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Álgebra Moderna I - Hugo A Rincón - Jose Madero

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Álgebra moderna I
Hugo Alberto Rincón
23 de junio de 2012
ii
Índice general
1. Grupos 1
1.0.1. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1. Definición y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1. El Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3. Morfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4. Cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5. Monos, epis e isos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6. Subgrupos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6.1. Caracterización de los grupos cíclicos . . . . . . . . . . 34
1.7. Subgrupos y normalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.7.1. La relación de conjugación . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.8. Los teoremas de isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.9. Retículas de subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.10. Productos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.11. El subgrupo conmutador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.11.1. Acerca del recíproco del Teorema de Lagrange . . . . . 54
1.11.2. El Teorema de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.11.3. El Teorema de Cauchy y la ecuación de clase. . . . . . 57
1.12. El grupo simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.13. Automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.13.1. Productos semidirectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.14. Acciones de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.14.1. Órbitas y estabilizadores . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1.14.2. Aplicaciones al conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.15. Los Teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
iii
iv ÍNDICE GENERAL
1.16. El Teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente
generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
1.17. Grupos abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
1.17.1. Grupos abelianos finitamente generados . . . . . . . . . 102
1.18. Grupos libres, productos libres, presentaciones y coproductos . 102
1.19. Extensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1.20. Grupos solubles y nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1.21. Grupos nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
1.21.1. Teorema de Jordan Holder. . . . . . . . . . . . . . . . 108
Capítulo 1
Grupos
1.0.1. Operaciones
Definición 1 Una operación en un conjunto X es una función f : X ×
X −→ X.
Solemos usar símbolos como ◦ o ∗ para denotar una operación y escribimos
a ∗ b en lugar de escribir ∗ (a, b).
Definición 2 Una operación ∗ : X ×X −→ X es asociativa si a ∗ (b ∗ c) =
(a ∗ b) ∗ c ∀a, b, c ∈ X.
No ejemplo 1 − : Z × Z −→ Z no es asociativa: 0− (1− 2) = 1 6= −3 =
(0− 1)− 2.
Ejercicio 1 Sea X un conjunto no vacío. Demuestre que la diferencia de
conjuntos r : ℘ (X)× ℘ (X) −→ ℘ (X) no es una operación asociativa.
Ejercicio 2 Demuestre que =⇒: {0, 1} × {0, 1} −→ {0, 1} dado por la tabla
=⇒ 0 1
0 1 1
1 0 1
no es asociativa.
Definición 3 Si ∗ es una operación asociativa en X se dice que (X, ∗) es
un semigrupo.
1
2 CAPÍTULO 1. GRUPOS
Como estamos trabajando con operaciones binarias, es claro que para
realizar un producto como a∗ b∗ c es necesario poner paréntesis: por ejemplo
(a ∗ b) ∗ c. Primero se calcula a ∗ b y el resultado se multiplica por c. La otra
posibilidad es a ∗ (b ∗ c) .
Teorema 1 Sea (X, ∗)un semigrupo y a1, a2, ..., an , n = 3, una lista de
elementos de X, cualquier manera de colocar paréntesis para evaluar a1 ∗a2 ∗
... ∗ an produce el mismo resultado.
Demostración. Base, si n = 3, entonces (a1 ∗ a2) ∗ a3 = a1 ∗ (a2 ∗ a3)
pues por hipótesis ∗ es asociativa.
Supongamos que n > 3 y que la afirmación es cierta para listas con menos
de n elementos.
Notemos que como quiera que se pongan los paréntesis, al final se
coloca un último par (cuando uno va a realizar la última operación) en ese
momento uno tiene (a1 ∗ ... ∗ ak) ∗ (ak+1 ∗ ... ∗ an) con paréntesis anidados de
cada lado. Note que por hipótesis de inducción cualquier manera de colocar
paréntesis en a1 ∗ ... ∗ ak y en ak+1 ∗ ... ∗ an produce el mismo resultado.
Comparemos (a1 ∗ ... ∗ ak) ∗ (ak+1 ∗ ... ∗ an) con otra manera de colo-
car los paréntesis, digamos que con (a1 ∗ ... ∗ al) ∗ (al+1 ∗ ... ∗ an) .Como ya
dijimos, si k = l ambos productos coinciden de acuerdo con la hipótesis de
inducción.
Si k < l podemos escribir:
(a1 ∗ ... ∗ ak) ∗ (ak+1 ∗ ... ∗ an) =
= (a1 ∗ ... ∗ ak) ∗ ((ak+1 ∗ ... ∗ al) ∗ (al+1... ∗ an))
y
(a1 ∗ ... ∗ al) ∗ (al+1 ∗ ... ∗ an) =
= ((a1 ∗ ... ∗ ak) ∗ (ak+1 ∗ ... ∗ al)) ∗ (al+1 ∗ ... ∗ an)
o bien, denotando
A = (a1 ∗ ... ∗ ak) , B = (ak+1 ∗ ... ∗ al) , C = (al+1 ∗ ... ∗ an) ,
el primer producto es A ∗ (B ∗ C) y el segundo producto es (A ∗B) ∗C, que
coinciden por el caso n = 3. Con esto completamos la inducción.
3
1. Se dice que e ∈ X es un neutro derecho para ∗ : X × X −→ X si
a ∗ e = a, ∀a ∈ X.
2. Se dice que e ∈ X es un neutro izquierdo para ∗ : X × X −→ X si
e ∗ a = a, ∀a ∈ X.
3. Se dice que e ∈ X es un neutro para ∗ : X×X −→ X si e es un neutro
derecho y un neutro izquierdo para ∗.
Lema 1 Si ∗ : X×X −→ X tiene neutro izquierdo e y tiene neutro derecho
f entonces e = f .
Demostración. e = e ∗ f = f. La primera igualdad ocurre porque f es
un neutro derecho y la segunda ocurre porque e es un neutro izquierdo.
Corolario 1 Cuando una operación tiene neutro este es único.
Demostración. Si e y f son neutros para una operación ∗,entonces e es
un neutro izquierdo y f es un neutro derecho. Concluímos usando el lema
anterior.
Si en el enunciado de un ejercicio aparece sólo una proposición el ejercicio
consiste en demostrar la proposición.
Ejercicio 3 Si una operación tiene dos neutros izquierdos entonces no puede
tener neutro.
Definición 4 Sea ∗ una operación en el conjunto X con neutro e. Si a∗b =
e, a, b ∈ X, diremos que a es inverso izquierdo de b y que b es inverso derecho
de a. Diremos que b es inverso de a si b es inverso derecho e izquierdo de a
(es decir, si a ∗ b = e = b ∗ a).
Definición 5 Si e ∈ X es un neutro para la operación asociativa ∗ : X ×
X −→ X, diremos que (X, ∗, e) es un monoide.
Lema 2 Si (X, ∗, e) es un monoide y a ∈ X tiene inverso izquierdo b e
inverso derecho c, entonces b = c.
Demostración. b = b ∗ e = b ∗ (a ∗ c) = (b ∗ a) ∗ c = e ∗ c = c.
Por lo anterior podemos notar que el inverso de un elemento a en un
monoide, cuando existe es único.
4 CAPÍTULO 1. GRUPOS
Ejemplo 2 Sea X un conjunto y denotemos por
XX =
{
X
f−→ X | f es función
}
,
1entonces la composición es una operación asociativa en XX , IdX es neu-
tro para la operación. Los elementos que tiene inverso por la izquierda son
las funciones inyectivas y las que tiene inverso derecho son las funciones
suprayectivas.
Ejemplo 3 La función N ()+1−→ N tiene inverso izquierdo pero no tiene in-
verso derecho.
Definición 6 Sea ∗una operación en un conjunto X. a ∈ X es cancelable
por la derecha si b ∗ a = c ∗ a =⇒ b = c. a es cancelable por la izquierda si
a ∗ b = a ∗ c =⇒ b = c. a es cancelable cuando es cancelable por la izquierda
y por la derecha.
Ejercicio 4 Demuestre que si a ∈ X y ∗ es una operación en X con neutro
e,entonces:
1. a tiene inverso por la derecha =⇒ a es cancelable por la derecha.
2. a tiene inverso =⇒ a es cancelable.
Definición 7 Un monoide (M, ∗, e) en donde cada elemento es cancelable,
se llama monoide con cancelación.
Ejercicio 5 Demuestre que (N ,+, 0) es un monoide con cancelación.
Ejercicio 6 Demuestre que (N r {0} , ·, 1) es un monoide con cancelación.
Ejercicio 7 Considere un triángulo equilátero
denotemos con r la rotación
(
1 2 3
2 3 1
)
, denotemos con a la reflexión(
1 2 3
1 3 2
)
, etcétera. Haga unatabla de multiplicar para el grupo de simetrías
(6 elementos y la multiplicación es la composición).
1En general AB denota el conjunto de funciones de B en A.
1.1. GRUPOS 5
Ejercicio 8 Muestre que el grupo anterior no es abeliano (abeliano = con-
mutativo).
Ejercicio 9 Muestre que para cada n existe un grupo con n elementos (Sug-
erencia: Zn).
Ejercicio 10 Denotemos P∗ (X) = {A ⊆ X | A 6= ∅} .¿Cómo tiene que ser
X para que en el semigrupo (P∗ (X) ,∪) exista un neutro?
Ejercicio 11 Denotemos P ′ (X) = {A ⊆ X | A 6= X} .¿Cómo tiene que ser
X para que en el semigrupo (P∗ (X) ,∩) exista un neutro?
1.1. Grupos
1.1.1. Definición y ejemplos
Definición 8 Un grupo es una terna (G, ∗, e) ,donde G es un conjunto, ∗
es una operación asociativa en G, e ∈ G es un neutro para ∗ y además cada
elemento de G tiene un inverso.(Si a es inverso de g, entonces a ∗ g = e =
g ∗ a).
Observación 1 El neutro es único. El inverso de cada elemento es único
Teorema 2 Si (G, ∗, e) es una terna, con G conjunto, ∗ asociativa, e neutro
derecho y ∀a ∈ G,∃b ∈ G tal que a ∗ b = e, entonces (G, ∗, e) es un grupo.
Demostración. Notemos que G
()∗e−→ G
g 7→g∗e
es la función identidad. También
note que G
()∗(c∗d)−→ G la función “multiplicar por c ∗ d por la derecha”es la
composición (() ∗ d)◦ (() ∗ c) (primero se multiplica por c y luego por d. Esto
se debe a que x ∗ (c ∗ d) = (x ∗ c) ∗ d.
Así que si a ∗ b = e entonces IdG = () ∗ e = () ∗ (a ∗ b) = [() ∗ b] ◦
[() ∗ a] ,de donde tenemos que [() ∗ a] : G −→ G es una función inyectiva
(porque tiene inverso izquierdo ∀a ∈ G. Mientras que [() ∗ b] : G −→ G es
suprayectiva (y por lo anterior es inyectiva), siempre que a ∗ b = e.
Como ()∗b : G −→ G es biyectiva, entonces es invertible. Como ()∗a
es inverso derecho de () ∗ b : G −→ G,entonces () ∗ a es el inverso.2 de () ∗ b.
Pero entonces () ∗ a : G −→ G es invertible ∀a ∈ G.
2Si f ◦ g = Id y f es invertible, entonces g = Id ◦ g =
(
f−1 ◦ f
)
◦ g = f−1 ◦ (f ◦ g) =
f−1 ◦ Id = f−1.
6 CAPÍTULO 1. GRUPOS
Ahora, como G
()∗a−→ G es suprayectiva, existe f ∈ G tal que f ∗a = a.
multipliquemos por b a la derecha:
f = f ∗ e = f ∗ a ∗ b = a ∗ b = e.
De donde e ∗ a = a ( ∀a ∈ G). Luego e es un neutro ya que además de ser
un neutro derecho, resultó ser un neutro izquierdo.
Si a ∗ b = e, considerando que G ()∗a−→ G es suprayectiva, entonces
existe x ∈ G tal que x ∗ a = e. Luego a tiene inverso derecho e izquierdo.
Como estos deben coincidir tenemos que a tiene inverso (para toda a ∈ G).
Sea c ∈ G.
Teorema 3 Son equivalentes para un semigrupo no vacío (G, ∗) :
1. ∃e ∈ G tal que (G, ∗, e) es un grupo.
2. ∀a, b ∈ G, las ecuaciones a ∗ x = b y x ∗ a = b tienen solución única en
G.
Demostración. 1)⇒ 2)
Si (G, ∗, e) es un grupo entonces x = a−1b es la única solución de a∗x = b
y ba−1 es la única solución de a = b.
2)⇒ 1)
Notemos que la petición de que a ∗ x = b tenga solución única para cada
a, b ∈ G equivale a que la función G a∗()−→ G sea biyectiva. Mientras que la
petición de que x ∗ a = b tenga solución única ∀a, b ∈ G equivale a que
G
()∗a−→ G sea biyectiva.
Sea a ∈ G (G 6= ∅) y llamemos ea la única solución de xa = a. Entonces
ea ∗ a = a, es decir que a tiene una especie de neutro particular.
Tomemos otra b ∈ G, como a ∗ () es biyectiva, sea c tal que a ∗ c = b
(equivalentemente: escogemos c como la solución de a ∗ x = b), entonces
ea ∗ b = ea ∗ (a ∗ c) = (ea ∗ a) ∗ c = a ∗ c = b. Como el argumento vale
∀b ∈ G,tenemos que ea es un neutro izquierdo para ∗. Además, dada a ∈ G,
la ecuación x∗a = ea tiene solución. Por el lema anterior (versión izquierda),
G es un grupo.
Lema 3 Las siguientes afirmaciones se cumplen en un grupo (G, ∗, e) :
1. a ∗ b = b⇒ a = e.
1.1. GRUPOS 7
2. a ∗ b = a⇒ b = e.
3. a ∗ b = e⇒ b = a−1 y a = b−1.
4. (a−1)−1 = a.
5. (a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a−1.
6. G
()−1−→ G es biyectiva con inverso ella misma.
Demostración. 1. a ∗ b = b
(()∗b−1)
⇒ (a ∗ b) ∗ b−1 = b ∗ b−1 = e. Pero
(a ∗ b) ∗ b−1 = a ∗ (b ∗ b−1) = a ∗ e = a.
2. Análogamente (se multiplica por a−1 a la izquierda).
3. Multiplique a la izquierda por a−1 y luego multiplique a la derecha por
b−1.
