Diseno-de-pantallas-nulas-de-intensidad-variable-para-homogeneizar-la-potencia-de-patrones-tipo-Hartmann

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO 
 
 
PROGRAMA DE MAESTRIA Y DOCTORADO EN INGENIERIA 
FACULTAD DE INGENIERÍA 
DISEÑO DE PANTALLAS NULAS DE INTENSIDAD 
VARIABLE PARA HOMOGENEIZAR LA POTENCIA DE 
PATRONES TIPO HARTMANN 
T E S I S 
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: 
MAESTRO EN INGENIERÍA 
INGENIERÍA ELÉCTRICA - INSTRUMENTACIÓN 
P R E S E N T A: 
EDGAR ALFREDO GONZÁLEZ GALINDO 
TUTOR: 
MAXIMINO AVENDAÑO ALEJO 
2012 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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JURADO ASIGNADO 
Presidente:Dr.FranciscoGarcíaUgalde 
Secretario:Dr.JoséRufinoDíazUribe 
Vocal:Dr.MaximinoAvendañoAlejo 1 er. Suplent 
e:Dra.TetyanaBaydykMykolaivna 2d o. Suplent e:Dr. 
QureshiNaser 
Lugar olugaresdonde se realizóla 
tesis:CentrodeCienciasAplicadasyDesarrolloTecnológico(CCADET)delaUNAM 
TUTORDETESIS: 
Dr.AvendañoAlejoMaximino 
NOMBRE: 
———————————– 
FIRMA 
DEDICATORIA 
SeñorYeshuaprimeramente tedoygraciaspordarme una cartade amorypor acordarte de míy vivir eternamente 
en mi corazón.Porque separadosde tiSeñor nopodemoshacer nada. 
CANONBÍBLICO Todos mis caminos te son conocidos.Túhas conocido 
misentarmey milevantarme;Pues aun mis cabellos están todos contados.Mehashecho a tuimagen.Porque enti vivoy 
me muevo y soy. Antes que me formaras en el vientre de mi madre, me conociste. Porque tú formaste mis 
entrañasTú mehiciste en el vientrede mi madre.Porqueformidable, maravillosas sontus obras. En tihe sido 
sustentado desde el vientre;Delas entrañasde mi madre túfuiste elque me saco; A mi madreMa.CleotildeGalindopor 
todoslos añosque estuviste conmigodándome tu inalcanzable amory en 
esperadepartir,agradezcotutrabajo,tuesfuerzoy tucorazónporque tudedicación meformo.GraciasMadreMíay ahora 
séque nos volveremos a ver muyprontode loque esperas. A mi Minerva Nequiz Jiménez Graciasporbrindarme el 
amor sumisoy sinceroque Dios hapuesto entu corazón, ahora séque supropósito esque ambos vivamos una 
eternidad.Éste poemade amordiceloque te amo. 
LIBRODECANTARES 
He aquí que tú eres hermosa, amiga mía; He aquí que eres bella; tus ojos son como palomas.Paloma 
mía,que estás enlos agujerosdelapeña, enlo escondidode escarpadosparajes, Muéstrame tu rostro,hazme oír tu 
voz;Porque dulce esla voz tuya,yhermoso tu aspecto.Tus labios comohilodegrana,Y tuhablahermosa;Tus mejillas, 
como cachosdegranadadetrásde tu velo. ¿Cuán hermosos son tus amores, hermana, esposa mía?. ¿Cuánto mejores 
que el vino tus amores,Y el olorde tus ungüentosque todaslas especias aromáticas? Las muchas aguas no podrán 
apagar el amor,Nilo ahogaránlos ríos. 
AGRADECIMIENTOS 
Te agradezco a tiSeñorJesúsporpermitirme viviry ser salvo así comodarme una oportunidad para tomar la 
decisión más importante en mi vida, porque no estamos en este mundo por casualidad si no porque tenemos un 
propósito en esta vida, y en cada momento que hago unapruebapiensoentiparaqueéstasalgalomejor,y esperoal 
finalhabercumplido. 
Ala universidadNacionalAutónomadeMéxico(UNAM), alPosgradodeIngenieríaEléctricay el 
LaboratoriodePruebasÓpticasdelCentrodeCienciasAplicadasyDesarrolloTecnológicodelaUNAM(CCADET), 
alaFacultaddeEstudiosSuperioresAragón(FESARAGÓN) pordarmela oportunidadde continuar miformación 
académica. 
AgradezcoaDGAPA –PAPIITIN112612,alCONACYT82829porel apoyoeconómico brindadobajo 
elproyectoNo.82829 
Asimismo agradezco a mi tutor el Dr. Avendaño Alejo Maximino, por la confianza, el apoyo y su 
orientación, como su infatigable dedicación que me brindó desde el primer día que ingrese 
alPosgradodeIngenieríadelaUNAM, sin elcual eltrabajo arduo nohubiese sidoposible. 
Agradezco a la Dra. Perla Carolina García Flores por compartir sus conocimientos y su confianza, así como 
su amistadque mebrindódurante el tiempo en elquepermanecídentrodel CentrodeCiencias 
AplicadasyDesarrolloTecnológico. 
Agradezco al Dr. José Rufino Díaz Uribe por brindarme su apoyo con los equipos que se 
requirióparaeldesarrollo experimentalyporcompartir sus conocimientos enlos seminarios llevados a cabo en 
elCentrodeCiencias AplicadasyDesarrolloTecnológico. 
RESUMEN 
La Prueba de Hartmann es de las más simples pero también una de las más utilizadas y con gran éxito, para 
determinar la forma del frente de onda en los sistemas ópticos bajo prueba, alternativamente nospermite 
recuperarlaformade superficieópticayporlo tanto caracterizan susparámetrosdediseño 
En estetrabajosedesarrollóun métodopara uniformizary/ohomogeneizarlasimágenesproducidasporpantallas 
nulastipoHartmann, realizamos elexperimentopara validarlosprocedimientos implementados en unalente 
esféricaplano-convexa(lente rápidaF/#=1). 
AldiseñarlaspantallasnulastipoHartmanncontonosdegriseslaintensidad enpixeles delaimagen sedistribuye de 
talformaque en cada unadelasimágenes capturadas se muestra una mejor distribución de la intensidad en el plano de 
detección. Cabe mencionar que es muy importante elusode una máscaraque nospermite alinear el sistema con 
elplanoimagenyaque esté nos dirá la cantidad de energía requerida para saturar el espacio de cada anillo de nuestra 
pantalladeHartmann. 
Granpartede estatrabajo esta enfocado alaprogramaciónycontroldelosdispositivos externos 
(Polarizador,Camara,Sensoróptico)utilizadosparahomogeneizarlaintensidad entonalidadde grisesdelaspantallas 
tipoHartmann. 
ABSTRACT 
The Hartmann test is the simplest but also one of the most commonly used with great success, to determine the shape of 
the wavefront in optical systems under test, alternatively we can recover the shape of optical surface and therefore 
characterized its design parameters. 
In this paper a method was developed to standardize and / or standardize the images produced by Hartmann null screens, 
we performed the experiment to validate the procedures implemented in a planoconvex spherical lens (fast lens F / # = 1). 
When designing the void type displays gray tones Hartmann with the intensity of the image pixels is distributed so that in 
each of the captured images is shown a better distribution of the intensity in the detection plane. It is worth mentioning 
that it is very important to use a mask that allows us to align the system with the image plane as it is will tell us the 
amount of energy required to saturate the area of each ring each ring of our Hartmann screen. 
Much of this work is focused on programming and control of external devices (polarizer, Camera, Optical sensor) used to 
standardize the intensity hue of gray screens Hartmann. 
 
Índice general 
1. Introducción 1 
2. Desarrollo de Interface para el control y la adquisición de datos e imágenes 7 
2.1. EtapadepotenciadelMotorquecontrolaelpolarizador . . . . . . . . . . . . . . 11 
2.2. Etapadeadquisicióndedatoseimágenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 
2.3. Interfacegráficadecomunicación ........................... 16 
3. Refracción en una superficie esférica 21 
3.1. Obtencióndelacáusticaporrefracción ....................... 21 
3.2. Cálculodelacáusticaporrefracción ......................... 25 
3.3. UnaAproximacionparaxial .............................. 29 
3.4. MétodoparaeldiseñodepantallasnulastipoHartmann . . . . . . . . . . . . . . 29 
3.5. PruebasconpantallasnulastipoHartmannaimpresiónaláser. . . . . . . . . . . 333.6. PruebasconpantallasnulastipoHartmannaimpresiónfotográfica . . . . . . . . 36 
4. Desarrollo experimental: desplazamiento del centroide 41 
4.1. Pruebasconpantallasdesplazándoloenunsolocuadrante. . . . . . . . . . . . . . 41 
4.2. Pruebasconpantallasdesplazándoloenloscuatrocuadrantes . . . . . . . . . . . 42 
4.3. Procedimientoexperimentalparacambiarel marcodereferencia . . . . . . . . . 46 
4.4. Análisiscuantitativodel centroideatrávesdesudesplazamientoadiferentesplanos51 
4.5. Analisiscuantitativodelasimpresionesdelaspantallasnulas. . . . . . . . . . . . 58 
5. Pantallas nulas con degradación en tonalidad de grises 61 
5.1. Desarrolloexperimentalpararealizareldegradadoengrises . . . . . . . . . . . . 61 
5.2. Desplazamientodel sensoróptico ........................... 64 
5.3. Ajustesdelosdatosdel sensoróptico ......................... 66 
5.4. PantallasNulasmoduladasenescaladegrises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 
6. Conclusiones y Trabajo a Futuro 77 
A. Apéndice A 79 
Bibliografía 85 
1. Introducción 
El papel que desempeña la óptica en nuestras vidas es cada vez más amplio, pues comienza a 
invadir camposdonde antes no eralógico esperarqueinterviniera[1]. El sentidodela visión esel mediode 
comunicación con el mundo exterior másimportanteque tenemos lo que quizá puede explicar por qué la óptica 
es una de las ramas más antiguas de la ciencia.Laóptica enMéxico es sumamentejovenyporlotantotambién 
muyincompleta.Sin embargo existen algunosdatosque nospermiten suponerqueya en el sigloXVIII se 
construían instrumentos ópticos para usos astronómicos. Uno de los científicos que muy probablemente 
construyó algunos telescopios pequeños fue el criollo autodidacta Joaquín Velázquez de León (1732−1786). 
Otro científico, quizá el más importante de esa época es José Antonio Alzate (1737−1799), quien siguió la 
carrera eclesiástica y se dedico a la ciencia con tanto empeño y éxito que prácticamente toco todos los campos 
de la ciencia. Fue miembro de la Academia de ciencias de Paris y del Jardín Botánico de Madrid. Al igual que 
Velázquez de León, es muy probablequeAlzate tambiénhaya construido algunosinstrumentosópticos[1]. 
Cuando sepropagaluz colimada a travésde unalente,los rayos enla regiónparaxialpasanpor el punto focal, y 
presenta una mayor iluminación en esa región. Existe una envolvente en los rayos refractadosllamada 
superficie cáusticala cualpresenta una característica especialyque en estaregiónexiste 
unaconcentracióndeluzmayor,fueradelaregióndelacáusticanopresenta las mismas condicionesde 
concentracióndeluz.Existen varios métodosdepruebasgeométricas paraprobar superficiesópticas,pero solo 
mencionaremos tresde ellas, a)PruebadeHartmann, b) PruebadeRonchiy c) PantallasNulas[1]., 
cadapruebapresenta características especiales, en este trabajo utilizaremos una combinacion de a) y c), para 
probar una lente plano-convexa esféricapor refracción. 
Losprincipiosfundamentalesdelprocesamientodigitaldeimágenes están establecidosdesdehace muchos 
añospero no sellevaron acabodebido alafaltade equiposparaprocesarlainformación. Conla aparicióndelas 
computadorasde alta capacidadymemoria, era naturalque se comenzara 
adesarrollar éste campo.En losprimeros lugaresdonde se empezó aé realizar elprocesamiento digital fue en el 
Jet Propulsion Laboratory en 1959 con el propósito de mejorar las imágenes enviadas por los cohetes, los 
resultados obtenidos en un tiempo relativamente corto fueron tan impresionantesque muypronto se 
extendieronlas aplicacionesdel método a otros campos. 
Figura 1.1.: Divisiónde unaimagen enpixeles. 
 
