Diseno-de-polariscopio-circular-para-experimentacion-por-el-metodo-de-fotoelasticidad

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO 
PROGRAMA DE MAESTRÍA Y DOCTORADO EN INGENIERÍA 
 MECÁNICA – DISEÑO MECÁNICO 
 
 
 
 
 
DISEÑO DE POLARISCOPIO CIRCULAR PARA EXPERIMENTACIÓN POR EL MÉTODO 
DE FOTOELASTICIDAD 
 
 
 
 
TESIS 
QUE PARA OPTAR POR EL GRADO DE: 
MAESTRO EN INGENIERÍA 
 
 
 
 
 
PRESENTA: 
RENÉ CANUL MELÉNDEZ 
 
 
 
 
TUTOR (ES) PRINCIPAL(ES) 
DR. SAÚL DANIEL, SANTILLÁN, GUTIÉRREZ, FACULTAD DE INGENIERÍA 
 
 
 
 
JURIQUILLA, QUERÉTARO, D. F. ABRIL 2013 
 
 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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mencionando el autor o autores. Cualquier uso distinto como el lucro, 
reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el 
respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
 
II 
 
 
 
 
 
 
 
JURADO ASIGNADO: 
 
 
 
 
Presidente: DR. LEOPOLDO A. GONZÁLEZ GONZÁLEZ 
 
Secretario: DR. JESÚS MANUEL DORADOR GONZÁLEZ 
 
Vocal: DR. SAÚL DANIEL SANTILLÁN GUTIÉRREZ 
 
1 er. Suplente: DR. JORGE ALFREDO FERRER PÉREZ 
 
2 do. Suplente: DR. CARLOS ROMO FUENTES 
 
 
 
 
 
 
Lugar donde se realizó la tesis: QUERÉTARO 
 
 
 
 
 
 
TUTOR DE TESIS: 
 
DR. SAÚL DANIEL SANTILLÁN GUTIÉRREZ 
 
 
-------------------------------------------------- 
FIRMA 
 
 
 
 
 
III 
Agradecimientos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para Mónica y Alexia porque siempre que las cosas son difíciles con su apoyo y 
amor me hacen darme cuenta que estoy justo donde quiero estar. 
 
Mi padre René y mi madre Virginia porque siempre han creído en mí y me han 
retado a hacer cosas más difíciles, pero siempre han sido ellos los que ponen el 
ejemplo a seguir. 
 
Natalia, Gonzalo y Ángel porque entre todos nos ayudamos a seguir soñando y 
hacemos todo por ayudarnos a realizar esos sueños. 
 
La familia Canul de la que estoy muy orgulloso de pertenecer por todas las 
historias y enseñanzas que me han compartido. 
 
A esos que si son maestros en diferentes escuelas, por todas las ganas, 
paciencia y esfuerzo que ponen para genuinamente transmitir el conocimiento 
a las nuevas generaciones. 
 
A mis amigos, porque aunque no siempre puedo estar allí para ellos, ellos 
siempre están conmigo a través de todas las cosas que me han compartido y 
formado como ser humano. 
 
Agradezco al Fondo Sectorial CONACYT-Secretaría de Energía-Sustentabilidad 
Energética y al proyecto P08 “Diseño y construcción de un aerogenerador 
experimental con capacidad de 5 kW y desarrollo de software de simulación en 
realidad virtual, con fines didácticos” del Centro Mexicano de Innovación en 
Energía Eólica, por el apoyo económico y tecnológico que me fue brindado 
para la realización de esta tesis. 
 
IV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
…en algún momento, todo saldrá mal estando allá, absolutamente 
todo y dirán: se acabó, es todo… esto es mi fin. Pueden simplemente 
aceptarlo o ponerse a trabajar, no hay más. Sólo comienzas, haces 
números, resuelves un problema y luego el siguiente y el siguiente... y 
si resuelves lo suficientes, seguro vuelves. 
Misión Rescate 
 
V 
Contenido 
Introducción _______________________________________________________________________ 1 
I. Marco Teórico __________________________________________________________________ 2 
1.1. Teoría de fotoelasticidad ___________________________________________________ 2 
1.2. Retraso de las ondas de luz bajo campos de esfuerzo __________________________ 3 
1.1. Ley de esfuerzo-óptico y franjas de esfuerzos _________________________________ 4 
1.2. Definición de luz en experimentos de fotoelasticidad ___________________________ 5 
II. Materiales birrefringentes y métodos de calibración para modelos foto-elásticos ________ 6 
2.1. Policarbonato _____________________________________________________________ 7 
2.2. Resinas Epóxicas __________________________________________________________ 8 
2.3. Metodología para calibración de modelos fotoelásticos _________________________ 8 
III. Polariscopio ___________________________________________________________________ 10 
3.1. Placa polarizadora ________________________________________________________ 10 
3.2. Placa de cuarto de onda ___________________________________________________ 11 
3.3. Arreglo de polariscopio plano ______________________________________________ 12 
3.3.1. Patrón isóclina _________________________________________________________ 14 
3.3.2. Patrón isocromático ____________________________________________________ 14 
3.4. Arreglo de polariscopio circular ____________________________________________ 16 
3.5. Método de compensación de Tardy _________________________________________ 19 
IV. Diseño de polariscopio circular ________________________________________________ 22 
4.1. Fuente de luz del polariscopio ______________________________________________ 22 
4.2. Placas polarizadoras ______________________________________________________ 22 
4.3. Placas de cuarto de onda __________________________________________________ 23 
4.4. Bases de placa de cuarto de onda y placas polarizadas ________________________ 24 
4.5. Soportes para bases de placas _____________________________________________ 25 
4.6. Base de prototipo y marco para cargas ______________________________________ 27 
4.7. Bases para aplicación de cargas ____________________________________________ 28 
4.8. Cimiento y rieles para desplazamiento de soportes ____________________________ 29 
V. Diseño de pruebas de fotoelasticidad _____________________________________________ 30 
 
VI 
5.1. Manufactura y características de probeta para calibración ______________________ 30 
VI. Resultados obtenidos en las pruebas ___________________________________________ 32 
6.1. Lectura de isocromáticas __________________________________________________ 32 
6.2. Esfuerzos residuales por maquinado ________________________________________ 34 
VII. Conclusiones ________________________________________________________________ 36 
Referencias _______________________________________________________________________ 37 
Apéndice A. Dibujos de Inspección Polariscopio ________________________________________ 40 
Apéndice B. Fichas Técnicas de Placas Fabricadas por American Polarizers Inc. ______________ 52 
Apéndice C. Ficha Técnica de Placa Acrílico Optix. ______________________________________ 55 
 
 
 
VII 
Índice de Figuras 
 
Figura 1. Elipsoide de índices de refracción y un elemento infinitesimal sometido a esfuerzos 
principales ______________________________________________________________ 2 
Figura 2. Vectores eléctricos y magnéticos asociados a las ondas electromagnéticas de luz 
_______________________________________________________________________________ 5 
Figura 3. Dos vectores de luz con fase inicial diferente y retraso relativo entre ellos 6 
Figura 4. Descomposición de un haz de luz entrando a un polarizador plano ______ 11 
Figura 5. Descomposición de un haz de luz polarizado entrando a una placa de doble refracción 
_______________________________________________________________________ 11 
Figura 6. Modelo analizado en un arreglo de polariscopio plano ___________________ 12 
Figura 7. Patrones de isóclinas en un polariscopio plano con campo obscuro. a) Isóclinas a -
22.5°, b) Isóclinas a 67.5° ____________________________________________ 14 
Figura 8. Patrón de isocromáticas obtenido en un arreglo de polariscopio circular con campo 
claro ____________________________________________________________________ 16 
Figura9. Modelo analizado en un arreglo de polariscopio circular _________________ 16 
Figura 10. Relación entre localizaciones de esfuerzo de interés en isóclinas e isocromáticas para 
uso del Método de Tardy _____________________________________ 22 
Figura 11. Bases de placa y sus características relevantes ________________________ 26 
Figura 12. Contenedores de bases y sus características relevantes ________________ 27 
Figura 13. Bases de placa y sus características relevantes ________________________ 27 
Figura 14. Características relevantes de bases de prototipo y marco para cargas __ 28 
Figura 15. Bases para aplicación de cargas y características relevantes ____________ 30 
Figura 16. Características relevantes en el cimiento y los rieles de soportes _______ 30 
Figura 17. Isocromáticas de disco a compresión para cargas, de izquierda a derecha, de 240.29 
N, 300.36 N y 360.44 N _______________________________________________ 33 
Figura 18. Isocromáticas de disco a compresión durante falla a pandeo (444.98 N). Probetas 
después de falla por pandeo ___________________________________________ 34 
Figura 19. Isocromáticas de disco a compresión con arreglo de campo claro ______ 35 
Figura 20. Probetas de 60 x 2.4 mm y 100 x 5.6 mm cortadas con diferentes métodos de 
manufactura _________________________________________________________________ 36 
Figura 21. Carga máxima para evitar pandeo de acuerdo al diámetro de probeta __ 37 
Figura 22. Máxima diferencia entre esfuerzos principales posible dependiendo del diámetro de 
probeta limitado por pandeo ________________________________________ 38 
 
VIII 
 
Índice de Tablas 
 
Tabla 2.1. Resumen de propiedades mecánicas y ópticas para materiales birrefringentes 
___________________________________________________________________________________ 7 
Tabla 4.1. Secuencia de colores obtenida en polariscopio con campo obscuro y luz 
blanca___________________________________________________________________________ 23 
Tabla 4.2. Ajustes posibles con un ángulo de 45 grados entre el eje de transmisión del polarizador 
y el eje rápido de la placa ___________________________________________ 24 
Tabla 5.1. Carga crítica de pandeo para probetas de diferentes diámetros _________ 32 
Tabla 5.2. Relación entre carga aplicada, diferencia de esfuerzos principales y porcentaje de 
resistencia a la flexión del acrílico ________________________________________ 32 
Tabla 6.1. Relación entre diferencia de esfuerzos principales, orden de franja y el valor de franja de 
esfuerzo del material, fσ ______________________________________________ 33 
Tabla 6.2. Secuencia de colores observadas en el disco a compresión con campo claro y luz blanca 
_____________________________________________________________________ 35 
 
