Una Introducción a la Geometría Hiperbólica Bidimensional - Antonio Lascurain Orive - Pedro Samuel

Vista previa del material en texto

Una introducción a la geometŕıa hiperbólica
bidimensional
Antonio Lascurain Orive
2 de febrero de 2005
ii
Prefacio
La geometŕıa hiperbólica ha cobrado enorme importancia en las últimas
décadas por su interrelación con múltiples ramas centrales de la matemática.
A principio de los an̄os ochenta, Troels Jørgensen y Wiliam Thurston (meda-
lla Fields) revolucionaron la topoloǵıa al mostrar que la geometŕıa hiperbólica
es una poderosa herramienta en el estudio de las 3-variedades y los nudos (cf.
[22] y [3] pp. 190-272). Dennis Sullivan y Curt Mc Mullen (medalla Fields),
por su parte, han encontrado un importante paralelismo entre la geometŕıa
hiperbólica y los sistemas dinámicos, lo cual se hace patente al observar la
asombrosa similitud que existe entre el conjunto ĺımite de un grupo kleiniano
y el conjunto de Julia de una función racional (cf. [13] y Figura 3.1). Por
otro lado, en el modelo del hiperboloide, el grupo completo de isometŕıas
es precisamente el grupo de Lorentz, lo cual refleja la estrecha relación de la
teoŕıa de la relatividad con la geometŕıa hiperbólica. En otro ámbito, el grupo
clásico modular y sus subgrupos son centrales en la teoŕıa de los números y
también en la geometŕıa hiperbólica. Más aún, recientemente se han probado
importantes resultados sobre grupos aritméticos kleinianos, que vinculan la
teoŕıa de números, la topoloǵıa y la geometŕıa hiperbólica (cf. [12]). Es impor-
tante destacar también que en el contexto de la variable compleja, cualquier
superficie de Riemann es el cociente de la acción discontinua de un grupo de
Möbius en la esfera (cf. [2] pp. 120 y 121 y [19]). Existen además conexiones
de muchas otras ramas con la geometŕıa hiperbólica; mencionamos dos de
gran importancia en la actualidad: la teoŕıa de los mapeos cuasiconformes y
la teoŕıa de Teichmüller (cf. [11] y [16]).
Este texto está dirigido principalmente a los estudiantes de los últimos
niveles de la licenciatura que han aprobado un primer curso de variable com-
pleja; sin embargo, considero que puede ser también de utilidad para los
alumnos de posgrado y para los profesores e investigadores que no son es-
pecialistas en geometŕıa hiperbólica. La idea original de este trabajo fue
adaptar para la licenciatura algunos temas del libro de maestŕıa de Joseph
iii
iv
Lehner [10]; texto recomendado por Troels Jørgensen, y muy adecuado para
llegar de manera rápida y formal al estudio de las regiones fundamentales.
No obstante, la materia fundamental del presente libro son las notas que
elaboré para los seminarios de geometŕıa, álgebra y análisis, de los últimos
niveles de la licenciatura, donde ensen̄é temas básicos de geometŕıa hiperbóli-
ca, los grupos fuchsianos y las transformaciones de Möbius. Es mi intención
también en este trabajo hacer más accesibles algunas de las ideas del impor-
tante libro de Alan F. Beardon [2], en particular el estudio del grupo general
de Möbius. Aunque la naturaleza del contenido es en general bidimensional,
en diversas partes se sen̄alan generalizaciones a dimensiones mayores, y al-
gunas veces también se prueban. El esṕıritu del libro es el de mostrar que las
matemáticas no son ramas aisladas sino que interactúan fuertemente unas
con otras. En este texto el lector podrá observar cómo se mezclan temas de
los cursos de álgebra moderna I, análisis matemático I, variable compleja I
y topoloǵıa. El texto puede ser cubierto en un curso semestral, omitiendo si
es necesario la mayoŕıa de los resultados de la última sección del segundo
caṕıtulo.
El enfoque del libro es anaĺıtico y no axiomático. Éste inicia con el estu-
dio de las transformaciones de Möbius complejas actuando en la esfera para
posteriormente mostrar los grupos completos de isometŕıas hiperbólicas en el
modelo del semiplano y en el del disco de Beltrami-Poincaré, aśı como algu-
nas propiedades de los grupos discretos de PSL(2,C) y del carácter fractal
de su conjunto ĺımite. El texto concluye en el ámbito de las teselaciones con
la construcción de las regiones fundamentales de Dirichlet y Ford. Uno de los
objetivos es presentar de manera formal y sistemática una introducción a los
poĺıgonos fundamentales. Para el caso de los subgrupos modulares, estos do-
minios son de gran utilidad para visualizar resultados numéricos, véase, por
ejemplo, [7] y [9]. En el caso kleiniano, el conocimiento de poliedros funda-
mentales es una herramienta muy importante en la topoloǵıa tridimensional
(cf. [12]).
Se han escrito muchos textos avanzados sobre el tema en las últimas
décadas, probablemente los más importantes son [2], [3], [12], [14], [16], [20]
y [22]. Algunos otros libros en espan̄ol, dirigidos a los estudiantes de licen-
ciatura, sobre otros temas de la geometŕıa hiperbólica de los que se presentan
en este libro –o con otros enfoques– son [17], [18], [15] y [23].
Las Figuras 2.9 y 3.1 fueron tomadas de las páginas de Curt Mc Mullen
y David Wright, respectivamente. Aśımismo, la Figura 4.11 fue tomada del
libro de Joseph Lehner [10].