Elprocesamientodigitaldeimágenes se efectúateniendolaimagen como una arreglo rectangular de elementos, como se 
muestra enlaFigura1.1. cada elementodelaimagen se conoce con el nombre de pixel. El siguiente paso es asignar un 
valor numérico a la luminosidad promedio de cadapixel.Así comolos valoresdelaluminosidadde cadapixel, con sus 
coordenadasqueindican suposición,definen completamentelaimagen.Todos estos números se almacenan enla 
memoria de una computadora. 
El tercer paso es alternar los valores de luminosidad de los pixeles mediante las operaciones o transformaciones 
matemáticas necesarias, a fin de hacer que resalten los detalles de la imagen que seanconvenientes.Elpaso final 
espasardelarepresentacióndeestospixeles aunmonitor detelevisióndeAltadefinición, conel 
findemostrarlaimagenprocesada,comose muestraen laFigura1.2Ref.[2]. 
Introducción 
Figura 1.2.: Procesamiento digital de imágenes. Cefalograma en el que se han reforzado las 
componentesdeFourierde altafrecuencia[2].(a)Imagen originaly(b)imagenprocesada. 
(a) 
(b) 
LapruebadeHartmann no se usa mucho entelescopiospara aficionados,por ser algo complicada en 
suinterpretaciónque requiere unbuentratamiento matemático.Sin embargo, esla más usada 
paralapruebadetelescopiosprofesionalesdegrandiámetrodebido alagranprecisiónquetiene. Sedescribirá aquí 
estapruebasólomuybrevemente[2]. 
Figura 1.3.: Arreglo experimentalpara efectuarlapruebadeHartmann. 
 
El arreglo experimental para realizar la prueba de Hartmann por reflexión se muestra en la Figura1.3,donde seha 
colocado sobre el espejo unaplaca metálica muydelgada con un arreglo bidimensionalde agujerosdediámetro 
muypequeño con relación aldel espejo, como se muestra 
enlaFigura1.4(a).Cercadelfocosecolocaunaplacafotográficaó sensorCCDque registrará 
unas manchas luminosas, cuyo arreglo depende de la forma del espejo. Si el espejo es esférico, laspequeñas 
manchas estarán alineadas como se muestra enlaFigura1.4(b),pero si el espejo esparabólico ohiperbólico, el 
arreglode manchas separecerá alque se muestra enlaFigura1.4 (c). 
Figura 1.4.: PantallayplacasdeHartmann.(a)ImagendelaPantalladeHartmann.(b)Imágen delaPlacadeHartmannde un 
espejo esférico.(c) ImágendelaPlacadeHartmannde un espejoparabólico. 
(
a) (b) (c) 
Sisedeseaprobar un espejoparabólicoohiperbólico,primero se calculanlasposicionesquedeben tenerlas manchas 
enlaplacadeHartmann.Después setomalaplaca, se revelayse miden con un microscopiolasposicionesdelas manchas 
en el casode utilizar unaplacafotográfica, olaposición deloscentroides sise utiliza unacámaraCCDyse calcula 
sudesviación conrespecto asuposición idealcalculada.Del conocimientode estasdesviaciones esposible 
calcularlasdeformacionesque tiene el espejo con respecto a suformaideal[3]. La Prueba de Hartmann utiliza una 
pantalla perforada para el muestreo del frente de onda cuando la superficie está iluminada por una fuente puntual. 
Actualmente en el laboratorio de pruebas ópticas del CCADET-UNAM la prueba de superficies óptica cóncavas y 
convexas se llevan acabomediante unaprueballamada,pantallasnulasporreflexión,yrecientemente unapor 
refracciónparalentes cónicasplano-convexas[11] seriede métodosexistentes, comose muestra enlaFigura1.5 . 
Introducción 
Figura 1.5.: (a)PantallaNula en elplanoX-Y.(b)Resultadodelaimagenproyectadadespués de la reflexión sobre la 
superficie de prueba c)Pantalla Nula contenida en el cílindro en el desarrollo experimental. Imágenes 
tomadasdelaRef.[3]. 
(a) (b) 
(c) 
En éste trabajo diseñaremos pantallas nulas por refracción, para homogeneizar los patrones de manchas en el plano 
de detección. Cabe mencionar que la parte de automatizacion es parte centraldeéste trabajo. 
Figura 1.6.: (a)DiseñodePantalla.(b)Patronesde manchas conimagendediferentes intensidades. c)Patronesde 
manchas conimagendesalineada. 
(a) (b) 
(c) 
2. Desarrollo de Interface para el control y 
la adquisición de datos e imágenes 
Enéste capítulo sedescribe como sellevó a cabo el experimento,ylos equiposque se utilizaron paradesarrollarlo.Es 
muyimportante mostrarlaspartesde automatizacióndel sistema, unode lospolarizadores se automatizó a través de un 
motor apasosparaque el eje transmisión con el programa sea controlado.La cámarayelprogramaque controlala 
capturadeimágenes se utilizó elhardwareysoftwarede marcadeNationalInstrument.Hoy endíaLabView nos ofrece 
muchas herramientasque nospermite ahorrar tiempo en eldesarrollo de comunicación de unainterface con los 
equipos de cómputo. Otra de las aplicaciones que se desarrollaron fue la comunicación 
deunmultímetroópticoconconexióndeGPIB,esté nospermitió obtenerdatosy almacenarlo 
paraposteriormenteprocesarloygraficarlo. 
Figura 2.1.: DiagramadelSistema 
 
Comopodemos observar enlaFigura2.1, se muestra eldiagramadel sistemaque utilizamos en el experimento, se 
utilizó unláserHelio-Neón,de633 nm delongituddeonda,un filtroespacial Newport Research Corporation Modelo 
900, un objetivo de microscopio de 40× Edscorp, una lente colimadora(doblete acromático),yunpinholede25 
micrasdedíametro, una cámaradela 
marca MegaPlus ES 1.0, ésta tiene una resolución en pixel de 1018 × 1018, con un área activa del CCD 9.1 × 9.1 
mm
2
. Para obtener el valor de un pixel de la cámara CCD que se utilizó podemos obtenerlodela 
siguienteEcuación2.1[4] 
9.1[mm][mm][mm][mm] 
1px= =0.008939≈ 8.94
−3
=8.4µ (2.1) 
1018[px][px][px][px] 
Figura 2.2.: Característicasdeladistanciadelplanoimagen alalente esféricabajoprueba 
EnlaFigura2.2 mostramos unaimagen ampliadadelalentebajoprueba, es una regióndel diagrama mostrado 
enlaFigura2.1, está conformadopor unalentedeprueba,éstetiene un radiode Rlente =38.76mm, con uníndicede 
refracción nlente =1.517para unalongitudde onda λ = 633 nm, un espesor de Dpv = 32.68 mm. con un diámetro de φ 
= 75 mm, para el sensor CCD el área activa es de 9.1 × 9.1 mm
2
. La distancia para la cual se programó la pantalla a 
utilizar es de una Distancia Focal Efectiva DVCCD =75 mm, esta distancia es fundamental ya 
quesedesplazarálacámaraCCDparareconstruirlaimagenloscentroides endiferentesplanos dedetección. 
DesarrollodeInterfacepara el controlyla adquisicióndedatos eimágenes 
Figura 2.3.: Adaptaciónde unabandadentada alpolarizadorpara su automatización 
 
Es muyimportante mencionarlas adecuacionesque sellevaron a cabo en elpolarizador, se montó unanillopara fijar 
firmementeelpolarizador,secolocó unabandadentadaajustándolo,comose muestra 
enlaFigura2.3Labandanospermitióacoplarunmotorapasosparadarlemovimientoy rotarlo en ambos sentidos.Al 
momentodeque elláserpasapor elpolarizadorpodemosdisminuir la intensidad la cual se ve reflejada cuando el 
polarizador comienza a rotar hasta llegar a un mínimo oaun máximodeacuerdo alaleydeMalus[5].Laintensidad 
transmitida es máxima cuando los ejes están alineados con respecto al eje de transmisión ϕ = 0, y es cero cuando los 
ejesde transmisión estánperpendiculares entre si[6]. 
Figura 2.4.: Gráfica comportamiento del láser cuando pasa por el polarizador 1 del diagrama del sistema 
 
Figura 2.5.: Gráfica comportamiento del láser cuando pasa por el polarizador 2 del diagrama del sistemaó 
sepuedellamar analizador 
 
Es muyimportante mencionarlo siguiente,losdatos obtenidos sondeintensidad(potencia en watts) obtenidas con el 
multímetro óptico, el cual se colocó el sensor para obtener el comportamiento de la potencia del láser, la longitud de 
onda del láser utilizado fue de 633 nm, las medicionesque se muestran enlasgráficasdelaFigura2.4yFigura2.5, sonlas 
registradas a travésde un tiempoprogramadode20,40,60y80ms de rotacióndelpolarizador1utilizando el motor 
apasos. 
Figura 2.6.: Relación máximadepotencia entrelospolarizadores1y elpolarizador2 
2.1EtapadepotenciadelMotorque controla elpolarizador 
2.1. Etapa de potencia del Motor que controla el polarizador 
Eldiagramadelsistemaque se muestra enlaFigura2.7, el circuitodepotenciaque utilizamos es un 
circuitointegradoL293Dqueinternamente es unpuenteH,donde se alimenta condos niveles de voltaje uno de 5 volt y 
otro de 10 volt. La ventaja de utilizar el circuito integrado es que presenta entradashabilitadorasque nospermitirá 
seleccionar el motorquesedesea manipular, comolas características enlaTabla2.1 ,ypodemos aumentarla 
corrientequedemande el motor [7]paragirar más rápido elpolarizador como se requiera. 
Eldiagrama esquemáticotieneimplementado otro circuitointegrado74HC373éste nospermitirá poner unas entradas en 
altoóbajaimpedancia como se muestra enlaFigura2.7.La ventaja de utilizar el circuito integrado mencionado 
anteriormente es que se utilizan cuatro bit de un puerto y se configuran como salidas, éste permite tener disponibles 
los cuatro bit restantes del puertodelatarjetade adquisicióndedatoslaDAQmx6009deNationalInstrumentque estamos 
utilizandopara nuestrodesarrollo experimental[8]. 
La tarjeta de adquisición de datos se debe de tomar en cuenta en los puertos de salida que se vayan a utilizar, se 
colocaron una serie de resistencias de protección, éste nos sirve como un elevadorde tensiónde salidapara 
eldispositivodigital, como se muestra enlaFigura2.7.Antes de armar el circuito real, se simuló para ver el 
funcionamiento y el arreglo a utilizarse, para posteriormente realizar el armadodel circuitoimpresoy conectarlo 
alpolarizadory alaplatina dedesplazamiento micrométricoyaqueambostendránunmotorapasosacopladosparapoder 
controlarlos, enlaplatinadedesplazamiento esdonde se montará el sensordel multímetroóptico. 
 