4. Como a−1 ∗ a = e, por 3. tenemos que a = (a−1)−1 .
5. (a ∗ b) ∗ b−1 ∗ a−1 = a ∗ (b ∗ b−1) ∗ a−1 = a ∗ e ∗ a−1 = a ∗ a−1 = e.
6. G
()−1−→ G ()
−1
−→ G
a 7→ a−1 7→ (a−1)−1 = a
, luego ()−1 es inversa de sí misma.
Ejercicio 12 Demuestre que si G es un grupo finito de orden par, entonces
∃a ∈ Gr {e} tal que a ∗ a = e. (Sugerencia use 6. en el lema anterior y note
que e−1 = e).
Definición 9 Si a ∈ G, G un grupo, definimos:
1. a0 = e.
2. an+1 = a ∗ an, si n ≥ 0.
3. an = (a−1)−n , si n < 0.
Ejercicio 13 Muestre que si en un grupo (a ∗ b)−1 = a−1 ∗ b−1,∀a, b ∈ G,
entonces G es abeliano.
Ejercicio 14 Muestre que si en un grupo (a ∗ b)2 = a2 ∗ b2,∀a, b ∈ G, en-
tonces G es abeliano.
8 CAPÍTULO 1. GRUPOS
Ejercicio 15 Muestre que si en un grupo a2 = e,∀a ∈ G, entonces G es
abeliano.
Ejercicio 16 Muestre que si en un grupo (a ∗ b)i = ai ∗ bi,∀a, b ∈ G, i ∈
{3, 4, 5} entonces G es abeliano.
1. Por definición, un grupo no puede ser vacío. ({e} , ∗, e) es un grupo con
la única operación posible: e ∗ e = e.
2. El grupo con dos elementos tiene la tabla
∗ e a
e e a
a a e
.
3. (Z ,+, 0) es un grupo abeliano.
4. Si X es un conjunto, denotamos Biy (X) = {X → X | f es biyectiva} .
SiX es un conjunto finito denotamos Biy (X) = SX . S{1,2,..,n} se denota
Sn. (Biy (X) , ◦, IdX) es un grupo (comprobarlo).
5. (Q r {0} , ·, 1) es un grupo.
6. ({z ∈ C | |z| = 1} , ·, 1) es un grupo.
7. ({z ∈ C | zn = 1, para n ∈ N} , ·, 1) es un grupo. (El grupo de las raíces
n−ésimas de 1.)
8. ({z ∈ C | ∃ ∈ N tal que zn = 1,} , ·, 1) es un grupo. (El grupo de las
raíces de 1.)
9. ({a ∈ Zn | (a;n) = 1} , ·, 1) es un grupo (el grupo de las unidades de
Zn . Este grupo se denota Z ·n .
10.
({(
a b
c d
)
∈M2 (R) | ad− bc 6= 0
}
, ·,
(
1 0
0 1
))
es un grupo, donde
· denota la multiplicación usual de matrices.
11.
({(
a b
c d
)
∈M2 (R) | ad− bc = 1
}
, ·,
(
1 0
0 1
))
es un grupo, donde
· denota la multiplicación usual de matrices.
12. En general, si F es un campo GLn (F ) denota el grupo de las matrices
invertibles de n × n con coeficientes en F , junto con la operación de
multiplicación de matrices.
1.1. GRUPOS 9
13. En general, si F es un campo SLn (F ) denota el grupo de las matrices
invertibles de n × n con determinante 1, con coeficientes en F , junto
con la operación de multiplicación de matrices.
Notación 1 Se define la función de Euler ϕ : N r {0} −→ N r {0} por:
ϕ (1) = 1, ϕ (n) = |Z ·n| , si n > 1.
Ejercicio 17 Muestre que S3 no es abeliano.
Ejercicio 18 Demuestre que si |X| ≥ 3, entonces Biy (X) no es abeliano.
Ejercicio 19 Haga una tabla para Z ·12 y para Z
·
15 .
Ejercicio 20 Sea X un conjunto y consideremos la operación de diferencia
simétrica 4 en ℘ (X) dada por A4B = (A ∪B)r (A ∩B) . Muestre que 4
es una operación asociativa y que (℘ (X) ,4,∅) es un grupo abeliano.
Ejercicio 21 Sea G un conjunto finito con una operación binaria ∗,con neu-
tro e.Demuestre que G es un grupo si y sólo si la tabla de ∗tiene las siguientes
propiedades:
1. Todo renglón y cada columna de la tabla de ∗ contiene todos los ele-
mentos de G.
2. Para cada par x, y ∈ G r {e} y cada rectángulo R en el cuerpo de
la tabla que tenga e en uno de sus vértices, x en el otro vértice en el
mismo renglón que e y que tenga y en el vértice en la misma columna
que e,entonces el cuarto vértice depende sólo de (x, y) .
Una distancia es una función d : X×X −→ R+ ∪ {0} tal que d (x, y) = 0
si y sólo si x = y y tal que d (x, y) + d (y, z) ≤ d (x, z) . En este caso
decimos que (X, d) es un espacio métrico. Los más conocidos son R2 y
R3con la distancia dada por la norma euclidiana, es decir d ((a, b) , (c, d)) =√
(a− c)2 + (b− d)2 en R2 .
Si S es un conjunto de puntos de un espacio métrico (X, d) (por ejemplo,
el conjunto de vértices de un polígono) decimos que una simetría de S es una
función S
f−→ S que preserva las distancias, es decir d (f (a) , f (b)) = d (a, b) ,
∀a,b ∈ S.
10 CAPÍTULO 1. GRUPOS
Ejercicio 22 Muestre que un cuadrado tiene 8 simetrías. (Hay 4 rotaciones
incluyendo la identidad, y 4 reflexiones).
Lema 4 Si dos elementos a, b de un grupo G conmutan, entonces abz =
bza,∀z ∈ Z.
Demostración. Por inducción. Si z = 0, entonces ab0 = ae = a, también
b0a = ea = a.
Supongamos que abn = bna, entonces abn+1 = abbn = babn =︷ ︸︸ ︷
hip ótesis
de inducción
bbna = bn+≥1a. Lo que establece el resultado para z ≥ 0.
Si z < 0,entonces abz = a (b−1)−z , como ab = ba =⇒ ab−1 = b−1a,
entonces podemos aplicar el caso anterior: a (b−1)−z = (b−1)−z a = bza.
Lema 5 Si dos elementos a, b de un grupo G conmutan, entonces awbz =
bzaw,∀z, w ∈ Z.
Demostración. Se sigue del anterior.
Lema 6 En un grupo G, aaz = az+1, ∀a ∈ G,∀z ∈ Z.
Demostración. Si z = 0, entonces aa0 = ae = a, a0+1 = a1 = aa0 =
ae = a.
Supongamos que para n ≥ 0, aan = an+1. Entonces aan+1 = a(n+1)+1 =
an+2.
Si z < 0, entonces z + 1 ≤ 0. Así, z = −1 o bien z + 1 < 0.
Si z = −1, entonces aaz = aa−1 = e = a0 = a−1+1.
Si z < −1 entonces aaz = a (a−1)−z , quisiéramos ver que az = (a−1)−z =
az+1, lo que equivale a demostrar que a (a−1)−z = a−1az+1. Como z + 1 < 0,
tenemos por lo que ya hemos demostrado, que a−1az+1 = a−1 (a−1)−(z+1) =
(a−1)
−(z+1)+1
= (a−1)
−z
= az.
Lema 7 En un grupo (az)−1 = a−z = (a−1)z .
Demostración. La afirmación es claramente cierta para z ∈ {0, 1} .
1.1. GRUPOS 11
Si n > 0 entonces a−n = (a−1)n , por definición. Nos falta ver que (a−1)n =
(an)−1 , para esto tomemos
an
(
a−1
)n
=
(
a (a)n−1
) (
a−1
(
a−1
)n−1)
=
(
a (a)n−1
) ((
a−1
)n−1
a−1
)
=
= a
(
(a)n−1
(
a−1
)n−1)
a−1 = aa−1 = e (por inducción).
Si n < 0 (an)−1 =
(
(a−1)
−n
)−1
, podemos aplicar lo que acabamos de
demostrar, usando que −n > 0 : (an)−1 =
(
(a−1)
−n
)−1
= (a−1)
−(−n)
=
(a−1)
n
. Resta mostrar que esto último coincide con a−n. Pero (a−1)n =(
(a−1)
−1
)−n
= a−n.
Lema 8 En un grupo G, az+w = (az) ∗ aw, ∀a ∈ G,∀z, w ∈ Z .
Demostración. Si w = 0, entonces az+0 = az = az ∗ e = az ∗ a0.
Suponiendo que az+n = (az) ∗ an con n ≥ 0, entonces az+n+1 = aaz+n =
aazan = azaan = azan+1 (se usó el lema previo y que toda potencia de a
conmuta con a).
Si w < 0, entonces
azaw = az
(
a−1
)−w
=
(
(az)−1
)−1 (
a−1
)−w
=
=
(
a−z
)−1 (
a−1
)−w
=
(
a−1
)−z (
a−1
)−w
=
(
a−1
)−z−w
= az+w.
Usando los lemas previos.
Lema 9 En un grupo G, azw = (az)w , ∀a ∈ G,∀z, w ∈ Z .
Demostración. Si w = 0, entonces az0 = a0 = e = (az)0 .
Supongamos que n ≥ 0 y que azn = (az)n , entonces az(n+1) = azn+z =
aznaz = azazn = az (az)n = (az)n+1 .
Si n < 0 entonces (az)n =
(
(az)−1
)−n
=
((
(a)−1
)z)−n
= (a−1)
z(−n)
=
(a−1)
−zn
= azn.
12 CAPÍTULO 1. GRUPOS
1.2. Subgrupos
Definición 10 Decimos que un subconjunto S de un grupo (G, ∗, e) es un
subgrupo si
(
S, ∗|S×S, e′
)
es un grupo.
Notemos que para que esto tenga sentido necesitamos que ∗|S×S : S ×
S −→ S sea una operación en S. Es decir, necesitamos que el producto
de dos elementos de S sea un elemento de S.Por otra parte podemos notar
que e′ tiene que coincidir con e : e′ ∗ e′ = e′ ∗|S×S e′ = e′ = e′ ∗ e , así
que multiplicando por (e′)−1 del lado izquierdo, obtenemos e′ = e. Notemos
también que el inverso de a en el grupo
(
S, ∗|S×S, e′
)
, debe coincidir con el
inverso de a en G : pues si llamamos b y c a dichos inversos, tenemos que
a ∗ b = a ∗|S×S b = e′ = e = a ∗ c,
de donde b = c.
De hecho, podemos demostrar que:
Teorema 4 Son equivalentes para S ⊆ G, (G, ∗, e) un grupo:
1. S es un subgrupo de G, (S ≤ G).
a) e ∈ S
b) S es cerrado bajo ∗ (a, b ∈ S =⇒ a ∗ b ∈ S).
c) a ∈ S =⇒ a−1 ∈ S.
Demostración. Hemos observado que 1) =⇒ 2).
2)=⇒ 1)
La condición b) es equivalente a que ∗|S×S es una operación en S. Como ∗
es una operación asociativa, entonces ∗|S×S también lo es, ya que si a∗(b ∗ c) =
(a ∗ b) ∗ c ∀a, b, c ∈ G, en particular a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c ∀a, b, c ∈ S.
Por la condición a) tenemos que e es el neutro para ∗|S×S. Y por último
c) dice que todo elemento en S tine inverso en S.
Lema 10 Son equivalentes para S ⊆ G, G un grupo:
1. S ≤ G.
2. S 6= ∅, a, b ∈ S =⇒ ab−1 ∈ S.
1.2. SUBGRUPOS 13
Demostración. Debe se claro que 1) =⇒ 2).
2) =⇒ 1) Sea a ∈ S, por hipótesis aa−1 ∈ S, por lo que e ∈ S.
Si a ∈ S, como ya vimos que e ∈ S, entonces ea−1 ∈ S. por lo que
a ∈ S =⇒ a−1 ∈ S.
Ahora, si a, b ∈ S, entonces a, b−1 ∈ S. por lo tanto a (b−1)−1 ∈ S, es
decir, ab ∈ S.
Notaremos ahora que un subconjunto finito no vacío de un grupo es un
subgrupo cuando es cerrado bajo la operación del grupo.
Lema 11 Sea (G, ∗, e) un grupo y S un subconjunto finito no vacío de G.
Son equivalentes:
1. S ≤ G.
2. S es cerrado bajo ∗.
Demostración. Es claro que 1) =⇒ 2).
2) =⇒ 1):
Sea a ∈ S, y consideremos la función N \ {0} −→ S
n 7→ an , que está defini-
da porque S es cerrado bajo ∗. Como S es finito esta función no puede
ser inyectiva, así que ∃m > n > 0 tales que am = an. Así tenemos que
am−n = e, con m − n > 0. De aquí tenemos que e ∈ S y que e = aam−n−1,
con m− n− 1 ≥ 0, así que a−1 = am−n−1 ∈ S.
Corolario 2 Si G es un grupo finito entonces cualquier subconjunto cerrado
finito y no vacío es un subgrupo de G.
1.2.1. El Teorema de Lagrange
Sea H ≤ G, con G un grupo finito, veremos que el número de elementos
de H (orden de H) divide al orden de G.
Definición 11 Si X, Y ⊆ G definimos XY = {xy ∈ G | x ∈ X, y ∈ Y } .
En particular H {a} = {ha | h ∈ H} .
Notación 2 Escribimos Ha en lugar de H {a} . Escribimos aH en lugar de
{a}H.
Lema 12 Si G es un grupo, X ⊆ G y a ∈ G, entonces |Xa| = |X| .
14 CAPÍTULO 1. GRUPOS
Demostración. Notemos que la función X
()∗a−→ Xa
x 7→ xa
es una biyec-
ción. (con inverso Xa
()∗a−1−→ X ).
Lema 13 Si H ≤ G, a, b ∈ G entonces Ha = Hb si y sólo si ab−1 ∈ H.
Demostración. Para empezar notemos que Ha = H ⇐⇒ a ∈ H.
Si Ha = H entonces a = ea ∈ Ha = H. Recíprocamente, si a ∈ H
entonces Ha ⊆ H por la cerradura de H bajo el producto, además dada
h ∈ H,tenemos que h = he = (ha−1) a ∈ Ha ya que a−1 ∈ H, dado que
a ∈ H.
