ecuacionesDiferenciales - Braulio Luna Díaz

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Cálculo Numérico – Programación Aplicada 2009 
 
 
 
Ing. Adriana Apaza – JTP Cálculo Numérico 
1 
ECUACIONES DIFERENCIALES 
Las ecuaciones, compuestas de una función incógnita y su derivada, se conocen como ecuaciones 
diferenciales. Estas ecuaciones juegan un papel muy importante en la ingeniería ya que muchos 
fenómenos físicos se formulan matemáticamente en términos de su cambio proporcional o razones de 
cambio. 
Ejemplos : 
 4
5
)60(27.0 −−= u
dt
du
, ecuación que describe (aproximadamente) la razón de cambio de la 
temperatura u de un cuerpo que pierde calor por convección natural con un entorno de temperatura 
cambiante. 
 kx
dt
dx −= , es la ecuación de la desintegración radioactiva; la velocidad de desintegración es 
proporcional a la cantidad de sustancia no desintegrada 
 
En la ecuación diferencial, a la cantidad que se va a diferenciar, se le conoce con el nombre de variable 
dependiente . A la cantidad respecto a la cual se va derivar se la llama variable independiente . Cuando 
la función incluye una variable independiente, se llama ecuación diferencial ordinaria , que están en 
contraste con las ecuaciones diferenciales parciales que comprenden dos o más variables 
independientes. 
También se las clasifica por su orden , y está dado por el orden de la derivada (o de la diferencial) 
máxima de la función desconocida que figura en la ecuación. 
El grado de una ecuación diferencial ordinaria no trascendente, es el grado algebraico de la derivada 
que determina el orden de la ecuación diferencial. 
La solución de una ecuación diferencial es la función que satisface la ecuación diferencial y también 
ciertas condiciones iniciales sobre la función. Al resolver analíticamente una ecuación diferencial suele 
encontrarse una solución general que contiene constantes arbitrarias y luego se evalúan las constantes 
arbitrarias de modo que la expresión coincida con las condiciones iniciales. 
Los métodos analíticos están limitados a ciertas formas especiales de ecuaciones. 
Los métodos numéricos no tienen tales limitaciones a sólo formas estándares. No obstante, la solución 
se obtiene como una tabulación de los valores de la función en varios valores de la variable 
independiente, y no como una relación funcional, y si cambian las condiciones iniciales es necesario 
volver a calcular toda la tabla. 
 
El método de la serie de Taylor 
No es estrictamente un método numérico, aunque algunas veces se usa junto con los esquemas 
numéricos, es de aplicabilidad general. 
Ejemplo : 
 ,2 yx
dx
dy −−= 1)0( −=y 
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(La solución analítica, 223)( +−−= − xxexy x se obtiene inmediatamente al aplicar métodos 
estándares). 
La relación entre x e y se obtiene al encontrar los coeficientes de la serie de Taylor en que se desarrolla 
y con respecto al punto x = x0 : 
 K+−
′′′
+−
′′
+−′+= 30
02
0
0
000 )(!3
)(
)(
!2
)(
))(()()( xx
xy
xx
xy
xxxyxyxy 
Debido a que )( 0xy es la condición inicial, el primer término se conoce a partir de la condición inicial 
1)0( −=y . Como el desarrollo es alrededor del punto ,0=x en este ejemplo la serie de Taylor es en 
realidad la serie de Maclaurin. 
El coeficiente del segundo término se obtiene al sustituir 1,0 −== yx en la ecuación de la primera 
derivada 
 )1()0(2)0()( 0 −−−=′=′ yxy =1 
Las derivadas de segundo orden y superior se obtienen al derivar sucesivamente la ecuación de la 
primera derivada, y se evalúan de manera correspondiente a 
0=x para obtener los diversos coeficientes: 
 yxy ′−−=′′ 2)( , 312)0( −=−−=′′y 
 yxy ′′−=′′′ )( , 3)0( =′′′y 
 ( ) 3)(4 −−=xy 
Luego, se escribe la solución de la serie para y, al hacer que x sea el valor en que desea determinarse 
 errorxxxxxy +−+−+−= 432
!4
3
!3
3
!2
3
11)( 
La solución de la ecuación diferencial yxy −−=′ 2 , donde 1)0( −=y , se da en la tabla siguiente 
 x y y, analítica 
 0.0 -1.00000 -1.00000 
 0.1 -0.91451 -0.91451 
 0.2 -0.85620 -0.85619 
 0.3 -0.82251 -0.82245 
 0.4 -0.81120 -0.81096 
 0.5 -0.82031 -0.81959 
 