Capítulo2 DesarrollodeInterfaceparael controlylaadquisicióndedatoseimágenes 
Especificaciones del motor paso a paso SureStep
TM 
 
Tabla2.1.Características técnicasdel motor apasos 
Figura 2.7.: Esquema del circuitodepotencia. 
Números de artículo STP-MTR-17048 
Flanje del motor NEMA 17 
 0.59N − m 
Torque de eje detenido máximo 83 onza-pulgada 
 5.2 libras-pulgadas 
 0.0000068kg − m 2 
Inercia del rotor 0.45oz − in2 
 0.00006 lb − in − s 2 
Corriente nominal 2.0 A/fase 
Ángulo de repaso básico 1.80 (motores bifásicos con cable con conector) 
Peso 210 gramos 0.7 lbs 
Tolerancia del eje 0.0508 mm ó 0.0022pulgadas 
Juego radial del eje @ fuerza de 1 libra 0.0254 mm ó 0.002pulgadas 
Perpendicularidad 0.0762 mm ó 0.003 pulgadas 
Conentricidad 0.0508 mm ó 0.0022pulgadas 
Temperatura de operación −20 0 C a −50 0 C (La temperatura externa del motor debe mantenerse abajo de 100 0 C ) 
Fuerza máxima radial 1.82 Kg ó 6 lbs 
Fuerza máxima axial 1.82 Kg ó 6 lbs 
Clase de aislación Clase B 1300 C 
Aprobación de Agencia CE (cumple con EN550141 (1993) y EN60034-1.5.11) 
Cable de extensión (motor al accionamiento) 6 metros ó 20 pies -Número de artículo STP-EXT-020 
Parámetro Lente Rápida 
R Radio de Curvatura mm 38.76 
T Grosor mm 32.68 
F EFL mm 75 
D Diámetro 75 
F/# 1 
(n) índice de refracción 1.517 
12 5.09E-08 42 0.101E-06 72 -1.97E-08 
13 1.06E-07 43 9.84E-06 73 -2.37E-08 
14 1.91E-07 44 9.38E-06 
15 3.20E-07 45 8.79E-06 
16 5.13E-07 46 8.10E-06 
17 7.96E-07 47 7.38E-06 
18 1.20E-06 48 6.53E-08 
19 1.78E-06 49 5.72E-06 
20 2.57E-06 50 4.92E-06 
21 3.65E-06 51 4.16E-06 
22 5.09E-06 52 3.46E-06 
23 6.96E-06 53 2.83E-06 
24 9.37E-06 54 2.27E-06 
25 1.24E-06 55 1.79E-06 
26 1.61E-06 56 1.39E-06 
27 2.05E-06 57 1.06E-06 
28 2.57E-06 58 7.96E-06 
29 3.17E-06 59 5.85E-06 
30 3.84E-06 60 4.23E-06 
0.00010277 0.00011000 × 100 = 93.42% 
100.0% → 255 93.42% → x 
x = 238.221 
0.000058 0.00011000 × 100 = 52.72% 100.0% → 255 52.72% → x x = 134.436 
0.000035 0.00011000 × 100 = 31.81% 100.0% → 255 31.81% → x 
x = 81.1155 
0.000025 0.00011000 × 100 = 22.72% 100.0% → 255 22.72% → x x = 57.936 
0.000018 0.00011000 × 100 = 16.36% 100.0% → 255 16.36% → x x = 41.718 
0.000012 0.00011000 × 100 = 10.90% 100.0% → 255 10.90% → x 
x = 27.795 
2.2Etapade adquisición dedatos eimágenes 
EnlaFigura2.8(a) ylaFigura2.8(b) podemos observarlas adaptacionesdelos motoresde pasosparagirar elpolarizador 
asícomodesplazarlinealmente el sensordel multímetroóptico,la automatizacióndelpolarizador nospermitetener un 
mejor controldelaintensidaddelapotencia delláser,éstenospermitiráregularlo cuando se muestralaimagen 
atravésdelCCDpara obtener las mejores imágenes[9]. Para el motorque controla elpolarizador,por cadapasoque 
entrega, nos da un ángulo de 0.288 grados, un ejemplo si deseamos tomar una imagen con el número 531 de 1250 
imágenes girando a 360
◦
, ésta la ubicaremos a un ángulo de 153
◦ 
del polarizador, sabiendoque cuando calibramos 
alpolarizadorlodejamos enlaposiciondonde elpolarizador no dejapasar nadadepotenciadelláser. 
Figura 2.8.: (a)Adaptacióndelmotor apasos alpolarizador,(b)Adaptacióndel motor apasos al sensordel 
multímetroóptico 
(a) (b) 
2.2. Etapa de adquisición de datos e imágenes 
Losequiposque utilizamosparalapartedecontroleneldesarrollo experimental, esunatarjetade 
adquisicióndedatosDAQmx6009 como se muestra enlaFigura2.9(a) condospuertosdigitales y cuatro puertos 
analógicos de la marca National Instrument, un multímetro óptico en donde 
medimos la potencia y la longitud de onda de la marca ILX Lightwave Modelo OMM-68108 Corporation´s 
modeloOMM-6810B como se muestra enlaFigura2.9(b).Cabe señalarque se requirióde unafuente externapara 
alimentar el controladorpara cada motor,yaquelatarjetade adquisicióndedatos solo entrega nivelesde 
voltajede5Vy2.5V,para elpolarizador se aprovechó el nivelde voltajedela tarjetade adquisicióndedatosparapoder 
controlarlo. 
Figura 2.9.: a)Tarjetade adquisiciónDAQ6008b)Multímetroóptico. La cámaraque se utilizódela 
marcaMegaPlusES1.0 se muestra enlaFigura2.10 tiene una resolución en pixel de 1018 × 1018, con un área del área 
activa del CCD 9.1 × 9.1 mm
2
. El tamaño valordelpixeles sepuede observar enlaEcuación2.1 
(a) (b) 
Figura 2.10.: CámaraCCDMegaPlusES1.0Monocromática 
ElsensorCCD conviertelosfotonesincidentes en electronesque se almacenan enlospixelesindi 
2.2Etapade adquisición dedatos eimágenes 
viduales, enformade una carga eléctrica.La eficiencia cuántica es una medidadelafracciónde fotonesincidentesque 
sonconvertidos enelectrones en el semiconductor.Laeficiencia cuántica dependedelalongitudde ondaysuele situarse 
entre valoresdel30% al90%dentrodelintervalo delongitudesde ondadel visibley elinfrarrojo cercanoque 
sonde450-800 nm. 
La eficiencia cuántica es una cantidaddefinidapara undispositivofotosensible comolapelícula fotográfica o un CCD 
como el porcentaje de fotones que chocan con la superficie foto-reactiva que producirá un par electrón-hueco. Es 
una medida precisa de la sensibilidad del dispositivo, a menudo se mide sobre un intervalo de diferentes longitudes 
de onda. La película fotográfica tiene típicamente una eficiencia cuántica de menos del 10%, mientras los CCDs 
pueden tener una eficiencia cuánticadel90% en algunaslongitudesde onda[9]. 
Unasdelas adecuacionesque se realizaronfuediseñaryconstruir un anillo endonde se montaría lapantalla 
nulaylalentedeprueba, como se muestra enlaFigura2.11(a), en estabase el principal problema fue que al momento de 
introducir la pantalla en la base entre la lente y el anillo no permitía que la pantalla se rotara para alinearlo con la 
máscara imagen en el CCD del programa para adquirir las imágenes, por lo tanto diseñamos un segundo montaje 
como se muestra enlaFigura2.11(b), el cual se utilizó conéxitoyaque al momentode alinear teniamos mayor 
flexibilidad enel manejodelapantallanula,paraalinearel sistemaPantalla-Lente-CCD. 
Figura 2.11.: a)Adecuacióndelaprimerabasedonde se montolalente esférica conlapantalla, b)Adecuación dela 
segundabasedonde se montolalente esférica conlapantalla. 
(a) (b) 
2.3. Interface gráfica de comunicación 
Se desarrolló el software necesario para tener una comunicación con la cámara CCD, éste permitirá 
seleccionarlaimagen conlaque trabajaremos,y es almacenado en unabasededatos.La cámara va adquiriendo imágenes 
conforme el polarizador va girando, y éste es controlado con elpanelfrontal como semuestra enlaFigura2.12.Al 
ejecutar elprogramapresentalaimagen implementada como una máscara,éste nospermitiráalinear 
nuestrapantalladetipoHartmann. Seleccionamos el mododefuncionamiento, se seleccionapara adquiririmagenó en 
sudefecto en formade video, como se muestra enlaFigura2.12y sudiagrama esquemático se muestra enla Figura2.13. 
Figura 2.12.: PanelFrontalpara controlarla cámarade video 
2.3Interfacegráficade comunicación 
Figura 2.13.: Diagrama esquemáticoódiagrama abloquesdelPanelFrontalhecha enLabView 
 
Si observamos enlaFigura2.16(a) lainterfacegráficaque comunicalaPC conlatarjetade 
adquisicióndedatosysudiagramaesquemático semuestraenlaFigura2.14.,enlaFigura2.16(b) se muestra 
elpanelfrontalque nospermitirállevar acabo el controldel motor apasosque será sincronizadopara 
adquirirlasimágenesy sudiagrama esquemático se muestra enlaFigura2.15.. 
Figura 2.14.: Diagrama enbloquesdelainterfaceGPIBpara el multímetroóptico 
Figura 2.15.: Diagrama abloquesdel controldel motor apasos 
 
 
(a) (b) Figura 2.16.: a)Panelfrontalpara elpolarizadorb)Panelfrontaldel multímetroóptico 
Otro programa implementado es la captura de datos obtenidos a través del multímetro óptico, atravésde 
unaconexiónGPIB(Busdeinterfazdepropósitogeneral)[10],losdatosobtenidos se almacenanpara suposterior análisis 
estadístico, comopodemos observar enlaFigura2.16(b) losdatosregistradosson,lapotenciaenWattsylalongituddeonda 
metros.Enlasiguiente 
�
 
Figura2.17 mostramos unaimagendel arreglo experimental. 
2.3Interfacegráficade comunicación 
Figura 2.17.: Arreglo experimental utilizado 
3. Refracción en una superficie esférica 
3.1. Obtención de la cáustica por refracción 
Para obtener lasposiciones de los rayos refractadospor la lente bajoprueba, podemos calcular estos mediante un 
trazo exacto de rayos. considerando un frente de onda plano, o en otras palabrasconsideramosrayosparalelosal 
ejeópticoincidiendos sobrelacaraplanadeunalente plano-convexa,como se muestra unlaFigura3.1para realizar el 
trazo exactoderayostenemos dos opciones; considarando comoparámetro el(a) ángulodeincidencia ,(b) la 
alturadel rayo incidente. cabe mencionar que datos con valores complejos, nos indica que tenemos rayos que 
presentan el fenomeno de reflexión total interna, deacuerdo a la ley de Snell. utilizando las 
característicasdelalentequesepresenta enlaTabla3.3.1,na es elindice de refracción del aire y ni es 
elindicedelalente[11]. 
Figura 3.1.: Rayo refractado en unalente esféricaplano-convexa De acuerdo 
alaFigura3.1,laleydeSnell sepuede escribir como 
 
nasenθa = nisenθi, (3.1) 
delaEcuación3.1despejamos θa tenemoslo siguiente 
 
θa = arcsen
ni 
senθi, (3.2) na 
elángulodeincidenciadependedelaalturadel rayoincidente,deacuerdo alasiguiente expresión. 
h 
senθi = . (3.3) 
R 
Sustituyendo laEcuación3.3 enlaEcuación3.2 tenemosla siguiente ecuación. 
 ni h 
θa = arcsen(3.4) 
na R 
Siasuminos simetríade revolución alrededordel ejeóptico, es suficiente considerarla mitaddela lenteplano-convexa,de 
acuerdo alas especificaciones mencionadas arriba,éstetiene undiámetro de75mm yloindicaremos conlaletraD,porlo 
tantodecimos D/2=35mm podemosgenerar una tabla con una cantidad arbitraria de rayos espaciados uniformemente 
los cuales inciden en la parte superior de la lente, en éste trabajo consideramos como parámetro del trazo de rayos a 
la altura de h de los rayos incidentes. Calculamos cada una de las alturas de acuerdo a la Ecuación3.5,donde n es el 
númerode rayosincidentes en nuestra mitadde nuestralente. 
 
