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LIBRO INTRODUCCION A LA ESTATICA Y RESISTENCIA DE MATERIALES - Raffo - Manuel Buenaventura Perez
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CÉSAR M. RAFFO
INGENIERO CIVIL, PROFESOR
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·
Buenos Aires, 1961,1970, 1975,1977,
1980, 1984, 1988, 1995, 2002, 2007
Raffo, César M.
Introducción a la estática y resistencia de materiales
1a ed.11a reimp.-
Buenos Aires: Librería y Editorial Alsina, 2007.
304 p.; 23x15 cm.
ISBN 950-553-019-6
1. Construcción. l. Título
CDD 690
Fecha de catalogación: 25/10/2006
Diseño de tapa:
Pedro Claudia Rodríguez
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ll.S.B.N-1 0: 950-553-019-61
ll.S.B.N-13: 978-950-553-019-9,
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que sea, idéntica o modificada, no autorizada por el Editor, viola
los derechos reservados, inc/uído su uso por por internet o cualquier
otro medio electrónico. Cualquier utilización debe ser previa
mente solicitada
P ROLOGO
El presente libro se propone estudiar desde un punto de vista elemental
11 con finalidad aplicativa, el comportamiento de los cuerpos sólidos someti
dos a la acción de las fuerzas conocidas, en todo lo referente al equilibrio
estático o reposo, de los mismos. El problema comprende dos partes neta
mente distintas. Una, 'referente al equilibrio general de un cuerpo bajo la
acción de fuerzas solicitantes, es tema que corresponde a la Estática Gráfica,
según una denominaciún frecuentemente usada. La otra parte que introduce
las fuerzas desarrolladas en el interior del sólido y las inevitables deforma
ciones de éste, originadas a consecuencia de las fuerzas aplicadas, estudia el
equilibrio entre ambos sistemas de fuerzas, es la Resistencia de Materiales.
Su objeto es el análisis 'de las condiciones necesarias y suficientes a las cuales
debe satisfacer un conjunto de fuerzas actuantes sobre un sólido, supuesto
rígido, para mantenerlo inmóvil respecto de otro cuerpo, que generalmente
es el suelo. Como primer objeto de la Estática se presenta la elección de los
elementos básicos sobre los cuales aquélla gravita. En esta obra se han esco
gido dos elementos "específicos", irreductibles uno al otro: fuerza y" cupla, ·
asociándolos a sus respectivos efectos cinemáticos: traslación y rotación.
Introduciendo a continuación las cuatro operaciones invariantes elementale!J,
enunciadas en el Capitulo Il, que se desempeñan como postulados o princi
pios de la Estática; ésta podrá desarrollarse en un sistema deductivo, según
procedimientos puramente gráficos; o por vía analítica, si se proyectan fuer
zas y cuplas sobre ejes orientados.
Desde un principio separamos la Estática del punto material que 'implica
fuerzas copuntuales, de la Estática de cuerpos sólidos que origina fuerzas
no concun·entes. En la solución de este último problema (Cap. Ill) se ha
utilizado exclusivamente el polígono funicular o polígono de conexión, dese
chando otros polígonos tendientes al mismo fin: de las sucesivas resultantes
(caso particular de aquél); haz de conexión, etc., por ser el funicular fun
damento de múltiples problemas: determinación de momentos estáticos y de
inercia, construcción de elásticas y apreciación de flechas en las vigas rectas
a través de la carga ficticia, cálculo gráfico de integrales definidas, etc.
En razón de su carácter introductivo, nos limitamos a sistemas copla
nares de fuerzas, presentes en la ?nayoría de los elementos constructivos y
por la m·isma razón al estudiar el equilibrio de vigas, problema que ·prepara,
a la Resistencia de Materiales, utilizamos en su solució� (Cap. IX) el mé
todo elemental casi intuitivo y a menudo rápido y eficaz, fundado en el con
cepto de reacciones vinculares con p?·eferencia al basado en el principio de
los trabajos virtuales.
El paso de la Estática a la Resistencia de Materiales que se inicia en
el Capítulo XII, exige, como es sabido, en prímer ténnino la sustitución del
sólido ideal (rígido) propio de la Estática, por sólidos reales o sea defor
mables; y en segundo término el conocimiento. de la variación de dimensiones
producidas en un determinado sólido, por acción de fuerzas conocidas. E71
busca de la correlación entre fuerzas y deformaciones, la Resistencia
VIU P R O L O G O
Materiales elemental, acude a ensayos dinámicos de laboratorio. El Capítulo
XIII, detalla el más simple de todos ellos: alargamiento experimentado por
un� barra solicitada a. la tracción y expone además, las importantes conse
cuencias implicadas en dicho ensayo, las cuales determinan postulados o
principios eaJperimentales de la Resistencia de Materiales. Como tales prin
cipios se han revelado insujicientes para elaborar una Resistencia de Ma
teriales sin grandes dificultades analíticas, fue necesario agregar otros prin
cipios suplementarios, destinados a simplificar los cálculos. Son éstos, el
principio de las pequeñas deformaciones y el de superposición de los efectos,
cuya legitimidad se comprueba al verificarse las consecuencias derivadas de
ellos.
El conjunto de todos los principios o hipótesis base de la Resistencia de
Materiales, e '.unciados en su forma más general, se encuentran en el Capí
tulo XIV. Los Capítulos XV y XIX " XXlli, estudian los distintos modos
de resistencias simples. En cada caso, un razonamiento matemático apoyado
en las hipótesis precedentes, unas experimentales, otras· simplificativas, con
ducen a fórmulas sencillas y aproximadas, pero suficientes para 'su aplica
ción a sólidos prismáticos y 'lases de materiales de frecuente utilización.
El Capítulo final expone, además de algunas propiedades complementarias ·
referentes al polígono funicular, el conjunto de problemas genéricamente
denominados de Zeuthen, y su aplicación al arco de tres articulaciones.
Destinada esta obra, en su finalidad didáctica, a los alumnos que inician
el estudio de la Estática y de la Resistencia de Materiales, se ha cuidado en
precisar las modalidades de utilización práctica de las fórmulas, señalando
los límites reales de su aplicación mediante numerosos ejemplos completa
mente desarrollados. La consideración de c1.soq particulares y el análisis
atento de la solución obtenida permite comphnder y asimilar los métodos
generales.
·
Agradezco a la Editorial Alsina, el esmero puesto en la publicación de
este libro.
CÉSAR MARTÍN RAFFO
Buenos Aires, agosto de 1961.
IN DICE
PÁG.
CAPÍTULO l.- ESTRUCTURAS PLANAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . 1
CAPÍTULO II. - OPERACIONES FUNDAMENTALES DE LA
ESTATICA
Representación gráfica de las fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Elementos fundamentales de la estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Sistemas de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... : . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Transformación de sistemas de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Las cuatro operaciones elementales de la Estática . . . . . . . . . . . . . . . 7
Representación analítica de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
CAPÍTULO III. - COMPOSICION GRAFICA DE LAS FUERZAS
Composición de fuerzas concurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Composición de fuerzas no concurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
CAPÍTULO IV.- CONDICIONES GRAFICAS DE EQUILIBRIO
Equilibrio de un sistema de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Interpretación cinemática de los polígonos vectorial y funicular . . 21
Condiciones gráficas de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
CAPÍTULO V. - MOMENTO DE FUERZAS . .CUPLAS
Momento estático de una fuerza . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Momento estático de un sistema defuer;as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Determinación gráfica del momento estático de fuerzas . . . . . . . . . . 28
Cuplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Operaciones cgn las- cuplaii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . ·. . . . . . . 31
CAPÍTULO VI. - COMPOSICION ANALITICA DE FUERZAS
.
Composición de fuerzas concurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Composición de fuerzas no concurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
CAPÍTULO VII. - CONDICIONES ANALITICAS DE EQUILIBRIO
Fuerzas concurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Fuerzas no concurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
CAPÍTULO VIII. - DESCOMPOSICION Y EQUILIBRIO DE
FUERZAS
Descomposición de una fuerza en otras dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Descomposición de un sistema de fuerzas en otras dos . . . . . . . . . . 47
Descomposición de una fuerza en otras tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Reducción de un sistema de fuerzas a una fuerza-cupla . . . . . . . . 51
CAPÍTULO IX. - REACCIONES VINCULARES
Vínculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Reaccioner vinculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Determinacié>n de reacciores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
X I ND I C E
CAPÍTULO X. - BARICENTROS. MOMENTO ESTATICO DE PÁG.
SUPERFICIES
Baricentro de una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Momento estático de·una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Determinación de baricentros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Determinación de momentos estáticos de superficies . . . . . . . . . . . . 66
CAPÍTULO XL- ESFUERZO CORTANTE. MOMENTO FLEXOR
Fuerzas exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ·, . 68
Cargas distribuídas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Definición de un momento flexor y de esfuerzo cortante . . . . . . . . 69
Determinación gráfica del momento flexor y del esfuerzo cortante 70
Determinación analítica del momento flexor y del esfuerzo cortante 72
Relaciones entre carga, esfuerzo cortante y momento flexor. Rela-
ción entre p y Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
CAPÍTULO XII. - FUE lZAS INTERIORES. CLASES DE
RESISTENCIA
Equilibrio estático o externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Fuerzas interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Equilibrio elástico o interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 ·
Estados de tensión simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Clases de resistencia simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
CAPÍTULO XIII. - ENSAYOS DE TRACCION Y DE COMPRESIO_ �-
SIMPLES
Ensayos de tracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • 94
Magnitudes determinadas en el ensayo de tracción . . . . . . . . . . . . . 97
Consecuencias del ensayo de tracció111. . . . . . . . . . . . . ·. . . . . . . . . . . . . 97
Ensayo de compresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. , . . . . . . . . . . . . . 99
Tensión admisible. Coeficiente de seguridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
CAPÍTULO XIV. - HIPOTESIS DE LA RESISTENCIA DE
MATERIALES
Ley de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Principio de las pequeñas deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Principio de superposición de los efectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Principio de Bernoulli o de Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Cómo abordar los problemas de Resistencia de Materiales . . . . . . . . 102
Los dos problemas de la Resistencia de Materiales . . . . . . . . . . . . . 102
CAPÍTULO XV. - TRACCION Y COMPRESION SIMPLES
Ecuaciones fun.damentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Problemas usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · 104
Influencia del peso propio en la tracción . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . 106
Influencia del peso propio en la compresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Sólidos de igual resistencia a tracción o compresión . . . . . . . . . . . . 108
Influencia de la temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
CAPÍTULO XVI. - S ISTEMAS RETICULADOS PLANOS
Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Reticulados triangulares o simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Reticulados no triangulares o compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Reticulados estrictamente indeformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Hipótesis de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Métodos de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
CAPÍTULO XVII. - LA PRESION DEL VIENTO
Presión normal del viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Presión del viento sobre superficies inclinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
I N D I C E XI
CAPÍTULO XVIII. - MOMENTOS DE INERCIA DE SUPERFICIES PÁG.