Cuando se trunca una serie de Taylor convergente, es fácil expresar el error. Simplemente se toma el 
término siguiente y la derivada se evalúa en el punto ξ, 0 < ξ < x, en vez de hacerlo en el punto 0=x . 
Entonces para nuestro ejemplo 
 5
)5(
!5
x
y
Error = , 0 < ξ < x 
yxy −−=′ 2
( ) yxy ′′′−=)(4
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Sin embargo, esto no puede calcularse, ya que evaluar la derivada en x = ξ es imposible con ξ 
desconocido. 
El número de términos de la serie de Taylor que debe incluirse es cuestión de criterio y experiencia. 
Normalmente se trunca la serie de Taylor cuando la contribución del último término es despreciable 
hasta el número de cifras decimales hasta las que se está trabajando. No obstante, esto es correcto sólo 
cuando los términos sucesores se hacen pequeños suficientemente rápido, en algunos casos es 
importante la suma de los muchos términos pequeños despreciados. 
La serie de Taylor se aplica fácilmente a una ecuación de orden superior. 
 
Método de Euler : 
El método de la serie de Taylor puede ser difícil de aplicar si las derivadas se complican y en este caso 
es difícil determinar el error. 
El objetivo del método de Euler es obtener una aproximación al problema de valor inicial 
 ),,( yxf
dx
dy = ,bxa ≤≤ α=)(ay 
Se generarán aproximaciones de y en varios puntos, llamados puntos de red, en el intervalo [a, b]. 
Hacemos la suposición de que los puntos de red están distribuidos uniformemente sobre el intervalo [a, 
b], para ello escogemos un entero positivo N y seleccionando los puntos de red { }Nxxx ,,, 10 K donde 
 ihaxi += para cada Ni ,,1,0 K= 
La distancia común entre los puntos, 
N
ab
h
−= se llama tamaño de paso. 
Usaremos el teorema de Taylor para derivar el método de Euler, que sólo usa los dos primeros términos 
de la serie. 
 2000 !2
)(
)()()( h
y
xyhxyhxy
ξ′′+′+=+ , x0 < ξ < x0 + h 
donde se ha escrito la forma de costumbre del término de error para la serie de Taylor truncada. 
Al usar esta ecuación, el valor de y(x0) está dado por la condición inicial e )( 0xy′ se evalúa a partir de 
),( 00 yxf , que está dada por la ecuación diferencial ),( yxfdx
dy = . 
Este método debe usarse de manera iterativa, avanzando la solución a hxx 20 += después que se ha 
calculado )( 0 hxy + , y luego hacia hxx 30 += , y así sucesivamente. Al adoptar una notación de 
subíndices para los valores sucesivos de y, el algoritmo para el método de Euler puede escribirse 
 iii yhyy ′+=+1 
Se calcula yn en forma recursiva como 
 ),( 000001 yxhfyyhyy +=′+= 
 ),( 1112 yxhfyy += 
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 ),( 2223 yxhfyy += 
 ),( 3334 yxhfyy += 
 .................................... 
 
Ejemplo : 
 Resuelva 5)0(,720 05 =+−=′ − yeyy x , por medio del método de Euler con h = 0.01 para 
0< x <0.02. [ la solución analítica está dada por ( )xxx eeey 205.020
19
7
5 −−− −+= ] 
Solución : 
Los primeros cálculos con h = 0.01 son los siguientes 
x0 = 0, 5)0(0 == yy 
x1 = 0.01, [ ] 07.47)5(2001.05 0001 =+−+=′+= eyhyy 
x2 = 0.02 [ ] 32565.37)07.4(2001.007.4),( 005.01112 =+−+=+= −eyxhfyy 
x3 =0.03[ ]=+−+=+= 01.02223 7)32565.3(2001.032565.3),( eyxhfyy 2.72982 
x4 = 0.04 [ ]=+−+=+= 015.03334 7)32565.3(2001.032565.3),( eyxhfyy 2.25282 
 
