cortante se obtiene utilizando los valores de la fuerza cortante 
como ordenadas que se trazan a lo largo del eje de la viga, para luego unirlos y dar 
forma al diagrama, es por eso que debe conocerse la magnitud de la fuerza cortante en 
varias secciones de la viga. 
 
Los valores necesarios para trazar este diagrama se pueden calcular de dos formas: 
 
1) Forma discreta. 
2) Forma continua. 
 
Se le llama forma discreta al hecho de determinar la fuerza cortante sección por sección, 
mientras que cuando se establece una ecuación para obtener los valores en cualquier 
sección la forma en que se obtuvieron fue continua. 
 
De acuerdo con la convención de signos previamente establecida, si la sumatoria de 
fuerzas a la izquierda de una sección tuviera sentido hacia arriba, dicha fuerza sería 
positiva, por lo que el diagrama de fuerza cortante se dibujaría por encima del eje de la 
viga. 
 
 
 
 
25 
 
Otra forma de determinar la fuerza cortante es empleando la relación matemática entre 
carga (w) y fuerza cortante (V), demostrada en mecánica de materiales; donde: 
 
 
(4.1) 
 
De la cual mediante integración, la fuerza cortante resulta: 
 
 
(4.2) 
 
Donde C representa una constante de integración que se determinará a partir de las 
condiciones de frontera; como ejemplo se tendrían los ejes de simetría, donde se sabe 
que la fuerza cortante es nula. 
 
- Determinación del diagrama de momento flexionante: 
 
El momento flexionante en una determinada sección se define como la sumatoria de los 
momentos de primer orden de todas las fuerzas que actúen a la izquierda de esa sección, 
respecto al eje centroidal de dicha sección. Y como en el caso de las fuerzas cortantes 
también puede determinarse sumando los momentos de todas las fuerzas que actúan a la 
derecha de dicha sección con signo contrario. 
 
Nuevamente, como en el diagrama de fuerzas cortantes, es posible calcular los valores 
de los momentos flexionantes en varias secciones de la viga ya sea en forma continua o 
en forma discreta, para luego usar esos valores como ordenadas que al unirse dan como 
resultado el diagrama de momentos flexionantes. 
 
Empleando la relación matemática existente entre fuerza cortante y momento 
flexionante que señala que al derivar el momento flexionante se obtiene la fuerza 
cortante, también pueden calcularse los valores de los momentos flexionantes: 
 
 
(4.3) 
 
Por lo que integrando los valores del diagrama de fuerza cortante se podrían obtener los 
momentos flexionantes: 
 
 
(4.4) 
 
Y debido a que el área bajo el diagrama de fuerza cortante es igual a , sumando 
las áreas de dicho diagrama se pueden obtener los momentos flexionantes, recordando 
nuevamente que la constante de integración C se obtiene de condiciones conocidas en la 
viga, como secciones en donde se sepa que el momento flexionante es nulo. 
 
26 
 
La convención de signos empleada considerará positivo a un momento flexionante cuyo 
sentido sea el de las manecillas del reloj, llamado sentido horario y sentido antihorario 
en caso contrario. Con lo cual un momento horario producirá esfuerzos de tensión en la 
cara inferior de una viga y de compresión en la cara superior. 
 
Cabe mencionar que el diagrama de momento flexionante se traza siempre de forma que 
quede en la cara de la viga donde se presentan los esfuerzos de compresión. 
 
- Determinación de las deformaciones (giros y deflexiones): 
 
En el capítulo 6 se presentan diversos métodos para el cálculo de estas. 
 
Ejemplo 4.1 
 
En el ejemplo se determinó el equilibrio de la viga, así como sus diagramas de fuerza 
cortante y momento flexionante. 
 
En el apoyo de la izquierda existen dos reacciones de apoyo (RAx y RAy) debidas al 
apoyo articulado, mientras que en el apoyo libre de la derecha solo existe RBy. 
 
Estas reacciones se calcularon con las ecuaciones 3.3, haciendo primero sumatoria de 
momentos alrededor del apoyo B, con lo que se obtuvo RAy. 
 
Después con Σ 0 Σ 0 se obtuvieron RAx y RBy respectivamente. 
 
Después se calcularon las fuerzas cortantes en las secciones 2, 3 y 4; es decir, en los 
puntos de aplicación de las cargas puesto que es en dichas secciones en donde hay un 
cambio brusco en el valor de la fuerza cortante. Es necesario calcular esos valores 
inmediatamente a la izquierda e inmediatamente a la derecha de esas secciones. 
 
Por ejemplo, en la sección 3 izquierda, las fuerzas que quedan a la izquierda de dicha 
sección son la reacción RAy que vale +75ton y la fuerza aplicada en la sección 2 que 
vale -30ton. El valor de la fuerza cortante resulta de +45ton; mientras que a la derecha 
de la sección 3 hay que adicionar la fuerza de -60ton que actúa en esa sección. 
 
Luego se calcularon los momentos flexionantes con la definición establecida 
previamente. Por ejemplo, nuevamente en la sección 3 las fuerzas que quedan a la 
izquierda; RAy y la de -30ton tienes brazos de 6 y 3m, respectivamente y respecto a la 
sección. La primera genera genera un momento horario (positivo), mientras que la 
segunda produce uno antihorario (negativo). 
 
Otra manera de calcular los momentos flexionantes es sumar las áreas del diagrama de 
fuerza cortante; como se sabe que el momento en el apoyo A es 0, el momento en la 
sección 2 sería igual a 0 más elárea del diagrama de cortante entre el apoyo A y la 
sección 2; es decir, 0 75 3 225ton m. Por lo tanto para la sección 3 sería el 
valor ya obtenido para la sección 2 más el área del diagrama de cortante entre las 
secciones 2 y 3, o sea 225 45 3 360ton m. 
 
27 
 
Finalmente, para dibujar el diagrama de fuerza cortante se observa que dicha fuerza se 
mantiene igual entra las cargas consecutivas, de ahí que sean líneas horiontales entre las 
cargas las que conformaron este diagrama. 
 
Para el diagrama de momento flexionante se observa que su variación es lineal entre las 
cargas, ya que si se planteara una ecuación de momento para una determinada sección 
situada a x distancia del origen, dicha ecuación resultaría de primer grado. 
 
Ejemplo 4.1 
 
Datos: 
 
3m 3m 3m 3m
A B
30ton 60ton 90ton
 
 
Solución: 
 
1) Cálculo de las reacciones. 
 
