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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO 
PROGRAMA DE MAESTRÍA Y DOCTORADO EN INGENIERÍA 
 INGENIERÍA MECÁNICA – MECÁNICA APLICADA 
 
 
 
 
 
 
IDENTIFICACIÓN Y CARACTERIZACIÓN DEL ROZAMIENTO 
EN UN ROTOR/ESTATOR POR MEDIO DE WAVELETS 
 
 
 
 
TESIS 
QUE PARA OPTAR POR EL GRADO DE: 
MAESTRO EN INGENIERÍA 
 
 
 
 
 
PRESENTA: 
JORGE ANGEL SÁENZ SERDIO 
 
 
 
 
TUTORES PRINCIPALES 
DR. JUAN CARLOS JÁUREGUI CORREA, UAQ 
DR. SAÚL DANIEL SANTILLÁN GUTIÉRREZ, FACULTAD DE INGENIERÍA 
 
 
 
JURIQUILLA, QRO. ABRIL 2018 
 
 
 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el 
respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
JURADO ASIGNADO: 
 
 
 
 
Presidente: DR. YU TANG XU 
 
Secretario: DR. JOSÉ ALBERTO RAMIREZ AGUILAR 
 
Vocal: DR. SAÚL DANIEL SANTILLÁN GUTIÉRREZ 
 
1 er. Suplente: DR. CARLOS ROMO FUENTES 
 
2 d o. Suplente: DR. JORGE ALFREDO FERRER PÉREZ 
 
 
 
 
 
 
Lugar o lugares donde se realizó la tesis: UNAM Campus Juriquilla, UAQ 
 
 
 
 
 
 
TUTOR DE TESIS: 
 
DR. SAUL DANIEL SANTILLÁN GUTIÉRREZ 
 
 
 
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FIRMA
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
AGRADECIMIENTOS 
Gracias a Dios por darme la vida y más de una oportunidad de alcanzar lo que alguna vez me 
propuse. 
Gracias al Dr. Jáuregui por todo su tiempo, apoyo, paciencia y amistad para no dejar inconcluso este 
trabajo. Gracias por escucharme y guiarme de tal manera de no tomar la salida fácil en más de una 
ocasión. Estoy agradecido por no haber abandonado la maestría cuando así lo pensaba, esto se lo 
debo a usted. 
Gracias a la Dra. Claudia González por su ayuda con la instrumentación y adquisición de datos a 
partir del banco de pruebas. Su experiencia y conocimientos son la base de toda la información 
obtenida en la parte de experimentación. 
Gracias al Dr. Santillán, inicialmente, por guiarme con la persona correcta para trabajar el tema de 
tesis. Segundo, por brindarme en todo momento su apoyo para poder graduarme. Sin su ayuda, esto 
no se hubiera podido materializar. 
Gracias a la UNAM: al SACC y al CA por haberme dado la oportunidad de finalizar mis estudios. 
También, gracias al Dr. Tang, Dr. Ramírez y Mireya por presentar y defender mi caso en CU cuando 
fue necesario. Su apoyo fue vital para obtener la autorización para finalizar mis estudios. 
Gracias a GE por permitirme la flexibilidad y apoyo suficientes para poder terminar mis estudios. 
Gracias a mis jefes, gerentes y en especial al Maestro Eduardo Aguilar por su tiempo y ayuda 
cuando la necesité. 
 
Gracias a mi familia por ser un recuerdo constante de lo que puedo lograr. Es un honor poder 
corresponder con este logro al esfuerzo de mis padres y abuelos. Gracias a mi mamá, mi hermana y 
mi prima por el apoyo en la recta final, ustedes hicieron la diferencia. 
Por último, gracias a todos mis amigos que me recordaban que tenía un compromiso pendiente que 
debía y podía terminar. Gracias por acompañarme y apoyarme a distancia con memes. 
 
 
 
 
 
3 
 
 
ÍNDICE 
AGRADECIMIENTOS ....................................................................................................................... 2 
ÍNDICE ................................................................................................................................................ 3 
LISTA DE TABLAS ............................................................................................................................ 4 
LISTA DE FIGURAS .......................................................................................................................... 5 
NOMENCLATURA ............................................................................................................................ 7 
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN ....................................................................................................... 8 
CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES ...................................................................................................... 9 
2.1 EFECTO NEWKIRK ................................................................................................................. 9 
2.2 MODELACIÓN DINÁMICA .................................................................................................. 10 
2.3 TIPO DE MOVIMIENTO DEL ROTOR ................................................................................ 11 
2.4 ROZAMIENTO CON DIFERENTES PARTES ESTACIONARIAS ..................................... 12 
2.5 IDENTIFICACIÓN Y MONITOREO DE CONDICIÓN ....................................................... 13 
2.6 CIERRE DE CAPÍTULO ......................................................................................................... 15 
CAPÍTULO 3. IDENTIFICACIÓN DEL PROBLEMA ................................................................... 16 
3.1 BREVE DESCRIPCIÓN .......................................................................................................... 16 
3.2 OBJETIVO GENERAL ........................................................................................................... 16 
3.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ................................................................................................... 16 
3.4 ALCANCE DEL TRABAJO .................................................................................................... 16 
3.5 DELIMITACIONES ................................................................................................................ 17 
3.6 MÉTODOS Y TÉCNICAS ...................................................................................................... 17 
CAPÍTULO 4. MARCO TEÓRICO .................................................................................................. 18 
4.1 ECUACIONES DE MOVIMIENTO ....................................................................................... 18 
4.2 MODELO DE FRICCIÓN DE ODEN-MARTINS ................................................................. 20 
4.3 NUEVO MODELO DEL SISTEMA ....................................................................................... 21 
4.3.1 DESARROLLO DE LAS ECUACIONES DEL SISTEMA EN COORDENADAS 
RECTANGULARES (X-Y) ....................................................................................................... 22 
4.4 WAVELETS ............................................................................................................................. 23 
CAPÍTULO 5. MODELO DE SIMULACIÓN .................................................................................. 27 
5.1 USO DEL SOFTWARE SIMULINK™ .................................................................................. 27 
5.2 DESCRIPCIÓN DEL MODELO DE SIMULACIÓN ............................................................. 27 
5.2.1 EVALUACIÓN DEL INTERVALO DE CONTACTO .................................................... 29 
5.2.2 BLOQUE DE AUMENTO DE RIGIDEZ ......................................................................... 30 
5.2.3 BLOQUE DEL MODELO DE FRICCIÓN DE ODEN-MARTINS ................................. 30 
4 
 
 
5.3 PARÁMETROS DE LA SIMULACIÓN................................................................................. 31 
5.4 CALIBRACIÓN DEL MODELO DE FRICCIÓN .................................................................. 32 
5.5VALIDACIÓN NUMÉRICA ................................................................................................... 34 
5.6 RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN ................................................................................. 35 
5.6.1 SIN FRICCIÓN ................................................................................................................. 35 
5.6.2 FRICCIÓN LEVE .............................................................................................................. 37 
5.6.3 FRICCIÓN SEVERA ........................................................................................................ 38 
5.7 ANÁLISIS DE RESULTADOS ............................................................................................... 43 
5.7.1 SIN FRICCIÓN ................................................................................................................. 43 
5.7.2 FRICCIÓN LEVE .............................................................................................................. 43 
5.7.3 FRICCIÓN SEVERA ........................................................................................................ 44 
5.8 CIERRE DE CAPÍTULO ......................................................................................................... 44 
CAPÍTULO 6. EXPERIMENTACIÓN ............................................................................................. 46 
6.1 BANCO DE PRUEBAS ........................................................................................................... 46 
6.2 PRUEBA DE IMPACTO ......................................................................................................... 48 
6.3 PRUEBAS DE RAMPA ........................................................................................................... 50 
6.3.1 SIN FRICCIÓN ................................................................................................................. 50 
6.3.2 FRICCIÓN LEVE .............................................................................................................. 51 
6.4 PRUEBAS A VELOCIDAD CONSTANTE ........................................................................... 52 
6.4.1 SIN FRICCIÓN ................................................................................................................. 52 
6.4.2 FRICCIÓN LEVE .............................................................................................................. 53 
6.4.3 FRICCIÓN COMPLETA .................................................................................................. 54 
6.5 CIERRE DE CAPÍTULO ......................................................................................................... 55 
CAPÍTULO 7. CONCLUSIONES ..................................................................................................... 56 
7.1 TRABAJO FUTURO ............................................................................................................... 57 
BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................................ 59 
PRODUCTOS ADICIONALES DEL TRABAJO DE TESIS .......................................................... 65 
 
LISTA DE TABLAS 
Tabla 5.1 - Parámetros de la Simulación ……………………………………………………..……..31 
Tabla 6.1 – Diseño de Pruebas ………………………………………………………………….…..47 
5 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
Figura 2.1 Full annular whirl [6] ..................................................................................................... 12 
Figura 4.1 Rotor con rozamiento con una carcasa [6] ..................................................................... 19 
Figura 4.2 Modelo de fricción de Oden-Martins [56] ..................................................................... 20 
Figura 4.3 Proceso de correlación mediante una wavelet Db20 [61].............................................. 24 
Figura 4.4 Ejemplos de tipos de wavelets [62] ............................................................................... 25 
Figura 4.5 Función madre Morlet para una frecuencia específica, β = 8 [48] ................................ 25 
Figura 4.6 Características del mapa tiempo-frecuencia .................................................................. 26 
Figura 4.7 Desarrollo de un mapa tiempo-frecuencia 3-D [64] ...................................................... 26 
Figura 5.1 Mapa de los cuadrantes del modelo de simulación ........................................................ 27 
Figura 5.2 Componente horizontal: fuerzas e integración .............................................................. 28 
Figura 5.3 Componente horizontal: porción no-lineal .................................................................... 28 
Figura 5.4 Componente vertical: fuerzas, integración e identificación de intervalo angular .......... 29 
Figura 5.5 Componente vertical: porción no-lineal ........................................................................ 29 
Figura 5.6 Evaluación del intervalo de contacto ............................................................................. 30 
Figura 5.7 Bloque de aumento de rigidez ....................................................................................... 30 
Figura 5.8 Modelo de fricción de Oden-Martins (Simulink) .......................................................... 31 
Figura 5.9 Desplazamiento radial (C0=19.62, C1=C2=0) .............................................................. 32 
Figura 5.10 Desplazamiento radial (C0=19.62, C1=0.25, C2=0) ................................................... 33 
Figura 5.11 Desplazamiento radial (C0=19.62, C1=0.25, C2=0.5) ................................................ 34 
Figura 5.12 Desplazamiento Horizontal (sin fricción) .................................................................... 35 
Figura 5.13 Desplazamiento Horizontal (sin fricción): FFT ........................................................... 36 
Figura 5.14 Desplazamiento Horizontal (sin fricción): Mapa tiempo-frecuencia .......................... 36 
Figura 5.15 Desplazamiento Horizontal (fricción leve) .................................................................. 37 
Figura 5.16 Desplazamiento Horizontal (fricción leve): FFT ......................................................... 37 
6 
 
