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UNIVERSIDAD NACIONAL 
AUTÓNOMA DE MÉXICO 
 
 
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES 
ARAGÓN 
 
 
 
MANUAL INTERACTIVO DE PRÁCTICAS DE VIBRACIONES 
MECÁNICAS DEL EQUIPO TM 16EMPLEANDO VISUAL 
BASIC. 
 
 
 
T E S I S 
PARA OBTENER TÍTULO DE 
 
 
 
INGENIERO MECÁNICO ELECTRICISTA 
(ÁREA MECÁNICA) 
 
 
 
PRESENTA: 
IVÁN LEOS SANTIAGO 
 
 
 
ASESOR DE TESIS: 
Dr. JACINTO CORTÉS PÉREZ 
 
 
 
Campus Aragón, México, abril de 2013 
 
 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
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Jurado asignado: 
Presidente: M. en I. Alberto Reyes Solís 
Vocal: Ing. Moisés Cervantes Patiño 
Secretario: Dr. Jacinto Cortés Pérez 
Suplente: M. en C. Arturo Ocampo Álvarez 
Suplente: M. en I. José Antonio Souza Jiménez 
 
 
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Dedicatorias. 
A Dios: 
Por la oportunidad que me da a diario, de mejorar un poco cada día y de ser mejor 
persona con el pasar del tiempo, por permitirme dar este pequeño paso, que es el 
inicio de una larga carrera profesional, y por este grandioso regalo llamado Vida. 
 
A mis padres Coral y Juan Manuel: 
Por la confianza y apoyo que depositaron en mí a lo largo de todo este tiempo, por 
ser mí ejemplo a seguir, porque en ellos conocí a la mujer que me ha dado las 
lecciones más valiosas de la vida y al hombre que con su ingenio y perseverancia me 
inspiró a estudiar esta carrera, porque gracias a sus lecciones de vida he llegado 
hasta donde estoy. 
 
A mi hermano Sebastián: 
Porque a pesar de la distancia ha sido un excelente hermano, ya que sus consejos y 
motivaciones me han tocado en el momento más oportuno de mi vida, 
fortaleciéndome y alentándome a dar un paso después de otro. 
 
 
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Agradecimientos. 
Agradezco a mis tíos, Manuel Alberto y Margarita, ya que sin su ayuda durante un 
tiempo muy largo no habría sido posible la realización de este sueño, por sus 
consejos, y en especial por su paciencia para conmigo. 
 
A Perla ya que la dificultad de los primeros años en un lugar desconocido, se hizo 
más llevadera con sus sabios consejos y enseñanzas. 
 
A Nancy y su familia por motivarme y ayudarme, porque me tendieron la mano de 
manera noble y desinteresada durante un largo periodo de mi vida de estudiante ya 
que sin su apoyo habría sido más difícil la vida en esta ciudad. 
 
A mi tío Servando porque a su manera estuvo apoyándome a lo largo de todos estos 
años que llevo fuera de casa. Así mismo a mi tía Elena, Roberto, Filadelfo, 
Montserrat quienes me dieron su apoyo y compañía en momentos valiosos. 
 
Agradezco de manera muy especial al Dr. Jacinto por ser un ejemplo a seguir en mi 
vida profesional, por enseñarme que un ingeniero se construye día a día con 
perseverancia y dedicación, y que incluso fuera de las aulas, se debe seguir 
estudiando. 
 
 
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A Marco, José Antonio, Jesús Jonathan, por hacer más amena la carrera, porque 
estuvieron conmigo en los momentos complicados de la vida de todo estudiante y 
por enseñarme a su manera la forma en cómo se vive en esta ciudad. De manera 
especial a Imelda por orientarme y aconsejarme como iniciar la ardua tarea de una 
Tesis. 
 
A Ricardo, Mauricio, Alejandro, Rodrigo, Salvador, Ángel, Jesús, Carlos, Néstor, 
por sus consejos y sugerencias dentro de laboratorio, no solo para esta tesis, sino en 
todo el tiempo que hemos estado en él, donde se ha llegado a formar una gran 
amistad, casi una familia. 
 
A mis sinodales, por todos sus consejos y comentarios a la presente Tesis. 
 
A la SEP por el apoyo económico del programa de Becas de Titulación 2011-2012. 
 
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Contenido. 
INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................... i 
CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LAS VIBRACIONES MECÁNICAS. ........ 1 
1.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN EL ESTUDIO DE LAS VIBRACIONES 
MECÁNICAS. ........................................................................................................................... 3 
1.1.1 MODELOS DISCRETOS DE VIBRACIÓN. ................................................................ 7 
1.1.2 MODELOS CONTINUOS DE VIBRACIÓN. ............................................................... 8 
1.2 TEORÍA GENERAL DE LAS VIBRACIONES LATERALES EN VIGAS. ................... 10 
1.2.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LAS VIBRACIONESE LATERALES EN VIGAS.
 ............................................................................................................................................ 12 
1.3 CASOS DE ESTUDIO DEL MANUAL DE LA MAQUINA TM 16. ................................. 14 
1.3.1 TEORÍA DE LAS VIBRACIONES EN VIGAS. ......................................................... 15 
1.4 EJEMPLOS TEÓRICOS DE LAS VIBRACIONES EN VIGAS. ....................................... 19 
1.4.1 VIGA EN VOLADIZO O CANTILÉVER. .................................................................. 19 
1.4.2 VIGA CON UN EXTREMO EMPOTRADO Y OTRO ARTICULADO. ..................... 22 
1.4.3 VIGA BI-EMPOTRADA. ........................................................................................... 24 
1.4.4 VIGA DOBLEMENTE ARTICULADA. ..................................................................... 26 
1.4.5 VIGA CON UN EXTREMO EMPOTRADO Y UN RESORTE EN EL EXTREMO 
LIBRE. ................................................................................................................................ 28 
1.4.6 VIGA CON UN EXTREMO EMPOTRADO Y UN AMORTIGUADOR VISCOSO EN 
EL EXTREMO LIBRE. ....................................................................................................... 30 
1.5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE VIBRACIONES TORSIONALES. ................................... 33 
1.5.1 MÉTODO DE ENERGÍA Y PRINCIPIO DE RAYLEIGH. ......................................... 33 
1.5.2 MÉTODO HOLZER. .................................................................................................. 38 
CAPÍTULO 2. PRÁCTICAS DE VIBRACIONES MECÁNICAS DEL EQUIPO TM 16 ............ 45 
2.1 VIBRACIONES EN VIGAS. ............................................................................................. 46 
2.2 PROPUESTA DE MEJORAS AL MANUAL DE PRÁCTICAS DEL EQUIPO TM16. ...... 47 
2.3 PROPUESTA DE PRÁCTICAS DEMOSTRATIVAS. ...................................................... 49 
CAPITULO 3. DESCRIPCIÓN Y FUNDAMENTOS BÁSICOS DE VISUAL BASIC PARA LA 
ELABORACIÓN DE UN MANUAL INTERACTIVO. ............................................................... 65 
3.1 DESCRIPCIÓN DE LA VENTANA PRINCIPAL DE VISUAL BASIC. ........................... 69 
3.1.1 BARRAS DE VISUAL BASIC. .................................................................................. 70 
3.1.2 VENTANAS DE VISUAL BASIC. ............................................................................. 72 
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3.1.3 CAJA DE HERRAMIENTAS Y ÁREA DE TRABAJO. ............................................. 73 
3.2 INICIANDO LA CONSTRUCCIÓN DEL PROYECTO. ................................................... 76 
3.2.1 CREACIÓN DE UNA APLICACIÓN. ........................................................................ 77 
3.2.2 TRABAJANDO EN EL FORMULARIO. ................................................................... 78 
3.2.3 ELABORACIÓN DE LA INTERFAZ DEL MANUAL INTERACTIVO. ................... 84 
3.3 ESCRITURA DEL CÓDIGO PARA LOS OBJETOS. ....................................................... 92 
3.3.1 UNIÓN DEL CÓDIGO A LOS OBJETOS. ................................................................. 92 
3.3.2 ESCRITURA DEL CÓDIGO DEL MANUAL INTERACTIVO. ................................. 94 
3.3.3 GUARDAR Y VERIFICAR LA APLICACIÓN. ........................................................102 
CONCLUSIONES. .....................................................................................................................105 
ANEXO. .....................................................................................................................................107 
REFERENCIAS .........................................................................................................................115 
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i 
 
 
 
 
 
INTRODUCCIÓN 
 
 
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INTRODUCCIÓN. 
Es claro que las vibraciones mecánicas, son un tema de interés para los ingenieros 
mecánicos tanto en la práctica profesional como en la academia. De hecho, en todas 
las instalaciones industriales, es común encontrar equipos en movimiento que 
inducen deflexiones periódicas en alguno de sus elementos. Este fenómeno, a 
menudo genera problemas costosos debido a que puede disminuir la vida útil de las 
partes estructurales del equipo así como del entorno. 
A pesar de que se trata de un problema común en la ingeniería mecánica, hoy en día 
la mayoría de las universidades no incluyen entre sus asignaturas básicas el estudio 
de las vibraciones mecánicas. En particular en la FES Aragón, en la carrera de 
ingeniero mecánico dicha asignatura es optativa a pesar de que se cuenta con un 
equipo didáctico especializado en el estudio de estos fenómenos. Dicho equipo se 
denomina: TM 16 y se encuentra ubicado en el laboratorio de mecánica del edificio 
L2 de la FES Aragón y aunque presenta algunas fallas, estas son menores. No 
obstante lo anterior el equipo se encuentra prácticamente en des-huso debido a que 
el manual de operación del mismo, es muy poco claro; no presenta diagramas de 
ensamble ni información teórica suficiente para la adecuada compresión de los 
temas que se simulan en él. Para resolver dicho problema se propuso el proyecto 
denominado: “Diseño y rehabilitación de equipo de laboratorio de mecánica de la 
FES Aragón”, el cual fue apoyado por el programa PAPIME con número de registro 
PE 105505. 
En un trabajo previo se elaboraron los diagramas de ensamble de todas y cada una 
de las prácticas que se pueden realizar en el equipo mientras que el objetivo del 
presente es contribuir a la rehabilitación del equipo con los siguientes aspectos: 
a) Realizar revisión bibliográfica exhaustiva sobre vibraciones transversales en 
vigas y ejes rotatorios. 
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b) Enriquecer el manual del equipo TM 16 en la parte teórica empleando la 
información encontrada. 
c) La elaboración de un manual interactivo de las prácticas. 
En el primer capítulo de esta tesis, se tocan temas referentes a las vibraciones 
mecánicas, desde los conceptos más básicos hasta el planteamiento de un 
procedimiento complejo para estudiar las vibraciones. De igual manera se hacen las 
distinciones y se resaltan las características de cada tipo de vibración mecánica, 
dividiéndolas en dos grandes grupos, de acuerdo a la facilidad que prestan los 
fenómenos para resolverse, ya sea por modelos discretos o modelos continuos, así 
mismo se resuelve de manera general la ecuación fundamental para el estudio de las 
vibraciones mecánicas, con diferentes condiciones de frontera. Al final del capítulo, 
se citan los modelos aproximados para averiguar las frecuencias naturales de 
sistemas rotatorios. 
Posteriormente en el segundo capítulo se presenta un nuevo índice para el manual 
del equipo TM 16, y se agrega la teoría necesaria para la comprensión de las 
prácticas, tomando la misma de la presente tesis, de igual manera se proponen dos 
prácticas demostrativas para ayudar a la comprensión del fenómeno de las 
vibraciones con ayuda de galgas extensométricas. 
Por último en el capítulo tres se dan los procedimientos paso a paso para elaborar el 
manual interactivo que se usó para el proyecto PAPIME, así mismo se da una 
introducción y se enseña a grandes rasgos a poder utilizar el programa Visual Basic 
para cosas diferentes del manual interactivo, para de esa forma ayudar al alumno de 
ingeniería mecánica a ver otras opciones de aprendizaje, de modo tal que no se 
quede el estudiante sólo con lo que se aprende en los salones de clase. 
 