IX 
Lista de Símbolos 
 
Símbolo Definición Unidad SI 
𝑛1, 𝑛2, 𝑛3 Índice de refracción en ejes ortogonales 1, 2 y 3 Adimensional 
𝑛0 Índice de refracción del material sin carga Adimensional 
𝜎1, 𝜎2, 𝜎3 Esfuerzos principales MPa 
𝜎𝑥, 𝜎𝑦, 𝜎𝑧 Esfuerzos ortogonales en ejes x, y, z MPa 
𝜎𝐶 Esfuerzo de cedencia MPa 
𝑐1, 𝑐2 Coeficiente de esfuerzo-óptico Brewsters m
2/N 
𝐶 Coeficiente de esfuerzo-óptico relativo Brewsters m
2/N 
∆ Retraso relativo nm 
ℎ Espesor de placa o modelo birrefringente m 
𝜆 Longitud de onda Nm 
𝑁 Orden de franja o ciclos de retraso Adimensional 
𝑓𝜎 Valor de franja de esfuerzo N/mm 
𝐸 Magnitud de onda del haz de luz en instante 𝑡 
𝛽 Ángulo entre vector de luz y eje rápido de placa birrefringente Grados 
𝛼 Ángulo entre esfuerzo principal 1 y eje de polarización del 
polarizador 
Grados 
𝛾 Ángulo entre localización de interés y franja isocromática 
adyacente 
Grados 
𝐾 Amplitud de vector de intensidad de luz 
𝐼 Intensidad de luz en localización de interés 
𝑎 Amplitud de vector de luz 
𝑡 Tiempo s 
𝛿 Desfasamiento entre fases de haces de luz nm 
𝑓𝜖 Valor de franja de deformación mm 
𝜁 Razon entre coordenada horizontal y diámetro de disco Adimensional 
𝑃 Carga aplicada en probeta N 
𝐷 Diametro de probeta m 
𝑃𝑐𝑟 Carga crítica para pandeo de columna N 
𝐸 Módulo de elasticidad MPa 
𝐼 Momento de inercia de área m4 
𝐿 Longitud de columna m 
𝑏 Base de área de probeta sometida a esfuerzos m 
 
 
1 
Introducción 
 
El análisis de esfuerzos es fundamental para el diseño de componentes sujetos a cargas 
mecánicas. Entre las opciones que existen para el análisis de esfuerzos la más utilizada 
actualmente es análisis por métodos matemáticos o teóricos; sin embargo también existen 
métodos experimentales como la fotoelasticidad que no son usados tan frecuentemente pero 
que con el desarrollo de nuevas tecnologías como los prototipos rápidos, la captura y post-
procesamiento de imágenes digitales, vale la pena el replantear sus limitaciones y actualizar 
dichos métodos para entender si existen ventajas adicionales contra los análisis matemáticos-
teóricos. 
Durante los últimos años, el análisis de esfuerzos ha estado dominado por métodos 
matemáticos y teóricos; esto es debido a que a un costo relativamente bajo, se pueden hacer 
múltiples iteraciones con numerosas condiciones de frontera de manera rápida. Sin embargo, la 
confiabilidad de los resultados de dichos análisis siempre dependerá del conocimiento que el 
analista tenga sobre el fenómeno físico y de la habilidad que tenga para modelar las 
condiciones de frontera del fenómeno. Debido a esto, es necesario hacer algún tipo de 
validación para corroborar los resultados de este tipo de análisis. 
En contraste, la fotoelasticidad ha sido utilizada principalmente para analizar características de 
diseño en las cuales se generan concentradores de esfuerzos. Estos análisis se realizan sobre una 
cantidad de probetas con geometrías sencillas y que pueden ser manufacturadas fácilmente; 
adicionalmente, para conocer el comportamiento de los concentradores de esfuerzos se 
requiere hacer varias iteraciones con diferentes geometrías y mediante la experimentación se 
obtienen condiciones de esfuerzo para varias condiciones de diseño. La ventaja de estos 
métodos experimentales es que las condiciones de operación se pueden aplicar directamente 
sobre los prototipos y así se evitan errores en el análisis debido a fallas en la aplicación de las 
condiciones de frontera. 
Por lo tanto con el fin de reevaluar la fotoelasticidad con la reconocida ventaja de eliminar 
errores de modelado matemático-teórico y agregar tecnología actual como modelado rápido e 
imagen digital, el primer paso es diseñar un polariscopio y desarrollar un método de calibración 
para el material disponible para pruebas de fotoelasticidad; el cual pueda servir como base para 
realizar análisis fotoelásticos y subsecuentemente ser adaptado para el uso de tecnologías de 
procesamiento digital de imágenes. 
 
2 
I. Marco Teórico 
1.1. Teoría de fotoelasticidad 
La fotoelasticidad se basa en el comportamiento conocido como doble refracción temporal o 
anisotropía óptica, el cual fue observado inicialmente por Sir David Brewster en 1816 (1). Dicho 
comportamiento ocurre en materiales transparente no-cristalinos, los cuales son isotrópicos al 
estar libres de esfuerzos pero se vuelven ópticamente anisotrópicos y con características 
similares al cristal cuando están sometidos a esfuerzos. El comportamiento anisotrópico óptico 
existirá mientras las cargas sean aplicadas en el material pero desaparecen al descargarlo. La 
isotropía y anisotropía óptica se puede explicar en base a un elipsoide con tres ejes ortogonales 
(n1, n2, n3), estos ejes representan los índices de refracción del material en un punto situado en 
el origen de los ejes; entonces para un material isotrópico, los ejes son iguales y la elipsoide 
tiene forma de esfera, mientras que en un material anisotrópico los ejes tienen tamaño diferente 
y esa diferencia da forma a un elipsoide. 
 
 
Figura 1. Elipsoidede índices de refracción y un elemento infinitesimal 
sometido a esfuerzos principales. 
La figura 1 muestra la similitud entre la elipsoide de índices de refracción y el elemento de 
esfuerzos principales, dicha similitud sugiere que se pueden usar los ejes ortogonales para 
establecer relaciones entre esfuerzos e índices de refracción; estas relaciones están 
determinadas por la ley de esfuerzo-óptico que fue formulada cuando Maxwell reportó el 
fenómeno en 1853(2). 
 
3 
1.2. Retraso de las ondas de luz bajo campos de esfuerzo 
La ley de esfuerzo-óptico asocia los cambios en los índices de refracción del material 
birrefringente de manera linealmente proporcional a los esfuerzos o deformaciones en 
materiales elásticos lineales. En cada eje, el cambio en el índice de refracción se relaciona a los 
esfuerzos principales por medio de las siguientes ecuaciones: 
𝑛1 − 𝑛0 = 𝑐1𝜎1 + 𝑐2(𝜎2 + 𝜎3) 
𝑛2 − 𝑛0 = 𝑐1𝜎2 + 𝑐2(𝜎3 + 𝜎1) Ecs. 1.1 
𝑛3 − 𝑛0 = 𝑐1𝜎3 + 𝑐2(𝜎1 + 𝜎2) 
De este sistema de ecuaciones se concluye que se puede conocer por completo el estado de 
esfuerzos en un punto del modelo al medir los tres principales índices de refracción y al 
establecer la dirección de los tres ejes ópticos principales. Estas ecuaciones necesitan el valor del 
retraso absoluto en los índices de refracción para resolver el sistema de ecuaciones, pero 
obtener dichos valores es laborioso y costoso; sin embargo, replanteando el sistema de 
ecuaciones se puede despejar dicho sistema en función de retrasos relativos, e.g. (𝑛2 − 𝑛1), y se 
pueden medir los retrasos relativos requeridos con aparatos cómo polariscopios que son 
relativamente fáciles de utilizar y construir(3). El nuevo sistema en términos de cambios relativos 
en los índices de refracción tiene la siguiente forma: 
𝑛2 − 𝑛1 = (𝑐2 − 𝑐1)(𝜎1 − 𝜎2) = 𝐶(𝜎1 − 𝜎2) 
𝑛3 − 𝑛2 = (𝑐2 − 𝑐1)(𝜎2 − 𝜎3) = 𝐶(𝜎2 − 𝜎3) Ecs. 1.2 
𝑛1 − 𝑛3 = (𝑐2 − 𝑐1)(𝜎3 − 𝜎1) = 𝐶(𝜎3 − 𝜎1) 
En el sistema de ecuaciones 1.2 se ha definido una nueva constante 𝐶 = 𝑐2 − 𝑐1 que es un 
coeficiente de esfuerzo-óptico relativo con unidades de brewsters y que siempre es un número 
positivo; para que esto suceda, los índices de refracción siguen la convención 𝑛3 ≥ 𝑛2 ≥ 𝑛1. 
Cabe señalar que el coeficiente 𝐶 usualmente se asume como una constante para el material, 
pero el coeficiente depende de la longitud de onda del haz de luz. Para conocer el retraso en la 
fase de un haz de luz pasando a través de una placa de material birrefringente, se puede 
replantear el sistema de ecuaciones 1.2 como: 
∆12=
2𝜋ℎ
𝜆
𝐶(𝜎1 − 𝜎2) 
∆23=
2𝜋ℎ
𝜆
𝐶(𝜎2 − 𝜎3) Ecs. 1.3 
∆31=
2𝜋ℎ
𝜆
𝐶(𝜎3 − 𝜎1) 
 
4 
Donde el retraso relativo ∆ en una dirección de interés es linealmente proporcional a la 
diferencia entre los esfuerzos principales perpendiculares a dicha dirección; adicionalmente, la 
magnitud del retraso relativo ∆12 es independiente del esfuerzo 𝜎3 y la dirección de 
propagación del haz de luz es paralela al esfuerzo 𝜎3. 
Para un sistema sometido a esfuerzos planos, 𝜎3 = 0, la ley de esfuerzo-óptico para el haz de luz 
perpendicular al plano del modelo define el retraso relativo como: 
∆=
2𝜋ℎ
𝜆
𝐶(𝜎1 − 𝜎2) Ec. 1.4 
Dado que la ley de esfuerzo-óptico se define en términos de retrasos de haces de luz, es 
necesario entender el comportamiento de la luz asumido en los experimentos de fotoelasticidad 
el cual se basa en la teoría de ondas de luz. 
1.1. Ley de esfuerzo-óptico y franjas de esfuerzos 
La ley de esfuerzo-óptico sustituye el retraso relativo ∆ por el término ciclos de retraso 𝑁, esto 
sirve para contabilizar o definir el orden de franja. Replanteando la ecuación 1.4 en términos del 
orden de franja, se obtiene: 
𝑁 =
∆
2𝜋
=
ℎ
𝜆
𝐶(𝜎1 − 𝜎2) Ec. 1.7 
Sustituyendo el término de valor de franja de esfuerzo del material, 𝑓𝜎 = 𝜆 𝐶⁄ , la ecuación 1.7 se 
puede despejar como: 
𝜎1 − 𝜎2 =
𝑁𝑓𝜎
ℎ
 Ec. 1.8 
La ecuación 1.8 es conocida como la ley de esfuerzo-óptico ya que se pueden obtener las 
diferencias entre los esfuerzos principales en el modelo por medio de las mediciones ópticas, si 
se conoce el orden, o número, de franjas de esfuerzo y el valor de franja de esfuerzo del 
material 𝑓𝜎. 
Para obtener el valor de franja de esfuerzo del material 𝑓𝜎, es necesario llevar a cabo 
calibraciones del material fotoelástico. Dicha constante del material debe ser evaluada con al 
menos tres cifras significativas de precisión ya que es el único valor que liga la información 
óptica con el esfuerzo. Adicionalmente, se debe tener precaución al utilizar la relación lineal 
descrita por la ley de esfuerzo-óptico; ya cuando los niveles de esfuerzo son altos, la relación 
entre esfuerzo y retraso en el haz de luz deja de ser lineal, por lo que la ecuación 1.8 no describe 
el estado de esfuerzos que ocurre en dicho escenario(4). 
 
