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1 PRUEBA DE HIPOTESIS ESTADISTICAS Una HIPOTESIS ESTADISTICA es una afirmación o conjetura acerca de una o más poblaciones. Esta puede ser cierta o no. Específicamente es una afirmación o aseveración sobre: el valor de un solo parámetro (característica de una población o característica de una distribución de probabilidad), los valores de varios parámetros o la forma de una distribución de probabilidad completa. 2 La única forma de tener una certeza absoluta de la veracidad o falsedad de una hipótesis estadística puede ser examinar a toda la población. Esto es, con frecuencia impracticable (o imposible), y entonces ¿qué hacemos? Tomamos una muestra de la población y usamos la muestra para decidir si la hipótesis es verdadera o falsa. El proceso de usar la muestra para contrastar si la hipótesis es verdadera (o falsa) se llama prueba estadística de la verdad (o falsedad) de la hipótesis. 3 Población Muestra Población Muestra 1 Muestra 2 Muestra i Muestra k 4 5 En cualquier problema de prueba de hipótesis, existen dos hipótesis contradictorias consideradas. La hipótesis nula denotada por H0, es la afirmación que inicialmente se supone cierta (la hipótesis de “creencia previa”). (contiene =, ≥,≤) La hipótesis alternativa denotada por H1, es la aseveración contradictoria a H0. (contiene ≠, >, <). La hipótesis nula será rechazada a favor de la hipótesis alternativa sólo si la evidencia en la muestra sugiere que H0 es falsa. Si la muestra no contradice fuertemente a H0, no rechazaremos H0. Las dos posibles conclusiones derivadas de un procedimiento de prueba de hipótesis son entonces rechazar H0 o no rechazar H0. Ejemplo: El dueño de un molino afirma que “el peso medio de las bolsas que vende a grandes mercados, es por lo menos de 70 kg”. Un comprador de dichas bolsas sospecha que últimamente, dicho peso medio es inferior a 70 kg. Se desea probar H0: ≥ 70 (Vendedor) versus H1: < 70 (Comprador) 6 Una PRUEBA DE HIPOTESIS ESTADISTICA es un procedimiento sistemático basado en datos muestrales para optar o decidir entre la aceptación o rechazo de la hipótesis nula H0 H0: la habitación está vacía H1: la habitación no está vacía Si la deducción B no se cumple Hipótesis H0 es falsa (porque Si se ve a alguien) (porque la habitación NO está vacía) Muestra: lo que vemos por el ojo de la cerradura 7 Si la deducción B se cumple Aceptar la hipótesis H0 es una afirmación incierta No se ve a nadie No sabemos si la habitación está vacía Puede ocurrir que en la muestra de la habitación que veo por la cerradura no haya alumnos, pero en los laterales que no veo sí los haya, 8 Aplicación de las pruebas de hipótesis 1. Prueba de una hipótesis de investigación 2. Prueba de la validez de una afirmación 3. Prueba en situaciones de toma de decisión 9 10 1. Prueba de una hipótesis de investigación El rendimiento de la gasolina en un determinado modelo de automóvil es de 24 millas por galón. Un grupo de investigación elabora un nuevo sistema de inyección de combustible diseñado para dar un mejor rendimiento en millas por galón de gasolina. Para evaluar el nuevo sistema se fabrican varios de éstos, se instalan en los automóviles y se someten a pruebas controladas de manejo. En este caso, el grupo de investigación busca evidencias para concluir que el nuevo sistema aumenta la media del rendimiento. La hipótesis de investigación es, entonces, que el nuevo sistema de inyección de combustible proporciona un rendimiento medio mayor a 24 millas por galón de combustible; es decir, μ > 24. Como lineamiento general, una hipótesis de investigación se debe plantear como hipótesis alternativa. Por tanto, en este estudio las hipótesis nula y alternativa adecuadas son: H0: ≤ 24 H1: > 24 Si los resultados obtenidos con la muestra indican que no se puede rechazar H0, los investigadores no concluirán que el nuevo sistema de inyección de combustible sea mejor. Quizá será necesario continuar investigando y realizar nuevas pruebas. Pero si los resultados muestrales indican que se puede rechazar H0, los investigadores inferirán que H1: μ > 24 es verdadera. Esta conclusión proporciona a los investigadores el apoyo estadístico necesario para afirmar que el nuevo sistema aumenta el rendimiento medio en millas por galón. Se considerará la producción del nuevo sistema. En estudios de investigación como éste, las hipótesis nula y alternativa deben formularse de manera que al rechazar H0 se apoye la conclusión de la investigación. La hipótesis de la investigación, entonces, debe expresarse como hipótesis alternativa. 