 
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. 
 
 
CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE 
APLICACIÓN DE LAS 
VIBRACIONES MECÁNICAS. 
 
 
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Según se reporta en las referencias bibliográficas [1, 2, 3], hasta los años 70’s, del 
siglo XX, eran muy pocos los autores que dedicaban algún texto completo al estudio 
de las vibraciones mecánicas. Fue hasta finales de la primera década del siglo XXI, 
que el estudio de las Vibraciones Mecánicas está siendo tomado como un tema de 
investigación, o por lo menos en nuestro país, a pesar de su importancia en diversos 
problemas tanto científicos como tecnológicos. 
Para entender la importancia que traen consigo las vibraciones en nuestros días, 
Bishop Cambridge [2] se pueden citar una serie de ejemplo tales como: el cuerpo 
humano, las ondas de luz, el sonido, los cristales e innumerables objetos y 
situaciones así como invenciones humanas las cuales se manifiestan de forma 
perceptible o imperceptible al ojo humano. 
Las Vibraciones no son otra cosa que movimientos de ida y regreso, es un 
inquietante vaivén, es sólo un cuerpo o una partícula oscilando en un determinado 
lugar, al final de cuentas, los corazones laten, los pulmones oscilan, el cuerpo 
humano se estremece ante bajas temperaturas, podemos oír y hablar, porque 
nuestros oídos y laringe vibran, ni siquiera se puede decir “vibración” sin que 
nuestra lengua oscile. 
Y el asunto no termina con los ejemplos anteriores, ya que incluso los átomos de los 
que estamos construidos vibran, sin embargo, no se puede considerar toda oscilación 
como una vibración, a pesar de que no está clara la línea divisoria entre lo que es 
una vibración y lo que no, se debe tener una idea muy clara del objeto que se estudia 
para saber si es o no una vibración. 
Algunas vibraciones son imperceptibles al ojo humano, pero el que sean 
imperceptibles a simple vista no significa que no existan, y no por ello se deben 
tomar por poco importantes o intrascendentes; es a causa de esto, que en este 
capítulo, la tarea primordial será explicar con ejemplos claros, sin tocar ejemplos 
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rigurosamente mecánicos, la importancia de las Vibraciones Mecánicas en ciertos 
cuerpos. 
No es mal visto desde ningún punto de vista, el sustituir una pieza cuando empieza a 
fallar o cuando el fabricante sugiere su remplazo; sin embargo, la ingeniería es más 
trascendente quecambiar una pieza; dedica gran parte de su tiempo a la 
investigación para resolver problemas aplicando conocimientos científicos. 
Hoy en día, en un entorno de alta competitividad caracterizado por una invasión de 
maquinaria extranjera se espera de los egresados de las carreras de ingeniería una 
gran capacidad para resolver problemas a través de la prevención. La buena 
preparación del estudiante es indispensable para el desempeño eficaz en el campo 
laboral, como ya se ha mencionado anteriormente, el cambiar una pieza no implica 
grandes conocimientos científicos; sin embargo, el mantenimiento preventivo es 
indispensable para una producción efectiva. El mantenimiento evita pérdidas 
económicas, paros imprevistos de plantas y lo más importante ofrece condiciones 
fuera de riesgo para el personal que labora. 
Una de las áreas prácticas, que forma parte tanto del diseño como del 
mantenimiento, más importante en la industria es la referente a las vibraciones 
mecánicas. Pese a la importancia práctica de las vibraciones mecánicas actualmente 
no se contempla como una asignatura obligatoria en los planes de estudio de la 
carrera de ingeniería mecánica en la mayoría de las universidades del país. 
1.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN EL ESTUDIO DE LAS 
VIBRACIONES MECÁNICAS. 
La llamada modelación de problemas físicos, generalmente se desarrolla por 
aproximaciones sucesivas. El método consiste en remarcar, de entre todos los 
factores participantes en el estudio, aquellos que tienen mayor importancia e 
“idealizarlos” atribuyéndoles propiedades características bien definidas y exclusivas. 
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4 
 
 
Por ejemplo, se pueden analizar las oscilaciones de un automóvil sobre las cuatro 
ruedas, considerando la elasticidad de los resortes y la compresibilidad de los 
neumáticos. Tres posibles aproximaciones consisten en despreciar la masa de los 
resortes, suponer que el neumático es un resorte lineal y que no hay 
amortiguamiento. 
En estos casos se obtienen modelos idealizados, cuya respuesta se supone que 
representa, bajo condiciones precisas el comportamiento real de los objetos. Otra de 
las idealizaciones más generales es la de parámetros concentrados, retomando el 
ejemplo anterior, se supone que toda la masa des automóvil es un solo bloque rígido. 
Siguiendo con el ejemplo, se observa que al despreciar la masa del resorte y suponer 
que toda la masa del automóvil forma un solo bloque rígido, lo que se hizo fue 
separar en características aisladas la masa del automóvil y la elasticidad de los 
resortes, así la masa esta “concentrada” en el cuerpo del automóvil y la elasticidad 
en el resorte que une la rueda con la masa (Figura 1.1). 
 