Di 
h =, (i =1,2,3...,n.) (3.5) 
2n 
Como ejemplo, realizamos unprogramapara obtenerlosparámetrosdelos rayos refractadospor lalente esférica 
considerandoqueni =1.517,na =1,R =38.76mm, D =75mm yn =22rayos. Programamoslas ecuacionesdelasfórmulas 
anteriorespara conocerlas alturasdelos rayosque inciden en la lente de prueba y obtenemos cada uno de los 
parámetros reportados en la Tabla 3.1,quepresenta valores con números complejos,éstos son rayosqueya no 
setransmiten atraves delalentedeprueba,debidoaque sepresenta elfenómenode reflexión totalinterna, solamente 
losúnicosde nuestrointerés se encuentran enlos rayosque vandel1 al14[11],losparámetros, 
3.1Obtencióndela cáusticapor refracción 
h, θi,θa,βyϕ se muestran enlaFigura3.1y su codigolopodemos ver en elFiguraA.11. Tabla3.1.Datos 
calculadosdelas ecuaciones 
ih θa θi βϕ 
1 1.7045 3.8252 2.5205 1.3047 178.38 
2 3.4091 7.6676 5.0459 2.6217 177.38 
3 5.1136 11.5451 7.5812 3.9639 176.04 
4 6.8182 15.477 10.1315 5.3455 174.65 
5 8.5227 19.4853 12.7023 6.783 173.22 
6 10.2273 23.5956 15.2993 8.2962 171.7 
7 11.9318 27.8391 17.929 9.9101 170.09 
8 13.6364 32.2561 20.5984 11.6577 168.34 
9 15.3409 36.8998 23.3154 13.5844 166.42 
10 17.0455 41.8459 26.0892 15.7568 164.24 
11 18.75 47.2095 28.9304 18.2792 161.72 
12 20.4545 53.1832 31.8517 21.3315 158.67 
13 22.1591 60.1428 34.8689 25.2739 154.73 
14 23.8636 69.0643 38.0011 31.0632 148.94 
15 25.5682 90.0000+2.1358i 41.2735 48.7265+2.1358i 
16 27.2727 90.0000+20.9210i 44.719 45.2810+20.9210i 
17 28.9773 90.0000+29.3526i 48.3836 41.6164+29.3526i 
18 30.6818 90.0000+35.7307 52.3338 37.6662+35.7307i 
19 32.3864 90.0000+41.0296i 56.6744 33.3256+41.0296i 
20 34.0909 90.0000+45.6312i 61.5867 28.4133+45.6312i 
21 35.7955 90.0000+49.7331i 67.4455 22.5545+49.7331i 
22 37.5 90.0000+53.4536i 75.3508 14.6492+53.4536i 
Mostramoslagráfica endonde sepresentanlos22rayosqueingresan enlalentedepruebapero paragenerarlaspantallas 
nulas solo serían utiles14rayos,porloque enlaFigura3.2indicamos que regióndeinteresdonde 
esposiblediseñarpantallas nulaspor refracción[15]. 
Figura 3.2.: Tenemos14 rayos refractadosy8 rayos con reflexión totalinterna. 
EnlaFigura3.3mostramos eltrazo exactode rayos en elplano meridionalde acuerdo alaTabla 
3.1incidiendo sobre unplanodedetección arbitrario. 
Figura 3.3.: Tenemos22 rayos refractadosy enlos extremos tenemos reflexión totalinterna 
Figura 3.4.: Rayos refractados en unalente rápidaplano-convexa 
 
En la figura 3.5 mostramos que la distancia AB = BC en la cara plana de la lente bajo prueba,peroque 
enelplanodedetección estasdistancias sondiferentesde acuerdoalaaberración esférica transversal. 
3.2Cálculodela cáusticapor refracción 
3.2. Cálculo de la cáustica por refracción 
Figura 3.5.: Rayos refractados en unalente rápidaplano-convexa 
 
La cáustica es la superficie tangente a los rayos reflejados o refractados por un sistema óptico. 
Tomandolaecuacióndelarectadelosrayosrefractadoscomose muestraenlaFigura3.5, utilizandolas siguientes 
expresionespara unapendiente negativa,yaque nuestraFigura3.5 nos indica como estamos tomando nuestro 
sistemade referencia[16]. 
DelaFigura3.5podemosobtenerlapendiente apartirdelospuntosP0 (z0,y0)yP2 (z2,−y2)para comenzar a calculary 
considerando elpuntodeincidencia sobrela superficie esféricadelalente 
tenemosque elpunto estádadoporP0 =(z0,−y0)=(t −R(1−cosθi),Rsenθi),θi = arsen 
R
h 
. 
Donde R es el radio de la lente esférica y h es la altura arbitraria para un rayo incidente en cualquierpartedela 
superficieplanadelalente, enla cualéstaincide en unpuntodependiendo de la pantalla que se pretenda diseñar, y t es el 
grosor de la lente mientras θi es el ángulo de incidencia. Partiendo de la Ecuación3.7 y tomando los puntos de interés 
de la Figura3.1 sabiendoque elángulo β estádadoporladiferenciaéntrelosángulos θa yθi como se expresa en 
la siguiente ecuación[12]. β = θa −θi, (3.6) 
(z2 −z0)tanβ = y2 −y0. (3.7) Sustituyendo Ecuación3.6 enEcuación3.7 
(z2 −z0)(−tan(θa −θi))= y2 −y0, (3.8) 
sen(θa −θi) 
tan(θa −θi)= . (3.9) 
cos(θa −θi)Sustituyendo 
Ecuación3.9 enlaEcuación3.8[13]. sen(θa −θi) 
(z2 −z0) − =(y2 −y0), (3.10) 
cos(θa −θi) 
(−sen(θa −θi))(z2 −z0)=(cos(θa −θi))(y2 −y0). (3.11) expandiendo laEcuación3.11 
−z2sen(θa −θi)+z0sen(θa −θi)= y2cos(θa −θi)−y0cos(θa −θi), (3.12) ordenando ambosladosdela ecuación. 
z0sen(θa −θi)+y0cos(θa −θi)= z2sen(θa −θi)+y2cos(θa −θi), (3.13) 
Sabiendo que el punto P0 (z0,y0) =(t − R(1−cosθi),Rsenθi)sustituirlo enlaEcuación3.13 tenemos: 
z2sen(θa −θi)+y2cos(θa −θi)= t−R(1−cosθi)sen(θa −θi)+Rsenθicos(θa −θi). (3.14) Haciendo una 
simplificación delaEcuación3.14 tenemosla siguiente expresiónparamétrica: 
y2cos(θa −θi)+z2sen(θa −θi)=(t −R)sen(θa −θi)+Rsenθa. (3.15) 
LaEcuación3.15da como resultado unafamiliade rectas refractadasfuerade unalente esférica plano-convexa, 
considerando un objeto en infinito o un frente de onda plano. Para obtener la cáusticapor 
refraccióndebemosderivarlaEcuación3.15 respecto a θi de esta manera realizando laderivada, reduciendo todoslos 
términosyrealizando elálgebra adecuada tenemosla siguiente expresión. 
3.2Cálculodela cáusticapor refracción 
 ∂θa 
∂θi
Rcosθa−y2sen(θa 
−θi)+z2cos(θa −θi)=(t −R)sen(θa −θi)cos(θa −θi)+ . (3.16) 
∂θa 
+1 
∂θi 
TeniendolaEcuación3.15yEcuación3.16resolvemos el sistemade ecuacionespara obtenerlas variables que son una 
incógnita y2 y z2, multiplicamoslaEcuación3.15por sen(θa −θi)y la Ecuación3.16porcos(θa −θi)enlaEcuación3.16, 
realizando elálgebra correspondientetenemos el valorde nuestra variable z2 y tenemosla siguiente expresión 
 ∂θa 
∂θi
cos(θa −θi)Rcosθaz2 =(t −R)+Rsenθasen(θa −θi)+ . 
(3.17) 
∂θa 
−1 
∂θi 
Para obtener el valor de y2 debemos multiplicarlaEcuación3.15por cos(θa −θi) y por la 
Ecuación3.16 −sen(θa −θi)realizando el álgebra correspondiente tenemos el valor de nuestra 
variable y2 dadopor 
 ∂θa 
sen(θa −θi)Rcosθay2 = Rcos(θa −θi)senθa −
∂θi
 . (3.18) 
∂θa 
−1 
∂θi 
Podemos calcular el ángulo θa como función del ángulo θi y tomando en cuenta los índices de refracción del medio 
incidente y de la lente a partir de la ley de Snell tomando en cuenta la Figura3.5y tomandolaEcuación3.1despejamos 
θa. 
θa = arcsen 
ni 
senθi . (3.19) na 
CalculandoladerivadaparcialdelaEcuación3.19yreduciendoladerivadatenemoslo siguiente ecuación. 
∂θa ni 
= cosθi. (3.20) 
∂θi 22 n
a 
−n
i 
(senθi)
2 
 
SilaEcuación3.17yEcuación3.18lodejamosexpresado enfuncióndelánguloincidente θi y sustituimoslaEcuación3.20 
enlaEcuación3.17ylaEcuación3.18 realizando elálgebra 
adecuadaobtenemos finalmentelasdosexpresionessiguientes. 
� 
3
� 2 22 2 
z (θi)=(t −R)+ 
niR
nin (cosθi)
3 
+ n −n (senθi)
2 
, (3.21) 
a ai 22 2 n
a 
(n
i 
−n
a
) 
2 nR(senθi)
3 
 
y(θi)= 
i
. (3.22) 
n
2 
a 
dondehemos omitido el subíndice z2 → z (θi)yy2 → y(θi) 
Obteniendoθi apartirdelaEcuación3.3sustituyéndolo enlaEcuación3.21yenlaEcuación3.22, tenemos una ecuación más 
reducida enfunciónde h. 
� 33 � 2 22 2 ni nin(R
2 
−h
2
)
2 
+(R
2
n−h
2
n) 
a ai 
z (h)=(t −R)+ , (3.23) 
R 222 2 n(n−n) ai a 
h
3
n
2 y(h)= 
i 
. (3.24) 
R
2
na 
2 
Sepuede observarque condición 
hni 
≤ 1impone valores reales,paralos rayos refractados. esto Rna 
es para que no conduzca a un número imaginario, esta expresión nos indica para el signo ― = ‖ la altura a la que 
aparece la reflexión total interna, para una lente plano-convexa arbitraria, tenemosque elángulo crítico se 
expresadela siguiente manera: 
h senθc = . (3.25) 
R 
Porloquetambiénla siguiente expresión nosindica unángulo critico siconsideramosque ni >na de acuerdo 
alaleydeSnell. 
senθc = 
na 
. (3.26) ni 
3.3UnaAproximacionparaxial 
3.3. Una Aproximacion paraxial 
DelaEcuación3.23ylaEcuación3.24 sepuede expresardelaforma alternativa,haciendo una expansión en 
seriesdeTaylor considerandoque |h |«|R |siendoéstalaformade aproximación paraxial. 
⎡⎤ 
Rna 3 hni 
2 
 
zp (h)=(t −R)+ ⎣1− ⎦
 
, (3.27) 
ni −na 2 Rna 
Rna hni 
3 
 
yp (h)= . (3.28) 
ni Rna 
También podemos expresar la ecuación de diacaústica en forma no paramétrica eliminando el paámetro h 
obteniendo unaparabola semicubica[12]. 
1 
2 2 yp = KpcZp 
3 
. (3.29) 
3.4. MétodoparaeldiseñodepantallasnulastipoHartmann 
ApartirdelaEcuación3.23yEcuación3.24, obtenemos unpunto sobre los rayosproyectados, dada unapendienteéstatieneque tocar unpuntodelplanoimagenque seproyecta en unplano contenido en la cámara CCD. De la ecuación 
mencionada podemos calcular las alturas que se requiera en eldiseñodelaspantallas, sin embargo 
obteniendoladerivadadelaEcuación3.23 respecto alparámetrodela altura tenemosla ecuación siguiente. 
h
2
n
2 i −y p 2 yh −ypR
2
n 
a tanϕ == 
3
 . (3.30) 
zh −zpninin
2
(R
2
−h
2
) 
3
2+(R
2
n
2
−h
2
n
2
)
2
 
(t −R)+ 
aai 
−zp 
R
2
n
2 
a(n
2
−n
2 
a)
 
i 
dondeyp puntodelapantalla enla coordenaday sobre elplanodedeteccióny zp esladistancia delplanoimagendonde se 
coloca elCCD. 
Sabiendoque siderivamoslaEcuación3.23ylaEcuación3.24respecto ala altura h en elpunto P2 que eslatangentedela 
superficiedela cáustica como se muestralaFigura3.5,tenemosla siguiente ecuación: 
 
