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ampliacion de matematicas examenes antiguo 2

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申Q‡汚毒電機.霊c観
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Nociones de Ecu∂Cione5 Diferencia/es Ordin∂子ias
声ec煽: 10/06/03 丁海部甲oし矩融e:之h.  軸雨鵬C誇れこ10 Pu亜OS
エNS丁東UCCIQ剛冨雲
1. N〇両硝ce lわiz pa「a esc「ib書「"
Z. Re博「le SUS daと03 Pe「SOnales al co面en乙o de est観hoj尋・
3. 」的臼とe証ame亜e los 4 ejercic手os que se le p「OPOnen・
4, C〇両es亡e Y C尋lcule e両尋与轟ojas de bo「「ado「 que se !e en廿egan・
5. Una vcz te!-minado un ejercicto, eSCriba su desa「ro"o, CalcuIos y resu舶dos e「l e! espacio en blanco
reservado para e崎en este documento de examen.
6. No se recoger呑ning心n documento aI margert de este documento de examen.
7. Recue「de que no esta auto「izado ning血documento y que la sospecha de comportamlentO irregu!ar
podr5 dar恒gar a la expulsi6n del
巨je「c商o主(2.与Punto亨):
Se sabe que und∴S=StanCia porosa puesta en eI aire pierde su humedad a∴Una VeIocidad
P「OPOrCional a la humedad que contiene. Un experimento 「eve(a que∴una determinada muestra
pie「de e情0% de su humedad durante la prjmera ho「a.清n cuanto tiempo la muestra estara
pr諒弐icamente totalmente seca?.坦塾旦: Se COnSiderara que la∴sustancfa porosa estara
pratticamente seca cuando haya perdido e1 99・9% de su humedad. E盛重工tog lO3 =10 log 2.
藍告壷0‡
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∴二 子つ∴/三  _膏士,実真人 で二三フ∴ 詰二言-
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塩もあせれし転と串∽∴嬢函礼㌫伍混血l/
鉱しそ丁狙(毎啓伍しみ¥`
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訪朋 轟,、。。書冊。S
ApELLIDOS:                          NoMBRE:             DNl
ExfLmCn 。c FUNDAMENTOS MATEMÅTICOS (1eI・ Cし一l、SO dc Ingcni(血Tinlica). BIoque 4
No(当ONES DE EcuACIONES DIFERIJNCIA丁,I'二S
Fecha: 7/6/04  Tiempo Limite: 2h. Puntuaci6n: 10 Pmtos
INSTRUCCIONES
l. No utilice庫)iz para escl・ibir.
2. Re11e重1e Sし1S datos I)erSOnales al comienzo de esta hoja.
3. Lea ate重ltameIlte los 2 ejercicios qllC SC Ic pI‘OPOnen.
4. Co11teSte y Calcし1le cll las hojas de borrador qしIe Se le e裏面ega量l.
5. Unそl VeZ temlillado …1 qjerci(ho, (rsCriha s-1 desarro11o, Calcし1los y rCSし批ados en el espacio en blanco reservado
l)ara ello cn cste cIocしmlelltO de exa】lleIl.
6. No se recogera ning止n documento al margen de este documento de examen.
7. Los (胤culos serin realiza`los media11te el m6todo mas e世iente qし1e COnOZCa el estしl〔1iante.