Figura 1.1. Modelo simple: masa resorte. 
Las características mecánicas masa, resorte, amortiguador, se llaman genéricamente 
parámetros del sistema mecánico. Así, con la idealización anterior, se puede decir 
que los parámetros del sistema han sido concentrados, es decir, aislados para su 
mejor estudio y entendimiento. 
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Una Vibración Mecánica es un movimiento de carácter oscilatorio que una 
partícula o un cuerpo efectúa alrededor de una posición de equilibrio. Este 
movimiento es un fenómeno dinámico, resultante de la aplicación o interacción de 
una o varias fuerzas en un sistema mecánico, máquina, elemento de máquina o 
partícula. La magnitud de los desplazamientos depende directamente de la fuerza, 
que provocara una velocidad inicial del movimiento, de ahí que las vibraciones sean 
un fenómeno esencialmente cinemático [1,2]. 
Las vibraciones mecánicas pueden ser: periódicas, no periódicas y semiperiódicas. 
Esto depende básicamente de la medida con que el proceso vibratorio cambia 
respecto al tiempo. En este contexto existen una serie de conceptos que deben ser 
definidos de manera apropiada para evitar confusiones. A continuación se presenta 
una relación de los conceptos más importantes: 
La masa [4] es la propiedad intrínseca de un cuerpo que describe la manera en que 
ese cuerpo libre se resiste a cambiar su movimiento, debido a la aplicación de una 
fuerza externa, es decir, mide su inercia y está dada en Kg. 
La rigidez es la propiedad semejante a la elasticidad. Describe la magnitud de la 
fuerza que se requiere para que un cuerpo sufra un cambio de longitud, (N/m). 
El amortiguamiento se define como la resistencia al movimiento que tiene un 
cuerpo, éste es por lo tanto la disipación de energía de un sistema de vibración, sus 
unidades son Ns/m. La energía disipada en el amortiguamiento tiene que ser 
repuesta por una excitación de una fuente externa para que la vibración pueda 
sostenerse. En ausencia de excitación externa la magnitud de la vibración decrece 
continuamente y el sistema termina por detenerse completamente. Así mismo, si el 
amortiguamiento es muy alto, la vibración no ocurrirá, se dice entonces que el 
sistema es sobreamortiguado; si el amortiguamiento es pequeño, se trata de un 
sistema subamortiguado y hay casos en el que el amortiguamiento es tal que el 
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movimiento resultante esta sobre la línea de límite de los casos antes mencionados, a 
este sistema se les llama, críticamente amortiguado. 
El intervalo de tiempo necesario para que el sistema efectúe el ciclo completo de 
movimiento se llama periodo (τ) de la vibración. El número de ciclos que ocurren 
en la unidad de tiempo recibe el nombre de frecuencia de la vibración y se mide en 
Hertz (Hz); y por último, el ciclo es cada repetición del movimiento realizado 
durante el periodo. 
La Frecuencia natural es la forma natural de vibrar de un sistema o cuerpo. Los 
elementos que describen esta frecuencia natural son: la masa, la rigidez y el 
amortiguamiento, es por eso que la combinación de estos tres elementos dan una 
frecuencia única natural o resonante. 
La resonancia ocurre cuando la frecuencia de la excitación es igual a la frecuencia 
natural del sistema. Cuando esto ocurre, la amplitud de la vibración aumentará 
indefinidamente y estará gobernada únicamente por la cantidad de amortiguamiento 
presente en el sistema. Por lo tanto, la frecuencia natural del sistema debe conocerse 
con el fin de evitar los efectos desastrosos producidos por una amplitud muy grande 
de vibración en resonancia. Cuando una fuerza relativamente pequeña es aplicada de 
manera repetida aumenta la amplitud del sistema oscilante. Si la frecuencia de 
trabajo es igual o superior que la frecuencia natural es muy probable que se presente 
el colapso del mismo. 
Para impedir que una estructura caiga en resonancia a una frecuencia determinada 
suele cambiarse su rigidez o su masa. El aumento de la rigidez aumenta la 
frecuencia natural, mientras que el aumento de la masa la disminuye. 
Muchos sistemas pueden vibrar en más de una manera y dirección. Si un sistema 
está restringido de tal modo que sólo vibrará de una manera, o en su defecto, si se 
necesita únicamente de una coordenada independiente para ubicar por completo la 
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posición geométrica de las masas en el espacio, se dice que tiene un grado de 
libertad. 
Para un sistema de dos grados de libertad, son necesarias dos coordenadas para 
determinar la posición de las masas del mismo en el espacio; de la misma forma 
cuando se tienen tres o más variables, para describir el movimiento, entonces se 
cuenta con un sistema con tres o más grados de libertad. 
1.1.1 MODELOS DISCRETOS DE VIBRACIÓN. 
La clasificación de un sistema como discreto o continuo depende del grado de 
idealización del sistema. Un mismo sistema puede considerarse discreto si se 
describe su comportamientomediante ecuaciones diferenciales ordinarias. De otro 
modo, si se considera como medio continuo su comportamiento se describe 
mediante ecuaciones diferenciales con derivadas parciales. 
En cuanto al primer caso la resolución del problema es sencilla, la información en el 
segundo es más amplia y precisa haciéndolo así más complejo en su solución. La 
selección del modelo más apropiado se hará de acuerdo a las necesidades 
individuales de cada problema. 
Los modelos discretos de n-grados de libertad, son modelos simplificados donde se 
utilizan varios modelos de 1 grado de libertad, vinculados entre sí, con el fin de 
simular mejor el comportamiento del sistema (descrito por ecuaciones diferenciales 
ordinarias). Cabe destacar, que los problemas que se consideran con un número 
finito de grados de libertad, son limitados. 
Los problemas que se pueden resolver usando modelos discretos son diversos, tales 
como el péndulo simple, una masa con un resorte, una masa con un resorte y un 
amortiguador, una masa excitada, y varios más. En los casos anteriores, siempre se 
ignoran algunas características del sistema. 
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Un ejemplo a citar como un modelo discreto, es un automóvil que se considera 
como una masa soportada por cuatro resortes. De esta forma el complejo análisis 
que implica un automóvil con todas sus partes, es simplificado a un modelo discreto 
de fácil resolución. Con esta simplificación, el comportamiento se puede determinar 
con facilidad y los resultados son próximos al comportamiento observado en la 
realidad. Estos modelos, son analizados directamente por fórmulas ya deducidas de 
diversos análisis anteriores, a ello se debe la simplicidad de su resolución, no 
obstante la dificultad de la exactitud que requieren las matemáticas, hace que estos 
modelos tengas su respectivo cuidado en la resolución. 
Lo modelos discretos, son una ayuda notable para la comprensión de los fenómenos 
que afectan a la maquinaria en la industria, y es un recurso indispensable para iniciar 
el análisis de las vibraciones mecánicas, sin embargo, la limitante que tienen estos 
modelos debe ser superada para poder predecir el comportamiento en los sistemas 
continuos. 
Considerando el tipo de fallas que se presentan en la operación de las máquinas 
industriales, es necesario dejar de lado la comprensión simple de los modelos 
discretos y recurrir a la complejidad de los modelos continuos. 
1.1.2 MODELOS CONTINUOS DE VIBRACIÓN. 
Los modelos continuos presentan un análisis muy exacto de las vibraciones, 
pudiendo describir el comportamiento de diferentes características de ellas, tales 
como la velocidad y la posición de una partícula en todo momento, etc. es por ello 
que necesariamente se integran a estos modelos las ecuaciones diferenciales con 
derivadas parciales. 
La complejidad de estos modelos no garantiza la resolución de todos los fenómenos 
vibratorios existentes en la naturaleza e industria, ya que el análisis de los modelos 
continuos se limita al estudio de cuerdas, membranas, vigas y ejes rotatorios, sin 
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embargo, la mayoría de las partes de las máquinas pueden ser consideradas con 
ciertas restricciones como algunos de estos elementos. 
El muelle de un automóvil, puede ser considerado como una viga respetando las 
condiciones y medidas del muelle; una máquina que está soportada sobre el concreto 
se puede considerar como una masa vibrante sobre una membrana o una viga 
dependiendo de las condiciones en las que se encuentre. 
La ecuación diferencial parcial, así como su deducción y condiciones de frontera [5], 
vienen citadas en todos los libros de vibraciones mecánicas, y es la misma que en 
esta tesis se emplea La metodología usada puede ser de gran ayuda para resolver 
problemas de otra índole, ya que se dan las bases para usar la ecuación en 
condiciones muy diferentes para las vigas. 
Para la resolución analítica de los casos de vibraciones en sistemas continuos, 
representados por ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, generalmente se 
emplea el método de separación de variables o bien métodos numéricos como el 
método del elemento finito o de diferencias finitas. 
En la Tabla 1.1, [6] se muestran diferentes condiciones de frontera y constantes que 
son útiles para la descripción de los principales casos de vibraciones mecánicas en 
vigas. Para cada problema se deben utilizar cuatro condiciones de frontera; dos al 
principio, cuando x=0 y dos al final cuando x=L, dependiendo el tipo de apoyo al 
principio y al final. 
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Tabla 1.1. Condiciones de frontera para vibraciones transversales de una viga 
Los ejemplos de la Tabla 1.1 que se resolverán posteriormente son vigas 
simplemente apoyadas, en cantiléver, doblemente empotradas, empotrada con un 
resorte al final, y empotrada con un amortiguador al final de la viga. 
1.2 TEORÍA GENERAL DE LAS VIBRACIONES LATERALES EN VIGAS. 
La vibración de vigas en flexión constituye un problema clásico y fundamental de 
un número infinito de grados de libertad. Para iniciar el análisis, se partirá de la 
hipótesis fundamental de deformaciones pequeñas. 
Con objeto de tener vibraciones de flexión de un plano fijo (plano vertical), sin 
acoplamientos de torsión, compresión-torsión o flexiones en otro plano, se harán las 
siguientes suposiciones: [3] 
Condición final Condición de 
frontera A 
Condición de 
frontera B 
Observaciones 
Libre, 
X = 0 ó X = L 
������ � � ������ � � 
Articulado, 
X = 0 ó X = L 
� � � ������ � � 
Fijo, 
X = 0 ó X = L 
� � � ���� � � 
Resorte lineal 
X = 0 
������ � � ������ � �	� 	 � 
���
 
Resorte lineal 
X = L 
������ � � ������ � 	� 	 � 
���
 
Amortiguador 
Viscoso, 
 X = 0 
������ � � ������ � �	���� 	 � �����
� 
Amortiguador 
Viscoso, 
X = L 
������ � � ������ � 	���� 	 � �����
� 
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o La viga tiene un eje elástico recto, considerado en el sentido de que las cargas 
que pasan por él no producen torsión de ninguna sección. 
o Las secciones perpendiculares al eje elástico tienen sus ejes principales 
dirigidos vertical y horizontalmente. 
o El eje de gravedad, lugar geométrico de los centros de gravedad de las 
secciones, coinciden con el eje elástico. 
o Las cargas aplicadas se consideran verticales, y pasan por el eje elástico. 
o Las perturbaciones iniciales se consideran en dirección vertical, siendo de 
igual valor para cualquier punto de una sección que las dadas al centro de 
cortadura. 
Debido al peso de la viga existirá una deformación inicial que suponemos pequeña y 
en torno de la cual consideramos las vibraciones del sistema, pudiendo prescindir de 
las fuerzas elásticas debidas a los esfuerzos iniciales, que forman un sistema de 
fuerzas equilibradas en todo instante. 
 
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12 
 
 
1.2.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LAS VIBRACIONESE LATERALES EN 
VIGAS. 
Se considera como primer ejemplo la vibración transversal de una viga prismática en 
el plano x-y (Figura 1.2) en la que se supone un plano de simetría de cualquier 
sección transversal. Se usará (y) para representar el desplazamiento transversal de un 
segmento típico de la viga situada a la distancia (x) del extremo izquierdo. La Figura 
1.3 muestra un diagrama de cuerpo libre de un elemento diferencial de longitud (dx) 
con las reacciones internas y de inercia actuando sobre él. En esta Figura los 
sentidos de la fuerza cortante (V) y el momento flector (M) se ajustan a la 
convención de signos de la viga. [7] 
Figura 1.2 Viga uniforme en voladizo. 
Figura 1.3Diagrama de cuerpo libre de la sección dx. 
 
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13 
 
 
Cuando la viga vibra transversalmente, el equilibrio de fuerzas en la dirección “y” 
es: 
 � � � � ���� �� � ��	��	 ������ � 0 (1.1) 
Mientras el equilibrio de momentos conduce a: 
 ���� �!�� �� " 0 (1.2) 
Se sustituye V de la ecuación (1.2) dentro de (1.1) produciendo: 
 
��!��� �� � ���	�� ������ (1.3) 
De la teoría elemental de flexión se tiene: 
 # � $% ������ (1.4) 
Usando la expresión de la ecuación (1.3), se obtiene 
 
����� &$% ������' �� � ���	�� ������ (1.5) 
Que es la ecuación diferencial general de la vibración transversal libre de una viga. 
En el caso particular de la viga prismática, el modulo de rigidez EI no varía con 
respecto a x, y se tiene 
 $%	 �(���( �� � ���	�� ������ (1.6) 
Esta ecuación se puede escribir también como: 
 
�(���( � � )*� ������ (1.7) 
En la ecuación el símbolo ɑ es definido como 
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14 
 
 
 + � ,-./0 (1.8) 
1.3 CASOS DE ESTUDIO DEL MANUAL DE LA MAQUINA TM 16. 
Ahora bien, en el subtema 2.2 se hizo una pequeña introducción y se trataron de 
obtener las ecuaciones tocadas en las prácticas, no obstante el igualar exactamente 
las formulas es una tarea más que complicada, sin embargo se tocaron ejemplos 
claramente sencillos abordando una metodología eficaz para la resolución de 
problemas vibratorios referentes a vigas con diferentes condiciones de frontera, que 
a su vez, dan un planteamiento bastante claro, para tener una idea general de cómo 
se comportan las vigas al momento de vibrar. 
Los ejemplos resueltos en el apartado anterior, trataron de asemejarse lo más posible 
a los casos reales de las prácticas del equipo TM 16, generalizando y simplificando 
en lo mayor de lo posible el ejemplo, para de esta forma, saber el origen de cada 
ecuación manejada en las prácticas, no obstante todas las variables que se 
encuentran en las mismas, hace de la resolución matemática una tarea demasiado 
complicada para esta tesis. 
Así pues, los resultados obtenidos de los ejemplos resueltos, muestran una gráfica 
(ver anexo) con puntos de inflexión, éstos a su vez indican los modos de forma de la 
vibración, que son generadas de acuerdo a las pulsaciones que son sometidas en la 
viga. Las raíces obtenidas al ser sustituidas en la Fórmula (2.19) citada por S. 
Graham Kelly [6] proporcionan las frecuencias naturales de la viga con sus 
respectivas condiciones de frontera, obteniendo de esta forma el dato más 
importante de la vibración. 
 1 � 23456, -./07( (2.19) 
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15 
 