Los resultados para los valores seleccionados de x, con tres valores de intervalos de tiempo se muestran 
en la tabla 
 
 x h = 0.01 h=0.001 h = 0.0001 yanalitica 
 
0.01 4.07000 4.14924 4.15617 4.158599697 
0.02 3.32565 3.45379 3.46513 3.469395432 
0.03 2.72982 2.88524 2.89915 2.904800415 
0.04 2.25282 2.42037 2.43554 2.442228423 
0.05 1.87087 2.04023 2.05574 2.063187419 
 
 
Aunque el método de Euler es muy sencillo, debe utilizarse cuidadosamente para evitar dos tipos de 
errores. El primer tipo lo forman los errores de truncamiento. El segundo tipo lo constituye la posible 
inestabilidad que aparece cuando la constante del tiempo es negativa (la solución tiende a cero si no hay 
término fuente), a menos de que el intervalo de tiempo h sea suficientemente pequeño 
 
Análisis de error en el método de Euler 
La solución numérica de ecuaciones diferenciales incluye dos tipos de error: 
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• Errores de truncamiento causados por la naturaleza de los métodos empleados en la 
aproximación a los valores de y, 
• Errores de redondeo causados por el número limitado de dígitos o de cifras significativas que 
puede retener la computadora. 
 
Los errores de truncamiento se componen de dos partes. La primera es un error de truncamiento local 
que resulta al aplicar el método en cuestión en un paso. El segundo es un error de programación que 
resulta de las aproximaciones producidas durante los pasos anteriores. La suma de los dos es el error de 
truncamiento global. 
El conocimiento de la magnitud y propiedades del error de truncamiento se puede obtener de la 
expansión de la serie de Taylor. 
La serie de Taylor alrededor del punto inicial (xi,yi) es: 
 ii
n
n
n
n
ii
iii xxhhn
y
h
y
h
y
hyyy −=
+
+++
′′
+′+= +
+
+
+ 1
1
)1()(
2
1 donde ,)!1(
)(
!2!2
ξ
K 
sabiendo que ),( yxfy =′ 
 )(
!
),(
!2
),(
),( 1
)1(
2
1
+
−
+ +++
′
++= nnii
n
ii
iiii hOhn
yxf
h
yxf
hyxfyy K 
en donde )( 1+nhO especifica que el error de truncamiento local es proporcional al tamaño de paso 
elevado a la (n+1)-ésima potencia. 
El error de truncamiento en el método de Euler es atribuible a los términos restantes de la expansión que 
no se incluyen en la ecuación nnn yhyy ′+=+1 . Por lo que 
 )(
2
),( 12 +++
′
= niia hOh
yxf
E K , donde Ea es el error de truncamiento local. 
Para una h lo suficientemente pequeña, los errores en los términos de la ecuación de Ea decrecen por 
lo común a medida que el orden crece, y el resultado, a menudo, se representa como 
 2
2
),(
h
yxf
E iia
′
= 
o, )( 2hOEa = , que es el error de truncamiento local aproximado. 
 
El problema con este método bastante sencillo es su falta de exactitud, al requerir un tamaño de paso 
extremadamente pequeño. 
En el método de Euler simple, se usa la pendiente al inicio del intervalo, ny′ para determinar el 
incremento de la función (ver figura). Esta técnica sería correcta sólo si la función fuese lineal. Lo que se 
necesita es la pendiente media dentro del intervalo. 
 
 
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 y1 pendiente en x1calculada con x1,y1 
 (a partir de Euler) 
 y0 valor y1 verdadero 
 
 
 
 x0 x1 
 
 
Método de Euler mejorado 
Un método para mejorar la aproximación a la pendiente implica el cálculo de dos derivadas del intervalo, 
una en el punto inicial y la otra en el punto final. En seguida se promedian las dos derivadas y se obtiene 
una aproximación mejorada de la pendiente en el intervalo completo. El método de Euler mejorado tiene 
dos motivaciones. La primera es que es más preciso que el anterior. La segunda es que es más estable. 
Supóngase que para calcular yi+1 se utiliza la media aritmética de las pendientes al inicio y al final del 
intervalo: 
2
1
1
+
+
′+′
+= iiii
yy
hyy ( )12 +′+′+= iii yy
h
y , sabemos que ),,( yxf
dx
dy = por lo que nos queda 
 