Ahora, si Ha = Hb entonces a = ea ∈ Ha = Hb, por lo que a =
hb,p.a. h ∈ H, entonces ab−1 = h ∈ H.
Recíprocamente, si ab−1 ∈ H,entoncesHab−1 = H, así que (Hab−1) b =
Hb.
Pero (Hab−1) b = Ha, ya que hab−1b = ha,∀h ∈ H. Por lo tanto Ha =
Hb.
Lema 14 Sea H ≤ G. La relación H≡ definida en G por a H≡ b si y sólo si
ab−1 ∈ H es una relación de equivalencia.
Demostración. a
H≡ a ya que aa−1 = e ∈ H, ∀a ∈ G.
a
H≡ b =⇒ ab−1 ∈ H =⇒ (ab−1)−1 = (b−1)−1 a−1 = ba−1 ∈ H =⇒ b H≡ a.
a
H≡ b H≡ c =⇒ ab−1 ∈ H, bc−1 ∈ H =⇒ (ab−1) (bc−1) = ac−1 ∈ H.
Observación 2 Si X
f−→ Y es una función, esta función induce otras dos:
℘ (X)
f ‘∗−→ ℘ (Y )
A 7→ f (A)
,
donde f (A) = {c ∈ Y | c = f (a) , a ∈ A} y
℘ (Y )
f−1()−→ ℘ (X)
B 7→ f−1 (B)
,
donde f−1 (B) = {a ∈ A | f (a) ∈ B} .
1.2. SUBGRUPOS 15
El lector puede recordar que la segunda función es mejor comportada re-
specto a la presevación de uniones e intersecciones, es decir que f−1
(
∩{Bi}i∈I
)
=
∩{f−1 (Bi)}i∈I y también f−1
(
∪{Bi}i∈I
)
= ∪{f−1 (Bi)}i∈I . En cambio
f ∗ respeta uniones o intersecciones sólo en casos especiales, por ejemplo si
X
f−→ Y es biyectiva, ya que en este caso f = (f−1)−1 .
Observación 3 Sea G un grupo, sea a ∈ G, y sea {Xi}i∈I una familia de
subconjuntos de G, entonces a
(
∩{Xi}i∈I
)
= ∩{aXi}i∈I , a
(
∪{Xi}i∈I
)
=
∪{aXi}i∈I y
(
∩{Xi}i∈I
)
a = ∩{Xia}i∈I ,
(
∪{Xi}i∈I
)
a = ∪{Xia}i∈I .
Demostración. Se sigue del párrafo precedente, notando que G
a∗()−→ G
y G
()∗a−→ G son funciones biyectivas.
Observación 4 H
()∗a−→ Ha es una biyección, para toda a ∈ G (H ⊆ G).
Teorema 5 Si H ≤ G, entonces {Ha | a ∈ G} es una partición de G y todos
los elementos de la partición tienen o (H) elementos.
Demostración. Se sigue de lo observado anteriormente.
Definición 12 |{Ha | a ∈ G}| se llama el índice de H en G (el número de
clases laterales derechas módulo H), se suele denotar iG (H) o [G : H].
Teorema 6 (Lagrange) Si G es un grupo finito y H ≤ G, entonces o (H) |
o (G) .
Demostración. o (G) = |∪ {Ha | a ∈ G}| = iG (H) o (H) .Ejemplo 4 En el grupo S� de simetrías del cuadrado, 〈{H,L}〉 = S�.
Para ver esto, notemos que Id,H, V,HL,LH son 5 elementos distintos en
〈{H,L}〉 , y 8 es el único divisor de 8 mayor que 4.
Lema 15 Si H,K son subgrupos de G, entonces |HK| = o (H) o (K)
o (H ∩K) .
Demostración. Consideremos el producto cartesiano H ×K definamos
H ×K → HK
(h, k) 7−→ hk es claro que esta función es suprayectiva. Definamos
ahora un relación en H ×K por (a, b) ' (c, d) ⇔ ab = cd.
16 CAPÍTULO 1. GRUPOS
Notemos que ' es una relación de equivalencia en H ×K :
(a, b) ' (a, b) pues ab = ab; (a, b) ' (c, d) =⇒ ab = cd =⇒ ćd = ab =⇒
(c, d) ' (a, b) ;la transitividad también es inmediata. ¿Cuál es la clase de
equivalencia de (a, b) y cuántos elementos tiene? (c, d) ' (a, b) =⇒ cd =
ab =⇒ a−1c = bd−1 ∈ H ∩ K, ya que a, c ∈ H y c, d ∈ K. Entonces
cd = (aa−1) cd (b−1b) = a (a−1c) (db−1) b ya que db−1 = (bd−1)−1 = (a−1c)−1 .
Veamos que [(a, b)]' = {(ax, x−1b) | x ∈ H ∩K} .
Si (c, d) ' (a, b) entonces cd = ab, así que c = abd−1 y d = c−1ab,
por lo que (c, d) = (abd−1, c−1ab) con bd−1 ∈ H ∩K y c−1a = (bd−1)−1 . Por
lo tanto (c, d) ∈ {(ax, x−1b) | x ∈ H ∩K} . Recíprocamnete, (ax, x−1b) '
(a, b) , ya que (ax) (x−1b) = ab.
En vista de lo anterior [(a, b)]' tiene tantos elementos como H ∩K.
Luego |(H ×K) / '| = |HK| , lo que dice que H×K está partido en
|HK| clases de equivalencia. Por otro lado, cada clase de equivalencia tiene
o (H ∩K) elementos. Por lo tanto,
o (H) o (K) = |H ×K| = |HK| o (H ∩K)
de aquí tenemos que |HK| = o (H) o (K)
o (H ∩K) .
Ejercicio 23 Sea S ⊆ G, G un grupo, defina ∼S en G por a a ∼S b si
ab−1 ∈ S. Demuestre que ∼Ses una relación de equivalencia en G ⇔ S es un
subgrupo de G.
Ejercicio 24 Determine el número de elementos en los grupos de simetrías
del cubo, del tetraedro del dodecaedro y del icosaedro.
1.3. Morfismos
Una función G
f−→ H es un morfismo de grupos si G y H son grupos
y f (a ∗ b) = f (a) ◦ f (b) ,donde ∗denota la operación de G y ◦denota la
operación de H.
1. La identidad G
1G−→ G en un grupo es un morfismo.
2. La función constante
G −→ H
a 7→ e es un morfismo.
1.3. MORFISMOS 17
3. Sea (G, ∗, e) un grupo y sea H un subconjunto de G.
H
i
↪→ G es un morfismo ⇔ H ≤ G.
Veamos esto.
=⇒) Si la inclusión de H en G es un morfismo entonces H debe ser
un grupo, con la operación ◦,digamos y con neutro e′, digamos. Sean
a, b ∈ h, entonces a◦ b = i (a ◦ b) = i (a)∗ i (b) = a∗ b, lo que demuestra
que la operación en H coincide con la restricción de ∗. Por otro lado
e ∗ e′ = e′ = e′ ◦ e′ = e′ ∗ e′, de donde e = e′. Entonces
(
H, ∗|H×H , e
)
es
un grupo, es decir, H ≤ G.
⇐) Si H ≤ G, y a, b ∈ H entonces i (a ∗ b) = a ∗ b = i (a) ∗ i (b) .
4. Los reales positivos R+ son un subgrupo de (R \ {0} , ·, 1) y la expo-
nencial (R,+, 0)
e()−→ (R+, ·, 1)
x 7→ ex
es un morfismo.
5. Si a ∈ G, Z
a()−→ G
z 7→ az
es un morfismo.
Lema 16 Si f : G −→ H es un morfismo de grupos entonces:
1. f (eG) = eH .
2. f (a−1) = f (a)−1 ,∀a ∈ G.
3. f (az) = f (a)z ,∀z ∈ Z.
Teorema 7 Si f : G −→ H es un morfismo de grupos entonces:
1. Si K ≤ G entonces f (K) ≤ H.
2. Si L ≤ H entonces f−1 (L) ≤ G.
Demostración. 1) Como eG ∈ K (K ≤ G), entonces eH = f (eG) ∈
f (K) .
Si x, y ∈ f (K) ,digamos que x = f (a) , y = f (b) , con a, b ∈ K, entonces
xy = f (a) f (b) = f (ab) ∈ f (K), ya que ab ∈ K dado que K es cerrado.
Si x = f (a) , a ∈ K, entonces x−1 = f (a)−1 = f (a−1) ∈ f (K) , ya que
a−1 ∈ K.
2) f (eG) = eH ∈ L (L ≤ H), esto equivale a eG ∈ f−1 (L) .
18 CAPÍTULO 1. GRUPOS
Si a, b ∈ f−1 (L) , entonces f (a) ∈, f (b) ∈ L, por lo que f (ab) =
f (a) f (b) ∈ L. Es decir que ab ∈ f−1 (L) .
Si a ∈ f−1 (L) entonces f (a) ∈ L, así que f (a−1) = f (a)−1 ∈ L. Por lo
tanto a−1 ∈ L.
Existen dos casos importantes que podemos notar.
1. Si f : G −→ H es un morfismo de grupos, entonces Im (f) = f (G) ≤ H
(G ≤ G).
2. Como {eH} ≤ H, entonces f−1 ({eH}) ≤ G. f−1 ({eH}) se llama el
núcleo (kernel) de G,
ker (f) = {x ∈ G | f (x) = eH} .
Observación 5 Si a ∈ G, G un grupo entonces G
a()a−1−→ G
x 7→ axa−1
es un
morfismo con inverso G
a−1()a−→ G
x 7→ a−1xa
, que también es un morfismo.
a ( ) a−1 se llama “conjugación por a”o “automorfismo interior”.
Demostración. Veamos que a ( ) a−1 es un morfismo.
a () a−1 (xy) = a (xy) a−1 = a (xey) a−1 =
= a
(
xa−1ay
)
a−1 =
(
axa−1
) (
aya−1
)
=
=
[(
a () a−1
)
(x)
] [(
a () a−1
)
(y)
]
.
Definición 13 Decimos que H ≤ G es un subgrupo normal si H es invari-
ante bajo cualquier conjugación, es decir si aHa−1 ⊆ H ∀a ∈ G.
Notemos que si aHa−1 ⊆ H ∀a ∈ G, también tendremos que a−1Ha =
a−1H (a−1)
−1 ⊆ H. Multiplicando por a y por a−1 a la izquierda y a la
derecha, respectivamente tenemos que aa−1H (a−1)−1 a−1 ⊆ aHa−1.
Lema 17 El núcleo de un morfismo es un subgrupo normal.
1.4. COCIENTES 19
Demostración. Sea G
f−→ H un morfismo de grupos. Ya sabemos
que Ker (f) ≤ G. Falta observar la normalidad. Queremos demostrar que
∀a ∈ G, a (Ker (f)) a−1 ⊆ Ker (f) . Tomemos x ∈ Ker (f) , f (axa−1) =
f (a) f (x) f (a−1) = f (a) eHf (a
−1) = f (a) f (a)−1 = eH . Luego axa−1 ∈
Ker (f) .
Ejemplo 5 Si consideramos el morfismo Z
a()−→ G
z 7→ az
tenemos dos casos:
1. Ker a() = {0} ⇔ a es de orden infinito.
2. Ker a() = nZ, n > 0, en cuyo caso n = o (a) .
1.4. Cocientes
Nos haremos la siguiente pregunta: ¿Cuándo la función natural G
π−→ G�∼
a 7→ [a]∼
es un morfismo de grupos si ∼ es una relación de equivalencia?
Para empezar, necesitamos que [ab]∼ = π (ab) = π (a)π (b) = [a]∼ ·[b]∼ , lo
que significa que el producto en G�∼ debe estar dado por [a]∼ · [b]∼ = [ab]∼ .
Necesitamos que este producto esté bien definido, es decir, necesitamos
que
si a ∼ α y b ∼ β entonces ab ∼ αβ.
Llamaremos congruencia de G a una relación de equivalencia con la
propiedad anterior.
Observación 6 Si ∼ es una relación de equivalencia en G, entonces
G
π−→ G�∼
a 7→ [a]∼
es un morfismo de grupos.
Demostración. Notemos que G�∼ es un grupo con la operación · dada
por [a]∼ · [b]∼ = [ab]∼ . Esta operación es asociativa: [a]∼ · ([b]∼ · [c]∼) =
[a]∼ · [bc]∼ = [a (bc)]∼ = [(ab) c]∼ = [ab]∼ · [c]∼ = ([a]∼ · [b]∼) · [c]∼ .
El neutro de · es [eG]∼, y el inverso de [a]∼ es [a−1]∼ . Como se puede
comprobar con un cálculo.
20 CAPÍTULO 1. GRUPOS
Se sigue inmediatamente que π es un morfismo.
Podemos notar ahora que ker (π) ≤ G, y también que ker (π) = [eG]∼ .
Además ker (π) es un subgrupo normal de G.
Teorema 8 Las siguientes afirmaciones son equivalentes para una relación
de equivalencia ∼ en un grupo G:
1. G π−→ G/ ∼ es un morfismo de grupos, donde π (a) = [a]∼.
2. ∼ es una congruencia en G.
3. ∼=H≡, donde H es un subgrupo normal de G y H = [e]∼ .
Demostración. 1) =⇒ 2) Ya hemos observado que si π es un morfismo,
entonces ∼ es una congruencia en G.
2) =⇒ 1) Si ∼ es una congruencia en G, entonces a ∼ α, b ∼ β =⇒ ab ∼
αβ. Luego el producto [a]∼ [b]∼ = [ab]∼ está bien definido y hace que G/ ∼
sea un grupo y que π sea un morfismo de grupos.
1) =⇒ 3) ker (π) es un subgrupo normal de G y
ker (π) = {a ∈ G | π (a) = [e]∼} =
= {a ∈ G | [a]∼ = [e]∼} = [e]∼ ,
ya que [e]∼ es el neutro del grupo G/ ∼ . Llamemos H = ker (π) .
Ahora tenemos que demostrar que ∼=H≡ .
a ∼ b ⇔ [a]∼ = [b]∼ . Entonces [e]∼ = [a]∼ ([a]∼)
−1 = [a]∼ ([b]∼)
−1 =
[a]∼ [b
−1]∼ = [ab
−1]∼ ⇔ ab−1 ∈ [e]∼ = H ⇔ a
H≡ b.