 
Figura 5.17 Desplazamiento Horizontal (fricción leve): Mapa tiempo-frecuencia ........................ 38 
Figura 5.18 Desplazamiento Horizontal (fricción completa – 360 grados) .................................... 38 
Figura 5.19 Desplazamiento Horizontal (fricción completa): FFT ................................................. 39 
Figura 5.20 Desplazamiento Horizontal (fricción completa): Mapa tiempo-frecuencia ................ 39 
Figura 5.21 Desplazamiento Horizontal (fricción severa – 90 grados) ........................................... 40 
Figura 5.22 Desplazamiento Horizontal (fricción severa – 90 grados): FFT.................................. 40 
Figura 5.23 Desplazamiento Horizontal (fricción severa – 90 grados): Mapa tiempo-frecuencia . 41 
Figura 5.24 Desplazamiento Horizontal (fricción severa – 120 grados) ......................................... 41 
Figura 5.25 Desplazamiento Horizontal (fricción severa – 120 grados): FFT................................ 42 
Figura 5.26 Desplazamiento Horizontal (fricción severa – 120 grados): Mapa tiempo-frecuencia 42 
Figura 5.27 Desplazamiento Horizontal (fricción completa – 135 grados) .................................... 43 
Figura 6.1 Banco de pruebas experimentales del rotor tipo Jeffcott ............................................... 46 
Figura 6.2 Dispositivo de rozamiento ............................................................................................. 47 
Figura 6.3 Respuesta en el tiempo de la prueba de impacto ........................................................... 48 
Figura 6.4 FFTde la prueba de impacto ......................................................................................... 48 
Figura 6.5 Mapa tiempo-frecuencia de la prueba de impacto ......................................................... 49 
Figura 6.6 Amplitud vs Tiempo a partir de mapa tiempo-frecuencia: Prueba de impacto ............. 49 
Figura 6.7 Mapa tiempo-frecuencia para el caso sin fricción ......................................................... 51 
Figura 6.8 Mapa tiempo-frecuencia para el caso con fricción leve ................................................ 51 
Figura 6.9 Espectro de frecuencia para el caso sin fricción ............................................................ 52 
Figura 6.10 Mapa tiempo-frecuencia para el caso sin fricción (velocidad constante) .................... 52 
Figura 6.11 Espectro de frecuencia para el caso de fricción leve ................................................... 53 
Figura 6.12 Mapa tiempo-frecuencia para el caso de fricción leve (velocidad constante) ............. 54 
Figura 6.13 Espectro de frecuencia para el caso de fricción completa ........................................... 54 
7 
 
 
Figura 6.14 Mapa tiempo-frecuencia para el caso de fricción completa (velocidad constante) ..... 55 
 
NOMENCLATURA 
𝑀 – Masa del disco 
𝐷 - Amortiguamiento 
𝐾 - Rigidez 
𝑧 - Conjugado del desplazamiento lateral y vertical 
�̇� - Conjugado de la velocidad 
�̈� - Conjugado de la aceleración 
𝑚 - Masa de desbalance del rotor 
𝑟 - Radio del eje geométrico al punto de desbalance del rotor 
Ω - Velocidad rotacional del rotor 
𝛿 - Orientación angular del desbalance del rotor 
𝑡 - Tiempo 
|𝑧| - Desplazamiento radial del rotor 
𝑐 – Claro radial entre el rotor y parte estacionaria 
𝜇 – Coeficiente de fricción de Coulomb 
Ω – Velocidad de rotación del rotor 
K𝑠 – Rigidez lineal de la parte estacionaria 
𝑓𝑠(|𝑧|) - Función de la rigidez no-lineal de la parte estacionaria 
D𝑑 – Amortiguamiento de la parte estacionaria 
𝑓𝑑(|𝑧|) - Función del amortiguamiento no-lineal de la parte estacionaria 
𝐴 – Definición e identificador del rango de contacto 
𝐵 – Incremento no-lineal de las propiedades de rigidez y amortiguamiento 
 
8 
 
 
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 
 
En términos generales, las máquinas rotativas son probablemente el corazón del progreso y avance 
tecnológico desde hace algunos siglos. Por máquinas rotativas el autor se refiere a todas aquellas 
que impulsan un rotor o eje con el fin de generar un trabajo: generación de energía eléctrica, hacer 
girar un compresor o hasta hacer volar un avión. Con esto, podemos ver que problemas asociados a 
la maquinaria rotativa como el fenómeno de rozamiento entre partes rotativas y estacionarias pueden 
suceder en una gran cantidad de escenarios. Es por ello que es de gran interés contar con modelos 
matemáticos que puedan predecir el comportamiento de un sistema que incluya el rozamiento. 
Ahora, el fin último de un modelo de este tipo yace en su capacidad de implementación. Por un lado, 
podríamos tener un modelo de elemento finito muy preciso pero computacionalmente costoso, el 
cual sea inviable poder aplicar en campo. Por ello como alternativa a este punto, se pretende 
incorporar al proceso de análisis de señales las onduletas o wavelets que son muy útiles en el análisis 
de señales no-estacionarias que es el caso del rozamiento e impacto en el sistema. 
El estudio de un modelo rotodinámico que incluya rozamiento es de gran interés para 
aspectos de diseño de maquinaria y para su posterior prueba en campo. El tipo de maquinaria donde 
se presentan eventos de rozamiento no es aquella de bajo costo, en donde se puedan hacer una gran 
cantidad de pruebas destructivas para corroborar la viabilidad de un diseño. Los avances en 
modelación dinámica, así como en identificación de fallas, contribuyen al diseño y operación segura 
de dichos equipos. 
 
El Capítulo 2, introducirá al lector a los diferentes enfoques desde los que se ha analizado el 
fenómeno de rozamiento. La revisión bibliográfica incluirá las primeras menciones de este 
fenómeno, aspectos centrales en su modelación dinámica, investigación sobre diferentes elementos 
estáticos que ocasionan rozamiento y el estado de su identificación y monitoreo en donde se 
mencionará el papel de las wavelets sobre el método tradicional que es la FFT. El Capítulo 3 
identificará y acotará el problema a analizar. En el Capítulo 4 se podrá encontrar la fundamentación 
teórica de este trabajo así como las ecuaciones que rigen el modelo dinámico que será propuesto. El 
Capítulo 5 se encargará de presentar el modelo dinámico junto con los escenarios de rozamiento a 
evaluar, sus parámetros y los resultados de las simulaciones que serán analizados por medio de 
espectros de frecuencia y wavelets. En el Capítulo 6 se podrá conocer el banco de pruebas que se 
simuló dinámicamente en el capítulo anterior. Se describirán las partes del banco, la instrumentación 
utilizada y las pruebas llevadas a cabo. Al igual que la simulación dinámica, se hará uso de espectros 
de frecuencia y wavelets. Por último, el Capítulo 7 mostrará las conclusiones de este trabajo de tesis 
y evaluará la capacidad del modelo de simulación para caracterizar e identificar el evento de 
rozamiento como fue observado durante la experimentación. 
 
 
9 
 
 
CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES 
 
El fenómeno del rozamiento en máquinas rotativas ha sido analizado de manera teórica y práctica 
desde hace muchos años. Existen referencias como Taylor [1] en 1924 y Newkirk [2] en 1926, los 
cuales hacían un recuento de los problemas de rozamiento que se encontraban en campo, al 
momento de cruzar por una velocidad crítica. Cabe mencionar que una velocidad crítica, como lo 
indica Inman [3], es el “fenómeno que ocurre cuando una flecha rotativa con un disco, como un 
álabe de turbina montado en una flecha sobre dos rodamientos, rota a la velocidad que es 
equivalente a la frecuencia natural a la flexión del sistema de flecha-disco.” 
 
Hasta la fecha, es posible decir que el estudio del fenómeno de rozamiento ha tenido varios 
focos de estudio como lo son: 
 Efecto Newkirk 
 Modelación dinámica 
 Tipo de movimiento del rotor: órbitas y backward whirl 
 Rozamiento con diferentes partes estacionarias: carcaza, sellos, rodamientos, rodamientos 
magnéticos auxiliares 
 Identificación y monitoreo de condición 
 
Existe un grupo de trabajos sobre el fenómeno de rozamiento que son importantes mencionar ya 
que los autores se encargaron de hacer una revisión del estado del arte hasta ese momento. En orden 
cronológico tenemos a Dimarogonas y Sandor [4] en 1969. Después está Muszynska [5] en 1989, 
quien además en su libro [6] dedica un capítulo al tema de rozamiento con un desarrollo extenso en 
la fundamentación teórica con ejemplos de laboratorio. Por último, está Ehrich [7] quien también 
hace una revisión extensa incluyendo otros fenómenos de vibración no-lineal y auto-excitada. 
 
 A continuación se hará un breve recuento de otros trabajos relevantes así como recientes 
sobre los focos de estudio señalados sobre el fenómeno de rozamiento en rotores. 
 