Agradecimientos
A Troels Jørgensen, por sus invaluables ensen̄anzas.
A mi esposa, Adda Stella Ordiales de la Garza, por su apoyo constante y
por la corrección de estilo del texto.
A mis padres, que me guiaron al conocimiento.
A Pablo Rosell González, por la cuidadosa elaboración de las figuras del
texto.
A mis tesistas y alumnos de los seminarios, con quienes compart́ı el estu-
dio de la geometŕıa hiperbólica, particularmente, Alejandro Mozo Cruz, que
inició la captura de algunos temas del libro.
A mis colegas del seminario sobre el libro de Alan Beardon que se llevó a
cabo a principio de los an̄os noventa, en particular, a Pilar Mart́ınez Téllez
y Francisco Struck Chávez, miembros permanentes del seminario.
A las autoridades de la Facultad de Ciencias y la Dirección General de
Asuntos del Personal Académico que me apoyaron en la publicación de este
libro, con el proyecto de PAPIME EN107-403.
v
vi
Contenido
1. Transformaciones de Möbius complejas 1
1.1. Proyección estereográfica, métrica cordal . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Clasificación por conjugación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4. Geometŕıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.1. Transformaciones eĺıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.2. Transformaciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.3. Transformaciones loxodrómicas . . . . . . . . . . . . . 29
1.4.4. Transformaciones parabólicas . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5. Transformaciones que preservan “discos” . . . . . . . . . . . . 32
1.6. Clasificación por la traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2. Métrica hiperbólica 43
2.1. Densidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2. El modelo del semiplano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3. El modelo del disco de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4. El grupo completo de isometŕıas . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3. Grupos fuchsianos 87
3.1. Discontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2. Grupos Discretos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.3. Conjunto ĺımite de un grupo discreto . . . . . . . . . . . . . . 118
4. Regiones fundamentales 131
4.1. Regiones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.2. Construcción del poĺıgono de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . 140
4.3. Poĺıgono de Ford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
vii
Caṕıtulo 1
Transformaciones de Möbius
complejas
Se proyecta el plano complejo extendido a la esfera de Riemann, uno de los
espacios naturales donde actúan las transformaciones de Möbius complejas,
y de esta manera se introduce la métrica cordal. Posteriormente, estas fun-
ciones se identifican con los elementos del grupo PSL(2,C) y se exhibensus
propiedades básicas. Mediante la conjugación a formas canónicas, se clasifi-
can y se muestran sus propiedades geométricas elementales. Finalmente, se
caracterizan las transformaciones que preservan el semiplano superior y el
disco unitario, y se establece la clasificación por la traza.
1.1. Proyección estereográfica, métrica cordal
La proyección central descrita en la Figura 1.1 sugiere que el plano complejo
se puede pensar como la esfera unitaria en R3 sin el polo norte. Resulta
natural, entonces, pensar que el polo norte corresponde a un punto ideal que
representa al infinito.
Definición 1 Los puntos del plano complejo junto con ∞ forman el plano
complejo extendido, denotado por Ĉ.
El incluir el śımbolo ∞ es particularmente útil en el contexto de las
transformaciones de Möbius complejas
z 7−→ az + b
cz + d
, ad− bc 6= 0, a, b, c, d ∈ C.
1
2 CAPÍTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS COMPLEJAS
Mostraremos que estas funciones son las únicas biyecciones meromorfas de
Ĉ en Ĉ. La esfera unitaria,
S2 = {x ∈ R3
∣∣ |x| = 1},
llamada esfera de Riemann, es el modelo requerido para incluir el punto
al infinito. Para asociar cada punto en el plano con uno en S2, usamos la
siguiente idea geométrica: se toma el plano x3 = 0 como el plano complejo
C, y la ĺınea que proyecta el polo norte e3 = (0, 0, 1) de la esfera de Riemann
a cualquier otro punto x = (x1, x2, x3) en dicha esfera.
Esta ĺınea cruza el plano complejo en un único punto, para encontrarlo
se parametriza
e3 + t(x− e3), t ∈ R
y se debe cumplir
[e3 + t(x− e3)] · e3 = 0,
1 + t(x− e3) · e3 = 0,
t =
1
1− x3
.
De donde, el punto asociado a x es
e3 +
1
1− x3
(x− e3)
= e3 +
(
x1
1− x3
,
x2
1− x3
,
x3 − 1
1− x3
)
=
(
x1
1− x3
,
x2
1− x3
, 0
)
Una prueba geométrica de este hecho se obtiene observando que la proyec-
ción de x debe tener la dirección de (x1, x2), y por semejanza se obtiene
que
|z|
1
=
√
x21 + x
2
2
1− x3
(véase la Figura 1.1). Con base en estas ideas, se define la función
ψ : S2 − {e3} 7−→ C, dada por (x1, x2, x3) 7−→
x1 + ix2
1− x3
.
Se afirma que ψ es una biyección de S2 − {e3} al plano complejo C.