5 
1.2. Definición de luz en experimentos de fotoelasticidad 
La teoría de radiación electromagnética de Maxwell(5) define la luz como una onda con 
movimiento transversal propagándose a alta velocidad. La onda electromagnética está 
compuesta por campos oscilatorios eléctricos y magnéticos que se propagan 
perpendicularmente entre sí mismos, los campos se pueden definir con vectores eléctricos y 
magnéticos, E y H respectivamente. Estos vectores tienen la misma fase y también son 
perpendiculares a la dirección de propagación de la onda, esta definición se ilustra en la figura 
2. 
 
Figura 2. Vectores eléctricos y magnéticos asociados a las ondas 
electromagnéticas de luz. 
Para el desarrollo teórico, se asume arbitrariamente que los campos ondulatorios tienen forma 
sinusoidal. Con esta suposición, la luz producida puede representarse por la magnitud de un 
vector sinusoidal eléctrico, el cuál no se atenúa debido a que la longitud del polariscopio no es 
suficiente como para que el vector de luz comience a desaparecer. Con esta definición el vector 
eléctrico se define como: 
𝐸 = 𝑎 cos
2𝜋
𝜆
(𝑧 − 𝑐𝑡) Ec. 1.5 
Si se consideran dos vectores eléctricos con la misma magnitud de onda y amplitud pero con 
diferente fase, estos vectores están dados por: 
𝐸1 = 𝑎 cos
2𝜋
𝜆
(𝑧 + 𝛿1 − 𝑐𝑡) 
𝐸2 = 𝑎 cos
2𝜋
𝜆
(𝑧 + 𝛿2 − 𝑐𝑡) Ecs. 1.6 
 
6 
En las ecuaciones 1.6, las variables 𝛿1 y 𝛿2 definen la fase inicial de las ondas 𝐸1 y 𝐸2. La 
diferencia lineal entre las fases, ∆, definida como ∆= 𝛿2 − 𝛿1, es el retraso de la onda. Los 
vectores eléctricos desfasados y la representación gráfica del retraso se muestran en la figura 3. 
 
Figura 3. Dos vectores de luz con fase inicial diferente y retraso relativo entre 
ellos. 
II. Materiales birrefringentes y métodos de calibración para 
modelos foto-elásticos 
Debido a que el valor de franja de esfuerzo es una propiedad del material, la selección del 
mismo afecta la planeación, ejecución y resultados de la prueba de fotoelasticidad. No existe un 
material desarrollado específicamente para pruebas de fotoelasticidad; sin embargo, se pueden 
usar diversos materiales para construir modelos de fotoelasticidad, basándose en las siguientes 
recomendaciones(6): 
1. Ser un material transparente que permita el paso de luz del polariscopio 
2. Ser susceptible al esfuerzo o la deformación, es decir que su valor de la franja sea bajo 
tanto para esfuerzo 𝑓𝜎 como para deformación 𝑓𝜖. 
3. Mantener una relación lineal entre las siguientes propiedades 
a. Esfuerzo-deformación 
b. Esfuerzo-valor de franja 
c. Deformación-valor de franja 
4. Ser mecánicamente y ópticamente isotrópico y homogéneo. 
5. No comportarse de manera visco-elástica. 
6. Tener un alto módulo de elasticidad y un alto límite de proporcionalidad. 
7. Las propiedades de valor de la franja 𝑓𝜎 y 𝑓𝜖 deben de permanecer prácticamente 
constantes bajo la temperatura. 
8. No desarrollar efectos tiempo-frontera debidos a la exposición al medio ambiente. 
9. Sermaquinado por métodos convencionales. 
 
7 
10. No debe mantener esfuerzos residuales después de ser maquinado o sometido a cargas. 
Algunos de los materiales industriales caracterizados para usarse en pruebas de foto-elasticidad 
y sus parámetros relevantes para ensayos de fotoelasticidad se enlistan en la tabla 2.1(7). 
 Homolite 
100 
Policarbonato Resina 
Epóxica 
Uretano 
Manufacturabilidad Buena Pobre Buena Pobre 
Efecto de tiempo en frontera Excelente Excelente Bueno Excelente 
Valor de Franja de Esfuerzo 𝑓𝜎 (N/mm) 23.6 7.0 11.2 .18 
Valor de Franja de Deformación 𝑓𝜖 (mm) 0.0084 0.0038 0.0046 0.082 
Tabla 2.1. Resumen de propiedades mecánicas y ópticas para materiales 
birrefringentes. 
2.1. Policarbonato 
El policarbonato es un polímero el cual cede y fluye antes de fracturarse. Se trata de un 
termoplástico que generalmente se obtiene en forma de lámina por procesos de extrusión, sin 
embargo dicho proceso por lo general produce esfuerzos y birrefringencia residuales en la 
lámina; este esfuerzo residual puede ser eliminado por medio del recocido a temperaturas de 
reblandecimiento. El policarbonato también es difícil de maquinar, si se produce una cantidad 
de temperatura significativa por la herramienta de corte, el material se ablandará y deformará 
por la herramienta, por lo cual se requiere cortar por agua o aplicar fluido de enfriamiento 
durante el corte. El corte por cierra y limado son necesarios para producir fronteras aceptables 
en el modelo. Debido a que se le puede inducir birrefringencia en estado plástico y hacerla 
permanente en el material a escala molecular, el acrílico puede usarse en modelos de esfuerzo 
tridimensional. 
Similar al policarbonato, se puede usar el acrílico (aunque la nomenclatura química correcta es 
poli-metil-metacrilato). Se considera un plástico ingenieril y compite contra el policarbonato 
destacándose por su resistencia a la intemperie, su transparencia y resistencia al rayado; 
también supera al vidrio en diferentes áreas como bajo peso, mejor transparencia y menor 
fragilidad(8). Las características que lo hacen útil para ser utilizado en pruebas de fotoelasticidad 
son: 
 Transparencia alrededor del 93%, (el más transparente de los plásticos). 
 Alta resistencia al impacto, lo que permite someterlo a esfuerzos significativos antes de 
fracturarse. 
 Resistente a la intemperie y a los rayos ultravioleta. No hay un envejecimiento apreciable 
en diez años de exposición al exterior. 
 De dureza similar al aluminio, se raya fácilmente con cualquier objeto metálico, pero es 
fácilmente reparable con pasta de pulir lo que lo hace ideal para reparar las probetas. 
 
8 
 Gran facilidad de mecanización y moldeo. Se puede mecanizar en frío pero no doblar. 
Para doblarlo hay que aplicar calor local o calentar toda la pieza. 
Estas características cumplen con 6 de los 10 criterios listados en la sección 2, siendo los otros 4 
criterios validables por fotoelasticidad usando la metodología que se definirá en la sección 2.3. 
2.2. Resinas Epóxicas 
Las resinas epoxicas pueden ser utilizadas en experimento de fotoelasticidad bidimensionales y 
tridimensionales. Los materiales epóxicos pueden ser moldeados en placas o laminas. El tipo de 
monómero básico, el curador y la relación entre ambos químicos pueden variarse para obtener 
un número ilimitado de materiales epóxicos. Los epóxicos suelen ser catalogados como 
materiales frágiles, pero son más maquinables que el policarbonato. A pesar de que el material 
si es susceptible a efectos tiempo-frontera, la taza de difusión de agua en el epóxico es 
suficientemente alta para permitir la saturación de la placa después de 2 meses. Si las placas de 
condicionadas de epóxico se usan para cortar modelos de ellas, los modelos tendrán pocos o 
nulos efectos tiempo-frontera. Mientras la humedad al momento del maquinado se mantenga 
constante(9). 
2.3. Metodología para calibración de modelos fotoelásticos 
El orden del valor de franja de esfuerzo en un modelo varía con el tiempo y también entre lotes 
de modelos; debido a esto se tiene que calibrar cada placa de acrílico, o cada lote de moldeado 
al realizar los experimentos. Para realizar este proceso se utilizan muestras de modelos sencillos 
de los cuales el campo de esfuerzos es bien conocido y documentado. La práctica común es 
utilizar discos a compresión diametral para hacer la calibración, esto es debido a que el 
espécimen es compacto, fácil de maquinar o moldear y la aplicación de las cargas también 
resulta sencilla(10). 
Los esfuerzos x y y a lo largo del eje horizontal del disco son principales ya que el esfuerzo 
cortante 𝜏𝑥𝑦 desaparece para mantener la simetría en el eje x. Adicionalmente, los esfuerzos en x 
son positivos y los esfuerzos en y son negativos, por lo que al definir 𝜎1 = 𝜎𝑥 y 𝜎2 = 𝜎𝑦, se 
concluye que 𝜎1 − 𝜎2 ≥ 0. De acuerdo a la teoría de elasticidad
(11), los esfuerzos principales en el 
disco a compresión son: 
𝜎1 =
2𝑃
𝜋ℎ𝐷
(
1−𝜁2
1+𝜁2
)
2
 
𝜎2 = −
6𝑃
𝜋ℎ𝐷
(1−𝜁2)(1+
1
3
𝜁2)
(1+𝜁2)2
 Ec. 2.1 
En la ecuación 2.1, el valor ζ está definido como 𝜁 = 𝑥 𝑅⁄ = 2𝑥 𝐷⁄ . El máximo esfuerzo en la 
probeta está situado al centro del disco y se puede obtener mediante la fórmula: 
 
9 
𝜎1 − 𝜎2 =
8𝑃
𝜋ℎ𝐷
 Ec. 2.2 
Al combinar la ecuación previa con la ecuación 1.8, el valor de franja de esfuerzo del material 𝑓𝜎 
está dado por la ecuación: 
𝑓𝜎 =
8𝑃
𝜋𝐷𝑁
 Ec. 2.3 
La ecuación 2.3 muestra que el valor de franja de esfuerzo del material 𝑓𝜎 es independiente del 
espesor ℎ del modelo de disco; esto sucede a pesar de que el retraso relativo si es proporcional 
a ℎ, porque para una carga de calibración P el valor de esfuerzos es inversamente proporcional a 
ℎ, haciendo que el efecto neto sea 𝑓𝜎 independiente de ℎ. 
Ya sea que se maquine de una placa de policarbonato o se moldee a partir de resina, se obtiene 
un círculo cuya relación entre diámetro y espesor permita que el disco no se pandee bajo carga 
o que falle debido al nivel de esfuerzos de compresión excediendo la capacidad estructural del 
material. El orden de franja, 𝑁, al centro del disco se obtiene usando el método de 
compensación de Tardy, la práctica común es aplicar cargas incrementales y después disminuir 
las cargas aplicadas. Se registra el valor de la carga P contra orden de franja, 𝑁. Utilizando el 
método de regresión lineal, se obtiene la pendiente de la regresión, 𝑃 𝑁⁄ , y ese valor puede ser 
sustituido directamente en la ecuación 2.2 para obtener el valor de franja de esfuerzo del 
material, 𝑓𝜎 
(12). 
 