3) =⇒ 1) Sólo tenemos que demostrar que G π−→ G/ H≡ es un morfismo,
pero esto se sigue de 2)=⇒ 1) y de que H≡ es una congruencia en G : si a H≡ α
y b
H≡ β entonces aα−1 ∈ H y bβ−1 ∈ H, entonces aα−1 = h1, bβ−1 = h2 ∈ H,
entonces ab (αβ)−1 = abβ−1α−1 = a (h2) a−1 ∈ H, si recordamos que H es un
subgrupo normal de G.
Observación 7
H≡ es una congruencia ⇔ H E G.
1.4. COCIENTES 21
Demostración.⇐=) SiH E G entoncesHaHb = HaHa−1ab = H (aHa−1) ab =
HHab = Hab, ya que HH ⊆ H (H es cerrado) y H = eH ⊆ HH. Note
que a
H≡ α, b H≡ β, entonces HαHβ = Hαβ y ab (αβ)−1 = abβ−1α−1 =
a
(
bβ−1
)
α−1 ∈ aHa−1 ⊆ H, por lo que Hab = Hαβ.
=⇒) Si H≡ es una congruencia, entonces HaHb = [a]H≡ [b]H≡ = [ab]H≡ = Hab.
En particular, aHa−1 ⊆ HaHa−1= Haa−1 = He = H,∀a ∈ G.
Definición 14 Sea ≡
H
en G definida por a ≡
H
b⇔ a−1b ∈ H.
Podemos demostrar que ≡
H
es una relación de equivalencia en G y que la
clase de equivalencia de a es aH. (Note que aH = bH ⇔ a−1b ∈ H). aH se
llama clase lateral izquierda.
Lema 18 H E G⇔ Ha = aH, ∀a ∈ G.
Demostración. Ha = aH, ∀a ∈ G ⇔ a−1Ha = a−1aH = H,∀a ∈ G ⇔
H E G.
Observación 8 H E G⇔H≡=≡
H
.
Ejercicio 25 Muestre que el conjunto de clases laterales derechas de H ≤ G
tiene la misma cardinalidad que el conjunto de clases laterales izquierdas. Es
decir, de una biyección G/H≡ −→ G/≡H .
Ejemplo 6
〈(
123
132
)〉
6E S3.
Note que:
◦ Id a b c r r−1
Id Id a b c r r−1
a a Id r r−1 b c
b b r−1 Id r c a
c c r r−1 Id a b
r r c a b r−1 Id
r−1 r−1 b c a Id r
ab = r, ac = r−1, bc = r, ba = r−1, ca = r, cb = r−1, ara = r−1, brb =
r−1, crc = r−1.
22 CAPÍTULO 1. GRUPOS
〈a〉 = {Id, a} tiene las clases laterales derechas:
〈a〉 e = 〈a〉 = {e, a} , 〈a〉 b = {b, r} , 〈a〉 c = {c, ac} = {c, r−1} y tiene las
clases laterales izquierdas {e, a} , b 〈a〉 = {b, r−1} , c 〈a〉 = {c, r} .
Note que {c, r} es una clase lateral izquierda pero no es una clase lateral
derecha.
Definición 15 C (G) = {a ∈ G | ab = ba ∀b ∈ G} .(El centro de G).
C (G) E G.
Ejemplo 7 Sea a ∈ G tal que o (a) = 2. 〈a〉 E G⇔ a ∈ C (G) .
Demostración. =⇒) Si 〈a〉 E G entonces ∀g ∈ G, g 〈a〉 g−1 = 〈a〉 . Así
que g 〈a〉 g−1 = g {e, a} g−1 = {e, gag−1} = {e, a} , luego gag−1 = a,∀g ∈ G,
es decir que ga = ag,∀g ∈ G, es decir que a ∈ C (G) .
⇐=) Si a ∈ C (G) es claro que 〈a〉 E G.
Lema 19 Un subgrupo de índice 2 es normal.
Demostración. Si H es un subgrupo de G de índice 2 entonces H tiene
dos clases laterales derechas: H,Ha (donde a ∈ GrH) y dos clases laterales
izquierdas: H y aH (recordar que hay el mismo número de clases laterales
derechas que de izquierdas, Ha 7→ a−1H da una biyección). Es claro que
Ha = G r H = aH, de donde tenemos que cada clase lateral izquierda es
una clase lateral derecha (y Recíprocamente). Luego H E G.
Definición 16 C (a) = {b ∈ G | ab = ba,∀b ∈ G} .
1. C (a) ≤ G.
2. C (G) = ∩{C (a) | a ∈ G} .
3. a ∈ C (G)⇔ C (a) = G.
Observación 9 Si G es abeliano, entonces todos sus subgrupos son nor-
males.
Definición 17 Se dice que un grupo es hamiltoniano cuando todos sus sub-
grupos son normales.
1.4. COCIENTES 23
Notación 3
gHg−1 = {ghg−1 | h ∈ H}
gH = {gh | h ∈ H}
Hg = {hg | h ∈ H}
gH se llama clase lateral izquierda de H con representante g. Hg es una
clase lateral derecha.
Corolario 3 Hay una correspondencia biyectiva entre las congruencias de
G y el conjunto de los subgrupos normales de G.
Demostración. Denotemos Congr(G) al conjunto de las congruencias
de G
y por [(e), G]C el conjunto de los subgrupos normales de G.
Congr(G)
f−→ [(e), G]C
∼ 7−→ e
[(e), G]C
g−→ Congr(G)
H 7−→ H≡
donde a
H≡ b ⇔ ab−1 ∈ H.
Afirmamos que f, g están bien definidas y son inversas una de la otra
Congr(G)
f−→ [(e), G]C
∼ 7−→ e
Hemos observado que e es un subgrupo normal de G.
Vimos antes que si H C G, entonces H≡ es una congruencia en G, es decir
que
a
H≡ a1 , b
H≡ b1 ⇒ ab
H≡ a1b1
Congr(G)
f
�
g
[(e), G]C
H≡ 7−→ H
24 CAPÍTULO 1. GRUPOS
Nos falta notar que f, g son funciones inversas una de la otra.
∼ f7−→ e 7−→ e≡ ,
p.d. ∼= e≡.
Ahora, a
e≡ b⇔ ab−1 = e.Pero ab−1 = ab−1 = a(b)−1 ∴ a e≡ b⇔ a(b)−1 = e
⇔ a = b ⇔ a ∼ b. Por lo tanto e≡=∼
Ahora, sup H C G , entonces
H
g7−→ H≡ 7−→ e.
Aquí , e denota la clase de e módulo
H≡ .
e = {g ∈ G | g H≡ e} = {g ∈ G | ge−1 ∈ H} = {g ∈ G | g ∈ H} = H.
Entonces f y g son inversas una de la otra.
Podemos hacer varias observaciones al respecto:
1. G
g( )g−1−→ G
a 7−→ gag−1
es un morfismo invertible con inverso g−1( )g.
2.
H≡ se puede definir para cualquier subgrupo de G y no necesariamente
es una congruencia (si H 6 G) pero siempre es una relación de equiv-
alencia en G.
Ejercicio 26 Muestre que (R,+, 0)
f−→ (C \ {(0, 0)} , ·, 1)
r 7→ eir
es un morfis-
mo de grupos. Describa ker f , imf.
Ejercicio 27 Muestre que [0, 1) ⊆ R es un grupo conmutativo con la op-
eración ⊕ definida por r ⊕ s =
{
r + s si r + s ≤ 1
r + s− 1 si r + s > 1 y demuestre que
(R,+, 0) f−→ [0, 1)
r 7→ r − brc
es un morfismo, donde brc = máx {z ∈ Z | z ≤ r} .
Describa el núcleo y la imagen de f.
1.5. MONOS, EPIS E ISOS 25
1.5. Monos, epis e isos
Definición 18 Sea f : G −→ H un morfismo de grupos, se dice que f es
1. monomorfismo si f es un morfismo cancelable por la izquierda (respec-
to a morfismos) es decir que fg = fh =⇒ g = h si K
g
⇒
h
G son
morfismos.
2. epimorfismo si f es un morfismo cancelable por la derecha (respecto a
morfismos de grupos), es decir que gf = hf =⇒ g = h si H
g
⇒
h
L son
morfismos.
3. isomorfismo si f tiene inverso (morfismo).
Teorema 9 Son equivalentes para un morfismo f : G −→ H :
1. f es un monomorfismo.
2. kerf = {eG} .
3. f es un morfismo inyectivo.
Demostración. 1) =⇒ 2) Si existiera e 6= x ∈ ker f, consideremos
Kerf
i
⇒
e
G
f−→ H, donde i es la inclusión y e denota el morfismo trivial.
Entonces f ◦ i = e = f ◦ e pero i 6= ē, ya que i (x) = x 6= e = ē (x) .
2)=⇒3) f (a) = f (b)⇔ f (a) f (b)−1 = eH . Esto equivale a f (a) f (b)−1 =
f (a) f (b−1) = f (ab−1) = eH , es decir ab−1 ∈ ker f = {eG} , de donde ten-
emos que ab−1 = e,es decir que a = b.
3) =⇒1) Si f es un monomorfismo inyectivo, entonces f es cancelable por
la izquierda (respecto a funciones), en particular es en monomorfismo.
También podemos demostrar que 1) =⇒ 2) de la siguiente manera:
Si f no fuera inyectiva, entonces ∃a 6= b tales que f (a) = f (b) . FALTA!!!
Teorema 10 Son equivalentes para un morfismo f : G −→ H :
1. f es un isomorfismo.
2. f es un morfismo biyectivo.
26 CAPÍTULO 1. GRUPOS
Demostración. Si f es un isomorfismo, entonces tiene inverso por lo que
f es biyectivo.
Recíprocamente, si G
f−→ H es un morfismo biyectivo, entonces f tiene
inverso (como función) H
f−1−→ G y hay que demostrar que también es un
morfismo. Sean a, b ∈ H, y sean x, y ∈ G tales que a = f (x) y b = f (y) (f
es suprayectiva) entonces f−1 (ab) = f−1 (f (x) f (y)) = f−1 (f (xy)) = xy =
f−1 (a) f−1 (b) . Ya que a = f (x)⇔ f−1 (a) = x.
Desde el punto de vista del álgebra, dos grupos isomorfos son el mismo
grupo.
Es importante determinar cuando dos grupos son o on isomorfos. La man-
era de demostrar que son isomorfos es exhibiendo un isomorfismo y la manera
de demostrar que no lo son es mostrando una propiedad que tenga uno de
los dos grupos y que no la tenga el otro, y que sea una propiedad que los
isomorfismos respetan.
Observación 10 Si dos grupos son isomorfos, entonces sus conjuntos sub-
yacentes tienen la misma cardinalidad.
Ejemplo 8 (Q,+, 0) y (R,+, 0) son grupos no isomorfos ya que |Q| = |N| <
|R| .
Teorema 11 Son equivalentes para un morfismo f : G −→ H :
1. f es un epimorfismo.
2. f es un morfismo suprayectivo.
Es claro que un morfismo biyectivo tiene que ser un epimorfismo ya que
si es cancelable por la derecha respecto a funciones, también es cancelable
por la derecha respecto a morfismos.
Que un epimorfismo necesariamente es una función suprayectiva, también
es cierto pero conviene dejar la demostración para más tarde.
Lema 20 Dos grupos cíclicos sin isomorfos si y sólo si tienen la misma
cardinalidad.
Demostración. Si G = 〈a〉 = aZ es un grupo cíclico, tenemos dos posibil-
idades: o todas las potencias de a son distintas, en cuyo caso
Z −→ aZ
z 7→ az es
1.5. MONOS, EPIS E ISOS 27
un isomorfismo y |Z| =
∣∣aZ∣∣ = |G| , o bien G = 〈a〉 es finito y |G| = o (a) = n,
en cuyo caso Zn
f−→ G
z 7→ az
es un isomorfismo. Vale la pena comprobar es-
to último, es claro que f es suprayectiva. Veamos que está bien definida,
y que es un morfismo inyectivo. z = w ⇔ z n≡ w ⇔ z − w = ns p.a.
s ∈ Z⇔ az−w = ans = (an)s = es = e. Así que multiplicando por la derecha
por aw tenemos que az = aw, es decir que f (z̄) = f (w̄) y f está bien definido.
f es un morfismo: f (z̄ + w̄) = f (z + w) = az+w = az+aw. Por último, según
vimos, para ver que f es inyectiva, basta ver que ker (f) = {0̄} . En efecto,
e = f (z̄)= az =⇒ n = o (a) | z, así que z n≡ 0 o lo que es lo mismo, z̄ = 0̄.
En resumen, un grupo cíclico infinito es isomorfo a Z, mientras que un
grupo cíclico de orden n es isomorfo a Zn.
Observación 11 Si G
f−→ H es un morfismo, y a ∈ G es de orden finito,
entonces o (f (a)) | o (a) .
Demostración. e = f (e) = f
(
ao(a)
)
= (f (a))o(a) , así que o (f (a)) |
o (a) .
Observación 12 Un isomorfismo preserva el orden de los elementos. Es
decir que si f : G −→ H es un isomorfismo y a ∈ G, entonces o (f (a)) =
o (a) .
Demostración. Si a es de orden finito, por la observación previa tenemos
que o (f (a)) | o (a) . Como f−1 también es un morfismo, tenemos que o (a) =
o (f−1 (f (a))) | o (f (a)) .
Si a es de orden infinito entonces f (a) no puede ser de orden finito
(ya que entonces o (a) = o (f−1 (f (a))) | o (f (a))) entonces f (a) también es
de orden infinito.
Observación 13 Si G es un grupo, denotemos t (G) = {a ∈ G | o (a) <∞} .
Si G es isomorfo a H entonces |t (G)| = |t (H)| .
Demostración. Si en el diagrama
G
f−→ H
↑ ↑
t (G)
f|t(G)−→ t (H)
, f es un isomor-
fismo, entonces f|t(G) es una biyección.
28 CAPÍTULO 1. GRUPOS
Ejercicio 28 Demuestre que si G u H entonces G y H tienen el mismo
número de elementos de orden n, ∀n ∈ N.
Ejercicio 29 Demuestre que en un conjunto de grupos, la relación de ”ser
isomorfo a”es una relación de equivalencia.
Ejercicio 30 Si G es un grupo y bab−1 = ai, para a.b ∈ G, i ∈ Z, entonces
bjab−j = ai
j
, ∀j ∈ Z.