PLANAS
Definiciones . . . . . . . . . . . · .. . . . . . . . . . . . · . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Radio de giro o de inercia . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , 136
Propiedad aditiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Determinación gráfica del momento de inercia axil .. . . . . . . . . . . . 138
Relación entre J., J. y Jo ................. : . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Desplazamiento paralelo de los ejes de referencia . . . . . . . . . . . . . . . .
Momentos de inercia centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
141
142
Rotación de los ejes de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejes. princi.I?al�s _de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . · . . . . . Secciones Simetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142
144
145
Módulo de resistencia . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Determinación analítica de momen,tos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . .
Elipse de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · . . . . . . .
147
156
Construcción de la elipse central de inercia . . . . . . . . . . . . . . . ... . . 157
CAPÍTULO XIX. - FLEXJON RECTA
Flexión recta simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Ecuación de estabilidad · . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Cálculo de la sección resistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Veri�icac�ón de _un. perfil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Perfil mas economico . . . .. . . . . . .. . . . . , . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 172 174
Deformación de las vigas . . . . . . . . . . . t, . • . • • • • • . • . . . . . • • . . . . . . . 176
Dimensionamiento de una viga a partir de la flecha . . . . . . . . . . . . . 183
CAPÍTULO XX. - CORTE
·Esfuerzos tangenciales . ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Determinación de las tensiones· de corte , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Sólidos de igual resistencia a la flexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Vigas compuestas de igual resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . ; . . . . . . .
Remaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
197
198 �
Tensiones admisibles en las remachaduras . � . . . ... . . . . . . . . . . . . . . 199
Cálculo de las remachaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
CAPÍTULO XXI. - FLEXION OBLICUA
Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . · . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Determinación de las tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Determinación de la sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Posición d.el eje neutro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . 208
CAPíTuLO xxn.- PANDEO
Hipótesis en el pandeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · . . . . . . . . . 212
Carga crítica de pandeo : fórmula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Grad'o de esbeltez. Tensión crítica de pandeo . . : . . . . . . . . . . . . . . . .
Límite de validez de la fórmula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
214
215
Coeficiente de seguridad al pandeo . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
Influencia de las condiciones en los extremos. Coeficiente de em-
216
potramiento o de sustentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Fórmulas de Tetmajer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
El Inétodo w • • . • • . • • • • • .• • • . • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • . • • ; • • . • • • • • • • • 220
Fórmula de Ostenfeld. Coeficiente de perfil . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fórmula de Rankine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
223
225
Perfiles compuestos . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
CAPÍTULO XXIII. - TORSION
Torsión circular recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
Módulo de elasticidad transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ecuación de deformación · . ' ;- ':-; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
236
236
Ecuación de resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . � . . . . . . · . . . . . . . . . . . . . . · . . 237
Sección circular hueca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Cálculo de árboles de transmisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · 239
m I N D I C E
PÁG.
CAPÍTULO XXIV.- FLEXION COMPUESTA.
Flexión compuesta Tecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Determinación de la tensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Determinación del eje neutro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • 246
Piezas trabajando exclusivamente a compresión . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Flexión compuesta oblicua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
CAPÍTULO XXV.- COMPLEMENTOS
Propiedades del poligono funicular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Construcción de poligonos funiculares según condiciones prefijadas 266
Arco con tres articulaciones · . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Pórticos • • • • . . . . . . . . . • . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Complemento de la obra
INTRODUCCION A LA ESTATICA
y
RESISTE NCIA DE MATERIALES
rABLAS .
N.0 de Tabla Pág.
1. Valores medios de E (en t/cm2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
2. Tensiones admisibl.es (en kg/cm2) .......... : ..... . .......... 272
3. Presión del viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3
4. Perfiles normales J: . . . . . . . . . . . : ........................... 27 4
5. Perfiles peiner J: de alas anchas y paralelas ............... 276
6. Perfiles normales C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 8
7. Perfiles normales L de alas iguales ........................ 279
8. Columnas huecas de fundición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
9. Perfiles J: con platabandas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
10. Diámetro de remaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
11. Coeficiente de pandeo c.> (acero A. 37) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
12. Coeficiente de pandeo c.> (acero A. 52) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
13. Coeficiente de pandeo c.> para fundi�ión ....................... 287
14. Coeficiente de pandeo para maderas coníferas . .. . . .. . . . . . . . . . . 288
15. Coeficiente de pandeo para maderas semiduras . . . . . . . . . . . . . . . . 288
16. Coeficientes de perfil k .para barras comprimidas . . . . . . . . . . . . . . 289
17. Columnas formadas con dos perfiles normales J: . . . . . . . . . . . . . 290
18. Columnas formadas con dos perfiles normales C . . . . . . . . . . . . . 290
19. Vigas de sección rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
r,APÍTULO I
ESTRUCTURAS PLANAS
Los elementos estructurales utilizados en la técnica constructiva
pueden agruparse en dos formas tipo :
1) formas lineales o piezas prismáticas o brevemente barras (viga,
columna ) , constituidas por sólidos de forma cilíndrica o prismática cu
yas dimensiones transversales son pequeñas en comparación con su lon
gitud.
2 ) •for'fnas superficiales (placas, bóvedas) , pertenecen a éstas, los
s.ólidos cuyo espesor es desprecia
ble con relación a sus restantes di
mensiones.
Sólo nos ocuparemos de piezas
prismáticas.
Geométricamente u n a b a r r a
puede considerarse d e f i n i d a por
una figura plana S (fig. 1) con
eje de .simetría yy, la cual se tras
lada a lo largo de una línea plana
AB, en posición siempre perpen
dicular a ésta y con su centro d e
gravedad G sobre AB.
La figura . plana se denomina
sección transversal o perfil de la
batra ; la línea AB (recta o cur- 1 .
va) lugar de los centros de grave-
dad del perfil, eje de La barra o Fig. 1
eje Longitudinal. El plano determi-
nado por y, con AB, es el plano de simetría de .la pieza y en él se en
cuentran todas las fuerzas que gravitan sobre la pieza. Estas fuerzas
se llaman caroas.
Por consiguiente nada impide asimilar toda barra a una chapa
plana infinitamente delgada, materialización del plano de simetría de
la barra.
El perfil de la barra puede cambiar de forma o de tamaño de
modo continuo·· y ser lleno o con hu,ecos interiores. El radio de curva
tura del eje AB debe s"er varias veces mayor que la dimensión trans
versal de la barra medida en la dirección del eje de simetría y.
2 RAFFO, C. M. - ESTAT. Y RESISTENCIA DE MA TERIALES
Toda línea paralela al eje longitudinal AB se llama fibra, siendo
el eje la fibra media. La representación gráfica de una barra se hará
trazando su eje.
La precedente definición de barra, debe corresponder, en Resistencia de Materiales, a la contextura material de la pieza. Si se trata de
metales laminados, la fibra media debe ser paralela al sentido del la
minado o al plano de clivaje. En la madera, es necesario que las fibras
materiales sean perpendiculares al perfil S.
En cuanto a las formas asignadas a los perfiles, la práctica co
rriente las limita a un número reducido de figuras planas que depen
den de la naturaleza del material utilizado : acero laminado, fundición,
madera, hormigón y aleaciones de aluminio.
Tratándm¡e de aceros laminados, razones estáticas y técnicas han
impuesto determinados perfiles fundamentales, que se conocen con la
denominación de perfiles normales (fig. 2).
h
.Y
b)
1!1
.Y
e)
Fig. 2
!/
ti)
a ) Perfil doble T. :- Ccnsta de alma y dos alas. Presenta dos ejes
de simetría x e y. Queda identificado por su altura h (medida en cen
tímetros) : es el número del perfil. La longitud del ala, espesor de éstas
y del alma, así como las diversas constantes mecánicas que lo definen,
figuran en tablas especiales. Para indicar un perfil normal doble T de
20 cm de altura se escribe PNT 20.
b) Perfil doble T de alas anchas. - Differding, Grey, Peine. Tam
bién identificados por su altura.
e) Perfil U. - Tiene un solo eje xx de simetría. También en este
perfil el número corresponde a su altura h (en centímetros ) .
d ) Perfil ángulo o hierro ángulo. - Formado por dos alas en án
gulo recto, cuyas longitudes a y b pueden ser iguales o distintas. Si son
desiguales, sus longitudes se presentan en la relación 1 : 1 1/2 y 1:2. La
notación usada para identificarlos consiste en escribir las dimensiones
en milímetros de ambas alas separadas por un punto y debajo de ellas
ESTRUCTURAS PLANAS 3
Reparada por una raya horizontal se escribe el espesor común de las
100 . 150 alas. Así :
12
e) Perfil de simple T. - En el comercio se encuentran dos for
mas : T de ala ancha en la relación h/b = % y T de ala corta según
h' razón h/b = 111 (perfiles normales) . Se identifican por sus respec
tivas medidas h y b, expresadas en milímetros, con la escritura h . b.
En hormigón armado los perfiles más frecuentes son los indicados
on la fig. 3.
TI L.
a) h) e) d) e)
Fig. 3 r
Para piezas de madera los perfiles son el rectangular y el cuadrado.
Un conjunto resistente de barras enlazádas se denomina estructura
lineal. Si todas las piezas que la forman tienen un plano de simetría
común y en él se encuentran las fuerzas incidentes en la estructura,
ésta se denomina estructura lineal plana.
Un conjunto de piezas no lineales orígina estructuras superfi
ciales.
En lo que sigue sólo se estudiarán estructuras planas. La Estática
de este tipo de estructuras se llama Estática de los sistemas planos,
que iniciamos en el capítulo siguiente.