2
),(),( 11
1
++
+
+
+= iiiiii
yxfyxf
hyy 
Si f es una función no lineal de y, la ecuación del método de Euler es una función no lineal de yn+1, por lo 
que se requiere un algoritmo para resolver ecuaciones no lineales. Uno de los métodos ampliamente 
utilizados para resolver ecuaciones no lineales es el de las sustituciones sucesivas 
 [ ]),(),(
2 1
)1(
11
)(
iii
k
iii
k xyfxyf
h
yy ++= +
−
++ 
1
)(
+i
ky es la k-ésima aproximación iterativa de 1+iy e 
)0(
1+iy es una estimación lineal de 1+iy . 
Recuérdese que en el método de Euler, la pendiente al principio de un intervalo 
 ),( iii yxfy =′ (1) 
se usa para extrapolar linealmente a 1
*
+iy : 
 hyxfyy iiii ),(1
* +=+ (2) 
En el método de Euler se pararía en este punto. Sin embargo en el mejorado, la 1* +iy es una predicción 
intermedia que permite el cálculo de una pendiente aproximada al final del intervalo: 
 ),( 1*11 +++ =′ iii yxfy (3) 
Se pueden combinar las dos pendientes (1) y (3) y obtener una pendiente promedio sobre el intervalo: 
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2
),(),(
2
*
111 +++ +=
′+′
=′ iiiiii
yxfyxfyy
y 
Esta pendiente promedio se usa para extrapolar linealmente de yi a yi+1 usando el método de Euler: 
 
2
),(),( 1*1
1
++
+
+
+= iiiiii
yxfyxf
hyy 
 
Ejemplo : Resuelva 10)0( ,15.1 =+−=′ yyy mediante el método de Euler mejorado con h = 0.1, 
con 0 ≤ t ≤ 1. 
 
Solución : El método de Euler mejorado es 
 [ ]2)()(
2
5,15,1
11 +−−+= ++ iiii yy
h
yy 
 n = 0 [ ]2)()(
2
5,1
0
5,1
101 +−−+= yy
h
yy 
La primera aproximación de y1, se obtiene con el método de Euler simple: 
 [ ] 9377223.61101.010 5.11
001
=+−+=
′+=
y
yhyy
 
Con este valor calculamos y1, con la fórmula de Euler mejorado 
 [ ] 60517.72)10()93772.6(
2
1.0
10 5,15,11 =+−−+≈y 
Repetimos la sustitución unas veces más, 
 [ ] 47020.72)10()60517.7(
2
1.0
10 5,15,11 =+−−+≈y 
 [ ] 49799.72)10()47020.7(
2
1.0
10 5,15,11 =+−−+≈y 
 [ ]=+−−+≈ 2)10()49799.7(
2
1.0
10 5,15,11y 
 
Método de Euler modificado 
La figura ilustra una modificación simple del método de Euler. Este método llamado Euler modificado, 
usa el método de Euler para predecir un valor de y en el punto medio del intervalo: 
 ),(
22
1 iiii yxf
h
yy +=+ 
Entonces este valor predecido se usa en la aproximación de la pendiente en el punto medio: 
 ),(
2
1
2
1
2
1 +++ =′ iii yxfy 
lo cual, se supone, representa una aproximación válida de la pendiente promedio en el intervalo 
completo. Esta pendiente se usa para extrapolar linealmente de xi a xi+1 usando el método de Euler 
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 ),(
2
1
2
11 +++ += iiii yxhfyy 
Nótese que debido a que yi+1 no está en ambos lados, no se puede aplicar el método iterativamente para 
mejorar la solución. 
 