2.1 EFECTO NEWKIRK 
Basado en el trabajo de Taylor en 1924, Newkirk en 1926 contribuyó al estudió del fenómeno de 
rozamiento en rotores. Es Newkirk quien estudia el rozamiento como un evento no sólo de 
naturaleza mecánica sino como uno acoplado de naturaleza térmico/mecánica que afecta el balance 
térmico del rotor y que es conocido como “Efecto Newkirk”. En su investigación, Newkirk indicó 
que si un rotor está rozando por debajo de su primera velocidad crítica, las vibraciones laterales 
inducidas por el rozamiento tienden a incrementar a medida que el tiempo pasa; de manera más 
10 
 
 
específica, la vibración síncrona puede aumentar en amplitud y fase u oscilar en amplitud causando 
que generalmente las vibracionestengan un comportamiento espiral. Muszynska [6] da una 
explicación sobre el efecto Newkirk y dice que: 
“durante la operación de la máquina, el rozamiento de un rotor no balanceado 
usualmente tiene lugar en el sello con el menor claro, que es el lugar más cercano a la 
ubicación anti-nodal del rotor. Los rotores pueden rozar también contra contenedores de 
aceite… el rozamiento causa calentamiento y consecuentemente expansión térmica 
local. Debido a la normal o accidental presencia de fluido en las áreas de claro del 
rotor/estator, el calor generado por el rozamiento puede ser disipado por el flujo del 
fluido, de tal manera que el calentamiento y expansión térmica del rotor sea un proceso 
relativamente lento. Si el rozamiento es “eficiente”, entonces, debido a la expansión 
térmica local, el rotor se dobla, causando una fuerza de desbalance adicional” 
En 1980, Kellenberger [8] realizó el modelo analítico del efecto térmico debido al rozamiento en 
sellos en turbogeneradores. Además, Muszynska ha desarrollado el tema en más de una ocasión [6], 
[9], [10]. 
 
2.2 MODELACIÓN DINÁMICA 
Existen diferentes métodos de modelación dinámica que se han utilizado para el evento de impacto 
que en ocasiones acompaña al evento de rozamiento. Ya se mencionó en la sección pasada algunas 
fuentes bibliográficas que incluyen el aspecto térmico en sus modelos. Ahora es momento de 
mencionar otros aspectos que han sido incorporados en dichos modelos. Por ejemplo, el cambio de 
rigidez del sistema debido al impacto entre el rotor y el elemento estático ha sido modelado por 
medio del contacto de Hertz [11]. Otros han optado por modelar el evento de contacto como el 
choque elástico entre dos elementos [12]. También, se tienen ejemplos donde las fuerzas 
relacionadas al impacto son modeladas como una función escalón periódica que ignora el evento 
transitorio [10]. 
Un aspecto muy importante es que el modelo de fricción utilizado en la mayoría de los artículos 
revisados, refieren a la fricción de Coulomb sin hacer distinción entre la fricción estática y la 
fricción dinámica [13]. Es posible inferir que la decisión de usar el modelo de fricción de Coulomb 
es un punto crítico para el correcto modelo dinámico del evento de rozamiento, sin embargo, es una 
práctica común el simplificar los modelos dinámicos debido a la naturaleza no-lineal del evento de 
rozamiento. 
Junto a la creación de modelos dinámicos del evento de rozamiento, la estabilidad y caos han 
sido temas analizados por ser áreas pertinentes para aproximarse a las no linealidades inherentes al 
evento. Como parte de esos estudios, la intención ha sido el definir cuáles son los rangos de 
parámetros como amortiguamiento y fricción para que se inicie un evento inestable en el que las 
vibraciones crezcan rápidamente en el tiempo. Por ejemplo, Chongji [14] estudió el efecto de la 
razón de amortiguamiento en las vibraciones laterales/torsionales de un sistema sujeto a rozamiento 
11 
 
 
e impacto. Por el lado de publicaciones en los que analizan estabilidad en un modelo con 
rozamiento, algunos ejemplos son: [15], [16], [17], [18] y [19]. Con respecto al análisis de la 
respuesta caótica, algunas referencias son: [20], [21], [22], [23] y [24]. Las herramientas 
comúnmente utilizadas en este tipo de trabajos son gráficas de órbitas, espectros de frecuencia, 
mapas de Poincaré y diagramas de bifurcación. 
 
Es válido decir que la gran mayoría de modelos de rozamiento documentados son de uno o dos 
grados de libertad. Sin embargo, con el avance de la tecnología de computación, se han creado 
modelos en tres grados de libertad para modelar el evento de contacto mediante el método de 
elemento finito. Algunas referencias recientes son: [25], [26], [27], [28] y [29]. 
 
2.3 TIPO DE MOVIMIENTO DEL ROTOR 
Un campo dentro del análisis del evento de rozamiento en rotores trata sobre el tipo de movimiento 
y órbitas generadas por el rozamiento. Este punto atiende particularmente al tipo de precesión del 
rotor, presente al momento del rozamiento. 
Sólo hay dos tipos de precesión del rotor, rotación en sentido de giro del rotor (forward 
whirl) y rotación en sentido contrario al giro del rotor (backward whirl). El forward whirl es mucho 
más común y es regularmente asociado con desbalance o componentes de vibración 1x (velocidad 
de giro del rotor). Sobre el backward whirl, Greenhill et al [30] indican: 1) La mayoría de los 
análisis rotodinámicos de velocidades críticas, generalmente ignoran el backward whirl, 2) El 
desbalance puede ser también una fuerza que lo genere y 3) El backward whirl es fuertemente 
dependiente a asimetrías en la rigidez de los soportes. 
En el caso del forward whirl y el rozamiento, es el que generalmente se presenta con 
contactos intermitentes; este es uno de los dos regímenes de estado estable que Muszynska [6] 
indica que se puede dar en un rotor debido a un evento de rozamiento. Por otro lado, era necesario 
hablar del backward whirl debido a que al momento del rozamiento, la fricción entre el rotor y el 
elemento de contacto causa un retraso en el giro del rotor que, según la magnitud de la fuerza de 
fricción, puede evolucionar de una precesión en sentido de giro a una en sentido contrario creando el 
segundo régimen de estado estable mencionado por Muszynska, el cual obtiene energía de la 
rotación del rotor, es altamente destructivo y es conocido como “dry whip”. 
Existen autores que se han dado a la tarea de predecir de manera teórica/práctica cuándo es 
el momento que se cambia de movimiento de whirling (precesión) a whipping (impacto) [31], [32]. 
Otros autores [33], tomando en cuenta lo antes mencionado del papel tan relevante que tiene la 
fricción en la revertir la precesión del rotor (debido al aumento de la velocidad tangencial del rotor 
en dirección opuesta a la velocidad angular), han buscado determinar los rangos de coeficiente de 
fricción para los que se presenta dry whip y whirl, además de determinar experimentalmente que la 
fuerza de fricción no está presente cuando el rotor entra en estado de “full annular backward 
12 
 
 
motion”. Esto significa que el rotor es capaz de “montarse” sobre la carcaza y rodar sobre ella en 
lugar de rozar o impactarse localmente. Este movimiento se muestra en la siguiente figura: 
 
Figura 2.1 Full annular whirl [6] 
 
Debido a la naturaleza característica de los movimientos del rotor, representados 
generalmente por plots de órbitas, también ha sido de interés el análisis de dichas órbitas. Fonseca et 
al [34] han analizado estas órbitas en sus experimentos pudiendo identificar en ellas los aspectos no-
lineales de bifurcaciones e incluso caos. Dentro del mismo campo de análisis de órbitas de flechas, 
Nembhard et al [35] han analizado órbitas de una máquina “sana” contra las de otras con ciertas 
fallas específicas (como rozamiento) para después, con fines de monitoreo e identificación de fallas 
poder tomar una acción de mantenimiento apropiada. 
 
Por último, dentro de esta misma categoría de “Tipo de movimiento del rotor”, es pertinente 
incluir algunos autores que se han encargado de incluir los efectos torsionales que tiene el evento de 
rozamiento. Es importante mencionar estos trabajos ya que en la literatura, como lo indica Edwards 
et al [36], el análisis de estado estable estuvo limitado por mucho tiempo al movimiento lateral. 
Deng et al [37], incluyen la torsión en su modelo y han investigado el acoplamiento entre la 
vibración lateral y torsional debido al contacto entre rotor y estator. 
 
2.4 ROZAMIENTO CON DIFERENTES PARTES ESTACIONARIAS 
Existen diferentes zonas dentro de una máquina rotativa que pueden ser susceptibles al rozamiento 
con partes estacionarias, por ejemplo, la carcaza, sellos, rodamientos, etc. A continuación se 
mencionará el trabajo de algunos autores con respecto a los diferentes escenarios de rozamiento que 
han sido analizados.13 
 
 
En el caso de contacto con rodamientos, el tema ha sido analizado con anterioridad. Morris 
[15] investigó el tema tomando en cuenta la relación que tiene el claro del rodamiento o tipo de 
ajuste junto con la estabilidad de la flecha, esto lo llevó a proponer un nuevo enfoque para balanceo 
en dichas situaciones. 
 
En el caso de rozamiento con sellos, de acuerdo con Muszynska [6], pueden ocurrir fallas 
catastróficas en un tiempo muy corto, según como ha sido discutido [38], [39]. 
 
Por otro lado, el avance de la tecnología ha llevado a tener nuevos escenarios relacionados 
con el rozamiento como lo son los relacionados con rodamientos magnéticos. El caso de 
rodamientos magnéticos es particular debido a que si un rodamiento magnético falla, está 
contemplado por diseño el tener rodamientos auxiliares para soportar al rotor en su caída [40]. La 
interacción con rodamientos auxiliares debido a la falla de rodamientos magnéticos hace inevitable 
el evento de contacto y rozamiento; esto ha sido revisado por varios autores, por ejemplo: [18], [41], 
[42] y [43]. 
 
Por último, otra zona de contacto que ha sido analizada, es aquella que se da entre los álabes 
del ventilador (fan) de un motor de avión y la carcaza, en el momento de perder súbitamente un 
álabe [44] y [45]. La porción de álabe perdida ocasiona un desbalance en el sistema que ocasiona 
directamente impacto y rozamiento que debe ser contenido de tal manera que la falla nunca sea 
catastrófica. Este evento a pesar de ser probado en pruebas destructivas con fines de certificación del 
modelo de un motor, también es modelado dinámicamente en programas como LS-DYNA™ o 
NASTRAN™, con el fin de asistir en el proceso de diseño. 
 