8・ RecしICrde que IIO eSt鉦,一ItOl.izado lling血do(…neIltO y qし1e la sospccha ⊂le comPOl.ta量丁liento irrcgし11aI. POdliL dar
l-1gal. a la expし=si6n (lel exameIl y n la propしICSta de expedie11tC aCademico.
9・ Las cali世aciones言し一11tO COn Cl examen resuelto, eStal高l dispollibles eII Cl血ea privada 。e la I)塞ina web 〔1e
la 。Slg量1atし1ra el dfa l」 (1c Jullio・ La revisi6n de examen tendra h一gaI・ el (lfa 16 de Jしmio a las 13.00 horas c重1
Cl (1es萱)そしd10 del IつI・(庇soll.
Ejercicio l (5 puntos): (PR。BL胡IA PRAcTICO EN WGEN肥R子4 OU血〃CL4). En el modelado de
reactol.eS ‘lc fabricaci6n de comI)しIeStOS industl`ialcs se estしIdian modelos pal‘a la evolしICi6n de la tempel.atul‘a
T (K) 〔lc una mezcla gaseosal en la que se I)1・O〔luceしma l‘eacCi6n qllfmica, FI.eCしIentemente eStOS mOdelos
exprcsan甲IC h Val‘ia,Ci6n de la tempeI.atul.a de la mezcla gaseosaノSe debe a,l balance entl`e la prodしICCi6n de
Calol‘ Cn l札rcacci6n qし一fmica exot6l`mica y las p6l・di。as de energfa por convecci6n de la mczcla gaseosa en el
pc筈= QA(T-場)1)-p(、計T-嶋) , T(0)二五>蝿
。orl(1e 7b (K) es la tempcl‘atul‘a a h eIltrada 。el reactol., SしIPel.iol. d la temperatし1l・a 7自存) por cncima 。e la
Cual tliene lugal’lal‘eaCCi6n, "s) es cl tiemI)O, P (句肌-3) es la 。ensidad y c (J母‾1 Kつel calol・ eSPeCf co
。e los ga,SeS 。e la mezcla, O (J k√l) cI calolつ′ A (・戸) el factol・ de frocuellCia de la I`eacci6n (1し1fmica, V
(?申el vol皿eIl 。el I‘eaCtO重・ y t中I高つcl ‘l.jo 。c gases que pasa pol. el reactor. EI coe cicnte p > O mid。
Ia sensibilidad de la l‘CaCCi6n zl la tle宣nI)Clwhll‘a・
H証it`uhmcnte sc∴CSCl‘ibC d I)I・Oblmla el=nagnitudcs adimensionalcs e工l la fo工・I丁踊
些二SOn-0 , 0(0)二0。>0
(lT
(P)
-」 」ィ 」_
‾‾‾‾‾「 ⊥、し十、人  「
FigしIra l: Esquema dc Rca,CtOr QしIfmico
donde 9 =告es el incl`ementO I`elativo (a,dimensional) dc tempel`atuI、a dc Ios gases, y r = : es el tiempo
adimensional. La unida。 de tiempo, O tiempo de l▼eSidenciade los gases en el l`eaCtOl., eS to = # y el coc∴Ciente
5 > O se conoce como nrimel・O adimensional de Semenov (premio Nobel de Qufmica 1956) dado pol.‥
s二旦_生玉三先
p C
IndしIStria,lmente se contl`Ola la temPel.atul‘a de los gases a la saJlida del reactor para que no salgan
demasiado calientes actuando sobrc el ujo de gases a la entrada dcl mismo (剖・ Se desea regular @ para
que la temperatura de los productos a la salida del reactor no supere en ninglin momento la