CAPÍTULO li
OPERACIONES FUNDAMENTALES DE LA ESTATICA
L 'Representación gráfica de las -fuerzas. - Toda fuerza queda
determinada cuando se conozca (fig. 4) : \' a) su recta de acción o direct:J¡iz: a.
EF= lt !cm
Fig. 4
b) su magnitud o intensidad AB, que
tL se aprecia en kilogramos (kg) o • tonela
das (t) .
e) su sentido, p u e s t o en evidencia
por una flecha.
d) su punto de aplicación : A.
Para representar gráficamente una
fuerza es necesario utilizar una 'escala de
fuerzas, abreviadamente expresada con la
escritura : EF. Se entiend_e por escala de
fuerzas una rélación entre la intensidad
P de la fuerza (kg ó t) y una longitud (cm) que sirve para represen
tarla en el papel. Así :
EF =
500 kg
1 cm
significa que cada centímetro del dibujo representa 500 kg. Conviene,
para facilitar los cálculos, poner en el denominador la unidad.
Supongamos que en la escala de fuerzas indicada, se quiera repre
sentar una fuerza de P = 1300 kg. Tendrá que ser:
de donde
x cm · =
500 kg
1 cm
1300 kg
x cm
-1300 kg . 1 cm
. = 2,6 cm : 500 kg
que es el segmento rept:e�nta.tivo de la fuerza dada.
Inversamente -:r con la misma escala, para determinar la intensi
dad P de f�erza c�rrespondiente a un segmento del dibujo igual a 2,5
cm, escribírl¡!mos : ·
' 500 kg p kg
=
1 cm 2,5 cm
OPERACIONES FUNDAMENT ALES DE LA ESTATICA 5
de donde :
p kg =
500 kg 2,5 cm
= 1250 kg .
1 cm
2. Elementos fundamentales de la estática. - Si una fuerza actúa
110bre un cuerpo rígido M, puede manifestar su acción mediante tres
efectos :
a) un desplazamiento del cuerpo, siempre que éste se encuentre en
reposo y :!lO trabado en su movimiento.
b) un cambio de velocidad, si M ya está en movimiento.
e) una deformación del cuerpo.
El primer efecto, que hace referencia a la propiedad cinemática de
toda fuerza de producir desplazamientos, es tema propio de la Está
tica.
El segundo, que implica vincular fuerzas y aceleraciones (variacio-.
nes de velocidad) , pertenece a la Dinámica.
Por último el e), que estable
ce relaciones entre fuerzas y de
formaciones, es estudiado por la
Resistencia de materiales.
Sea una chapa plana e infi
nitamente delgada materializando
así cualquier superficie plana (fig.
5a) . Supongamos que está someti- a)
da a la acción de una fuerza P de
su plano, aplicada en A. Si la cha- Fig. 5
pa no se encuentra impedida en su
movim�.:nto, la fuerza P origina una traslación de la chapa en el sen
tido y dirección de la fuerza actuante.
Por tanto el efecto cinemático de una fuerza es produci1· una tras
lación.
En cambio si la chapa está empernada en O (fig. 5b) y sometida
a la acción conj'unta de dos fuerzas de igual intensidad P, opuestas y
actuando en dos rectas de acción paralelas, b, e, la chapa e gira en
torno de su único punto fijo O, en el sentido de la flecha curvilínea.
El conjun,' de dos fuerzas como las indicadas, se denomina cupla
o par de fuerzas. Por tanto el efecto cinemático de una cupla es pro
·ducir una rotación.
La rotación se mide por el momento del par que es el producto d(
la intensidad común P, por la distancia a entre las líneas de acción b,
e; distancia denominada brazo de palanca de la cupla. Este producto
está afectado del signo más o del menos, según que la rotación se rea
lice en el sentido del movimiento de las agujas del reloj o en sentido
contrario.
Su unidad de medida en las aplicaciones técnicas es el kilográme
. tro (kgm) o tonelámetro (tm) .
La Estática se propone contrarrestar los efectos cinemáticos : tras
lación y rotación, que las fuerzas y cuplas originan con el propósito de
alcanzar un estado de reposo o sea de equilibrio estático.
6 RAFFO, C. M. - ESTA1'. Y Jü)>:>1.:3,'ENC!tl DE MA TERIALES
Como todos los desplazamientos planos sie.mpre se reducen a tras
laciones o rotaciones, la Estática se construye partiendo de fuerz(J;S y
de .;uplas. Éstos son los únicos elementos que necesita, como conceptos
de base ; son, además, irreductibles en el sentido que no pueden llevarse
a otros más simples .
3. Sistemas de fuer;¡;as. - Aparte la escala de fuerzas, en la Es
tática se necesita una escala de dibujo o escala lineal, para representar
el esquema acotado de la estructura, que fija las posiciones relativas /de
las fuerzas actuantes, entre sí y con aquélla. Lo denominaremos esquema
posicional o plano de posición.
Una escala lineal, abreviadamente EL, expresa la relación entre las
magnitudes lineales reales de una estructura (generalmente medidas en
metros) y la· longitud que la representa en el dibujo (cm) . Así :
2 m
1 cm
EL =
significa que 1 cm del dibujo representa 2 m de la magnitud real. Tam
bi'�n en el caso de la escala lineal, conviene eolocar en el denominador
la unidad de longitud (centímetro ) .
l
Fig. 6
éL=� !cm
r
k
P,
a
EL= tr.m !cm
Fig. 7
La_ fig. 6 es el esquema posicional según escala. correspondiente a
un soporte sometido a un sistema de fuerzas concurrentes, en O, y co
planareso
Análogamente, el esquema posicional de la figo 7, representa una
armadura mansarda ABC, sobre la cual inciden las fuerzas P11 o o o' P5,
que formanun sistema de fuerzas no concurrentes, coplanareso
OPERACIONES FUNDAMENTALES DE LA ESTATICA 7
Por último en la fig. 8 se tiene el esquema posicional de una viga
solicitada por fuerzas verticales Pl> P2, P3 que forman un sistema de
fuer :as paralelas.
4. Transformación de sistemas de fuerzas. - Transformar un
sistema de fuerzas quiere decir sustituirlo por otro sistema que pro
duzca el mismo efecto cinemática que e) primero. Se dice entonces que
los dos sistemas son estáticamente equivalentes.
Generalmente la transformación de un sistema de fuerzas se pro
pone encontrar un sistema más sencillo que el primitivo ; en otros casos
se trata de obtener sistemas equivalentes que cumplan condiciones par
ticulares prefijadas.
5. Las cuatro operaciones fundamentales de la Estática. - La ex
periencia asegura que las cuatro operaciones siguientes permiten pasar
de un sistema de fuerzas, a otro, estáticamente equivalente.
lf!. operación: Traslación de una fuerza.
No se altera el esiuerzo cinemático producido por una fuerza
a,plicada en un punto de un sólido rígido, trasladando su punto
de aplicación a otTo punto cualquiera de su Tecta de acción.
Por ejemplo, en una barra (fig. 9 ) supuesta rígida, y sometida a
la acción dt la fuerza P aplicada en A, es indiferente suponerla apli
cada en A1, siempre que este punto pertenezca a la línea de acción de P.
P,
A
t a,
1 1
az aJ
l
EL=� tcm
Fi�. 8
w�R.
A B
..::::..
1 a, p
A
p
Fig. 9
La operación deja de ser válida, al suponer que la barra es defor
mable por la presencia de la f1:1.erza P; pues si ésta actúa en A la barra
se deforma en toda su longitud, mientras que aplicada en A1 sólo expe
rimenta deformación, el trozo de barra comprendido entre A1 y B.
En la Estática de los cuerpos rígidos, que estamós considerando,
será pues indif�::rente la posición del punto de aplicación de cada fuerza
pudiendo prescindirse de él y por tanto las fuerzas quedan identificadas
conociendo tres parámetros :
1 - Recta de acción.
2- Sentido.
3 - Intensidad.
8 RAFFO, C. M. - E'sTAT. Y RESISTENCIA DE MA TERIALES
2f! operación: Sustitución de dos fuerzas por una.
No se altera el efecto cinetnático de dos fuerzas concurrentes
al sustituirlas por una sola, según la diagonal del pamlelograma
construído con ellas.
Esta operación se conoce también con el nombre de principio del
paralelogramo.
Sean las fuerzas P 1 y P 2 actuando en las líneas de acción 1 y 2
sobre la chapa C (fig. lOa) . En virtud de la primera operación, pode
mos aplicar las dos fuerzas al punto A, intersección de 1 y 2.
e) b)
-e· �-�--e - • o .,., e / ' ' / 2 A
Fig. 10
d)
Elegido un punto O (fig. lOb) del plano de dibuJ'o, se traza a par
tir del origen O un vector representativo de la fuerza P 1 según la escala
de fuerzas adoptada ; y también por O otro vector que representa la
fuerza P2• Completado el paralelograma como indica la figura, el vec
tor representado por la diagonal OC, en el sentido de la flecha, apre
ciada su magnitud según la escala de fuerzas, representa la fuerza única
R que sustituye a las dos fuerzas Ph P2• La línea de acción de R es
la paralela a OC pasante por el f:Jnto A del esquema posicional (fig.
lOa) . ·
Como ya se ha dicho, la experiencia comprueba que los sistemas de
fuerias a) y e) de fig. 10 son estt.iticamente equivalentes. La fig. lOb
se denomina paralelogramo de las fuerzas.
1En la práctica la construcción de paralelogramo se limita al trazado
de uno solo de los dos triángulos que aparecen en la fig. lOb. Así re
sulta el diagrama de fig. lOd, denominado polígono vectorial de las
fuerzas P1 y P2, o brevemente vectorial.
El punto O es el origen del vectorial; C su extremo ; la fuerza R
se denomina resultante de las fuerzas P1, P2; éstas son las componentes
de ·R según las direcciones 1 y· 2.
El vectorial de la fig. lOd se denomina vectoria! abierto porque los
sentidos de las componentes . se dirigen al extremo C del vector de la
resultante R.
La operación descripta se denomina composición de fuerzas o deter
minación 4e la reBultante y es aplicable a toda clase de cuerpos : sólidos
rigidos o deformables, líquidos y gases.
