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Apunte_Trabajo_y_energ_a

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Universidad Nacional de Jujuy Física 1 
Facultad de Ingeniería Año 2008 
 
 
FÍSICA I 
 
 
 
 
Trabajo y Energía. 
Potencia 
Trabajo de una fuerza variable en una dimensión. 
Unidades de trabajo y de potencia. 
Energía Cinética y del trabajo y la energía 
Fuerzas conservativas y no conservativas 
Energía Potencial. 
Sistemas conservativos en una dimensión. 
Conservación de la Energía. 
 
 
 
ADVERTENCIA 
 
Esta cartilla no constituye un apunte para el estudio. Son notas para clases teóricas y 
pueden contener errores o ser incompletas. A pedido de los alumnos se autoriza su 
fotocopiado para servir como guía. 
 
San Salvador de Jujuy; mayo de 2008 
 
 
 
Universidad Nacional de Jujuy Física 1 
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1 
TRABAJO Y ENERGÍA 
 
 
 
Si F = cte 
W F cos x   (1) 
Si F  cte 
dW F dr 
 
 (2) 
FdrdW F dr cos( )   (3) 
dW F dr cos   
Obs: El signo del trabajo depende de cos α. 
 
 
Si α < 90°  W (+) 
Si α > 90°  W (-) 
Si α = 90°  W = 0 
 
 
Si no hay rozamiento, el x podría hacerse sin trabajo W en figura (1). 
Si hay rozamiento, la componente de F debe ser  fRoz entonces: WF (+) y WfRoz (-). 
 
WF = FT 
. x 
WfRoz = - fRoz 
. x donde fRoz =  . N  fRoz =  . (P – F.sen α) 
 
 
 
 
x
x 
α
y
F
z 
1
r

2
r

dr
z 
α 
y
F 
1
r

2
r

dr
x
x 
FT
FN 
fr
F 

N 
P 
fig (2)
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2 
 
Casos de Trabajo W = 0 
 
 
 
 
 
 
Superficie sin rozamiento 
N y P No hacen W 
Si T = P no hay 
desplazamiento x 
En Mov. Circ. la FC no hace W 
pues 
WP= P.x = P cos 90°.x = 0 No hay WP = 0 
WT = 0 
WC= FC.dr = FC.dr cos 90° = 0 
 
El trabajo W en componentes ortogonales 
 
El trabajo elemental es dW F dr cos   con el 
1 1 2 2 3 3cos cos cos cos cos cos cos            
 reemplazando y operando: 
1 1 2 2 3 3dW F dr (cos cos cos cos cos cos )            
 
x y zdW F dx F dy F dz      (4) 
x y zdW W W W   (5) 
 
“El trabajo elemental total es la suma de los W sobre cada eje”. 
 
 
x 
N 
P 
T
P
dr 
 FC
 Vr 
 90º 
 O 
 2 
 3 
1 
 α2 
 α3 
 α1 
x 
 
y 
F 
z 
1
r

dr
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3 
POTENCIA 
“Es el trabajo realizado en la unidad de tiempo” 
Potencia Media 
 
W
P
t


 (6) 
 
Como F o  pueden variar durante el r  se define: 
 
Potencia Instantánea 
dW F cos dr
P
dt dt
 
  (7) 
Como 
dr
v
dt
  TP F v 
 
 (8) 
FT es la fuerza tangencial en la dirección de v

 
 
Trabajo de una fuerza variable en una dimensión 
 F está en función de la posición x  f(x) 
 F varía sólo en magnitud, entre dos posiciones x1 y 
x2. 
El Trabajo incremental es: W F x  
El W TOTAL es: 
2
1
1 2
x
x
W F x   
Para una mejor aproximación hacemos: 
x0 
nº de x (o sea x muy pequeños) 
2
2
1
1
1 2
0
x
x
xx
x
W lim F x F dx  
     (9) 
 x1 x2 x 
F(x) 
F 
 x 
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4 
Ejemplo. 
Trabajo de la Fuerza de un Resorte 
Se estira el resorte lentamente de modo que a = 0 m/s2 
Fuerza restauradora: F k x   (Ley de Hooke) 
Fuerza sobre el cuerpo: F k x   
 