temperatura de los reactivos a su entrada・
1. (2 puntos). Consid6rese el caso p = 1 (sensibilidad moderada de la I‘eaCCi6n a la tempel‘atma)・
Resu61vase el Pl・Oblema (P) y demし16stl`eSe q⊥le Se COnSigしIe el objetivo con皿l ¥1jo de gases:
ゆ>些
p C (掌) (=S≦1)
んQし16 ocしIl.re (eIl flm(壷n de q)) para 7- →十∞?
2. Para p ≠ 1, reSし16lvase analiticamcnte el Pl.Oblema (P) y demu6stl・eSe qしIe, Pal“a′ COnSegしIir el objetivo
pI.e jado, el lljo de gas(うS ft la entl`ada dcbc ‘′el`i car (1 punto)‥
哩*二里芋(…)l)-1 (掌) (=S≦旬  (*)
Pl`ObaI`, adem乙s, qしIe:
α) Si O < pく1 (pe。しIefia sensibilidad de la l.eaCCi6n a la tempel‘at‘一l、a), Se Obtiene皿eStado
cstacionario言ndcpcndiente de la tempcratし1ra inicia1 7b y (lel ‘ljo de gases @, ta,l que (1 punto):
忠T(な)=可十註) (K) (⇔T聖0(T)=S÷)
b) Si p > 1 (g宣・an SCnSibili〔1ed de la l‘eaCCi6n a la tcmpel.atul・a,), y nO Se l.eSPeta lal COndici6n (*),
c11tOnCeS la, teml)el.a血a 〔le los pl・Oduct′OS '一exl)1ota一一(tiende zl in nito) e量l tiempo nito, eS d(読r‥
∀@ <がde nidocIl (*), Setiene (1 punto)‥
即(丁)二十∞ふ7e刷<T*=-÷log(1〇五) <十∞
dando hlga,r ft POSil)lcs zICCidentes en h Planta,.
3
l. Con?’= 1 el I)rOblcma‘ (P) cs dc ¥′al・ial)le sel)a,I・ada‥
JO
(S-1)0
二dT ,0(0)=00 二=⇒
。cfol.maque 。(7-)≦00⇔S≦1=@≧㌔÷
SducIOn con p = 1
0(T) =00 e(・~’‾1) T
2. Con p ≠ 1 cI pl`Oblcma (P) esしma CCししaCi6宣1 de BemOしIilli qし-C Se reSしIelve mediante el cambio u = Ol‾7,
COIlloqし1e:
7L’=(1-の0‾pO′=(1-p) ∂‾p(SO]フー0)=(1-p) (S-の
quedalldo la ccし1aCidrl li11eal:
71′十(1-p)ひ=(1-p) S
q¥しe tldmiteしm fa(fror integl‘allte F (7-) = CXP ((1 -?,) 7-). Multiplicando pOr F (7-) la′ CCuaci6n lineal‥
exp((1-p) 7-)(“’十(1-p)亘y =(“ exI)((1-p) 7-))′=(1-p) S exp((1-p) 7-)
e integl`an〔lo dil‘ectamCntC:tt(7_) cxp((1-p) 7_)=C+S exp((l-p) 7-)
de donde:
ひ(T) =C exp(-(1-p) T)+S
DeshaCicndo el cambio de vaI`iablc:
TonlCndo ell (皿tala′COn(li(血inl(.ial‥ 0(0) = 。0 → C二(軒-S) ` (,On lo que:
0(丁)二((軒-S)函-(1-p)T)十S)÷ 
tcIli6工l。os(叫e G(7-) ≦00=5≦0告⇔dy≧が=Q莞伽-7L)叶
4
α) Cし丁andoO<I,<1‥
丁聖0(丁)二㌔→
b) C‘landop>1
0(T) =
聖T(王国(1十T悪(T))=可十S玉) 
((古鵜S) ex幽-1)叫)㌦
COn lo que‥
0(T) 〇一→十∞ 間のしんo
es (lecil¥ Cuando:
exp((p-1) T)十5○○→0
T→戸=-封g(1一壷丁) 
Ejercicio 2 (5 puntos): (PROBLE硯PRAcTICO EN踊GENIE融ELEcTRICA)・ Pal.a hallal.
1a ill†.ensidad de comCntC I (AmPCl・ios) cll fun(壷n del tiemI)O t (Seg皿dos) c11しI11 Cil`CしIito R(Ohmios))-
