Analisis-de-mecanismos-de-eslabones-espaciales-empleando-matrices-homogeneas-y-parametros-de-Euler

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO 
PROGRAMA DE MAESTRÍA Y DOCTORADO EN INGENIERÍA 
 INGENIERÍA MECÁNICA – MECÁNICA APLICADA 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISIS DE MECANISMOS DE ESLABONES ESPACIALES EMPLEANDO MATRICES 
HOMOGÉNEAS Y PARÁMETROS DE EULER 
 
 
 
 
TESIS 
QUE PARA OPTAR POR EL GRADO DE: 
MAESTRO EN INGENIERÍA 
 
 
 
 
PRESENTA: 
SORIA LARA ALEJANDRA SULLYVAN 
 
 
 
 
TUTOR PRINCIPAL 
FRANCISCO, CUENCA, JIMÉNEZ, 
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM, 
CENTRO DE INGENIERÍA AVANZADA 
 
 
 
 
 
CIUDAD DE MÉXICO, FEBRERO 2019 
 
 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JURADO ASIGNADO: 
 
 
 
 
Presidente: Dr. González Villela Víctor Javier 
 
Secretario: Dr. Velázquez Villegas Fernando 
 
Vocal: Dr. Cuenca Jiménez Francisco 
 
1 er. Suplente: Dr. Yáñez Valdez Ricardo 
 
2 d o. Suplente: M.I. Silva Rico José Antonio 
 
 
 
 
 
 
Lugar o lugares donde se realizó la tesis: Facultad de Ingeniería, UNAM 
 
 
 
 
 
 
TUTOR DE TESIS: 
 
FRANCISCO CUENCA JIMÉNEZ 
 
 
 
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FIRMA
 
 
 
 
 
Agradecimientos 
 
Quiero agradecer de manera general a todas las personas que de alguna forma intervinieron. 
A mis amigos, los nuevos y los que aún siguen siéndolo; en especial a José de Jesús Contreras 
Arredondo, por siempre hacerse tiempo de explicarme conceptos matemáticos; a Pedro 
Enrique Ávila Hernández, por su orientación, ideas y consejos respecto al modelado de 
mecanismos; y a Ervin Galán Uribe, por estar al pendiente durante todo el proceso y verificar 
que seguía sobreviviendo en la cdmx. 
 
También agradezco a mi tutor de tesis, el Dr. Francisco Cuenca Jiménez, su infinita paciencia; 
a mi tutor de licenciatura, M.C. Víctor Hugo López Enríquez, por animarme a intentar ingresar 
a la UNAM; a Juan López de Alda y Fernando von Raesfeld Fabre por su apoyo para mi 
desarrollo profesional; al Dr. Fernando Velázquez Villegas por compartir su laboratorio con 
nosotros. 
 
Y finalmente a la UNAM y CONACYT por la beca nacional de manutención para estudios de 
maestría. 
 
De igual manera considero que el disculparse cuando se comenten errores que dañan a 
terceros es igual de importante que agradecer. Por consiguiente, ofrezco una sincera disculpa 
a quienes ofendí, les quedé mal, o hice algún otro tipo de agravio; no sólo durante el periodo 
de maestría, sino hasta hoy en día. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dedicatoria 
 
 
A mi papá, en su memoria Q.D.E.P. 
Y a mi mamá, que sigue con nosotros amándonos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La vida es como el patinaje, 
aprendes a avanzar a pesar de las caídas, 
sin olvidar que por mucha experiencia que se pueda tener 
nadie está exento de caer... 
 
 
Índice 
1. Introducción .................................................................................................................................. 3 
1.1. Antecedentes .......................................................................................................................... 3 
1.2. Objetivos ................................................................................................................................. 7 
1.3. Justificación ............................................................................................................................. 7 
2. Bases teóricas ............................................................................................................................... 9 
2.1. Bases teóricas de la cinemática ............................................................................................. 9 
2.1.1. Posición Generalizada ..................................................................................................... 9 
2.1.1.1. Posición ............................................................................................................ 9 
2.1.1.2. Velocidad ........................................................................................................ 12 
2.1.1.3. Aceleración ..................................................................................................... 15 
2.1.2. Matrices Homogéneas de Transformación Básicas ..................................................... 18 
2.1.2.1. Generalización de las matrices homogéneas de transformación ............... 18 
2.1.3. Parámetros de Euler ...................................................................................................... 21 
2.1.3.1. Definición ....................................................................................................... 21 
2.1.3.2. Representación de las rotaciones en parámetros de Euler ......................... 23 
2.2. Bases teóricas de la dinámica .............................................................................................. 25 
2.2.1. Método de Newton-Euler ............................................................................................. 25 
2.2.2. Fuerza de reacción en las juntas ................................................................................... 35 
3. Metodología ................................................................................................................................ 38 
3.1. Matrices homogéneas de transformación básicas en función de los parámetros de Euler
 ................................................................................................................................................. 39 
3.1.1. Definiciones para las matrices de traslación ................................................................ 39 
3.1.2. Definiciones para las matrices de rotación .................................................................. 43 
3.2. Representación escalar de la velocidad y aceleración angular en función de los 
parámetros de Euler ............................................................................................................... 66 
4. Resultados ................................................................................................................................... 70 
4.1. Caso de estudio 1: Mecanismo CCCC .................................................................................. 70 
4.1.1. Análisis cinemático ........................................................................................................ 70 
4.1.2. Análisis dinámico ........................................................................................................... 82 
4.2. Caso de estudio 2: Mecanismo CSSP ................................................................................... 93 
4.2.1. Análisis cinemático ........................................................................................................ 93 
4.2.2. Análisis dinámico ......................................................................................................... 104 
5. Conclusión ................................................................................................................................. 115 
 
Bibliografía…………………………………………………………………………………………………………………………….117 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumen 
 
 
En esta tesis se obtuvieron expresiones equivalentes en función de los parámetros de Euler 
que pueden ser usadas para el análisis cinemático y dinámicode mecanismos espaciales. 
 
El capítulo 1 menciona lo existente respecto al análisis cinemático y dinámico utilizando 
matrices homogéneas de transformación y parámetros de Euler de manera separada. También 
menciona el objetivo y justificación de esta tesis. 
 
El capítulo 2 presenta el marco teórico del análisis cinemático y dinámico, mientras que en el 
capítulo 3 se desarrollan expresiones equivalentes de las matrices homogéneas de 
transformación y de la velocidad y aceleración angular en función de los parámetros de Euler. 
 