2.5 IDENTIFICACIÓN Y MONITOREO DE CONDICIÓN 
Es posible decir que la Transformada Rápida de Fourier (FFT, por sus siglas en inglés) sigue siendo 
el método más usado para el análisis de vibraciones. Sin embargo, como ya se ha mencionado, el 
evento de rozamiento es un evento de naturaleza no-lineal, por lo que las señales de vibración de 
interés son transitorias y no estacionarias. Por ello, es posible entender como la FFT no es la mejor 
herramienta para la identificación y caracterización del evento de rozamiento. El enunciado anterior 
es uno casi común en cada publicación que trata sobre el evento de rozamiento y su identificación, 
por ejemplo: [11], [46] y [47]. 
Probablemente el aspecto más importante con respecto a la FFT y el rozamiento, es que la 
transformada no es capaz de indicar cómo varía la frecuencia con respecto al tiempo. Este aspecto es 
el que principalmente sirve de base para poder definir la posibilidad de identificación y 
caracterización del evento en sí. La Short Time Fourier Transform (STFT) fue creada como una 
14 
 
 
opción para superar aquellas desventajas mencionadas de la transformada de Fourier. Sin embargo, 
Jáuregui [48] menciona sobre la STFT, “prácticamente la aplicación de la STFT implica que cada 
señal de vibración requiere de una función de ventana particular, y diferentes análisis se deben de 
hacer antes de definir los mejores parámetros. Si no sabemos de antemano el tipo de información 
que estamos buscando, la aplicación de este método requerirá de muchas iteraciones para ajustar la 
ventana correcta. Bajas frecuencias apenas pueden ser identificadas con ventanas de corta duración, 
por otro lado, pequeños pulsos pueden pobremente ser localizados en el tiempo con ventanas de 
larga duración”. 
 
Las técnicas tradicionales basadas en la transformada de Fourier, como lo resumen algunos 
autores ([6] y [49]), han identificado el rozamiento mediante frecuencias fraccionales del orden de 
1/4x, 1/3x, 1/2x u órdenes de la velocidad de operación junto con presencia de rizos externos en sus 
órbitas. También, Childs [50], indica la presencia de frecuencias fraccionales como consecuencia de 
los efectos de claros no simétricos. Además, existen referencias sobre el uso práctico de estos 
conocimientos, por ejemplo, en la aplicación de un sistema experto de monitoreo de condición en 
maquinaria rotativa [51], así como la identificación de características no lineales para mejorar el 
monitoreo de eventos en máquinas rotativas [52]. 
 
Dado el progreso en el campo de análisis de señales, la transformada wavelet se ha 
posicionado y convertido en la herramienta que ha sido capaz de superar las desventajas inherentes a 
la transformada de Fourier. Gao et al [53] es una referencia muy completa para conocer el lugar de 
la transformada wavelet desde la perspectiva histórica, así como sus diferentes tipos y aplicaciones 
en la industria. Dado el hecho de ser relativamente reciente, han habido estudios que han dejado en 
claro las ventajas y desventajas entre la transformada de Fourier y la wavelet [54]. En términos 
prácticos, la aplicación de wavelets para el análisis de fallas, ayuda en el sentido de poder crear 
regímenes de mantenimiento apropiados con lo que está experimentando una máquina a diferencia 
del procedimiento tradicional de intervalos fijos de mantenimiento; con esto se puede minimizar el 
tiempo de paro de una máquina y asegurar mayor capacidad en la producción. 
Existen referencias bastante recientes en las que se muestra el papel relevante que está 
tomando la transformada wavelet en la identificación y monitoreo de fallas. Un ejemplo es el caso 
de Chandra et al [47], identificación de fallas como desalineación, grietas en el rotor y rozamiento 
entre rotor-estator. Dicho estudio hace la comparación entre la STFT, transformada wavelet 
continua (CWT, por sus siglas en inglés) y la transformada Hilbert Huang (HHT, por sus siglas en 
inglés) con la finalidad de saber cuál es la mejor herramienta en la identificación de dichas fallas; en 
las conclusiones, se menciona que la HHT toma menor tiempo de cómputo comparado con la CWT, 
sin embargo, para datos con ruido, la CWT es preferida sobre la HHT. 
Otro ejemplo, publicado apenas en enero de 2017 por Zheng et al [55], donde se hace 
referencia a la diagnosis de rozamiento en rotores basado en wavelets contra un análisis basado en la 
15 
 
 
transformada Hilbert; el artículo concluye basado en la comparación de resultados que la efectividad 
del análisis basado en la transformada wavelet es superior al momento de identificación de 
rozamiento. 
 
2.6 CIERRE DE CAPÍTULO 
En este capítulo se hizo una revisión bibliográfica amplia que comprende los efectos que puede 
tener un rotor al presentar rozamiento, su modelación dinámica, tipos de interacción con diferentes 
partes estáticas y su identificación mediante métodos recientes basados en wavelets. A pesar de que 
el evento de rozamiento ha sido investigado desde 1926, los resultados experimentales difieren 
mucho de analíticos en lo publicado. De manera experimental, la componente fraccional de 0.5x es 
posible de identificar, pero, en los modelos matemáticos no es tan clara. 
La importancia de tener modelos eficaces que sean capaces de representar el evento de 
rozamiento es de alta importancia ya que el tipo de maquinaria donde se presentan estos eventos no 
es aquella de bajo costo, en donde se puedan hacer una gran cantidad de pruebas destructivas para 
corroborar la viabilidad de un diseño. Los avances en modelación dinámica, así como en 
identificación de fallas, contribuyen a la operación segura de dichos equipos. 
 
En el siguiente capítulo se acotará el propósito de esta tesis mediante el planteamiento del 
problema, objetivos, alcances y limitaciones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 
CAPÍTULO 3. IDENTIFICACIÓN DEL PROBLEMA 
 
3.1 BREVE DESCRIPCIÓN 
Los modelos matemáticos que han buscado caracterizar el rozamiento en rotores, en general tienen 
problemas para mostrar con claridad la componente 0.5x de vibración asociada al rozamiento, 
aunque de manera experimental sea posible identificarla con claridad. Como consecuenciade esto, 
sigue existiendo la necesidad de crear mejores modelos dinámicos del evento de rozamiento. 
El modelo de fricción de Coulomb es el modelo que principalmente se utiliza al momento de 
modelar el evento de rozamiento. Como se mencionó en el capítulo anterior, la fricción de Coulomb 
es un modelo simple que facilita los cálculos relacionados a la fuerzas de fricción. Sin embargo, 
existen diferentes modelos de fricción que pueden ser evaluados en los modelos dinámicos del 
evento de rozamiento con el fin de mejorar los modelos actuales del evento de rozamiento. 
 Por otro lado, el uso de una herramienta de análisis de señales como lo son las wavelets en el 
post-proceso de respuestas de un modelo dinámico o de datos experimentales, representa una técnica 
idónea debido a la naturaleza no-lineal del evento de rozamiento vs. la tradicional técnica de análisis 
mediante la FFT. 
 
3.2 OBJETIVO GENERAL 
Desarrollar el modelo de Muszynska de predicción de rozamiento con una carcasa, modificando la 
componente de fricción por el modelo propuesto por Oden-Martins. El modelo se verificará 
comparando las predicciones numéricas con resultados experimentales utilizando un rotor tipo 
Jeffcott. Los resultados se compararán utilizando mapas tiempo-frecuencia obtenidos mediante 
wavelets. 
 
3.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS 
 Incluir el modelo de fricción de Oden-Martins en el modelo de rozamiento de Muszynska. 
 Resolver el modelo numéricamente para los diferentes casos de fricción que se presentan. 
 Poner en marcha, caracterizar dinámicamente y probar el sistema con un banco de pruebas 
experimental. 
 Analizar los resultados numéricos y experimentales por medio de wavelets con el fin de 
identificar y caracterizar el fenómeno del rozamiento en rotores. 
 
3.4 ALCANCE DEL TRABAJO 
 Creación de un modelo matemático que defina el comportamiento de un rotor elástico (tipo 
Jeffcott), que incluya el modelo de fricción de Oden-Martins y que sea capaz de predecir el 
fenómeno de rozamiento parcial (ligero) y el rozamiento total (severo). 
 Simulación dinámica mediante SIMULINK™ de los eventos de rozamiento ligero y severo. 
17 
 
 
 Experimentación por medio de un banco de pruebas de un rotor de laboratorio tipo Jeffcott, 
prestado por la División de Investigación y Posgrado de la Facultad de Ingeniería de la 
Universidad Autónoma de Querétaro (UAQ). El banco de pruebas fue construido 
anteriormente por alumnos de la UAQ; el banco de pruebas no es un rotor kit “Bently” o 
parte de alguna máquina comercial y será probado en una única configuración. 
 Obtención y almacenamiento de señales de vibración por medio del banco de pruebas e 
instrumentación adicional. 
 Análisis de señales de la parte de simulación y experimentación, por medio de espectros de 
frecuencia y wavelets. 
 
3.5 DELIMITACIONES 
 La localización del área de rozamiento será en un solo punto de contacto. 
 El rozamiento será provocado con un tornillo de fricción y el movimiento de la flecha. 
 Se estudiaran 3 casos: 1) no fricción, 2) rozamiento ligero y 3) rozamiento severo. 
 El banco de pruebas será caracterizado dinámicamente mediante una prueba de impacto. 
 El análisis de señales mediante wavelets se llevará a cabo mediante el software 
AUTOSIGNAL™ 
 
3.6 MÉTODOS Y TÉCNICAS 
1. Revisión de los modelos existentes: artículos y literatura. 
2. Planteamiento del modelo matemático. 
3. Calibración y ajustes en el modelo matemático. 
4. Simulación del rozamiento entre rotor/estator por medio del modelo matemático. 
5. Puesta en marcha del banco de pruebas. 
6. Pruebas experimentales. 
7. Verificación de resultados. 
 
En el siguiente capítulo se presentarán los componentes principales del modelo dinámico a 
proponer en esta tesis: 1) modelo de rozamiento de Muszynska y 2) modelo de fricción de Oden-
Martins. Además, se hará una presentación teórica sobre la transformada wavelet. 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
CAPÍTULO 4. MARCO TEÓRICO 
 
4.1 ECUACIONES DE MOVIMIENTO 
Las ecuaciones de movimiento del modelo de simulación que se presentará a continuación, están 
basadas en un modelo de rozamiento presentado por Muszynska [6]. Dicho modelo tiene su origen 
en las ecuaciones de movimiento básicas para un rotor Jeffcott en notación compleja, contando con 
una fuerza de desbalance como fuerza de excitación: 
𝑀�̈� + 𝐷�̇� + 𝐾𝑧 = 𝑚𝑟Ω2e𝑗(Ω𝑡+𝛿), (4.1) 
donde: 
𝑀 – Masa del disco, 
𝐷 - Amortiguamiento, 
𝐾 - Rigidez, 
𝑧 = 𝑥 + 𝑗𝑦 - Conjugado del desplazamiento lateral y vertical, 
�̇� - Conjugado de la velocidad, 
�̈� - Conjugado de la aceleración, 
𝑚 - Masa de desbalance del rotor, 
𝑟 - Radio del eje geométrico al punto de desbalance del rotor, 
Ω - Velocidad rotacional del rotor, 
𝛿 - Orientación angular del desbalance del rotor, 
𝑡 - Tiempo. 
 