∂y 22 
h(n−n) ∂h ia tanϕ == 
13 
. (3.31) 2 222 2 
∂z 
n(R
2 
−h
2
)
2 
+n(R
2
n−h
2
n) ∂h a iai 
IgualandolaEcuación3.30yEcuación3.31y resolviendopara elparámetro h obtenemos un polinomiode 
sextogradocomofuncióndelaaltura,para no abundarmucho enéstetema,nos interesara saber únicamente las alturas de 
cada rayo que incide en la pantalla que se pretende utilizar. 
{
()() () 3 () 3 
}
()vv 222 2 2222 22222 32 222 2 2 hn n − nzp + RR− ni ninR− h+ Rn − hn = hn − ypRn nR2 − h2 + ninR2 − nh2 . aiaaaiiaa i 
(3.32) 
Enéste caso sivemosla ecuación solo se requiere tenerlosdatosdelalentedeprueba,yaque el radio estáinmerso enlas 
característicasdelalente.Losíndicesque se utilizarán tambiéndeben ser conocidos,yaque elfabricante nosdalas 
característicasdel tipodelente a utilizarse. Enlahojadeespecificacionestenemoslossiguientesdatosparalalente 
autilizarse, cabemencionarsequelalente esférica utilizada en el experimento es unalente rápida. 
Tabla3.3.1CaracterísticasdelalenteRápida 
1. Sedecideque tipodeManchasqueremos ver en elCCD,ya sea circular o cuadrada. 
2.Primerosediseñalasmáscarasdefiniendoelnúmero ―N‖delineas o manchasquedeseamos ver en elCCD. 
3.Generandolaspantallasque se van a utilizar enlaprueba experimental se muestra enla 
Figura3.6(a)ylaFigura3.6(b), asícomola respectiva máscaraque se utilizará al momento de activarla 
cámaraCCD,yéstas se muestran enlaFigura3.7(a)yFigura3.7(b). 
Números de artículo STP-MTR-17048 
Flanje del motor NEMA 17 
 0.59N − m 
Torque de eje detenido máximo 83 onza-pulgada 
 5.2 libras-pulgadas 
 0.0000068kg − m 2 
Inercia del rotor 0.45oz − in2 
 0.00006 lb − in − s 2 
Corriente nominal 2.0 A/fase 
Ángulo de repaso básico 1.80 (motores bifásicos con cable con conector) 
Peso 210 gramos 0.7 lbs 
Tolerancia del eje 0.0508 mm ó 0.0022pulgadas 
Juego radial del eje @ fuerza de 1 libra 0.0254 mm ó 0.002pulgadas 
Perpendicularidad 0.0762 mm ó 0.003 pulgadas 
Conentricidad 0.0508 mm ó 0.0022pulgadas 
Temperatura de operación −20 0 C a −50 0 C (La temperatura externa del motor debe mantenerse abajo de 100 0 C ) 
Fuerza máxima radial 1.82 Kg ó 6 lbs 
Fuerza máxima axial 1.82 Kg ó 6 lbs 
Clase de aislación Clase B 1300 C 
Aprobación de Agencia CE (cumple con EN550141 (1993) y EN60034-1.5.11) 
Cable de extensión (motor al accionamiento) 6 metros ó 20 pies -Número de artículo STP-EXT-020 
Parámetro Lente Rápida 
R Radio de Curvatura mm 38.76 
T Grosor mm 32.68 
F EFL mm 75 
D Diámetro 75 
F/# 1 
(n) índice de refracción 1.517 
12 5.09E-08 42 0.101E-06 72 -1.97E-08 
13 1.06E-07 43 9.84E-06 73 -2.37E-08 
14 1.91E-07 44 9.38E-06 
15 3.20E-07 45 8.79E-06 
16 5.13E-07 46 8.10E-06 
17 7.96E-07 47 7.38E-06 
18 1.20E-06 48 6.53E-08 
 
 
3.4Métodopara eldiseñodepantallas nulas tipoHartmann 
1. Cada línea está formada por un número ―M‖ de puntos igualmente espaciados que van a formar una curva 
contínua. 
2. Se unen los puntos contiguos que forman cada curva por lineas rectas, para formar una curva contínua. 
 
(a) (b) Figura 3.6.: a)DiseñodePantallasAnilloCircular,b)DiseñodePantallasAnilloCuadrado 
 
(a) (b) Figura 3.7.: a)Máscarade anillos circulares,b)Máscarade anillos cuadrados 
Teniendo en cuentaquelas máscaras estándiseñadaspara colocar elsensorCCD a unadistancia de75mm delapantalla 
sediseñaron con elprogramadeMatlab,ypara obtenerlas máscarasde 
cadapantalla se utilizo unprogramallamadodeCorelDraw,para modificar el tipodeimagen a utilizarse. En éste caso las 
imágenes tienen las siguientes características, extensión (bmp), monocromáticos, sonde8bit yla resolución 
sonde1018× 1018pixeles,yse ajusto alprograma desarrollado enLabView.Con estas máscaraspermitió una mejor 
alineación en tiempo real.La cámara se coloco en unaplatinadeposicionamiento condesplazamiento de tres 
ejes(x,y,z).Se considerolacámaraCCD alaDistanciaFocalEfectiva(EFL)para evitarla regiondela cáustica, ylo 
másperpendicularposible al ejeópticopara evitarintroducir aberraciones(astigmatismo, coma, etc.) las platinas nos 
permiten desplazar la cámara y reconstruir la imagen en cualquier plano. 
 
3.5Pruebas conpantallas nulas tipoHartmann aimpresión aláser. 
3.5. Pruebas con pantallas nulas tipo Hartmann a impresión a 
láser. 
Las primeras pruebas que se desarrollaron fue utilizando pantallas nulas impresas en acetato utilizando 
unaimpresoraláser con una resoluciónde1200dpi[14].Utilizando elprogramaque se presenta en elApéndiceAenla 
secciónintensidad en niveldegrisesdelaimagenpor coordenada obtuvimos las intensidades de cada pixel y realizamos 
una reconstrucción de la imagen en 3D observando una mejorladistribucióndelapotenciaque segenera al registrarse 
en cadapixel, al ajustarloalamáscara,sepuedeobservarquelaimagenéstaalineada,conun filtrajeirregular, presentándose 
el problema de que no es uniforme u homogéneo la intensidad de la potencia registrada, como se observa 
enlaimagendelaFigura3.8yFigura3.9. 
Figura 3.8.: Reconstruyendo cadapantalla utilizada en elexperimento a) anillos cuadrados,b) anillos circulares 
 
 
(a) (b) 
 
(a) (b) 
Figura 3.9.: Generando imagen del anillo en 3D en la reconstruyendo, a) pantalla de anillos cuadrados,b)pantallade 
anillos circulares 
 
(a) (b) 
Figura 3.9.: Generando imagen del anillo en 3D en la reconstruyendo, a) pantalla de anillos 
cuadrados , b) pantalla de anillos circulares 
Almomentodedesplazarlaplatinaque contiene ala cámaraCCD alalentedeprueba a10 mm 
observamosladeformacióndelaimagen como se muestra enlaFigura3.10ylaFigura3.11. 
 
(a) (b) Figura 3.10.: Deformacióndelaspantallas a) anillos cuadradosb) anillos circulares 
Figura 3.11.: Generandoimagendel anilloen3D en sudeformacióndelaspantallasa)anillos cuadrados,b) anillos 
circulares 
(a) 
(b) 
Conforme se desplaza la platina hacia la lente de prueba, podemos observar la deformación 
generadaalos65mmcuandolaimagenpasala regióndemayor concentracióndeenergíaconocida como CÁUSTICA. La 
imagen registrada y reconstruida en 3D se puede observar que existen regionesdonde se carga mayorlaintensidad 
enpixeleslospodemos observar enlaFigura3.12y laFigura3.13. 
3.5Pruebas conpantallas nulas tipoHartmann aimpresión aláser. 
 
(a) (b) Figura 3.12.: Deformacióndelapantalla a) anillos cuadrados,b) anillos circulares 
Figura 3.13.: Generandoimagendelanillo en3D en el centrodelaspantallas a) anillos cuadrados,b) anillos circulares 
(a) 
(b) 
Es muy notable que en una región está mas cargada la intensidad en pixeles. Generalmente se 
presentanproblemasdealineamientodelláser,ounmal filtrajeconel objetivodemicroscopio. Además pueden existir 
otros factores como son, las vibraciones que se presentan en la mesa de trabajo,la energíaqueproviene 
exteriormentedel sistema como sonlaslámparas, el monitorde una computadora[14], etc. 
3.6. Pruebas con pantallas nulas tipo Hartmann a impresión 
fotográfica 
Las pruebas que nos dieron mejor resultado son las que se realizaron en impresión fotográfica en acetato, el contorno 
y la uniformidad de las intensidades registradas fueron masuniformes, pero aún presentaron en cada uno de los 
anillos distintas intensidades, como se observa en la Figura3.14ylaFigura3.15 
 
(a) (b) Figura 3.14.: Reconstruyendo lapantalla a) anillos cuadrados,b) anillo circular 
Figura 3.15.: Generando imagen del anillo en 3D en la reconstruyendo la pantalla a)anillos cuadrados,b) anillos 
circulares 
(a) 
 (b) 
3.6Pruebas conpantallas nulas tipoHartmann aimpresiónfotográfica 
En la reconstrucción en 3D podemos observar que en cada anillo también conserva una mejor distribución en 
intensidad en cada pixel de nuestra imagen capturada en el CCD. En el centro de la imagen presenta una mayor 
concentración de energía de láser, conforme los anillos se van alejando sigue manteniendo unaintensidad 
nohomogénea. Conlas mismaspantallasregistramoslasimágenes,pasandoporla regiónde mayor concentración de 
energía,las cualespresentan una mejor uniformidadenintensidaddepixeles.Como se muestra 
enlaFigura3.16ylaFigura3.17 
 
(a) (b) Figura 3.16.: Reconstruyendo lapantallade anillos cuadradosy circular 
Figura 3.17.: Generando imagen del anillo en 3D en su deformación de la pantalla de anillos cuadradosy circulares 
(a) 
(b) 
Cabe mencionarque en esta regiónpuede tener unahomogeneidady uniformidad enintensidad depixeles.Laimagen 
estádeformadayaque se encuentradentrodela regióndelaCÁUSTICA. Alutilizar estas nuevaspantallas en cada 
anillopresentadistintaspotenciasque no se notan enla reconstrucción en3Dcomo se muestra 
enlaFigura3.17.Cuandolaspantallasestándeformadasy hanpasadoporla regióndelaCÁUSTICApodemos ver 
claramenteque nohayuna uniformidad enlosnivelesdegrisesy enintensidad entonalidaddegrises enlospixeles, 
existiendo regiones mas concentradas conforme vamos desplazando la cámara CCD a la lente esférica que se está 
utilizando en el sistema comopodemos observarlo enlasimágenesdelaFigura3.18. 
 
(a) (b) Figura 3.18.: Deformacióndelapantalla a) anillos cuadrados,b)anillos circulares 
Figura 3.19.: Generandoimagendel anillo en3D en el centrodelapantalladelos anillos. (a) 
(b) 
 
3.6Pruebas conpantallas nulas tipoHartmann aimpresiónfotográfica 
Lasimágenes en3Dpodemos observar enlaFigura3.19 se notan ciertasirregularidades al graficarlo, existen regiones 
con mayor concentración de intensidad en tonalidad de grises en cada unodelospixelesporloque sepresenta una 
mayor cantidaddepotenciadelláser. Lasimpresorasdeláser eimpresoras térmicas utilizanéste métodopara adherir tóner 
al medio. Trabajan utilizando el principio de Xerografía. ―Es un proceso de impresión que emplea electrostática en 
seco para la reproducción o copiado de documentos o imágenes‖. Y generalmente lasfotocopiadoresfuncionandela 
siguiente manera, se adhiere tóner a un tambordeimpresión sensible alaluz,y utilizando electricidad estáticapara 
transferir el tóner al mediodeimpresión al cual se unegraciasal calorylapresióncomosemuestra 
enlaFigura3.20(a)yFigura3.21 (b). 
Figura 3.20.: Pantallasde anillos circular utilizadas enlapruebaóptica a)ImpresiónFotográfica,b)Impresión aLáser 
 
 
(a) (b) 
 
(a) (b) 
Figura 3.21.: Pantallas de anillos cuadrados utilizadas en la prueba óptica a) Impresión Fo-tográfica,b)Impresión 
aLáser 
 
PostScript es unlenguajededescripcióndepáginas(PDL,pagedescriptionlanguage), utilizado en muchas impresoras y, 
de manera usual, como formato de transferencia de archivos gráficos 
entalleresdeimpresiónprofesional.Unlenguajededescripcióndepáginas(LDP) describe el formato de las páginas, la 
colocación del texto y los elementos gráficos como mapas de bits o como objetos vectoriales para obtener una 
calidad de impresión óptima como se muestra en la Figura3.20(a)yFigura3.21(a). 
4. Desarrollo experimental: 
desplazamiento del centroide 
4.1. Pruebas con pantallas desplazándolo en un solo 
cuadrante. 
El objetivodeéste tema es analizar el comportamiento experimentaldelos rayos refractados en unalente esféricaque 
se utilizo en el sistema considerando unfrentede ondaplanoincidente,para conocer el comportamiento sobre el centro 
de masa en diversos planos de observación, cuando los rayospasanporuna aberturay seguir 
sutrayectoria.Sediseñólapantallaque seutilizará, como se muestra enlaFigura4.1 el tamañodelapantalla tipoHartmann 
esde75 mm de ancho y75 mm delargoy su máscara equivalente enpixeles esde1018 ×1018pixeles. 
 