1.1. PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA, MÉTRICA CORDAL 3
e3
z
(x1, x2, x3)
|z|
1
x3
√
x
2
1
+ x2
2
Figura 1.1: La proyección estereográfica
1. ψ es inyectiva. Para demostrar esto se construye la inversa. Obsérvese
que si z = ψ(x1, x2, x3), como (x1, x2, x3) ∈ S2, se tiene que
|z|2 =
∣∣∣x1 + ix2
1− x3
∣∣∣2 = x21 + x22
(1− x3)2
=
1− x23
(1− x3)2
=
1 + x3
1− x3
y despejando
x3 =
|z|2 − 1
|z|2 + 1
. (1.1)
También
z + z =
2x1
1− x3
,
y
x1 =
(z + z)(1− x3)
2
=
z + z
2
(
1− |z|
2 − 1
|z|2 + 1
)
=
z + z
2
(
2
|z|2 + 1
)
,
x1 =
z + z
|z|2 + 1
. (1.2)
Finalmente, como
z − z = 2ix2
1− x3
,
se sigue que
x2 =
z − z
i(|z|2 + 1)
. (1.3)
4 CAPÍTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS COMPLEJAS
Por consiguiente, ψ es inyectiva, ya que z determina (x1, x2, x3).
Obsérvese también que la función
π(z) =
(
z + z
|z|2 + 1
,
z − z
i(|z|2 + 1)
,
|z|2 − 1
|z|2 + 1
)
es inversa por la izquierda de ψ.
2. ψ es sobre. Un cálculo sencillo muestra que π es también una inversa
derecha de ψ (ejercicio).
Haciendo corresponder ∞ con el polo norte e3 se obtiene una biyección
de S2 en Ĉ y el modelo buscado. A esta biyección se le llama la proyección
estereográfica. Geométricamente es evidente que el hemisferio sur (x3 < 0)
corresponde al disco unitario
∆ = {z ∈ C
∣∣ |z| < 1}
y el hemisferio norte (x3 > 0) al exterior de este disco; la fórmula (1.1)
también, muestra este hecho de manera anaĺıtica.
En esta representación esférica del plano complejo no hay una inter-
pretación fácil de la suma y el producto, su ventaja radica en que ∞ no
es un punto distinguido. Convendremos que toda recta es un subconjunto
de Ĉ que incluye al śımbolo ∞ , es decir, que toda recta pasa por ∞. Una
propiedad fundamental de la proyección estereográfica la exhibe el siguiente
resultado.
Proposición 1.1.1 Bajo la proyección estereográfica, rectas en Ĉ y ćırculos
en C se transforman en ćırculos en S2 y viceversa.
Demostración.
1. Un ćırculo en S2 es la intersección de un plano con la esfera, por lo
que sus puntos satisfacen una ecuación de la forma
ax1 + bx2 + cx3 = d.
Por lo tanto, este ćırculo es la imagen bajo la proyección estereográfica
de un conjunto cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano
a
( z + z
|z|2 + 1
)
+ b
( z − z
i(|z|2 + 1)
)
+ c
( |z|2 − 1
|z|2 + 1
)
= d.
1.1. PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA, MÉTRICA CORDAL 5
Escribiendo z = x+ iy, se obtiene
2ax+ 2by + c(x2 + y2 − 1) = d(x2 + y2 + 1),
que es la ecuación de una recta o un ćırculo en el plano, dependiendo si
d = c o si d 6= c (al completar cuadrados no se puede obtener un radio
negativo, puesto que se trata de la imagen de un conjunto no vaćıo).
2. Viceversa, una recta en el plano está definida por la ecuación
ax+ by = c.
Estos puntos bajo la proyección estereográfica son llevados al conjunto
de puntos en la esfera definidos por la ecuación
a
( x1
1− x3
)
+ b
( x2
1− x3
)
= c,
a x1 + b x2 = c(1− x3),
los cuales están contenidos en la intersección de un plano y la esfera,
es decir, se trata de un ćırculo. Como π(∞) = (0, 0, 1) satisface dicha
ecuación, este ćırculo pasa por el polo norte, lo cual también es evidente
a partir de la construcción geométrica.
Finalmente, un ćırculo en el plano está definido por las siguientes
ecuaciones
| z − a |2= r2,
(z − a)(z − a) = r2,
|z|2 − az − az + |a|2 = r2,
por lo que usando 1.1, se tiene
1 + x3
1− x3
− 2Re(az) = r2 − |a|2.
Si a = a1+i a2, z = x+iy, entonces Re(az) = a1x+a2y y la imagen
del ćırculo en la esfera está definida por las siguientes ecuaciones
1 + x3
1− x3
− 2(a1x+ a2y) = r2 − |a|2,
1 + x3
1− x3
− 2a1
x1
1− x3
− 2a2
x2
1− x3
= r2 − |a|2,
1 + x3 − 2a1x1 − 2a2x2 = (r2 − |a|2)(1− x3).
6 CAPÍTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS COMPLEJAS
Se sigue entonces que estos puntos están contenidos en un plano y por
lo tanto constituyen un ćırculo en la esfera. �
Es útil obtener, en términos de z y z′, puntos del plano complejo, una
fórmula de la distancia entre sus proyecciones en la esfera. Si denotamos éstas
por (x1, x2, x3) y (x
′
1, x
′
2, x
′
3), se tiene
(x1 − x′1)2 + (x2 − x′2)2 + (x3 − x′3)2 = 2− 2(x1 x′1 + x2 x′2 + x3 x′3).