 
 El procedimiento empleado para la obtención de las frecuencias naturales puede ser 
un tanto limitado para analizar otro tipo de vibraciones, no obstante es una buena 
herramienta para iniciar en este análisis; los casos de relevancia para las vibraciones 
no cuentan con un número tan limitado de condiciones de frontera, sin embargo una 
investigación más profunda y que impliquen otras condiciones de frontera será 
dejado para la posteridad. 
1.3.1 TEORÍA DE LAS VIBRACIONES EN VIGAS. 
En el estudio de las vibraciones laterales en vigas, éstas son consideradas como 
cuerpos elásticos con infinitos grados de libertad, y por tanto con infinitos modos 
naturales de vibración. No obstante, se realizará el análisis dinámico considerando la 
viga como estructura y haciendo 86 � $% 9⁄ 	8 en la ecuación 1.3. 
Para resolver el problema, se asumen soluciones armónicas para la elongación 
vertical de cualquier sección recta, siendo ; la pulsación de los modos normales de 
vibración natural y < la fase: 
 = � =2�, ?5 � @2�5ABC2;? <5 (2.1) 
cos2G H5 � cos G 	IJAH sen H sen G 
sen2G H5 � sen G 8JA	H � senH cos G 
cos H � �	 ⟹ 	H � cosN) � 
sen H � O 
sen G � O cosG � sen G cos H sen H cos G 
sen2G H5 � sen2G cosN) �5 � sen2G <5 
G � ;? 
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16 
 
 � sen G O cos G � sen2;? <5 
Derivando respecto al tiempo. 
=2�, ?5 � @2�5ABC	2;? <5 
=´2�, ?5 � @2�5Qcos2;? <5 	;R � ;	@2�5 cos2;? <5 
=´´2�, ?5 � �;	@2�5QABC2;? <5	;R � �;6	@2�5	ABC2;? <5 
=´´´2�, ?5 � �;6@2�5Qcos2;? <5	;R � �;S	@2�5 cos2;? <5 
=´´´´2�, ?5 � ;S	@2�5QABC2;? <5	;R � ;T	@2�5	ABC2;? <5 
U=U� � �@�� 	ABC2;? <5 
U6=U�6 � �6@��6 	ABC2;? <5 
US=U�S � �S@��S 	ABC2;? <5 
UT=U�T � �T@��T 	ABC2;? <5 
UT=U�T 9$	% U6=U�6 � 0 
ABC2;? <5 �T@��T � 9$% 2;65	@	ABC2;? <5 � 0 
�T@��T � 9	;6$	% 	@ � 0	 
86 � $	%9 ⟹ 186 � 9$	% 
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17 
 
 
La solución general queda de la forma: 
 
W(�W�( � X�Y� 	@ � 0 (2.2) 
ZT@ � ;686 @ � 0 
[ZT � ;686\@ � 0 
&Z6 ;8' &Z6 � ;8' � 0 
Z6 ;8 � 0 ⇒	Z6 � �;8 	; Z � _,;8 ` 
Z6 � ;8 � 0 ⇒ 	Z6 � ;;	; Z � _,;8 
Z) � ,;8 `	; 	Z6 � �,;8 `	; 	ZS � ,;8 	; 	ZT � 	�,;8 
@2�5 � Ba� [� ABC,;8 � O cos,;8 �\ IB,bc� ZBN,bc� 
@2�5 � Bd [� ABC ,;8 � O cos,;8 �\ IB,bc� ZBN,bc� 
@2�5 � � ABC,;8 � O cos,;8 � IB,bc� ZBN,bc� 
Teniendo en cuenta que: 
cosh2�5 � B� BN�2 	; 	senh2�5 � B� � BN�2 
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18 
 
 
Se obtiene la solución general: 
 @ � @2�5 � � sen,XY � O cos,XY � I senh,XY � Z cosh,XY � (2.3) 
Puede comprobarse que la ecuación (2.3) es la solución general de la (2.2), mientras 
que sustituyendo en (2.l) las ecuaciones (2.2), (2.3) así como �T@ ��T⁄ y observando 
que resulta una identidad, se tiene que @ � @2�5 es la función modal pues nos define 
la forma del modo natural de la vibración de flexión de la viga y su primera 
derivada: 
 @´ � ,XY g� cos,XY � � O sen,XY � I cosh,XY � Z senh,XY �h (2.4) 
Las cuatro constantes A, B C, D se determinan aplicando las condiciones de frontera, 
que dan lugar a cuatro ecuaciones. Si dichas ecuaciones son homogéneas, solo existe 
una solución para A, B, C, D no nula, cuando el determinante de los coeficientes se 
anula. 
Cuando la viga presente dos planos de simetría, uno vertical y otro horizontal, 
ambos son de flexión y habrá doble infinidad de modos naturales de vibración de 
flexión de la viga. 
Si la viga estuviera sometida permanentemente a una componente de excitación 
vertical: ij�Y � i2�, ?5 por unidad de longitud, la ecuación del equilibrio dinámico 
se escribe: 
 ikljm ij�Y � ij7áo (2.5) 
Es decir, 
 
����� &$% ��p���' 9 ��p��� � i2�, ?5 (2.6) 
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19 
 
 
Que constituye la ecuación del movimiento para la vibración forzada de flexión de 
la viga. 
1.4 EJEMPLOS TEÓRICOS DE LAS VIBRACIONES EN VIGAS. 
1.4.1 VIGA EN VOLADIZO O CANTILÉVER. 
A continuación se presenta el análisis de una viga en voladizo, como la que se 
muestra en la Figura 2.1, para lo cual se emplean las condiciones de frontera 
correspondientes a los parámetros de la Tabla 1.1 los cuales son: 
 @20, ?5 � 0 ����q�rd � 0, t>0 
 
������q�rs � 0, �t���tq�rs � 0 t>0 
 
Figura 2.1 Viga en cantiléver 
Recordando las ecuaciones (2.3) y (2.4) y tomando en consideración el extremo 
empotrado con x=0, se tiene: 
 @ � 0 O 0 Z � 0 Z � �O 
 @´ � ,XY 2� 0 I 05 � 0 I � �� 
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20 
 
 
De donde resulta: 
@ � �[sen,;8 � � senh,;8 �\ O [cos,;8 � � cosh,;8 �\ 
@´ � ,;8 u� [cos,;8 � � cosh,;8 �\ O [�sen,;8 � � senh,;8 �\v 
@´´ � ;8 u� [� sen,;8 � � senh,;8 �\ O [� cos,;8 � � cosh,;8 �\v 
@´´´ � &;8'S 6w u� [� cos,;8 � � cosh,;8 �\ O [sen,;8 � � senh,;8 �\v 
Luego aplicando condiciones para el extremo libre, es decir en 	� � x	, @´´ � @´´´ �0 de donde: 
0 � �[sen,;8 x senh,;8 x\ O [cos,;8 x cosh,;8 x\ 
0 � �[cos,;8 x cosh,;8 x\ O [�sen,;8 x senh,;8 x\ 
De la ecuaciónanterior, es claro que para que � y 0	 y O y 0, se requiere que el 
determinante de los coeficientes sea nulo de donde se obtiene que: 
 zzsen,XY x senh,XY x cos,XY x cosh,XY xcos,XY x cosh,XY x �sen,XY x senh,XY xzz � 0 (2.7) 
De donde desarrollando la ecuación 2.7: 
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21 
 
 
[sen,;8 x senh,;8 x\ [�sen,;8 x senh,;8 x\
� [cos,;8 x cosh,;8 x\ [cos,;8 x cosh,;8 x\ � 0 
Finalmente, resolviendo y usando las identidades trigonométricas se llega a la 
siguiente condición: 
cosh6 � � senh6 � � 1 
Y 
sen6 � cos6 � � 1 
Simplificando queda la ecuación de autovalores, 
 1 cos,XY x cosh,XY x � 0 (2.8) 
La cual se resuelve para los casos en que: 
 ,XY 	x � 34 (2.9) 
Ahora bien, tomando en cuenta la igualdad (2.9) despejando las pulsaciones y 
sustituyendo las raíces encontradas de la ecuación (2.8) se obtienen los valores 
propios del sistema o pulsaciones naturales de la vibración. 
;) � 1.87516 8 x6⁄ ;	;6 � 4.69416 8 x6⁄ ;	;S � 7.8546 8 x6⁄ ; … ;	;l � 36	8	 &4x '6 
Con 8 � �$% 9⁄ 
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22 
 
 
Cabe mencionar que las raíces (k) que satisfacen la ecuación (2.8), así como las que 
se muestran en los ejemplos del anexo “A”, fueron determinadas empleando el 
programa WolframMathematica 7. 
1.4.2 VIGA CON UN EXTREMO EMPOTRADO Y OTRO ARTICULADO. 
En esta sección, se presenta el análisis correspondiente a una viga empotrada en un 
extremo y articulada en el otro como la que se muestra en la Figura 2.2. Pare ello. Se 
tomando en consideración las siguientes condiciones de frontera: 
 @20, ?5 � 0 ����q�rd � 0, t>0 
 @2�, ?5 � 0 ������q�rs � 0, t>0 
 
Figura 2.2. Viga con un extremo empotrado y el otro articulado. 
Partiendo de la ecuación (2.2), derivando sucesivamente y evaluando en x=0 la 
primera derivada se obtiene: 
 @ � 0 O 0 Z � 0 Z � �O 
 @´ � ,XY 2� 0 I 05 � 0 I � �� 
De donde: 
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23 
 