 Es fácil notar que la ecuación 4.1 es siempre válida para los casos en los que el 
desplazamiento radial del rotor es menor al claro que exista con el estator o cualquier parte 
estacionaria. 
 
Ahora, para poder utilizar el mismo rotor Jeffcott de la ecuación 4.1 en un evento de 
rozamiento, es necesario incluir los términos no-lineales de rigidez y amortiguamiento que aparecen 
al entrar en contacto con el elemento estacionario. Además, es necesario definir la distancia de claro, 
que es la distancia que una vez que el desplazamiento radial sea igual o mayor, se dará por iniciado 
el evento de rozamiento. 
19 
 
 
Por ello, Muszynska [6], presenta la siguiente ecuación (4.2) para el caso de rozamiento con 
una carcasa como se muestra en la Figura 4.1: 
 
Figura 4.1 Rotor con rozamiento con una carcasa [6] 
 
𝑀�̈� + 𝐷�̇� + 𝐾𝑧 + [(𝐾𝑠 + 𝑓𝑠(|𝑧|))𝑧(1 + 𝑗𝜇)] (1 −
𝑐
|𝑧|
) + (𝐷𝑑 + 𝑓𝑑(|𝑧|))�̇� = 𝑚𝑟Ω
2e𝑗(Ω𝑡+𝛿), (4.2) 
donde: 
|𝑧| = √𝑥2 + 𝑦2 - Desplazamiento radial del rotor, 
𝑐 – Claro radial entre el rotor y parte estacionaria, 
𝜇 – Coeficiente de fricción de Coulomb, 
Ω – Velocidad de rotación del rotor, 
K𝑠 – Rigidez lineal de la parte estacionaria, 
𝑓𝑠(|𝑧|) - Función de la rigidez no-lineal de la parte estacionaria, 
D𝑑 – Amortiguamiento de la parte estacionaria, 
𝑓𝑑(|𝑧|) - Función del amortiguamiento no-lineal de la parte estacionaria. 
 
 La ecuación 4.2 es aplicable para el caso cuando |𝑧| ≥ 𝑐, esto significa para todo momento 
en que el desplazamiento radial es igual o mayor al claro. 
20 
 
 
En la sección 4.3 de este capítulo, la ecuación 4.2 de full-anular rubbing será modificada de tal 
manera que el área de rozamiento sea limitada a un solo punto de contacto que será el equivalente 
del tornillo de fricción. Además, el modelo de fricción será cambiado por el de Oden-Martins que 
será presentado a continuación en la sección 4.2. 
 
4.2 MODELO DE FRICCIÓN DE ODEN-MARTINS 
El modelo de fuerza de fricción de Oden-Martins [56] es un modelo relativamente simple, el cual 
incluye la porción estática y dinámica del fenómeno de fricción y está basado en experimentación. 
El modelo está representado por la ecuación siguiente: 
f(x) = μ[C0 + C1|x| + C2|�̇�|)] sgn(�̇�), (4.3) 
donde cada uno de los términos C0, C1 y C2, tienen las siguientes unidades: 
C0 − [N] 
C1 − [
N
m
] 
C2 − [
kg
s
] 
 
 El modelo está basado en la figura 4.2 que se muestra a continuación. El efecto de la rigidez, 
amortiguamiento y normal están representados por los parámetros C0, C1 y C2 de la ecuación 4.3 si 
se toma en cuenta las unidades de cada parámetro. En el caso del rotor Jeffcott con rozamiento que 
se pretende modelar, el desplazamiento en la base viene a ser definido por el desplazamiento 
tangencial del rotor. 
 
Figura 4.2 Modelo de fricción de Oden-Martins [56] 
 
El modelo incluye tres efectos:1) el efecto conocido de la fricción de Coulomb, 2) el efecto 
relacionado al desplazamiento relativo y 3) el efecto relacionado a la velocidad relativa. El término 
C1 al ser multiplicado por el desplazamiento relativo, representa la fuerza de fricción debida a la 
21 
 
 
rigidez y el término C2, al ser multiplicado por la velocidad relativa representa la fuerza de fricción 
debida al amortiguamiento. 
 
El modelo de fricción de Oden-Martins también ha sido aplicado en otros escenarios como el 
de la estimación de la fuerza de fricción en herramientas de corte en procesos de maquinado [57]. 
Este modelo será el que se empleará al momento de crear las ecuaciones del sistema dinámico en la 
sección 4.3. 
 
4.3 NUEVO MODELO DEL SISTEMA 
Las ecuaciones que se presentan a continuación en esta sección, son las que definen el sistema 
utilizado para este trabajo de tesis. Para este caso, es necesario añadir ciertas modificaciones: 1) 
cambiar el tamaño de la zona de rozamiento de 360° a una puntual que será equivalente al tornillo 
de fricción a utilizar en los experimentos, 2) incremento mediante una función escalón de los efectos 
no-lineales al momento del rozamiento y 3) ajuste de la función de la rigidez no-lineal de la parte 
estacionaria, basada en el modelo de fricción de Oden-Martins. 
𝑀�̈� + 𝐷�̇� + 𝐾𝑧 + 𝐴𝐵 {[(𝐾𝑠 +
𝑓𝑠(|𝑧|)
|𝑧|
) 𝑧(1 + 𝑗𝜇)] (1 −
𝑐
|𝑧|
) + (𝐷𝑑 + 𝑓𝑑(|𝑧|))�̇�} = 
= 𝑚𝑟Ω2e𝑗(Ω𝑡+𝛿), (4.4) 
donde: 
𝐴 – Definición e identificador del rango de contacto, 
𝐵 – Incremento no-lineal de las propiedades de rigidez y amortiguamiento, 
𝑓𝑠(|𝑧|) - Función de la rigidez no-lineal de la parte estacionaria basada en el modelo de fricción de 
Oden-Martins. 
 
Los términos A y B quedan definidos como 
𝐴 = {1 para 0 < atan (
𝑦
𝑥
) < 𝑡ℎ ; 0 para 𝑡ℎ < atan (
𝑦
𝑥
) < 2𝜋}, 
𝐵 ≈ 0.7𝐾𝑠. 
El intervalo angular [0 − 𝑡ℎ] es el encargado de definir el intervalo de contacto del tornillo 
de fricción a utilizar en el experimento. El factor 𝐵 es aproximadamente igual a la rigidez de la parte 
estacionaria. 
22 
 
 
4.3.1 DESARROLLO DE LAS ECUACIONES DEL SISTEMA EN COORDENADAS 
RECTANGULARES (X-Y) 
En esta sección se desarrollará la ecuación 4.4 en coordenadas rectangulares (X-Y) con el fin de 
facilitar la definición y análisis del sistema al momento de ser creado su modelo de simulación en 
SIMULINK™. Por ejemplo, la ecuación 4.1 del rotor Jeffcott sin fricción, se puede descomponer en 
dos ecuaciones como se muestra a continuación: 
𝑀�̈� + 𝐷�̇� + 𝐾𝑥 = 𝑚𝑟Ω2𝑐𝑜𝑠(Ω𝑡 + 𝛿), (4.5) 
𝑀�̈� + 𝐷�̇� + 𝐾𝑦 = 𝑚𝑟Ω2𝑠𝑒𝑛(Ω𝑡 + 𝛿). (4.6) 
 
 Ahora, para hacer el desarrollo de manera gradual, el cuarto término de la ecuación 4.2 que 
se encuentra íntegro en la ecuación 4.4 que se busca desarrollar, queda definido como: 
[(𝐾𝑠 +
𝑓𝑠(|𝑧|)
|𝑧|
) 𝑧(1 + 𝑗𝜇)] (1 −
𝑐
|𝑧|
) = 
= [1 −
𝑐
|𝑧|
] [(𝐾𝑠 +
𝑓𝑠(|𝑧|)
|𝑧|
) (𝑥 + 𝜇𝑦) + 𝑗 (𝐾𝑠 +
𝑓𝑠(|𝑧|)
|𝑧|
) (𝜇𝑥 + 𝑦)]. (4.7) 
 
 El quinto término de la ecuación 4.2 que también se encuentra íntegro en la ecuación 4.4, 
queda definido como: 
(𝐷𝑑 + 𝑓𝑑(|𝑧|))�̇� = (𝐷𝑑 + 𝑓𝑑(|𝑧|))�̇� + 𝑗(𝐷𝑑 + 𝑓𝑑(|𝑧|))�̇�. (4.8) 
Sin embargo, debido a que el modelo de fricción de Oden-Martins ya cuenta con un término que 
hace uso de la velocidad, los términos de la ecuación 4.8 son ignorados para no duplicar el efecto 
del amortiguamiento. 
 
 Existe un término adicional que se decidió incluir en la simulación y es el correspondiente a 
la fuerza de excitación debida a la desalineación en el banco de pruebas. En el capítulo 6 se mostrará 
su presencia como una componente 2x de vibración en los datos experimentales para justificar su 
presencia. 
 
 Resumiendo, al incluir el desarrollo de las ecuaciones 4.5 a 4.7 y el efecto estimado de la 
desalineación, la ecuación 4.4 da lugar a las siguientes ecuaciones: 
 
23 
 
 
𝑀�̈� + 𝐷�̇� + 𝐾𝑥 + 𝐴𝐵 {[1 −
𝑐
|𝑧|
] [(𝐾𝑠 +
𝑓𝑠(|𝑧|)
|𝑧|
) (𝑥 + 𝜇𝑦)]} = 
= 𝑚𝑟Ω2𝑐𝑜𝑠(Ω𝑡 + 𝛿) + 0.6𝑚𝑟Ω2𝑐𝑜𝑠(2Ω𝑡 + 𝛿), (4.9) 
𝑀�̈� + 𝐷�̇� + 𝐾𝑦 + 𝐴𝐵 {[1 −
𝑐
|𝑧|
] [(𝐾𝑠 +
𝑓𝑠(|𝑧|)
|𝑧|
) (𝜇𝑥 + 𝑦)]} = 
= 𝑚𝑟Ω2𝑠𝑒𝑛(Ω𝑡 + 𝛿) + 0.6𝑚𝑟Ω2𝑠𝑒𝑛(2Ω𝑡 + 𝛿). (4.10) 
 
 Las ecuaciones 4.9 y 4.10 serán modeladas en SIMULINK™ y serán presentadas en el 
capítulo 5. Sin embargo, las soluciones que se obtendrán de la simulación, como ya se ha 
mencionado, aparte de procesarlas mediante la FFT, serán procesadas por medio de wavelets para su 
posterior comparación con los mapas tiempo-frecuencia de los datos experimentales. Por ello, es 
pertinente en este capítulo hacer una introducción a las wavelets. 
 