10 
III. Polariscopio 
Descrito de una manera simple, un polariscopio es un aparato que controla la forma en que los 
haces de luz pasan a través de un modelo. Al controlar la dirección de los haces de luz y el 
retraso relativo existente entre los haces de luz que pasan por el modelo, es posible conocer la 
dirección y magnitud relativa de los vectores de propagación de la luz y así usar la ley de 
esfuerzo-óptico para definir el estado de esfuerzos existentes en el modelo. Por lo tanto es 
necesario explicar la forma en que el polariscopio, ya sea plano o circular, logra controlar los 
haces de luz al pasar por el modelo; los elementos que se utilizan para controlar la transmisión 
de la luz son: 
 Placa polarizadora 
 Placa de cuarto de onda 
 Arreglo de polariscopio plano 
 Arreglo de polariscopio circular 
En las siguientes secciones, el comportamiento de la luz al pasar a través de los diferentes 
elementos esta expresado en función de la teoría de la luz como está definida en la sección 1.3. 
3.1. Placa polarizadora 
Un haz de luz que pasa a través del polarizador plano es descompuesto en dos componentes 
perpendiculares entre sí mismos, el polarizador permite que el componente paralelo al eje de 
polarización pase a través de esta placa, el componente perpendicular al eje de polarizaciónes 
absorbido dentro de la placa. Retomando la ecuación 1.5, eliminado el desfase inicial de la onda 
𝑧 y usando la definición de frecuencia de onda, 𝑓; el haz de luz inicial está definido por: 
𝐸 = 𝑎 cos 2𝜋𝑓𝑡 = 𝑎 cos 𝜔𝑡 Ec. 3.1 
La ecuación 3.1 se simplifica sustituyendo la frecuencia circular de la onda ω = 2πf. Dada la 
definición del haz de luz entrando al polarizador y el ángulo 𝛼 existente entre el eje del 
polariscopio y el vector de luz incidente (figura 4), la componente axial y tangencial de la luz 
están definidas por: 
𝐸𝑎 = 𝑎 cos 𝜔𝑡 sin 𝛼 
𝐸𝑡 = 𝑎 cos 𝜔𝑡 cos 𝛼 Ecs. 3.2 
 
11 
 
Figura 4. Descomposición de un haz de luz entrando a un polarizador plano. 
3.2. Placa de cuarto de onda 
En resumen, una placa de cuarto de onda también descompone el haz de luz entrante en dos 
componentes; pero, por la birrefringencia del material, además transmite dichas componentes a 
diferentes velocidades. La placa de cuarto de onda tiene dos ejes ortogonales y la luz se 
transmite a dos diferentes velocidades, 𝑐1 y 𝑐2, a lo largo de esos ejes; dado que las velocidades 
son diferentes, al eje en el que la luz viaja más rápidamente arbitrariamente se le llama eje 
rápido y al restante se le llama eje lento. 
Si la placa se sitúa a la salida de un polarizador, el haz de luz que entre a la placa será la 
componente 𝐸𝑡 obtenida del polarizador y tendrá un ángulo 𝛽 con respecto al eje rápido. Dada 
la birrefringencia del material, El haz de luz 𝐸𝑡, será separado en dos componentes, 𝐸𝑡1 y 𝐸𝑡2, 
que se propagaran a lo largo de los ejes de la placa. Dada la diferencia en velocidad de los 
componentes, los haces emergen del plato a diferente tiempo y por lo tanto uno esta retardado 
en el tiempo con respecto al otro. La descomposición del haz de luz polarizado puede verse en 
la figura 5. 
 
Figura 5. Descomposición de un haz de luz polarizado entrando a una placa 
de doble refracción. 
 
12 
Este retraso entre haces de luz produce un cambio de la fase relativa; el retraso relativo de fase 
angular, ∆𝜆, de los componentes al emerger de la placa está dado por: 
∆𝜆=
2𝜋ℎ
𝜆
(𝑛2 − 𝑛1) Ec. 3.3 
La ecuación muestra que el retraso ∆𝜆 es dependiente del espesor ℎ, la longitud de onda de la 
luz 𝜆, y ambos índices de refracción de la placa (𝑛2 − 𝑛1). Si las propiedades de la placa hacen 
que el retraso ∆𝜆 sea igual 𝜋 2⁄ , la placa de doble refracción es una placa de cuarto de onda, y 
los haces de luz de salida están definidos por: 
𝐸′𝑡1 = 𝑘 𝑐𝑜𝑠 𝛽 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 
𝐸′𝑡2 = 𝑘 𝑠𝑖𝑛 𝛽 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − ∆) Ecs. 3.4 
 
3.3. Arreglo de polariscopio plano 
Cuando un modelo de material birrefringente es sometido a esfuerzos y colocado entre placas 
polarizadoras, el haz de luz pasa a través de un polariscopio plano. En dicho arreglo se puede 
obtener la diferencia 𝜎2 − 𝜎1, si se mide el orden de franja, 𝑁, en cada punto del modelo y se 
utiliza el hecho de que los ejes ópticos del modelo coinciden con las direcciones de los 
esfuerzos principales. 
En el arreglo de la figura 6, la dirección de los esfuerzos principales en el punto a analizar del 
modelo forma un ángulo 𝛼 con el eje del polarización del polarizador (a la placa polarizadora 
situada entre la fuente de luz y el modelo, se le llama polarizador). 
 
Figura 6. Modelo analizado en un arreglo de polariscopio plano. 
El haz de luz que entra en el polarizador se descompone en una componente paralela y otra 
perpendicular al eje del polarizador; sólo la componente paralela se transmite al pasar por el 
 
13 
polarizador y la perpendicular es absorbida dentro del polarizador, a la componente que se 
transmite se le puede definir con la siguiente ecuación: 
𝐸𝑡 = 𝑎 cos 𝜔𝑡 Ec. 3.5 
Al dejar el polarizador y entrar al modelo, la luz se resuelve en dos componentes porque el 
modelo funge como una placa birrefringente. Estas componentes de salida 𝐸1 y 𝐸2 son paralelas 
a los esfuerzos principales 𝜎1 y 𝜎2; considerando un punto arbitrario del modelo, si el esfuerzo 
principal 1 de ese punto está a un ángulo 𝛼 del eje polarizador, las componentes 𝐸1 y 𝐸2 están 
definidas por: 
𝐸1 = 𝑎 cos 𝛼 cos 𝜔𝑡 
𝐸2 = 𝑎 sin 𝛼 cos 𝜔𝑡 Ecs. 3.6 
Sin embargo, al pasar por la placa birrefringente también debe tomarse en cuenta que los 
componentes salen a diferentes velocidades y por lo tanto tienen un cambio de fase ∆1 y ∆2, las 
componentes de salida se expresan como: 
𝐸′1 = 𝑎 cos 𝛼 cos(𝜔𝑡 − ∆1) 
𝐸′2 = 𝑎 sin 𝛼 cos(𝜔𝑡 − ∆2) Ecs. 3.7 
En la figura 6, la placa polarizadora que está al final del arreglo es llamada analizador, ya que el 
eje de polarización del analizador es horizontal, sólo las componentes horizontales se 
transmiten; dado lo anterior, a la salida del analizador las componente horizontales se combinan 
y en el vector de salida 𝐸𝑎𝑥 está definido como: 
𝐸𝑎𝑥 = 𝐸′′2 − 𝐸
′′
1 = 𝐸′2 cos 𝛼 − 𝐸′1 sin 𝛼 Ec. 3.8 
Al sustituir la ecuación 3.7 en la ecuación 3.8, el vector horizontal de salida es: 
𝐸𝑎𝑥 = 𝑎 sin 2𝛼 sin
∆2−∆1
2
sin (𝜔𝑡 −
∆2+∆1
2
) Ec. 3.9 
De la definición del haz de luz emergiendo del analizador, se usa la suposición de que la 
intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda de luz(13) y entonces se puede 
definir la intensidad de la luz como: 
𝐼 = 𝐾𝑠𝑖𝑛22𝛼 𝑠𝑖𝑛2
∆
2
 Ec. 3.10 
Recordando la ecuación 1.4 
∆=
2𝜋ℎ𝑐
𝜆
(𝜎1 − 𝜎2) Ec. 1.4 
 
14 
Se puede ver que la extinción del haz de luz de salida, 𝐼 = 0, puede ocurrir en 2 casos. El 
primero, 𝑠𝑖𝑛22𝛼 = 0, cuando la dirección del esfuerzo principal y el eje de polarizador coinciden 
y a esta extinción se le llama isóclina. El segundo, 𝑠𝑖𝑛2 ∆ 2⁄ = 0, esta dada por valores 
específicos en la diferencia en esfuerzos principales y a eso se le conoce como isocromática. 
3.3.1. Patrón isóclina 
Cuando un modelo es observado en el polariscopio, los patrones de isóclinas se usan para 
determinar la dirección del esfuerzo principal para todos los puntos del modelo fotoelástico. Los 
patrones de isóclinas son conjuntos de puntos donde los esfuerzos principales (ya sea 𝜎1 o 𝜎2) 
coinciden con el eje del polarizador; en la mayoría de los polariscopios, la orientación del eje del 
polarizador con el eje vertical es conocido como el ángulo de isóclina. 
Para determinar la dirección de los esfuerzos principales en un punto dado de un modelo 
sometido a esfuerzos, se usa un polariscopio plano y el polarizador y el analizador se mueven al 
unísono(14) hasta que la banda oscura pasa a través del punto de interés(. En ese momento, los 
ejes del polarizador y el analizador coincidirán con la dirección de los esfuerzos principales de 
dicho punto. 
 
Figura 7. Patrones de isóclinas en un polariscopio plano con campo obscuro. 
a) Isóclinas a -22.5°, b) Isóclinas a 67.5°.(15) 
3.3.2. Patrón isocromático 
Las franjas isocromáticas son condiciones en las que 𝑠𝑖𝑛2 ∆ 2⁄ = 0, y la intensidad de luz es 0, si 
la diferencia entre esfuerzos principales es cero, (𝑛 = 0), o si dicha diferencia produce un 
número entero de retraso en la longitud de onda, (𝑛 = 1, 2,3, … ). Esta condición de extinción 
corresponde a otro patrón en el que las franjas son conjuntos de puntos en los que se exhibe el 
mismo orden de extinción (𝑛 = 0,1, 2,3, … ). 
 
15 
Sin embargo, los patrones isocromáticos tienen otra característica. Si se define el retraso de la 
ecuación 1.4 como: 
𝑛 =
∆
2𝜋
=
ℎ𝑐
𝜆
(𝜎1 − 𝜎2) Ec. 3.11 
De la ecuación 3.11, dos de los parámetros que dependen del modelo y el polarizador para el 
orden de extinción 𝑛 son la diferencia en esfuerzos principales (𝜎1 − 𝜎2) y la longitud de onda 𝜆 
de la luz. Cuando se analiza un modelo con luz monocromática, lo patrones isocromáticos se 
ven como una serie de bandas obscuras porque la intensidad de la luz es cero cuando n=0, 1, 2, 
3,…. Dichas bandas individuales, son nítidasy distinguibles a altos órdenes de extinción. Dado 
que por ser monocromáticas, la longitud de onda es fija, la ecuación 3.11 se puede escribir en 
términos del valor de franja de esfuerzo del material, 𝑓𝜎, y definir el orden de franja isocromática 
como: 
𝑛 = 𝑁 =
ℎ
𝑓𝜎
(𝜎1 − 𝜎2) Ec. 3.12 
Sin embargo, cuando un modelo es visto con luz blanca, las bandas isocromáticas aparecen 
como una serie de bandas de colores y sólo la intensidad de la luz es cero y la franja es negra 
cuando la diferencia en esfuerzos principales es cero y el orden de extinción es cero para todas 
las longitudes de onda. No hay otras regiones de cero intensidad ya que el valor (𝜎1 − 𝜎2) que 
produce extinción de luz, es diferente para cada longitud de onda. Cuando la diferencia entre 
(𝜎1 − 𝜎2) es diferente a cero, sólo una longitud de onda se extingue de la luz blanca, formando 
bandas de color. Es decir, cuando la diferencia (𝜎1 − 𝜎2) produce la extinción de longitudes de 
onda verdes, el color opuesto (de acuerdo a la teoría del color), rojo, aparece en la franja 
isocromática. Sin embargo, sólo se recomienda usar el primer orden de extinción de acuerdo a 
la diferencia en esfuerzos principales ya que a altos esfuerzos, los colores se vuelven pálidos y 
difíciles de distinguir. 
 