3m 3m 3m 3m
30ton 60ton 90ton
RAy RBy
RAx
 
 
Σ 0 
 
RA 12 30 9 60 6 90 3 0 
 
RA
900
12
75ton 
 
Σ 0 
 
RA 0 
 
Σ 0 
 
75 30 60 90 RB 0 
 
RB 180 75 105ton 
 
 
 
28 
 
2) Cálculo de las fuerzas cortantes y momentos flexionantes. 
 
30ton 60ton 90ton
75ton 105ton
1 5
32 4
 
 
a) cortantes. 
 
Sección 2 a la izquierda: V 75ton 
Sección 2 a la derecha: V 75 30 45ton 
 
Sección 3 a la izquierda: V 75 30 45ton 
Sección 3 a la derecha: V 75 30 60 15ton 
 
Sección 4 a la izquierda: V 75 30 60 15ton 
Sección 4 a la derecha: V 75 30 60 90 105ton 
 
b) Momentos flexionantes. 
 
Sección 2: M 75 3 225ton m. 
 
Sección 3: M 75 6 30 3 360ton m. 
 
Sección 4: M 75 9 30 6 60 3 315ton m. 
 
En los apoyos el momento es cero por ser articulaciones. 
 
3) Diagramas de fuerza cortante, momento flexionante y fuerza normal. 
45ton
15ton
(+)
75ton
105ton
(-)
(V)
 
360ton-m
(+)
225ton-m
315ton-m
(M)
 
 
N = 0
(N)
29 
 
Ejemplo 4.2 
 
En este ejemplo se obtendrán los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante 
mediante el planteo de ecuaciones; empleando el método de secciones. 
 
La viga tiene dos reacciones de apoyo (MA, RAy) y en este caso existen dos ecuaciones 
de equilibrio (Σ 0 Σ 0) por tratarse de un sistema de fuerzas paralelas; por 
lo tanto n c r y la viga es estáticamente determinada. 
 
Primero se calculó el valor de MA tomando sumatoria de momentos en el apoyo A, que 
resultó de 360ton-m con sentido antihorario. Una vez determinado MA, se obtuvo el 
valor de RAy a partir de la ecuación de equilibrio 0. 
 
Como se mencionó al principio del ejemplo; se utilizó el método de secciones para el 
cálculo de los diagramas de momento flexionante y de fuerza cortante. 
 
Este método consiste, como su nombre lo indica en dividir al elemento estructural en 
secciones mediante cortes y luego analizar cada sección por separado. 
 
Dichos cortes o divisiones deben hacerse en donde se presenten cambios bruscos de 
fuerzas debidas entre otras razones a las cargas que se aplican al elemento. Una vez que 
el elemento ya está dividido se analiza cada sección resultante tomando como origen la 
parte izquierda o derecha del elemento; es decir, considerando las fuerzas en el 
elemento ya sean de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. Además, debido a 
que los cortes se realizan entre cada cambio de fuerzas, la longitud a la que se hacen es 
la incógnita que luego tomará un valor comprendido entre las fronteras que se planteen. 
 
Después se hace sumatoria de momentos respecto al corte para de esta manera obtener 
la ecuación de momento flexionante en esa sección. Cabe recordar que si se analiza a la 
sección de izquierda a derecha, de acuerdo a la convención de signos mencionada, los 
momentos horarios serán positivos, así como las fuerzas verticales hacia arriba y las 
horizontales que tengan sentido hacia la derecha. 
 
La forma de obtener la ecuación de fuerza cortante es mediante la relación matemática 
que existe entre la fuerza cortante y el momento flexionante descrita previamente y que 
señala que la primera derivada de la ecuación de momento flexionante dará como 
resultado la ecuación para fuerza cortante. 
 
Una vez determinadas las ecuaciones de momento flexionante y fuerza cortante es 
posible calcular los respectivos diagramas a partir de estas; sustituyendo los valores de x 
en los intervalos deseados siempre y cuando se respeten los límites de frontera de cada 
sección. 
 
En este ejemplo los intervalos fueron de 1m y para facilitar los cálculos se elaboró una 
tabla para cada sección, en donde se muestran con los valores de los momentos 
flexionantes y fuerzas cortantes. 
 
Una forma de comprobar la veracidad de las ecuaciones de momento flexionante 
obtenidas es la continuidad de los valores que se obtengan; por ejemplo si el momento 
30 
 
flexionante para los 6m se calcula con cualquiera de las dos ecuaciones obtenidas para 
este fin, el resultado será el mismo, indicando coherencia en las expresiones. 
 
Si x 6m: 
 
M 360 70 6
6 6
2
48ton m 
 
M 360 70 6
6 6
2
10 6 6 48ton m 
 
Para concluir el ejemplo se muestran los diagramas de fuerza cortante y momento 
flexionante obtenidos con ayuda del método de secciones. 
 
Ejemplo 4.2 
 
Datos: 
A
10ton
6ton/m
RAy
MA
2m 2m 2m 2m 2m
 
 
Solución: 
 
1) Cálculo de las reacciones. 
 
Σ 0 
 
MA 6 10 5 10 6 0 
 
MA 360ton m 
 
Σ 0 
 
RA 60 10 0 
 
RA 70ton 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
2) Cálculo de los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante mediante el 
método de secciones. 
 
A
10ton
6ton/m
70ton
360ton-m
2m 2m 2m 2m 2m
a b
 
 
Corte “a”. Convención izquierda. 0 x 6m. 
 
A 6ton/m
70ton
360ton-m
a
x
 
 
 
M 360 70x
6x
2
 
 
V 70 6x 
 
Corte “b”. Convención izquierda. 6 x 10m. 
 
A
10ton
6ton/m
70ton
360ton-m
b
x
6m x - 6m
 
 
 
M 360 70x
6x
2
10 x 6 
 
V 70 6x 10 60 6x 
32 
 
 
 
Empleando las ecuaciones se obtuvo: 
 
Corte “a”. 
 
x 
(m) 
M 
(ton-m) 
V 
(ton) 
0 -360 70 
1 -293 64 
2 -232 58 
3 -177 52 
4 -128 46 
5 -85 40 
6 -48 34 
 
Corte “b”. 
 
x 
(m) 
M 
(ton-m) 
V 
(ton) 
6 -48 24 
7 -27 18 
8 -12 12 
9 -3 6 
10 0 0 
 
Diagrama de momento flexionante. 
360ton/m
(-)
(M)
 
Diagrama de fuerza cortante. 
70ton
(+)
(V)
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
Ejemplo 4.3 
 
En esta ocasión se consideró que la viga tiene tres reacciones de apoyo (RAx, RAy y RBy) 
y existen tres ecuaciones de equilibrio (Σ 0, Σ 0 Σ 0); por lo que ahora 
se trata de un sistema de fuerzas no paralelas. 
 