Ahora, usando (1.1), (1.2) y (1.3), se sigue que
x1 x
′
1 + x2 x
′
2 + x3 x
′
3
=
(
z + z
|z|2 + 1
) (
z′ + z′
|z′|2 + 1
)
−
(
z − z
|z|2 + 1
) (
z′ − z′
|z′|2 + 1
)
+
(
|z|2 − 1
|z|2 + 1
) (
|z′|2 − 1
|z′|2 + 1
)
=
2 z z′ + 2 z z′ + |z z′|2 − |z|2 − |z′|2 + 1
(1 + |z|2) (1 + |z′|2)
=
−2(z − z′)(z − z′) + (1 + |z|2) (1 + |z′|2)
(1 + |z|2) (1 + |z′|2)
(el último paso equipara numerador y denominador).
Por consiguiente,
(x1 − x′1)2 + (x2 − x′2)2 + (x3 − x′3) = 2− 2
(
1− 2|z − z
′|2
(1 + |z|2) (1 + |z′|2)
)
=
4|z − z′|2
(1 + |z|2) (1 + |z′|2)
.
Esta nueva fórmula de distancia en Ĉ es particularmente novedosa y útil
por incluir el punto al infinito. En este caso, si z′ = ∞, se tiene
x1 x
′
1 + x2 x
′
2 + x3 x
′
3 =
|z|2 − 1
|z|2 + 1
,
por lo que
(x1 − x′1)2 + (x2 − x′2)2 + (x3 − x′3) = 2− 2
(
|z|2 − 1
|z|2 + 1
)
=
4
1 + |z|2
.
Estos cálculos inducen la métrica buscada en Ĉ.
1.1. PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA, MÉTRICA CORDAL 7
Definición 2 Se define la métrica cordal en el plano complejo extendido de
la siguiente manera
dC(z1, z2) =

2|z1 − z2|√
1 + |z1|2
√
1 + |z2|2
, si z1, z2 6= ∞.
2√
1 + |z1|2
, si z2 = ∞.
Como S2 es un subespacio métrico de R3, esta distancia define en efecto
una métrica en Ĉ. El término cordal proviene de que se miden cuerdas en
la esfera
dC(z1, z2) = |π(z1)− π(z2)|.
Proposición 1.1.2 Las métricas cordal y euclideana inducen la misma topo-
loǵıa en C, es decir, definen los mismos abiertos en C. Además
dC(zn,∞) 7−→ 0 si y sólo si |zn| 7−→ ∞.
Demostración. Para la primera parte hay que probar que la función iden-
tidad
Id : CE 7−→CC
es bicontinua, donde CE es el plano complejo provisto con la métrica eucli-
deana y CC , con la métrica cordal.
Si |zn − z| → 0, cuando n → ∞, entonces |π(zn) − π(z)| → 0, cuando
n→∞, ya que la función π es continua, lo cual prueba que la función Id es
también continua. Ahora, por la continuidad de ψ, si dC(zn, z) → 0, cuando
n → ∞, entonces |π(zn) − π(z)| → 0 y |ψ π(zn) − ψ π(z)| = |zn − z| → 0,
cuando n→∞.
Para la segunda parte, sea zn, n ∈ N, una sucesión en C, tal que
|zn| → ∞, cuando n→∞, como
dC(zn,∞) =
2√
1 + |zn|2
,
se sigue que dC(zn,∞) → 0 (ejercicio).
Por otra parte, si dC(zn,∞) → 0, cuando n→∞, dado � > 0, existeN�,
tal que si n > N�, se tiene
2√
1 + |zn|2
< � y por lo tanto |zn| >
√
4
�2
− 1
8 CAPÍTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS COMPLEJAS
(ya que se puede tomar � < 2). Por lo que, dado M > 0, tomando � tal que
M =
√
4
�2
− 1,
se obtiene |zn| > M, si n > N� y |zn| → ∞. �
EJERCICIOS 1.1
1. Demuestre que la función estereográfica (x1, x2, x3) → x1+ix21−x3 de la esfera
de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.
2. Demuestre que si zn → ∞, cuando n → ∞, entonces dc(zn,∞) → 0,
cuando n→∞.
1.2. Propiedades básicas
Recordamos que a las transformaciones de variable compleja de la forma
T (z) =
az + b
cz + d
,
a, b, c, d ∈ C, ad − bc 6= 0, se les llama de Möbius. Estas funciones están
también definidas en los puntos del plano complejo extendido, donde no se
aplica el álgebra:
(i) Si c = 0, se define T (∞) = ∞.
(ii) Si c 6= 0, se define T (∞) = a/c y T (−d/c) = ∞.
Si ad − bc = 0, se trata de una función constante (ejercicio). Para otros
valores ad− bc = k 6= 0, la transformación
z 7−→
a√
k
z +
b√
k
c√
k
z +
d√
k
tiene la misma regla de correspondencia que la transformación original, sin
embargo,
a√
k
d√
k
− b√
k
c√
k
= 1.
1.2. PROPIEDADES BÁSICAS 9
De este hecho se sigue que todas las transformaciones de Möbius pueden
definirse por matrices de la forma(
a b
c d
)
, a, b, c, d ∈ C, ad− bc = 1.
A este grupo de matrices se le denota por SL(2,C). El centro de este grupo
consiste de las matrices ±Id (ejercicio).
Proposición 1.2.1 Las transformaciones de Möbius complejas son funciones
continuas en Ĉ con la métrica cordal.
Demostración. Se sigue de la proposición 1.1.2 que basta probar la con-
tinuidad en ∞ y en −d/c, si c 6= 0, y en ∞, si c = 0.