·
Oi'E'RACIONES f'UNDAMEN1'ALES DE LA E$TA TICA 9
En resumen : el vectorial trazado, según la escala de fuerzas, a par
tir de cualquier punto O del plano, sirve para obtener : la dirección s de
1" resultante R, su intensidad (segmento OC) y su sentido que se dirige
clt•l origen O hacia el extremo C. Para ubicar la resultante R en su ver
clllll ra posición es necesario acudir al esquema posicional, trazañdo por
una paralela a OC que fija la recta de acción de R, siendo su sentido
cl,del vector OC.
La operación inversa de la composición se denomina descomposi
rión de fum·zas o determinación de componentes y su enunciado es el
Kiguiente : una fuerza es estáticamente equivalente a otras dos fuerzas
11cgún direcciones previamente fijadas.
Sean : P la fuerza; 1 y 2 las direcciones fijadas a las dos fuerzas
státicamente equivalentes de la P (fig. lla) . Trazado por O (fig. llb)
a) b) EL=am (jf; e) !cm éF =Tcííl
1
o �
(j)P-
p P,
Fig. 11
el vector· OB representativo dé lli. fuerza P, según escala de fuerzas, ·
por el extremo B la recta BC paralela a una de las direcciones fijadas,
digamos a la 1, y por el origen O una paralela a la otra ·dirección 2,
se obtien(. el triángulo OBC. Orientando los segmentos OC y CB como
indica la fig. llb, resulta un poiígono vectorial abierto análogo al· de
la fig. lOd.
·Los vectores P1 y P2 señalan el sentido y la mag�itud, ésta apre
ciada en la correspondiente escala de fuerzas, de las dos fuerzas equi
'V.alentes a la P, que estarán aplicadas en un punto A de la recta de .
acción de P. Los sistemas e) de fig. 11 son pues estáticamente equiva
lentes.
En consecuencia :
No se altera el efecto cinemática de una fuerza al sustitu·irlo
por dos fuerzas de direcciones arbitrarias, pero concurrentes
co,r. la lí11Jea de acción de aquélla.
9f!. operación : Introducción o supresión de bifuerzas.
Supuesto que en el sistema de fuerzas de la fig. 12, las fuerzas
P1 y P8 son iguales y opuestas, la 21!- operación de la Estática asegura
que su resultante es nula ; luego podrán suprimirse. Los sistemas a) y
b) de fig. 12 son pues estáticamente equivalentes.
10 RAFFO, C. M. - ESTA T. Y RESISTENCIA DE MA TERIALES
=
Fig. 12
En consecuencia :
Inv-ersamente, si en
el sistema de fig. 12b :¡e
introducen d o s fuerzas
iguales y opuestas ac
tqando en una misma rec
ta de acción , el nuevo
sistema sigue s i e n d o
equivalente ,al primero.
Se denÓmina bifuer
za al con j u nto de dos
fuerzas de igual intensi
dad y sentidos opuestos
actuando en una misma
recta de acción.
No se altem el efecto cinemática de las fuerzas existentes en
un sólido rígido, introduciendo o suprimiendo bifuerzas.
Se constata experimentalmente que esta operación sólo puede. apli
carse a los cuerpos rígidos. Pierde su validez en los cuerpos deforma
bies, por ejemplo en un elástico, en la goma, etc.
4t:L operación: Desplazamiento paralelo de una fuerza.
Sea una fuerza P actuando en cualquier dirección, por ejemplo se
gún la ver t i c a l por A (fig.
13a) . Si su recta de acción se '
d e s p l a z a paralelamente a sí
d)
misma hasta el punto B del
cuerpo e, el sistema obtenido
( fig. 13b) no es equivalente
al a) . Pero procedamos en la
siguiente, forma; manteniendo
la fuerza P en su posición da
da, apliquemos en el punto B
una bifuerza (fig. 13c), el sis
tema resultante, por la 3� ope
ración, es equivalente al a) o
El nuevo sistema de fuer
zas (fig. 13c) está constituído
por una fuerza P, en B, diri
gida hacia abajo y por una
cupla (fuerzas P en A y P en
cp= =Gf p p
Fig. 13
B, ésta hacia arriba) de momento M=- Pa (fig. 13d) que es equi
valente al a ) .
Por consiguiente :
No se altera el efecto cinemática de una fuerza P, desplazán
dola paralelamente a su línea deacción, a la distancia a, siem
pre que se agregue uM cupla de momento Pa.
La inversa de esta operación se
_
estudiará en página 32.
OPERACIONES FUNDAMENTALES DE LA ESTA TICA 11
Las cuatro operaciones establecidas permiten pasar, por aplicacio
nes sucesivas, de un sistéma de fuerzas a otro sistema estáticamente
quivalente, vale decir· de igual efecto cinemática qÚe el primero. -El
problema primor
.
dial de la Estática consiste en la aplicación metódica
de aquellas operaciones elementales, hasta obtener un sistema de fuer
zas, conforme a los propósitos que se tengan en vista.
!J 6. Representación anaUtica de f u euas. - El
procedimiento más sencillo
es referir la fuerza P a un
par de ejes ortogonales xOy
(fig. 14) . P. �����===��� 1 1 ----- p .¡ 1
1 lb 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
Analíticamente la fuer
za P, supuesta aplicada en
O, se determina por su in
tensidad P y el áng u l o a
que forma la dirección posi
tiva del .eje x con la fuer
za. Proyectada é s ta sobre
los e j e s, resultan las dos
componentes ortogonales de
P:
l fr 1 l ,q. ��_.��--�--���--_._x
-+- P., = P cos a
cuyo signo depende del ángulo a.
a
Fig. 14
± Pu = P sen a ;
Si la fuerza está aplicada en A, será necesario fijar las coorde
nadas a, b de este punto.
Inversamente : conocida las dos componentes ortogonales Pz y P11,
de una fuerza P, ésta queda' determinada en ppsición, sentido y mag
nitud por las igualdades :
PJI
tg a = -+- P z
P = yP/ + Pl.
De todo . lo anterior se deduce que las operaciones a 'realizar con las
fuerzas, podrán efectuarse gráficamente mediante escalas adecuad1¡1s de
fuerzas o analíticamente con ·ayuda de un par de ejes coordenados, ·ele
gido según convenga. Se aplicará uno u otro procedimiento a voluntad;
en muchos casos ambos métodos para controlar los resultados.
EJEMPLO l. - Determinar la resultante de las fuerzas :', y P, (fig. 15) ,
gráfica y analíticamente.
El procedimiento gráfico consiste en la construcción de un polígono yec
torial (fig. 15b) . El vector de origen O extremo C, apreciado en la �a d�
fuerzas, fija la intensidad de R que resulta R = 3,2 t.
Su recta de acción es la paralela por A a la directriz OC j<Íel vectorial
y su sentido el ya indicado.
Para resolver analíticamente el problema, refiramos el vectorial de las
fuerzas P, ; P, (fig. 15c) a un par de ejes ortogonales ¡t;, y cuyo origen con
venimos en hacerlo coincidir con el origen del. vectoriaL
12 RAFFO, C. M. - ESTA T. Y RESiSTENCIA DE MA TERIALES
a)
P,= J,5t
b)
e
o
EF=_!i_ !cm lj
Fig. 15
Proyectemos éste sobre los ejes x e y : { - P1 cos a, ..,.. P. cos a, = Pa
- P1 sen a, + P. sen "" = P,
Sustituyendo valores :
Resultando :
{ - 3,5 cos 30o + 5 cos 70o = P.
- 3,5 sen 300 + 5 sen 700 = P,
{ P� = - 1320 kg
P, = + 2945 kg
como componentes ortogonales de la resultante R.
P=IJOO.'rg
a) b)
EF= J[}[}kg /cm
Fig. 16
e) .!/
!1
/
/
/ X
OPERACIONES FUNDAMENTALES DE LA ESTA TICA 13
1!: 1 ángulo a . vale :
2945 -tg a =
1320
- 2,23
Lu magnitud de R es :
R = y 13202 + 29452 = 3227 kg
E:.JEMPLO 2. - Dada la fuerza P = 1,5 t determinar sus dos comtJOnen
'K ortogonales según la·s direcciones x, y (fig. 16a) .
La solución gráfica está dada en la fig. 16b.
Analíticamente, se proyecta la fuerza P/ (fig. 16c) sobre un par de ejes
Jlll rnlelos a las direcciÓnes ortogonales x e y,' resultando :
P. 1500 cos 40o == 1149 kg ,
P. = 1500 sen 4QO == ......, 964 kg
CAPiTULO III
COMPOSICióN GRAFICA DE FUERZAS
Los dos problemas fundamentales de la Estática son los .siguientes :
1 ) Composición o reducción de fuerzas (Determinación de · resul
tantes) .
2 ) Descomposición de fu&rzas (Determinación de componentes) .
El 'procedimiento para resolver los problemas enunciados, consiste
en aplicar las operaciones elementales estudiadas en el capítulo an
terior.
. 7. Composición de fuerzas concurrentes. - La fig. 17a es el es
qÚema posicional de un sistema de fuerzas concurrentes en M, que va
mos a componer.
a)
Fig. 17
E F =!!:.!!!:._ !cm
Ordenadas previamente las fuerzas, por ejemplo, a partir de la di
rección vertical descendente, se numeran sucesivamente en el sentido
de la flecha curvilínea : P1 ; P2 ; P3 ; -P4 (este ordenamiento puede ser
cualquiera) .
Elegida una escala de fuerzas;_ se dibuja el vectorial de las fuerzas
dadas : a partir de un origen O, cualquiera (fig. 17c) , un vector OA
representativo. de la fuerza P1-; por el extremo A de P1 un vector AB
representativo de la P 2 ; por el extremo B de P 2 un vector BC repre
sentativo de la P3; y por C un vector Cl) representativo de la P4 •
COMPOSICION GR-:AFICA DE LAS FUERZAS 16
El punto final D se llama extremo del vectorial. Uniendo su origen
O con su é�remo D, el segmento dirigido de O hacia D determina, .según
la escala de �uerzas, la intensidad de la resultante R; la recta OD su di
rección y la flecha (hacia D) su sentido. En cuanto a su línea de ac
ción debe pasar por M y ser paralela a la recta OD.
La construcción efectuada se explica en la fig. 17b : R1 es la re
aultante parcial de las fuerzas P1 y P2, obtenida según la segunda ope
ración elemental de la Estática. Luego el sistema dado de fuerzas (fig.