Figura 8. Patrón de isocromáticas obtenido en un arreglo de polariscopio 
circular con campo claro(16). 
 
16 
3.4. Arreglo de polariscopio circular 
Cuando un modelo de material birrefringente es sometido a esfuerzos y colocado entre una 
primer envolvente de placas de cuarto de onda y una segunda envolvente de polarizadores, el 
haz de luz pasa a través de un polariscopio circular y los efectos ópticos son distintos a los 
observados en un polariscopio plano. La principal diferencia es que el polariscopio circular 
elimina el patrón de franjas isóclinas y sólo mantiene el patrón de franjas isocromáticas. Uno de 
los posibles arreglos de polariscopio circular es mostrado en la Figura 9. 
 
Figura 9. Modelo analizado en un arreglo de polariscopio circular. 
De manera similar al polariscopio plano, a la primer placa se le denomina polarizador y es una 
placa polarizadora con su eje en dirección vertical. La componente de luz que logra pasar por el 
polarizador está dada por la ecuación: 
𝐸𝑝𝑦 = 𝑎 cos 𝜔𝑡 Ec. 3.13 
Cuando la luz entra a la primera placa de cuarto de onda, se separa en dos componentes 𝐸𝑓 y 
𝐸𝑠. Asumiendo que el eje rápido de la placa de cuarto de onda está orientado a 45° del eje del 
polarizador, los componentes que se crean en la placa de cuarto de onda son: 
𝐸𝑓 =
√2
2
𝑎 cos 𝜔𝑡 
𝐸𝑠 =
√2
2
𝑎 cos 𝜔𝑡 Ecs. 3.14 
 
17 
Cuando estas componentes se propagan por la placa de cuarto de onda, se produce un cambio 
en la fase angular relativa ∆= 𝜋 2⁄ y estos componentes desfasados son: 
𝐸′𝑓 =
√2
2
𝑎 cos 𝜔𝑡 
𝐸′𝑠 =
√2
2
𝑎 cos (𝜔𝑡 −
𝜋
2
) =
√2
2
𝑎 sin 𝜔𝑡 Ecs. 3.15 
Cuando los componentes de luz que salen de la placa de cuarto de onda, 𝐸′𝑓 y 𝐸′𝑠, entran al 
modelo birrefringente, se transforman en dos nuevos componentes 𝐸1 y 𝐸2, cuyas direcciones 
coinciden con los esfuerzos principales en el modelo. La definición de estos nuevos 
componentes es: 
𝐸1 = 𝐸′𝑓cos (
𝜋
4
− 𝛼) + 𝐸′𝑠 sin (
𝜋
4
− 𝛼) 
𝐸2 = 𝐸′𝑠 cos (
𝜋
4
− 𝛼) − 𝐸′𝑓sin (
𝜋
4
− 𝛼) Ecs. 3.16 
Al sustituir la definición de 𝐸′𝑓 y 𝐸′𝑠, en las ecuaciones 3.16 se obtiene: 
𝐸1 =
√2
2
𝑎 cos (𝜔𝑡 + 𝛼 −
𝜋
4
) 
𝐸2 =
√2
2
𝑎 sin (𝜔𝑡 + 𝛼 −
𝜋
4
) Ecs. 3.17 
Pero debido a la birrefringencia en el modelo, se agrega un retraso relativo ∆, y las ondas de luz 
saliendo del modelo se pueden expresar como: 
𝐸′1 =
√2
2
𝑎 cos (𝜔𝑡 + 𝛼 −
𝜋
4
) 
𝐸′2 =
√2
2
𝑎 sin (𝜔𝑡 + 𝛼 −
𝜋
4
− ∆) Ecs. 3.18 
Al pasar por la segunda placa de cuarto de onda, los haces de luz se separan en componentes 
paralelos a los ejes rápido y lento de la placa definidos por: 
𝐸𝑓 = 𝐸′1 sin (
𝜋
4
− 𝛼) + 𝐸′2 cos (
𝜋
4
− 𝛼) 
𝐸𝑠 = 𝐸′1 cos (
𝜋
4
− 𝛼) − 𝐸′2 sin (
𝜋
4
− 𝛼) Ecs. 3.19 
Al sustituir las definiciones de 𝐸′1 y 𝐸′2 de las ecuaciones 3.18, en la ecuación 3.19 y al agregar el 
retraso relativo dado por los ejes rápido y lento de la placa, se obtiene: 
𝐸′𝑓 =
√2
2
𝑘 [cos (𝜔𝑡 + 𝛼 −
𝜋
4
) sin (
𝜋
4
− 𝛼) + sin (𝜔𝑡 + 𝛼 −
𝜋
4
− ∆) cos (
𝜋
4
− 𝛼)] 
 
18 
𝐸′𝑠 =
√2
2
𝑘 [sin (𝜔𝑡 + 𝛼 −
𝜋
4
) cos (
𝜋
4
− 𝛼) + cos (𝜔𝑡 + 𝛼 −
𝜋
4
− ∆) sin (
𝜋
4
− 𝛼)] Ecs. 3.20 
El siguiente paso para el haz de luz es el analizador que tiene su eje de polarización en dirección 
horizontal, por lo que sólo las componentes horizontales se transmiten; dado lo anterior, las 
componentes horizontales de 𝐸′𝑓 y 𝐸′𝑠 se combinan en el vector de salida 𝐸𝑎𝑥 definido como: 
𝐸𝑎𝑥 =
√2
2
(𝐸′𝑠 − 𝐸′𝑓 ) Ec. 3.21 
Al sustituir las ecuaciones 3.20 en la ecuación 3.21, el vector horizontal de salida es: 
𝐸𝑎𝑥 = 𝑘 sin
∆
2
sin (𝜔𝑡 + 2𝛼 −
∆
2
) Ec. 3.22 
Dado que la intensidad de la luz es proporcional sólo al cuadrado de la amplitud del haz de luz, 
la intensidad de un haz de luz emergiendo de un polariscopio es: 
𝐼 = 𝐾𝑠𝑖𝑛2
∆
2
 Ec. 3.23 
De la ecuación 3.23 se concluye que la intensidad del haz de luz que pasa por un polariscopio 
circular sólo depende de la diferencia entre los esfuerzos principales ya que el ángulo 𝛼 no 
aparece en la ecuación. Esto demuestra porqué las isóclinas no aparecen entre los patrones de 
franjas del polariscopio circular con el arreglo mostrado. 
Una ventaja de los polariscopios circulares es que el usar diferentes orientaciones en los ejes de 
polarización y los ejes rápidos permite duplicar la cantidad de la información que se extrae del 
análisis. Los arreglos se pueden cambiar de campo obscuro a campo claro, rotando el eje del 
analizador 90 grados. En el polariscopio plano y el polariscopio circular de campo obscuro, el 
orden de franja N coincide con la fase n de la onda del haz de luz y se cuentan en la secuencia 
0, 1, 2, 3,…. Por otro lado, cuando el arreglo de campo claro con un polariscopio circular es 
utilizado, el orden de franja N no coincide con la fase n y la intensidad está dada por: 
𝐼 = 𝐾𝑐𝑜𝑠2
∆
2
 Ec. 3.24 
En esta ecuación, la extinción de luz (𝐼 = 0) ocurre en los siguientes desfases: 
∆
2
=
1+2𝑛
2
𝜋 Ec. 3.25 
Por lo que la relación entre orden de franja y la fase n está dada por: 
𝑁 =
∆
2𝜋
=
1
2
+ 𝑛 Ec. 3.26 
En base a la ecuación 3.26 el primer orden franja en un polariscopio circular con campo claro es 
1 2⁄ , y corresponde a una fase n=0. Por lo que al usar el polariscopio circular con campos 
 
19 
obscuro y claro, se obtienen dos fotografías con información de patrones isocromáticos 
complementarios, con resolución de 0.5 de orden. La interpolación permite que se puedan 
estimar ordenes de franja de +/- 0.1, y permiten estimar con precisión de +/- 0.1𝑓𝜎/ℎ la 
magnitud de la resultante (𝜎1 − 𝜎2) sin tener que recurrir a arreglos de las lentes más 
complejos(17). 
3.5. Método de compensación de Tardy 
El método de compensación de Tardy utiliza la capacidad de rotación a un ángulo arbitrario del 
analizador para determinar ordenes de franja fraccionales adicionales a los que se puede 
obtener con un campo obscuro y uno claro. Para el desarrollo de las ecuaciones por el método 
de Tardy, se usa notación exponencial para representar las ondas de luz. 
Con dicha notación, el haz de luz que sale del polarizador en un polariscopio circular se puede 
representar por: 
𝐸𝑝𝑦 = 𝑘𝑒
𝑖𝜔𝑡 Ec. 3.27 
Después de que la luz pasa por la primera placa de cuarto de onda, los componentes paralelos 
al eje rápido y lento con su respectivo desfase, ∆= 𝜋 2⁄ , están definidos por las ecuaciones: 
𝐸′𝑓 =
√2
2
𝑘𝑒𝑖𝜔𝑡 
𝐸′𝑠 = −𝑖
√2
2
𝑘𝑒𝑖𝜔𝑡 Ec. 3.28 
Después de por pasar por el modelo, la luzse divide en componentes paralelos a la dirección de 
los esfuerzos principales y tienen un cambio de fase, ∆, proporcional a la diferencia entre los 
esfuerzos principales. Las componentes de luz que salen del modelo están definidas por: 
𝐸′1 =
√2
2
𝑘𝑒𝑖(𝜔𝑡+𝛼−𝜋 4⁄ ) 
𝐸′2 = −𝑖
√2
2
𝑘𝑒𝑖(𝜔𝑡+𝛼−𝜋 4⁄ −∆) Ec. 3.29 
Cuando la luz pasa por la segunda placa de cuarto de onda, lo componentes de luz paralelos a 
los ejes rápido y lento más el desfase del lente pueden definirse como: 
𝐸′𝑓 =
√2
2
𝑘 [sin (
𝜋
4
− 𝛼) − 𝑖𝑒−𝑖∆ cos (
𝜋
4
− 𝛼)] 𝑒𝑖(𝜔𝑡+𝛼−𝜋 4⁄ ) 
𝐸′𝑠 =
√2
2
𝑘 [𝑒−𝑖∆ sin (
𝜋
4
− 𝛼) − 𝑖 cos (
𝜋
4
− 𝛼)] 𝑒𝑖(𝜔𝑡+𝛼−𝜋 4⁄ ) Ec. 3.30 
 