 
Métodos de Runge-Kutta 
Los métodos de Runge-Kutta tienen la exactitud del esquema de la serie de Taylor sin necesitar del 
cálculo de derivadas superiores. Existen muchas variacionespero todas ellas se pueden ajustar a la 
forma general de la ecuación: 
 hhyxyy iiii ),,(1 φ+=+ 
A ),,( hyx iiφ se le llama función de incremento y puede interpretarse como el promedio de la pendiente 
sobre el intervalo. La función de incrementoφ se puede escribir en la forma general como 
 nnkakaka +++= ...2211φ 
Donde las a son constantes y las k 
 
)...,(
............................................................
),(
),(
),(
11,122,111,11
22211123
11112
1
hkqhkqhkqyhpxfk
hkqhkqyhpxfk
hkqyhpxfk
yxfk
nnnnninin
ii
ii
ii
−−−−−− +++++=
+++=
++=
=
 
Obsérvese que las k son relaciones recurrentes. Esto es, k1 aparece en la ecuación de k2, que aparece 
en la ecuación de k3 , etc. Esta recurrencia hace a los métodos RK eficientes para su cálculo en 
computadora. 
 
Obtención de los coeficientes de los métodos de seg undo orden de Runge-Kutta 
La versión de segundo orden de la ecuación general de Runge-Kutta es: 
xn xn+1 
yn+1 yn 
pendiente=f(xn+1,,yn+1) 
h 
xi+1 
h 
xi 
h/2 h/2 
 yi+1 
 yi 
Pendiente= 
f(xi+h/2,y’i+1/2) 
Método de Euler mejorado Método de Euler modificado 
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 hkakayy ii )( 22111 ++=+ (1), 
Con ),(1 ii yxfk = y ),( 11112 hkqyhpxfk ii ++= 
Debemos determinar los valores de a1, a2 , p1 y q11. Para hacerlo, recuérdese que la serie de Taylor de 
segundo orden para yi+1 en términos de yi y f (xi,yi) se escribe como 
 
2
),(),(
2
1
h
yxfhyxfyy iiiiii ′++=+ 
),( ii yxf ′ debe determinarse derivando con la regla de la cadena dx
dy
y
f
x
f
yxf ii ∂
∂+
∂
∂=′ ),( , 
sustituyendo en la anterior 
 
2
),(
2
1
h
dx
dy
y
f
x
f
hyxfyy iiii 





∂
∂+
∂
∂++=+ (2) 
La estrategia básica subyacente en los métodos de Runge-Kutta es el uso de manipulaciones 
algebraicas para encontrar los valores de a1, a2, p1 y q11 y hacer la ecuación (1) equivalente a la (2). 
Primero se usa la expansión de la serie de Taylor de la ecuación ),( 11112 hkqyhpxfk ii ++= . La 
serie de Taylor de una función de dos variables se define como: 
 ...),(),( +
∂
∂+
∂
∂+=++
y
g
s
x
g
ryxgsyrxg 
entonces, )(),(),( 2111111112 hOy
f
hkq
x
f
hpyxfhkqyhpxfk ii +∂
∂+
∂
∂+=++= 
Esta ecuación se puede sustituir junto con la ecuación de k1, en la ecuación (1) para obtener 
)(),(),(),( 32112
2
12211 hOy
f
hyxfqa
x
f
hpayxhfayxhfayy iiiiiiii +∂
∂+
∂
∂+++=+ 
o, reordenando términos 
 [ ] )(),(),( 3211212211 hOhy
f
yxfqa
x
f
pahyxfaayy iiiiii +





∂
∂+
∂
∂+++=+ (3) 
Ahora, comparando términos semejantes en las ecuaciones (2) y (3), se determina que para que las dos 
ecuaciones sean equivalentes, se debe cumplir lo siguiente: 
 
2
1
2
1
1
112
12
21
=
=
=+
qa
pa
aa
 (3) 
Estas tres ecuaciones simultáneas contienen las cuatro constantes incógnitas. Debido a que existe una 
incógnita más que el número de ecuaciones, no hay un conjunto único de valores que satisfagan las 
ecuaciones. Sin embargo, adjudicándole un valor a una de las constantes, se pueden determinar las 
otras tres. Por consiguiente, existe una familia de métodos de segundo orden en vez de una sola versión. 
 