(a) (b) Figura 4.1.: a)PantalladePrueba,b)Máscaradelapantalla 
La primera prueba que se realizo fue una pantalla utilizando un solo cuadrante para conocer el comportamiento de la 
trayectoria. Al momento desplazar la cámara CCD en dirección a la lente esférica se capturaron las imágenes y se 
obtuvo el centroide, los datos obtenidos y graficados presentaron un comportamiento no lineal debido al efecto de 
backlash de la platina de desplazamiento, como se muestra enlaFigura4.2(a),Figura4.2(b),Figura4.2(c)[17]. 
Figura 4.2.: a)Iniciaeldesplazamiento ,b)Eldesplazamiento seencuentraenlaparteintermedia , c)Finaliza 
eldesplazamiento. 
(a) (b) 
 (c) 
Las modificaciones que se realizaron a la pantalla nula tipo Hartmann lo podemos observar en laFigura4.3, endonde 
se tomoladecisiónde utilizarlos cuatro cuadrantes. 
4.2. Pruebas con pantallas desplazándolo en los cuatro 
cuadrantes 
Para estaprueba utilizamoslapantalladelaFigura4.3, se seleccionaron trespuntos arbitrarios en un solo cuadrante.Al 
momentodedesplazar elCCDlospuntos no seintersectan[18],porlo tanto nospermite ubicarlaposicióndel centroide en 
cadaimagen adquirida conla cámaraCCD [5].En un solo cuadrante ubicamoslaposicióndelas muestrasque 
seguiremos como se muestra 
 
(a) (b) 
4.2Pruebas conpantallasdesplazándolo enlos cuatro cuadrantes 
Lostrespuntosque elegimos se muestran enlaFigura4.3,los etiquetamos comoCY1,CY2y CY3, comola 
máscarayutilizando elprograma anteriormentedescritopara adquirirlasimágenes durante eldesplazamiento dela 
cámaraque se realiza conlaplatinadedesplazamiento[19]. 
Figura 4.4.: Imágenes seleccionadaspara el análisisde nuestro centroide Se presentan en la Tabla 4.2.1 
los datos obtenidos de los centroides las imágenes seleccionadas paralostrespuntos arbitrarios se muestran 
enlaFigura4.4.Enlaimagen se considera el eje ―Y‖y el eje ―Z‖,donde ―Z‖ es eldesplazamiento sobre el ejeópticoy 
CY1PX, CY2PX yCY3PX sonvaloresdel centroideenel eje ―Y‖y se encuentran enpixeles. 
 
Tabla4.2.1Coordenadas enpixelesdelos centroides 
No. CY 1PX CY 2PX CY 3PX Zmm 
1 477.02 258.09 71.23 75 
2 477.6 267.59 85.67 75.4 
3 478.63 289.12 113.32 74 
4 479.04 292.61 128.14 73.5 
5 479.16 302.97 142.56 73 
6 481.1 309.55 153.09 72.5 
7 482.13 321.03 169.11 72 
8 481.86 330.31 184.96 71.5 
9 482.26 339.94 197.44 71 
10 484.23 347.41 209.04 70.5 
11 485.19 356.62 221.91 70 
12 484.67 364.27 238.56 69.5 
13 485.7 371.5 249.7 69 
14 487.75 381.36 263.64 68.5 
15 486..3 390.03 277.81 68 
16 487.41 399.55 294.58 67.5 
17 490.46 410.16 305.01 67 
18 490.06 418.66 317.76 66.5 
19 491.93 427.9 330.28 66 
20 493.91 437.36 348.16 65.5 
21 495.23 446.58 361.33 65 
22 496.21 455.84 375.21 64.5 
 
Figura 4.5.: Grafica tipo escobetadesplazamiento delos centroides. GraficandolaTabla4.2.1vemos su 
comportamiento, mientraséste se va acercandohacialalente esférica,lospuntos seleccionados seintersectan con el 
ejeóptico, soloquelos ejestienendistintas unidades enXyY se encuentrany el ejeZ tiene unidades en 
milímetros,yaqueéste sedesplaza atravésdelaplatina.Elprocedimiento siguiente es uniformizarlos ejes conlas mismas 
unidades de medidas. 
Figura 4.6.: Gráficadel centroidey sudesplazamiento sobre el ejeóptico 
4.2Pruebas conpantallasdesplazándolo enlos cuatro cuadrantes 
Losdatosobtenidosdelprocedimiento anterior,realizamoslosajustesparaobtener susecuaciones que satisfacen cada 
línea recta. La R2 denominada también como coeficiente de determinación múltiple, puede interpretarse como el 
porcentaje de variabilidad de Y explicadao debida a la rectade regresión, en tanto sepuede comprobar 
utilizandolaEcuación4.1[21]. 
n 
i=0
(xi −x¯)(yi −y¯) 
R = . (4.1) n 
(xi −x¯)
2 
n 
(yi −y¯)
2 
 
i=0 i=0 Cuandotodoslospuntosseencuentransobrelarectaderegresiónestimada,esdecir, "el ajuste es 
perfecto", en nuestro caso los centroides no presenta una R
2 
= 1 y esto es debido a que al 
posicionadordetresgradosdelibertadpresentaligerasvariacionessensibles aldesplazamiento, mientraséste se 
vadesplazandopor el efetodebackslash. ObservandolaFigura4.7(a) el origen se encuentra enla 
esquinadelaparteizquierdapara cambiar el origen utilizaremoslaEcuación4.2paratrasladar el origen como se muestra 
enla Figura4.7(a)las unidadesque utilizaremosdeberánde manejarsedeforma uniforme en ambos ejes, para llevar 
acabo nuevamente la gráfica de los centroides que corresponderán para cada desplazamientode nuestras muestras a 
analizar. 
Figura 4.7.: a)Imagen originaly sus coordenadas originales;b)Cambiodel marcode referencia y sus nuevas 
coordenadas. 
(a) (b) 
4.3. Procedimiento experimental para cambiar el marco de 
referencia 
Para conocer el valorde unpixel utilizaremosla siguiente relación: 
1018px → 9.1mm, 
1px → σ, 
9.1[mm] [mm] m 
σ = =0.008939≈ 8.94x10
−3 
≈ 8.9µ. (4.2) 
1018px px px 
Porlotantopara cambiar elmarcode referenciadelaimagendelalente utilizaremosla siguiente ecuaciónde 
transformacióndepixeles a mmpara aplicarlo alaTabla4.3.1. 
x = σ(xpx −509), (4.3) 
y = σ(ypx −509). (4.4) 
SustituyendoladelaEcuación4.2enlaEcuación4.4quesonlosvaloresqueutilizaremospara �
� 
graficar eldesplazamientode nuestro centroidedelalentedeprueba alCCD. 
y =0.008939∗ (ypx −509) (4.5) 
Tabla4.3.1Coordenas en milímetrosdelos centroidesyla resoluciondelaplatina esdel orden de micras. 
No. CY 1mm CY 2mm CY 3mm Zmm 
1 -0.284 -2.233 -3.896 75 
2 -0.279 -2.148 -3.767 74.5 
3 -0.270 -1.956 -3.521 74 
4 -0.266 -1.925 -3.389 73.5 
5 -0.265 -1.833 -3.261 73 
6 -0.248 -1.775 -3.167 72.5 
7 -0.239 -1.672 -3.025 72 
8 -0.241 -1.590 -2.883 71.5 
9 -0.237 -1.504 -2.772 71 
10 -0.2203 -1.438 -2.555 70.5 
11 -0.211 -1.356 -2.406 70 
12 -0.216 -1.288 -2.307 69.5 
13 -0.207 -1.223 -2.183 69 
14 -0.189 -1.135 -2.057 68.5 
15 -0.202 -1.058 -1.908 68 
16 -0.192 -0.974 -1.815 66.5 
17 -0.165 -0.879 -1.702 66 
18 -0.168 -0.879 -1.590 67.7 
19 -0.151 -0.721 -1.131 66 
20 -0.134 -0.637 -1.021 65.4 
21 -0.122 -0.555 1.314 65 
22 -0.113831 -0.473124 -1.190 64.5 
4.3Procedimiento experimentalpara cambiar el marcode referencia 
AhoragraficandolaTabla4.3.1y observamoslaFigura4.8donde se muestra un ajustelineal dela trayectoriaque sigue 
cada unodelos centroides analizados, obteniendo una ecuaciónpara cada una de las muestras seleccionadas se puede 
observar su comportamiento, y con las ecuaciones obtenidasdelosdatos experimentalespodemos obtener elpunto 
endonde el centroide se intersecta con el ejeópticopara cada muestra. 
Figura 4.8.: Ajustedelagráficadeldesplazamiento delos centroides 
 
Las ecuaciones que se mencionan a continuación son las obtenidas después de hacer el ajuste 
linealparacadaunadenuestrasmuestrasy ver sudesplazamientodel centroideparacadauna de ellas: 
CY1= −0.015ZCY1 +0.873, (4.6) 
CY2= −0.162ZCY2 +9.977, (4.7) 
CY3= −0.249ZCY31 +14.924. (4.8) 
Haciendoy =0enlasEcuación4.6,Ecuación4.7yEcuación4.8 analizando cada ecuaciónpodemos encontrar enque 
momento el rayo seintersecta con el ejeóptico conlosdatos experimentales obtenidos. 
Para cuando CY1=0para CY1mm enlaEcuación4.6 0= −0.015ZCY1 
+0.914, 
0.914 
ZCY1 = =56.782[mm]. (4.9) 
0.015 
Para cuando CY2=0para CY2 mm enlaEcuación4.7 0= −0.162ZCY2 
+9.977, 
9.977 
ZCY2 = =61.553[mm]. (4.10) 
0.162 
Para cuando CY3=0para CY3 mm enlaEcuación4.8 0= −0.249ZCY3 
+14.924, 
14.924 
ZCY3 = =59.767[mm]. (4.11) 
0.249 Porlo consiguientepodemos observarque elvalor obtenidodelosdesplazamientos, cuando h =0, 
lasintersecciones delas rectas con el ejeópticoque vadelalente esférica al sensor delCCDde la cámara se muestra enla 
siguienteFigura4.9. 
Figura 4.9.: Intersección delas rectas con el ejeóptico. Ahoradebemos obtenerla alturade 
cada unadelas tres muestras de nuestrapantalladeHartmann, necesitamos obtener apartirdela ecuacióndela 
circunferenciaylaintersección con una secante[16], apartirdelosdatos calculadosy obtenidos experimentalmente, sila 
ecuacióndela circunferencia esla siguiente. 
 