11 2. Prueba de la validez de una afirmación Un fabricante de refrescos asegura que los envases de dos litros de refresco contienen en promedio, por lo menos, 67.6 onzas de líquido. Se selecciona una muestra de envases de dos litros y se mide su contenido para confirmar lo que asegura el fabricante. En este tipo de situaciones de prueba de hipótesis, se suele suponer que el dicho del fabricante es verdad a menos que las evidencias muestrales indiquen lo contrario. Si se sigue este método en el ejemplo de los refrescos, las hipótesis nula y alternativa se establecen como sigue. H0: μ ≥ 67.6 H1:μ < 67.6 Si los resultados muestrales indican que no se puede rechazar H0, entonces no se cuestiona lo que asegura el fabricante. Pero si los resultados muestrales indican que se puede rechazar H0, lo que se inferirá es que H1: μ < 67.6 es verdad. Si tal es la conclusión, las evidencias estadísticas indican que el dicho del fabricante no es correcto, y que los envases de refrescos contienen en promedio menos de las 67.6 onzas que se asegura contienen. Se considerará realizar las acciones correspondientes en contra del fabricante. En toda situación en la que se desee probar la validez de una afirmación, la hipótesis nula se suele basar en la suposición de que la afirmación sea verdadera. Entonces, la hipótesis alternativa se formula de manera que rechazar H0 proporcione la evidencia estadística de que la suposición establecida es incorrecta. Siempre que se rechace H0 deberán considerarse las medidas necesarias para corregir la afirmación. 12 3. Prueba en situaciones de toma de decisión Cuando se prueba una hipótesis de investigación o la validez de una afirmación, se toman medidas si se rechaza H0; sin embargo, en algunas situaciones se toman tanto si no se puede rechazar H0 como si se puede rechazar H0. En general, este tipo de situaciones se presentan cuando la persona que debe tomar una decisión tiene que elegir entre dos líneas de acción, una relacionada con la hipótesis nula y otra con la hipótesis alternativa. Por ejemplo, con base en una muestra de las piezas de un pedido recibido, el inspector de control de calidad tiene que decidir si acepta el pedido o si lo regresa al proveedor debido a que no satisface las especificaciones. Suponga que una especificación para unas piezas determinadas sea que su longitud media deba ser de dos pulgadas. Si la longitud media es menor o mayor a dos pulgadas, las piezas ocasionarán problemas de calidad en la operación de ensamblado. En este caso, las hipótesis nula y alternativa se formulan como sigue. H0: μ = 2 H1:μ ≠ 2 Si los resultados muestrales indican que no se puede rechazar H0, el inspector de control de calidad no tendrá razón para dudar que el pedido satisfaga las especificaciones y aceptará el pedido. Pero si los resultados muestrales indican que H0 se debe rechazar, se concluirá que las piezas no satisfacen las especificaciones. En este caso, el inspector de control de calidad tendrá evidencias suficientes para regresar el pedido al proveedor. Así, se ve que en este tipo de situaciones, se toman medidas en ambos casos, cuando H0 no se puede rechazar y cuando H0 se puede rechazar. 