4.4 WAVELETS 
Como ya se comentó en el capítulo pasado, la transformada wavelet es capaz de superar las 
dificultades inherentes a la STFT. Para este trabajo, el tipo de transformada wavelet a utilizar será la 
transformada wavelet continua (CWT, pos sus siglas en inglés). Como mencionan Sevilla et al [58], 
la principal ventaja de la CWT es su excelente desempeño con buena resolución de tiempo a altas 
frecuencias y buena resolución de frecuencia a bajas frecuencias. Además, la CWT ha sido usada 
eficientemente para detectar fallas en sistemas mecánicos [59], [60]. 
 
A grandes rasgos, la wavelet hace uso de su capacidad de ser trasladada en el tiempo así 
como de ser escalada con el fin de correlacionar señales. Por ejemplo, en la Figura 4.3 de Ghori 
[61], se muestra en (A) la señal original, la señal de onda (B) muestra una wavelet de Daubechies 20 
(Db20) que dura aproximadamente 1/8 de segundo y que abarca de 0 a 1/4 de segundo. Al hacer la 
comparación directa con la señal original, se puede ver que no es muy buena por lo que el valor de 
correlación es pequeño. El autor, sigue explicando que si la wavelet Db20 es recorrida en el tiempo 
(desplazada hacia la derecha), se tendrá un mejor valor de correlación, pero seguirá siendo malo 
debido a las diferentes frecuencias entre la señal (C) y la (A). La wavelet Db20 (D) es estirada por 2 
(escalada) y su frecuencia es aproximadamente igual a la de la señal (A), obteniendo una buena 
comparación entre señales con un valor de correlación alto. 
24 
 
 
 
Figura 4.3 Proceso de correlación mediante una wavelet Db20 [61] 
 
Las wavelets no son exclusivas para análisis de señales de sistemas mecánicos, también han 
sido usados otros campos tan variados como: sismología, astrofísica, procesamiento de señales, 
procesamiento de imágenes, electrocardiografía, meteorología por nombrar a algunos. Al momento 
de realizar la investigación bibliográfica para esta tesis, se encontraron cuatro trabajos de tesis 
dentro de la UNAM relacionados con wavelets. Por mencionar un par de ellos, p. ej.: 1) en 
ingeniería eléctrica, “Análisis Espectral Wavelet de la Capa de Hielo del Ártico” de Alfredo Durán 
Huerta y 2) en ingeniería civil, “Transformada Wavelet en Hidráulica” de Gerardo Ruiz Solorio. 
 
La CWT permite identificar el instante de tiempo en el que se presenta cada una de las 
frecuencias de referencia y trasforma una señal unidimensional en una función bidimensional en 
términos del tiempo y la frecuencia. La ecuación general de la CWT se determina con la siguiente 
ecuación: 
 







 
 dt
s
t
tx
s

 *
1
=)(s, ,(4.11) 
donde s, es el factor de escala en el dominio de la frecuencia que correlaciona la señal original x(t) 
con la función madre y ψ*((t-τ)/s) es la función compleja conjugada de la función madre. Existen 
muchas funciones madre, algunos de ellos se muestran en la figura 4.4: 
25 
 
 
 
Figura 4.4 Ejemplos de tipos de wavelets [62] 
 
De acuerdo con Rafiee et al [62] la wavelet de Morlet, mostrada en la figura 4.5, es la que 
mejor despliega los fenómenos no lineales y las respuestas transitorias en señales de vibración. La 
función Morlet se determina de acuerdo a la ecuación 4.5: 
 
22
2
0
ee=
2i





 s
t
s
t
f
s
t






 





 
, (4.12) 
donde f0, α, β son parámetros constantes que se ajustan en función de la resolución y las frecuencias 
características de la señal analizada. 
 
Figura 4.5 Función madre Morlet para una frecuencia específica, β = 8 [48] 
 
 La manera en que se representa la correlación de una señal contra una CWT específica como 
la de Morlet es mediante un escalograma que tiene la forma de un mapa tiempo-frecuencia. Es 
posible decir que si se pretende hacer un análisis cualitativo de la correlación de una señal mediante 
una CWT, el mapa 2-D tiempo-frecuencia es suficiente (Fig. 4.6). Por otro lado, si lo que se busca 
es tener un análisis cuantitativo de la correlación, en ese caso es necesario incorporar un tercer eje 
para poder determinar la cantidad de correlación (Fig. 4.7). 
http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=wavelet+types&source=images&cd=&cad=rja&docid=M_CVilfnOZrJBM&tbnid=4aDOKKlM21RckM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.satmagazine.com/cgi-bin/display_article.cgi?number=558891193&ei=Y44MUeDaGcfK2AWfmoHoDw&psig=AFQjCNFV-k3NOXnficaWKIXdZTKNysFbNw&ust=1359863566917721
26 
 
 
 
Figura 4.6 Características del mapa tiempo-frecuencia 
 
 
Figura 4.7 Desarrollo de un mapa tiempo-frecuencia 3-D [64] 
 
 En el siguiente capítulo se presentará el modelo de simulación y los parámetros utilizados. 
La simulación será ajustada de tal manera que se puedan analizar dos casos de interés: 1) fricción 
leve y 2) fricción severa. 
 
 
 
27 
 
 
CAPÍTULO 5. MODELO DE SIMULACIÓN 
 
5.1 USO DEL SOFTWARE SIMULINK™ 
SIMULINK™ fue seleccionado como el software de simulación para representar las ecuaciones del 
sistema. La elección se debe a la gran flexibilidad y facilidad de uso que el programa ofrece. La 
programación en bloque del software ayudó en gran medida a la definición de las ecuaciones 4.9 y 
4.10, así como el cambio de valores en condiciones iniciales y condiciones de frontera al momento 
de hacer pruebas. 
 El modelo de simulación creado, pudo haber tenido otra fuente como el lenguaje C o 
MATLAB™, sin embargo, estas opciones hubieran involucrado una mayor complejidad en términos 
de programación y resolución de problemas de convergencia. 
 
5.2 DESCRIPCIÓN DEL MODELO DE SIMULACIÓN 
El modelo de simulación, compuesto por las ecuaciones 4.9 y 4.10, se presenta a 
continuación en términos de los bloques en los que fue definido. Para que el modelo pueda ser 
visualizado con claridad en este texto, es necesario utilizar varias figuras para mostrarlo en su 
totalidad. Los bloques que contienen funciones internas serán mostrados en figuras por separado 
para que sean explicados propiamente. 
 
Figura 5.1 Mapa de los cuadrantes del modelo de simulación 
 
28 
 
 
La Figura 5.1 muestra el modelo de simulación en su totalidad. Como extra, se muestran 
líneas de división, para ubicar las figuras de detalle de cada cuadrante del modelo. 
 
Figura 5.2 Componente horizontal: fuerzas e integración 
 
 
Figura 5.3 Componente horizontal: porción no-lineal 
 
 
 
29 
 
 
 
Figura 5.4 Componente vertical: fuerzas, integración e identificación de intervalo angular 
 
 
Figura 5.5 Componente vertical: porción no-lineal 
 
 Cada componente rectangular, cuenta con su contribución de fuerza de desbalance y 
desalineación. 
 
5.2.1 EVALUACIÓN DEL INTERVALO DE CONTACTO 
La evaluación del intervalo de contacto se muestra en la figura 5.6 y es equivalente a los términos A 
y B de las ecuaciones 4.9 y 4.10. El procedimiento es el siguiente: 1) se calcula el ángulo de 
orientación en base a los valores de X y Y, 2) se evalua si dicho ángulo está dentro del rango 
30 
 
 
definido de contacto, y 3) si el ángulo está dentro del intervalo [0-th], la función se vuelve igual a 1 
y es multiplicada por el término B. 
 
Figura 5.6 Evaluación del intervalo de contacto 
 
5.2.2 BLOQUE DE AUMENTO DE RIGIDEZ 
El bloque de aumento de rigidez se muestra expandido en la Figura 5.7 y solo incluye los dos 
primeros términos dentro del corchete y que son multiplicados por AB. Nótese como el bloque 
𝑓𝑠(|𝑧|) está dividido por |𝑧|, para mantener la consistencia de unidades al sumar la rigidez de la 
parte estacionaria (estator) y aquella no-lineal, basada en el modelo de fricción de Oden-Martins. 
 
Figura 5.7 Bloque de aumento de rigidez 
 
5.2.3 BLOQUE DEL MODELO DE FRICCIÓN DE ODEN-MARTINS 
El bloque 𝑓𝑠(|𝑧|) está definido en la figura 5.8 y contiene al modelo de fricción de Oden-Martins. 
31 
 
 
 
Figura 5.8 Modelo de fricción de Oden-Martins (Simulink) 
 
5.3 PARÁMETROS DE LA SIMULACIÓN 
 A continuación, en la tabla 5.1, se muestran los parámetros utilizados para la simulación. 
Parámetro Valor 
M 2 kg 
D 81.73 kg/s 
K 159,887 N/m 
m 0.291 kg 
r 0.025 m 
B 40 
Ks 0.7K = 111,920 N/m 
C0 A definir en la sección 5.4 
C1 A definir en la sección 5.4 
C2 A definir en la sección 5.4 
µ 0.5 
Ω 2220 rpm = 232.5 rad / s 
Tabla 5.1 Parámetros de la Simulación 
 
Los datos de relativos a la naturaleza dinámica del sistema: amortiguamiento y rigidez, fueron 
estimados a partir de la caracterización del banco de pruebas mediante una prueba de impacto que 
está incluida en la sección 6.2. Como datos adicionales (que no fueron requeridos en la simulación), 
el diámetro de la flecha es de 0.01905 m (3/4”), con una longitud aproximada entre rodamientos de 
1 m. 
El valor del claro es igual a 0.0025 m para el caso de fricción leve y 0 para el caso de 
fricción severa o fricción completa. La condición inicial del modelo se encuentra en los bloques de 
32 
 
 
integración de Vx y Vy y es igual a 1E-7 m/s. La simulación dura 2 segundos, tiene un intervalo fijo 
de tiempo de 1E-5 segundos y usa el Solver ode3 (Bogacki-Shampine). 
 