Nuevamente se empleará el método de secciones para la elaboración de los diagramas 
de fuerza cortante y momento flexionante. 
 
Siguiendo el procedimiento se calculó el valor de RAy tomando sumatoria de momentos 
en el apoyo B, misma que resultó de 17.5ton hacia arriba. Después se obtuvo el valor de 
RAx a partir de la ecuación de equilibrio 0. Y finalmente, mediante la ecuación 
0 se determinó la reacción RBy. 
 
Para el análisis del elemento se requirieron cinco cortes, por lo que el elemento se 
dividió en cinco secciones. 
 
Los primeros tres cortes no representan mayor problema, ya que solo debe proseguirse 
como en el ejercicio anterior, pero en los últimos dos debido a la carga triangular y al 
corte se formó trapecio; el cual fue necesario descomponer en dos cargas (F1 y F2) para 
la elaboración de la ecuación. 
 
La obtención de sus respectivas alturas se hizo considerando a la carga triangular 
completa y una vez que se tuvieron todos los datos necesarios se calcularon las 
ecuaciones correspondientes con intervalos de 1m de nuevo. 
 
Nótese que en esta ocasión se elaboró solo una tabla en donde se muestran los valores 
de las fuerzas cortantes y momentos flexionantes en cada sección del elemento; de ahí 
que algunas celdas contengan dos valores de fuerza cortante, debidas a que las 
condiciones de carga cambian entre cada sección y que son los valores resultantes de 
aplicar las diversas ecuaciones. 
 
Ejemplo 4.3 
 
Datos: 
 
A
7ton
2ton/m
RAy
2m 2m
1m
3m2m
RBy
B
3ton/m
3ton/m
RAx
 
 
 
 
34 
 
 
Solución: 
 
1) Cálculo de las reacciones. 
 
Σ 0 
 
RA 5 2 4 5 3 2 4 7 3 7.50.33 0 
 
RA
87.48
5
17.5ton 
 
Σ 0 
 
RA 0 
 
Σ 0 
 
17.5 8 6 7 7.5 RB 0 
 
RB 28.5 17.5 11ton 
 
2) Utilización del método de secciones. 
 
7ton
2ton/m
17.5ton
2m 2m
1m
3m2m
11ton
3ton/m
3ton/m
a dcb e
 
 
Corte “a”. Convención izquierda. 0 x 2m. 
 
2ton/m
x
a
 
 
M
2x
2
x 
 
V 2x 
 
35 
 
 
 
Corte “b”. Convención izquierda. 2 x 4m. 
 
2ton/m
17.5ton
2m x-2m
3ton/m
b
x
 
 
M x 17.5 x 2 3
x 2
2
2.5x 23.5x 41 
 
V 5x 23.5 
 
Corte “c”. Convención izquierda. 4 x 5m. 
 
7ton
17.5ton
2m
c
x
x-2m
6ton
8ton
3m x-3m
4m
 
 
M 17.5 8 x 2 6 x 3 7 x 4 3.5x 27 
 
V 3.5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
Corte “d”. Convención izquierda. 5 x 7m. 
 
7ton
17.5ton
3ton/m
d
8ton
6ton
F1
F2
2m
3m
4m
x
x-2m
x-3m
x-4m
5m x-5m
6m-35x
3
5x-3m
 
 
Obtención de F1 y F2: 
 
h
3m
5m
10m-x x-5m
 
 
5 x 5 10 x 
 
Para la altura de F1: 
 
h
3
10 x
5
 h 3 2
3
5
x 6
3
5
x 
 
Para la altura de F2: 
 
h 3 6
3
5
x
3
5
x 3 
 
Resultando en las siguientes fuerzas: 
 
F x 5 6 x y F x 3 
 
Por lo tanto: 
 
M 17.5 8 x 2 6 x 3 7 x 4
x 5
2
6
3
5
x
x 5
3
3
5
x 3 
 
M 0.1x 3x 19x 23 
37 
 
 
 
V 0.3x 6x 19 
 
Corte “e”. Convención izquierda. 7 x 10m. 
 
7ton
17.5ton
3ton/m
e
8ton
6ton
F1
F2
2m
3m
4m
x
x-2m
x-3m
x-4m
5m x-5m
6m-35x
3
5x-3m
11ton
7m
 
 
M 17.5 8 x 2 6 x 3 7 x 4
x 5
2
6
3
5
x
x 5
3
3
5
x 3 11 x 7 
 
M 0.1x 3x 30x 100 
 
V 0.3x 6x 30 
 
Finalmente, con ayuda de las ecuaciones de cada sección se obtuvieron: 
 
x 
(m) 
M 
(ton-m) 
V 
(ton) 
0 0 0 
1 -1 -2 
2 -4 -4, 13.5 
3 7 8.5 
4 13 3.5, -3.5 
5 9.5 -3.5 
6 4.6 -6.2 
7 -2.7 -8.3, 2.7 
8 -0.8 1.2 
9 -0.1 0.3 
10 0 0 
 
 
 
 
 
38 
 
 
Diagrama de momento flexionante. 
 
4ton/m
(-) (M)(-)
(+)
13ton/m
2.7ton/m 
 
Diagrama de fuerza cortante. 
 
4ton
(+)
(V)
(+)
(-) (-)
13.5ton
3.5ton
8.3ton
2.7ton
 
 
Diagrama de fuerza normal. 
 
N = 0
(N)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
4.2 – Análisis de marcos isostáticos 
 
La resolución de estos normalmente comprende los siguientes pasos: 
 
1) Determinación de las reacciones. 
2) Determinación de fuerzas cortantes y momentos flexionantes. 
3) Determinación de fuerzas normales. 
4) Determinación de los diagramas de fuerzas y momentos. 
 
Los marcos son estructuras conformadas por la unión de vigas y columnas mediante los 
llamados nudos rígidos, mismos que como su nombre lo indica restringen la rotación 
relativa de los miembros que unen. 
 
Esto se describe más detalladamente en la siguiente figura, donde se observa que los 
elementos que concurren en el nudo B, mismos que conservarán el mismo ángulo a 
pesar de que el marco se llegase a deformar. 
 
 
 
Figura 4.1: Marco rígido. 
 
En la siguiente figura se muestra que aunque el nudo gire, los ángulos que forman los 
tres miembros que concurren en el nudo siguen siendo rectos. 
 
 
 
Figura 4.2: Deformación de un marco rígido. 
 
Los elementos que conforman un marco rígido también están sujetos a momentos 
flexionantes, fuerzas cortantes y hasta a fuerzas normales, siendo estas últimas de vital 
importancia para el análisis de columnas. 
 