13 Resumen de las formas para las hipótesis nula y alternativa Las pruebas de hipótesis para un parámetro poblacional asumen una de estas tres formas, a las dosprimeras formas se les llama pruebas de una cola. A la tercera se le llama prueba de dos colas. Sin embargo, la igualdad (ya sea =, ≥ , o ≤ ) debe aparecer siempre en la hipótesis nula. Al elegir la forma adecuada para H0 y H1 hay que tener en mente que la hipótesis alternativa a menudo es lo que la prueba está tratando de demostrar. H0: μ ≥ μ0 H0: μ ≤ μ0 H0: μ = μ0 H1:μ < μ0 H1:μ > μ0 H0: μ ≠μ0 Ejercicios 14 ERRORES QUE PODEMOS COMETER Puede ocurrir que: la hipótesis establecida sea verdadera y la consideremos falsa (ERROR DE TIPO I), ó que la hipótesis sea falsa y la consideremos verdadera (ERROR DE TIPO II). Es decir se cometerá Error de Tipo I cuando se rechace una hipótesis verdadera y se cometerá Error de Tipo II cuando se acepte una hipótesis falsa ¿PODEMOS CONTROLAR LA PROBABILIDAD DE COMETER ESTOS ERRORES? La frecuencia con que se cometen estos errores (o la proporción de veces que se cometen estos errores) es, desde luego, muy importante para nosotros, y veremos que esta frecuencia puede controlarse hasta cierto punto. ¡¡¡¡ Queremos controlar la probabilidad de cometer estos errores!!!! ¿EN QUE BASAMOS NUESTRA DECISION DE ACEPTAR O RECHAZAR UNA HIPÓTESIS ESTADÍSTICA? Respuesta: en la información que obtengamos haciendo observaciones y en el riesgo que estemos dispuestos a correr de que nuestra decisión pueda ser errónea. 15 Al utilizar una muestra para obtener conclusiones de una población existe el riesgo de llegar a una conclusión incorrecta. Cometemos Error Tipo I si rechazamos H0 cuando en realidad es verdadera. Cometemos Error Tipo II no rechazamos H0 cuando en realidad es falsa. Los errores de ambos tipos son competitivos, si aumenta uno se disminuye el otro. El que fija el investigador inicialmente es En general, un aumento en el tamaño de la muestra reduce tanto a como a , siempre y cuando los valores críticos se mantengan constantes. La probabilidad de cometer error de tipo II aumenta rápidamente a medida que el valor verdadero de tiende al valor hipotético. Situación en la población H0 verdadera H1 verdadera Decisión No se rechaza H0 decisión correcta error tipo II Se rechaza H0 error tipo I decisión correcta 16 NIVEL DE SIGNIFICANCIA α (alfa), El nivel de significancia es la probabilidad de cometer un error tipo I cuando la hipótesis nula es verdadera como igualdad. Los valores que se suelen usar para α son 0.05 y 0.01. En la práctica la persona responsable de la prueba de hipótesis especifica el nivel de significancia. Al elegir α se controla la probabilidad de cometer un error tipo I. Si el costo de cometer un error tipo I es elevado, los valores pequeños de α son preferibles. Si el costo de cometer un error tipo I no es demasiado elevado, entonces se usan valores mayores para α. Debido a la incertidumbre de cometer un error tipo II β, se suele recomendar que se diga “no se rechaza H0” en lugar de “se acepta H0”. Decir “no se rechaza H0” implica la recomendación de reservarse tanto el juicio como la acción. Un convenio que se sigue con frecuencia es establecer el resultado significativo si la hipótesis nula se rechaza con = 0,05 y muy significativo si la hipótesis se rechaza con = 0,01. 17 PASOS EN LAS PRUEBAS DE HIPÓTESIS Paso 1. Dar la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. Paso 2. Especificar el nivel de significancia. Paso 3. Recabar los datos muestrales y calcular el valor del estadístico de prueba. Metodo del valor-p Paso 4. Emplear el valor del estadístico de prueba para calcular el valor-p. Paso 5. Rechazar H0 si el valor-p α. Metodo del valor critico Paso 4. Emplear el nivel de significancia para determinar el valor crítico y la regla de rechazo. Paso 5. Emplear el valor del estadístico de prueba y la regla de rechazo para determinar si se rechaza H0. 