(z +38.76)
2 
+y 
2 
=38.76
2 
, (4.12) 
4.3Procedimiento experimentalpara cambiar el marcode referencia 
donde el radio de la curvatura de la lente esferica es R = 38.76 y la ecuación de las rectas 
eslaEcuación4.6,Ecuación4.7yEcuación4.8las sustituimos enlaEcuación4.12 se obtiene un polinomio de segundo 
grado, resolviendo por medio de la fórmula general obtenemos dos coordenadas, para nosotros los puntos de interés 
son los que intersectan con la lente que está próximo a nuestraárea activadelCCD. 
1.000z 
2 
+77.550z +0.835=0, (4.13) 
1.026z 
2 
+74.325z +99.544=0, (4.14) 
1.062z 
2 
+70.106z +222.765=0. (4.15) Obtenido el valor de ―z‖éstelo sustituimos enlas 
ecuacionesEcuación4.8,Ecuación4.9y Ecuación4.10yobtenemoscomoresultadoel valorde ―y‖,quepara nuestros va a 
representarlas alturas exactamente donde se encuentra nuestros centroides de nuestra pantalla de Hartmann, los 
resultados se muestran enlaTabla4.3.2. 
Altura h1CY1mm Alturah2CY2mm Altura h3CY3 
Y1mm =0.873 Y2mm =10.199 Y3mm =15.750 
Z1mm = −0.009 Z2mm = −1.365 Z3= −3.348 
Tabla4.3.2Datosdelas alturas máximas esperimentales. 
EnlaEcuación4.1 se muestra eldiseñodelapantalla utilizadapara tenerlosdatos experimentales endonde ubicamoslas 
coordenadasque se muestran enlaTabla4.3.3,losdatos obtenidos se encuentrandentrodel rangodelosdatos calculados 
experimentalmente de cada unode ellos. 
Alturah1CY1mm Alturah2CY2mm Alturah3CY3mm 
Y1mm =1.945 Y2mm =10.601 Y3mm =15.630 
Z1= −16.322 Z2= −10.908 Z3mm = −1.773 
Y1mm =0.203 Y2mm =9.310 Y3mm =15.310 
Z1mm = −16.422 Z2mm = −11.625 Z3mm = −1.807 
Tabla4.3.3Datosdelas alturas máximasy mínimas teóricasdel errorporcentual. 
Graficando los datos experimentales después del ajuste que se realizó y obteniendo las alturas encontradas, sabemos 
exactamente enquépartede nuestralentedepruebaproviene[20]. 
Figura 4.10.: Gráfica en 2D de las proyecciones de las rectas y las alturas de los rayos de la lentedeprueba 
 
Conlosdatosobtenidosdeldesplazamientodeloscentroides encadaimagen capturada, sepuede graficar 
utilizando elprogramadeMatlab,yproyectar cada rayoque se refractadela lente esférica utilizado en el 
experimentoypoder ver sudesplazamiento. 
Figura 4.11.: Gráfica en 3D de las proyecciones de las rectas y las alturas de los rayos de la lentedeprueba 
 
4.4Análisis cuantitativodel centroide a trávesde sudesplazamiento adiferentesplanos 
Enlas siguientesimágenes capturadas sepuede observarlatrayectoriadelas manchasgeneradas porlapantallaysepuede 
obtener el centroides como se observa enlas siguientesFigura4.12(a), Figura4.12(b)yFigura4.12(c). 
Figura 4.12.: Desplazamientodela cámaraCCDendirección alalente esférica utilizada enla prueba sobre el 
ejeóptico(a) A unadistanciade75 mmdel vérticedelalente,(b) A una distanciade51mmdel vérticedelalente,(c)A 
unadistanciade35 mmdel vérticedelalente. 
(a) (b) 
 (c) 
4.4. Análisis cuantitativo del centroide a tráves de su 
desplazamiento a diferentes planos 
La pantalla que se utilizó en la prueba del sistema, se obtuvo cada una de las coordenadas y 
ladistanciadelaaltura,enéstecasoennuestraimagensolotenemos elplano X −Y sabiendo que el eje del desplazamiento 
es en Z, éste nos dará una idea de como realmente se desplaza el centroide, al momentode moverla cámaraCCD, 
enlaTabla4.4.1 mostramosdichas coordenadas (Y1, Z1),(Y2, Z2)y(Y3, Z3)donde Y esla alturay Z es 
eldesplazamiento. 
Alturah1CY1mm Alturah2CY2mm Alturah3CY3mm 
Y1mm =1.945 Y2mm =10.601 Y3mm =15.630Z1mm = −16.322 Z2mm = −10.908 Z3mm = −1.773 
Y1mm =0.203 Y2mm =9.310 Y3mm =15.310 
Z1mm = −16.422 Z2mm = −11.625 Z3mm = −1.870 
Tabla4.4.1Datosdelas alturasdel centroide. 
Delagráficaque se muestra enlaFigura4.8, utilizandolas ecuacionespodemosintersectarla secante con la lente esférica 
y poder obtener las ecuaciones y las nuevas coordenadas, como se muestran enlaTabla4.4.2. 
Tabla4.4.2Datosdelas alturas máximas. 
Alturah1CY1mm Alturah2CY 2mm Alturah3CY 3mm 
Y 1mm =0.873 Y 2mm =10.199 Y 3mm =15.760 
Z1mm = −0.009 Z2mm = −1.365 Z3mm = −3.348 
Realizando un ajuste se obtuvieron las nuevas ecuaciones que se utilizarán para conocer el desplazamientodel 
centroide. 
Figura 4.13.: Gráfica ajustada conlas nuevas ecuaciones 
Figura 4.14.: Gráficadel comportamientodel centroide enla entradadelalentedeprueba 
4.4Análisis cuantitativodel centroide a trávesde sudesplazamiento adiferentesplanos 
AmpliandolagráficadelaFigura4.14podemosobservarque el centroideY3 estáfueradel interalo del orificio de la 
pantalla nula, donde el láser filtrado pasa por la pantalla y llega a la lente esférica.MientrasY1yY2 
estádentrodelinteralo. 
Figura 4.15.: AmpliacióndelagráficadelaFigura4.14 Realizamos elmismoprocedimientodelosdatos 
obtenidodelaTabla4.3.1 soloque no utilizaremos todalainformación, omitiremoslosdosprimerosdatos, como se 
observa enlaFigura4.16 
Figura 4.16.: Gráfica ajustada conlas nuevas ecuaciones 
Repetimos elprocedimientolagráficaque se muestra enlaFigura4.16utilizandolas ecuaciones, 
podemosintersectarlasecante conlalenteesféricaypoderobtenerlasecuacionesylasnuevas coordenadas, como se 
muestran enlaTabla4.4.3. 
Tabla4.4.3Datosdelas alturasdel centroide 
Altura h1 CY1mm Altura h2 CY2mm Altura h3 CY3mm 
Y1mm =0.963 Y2mm =10.100 Y3mm =15.487 
Z2mm = −0.011 Z2mm = −1.292 Z1= −2.998 
Realizando un ajuste se obtuvieron las nuevas ecuaciones que se utilizaran para conocer el desplazamientodel 
centroide. 
CY3= −0.2436z +14.575 (4.16) 
Figura 4.17.: Gráficadel comportamientodel centroide enla entradadelalentedeprueba 
4.4Análisis cuantitativodel centroide a trávesde sudesplazamiento adiferentesplanos 
Figura 4.18.: Ampliacióndelagráficadel trazode rayos experimental. Repetimos 
elprocedimientolagráficaque se muestra enlaFigura4.19utilizandolas ecuaciones, podemosintersectarlasecante 
conlalenteesféricaypoderobtenerlasecuacionesylasnuevas coordenadas, como se muestran enlaTabla4.4.4. 
 
Tabla4.4.4Datosdelas alturasdel centroide 
Altura h1 CY 1mm Altura h2 CY 2mm Altura h3 CY 3mm 
Y 1mm =0.963 Y 2mm =10.100 Y 3mm =16.225 
Z1mm = −0.011 Z2mm = −1.292 Z3mm = −3.284 
Tabla4.4.4Datosdelas alturasdel centroide 
Figura 4.19.: Gráfica ajustada conlas nuevas ecuaciones. 
Realizando un ajuste se obtuvieron las nuevas ecuaciones que se utilizaran para conocer el desplazamientodel 
centroide. 
CY3= −0.257z +15.381 (4.17) 
Figura 4.20.: Comportamientodel centroide enla entradadelalentedeprueba 
 
Figura 4.21.: AmpliacióndelagráficadelaFigura4.20 
4.4Análisis cuantitativodel centroide a trávesde sudesplazamiento adiferentesplanos 
Utilizando la ecuación de la esfera ylas ecuaciones delas rectas,que forman el desplazamiento delos centroidesdelas 
ecuaciones. 
Figura 4.22.: Imagen en3Ddelalente esférica 
4.5. Analisis cuantitativo de las impresiones de las pantallas 
nulas. 
Utilizamos unMicroscopioModeloYZ-6queposeelasventajasde altaresoluciónyunacalidadde imagen en un campode 
visión relativamente amplia.Elmicroscopio estáprovisto con3distancias de trabajosdiferentes condos 
modosdeiluminación,delas cuales solo utilizamoslailuminación que segenera enlaparteinferior, una 
ventajaquetieneéste microscopio esque sepuede colocar una cámarade video ó una cámarapara adquiririmágenesy 
almacenarlo en una computadora. EnlaFigura4.23podemos observarla adaptacióndela cámaraque utilizamospara 
obtenerlas imágenes, utilizamos un objetivo de 1.0X a una distancia de trabajo de 84mm utilizando unos 
ocularesde16X,la amplificacióndel sistema esde un rangode0.7X a4.2X total,para nuestras muestras utilizamos los 
siguientes parámetros un Zoom de 4.2X, con la amplificación total de 67.2Xy un campolinealde3.6 mm. 
Figura 4.23.: MicroscopioModeloYZ-6 
 
Las siguientesimágenesfuerontomadas con el microscopioModeloYZ-6delaspantallastipos Hartmann,lasimágenes 
aimpresiónláser enéste experimentoya nolas utilizamos,debido aque al momento de capturar cada muestra se nos 
dificultaba por la deformación y la calidad de las 
imágenes,perotomamoslasimágenesylascolocamosparacompararloscomosemuestra enla Figura4.24b), 
fig.Figura4.24d)y fig.Figura4.24f). 
4.5Analisis cuantitativodelasimpresionesdelaspantallas nulas. 
 
(a)ImagenaImpresiónFotográficaMuestra1 (b)ImagenaImpresiónaLáserMuestra1 
 
(c)ImagenaImpresiónFotográficaMuestra2 (d)ImagenaImpresiónaLáserMuestra2 
 
(e)ImagenaImpresiónFotográficaMuestra3 (f)ImagenaImpresiónaLáserMuestra3 Figura 4.24.: Muestras 
seleccionadaspara obtenerlos centroides 
 
Calculando el errordelaspantallasque utilizamos en el experimento tenemosque 
 
 (a) (b) 
 (c) (d) 
Figura 4.25.: a)yb) Dimensionesdelaspantallasimpresas.y c) yd) sonlasdimensiones en eldiseñodelapantallas 
 
Calculando elerrordelasmedidasobtenidasdelaimagencapturadaconel microscopio utilizando un Vernier y la imagen 
obtenida con el Programa de Corel Draw, los errores se muestran en la Tabla4.4.5. 
Tabla4.4.5Porcentajede error enlaspantallas utilizadas 
Imagen(a) Imagen(b) 
0.77−0.63 0.42−0.35 Ancho ε = × 100%=22.22% ε = ×100%=20.0% 
0.63 0.35 
2.12−2.09 1.83−1.59 Largo ε = × 100%=1.43% ε = × 100%=15.09% 
2.09 1.59 
5. Pantallas nulas con degradación en 
tonalidad de grises 
5.1. Desarrollo experimental para realizar el degradado en 
grises 
Utilizamos el sensordel multímetroópticopara realizarlas mediciones enpotencia en cada uno de los diferentes 
anillos de nuestra pantalla de Hartmann, esto con la finalidad de asignarle la intensidad en tonosdegrises,para tener 
unaimagenhomogéneay uniforme enintensidad en el planodedeteccción. 
Losdatos obtenidos enlasgráficasque se muestran enlaFigura5.1, endondelaintensidad de la potencia registrada en un 
medidor de potencia fue manipulada por el polarizador, éste nospermitió aumentarlaintensidad de energíaparallenar 
completamente eláreadelos anillos registrandola máximapotenciapor anillo, esto selograba ajustándose ala 
máscaradelCCD. 
SiobservamoslasimágenesdelasFigura5.1(a)yFigura5.1(b)podemos observarquelasgráficas deberían ser 
exponenciales deformadescendente partiendo del centrohasta elúltimo anillo,ya 
quelamayorconcentracióndeenergíaseencuentra enlapartecentral.Paraéstedesarrollolas gráficas no tienen ninguna 
relación con aquellasimágenesyaque se elaboraronpantallas con un solo anillo, conforme seincrementabala energíay 
sellenaba enla totalidad eláreadel anillo en la máscara, se registraron los nuevos datos anillo por anillo y se 
graficaron como se observa la Figura5.1. 
 