 
 
 
40 
 
- Determinación de las reacciones: 
 
Se obtienen de la misma manera que en las vigas; mediante el uso de las ecuaciones de 
equilibrio y de las de condición. 
 
- Determinación de fuerzas cortantes y momentos flexionantes: 
 
También se determinan como en las vigas, calculando las magnitudes de las fuerzas 
cortantes y los momentos flexionantes en puntos clave del elemento analizado ya sea en 
forma discreta o continua. 
 
Otro análisis que tiene gran importancia en marcos es el equilibrio de los nudos; para 
esta revisión es importante conocer los dos tipos de momentos que se suelen presentar, 
y que son: 
 
1) Momentos de barra sobre apoyo. 
2) Momentos de apoyo sobre barra o en los extremos. 
 
Siendo los momentos de barra sobre apoyo aquellos que producen los extremos de los 
elementos sobre el nudo; mientras que los que les producen los nudos a los miembros 
son los denominados momentos en los extremos o momentos de apoyo sobre barra. 
 
En la figura siguiente nuevamente se muestran los momentos de barra sobre apoyo y los 
de apoyo sobre barra existentes en el nudo B del marco. 
 
 
 
Figura 4.3: Momentos de barra sobre apoyo y de apoyo sobre barra. 
 
Los momentos de barra sobre apoyo serían MBA, MBC y MBD, por lo que M´BA, M´BC y 
M´BD vendrían siendo los momentos de apoyo sobre barra. 
 
La sumatoria de cualquiera de los momentos descritos anteriormente que existen en los 
nudos de un marco debe ser igual a cero para que estos se encuentren en equilibrio; 
debido a esto una vez que se conozcan los momentos de un elemento, estos servirán 
para determinar los momentos de otros elementos que concurran en el mismo nudo. 
 
Con esto se pueden plantear las siguientes ecuaciones: 
 
0 
(4.5) 
 
´ ´ ´ 0 
(4.6) 
41 
 
Y como ya se mencionó, para cualquiera de los nudos de un marco: 
 
Σ 0 
(4.7) 
 
Se usará la misma convención de signos que en vigas, misma que considera positivo a 
un momento flexionante cuyo sentido de giro es el horario; mismo que provocaría en el 
extremo izquierdo de una viga esfuerzos de compresión en la cara superior de una viga 
y esfuerzos de tensión en la cara inferior, como se muestra en la siguiente figura. 
 
 
 
Figura 4.4: Momento positivo en marcos. 
 
Mientras que como la figura 4.5 presenta, en el extremo derecho sucede lo contrario, ya 
que un momento negativo es el que produce tensiones en la cara inferior y compresiones 
en la cara superior. 
 
 
 
Figura 4.5: Momento negativo en marcos. 
 
De acuerdo a la convención establecida, en el apoyo izquierdo el momento de apoyo 
sobre barra es el momento flexionante en el apoyo, porque este actúa a la izquierda de la 
sección; mientras que en el apoyo de la derecha, el momento de apoyo sobre barra es el 
flexionante con signo cambiado ya que actúa a la derecha de la sección. 
 
En las columnas se considerará que su parte inferior equivale al extremo izquierdo de 
una viga, y su parte superior al extremo derecho, como se muestra en la figura. 
 
 
 
Figura 4.6: Equivalencia entre columnas y vigas. 
 
42 
 
Esto quedaría más claro con la siguiente figura, que muestra los puntos de observación 
desde los cuales se analizan las columnas. 
 
 
 
Figura 4.7: Puntos de observación en la equivalencia de columnas. 
 
Los diagramas correspondientes se trazarán siempre en la cara de los miembros en que 
haya esfuerzos de compresión. 
 
Las fuerzas cortantes en las columnas se consideran positivas cuando van hacia arriba y 
se analiza al elemento desde la izquierda, y cuando van hacia abajo si el elemento se 
analiza desde la derecha; si la columna se mira como se muestra en las figuras 4.6 y 4.7; 
los diagramas positivos de fuerza cortante se trazan a la izquierda de las columnas, y los 
negativos, a la derecha. 
 
- Determinación de las fuerzas normales: 
 
Las fuerzas normales que actúan en los miembros de los marcos son generalmente las 
reacciones de otros miembros del marco; por lo tanto, las fuerzas normales pueden 
calcularse aislando cada miembro del marco, después de obtener sus diagramas de 
momento flexionante y fuerza cortante, y analizando las reacciones que producen sobre 
otros miembros. 
 
Ejemplo 4.4 
 
El marco cuenta con 4 reacciones de apoyo, 3 ecuaciones de equilibrio y una ecuación 
de condición debida a la articulación del punto C, con lo cual se cumple la condición 
 n c r y el marco es isostático. 
 
La isostacia de la estructura también puede corroborarse con r 3m 3n c, donde 
m es igual a 3 porque el marco tiene tres elementos, r vale 4, así como n (incluyendo los 
nudos de los apoyos) y c vale 1 por la ecuación de condición que indica un momento 
flexionante nulo en el punto C. 
 
Empleando la ecuación de condición se determinaron las reacciones, haciendo 
sumatoria de las fuerzas a la derecha de la sección C con signo cambiado, con lo cualse 
logró establecer una relación entre las reacciones REX y REy. 
 
43 
 
Cabe mencionar que debido a la inexistencia de fuerzas entre la reacción E y la 
articulación en C, la fuerza resultante de REX y REy debería pasar por el punto C para 
generar un momento flexionante nulo en dicho punto. 
 
Después se plantearon las tres ecuaciones de equilibrio (Σ 0, Σ 0 Σ 0), 
aunque debido a las características del marco, con la primera ecuación fue posible 
obtener las reacciones del apoyo E, y con las otras dos se obtuvieron los valores de las 
demás incógnitas; por lo que no fue necesario resolver el sistema de cuatro ecuaciones 
con cuatro incógnitas. 
 
Los sentidos de las reacciones no se conocen al principio, por lo que puede suponerse 
cualquier sentido, mismo que si es correcto resultará en un valor positivo para el valor 
de la reacción. Por el contrario, si el resultado es negativo, el sentido supuesto es 
contrario al que realmente tiene dicha reacción. Esto se puede ver en la reacción RAx del 
ejemplo, cuyo signo fue negativo; con lo que su sentido correcto sería de izquierda a 
derecha y no como se propuso en el croquis. 
 
Con las reacciones de apoyo ya conocidas se obtuvieron fuerzas cortantes, momentos 
flexionantes y fuerzas normales. 
 
En el caso de las fuerzas cortantes, en el miembro AB la fuerza cortante es constante e 
igual a 1.58ton, ya que no actúa otra fuerza entre los puntos A y B. De acuerdo con la 
convención de signos esta fuerza es negativa, ya que si se observa la columna AB desde 
el interior del marco como se mostró en la figura 4.7, la reacción RAx actúa hacia abajo. 
 