2
2 2
1 1 1
2
1 2
1
2
xx x
( x )x x x
W F dx ( k x ) dx k x          
Si hacemos 
x1 = 0 
x2 = x 
 En general: 2
0
1
2
x
W ( k x ) dx k x      
 
El trabajo Total W es el área debajo de la función F(x) 
 
Trabajo de una fuerza Variable en 2 dimensiones 
 
Dividiendo la trayectoria entre a y b en pequeños 
desplazamientos r en la dirección del movimiento. 
W F r F r cos     
 
 
 
 
b b
a b a a
W F dr F cos dr      
 
 (11) 
 
Y ponemos y en función de sus componentes ortogonales ec. (4) 
b
a b x y ya
W ( F dx F d )    (12) 
 
 - k.x F’ 
 (1) (2) 
kx 
 x 
F(x) 
 x O 
Si 
  
  
a 
 b 
y 
F 
 x 
F 
dr 
dr 
r0 dr 
nº de r 
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5 
 
UNIDADES DE TRABAJO Y POTENCIA 
 
Sistemas 
 
Unidades 
L T M F W 
Trabajo 
P 
Potencia
S.I. m s kg N J (Joule) Watt 
c.g.s cm s g dina ergio 
ergio
s
 
Técnico m s utm kg

 kgm

 
kgm
s

 
 
Equivalencias 
Técnico /SI 
[F] 
2 2
m m
1 N = 1kg 1 1kg =1kg×9,81 1kg = 9,81 N
s s
  
 
 
[W] 1 kgm = 1kg 1m 9,81 N 1m = 9,81 J  
 
 
[P] 
kgm J
1 = 9,81 9 81 Watt,
s s


 
Técnico / cgs 
[W] 71 kgm = 1000 g 100 cm 1000 981 dina 100 cm = 9,81 10 ergio    
 
 
Sistema técnico inglés (f.p.s) (pie – libra – segundo) 
[P] Horse Power 
ft pd pie libra
1 HP = 550 ( )
s s
 
 
Equivalencia con S. técnico 
kgm
1 HP = 75 
s

 
Equivalencia con S. I 1 HP = 75 9,81 Watt = 735,7 Watt 736 W  
En EEUU 1 HP = 746 W 
Otra unidad de trabajo (o de energía) es 3 61 kW.h = 10 W 3600 s = 3,6 10 J  
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6 
 
ENERGÍA CINÉTICA - TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA 
Un cuerpo se encuentra en movimiento con 0v

 y comienza actuar una F

constante en su 
misma dirección 
 
 
El cuerpo seguirá con MVUAc. 
Después de recorrer x (en t ), su velocidad es: 
0v v a t   
La ecuación de movimiento es  F m a  
El trabajo de la fuerza es para un x  W F x m a x     
Como la 0
v v
a
t



  0
v v
W m x
t

  

  0
x
W m v v
t

   

 
Y 
x
v
t



 o sea 0
2
v vx
t



 
 
0
2 2
0 0
1 1
2 2
W m ( v v ) ( v v ) m ( v v )          
Ó 2 20
1 1
2 2
W m v mv     (13) 
Definimos a la Energía Cinética a  2
1
2
Ec m v   (13’) 
Que tienen las mismas unidades que las de trabajo. 
Comparando las ec. (13) y (13’) tenemos que 
0W Ec Ec Ec    (14) 
 Que es el TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA 
 
 
vv0F 
x
F
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7 
 
Demostración general para fuerza variable. 
De la 2º ley de Newton 
F m a 
 
 
dv
F m
dt
 

 
 