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METODO DE RUNGE-KUTTA DE SEGUNDO ORDEN 
La versión de segundo orden es 
 hkakayy ii )( 22111 ++=+ 
donde 
 ),(1 ii yxfk = 
 ),( 11112 hkqyhpxfk ii ++= 
Sabemos que: 
 
2
1
2
1
1
112
12
21
=
=
=+
qa
pa
aa
 
Las ecuaciones se resuelven simultáneamente para: 
 
2
111
21
2
1
1
a
qp
aa
==
−=
 
Ya que se puede escoger una cantidad infinita de valores de a2, existe un número infinito de métodos de 
Runge-Kutta de segundo orden. Cada versión llevaría exactamente a los mismos resultados si la 
solución de la ecuación diferencial ordinaria es cuadrática, lineal o constante. Sin embargo, llevan a 
resultados diferentes cuando la solución es más complicada. 
Se muestran tres de las versiones más comúnmente usadas: 
 
a) Si se considera que a2 = ½ entonces las ecuaciones se resuelven para a1 = ½ y 
p1 = q11 = 1. 
Estos parámetros generan 
 hkkyy ii )( 22
1
12
1
1 ++=+ 
 ),(1 ii yxfk = 
 ),( 12 hkyhxfk ii ++= 
Obsérvese que k1 es la pendiente al principio del intervalo y k2 es la pendiente al final del intervalo. Por 
consiguiente, este segundo método de Runge-Kutta es realmente el método de Euler mejorado . 
 
b) Si se supone que a2 = 1, entonces a1 = 0, p1 = q11 = ½, y nos queda 
 21 hkyy ii +=+ 
Con 
 ),(1 ii yxfk = 
 ),( 12
1
2
1
2 hkyhxfk ii ++= 
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Este es el método de Euler modificado 
 
MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE TERCER ORDEN 
Se puede llevar a cabo una derivación análoga a la del método de segundo orden, para n = 3. El 
resultado de esta derivación es de seis ecuaciones con ocho incógnitas, por lo tanto, se deben 
especificar a priori los valores de dos de las incógnitas para determinar los parámetros restantes. Una 
versión común que resulta es 
 hkkkyy ii 


 +++=+ )4(6
1
3211 
En la cual, 
 
)2,(
),(
),(
213
12
1
2
1
2
1
hkhkyhxfk
hkyhxfk
yxfk
ii
ii
ii
+−+=
++=
=
 
 
Ejemplo: 
Resuelva 1con 2)0( , 5.04 8.0 ==−= hyye
dx
dy x 
 
Usando las ecuaciones 
184864924.5 
))217298.4)(5.0(2)3(5.0,5.0()2,(
217298.4 
)5.3(5.04)5.1,5.0(),(
3)2(5.04)2,0(),(),(
00213
)5.0(8.0
0012
)0(8.0
001
)5.3,5.0(
2
1
2
1
=
=+−+=+−+=
=
=−++=++=
=−====
==
yxfhkhkyhxfk
eyxfhkyhxfk
efyxfyxfk
ii
ii
ii
f
 
 
Sustituyendo estos resultados en la ecuación 
hkkkyy ii 


 +++=+ )4(6
1
3211 
175676681.61)184864924.5)21729879.4(43(
6
1
2)0.1( =


 +++=y 
 
MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE CUARTO ORDEN 
Los métodos de Runge-Kutta más populares son los de cuarto orden. Como sucede con los métodos de 
segundo orden, existe un número infinito de versiones. El siguiente algunas veces se llama método 
clásico de Runge-Kutta de cuarto orden. 
Cálculo Numérico – Programación Aplicada 2009 
 
 
 
Ing. Adriana Apaza – JTP Cálculo Numérico 
12 
 hkkkkyy ii 


 ++++=+ )22(6
1
43211 
 
),(
),(
),(
),(
34
23
12
1
2
1
2
1
2
1
2
1
hkyhxfk
hkyhxfk
hkyhxfk
yxfk
ii
ii
ii
ii
++=
++=
++=
=
 
 
 
 
BIBLIOGRAFÍA 
• Chapra Steven C., Canale Raymond P.; MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS. Con 
aplicaciones en computadoras personales, 1996, McGraw – Hill/Interamericana de México. 
• Burden Richard L., Faires J.Douglas; ANÁLISIS NUMÉRICO, 1996, Grupo Editorial 
Iberoamérica. 
• Nakamura Shoichiro, MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS CON SOFTWARE, 1992, Pearson 
Educación 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Numérico – Programación Aplicada 2009 
 
 
 
Ing. Adriana Apaza – JTP Cálculo Numérico 
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