En el punto B del miembro BD la fuerza cortante es igual a la reacción RAy; misma que 
es positiva porque actúa hacia arriba y se mantiene constante hasta el punto de 
aplicación de la carga de 20ton. 
 
En este punto toma un valor de 11.31 20 8.69ton, que se mantiene constante 
hasta el punto D. Para obtener la fuerza cortante en el miembro ED, conviene observarlo 
como se indicó en la figura 4.7, entonces la fuerza cortante es igual a la reacción REx, 
misma que es positiva porque actúa hacia arriba, y es constante porque a lo largo del 
miembro no hay ninguna carga aplicada. 
 
Para obtener el diagrama de momento flexionante en el miembro AB, se parte de un 
momento nulo en la articulación A. Este momento va aumentando ya que en cualquier 
sección es igual a RAx y, siendo y la distancia de la sección al punto A, el momento es 
negativo porque su sentido es antihorario si se toman las fuerzas a la izquierda de la 
sección. 
 
Trazando un diagrama de cuerpo libre del nudo B, como el mostrado en la figura se 
obtuvo el signo correcto del momento flexionante en el punto B. 
 
 
44 
 
 
 
Figura 4.8: Nudo B del ejemplo 4.4. 
 
De acuerdo con la figura 4.3, MBA sería un momento de barra sobre apoyo y el 
momento flexionante en el extremo B del elemento BA ya porque es la sumatoria de los 
momentos que actúan a la izquierda de la sección es negativa. 
 
Mientras que en el extremo B del elemento BD el momento de apoyo sobre barra M´BD, 
es el momento flexionante porque éste es la suma de los momentos que actúan a la 
izquierda de esa sección. 
 
En el diagrama de cuerpo libre del nudo B se observa que si MBA fuese positivo, el 
momento MBD sería negativo para lograr que la sumatoria de momentos en ese nudo 
resultara igual a cero. De la misma manera, si MBD es negativo, M´BD, es decir, el 
momento flexionante, debe ser positivo. 
 
Entre el punto B y la fuerza de 20ton el momento flexionante en el elemento BD es 
igual a -7.9ton-m más el producto RA x , siendo x la distancia del punto B a la 
sección considerada. 
 
Dado que el sentido del momento RA x es horario, este positivo y se suma al 
momento de -7.9ton-m. Debajo de la carga concentrada x vale 3m y el momento 
flexionante total alcanza las +26.03ton-m. Luego, a la derecha de la carga concentrada 
el momento flexionante comienza a disminuir debido a esa misma fuerza que produce 
un momento negativo; finalmente, al llegar a la articulación C el momento flexionante 
debe ser igual a cero para después seguir disminuyendo hasta que se llega al punto D 
con un valor de -34.8ton-m, que se obtiene de la siguiente manera: 
 
MD 7.9 RA 10 20 7 34.8ton m 
 
Multiplicando REx por la distancia y que es la distancia del punto E a la sección 
considerada es posible determinar el momento flexionante en cualquier sección del 
elemento ED. De acuerdo con la figura 4.7 los momentos mencionados tienen sentido 
horario y están producidos por una fuerza actuante a la izquierda de la sección; por lo 
que son momentos positivos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
En la siguiente figura se ha trazado un diagrama de cuerpo libre del nudo D. 
 
 
 
Figura 4.9: Nudo D del ejemplo 4.4. 
 
El momento flexionante correspondiente al elemento BD, así como y el del elemento 
ED, son de barra sobre apoyo, entonces deben tener signo contrario para que el nudo 
esté equilibrado. 
 
Como se mencionó anteriormente, el diagrama de momentos flexionantes se trazó de 
manera que quedara siempre en la cara de los elementos en donde se presentan 
esfuerzos de compresión. 
 
Entonces, dado que los momentos del elemento ED son positivos, habrá esfuerzos de 
compresión en la cara superior de los elementos si se les considera vigas analizadas 
desde los puntos de observación de la figura 4.7, es decir, en la parte izquierda de los 
miembros vistos en posición vertical. 
 
En la viga BD, los momentos positivos producen esfuerzos de compresión en la cara 
superior, y los momentos negativos producen esfuerzos de compresión en la cara 
inferior. 
 
Por último se trazó el diagrama de fuerzas normales. 
 
En el elemento AB la fuerza normal es igual a la reacción RAy, misma que se mantiene 
constante en todo el elemento, ya que debe haber otra fuerza normal de compresión que 
equilibre a esta reacción en cualquier sección transversal. 
 
El elemento BD posee una fuerza normal constante de 11.58ton, que resulta de restarle a 
RAx la fuerza horizontal de 10ton, ya que ambas fuerzas tienen signos contrarios. 
 
Por último en el elemento ED, la fuerza normal es igual a REy que se mantiene constante 
a lo largo de todo el elemento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
Ejemplo 4.4 
 
Datos: 
 
A
RAy
B
RAx
5m
3m
REy
REx
3m 3m 4m
RE
D
E
C10ton
20ton
 
 
Solución: 
 
Σ . 0 
 
RE 4 RE 3 0 
 
RE
3
4
RE 
 
La reacción E debe pasar por C, ya que el tramo de marco entre C y E no tiene cargas 
externas. 
Σ 0 
 
20 3 RE 10 RE 2 10 5 0 
 
10RE 2RE 110 
 
10
3
4
RE 2RE 110 
 
RE
220
19
11.58ton 
 
RE
3
4
11.58 8.69ton 
 
Σ 0 
 
RA 10 11.58 0 
 
RA 1.58ton 
47 
 
 
Σ 0 
 
RA 20 8.69 0 
 
RA 11.31ton 
 
Diagrama de fuerza cortante. 
 
A
B D
E
11.31ton
(+)
1.58ton
8.69ton
11.58ton
(+)
(+)
 
 
Diagrama de momento flexionante. 
A
B
E
26.03ton-m
(+)
7.9ton-m
34.8ton-m
34.74ton-m
7.9ton-m D(+)(-)
 
Diagrama de fuerza normal. 
A
B D
E
11.58ton
(-)
11.31ton
8.69ton
(-)
(-)
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
Ejemplo 4.5 
 
El marco posee una columna inclinada; el apoyo A es libre y el apoyo D es articulado; 
por lo que al tener tres incógnitas de reacción y tres ecuaciones de equilibrio el marco es 
isostático. 
 