Ahora, si c 6= 0 y zn → −d/c, cuando n→∞, se tiene que como
azn + b
c
7−→ (−d/c) a+ b
c
y
1
zn − (−d/c)
7−→ ∞,
entonces
azn + b
czn + d
=
azn + b
c(zn − (−d/c))
7−→ ∞
y por lo tanto
dC
(
azn + b
czn + d
, ∞
)
7−→ 0, cuando n 7−→ ∞.
La prueba de la continuidad en ∞ es similar y queda como ejercicio para
el lector. �
Por otra parte, el producto de matrices se corresponde con la composición
de transformaciones de Möbius, es decir, si
T (z) =
az + b
cz + d
y S(z) =
αz + β
γz + δ
son dos transformaciones de Möbius definidas por las matrices
T =
(
a b
c d
)
, S =
(
α β
γ δ
)
,
entonces la transformación S T es de Möbius y está definida por la matriz
S T =
(
α β
γ δ
) (
a b
c d
)
=
(
αa+ βc αb+ βd
γa+ δc γb+ δd
)
.
10 CAPÍTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS COMPLEJAS
Esto se sigue ya que ∀z ∈ C, salvo por un número finito de puntos (donde
el álgebra no se aplica), se tiene
S
(
T (z)
)
=
α
(az + b
cz + d
)
+β
γ
(az + b
cz + d
)
+δ
=
α(az + b) + β(cz + d)
γ(az + b) + δ(cz + d)
=
(αa+ βc)z + αb+ βd
(γa+ δc)z + γb+ δd
.
Por lo cual, las transformaciones S T y la definida por la matriz S T coin-
ciden en Ĉ, excepto, quizá, por un número finito de puntos, sin embargo, al
ser ambas funciones continuas, son iguales.
En particular, las transformaciones de Möbius son biyecciones, ya que si
T está definida por la matriz
T =
(
a b
c d
)
∈ SL(2,C),
la transformación inversa T
−1
está definida por
T−1 =
(
d −b
−c a
)
.
Por consiguiente, estas transformaciones forman un grupo, la identidad
es la función
z 7−→ 1 z + 0
0 z + 1
.
Con frecuencia es importante distinguir las transformaciones de las matrices
que las definen, por lo que denotaremos las primeras con una barra arriba y
las segundas sin barra.
Proposición 1.2.2 Dos transformaciones de Möbius
T (z) =
az + b
cz + d
y S(z) =
a′z + b′
c′z + d ′
son iguales si y sólo si existe k ∈ C, tal que
a = ka′, b = kb′, c = kc′, d = kd ′.
1.2. PROPIEDADES BÁSICAS 11
Demostración. La condición de suficiencia es inmediata. Para probar la
necesidad obsérvese primero que como T y S coinciden en 0 y ∞, se
tiene que si a = 0, entonces a′ = 0, y si b = 0, entonces b′ = 0, etcétera.
Probamos primero el caso a, b, c, d 6= 0, se tiene que
T
−1
(∞) = −d/c = −d ′c′, y T−1(0) = −b/a = −b′/a′.
Escribiendo
d/d ′ = c/c′ = λ, b/b′ = a/a′ = µ,
se sigue que
az + b
cz + d
=
µ a′z + µ b′
λ c ′z + λ d ′
=
µ
λ
(a′z + b′)
(c ′z + d ′)
.
En particular, al evaluar S y T en la preimagen de 1, se tiene µ/λ = 1,
por lo cual µ = λ.
Los casos en los que algún coeficiente es cero son más sencillos, mostramos
dos de ellos y dejamos los cuatro restantes como ejercicio.
(i) Si b, c = 0, evaluando en 1 se tiene a/d = a′/d ′ y a/a′ = d/d ′.
(ii) Si c = 0 y b 6= 0, como el primer caso, b/b′ = a/a′ = µ y para alguna
λ, d = λ d ′, etcétera. �
De la proposición anterior se sigue que hay exactamente dos matrices
unimodulares que determinan una transformación de Möbius dada. Esto es,
ya que si T es de Möbius y está definida por las matrices(
a b
c d
)
,
(
a′ b′
c′ d ′
)
∈ SL(2,C),
entonces
1 = a′d ′ − b′c′ = k2(ad− bc) = k2
y
k = ±1, i.e.
(
a′ b′
c′ d ′
)
= ±
(
a b
c d
)
.
Al cociente de SL(2,C) sobre su centro ±Id se le llama su proyec-
tivización, este grupo cociente, denotado por PSL(2,C), es isomorfo al
grupo de transformaciones de Möbius complejas. La afirmación anterior es
12 CAPÍTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS COMPLEJAS
consecuencia de las últimas observaciones y del primer teorema de isomorfis-
mo de grupos (cf. [4] p. 50), ya que si µC denota el grupo de transformaciones
de Möbius, se tiene el siguiente diagrama de sucesiones exactas
±Id � SL(2,C) � PSL(2,C).
�
µC '
De ahora en adelante identificaremos al grupo de transformaciones de Möbius
con PSL(2,C).
ejemplos de transformaciones de Möbius
(1) Las traslaciones
T (z) = z + b, b ∈ C.
z
b
z + b
Figura 1.2: Traslaciones
(2) Las rotaciones
T (z) = az, a = eiθ.
(3) Las homotecias
T (z) = kz, k ∈ R+.
(4) Las composiciones de homotecias seguidas de rotaciones
T (z) = az, |a| 6= 1, 0, a /∈ R+.