L-(Hem.ios)-C(Fal`adios) g()Ilera工SOmetido a′ ‘ma fueIl七e de alimenta(壷11 E (Voltios), dcb・=・CSOIvel`Se el
Pl.Ol)lema, de Cauchy:
Halhr I(のsolしICi611 de‥
L黒牛R豊十両)= dE(り
dき
pal’af > 0
sometido a las condiciones iniciales I(0) = Io, I′ (0) = Il.
SしIP6ngase que sc tiene un cil‘Cuito no resistivo (R = 0) con condiciones iIliciales nulas y sometido a una,
fしICntC de alimentaci6n alte工・na E(t) = Eo se肌しt COn Eo > 0. Se pide:
1. ResoIver, COn los da,tOS Pl.OI)Ol‘Cionados, d problema′ 〔le Cauchy l‘elativo a J(t) mediante el pI・Oced-
imiento de integl・aci6n genel・al (coe ciellteS indetel`minados) (1 punto).
2. Detel.minar la pしusa(壷n pI.OI)la CL,o dcl (証cし1ito. SしIP6ngase qしIe k=)しIIsa,Ci6n u 〔le la fuente de al-
imentaci6Il eS mlly I)I.6xima, al va,lol・ de la pしIIsaci6n col`l.eSPOndiente a la frecuencia pl‘OPia (耳o 〔lel
CiI`Cuito. Dibししjal` la soluci6n del problema explicando claramente lo que ocurre (2 puntos).
3. CalcしIlal. la fしmCi6n dc tl.anSfcl‘CnCia del cil`Cuito y l‘eSOIve〇・ el Pl`Oblema de Cauchy mcdiantc la trans-
fol・mada de Lapla(:e (2 puntos)・
S〇十,し丁C買ON
l. Llamando Uo= J吉 el pl`Oblema queda‥
I′/(i恒3I(七)二掌のcos互I(0)=I′(0)=O
Sol・と硯6n GeTl′e仕Jl de lα茸o1710〆n・eα:
I持)+いるII誰) =O
Utilizando el m6t,Odo de la CCしIaCi6n caraCtel.isti(気:
人2十の3=0 =⇒ 人二士山高
y、 l)O工、 tantO:
Iん(り=A eos (Jo七十B ・Se7ユリoき
Sol′uC澄γl・ Pαr“C初la7、 de /a Com・ple才の:
研)山裾)二㌢ cos而
Utilizando el mctodo de los∴COe Cientes indetel.minados:
弓,(き) =α eOS (扉十βseγ‥し‡
若(た)二U (鵜(上狛仙丹l oosのた) e Il(き)=-U2 (α COS U五十β・うe7-′の
工lltl‘O(lしICien(lo L, (f) e I雄) cn la ecし1a(in‥
(u証) (Y (ノOあu中高年刑直写u …力
6
Identi call(lo tdrminos en senos y cosenos:
Eo u“二了而二可 y l=0
es decil`:
捕=菩而二可COSU青
Soluc豆61!, Geγl・e7nl de Ja Coγ(I′pleれAplicalldo cI TeoI・ema dc SしIPel`POSici6n‥
I(亡)二捕十捕二A (OS Uo仁十B言妃間o雷而(即売
Sol昭i6性del PγOble7γla de C踊cんぴSe hallan las constantes de integl`aCi6n mediante las condicioncs
iniciales. Derivando:
I′(恒0 (鵜A・うe両+B cos uoた)一筆請~e油
pol、loqしIe:
I(0)詰霊曹)→A=-害毒 B二0
es decil‘:
I(た)=空前(c。Sのしcos両)
2. La pししIsaci6n pl、OPla del circuito es Cua11do la fl.eCしIenCia dc la, fuente de zLlime11taCi(うn
y la, fl`e(二しIellCia, I)l.OI)ia del cil`Cuito soll muy Pl‘6ximas, eS decil‘, CしIalldo車o -坤= S (rm O < c << 1 ‥
I(も)二等而二ずC用字占うe17雪上丁而… (uo+雪中符号t
La soluci6n es una onda de frecしIen(ふdel ol.den dc la pl`OPia dd cil‘Cししito (uo + S) , mOdulada por una
baja fl.eCし1en(ふ(毒) y cしIya amPlitしId es‥
A=等号
Modulacion
軸 」
4
・
 