Conviene prolongar las dos columnas hasta su punto de intersección O para de esta 
forma determinar el valor de las reacciones. Debido a que las reacciones RA y RDy pasan 
por dicho punto, no generarán momentos y es posible despejar directamente el valor de 
la reacción RDx tomando momentos alrededor de O. Luego si se descompone RA en sus 
dos componentes, con las ecuaciones Σ 0 Σ 0 se pueden determinar los 
valores de esas proyecciones. 
 
Conocidas las componentes se determina RA que resulta de 0.35ton; a continuación se 
descompone la fuerza horizontal de 30ton en una componente perpendicular y otra 
paralela a la columna AB. Esto resulta bastante útil para calcular las acciones internas 
en la columna y verificar si el nudo B se encuentra en equilibrio.Luego se analizó cada elemento, comenzando por la columna AB, donde se encuentra 
RA en el extremo A y las dos componentes de la carga de 30ton; con estas fuerzas se 
puede calcular los valores de las fuerzas cortantes, los momentos flexionantes y las 
fuerzas normales a lo largo del elemento. 
 
Entonces, no hay fuerza cortante entre los puntos A y A´ al no haber ninguna fuerza 
perpendicular al elemento, entre A´ y B, la fuerza cortante es igual a la componente 
transversal de la fuerza de 30ton, es decir 21.2ton. 
 
No existe momento flexionante entre A y A´, pero entre A´ y B la componente de 
21.2ton produce un momento flexionante igual a 21.2ton por la distancia a la sección 
considerada; en el punto B valió 21.2 4.24 89.89ton m. Entre A y A´ la fuerza 
normal es RA, que es de compresión, mientras que entre A´ y B se le adiciona la 
componente longitudinal de la fuerza de 30ton. 
 
En el elemento BC se tienen, RAy en el extremo B, y RDy en el extremo C, además de la 
carga distribuida y del momento de 89.89ton-m generado por la carga de 30ton. A partir 
de estos valores se calcularon las fuerzas cortantes, momentos flexionantes y fuerzas 
normales, como en el elemento AB. 
 
En el elemento CD se tienen las componentes RD, con las cuales se determinaron las 
acciones internas a lo largo del elemento. Se obtuvo un momento flexionante de 
151.25ton-m en el punto C que coincide con el obtenido en el mismo punto cuando se 
analizó el elemento BC, con lo cual se comprueban los cálculos. 
 
Finalmente, con los valores obtenidos en el análisis de cada miembro, se trazan los 
diagramas de acciones internas. 
 
 
 
 
 
49 
 
Ejemplo 4.5 
 
Datos: 
 
A
RAy
RAx
3m
RDy
RDx
C
D
30ton
5ton/m
2m
B
5m5m
 
 
Solución: 
 
A
RAy
RAx
3m
RDy
RDx
RA
C
D
30ton
5ton/m
2m
B
5m5m
O
5m
 
 
Σ 0 
 
30 8 5 5 2.5 RD 10 0 
 
RD
302.5
10
30.25ton 
 
Σ 0 
 
RA 30.25 30 0 
 
 
50 
 
 
RA 0.25ton 
 
RA
0.25
5
5 0.25ton 
 
Σ 0 
 
RA RD 5 5 0 
 
RD 24.75ton 
 
Por lo que el valor de RA fue: 
 
RA 0.25 0.25 0.35ton 
 
Descomponiendo P = 30ton. 
 
5m
5m
2.12m
A
P1
P2
B
2.1
2m
P
 
 
P P
30
3
2.12 21.2ton 
 
Miembro AB: 
 
A
0.25ton
0.25ton
0.35ton
21.2ton
B
21.2ton
x
A´
 
 
VAA´ 0 y VA´B 21.2ton 
 
MAA´ 0 y MA´B 21.2x ; si x = 4.24m MB 89.89ton m 
 
NAA´ 0.35ton y NA´B 21.2 0.35 20.85ton 
 
 
 
 
51 
 
 
Miembro BC: 
 
0.25ton 24.75ton
C
5ton/m
B
63.6ton-m
5m
 
 
VB 0.25ton 
 
VC 0.25 5 5 24.75ton 
 
MB 21.2 4.24 89.89ton m 
 
MC 89.89 0.25 5 5 5 2.5 151.14ton m 
 
NB NC RD 30.25ton 
 
Miembro CD: 
 
24.75ton
30.25ton
C
5m
D
 
 
VC VD 30.25ton 
 
MC 30.25 5 151.25ton m 
 
MD 0 
 
NC ND 24.75ton 
 
Diagrama de fuerza cortante. 
 
A
C
D
21.2ton
B
24.75ton
0.25ton
30.25ton
(-)
(-)
(+) (V)
52 
 
 
Diagrama de momento flexionante. 
 
A
C
D
89.89ton-m
B
151.25ton-m
151.25ton-m
(-) (+)-
(M)
 
 
Diagrama de fuerza normal. 
 
A D
0.35ton
B
24.75ton30.25ton
(-)
(-) (N)
20.85ton
(-)
C
 
 
 
 
4.3 – Análisis de armaduras isostáticas 
 
Los miembros de una armadura trabajan únicamente a tensión o a compresión axial 
debido a que están articulados en sus extremos. 
 
Entonces, la resolución de este tipo de estructuras consiste en los siguientes pasos: 
 
1) Determinación de las reacciones. 
2) Determinación de fuerzas axiales. 
 
- Determinación de las reacciones: 
 
Se obtienen igual que en el caso de vigas y marcos, empleando las ecuaciones de 
equilibrio y las de condición, en función de las reacciones de apoyo, para luego despejar 
su valor del sistema de ecuaciones. 
 
- Determinación de fuerzas axiales: 
 
Ya que se conozcan los valores de las reacciones, se puede usar cualquiera de los 
siguientes métodos para determinar las fuerzas axiales en cada elemento. 
 
1) Método de los nudos. 
2) Método de las secciones. 
53 
 
El método de los nudos consiste en plantear un diagrama de cuerpo libre para cada 
nudo, cuidando que sólo aparezcan dos incógnitas. Luego mediante las ecuaciones de 
equilibrio que se tienen para un sistema de fuerzas concurrentes (Σ 0 Σ 0) se 
obtienen los valores de las dos incógnitas resolviendo el sistema resultante. Este método 
debe iniciarse con un nudo en el que solo haya dos incógnitas y conforme se avance en 
la solución, las incógnitas ya determinadas permitirán resolver los nudos en los que 
concurran varios elementos. Si se llegase a tener un caso de armaduras en el espacio, en 
vez de dos ecuaciones de equilibrio por nudo, se contará con tres. 
 