Multiplicando escalarmente ambos miembros por dr

 
Obtenemos el Trabajo elemental  
dv dr
F dr m dr m dv
dt dt
      
    
 
 dW F dr m v dv    
   
 0   
 
v dv v dv cos 
 El incremento dv está en la dirección de v 
El trabajo Total W se obtiene integrando entre límites, es 
00 0
21
2
r v v
vr v
W F dr cos m v dv m v          
2 2
0
1 1
2 2
W m v mv     
 
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8 
 
RF C
W E  (1) “El trabajo W efectuado por la fuerza resultante FR de una partícula 
es igual a la variación de la energía cinética de esta. 
En general actúan varias fuerzas sobre una partícula, siendo la 
1 2R nF F F ... F   
   
 
El trabajo W hecho por la FR es la suma algebraica de los W de cada una de las Fi. 
1 2 n CW W ... W E     (2) 
Si calculamos estos W, cada uno nos conduce a un tipo de energía, como potencial, calórica, 
etc. 
Este proceso culmina con la formulación del Principio de la Conservación de la Energía. 
 
FUERZAS “CONSERVATIVAS” vs “NO CONSERVATIVAS” 
a) 
 Un bloque de masa m se arroja contra un resorte 
sin masa y con velocidad v

 
 Plano sin rozamiento 
F k x   (Ley de Hooke) 
b. El bloque comprime el resorte (v = 0) 
c. El bloque recupera su v

inicial regresando al punto de 
partida. 
 
 Dijimos que la Ec es la capacidad de un cuerpo de realizar un trabajo en virtud de su 
movimiento. 
 En el ciclo completo el bloque conserva intacta su capacidad para realizar trabajo. 
 La fuerza actuante (elástica) decimos que es “conservativa”. 
 Otras fuerzas, como la gravitatoria,también son conservativas (ej. La pelotita lanzada 
verticalmente). 
 v = 0 
 F = K.x 
 v 
 v
 m liso 
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9 
 
Ahora, supongamos que hay rozamiento entre el bloque y el plano. 
La rozF

se opone al movimiento y resulta que el bloque regresa al punto inicial con menos 
energía que la original. 
Esta fuerza se dice que No es Conservativa  rozF

 
Otro punto de vista del trabajo realizado por la F

sobre la partícula es: 
Sin rozamiento 
El trabajo realizado por la elastF

es (-) al comprimir el resorte y luego, es (+) al estirarse. O sea 
que el Wneto en un ciclo es igual a cero. 
 
Con rozamiento 
El trabajo realizado por la rozF

 es (-) a la ida y también a la vuelta (siempre se opone al 
movimiento), por lo tanto el trabajo neto no es cero al completar el ciclo. 
 
Entonces decimos. En general “Una fuerza es “conservativa” si el W hecho por la fuerza sobre 
una partícula que se mueve en un ciclo completo es cero”. Es “No conservativa”, si el W 
efectuado por la fuerza sobre la partícula en un ciclo completo No es cero” 
 
Otro punto de vista 
“Una fuerza es “conservativa” si el W hecho por ella sobre una partícula que se mueve entre 
dos puntos depende sólo de esos puntos y no de la trayectoria seguida. 
Una fuerza es “No conservativa” es el W hecho por ella sobre una partícula que se mueve 
entre dos puntos depende de la trayectoria”. 
 
 
 
 
 
a 
b 
a 
b 
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10 
Para ilustrar este punto de vista, vemos la Fuerza gravitatoria. 
 
Cualquiera sea el camino recorrido entre A y B, el 
trabajo de la gF

depende sólo de la diferencia de nivel 
y no de la trayectoria. Si el trayecto es escalonado y la 
gF

no realiza trabajo en los tramos horizontales pues 
es perpendicular al camino. 
 