El capítulo 4 muestra dos ejemplos donde se utilizaron las expresiones equivalentes obtenidas 
en el capítulo 3. Y finalmente el capítulo 5 contiene las conclusiones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 1
Introducción
1.1. Antecedentes
Como se menciona en (Shabana, 2001): � En el análisis cinemático nos interesamos por
el estudio del movimiento sin considerar las fuerzas que lo producen. El objetivo del análisis
cinemático es determinar las posiciones, velocidades y aceleraciones como resultado de las en-
tradas conocidas y prescritas. Hay tres etapas que deben ser seguidas para un análisis cinemático
completo: análisis de posición, velocidad y aceleración. �
A su vez, cabe resaltar que hay diferentes tipos de análisis cinemáticos, como los que se
abordan en (Siciliano, Sciavicco,Villani &Oriolo, 2009), y diferentes clasi�caciones de acuerdo
a cada autor. En este trabajo se empleó la cinemática inversa, la cuál establece que (Kelly&
Santibañez, 2003) �El modelo cinemático inverso consiste justamente en la relación inversa del
modelo cinemático directo, es decir, es la relación entre la posición cartesiana x y la posición
articular q, i.e., q = f�1(x), pudiendo tener, inclusive, ninguna o múltiples soluciones.�Otra
forma de decirlo es que �la cinemática inversa nos permite obtener las posiciones de las juntas
q en términos de la posición y orientación del efector �nal del último eslabón, referenciadas al
marco de referencia de la base�(Kelly, Santibañez &Loria, 2005)
El modelo cinemático inverso por lo general es más complejo que el modelo cinemático
directo porque (Siciliano et al., 2009):
Las ecuaciones a resolver por lo general son no lineales y debido a esto no siempre es
3
posible encontrar una solución de forma cerrada.
Pueden existir múltiples soluciones.
Pueden existir soluciones in�nitas, por ejemplo, en el caso de un manipulador cinemáti-
camente redundante.
Pueden existir soluciones no admisibles desde el punto de vista de la estructura cinemática
del manipulador.
En el presente trabajo se aborda el análisis cinemático inverso de mecanismos de eslabones
espaciales. Entiéndase por mecanismo de eslabones espaciales a los mecanismos que presentan
sólo eslabones como sus elementos de construcción (no contienen elementos tales como engranes,
levas, etc) y su movimiento lo realizan en un espacio de trabajo tridimensional. Evítese confundir
con el término � espacial� con mecanismos relacionados al área de aeroespacial, sin descartar
que algunos de ellos puedan ser empleados en dicha área.
Algunos de los métodos para calcular la cinemática inversa se pueden agrupar dentro de las
categorías de métodos geométricos y métodos analíticos. Dentro de los métodos analíticos se
encuentra el método matricial, donde:
�Los movimientos de un cuerpo rígido pueden ser representados en forma matricial de man-
era que la composición de movimientos del cuerpo rígido pueda ser reducida a multiplicaciones
de matrices como en el caso de la composición de rotaciones.�(Spong, Hutchinson & Vidyasagar,
2005)
Y a su vez, �la orientación de un cuerpo rígido i puede ser especi�cada por una matriz
de transformación, los elementos de esta pueden ser expresados en conjuntos de coordenadas
apropiados como por ejemplo, los ángulos de Euler, los ángulos de Bryant o los parámetros de
Euler.�(Flores, 2015). Una de estas matrices de transformación son las matrices homogéneas.
Algunas de las ventajas de las matrices homogéneas son que poseen una interpretación física
intuitiva y son una manera compacta de representación de las formulaciones matemáticas. Su
principal desventaja es que utilizan los ángulos de Euler, los cuales adolecen del inconveniente
de la representación de singularidades ya que (Schiehlen, 1990) dice �Puede ser concluido que
el fenómeno de singularidad es un problema inherente asociado a cualquier sistema de 3 coor-
4
denadas rotacionales a pesar de su forma o convención. Este problema puede ser evitado si se
utilizan 4 coordenadas rotacionales, llamadas parámetros de Euler �
Como lo menciona (Nikravesh, 1988) dentro de las ventajas de los parámetros de Euler
se encuentra que �en programas computacionales de larga escala que lidian con la orientación
angular de cuerpos, sean rígidos o deformables, el uso de parámetros de Euler puede simpli�car
drásticamente las formulaciones matemáticas ya que la formulación de los parámetros de Euler
permite que las relaciones cinemáticas para diferentes pares sean escritas en forma matricial
compacta, permitiendo así el desarrollo de algoritmos computacionales e�cientes y compactos�;
también �en contraste con los ángulos de Euler y los ángulos de Bryan, o cualquier otro conjunto
de tres coordenadas rotacionales, no hay casos críticos en los cuales las fórmulas inversas de
las fórmulas explicitas de los parámetros de Euler sean singulares� así como �la naturaleza
cuadrática de la matriz de transformación, la ausencia de funciones trigonométricas y la cualidad
de libre de singularidades de los parámetros de Euler los hace más atractivos que otros conjuntos
de coordenadas rotacionales�. Su principal desventaja es que aparentemente su formulación
matemática no posee una interpretación física intuitiva al hacer uso de cuatro parámetros para
representar la orientación espacial.
Respecto al panorama actual, en (Wenger & Flores, 2017), donde se hace una recopilación
de los resultados más recientes en la investigación de la ciencia de los mecanismos, sólo un
articulo, Planar Stewart Gough Platforms with Quadratic Singularity Surface, hace uso de
matrices de transformación y parámetros de Euler, pero a diferencia de esta investigación,
utilizan la representación generalizada de la matriz de rotación. Como otros ejemplos de la
aplicación del método de matrices homogéneas de transformación se puede citar a (Paul &
Zhang, 1986) dónde se desarrolla un método a partir de matrices homogéneas para obtener
las ecuaciones que involucren el número mínimo de operaciones matemáticas para ser resueltos
en computadora, así como a (Zhu, Cai, Li & Liu, 2017) dónde hacen uso de las matrices de
transformación homogéneas para obtener el modelo cinemático de un robot industrial.
Por otra parte, como bien lo mencionan en (Saha,Shah &Nandihal 2013), �durante las
dos últimas décadas, las aplicaciones de la dinámica de multicuerpos se han expandido en las
áreas de robótica, automotriz, aeroespacial, biomecánica y muchas otros.�Estas áreas hacen
uso de análisis dinámicos asistidos por computadora para los cuales necesitan los modelos
5
dinámicos de los sistemas a analizar. El modelo dinámico, de acuerdo a (Flores, Ambrósio,
Pimenta & Lankarani, 2008), � provee una manera de estimar las fuerzas externas que dependen
de la posición relativa entre los componentes del sistema, tales como las fuerzas ejercidas por
resortes, amortiguadores y actuadores, así como las fuerzas externas que son desarrolladas como
consecuencia de la interacción entre los componentes del sistema y el entorno que lo rodea, tal
como las fuerzas de fricción y de contacto-impacto.�
Al igual que en la cinemática, el análisis dinámico tiene diferentes clasi�caciones,una de ellas
(Siciliano et al., 2009) lo clasi�ca en análisis dinámico directo y análisis dinámico inverso. En
este trabajo se emplea la dinámica directa. De acuerdo a (Siciliano et al., 2009 ), la dinámica
directa � consiste en determinar, parat > t0, las aceleraciones de las juntas �q(t) (y entonces
_q(t), q(t) ) resultantes de los torques de las juntas dados tau(�)- y las posibles fuerzas del
efector �nal he(t)- una vez que las posiciones iniciales q(t0) y las velocidades iniciales _q(t0) son
conocidas (estado inicial del sistema).�La dinámica directa es útil para describir un sistema en
términos de su aceleración cuando se conocen los torques aplicados a las juntas, lo cual por lo
general es un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales.
Existen varios métodos para la obtención de las ecuaciones del modelo dinámico, entre ellos:
� la formulación de Newton-Euler (NE), el principio de Euler-Lagrange, el enfoque de Gibbs-
Appel, el método de Kane, el principio de ´D�Alembert y otros similares.�(Saha et al., 2013).
Algunos están basados en de�niciones de energía y otros en de�niciones de la mecánica vectorial.
Las formulaciones energéticas emplean cantidades escalares de trabajo y energía las cuales
son menos intuitivas y menos transparentes en su forma �nal y la cual requiere un manejo
matemático complicado mientras más cuerpos tenga el sistema y más variables estén involu-
cradas en su de�nición de posición y orientación. También la obtención de fuerzas y momentos
de reacción en los pares cinemáticos, requeridos en aplicaciones de diseño de la estructura de
los sistemas, no se pueden obtener en primera instancia y/o requieren de planteamiento extras
para su cálculo. Sin embargo los métodos energéticos permiten obtener ecuaciones dinámicas
de multicuerpos de forma cerrada (expresiones en las cuales las fuerzas o torques motrices in-
cógnitas del sistema aparecen despejadas del conjunto de ecuaciones) de una manera directa
siguiendo las bases de su formulación matemática.
En este trabajo se aborda el método de Newton-Euler para la solución del modelo dinámico,
6
el cúal es una formulaión de la mecánica vectorial y �es inherentemente un método recursivo
que es e�ciente computacionalmente.�(Siciliano et al., 2009). Las aproximaciones vectoriales
tienen la ventaja de ser intuitivos, de emplear un notación más concisa y no requieren de un
manejo matemático complejo; sin embargo, la obtención de una posible forma cerrada para las
variables incógnitas es una tarea más compleja que la de los métodos energéticos debido a las
incógnitas de fuerzas y momentos de reacción establecidas en las ecuaciones.
Por otro lado, la relativa sencillez en el establecimiento de las ecuaciones dinámicas (no
buscando la forma cerrada de las mismas), la posible obtención de las reacciones incógnitas,
útiles en la etapa del diseño para determinar la resistencia requerida de los elementos, así como
la obtención de las fuerzas o los torques de los actuadores, aunado todo esto al apoyo de las
computadoras para su solución, hacen este método atractivo para el analista involucrado en el
