Análisis de redes de tuberías - mario ernesto reyes cruz

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Reyes Cruz 
 
 
Análisis de redes de tuberías 
 
En temas anteriores veíamos sistemas de tuberías con un grado de complejidad 
inferior al de este tema. Pero, en este tema se analizarán soluciones para una red. 
Para esto podemos valernos de la figura 11. 6a que muestra una red simple, 
formada por siete tubos, dos depósitos y una bomba. Las líneas de referencia 
hidráulica en A y F son conocidas y se denominan nodos de nivel fijo. Las demandas 
de descarga están presentes en los nodos C y D. Los nodos C y D, junto con los B 
y E reciben el nombre de nodos internos o uniones. 
 
Fig. 11.6 Red de tubería representativa: a) direcciones del flujo supuestas, b) bucles internos 
designados, c) trayectoria entre dos nodos de nivel fijo. 
 
Las direcciones del flujo se suponen que son en las direcciones de la figura. Las 
ecuaciones del sistema son: 
1. Equilibrio de energía para cada tubo (siete ecuaciones): 
𝐻𝐴 + 𝐻𝐵 + 𝐻𝑃(𝑄1) = 𝑅1𝑄1
2 𝐻𝐶 − 𝐻𝐸 = 𝑅5𝑄5
2 
𝐻𝐵 − 𝐻𝐷 = 𝑅2𝑄2
2 𝐻𝐸 − 𝐻𝐷 = 𝑅6𝑄6
2 
𝐻𝐶 − 𝐻𝐷 = 𝑅2𝑄3
2 𝐻𝐹 − 𝐻𝐸 = 𝑅7𝑄7
2 
𝐻𝐵 − 𝐻𝐶 = 𝑅4𝑄4
2 
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2. Equilibrio de continuidad para cada nodo interno (cuatro ecuaciones): 
𝑄1 − 𝑄2−𝑄4 = 0 
𝑄2 + 𝑄3 + 𝑄6 = 𝑄𝐷 (11.4.2) 
𝑄4 − 𝑄3 − 𝑄5 = 𝑄𝐶 
𝑄5 − 𝑄6 + 𝑄7 = 0 
 