18a) resulta estáticamente equivalente al de fig_ 18b.
A su vez la fuerza R2 (fig. 17b) es resultante de R1 (que susti
tuye a las P1 y P2) y la fuerza P3 • J;_,uego reemplaza a R1 y P3 ; y el
sistema de fig. 18b es equivalente estáticamente al de fig. 18c.
a)
Fig. 18
Por último, siempre según la segunda operación elemental, las fuer
zas R2 y P4 pueden sustituirse por la resultante R, con lo cual el sis
tema inicial (fig. 18a) es equivalente al de fi,g. 18d.
En la práctica no se dibujan las resultantes parciales, bastando
trazar el vectorial de fig. 17c.
-
Las fuerzas P 1, • • • , P 4 son las componentes de la fuerza R. Reco
rriendo el .vectorial a partir de su origen, siguiendo el sentido de sus
componentes se alcanza el punto D, extremo del vectorial, no siendo
posible proseguir hacia el origen O porque el sentido de la fuerza R lo
impide : es pues un vectorial abierto.
De acuerdo con ello podrá decirse :
Si un sistema de/ fuerzas concurrentes origina un vectorial
abierto, el sistema admite resultante ;
o sea existe una traslación del cuerpo según la dirección y el sentido
de aquella resultante.
8. Composición de fuerzas no concurrentes. - Sea el sistema de
fuerzas no concurrentes P1P2P8 (fig. 19a) . Construido (fig. 19b) el
vectorial OABC de las fuerzas dadas y descompuesta la fuerza P1 en
16 RAFFO, C. M. - ESTA T. Y RESISTENCIA DE M�ERIALES
dos direcciones arbitrarias 001 y 01A (fig. 19b) se obtienen las com
ponentes F 1 y F 2 cuyas magnitudes �e miden en la escala de fuerzas.
Tracemos por un punto A cualquiera, del plano de posición de las
fuerzas dadas, la paralela 1 a la dirección 001 que numeramos 1 ; por
A1, en la fig. 19a, la paralela A1A2 a la dirección AO�o que numera
mos 2 ; prolongándola hasta el punto A2 de intersección con la línea de
acción de la fuerza P2 (fig. 19a) . _
La fuerza P1 puede reemplazarse por las F1 y F2 ; y el sistema
dado, que nuevam�nte lo dibujamos en fig. 20a, ha quedado reducido
al de la fig. 20b, que es equivalente estáticamente, al primero.
a)
P,
l
1
1
1 1
'
1
IJ,/ .
1 EF= ackg / !cm.
Fig. 19
o
e
Procedamos en igual forma con la fuerza P2 : la descomponemos
(fig. 19b) en las direcciones II y III, obteniendo dos componentes F' 2
Y fi'3 según el sentido indicado en la misma figura. Volviendo al esque
ma posicional ( fig. 19a) se traza por A2 la paralela 3 a la III de fig.
19b, hasta interceptar en A3 la siguiente fuerza P3 del sistema dado.
Las fuerzas F'2 y F'3, que sustituyen a la P2, transforman nueva
mente el sistema de fig. 20b en otro equivalente, según fig. 20c.
Por último la fuerza P3 (fig. 19b) también puede descomponerse
en las fuerzas F' 3 y F 4 • Trazando en consecuencia,por A3 del 'Plano
posicional ( fig. 19a) la paralela 4 a la IV de fig. 19b, podrá sustituirse
la fuerza P3 .por las F'3 y F4, resultando el sistema de fig. 20d equi- ·
valente al de fig. 20c.
·Observando en la fig. 20d que las fuerzas F 2 y F'2 constituyen una
bifuerza, puesto que su intensidad común es la del segmento A01 (fig.
19b) medido en la escala de fuerzas, y como también forman bifuerza
las F 3 y F' 3 por igual razón, el sistema de fuerzas de la fig. 20d es
equivalente al de la fig. 20e, constituído pqr dos únicas fuerzas F 1 y
F4, que a su vez se compone en la fuerza única R (fig. 19b) pasante
por A (fig. 20/) . R es la resultante del sist�ma dado de fuerzas.
a)
COMPOSICION GRAFICA DE LAS FUERZAS
e)
' 1
Av
Fig. 20
1 1
A ;:4.J 1 1
e)
17
=
H
En el conjunto de operaciones efectuadas para determinar R, se
presentan tres polígonos :
1) polígono vectorial : es el OABCO ;
2) polígono polar : es el constituído por los radios polares I, II, III,
1 V (fig. 19b) . 01 es el polo, elegido libremente. Los radios polares se
numeran sucesivamente a partir del radio polar que une el polo 01 con
1 origen O del vectorial y siguiendo el ordÉm de presentación de las
fuerzas del vectorial, que es arbitrario corno se dijo ;
3) polígono funicular : es el formado (fig. 19a) por . las paralelas·
1 , 2, 3, 4 a los respectivos radios polares : I, II, III y IV ; se llaman
lados del funicular : 1 es su primer lado ; 4 es el último lado.
La determinación de la resultante R de uil sistema de fuerzas no
concurrentes, en la práctica, se simplifica procediendo en la forma si
¡cuiente :
Una vez trazado el vectorial de todas las fuetzas dadas, se elige
un polo 01 del plano, que se une a las vértices O, A, B, C del vectorial.
Hesultan los radios polares I, II, II, IV. Por cualquier punto A del es
'luerna posicional (fig. 19a) se trazan las respectivas paralelas 1, 2, 3,
4 a dichos radios polares, limitándolas en los puntos de intersección
A 1 , A2, A3 de las líneas de acción de las fuerzas dadas. Prolongando
ol primero y último lado del funicular . 1, 2, 3, 4 hasta su intersección
n L, por este punto pasa la resultante de las fuerzas P¡, P2, P3 cuya
linea de acción es paralela a OC del vectorial ; su sentido es el que se
dirige de O �tícia C (extremo del' v-eoWt.iál) y su magnitud es la longi
tud de OC apreciada en la escala de fuerzas.
Se demuestra (ver parág. 123) que esta construcción es indepen
diente de la elección de los puntos O, 01, A y del orden en que se con
�:�ideren las fuerzas P¡, P2, P3 .
rs-- RAFFO, C. 7 ,i. - ESTA T. Y RESISTENCIA DE MATERIALES
EJEMPLO 3. - Determinar la resultante de las fuerzas indicadas en la
fig. 21.
El sistema de fuerzas P1, P., P., P. está referido a un sistema de coor
denadas a:Oy según escala natural.
Fig. 21
/l EF=_]J_ !cm
EL= !cm le m
El vectorial de origen O, determina el polígono polar, polo 01 de lados
1, 2, 3, 4, 5. Las paralelas a éstos, trazadas en el esquema de posición de
las fuerzas, dibujan el funicular de vértices ABCD. La intersección de los
lados extremos· 1 y 5 de éste, señala el punto E, por donde habrá que trazar
la paralela a la resultante OK del vectorial, quedando así ubicada la línea
de acción y sentido de la resultante R, cuya intensidad se mide en el vecto
rial, apreciando el segmento OK en la escala de fuerzas.
EJEMPLO 4. - Determinar la resultante de las cinco fuerzas señaladas
en íig. 22 y de los sistemas paraiales (P.P.P.) ; (P.P.P.) ; (P.P.P.) .
Construí dos los polígonos de origen O y extremó E ; el polar con polo en
01 y el funicular de lados 1, 2, 3, 4, 5, 6, los exi.remos 1 y 6 de éste ubican
el punto A por donde pasa la resultante del sistema, cuya intensidad y sen
tido están dadas en el vectorial, por el segmento OE a.preciado en la escala
de fuerzas.
COMPOSICION GRAFICA DE LAS FUERZAS
1 ' 1
fi-SJ
1
1
'
1 ' 1 1
,
4-fVt
1 1 1 1 1
'
R¡5,9t
Rr fl,.Jl
IJ
EL- 1m
�
!cm
EF'=..J.l_ 1cm
Fig. 22
o
19
El grupo parcial de fuerzas : P,P.P,, limitado por los radios polares f
extremos 1 y 4 determina .en el funicular el punto B, punto de paso de la
resultante R1 señalada en el vectorial. ·
De igual modo para el sistema parcial P,, Pa, P, ; los lados extremos 3 y
& del funicular correspondiente, se interceptan en C, por donde se traza la
paralela a la resultante R, señalada en el vectorial.
Análogamente para el sistema P, P,, P.: el punto D indica la posición
de un punto de la resultante R, paralela al vector R, del vectorial.
·
Obsérvese que los sistemas parciales de fuerzas están siempre formados
por fuerzas consecutivas.
CAPÍTULO IV
CONDICIONES GRAFICAS DE EQUILIBRIO
Hemos visto en parág. 3 que el efecto cinemática de las fuerzas se
manifiesta por una traslación o por una rotación, y que es propósito de
la Es�ática contrarrestar aquellos desplazamientos para obtener el equi
librio·estático del sistema.
Este último problema se denomina : Equilibrio de un sistema de
fuerzas.
9. Equilibrio de un . sistema de fuerzas. - Consideremos un
sistema cualquiera de fuerzas, por ejemplo el de la fig. 23a, concurrente
en A y su correspondiente vectorial, fig. 23b. La resultante R sustituye
a las fuerzas dadas señalando el sentido de la traslación que impulsa
a la chapa c.
A
Fig. 23
Si la fuerza R se sustituye por otra E de igual intensidad y línea
de acción pero de sentido opuesto, quedará anulado el efecto cinemática
de R puesto que ambas forman una bifuerza. El sistema de fuerzas
. P1, P2, P3, E carece de resultante y el sólido al cual se aplica se man
tendrá en reposo de traslación, esto es en equilibrio de traslación.
La fuerza E se denomina equilíbrante del sistema P 1, P 2, P 3 . Tra
zado el vectorial de P1P2P3E ( fig. 23c) se observa que puede ser reco-. S
l'rido partiendo de O (o de cualquier otro vértice) siguiendo el sentido
de sus flechas hasta volver al vértice de partida : es un vectorial cen·ado.
CONDICIONES GRAFICAS
.
DE EQUILIBRIO 21
ICn cambio el vectorial de fig. 23b, correspondiente al sistema P�o P2,
1'1, R es abierto.