1.2. PROPIEDADES BÁSICAS 13
z
az
θ
Figura 1.3: Rotaciones
z
kz
kz
z
Figura 1.4: Dilatación y contracción
(5) La transformación
T (z) = 1/z,
que es la composición de la inversión en el ćırculo unitario
z → z/ |z|2 = 1/ z,
seguida de la reflexión en el eje real (conjugación).
Se describe ahora las propiedades de conformalidad de estas transforma-
ciones aśı como sus singularidades (polos). Obsérvese que una transformación
de Möbius
T (z) =
az + b
cz + d
tiene un polo simple en −d/c, si c 6= 0, y es entera si c = 0.
14 CAPÍTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS COMPLEJAS
1/z̄
1/z
z
Figura 1.5: z 7−→ 1/z
En general, dada una función holomorfa f definida en una vecindad de
∞ , se dice que f es holomorfa en ∞ (o que f tiene un polo de orden k en
∞ ), si la función g definida en una vecindad del cero por
g(z) = f (1/z)
es holomorfa en cero ( o tiene un polo de orden k en cero). Obsérvese que si
∞ no es una singularidad esencial, entonces necesariamente se tiene una de
las dos posibilidades antes mencionadas.
La elección 1/z en esta definición no es arbitraria. Por una parte, es
una elección natural de cartas coordenadas para proveer de estructura de
superficie de Riemann a la esfera S2 (cf. [2], p. 117), por otra parte, la
acción de z → 1/z en S2 está dada por la rotación
(x1, x2, x3) 7−→ (x1,−x2,−x3)
(ejercicio).
Con esta convención se tiene que si
f(z) =
az + b
cz + d
es de Möbius y c 6= 0, entonces f es holomorfa en ∞ y tiene unpolo simple
en −d/c. Para el caso c = 0, f tiene un polo simple en ∞. Mostramos la
primera afirmación y dejamos las dos restantes como ejercicio. Cerca de ∞
f(z) =
az + b
cz + d
=
a+ b/z
c+ d/z
7−→ a
c
,
1.2. PROPIEDADES BÁSICAS 15
cuando z →∞, y cerca de 0
g(z) =
a/z + b
c/z + d
=
a+ bz
c+ dz
7−→ a
c
,
cuando z → 0, por lo que 0 es una singularidad removible de g.
Volviendo al contexto general de una función f : Ĉ → Ĉ meromorfa,
se sigue del teorema de Liouville que si f es entera en Ĉ, entonces f es
constante. Por otra parte, si f es entera en C y f tiene un polo en ∞,
entonces f es necesariamente un polinomio. Esto es consecuencia del teorema
de las desigualdades de Cauchy y el principio de continuación anaĺıtica; queda
como ejercicio la verificación de los detalles. Estos resultados básicos de la
variable compleja se pueden consultar, por ejemplo, en [5] (pp. 170, 397).
Este hecho tiene una interesante y fundamental consecuencia: toda fun-
ción meromorfa en la esfera es necesariamente racional. Esto se sigue, ya que
si f : Ĉ → Ĉ es meromorfa, entonces por compacidad f tiene solamente un
número finito de polos, y es claro que al multiplicar a f por un polinomio
adecuado, se obtiene una función constante u otro polinomio. En particular,
las únicas biyecciones meromorfas de la esfera en la esfera son las de Möbius.
Definición 3 Sea A un abierto en Rn y f : A ⊂ Rn → Rn diferenciable
en A, se dice que f es conforme en x0 ∈ A, si Df(x0) es un múltiplo
escalar de una transformación ortogonal.
Se sigue de las ecuaciones de Cauchy-Riemann que la definición de confor-
malidad para funciones anaĺıticas –de los cursos básicos de variable compleja–
es una caso particular de esta definición más general, que además incluye a las
reflexiones. Obsérvese también que la conformalidad implica que se preservan
los valores absolutos de los ángulos.
Para el caso de una transformación de Möbius
T (z) =
az + b
cz + d
, se tiene T ′(z) =
ad− bc
(cz + d)2
,
si T no fija a ∞ y T ′(z) = a/d, si ∞ es un punto fijo. Por lo cual, estas
transformaciones son conformes en el plano complejo, salvo en el punto −d/c,
si c 6= 0. Sin embargo, si se considera las transformaciones de Möbius como
biyecciones de la esfera S2 en śı misma, provista con estructura de superficie
de Riemann, no es dif́ıcil probar que hay conformalidad en todos los puntos,
incluyendo ∞.
16 CAPÍTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS COMPLEJAS
Alternativamente, se puede tomar el grupo formado por las composi-
ciones finitas de reflexiones en esferas o planos en R̂3, denominado también
de Möbius, que contiene como subgrupo a las extensiones de PSL(2,C) a
R̂3 (llamadas de Poincaré). Resulta que la reflexión en la esfera con centro
en e3 = (0, 0, 1) y radio
√
2 es una extensión de la proyección estereográfi-
ca, y al conjugar las extensiones de Poincaré de PSL(2,C) con la reflexión
en el plano complejo, seguida de la reflexión en dicha esfera, se obtiene un
grupo –denotado por M(B 3)– cuyos elementos transforman la esfera de Rie-
mann conforme y biyectivamente en śı misma. En particular, estas funciones
preservan los ángulos en todos los puntos de la esfera. Esto se sigue, ya que
los elementos de M(B 3) son composiciones finitas de reflexiones en esferas
o planos ortogonales a S2. Algunos de estos resultados se probarán en el
siguiente caṕıtulo, una prueba completa se puede deducir de [2], pp. 25,27,
31, 33, 37, 58.