 
@ � �[sen,;8 � � senh,;8 �\ O [cos,;8 � � cosh,;8 �	\ 
@´ � ,;8 u� [cos,;8 � � cosh,;8 �\ � O [sen,;8 � senh,;8 �\v 
@´´ � ;8 u��[sen,;8 � senh,;8 �\ � O [cos,;8 � cosh,;8 �\v 
Luego, teniendo en cuenta el extremo articulado ( � � x	) con @ � @´´ � 0 se 
obtiene: 
0 � �[sen,;8 x � senh,;8 x\ O [cos,;8 x � cosh,;8 x	\ 
0 � ��[sen,;8 x senh,;8 x\ � O [cos,;8 x cosh,;8 x\ 
Donde, nuevamente para encontrar valores de A y B diferentes de cero, se iguala a 
cero el determinante de la matriz de coeficientes: 
 zz sen,XY x � senh,XY x cos,XY x � cosh,XY x�sen,XY x � senh,XY x � cos,XY x � cosh,XY xzz � 0 (2.10) 
De donde desarrollando el determinante se llega a: 
[sen,;8 x � senh,;8 x\ [� cos,;8 x � cosh,;8 x\
� [�sen,;8 x � senh,;8 x\ [cos,;8 x � cosh,;8 x\ � 0 
0 � �2 sen,;8 x cosh,;8 x 2 senh,;8 x cos,;8 x 
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24 
 
 
Finalmente, simplificando la ecuación queda de la siguiente forma: 
 tan,XY x � tanh,XY x � 0 (2.11) 
Cuyos valores propios o pulsaciones naturales son: 
;) � 3.9276 8 x6⁄ ;	;6 � 7.0696 8 x6⁄ ;	;S � 10.216 8 x6⁄ ;… ;	;l � 36	8	 &4x '6 
Con 8 � �$% 9⁄ 
1.4.3 VIGA BI-EMPOTRADA. 
En la presente sección, se estudia el caso de una viga doblemente empotrada o bi 
empotrada como la que se muestra en la Figura 2.3. En este caso, las condiciones de 
frontera: 
 @20, ?5 � 0 ����q�rd � 0, t>0 
 @2�, ?5 � 0 ����q�rs � 0, t>0 
 
Figura 2.3. Viga doblemente empotrada o bi-empotrada 
 
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25 
 
 
Partiendo de la ecuación (2.2) se tiene que: 
 @ � 0 O 0 Z � 0 Z � �O 
 @´ � ,XY 2� 0 I 05 � 0 I � �� 
Luego, derivando sucesivamente y aplicando las condiciones de frontera @2x5 �@´2x5 � 0 se tiene que: 
0 � �[sen,;8 x � senh,;8 x\ O [cos,;8 x � cosh,;8 x	\ 
0 � �[cos,;8 x � cosh,;8 x\ � O [sen,;8 x senh,;8 x\ 
Nuevamente, para encontrar la solución no trivial del sistema se hace cero el 
determinante de la matriz de coeficientes: 
 zzsen,XY x � senh,XY x cos,XY x � cosh,XY xcos,XY x � cosh,XY x � sen,XY x � senh,XY xzz � 0 (2.12) 
Desarrollando la determinante: 
[sen,;8 x � senh,;8 x\ [� sen,;8 x � senh,;8 x\
� [cos,;8 x � cosh,;8 x\ [cos,;8 x � cosh,;8 x\ � 0 
De donde, simplificando queda la ecuación de la forma: 
 0 � 1 � cos,XY x cosh,XY x (2.13) 
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26 
 
 
Que finalmente tiene como valores propios o pulsaciones naturales: 
;) � 4.736 8 x6⁄ ;	;6 � 7.8536 8 x6⁄ ;	;S � 10.9956 8 x6⁄ ;… ;	;l � 36	8	 &4x '6 
Con 8 � �$% 9⁄ 
1.4.4 VIGA DOBLEMENTE ARTICULADA. 
El siguiente caso de estudio, corresponde con una viga doblemente articulada como 
la que se muestra en la Figura 1.4. Para este caso, las condiciones de frontera 
correspondientes son: 
 @20, ?5 � 0 ������q�rd � 0, t>0 
 @2�, ?5 � 0 ������q�rs � 0, t>0 
 
Figura 2.4. Viga doblemente articulada 
Como hemos venido haciéndolo hasta estos momentos, se emplea la ecuación (2.2) 
y se obtienen las dos primeras derivadas: 
@ � �[sen,;8 � � senh,;8 �\ O [cos,;8 � � cosh,;8 �	\ 
@´ � ,;8 u� [cos,;8 � � cosh,;8 �\ � O [sen,;8 � senh,;8 �\v 
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27 
 
 
@´´ � ;8 u��[sen,;8 � senh,;8 �\ � O [cos,;8 � cosh,;8 �\v 
Luego, aplicando las condiciones de frontera para uno de los extremos articulados, 
se obtiene: 
 @ � 0 O 0 Z � 0 Z � �O 
 @´´ � XY 20 � O 0 Z5 � 0 Z � O 
De donde, es claro que la única forma de satisfacer estas identidades es: 
	O � Z � 0 
De donde, aplicando la segunda condición de frontera se obtiene: 
� sen,;8 x I senh,;8 x � 0	 
 �A	sen,XY x I senh,XY x � 0 (2.14) 
 A	sen,XY x � I senh,XY x (2.15) 
Sustituyendo (2.15) en (2.14) tenemos como resultado: 
2	I senh,;8 x � 0 
De donde, es claro que I � 0 por lo que O � I � Z � 0 y la ecuación de 
autovalores toma la forma: 
 sen,XY x � 0 (2.16) 
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28 
 
 
Finalmente, los valores propios o pulsaciones naturales son: 
;) � 824 x⁄ 56; 	;6 � 8224 x⁄ 56; 	;S � 823 4 x⁄ 56; … ;	;l � 8	2C4 x⁄ 56 
Con 8 � �$% 9⁄ 
1.4.5 VIGA CON UN EXTREMO EMPOTRADO Y UN RESORTE EN EL 
EXTREMO LIBRE. 
Un ejemplo como éste implica unas diferentes condiciones de frontera a los 
ejemplos anteriores, ya que el resorte juega un papel importante, quedando de la 
siguiente forma: 
 
Figura 2.5 Viga empotrada con un resorte en un extremo. 
 @20, ?5 � 0 ����q�rd � 0, t>0 
 
������q�rs � 0, �t���tq�rs � H@2�, ?5 t>0 
Donde H � �st-. 
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29 
 
 
Tomando en cuenta el extremo fijo donde x=0 con la ecuación (2.2) y su primera 
derivada, se tiene: 
 @ � 0 O 0 Z � 0 Z � �O 
 @´ � ,XY 2� 0 I 05 � 0 I � �� 
Sucesivamente se tiene: 
@´´ � ;8 u��[sen,;8 � senh,;8 �\ � O [cos,;8 � cosh,;8 �\v 
@´´´ � &;8'S 6w u�� [cos,;8 � cosh,;8 �\ O [sen,;8 � � senh,;8 �\v
� H u� [sen,;8 � � senh,;8 �\ O [cos,;8 � � cosh,;8 �	\v 
Y teniendo en cuanta el extremo donde � � x	, con @´´ � 0, @´´´ � H@2�, ?5 se tiene: 
0 � � [� sen,;8 x � senh,;8 x\ O [� cos,;8 x � cosh,;8 x\ 
0 � � [� &;8'S 6w cos,;8 x � &;8'S 6w cosh,;8 x � βsen,;8 x β senh,;8 x\
 O [&;8'S 6w sen,;8 x � &;8'S 6w senh,;8 x � βcos,;8 x βcosh,;8 x\ 
Quedando la matriz de la forma: 
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30 
 
 
z
z � sen,XY x � senh,XY x � cos,XY x � cosh,XY x� &XY'S 6w cos,XY x � &XY'S 6w cosh,XY x� βsen,XY x β senh,XY x
&XY'S 6w sen,XY x � &XY'S 6w senh,XY x� βcos,XY x βcosh,XY x z
z
=0 
Calculando el determinante, y simplificándolo queda la ecuación: 
 &XY'S 6w g1 cos,XY x cosh,XY xh � �H2sen,XY x cosh,XY x � cos,XY x senh,XYx5 (2.17) 
Los valores propios o pulsaciones naturales valen: 
;) � 3.6226 8 x6⁄ ;	;6 � 22.0516 8 x6⁄ ;	;S � 61.7036 8 x6⁄ ; … ;	;l � 36	8	 &4x '6 
Con 8 � �$% 9⁄ 
Cabe destacar q este mismo ejemplo fue resuelto en S. Graham Kelly [6], pero 
debido a la facilidad que ofrece el método hasta ahora utilizado, se siguió sin 
cambios en cuanto al procedimiento de resolución. 
1.4.6 VIGA CON UN EXTREMO EMPOTRADO Y UN AMORTIGUADOR 
VISCOSO EN EL EXTREMO LIBRE. 
Al igual que en el ejemplo anterior, las condiciones de frontera para este caso 
implican nuevos términos, quedando de la siguiente forma: 
 @20, ?5 � 0 ����q�rd � 0 t>0 
 
������q�rs � 0, �t���tq�rs � H ���� t>0 
Donde H � Ys�/-.0 
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31 
 
 
 
Figura 2.6 Viga empotrada con un amortiguador viscoso en un extremo 
 
Tomando en cuenta el extremo fijo donde x=0 con la ecuación (2.2) y su primera 
derivada, se tiene: 
 
 @ � 0 O 0 Z � 0 Z � �O 
 @´ � ,XY 2� 0 I 05 � 0 I � �� 
Sucesivamente se tiene: 
@´´ � ;8 u��[sen,;8 � senh,;8 �\ � O [cos,;8 � cosh,;8 �\v 
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32 
 
 
@´´´ � &;8'S 6w u�� [cos,;8 � cosh,;8 �\ O [sen,;8 � � senh,;8 �\v
� 																					H �,;8 ��[cos,;8 � � cosh,;8 �\
� O [sen,;8 � senh,;8 �	\�� 
Y teniendo en cuanta el extremo donde � � x	, con @´´ � @´´´ � 0 se tiene: 
0 � � [� sen,;8 x � senh,;8 x\ O [� cos,;8 x � cosh,;8 x\ 
0 � � [�;8 cos,;8 x � ;8 cosh,;8 x � β cos,;8 x β cosh,;8 x\
 	O [;8 sen,;8 x � ;8 senh,;8 x β sen,;8 x β senh,;8 x\ 
Quedando la matriz de la forma: 
z
z � sen,;8 x � senh,;8 x � cos,;8 x � cosh,;8 x�;8 cos,;8 x � ;8 cosh,;8 x�β cos,;8 x β cosh,;8 x
;8 sen,;8 x � ;8 senh,;8 x β sen,;8 x β senh,;8 xz
z � 0 
La ecuación resultante y simplificada del determinante es: 
 