18 1. PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL CON σ CONOCIDA Ejemplo: La Comisión Federal de Comercio, CFC, realiza periódicamente estudios estadísticos con objeto de comprobar las afirmaciones de los fabricantes acerca de sus productos. En la etiqueta de una lata de Café Amanecer dice que la lata contiene 3 libras de café. La CFC sabe que el proceso de producción de Amanecer no permite llenar las latas con 3 libras exactas de café por lata. Sin embargo, mientras la media poblacional del peso de llenado sea por lo menos 3 libras por lata, los derechos del consumidor estarán protegidos. Por tanto, la CFC interpreta que la información de la etiqueta de una lata de café Amanecer, tiene una media poblacional del peso de llenado de por lo menos 3 libras por lata. La CFC declara que si la empresa satisface sus especificaciones de peso en μ = 3, “no tomará ninguna medida en su contra. Pero, están dispuestos a asumir un riesgo de 1% de cometer tal error”. De acuerdo con lo dicho, el nivel de significancia en esta prueba de hipótesis se establece en α = 0.01. Las hipótesis planteadas serían: H0: μ ≥ 3 H1:μ < 3 Si los datos muestrales indican que se puede rechazar H0 se concluirá que la hipótesis alternativa H1: μ < 3 es verdadera. En este caso la conclusión de que hay falta de peso, y un cargo por violación a lo que se establece en la etiqueta, estará justificada. En el estudio de Café Amanecer, las pruebas realizadas con anterioridad por la CFC muestran que la desviación estándar puede considerarse conocida, siendo su valor σ =0.18. Estas pruebas muestran, también, que puede considerarse que la población de los pesos de llenado tiene una distribución normal. Se toma una muestra de 36 latas de café, y se obtiene que ത𝑋 = 2.92. Y se calcula el estadístico de prueba: 19 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA POBLACIONAL σ CONOCIDA Paso 1. Dar la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. H0: μ ≥ 3 H1:μ < 3 Paso 2. Especificar el nivel de significancia. α = 0.01 Paso 3. Recabar los datos muestrales y calcular el valor del estadístico de prueba. Se toma una muestra de 36 latas de café, y se obtiene que ത𝑋 = 2.92 con σ =0.18. Paso 4. Emplear el nivel de significancia para determinar el valor crítico y la regla de rechazo. Regla de la prueba: Con x1, x2, ...xn, calcule ഥ𝑿 y calcule el valor del estadístico de prueba según el tipo de población y los datos conocidos (en este caso Z). Rechace H0 al nivel de significación = 0,01 si y solo si zcalculado < - z . Caso contrario, no rechace H0. z = z 0,01 = 2,33 Región de rechazo zcalculado < - z -2,67 < -2,33 entonces se rechaza H0 al nivel de significación de 0,01%, podemos concluir que Café Amanecer está llenando las latas con menos peso del debido Paso 5. Emplear el valor del estadístico de prueba y la regla de rechazo para determinar si se rechaza H0. 20 21 METODO DEL VALOR P 22 23 Aplicando al ejemplo de filminas 18 y 19, Valor P = P ( Z ≤ -2.67) = 0.0038 Conclusión 0.0038 ≤ 0.01 => se rechaza H0 • Cola Izquierda: H0: μ ≥ 3 H1:μ < 3 El valor p en este caso es P (Z ≤ -2.67) por el sentido de la desigualdad de H1, y con la distribución Z utilizada para este caso. En otros casos utilizaré la distribución del estadístico aplicable, por ejemplo distribución t. • Cola Derecha: Si tuviéramos H0: μ ≤3 H1:μ > 3 Valor P sería = P ( Z ≥ -2.67) • Dos Colas: Si tuviéramos H0: μ = 3 H1:μ ≠ 3 Valor P = 2 * P (Z ≤ -2.67) o bien Valor P = 2 * P ( Z ≥ -2.67) METODO DEL VALOR P 24 Cálculo de la probabilidad de los errores tipo II Ejemplo, el director de control de calidad tiene que decidir si acepta un pedido de baterías recibido de un proveedor o si lo rechaza por ser de mala calidad. Las especificaciones indican que la vida útil promedio de las baterías debe ser por lo menos 120 horas. Para evaluar si el pedido recibido, se selecciona una muestra de 36 baterías y se prueban. De acuerdo para tomar la decisión de aceptar o no el pedido. H0: μ ≥ 120 H1:μ < 120 Si se rechaza H0, se concluye que la hipótesis alternativa es verdadera. Esta conclusión indica que lo adecuado es devolver el pedidoal proveedor. Pero si no se rechaza H0, la persona que toma la decisión deberá determinar qué medidas tomar. Así, sin haber concluido que H0 es verdadera, sino sólo por no haberla rechazado, la persona que toma la decisión habrá de aceptar el envío y considerarlo de la calidad adecuada. En tales situaciones, es recomendable que el procedimiento de prueba de hipótesis