diseño mecánico de un sistema de multicuerpos.
1.2. Objetivos
Esta investigación busca aplicar los parámetros de Euler y matrices homogéneas a la formu-
lación de Newton-Euler para resolver el problema de la integración de las ecuaciones diferenciales
de movimiento libre de singularidades que muestran los ángulos de Euler. Por ello, los objetivos
que se persiguen son:
Proponer las modi�caciones pertinentes a la formulación de Newton-Euler para el análisis
de mecanismos que realizan su movimiento dentro de un espacio de trabajo tridimensional,
basándose en la combinación de matrices homogéneas junto con los parámetros de Euler.
Obtener un método que conserve las ventajas de las matrices homogéneas y los parámetros
de Euler al mismo tiempo que evita sus principales desventajas, ya que en la literatura
actual consultada no se encuentra reportado.
1.3. Justi�cación
Con los avances tecnológicos, especí�camente la creación de computadoras, se han podido
implementar métodos recursivos para la solución del sistema de ecuaciones de modelos cinemáti-
7
cos y dinámicos de sistemas multicuerpo. A su vez se ha buscado optimizar dichos algoritmos
y reducir el tiempo de computo.
El presente trabajo aporta el ensamble de varias metodologías ya existentes, pero con un
diferente enfoque no reportado por otros autores, y que permite aprovechar las ventajas de
dichas metodologías. También se aporta de�niciones nuevas de la velocidad y aceleración angular
en función de los parámetros de Euler, en su forma escalar, de manera detallada. Además, el
presente trabajo puede ser una referencia útil a trabajos posteriores del área.
8
Capítulo 2
Bases teóricas
2.1. Bases teóricas de la cinemática
2.1.1. Posición Generalizada
Posición
La posición en el espacio de un punto en un sistema de coordenadas a está de�nida por,
(Stejskal&Valasek, 1996):
ra = Rabrb (2.1)
tal que:
rk es el vector del origen del sistema de coordenadas k al punto, medido en k
Rmn es la matriz general de transformación de rotación sobre un eje arbitrario del sistema m
al sistema n:
Por otra parte, la posición de un punto M en el espacio, haciendo referencia a dos sistemas
de coordenadas (a y b) desfasados y con diferente orientación está dada por:
raM = rbM + rab (2.2)
9
mientras que las coordenadas del punto en el sistema a están de�nidas como:
xaM = a11xbM + a12ybM + a13zbM + a1
yaM = a21xbM + a22ybM + a23zbM + a2 (2.3)
zaM = a31xbM + a32ybM + a33zbM + a3
donde aij es el coseno director del ángulo entre el i -ésimo eje del sistema a y el j -ésimo eje del
sistema b, y xbM ,ybM ,zbM son las coordenadas del punto en el sistema b. De�niendo:
uaM =
h
xaM yaM zaM
iT
ubM =
h
xbM ybM zbM
iT
uab =
h
a1 a2 a3
iT
y
Rab =
26664
a11 a12 a13
a21 a22 a33
a31 a32 a33
37775 (2.4)
se puede reescribir la ec.(2.2) como:
uaM = RabubM + uab (2.5)
donde Rab = [aij ],ij = 1; 2; 3, es la matriz de cosenos directores.
Usando coordenadas homogéneas, se pueden expresar mediante vectores extendidos los vec-
tores del punto M en los sistemas de coordenadas a y b como:
raM =
24 uaM
1
35 ; rbM =
24 ubM
1
35 (2.6)
se puede reescribir la ec.(2.5) expresando la descomposición del movimiento espacial general en
10
la forma: 24 uaM
1
35 =
24 Rab uab
0T 1
3524 ubM
1
35 (2.7)
de forma detallada, la ec.(2.7) es:
26666664
xaM
yaM
zaM
1
37777775 =
26666664
a11 a12 a13 a1
a21 a22 a33 a2
a31 a32 a33 a3
0 0 0 1
37777775
26666664
xbM
ybM
zbM
1
37777775 (2.8)
la cual puede ser escrita como la siguiente ecuación matricial simbólica (Stejskal&Valasek, 1996):
raM = TabrbM (2.9)
que a su vez expresa una transformación homogénea de vectores extendidos, donde la matriz
de transformación es:
Tab =
24 Rab uab
0T 1
35 (2.10)
Mientras que la inversa de esta transformación, la matriz T�1ab , se obtiene a partir de:
TabT
�1
ab = T
�1
ab Tab = E4 (2.11)
donde E4 es la matriz identidad de 4x4. Además, asumiendo que:
T�1ab =
24 A B
C D
35 ; E4 =
24 E3 0
0T 1
35 (2.12)
y sustituyendo a (2.12) y (2.10) en (2.11) se tiene que:
24 Rab uab
0T 1
3524 A B
C D
35 =
24 E3 0
0T 1
35 (2.13)
11
Desarrollando las operaciones se forman las siguientes ecuaciones:
RabA+ uabC=E3 (2.14)
RabB+ uabD=0 (2.15)
0TA+1C=0T (2.16)
0TB+D=1 (2.17)
resolviendo a partir de la última ecuación, ec.(2.17), a la primera, ec.(2.14), se obtiene:
D = 1; C = 0T ; B = �R�1ab uab; A = R
�1
ab (2.18)
por lo que la inversa de la transformación se de�ne como:
T�1ab =
24 R�1ab �R�1ab uab
0T 1
35 (2.19)
donde cabe resaltar que:
T�1ab 6= T
T
ab (2.20)
Velocidad
De la posición, ec.(2.9), se tiene:
raM = TabrbM
y derivando esta ecuación respecto al tiempo se obtiene la velocidad extendida del punto M en
el sistema a (Stejskal &Valasek, 1996):
vaM = _TabrbM (2.21)
también, despejando a rbM de la ec.(2.9), se tiene:
rbM = T
�1
ab raM (2.22)
12
Sustituyendo a (2.22) en la ec.(2.21) se obtiene:
vaM = _TabT
�1
ab raM = Va;abraM (2.23)
donde:
Va;ab = _TabT
�1
ab (2.24)
Por otro lado, si transformamos a Va;ab al sistema b se tiene:
Vb;ab = T
�1
ab Va;abTab (2.25)
sustituyendo aec.(2.24) en ec.(2.25) da como resultado:
Vb;ab = T
�1
ab
_TabT
�1
ab Tab = T
�1
ab
_TabE4 = T
�1
ab
_Tab (2.26)
donde, de manera detallada la ec.(2.26) contiene:
Vb;ab =
24 RTab �RTabuab
0T 1
3524 _Rab _uab
0T 1
35 =
24 RTab _Rab RTab _uab
0T 0
35 (2.27)
Una forma corta para conocer que contiene la expresión de la velocidad extendida del punto
M, ec.(2.26), se describe a continuación. Primero se procede a despejar a _Tab de la ec.(2.24):
_Tab = TabVb;ab (2.28)
se sustituye la ec.(2.28), la ec.(2.10) y la ec.(2.27), en ese orden, dentro de la ec.(2.21):
vab = TabVb;abrba
=
24 Rab uab
0T 1
3524 RTab _Rab RTab _uab
0T 0
35 rba =
24 RabRTab _Rab RabRTab _uab
0T 0
35 rba
vab =
24 _Rab _uab
0T 0
35 rba (2.29)
13
Por otro lado, de�niendo a 
b;ab,como la matriz de velocidad angular del sistema b visto desde
a y proyectado en b, se tiene que:
_Rab = Rab
b;ab (2.30)
despejando a 
b;ab de la ec.(2.30) da como resultado:
b;ab = R
�1
ab
_Rab = R
T
ab
_Rab (2.31)
Otra manera de llegar al resultado es partir de que, de manera generalizada, la matriz de
velocidad angular 
k;ji representa la velocidad angular del sistema i visto desde el sistema j
y proyectado en el sistema k. Para nuestro caso particular se tiene:
a;ab = _RabR
T
ab (2.32)
la relación que existe entre 
b;ab y 
a;ab se declara como:
a;ab = Rab
b;abR
T
ab (2.33)
expresando la velocidad angular en la base b, despejando de la ecuación (2.33), se obtiene:
b;ab = R
T
ab
a;abRab (2.34)
y sustituyendo el valor de 
a;ab de la ecuación (2.32) en la ecuación (2.34) da como resultado:
b;ab = R
T
ab
_RabR
T
abRab = R
T
ab
_Rab (2.35)
Desarrollando la multiplicación de la ec.(2.31) se obtiene:
b;ab =
26664
0 �!z !y
!z 0 �!x
�!y !x 0
37775 (2.36)
14
donde el vector asociado con la matriz antisimétrica de la velocidad angular es:
!ab = [!x; !y; !z]
T (2.37)
y �nalmente, si se sustituye la expresión de la velocidad angular, ec.(2.31), en la expresión de
la matriz de velocidad vista desde el sistema b, ec.(2.27), se tiene que:
Vb;ab =
24 RTab _Rab RTab _uab
0T 0
35 =
24 
b;ab RTab _uab
0T 0
35 (2.38)
Aceleración
Partiendo de la expresión de la velocidad, ec.(2.21):
vaM = _TabrbM
nuevamente se deriva respecto del tiempo para obtener la aceleración absoluta extendida del
punto M en el sistema a, esto es (Stejskal & Valasek, 1996):
aaM = �TabrbM (2.39)
donde:
aaM = _vaM = �raM =
24 �uaM
0
35 =
26666664
�xaM
�yaM
�zaM
0
37777775 (2.40)
otra manera de representar el contenido de la aceleración es a través del cálculo de la segunda
derivada de la matriz de transformación, a partir de volver a derivar respecto al tiempo a la
ec.(2.28), esto es:
�Tab = _TabVb;ab +Tab _Vb;ab (2.41)
donde se puede de�nir a:
Ab;ab = _Vb;ab (2.42)
15
donde Ak;ij es la matriz de aceleración del movimiento de j visto desde i y proyectado en k. Si
se sustituye la ec.(2.28) y ec.(2.42) en la ec.(2.41) se obtiene:
�Tab = TabVb;abVb;ab +TabAb;ab = Tab(V
2
b;ab +Ab;ab) = TabBb;ab (2.43)
donde por notación:
Bb;ab = V
2
b;ab +Ab;ab: (2.44)
Reescribiendo la aceleración, ec.(2.39), en términos de la ec.(2.43) se tiene:
aab = TabBb;abrba (2.45)
Para obtener el desarrollo de Bb;ab, primero se desarrolla Ab;ab y después a V2b;ab. Para Ab;ab
tenemos que derivar a Vb;ab de la ec.(2.27):
Ab;ab = _Vb;ab =
24 _RTab _Rab +RTab �Rab _RTab _uab +RTab�uab
0T 0
35 (2.46)
después, para el desarrollo los términos de la ec.(2.46) se hace uso de _Rab, ec.(2.30), en el cálculo
nuevamente su derivada respecto al tiempo, esto es �Rab:
�Rab = _Rab
b;ab +Rab _
b;ab = Rab
b;ab
b;ab +Rab _
b;ab = Rab(
2
b;ab + _
b;ab) (2.47)
sustituyendo la ec.(2.47) y ec.(2.30) en la ec.(2.46) y desarrollando operaciones se tiene que:
Ab;ab =
24 
Tb;abRTab(Rab
b;ab) +RTabRab(
2b;ab + _
b;ab) (Rab
b;ab)T _uab +RTab�uab
0T 0
35
=
24 
Tb;ab
b;ab + (
2b;ab + _
b;ab) �
b;abRTab _uab +RTab�uab
0T 0
35
=
24 �
2b;ab + (
2b;ab + _
b;ab) �
b;abRTab _uab +RTab�uab
0T 0
35
16
=
24 _
b;ab �
b;abRTab _uab +RTab�uab
0T 0
35 (2.48)
donde la matriz de aceleración angular es la derivada de la matriz de velocidad angular, ec.(2.36):
_
b;ab =
26664
0 ��z �y
�z 0 ��x
��y �x 0
37775 (2.49)
donde el vector axial asociado a esta matriz es:
�ab = [�x; �y; �z]
T
ab (2.50)
Otra forma de obtener la matriz _
b;ab de aceleración angular en términos del sistema a es
derivando la ecuación (2.32), donde se obtiene que la aceleración angular está de�nida como:
_
a;ab = �RabR
T
ab + _Rab _R
T
ab (2.51)
la relación que existe entre _
b;ab y _
a;ab se declara como:
_
b;ab = R
T
ab
_
a;abRab (2.52)
sustituyendo la ec.(2.51) en la ec.(2.52) y desarrollando operaciones se tiene que:
_
b;ab = R
T
ab(�RabR
T
ab+ _Rab _R
T
ab)Rab = R
T
ab
�RabR
T
abRab+R
T
ab
_Rab _R
T
abRab = R
T
ab
�Rab+R
T
ab
_Rab _R
T
abRab
(2.53)
y �nalmente, haciendo un arreglo al termino _Rab _RTab en la ecuación (2.53), se obtiene que:
_
b;ab = R
T
ab
�Rab +R
T
ab
a;abRab(�R
T
ab
a;ab)Rab = R
T
ab
�Rab +R
T
ab
a;ab
a;abRab (2.54)
17
Ahora, para obtener a la matriz V2b;ab se multiplica Vb;ab por si misma, esto es:
V2b;ab =
24 
b;ab RTab _uab
0T 0
3524 
b;ab RTab _uab
0T 0
35 =
24 
2b;ab 
b;abRTab _uab
0T 0
35 (2.55)
Por lo que, sustituyendo la ec.(2.55) y la ec.(2.48) en Bb;ab, ec.(2.44) se tiene que:
Bb;ab =
24 _
b;ab �
b;abRTab _uab +RTab�uab
0T 0
35+
24 
2b;ab 
b;abRTab _uab
0T 0
35
=
24 _
b;ab +
2b;ab �
b;abRTab _uab +RTab�uab +
b;abRTab _uab
0T 0
35
=
24 _
b;ab +
2b;ab RTab�uab
0T 0
35 (2.56)
2.1.2. Matrices Homogéneas de Transformación Básicas
Generalización de las matrices homogéneas de transformación
De acuerdo a (Siciliano et al., 2009), �una matriz de transformación homogénea expresa
la transformación de la coordenada entre dos marcos de referencia en una manera compacta.
Si los marcos de referencia tienen el mismo origen, la matriz de transformación homogénea se
reduce a la matriz de rotación. En cambio, si los marcos de referencia tienen distintos orígenes,
la notación de superíndices y subíndices se mantiene para caracterizar el marco de referencia
actual y el marco de referencia �jo.�Esta transformación de la coordenada entre dos marcos
de referencia se utiliza para representar los movimientos de un cuerpo rígido. Las matrices de
transformación homogéneas, de acuerdo a (Spong et al., 2005), suelen representarse de la forma:
T =
24 R d
0 1
35 ; R � SO(3); d � R3
y
T�1 =
24 RT �RTd
0 1
35
18
Donde
T =
24 R3�3 d3�1
f1�3 s1�1
35 =
24 Rotaci�on Traslaci�on
Perspectiva Factor de escala
35
De manera que teniendo dos vectores
P0 =
24 p0
1
35 P1 =
24 p1
1
35
se puede decir que:
P0 = T01P
1
Además, (Spong et al., 2005) establece que el conjunto de matrices homogéneas de transforma-
ción básicas está dado por:
Transx;a =
26666664
1 0 0 a
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
37777775 Transy;b =
26666664
1 0 0 0
0 1 0 b
0 0 1 0
0 0 0 1
37777775 Transz;c =
26666664
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 c
0 0 0 1
37777775
Rotx;� =
26666664
1 0 0 0
0 c� �s� 0
0 s� c� 0
0 0 0 1
37777775 Roty;� =
26666664
c� 0 s� 0
0 1 0 0
�s� 0 c� 0
0 0 0 1
37777775 Rotz;
 =
26666664
c
 �s
 0 0
s
 c
 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
37777775
para la traslación y rotación alrededor de los ejes x, y, z respectivamente.
En (Briot, 2015) se enlistan las siguientes propiedades de las matrices homogéneas de trans-
formación:
Propiedad 1
La matriz de transformación homogénea puede ser escrita como:
T =
26666664
sx nx ax rx
sy ny ay ry
sz nz az rz
0 0 0 1
37777775 =
24 s n a r
0 0 0 1
35 =
24 R r
0 0 0 1
35
19
La matriz R = [s n a r] representa la rotación mientras que el vector r representa la traslación.
Para una transformación de traslación pura, R = 13 (13 representa la matriz identidad de
orden 3), mientras que para una transformación de rotación pura r = 0
Propiedad 2
La matriz R es ortogonal y su determinante es igual a 1. por consiguiente, su inversa es
igual a su transpuesta.
R�1 = RT
donde el índice superior "T"indica la transpuestade la matriz.
Propiedad 3
La inversa de una matriz es la matriz. De esta manera, para expresar los componentes de
un vector en el marco de referencia, se escribe:
j~p1 =
jTi
i~p1 con jTi = iT�1j
Propiedad 4
Se puede veri�car fácilmente que
Rot�1(u; �) = Rot(u;��) = Rot(�u; �)
Trans�1(u; d) = Trans(u;�d) = Trans(�u; d)
Propiedad 5
La inversa de la matriz de transformación puede ser obtenida a través de:
T�1 =
26666664
�sT r
RT �nT r
�aT r
0 0 0 1
37777775 =
24 RT �RT r
0 0 0 1
35
Propiedad 6
Composición de dos matrices: la multiplicación de dos matrices de transformación da como
20
resultado otra matriz de transformación
T1T2 =
24 R1 r1
0 0 0 1
3524 R2 r2
0 0 0 1
35 =
24 R1R2 R1r2 + r1
0 0 0 1
35
De manera general, T1T2 6= T2T1
Propiedad 7
Si el marco de referencia F0 está sujeto a un número k de transformaciones consecutivas y
cada transformación i (i = 1; : : : ; k) es de�nida con respecto a el marco de referencia actual
Fi�1, entonces la transofrmación 0Tk puede ser deducida a través de la multiplicación de todas
las transformaciones de la derecha, esto es:
0Tk =
kQ
i=1
i�1Ti =
0T1 � 1T2 � 2T3 : : : k�1Tk
Propiedad 8
Para transformaciones consecutivas sobre el mismo eje se cumplen las siguientes propiedades:
Rot(u; �1)Rot(u; �2) = Rot(u; �1 + �2)
Rot(u; �1)Trasl(u; d) = Trasl(u; d)Rot(u; �)
2.1.3. Parámetros de Euler
De�nición
Como bien lo menciona (Nikravesh, 1988), �los parámetros de Euler son una técnica in-
volucrada en la descripción de la orientación angular de cuerpos en el espacio�. Se basan en el
teorema de Euler de rotación �nita, el cuál (Flores, 2015) lo explica de la siguiente manera:
�De acuerdo al teorema de Euler de rotación �nita, una rotación en un espacio tridimensional
siempre puede ser descrito por una rotación a lo largo de un cierto eje con un cierto ángulo dado.
En otras palabras, el teorema de Euler establece que el desplazamiento general de un cuerpo
con un punto �jo es una rotación alrededor de algún eje. El teorema indica que la orientación de
los ejes �jos al cuerpo a cualquier instante puede ser obtenida por una rotación imaginaria de
estos ejes desde una orientación coincidente con los ejes globales (sistema coordenado global).
21
Por lo tanto, de acuerdo al teorema de Euler, existe un eje único que si el sistema coordenado
xyz es rotado alrededor de este eje único por un ángulo �, el sistema coordenado xyz se vuelve
paralelo al sistema coordenado ��� y viceversa. Este eje imaginario es denotado por ~u y este es
llamado el eje de orientación de rotación�
La representación más conocida de los parámetros de Euler está dada en (Nikravesh, 1988),
la cual establece que un conjunto de coordenadas rotacionales:
e0 = cos
�
2
(2.57)
e = [e1 e2 e3]
T = u sin
�
2
(2.58)
en los cuales el vector e es el eje de orientación de rotación, con magnitud sin �2 . Mientras que
los parámetros de Euler son los escalares e0, e1, e2 y e3. Los cuales mantienen las siguientes
relaciones:
cos2
�
2
+ uTu sin
�
2
= 1 (2.59)
y
e20 + e
Te = e20 + e
2
1 + e
2
2 + e
2
3 = 1 (2.60)
Y suelen representarse como:
p =
24 e0
e
35 = h e0 e1 e2 e3 iT (2.61)
cumpliendo con:
pTp = 1 (2.62)
Cabe mencionar la existencia de los cuaterniones. En (Wehage, 1984) se describe a los parámet-
ros de Euler como �cuaterniones normalizados con un vector de orientación espacial y un escalar
normalizado�. De manera general los cuaterniones se de�nen como la suma de un escalar con
un vector (Kuipers, 1998):
q = q0 + q = q0 + iq1 + jq2 + kq3
22
La razón para utilizar parámetros de Euler es que su representación permite un manejo matricial
más sencillo que el que se tiene para la forma general de los cuaterniones.
Representación de las rotaciones en parámetros de Euler
Los parámetros de Euler parten del teorema de Euler en el cual se dice que el desplazamiento
general de un cuerpo con un punto �jo es una rotación sobre algún eje. De esto se puede concluir
que la transformación del sistema de coordenadas de un punto a otro se puede representar a
través de una rotación sobre algún eje, esto signi�ca que la matriz de transformación Rab está
dada por (Nikravesh, 1988):
Rab = R(pi) (2.63)
pi =
h
pi0 pi1 pi2 pi3
iT
(2.64)
donde (2.64) corresonde a (2.61), teniendo en cuenta el cambio de la notación a pi y además
(Nikravesh, 1988):
R(pi) = 2
26664
p2i0 + p
2
i1 � 12 pi1pi2 � pi0pi3 pi1pi3 + pi0pi2
pi1pi2 + pi0pi3 p
2
i0 + p
2
i2 � 12 pi2pi3 � pi0pi1
pi1pi3 � pi0pi2 pi2pi3 + pi0pi1 p2i0 + p2i3 � 12
37775 (2.65)
Rmn es la matriz general de transformación de rotación sobre un eje arbitrario del sistema
m al sistema n,
pi es el vector de parámetros de Euler correspondiente aRmn, esto es pi =
h
pi0 pi1 pi2 pi3
iT
,
mientras que i indica el número del movimiento y los números 0 al 3 indican el número de ele-
mento dentro pi
A continuación se verá la de�nición de las matrices de rotación especí�cas para cada eje de
un sistema cartesiano XYZ.
Rotación en X
Cuando el eje arbitrario de rotación se alinea con el eje X del sistema cartesiano, la de�nición
del vector de parámetros de Euler (pi) y la matriz de transformación de rotación en X ( Rx(pi))
23
está dada por:
pi =
h
pi0 pi1 0 0
iT
(2.66)
Rx(pi) = 2
26664
p2i0 + p
2
i1 � 12 0 0
0 p2i0 � 12 �pi0pi1
0 pi0pi1 p
2
i0 � 12
37775 (2.67)
como el lector pude observar, los parámetros de Euler correspondientes a las proyecciones en los
ejes Y y Z, así como los términos de la matriz de transformación de rotación que los involucran,
tienen el valor de cero.
Rotación en Y
De la misma manera, cuando el eje arbitrario de rotación se alinea con el eje Y del sistema
cartesiano, la de�nición del vector de parámetros de Euler (pi) y la matriz de transformación
de rotación en Y ( Ry(pi)) está dada por:
pi =
h
pi0 0 pi2 0
iT
(2.68)
Ry(pi) = 2
26664
p2i0 � 12 0 pi0pi2
0 p2i0 + p
2
i2 � 12 0
�pi0pi2 0 p2i0 � 12
37775 (2.69)
en este caso, los parámetros de Euler correspondientes a las proyecciones en los ejes X y Z, así
como los términos de la matriz de transformación de rotación que los involucran, ahora tienen
el valor de cero.
Rotación en Z
Y �nalmente, para el caso en el que el eje arbitrario de rotación se alinea con el eje Z
del sistema cartesiano, la de�nición del vector de parámetros de Euler (pi) y la matriz de
24
transformación de rotación en Z ( Rz(pi)) está dada por:
pi =
h
pi0 0 0 pi3
iT
(2.70)
Rz(pi) = 2
26664
p2i0 � 12 �pi0pi3 0
pi0pi3 p
2
i0 � 12 0
0 0 p2i0 + p
2
i3 � 12
37775 (2.71)
donde los parámetros de Euler correspondientes a las proyecciones en los ejes X y Y, así como
los términos de la matriz de transformación de rotación que los involucran, tienen el valor de
cero.
2.2. Bases teóricas de la dinamica
2.2.1. Método de Newton-Euler
En esta fomulación primero se separan todos los cuerpos rígidos del sistema para crear el
diagrama de cuerpo libre. Para ello se adhieren marcos de referencia local en el centro de masa
de cada cuerpo rígido, siendo por lo general paralelos a los marcos de referencia empleados para
modelar las juntas cinemáticas del sistema; y también se establecen las fuerzas y momentos de
reacción de cada cuerpo, que representan las restricciones impuestas por las juntas cinemáticas.
Estas fuerzas y momentos reacción sobre las juntas cinemáticas son considerados de la misma
magnitud y en direcciones opuestas, actuando sobre diferentes cuerpos a lo largo de la misma
línea de acción de acuerdo a la tercera ley de Newton. También se establecen las fuerzas y
torques externos aplicados a cada cuerpo rígido generados por la interacción con el medio y/o
por los actuadores.
Entonces las ecuaciones de Newton �Euler son escritas con respecto al marco de referencia
local adherido en el centro de masa de cada cuerpo rígido. Para describir las distintas cantidades