XY gcos,XY x cosh,XY xh � 	�H gsen,XY x senh,XY xh (2.18) 
Los valores propios o pulsaciones naturales valen: 
;) � 2.6786 8 x6⁄ ;	;6 � 22.2876 8 x6⁄ ;	;S � 61.7336 8 x6⁄ ; … ;	;l � 36	8	 &4x '6 
Con 8 � �$% 9⁄ 
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33 
 
 
1.5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE VIBRACIONES TORSIONALES. 
Hasta estos momentos, se ha propuesto la ecuación general que rige el 
comportamiento de los sistemas con un número infinito de grados de libertad 
(Ecuación 1.3). Sin embargo, esta ecuación tiene un grado de dificultad grande para 
su resolución ya que la evaluación de las raíces de un polinomio de orden n es 
extremadamente laboriosa y consumen tiempo. 
Para evitar los problemas mencionados en el párrafo pasado, se recure a los métodos 
numéricos la mayoría de los cuales, se basan en el concepto de iteración. Se propone 
un valor aproximado de la frecuencia natural y partiendo de él se parte a la 
resolución que tiene una secuencia lógica desde la primera hasta la última. Si el 
valor inicial propuesto es correcto, todas las ecuaciones serán satisfechas mientras 
que en caso contrario el valor propuesto será la base para una futura estimación 
inicial. 
Por otra parte, el método Rayleigh consiste en calcular la tensión y las energías 
cinéticas del sistema en cualquier punto del tiempo y hacer uso de la ley de 
conservación de la energía cuando no hay amortiguación. Éste método consiste en 
una aproximación escalar, al mismo tiempo que proporciona una rápida búsqueda de 
las frecuencias naturales. 
1.5.1 MÉTODO DE ENERGÍA Y PRINCIPIO DE RAYLEIGH. 
Los métodos de energía implican un balance de energía que usa escalares, en lugar 
de un balance de fuerza, que usa vectores. 
Por causas prácticas, es más fácil concebir un balance de energía, que dibujar 
diagramas de cuerpo libre y establecer fuerzas vectoriales y un balance de fuerzas. 
En un balance de energía se debe conservar la energía, como principio, éste se 
conoce como el de la Conservación de la energía, se constituye una ley física y no 
se ha observado violación alguna a la misma [8]. 
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34 
 
 
 $� � $� $� (1.9) 
En la ecuación 1.9, ET es la energía total, Ec denomina la energía cinética y EP en la 
energía potencial. La conservación de la energía se puede expresar en forma 
incremental como sigue, cuando ∆ET es la energía que se añade a la energía total 
como calor, o se retira como trabajo físico. 
 ΔE� � ΔE� 	ΔE� (1.10) 
Esta afirmación significa que la adición o disipación de energía debe aparecer 
también como un cambio de la energía cinética o potencial. Este principio se 
mantiene para todos los sistemas, ya sea que se disipe o no energía, pero si no se 
añade o disipa energía, ∆U = 0, y al no haber cambio de energía térmica del sistema 
a través del tiempo, 
 
WW� Q� �R � 0 (1.11) 
Esta expresión conduce directamente a la ecuación de movimiento y se usa en forma 
exclusiva para encontrar las frecuencias naturales. Para un sistema conservativo, la 
energía de cualquier masa o partícula puede ser potencial o cinética, pero la energía 
total del sistema debe permanecer constante. 
El movimiento cíclico es una manifestación de la conversión de energía cinética en 
energía potencial y viceversa. Aún si se disipa parte de la energía, se puede usar el 
método que se explica a continuación para encontrar las ecuaciones de movimiento 
aproximadas, se consideran aproximadas porque la ventaja de usar balance de 
energía puede contrapesar el desprecio de la disipación de energía. 
La energía cinética del sistema se expresa como la energía cinética de la masa 
mientras que la energía potencial se expresa tanto como energía potencial elástica 
como energía potencial de posición. Para que tengan significado, ambas deben 
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35 
 
 
expresarse como un cambio a partir de cierta posición de referencia, conveniente 
aunque arbitraria una forma común de expresar tanto la energía cinética como la 
energía potencial elástica: 
 � � )6��� 6 (1.12) 
 � � )63�6 (1.13) 
Para obtener la ecuación de movimiento, se sustituye (1.12) y (1.13) en (1.11) y 
derivando con respecto al tiempo se obtiene la siguiente ecuación: 
��? Q� �R � ��� g����?h 3� g���?h � 0 
ó 
 ���2��5 3�2�� 5 � 0 (1.14) 
Cancelando �� , se obtiene 
 ��� 3� � 0 (1.15) 
Se observa que esta es una ecuación diferencial homogénea de segunda orden 
igualada a cero, obteniendo el polinomio característico asociado 
 Z6� �� � � 2Z6 ��5� � Z6 �� � 0 (1.16) 
Resolviendo este polinomio y buscando las raíces que varían con respecto al tiempo 
se obtiene 
 �2?5 � I)B,���k I6BN, ���k (1.17) 
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36 
 
 
Estas raíces son complejas conjugadas y su solución de la ecuación da una serie de 
senos y cosenos de la siguiente forma: 
 � � I) cos,�� ? I6 sin,�� ? (1.18) 
Tomando la equivalencia 
1l � �3�&I) � O,			I6 � � 
Se obtiene finalmente 
 � � � sin1l ? O cos1l ? (1.19) 
Rayleigh diseñó una forma alternativa para el método de energía, en especial para el 
cálculo aproximado de la frecuencia fundamental de un sistema vibratorio. Dicho 
método no deriva y resuelve las ecuaciones diferenciales de movimiento, éste 
método tiene la premisa básica que el movimiento es considerado como armónico 
simple, es decir: 
 � � ¡ sin 1l ? (1.20) 
Derivando con respecto al tiempo, la velocidad es 
 �� � ¡1l cos1l ? (1.21) 
Si la suma total de energías cinética y potencial es constante, entonces la energía 
promedio, debe ser igual a la energía cinética promedio a través de un ciclo 
completo para el cual el periodo ¢ � 24 16w 
�Xm£� � 1¢ ¤ 12¥d ��� 6�? � 12�¡61l6¢ ¤ 8JA61l?¥d 	�? � 14�¡61l6 
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37 
 
 
�Xm£� � 1¢ ¤ 123�d �6�? � 12 3¡6¢ ¤ A¦C61l?¥d 	�? � 143¡6 
�Xm£� � �Xm£� 
14�¡61l6 � 143¡6 
 1l6 � �� (1.22) 
Un detalle muy importante es esta última ecuación es que se elimina la amplitud X, 
esto no es un punto trivial, ya que la independencia de la frecuencia natural con 
respecto a la amplitud de movimiento, constituye la base del Principio de Rayleigh. 
Usar este método para encontrar la ecuación de movimiento es en extremo útil 
cuando el sistema simple tiene un solo grado de libertad, pero es geométricamente o 
cinéticamente difícil cuando el sistema cuenta con numerosos sistemas elásticos. 
Este método consta de tres partes importante, la primera es la suposición de una 
forma de modo que consiste en la relación entre coordenadas generalizadas. En el 
caso de una única coordenada generalizada, ésta es simplemente la expresión de las 
energías cinética y potencial en términos del desplazamiento máximo. 
La segunda parte del método de Rayleigh consiste en la suposición de que el 
movimiento es armónico simple. Esta es una suposición válida para un sistema 
lineal no amortiguado. Si la amortiguación es leve, la distorsión es despreciable. 
La tercera parte, también del método de Rayleigh, consiste en la igualación de la 
energía cinética con la energía potencial ignorándose el calor, el trabajo y la 
fricción. Bajo estas condiciones, se puede encontrar con cierta precisión la 
frecuencia natural del movimiento armónico ya que el método de la energía de 
Rayleigh es particularmente útil para sistemas con un grado de libertad. 
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38 
 
 
1.5.2 MÉTODO HOLZER. 
Los primeros problemas discretizados que se trataron como grupo, surgieron como 
resultado de la vibración torsional en los cigüeñales de grandes máquinas de vapor, 
flechas de transmisión y durante y después de la primera guerra mundial, en los 
moto-generadores de los sistemas de propulsión marinos y submarinos. Se han 
reportado en la literatura, una buena cantidad de casos de este tipo en los que ha 
empleado el método de Holzer [8]. 
 
Figura 1.4 
Como ejemplos, consideramos cuatro sistemas torsionales, el sistema de dos masas 
de la Fig. 1.4(a) tiene dos grados de libertad, pero una de sus frecuencias naturales 
vale cero ω1
2 = 0. Más correctamente, éste es un sistema de dos grados de libertad, 
degenerado. Las ecuaciones de movimiento se escriben con facilidad, gracias a 
nuestro conocimiento de dos grados de libertad: 
%)§)� ¨2§) � §65 � 0 
%6§6� ¨2§6 � §)5 � 0 
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39 
 
 
La ecuación de frecuencia se encuentra suponiendo vibración armónica en un modo 
principal con una frecuencia ω y eliminando las amplitudes θ1 y θ2 
§) � Θ)ABC	1? 
§6 � Θ6ABC	1? 
La relación de frecuencia es 
 1T%)%6 � 162%) %653 � 0 (1.23) 
A partir de la cual los valores característicos son las frecuencias naturales: 
1)6 � 0 
166 � ¨ g%) %6%)%6 h 
Los modos correspondientes a estas frecuencias naturales se describen sustituyendo 
ω1
2 y ω2
2 en la ecuación de movimiento. 
El sistema de tres masas de la Fig.1.4b, es un sistema de tres grados de libertad, 
degenerado. Considerando éste en mayor detalle, y usando tres coordenadas 
generalizadas θ1, θ2 y θ3 para los desplazamientos angulares de cada masa, las 
ecuaciones de movimiento son 
%)§�) )̈2§) � §65 � 0 
 %6§�6 6̈2§6 � §S5 � )̈2§) � §65 � 0 (9.24) 
%S§�S � 6̈2§6 � §S5 � 0 
Para vibración armónica en un modo principal: 
§) � Θ)ABC	1? 
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40 
 