Veremos ahora que los epimorfismos mandan conjuntos generadores a
conjuntos generadores.
Teorema 12 Si G
f→ H es un epimorfismo y X ⊆ G genera, entonces f (G)
genera H.
1.6. Subgrupos normales
Como hemos observadoH E G⇔ H≡ es una congruencia enG⇔ (G�∼, ·, e
) es un grupo y
G
π−→ G�H
a 7−→ a
es un morfismo de grupos.⇔ ∀ a ∈ G, aHa−1 ⊆ H ⇔ ∀ a ∈ G, aHa−1 =
H y H ≤ G.
Como
G
g( )g−1−→ G
b 7−→ aba−1
es un morfismo con inverso (es decir un isomorfismo) entonces H ≤ G ⇒
aHa−1 ≤ G.
Notación 4 Al conjunto de subgrupos normales de G lo denotaremos [(e), G]C
Notemos que (e) C G y G C G.
Lema 21 Si G
f−→ H es un morfismo de grupos entonces
1. U C H ⇒ f−1(U) C G
1.6. SUBGRUPOS NORMALES 29
2. En particular ker f = f−1({e}) C G.
Demostración. U C H ⇒ f(eG) = eH ∈ U ⇒ eG ∈ f−1(U) (eG, eH
denotan los neutros de G y de H respectivamente).
Sean a, b ∈ f−1(U) ⇒ f(ab−1) = f(a)f(b−1) = f(a)f(b)−1 ∈ U ∴ ab−1 ∈
f−1(U) y así f−1(U) ≤ G.
Finalmente, si b ∈ f−1(U), entonces
f(aba−1) = f(a)f(b)f(a−1) = f(a)f(b)f(a)−1 ∈ U
(pues U es normal). ∴ aba−1 ∈ f−1(U) ∀ b ∈ f−1(U) ∴ f−1(U) C G.
Podemos observar que una intersección arbitraria de subgrupos normales
de G es un subgrupo normal de G.
Lema 22 Sea f : X −→ Y una función entonces f induce una función
℘(Y )
f−1( )−→ ℘(X)
U 7−→ f−1(U)
.
que respeta uniones , intersecciones y el orden.
Demostración. Sean U ⊆ V ⊆ Y y f(a) ∈ U ⇒ f(a) ∈ V ∴ a ∈ f−1(U)
⇒ a ∈ f−1(V ) ∴ f−1(U) ⊆ f−1(V ).
Sea {Ui}i∈I una familia de subconjuntos de Y.Si f(a) ∈ ∩{Ui}i∈I ,entonces
f(a) ∈ Ui ∀ i ∈ I ∴ a ∈ f−1(Ui) ∀ i ∈ I ∴ a ∈ ∩{f−1(Ui)} ∴ f−1(∩{Ui}i∈I) ⊆
∩{f−1(Ui)}i∈I .Recíprocamente a ∈ ∩{f−1(Ui)}i∈I ⇒ a ∈ f−1(Ui), ∀ i ∈ I ⇒
f(a) ∈ Ui ∀ i ∈ I ⇒ f(a) ∈ ∩{Ui}i∈I ⇒ a ∈ f−1(∩{Ui}i∈I).
f−1 respeta uniones. Sea a ∈ f−1(∪{Ui}i∈I)⇔ f(a) ∈ ∪{Ui}i∈I ⇔ f(a) ∈
Ui para alguna i ∈ I ⇔ a ∈ f−1(Ui) para alguna i ∈ I ⇔ a ∈ ∪{f−1(Ui)}i∈I.
Lema 23 Si X
f−→ Y es biyectiva entonces:
1. A ⊆ B ⊆ X ⇒ f(A) ⊆ f(b) ⊆ Y.
2. Si {Ai}i∈I es una familia de subconjuntos de X, entonces
f(∩{Ai}i∈I) = ∩{f(Ai)}i∈I
f(∪{Ai}i∈I) = ∪{f(Ai)}i∈I
30 CAPÍTULO 1. GRUPOS
Demostración. Si f es biyectiva, f = (f−1)−1.
Observación 14 Si G es un grupo
1. G
_a−→ G es una biyección..
b 7−→ ba
2. G
a_−→ G es una biyección..
b 7−→ ab
3. G
a·_·a−1−→ G es un isomorfismo.
Demostración. Recuerde que (−a)−1 = (−a−1), que (a·_)−1 = (a−1 ·_)
y que (a( )a−1)−1 = a−1( )a. Además a ·_ · a−1 = (_ · a−1) ◦ a ·_ (composi-
ción de biyecciones) y a·_·a−1 es un morfismo: (a ·_ · a−1) () = a·xy·a−1 = a·
x (a−1a) y·a−1 = (a · x · a−1) (a · y · a−1) = [(a · () · a−1) (x)] [(a · () · a−1) (y)] .
Observación 15 Si H ≤ G es el único subgrupo de G con orden o (H) ,
entonces H E G.
Demostración. gHg−1 ≤ G y o (gHg−1) = o (H) . Por lo tanto gHg−1 =
H, ∀g ∈ G.
Corolario 4 Si G es un grupo y a ∈ G entonces
a(∩i∈I{Ai}) = ∩i∈I(aAi)
a(∪i∈I{Ai}) = ∪i∈I(aAi)
donde {Ai}i∈I es una familia de subconjuntos de G y aAi = {ax | x ∈ Ai}.
Corolario 5 Si {Hi}i∈I es una familia de subgrupos de G entonces:
1. a(∩i∈I{Hi})a−1 = ∩i∈I{aHia−1}.
2. a(∪i∈I{Hi})a−1 = ∪i∈I{aHia−1}.
Corolario 6 Si {Hi} es una familia de subgrupos normales de G, entonces
∩{Hi} es un subgrupo normal de G.
1.6. SUBGRUPOS NORMALES 31
Demostración. a(∩i∈I{Hi})a−1 = ∩i∈I{aHia−1} = ∩i∈I{Hi}.
Observación 16 En vista del corolario anterior, cada subconjunto X de un
grupo G, genera un subgrupo normal, al que denotaremos 〈X〉4 .
Es claro que 〈X〉4 es la intersección de los subgrupos normales de G que
contienen a X, enseguida daremos una descripción elemental.
Teorema 13 〈X〉4 = 〈{axa−1 | a ∈ G, x ∈ X}〉 .
Demostración.
〈{axa−1 | a ∈ G, x ∈ X}〉 = ∩{H ≤ G | axa−1 ∈ H,∀x ∈ X, ∀a ∈ G} . Nece-
sitamos ver que este es el menor subgrupo normal de G que contiene a X.
Es un subgrupo porque es una intersección de subgrupos.
Es normal: para esto veamos que es invariante bajo una conjugación:
b
(
∩
{
H ≤ G | axa−1 ∈ H,∀x ∈ X, ∀a ∈ G
})
b−1 =
= ∩
{
bHb−1 ≤ G | axa−1 ∈ H,∀x ∈ X, ∀a ∈ G
}
ahora basta ver que{
bHb−1 ≤ G | axa−1 ∈ H,∀x ∈ X, ∀a ∈ G
}
=
=
{
H ≤ G | axa−1 ∈ H,∀x ∈ X, ∀a ∈ G
}
.
Para ver esto consideremos el isomorfismo G
b()b−1−→ G y recordemos
que induce una función ℘ (G) −→ ℘ (G) , que manda el subconjunto X al
subconjunto bXb−1. Como un morfismo manda subgrupos en subgrupos, en-
tonces tenemos
[〈e〉 , G] −→ [〈e〉 , G]
H 7→ bHb−1
es una biyección del conjunto de los subgrupos de G al conjunto de los sub-
grupos de G (que respeta el orden, las intersecciones y las uniones).
Ahora queremos notar que{
axa−1 | a ∈ G, x ∈ X
}
⊆ H ⇔
{
axa−1 | a ∈ G, x ∈ X
}
⊆ bHb−1
=⇒) axa−1 ∈ bHb−1 ⇔ b−1axa−1b ∈ H. Pero
b−1axa−1b =
(
b−1a
)
x
(
b−1a
)−1 ∈ H,
32 CAPÍTULO 1. GRUPOS
por hipótesis.
⇐=) axa−1 ∈ H ⇔ baxa−1b−1 ∈ bHb−1. Como baxa−1b−1 = (ba)x (ba)−1
tenemos que baxa−1b−1 ∈ bHb−1.
Con esto tenemos que{
H ≤ G | axa−1 ∈ H,∀x ∈ X, ∀a ∈ G
}
coincide con {
bHb−1 ≤ G | axa−1 ∈ H,∀x ∈ X, ∀a ∈ G
}
,
por lo que sus intersecciones también coinciden.
Como ya dijimos , de aquí se sigue que
∩
{
H ≤ G | axa−1 ∈ H,∀x ∈ X, ∀a ∈ G
}
E G.
También es claro que
X ⊆ ∩
{
H ≤ G | axa−1 ∈ H,∀x ∈ X, ∀a ∈ G
}
,
ya que por hipótesis x = exe−1 ∈ H,∀x ∈ X.
Por último, si X ⊆ K E G, entonces ∀a ∈ G, aXa−1 ⊆ aKa−1 = K,
es decir que
axa−1 ∈ K, ∀a ∈ G∀x ∈ X,
es decir que K pertenece a{
H ≤ G | axa−1 ∈ H,∀x ∈ X, ∀a ∈ G
}
y así
∩
{
H ≤ G | axa−1 ∈ H,∀x ∈ X, ∀a ∈ G
}
≤ K.
Ejemplo 9 Si K E H E G no necesariamente K E G.
Demostración. En el grupo de simetrías del cuadrado, 〈H〉 E 〈H,V 〉 E
S�, pero 〈H〉 6E S�.
Teorema 14 Si K ≤ 〈a〉 E G entonces K E G.
1.6. SUBGRUPOS NORMALES 33
Demostración. Como un subgrupo de un grupo cíclico es cíclico, en-
tonces K = 〈ai〉 para alguna i ∈ N. Como 〈a〉 E G, si b ∈ G, entonces
bab−1 ∈ 〈a〉 , por lo que ∃j ∈ N tal que bab−1 = aj. Como b () b−1 es un
morfismo, entonces b (ai) b−1 = (bab−1)i = (aj)i = aij. Entonces bKb−1 =
b 〈ai〉 b−1 ∈ K, ya que baizb−1 = (bab−1)iz = (aj)iz = aijz = (ai)jz ∈ 〈ai〉 = K.
Ejemplo 10 Un grupo no abeliano hamiltoniano.
Consideremos GL2 (C) el grupo multiplicativo de las matrices de 2 × 2
con coeficientes complejos y de determinante 6= 0. Sea I =
(
i 0
0 −i
)
, J =(
0 −1
1 0
)
, y K =
(
0 −i
−i 0
)
, entonces IJ =
(
i 0
0 −i
)(
0 −1
1 0
)
=(
0 −i
−i 0
)
= K, JI =
(
0 −1
1 0
)(
i 0
0 −i
)
=
(
0 i
i 0
)
= −K, IK =(
i 0
0 −i
)(
0 −i
−i 0
)
=
(
0 1
−1 0
)
= −J ,KI =
(
0 −i
−i 0
)(
i 0
0 −i
)
=(
0 −1
1 0
)
= J. JK =
(
0 −1
1 0
)(
0 −i
−i 0
)
=
(
i 0
0 −i
)
= I, KJ =(
0 −i
−i 0
)(
0 −1
1 0
)
=
(
−i 0
0 i
)
= −I.
Entonces el conjunto de las 8 matrices H
{±
(
1 0
0 1
)
,±I,±J,±K
}
es
cerrado bajo el producto y por lo tanto es un subgrupo de GL2 (C) . o(±I) =
4, o (±J) = 4 y o (±K) = 4, o
(
−1 0
0 −1
)
= 2 y o
(
1 0
0 1
)
= 1. Todos
los subgrupos son normales: los de orden 4 lo son porque son de índice 2, el
subgrupo de orden 2 es normal porque es el centro del grupo (o porque es el
único subgrupo de orden 2).
Podemos hacer un diagrama para recordar las relaciones
IJ = K, JK = I,KI = J, y al cambiar el orden de los factores introducimos
un signo". También hay que recordar que I2 = −1 = J2 = K2.
Hay 6 elementos de orden 4 : I,−I, J,−J,K,−K, un elemento de orden
2 : -1, y un elemento de orden 1.
34 CAPÍTULO 1. GRUPOS
Todos los subgrupos de H son normales, pues los subgrupos de orden
4 son de índice 2, los subgrupos de órdenes 1, 2 y 8 son subgrupos únicos
respecto a su cardinalidad.
Definición 19 Se dice que un grupo es hamiltoniano cuando todos sus sub-
grupos son normales. Un grupo abeliano siempre es hamiltoniano.
Ejercicio 31 Describa el centralizador C (J) en el grupo H descrito arriba.
1.6.1. Caracterización de los grupos cíclicos
Hemos visto que un grupo cíclico finito G tiene exactamente un subgrupo
de orden m para cada m que divida el orden de G. Ahora demostraremos el
recíproco.
Lema 24 Si en un grupo G, ab = ba entonces ∃c ∈ G tal que o (c) =
[o (a) ; o (b)] .
Demostración. Por inducción sobre m el número de factores primos en
la factorización en primos de (o (a) ; o (b)) .
Si m = 0, entonces (o (a) ; o (b)) .no tiene factores primos, por lo que
(o (a) ; o (b)) = 1. En este caso [o (a) ; o (b)] = o (a) o (b) .
Ahora (ab)o(a)o(b) = ao(a)o(b)bo(a)o(b) = ee = e, entonces o (ab) | o (a) o (b) .
Por otra parte, (ab)o(ab) = e. Entonces ao(ab) = b−o(ab) ∈ 〈a〉 ∩ 〈b〉 . Si
x ∈ 〈a〉∩〈b〉 , entonces o (x) |o(a)o(b) , por lo que o (x) | (o (a) ; o (b)) = 1, de donde
x = x1 = e. Entonces 〈a〉 ∩ 〈b〉 = 〈e〉 . Así tenemos que ao(ab) = e por lo que
o (a) | o (ab) también tenemos que o (b) | o (ab) , entonces o (a) o (b) | o (ab) y
así o (ab) = o (a) o (b) = [o (a) ; o (b)] .