 
2
 
 
 
0
 
 
 
2
 
 
 
4
 
 
 
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1
0
 
0
 
A
 
-
0
-
0
-
0
-
0
7
En de nitiヽ′a, Se ticnc, Para tiempos modeI‘ados‥
I(t声等苧さse7も(uo+号事I)aIlaとくさ
de manera. qしIe la・ amPlitし丁d maxima dc la onda es‥
星型も→十∞ C‘lalldos→0 (fen6mellOdcRESONANCIA)
L ご
y la fl‘eCしIenCia d・高(朋l‘ieI⊥tC eS (1el ol{len de la fl“eCしIenCia pl、OPla del cil‘Cuit,O CJo + S
Resonancia
3・ Pal`tiendo de nuestl‘O PrOblema dc Callchy:
I′′(叫3I(牛乳coscJt , I(0)=I′(0)=O 。On CJ。=
llamando I/ (s) = C (I (t)) (tl‘anSfomada de Laplace)、 y aPlicalldo Ios teol‘emaS de la tl.a,nSfoI`mada de
Laplace de las dcl‘ivadas, Se tiene qししe la tl`anSfol・mada de La,Place del pl`Oblema de Ca,uChy es:
(古い3) Y(s)=掌笠市
es decir:
Y(車T(s)封両
donde la F(LnC?6n・ de耽り7?擁7`en・C肱del cil.Cuito cs:
T(・う)二五
Descomponiendo en h`a(高ones simr)les:
Y(s)=
Eoし常    1     Eoし) S
L 牢十いる)(s2+u)2‾ L (亭計嵩)
(し(・,2+u2)十β(・~2+読) =1
C i(lcllti canldo cn l)Oten(点s (lc s:
∩二‾而二可y l二村二可
20(‥〇
°
6
e
m丁i
42
Pol‘ ta’11t′0, aPlicando cl tcol‘ema de lincalidad de la tl‘anSformada, dc Laplace‥
I(き)二坤(あ))=害毒(L-し(定玉戸-1(壷))
es decir:
I(た)二辛て豊中(cos広元○○ COS uoり
鞠割で紀的。(25′,。r,t。き,腰細軌⊂“こ高乱売功触奇華‖
Ap“car Ia南面ormada de Laplece para ca刷a'` e=ransitorio (両ensidad a to=a「go de吊iempo)
坤e ClrCし両po「岬ci「c証to conし醗atOindu。Ci6n d(江 Her-rio′ Lma reSistencia de 2 Ohmios y una
CaPaCidad (」e l/5 Fa「寄dios, Originado a! desco鳴ctar e) circuito de su fuente de a冊IentaCi6n
r囲nCto C冊」輔a ‘〕Or (封しm症ntensi。ad 。e 2 A「叩e「ios Y Sabiendc qしJe en eSe insta臣e I′(t)=-4
浩∴常吉当申出(
乱読染上擁{中年車高魚信肌、
景品、み」証ししこ
㌻「二言へシ ナ∠汗Z(s要一之)十gエ二。
l†冨二二二二 二㌦ま」__  _二〇一
口章 子
〈㌦っl十( 図
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単音†了∴争))生とし
子彊津(信士損亡
(。他攻′担ぐ良。しや五硬一夏硬一擁函二の‡、,
一一一●i-・- - -ヽ
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巨千S. 。。鴫。轟e「。S闘南s融
APこしし王DOS:
晒勲勲率覇王
Exこ仕丁膚n de戸U鵡DÅ贈萱N丁OS 祥職genね「露丁全c露c蜜)、削o蜜撮e 4
村ociones deどこu∂(二子ones Difき予encial合s O「dina「ias
戸e仁王下請10/06/03  丁ねr噂㊤し諒瀧鏡之h 軒雌韓虻櫨泰C誇航10手)unねS
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