 §6 � Θ6ABC	1? 
§S � ΘSABC	1? 
Sustituyendo en las ecuaciones de movimiento: 
2 )̈ � %)165Θ) � )̈Θ6 � 0 
 2 )̈ 6̈ � %6165Θ6 � )̈Θ) � 6̈ΘS � 0 (9.25) 
2 6̈ � %S165ΘS � 6̈Θ6 � 0 
Como para dos grados de libertad, la ecuación de frecuencia para el sistema de tres 
grados de libertad se puede encontrar eliminando Θ1, Θ2, y Θ3 
1ª2%)%6%S5 			� 		 	1TQ )̈2%6%S %)%S5 		 		 6̈2%)%6 %)%S5R 		 		16 )̈ 6̈2%) %6 %S5 � 0 (9.26) 
Esta tiene también tres valores característicos, uno de los cuales es ω1
2 = 0 
Sustituyendo los valores característicos de ω2 en las ecuaciones de movimiento, se 
obtendrán las relaciones modales entre Θ1, Θ2, y Θ3. Estas relaciones implican 
razones, como un ejemplo, la primera ecuación de movimiento implicará a Θ1 y a 
Θ2, y la tercera implicara a Θ2 y Θ3. La ecuación no usada es redundante, ya que es 
imposible resolver explícitamente para Θ1, Θ2, y Θ3. El sistema se denomina vector 
característico, vector modal, o vector propio. Para cada frecuencia natural, ω2, el 
vector modal tendrá una forma única pero una amplitud arbitraria. Esto concuerda 
con el principio de Rayleigh el cual afirma que, a una frecuencia natural, las 
amplitudes son independientes a la frecuencia. 
Una ayuda en el cálculo de vectores modales, es normalizar estas relaciones usando 
Θ1 =1 radian y expresar todas las otras amplitudes con respecto a Θ1, 
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41 
 
 Θ6Θ) � )̈ � %)16)̈ 
 (9.27) ΘSΘ) � 6̈2 )̈ � %)165)̈2 6̈ � %S165 
El sistema de cuatro masas de la Fig. 1.4c, tiene cuatro frecuencias naturales, otra 
vez con ω1
2 = 0, pero este no es el único sistema torsional de cuatro masas posibles. 
El tren de impulso de un automóvil convencional, si se incluyen solamente las 
ruedas posteriores, el diferencial y el motor (Fig. 1.4b), es un sistema torsional de 
cuatro masas. Su disposición es por completo diferente de la disposición en línea, 
debido a la transmisión engranada en I2 y tiene una diferente ecuación de 
frecuencia. Esta disposición se denomina un sistema ramificado debido a la 
ramificación del sistema elástico en una de las masas. 
Para más de cuatro masas, las ecuaciones de frecuencia llegan a ser más 
complicadas. Son posibles disposiciones resorte-masa ramificadas adicionales, 
haciendo cada grado de libertad adicional aún más prohibitiva la labor. El trabajo de 
determinar únicamente dos valores característicos de la ecuación de frecuencia se 
hace difícil hasta lo imposible. Lo que se necesita es un esquema para determinar los 
valores características y las formas de modo, sin determinar las ecuaciones de 
frecuencia. Esto es particularmente cierto, ya que pueden ser importantes tan solo 
uno o dos modos, y no tiene sentido determinar explícitamente todos los modos, si 
solo se necesitan uno o dos para resolver un problema particular. 
Método Holzer. 
El método que se le atribuye a Holzer se desarrolló en realidad a través del trabajo 
de muchos de los primeros investigadores de los problemas de vibración torsional. 
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42 
 
 
Este método consiste básicamente en un proceso de suposiciones y comprobaciones 
para encontrar las frecuencias naturales, pero es un método lógico [8]. 
Este mismo método se encontró en teoría de vibraciones [9] sin embargo la facilidad 
fue menor a la que se obtuvo 
A una frecuencia natural, se pueden mantener las amplitudes resonantes sin 
aplicación de una fuerza externa. Este es uno de los significados físicos de la 
frecuencia natural. También, las amplitudes reales son arbitrarias. Pero, si se asigna 
un valor definido a un desplazamiento Θ1, se determinan singularmente todos los 
otros desplazamientos. La esencia del método de Holzer es usar cierto valor 
conveniente, por ejemplo Θ1=1 radián, en forma arbitraria, y relacionar todas las 
otras amplitudes con ese valor. Entonces, solo se hace necesario encontrar las 
frecuencias para las cuales la suma de las fuerzas o parejas inerciales vale cero. 
Estas frecuencias tienen que ser las frecuencias naturales del sistema. 
En la Fig. 1.5, se encuentra en movimiento en un modo principal, a una frecuencia 
ω, usa serie de masas torsionales y de resortes torsionales. Para cada masa se 
escribiráuna ecuación de movimiento en términos de las coordenadas generalizadas 
θ1, θ2, θ3,…, θi en donde 
§k � Θk sin1? 
 �%k16Θk k̈2kN)52Θk � ΘkN)5 � 0 (9.28) 
La amplitud Θ2 se puede expresar a partir de la primera ecuación de movimiento en 
términos de Θ1, 
)̈62Θ6 � Θ)5 � �%)16Θ) 
Θ6 � Θ) � %)16Θ))̈6 
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43 
 
 
 
Figura 1.5 
La amplitud Θ3 se puede expresar a partir de las ecuaciones primera y segunda de 
movimiento, en términos de Θ2 y Θ1, 
ΘS � Θ6 )̈66̈S 2Θ6 � Θ)5 � %616Θ66̈S 
ó 
ΘS � Θ6 � %616Θ66̈S � %)16Θ)6̈S 
La amplitud Θ4 se puede expresar usando las ecuaciones primera, segunda y tercera, 
en términos de Θ3, Θ2 y Θ1. Es evidente que se puede escribir una serie para la 
amplitud de la masa n-ésima, en términos de n – 1 ecuaciones de movimiento y las 
amplitudes de n – 1 coordenadas. 
Combinando esta con la ecuación de movimiento para la n-ésima masa, ya que no 
existen fuerza o pareja externas, 
 ∑ %k16Θk � 0lkr) (9.29) 
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44 
 
 
Esta es otra formad e la ecuación de frecuencia. Las raíces de esta ecuación son los 
valores característicos o valores propios del sistema. 
En la práctica, se tabulan las amplitudes y las fuerzas o momentos de inercia por 
medio de cálculo mecánico manual. Las amplitudes y fuerzas o momentos de inercia 
se usan para determinar sucesivamente el desplazamiento elástico de una masa como 
Θ1=1 radian, se encuentra la amplitud de la segunda masa. Pasando de una masa a la 
otra en sucesión, se determinan las amplitudes de todas éstas. Llamando a la suma 
de las fuerzas y momentos de inercia y (ω2): 
 ∑ %k16Θklkr) � @2165 (9.30) 
Y graficando y (ω2) como función deω2, se pueden encontrar fácilmente las raíces o 
valores característicos. Una vez que se conoce la localización de una raíz 
aproximada, se pueden usar técnicas numéricas tales como la regla de Simpson, para 
encontrar más exactamente el valor característico. 
Un ejemplo de la tabulación de los datos se presenta en Tabla 1.2, aquí se observa 
que: ω1
2 = 4.595 X 104 s-2. 
Tabla 1.2 ¬ 
¬ ­¬ 
¬®�­¯ °
¬®�­¬ 
¬2¬±¯5 ­¬ �­¬±¯ 
1 1 1.0000 4.5950X104 4.5950X104 1.5X105 0.3063 
2 1 0.6937 3.1873X104 7.7824X104 1.5X105 0.5188 
3 1 0.1748 0.8033X104 8.5857X104 1.5X105 0.5724 
4 1 -0.3976 -108271X104 6.7586X104 2X105 0.3378 
5 2 -0.7354 -6.7585X104 0 ------- ------- 
 
 
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45 
 
 
 
 
CAPÍTULO 2. PRÁCTICAS DE 
VIBRACIONES MECÁNICAS DEL 
EQUIPO TM 16 
 
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46 
 
 
2.1 VIBRACIONES EN VIGAS. 
En el apartado 1.2.1 del capítulo anterior, se obtuvo la formula general aplicada a las 
vibraciones laterales en vigas (ecuación1.3) la cual puede ser resuelta para diferentes 
condiciones de frontera. Como se muestra más adelante, dicha ecuación es resulta 
para una serie de casos que constituyen el fundamento teórico de una serie de 
prácticas que se proponen en el manual del equipo TM 16 del laboratorio de 
mecánica de la FES Aragón. Como se mencionó anteriormente, el manual del 
equipo TM16 no cuenta con el soporte matemático suficiente para que el alumno 
comprenda los fenómenos que se estudian en las prácticas correspondientes. Cabe 
mencionar que la teoría que se presenta a continuación corresponde básicamente con 
la de vibraciones laterales en vigas las cuales se abordan en las prácticas de la 10 a 
la 14 del manual de prácticas del equipo TM16. Para las primeras prácticas, que 
comprenden de la 1 a la 6 (péndulo simple, péndulo compuesto, centro de percusión, 
péndulo de Kater, suspensión bifilar sistema masa resorte) existe una basta y variada 
bibliografía, fácil de conseguir. 
La teoría correspondiente a las prácticas de la 7 a la 9 (oscilaciones torsionales de un 
solo rotor, oscilaciones torsionales de un solo rotor con amortiguación viscosa y 
oscilaciones torsionales de dos rotores) tienen un grado de dificultad muy alto, 
similar al de la vibración lateral en vigas. Debido a lo anterior, se recomienda 
abordar estos problemas en un trabajo futuro ya que la complejidad de su análisis 
implicaría un esfuerzo muy intenso que haría más denso el presente. No obstante, en 
el apartado 1.5.2 del presente trabajo se describe de manera breve el llamado método 
Holtzer, el cual se aplica para obtener frecuencias naturales de ejes vibratorios. A 
pesar de las limitantes, es un método efectivo para calcular dichas frecuencias. 
Como se muestra más adelante, los casos abordados en el presente trabajo se 
modelan mediante ecuaciones diferenciales en derivadas parciales cuyos métodos de 
solución generalmente no son tocados en la currícula de la carrera. En general, se 
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47 
 
 
debe tener presente que la solución de un problema de vibraciones mecánicas 
consiste en hallar los modos naturales de las vibraciones de las vigas, los cuales se 
determinan resolviendo la ecuación correspondiente con las condiciones de frontera 
apropiadas. De hecho, existen varios métodos de solución para problemas de 
vibraciones mecánicas de los cuales el presente trabajo se empleó el de Pastor 
Santamarina Pol [10]. Otro método que se usa comúnmente es el propuesto por S. 
Graham Kelly [6], el cual, a pesar de llegar a las soluciones que se requieren, es 
ligeramente más laborioso y difícil de comprender. 
2.2 PROPUESTA DE MEJORAS AL MANUAL DE PRÁCTICAS DEL EQUIPO 
TM16. 
Considerando las limitaciones del manual de prácticas de laboratorio del equipo 
TM16 y la importancia de las vibraciones mecánicas para el ejercicio profesional del 
ingeniero mecánico, es claro que contar con un equipo que permita simular este tipo 
de fenómenos resulta muy valioso. Debido a lo anterior, se decidió agregar al 
manual de operación del equipo TM16 una serie de tópicos que constituyen el marco 
teórico del grupo de prácticas que van de la 10 a 14 así como una práctica 
demostrativa que contribuya a enriquecer el manual brindando al usuario elementos 
que le permitan comprender los fenómenos de las vibraciones mecánicas. Dichos 
tópicos son los puntos 1.2 al 1.4 a manera de marco teórico de dicho bloque de 
prácticas. Por otro lado, la práctica demostrativa que se propone será denominada 
práctica 10.A y tendrá como fin que los alumnos se familiaricen con el fenómeno de 
las vibraciones laterales en vigas prismáticas. La práctica consistirá esencialmente 
en la resolución teórica, y su comprobación experimentalmente, de vibraciones 
libres en vigas esbeltas instrumentadas con galgas extensométricas conectadas a un 
sistema de adquisición de datos en tiempo real. 
A continuación se presenta el índice de prácticas del equipo TM16 con las 
modificaciones propuestas 
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48 
 