(a) 
Figura 5.1.: Gráfica de las intensidades de potencia para cada anillo (a)Anillos Circulares (b)AnillosCuadrados 
(b) 
 
5.1Desarrollo experimentalpara realizar eldegradado engrises 
Conlosdatosobtenidos reconstruimos unaimagenen3Dutilizandolosvaloresdelasintensidades en cadapixel, 
observándoseque al momentodequela energía abarcatodo el anillo se capturaron lasimágenes,permitiéndonos tener 
eldatodela cantidaddepotencia requiere.Como se observa enlaFigura5.2yFigura5.3 
Figura 5.2.: Imágenesdecadaanilloreconstruido en3D conlasintensidades entonalidadde 
grises(a)Centrodelapantallade anillos circulares(b)Primer anillo circular 
 
 
(a) (b) 
 
(a) (b) 
Figura 5.3.: Imágenesdecadaanilloreconstruido en3D conlasintensidades entonalidadde 
grises(a)Centrodelapantallade anillos cuadrados(b)Primer anillo cuadrado. 
 
Serepitió el mismoprocesoparacadaunodelosanillos,losregistrosfueronindependientesde cadauno, en 
ambaspantallas tomamos un anillo,para obtenerlaintensidaddepotencia, enlas imágenesdelaFigura5.2(b) 
yFigura5.3(b) se observoquepresenta en el centro efectosde 
difracción originadaporlalente esférica utilizada en el sistema(PuntodePoisson). 
5.2. Desplazamiento del sensor óptico 
Enestasecciónsedesplazaráelsensorópticoenlalentedepruebapararegistrarelcomportamiento de la potencia. Se 
tomaran en cuenta tres distancias distintas 35.5mm, 57.5mm y 69.5mm, como se muestralaFigura5.4. 
Figura 5.4.: Fig.4.2.4Desplazamientodel sensor sobre el ejeóptico 
 
Utilizando el softwaredesarrolladoparalainterfaceGPIBpara el multímetroóptico, se vinculo con un archivopara 
almacenarlosdatosypoderhacer usodelainformación, enlaFigura5.5 se muestra el comportamiento a distintas 
distancias, y para nuestro experimento utilizamos la distanciade69.5mmyaque esla mas cercana alplanoimagendel 
experimento,descartamosla informacióndeladistancia35.5mmy57.5 mm, estasdistancias abarcabangranpartedel 
sensor y no nospermitíahacer unbarridopara obtenerla medición. 
5.2Desplazamientodel sensoróptico 
Figura 5.5.: (a)Arreglo experimental sensorópticoylente esféricaplano-convexa.(b) gráfica delapotencia 
endistintosplanosde observación. 
(a) (b) 
5.3. Ajustes de los datos del sensor óptico 
Utilizando elprogramadeMatlab,ajustamoslosdatosobtenidos experimentalmenteporel sensor óptico. De las tres 
distancias donde se adquirieron los datos, seleccionamos la distancia de 69.5 mm 
obtenidosdebidoaquenosdaunmejorajusteyaquela ―R‖ cuadrada nosda un valorde0.995, yladistanciade57.5 mmy35.5 
mm,yaqueenestosdosnosdala ―R‖ cuadradade0.98. 
x−d1 
−(
c1 
)
2 
 
f (x)= ae −b1 (5.1) 
 
Cuando ―x‖ esnormalizadolamediaes38.5y ladesviaciónestandares22.08 conuncoeficientede95% a1 =0.0001017(9.91e 
−005,0.0001036) b1 =7.047e −008(−8.007e −007,9.417e −007) c1 =0.4891(0.4778,0.5004) d1 =0.1078(0.1011,0.1146) SSE 
:4.4891e −010 R−cuadrada =0.995 Ajuste−R−Cuadrada0.9947 RMSE :2.6e −006 
Figura 5.6.: Gráficadelajustehecha enMatlab en elplanoimagen a unadistanciade69.5 mm. 
 
5.4PantallasNulas moduladas en escaladegrises. 
5.4. Pantallas Nulas moduladas en escala de grises. 
DeFigura5.6 se obtuvieronlospuntosque ajustan alagráficadelapotencia aladistancia de 69.5 mm, se extrajeron los 
datos como se muestran en la Tabla 5.4.1, con la finalidad de intersectarladistanciade cada anillo circulary 
cuadradodelaspantallas utilizadas[22]. 
Tabla5.4.1Datos obtenidosdelapotencia con el multímetroóptico. 
No. Datos Potencia Watts No. Datos de potencia en Watts No. Datos de Potencia en Watts 
1 -3.73E-08 31 4.58E-06 61 3.01E-06 
2 -3.72E-08 32 5.36E-06 62 2.09E-06 
3 -3.69E-08 33 6.17E-06 63 1.43E06 
4 -3.64E-08 34 6.99E-06 64 9.57-07 
5 -3.56E-08 35 7.77E-06 65 6.24E-07 
6 -3.40E-08 36 8.50E-06 66 3.95E-07 
7 -3.13E-08 37 9.14E-06 67 2.41E-07 
8 -2.67E-08 38 9.65E-06 68 1.39E-07 
9 -1.87E-08 39 0.1002E-06 69 7.20E-08 
10 -5.50E-09 40 0.1023E-06 70 2.94E-08 
11 1.61E-08 41 0.102E-06 71 2.70E-09 
Tabla5.4.1Datos obtenidosdelapotencia con el multímetroóptico. 
Teniendolagráfica setrazaronlaslíneasdeintersección,para cada anillo,la relaciónde un anillo se ve claramenteque es 
exponencialyque eldegradadodegrises está en relación alasdistancias entre cada anillode nuestrapantalla, como se 
muestra enlaFigura5.7. 
Figura 5.7.: GráficaIntersección conlapantalladeHartmann. 
Números de artículo STP-MTR-17048 
Flanje del motor NEMA 17 
 0.59N − m 
Torque de eje detenido máximo 83 onza-pulgada 
 5.2 libras-pulgadas 
 0.0000068kg − m 2 
Inercia del rotor 0.45oz − in2 
 0.00006 lb − in − s 2 
Corriente nominal 2.0 A/fase 
Ángulo de repaso básico 1.80 (motores bifásicos con cable con conector) 
Peso 210 gramos 0.7 lbs 
Tolerancia del eje 0.0508 mm ó 0.0022pulgadas 
Juego radial del eje @ fuerza de 1 libra 0.0254 mm ó 0.002pulgadas 
Perpendicularidad 0.0762 mm ó 0.003 pulgadas 
Conentricidad 0.0508 mm ó 0.0022pulgadas 
Temperatura de operación −20 0 C a −50 0 C (La temperatura externa del motor debe mantenerse abajo de 100 0 C ) 
Fuerza máxima radial 1.82 Kg ó 6 lbs 
Fuerza máxima axial 1.82 Kg ó 6 lbs 
Clase de aislación Clase B 1300 C 
Aprobación de Agencia CE (cumple con EN550141 (1993) y EN60034-1.5.11) 
Cable de extensión (motor al accionamiento) 6 metros ó 20 pies -Número de artículo STP-EXT-020 
Parámetro Lente Rápida 
R Radio de Curvatura mm 38.76 
T Grosor mm 32.68 
F EFL mm 75 
D Diámetro 75 
F/# 1 
(n) índice de refracción 1.517 
12 5.09E-08 42 0.101E-06 72 -1.97E-08 
13 1.06E-07 43 9.84E-06 73 -2.37E-08 
14 1.91E-07 44 9.38E-06 
15 3.20E-07 45 8.79E-06 
16 5.13E-07 46 8.10E-06 
17 7.96E-07 47 7.38E-06 
18 1.20E-06 48 6.53E-08 
19 1.78E-06 49 5.72E-06 
20 2.57E-06 50 4.92E-06 
21 3.65E-06 51 4.16E-06 
22 5.09E-06 52 3.46E-06 
23 6.96E-06 53 2.83E-06 
24 9.37E-06 54 2.27E-06 
25 1.24E-06 55 1.79E-06 
 
Tomandolas medicionesde cada anilloproyectamos en nuestragráfica ajustada eldiámetrodel centrode 
nuestrapantalla esde33 mmy alineandolapantalla conlagráficapodemoshacer una relacióndeldegradadodegrisespara 
cada anillo, como se muestra enlaFigura5.8. 
Figura 5.8.: GráficaIntersección conlapantalladeHartmannparalos niveles degrises. 
 
Utilizando elprogramadeCorelDraw sepudodegradar en tonalidaddegrises nuestrapantalla, sabiendo que en el centro 
se concentra la mayor cantidad de energía, si homogeneizamos la intensidadpodemostener una mayor 
uniformidadensutonalidaden cada anillo, como se muestra enlaFigura5.9, sabiendoquelospolarizadores usados 
nospermiten regularpotenciadelláser. 
 
 
5.4PantallasNulas moduladas en escaladegrises. 
Figura 5.9.: PantalladeHartmann conlos nivelesdegrises. 
 
Figura 5.10.: PantalladeHartmann conlos nivelesdegrises. 
 
A Partir de las intersecciones de nuestra pantalla con la gráfica que se obtuvo en el ajuste, se obtuvo una relación 
enlos niveles enporcentajedepotencia como se muestran enlaFigura5.11 
Niveles en porcentaje de Potencia Relación Niveles en escalas de grises 
Figura 5.12.: Pantallade anilloGráfica en3Ddelaintensidaddelapotenciahomogeneizada. 
a)RegióntomadadelapantalladelafFigura5.9.b) Análisis en3Ddelaregióntomadade lapantalla(a). 
Números de artículo STP-MTR-17048 
Flanje del motor NEMA 17 
 0.59N − m 
Torque de eje detenido máximo 83 onza-pulgada 
 5.2 libras-pulgadas 
 0.0000068kg − m 2 
Inercia del rotor 0.45oz − in2 
 0.00006 lb − in − s 2 
Corriente nominal 2.0 A/fase 
Ángulo de repaso básico 1.80 (motores bifásicos con cable con conector) 
Peso 210 gramos 0.7 lbs 
Tolerancia del eje 0.0508 mm ó 0.0022pulgadas 
Juego radial del eje @ fuerza de 1 libra 0.0254 mm ó 0.002pulgadas 
Perpendicularidad 0.0762 mm ó 0.003 pulgadas 
Conentricidad 0.0508 mm ó 0.0022pulgadas 
Temperatura de operación −20 0 C a −50 0 C (La temperatura externa del motor debe mantenerse abajo de 100 0 C ) 
Fuerza máxima radial 1.82 Kg ó 6 lbs 
Fuerza máxima axial 1.82 Kg ó 6 lbs 
Clase de aislación Clase B 1300 C 
Aprobación de Agencia CE (cumple con EN550141 (1993) y EN60034-1.5.11) 
Cable de extensión (motor al accionamiento) 6 metros ó 20 pies -Número de artículo STP-EXT-020 
Parámetro Lente Rápida 
R Radio de Curvatura mm 38.76 
T Grosor mm 32.68 
F EFL mm 75 
D Diámetro 75 
F/# 1 
(n) índice de refracción 1.517 
12 5.09E-08 42 0.101E-06 72 -1.97E-08 
13 1.06E-07 43 9.84E-06 73 -2.37E-08 
Números de artículo STP-MTR-17048 
Flanje del motor NEMA 17 
 0.59N − m 
Torque de eje detenido máximo 83 onza-pulgada 
 5.2 libras-pulgadas 
 0.0000068kg − m 2 
Inercia del rotor 0.45oz − in2 
 0.00006 lb − in − s 2 
Corriente nominal 2.0 A/fase 
Ángulo de repaso básico 1.80 (motores bifásicos con cable con conector) 
Peso 210 gramos 0.7 lbs 
Tolerancia