5.4 CALIBRACIÓN DEL MODELO DE FRICCIÓN 
El modelo de fricción de Oden-Martins cuenta con tres variables (C0, C1 y C2) descritas en la 
sección 4.2. Los valores finales mostrados anteriormente en la tabla 5.1, fueron seleccionados como 
aquellos valores que brindan una solución estable, que converge en el tiempo y que hace sentido 
físico de las condiciones físicas del sistema, p.ej. el desplazamiento radial posible dados los 
parámetros del sistema. Por ejemplo, tomando en cuenta la rigidez del sistema y la fuerza de 
desbalance en él, podemos obtener el desplazamiento radial esperado: 
𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑙 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 =
𝐹desbalance
𝐾
=
𝑚𝑒𝜔2
𝐾
= 0.002459 m. (5.1) 
 
 El valor de C0, que multiplica directamente al término del coeficiente de fricción, se puede 
estimar como el valor de la fuerza normal (masa del sistema x aceleración de la gravedad). 
Entonces, si C0 = 19.62 y C1=C2=0, además de tomar los valores para fricción leve (claro = 0.0025 
m), el desplazamiento radial se ve como la Figura 5.9: 
 
Figura 5.9 Desplazamiento radial (C0=19.62, C1=C2=0) 
 
Algunas consideraciones que se pueden mencionar de la Figura 5.9, son: 1) El valor de C0 permite 
que haya convergencia en la solución y sea estable. 2) El desplazamiento radial indica que en 
33 
 
 
algunos momentos es mayor al valor del claro.El sentido físico de un valor mayor del claro en la 
zona de contacto es el que existe penetración. 
 
 El siguiente paso fue fijar el valor de C0=19.62, C2=0 y cambiar el valor de C1. Lo que se 
pudo observar es que si C1 aumenta, la amplitud del desplazamiento radial también aumenta y está 
completamente definida en el intervalo de simulación. Se evaluaron valores desde .25 hasta 1E30 y 
se eligió fijar el valor de C1 como 0.25. La Figura 5.10 muestra el desplazamiento radial con dichos 
valores de C0, C1 y C2. 
 
Figura 5.10 Desplazamiento radial (C0=19.62, C1=0.25, C2=0) 
 
 De la misma manera, fijando los valores de C0=19.62 y C1=0.25, se procedió a analizar el 
efecto del cambio de C2. Se pudo observar el mismo comportamiento de C1 en C2. A medida que 
C2 aumenta, el desplazamiento radial aumenta y está definido durante el tiempo de la simulación. Se 
evaluaron valores desde 0.5 hasta 1E30 y se eligió fijar el valor de C2 como 0.5. La Figura 5.11 
muestra el desplazamiento radial con dichos valores de C0, C1 y C2. 
34 
 
 
 
Figura 5.11 Desplazamiento radial (C0=19.62, C1=0.25, C2=0.5) 
 
 Los valores mostrados en la Figura 5.11 serán los utilizados en las simulaciones de la 
siguiente sección. 
 
5.5 VALIDACIÓN NUMÉRICA 
En términos de la validación numérica del modelo presentado en esta tesis, es importante mencionar 
que el modelo de simulación se validó solamente en la parte lineal contra los cálculos respectivos 
que se muestran en la sección 5.6.1 para el caso sin fricción. La parte no-lineal se aseguró que no 
tuviera errores de codificación en el modelo de simulación. La intención con respecto a la parte no-
lineal es verificar los resultados de la simulación contra los datos experimentales para poder llegar 
así a conclusiones relevantes. 
 
 Ahora, debido a esta situación, se debe mencionar qué se pretende hacer con respecto a la 
medición del error que pudiera existir al momento de comparar los datos experimentales con los del 
modelo de simulación. Ya que esta tesis se basa en la identificación y caracterización de rozamiento, 
queda claro que si el modelo no fuere capaz de representar el rozamiento en una componente de 
0.5x la velocidad de rotación como se revisó en el Capítulo 2, resultaría inútil comparar el error de 
los resultados a dicha frecuencia. Esto no quiere decir que el modelo no funcionara en su totalidad, 
cabe la posibilidad que el modelo no sea preciso. 
35 
 
 
Por lo tanto, una comparación cualitativa a 0.5x la frecuencia de rotación, precede cualquier 
posible medición útil de error. Para el caso en el que la frecuencia de 0.5x se presente, el proceso de 
medición de error sería el ampliar el mapa tiempo-frecuencia de dos a tres dimensiones, en donde 
operaciones estadísticas sobre las mediciones en el eje de la amplitud sean quienes determinen el 
error entre ellas. 
 
5.6 RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN 
A continuación se presentarán tres escenarios de fricción con el modelo de simulación: 1) sin 
fricción, 2) fricción leve y 3) fricción severa o completa. Para cada caso, se presentará la respuesta 
en el tiempo, FFT y Wavelet 2D continua (mapa tiempo-frecuencia). 
Por otro lado, los mismos casos serán presentados posteriormente en el capítulo de 6: 
Experimentación. 
5.6.1 SIN FRICCIÓN 
La manera en la que el modelo de simulación se convierte en uno lineal sin fricción, es cuando se 
asigna el valor de cero a la variable B del incremento no-lineal de las propiedades de rigidez y 
amortiguamiento. La Figura 5.12 muestra la respuesta en el tiempo de X, la componente horizontal 
de desplazamiento. 
 
Figura 5.12 Desplazamiento Horizontal (sin fricción) 
 
La Figura 5.13 muestra el espectro de frecuencia de la componente horizontal. En él, es 
posible ver la componente 1x y 2x asociadas a la velocidad de rotación (37 Hz = 2220 rpm). 
Desplazamiento Horizontal (sin fricción)
0 0.5 1 1.5 2
Tiempo [ s ]
-0.0003
-0.0002
-0.0001
0
0.0001
0.0002
0.0003
D
e
s
p
la
z
a
m
ie
n
to
 [
 m
 ]
36 
 
 
Además, la componente de 44.96 Hz que se presupone que es la frecuencia natural del sistema. El 
cálculo en la ecuación 5.2 demuestra que en efecto corresponde a la frecuencia natural. 
𝑓𝑛 =
1
2𝜋
√
𝐾
𝑀
=
1
2𝜋
√
159,887 
N
m
2 kg
= 45 Hz. (5.2) 
 
Figura 5.13 Desplazamiento Horizontal (sin fricción): FFT 
 
 
Figura 5.14 Desplazamiento Horizontal (sin fricción): Mapa tiempo-frecuencia 
 
Desplazamiento Horizontal (sin fricción)
X (FFT)
 37 
 44.96 
 74 
 77.2 
0 40 80 120 160 200
Frecuencia [ Hz ]
0
2.5e-05
5e-05
7.5e-05
0.0001
0.000125
0.00015
0.000175
0.0002
A
m
p
lit
u
d
Desplazamiento Horizontal (Sin fricción)
CWT Espectro Tiempo-Frecuencia
0 0.5 1 1.5 2
Tiempo [ s ]
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
F
re
c
u
e
n
c
ia
 [
 H
z
 ]
37 
 
 
5.6.2 FRICCIÓN LEVE 
El caso de fricción leve es simulado con un claro de 0.0025 m y con un intervalo de contacto de 5 
grados, incorporado en la variable th del rango angular [0-th]. La Figura 5.15 muestra el 
comportamiento del desplazamiento horizontal cuando existe fricción leve. 
 
Figura 5.15 Desplazamiento Horizontal (fricción leve) 
 
La Figura 5.16 muestra el espectro de frecuencia de la componente horizontal en el caso de 
fricción leve. En él, es posible ver aún la componente 1x de la velocidad de rotación (37 Hz). 
 
Figura 5.16 Desplazamiento Horizontal (fricción leve): FFT 
Desplazamiento Horizontal (fricción leve)
0 0.5 1 1.5 2
Tiempo [ s ]
-0.002
-0.0015
-0.001
-0.0005
0
0.0005
0.001
0.0015
0.002
0.0025
0.003
D
e
s
p
la
z
a
m
ie
n
to
 [
 m
 ]
Desplazamiento Horizontal (fricción leve)
X (FFT)
 37.01 
 43 
 45.49 
 51.47 
0 20 40 60 80 100
Frecuencia [ Hz ]
0
0.00025
0.0005
0.00075
0.001
0.00125
A
m
p
lit
u
d
38 
 
 
 
Figura 5.17 Desplazamiento Horizontal (fricción leve): Mapa tiempo-frecuencia 
 
5.6.3 FRICCIÓN SEVERA 
El caso de fricción severa, el claro es fijado a 0 para que desde el inicio exista contacto. Además, el 
área de contacto es fijada a 360 grados. 
 
Figura 5.18 Desplazamiento Horizontal (fricción completa – 360 grados) 
 
Desplazamiento Horizontal (fricción leve)
CWT Espectro Tiempo-Frecuencia
0 0.5 1 1.5 2
Tiempo [ s ]
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
F
re
c
u
e
n
c
ia
 [
 H
z
 ]
Desplazamiento Horizontal (fricción completa)
0 0.5 1 1.5 2
Tiempo [ s ]
-2e+19
-1e+19
0
1e+19
2e+19
3e+19
4e+19
D
e
s
p
la
z
a
m
ie
n
to
 [
 m
 ]
39 
 
 
 La Figura 5.18 muestra que el desplazamiento horizontal aunque está definido en el intervalo 
de simulación, en realidad no está convergiendo. La amplitud en la Figura 5.19 es otra señal de que 
algo está mal en este caso. 
 
Figura 5.19 Desplazamiento Horizontal (fricción completa): FFT 
 
 La Figura 5.20 muestra que la componente de 72 Hz es la que tiene mayor participación en 
la simulación. 
 