 
1.- Antecedentes 
1.1.- Descripción del equipo M16 
1.2.- Definiciones y conceptos generales de las vibraciones mecánicas 
1.3.- Métodos de análisis de vibraciones torsionales 
1.3.1.- Método de energía y principio de Rayleigh 
1.3.2.-Método Holzer. 
1.4.- Teoría general de las vibraciones laterales en vigas 
1.4.1.- Ecuación diferencial de las vibraciones laterales en vigas 
1.4.2.- Casos resueltos de vibraciones libres 
2.- Prácticas 
Práctica1: PÉNDULO SIMPLE 
Práctica 2: PÉNDULO COMPUESTO 
 Práctica 3: CENTRO DE PERCUSIÓN 
Práctica 4: DETERMINACIÓN DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD 
POR MEDIO DE UN PÉNDULO DE KATER (REVERSIBLE) 
Práctica 5: SUSPENSIÓN BIFILAR 
Práctica 6: SISTEMA MASA-RESORTE 
Práctica 7: OSCILACIONES TORSIONALES DE UN SOLO ROTOR 
Práctica 8: OSCILACIONES TORSIONALES DE UN SOLO ROTOR CON 
AMORTIGUACIÓN VISCOSA 
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49 
 
 
Práctica 9: OSCILACIONES TORSIONALES DE DOS ROTORES 
Práctica 10A: INFLUENCIA DE LAS PROPIEDADES DEL MATERIAL EN LA 
RESPUESTA DINÁMICA EN VIBRACIONES LATERALES EN VIGAS. 
Práctica 10B: INFLUENCIA DE LA GEOMETRÍA EN LA RESPUESTA 
DINÁMICA EN VIBRACIONES LATERALES EN VIGAS. 
Práctica 10: VIBRACIÓN LATERAL DE VIGAS CON EXITACIÓN EXTERNA 
Práctica 11: ABSORBEDOR DE VIBRACIONES NO AMORTIGUADAS 
Práctica 12: VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO 
DESPRECIABLE 
Práctica 13: VIBRACIONES LIBRES CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO 
Práctica 14: VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO 
VISCOSO 
A continuación se presente una breve descripción de la práctica sugerida 
2.3 PROPUESTA DE PRÁCTICAS DEMOSTRATIVAS. 
PRÁCTICA 10A 
Objetivo 
Estudiar influencia de las propiedades del material en la frecuencia en vigas bajo 
vibración transversales sometida a distintas condiciones de frontera. 
Antecedentes 
Las soluciones de la ecuación diferencial para las vibraciones mecánicas laterales en 
vigas sin excitación externa son relativamente simples de obtener como se muestra 
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50 
 
 
en la sección denominada: “Teoría general de las vibraciones laterales en vigas; 
Casos resueltos de vibraciones libres” del manual de operación del esquipo. Como 
se mostró en dicha sección, las pulsaciones o frecuencias naturales del sistema se 
pueden expresar como: 
1 � 23456, -./07( =&�²7 '6,-./0 = &�²7 '6 8 
Donde k depende de las condiciones de frontera como se muestra en la Tabla 
10A.1. 
 
Tabla 10A.1. Primeros valores de k para los tres arreglos de vigas más simples 
Arreglo ki 
Cantilever 
 
k1=0.4330 
k2=0.6896 
k3= 0.8920 
Empotrada y articulada k1=0.6307 
k2=0.8463 
k3=1.0171 
Doblemente empotrada 
 
k1= 0.6922 
k2= 0.8920 
k3= 1.0554 
Doblemente articulada k1= 0.5641 
k2= 0.7978 
k3= 0.9772 
Como se describió en la sección indicada, los valores de k corresponden con 
aquellos para los cuales se cumple la condición de que existen valores reales de las 
constantes de la solución de la ecuación diferencial que satisfacen las condiciones de 
frontera correspondientes que se muestran en la Figura 10A.1. 
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51 
 
 
CATILEVER 
 
 
@20, ?5 � 0 ; ����q�rd � 0 ; t>0 
������q�rs � 0;		,�t���tq�rs � 0; t>0 
EXTREMO EMPOTRADO - ARTICULADO. 
 
 
@20, ?5 � 0; ����q�rd � 0; t>0 
@2�, ?5 � 0; ������q�rs � 0; t>0 
BI-EMPOTRDA. 
 
 
@20, ?5 � 0; ����q�rd � 0;					t>0 
@2�, ?5 � 0; ����q�rs � 0; t>0 
DOBLEMENTE ARTICULADA. 
 
@20, ?5 � 0;������q�rd � 0;				t>0 
@2�, ?5 � 0; ������q�rs � 0; t>0 
Figura 10A.1. Apoyos típicos en vigas a) Cantilever, b) Empotrada-articulada, c) Bi-
empotrada y d) doblemente articulada. 
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52 
 
 
Es claro que para un arreglo en particular, los modos de vibración pueden cambiar 
según los valores de k sin embargo son valores bien definidos diferentes a los de 
otro arreglo como se ve en la Tabla 10A.1. Lo anterior indica que para un arreglo 
dado la frecuencia 1puede cambiar si cambian: el material del que está hecha la 
viga (E, ρ) o bien de la geometría (l, I, A) lo que nos permite plantear una serie de 
pruebas que permitan a los alumnos familiarizarse con el fenómeno de las 
vibraciones mecánicas transversales en vigas de manera muy simple. 
Las pruebas que se proponen consisten esencialmente en excitar manualmente una 
serie de vigas fabricadas con distintos materiales y con distinto espesor y apoyada de 
distintas formas. Las probetas estarán instrumentadas con galgas extensométricas en 
puntos fijos sobre la superficie superior y/o inferior. Las galgas extensométricas 
deber ser conectadas a un sistema de adquisición de datos con capacidad de captura 
en tiempo real que permita registrar por completo las oscilaciones en el tiempo. Se 
recomienda que los puntos instrumentados se ubiquen cerca de los puntos de 
máximo momento flector. 
Preparación de muestras 
Instrumentación de las muestras 
Las probetas deberán ser instrumentadas con un galga extensométrica apropiada 
para el tipo de material y colocadas en la parte central de la misma excepto para el 
caso de la viga en cantiléver la cual debe instrumentarse cerca del empotramiento. 
En la Figura 10A.2 se muestra de manera gráfica la forma en que se deben 
instrumentar las probetas con galgas extensométricas de acuerdo con las 
recomendaciones de Dally [11]. 
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Figura 10A.2. Viga instrumentada con una galga extensométrica. 
Las vigas deben ser maquinadas de tal manera que puedan ser montada en el marco 
de carga del equipo M16 empleando los apoyos disponibles en el equipo. Una vez 
montada la viga en el marco de carga se debe conectar la o las galgas 
extensométricas a un sistema de adquisición de datos con capacidad en tiempo real o 
bien a un osciloscopio. 
La excitación de la viga deberá hacerse con un dispositivo que permita aplicar un 
desplazamiento igual en todos los casos y que sea liberado instantáneamente. 
Desarrollo de la práctica 
Utilice un juego de vigas con las mismas dimensiones pero fabricadas con tres 
materiales diferentes (por ejemplo aluminio, acero y plástico) y móntese cada una en 
el mismo arreglo por ejemplo en cantilever y excítese con el mismo desplazamiento 
inicial. 
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Con ayuda del osciloscopio, mida sobre el eje horizontal el tiempo que tarda una 
onda en completar un ciclo luego, obtenga el recíproco y anótelo en la Tabla 10A.2. 
Repita el procedimiento para vigas en diferentes arreglos y anote los datos también 
en la Tabla 10A.2 
Tabla 10A.2. Influencia de las propiedades del material en la respuesta a una 
excitación arbitraria. 
Arreglo de carga Frecuencia viga 
Material 1 
(Acero) 
Frecuencia viga 
Material 2 
(Aluminio) 
Frecuencia viga 
Material 3 
(Plástico) 
Cantilever 
Doblemente 
articulada 
 
Empotrada-
articulada 
 
Doblemente 
empotrada 
 
Para un tipo de apoyos grafique la frecuencia medida en el osciloscopio contra el 
módulo elástico de material (f-E/ρ) y debe observarse una curva creciente pero no 
una recta. 
 
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Figura 10A.3. Gráfica f-E/ρ para las vigas en catilever. 
 
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Figura 10A.4. Gráfica f-E/ρ para las vigas doblemente articulada. 
 
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Figura 10A.5. Gráfica f-E/ρ para las vigas empotrada-articulada. 
 
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Figura 10A.6. Gráfica f-E/ρ para las vigas doblemente empotrada. 
 
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PRÁCTICA 10B 
Objetivo 
Estudiar influencia de la geometría en la frecuencia en vigas bajo vibración 
transversales sometida a distintas condiciones de frontera. 
Preparación de las muestras 
Se debe maquinar un conjunto de muestras de vigas con al menos tres distintos 
espesores e instrumentarlas con galgas extensométricas como se indicó en la 
práctica 10A. 
Desarrollo de la práctica 
Utilice un juego de vigas fabricadas con el mismo material (de aluminio, acero o 
plástico) y al menos tres diferentes espesores. Así mismo, se utilizaran vigas con 
diferentes espesores con apoyos: en cantiléver, doblemente articulado, empotrado-
articulado y doblemente