cinemáticas, de fuerzas y momentos con respecto al sistema en el centro de masa, se utilizarán
las de�nición de rotación previamente establecidas,permitiendo así establecer de�niciones entre
distintos marcos de referencia.
25
Para un cuerpo en el espacio las ecs. de Newton-Euler son:
�F=mAG (2.72)
�MG=IG �+ ! � (IG !) (2.73)
De�niendo C:G: como el centro de gravedad, se tiene:
�F Suma de fuerzas externas sobre el cuerpo alrededor del C:G:
m Masa del cuerpo.
AG Aceleración absoluta del C:G: medido en el marco inercial.
�MG Suma de momentos y torques externos alrededor del C:G: del cuerpo.
IG Matriz de momentos de inercia respecto al C:G:
� Vector aceleración angular del cuerpo.
! vector velocidad angular del cuerpo.
Para la �gura 2.1 mostrada, las ecuaciones dinámicas respecto al C:G: son:
F1 + F2 + :::+ F5 +W=mAG
M1 +M2 + :::+M4 +R1 � F1 +R2 � F2 + :::+R5 � F5=IG �+ ! � (IG !)
26
Fig.2.1. Fuerzas y momentos en C.G.
Por otra parte, dada la �gura 2.2, las ecuaciones dinámicas repecto a P son:
Fig.2.2. Fuerzas y momentos en P.
27
F1 + F2 + :::+ F5 +W = mAG
M1 +M2 + :::+M4 +R
0
1 � F1 +R02 � F2 + :::+R05 � F5 +RGP �W = IG �+ ! � (IG !)
+RGP � (mAG)
Las ecs. anteriores se escriben como:
�F=mAG
�MP=MG +RGP � (mAG) (2.74)
Donde mAG yMG= IG �+!� (IG !) son las fuerzas y momentos inerciales respectivamente.
Formulación Matricial
Las ecs. (2.72) y (2.74) serán escritas en forma matricial y tomando en cuenta las transfor-
maciones de los vectores entre las bases locales e inerciales. Dada la �gura 2.3 y su diagrama
de cuerpo libre (�gura 2.4). Aplicando las ecs.(2.72) y (2.74) respecto al punto O1 se tiene:
�F=mAG
�MO1=MG + rGP � (mAG)
El vector rGP está de�nido en la base local del cuerpo por conveniencia, como se mostrará más
adelante.
28
Fig.2.3. Sistema de 2 cuerpos.
29
f1
m1 1
fa
ta MG1
w1
O1
O2
-f2
-m2
O2
O4
-m3
-f3
m2
f2
MG2
m2AG2w2
2
Fig.2.4. Diagrama de cuerpo libre.
30
Aplicando las ecs. al cuerpo 1 y de�niéndo las ecs. en la base local (i1; j1;k1) se tiene (�gura
2.4):
M2y
O2
F2y
O2
O4
M4x
F4x
F2y
F1y M1y
Faz
Taz
O1
j1i1
k1
M1x
F1x
j2
i2
k2
j4
i4
k4
j2
i2
k2
M2y
F2z
F4z
F4yM4y
Fig.2.5. Componentes de fuerzas y momentos.
31
fa + f1 +C
1
2 (�f2) +C10w1=C10 (m1AG1)
ta +m1 +C
1
2 (�m2) + r2 �C12 (�f2) + rG1 �C10w1=C10MG1 + rG1 �C10 (m1AG1)
Apatir de la �gura 2.5 las componentes de los vectores son:
fa = [0; 0; Faz]
T
f1 = [F1x; F1y; 0]
T
f2 = [F2x; F2y; F2z]
T
w1 = [0; 0;�m1g]T
aG1 = [AG1x; AG1y; AG1z]
T
ta = [0; 0; Taz]
T
m1 = [M1x;M1y; 0]
T
m2 = [M2x;M2y; 0]
T
MG1 = [MG1x;MG1y;MG1z]
T
fa; ta Fuerzas y torques externos aplicados.
f1; f2 Fuerzas de reacción de las juntas 1 y 2.
w1 Peso del cuerpo 1.
m1;m2 Momentos de reacción de las juntas 1 y 2.
AG1 Aceleración del centro de gravedad del cuerpo 1 y 2.
MG1 Momento inercial del cuerpo 1.
Los vectores fa; f1; ta;m1 están de�nidos en la base (i1; j1;k1). Los vectores f2;m2 están
de�nidos en la base (i2; j2;k2). Los vectoresw1;AG1;MG1 están de�nidos en la base (I0;J0;K0).
Por otro lado tenemos que C10 y C
1
2 son composiciones de matrices de rotación que con-
vierten vectores de la base (I0;J0;K0) a la base (i1; j1;k1) y de la base (i2; j2;k2) a la base
(i1; j1;k1) respectivamente. Los vectores que no son transformados, ya están de�nidos en la base
(i1; j1;k1). Empleando matrices antisimétricas para de�nir el producto cruz, esto es S = r�,
32
las ecs. anteriores se reescriben como:
fa + f1 +C
1
2 (�f2) +C10w1=C10 (m1AG1)
ta +m1 +C
1
2 (�m2) + S2C12 (�f2) + SG1C10w1=C10MG1 + SG1C10 (m1AG1)
Expresándolas matricialmente:
24 fa
ta
35+
24 f1
m1
35�
24 C12 0
S2C
1
2 C
1
2
3524 f2
m2
35+
24 C10 0
SG1C
1
0 C
1
0
3524 w1
0
35 =
24 C10 0
SG1C
1
0 C
1
0
3524 m1AG1
MG1
35
Renombrando:
Fa + F1 �Q12F2 +Q10W1= Q10FG1
Donde:
Fa =
24 fa
ta
35 = [0; 0; Faz; 0; 0; Taz]T
F1 =
24 f1
m1
35 = [F1x; F1y; 0;M1x;M1y; 0]T
F2 =
24 f2
m2
35 = [F2x; F2y; F2z;M2x;M2y; 0]T
W1 = [0; 0;�m1g; 0; 0; 0]T
FG1 =
24 m1AG1
MG1
35 Q10 =
24 C10 0
SG1C
1
0 C
1
0
35 Q12 =
24 C12 0
S2C
1
2 C
1
2
35
SG1 =
26664
0 �zG1 yG1
zG1 0 �xG1
�yG1 xG1 0
37775 = S (xG1; yG1; zG1)
S2 =
26664
0 �z2 y2
z2 0 �x2
�y2 x2 0
37775 = S (x2; y2; z2)
33
Las matrices antisimétricas también pueden ser expresadas en ejes (x; y; x) como:
Sx (a) =
26664
0 0 0
0 0 �a
0 a 0
37775 Sy (b) =
26664
0 0 b
0 0 0
�b 0 0
37775 Sz (c) =
26664
0 �c 0
c 0 0
0 0 0
37775
Si un eslabon tiene una longitud z con un doblez de ángulo � alrededor del eje x, esta se de�ne
como:
S = Rx (�)Sz (z)Rx (�)
T
Agrupando la ec. dinámica en fuerzas aplicadas, de reacción e inerciales se tiene:
FA + FR + FI= 0 (2.75)
Donde:
FA = Fa +Q
1
0W1
FR = F1 �Q12F2
FI = �Q10FG1
Además:
FA Torsor de fuerzas y momentos aplicados al cuerpo.
FR Torsor de fuerzas y momentos de reacción del cuerpo.
FI Torsor de fuerzas y momentos inerciales.
Q Matrices de transformación de torsores.
Para un análisis estático se cumple:
FI = 0
La ec.(2.75) representa las ecs. de equilibrio dinámico mediante el uso de torsores de fuerzas.
Un torsor de fuerza es un vector de 6 componentes, los primeros tres componentes son fuerzas
asociadas a la traslación del cuerpo y los segundos tres componentes son torques o momentos
34
asociados al giro del cuerpo. Una expresión similar puede ser obtenida para el cuerpo 2.
La siguientes expresión más general será aplicada:
FAij + F
I
ij + F
R
ij = 0 (2.76)
Donde:
Fij i Base donde se expresan las fuerzas y momentos
j Número del cuerpo
2.2.2. Fuerza de Reacción en las Juntas
Para establecer las reacciones en las juntas cinemáticas se declara la siguiente regla general:
Si una junta evita la traslación de un cuerpo en una dirección dada, entonces una fuerza es
desarrollada sobre el cuerpo en esa dirección. De la misma manera, si una rotación es evitada,
un momento es desarrollada sobre el cuerpo. Dadas las siguientes juntas:
-Fy
Fy Myj
i
k
-My
Fx
Mx
Fz
-Fx
-Mx
-Fz
Fig.2.6. Reacciones junta rotacional
35
-Fy
Fy
My
z
j
i
k
-My
Fx
Mx-Fx
-Mx
Mz
-Mz
Fig.2.7. Reacciones junta prismática.
-Fy
Fy
My
z
j
i
k
-My
Fx
Mx-Fx
-Mx
Fig.2.8. Reacciones junta cilíndrica.
36
-Fy
Fyj
i
k
Fx-Fx
z
Fz
-Fz
y
x
Fig.2.9. Reacciones junta esférica.
Fy
P1z
z
Fz
y
h
P1z
j
i
k
P2y
P2y
Fig.2.10. Reacciones junta universal.
37
Capítulo 3
Metodología
En esta capítulo se plantean de�niciones nuevas a los enfoques existentes, de las matrices
de transformación así como para la velocidad y aceleración angular en su forma escalar en
función de los parámetros de Euler, tomando como referencia el marco teórico del capítulo 2
En la sección �Matrices homogéneas de transformación básicas en función de los parámetros
de Euler�se desarrollan las matrices de transformación para la traslación en los ejes (X, Y, Z)
denominadas (Tz1, Tz2; Tz3) y para la rotación (Tz4, Tz5; Tz6), en los mismos ejes respectivos.
Cabe mencionar que los parámetros de Euler tienen impacto únicamente sobre las matrices de
transformación para la rotación.
Mientras que en la sección �Representación escalar de la velocidad y aceleración angular
en función de los parámetros de Euler�, como su nombre lo dice, se desarrolla una de�nición
escalar de la velocidad y aceleración utilizando al vector p y sus derivadas, las cuales serán
empleadas en el análisis cinemático y dinámico
38
3.1. Matrices homogéneas de transformación básicas en función
de los parámetros de Euler
3.1.1. De�niciones para matrices de traslación
Teniendo en cuenta las ecuaciones (Stejskal&Valasek, 1996) (2.10):
Tab =
24 Rab uab
0T 1
35
ec.(2.38):
Vb;ab =
24 
b;ab RTab _uab
0T 0
35
ec.(2.56):
Bb;ab =
24 _
b;ab +
2b;ab RTab�uab
0T 0
35
ec.(2.28)
_Tab = TabVb;ab
y ec.(2.43):
�Tab = TabBb;ab
y que Dzi es un operador diferencial, las matrices de movimientos básicos se muestran a con-
tinuación.
Traslación en X (Tz1)
Posición
La posición en la traslación sobre el eje x está de�nida como:
Tz1(x) =
24 Rx ux
0T 1
35 =
24 I3x3 ux
0T 1
35 =
26666664
1 0 0 x
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
37777775 (3.1)
39Velocidad
Mientras que la velocidad está de�nida como:
_Tz1(x) = Tz1(x)Vz1(x) = Tz1(x)Dz1( _x) (3.2)
Donde
Vz1(x) =
24 
x RTx _ux
0T 0
35 =
24 03x3 _ux
0T 0
35 =
26666664
0 0 0 _x
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
37777775
= Dz1( _x) (3.3)
Aceleración
Por último, la aceleración está de�nida como:
�Tz1(x) = Tz1(x)Bz1(x) = Tz1(x)Dz1(�x) (3.4)
Donde
Bz1(x) =
24 _
x +
2x RTx �ux
0T 0
35 =
24 03x3 �ux
0T 0
35 =
26666664
0 0 0 �x
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
37777775
= Dz1(�x) (3.5)
Traslación en Y(Tz2)
Posición
La posición en la traslación sobre el eje y está de�nida como:
40
Tz2(y) =
24 Ry uy
0T 1
35 =
24 I3x3 uy
0T 1
35 =
26666664
1 0 0 0
0 1 0 y
0 0 1 0
0 0 0 1
37777775 (3.6)
Velocidad
Mientras que la velocidad está de�nida como:
_Tz2(y) = Tz2(y)Vz2(y) = Tz2(y)Dz2( _y) (3.7)
Donde
Vz2(y) =
24 
y RTy _uy
0T 0
35 =
24 03x3 _uy
0T 0
35 =
26666664
0 0 0 _y
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
37777775
= Dz2( _y) (3.8)
Aceleración
Por último, la aceleración está de�nida como:
�Tz2(y) = Tz2(y)Bz2(y) = Tz2(y)Dz2(�y) (3.9)
donde
Bz2(y) =
24 _
y +
2y RTy �uy
0T 0
35 =
24 03x3 �uy
0T 0
35 =
26666664
0 0 0 �y
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
37777775
= Dz2(�y) (3.10)
41
Traslación en Z (Tz3)
Posición
La posición en la traslación sobre el eje z está de�nida como:
Tz3(z) =
24 Rz uz
0T 1
35 =
24 I3x3 uz
0T 1
35 =
26666664
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 z
0 0 0 1
37777775 (3.11)
Velocidad
Mientras que la velocidad está de�nida como:
_Tz3(z) = Tz3(z)Vz3(z) = Tz3(z)Dz3( _z) (3.12)
Donde
Vz3(z) =
24 
z STz _uz
0T 0
35 =
24 03x3 _uz
0T 0
35 =
26666664
0 0 0 _z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
37777775
= Dz3( _z) (3.13)
Aceleración
Por último, la aceleración está de�nida como:
�Tz3(z) = Tz3(z)Bz3(z) = Tz3(z)Dz3(�z) (3.14)
42
Donde
Bz3(z) =
24 _
z +
2z RTz �uz
0T 0
35 =
24 03x3 �uz
0T 0
35 =
26666664
0 0 0 �z
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
37777775
= Dz3(�z) (3.15)
3.1.2. De�niciones para matrices de rotación
Por otra parte, para el desarrollo de las rotaciones en XYZ (Tz4 a Tz6) recordemos ec.(2.63):
Rab = R(pi)
ec.(2.64):
pi =
h
pi0 pi1 pi2 pi3
iT
y ec.(2.65):
R(pi) = 2
26664
p2i0 + p
2
i1 � 12 pi1pi2 � pi0pi3 pi1pi3 + pi0pi2
pi1pi2 + pi0pi3 p
2
i0 + p
2
i2 � 12 pi2pi3 � pi0pi1
pi1pi3 � pi0pi2 pi2pi3 + pi0pi1 p2i0 + p2i3 � 12