20 
En el momento en el que la luz pasa a través del analizador las componentes verticales de los 
vectores 𝐸′𝑓 y 𝐸′𝑠 son absorbidas por el analizador; mientras que las componentes horizontales 
son transmitidas y esa resultante horizontal está definida por: 
𝐸𝑎𝑥 =
𝑘
2
[(𝑒−𝑖∆ − 1) 𝑠𝑖𝑛 (
𝜋
4
− 𝛼) + 𝑖(𝑒−𝑖∆ − 1) 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
4
− 𝛼)] 𝑒𝑖(𝜔𝑡+𝛼−𝜋 4⁄ ) 
=
𝑘
2
(𝑒−𝑖∆ − 1)[𝑒𝑖(𝜔𝑡+2𝛼)] Ec. 3.31 
Si consideramos que el cuadrado de la amplitud de una onda en notación exponencial se 
obtiene multiplicando la amplitud por el complejo conjugado de la misma, entonces la 
intensidad está dada por: 
𝐼 ≈ 𝐸𝑎𝑥𝐸 ∗𝑎𝑥= 𝐾 𝑠𝑖𝑛
2 ∆
2
 Ec. 3.32 
Esta definición de intensidad es similar a la que se obtuvo en la ecuación 3.23, pero fue obtenida 
con notación exponencial. Para obtener el efecto de girar el analizador a un ángulo arbitrario 𝛾, 
se incluye el efecto del analizador girado a un ángulo arbitrario: 
𝐸𝑎𝑦 = 𝐸′𝑠 cos (
𝜋
4
+ 𝛾) − 𝐸′𝑓 sin (
𝜋
4
+ 𝛾) Ec. 3.33 
Sustituyendo las definiciones las haces de luz de salida dado por las ecuaciones 3.30 el haz de 
luz resultante a la salida del analizador es: 
𝐸𝑎𝑦 =
√2
2
𝑘 {sin (
𝜋
4
− 𝛼) [𝑒−𝑖∆ cos (
𝜋
4
+ 𝛾) − sin (
𝜋
4
+ 𝛾)]
+ 𝑖 cos (
𝜋
4
− 𝛼) [𝑒−𝑖∆ sin (
𝜋
4
+ 𝛾) − cos (
𝜋
4
+ 𝛾)]} 𝑒𝑖(𝜔𝑡+𝛼−𝜋 4⁄ ) 
Ec. 3.34 
De manera similar a la ecuación 3.32, la intensidad de la luz está definida por: 
𝐼 = 𝐾(1 − cos 2𝛾 cos ∆ − cos 2𝛼 sin 2𝛾 sin ∆) Ec. 3.35 
Los valores de 𝛼 y ∆ que dan la menor intensidad en la ecuación 3.35 son: 
𝛼 =
𝑛𝜋
2
 y ∆= 2𝛾 ± 2𝑛𝜋 𝑛 = 0, 1, 2, 3, … 
El resultado en el que 𝐼 = 0 es la primera raíz de la ecuación e indica que la dirección de alguno 
de los esfuerzos principales es paralela al eje del polarizador. El orden de franja para esta 
posición está dado por: 
𝑁 =
∆
2𝜋
= 𝑛 ±
𝛾
𝜋
 Ec. 3.36 
 
21 
La ecuación 3.36 permite obtener ordenes de franja fraccionales (adicionales a 0.5) en puntos 
específicos de un modelo foto elástico por medio de la rotación del analizador a un ángulo 𝛾. 
En resumen, el procedimiento para usar el método de compensación de Tardy es primero 
alinear las isóclinas y después alinear las franjas isocromáticas en las localización de interés y así 
poder usar la ecuación 3.36. Para el primer paso, se usa un arreglo de polariscopio plano para 
alinear las isóclinas con la dirección de los esfuerzos principales en la localización de interés, en 
la figura 10 se puede ver como la isóclina se ha alineado con la localización P1. El eje del 
polarizador fue alineado con las direcciones del esfuerzo principal (𝛼 = 0 ó 𝛼 = 𝜋 2⁄ ) de la 
localización P1 y después el analizador se orienta para producir un arreglo de polariscopio 
circular de campo obscuro (ejes cruzados a 45 grados). 
 
Figura 10. Relación entre localizaciones de esfuerzo de interés en isóclinas e 
isocromáticas para uso del Método de Tardy(18). 
La figura 10 muestra el patrón de isóclinas e isocromáticas una vez hecho el ajuste de 
polariscopio plano con campos oscuro. Para el segundo paso, considerando que la localización 
P1 se encuentra entre las franjas de orden 2 y 3, se define que el valor de n (ecuación 3.36) es 
igual a 2. Al mover el analizador hacia el ángulo γ, la franja de segundo orden se mueve hacia el 
punto P1 hasta que ocurre la extinción de luz. El orden de franja del punto P1 se puede obtener 
como 𝑁 = 2 + 𝛾/𝜋. Para la localización P2, nótese que la localización P2 ya está sobre la isóclina, 
y por lo tanto el primer paso ya fue ejecutado; entonces el valor de n puede ser considerado 2 
nuevamente y rotar el analizador a un nuevo ángulo 𝛾1 hasta que se extingue la luz en el punto 
P2; en este caso la ecuación para el orden de franja sería 𝑁 = 2 + 𝛾1/𝜋. También es posible 
asumir n igual a 3, y girar el analizador en dirección opuesta usando un ángulo −𝛾2 hasta que la 
franja de 3 orden extingue la luz en el punto P2; con esta segunda opción el orden de franja está 
dado por 𝑁 = 3 − 𝛾2/𝜋, y debe ser igual al resultado de 𝑁 = 2 + 𝛾1/𝜋 usando la franja 2. 
 
 
22 
IV. Diseño de polariscopio circular 
4.1. Fuente de luz del polariscopio 
El polariscopio circular puede utilizar 2 tipos de fuente de luz para los análisis: luz blanca y luz 
monocromática. 
Cuando se usa la fuente de luz blanca se tiene la ventaja de poder distinguir entre la isóclina y la 
isocromática (que tiene diferentes colores) cuando se usa un polariscopio plano. Otra ventaja, es 
que se puede usar el patrón de colores para determinar si el orden de la franja aumenta o 
decrece en una dirección dada. La tabla 4.1 resume la secuencia de colores observada en un 
polariscopio con campo obscuro y el orden de la franja. 
Color Muestra Retardo ∆ (nm) Aprox. Orden de Franja 
Negro 0 0.00 
Gris 160 0.28 
Blanco 260 0.45 
Amarillo 350 0.60 
Naranja 460 0.79 
Rojo Indio 520 0.90 
Violeta en transición 577 1.00 
Azul 620 1.06 
Verde Esmeralda 700 1.20 
Verde 800 1.39 
Naranja 940 1.63 
Fucsia 1050 1.82 
Verde en transición 1150 2.00 
Verde 1350 2.35 
Verde Amarillo 1450 2.50 
Bermellón 1550 2.65 
Bermellón en transición 1730 3.00 
Tabla 4.1. Secuencia de colores obtenida en polariscopio con campo obscuro 
y luz blanca(19). 
Sin embargo, las mediciones cuantitativas son más fáciles y precisas de obtener usando luz 
monocromática (20). Dicha fuente de luz se obtiene de una lámpara de luz led difusa blanca 
(Construlita Litepad RE1098). La fuente de luz monocromática es ultravioleta y también es 
producida a partir leds. 
4.2. Placas polarizadoras 
Las placas polarizadoras fueron adquiridas de la empresa American Polarizers Inc. que también 
produce placas de cuarto de onda. Estas placas polarizadoras APNCP37-010T-RH de hecho son 
 
23 
polarizadores circulares con giro de mano derecha, porque incluyen un polarizador lineal más la 
placa de cuarto de onda. El eje rápido de la placa de cuarto de onda está a 45° del eje de 
transmisión del polarizador lineal. 
El sustrato de estas placas es tri-acetato, el retraso del haz de luz (OPD, Optical Path Diference, 
Diferencia de Caminos Ópticos) es 140 nm+/- 6nm, para longitudes de onda de 560nm y su 
rango de operación es de -50°C a +70°C. Se seleccionó una placa que mantiene el porcentaje de 
transmisión es 37% entre longitudes de onda de 400 a 760nm (Apéndice B). 
Dado el arreglo angular fijo entre el polarizador lineal y la placa de cuarto de onda integrada en 
el polarizador circular, los arreglos de luz que se pueden obtener con el polariscopio están 
especificados en la tabla 4.2. 
Ajuste Placa Cuarto de Onda Fondo 
A Cruzados Claro 
B Paralelos Obscuro 
Tabla 4.2. Ajustes posibles con un ángulo de 45 grados entre el eje de 
transmisión del polarizador y el eje rápido de la placa. 
4.3. Placas de cuarto de onda 
Las placas de cuarto de onda APQW92-003-PC-140NM fueron obtenidas de la compañía 
American Polarizers Inc. La selección se basó en los diferentes tamaños de placa que tenía la 
compañía disponible, ya que el objetivo era poder analizar modelos de al menos 20 cm de 
diámetro y esta era de las pocas compañías que ofrecían placas de este tamaño y que a su vez 
el retrasode onda no se viera afectado por el ángulo de visión. 
El sustrato de estas placas es policarbonato, el retraso del haz de luz (OPD, Optical Path 
Diference, Diferencia de Caminos Ópticos) es 140 nm+/- 6nm, para longitudes de onda de 
560nm y su rango de operación a baja humedad es de -40°C a +85°C. Se seleccionó una placa 
que mantiene el porcentaje de transmisión de las ondas de luz mayor al 92% entre longitudes 
de onda de 400 a 750nm (Apéndice B). 
Los componentes de las secciones 4.4 a 4.8 fueron hechos de nyla-acero. Los criterios para la 
selección del material fueron facilidad de maquinado, costo y capacidad auto-lubricante. Se hizo 
una cotización inicial en aluminio y el costo total era de $38,600 MXP, considerando materia 
prima y maquinado; con nyla-acero, el costo de la materia prima fue $19,500 MXP, pero el 
maquinado fue hecho con apoyo del Instituto de Estudios de la Energía de la Universidad del 
Istmo (UNISTMO). Finalmente, el material nyla-acero se auto-lubrica lo cual es una ventaja ya 
que las placas necesitan girar y desplazarse a lo largo de las guías del polariscopio y la 
lubricación reduce el desgaste y permite el movimiento relativo con menos fricción. 
 