Se tiene además que la proyección estereográfica es conforme en C. Una
demostración elemental de este hecho se puede consultar en [6] p. 36. Esta
propiedad también es consecuencia directa de que la proyección estereográfica
es la restricción de una reflexión en una esfera en R̂3; mostraremos en el
siguiente caṕıtulo que estas reflexiones son conformes.
Los siguientes dos teoremas establecen propiedades geométricas funda-
mentales de las transformaciones de Möbius. Escribiremos “ćırculos” para
denotar ćırculos o rectas. Primero probamos un resultado que describe la
estructura de las transformaciones de Möbius.
Lema 1.2.3 Cualquier transformación en PSL(2,C) se puede expresar co-
mo la composición de traslaciones, rotaciones, homotecias y la transforma-
ción z → 1/z.
Demostración. Una transformación en PSL(2,C) que fija ∞ es de la
forma
z 7−→ a
d
z +
b
d
,
es decir, es una composición de homotecias, rotaciones y traslaciones.
Si la función de Möbius no fija ∞, entonces se puede expresar como
z 7−→ az + b
cz + d
=
a
c
(cz + d) + b− ad
c
cz + d
=
a
c
+
b− ad
c
cz + d
,
y es por lo tanto composición de algunas de las transformaciones descritas
en el enunciado del lema. �
1.2. PROPIEDADES BÁSICAS 17
El siguiente resultado muestra que las transformaciones de Möbius tienen
un carácter inversivo, ya que preservan la familia de todos los “ćırculos”. Este
resultado se generaliza a cualquier dimensión (véase [2] p. 28).
Teorema 1.2.4 Las funciones de Möbius en PSL(2,C) transforman “ćırcu-
los” en “ćırculos”.
Demostración. Basta probar que la transformación z → 1/z tiene la
propiedad mencionada, ya que evidentemente las traslaciones, las rotaciones
y las homotecias transforman ćırculos en ćırculos y rectas en rectas. Para
estas últimas funciones, una prueba anaĺıtica de este hecho es muy simple,
por ejemplo, si k ∈ C, la función z → kz transforma la recta
z = a+ bt, a, b ∈ C, t ∈ R,
en la recta
w = kz = ka+ k b t, t ∈ R,
y el ćırculo
|z − a| = r,
en el ćırculo
|kz − ka| = kr.
El caso de la traslación es también trivial (ejercicio).
Para mostrar que la transformación z → 1/z tiene dicha propiedad,
usamos la ecuación general del “ćırculo”
A(x2 + y2) +Bx+ Cy = D. (1.4)
Escribiendo z = x+ iy y 1/z = u+ iv, como
u =
x
x2 + y2
, v =
−y
x2 + y2
y u2 + v2 =
1
x2 + y2
,
sustituyendo en 1.4 se obtienen la ecuaciones
A
( 1
u2 + v2
)
+B
( u
u2 + v2
)
+ C
( −v
u2 + v2
)
= D
y
−D(u2 + v2) +Bu− Cv = −A,
18 CAPÍTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS COMPLEJAS
que es de nuevo la ecuación de un “ćırculo”. Esto se sigue, ya que si D 6= 0,
se puede completar cuadrados y obtener la ecuación de un ćırculo (no hay
radios negativos, ya que se trata de la imagen de un “ćırculo”).
Este argumento algebraico no se aplica en 0 y en ∞, si el “ćırculo” pasa
por ellos. Sin embargo, probar el resultado para estos puntos es muy sencillo,
por ejemplo, si se trata de un ćırculo por el origen, entonces D = 0 y los
puntos de la imagen satisfacen la ecuación de la recta Bu−Cv = −A. Como
∞ es la imagen del 0 y está en dicha recta, se sigue el argumento, véase la
Figura 1.6. Dejamos como ejercicio verificar los otros dos casos.
�
W
1 1
T (W )
Figura 1.6: Imagen del ćırculo W bajo z → 1/z
Otra demostración del teorema anterior se sigue de que la función
z 7−→ 1/z
es una rotación de π radianes alrededor del eje x en la esfera de Riemann,
y del hecho de que la proyección estereográfica manda “ćırculos” en Ĉ en
ćırculos de la esfera. El siguiente resultado muestra que las funciones de
Möbius complejas son transitivas en ternas de puntos en la esfera de Riemann.
Teorema 1.2.5 Dados z1, z2, z3 ∈ Ĉ distintos y w1, w2, w3 ∈ Ĉ también
distintos, existe una única transformación en PSL(2,C) que env́ıa zj en
wj, j = 1, 2, 3.
Demostración. Primero probamos que si T es de Möbius y T fija 0, 1 e
∞, entonces T es la identidad. Sea
T (z) =
az + b
cz + d
1.2. PROPIEDADES BÁSICAS 19
con dicha propiedad, como T (0) = b/d y T (∞) = a/c, se tiene b, c = 0,
por lo que T (1) = a/d = 1 y a = d. En consecuencia, T (z) = z ∀z.
Ahora, si z1, z2, z3 ∈ C, la transformación
S1(z) =
(
z1 − z3
z1 − z2
) (
z − z2
z − z3
)
es de Möbius y env́ıa z1, z2, z3 en 1, 0, e ∞, respectivamente. Para adaptar
esta fórmula al caso en que alguno de los puntos sea ∞, simplemente se
omiten los dos factores donde aparece este punto, por ejemplo, si z2 = ∞,
la transformación
S1(z) =
z1 − z3
z − z3
tiene la propiedad deseada. Dejamos comoejercicio para el lector verificar
los otros dos casos.