37775
Haciendo uso de las matrices G y L (Nikravesh, 1988) se puede reescribir a R(pi)como:
R(pi) = GL
T (3.16)
donde
G =
26664
�pi1 pi0 �pi3 pi2
�pi2 pi3 pi0 �pi1
�pi3 �pi2 pi1 pi0
37775 (3.17)
43
LT=
26666664
�pi1 �pi2 �pi3
pi0 �pi3 pi2
pi3 pi0 �pi1
�pi2 pi1 pi0
37777775 (3.18)
derivando respecto al tiempo la ec.(3.16) se tiene que:
_R(pi) = _GL
T
+G _L
T
= 2 _GL
T
(3.19)
donde se utilizó la identidad _GL
T
= G _L
T
(Nikravesh, 1988).
Otra relación que se utilizará para el desarrollo de las siguientes de�niciones es la transpuesta
de R(pi), de ec.(3.16) se sabe que:
R(pi)
T = LGT (3.20)
Mientras que para la velocidad angular, haciendo uso de ec.(2.31), ec.(3.19) y ec.(3.20) se tiene:
b;ab = R
T
ab
_Rab = LG
T (2 _GL
T
) = 2LGT _GL
T
= 2LGT (G _L
T
) = 2L _LT (3.21)
donde:
G =
26664
�pi1 pi0 �pi3 pi2
�pi2 pi3 pi0 �pi1
�pi3 �pi2 pi1 pi0
37775 L=
26664
�pi1 pi0 pi3 �pi2
�pi2 �pi3 pi0 pi1
�pi3 pi2 �pi1 pi0
37775
_G =
26664
� _pi1 _pi0 � _pi3 _pi2
� _pi2 _pi3 _pi0 � _pi1
� _pi3 � _pi2 _pi1 _pi0
37775 _L=
26664
� _pi1 _pi0 _pi3 � _pi2
� _pi2 � _pi3 _pi0 _pi1
� _pi3 _pi2 � _pi1 _pi0
37775
GT =
26666664
�pi1 �pi2 �pi3
pi0 pi3 �pi2
�pi3 pi0 pi1
pi2 �pi1 pi0
37777775 _L
T=
26666664
� _pi1 � _pi2 � _pi3
_pi0 � _pi3 _pi2
_pi3 _pi0 � _pi1
� _pi2 _pi1 _pi0
37777775
44
Por otra parte, para Tz4;Tz5 y Tz6 se cumple que:
Vb;ab =
24 
b;ab RTab _uab
0T 0
35
donde:
RTab _uab = R(pi)
T _uab = LG
T _uab = 0
ya que _uab = 0 lo cual se verá re�ejado en el término [1,4] de las matrices Vb;ab y Bb;ab:
Rotación en X (Tz4)
Posición
Tomando en consideración las ec.(2.10), ec(2.63) y ec.(2.65), la posición en la rotación sobre
el eje x está de�nida como:
Tz4(pi) =
24 Rx ux
0T 1
35 =
24 R(pi) 0
0T 1
35 =
26666664
2(p2i0 + p
2
i1 � 12) 0 0 0
0 2(p2i0 � 12) �2pi0pi1 0
0 2pi0pi1 2(p
2
i0 � 12) 0
0 0 0 1
37777775
(3.22)
donde:
pi =
h
pi0 pi1 0 0
iT
(3.23)
Por lo tanto, se puede decir que el equivalente en parámetros de Euler de la matriz de trans-
formación para la rotación en X es:
Tz4(�x) � Tz4(p) (3.24)
donde
Tz4(�x) =
26666664
1 0 0 0
0 cos(�x) �sen(�x) 0
0 sen(�x) cos(�x) 0
0 0 0 1
37777775
45
Tz4(p) =
26666664
2(p20 + p
2
1 � 12) 0 0 0
0 2(p20 � 12) �2p0p1 0
0 2p0p1 2(p
2
0 � 12) 0
0 0 0 1
37777775
Velocidad
Para la velocidad sabemos de las ec.(2.38) y ec.(3.21) que:
Vz4 =
24 RTx _Rx 0
0T 0
35 =
24 R(pi)T _R(pi; _pi) 0
0T 0
35 =
24 
x(pi; _pi) 0
0T 0
35 =
24 2Lx _LTx 0
0T 0
35
(3.25)
para el caso especí�co de la rotación en el eje x, es decir Tz4, tenemos que:
Lx=
26664
�pi1 pi0 0 0
0 0 pi0 pi1
0 0 �pi1 pi0
37775 _Lx=
26664
� _pi1 _pi0 0 0
0 0 _pi0 _pi1
0 0 � _pi1 _pi0
37775 _LTx=
26666664
� _pi1 0 0
_pi0 0 0
0 _pi0 � _pi1
0 _pi1 _pi0
37777775
desarrollando 
x(pi; _pi) tenemos:
x(pi; _pi) = 2Lx _L
T
x=2
26664
pi1 _pi1 + pi0 _pi0 0 0
0 pi0 _pi0 + pi1 _pi1 �pi0 _pi1 + pi1 _pi0
0 �pi1 _pi0 + pi0 _pi1 pi1 _pi1 + pi0 _pi0
37775 (3.26)
Por otro lado, dada la identidad:
p2i0 + p
2
i1 + p
2
i2 + p
2
i3 = 1 (3.27)
se cumple que:
pTi pi = 1 (3.28)
46
Derivando respecto al tiempo la ec.(3.28) y haciendo uso de la regla de la cadena se tiene:
d
dt
(pTi pi) = _p
T
i pi + p
T
i _pi = 0 (3.29)
derivando la ec.(2.64) y desarrollando operaciones se tiene:
_pTi pi =
h
_pi0 _pi1 _pi2 _pi3
i
26666664
pi0
pi1
pi2
pi3
37777775 = _pi0pi0 + _pi1pi1 + _pi2pi2 + _pi3pi3 (3.30)
y
pTi _pi =
h
pi0 pi1 pi2 pi3
i
26666664
_pi0
_pi1
_pi2
_pi3
37777775 = pi0 _pi0 + pi1 _pi1 + pi2 _pi2 + pi3 _pi3 (3.31)
ya que en el producto escalar es conmutativo, se tiene que _pTi pi, ec.(3.30), y p
T
i _pi, ec.(3.31)
son identicos, por lo que la ec.(3.29) se puede reescribir como:
d
dt
(pTi pi) = _p
T
i pi + _p
T
i pi = 2 _p
T
i pi = 2p
T
i _pi = 0 (3.32)
Dado que pi1 _pi1 + pi0 _pi0 = 0, podemos reescribir a 
x(pi; _pi), ec.(3.26), como:
x(pi; _pi) = 2
26664
0 0 0
0 0 �n(pi1; _pi1)
0 n(pi1; _pi1) 0
37775 (3.33)
Donde n(pi1; _pi1) = �pi1 _pi0 + pi0 _pi1. Por otra parte se tiene:
x = R
T
x
_Rx =
26664
0 0 0
0 0 � _�x
0 _�x 0
37775 (3.34)
47
Comparando elementos se concluye _�x = 2n(pi1; _pi1).
De�niendo arbitrariamente un equivalente en los parámetros de Euler para el operador D,
se tiene que:
Dz4(pi; _pi) =
24 
x(pi; _pi) 0
0T 0
35
= 2
26666664
0 0 0 0
0 0 �pi0 _pi1 + pi1 _p0 0
0 �pi1 _pi0 + pi0 _pi1 0 0
0 0 0 0
37777775
= 2
26666664
0 0 0 0
0 0 �n(pi1; _pi1) 0
0 n(pi1; _pi1) 0 0
0 0 0 0
37777775 (3.35)
Por lo tanto:
Vz4(pi; _pi) = Dz4(pi; _pi) (3.36)
Se sabe de ec.(2.28) que:
_Tab = TabVb;ab
Por lo tanto, para _Tz4 se tiene:
_Tz4(pi; _pi) = Tz4(pi)Vz4(pi; _pi)
= Tz4(pi)Dz4(pi; _pi) (3.37)
Considerando que
_Tz4(�x) = Tz4(�x)Dz4(
_�x) (3.38)
se puede decir que el equivalente en parámetros de Euler de la derivada de la matriz de trans-
48
formación para la rotación en X es:
Tz4(�x)Dz4(
_�x) � Tz4(p)Dz4(p; _p) (3.39)
donde
Dz4( _�x)=
26666664
0 0 0 0
0 0 � _�x 0
0 _�x 0 0
0 0 0 0
37777775
Dz4(p; _p) = 2
26666664
0 0 0 0
0 0 �n(p; _p) 0
0 n(p; _p) 0 0
0 0 0 0
37777775
p =
h
p0 p1 0 0
iT
_p =
h
_p0 _p1 0 0
iT
n(p; _p) = �p1 _p0 + p0 _p1
Aceleración
Ahora, para la aceleración, se sabe de ec.(2.43) que:
�Tab = TabBb;ab
Para el caso de �Tz4 se tiene que el equivalente en parámetros de Euler es:
�Tz4(pi; _pi; �pi) = Tz4(pi)Bz4(pi; _pi; �pi)
=
24 Rx(pi) 0
0T 1
3524 _
x(pi; �pi) +
2x(pi; _pi) 0
0T 0
35 (3.40)
49
donde derivando la ec.(3.26) y desarrollando:
_
x(pi; �pi) = 2( _Lx _L
T
x+Lx�L
T
x ) (3.41)
= 2
26664
_p2i0 + _p
2
i1 + pi0�pi0 + pi1�pi1 0 0
0 _p2i0 + _p
2
i1 + pi0�pi0 + pi1�pi1 �pi0�pi1 + pi1�pi0
0 pi0�pi1 � pi1�pi0 _p2i0 + _p2i1 + pi0�pi0 + pi1�pi1
37775
Recordando que tenemos la ec.(3.32):d
dt
(pTi pi) = _p
T
i pi = 0
al derivarla respecto al tiempo tenemos:
d
dt
( _pTi pi) = �p
T
i pi + _p
T
i _pi = 0 (3.42)
Desarrollando cada término:
�pTi pi =
h
�pi0 �pi1 �pi2 �pi3
i
26666664
pi0
pi1
pi2
pi3
37777775 = �pi0pi0 + �pi1pi1 + �pi2pi2 + �pi3pi3 (3.43)
_pTi _pi =
h
_pi0 _pi1 _pi2 _pi3
i
26666664
_pi0
_pi1
_pi2
_pi3
37777775 = _pi0 _pi0 + _pi1 _pi1 + _pi2 _pi2 + _pi3 _pi3 (3.44)
Sustituyendo (3.43) y (3.44) en ec.(3.42):
�pTi pi + _p
T
i _pi = 0
�pi0pi0 + �pi1pi1 + �pi2pi2 + �pi3pi3 + _pi0 _pi0 + _pi1 _pi1 + _pi2 _pi2 + _pi3 _pi3 = 0
�pi0pi0 + �pi1pi1 + �pi2pi2 + �pi3pi3 + _p
2
i0 + _p
2
i1 + _p
2
i2 + _p
2
i3 = 0 (3.45)
50
A partir de la ec.(3.45), para la rotación en X, los elementos pi2; pi3, y sus derivadas son cero,
por lo tanto _p2i0 + _p
2
i1 + pi0�pi0 + pi1�pi1 = 0, y podemos reescribir a _
x(pi; �pi) como:
_
x(pi; �pi) = 2
26664
0 0 0
0 0 �pi0�pi1 + pi1�pi0
0 pi0�pi1 � pi1�pi0 0
37775 = 2
26664
0 0 0
0 0 � _n(pi1; �pi1)
0 _n(pi1; �pi1) 0
37775
(3.46)
Donde _n(pi1; �pi1) = pi0�pi1 � pi1�pi0. Por otra parte se tiene:
_
x = R
T
x
�Rx +R
T
x
x
xRx =
26664
0 0 0
0 0 ��x
0 �x 0
37775 (3.47)
Comparando elementos se concluye �x = 2 _n(pi1; �pi1).
Retomando la de�nición de Bb;ab de la ec.(2.56):
Bb;ab =
24 _
b;ab +
2b;ab RTab�uab
0T 0
35
además de considerar que la derivada del operador D es:
_Dz4(pi; �pi) =
24 _
x(pi; �pi) 0
0T 0
35
= 2
26666664
0 0 0 0
0 0 �pi0�pi1 + pi1�pi0 0
0 pi0�pi1 � pi1�pi0 0 0
0 0 0 0
37777775
= 2
26666664
0 0 0 0
0 0 � _n(pi1; �pi1) 0
0 _n(pi1; �pi1) 0 0
0 0 0 0
37777775 (3.48)
51
y que para las rotaciones �uab = 0, por lo que:
RTab�uab = 0 (3.49)
entonces, el equivalente para Bz4(pi; _pi; �pi) se de�ne como:
Bz4(pi; _pi; �pi) =
24 _
x(pi; �pi) +
2x(pi; _pi) 0
0T 0
35
=
24 _
x(pi; �pi) 0
0T 0
35+
24 
2x(pi; _pi) 0
0T 0
35
= _Dz4(pi; �pi) +D
2
z4(pi; _pi) (3.50)
Por lo tanto, sustituyendo ec.(3.50) en ec.(2.43) se tiene para �Tz4(pi; _pi; �pi):
�Tz4(pi; _pi; �pi) = Tz4(pi)Bz4(pi; _pi; �pi)
= Tz4(pi)( _Dz4(pi; �pi) +D
2
z4(pi; _pi)) (3.51)
Considerando que
�Tz4(�x) = Tz4(�x)(
_Dz4(
��x) +D
2
z4(
_�x))
se puede decir que el equivalente en parámetros de Euler de la segunda derivada de la matriz
de transformación para la rotación en X es:
Tz4(�x)( _Dz4(
��x) +D
2
z4(
_�x)) � Tz4(p)( _Dz4(p; �p) +D2z4(p; _p))
Bz4( _�x; ��x) � Bz4(pi; _pi; �pi) (3.52)
donde
Bz4( _�x; ��x) =
26666664
0 0 0 0
0 � _�2x ���x 0
0 ��x � _�2x 0
0 0 0 0
37777775
52
Bz4(pi; _pi; �pi) = 2
26666664
0 0 0 0
0 �n(p; _p)n(p; _p) � _n(p; �p) 0
0 _n(p; �p) �n(p; _p)n(p; _p) 0
0 0 0 0
37777775
p =
h
p0 p1 0 0
iT
_p =
h
_p0 _p1 0 0
iT
�p =
h
�p0 �p1 0 0
iT
n(p; _p) = �p1 _p0 + p0 _p1
_n(p; �p) = p0�p1 � p1�p0
Rotación en Y (Tz5)
Posición
Tomando en consideración las ec.(2.10), ec(2.63) y ec.(2.65), la posición en la rotación sobre
el eje y esta de�nida como:
Tz5(pi) =
24 Ry uy
0T 1
35 =
24 R(pi) 0
0T 1
35 =
26666664
2(p2i0 � 12) 0 2pi0pi2 0
0 2(p2i0 + p
2
i2 � 12) 0 0
�2pi0pi2 0 2(p2i0 � 12) 0
0 0 0 1
37777775
(3.53)
donde
pi =
h
pi0 0 pi2 0
iT
(3.54)
Por lo tanto, se puede decir que el equivalente en parámetros de Euler de la matriz de trans-
formación para la rotación en Y es:
Tz5(�y) � Tz5(p) (3.55)
53
donde
Tz5(�y) =
26666664
cos(�y) 0 sen(�y) 0
0 1 0 0
�sen(�y) 0 cos(�y) 0
0 0 0 1
37777775
Tz5(p) =
26666664
2(p20 � 12) 0 2p0p2 0
0 2(p20 + p
2
2 � 12) 0 0
�2p0p2 0 2(p20 � 12) 0
0 0 0 1
37777775
Velocidad
Para la velocidad sabemos de la ec.(2.38) y ec.(3.21) que:
Vz5 =
24 RTy _Ry 0
0T 0
35 =
24 R(pi)T _R(pi; _pi) 0
0T 0
35 =
24 
y(pi; _pi) 0
0T 0
35 =
24 2Ly _LTy 0
0T 0
35
(3.56)
para el caso especi�co de la rotación en el eje Y, es decir Tz5, tenemos que:
Ly=
26664
0 pi0 0 �pi2
�pi2 0 pi0 0
0 pi2 0 pi0
37775 _Ly=
26664
0 _pi0 0 � _pi2
� _pi2 0 _pi0 0
0 _pi2 0 _pi0
37775 _LTy=
26666664
0 � _pi2 0
_pi0 0 _pi2
0 _pi0 0
� _pi2 0 _pi0
37777775
desarrollando 
y(pi; _pi) tenemos:
y(pi; _pi) = 2Ly _L
T
y = 2
26664
pi0 _pi0 + pi2 _pi2 0 �pi2 _pi0 + pi0 _pi2
0 pi0 _pi0 + pi2 _pi2 0
pi2 _pi0 � pi0 _pi2 0 pi0 _pi0 + pi2 _pi2
37775 (3.57)
54
Dado que pi0 _pi0 + pi2 _pi2 = 0 debido a ec.(3.32), podemos reescribir a como:
y(pi; _pi) = 2
26664
0 0 �pi2 _pi0 + pi0 _pi2
0 0 0
pi2 _pi0 � pi0 _pi2 0 0
37775
= 2
26664
0 0 n(pi2; _pi2)
0 0 0
�n(pi2; _pi2) 0 0
37775 (3.58)
Donde n(pi2; _pi2) = �pi2 _pi0 + pi0 _pi2. Por otra parte se tiene:
y = R
T
y
_Ry =
26664
0 0 _�y
0 0 0
� _�y 0 0
37775 (3.59)
Comparando elementos se concluye _�y = 2n(pi2; _pi2).
Utilizando el operador D, en este caso se obtiene que:
Dz5(pi; _pi) =
24 
y(pi; _pi) 0
0T 0
35
= 2
26666664
0 0 �pi2 _pi0 + pi0 _pi2 0
0 0 0 0
pi2 _pi0 � pi0 _pi2 0 0 0
0 0 0 0
37777775
= 2
26666664
0 0 n(pi2; _pi2) 0
0 0 0 0
�n(pi2; _pi2) 0 0 0
0 0 0 0
37777775 (3.60)
Por lo tanto:
Vz5(pi; _pi) = Dz5(pi; _pi) (3.61)
55
Se sabe de ec.(2.28) que:
_Tab = TabVb;ab
Por lo tanto, para _Tz5 se tiene:
_Tz5(pi; _pi) = Tz5(pi)Vz5(pi; _pi)
= Tz5(pi)Dz5(pi; _pi) (3.62)
Considerando que
_Tz5(�y) = Tz5(�y)Dz5(
_�y) (3.63)
se puede decir que el equivalente en parámetros de Euler de la derivada de la matriz de trans-
formación para la rotación en Y es:
Tz5(�y)Dz5(
_�y) � Tz5(p)Dz5(p; _p)
donde
Dz5( _�y)=
26666664
0 0 _�y 0
0 0 0 0
� _�y 0 0 0
0 0 0 0
37777775
Dz5(p; _p) = 2
26666664
0 0 n(p; _p) 0
0 0 0 0
�n(p; _p) 0 0 0
0 0 0 0
37777775
p =
h
p0 0 p2 0
iT
_p =
h
_p0 0 _p2 0
iT
n(p; _p) = �p2 _p0 + p0 _p2
56
Aceleración
Ahora, para la aceleración, se sabe de ec.(2.43) que:
�Tab = TabBb;ab
Para el caso de �Tz5 se tiene que el equivalente en parámetros de Euler es:
�Tz5(pi; _pi; �pi) = Tz5(pi)Bz5(pi; _pi; �pi)
=
24 Ry(pi) 0
0T 1
3524 _
y(pi; �pi) +
2x(pi; _pi) 0
0T 0
35 (3.64)
donde derivando la ec.(3.57) y desarrollando se obtiene:
_
y(pi; �pi) = 2( _Ly _L
T
y+Ly�L
T
y ) (3.65)
= 2
26664
_p2i0 + _p
2
i2 + pi0�pi0 + pi2�pi2 0 �pi2�pi0 + pi0�pi2
0 _p2i0 + _p
2
i2 + pi0�pi0 + pi2�pi2 0
�pi0�pi2 + pi2�pi0 0 _p2i0 + _p2i2 + pi0�pi0 + pi2�pi2
37775
A partir de la ec.(3.45), para la rotación en Y, los elementos pi1, pi3, y sus derivadas son cero,
por lo tanto _p2i0 + _p
2
i2 + pi0�pi0 + pi2�pi2 = 0, y podemos reescribir a _
y(pi; �pi) como:
_
y(pi; �pi) = 2
26664
0 0 �pi2�pi0 + pi0�pi2
0 0 0
�pi0�pi2 + pi2�pi0 0 0
37775 = 2
26664
0 0 _n(pi2; �pi2)
0 0 0
� _n(pi2; �pi2) 0 0
37775
Donde _n(pi2; �pi2) = �pi2�pi0 + pi0�pi2. Por otra parte se tiene:
_
y = R
T
y
�Ry +R
T
y
y
yRy =
26664
0 0 �y
0 0 0
��y 0 0
37775 (3.66)
comparando elementos se concluye �y = 2 _n(pi2; �pi2).
57
Retomando la de�nición de Bb;ab de la ec.(2.56):
Bb;ab =
24 _
b;ab +
2b;ab RTab�uab
0T 0
35
además de considerar que la derivada del operador D para este caso es:
_Dz5(pi; �pi) =
24 _
y(pi; �pi) 0
0T 0
35
= 2
26666664
0 0 �pi2�pi0 + pi0�pi2 0
0 0 0 0
�pi0�pi2 + pi2�pi0 0 0 0
0 0 0 0
37777775
= 2
26666664
0 0 _n(pi2; �pi2) 0
0 0 0 0
� _n(pi2; �pi2) 0 0 0
0 0 0 0
37777775 (3.67)
y considerando ec.(3.49), entonces, el equivalente para Bz5(pi; _pi; �pi) se de�ne como:
Bz5(pi; _pi; �pi) =
24 _
y(pi; �pi) +
2y(pi; _pi) 0
0T 0
35
=
24 _
y(pi; �pi) 0
0T 0
35+
24 
2y(pi; _pi) 0
0T 0
35
= _Dz5(pi; �pi) +D
2
z5(pi; _pi) (3.68)
Por lo tanto, sustituyendo ec.(3.68) en ec.(2.43) se tiene para �Tz5(pi; _pi; �pi):
�Tz5(pi; _pi; �pi) = Tz5(pi)Bz5(pi; _pi; �pi)
= Tz5( _Dz5(pi; �pi) +D
2
z5(pi; _pi)) (3.69)
58
Considerando que
�Tz5(�y) = Tz5(�y)(
_Dz5(
��y) +D
2
z5(
_�y))
se puede decir que el equivalente en parámetros de Euler de la segunda derivada de la matriz
de transformación para la rotación en Y es:
Tz5(�y)( _Dz5(
��y) +D
2
z5(
_�y)) � Tz5(p)( _Dz5(p; �p) +D2z5(p; _p))
Bz5( _�y; ��y) � Bz5(pi; _pi; �pi) (3.70)
donde
Bz5( _�y; ��y) =
26666664
� _�2y 0 ��y 0
0 0 0 0
���y 0 � _�2y 0
0 0 0 0
37777775
Bz5(pi; _pi; �pi) = 2
26666664
�n(p; _p)n(p; _p) 0 _n(p; �p) 0
0 0 0 0
� _n(p; �p) 0 �n(p; _p)n(p; _p) 0
0 0 00
37777775
p =
h
p0 0 p2 0
iT
_p =
h
_p0 0 _p2 0
iT
�p =
h
�p0 0 �p2 0
iT
n(p; _p) = �p2 _p0 + p0 _p2
_n(p; �p) = �p2�p0 + p0�p2
59
Rotación en Z (Tz6)
Posición
Tomando en consideración la ec. (2.10), ec.(2.63) y ec(2.65), la posición en la rotación sobre
el eje z esta de�nida como:
Tz6(pi) =
24 Rz uz
0T 1
35 =
24 Rz(pi) 0
0T 1
35 =
26666664
2(p2i0 � 12) �2pi0pi3 0 0
2pi0pi3 2(p
2
i0 � 12) 0 0
0 0 2(p2i0 + p
2
i3 � 12) 0
0 0 0 1
37777775
(3.71)
donde
pi =
h
pi0 0 0 pi3
iT
(3.72)
Por lo tanto, se puede decir que el equivalente en parámetros de Euler de la matriz de trans-
formación para la rotación en Z es:
Tz6(�z) � Tz6(p) (3.73)
donde
Tz6(�z) =
26666664
cos(�) �sen(�) 0 0
sen(�) cos(�) 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
37777775
Tz6(p) =
26666664
2(p2i0 � 12) �2pi0pi3 0 0
2pi0pi3 2(p
2
i0 � 12) 0 0
0 0 2(p2i0 + p
2
i3 � 12) 0
0 0 0 1
37777775
p =
h
p0 0 0 p3
iT
60
Velocidad
Para la velocidad sabemos de ec. (2.38) y ec.(3.21) que:
Vz6 =
24 RTz _Rz 0
0T 0
35 =
24 Rz(pi)T _Rz(pi; _pi) 0
0T 0
35 =
24 
z(pi; _pi) 0
0T 0
35 =
24 2Lz _LTz 0
0T 0
35
(3.74)
para el caso especi�co de la rotación en el eje x, Tz6, tenemos que:
Lz=
26664
0 pi0 pi3 0
0 �pi3 pi0 0
�pi3 0 0 pi0
37775 _Lz=
26664
0 _pi0 _pi3 0
0 � _pi3 _pi0 0
� _pi3 0 0 _pi0
37775 _LTz =
26666664
0 0 � _pi3
_pi0 � _pi3 0
_pi3 _pi0 0
0 0 _pi0
37777775
desarrollando tenemos:
z(pi; _pi) = 2Lz _L
T
z = 2
26664
pi0 _pi0 + pi3 _pi3 �pi0 _pi3 + pi3 _pi0 0
�pi3 _pi0 + pi0 _pi3 pi0 _pi0 + pi3 _pi3 0
0 0 pi0 _pi0 + pi3 _pi3
37775 (3.75)
Dado quepi0 _pi0 + pi3 _pi3 = 0 debido a ec.(3.32), podemos reescribir a 
z(pi; _pi) como:
z(pi; _pi) = 2
26664
0 �pi0 _pi3 + pi3 _pi0 0
�pi3 _pi0 + pi0 _pi3 0 0
0 0 0
37775
= 2
26664
0 �n(pi3; _pi3) 0
n(pi3; _pi3) 0 0
0 0 0
37775 (3.76)
Donde n(pi3; _pi3) = �pi3 _pi0 + pi0 _pi3. Por otra parte se tiene:
z = Rz
T _Rz =
26664
0 � _�z 0
_�z 0 0
0 0 0
37775 (3.77)
61
Comparando elementos se concluye _�z = 2n(pi3; _pi3).
Utilizando el operador D, en este caso se obtiene que:
Dz6(pi; _pi) =
24 
z(pi; _pi) 0
0T 0
35
= 2
26666664
0 �pi0 _pi3 + pi3 _pi0 0 0
�pi3 _pi0 + pi0 _pi3 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
37777775
= 2
26666664
0 �n(pi3; _pi3) 0 0
n(pi3; _pi3) 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
37777775 (3.78)
Por lo tanto:
Vz6(pi; _pi) = Dz6(pi; _pi) (3.79)
Se sabe de ec.(2.28) que:
_Tab = TabVb;ab
Por lo tanto, para _Tz6 se tiene:
_Tz6(pi; _pi) = Tz6(pi)Vz6(pi; _pi)
= Tz6(pi)Dz6(pi; _pi) (3.80)
Considerando que
_Tz6(�z) = Tz6(�z)Dz6(
_�z) (3.81)
se puede decir que el equivalente en parámetros de Euler de la derivada de la matriz de trans-
formación para la rotación en Z es:
Tz6(�z)Dz6(
_�z) � Tz6(p)Dz6(p; _p) (3.82)
62
donde
Dz6( _�z) =
26666664
0 � _�z 0 0
_�z 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
37777775
Dz6(p; _p) = 2
26666664
0 �n(p; _p) 0 0
n(p; _p) 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
37777775
p =
h
p0 0 0 p3
iT
_p =
h
_p0 0 0 _p3
iT
n(p; _p) = �p3 _p0 + p0 _p3
Aceleración
Ahora, para la aceleración, se sabe de ec.(2.43) que:
�Tab = TabBb;ab
Para el caso de �Tz6 se tiene que el equivalente en parámetros de Euler es:
�Tz6 = Tz(pi)Bz(pi; _pi; �pi)
=
24 Rz(pi) 0
0T 1
3524 _
z(pi; �pi) +
2x(pi; _pi) 0
0T 0
35 (3.83)
donde derivando la ec.(3.75) y desarrollando se obtiene:
_
z(pi; �pi) = 2( _Lz6 _L
T
z6+Lz6�L
T
z6) (3.84)
63
= 2
26664
_p2i0 + _p
2
i3 + pi0�pi0 + pi3�pi3 �pi0�pi3 + pi3�pi0 0
�pi3�pi0 + pi0�pi3 _p2i0 + _p2i3 + pi0�pi0 + pi3�pi3 0
0 0 _p2i0 + _p
2
i3 + pi0�pi0 + pi3�pi3
37775
A partir de la ec.(3.45), para la rotación en Z, los elementos pi1, pi2, y sus derivadas son cero,
por lo tanto _p2i0 + _p
2
i3 + pi0�pi0 + pi3�pi3 = 0, y podemos reescribir a _
z(pi; �pi) como:
_
z(pi; �pi) = 2
26664
0 �pi0�pi3 + pi3�pi0 0
�pi3�pi0 + pi0�pi3 0 0
0 0 0
37775 = 2
26664
0 � _n(pi3; �pi3) 0
_n(pi3; �pi3) 0 0
0 0 0
37775
(3.85)
Donde _n(pi3; �pi3) = �pi3�pi0 + pi0�pi3. Por otra parte se tiene:
_
z = R
T
z
�Rz +R
T
z
z
zRz =
26664
0 ��z 0
�z 0 0
0 0 0
37775 (3.86)
comparando elementos se concluye �z = _n(pi3; �pi3).
Retomando la de�nición de Bb;ab de la ec.(2.56):
Bb;ab =
24 _
b;ab +
2b;ab RTab�uab
0T 0
35
además de considerar que la derivada del operador D para esre caso es:
_Dz6(pi; �pi) =
24 _
z(pi; �pi) 0
0T 0
35
= 2
26666664
0 �pi0�pi3 + pi3�pi0 0 0
�pi3�pi0 + pi0�pi3 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
37777775
64
= 2
26666664
0 � _n(pi3; �pi3) 0 0
_n(pi3; �pi3) 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
37777775 (3.87)
y considerando ec.(3.49), entonces, el equivalente para Bz6(pi; _pi; �pi) se de�ne como:
Bz6(pi; _pi; �pi) =
24 _
z(pi; �pi) +
2z(pi; _pi) 0
0T 0
35
=
24 _
z(pi; �pi) 0
0T 0
35+
24 
2z(pi; _pi) 0
0T 0
35
= _Dz6(pi; �pi) +D
2
z6(pi; _pi) (3.88)
Por lo tanto, sustituyendo ec.(3.88) en ec.(2.43) se tiene para �Tz6:
�Tz6(pi; _pi; �pi) = Tz(pi)Bz(pi; _pi; �pi)
= Tz(pi)( _Dz6(pi; �pi) +D
2
z6(pi; _pi))
Considerando que
�Tz6(�z) = Tz6(�z)(
_Dz6(
��z) +D
2
z6(
_�z))
se puede decir que el equivalente en parámetros de Euler de la segunda derivada de la matriz
de transformación para la rotación en Z es:
Tz6(�z)( _Dz6(
��z) +D
2
z6(
_�z)) � Tz6(p)( _Dz6(p; �p) +D2z6(p; _p))
Bz( _�z; ��z) � Bz(pi; _pi; �pi) (3.89)
65
donde
Bz( _�z; ��z) =
26666664
� _�2z ���z 0 0
��z � _�2z 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
37777775
Bz(pi; _pi; �pi) = 2
26666664
�n(p; _p)n(p; _p) � _n(p; �p) 0 0
_n(p; �p) �n(p; _p)n(p; _p) 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
37777775
p =
h
p0 0 0 p3
iT
_p =
h
_p0 0 0 _p3
iT
�p =
h
�p0 0 0 �p3
iT
n(p; _p) = �p3 _p0 + p0 _p3
_n(p; �p) = �p3�p0 + p0�p3
3.2. Representación escalar de la velocidad y aceleración angu-
lar en función de los parámetros de Euler
Tomando en cuenta la forma que tiene p para cada rotación (ec.(2.66), ec.(2.68), ec.(2.70)) y
la equivalencia que existe entre los componentes de p y los ángulos de Euler (ec.(2.57), ec.(2.58))
se tiene que:
Rotaci�on sobre eje x! p =
h
p0 p1 0 0
iT
=
h
cos
�
�
2
�
sen
�
�
2
�
0 0
iT
Rotaci�on sobre eje y ! p =
h
p0 0 p2 0
iT
=
h
cos
�
�
2
�
0 sen
�
�
2
�
0
iT
Rotaci�on sobre eje z ! p =
h
p0 0 0 p3
iT
=
h
cos
�
�
2
�
0 0 sen
�
�
2
� iT (3.90)
De lo cual se puede observar que para cada rotación el ángulo � está en función de dos
variables, p0 y la correspondiente p1, p2 o p3, según sea el caso. También se observa que,
independientemente de cual sea el eje de rotación, las variables de p siempre quedan relacionadas
66
con el ángulo � a través de las identidades trigonométricas cos
�
�
2
�
y sen
�
�
2
�
. Haciendo uso de
la de�nición de tangente:
tan(x) =
sen(x)
cos(x)
y haciendo los siguientes cambios de variables sustentados en el sistema de ecs. (3.90):
x = �2 cos(x) = p0 sen(x) = pj , j = 1; 2; 3
se tiene que
tan
�
�
2
�
=
pj
p0
�
2
= tan�1
�
pj
p0
�
� = 2tan�1
�
pj
p0
�
(3.91)
donde ec.(3.91) establece la relación escalar entre el ángulo de rotación � y las componentes de
p. Partiendo de la de�nición de que la velocidad angular es la derivada respecto al tiempo de
la posición angular, esto es
_� =
d
dt
� (3.92)
sustituyendo a ec.(3.91) en ec.(3.92) se tiene:
_� =
d
dt
�
2tan�1
�
pj
p0
��
_� = 2
d
dt
�
tan�1
�
pj
p0
��
(3.93)
tomando en cuenta que la derivada de tangente inversa es:
d
dt
�
tan�1
x
y
�
= � y
x2 + y2
dx+
x
x2 + y2
dy (3.94)
67
sustituyendo a ec.(3.94) en ec.(3.93) se tiene que:
_� = 2
 