 
 
ENERGÍA POTENCIAL 
 Idea de configuración del sistema 
 Preferimos decir, en vez de que el bloque se mueve, que cambia la “configuración del 
sistema” . 
 Vimos como cambia la Ec (Energía cinética) del sistema a medida que cambia su 
configuración (que se mide con la misma variable “x” con se mide su posición”). 
 Entonces tiene sentido introducir la idea de Ep (Energía potencial) o de configuración. 
Pues a medida que cambia su Ec una cantidad ΔEc, entonces la Ep del sistema debe 
cambiar en una cantidad igual pero de signo contrario, para que la suma de ambos 
cambios sea cero: 
0Ec Ep    (3) 
Alternativamente podemos decir que un cambio en la Ec del sistema va compensado por un 
cambio igual y de signo contrario en la Ep del sistema de modo que su suma permanece 
constante: 
constanteEc Ep  (4) 
 La Ep de un sistema representa una forma de Energía almacenada que se puede recobrar 
totalmente y convertir en Ec. 
 No podemos asociar una Ep con una fuerza No conservativa como las rozF

, porque la Ec 
de un sistema en que obra esas fuerzas, no se pueden recobrar totalmente cuando el 
sistema vuelva a su configuración inicial. 
s B 
 A 
Fg 
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11 
 
El concepto de Ep tiene significado cuando sepamos calcularla en función de la configuración 
o sea conocer la Ep(x) (como en el ejemplo del resorte). 
 
Partamos del Teorema del Trabajo y la Energía 
W Ec  (1) 
Si la Fuerza es conservativa, usando (3) Ec Ep   
W Ec Ep    (5) 
 (1) W Ec  
Siempre es válida. 2
1
2
Ec m v  
Comparar 
 (5) W Ep  Sólo es válida para fuerzas conservativas. Una 
fuerza conservativa depende de la posición (x). 
 
El W de las fuerzas conservativas dependen de los puntos inicial y final y no de la trayectoria 
seguida. 
O sea, que el movimiento en una dimensión, si la partícula se mueve entre los puntos x0 y x. 
0
x
x
Ec W F( x ) dx      (5’) 
Esta ecuación indica como calcular el cambio de Ep cuando actúa una F(x) conservativa para 
mover la partícula desde una posición x0 a x. (esto se puede calcular sólo si F varía 
exclusivamente en función de la posición x) 
Ahora podemos escribir la (4) constanteEc Ep  
21
2 ( x )
m v Ep E   (Energía mecánica total). 
Supongamos que la partícula se mueve entre a (x0 , v0) y b (x , v) ; la energía mecánica total 
debe ser la misma para todas las configuraciones posibles del sistema cuando la fuerza es 
conservativa. 
0
2 2
0 0
1 1
2 2( x ) ( x )
m v Ep m v Ep E      (6’) 
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12 
 
E0 depende exclusivamente de las condiciones iníciales x0, v0 que son definidas y contantes  
todo esto es constante. Es la ENERGÍA MECÁNICA TOTAL 
También para el movimiento en una dimensión, podemos escribir la (5’) en esta forma: 
( x )
( x )
dEp
F
dx
  (7) 
“La Ep es una función cuya derivada negativa da la fuerza”. 
(Hasta ahora sólo podemos, calcular los cambios ΔEp con la (5’) y no la Ep misma. 
 Para calcular la Ep(x) es necesario un sistema de referencia. Para ello imaginemos una 
partícula que se mueve de (a) hasta (b) a lo largo del eje x y sobre ella una F(x) 
conservativa. 
Si ΔEp = Epb –Epa  teniendo en cuenta en (5’). 
b
a
x
b a ( x ) ax
Ep Ep Ep F dx Ep       (8) 
 