24 
4.4. Bases de placa de cuarto de onda y placas polarizadas 
Para ambos tipo de placa se usó el mismo tipo de base, que fue maquinado a partir de tubos de 
nyla-acero. La función principal de la base es proveer de una cavidad donde las placas puedan 
ser insertadas y a su vez el eje principal de la placa pueda ser girado con libertad de 360° para 
poder tener precisión en las observaciones hechas sobre los modelos. 
La cavidad es circular y tiene 8 mm de profundidad para instalar la placa y aprisionarla entre 
discos de acrílico de 2.4mm de espesor. El uso de empaques evita poner presión excesiva sobre 
la placa, distorsionando el plano y moviendo el eje de salida de la luz de la placa polarizada y la 
placa de cuarto de onda. La cavidad se forma al atornillar una placa frontal con el escalón de 8 
mm de profundidad, contra una placa posterior con barrenos cordados sin escalón; el resultado 
es la ranura donde puede ensamblarse la placa. Los tornillos son de cabeza avellanada para que 
la cabeza reaccione la carga de apriete y a su vez la cuerda apriete la placa frontal contra la 
placa posterior; adicionalmente, la cabeza avellanada se puede esconder en los agujeros 
avellanados de la placa frontal, reduciendo el volumen total del ensamble de la base y el espacio 
necesario para contenerlo. Las características más relevantes están indicadas en la figura 11. 
Adicionalmente, en la cara de las bases se agregó una línea de referencia, dicha línea coincide 
con el eje de las placas polarizadoras y las de cuarto de onda, esto sirve para tener un testigo 
sobre el cual realizar las calibraciones necesarias durante los experimentos. 
Las dimensiones de las bases de placa se determinaron tratando de reducir el tamaño de la 
misma y así evitar que las bases se volvieran pesadas y difíciles de manipular. Los espesores sólo 
obedecen a que los tornillos sujeten una cantidad de cuerdas equivalente al diámetro del 
tornillo, esto para evitar que las cuerdas se deformen al momento de apretarlas. Por otro lado, 
aunque la práctica común es al menos dejar un diámetro y medio de espesor de pared entre el 
barreno para el tornillo y las orillas, en este diseño sólo se dejó la distancia equivalente a un 
diámetro ya que no hay más cargas que el peso de las placas de acrílico y las láminas de tri-
acetato aplicados en la base de las placas. 
 
25 
 
Figura 11. Bases de placa y sus características relevantes. 
4.5. Soportes para bases de placas 
Los soportes de las bases están compuestos de dos elementos principales, los soportes y las 
guías de los soportes. Esta división permitió reducir el tamaño de los bloques de materia prima 
usados para la manufactura, y a su vez permitió usar materia prima en forma tanto de tubos 
como de placas de nyla-acero para la manufactura, lo cual redujo el costo y aceleró el 
maquinado del componente. 
Los soportes de las bases proveen de un marco alrededor del cual pueden girar las bases de las 
placas. A su vez, los contenedores tienen marcas en una de sus superficies para que sirvan de 
referencia a la marca que existe en las bases durante la calibración de los experimentos. 
El diseño del contenedor es similar al de las bases, excepto en tres características principales, 
figura 12. La primera es la profundidad de la ranura de 22 mm que sirve para alojar la base de 
las placas y tiene 1 mm de holgura para permitir el giro entre la base y el contenedor. La 
segunda es un barreno cordado en el que se atornilla un tornillo Allen con cuerda de 8 mm de 
diámetro, este tornillo sirve para fijar la posición angular de la base una vez que se encontró la 
posición de calibración adecuada. La tercera es un patrón de 3 tornillos que sirve para 
ensamblar el contenedor a la guía del mismo. 
 
26 
 
Figura 12. Contenedores de bases y sus características relevantes. 
Las guías de los contenedores, son elementos que están hechos para mantener las placas 
perpendiculares a los rieles del polariscopio, figura 13. Las guías contienen el mismo patrón de 
barrenos que los contenedores, para ensamblar por medio de tornillos el contenedor a la guía. 
En la parte inferior de la guía se tiene un patrón de barrenos cordados en cada lado de los 
extremos, con estos barrenos se puede instalar bloques en los extremos que deslicen en los 
rieles de sección C instalados en el cimiento del polariscopio. Finalmente, existe una pestaña 
adicional sobre uno de los extremos donde las guías se deslizan; la pestaña tiene un barreno 
con cuerda en el que se instala un tornillo Allen que sirve para fijar la posición longitudinal de la 
guía en relación al cimiento del polariscopio. 
 
Figura 13. Bases de placa y sus características relevantes. 
 
27 
4.6. Base de prototipo y marco para cargas 
La base de prototipo es el elemento del polariscopio en el que se monta el objetivo a analizar. 
La base puede girar 360 grados para poder observar los efectos de la birrefringencia en 
diferentes planos del objetivo. Adicionalmente, en la base de prototipo se ensambla un marco 
hecho con rieles. A lo largo de estos rieles corren las bases para aplicación de cargas. 
La base de prototipo puede girar debido a que la parte inferior tiene una guía circular de 20 cm 
de diámetro interior en la que embona el poste circular del polariscopio. Para poder cuantificar 
la variación del plano en el que se encuentra el objetivo, se agregó al diámetro exterior de la 
guía un patrón de líneas distanciadas a 5 grados. Los extremos opuestos de la base tienen 
muescas para montar los extremos del marco para cargas, y barrenos cordados en el fondo de 
la muesca para atornillar los extremos del marco, figura 14. 
 
Figura 14. Características relevantes de bases de prototipo y marco para 
cargas. 
Adicionalmente, el marco para cargas está formado por canaletas de aluminio con perfil C con 
una brida opuesta, se usan dos canaletas por lado del marco y se ensamblan con las cavidades 
 
28 
de la sección C encontradas para formar un riel; este ensamble de las canaletas de sección C se 
atornilla en sus extremos con 6 bloques de nyla-acero. Dos de esos bloques de nyla-acero unen 
las secciones verticales a la base del prototipo, dichos bloques tienen barrenos pasados y 
avellanados. Se usa un tornillo con cabeza avellanada y los barrenos cordados de la base para 
atornillar los bloques. En el extremo opuesto de las secciones verticales se atornillan bloques de 
nyla-acero con un diseño similar al mencionado anteriormente, pero tienen una menor distancia 
entre barrenos para disminuir el tamaño del bloque y evitar interferencia con las bases para 
aplicación de cargas. Finalmente, la sección horizontal del marco tiene dos bloques de nyla-
acero que también atornillancanaletas de sección C; a su vez estos bloques tienen barrenos 
cordados en los cuales se atornillan los bloques de nyla-acero que están en la parte superior de 
las secciones verticales. La selección de canaletas de aluminio permite que se hagan 
modificaciones adicionales en el marco para adaptar nuevos modelos y tipos de cargas usando 
equipo no profesional (taladro, seguetas y dreemel o mototool). Lo mencionado anteriormente, 
fue de utilidad para adaptar un brazo de palanca y así maximizar la cantidad de carga que se 
puede usar durante las pruebas de foto-elasticidad. 
Un elemento adicional del marco de cargas es la palanca de carga, esta permite aplicar cargas 
calibradas sobre los modelos usando la misma cantidad de peso durante una prueba. Lo cual 
resultó útil para los modelos de disco a compresión, ya que al establecer la longitud en el que la 
palanca aplica la carga al disco, se puede usar el resto de la palanca para multiplicar la carga 
debida al peso utilizando múltiplos de la longitud de palanca establecido anteriormente y así 
tener multiples cargas bajo el mismo peso. 
4.7. Bases para aplicación de cargas 
Los rieles del marco para cargas fueron diseñados para alojar bloques de nyla-acero para aplicar 
cargas en los objetivos. Los bloques de nyla-acero tienen barrenos cordados para instalar 
tornillos Allen y por medio de ellos fijar la posición de los bloques a lo largo de los rieles del 
marco. Las bases para aplicación de cargas también cuentan con barrenos de 4 mm. de 
diámetro que pueden ser usados como guías para perforar barrenos con cuerda y aplicar 
desplazamientos con tornillos o para sujetar dinamómetros o celdas de carga para aplicar 
fuerzas en los objetivos, figura 15. 
 
 
29 
Figura 15. Bases para aplicación de cargas y características relevantes. 
4.8. Cimiento y rieles para desplazamiento de soportes 
El cimiento del polariscopio sirve como guía para la base de prototipo y para montar las 
canaletas en las que se desplazan los soportes de las placas. Para servir como guía de la base, la 
placa tiene en la parte superior un poste circular, ese poste tiene 0.5 mm. de holgura contra la 
guía en la base del prototipo por lo que permite el ensamble contra el cimiento sólo por 
gravedad y también permite el giro de la base para modificar el plano en el que se observa el 
objetivo. En los cuatro extremos de la placa se tienen hendiduras que son negativas a la sección 
C de las canaletas, el diseño permite que ahí se ensamblen las canaletas y que las hendiduras 
establezcan planos paralelos para las canaletas, figura 16. Finalmente, las canaletas se fijan al 
cimiento por medio de barrenos con cuerda y tornillos de cabeza plana. 
 
Figura 16. Características relevantes en el cimiento y los rieles de soportes.
 
 
30 
V. Diseño de pruebas de fotoelasticidad 
El valor de franja de esfuerzo del material 𝑓𝜎 es una propiedad que varía con el tiempo y los 
lotes de producción, adicionalmente es necesario conocer 𝑓𝜎 para poder relacionar los cambios 
en el índice de refracción observados con el valor de esfuerzo producido, estas son algunas de 
las razones que hacen necesaria la calibración. 
5.1. Manufactura y características de probeta para calibración 
La práctica común es que la calibración sea hecha con cuerpos sencillos para los cuales la 
solución matemática es conocida; además de esta característica, el disco circular a compresión 
diametral ofrece otras ventajas: la geometría es fácil de manufacturar, la probeta es compacta, la 
carga de calibración es sencilla de aplicar, los esfuerzos en la probeta en la localización de 
interés están lejos de la zona maquinada lo cual permite omitir la influencia de los esfuerzos 
residuales del maquinado durante la calibración y, finalmente, se puede probar la máxima 
resolución de la fotografía y sensibilidad del material, ya que los esfuerzos de contacto 
producen ordenes de franja muy altos en las zonas de contacto. 
Para evaluar la capacidad estructural del disco, se obtiene la carga crítica P para que la probeta 
falle a pandeo(21) y también el esfuerzo a compresión debido a la carga de calibración. La carga 
crítica para que el disco falle por pandeo se puede calcular utilizando la ecuación 5.1: 
𝑃𝑐𝑟 =
𝜋2𝐸𝐼
𝐿2
 Ec. 5.1 
Para la probeta de disco, el momento de inercia de área se puede asumir como el 
correspondiente a un área rectangular: 
𝐼 =
𝑏ℎ3
12
 Ec. 5.2 
Para la ecuación 5.2, el espesor del disco es igual a ℎ y la longitud de la base se asume como 
dos tercios del diámetro del disco; esta última suposición se basa en el área del disco en la que 
los esfuerzos a compresión 𝜎2 están por encima del 33% del máximo valor de esfuerzos a 
compresión en la disco(22). Usando las ecuaciones 5.1 y 5.2, la carga critica a pandeo para discos 
de diámetro 60, 80 y 100 mm con espesor de 2.4 mm se muestra en tabla 5.1. Una vez limitada 
la carga critica a la que se puede someter la probeta, el siguiente paso fue el maquinado de las 
probetas. 
 