Nótese que en un · vectorial cerrado cualquier fuerza que lo form4
., equilibrante de las restantes, pues ella cierra el vectorial de todas
la• demás fuerzas.
·
10. Interpretación cinemática de les polígonos vectorial y funi
cular. - Vamos a demostrar que la traslación, o la rotaCión, o el
r poso de un sólido sometido a fuerzas conocidas, puede interpretarse
rráficamente mediante los polígonos vectorial y funicular.
Funicular obier/ó
'Pt Vectorial oóierto
e
Fig. 24
a) Sea un sistema de fuerzas no concurrentes (fig. 24) P1, P2, !'3
y sus correspondientes polígonos vectorial, polar y funicular. La pre
sencia de una resultante R indica que la chapa C está sometida a una
traslación. El vectorial se presenta abierto y el funicular ofrece la ca
racterística que su prjmer y último lados son concurrentes . en A. Un
funicular en tales condiciones · lo llamaremos funicular abierto.
En consecuencia podrá decirse :
Si un sistema de fuerzas admite resuUante (traslación) sus
correspondientes polígonos vectorial y funicular son abiertos.
Tratándose de un conjunto de fuerzas concurrentes, es suficiente
la existencia de un vectorial abierto.
22 RAFFO, C. M. • ESTAT. Y RESIS1'ENCIA DE MATERIALES
La conclusión enunciada puede expresarse a la inversa.
Si los polígonos vectorial y funicular son abiertos, el sistema de
fuerzas correspondientes tiene resultante (traslación) . ,
_ b) Sea. un sistema de fuerzas no concurrentes P11 P2, P8, P4 (fig.
25) . Su vectorial, suponemos, puede ser recorrido a partir del .origen O
(o de cualquier otro vértice A, B, C) siguiendo el sentido indicado por
sus flechas hasta volver al punto de partida : es un vectorial cerrado;
Fig. 25
/unlcull.lr rk
/qt/ÍJs t'J'II't'/7111$
¡PI.ll"tddo.s
VaJe decir, según el parág. 9, cualquier fuerza de sistema es equilibrante
de los demás.En consecuencia el sistema dado de fuerzas no admite resultante
(ausencia de traslación) .
E l polígono polar se caracteriza por tener superpuestos el primero
y el último radios polares que lo forman : 1 y 5 de la figura. En cambio
el polígono funicular se presenta con sus lados extremos, 1 y 5, parale
los. Denominaremos 'un funicular en estas condiciones funicular cerrado
(en un punto impropio o sea en el infinito) o también funicular de
lados �xtremos paralelos.
Como cada uno de estos lados extremos es sostén de una fuerza :
F 1 en el lado 1 y F 1 en el lado extremo 5 (según se dijo- en parág. 8 )
y estas fuerzas son iguales y opuestas, pues ambas están medidas por
el segmento OP del polar, el sistema es equivalente a una cupla (ro-
tación) .
·
Por consiguiente :
Si un sistema de fuerzas se reduce a '!<;�u. cupla (rotación) el
.correspondiente polígo'YI>O vectOrial es cerrado y el funicular
tiene s.us lados extremos paralelos.
La inversa siempre se verifica ; es decir : si el funicular es de lados
extremos paralelos y el vectorial cerrado, el sistema de f�erÚ1s corres
pondiente se reduce a una cupla (rotación) .
CONDICIONES GRAFICAS DE EQUILIBRIO 23
e) Por últl" o, consideremos el sistema de la fig. 26, cuyo vecto
rial, suponemos ea el OABCO, resulta cerrado. Construido el funicular
rreapondiente e observa que el primer lado 1 y el último 5, están
IUperpuestos. ún funicular en estas condiciones se · dice funicular ce
l"t'Gdo.
"1' �
�
§-t.;¡
�
�
� � � � '--
Funicular cerrutiJ
Veclllrio/ cerrodo
�'ig. 26
Por tanto el lado 1-5 del funicular es sostén de dos fuerzas F 1 y
F 5 iguales y opuestas, según indica el segmento 001 del polar; y la
eupla que aparecía en fig. 25 se reduce, en el caso actual, a una bi
fuerza.
El sistema dado de fuerzas, no admite pues resultante (no hay tras
lación) ni cupla (no hay rotación) : está en equilibrio, o sea f;'ln reposo.
En conclusión :
Si un sistema de fuerzas carece de resultante y de cupla (re
poso) los correspondientes polígonos vectorial y funicular son
ambos cerrados.
De lo dicho en a) , b f y e) se deduce que un polígono vectorial tra
duce gráficamente la existencia de traslación debidó a la presencia de
una resultante; en cambio el polígono funicular señala, con la presencia
de una cupla, un movimiento de rotación.
11. Condiciones gráficas de equilibrio. - Interesa conocer las
condiciones a cumplir por un sistema de fuerzas conocido, para que el
sólido sometido a ellas permanezca en reposo. Se denominan condiciones
gráficas de equilibrio por cuanto hacen referencia a los polígonos vec
torial y funicular. Son éstas :
Fuerzas concurrentes. - Una sola condición es suficiente.
Un sistema concurrente
,
de "fuerzas está en equilibrio cuando
su vectorial es cerrado.
24 RAFFO, C. M. - ESTAT. Y RESISTENCIA DE MATERIALES
Fuerzas no concurrentes. - Dos condiciones son necesarias.
Un sistema de fuerzas no concurrentes está en equilibrio cuan
do sus polígonos vectorial y funic?flar son ambos cerrados.
EJEMPLO 5. - Averiguar si la chapa ABCD de la. fig. 27 está en equi
librio al ser solicitada por las .fuerzas P, ; P, ; P.; P. y P • .
� � �t�--�-��w--����----r--�---�
Fig. 27
EF= 50kg . lcm.
EL= 5mm lcm,
Se trata de un sistema plano de fuerzas no concurrentes. Para su equi
librio es preciso que se cumplan dos condiciones gráficas : vectorial y funi-
cular cerrados.
.
Se verifica que el vectorial OABCDO es cerrado ; y el funicular co
rrespondiente cuyos vértices son, ordenadamente, A, ; A, ; A. ; A, ; A,, resulta
con sus lados extremos 1 y 6 paralelos. En consec�encia, la chapa no está
en equilibrio : el momento resultante vale
M = - Fd = - 2,15 cm . (EF) . 2,5 cm . (EL) = 53,75 kgm
1
EJEMPLO 6. -' Averiguar si la chapa ABC de la fig. 28 está en equili
brio bajo la acción de las fuerzas P, ; P, ; Pa ; P • .
8
CONDICIONES GRAFlCAS DE EQUILIBRIO
EF=..J.L ll_5em EL=
45cm 4 cm
P,� ;� F 1 u
Fig. 28
25
Procediendo como en el ejemplo anterior, se comprueba que el vectorial
de las fuerzas dadas OEFGO es cerrado y el funicular con vértices en A.;
A,; A. ; A. se caracteriza por la superposición de sus lados extremos 1 y 5.
Luego la chapa está en equilibrio.
CAPÍTULO V
MOMENTO DE FUERZAS. CUPLAS
12. Momento estático de una fuerza. - Se denomina momento
estático o de primer orden, o lineal, o simplemente momento de una
fuerza P, respecto de un punto e, el producto de la intensidad de la
fuerza (kg, t, etc.) por la
distancia a (m, cm, etc.) ó) del punto a la línea de acción de P (fig. 29) .
e se llama centro de
momentos o polo ; a, bra-
o. zo de palanca de la fuer
za. La unidad de medida e del momento estático es :
-t-11_; kilogramo-metro o kilográ
m e t r o (kgm) ; tonelada
metro o tonelámetro (tm) ;
Fig. 29 etc. Si S es una chapa em-
pernada en e, el efecto ci
nemático de P, respecto de e, es una rotación de la chapa ; en sentido
positivo si gira según las agujas del reloj (fig. 29b ) , negativo en sen
tido opuesto ( fig. 29a) .
Todo momento estático está pues afectado de un signo que se an
tepone al valor de aquél ; así, se escribirá :
M = + 300 kgm M' = - 4 tm .
Trazada por e (fig. 29a) l a paralela S a la línea de acción b de
la fuerza P, resulta que el momento de ésta no varía si e se desplaza
a cualquier otro punto de la recta s ; ésta, a veces, se denomina eje de
momentos. De tal modo queda definido el momento de una fuerza P res
pecto de un .eje s paralelo a su línea de acción.
El momento estático que es igual a cero cuando a = O, vale decir,
cuando el polo e pertenece a la línea de acción de la fuerza, es una
magnitud estática, homogénea con un trabaj o. En cambio, éste es una
magnitud dinámica.
El momento estático es el producto de dos segmentos : uno repre
sentativo de la fuerza y el otro del brazo de palanca. Si uno de ellos se
mide en la escala de fuerzas el otro habPá que apreciarlo en la escala
MOMENTO DE FUERZAS. CUPLAS 27
Un ni o viceversa .. Por ejemplo (fig. 30) , si AB = 4 cm, se tendrá in
d latlntamente (a = 3 cm) :
M = 3 cm . (EF) . 4 cm . (EL) =
= 3 cm .
1 t
1 cm
1 m
·
. 4 cm • ;= + 12 tm 1 cm _
M = 3 cm . (EL) . 4 cm . (EF) -
1 m 1 t
3 cm • . 4 cm . 1= + 12 tm . 1 cm 1 cm
Un momento estático puede repre
KOntarse por el doble del área (fig. 30 )
del triángulo de base P y altura a o
por el doble del área del triángulo de
base AC y altura h ; es decir :
EF:-f..L fcm EL=..-!fo._ tcm
M = 2 Pa = 2 AC . h . [1 ]
13. Momento estático de un siste
na de fuerzas. - Consideremos dos
:uerzas P1 y P2 (fig. 31) y un polo C.
,e tiene : Fig. 30 e
M P1 = Momento de P 1 respecto de C = AC . h1 : Triángulo ACD
M P, ¡::= Momento de p 2 respecto de e = AC . h2 : Triángulo ACE .
Sumando ordenadamente resulta :
Momento de P1 + momento de P2 = AC (h1 + h2) = AC . h (ver fig. 31) .