Supongamos ahora que haym primos en la factorización de (o (a) ; o (b))
y digamos que pα | (o (a) ; o (b)), y que pα+1 - (o (a) ; o (b)) , entonces, como es
bien sabido, α = mı́n {β, γ} donde pβ es la mayor potencia de p que divide a
o (a) y pγ es la mayor potencia de p que divide a o (b) .Supongamos sin perder
generalidad que α = β, es decir que β ≤ γ.
Tomemos a′ = ap
α
y b. Entonces a′ y b conmutan, o (a′) =
o (a)
pα
,
por lo que p no divide a o (a′) . Entonces (o (a′) ; o (b)) =
(
o (a)
pα
; o (b)
)
=
1.6. SUBGRUPOS NORMALES 35
(o (a) ; o (b))
pα
.3. Entonces (o (a′) ; o (b)) tiene menos factores primos que (o (a) : o (b)),
así que por hipótesis de inducción ∃c ∈ G tal que o (c) = [o (a′) ; o (b)] =
o (a′) o (b)
(o (a′) ; o (b))
=
o (a)
pα
(o (a) ; o (b))
pα
=
o (a) o (b)
(o (a) ; o (b))
=
[o (a) ; o (b)] .
Teorema 15 Si un grupo finito G tiene exactamente un subgrupo de orden
m para cada m | o (G) entonces G es cíclico.
Demostración. Por inducción sobre el orden de G.
La base es trivial porque un subgrupo con un elemento es cíclico.
Supongamos que o (G) = n y que la afirmación vale para grupos con
menos de n elementos que satisfagan las hipótesis.
Note que todos los subgrupos de G son normales, ya que si H ≤ G
y a ∈ G entonces H y aHa−1 son dos subgrupos de G con el mismo orden,
y tienen que coincidir por hipótesis.
Sea a ∈ G un elemento de orden máximo.
Supongamos que ∃b ∈ G \ 〈a〉 , note que o (b) - o (a) ya que en caso
contrario, el grupo cíclico 〈a〉 contendría otro subgrupo de orden o (b) , contra
las hipótesis. Como o (b) - o (a) , entonces ∃pα tal que divide a o (b) pero que
no divide a o (a) . Tomemos b′ = b
o(b)
pα , entonces o (b′) = pα, sea pβ la mayor
potencia de p que divide a o (a) , (note que β < α porque pα - o (a)), tomemos
a′ = ap
β
entonces o (a′) =
o (a)
pβ
, por lo que p - o (a′) . Ahora 〈b′〉 ∩ 〈a′〉 = 〈e〉
dado que el orden de b′ es primo con o (a′) . Como 〈a′〉 y 〈b′〉 son subgrupos
normales de G, entonces a′ conmuta con b′ así que debe existir un elemento
3Es claro que
(o (a) ; o (b))
pα
|
(
o (a)
pα
; o (b)
)
, ya que
(o (a) ; o (b))
pα
|
o(a)
pα
o(b) y tam-
bién
(
o (a)
pα
; o (b)
)
| (o (a) ; o (b))
pα
ya que pα
(
o (a)
pα
; o (b)
)
| (o (a) ; o (b)) ya que
pα
(
o (a)
pα
; o (b)
)
| o (a) (pues
(
o (a)
pα
; o (b)
)
| o (a)
pα
) y pα
(
o (a)
pα
; o (b)
)
| o (b) (ya que
pα o(a)
pα ;o(b)

| o (b) y pα es primo con
(
o(a)
pα ; o (b)
)
36 CAPÍTULO 1. GRUPOS
c ∈ G tal que o (c) = [o (a′) ; o (b′)] = o (a′) o (b′) = o (a)
pβ
pα = o (a) pα−β >
o (a) , contradiciendo la elección de a.
Por lo tanto G = 〈a〉 .
Teorema 16 Un subconjunto finito multiplicativamente cerrado de elemen-
tos distintos de cero de un campo es un grupo cíclico.
Demostración. Sea G con las hipótesis, por el Lema ???, G es un grupo.
Notemos que cada elemento x de G satisface xo(G) = 1. En un campo hay a
lo más n raíces para un polinomio de grado n. Así que las raíces de xo(G) = 1
(xo(G) − 1 = 0) son los elementos de G.
Tomemos un elemento a ∈ G de orden máximo, G = 〈a〉 . Si ∃b ∈ G\
〈a〉 entonces o (b) - o (a) , ya que en caso contrary 〈a〉 contendría un subgrupo
K de orden o (b) tal que b /∈ K, pero entonces K ∪ {b} tendría ϕo (K) + 1
soluciones de xo(K) = 1, lo que es imposible. Si o (b) - o (a) , entonces ∃c ∈ G
tal que o (c) = [o (a) ; o (b)] =
o (a) o (b)
(o (a) ; o (b))
= o (a)
o (b)
(o (a) ; o (b))
> o (a) ,
contradiciendo la elección de a.
Por lo tanto G = 〈a〉 .
Corolario 7 Un subconjunto finito no vacío multiplicativamente cerrado de
elementos distintos de cero en un campo forman un grupo cíclico.
Demostración. Supongamos que ∅ 6= H ⊆ F \ {0} es finito, cerrado
bajo el producto de F un campo. ya sabemos que H tiene que ser un grupo
(lema 11).
Notemos que sólo puede haber un subgrupo multiplicativo de orden
m, para cada m.
Si K 6= L fueran dos subgrupos multiplicativos de orden m, entonces
cada x ∈ K∪L satisfaría xm = 1, por el Teorema de Lagrange, pero entonces
el polinomio xm − 1 = 0 tendría más de m raíces, contradiciendo el hecho
conocido de que todo polinomio con coeficientes en un campo tiene a lo más
tantas raíces como su grado.
Sea a ∈ H un elemento de orden máximo, 〈a〉 contiene un subgrupo
por cada divisor de su orden, dado que es cíclico. Si b ∈ H \ 〈a〉 , entonces
o (b) - o (a) , ya que en caso contrario 〈a〉 tendría que tener un subgrupo
de orden o (b) ,pero este tendría que ser 〈b〉 (ya que sólo hay un subgrupo
de orden o (b)), esto contradice que b /∈ 〈a〉 . Así si ∃b ∈ H \ 〈a〉 , entonces
1.7. SUBGRUPOS Y NORMALIDAD 37
habría c ∈ H tal que o (c) = [o (a) ; o (b)] = o (a) o (b)
(o (a) ; o (b))
> o (a) , dado
que
o (b)
(o (a) ; o (b))
> 1,pues o (b) > (o (a) ; o (b)) . o (c) > o (a) contradice la
elección de a.
Corolario 8 Si F es un campo finito entonces (F \ {0} , ·, 1) es un grupo
cíclico.
Ejemplo 11 Z·19 es un grupo cíclico: ϕ (19) = 18. 2, 22
19≡ 4, 8, 16 19≡ −3, 25 19≡
−6, 26 19≡ −12 19≡ 7, 27 19≡ 14 19≡ −5, 28 19≡ −10, 29 − 20 19≡ −1,
así que 218
19≡ 1. Entonces Z·19 = 〈2̄〉 .
Ejercicio 32 Encuentre un generador de Z·23.
Ejercicio 33 Demuestre que Si H ≤ G entonces H = 〈H \ {e}〉 .
1.7. Subgrupos y normalidad
Hemos visto que todo subconjunto X ⊆ G genera un subgrupo normal
〈X〉4. También podemos ver que dado H ≤ G hay un mayor subgrupo de
G en donde H es normal, N (H) . H contiene un mayor subgrupo normal de
G, H. ¿Habrá un mayor subgrupo de H que sea normal en H?
El subgrupo normal generado por X es 〈X〉E = ∩{H | X ⊆ H E G} =
〈gxg−1 | g ∈ G, x ∈ X〉 .
Observación 17 Si H ≤ G entonces el mayor subgrupo de G en donde H
es normal es N (H) = {x ∈ G | xHx−1 = H} .
Demostración. e ∈ N (H) pues
eHe−1 = H.a, b ∈ N (H)⇒ abH (ab)−1 = abHb−1a−1 = aHa−1 = H.
a ∈ N (H) ⇒ aHa−1 = H ⇒ H = a−1aHa−1a = a−1Ha ⇒ a−1 ∈
N (H) .
LuegoN (H) ≤ G. Por definición,H E N (H) . Y siH E K ≤ G entonces
kHk−1 = H. Es decir que K ≤ N (H) .
Notemos que H E G⇔ N (H) = G.
38 CAPÍTULO 1. GRUPOSLema 25 Si {Ni}i∈I es una familia de subgrupos normales de G, entonces
∨{Ni}i∈I =
〈
∪{Ni}i∈I
〉
E G.
Demostración.
∨{Ni}i∈I = ∩
{
H | ∪ {Ni}i∈I ⊆ H
}
= ∩{H | Ni∈I ⊆ H,∀i ∈ I} .
Sea a ∈ G, tenemos que
a (∩{H | Ni∈I ⊆ H,∀i ∈ I}) a−1 = ∩
{
aHa−1 | Ni∈I ⊆ H,∀i ∈ I
}
.
Ya hemos notado que [〈e〉 , G] a()a
−1
→ [〈e〉 , G] es una biyección. Hagamos K =
aHa−1, entonces
Ni∈I ⊆ H ⇔ Ni = aNia−1 ⊆ aHa−1 = K ⇔ Ni ⊆ K.
De lo anterior, tenemos que{
aHa−1 | Ni∈I ⊆ H,∀i ∈ I
}
= {K | Ni∈I ⊆ K, ∀i ∈ I} ,
por lo tanto
a (∩{H | Ni∈I ⊆ H,∀i ∈ I}) a−1 =
= ∩
{
aHa−1 | Ni∈I ⊆ H,∀i ∈ I
}
=
= ∩{K | Ni∈I ⊆ K, ∀i ∈ I} .
Es decir que
∩{H | Ni∈I ⊆ H,∀i ∈ I} E G.
Teorema 17
(
[〈e〉 , G]4 ,∩,∨, 〈e〉 , G
)
es una subretícula completa de
([〈e〉 , G] ,∩,∨, 〈e〉 , G) .
Demostración. Lo que afirma el teorema esencialmente significa que la
interseccion de una familia arbitraria de subgrupos normales es un subgrupo
normal y que la ni{on de grupos (la yunta) de una familia de subgrupos
normales es un subgrupo normal.
Corolario 9 Si H ≤ G, H contiene un mayor subgrupo normal de G.
1.7. SUBGRUPOS Y NORMALIDAD 39
Demostración. Tomemos ∨{K | H ⊇ K E G} .
Observación 18 Si H ≤ G entonces ∩{aHa−1 | a ∈ G} es el mayor sub-
grupo normal de G contenido en H.
Demostración. ∩{aHa−1 | a ∈ G} ⊆ eHe−1 = H.
∩{aHa−1 | a ∈ G} ≤ G, pues es una intersección de subgrupos de G.
Si b ∈ G,entonces b (∩{aHa−1 | a ∈ G}) b−1 = ∩{baHa−1b−1 | a ∈ G} =
= ∩{cHc−1 | a ∈ G} .Ya que b () b−1 : G → G es una biyección (así que
cuando a corre en G, bab−1 corre en G).
Por lo tanto ∩{aHa−1 | a ∈ G} E G.
Por otra parte, si K ≤ H y K E G entonces K = aKa−1 ⊆ aHa−1, ∀a ∈
G, por lo tanto K ≤ ∩{aHa−1 | a ∈ G} .
aHa−1 se llama ”conjugado de H”.
1. El número de subgrupos conjugados de H es iG (N (H)) .
2. El número de elementos conjugados de a ∈ G es iG (C (a)) .
Demostración. 1) {aHa
−1 | a ∈ G} f→ G/N (H)
aHa−1 7→ N (H) a−1
es una biyección:
aHa−1 = bHb−1 ⇔ b−1aHa−1b = H ⇔ b−1a ∈ N (H)⇔
a−1b ∈ N (H)⇔ N (H) = N (H) a−1b⇔ N (H) b−1 = N (H) a−1.
Lo anterior demuestra que f es inyectiva y está bien definida. Es claro
que N (H) g = f (g−1N (H) g) , por lo tanto f es biyectiva.
2) {aga
−1 | a ∈ G} h→ G/C (g)
aga−1 7→ C (g) a−1
. h es una biyección:
aga−1 = bgb−1 ⇔ b−1aga−1 = gb−1 ⇔ b−1ag = gb−1a⇔ b−1a ∈ C (g)
⇔ C (g) b−1a = C (g) ⇔ C (g) b−1 = C (g) a−1. Lo que muestra que h es
inyectiva y está bien definida. Además C (g) c = h (c−1gc) .
Ejercicio 34 En el grupo S� de las simetrías del cuadrado, describa C (V ),
N (〈V 〉) , 〈V 〉E . Describa todos los conjugados de 〈V 〉E y verifique que el
número de conjugados de 〈V 〉 es el índice de N (〈V 〉) en S�.
40 CAPÍTULO 1. GRUPOS
1.7.1. La relación de conjugación
Es claro que ∀a ∈ G, la función a () a−1 : G → G es un isomorfismo (su
inversa es a−1 () a.
Veamos ahora que la relación "ser conjugado de.es una relación de equiv-
alencia en G : a ∼c b si existe g ∈ G tal que a = gbg−1.
Reflexividad. a = eae−1.
Simetría. a = gbg−1 ⇒ g−1ag = b.
Transitividad a = gbg−1, b = hch−1 ⇒ a = g (hch−1) g−1 = (gh) c (gh)−1 .
En vista de lo anterior, G queda partido en clases de equivalencia, la clase
de equivalencia de a es [a]∼c = {gag
−1 | g ∈ G} .
Podemos contar el número de elementos en [a]∼c :
gag−1 = hah−1 ⇐⇒ h−1gag−1h = a ⇐⇒ h−1ga = ah−1g ⇐⇒ h−1g ∈
(C (a)) 4 ⇐⇒ h (C (a)) = g (C (a)) . De aquí vemos que hay una corre-
spondencia biyectiva entre el conjunto de los conjugados de a y el con-
junto de clases laterales izquuierdas del centralizador de a. Por lo tanto∣∣[a]∼c∣∣ = o (G)o (C (a)) .
Observación 19 H E G ⇐⇒ H = ∪
{
[a]∼c | a ∈ H
}
.