 
31 
 
Diámetro (mm) Momento de Inercia (m4) Carga Critica Pcr (N) 
60 4.61x10-11 426.75 
80 6.14 x10-11 320.06 
100 7.68 x10-11 256.05 
Tabla 5.1. Carga crítica de pandeo para probetas de diferentes diámetros. 
Los discos para calibración fueron hechos de acrílico, se utilizaron dos métodos de manufactura: 
corte por chorro de agua y corte con mototool (DremelTM). El corte con chorro de agua 
produjo discos con diámetro uniforme y sus bordes fueron pulidos con fibra Scotch-Brite® para 
remover las porosidades en los bordes generadas por el corte con chorro de agua. Las probetas 
cortadas con mototool fueron hechas dada la disponibilidad de la herramienta y de placas de 
acrílico para maquinar, la rugosidad en los bordes se redujo con lima para lograr una 
distribución más homogénea de las cargas en los puntos de contacto del disco. 
Para la tabla 5.2, la probeta es de 60mm de diámetro y espesor de 2.4mm; las cargas disponibles 
son de 240.29 N, 300.36 N, 360.44 N y 444.98 N. Usando la ecuación 2.2, y las propiedades del 
acrílico (Apéndice C), se definen en la tabla 5.2 los niveles esperados de esfuerzo y el porcentaje 
correspondiente contra la resistencia a flexión del material. 
Fuerza (N) σ1-σ2 (MPa) % σc 
240.29 4.25 3.6% 
300.36 5.31 4.5% 
360.44 6.37 5.4% 
444.98 7.87 6.7% 
Tabla 5.2. Relación entre carga aplicada, diferencia de esfuerzos principales y 
porcentaje de resistencia a la flexión del acrílico. 
Los lentes disponibles para las pruebas de foto-elasticidad en los discos de 60 mm, son un 
ensamble fijo entre un polarizador lineal y una placa de cuarto de onda. Los fondos de luz con 
dichos arreglos son campo obscuro cuando los ejes de polarización de los polarizadores 
circulares son paralelos y son campo claro cuando dichos ejes son cruzados entre ellos. Dado 
que el polariscopio utilizó polarizadores circulares, en todos los casos se obtuvieron sólo 
isocromáticas de los campos de esfuerzo. 
 
 
32 
VI. Resultados obtenidos en las pruebas 
6.1. Lectura de isocromáticas 
Las cargas definidas en la tabla 5.1 se aplicaron en la probeta de 60mm de diámetro. En la 
primera iteración se usó el arreglo con ejes paralelos y con campo obscuro. Se hizo un barrido 
de 180 grados, empezando en la parte alta del eje vertical (12:00 en punto), manteniendo los 
ejes del polarizador y del analizador paralelos en todo momento. En la posición a 50 grados del 
eje vertical, se obtuvo el patrón isocromático mostrado en la figura 17. 
 
Figura 17. Isocromáticas de disco a compresión para cargas, de izquierda a 
derecha, de 240.29 N, 300.36 N y 360.44 N. 
Se puede observar que sin importar la variación en la carga, y el cambio en el nivel de esfuerzos, 
aproximadamente 1 MPa por cada cambio, no hay cambio en el orden de franja. Siendo los 
extremos iguales a 0 por ser extremos libres sin carga, en todos los casos el siguiente orden de 
franjaen aparecer es 1 y no existen más franjas para poder tener más valores de N para calcular 
el valor de franja de esfuerzo del material, 𝑓𝜎. Debido a este resultado no se puede obtener una 
pendiente como se definió en la sección 2.3, para hacer una regresión lineal (a un mismo orden 
de franja, N, le corresponden tres diferentes valores de carga, P). 
Fuerza (N) σ1-σ2 (MPa) % σc N 𝑓𝜎 (N/mm) 
240.29 4.25 3.6% 1 10.198 
300.36 5.31 4.5% 1 12.747 
360.44 6.37 5.4% 1 15.297 
444.98 7.87 6.7% 1.5 12.590 
 
Promedio 12.747 
Tabla 6.1. Relación entre diferencia de esfuerzos principales, orden de franja y 
el valor de franja de esfuerzo del material, 𝑓𝜎. 
Adicionalmente, la línea de la carga a 444.98 N esta resaltada porque para esa carga la probeta 
se fracturó después de pandearse. Entonces la lectura de orden de franja N igual a 1.5 es 
subjetiva ya que ocurrió mientras la probeta fallaba, como se muestra en la figura 18. 
 
33 
 () 
Figura 18. Isocromáticas de disco a compresión durante falla a pandeo 
(444.98 N). Probetas después de falla por pandeo. 
Aun cuando no se puede seguir el procedimiento de la sección 2.3, se hace un cálculo 
aproximado de 𝑓𝜎 haciendo un promedio de los valores obtenidos, con fines de comparar dicho 
valor contra las referencias bibliográficas(7); sin embargo no se usó el valor 𝑓𝜎 de la carga 444.9 
8N para el cálculo del promedio por las razones expuestas anteriormente. En base al promedio 
de la tabla 6.1, el valor de franja es 12.74 kN/m para el acrílico del que fue hecho la probeta, 
mientras que en la referencia el valor para policarbonato es 7.0 kN/m y 11.2 kN/m para las 
resinas epóxicas que son materiales similares al acrílico del que está hecha la probeta; por lo 
tanto la interpretación de la prueba y la propiedad es similar a las referencias consultadas. 
En la segunda iteración se utilizó el arreglo con ejes cruzados, obteniendo un campo obscuro y 
con carga de 360.44 N. Se hizo un barrido de 360 grados, empezando de nuevo en la parte alta 
del eje vertical, manteniendo los ejes del polarizador y del analizador cruzados a 45 grados en 
todo momento. En la posición a 180 grados del eje vertical, se obtuvo el patrón isocromático 
mostrado en la figura 19. 
 
Figura 19. Isocromáticas de disco a compresión con arreglo de campo claro. 
Usando la definición de las transiciones en la Tabla 4.1 y considerando que para el campo claro 
la cuenta de franjas empieza en blanco con orden de franja de 0.5, se puede observar que los 
colores de las transiciones coinciden en el rango entre 0.7 y 1.2 en el orden de franja. Lo que 
 
34 
coincide con los valores de franja observadas con el arreglo de campo obscuro(23) y es similar a 
la dirección en la que incrementan los esfuerzos de acuerdo a las referencias(24). 
Color Muestra 
Retardo ∆ 
(nm) 
Aprox. Orden de 
Franja 
Valor de Esfuerzo (MPa) 
Basado en ec. 1.8 
Blanco 260 0.45 2.39 
Amarillo 350 0.60 3.19 
Naranja 460 0.79 4.20 
Rojo Indio 520 0.90 4.78 
Violeta en transición 577 1.00 5.31 
Azul 620 1.06 5.63 
Verde Esmeralda 700 1.20 6.37 
Tabla 6.2. Secuencia de colores observadas en el disco a compresión con 
campo claro y luz blanca. 
6.2. Esfuerzos residuales por maquinado 
Al estar haciendo las iteraciones con las probetas de 60 mm, se probaron diferentes cargas para 
la calibración y con el objetivo de obtener mayores órdenes de franja; sin embargo, las probetas 
de 60 mm fallaron y se probó un disco de 100 mm y 5.4 mm de espesor que no se había 
utilizado debido al acabado en los bordes cortados con mototool. Se pueden comparar los 
patrones obtenidos en los diferentes modelos en la figura 20. 
 
Figura 20. Probetas de 60 x 2.4 mm y 100 x 5.6 mm cortadas con diferentes 
métodos de manufactura. 
Los patrones de franja son diferentes debido a que la geometría afecta la magnitud de los 
esfuerzos; sin embargo ambas probetas están hechas del mismo acrílico, pero se puede 
observar que en las orillas el esfuerzo en ambas probetas aún tiene orden de franja 0 y al centro 
de la probeta la distribución no se ve afectada por los concentradores de esfuerzo de las orillas. 
Este es uno de los motivos que hace el disco a compresión diametral una de las probetas ideales 
para calibrar materiales birrefringentes: que los esfuerzos residuales del método de manufactura 
no afectan la distribución del esfuerzo en la zona de interés de la probeta(10). 
 
35 
 
 
36 
VII. Conclusiones 
En las primeras iteraciones para la calibración del acrílico, no se obtuvieron franjas de esfuerzo 
observables a simple vista debido a la relación entre la magnitud de esfuerzos obtenidos y la 
sensibilidad del índice de refracción del acrílico o, de manera proporcional, el alto valor de franja 
de esfuerzo del material 𝑓𝜎. Al reducir la capacidad estructural de la pieza por medio de 
probetas de disco de menor diámetro y aumentar la carga aplicada, se lograron observar franjas 
isocromáticas en la zona de interés del disco. Sin embargo, al incrementar la diferencia en 
esfuerzos σ1 − σ2 usando cargas más grandes con el objetivo de obtener ordenes de franja 
mayores, se encontró que la limitación era la carga límite para fallo por pandeo y no la 
capacidad estructural por compresión del material. 
Basado en lo anterior, se recomienda tomar en cuenta tres criterios para diseñar la probeta de 
disco para la calibración. El primer criterio es usar las ecuaciones 5.1 y 5.2 para calcular la carga 
critica de pandeo de una probeta basado en el espesor de las placas disponibles para maquinar 
las probetas y la carga máxima disponible para ser aplicada en la probeta, con esto se puede 
obtener una gráfica como la mostrada en la figura 21. 
 
Figura 21. Carga máxima para evitar pandeo de acuerdo al diámetro de 
probeta. 
De la figura 21, se puede observar que entre más pequeña sea la probeta, mayor será la carga 
que se puede aplicar previo al pandeo de la probeta. El segundo criterio es una vez conocida la 
carga crítica para pandeo, usar la ecuación 2.2 para conocer el valor máximo 𝜎1 − 𝜎2 que se 
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
0.030 0.060 0.090 0.120 0.150
C
ar
ga
 C
rí
ti
ca
 p
o
r 
P
an
d
eo
 (
N
)
Diametro de Probeta (m)
Relación entre Carga Crítica y Diámetro de Probeta
PCr @ Espesor 2.4mm PCr @ Espesor 4.0mm PCr @ Espesor 5.6mm
 
37 
puede obtener de la probeta del diámetro seleccionado. Usando la ecuación 2.2 se puede 
obtener una gráfica como la de la figura 22. 
 
Figura 22. Máxima diferencia entre esfuerzos principales posible 
dependiendo del diámetro de probeta limitado por pandeo. 
Una vez que se conoce la diferencia en esfuerzos que se puede obtener de la probeta, se puede 
usar el tercer criterio. Usando una referencia bibliográfica similar a la tabla 2.1, se puede usar el 
valor de franja de esfuerzo del material, 𝑓𝜎, que sea más afín al material base de la probeta a 
manufacturar y dividir la diferencia de esfuerzo entre 𝑓𝜎 y así obtener una aproximación al 
número de franjas que se podría obtener de la probeta. Este procedimiento permite definir el 
tamaño de la probeta y tener un cálculo aproximado del número de franjas que se obtendrá 
durante el ensayo de fotoelasticidad reduciendo el número de iteraciones y de probetas que se 
tienen que manufacturar para la calibración del material. 
En términos de diseño del polariscopio, un elemento que resultaría útil es un monitor al lado de 
la probeta para indicar cuál es el arreglo de los elementos del polariscopio al momento de 
correr las pruebas de fotoelasticidad.a 
Referencias 
1. Ramesh, K. 1st Edition. Digital Photoelasticity: Advanced Techniques and Applications. 
Springer, 2000. p1. 
2. Dally, James W. y Riley, William F. 3rd Edition. Experimental Stress Analysis. College 
House Enterprises. 1991. p425. 
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