A
es :
a3 h, P, Pz
R3 cLJ
hz
1 az
X
Fig. 31 S
Fig. 32 R
Pero AC . h es el momento MR de la resultante R de P1 Y P2 ; esto
2!s I_}AFFO, C. M. - ES'PA T. Y RESISTENCIA VE MA TERIALES
Si las fuerzas concurrentes fueran más de dos, subsiste la igualdad :
[2]
Y si las fuerzas no son concurrentes, la igualdad [2] es válida para
dos fuerzas cualesquiera del sistema ; después será válida para esta re
sultante parcial y una tercer fuerza ; y así siguiendo.
Por tanto puede enunciarse la siguiente ley ( Teorema de Varignon ) :
El momento de la resultante de cualquier sistema de fuerzas
coplanares, respecto de un punto del plano, iguala a ;la suma
algebraica de los momentos de las componentes,
que escribiremos así :
[3]
siendo x la distancia de R al centro de momentos ; a, la distancia de
· cada fuerza P, al mismo centro.
Si las fuerzas son paralelas y se traza por e ( fig. 32) centro de
momentos un eje s paralelo a la dirección común de las fuerzas, la ecua
ción [3] permite hallar x (posición de la resultante)', como veremos en
elpróximo capítulo.
Fig. 33
14. ·D e t e r m i n a c i ó n
gráfica del momento es
tático de fuerzas. - Sean
p la fuerza y e el centro
de momentos (fig. 33 ) .
Construidos el vecto- .
rial y funicular de P y
trazada por e la paralela
s a la dirección de P, se
obtienen los triángulos se
meJantes rayados en la fi-
gura.
Si h es la distancia de 01 a la dirección de P, distancia llamadh
distancia. polar o base de reducción, se tiene :
o sea :
y p
a: = T
Pa = hy . [4]
El segmento BD, que denominaremos en adelante ordenada y, está
determinado por la intercepción de la s con el primero y último lados
del funicular de la fuerza P.
Análogamente para varias fuerzas no concurrentes (fig. 34) : tra
zados el vectorial y funicular del sistema dado y por el centro de mo
mentos C una paralela s a la resultante R, la ordenada y es el .�g
mento BD interceptado por el primero y último lados, 1 y 4, sobre dicha
paralela. Como los triángulos rayados en la figura son también seme
jantes resulta la igualdad [ 4] , sustituyendo P por R.
MOMENTO DE FUERZAS. CUPLAS
a)
Fig. 34
Luego podrá decirse :
o
EF� 1cm
EL� lcm
EH = ft:./Jh kgm /cm
29
El momento de cualquier sistema de fuerzas, respecto 'de u11
punto de su plano, es -el producto de la distancia polar h po1
la ordenada y.
Para apreciar numéricamente el producto hy de [ 4] , según s� r "
visto e n parág. 12, e s necesario medir u n segmento, por ejemplo h, en
la escala de fuerzas, y el otro y, en la escala lineal o viceversa. Es decir
que el momento de un sistema M. respecto de e, vale :
o
Me = y (cm) . EL . h (cm) . EF
Me = y (cm) . EF . h (cm) . EL .
Cualquiera que sea la forma de medir el momento, se tendrá :
Me = y (cm) . [EL . EF . h] .
El producto
EL . EF . h
[5]
constituye una escala de momentos. Indicándola con EM, valdrá, para
las escalas indicadas en fig. 34 :
EM =
a m
1 cm
f3 kg
1 cm
h ( ) _
af3h kgm
· - cm -
1 cm •
La escala de momentos es, pues, el producto de la escala lineal, por
la escala de fuerzas, por la distancia polar.
Por consiguiente, según [5 ] el momento en C de las fuerzas de
fig. 34 vl_!.le :
Me = y (cm) . EM .
Se obtiene gráficamente el valor del momento de un sistema de
fuerzas respecto de un punto de su plano, multi1Jlicando la ordenada y
por la escala de momentos.
30 RAFFO, C. M. - ESTA T. J:' RESISTENCIA DE MA TERIALES
Por ejemplo, si :
11 :::: 3 r.m ; EL =
2 m
1 cm
EF
800 kg
1 cm
h = 10 cm
la escala de momentos resulta :
EM =
2 m
1 cm
800 kg
1 cm
. 10 cm = 16 tm
1 cm
y el momento de las fuerzas dadas respecto de C, vale :
Me = 3 cm .
16 tm = 48 tm .
1 cm
La determinación gráfica de momentos también sirve para obtener
el .momento de un grupo sucesivo de fuerzas, por eJemplo de las P1 y
p2 (fig. 35) .
o
e
Fig. 35
a EF= �kg '1 C/TL
EL=.$d!!:.. !cm
EH= tr.(Jh,tkgm. !cm,
Si C es el punto respecto al cual se busca el momento estático · de
las fuerzas referidas, se traza por él la paralela s a la resultante R2 •
La ordenada y queda determinada por la intersección de s con los lados
1 y 3 del funicular que comprende a las fuerzas P1, P2 . La ordenada y
apreciada en la escala de momentos fija el valor del momento de P1P2
respecto de C.
o 15. Coplas. - Sea / p la cupla Pa de la fig.
.¿- 36a. Construídos el vec-
.,:- � torial y f u n i c u l a r co-...
;<-o rrespondientes, los la� ,
a '-..? o, dos extremos 1 y 3 de
A JI este último se presen-tan p a r a l e l o s, puesto a) � que ambos lo son al ra-dio polar 001 (fig. 36b).
Fig. 36 co·mo las paralelas 1 'J
MOMENTO DE FUERZAS. CUPLAS 31
8 no determinan ningún punto finito, la cupla carece de resultante ;
luego tod,a cupla es irreductible a una fuerza.
Determinemos el momento de una cupla Pa (fig. 37) respecto de
un punto e de su plano.
a) � e)
��
p p a
e e
1' a a, J a2 f-- a' p a 2 1'
Mc·-Pd 11c1· -Pd Mc2=-Pti
Fig. 37
Si e está en la recta de acción de una de las fuerzas (fig. 37a.)
componentes de la cupla se tiene :
M0 = - Pa .
Si e ( fig. 37b ) es exterior al brazo de palanca a, resulta :
M0 = Pa1 - Pa2 == P (a1 - �) = - Pa .
y si e (fig. 37 e) es interior al brazo de palanca :
M0 = - Pa - Pa2 = P (- a1 - a2) -= - Pa .
En conclusión : el momento de una cupla es independiente del 'cen-
tro de momentos. Su valor es el producto de la intensidad de la fuerza
por su brazo de palanca, con el signo correspQndiente al sentido de la
rotación que origine.
·
16. Operaciones con las cuplas • . - Se denominan cuplas equiva
lentes aquellas que tienen igual momento, en valor y signo. En la fig.
38, se presentan varias
cuplas cuyo momento es
M = - 500 kg m. T o
das e l l a s s o n equiva
lentes e n t r e sí por
que mantienen el valor
de M.
Las cuplas pueden
componerse, m e d i a n te
adición algebraica de
sus respectivos momen
' 5t t �v5M� =·�====�====�=;. �t 5t � <:§.
Fig. 38
tos. El resultado es otra cupla estáticamente equivalente a las dadas.
Por ejemplo : las cuplas de momentos M' = - 300 kgm ; M" = -500
32 RAFFO, C. M. - ESTAT. Y RESISTENCIA DE MATERIALES
kgm ; M"' = - 800 km, se componen en una cupla resultante de mo-
mento M dado por:
· ·
M = M' + M" + lW" = '- 300 km + 51)0 km - 800 km = - 600 km,
que produce el mismo efecto cinemática que las dadas.
Es de interés la composición de uná cupla con una fuerza.
Sea la cupla de momento M = ..:.._ P1a1 (fig. 39) a componer con la
fuérza P aplicada en A. Transformemos la cupla en otra equivalente,
formada por dos fuerzas iguales a P; cuyo brazo de palanca a está
. . p dado por la igualdad M = - Pa o sea a = l M \ ·
La nueva cupla puede trasladarse en su p ano, hasta que una de sus
fuerzas actúe en la línea de acción de la fuerza única P por A, pero en
sentido opuesto a esta última (fig. 39b) . La . otra fuerza que forma la
cupla quedará ubicada a una distancia a de la recta de acción s.
a) h) e)
Fig. 39
En A se tiene una bifuerza que pudiendo suprimirse, reduce el sis
tema de fig. 39b al de la fig. 39c, estáticamente equivalente al a) , y
constituido por una única fuerza P pasante por B y paralela a la fuerza
dada P.
Luego : una cupla y una fuerza se reducen a una . fuerza.
· Ejemplo :
Dado el sistema de fuerzas paralelas indicado en la fig. 40, deter
minar gráficamente :
a) el momento de las P2 y P3 respecto del punto C.
b) el momento de todas las fuerzas respecto de cualquier punto C1,
situado en la recta de acción de la fuera P 1 .
Elegidas libremente las escalas lineal y de fuerzas se traza el vec
torial de éstas a partir de un origen O. A continuación con polo en 01,
distante h = 2 cm de la resultante OA de las fuerzas, el polígono polar
de radios polares I, II, III, IV, V.
Las paralelas a estos radios polares, trazadas en el esquema de las
fuerzas dadas, a partir de cualquier punto Q de sil plano, determinan
·· el funicular de lados 1, 2, �. 4, 5.
a) Los lados 2 y 4 de éste, que comprenden a las fuerzas P2 y P3,
prolongados ha�ta interceptar en N y L, respectivamente, a la vertical
por C, que es paralela a la resultante R' de laa fuerzas P2 y P3, deter-
MOMENTO DE FUERZAS. CUPLAS 33
- ' P.=3t J P,=zt ¡ 4-lt l!=lt o 4
!m 2m 2m fm 8
1:1 Pz
L, R'
/ 1 " / " · / 1 / !J. / /
el / / / / 1 /
/ ' 1 !J !1, ' / ' d-J.5m / ' / ' / ' · / ' 1 / h=2cm / ' / R'=4t ' 4.-Jm ' 1 ' ' / '
' iN / / / / /
N, 1?2 34=5t . ,
� EF=_il_ EL= 1m EH= 4tm 1,5cm !;cm !.5cm
Fig; 40
mina la ordenada LN = y (cm) . Ésta apreciada en la escala de mo
mentos :
EM = EL _ EF . h = - 4
tm
1,5 cm
determina el momento pedido :
Me = - 13,866. tm,
negativo, porque amblls fuerzas están a la izquierda del centro de mo
mentos.
b) Cualquiera LJ.ue sea el punto sobre la línea de acción de la fuerea
P1 , con respecto al cual hay que determinar el momento de todas las
fuerzas dadas, la vertical por él coincide con la recta a. Luego en L1N;
se tiene el segmento interceptadopor los lados extremos 1 y 5 del funi-
34 RAFFO, C. M. - ESTA T. Y RESISTENCIA DJ:!J MA TERIALES
cular de todas las fuerzas, que apreciado en la escala de momentos de
termina el momento :
4 tm
Me1 = y1 (cm) . EM = 5,7 cm . 1 5 = 15,200 tm . , cm
Utilizando las resultantes R' y R 2,3,4 , se obtienen los siguientes
valores :
Me = - dR' = - 14 tm Me, = d1R2,3,4 = 15 tm .