Demostración. Si H E G, entonces, para cada a ∈ H, tenemos que
[a]∼c ⊆ H, de donde tenemos que ∪
{
[a]∼c | a ∈ H
}
⊆ H. Por otra parte,
dada a ∈ H,tenemos que a ∈ [a]∼c , por lo que H ⊆ H∪
{
[a]∼c | a ∈ H
}
⊆ H.
Recíprocamente, si H = ∪
{
[a]∼c | a ∈ H
}
, dada a ∈ H, g ∈ G,tenemos
que gag−1 ∈ [a]∼c ⊆ H. Por lo tanto gHg
−1 ⊆ H, así que H E G.
El argumento anterior se usará con fuerza para demostrar que An5 es un
grupo simple para n ≥ 5.
1.8. Los teoremas de isomorfismo
Teorema 18 (de la correspondencia biyectiva) Si G
f→ H es un mor-
fismo suprayectivo, entonces
[ker (f) , G]
f∗→ [〈e〉 , H]
L 7→ f (L)
4Recuerde que C (a) denota el subgrupo de los eleemntos que conmutan con a.
5An denota el grupo de las permutaciones pares en el conjunto {1, 2, .., n} .
1.8. LOS TEOREMAS DE ISOMORFISMO 41
es una biyección entre los subgrupos de G que contienen a ker (π) y los subgru-
pos de H (el inverso es f−1 ()). Además f ∗ respeta inclusiones, intersecciones
arbitrarias y yuntas arbitrarias.
Demostración. Ya sabemos que L ≤ G ⇒ f (L) ≤ H. Si ker f ≤
L1, ker f ≤ L2 y f (L1) = f (L2) entonces ∀x ∈ L1 f (x) ∈ f (L2) por lo que
f (x) = f (y) , con y ∈ L2. Entonces x = yy−1x = y (y−1x) ∈ L2 ker (f) ≤
L2L2 = L2. Por lo tanto L1 ≤ L2, por simetría L2 ≤ L1. Entonces f ∗ es
inyectiva.
Si K ≤ H entonces f−1 (K) ≤ G y ker f ≤ f−1 (K) (dado que
f (ker (f)) = {e} ⊆ K). Ahora, f (f−1 (K)) = K ya que f es suprayectiva: Es
claro que f (f−1 (K)) ⊆ K por otro lado x ∈ K ⇒ x = f (a) , y a ∈ f−1 (K) ,
luego, x ∈ f (f−1 (K)) . Por lo tanto K ⊆ f (f−1 (K)) .
Toda vez que f ∗ es biyectiva y respeta el orden es claro que respeta
intersecciones y yuntas arbitrarias.
Teorema 19 Sea G
f→ H es un morfismo suprayectivo entonces la biyección
[ker (f) , G]
f∗→ [〈e〉 , H]
L 7→ f (L)
se restringe a una biyección
[ker (f) , G]E
f∗→ [〈e〉 , H]E
L 7→ f (L)
,
que preserva orden, intersecciones y yuntas (y también f−1 las preserva).
Demostración. Tenemos que demostrar que si L E G entonces f (L) E
H y que si U E H entonces ker f ≤ f−1 (U) E G.
Supongamos que L E G, sea b ∈ H. Como f es suprayectiva, entonces
b = f (a) para alguna a ∈ G, entonces bf (L) b−1 = f (a) f (L) f (a)−1 =
f (aLa−1) = f (L) , ∀b ∈ H.
Supongamos ahora que U E H, es claro que ker (f) ≤ f−1 (U) ya
que f (ker (f)) = {eH} ⊆ U.
Ahora, si a ∈ G entonces
f
(
af−1 (U) a−1
)
= f (a)
(
f
(
f−1 (U)
))
f
(
a−1
)
= f (a) (U) f (a)−1 = U,
42 CAPÍTULO 1. GRUPOS
luego af−1 (U) a−1 ⊆ f−1 (U) .
Veamos ahora que
[ker (f) , G]E
f∗→ [〈e〉 , H]E
L 7→ f (L)
.
respeta orden, uniones, intersecciones y yuntas. (y f−1 () también)..
Que f ∗ respeta el orden es claro. también es claro que f ∗f−1 (U) = U,
∀U E H, ya que f ∗ y f−1 son inversas una de la otra.
Sea {Li}i∈I una familia en [ker (f) , G]E , entonces f ∗
(
∩{Li}i∈I
)
=
∩{f ∗ (Li)}i∈I y este es un subgrupo normal de H por se la intersección de
los subgrupos normales f ∗ (Li) .
Con el mismo argumento notamos que f ∗
(
∨{Li}i∈I
)
= ∨{f ∗ (Li)}i∈I
es un subgrupo normal de H.
El resto de la demostración concerniente a f−1, es similar.
Ejemplo 12 Sea H el grupo de Hamilton, consideremos el epimorfismo
H π−→ H / 〈−1〉 . Notemos que H / 〈−1〉 tiene 4 elementos, por lo que tiene
que ser uno de los dos grupos de orden 4. Un vistazo a la retícula de subgrupos
de Hnos da la siguiente información:
,
el Teorema de la correspondencia nos dice que la retícula de subgrupos de
H / 〈−1〉 es lo que nos dice que H / 〈−1〉 no es cíclico. (hay más de un
subgrupo de orden 2).
Corolario 10 Si G
f−→ H es un isonorfismo de grupos entonces:
1. [(e) , G]
f∗−→ [(e) , H] es una biyección que respeta el orden las intersec-
ciones y las yuntas.
2. [(e) , G]E
f∗−→ [(e) , H]E es una biyección que respeta el orden las inter-
secciones y las yuntas.
Definición 20 Si P es una propiedad de grupos que se preserva bajo iso-
morfismos, diremos que P es un invariante de grupos.
1.8. LOS TEOREMAS DE ISOMORFISMO 43
El Corolario anterior dice que el número de subgrupos de un grupo es
un invariante y que tmbién lo es el número de subgrupos normales de un
grupo. Así por ejemplo dos grupos que tengan distintos números de subgrupos
normales no pueden ser isomorfos.
Otros invariantes son:INVARIANTES
Ejercicio 35 Use el corolario anterior para mostrar que el grupo de Hamil-
ton no es isomorfo al grupo de simetrías del cuadrado.
Ejercicio 36 Muestre que S3 no es isomorfo con Z6.
Lema 26 Si X ↪→
gen
G y G � H es unmorfismo suprayectivo, entonces
f (X) ↪→
gen
H.
Demostración. X ↪→
gen
G⇔ el único subgrupo de G que contiene a X es
G mismo.
Queremos ver que el único subgrupo de H que contiene a f (X) es H.
Supongamos que f (X) ⊆ L ≤ f (X) , entonces X ⊆ f−1 (f (X)) ⊆
f−1 (L) ≤ G. Por la hipótesis de unicidad, f−1 (L) = G es decir que L =
f (f−1 (L)) = f (G) = H.
Ejercicio 37 Demuestre que si f : G � H es un morfismo suprayectivo,
entonces f ∗ manda subgrupos finitamente generados de G en subgrupos fini-
tamente generados de H.
Ejercicio 38 Demuestre que si G y H son grupos isomorfos entonces hay
una biyección entre el conjunto de los subgrupos finitamente generados de G
y el conjunto de los subgrupos finitamente generados de H.
Ejercicio 39 Demuestre que si a/b y c/d ∈ Q\{0} entonces Za/b+Zc/d =
Z
(
(ad; bc)
bd
)
.
Ejercicio 40 Demuestre que todo subgrupo de Q finitamente generado es
cíclico.
Ejercicio 41 Encuentre un subgrupo de Q que no sea finitamente generado.
(Considere
〈{
1
2n
| n ∈ N
}〉
. ¿Podría ser cíclico?).
44 CAPÍTULO 1. GRUPOS
Ejercicio 42 Demuestre que el grupo aditivo de los enteros no es isomorfo
al grupo adtivo de los racionales.
Teorema 20 (primer teorema de isomorfismo) Sea f : G −→ H un
morfismo suprayectivo entonces G/ ker f es isomorfo a H.
Demostración. Consideremos el diagrama
G
π−→ G/ ker (f)
↓f
H
, defin-
imos
f̄ : G/ ker (f) −→ H
g ker (f) 7→ f (g) , veremos que la función definida es in iso-
morfismo.
f̄ está bien definida: g ker (f) = a ker (f) =⇒ a−1g ∈ ker (f) =⇒
f (a−1g) = eh =⇒ f (a)−1 f (g) = eH =⇒ f (a) = f (g) .
Entonces es fácil ver que es un morfismo inyectivo: f̄ ([a ker (f)] [b ker (f)]) =
f̄ (ab ker (f)) = f (ab) = f (a) f (b) = f̄ (a ker (f)) f̄ (b ker (f)) y a ker (f) ∈
ker f̄ ⇔ f (a) = eH ⇔ . Luego ker f̄ = (e ker (f)) que es el neutro de
G/ ker (f) .
Por último es claro que f̄ es suprayectiva: pues si h ∈ H, entonces
h = f (a) para alguna a ∈ G así que h = f̄ (a ker (f)) .
Ejercicio 43 Demuestre que R/Z es isomorfo al grupo multiplicativo U de
los complejos de tamaño 1. Note que basta dar un morfismo suprayectivo de
R a U cuyo núcleo sea Z.
Ejercicio 44 Demuestre que todo grupo cíclico es isomorfo a Z o a Zn, para
alguna n ∈ N \ {0} . ( Z −→ 〈a〉
z 7→ az es un morfismo suprayectivo).
Ejercicio 45 Demuestre que dos grupos cíclicos son isomorfos ⇔ tienen el
mismo número de elementos.
Teorema 21 (segundo teorema de isomorfismos) Si H E G y K ≤ G
entonces H E HK ≤ G, H ∩K E H y HK/H es isomorfo a K/ (H ∩K) .
Demostración. Notemos primero que H E HK : hk (H) (hk)−1 =
hkHk−1h−1 = h (kHk−1)h−1 = hHh−1 = H. Entonces HK/H es un grupo
de la manera natural.
1.8. LOS TEOREMAS DE ISOMORFISMO 45
Definamos K π−→ HK/H por π (k) = kH, π es un morfismo porque
es la composición de los morfismos K ↪→ HK y HK −→ HK/H. π es
suprayectivo pues hkH = (kk−1)hkH = k (k−1hk)H = kH = π (k) (pues
k−1hk ∈ H).
Ahora, ker (π) = {k ∈ K | kH = H} = {k ∈ K | k ∈ H} = K ∩H.
Por el primer Teorema de isomorfismo, tenemos que im (π) = HK/H
es isomorfo aK/ (H ∩K) el isomorfismo es K/ (H ∩K) −→ HK/H
k (H ∩K) 7→ kH (“la
clase de k va a la clase de k).
Ejercicio 46 Demuestre que (n;m)Z/nZ u nZ/ [n;m]Z. Note que nZ ≤
(n;m)Z ya que (n;m) | n.
Teorema 22 (Tercer teorema de isomorfismos) Si H ≤ L ∈ [(e) , G]E
entonces
1. existe un epimorfismo G/H π−→ G/L.
2. ker (π) = L/H.
3. (G/H) / (L/H) es isomorfo a G/L.
Demostración. 1) Definamos G/H π−→ G/L por π (gH) = gL. Notemos
que esto está bien definido, ya que si gH = aH, entonces a−1g ∈ H ≤ L,
por lo que a−1gL = L,es decir que gL = aL. π es morfismo: π (aHbH) =
π (abH) = abL = aLbL. π es suprayectivo: aL = π (aH) .
2) ker (π) = {gH | gL = L} = {gH | g ∈ L} = L/H.
3) Se sigue de 1) y 2), y del Primer teorema de isomorfismo. Note que
el isomorfismo
(G/H) / (L/H) −→ G/L
gH (L/H) 7→ gL (la clase de gH va a la clase de
g).
Ejercicio 47 Sea M el subgrupo de (M2×2 (R))· generado por
(
0 1
−1 0
)
y(
0 1
1 0
)
muestre que M es isomorfo al grupo de las simetrías del cuadrado.
Ejercicio 48 Sea N el subgrupo de (M2×2 (Z3))· generado por
(
0 −1
1 0
)
y(
1 1
1 −1
)
muestre que M es isomorfo al grupo de las simetrías del cuadra-
do.
46 CAPÍTULO 1. GRUPOS
Ejercicio 49 Demuestre que si un grupo G tiene un número finito de sub-
grupos entonces G es finito.
Ejercicio 50 Si G es un grupo abeliano demuestre que t (G) = {g ∈ G | o (g) <∞}
es un subgrupo de G.
Ejercicio 51 Un grupo infinito es cíclico si y sólo si es isomorfo a cualquiera
de sus subgrupos no triviales.
Ejercicio 52 Sea G un grupo con dos elementos a 6= b tales que i) o (a) =
4 = o (b) ii) a2 = b2 iii) bab−1 = a−1 iv) G = 〈{a, b}〉, entonces G u H , el
grupo de Hamilton.
Ejercicio 53 Si G no es abeliano entonces G/C (G) no es cíclico.
Ejercicio 54 Compruebe lo anterior en S3, S� y H .
Ejercicio 55 Demuestre que el grupo de simetrías del cubo es isomorfo al
grupo de simetrías del octaedro.
Ejercicio 56 Demuestre que los grupos de simetrías de los sólidos platónicos
tienen todos un subgrupo de índice 2.
Ejercicio 57 Demuestre que el grupo multiplicativo Q· está generado por{
1
p
| p es un primo
}
.
Ejercicio 58 Demuestre que (R·, ·, 1) no es isomorfo con (C·, ·, 1) .
Ejercicio 59 Demuestre que si a/b y c/d ∈ Q entonces Z (a/b) + Z (c/d) =
Z ([ad; bc] /bd) . Concluya que todos los subgrupos finitamente generados de
Q son cíclicos.
Ejercicio 60 Muestre un subgrupo de Q que no sea finitamente generado.
Ejercicio 61 Demuestre que (Z,+, 0) no es isomorfo a (Q,+, 0) .
Ejercicio 62 Considere M2×2 (Zp)· el grupo multiplicativo de las matrices
de 2 × 2 con coeficientes en Zp de determinante 6= 0. ¿Cuál es el orden
de M2×2 (Zp)·? Muestre que {A ∈M2×2 (Zp)· | det (A) = 1} es un subgrupo
normal de M2×2 (Zp)· , mostrando que M2×2 (Zp)·
det−→ Z·p es un morfismo
suprayectivo. Use esto para determinar o({A ∈M2×2 (Zp)· | det (A) = 1}) .