� pj
p20 + p
2
j
_p0 +
p0
p20 + p
2
j
_pj
!
= 2 (�pj _p0 + p0 _pj) (3.95)
ya que recordando ec.(2.60) se sabe que p20 + p
2
j = 1. La ec.(3.95) se puede representar como el
producto de dos vectores de tal manera que para cada eje se tiene:
_�x = 2
h
�p1 p0 0 0
i h
_p0 _p1 0 0
iT
(3.96)
_�y = 2
h
�p2 0 p0 0
i h
_p0 0 _p2 0
iT
(3.97)
_�z = 2
h
�p3 0 0 p0
i h
_p0 0 0 _p3
iT
(3.98)
_� = 2p0 _p (3.99)
donde p0 es un vector renglón y su forma depende del eje de rotación sobre el que se efectúa
el giro. De manera general se puede decir que su primera componente es menos la pj cor-
respondiente al eje de rotación , mientras que p0 ocupa el lugar quetendría pj en el vector
p.
Y �nalmente, para obtener la expresión de aceleración angular, se deriva respecto al tiempo
la ec.(3.95), dando:
�� =
d
dt
(2 (�pj _p0 + p0 _pj))
= �2 d
dt
(pj _p0) + 2
d
dt
(p0 _pj)
= �2 ( _pj _p0 + pj �p0) + 2 ( _p0 _p+ p0�p)
= �2 _pj _p0 � 2pj �p0 + 2 _p0 _p+ 2p0�p
= �2pj �p0 + 2p0�p
�� = 2 (�pj �p0 + p0�p) (3.100)
De manera similar al caso de de la velocidad angular, la aceleración angular, ec.(3.100), se puede
68
expresar como el producto de dos vectores de tal manera que se tiene:
��x = 2
h
�p1 p0 0 0
i h
�p0 �p1 0 0
iT
(3.101)
��y = 2
h
�p2 0 p0 0
i h
�p0 0 �p2 0
iT
(3.102)
��z = 2
h
�p3 0 0 p0
i h
�p0 0 0 �p3
iT
(3.103)
�� = 2p0�p (3.104)
Cabe resaltar que las ecuaciones (3.101) a (3.104) son muy similares a las ecuaciones (3.96) a
(3.99), dónde lo único que cambia es el vector _p por el vector �p:
69
Capítulo 4
Resultados
En esta capítulo se aplicarán las de�nicienes nuevas obtenidas en el capítulo 3 para calcular
la cinemática y dinámica de mecanismos CCCC y CSSP, donde C representa la junta cilíndrica,
S la junta esférica y P la junta prismática. Para �nes demostrativos, se hará una comparación en
las expresiones obtenidas en función de ángulos de Euler y parámetros de Euler en el mecanismo
CCCC.
4.1. Casos de estudio 1: Mecanismo CCCC
4.1.1. Análisis cinemático
Dado el mecanismo de la �gura 4.1,se proponen los movimientos que ayudarán a formar las
ecuaciones de lazo cinemático que se ilustran en 4.2 y 4.3
70
Fig.4.1.Movimientos de las jutas del mecanismo CCCC.
71
Fig.4.2.Movimientos para lazo 1.
72
Fig.4.3.Movimientos para lazo 2.
73
De los cuales se obtienen las siguientes ecuaciones de posición:
T02T
2
4T
4
6T
6
8 = T
0
10T
10
12T
12
14T
14
16 (4.1)
Para mostrar una comparativa, se muetras las expresiones utilizando las matrices homogéneas
de transformación en función de los ángulos de Euler:
T02 = Tz3(z10)Tz6(�21) T
2
4 = Tz1(x32)Tz4(�43)
T46 = Tz3(z54)Tz6(�65) T
6
8 = Tz1(x76)Tz4(�87)
T010 = Tz1(x90)Tz4(�109) T
10
12 = Tz3(z1110)Tz6(�1211)
T1214 = Tz1(x1312)Tz4(�1413) T
14
16 = Tz3(z1514)Tz6(�1615)
y en función de los parámetros de Euler:
T02 = Tz3(z10)Tz6(p21) T
2
4 = Tz1(x32)Tz4(p43)
T46 = Tz3(z54)Tz6(p65) T
6
8 = Tz1(x76)Tz4(p87)
T010 = Tz1(x90)Tz4(p109) T
10
12 = Tz3(z1110)Tz6(p1211)
T1214 = Tz1(x1312)Tz4(p1413) T
14
16 = Tz3(z1514)Tz6(p1615)
p21 = [c(
�21
2 ); 0; 0; s(
�21
2 )] p43 = [c(
�43
2 ); s(
�43
2 ); 0; 0]
p65 = [p650; 0; 0; p653] p87 = [c(
�87
2 ); s(
�87
2 ); 0; 0]
p109 = [c(
�109
2 ); s(
�109
2 ); 0; 0] p1211 = [p12110; 0; 0; p12113]
p1413 = [c(
�1413
2 ); s(
�1413
2 ); 0; 0] p1615 = [p16150; 0; 0; p16153]
En la formulación de matrices homogéneas de transformación en función de los parámetros
de Euler, además de considerar las ecuaciones de posición, ec.(4.1) se deben de considerar
adicionalmente las restricciones:
pT65p65 � 1 = 0 (4.2)
pT1211p1211 � 1 = 0 (4.3)
pT1615p1615 � 1 = 0 (4.4)
74
al resolver las ecuaciones de posición. Dados:
z10 = 0 in 0
� � �21 � 360�
Además, los valores asumidos para las longitudes constantes en el mecanismo fueron:
x32 = 2 in x76 = �3 in x90 = �5 in x1312 = 4 in
mientras que los valores asumidos para los ángulos constantes fueron:
�43 = 30
� �87 = �225 � �109 = �240 � �1413 = 55 �
La posición de las incógnitas en una simulación de 360 muestras de una vuelta completa de �21,
y con valores iniciales de:
z54 = 0.115081 in z1110 = 0.209829 in z1514 = 2.69301 in
p650 = 0.95162 p12110 = 0.965199 p16150 = �0.922011
p653 = 0.307279 p12113 = 0.261517 p16153 = 0.387164
o en el caso de utilizar las matrices de transformación homogénea con ángulos de Euler:
z54 = 0.115081 in z1110 = 0.209829 in z1514 = 2.69301 in
�650 = 35.7906� �12110 = 30.3202� �16150 = 314.444�
muestra las siguientes grá�cas (�guras 4.4 a 4.9), teniendo en cuenta que en el análisis que
emplea las matrices homogéneas de transformación en función de los parámetros de Euler, la
manera de recuperar el valor de los ángulos es a través de la relación �i = Tan(
pi3
pi0).
75
Fig.4.4 Fig.4.5
Fig.4.6 Fig.4.7
Fig.4.8 Fig.4.9
76
280 
~ 260 
(l) 
240 
220 
o 50 
50 
100 150 200 
B2,1 
100 
250 300 350 
+--
+-- + 
+--
-1L~~~~-=r=~~c...± 
50 100 150 200 250 300 350 
B2.1 
Las ecuaciones de velocidad se obtienen derivando la ecuación (4.1)
_T02T
2
4T
4
6T
6
8 +T
0
2T
2
4
_T46T
6
8 = T
0
10
_T1012T
12
14T
14
16 +T
0
10T
10
12T
12
14
_T1416 (4.5)
donde en el caso de matrices homogéneas de transformación en función de los ángulos de Euler
se tiene que:
_T02 = _Tz3(z10; _z10)Tz6(�21) +Tz3(z10) _Tz6(�21;
_�21)
_T46 = _Tz3(z54; _z54)Tz6(�65) +Tz3(z54) _Tz6(�65;
_�65)
_T1012 = _Tz3(z1110; _z1110)Tz6(�1211) +Tz3(z1110) _Tz6(�1211;
_�1211)
_T1416 = _Tz3(z1514; _z1514)Tz6(�1615) +Tz3(z1514) _Tz6(�1615;
_�1615)
Para el caso de matrices homogéneas en función de los parámetros de Euler, además de tener
en cuenta la ec.(4.5) hay que derivar las restricciones (4.2), (4.3) y (4.4):
pT65 _p65 = 0 (4.6)
pT1211 _p1211 = 0 (4.7)
pT1615 _p1615 = 0 (4.8)
donde
_T02 = _Tz3(z10; _z10)Tz6(p21) +Tz3(z10) _Tz6(p21; _p21)
_T46 = _Tz3(z54; _z54)Tz6(p65) +Tz3(z54) _Tz6(p65; _p65)
_T1012 = _Tz3(z1110; _z1110)Tz6(p1211) +Tz3(z1110) _Tz6(p1211; _p1211)
_T1416 = _Tz3(z1514; _z1514)Tz6(p1615) +Tz3(z1514) _Tz6(p1615; _p1615)
_p21 =
1
2
[�s( �212 ) _�21; 0; 0; c(
�21
2 )
_�21] _p43 = [0; 0; 0; 0] _p65 = [ _p650; 0; 0; _p653]
_p87 = [0; 0; 0; 0] _p109 = [0; 0; 0; 0] _p1211 = [ _p12110; 0; 0; _p12113]
_p1615 = [ _p16150; 0; 0; _p16153] _p1413 = [0; 0; 0; 0]
77
Dados:
_z10 = 0 in =seg _�21 = 100rad=seg
Y tomando en cuenta que las derivadas de las matrices de transformación con valores constantes
dan como resultado una matriz llena de ceros. Resolviendo en una simulación de 360 muestras
de una vuelta completa de �21 y con valores iniciales de:
_z54 = �250 in = s _z1110 = �173;205 in = s _z1514 = 0 in = s
_p650 = 13.3056 _p12110 = 6.53792 _p16150 = 0
_p653 = �41.2063 _p12113 = �24.13 _p16153 = 0
o en el caso de utilizar las matrices de transformación homogénea con ángulos de Euler:
_z54 = �250 in = s _z1110 = �173;205 in = s _z1514 = 0 in = s
_�650 = -86.6025rad=seg _�12110 = -50.0rad=seg _�16150 = 0rad=seg
se obtuvieron las siguientes grá�cas para la velocidad (�guras 4.10 a 4.15), teniendo en
cuenta que la manera de recuperar los valores de las velocidades angulares es a través de la
relación _�i = 2p0i _pi
Fig.4.10 Fig.4.11
78
Fig.4.12 Fig.4.13
Fig.4.14 Fig.4.15
De manera similar, las ecuaciones de aceleración se obtienen derivando la ecuación de ve-
locidad ec.(4.5):
�T02T
2
4T
4
6T
6
8 + 2 _T
0
2T
2
4
_T46T
6
8 +T
0
2T
2
4
�T46T
6
8 = T
0
10
�T1012T
12
14T
14
16 + 2T
0
10
_T1012T
12
14
_T1416 +T
0
10T
10
12T
12
14
�T1416
(4.9)
donde en el caso de matrices homogéneas de transformación en función de los ángulos de Euler
79
se tiene que:
�T02 = �Tz3(z10; _z10; �z10)Tz6(�21) + 2 _Tz3(z10; _z10) _Tz6(�21;
_�21) +Tz3(z10)�Tz6(�21; _�21; ��21)
�T46 = �Tz3(z54; _z54; �z54)Tz6(�65) + 2 _Tz3(z54; _z54) _Tz6(�65;
_�65) +Tz3(z54)�Tz6(�65; _�65; ��65)
�T1012 = �Tz3(z1110; _z1110; �z1110)Tz6(�1211) + 2 _Tz3(z1110; _z1110) _Tz6(�1211;
_�1211)
+Tz3(z1110)�Tz6(�1211; _�1211; ��1211)
�T1416 = �Tz3(z1514; _z1514; �z1514)Tz6(�1615) + 2 _Tz3(z1514; _z1514) _Tz6(�1615;
_�1615)
+Tz3(z1514)�Tz6(�1615; _�1615; ��1615)
Para el caso de matrices homogéneas en función de los parámetros de Euler, además de tomar
en cuenta la ec.(4.9) hay que derivar las restricciones (4.6), (4.7) y (4.8):
_pT65 _p65 + p
T
65�p65 = 0 (4.10)
_pT1211 _p1211 + p
T
1211�p1211 = 0 (4.11)
_pT1615 _p1615 + p
T
1615�p1615 = 0 (4.12)
donde
�T02 = �Tz3(z10; _z10; �z10)Tz6(p21) + 2 _Tz3(z10; _z10) _Tz6(p21; _p21) +Tz3(z10)�Tz6(p21; _p21; �p21)
�T46 = �Tz3(z54; _z54; �z54)Tz6(p65) + 2 _Tz3(z54; _z54) _Tz6(p65; _p65) +Tz3(z54)�Tz6(p65; _p65; �p65)
�T1012 = �Tz3(z1110; _z1110; �z1110)Tz6(p1211) + 2 _Tz3(z1110; _z1110) _Tz6(p1211; _p1211)