Figura 5.20 Desplazamiento Horizontal (fricción completa): Mapa tiempo-frecuencia 
Desplazamiento Horizontal (fricción completa)
X (FFT)
 72.03 
 144.1 
 214.9 
 285.2 
0 80 160 240 320 400
Frecuencia [ Hz ]
0
5e+16
1e+17
1.5e+17
2e+17
2.5e+17
3e+17
3.5e+17
4e+17
4.5e+17
5e+17
A
m
p
lit
u
d
Desplazamiento Horizontal (fricción completa)
CWT Espectro Tiempo-Frecuencia
0 0.5 1 1.5 2
Tiempo [ s ]
0
25
50
75
100
125
150
F
re
c
u
e
n
c
ia
 [
 H
z
 ]
40 
 
 
 Con la intención de analizar un poco más el comportamiento en el caso de fricción severa, se 
analizaron los casos con intervalos de contacto de 90, 120 y 135 grados con el fin de entender el 
comportamiento de la simulación. Las Figuras 5.21 a 5.27 muestran los resultados. 
 
Figura 5.21 Desplazamiento Horizontal (fricción severa – 90 grados) 
 
 
Figura 5.22 Desplazamiento Horizontal (fricción severa – 90 grados): FFT 
 
DesplazamientoHorizontal (fricción severa - 90 grados)
0 0.5 1 1.5 2
Tiempo [ s ]
-0.001
-0.00075
-0.0005
-0.00025
0
0.00025
0.0005
0.00075
0.001
D
e
s
p
la
z
a
m
ie
n
to
 [
 m
 ]
Desplazamiento Horizontal (fricción severa - 90 grados)
X (FFT)
 37 
 45.6 
 47.07 
 51.2 
0 40 80 120
Frecuencia [ Hz ]
0
2.5e-05
5e-05
7.5e-05
0.0001
0.000125
0.00015
0.000175
0.0002
A
m
p
lit
u
d
41 
 
 
 
Figura 5.23 Desplazamiento Horizontal (fricción severa – 90 grados): Mapa tiempo-frecuencia 
 
 
 
Figura 5.24 Desplazamiento Horizontal (fricción severa – 120 grados) 
 
 
Desplazamiento Horizontal (fricción severa - 90 grados)
CWT Espectro Tiempo-Frecuencia
0 0.5 1 1.5 2
Tiempo [ s ]
0
10
20
30
40
50
60
F
re
c
u
e
n
c
ia
 [
 H
z
 ]
Desplazamiento Horizontal (fricción severa - 120 grados)
0 0.5 1 1.5 2
Tiempo [ s ]
-0.0075
-0.005
-0.0025
0
0.0025
0.005
0.0075
D
e
s
p
la
z
a
m
ie
n
to
 [
 m
 ]
42 
 
 
 
Figura 5.25 Desplazamiento Horizontal (fricción severa – 120 grados): FFT 
 
 
 
Figura 5.26 Desplazamiento Horizontal (fricción severa – 120 grados): Mapa tiempo-frecuencia 
Desplazamiento Horizontal (fricción severa - 120 grados)
X (FFT)
 37 
 43.54 
 44.85 
 46.25 
0 24 48 72 96 120
Frecuencia [ Hz ]
0
0.00025
0.0005
0.00075
0.001
0.00125
0.0015
A
m
p
lit
u
d
Desplazamiento Horizontal (fricción severa - 120 grados)
CWT Espectro Tiempo-Frecuencia
0 0.5 1 1.5 2
Tiempo [ s ]
0
10
20
30
40
50
60
F
re
c
u
e
n
c
ia
 [
 H
z
 ]
43 
 
 
 
Figura 5.27 Desplazamiento Horizontal (fricción completa – 135 grados) 
 
5.7 ANÁLISIS DE RESULTADOS 
5.7.1 SIN FRICCIÓN 
El caso sin fricción fue de utilidad para confirmar que los parámetros del sistema están ajustados 
correctamente para obtener la frecuencia natural de 45 Hz, la cual fue observada experimentalmente 
mediante la prueba de impacto (ver sección 6.2 para más detalles). Además, mediante la FFT de la 
Figura 5.13, se pudo identificar con claridad las componentes 1x de velocidad de giro y 2x asociada 
a la desalineación. 
En la CWT de la Figura 5.14, se puede ver como la componente que domina es la de la 
velocidad de giro (1x). La componente 2x es casi imperceptible, como se pudo ver en la FFT de la 
Figura 5.13. La participación de la frecuencia natural se pierde en el evento transitorio (menos de 
0.125 s). 
 
5.7.2 FRICCIÓN LEVE 
En la Figura 5.15 se puede observar como por un instante el desplazamiento horizontal rebasa el 
claro fijado en 0.0025 m. El rebasar el claro fijado, como ya se mencionó, podría ser una señal de 
presencia de penetración entre el disco y la parte estacionaria. Sin embargo, como se vio en la 
sección 5.4, calibración del modelo de fricción, el modelo de simulación no responde de manera en 
que el claro definido nunca sea rebasado. Para este caso, el modelo de simulación está permitiendo 
que existan valores mayores al claro definido. 
En la FFT de la Figura 5.16, se pudo observar aún la componente 1x de la velocidad de 
rotación (37 Hz), sin embargo, la 2x desapareció. Además, tenemos una componente que representa 
Desplazamiento Horizontal (fricción severa - 135 grados)
0 0.5 1 1.5 2
Tiempo [ s ]
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
D
e
s
p
la
z
a
m
ie
n
to
 [
 m
 ]
44 
 
 
1.4x de la velocidad de rotación, la cual no puede ser definida como presencia de rozamiento al no 
ser una frecuencia fraccional (1/2x, 1/3x, 1/4x) como fue mencionado en el capítulo 2. 
La CWT de la Figura 5.17 sirve para identificar los instantes de tiempo en que la frecuencia 
de 1.4x la velocidad de giro aparece junto a la componente 1x. Un aspecto único de la CWT, es que 
nos permite ver como cerca de los 1.5 segundos cuando la respuesta es pequeña en la Figura 5.15, se 
puede percibir una frecuencia cercana a la natural por un momento breve en el que la señal vuelve a 
aumentar en intensidad. Este detalle es uno que no es posible identificar por medio de la FFT de la 
misma señal. 
 
5.7.3 FRICCIÓN SEVERA 
El caso de fricción severa probó ser uno demandante para la simulación porque demostró que el 
modelo no converge (Figura 5.18) para el caso de fricción constante con un intervalo de contacto de 
360 grados. Además, fue posible estimar el valor umbral de intervalo de contacto que está entre 90 y 
135 grados, donde la solución del desplazamiento horizontal deja de converger y crece en el tiempo. 
 
 Los valores de amplitud en la FFT (Figuras 5.19) y la falta de la presencia de la velocidad de 
rotación en la CWT (Figuras 5.20) sólo sirven para corroborar que existe un problema en el modelo 
de simulación. Sin embargo, se puede notar como al hacer menor el intervalo de contacto (caso de 
90 grados), la componente 1x aún aparece y es la componente con mayor amplitud en la Figura 
5.22. Además, la componente 1x está claramente presente en el respectivo mapa tiempo-frecuencia 
de Figura 5.23. Ahora, para el caso de 120 grados, la FFT de la Figura 5.25 nos indica que la 
componente 1x deja de ser la componente con mayor amplitud e incluso, en el respectivo mapa 
tiempo-frecuencia de la Figura 5.26, la componente de la velocidad de rotación deja de estar 
presente. 
 
 La Figura 5.21 (90 grados) podría llevar a pensar nuevamente que existe penetración en el 
modelo y que es menor a un milímetro dado que el claro para este caso es cero. Sin embargo, al 
analizar la Figura 5.24 (120 grados), se puede ver que se tiene una forma de onda similar y escalada 
aproximadamente por un factor de 10, lo que confirma que el modelo no está respetando el valor de 
claro definido y los resultados no están haciendo sentido físico. La figura 5.27 (135 grados) es una 
muestra del valor de rango de intervalo de contacto en el que el desplazamiento horizontal deja de 
converger, alcanzando valores cercanos a 1.5 metros. 
 
5.8 CIERRE DE CAPÍTULO 
En el siguiente capítulo se presentaran el banco de pruebas sobre el cual están basados los 
parámetros de simulación en este capítulo. Como se mencionó anteriormente, se incluirá los 
45 
 
 
resultados de la caracterización dinámica del banco de pruebas (prueba de impacto) y se incluirán 
los resultados para los mismos tres casos analizados con sus respectivos mapas tiempo-frecuencia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
 
CAPÍTULO 6. EXPERIMENTACIÓN 
 
6.1 BANCO DE PRUEBAS 
Como se comentó en el capítulo 3, el banco de pruebas consta de un rotor tipo Jeffcott que fue 
prestado por la División de Investigación y Posgrado de la Facultad de Ingeniería de la Universidad 
Autónoma de Querétaro (UAQ). El banco de pruebas que se muestra en la Figura 6.1, fue construido 
anteriormente por alumnos de la UAQ, por lo que no constituye un rotor kit comercial tipo “Bently” 
y tampoco formó parte de alguna máquina comercial. 
 
Figura 6.1 Banco de pruebas experimentales del rotor tipo Jeffcott 
 
El banco consiste de un rotor flexible con un disco central que cuenta con una masa 
excéntrica de 0.291 kg a un radio de 0.025 m. El rotor está soportado por dos chumaceras que se 
hacen girar con un motor marca BALDOR de velocidad variable (90V, corriente directa). Para 
representar el rozamiento entre el rotor y la carcasa, se instaló un dispositivo que se muestra en la 
Fig. 6.2 que permite modificar la fuerza de fricción entre el rotor y un soporte rígido que simula 
localmente un estator o carcaza. El banco se instrumentó con dos acelerómetros, uno sobre cada 
rodamiento, del tipo MEMS ADXL103 con una resolución de 1000mV/g y un ancho de banda de 
2.5 kHz. La señal de los acelerómetros se conectó a un sistema de adquisición de datos National 
Instruments NIUSB- 6366 de 16 bits con una frecuencia de muestreo de 10kHz con una captura de 
5000 datos. 
47 
 
 
 
Figura 6.2 Dispositivo de rozamiento 
 
El diseño de pruebas se describe en la Tabla 6.1. Para caracterizar dinámicamente el sistema 
se hizo