CAPÍTULO VI
COMPOSICióN ANALíTICA DE F)UERZAS
17. Composición de fuerzas concu
rrentes. -· Sea el si,stema concurrente
n O de la fig. 41, formado por las fuer
las P¡, P2 y P3 • Para componerlo analí
ticamente debemos referirlo a un sis
tema ortogonal de ejes, por ejemplo al
IIDOy.
Proyectando todas las fuerzas sobre
el eje x, se tendrá :
P 1 cos a1 + P 2 cos a2 +
+ P 3 cos as = P,. . [1]
En esta igualdad cada suma.ndo es
tá afectado del signo más o del menos
en concordancia con el signo del coseno,
pues las fuerzas siempre se consideran
positivas. El segundo miembro P ,, en
valor y signo mide la magnitud de la
!J
Fig. 41
componente del sistema, o sea de su resultante R, según el eje x.
Proyectando sobre el eje y, se tendrá :
P1 sen a1 + P2 sen a2 + P3 sen as = P11 ; [2]
P11 es en valor y signo, la medida de la componente de R según el eje y.
Obtenidos los valores de P,. y P 11 resulta :
p" tg a = --Pz [3]
que permite fijar la dirección de la resultante R, cuya intensidad puede
calcularse con la fórmula :
R = V P:r:2 + P./ . [4]
Su punto de aplicación es O.
En la práctica conviene distribuir las operaciones a realizar en una
tabla numérica, como se indica en -el . siguiente ejemplo.
36 RAFFO, C. M. - ESTA T. Y RESISTENCIA DE MA TERIALES
EJEMPLO 7. - Determinar analíticamente la resultante del sistema de
fuerzas concurrentes en O, indicado en la fig. 42.
p �neát. lt costt
3 g¡¡o o
�5 50° - 0,5
2 50° -454
1 JO" 0,87
4 o· f
stllX PaAI'a:l Psmtt toneladas
- 1 o
-0,87 -475
�(l75 -1,28 ·- ·-- ·
a5 +�IJ7
o + 4
g�l.J4
- 3
- !,J
+1,52
+0,5
o
1�=-Z,ZS
IJ=2t'
Fig. 42
!J
Pg
/j==.Jt
EF=...!L !cm
l}-4t
X
Todos los datos y las operaciones señaladas en las ecuaciones [1] y [2]
se llevan a un cuaqro como el que acompaña a la fig. 42.
La dirección de R es :
tg a =
La intensidad :
- 2,28 = - o 80
2,84 '
a � - 3803()'
R = V 2,84" + 2,28· = 3,64 t
18. Composición de fuerzas no concurrentes. - Para determinar
intensidad, sentido y dirección de la resultante, en un sistema de fuer
zas P1, P2, P8 (fig. 43 ) aplicadas respectivamente en A, B, C, sirven
- !J
1 1 1 1 1 1 1 1 p' --- - - !/
P, X X
X
Fig. 43
COMPOSICION ANALITICA DE FUERZAS 37
mismas ecuaciones [1] a [ 4] estudiadas en los sistemas concurren
•· a saber :
Pz � (P cos a)
p� � (P sen a)
tg a -
[5]
En cuanto a la línea de acción de R, su posición se determina cal
c•ulundo su distancia r, a un punto cualquiera del plano de fuerzas, con
ll h l rado centro de momentos, mediante el teorema de momentos de Va-
1' 1 non (pág. 28) :
R . r = P1p1 + P2p� + PaPa
lll tmdo P1P2Pa los respectivos brazos de palanca de las fuerzas dadas.
Esta igualdad se simplifica ubicando el centro de momentos en el
url¡cen de coordenadas y sustituyendo todas las fuerz[\s, por sus dos
t•umponentes ortogonales según x e y. En la posició!' indicada por la
f h c. 43 se tiene :
[6]
• • n donde x2, x3 son datos. de posición ; y P"�· P'"11, P11 están ya calcu,
IMdas en la 21l- ecuación de [5] . Luego :
P" yx2 + P"' v . x3
Py X = [7]
''" nbscisa de la intersección D, de la línea de acción de R con el eje x.
EJEMPLO 8. - En los puntos H, F, E, �e una chapa plana, actúan las
tuerzas P,, P,, P", P, según fig. 44, en donde aparecen todos Jos valores nu-
1 1 1 ricos necesarios. Determinar analíticamente la resultante . . ( Incógnitas :
"• U, x ) .
Refiriendo l a chapa al sistema de ejes xAy, se determinan primeramen
l r las componentes P: P. de la resultante mediante las dos primeras fórmu
ln� [5] ; o sea proyectando todas las fuerzas P,, P,, P., P, R sobre cada eje :
P. = 1 . cos 250 - 2 . cos 35° = 0,9 - 1,64 = - 0,74 t [8]
P, '=: 1 . sen 250 - 2 - 3 + 2 . sen 35° = 0,42 - 5 + 1,14 = - 3,44 t
La dirección de R es :
tg "' =
La magnitud :
3,44 = 4 65 0,74 '
R = V 0,74' + 3,44' = , 3,5 t
Para determinar su posición; ubicaremos el centro de momentos en A ;
I n suma de los momentos de las componentes, según x · e y, de las fuerzas
dadas, tendrá 9ue igualar a Jos momentos de. las componentes P. , P. de la
38 RAFFO, C. M. - ESTAT. Y RESISTENCIA DE MATERl/lL.iJJi:)
1
Rv !
il'i1,x
Fig. 45
- ltn EL- !cm
Fig. 44
resultante. Como las componentes según x, tienen
momento nulo, sólo quedan las componentes vertica
les. Por tanto será :
P, . x = P,x. + P,x, - P.'v . x,
Teniendo en cuenta que [8] es :
se tiene :
P.'v = 2 sen 350 = 1 ,14 t
+ 3,44 X = + 2 . 0,60 + 33,60 - 1,14 . 4,60
resulta : + 6,80
3,44 = 1,97 m X =
EJEMPLO 9. - El pilar representado en la fig.
45, está solicitado por las fuerzas H, N, y P. Deter
minar la intensidad de la resultante, y el punto e en
que su línea de acción corta al plano de base AB.
· Las componentes horizontal RH y vertical Rv
de la resultante R, se obtienen proyectando horizon
tal y verticalmente, el sist.:ma de fuerzas aplicado
al pilar. Es decir según las do::s primeras de [5] :
Ru = 1 t
Rv = 7,5 + 15 = 22 t
1 Sus respectivos sentidos están indicados en la
fig. 45.
eOMPOSICION ANALITieA DE FUERZAS 39
Para determinar la distancia x del punto en que la línea de accwn de
la resultante intercepta al plano de base , supuesto que sea el e, bastará to-
mar momentos con respecto a él. ·
Luego :
Rx = -. N ( 1 - x) - P (0,6 - x) + 8H = O ,
que debe ser nulo porque el punto e pertenece a R.
Reemplazando valores :
resulta :
- 7,5 + 7,5x - 15 . 0,6 + 15x + 8 O ,
x =
7,5 + 9 - 8
= o 38 22,5
' m
La intensidad e inclinación de R se obtiene utilizando las dos últimas
ecuaciones [5] :
22 tg a = -1- 22 . " . a = 870
R = ...j 1 + 22" � 22 t
CAPÍTULO VII
CONDICIONES ANALíTICAS DE EQUILIBRIO
19. Fuerzas concurrentes. - Un sistema de tuerzas aplicado .a
un punto material, sólo puede originar dos efectos cinemáticos : despla
zamiento del punto según la resultante del sistema o · permanencia de
aquél en su estado de reposo i.nicial (equilibrio estático) . Toda rota
ción del punto material queda descartada por ser imposible la presencia
en él de un brazo de cupla.
La ausencia de resultante, como condición de reposo, se traduce
analíticamente por la anulación simultánea de sus dos , componentes se
gún un par de ejes, libremente elegido.
Entonces, los segundos miembros de las ecuaciones [1] y [2] del
capítulo anterior, deben ser iguales a cero; esto es : { � (P cos a) = O
� (P sen a) = O . [1]
Estas igualdades dicen que sólo dos condiciones analíticas son ne
cesarias para el equilibrio estático de fuerzas concurrentes.
P,
Podemos enunciar en la siguiente forma el resultado obtenido :
Un sistema 'de fuerzas concurrentes está en equilibrio, cuando
la suma algebraica de sus proyecciones sobre dos ejes cuales-
quiera es cero.
g
Las dos ecuaciones de equilibrio [1]
que son independientes entre sí, pueden
. expresarse en otra's dos formas equiva
lentes. Una de éstas es (fig. 46) : { � (P cos a) = O [2]
�Me = P1P1 + P2P2 + PaPa = O .
La primera igualdad es la misma de
[ 1 ] . La segunda significa que la suma
---,..-*--r-----x de los momentos de las fuerzas P1P2P3,
Fig. 46
que constituyen el sistema, respecto de
un punto cualquiera e del plano tiene
que ser igual a cero, para asegurar el
equilibrio del sistema.
En vez de las dos ecuaciones de pro�
yección [1] se tiene ahora en [2] una
ecuación de proyección y una ecuación
de momentos.
CONDICIONES ANAÜ1:.fCAS D lJ: EQUILIBRIO 41 .
Para asegurar la independencia de las dos ecuaciones [2] es nece
llllrio elegir el centro de momentos C, exterior alMateriales relacionados
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