En el método de las secciones se realizan cortes en la armadura, para luego dibujar 
diagramas de cuerpo libre de las partes de la armadura que se interceptaron con los 
cortes, luego se usan las ecuaciones de equilibrio correspondientes. Para armaduras 
planas se tienen tres ecuaciones por tratarse de un sistema de fuerzas planas no 
concurrentes, mientras que para armaduras en el espacio se tendrán seis ecuaciones, al 
tratarse de un caso general de fuerzas en el espacio. 
 
Cuando solo se desee obtener las fuerzas en algunos de los elementos de la armadura, 
resultará más recomendable el empleo del método de las secciones ya que este permite 
plantear una solución empleando los elementos cuyas fuerzas se buscan en lugar de 
avanzar nudo por nudo. 
 
En ocasiones es conveniente una combinación de ambos métodos cuando se requiera 
conocer las fuerzas en todos los elementos de la armadura, comenzando por resolver 
ciertos nudos y después secciones para agilizar los cálculos. 
 
Cabe recordar la convención de signos, que señala que una fuerza axial de tensión es 
positiva y una de compresión es negativa. 
 
También debe recordarse que si al analizar un nudo o sección, la incógnita resulta 
positiva al ser despejada, esto significa que el sentido supuesto es el correcto, 
independientemente de que sea de tensión o de compresión. 
 
Ejemplo 4.6 
 
La armadura de presentada se resolvió usando el método de los nudos; es isostática 
externamente por tener tres reacciones de apoyo y tres ecuaciones de equilibrio; y es 
isostática internamente porque r b 2j. 
 
Se nombró a los nudos de la cuerda inferior con la letra L y a los de la cuerda superior 
con la letra U, y se numeraron de izquierda a derecha 
 
Las reacciones de los apoyos se calcularon como en los ejemplos de vigas y marcos, 
además al no haber más que cargas verticales, la reacción horizontal resultó nula. 
 
Se analizó primero el nudo L0, ya que conocida RAy sólo quedaban dos incógnitas, las 
de las barras L0U1 y L0L1. Luego con ayuda de las dos ecuaciones de equilibrio para 
fuerzas concurrentes en un plano se determinaron ambas fuerzas. 
 
54 
 
Después se analizó el nudo U1, ya que ahora al conocer la fuerza L0U1, sólo había dos 
incógnitas en dicho nudo. Se volvieron a emplear las ecuaciones de equilibrio para 
fuerzas concurrentes en un plano. 
 
Después se continuó con el nudo L1, en ya solo existían dos fuerzas desconocidas; de 
esta manera se continuó hasta el nudo U2 ya que no fue necesario analizar los nudos de 
la mitad derecha de la armadura dado que por simetría se pueden determinar. 
 
Ejemplo 4.6 
 
Datos: 
 
A
RAy
RAx
RBy
U1
L0
B
L1 L2 L3 L4
U2 U3
5m 5m 5m 5m
5m
300ton
 
 
Solución: 
 
1) Cálculo de las reacciones. 
 
Σ 0 
 
300 10 RB 20 0 
 
RB
3000
20
150ton 
 
Σ 0 
 
RA 0 
 
Σ 0 
 
RA 300 150 0 
 
RA 150ton 
 
 
 
55 
 
 
2) Cálculo de las fuerzas internas. 
 
Nudo L0: 
 
150ton
L0L1
sen = 1/ 221
2.1
3to
n
150ton
L0U1
2
cos = 1/ 2
1
1
150ton
150ton
 
 
Σ 0 
 
150 L U sin θ 0 
 
150 L U
1
√2
0 
 
L U 150 √2 212.13ton compresión 
 
Σ 0 
 
212.13
1
√2
L L 0 
 
L L 150ton tensión 
 
Nudo U1: 
 
U1U2
21
2.1
3to
n 150ton
U1L1
150ton
150ton
150ton
 
 
Σ 0 
 
212.13 cos θ U U 0 
 
U U 212.13
1
√2
150ton compresión 
 
 
 
56 
 
 
Σ 0 
 
212.13 sin θ U L 0 
 
U L 212.13
1
√2
150ton tensión 
 
Nudo L1: 
 
L1U2
21
2.1
3to
n
150ton
L1L2
150ton150ton
150ton
300ton 
 
Σ 0 
 
150 L U sin θ 0 
 
L U 150 √2 212.13ton compresión 
 
Σ 0 
 
150 212.13 cos θ L L 0 
 
L L 150 212.13
1
√2
300ton tensión 
 
Nudo L2: 
 
L2U2
300ton
L2L3
300ton
 
 
 
 
 
57 
 
 
Σ 0 
 
300 L L 0 
 
L L 300ton compresión 
 
Σ 0 
 
300 L U 0 
 
 
L U 300ton tensión 
 
Nudo U2: 
 
U2U3
21
2.1
3to
n
150ton
U2L3
300ton150ton
150ton
212.13ton
150ton
150ton
150ton
 
 
Σ 0 
 
212.13 sin θ 300 U L sin θ 0 
 
212.13
1
√2
300 U L
1
√2
0 
 
U L 300 150 √2 212.13ton compresión 
 
Σ 0 
 
150 212.13 cos θ 212.13 cos θ U U 0 
 
U U 150ton compresión 
 
Por simetría de la armadura: 
 
L L L L , L L L L , U L U L , U L U L 
 
 
 
 
 
 
58 
 
Ejemplo 4.7 
 
En este se describirá el método de las secciones ya que en esta ocasión solamente se 
pide encontrar las fuerzas que actúan en las barras L1L2 y U2U3. Los valores de las 
reacciones de apoyo se calcularon como ya se ha descrito en ejercicios pasados. 
 
Ya conocidos los valores de las reacciones la fuerza en la barra L1L2 se determinó 
mediante un corte en la sección 1-1 y tomando momentos alrededor del nudo U2; esto se 
debe a que de esta forma la única incógnita que aparecerá en la ecuación será la de la 
fuerza que se pide, dado que la sección corta la barra de la que se desea conocer la 
fuerza y que las demás concurren en el nudo U2; por lo tanto no generarán momentos. 
 
Una vez conocida la fuerza de la barra L1L2, se prosiguió de la misma forma con la 
barra U2U3. 
 
Ejemplo 4.6 
 
Datos: 
 
A
RAy
RAx
RBy
U1
L0
B
L1 L2 L3 L4
U2 U3
5m 5m 5m 5m
5m
100ton 100ton100ton
 
 
Solución: 
 
1) Cálculo de las reacciones. 
 
Σ 0 
 
100 5 100 10 100 15 RB 20 0 
 
RB
3000
20
150ton 
 
Σ 0 
 
RA 0 
 
Σ 0 
 
RA 100 100 100 150 0 
59 
 
 
RA 150ton 
 
2) Cálculo de las fuerzas en las barras. 
 