se amplíe para controlar la probabilidad de cometer un error tipo II. Como se tomará una decisión y alguna medida cuando no se rechace H0, será útil conocer la probabilidad de cometer un error tipo II. 25 Se usa como nivel de significancia α = 0.05. El estadístico de prueba en el caso σ conocida es: Con base en el método del valor crítico y z0.05 1.645, la regla de rechazo en esta prueba de la cola inferior es Rechazar H0 siempre que ത𝑋 ≤ 1.645 Considere una muestra de 36 baterías y que por pruebas anteriores se puede considerar que se conoce σ y que su valor es σ = 12 horas. La regla de rechazo indica que se rechazará H0 si Despejando ത𝑋 de la expresión anterior se tiene que se rechazará H0 si Rechazar H0 siempre que ത𝑋 ≤ 116.71 significa que se aceptará el pedido siempre que ത𝑋 > 116.71 26 Calculemos la probabilidad de cometer un error tipo II. (β) Se comete un error tipo II cuando la verdadera media del pedido es menor a 120 horas y se decida aceptar H0: μ ≥ 120. Para calcular la probabilidad de cometer un error tipo II, se debe elegir un valor de μ menor que 120 horas. Por ejemplo, suponga que la calidad del envío es mala si la vida promedio de las baterías es μ = 112 horas. ¿cuál es la probabilidad de aceptar H0: μ ≥ 120 y cometer así un error tipo II? β = P( ത𝑋 > 116.71 / μ = 112)= P(Z > 2.36)= 1- P(Z ≤ 2.36) = 1.0000 - 0.9909 = 0.0091 Entonces 0.0091 es la probabilidad de cometer un error tipo II cuando μ = 112. 27 Observe que si μ aumenta y se acerca a 120, la probabilidad de cometer un error tipo II aumenta hacia un límite superior de 0.95. Pero a medida que μ disminuye y se aleja de 120, la probabilidad de cometer un error tipo II disminuye. Este es el patrón esperable. Cuando la verdadera media poblacional está cerca del valor de la hipótesis nula, μ = 120, la probabilidad de cometer un error tipo II es grande. 28 POTENCIA : es la probabilidad de rechazar acertadamente H0 cuando es falsa 29 30 Ejemplo completo: 31 32 33 2. Prueba de hipótesis para la Media con σ desconocida 34 7.- Pruebe la hipótesis de que el contenido promedio en recipientes de un lubricante en particular es de 10 litros si los contenidos de una muestra aleatoria de 10 recipientes son: 10.2; 9.7; 10.1; 10.3; 10.1; 9.8; 9.9; 10.4; 10.3 y 9.8 litros. Utilice un nivel de significación del 0.01 y suponga que la distribución de los contenidos es normal. 35 No tenemos evidencia para rechazar H0, a un nivel de significación del 0.01 o del 1% 36 3. Prueba de hipótesis para la proporción poblacional 37 38 El fabricante de un producto que quita manchas afirma que su producto remueve cuando menos 90% de todas las manchas. ¿Qué se puede concluir acerca de esta afirmación con un nivel de significación del α = 0.05, si el producto solo elimino 174 de 200 manchas elegidas al azar de ropa manchada llevada a una lavandería? 39 4. Prueba de hipótesis para la Varianza poblacional 40 12.- El Departamento de Control de Calidad de una empresa que fabrica computadoras electrónicas estima que si la longitud de una determinada pieza presenta una desviación estándar mayor a 2 mm. irremediablemente se producirá una inutilización de una plaqueta en el término de 6 meses de uso. Una muestra de 15 piezas arrojó una longitud media de 5 mm. con una desviación estándar de 1,2 mm.. ¿Qué conclusiones puede obtener el Departamento de Calidad de la empresa en cuanto a la calidad de la pieza analizada? Utilice un nivel de significación del 0,05 41 El intervalo corresponderá al del estadístico con el que me encuentre trabajando según el caso (en este ejemplo usamos Z) 43 ANEXO 1: Algunos ejemplos adicionales 44 45 46 47 48 49 50 51 REFERENCIAS: 1. Apuntes Lic. Marta Corro. 2. Estadística para administración y economía, 10a. Edición. Anderson, David R.,Dennis J. Sweeney y Thomas A. Williams Ed. Cengage Learning 3. Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, 9ª Edición. Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon l. Myers y Keying Ye. Ed. Pearson educación
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