1.8. LOS TEOREMAS DE ISOMORFISMO 47
Ejercicio 63 Sea C· N−→ R+ definida por N (z) = zz̄, donde z̄ denota el
conjugado de z. Demuestre que N es un epimorfismo y que C·/ {z | |z| = 1} u
R+. Donde R+ denota el grupo multiplicativo de los reales positivos.
Ejemplo 13 Sea G e1 grupo de todas las funciones con valores reales defini-
das en el intervalo unitario [0, 1]. Donde, para f, g ∈ G, se define la adición
f + g por (f + g)(x) = f(x) + g(x) para todo x ∈ [0, 1]. Si N = {f ∈ G |
f (1) = 0}, entonces G/N u (R,+, 0).
Definamos la función .evaluar en 1"
G
ev1→ R
f 7→ f (1) ,
entonces ev1 es un morfismo: ev1 (f + g) = (f + g) (1) = f (1) + g (1) =
ev1 (f) + ev1 (g) . El núcleo de ev1 es N y la imagen de ev1 es R. Para ver
esto último, escojamos r ∈ R. La función h (x)=rx tiene la propiedad de que
en 1vale r. Por lo que r = ev1 (h) ∈ Im (ev1) .Concluímos usando el primer
Teorema de isomorfismo. Note que el isomorfismo G/N u (R,+, 0) envía
f +N a f (1) .
Ejemplo 14 Sean G el grupo de los números reales distintos de cero respec-
to a la multiplicación y N = {1,−1} . Demostrar que G/N u (R+, •, 1) .
Definamos la función R
• | |→ R+
x 7→ |x|
por |x| =
{
x
−x
si x = 0
si x < 0
, (| | de-
nota la función valor absoluto). Notemos que es un morfismo (|xy| = |x| |y|)
su núcleo es precisamente {1,−1} que son los reales de valor absoluto = 1.
La imagen de | | es todo R+. Así que por el primer Teorema de Isomorfismo
tenemos que G/N u (R+, •, 1) .
Ejemplo 15 Si G1, G2 son grupos y G = G1×G2 := {(a, b) | a ∈ G1, b ∈ G2)},
en donde se define
(a, b)(c, d) = (ac, bd),
demuéstrese que:
1. N = {(a, e, ) | a ∈ G2), donde e es el elemento neutro de G2, es un
subgrupo normal de G.
2. N u G1.
48 CAPÍTULO 1. GRUPOS
3. G/N u G2.
Ejemplo 16 Si F es un campo, entonces det : Mn×n (F )
• → F • es un mor-
fismo del grupo multiplicativo de las matrices invertibles al grupo multiplicati-
vo de los escalares distintos de 0. El núcleo consiste precisamente del subgrupo
de las matrices de determinante 1. Denotemos Un×n (F ) dicho subgrupo. La
imagen de det consiste de todo F • ( det

c 0 0
0 1 0
...
...
. . .
...
0 0 1
 = c, dondela
matriz anterior es una matriz diagonal ). Entonces
Mn×n (F )
•
Un×n (F )
u F •.
Por ejemplo si F = Zp, podemos contar el número de matrices de 3 × 3 in-
vertibles y usando esto junto con el isomorfismo anterior, podemos calcular
el número de elementos de U3×3 (Zp) .(Hágase).
1.9. Retículas de subgrupos
Definición 21 copo
Definición 22 retícula
Definición 23 retícula completa
Definición 24 morfismos de orden isomorfismos
Modularidad
Complementos
seudocomplementos
1.10. Productos de grupos
Sea {Gi}i∈I un familia de grupos y consideremos
∏
{Gi}i∈I el producto
cartesiano, es decir
{
f : I −→ ∪{Gi}i∈I | f (j) ∈ Gj,∀j ∈ I
}
(f se identifica
con(f (i))i∈I).
∏
{Gi}i∈I resulta un grupo con la operación (f · g) (i) =
1.10. PRODUCTOS DE GRUPOS 49
f (i) g (i) ∈ Gi y con neutro ē tal que ē (i) = eGi . Desde luego
(
(f (i))i∈I
)−1
=(
f (i)−1
)
i∈I .
Notemos que en el caso particular de que I = {1, 2}, es más común escribir
G1 ×G2 que
∏
{Gi}i∈I .
Para cada i ∈ I tenemos un epimorfismo
∏
{Gi}i∈I
πj−→ Gj
f 7→ f (j)
(veri-
ficarlo).
Además la pareja
(∏
{Gi}i∈I , {πj}j∈I
)
tiene la siguiente propiedad (uni-
versal del producto).
Teorema 23 Para cada familia
{
H
uj−→ Gj
}
j∈I
de morfismos, ∃! : H u−→
∏
{Gi}i∈I morfismo de grupos tal que cada
∏
{Gi}i∈I
πj−→ Gj
↑ u ↗
uj
H
conmuta.
Demostración. Para que un morfismo hiciera conmutar cada uno de los
triángulos de arriba, necesitaríamos que πj (u (h)) = uj (h) , lo que significa
que u (h) : I −→ ∪{Gi}i∈I debe definirse por u (h) (j) = uj (h) ∈ Gj.
Hagamos lo anterior y verifiquemos que u : H −→
∏
{Gi}i∈I es un morfismo.
u (h+ k) (j) = uj (h+ k) = uj (h) + uj (k) = u (h) (j) + u (k) (j) =
(u (h) + u (k)) (j) ,así que u (h+ k) = u (h)+u (k) . La unicidad de urespecto
a hacer conmutativo el diagrama se sigue de las consideraciones anteriores.
Observemos que dos consecuencias de teorema anterior son: que definir
un morfismo de un grupo hacia un producto de grupos es equivalente con
definir una familia de morfismos del grupo a cada uno de los factores; la
segunda es que para demostrar que dos morfismos que entran a un producto
son iguales, basta ver que sus composiciones respectivas con cada una de las
proyecciones coinciden.
La primera observación se puede resumir mediante la fórmula
Hom
(
H,
∏
{Gi}i∈I
)
θ−→
∏
Hom (H,Gi)
donde la función θ es biyectiva y envía f a F tal que F (i) = πi ◦ f ∈
Hom (H,Gi) , es decir,θ (f) (i) = πi◦f. La inversa de θ está definida mediante
la propiedad universal del producto.
50 CAPÍTULO 1. GRUPOS
Ejercicio 64 Demuestre que C
(∏
{Gi}i∈I
)
= C
(∏
{C (Gi)}i∈I
)
. (El
centro de un producto es el producto de los centros).
Ejercicio 65 Use lo anterior para demostrar que
∏
{Gi}i∈I es abeliano ⇔
Gi es abeliano ∀i ∈ I.
1.11. El subgrupo conmutador
Definición 25 Sea G un grupo y a, b ∈ G,decimos que aba−1b−1 es el con-
mutador de a y b.
Definición 26 Definimos el subgrupo conmutador de G, G′ como〈{
aba−1b−1 | a, b ∈ G
}〉
.
Lema 27 El subgrupo conmutador G′ es normal.
Demostración. Basta que demostremos que 〈{aba−1b−1 | a, b ∈ G}〉 =
〈{aba−1b−1 | a, b ∈ G}〉C =
〈{x (aba−1b−1)x−1 | a, b, x ∈ G}〉 . Recuerde que el subgrupo normal gen-
erado por un conjunto S es el subgrupo generado por los conjugados de los
elementos de S.
Para esto basta ver que x (aba−1b−1)x−1 ∈ G′, ∀a, b, x ∈ G. Llamem-
os z = (aba−1b−1) , entonces xzx−1z−1 ∈ G′ ya que es un conmutador. Tam-
bién tenemos que z ∈ G′así que xzx−1 = (xzx−1z−1) z ∈ G′,que es lo que
queríamos demostrar.
Teorema 24 G′ es el menor subgrupo normal tal que G/G′ es un grupo
abeliano.
Demostración. Tenemos que G/G′ es un grupo. Sean a, b ∈ G, G′ =
aba−1b−1G′ = aG′bG′a−1G′b−1G′, de donde tenemos que aG′bG′ = bG′aG′.
Es decir que G/G′ es abeliano.
Si K E G y G/K es abeliano, entonces aKbK = bKaK de donde
tenemos que aKbKa−1Kb−1K = K, así que aba−1b−1 ∈ K, ∀a.b ∈ G. por lo
que G′ ≤ K.
Además podemos demostrar que si G′ ≤ K entonces K E G y G/K es
abeliano:
1.11. EL SUBGRUPO CONMUTADOR 51
Si x ∈ K, a ∈ G entonces (axa−1)x−1 ∈ G′ ≤ K,entonces (axa−1x−1)x ∈
K (ya que es el producto de dos elementos de K). Entonces axa−1 ∈ K así
que K E G.
Ahora G′ ≤ K =⇒ ∃G/G′
π� G/K de donde G/K es abeliano por ser un
cociente de un grupo abeliano.
Ejemplo 17 Si G es abeliano entonces G′ = 〈e〉 .
Ejemplo 18 Si G no tiene subgrupos normales propios no triviales y G no
es abeliano, entonces G′ = G.
Ejemplo 19 S ′3 = 〈{(1, 2, 3)}〉 , donde (1, 2, 3) denota la permutación 1 7→
2 7→ 3 7→ 1.
Ejemplo 20 El grupo de simetrías del cuadrado tiene su conmutador igual
a su centro: 〈r2〉 donde r es la rotación de 90◦.
Ejemplo 21 El conmutador de H el grupo de Hamilton es {1,−1} .
Ejemplo 22 El conmutador de un producto finito de grupos es el producto
de los conmutadores:(∏
{Gi}i∈I
)′
=
∏(
{G′i}i∈I
)
, .si I es finito.
Demostración. ≤) Para mostrar que vale esta inclusión basta mostrar
que un generador de
(∏
{Gi}i∈I
)′
pertenece a
∏(
{G′i}i∈I
)
. Sea fgf−1g−1
con f, g ∈
∏(
{Gi}i∈I
)
, es decir que f : I −→ ∪{Gi}i∈I y f (j) ∈ Gj (hay
que tener cuidado con la notación f−1 denota el inverso de f en el grupo
producto, así que f−1 (j) = (f (j))−1).
Quisiéramos notar que fgf−1g−1 ∈
∏(
{G′i}i∈I
)
. Para ver esto eval-
uamos en una j ∈ I : (fgf−1g−1) (j) = f (j) g (j) f (j)−1 g (j)−1 ∈ G′j. Así
que efectivamente (fgf−1g−1) ∈
∏(
{G′i}i∈I
)
.Note que en esta parte de la
demostración no se supone que I es finito.
≥) Para demostrar esta inclusión basta considerar el caso de dos factores y
usar inducción. Queremos demostrar queG′×H ′ ≤ (G×H)′ , para esto basta
demostrar que (aba−1b−1, eH) , (eG, xyx−1y−1) ∈ (G×H)′ , ∀a.b ∈ G,∀x, y ∈
H. Pero
(aba−1b−1, eH) = (a, e) (b, e) (a
−1, e) (b−1, e) =
= (a, e) (b, e) (a, e)−1 (b, e)−1 ∈ (G×H)′ .Y análogamente (eG, xyx−1y−1) ∈
(G×H)′ .
52 CAPÍTULO 1. GRUPOS
El grupo diédrico
Consideraremos el grupo de simetrías de un polígono regular de n lados,
n ≥ 4. Denotaremos D2,n dicho grupo.
Supongamos que numeramos los vértices del polígono 1, 2, ..., n en la di-
rección de avance de las manecillas del reloj. Usaremos notación módulo n.
Para empezar, calculemos el número de simetrías. Si σ es una simetría
tal que
1 7−→ i
2 7−→ i+ 1 ,
es claro que entonces 3 7−→ i + 2, 4 7−→ i + 3, ... es decir que σ es "sumar
i− 1módulo n". Hay n simetrías de este tipo, pues i ∈ {1, 2, ..., n} .
La otra posibilida para una simetría es
1 7−→ i
2 7−→ i− 1
y en este caso es claro que 3 7−→ i− 2, 4 7−→ i− 3, .... Note que esta simetría
envía j a n+ i− j (la suma de j con su imagen es i+ 1). Uno puede pensar
esta simetría como çambiar el signo y después sumar n + i"de nuevo hay n
simetrías así, dependiendo de la i que uno escoja.
Por lo tanto o (D2,n) = 2n.
Denotemos ρ la simetría i 7−→ i + 1 (una rotación por un ángulo 2π
n
) y
sea σ la reflexión sobre la línea que pas por el vértice marcado con 1 y el
centro del polígono, entonces
1 7−→ 1
2 7−→ n
3 7−→ n− 1
n 7−→ 2
.
Como σ es una reflexión, entonces σ2 = Id. Así que σ = σ−1. Por lo que
i
σ←→ σ (i) (σ envía σ (i) a i).
Podemos notar que o (ρ) = n y que o (σ) = 2. Esto se debe a que ρk (i) =
i+ k, así que la menor k positiva tal que i
mod n≡ i+ k es n.
1.11. EL SUBGRUPO CONMUTADOR 53
Notemos que 〈ρ〉 E D2,n puesto que es de índice 2. Entonces σρσ−1 = ρk,
para alguna k. Calculemos el efecto de σρσ−1 = σρσ en 1 : 1 σ7−→ 1 ρ7−→
2
σ7−→ n, entonces σρσ−1 = ρn−1 = ρ−1.
Podemos ahora notar que D2,n = 〈ρ, σ〉 = 〈ρ〉 〈σ〉 . Esto se debe a que
〈ρ〉 〈σ〉 es un subgrupo de D2,n,debido a que 〈ρ〉 es normal. Por otra parte
〈ρ〉 ∩ 〈σ〉 = {Id} , pues la únicas potencias de ρ que fijan 1 son las que son
múltiplos de n. Entonces o (〈ρ〉 〈σ〉) = 2n
1
= 2n.
En particular tenemos que todo elemento de D2,npuede verse como una
potencia de ρ por una potencia de σ, es decir queD2,n =
{
ρiσk | i ∈ {1, ..., n} , j ∈ {1, 2}
}
.
Podemos calcular la forma de un producto:
notando que σρ = ρ−1σ, tenemos que σkρm =
{
ρmσk si k es par
ρ−mσk si k es impar
ρiσkρmσn = ρiρ(−1)
kmσkσn.
Podemos calcular el centro de D2,n :

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