A
RAy
RAx
RBy
U1
L0
B
L1 L2 L3 L4
U2 U3
5m 5m 5m 5m
5m
100ton 100ton100ton
1
1
2
2
 
Barra L L : 
 
150ton
U1
L0 L1
L1L2
U2
100ton
L1U2
U1U2
 
 
Σ 0 
 
150 10 100 5 L L 5 0 
 
L L
1000
5
200ton tensión 
 
Barra U U : 
 
150ton
U1
L0 L1 L2
U2 U2U3
100ton100ton
L2L3
U2L3
L3
 
 
60 
 
 
Σ 0 
 
150 15 100 10 100 5 U U 5 0 
 
U U
750
5
150ton compresión 
 
 
 
4.4 – Método de Newmark 
 
Este método permite determinar las reacciones, fuerzas cortantes y momentos 
flexionantes a través de un procedimiento numérico tabular que facilita sustancialmente 
los cálculos; pero su verdadera utilidad reside en su aplicación a cargas irregulares. 
 
Primero se demostrará su aplicación a las cargas concentradas para después emplearlo 
en casos de cargas distribuidas; además este método también se puede, entre otras cosas 
aplicarse al cálculo de deformaciones como se verá en el capítulo 6 para la 
determinación de giros y deflexiones en vigas. 
 
4.4.1 – Cargas concentradas 
 
Para la realización de los cálculos se elabora una tabla cuyas líneas verticales coinciden 
con las secciones en las que se divida a la estructura, con el fin de obtener los valores de 
las fuerzas cortantes y momentos flexionantes en dichas secciones. 
 
Debido a que los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flexionantes producidos 
por cargas concentradas tienden a variar linealmente entre cada carga, basta con 
determinar los valores en esos puntos para que los diagramas queden definidos. 
 
Volviendo a la tabla, en el primer renglón se presentan las distancias (h) entre los 
puntos de aplicación de las cargas en cada segmento; colocando las unidades en los 
extremos derechos de cada renglón. 
 
En el segundo renglón se escriben las magnitudes de las cargas (P) en cada sección, con 
la convención ya conocida de darles signo positivo si van hacia arriba y signo negativo 
en caso contrario. 
 
El tercer renglón está destinado a la determinación de las fuerzas cortantes (V), estas se 
obtienen sumando las cargas del renglón anterior y comenzando de preferencia por una 
sección en donde se conozca de antemano el valor de la fuerza cortante; tal es el caso de 
un voladizo, en donde ya es sabido que en el extremo libre tanto la fuerza cortante como 
el momento flexionante tienen un valor nulo. 
 
El cuarto renglón sirve para calcular las áreas del diagrama de fuerza cortante en cada 
segmento; esto se logra multiplicando V h , o lo que es lo mismo, el renglón 1 por el 
3. 
 
61 
 
Por último, en el quinto renglón se calculan los valores de momento flexionante 
sumando los valores obtenidos en el renglón anterior, nuevamente de preferencia 
comenzando en una sección en donde se conozca el valor de este; como en el caso de 
una articulación interior, en donde la fuerza cortante o el momento flexionante pueden 
ser nulos; dependiendo del tipo de articulación. 
 
Ejemplo 4.7 
 
Se resuelve una viga libremente apoyada que tiene tres cargas concentradas; además 
este ejemplo se puede resolver mediante dos opciones. 
 
La primera consiste en comenzar calculando el valor de la reacción en el apoyo A, con 
lo cual ya se tendría un valor de arranque para la determinación de las fuerzas cortantes 
sumando los valores de las cargas mostrados en el renglón 2 y comenzando como ya se 
mencionó con el valor de 3.63ton en el extremo izquierdo. 
 
Como ya se describió, el renglón cuatro se obtiene multiplicando los renglones 1 y 3, y 
en el renglón 5 se deben sumar los valores del 4; nuevamente se comenzó desde el 
extremo izquierdo ya que se sabe que el valor de momento flexionante en esa sección es 
nulo. 
 
Los valores obtenidos se comprueban llegando a un valor nulo de momento flexionante 
en el extremo derecho, aunque debido al redondeo de la reacción en A, el valor no fue 
exactamente nulo. 
 
La otra forma de proceder es el suponer un valor para la reacción en A, que sería igual a 
la fuerza cortante en el segmento 1-2; por lo que en este ejemplo se propuso un valor de 
+2, mostrado en dicho segmento del renglón 3. 
 
Además se agregó un renglón denominado V´, que significa que el valor de arranque es 
supuesto. Con ese valor se calculan otros dos renglones extra; el V´h y el M´, de manera 
semejante a como se calcularon en la primera proposición de solución. 
 
Al llegar al extremo derecho del renglón M´, el valor de momento resulta no ser nulo, 
debido a que el valor propuesto de la reacción en A fue incorrecto; para arreglar esto se 
introduce una “configuración correctiva”; misma que se muestra en el esquema anexo. 
 
La configuración correctiva consiste en el extremo derecho de la viga un momento de 
sentido opuesto al que resultó en el mismo extremo renglón 5, pero de sentido contrario 
con el objetivo de generar un momento nulo en dicho extremo. 
 
Dicho momento genera una fuerza cortante constante de 1.625ton a lo largo de toda la 
viga, dicho valor se obtiene al dividir el momento flexionante aplicado entre el claro de 
la viga, y un momento que varía de manera lineal de 0ton-m en el extremo izquierdo a 
13ton-m en el derecho. 
 
Por lo que se agregó un renglón denominado Vc en donde se muestra el valor del 
cortante correctivo, con el fin de facilitar los cálculos, ya que dicho valor debe sumarse 
a cada fuerza cortante del renglón 3, para obtener así las fuerzas cortantes correctas (V). 
 
62 
 
En los últimos dos renglones se calcularon las áreas correctas del diagrama de fuerza 
cortante, así como los verdaderos momentos flexionantes comenzando la sumatoria 
nuevamente desde el extremo izquierdo. 
 
Dichos valores se comprueban llegando al fin a un valor nulo en el extremo derecho de 
momento flexionante y para finalizar se trazaron los diagramas de fuerza cortante y 
momento flexionante. 
 
Cabe mencionar que esta forma de aplicar el método de Newmark es más general, ya 
que no siempre se presentarán casos en los que sea posible deducir el valor de una 
fuerza cortante o de un momento flexionante. 
 
Ejemplo 4.7 
 
Datos: 
 
A B
3ton 1ton 2ton
1 2 3 4 5
1m 3m 2m 2m
 
 
Solución 1: 
 
Σ 0 
 
RA 8 3 7 1 4 2 2 0 
 
RA
29
8
3.63ton 
 
1 2