Si punto (b) es una posición arbitraria cualquiera Epb = Ep(x), hacemos que el punto (a) sea un 
punto de referencia conveniente, dado por xa = x0 y asignamos un valor Epa = Ep (x0) cuando el 
cuerpo se encuentre en ese punto. 
Entonces la (8) queda: 
0
0
x
( x ) ( x ) ( x )x
Ep F dx Ep    (9) 
Ep(x0) a esta energía en el punto de referencia se la da el valor “0” arbitrariamente. 
 Generalmente se escoge la referencia de Ep(x0) , donde F = 0 (resorte no deformado) 
(gravitación en el infinito o en la superficie de la Tierra). 
 El efecto de cambiar las coordenadas de la posición de referencia normal x0 ó de dar un 
valor arbitrario Ep(x0) es cambiar el valor de Ep(x) agregándole una constante. 
Una constante arbitraria así agregada no altera las ecuaciones pues vemos que, si 
añadimos una C a ambos miembros en (6’), la ecuación queda inalterada. 
O sea que la elección del punto de referencia carece de importancia, pues lo que 
interesa son las E y no los valores absolutos de las Ep. 
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13 
 
Sistemas Conservativos en una Dimensión (1D). 
Energía potencial gravitatoria. 
Elegimos el eje vertical y (+) y la F(y) = - mg* 
Aplicando (9) 
0 0 00 0
              
y y
( y ) ( y ) ( )Ep F dy Ep ( m g ) dy Ep m g y Ep 
Si elijo Ep0 = 0 en y = 0 
( y )Ep m g y   (10) 
Energía potencial gravitacional 
* Vemos que la relación 
dEp
F( y )
dy
  queda satisfecha pues: 
d( mgy )
m g
dy
    
 
Energía potencial Elástica 
Para un sistema sobre una superficie sin rozamiento 
x0 = 0 (resorte indeformado) y F = -K.x 
Aplicando (9) 
0 00 0
x x
( x ) ( x ) ( x )Ep F dx Ep ( k x ) dx Ep           
Ep0 = 0 cuando F = 0 ó sea en la posición de equilibrio del resorte. 
2
0
1
2
x
( x )Ep ( k x ) dx k x       (12) 
El resultado es el mismo sea que se estire o se comprime pues x está elevado al cuadrado. 
La energía potencial elástica 2
1
2( x )
Ep k x  
Vimos que el 
RF
W que obra sobre una partícula 
 
RF
W Ec 
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14 
 
Como pueden obrar varias fuerzas sobre una partícula siendo: 
1 2 3R nF F F F ... F    
    
 
Su suma vectorial, es conveniente calcular el W realizado por cada una de estas fuerzas, que 
nos conduce a definir tres tipos de energía: 
Así gF grav

  Energía Potencial Gravitacional Epg 
elF elast

  Energía Potencial Elástica Epe 
Rozf fricción

  Energía Calorífica Q 
Si además otras fuerzas exteriores (distintas a las dadas) y las agrupamoscomo extF 
expresamos la 2da Ley 
ext g e RozF F F f m a    
   
 
 
El Teorema del trabajo y la Energía (que no es más que otra forma de la 2da Ley) 
Fext g e fRozW W W W Ec     
    Fext g e fRozW Ep Ep W Ec 
Conservación de la Energía 
Si consideramos los trabajos de las reacciones contra el agente exterior. 
Fext g e fRozW W W W Ec     
    Fext g e fRozW Ec (W W ) W (12) 
    FextW Ec Ep Q 
  FextW E Q 
Por definición de la Energía Mecánica Total E Ec Ep   E Ec Ep     
 
 
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15 
 
Si no hay fuerzas de rozamiento 0Rozf 

 
FextW E  (15) 
Si el sistema es aislado (ausencia de Fext)  WFext =0 y 
0E  (16) 
“En un sistema aislado la Energía Mecánica Total se conserva. 
E-E0 =0  E = E0 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFÍA 
 
1- Resnick – Halliday : Física. Tomo I 
2- Alonso y Finn : Física. Tomo I y II 
3- Serway Raymond: Física. Tomo I 
4- Sears – Zemansky: Física General 
5- Roederer: Mecánica elemental 
6- Apuntes del Dr. Orlando Bravo. UNT. 
	4
	advertenciaunid energía.pdf
	9
	10
	Páginas desdeApuntes Física 2012.pdf

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