3. Aproximación de la curva de bomba (una ecuación): 
 𝐻𝑃(𝑄1) = 𝑎0 + 𝑎1(𝑄1) + 𝑎2𝑄1
2 (11.4.3) 
Las incógnitas son las Q y las H, donde hay 12 incógnitas y 12 ecuaciones. Como 
las ecuaciones de energía y la ecuación para la bomba no son lineales, es necesario 
recurrir los métodos numéricos. Las 12 ecuaciones pueden reducirse en número si 
se combinan las ecuaciones de energía a lo largo de trayectorias especiales. 
Desígnese como Wi la caída de la línea de referencia hidráulica para cualquier 
elemento de tubería i. Entonces 
 𝑊1 = 𝑅𝑖𝑄1
2 (11.4.4) 
El sistema del ejemplo tiene 2 bucles internos. Los equilibrios de energía, alrededor 
de los bucles I Y II son: 
𝑊6 − 𝑊3 + 𝑊5 = 0 
 𝑊3 − 𝑊2 + 𝑊4 = 0 (11.4.5) 
Para incluir el flujo por las tuberías 1 y 7, puede definirse una trayectoria a lo largo 
de los nodos A, B, D, E y F en la figura 11.6c. Entonces con la adición de la carga 
de la bomba, el equilibrio de energía de A a F es: 
 𝐻𝐴 + 𝐻𝑃 − 𝑊1 − 𝑊2 + 𝑊6 + 𝑊7 = 𝐻𝐹 (11.4.6) 
La ecuación de energía para la trayectoria conecta dos nodos de nivel fijo y es 
conocido como bucle falso. Sustituyendo la ecuación para la bomba y la ecuación 
de fricción en las relaciones de energía, resultan estas ecuaciones reducidas 
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 (11.4.7) 
Y se forma un sistema de 9 incógnitas y 7 ecuaciones. 
11.4.1 Ecuaciones para redes generalizadas 
La fig. 11.6 puede estar representada por las siguientes ecuaciones 
1. Continuidad en el nodo interno j-ésimo: 
 ∑(±)𝑗𝑄𝑗 − 𝑄𝑒 = 0 (11.4.8) 
el subíndice j se refiere a las tuberías conectadas a un nodo, y Qe es la demanda 
externa. 
2. Equilibrio de energía alrededor de un bucle interno 
 ∑(±)𝑖𝑊𝑖 = 0 (11.4.9) 
El subíndice i está relacionado con las tuberías que forman el bucle. Habrá una 
relación para cada uno de los bucles. 
3. Equilibrio de energía a lo largo de una trayectoria única o bucle falso que conecte 
dos nodos de nivel fijo: 
 ∑(±)𝑖[𝑊𝑖 − (𝐻𝑝)𝑖] + ∆𝐻 = 0 (11.4.10) 
ΔH es la diferencia en magnitud de los dos nodos de nivel fijo en la trayectoria 
ordenada. El término (HP)i es la carga hidráulica a través de una bomba que podría 
existir en el i-ésimo elemento de tubería. Si F es el número de nodos de nivel fijo, 
habrá (F – 1) ecuaciones de trayectoria única. 
Sea P el número de elementos de tubería en la red, J el número de nodos internos 
y L el número de bucles internos. Entonces se cumplirá la siguiente relación si la 
red está apropiadamente definida: 
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 𝑃 = 𝐽 + 𝐿 + 𝐹 − 1 (11.4.11) 
En el ejemplo J=4, L=2, F=2 y P=7. 
Una formula adicional necesaria es la relación que existe entre la descarga y la 
perdida en cada tubería: 
 (11.4.12) 
Y si podemos usar una Le: 
 𝑊 = 𝑅𝑄𝛽 (11.4.13) 
Una relación aproximada de la carga de bomba-descarga está dada por el polinomio 
 𝐻𝑃(𝑄) = 𝑎0 + 𝑎1𝑄 + 𝑎2𝑄
2 (11.4.14) 
Los coeficientes a0, a1 y a2 se suponen conocidos; comúnmente, pueden hallarse 
sustituyendo tres puntos de datos conocidos de una curva de bomba especificada 
y resolviendo simultáneamente las tres ecuaciones resultantes. 
Un medio alternativo de incluir una bomba en una línea es especificar la potencia 
útil que la bomba suministra en el sistema. La potencia Wf real, se supone constante 
y permite que HP sea representada en 
 𝐻𝑃(𝑄) =
𝑊𝑓
𝛾𝑄
 (11.4.15) 
Y es útil cuando se desconocen las características de operación específicas de una 
bomba. 
11.4.2 Linearización de las ecuaciones de energía para un sistema 
Se usará la ecuación 11.4.10 para representar cualquier bucle o trayectoria de la 
red. 
Se define la función 𝜙(𝑄) para que contenga los términos no lineales W(Q) Y Hp(Q) 
en forma 
 𝜙(𝑄) = 𝑊(𝑄) − 𝐻𝑃(𝑄) (11.4.16) 
 = 𝑅𝑄𝛽 − 𝐻𝑃(𝑄) 
Y se expande en una serie de Taylor: 
 (11.4.17) 
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Reteniendo los primeros dos términos del lado derecho de la ecuación 11.4.17, y 
usando la ecuación 11.4.16, tendremos 
 (11.4.18) 
la aproximación de 𝜙(𝑄) ahora es lineal respecto a Q. Y el parámetro G se introduce 
como 
 𝐺 = 𝛽𝑅𝑄0
𝛽−1
−
𝑑𝐻𝑃
𝑑𝑄
|
𝑄0
 (11.4.19) 
Y sustituyendo la ecuación 11.4.15, tenemos 
 𝐺 = 𝛽𝑅𝑄0
𝛽−1
+
𝑊𝑓
𝛾𝑄0
2 (11.4.21) 
Y sustituyendo la ecuación 11.4.19 en la ecuación 11.4.18 nos da 
 𝜙(𝑄) = 𝑅𝑄0
𝛽
− 𝐻𝑃(𝑄0) + (𝑄 − 𝑄0)𝐺 (11.4.22) 
 = 𝑊0−𝐻𝑃0 + (𝑄 − 𝑄0)𝐺 
Por último, la ecuación 11.4.22 se sustituye en la ecuación 11.4.10 para producir el 
bucle linearizado o la ecuación de energía a lo largo de una trayectoria 
 ∑(±)𝑖[(𝑊0)𝑖 − (𝐻𝑃0)𝑖] + ∑[(𝑄𝑖 − (𝑄0)𝑖]𝐺𝑖 + ∆𝐻 = 0 (11.4.23) 
11.4.3 Método de Hardy Cross 
Ecuaciones necesarias: 
 Δ𝑄 = 𝑄𝑖 − (𝑄0)𝑖 (11.4.24) 
 Δ𝑄 =
−∑(±)𝑖[[(𝑊0)𝑖−(𝐻𝑃0)𝑖]−∆𝐻
∑𝐺𝑖
 (11.4.26) 
 Δ𝑄 =
−∑(±)𝑖(𝑊0)𝑖
∑𝐺𝑖
 (11.4.27) 
Y proseguimos a la solución iterativa de Hardy Cross que son los siguientes pasos: 
1. Suponemos una estimación inicial de la distribución del flujo en la red que 
satisfaga la continuidad, ecuación 11.4.8. Cuanto más cercanas sean las 
estimaciones iniciales a los valores correctos, menos serán las iteraciones 
requeridas para tener una convergencia. Una directriz a seguir es que, en un 
elemento de tubería, cuando R aumenta, Q disminuye. 
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2. Para cada bucle o trayectoria, evaluamos Q con la ecuación 11.4.26 o la 11.4.27. 
Los numeradoresdeben aproximarse a cero cuando se equilibren los bucles. 
3. Actualizamos los flujos en cada tubería en todos los bucles y trayectorias, es 
decir, de la ecuación 11.4.24. 
 𝑄𝑖 = (𝑄0)𝑖 + ∑Δ𝑄 (11.4.28) 
4. Repetimos los pasos 2 y 3 hasta alcanzar una precisión deseada. Un posible 
criterio que usar es 
 
∑|𝑄𝑖−(𝑄0)𝑖|
∑|𝑄𝑖|
≤ 𝜀 (11.4.29) 
en la que 𝜀 es un número arbitrariamente pequeño. Por lo general, 0.001 < 𝜀 <
0.005. 
El método de análisis de Hardy Cross es una versión simplificada del método de 
aproximaciones sucesivas aplicado a un conjunto de ecuaciones linearizadas. No 
requiere la inversión de una matriz, por lo cual puede usarse para resolver redes 
relativamente pequeñas usando ya sea una calculadora o un algoritmo de hoja de 
cálculo en una computadora personal.