El mismo argumento muestra la existencia de una transformación de
Möbius S2 que manda w1, w2, w3 en 1, 0, e ∞ y por lo tanto la trans-
formación
S
−1
2 S1 ∈ PSL(2,C)
manda zj en wj, j = 1, 2, 3.
La unicidad se sigue ya que si T 1 y T 2 env́ıan zj en wj, j = 1, 2, 3, se
tiene
S2 T 1 S
−1
1 = S2 T 2 S
−1
1
(puesto que ambas funciones son la identidad), por lo que T 1 = T 2. �
z1
z2
z3
w1
w2
w3
T
Figura 1.7: Transitividad de PSL(2,C) en “ćırculos”
Este teorema y los resultados anteriores implican que las transformaciones
de Möbius actuan transitivamente en la familia de todos los “ćırculos” de la
esfera de Riemann. Esta útil y fundamental propiedad se generaliza también
a cualquier dimensión (cf. [2] p. 31).
20 CAPÍTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS COMPLEJAS
Corolario 1.2.6 Dados dos “ćırculos” A y B en Ĉ, existe T ∈ PSL(2,C),
tal que T (A) = B, es decir, este grupo actua transitivamente en los “ćırcu-
los” de Ĉ.
Demostración. El “ćırculo” A está determinado por tres puntos distintos,
digamos z1, z2, z3, asimismo el “ćırculo” B está determinado por otros tres
puntos distintos w1, w2, w3. Se sigue entonces del teorema anterior que existe
T ∈ PSL(2,C), tal que T (zi) = wi ∀i y el resultado es consecuencia del
hecho de que las transformaciones de Möbius mandan “ćırculos” en “ćırculos”
(véase la Figura 1.7).
EJERCICIOS 1.2
1. Sea T (z) = az+b
cz+d
, tal que ad− bc = 0, demuestre que T es constante.
2. Demuestre que el centro de SL(2,Z) es ±Id. Sugerencia: usar las matrices
( 1 10 1 ) , (
1 0
1 1 ) .
3. Termine la prueba de la Proposición 1.2.1.
4. Termine la prueba de la Proposición 1.2.2.
5. Demuestre que la transformación z → 1/z es una rotación en la esfera de
Riemann de π radianes alrededor del eje x.
6. Sea T (z) = az+b
cz+d
de Möbius, demuestre que T tiene un polo simple en
−d/c, si c 6= 0, y en ∞, si c = 0.
7. Sea f una función entera en C, tal que f(∞) = ∞, demuestre que f
es un polinomio.
8. Demuestre que las traslaciones preservan la familia de ćırculos y la familia
de rectas.
9. Termine las pruebas de los Teoremas 1.2.4 y 1.2.5.
1.3. Clasificación por conjugación
Una primera clasificación de las transformaciones de Möbius se obtiene al
considerar los puntos fijos en Ĉ. Obsérvese primero que si T es de Möbius
y no es la identidad, entonces T fija a lo más dos puntos. Esto se sigue ya
1.3. CLASIFICACIÓN POR CONJUGACIÓN 21
que si T (∞) 6= ∞, entonces
T (z) =
az + b
cz + d
= z ⇐⇒ az + b = cz2 + dz
y si ∞ es un punto fijo, la ecuación
a
d
z +
b
d
= z
tiene a lo más una solución.
Definición 4 Sea T de Möbius, tal que fija exactamente un punto en Ĉ,
entonces a T se le llama parabólica.
Lema 1.3.1 Sean T y ϕ transformaciones de Möbius, entonces T fija a un
punto w en Ĉ (o preserva un subconjunto A ⊂ Ĉ) si y sólo si S = ϕT ϕ−1
fija ϕ(w) (o preserva ϕ(A)).
Demostración.
T (w) = w ⇐⇒ ϕT (w) = ϕ(w) ⇐⇒ ϕT ϕ−1 (ϕ(w)) = ϕ(w).
Esta misma demostración prueba la afirmación del lema sobre un conjunto
A preservado por T . �
Observése que el lema anterior también se aplica en otras dimensiones y
en contextos más generales.
Proposición 1.3.2 Sea T una transformación de Möbius. Entonces:
(i) si T es parabólica, T es conjugada en PSL(2,C) a una traslación;
(ii) si T no es parabólica, T es conjugada en PSL(2,C) a una transfor-
mación de la forma z → αz, α ∈ C.
Demostración. Sea T parabólica con punto fijo z0 y ϕ ∈ PSL(2,C) tal
que ϕ(z0) = ∞, por ejemplo,
ϕ(z) =
1
z − z0
,
22 CAPÍTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS COMPLEJAS
entonces S = ϕT ϕ−1 fija ∞, y por lo tanto es de la forma
S(z) = αz + β.
Se sigue del lema anterior que S no tiene otro punto fijo, por lo cual α = 1
(si α 6= 1, la ecuación αz + β = z tendŕıa una solución finita).
Para probar la segunda parte, supongamos que T fija 2 puntos distintos
w1, w2 y que
ϕ(z) =
z − w1
z − w2
(si w2 = ∞, se toma ϕ(z) = z − w1). Bajo estas hipótesis la función
S = ϕT ϕ−1
fija 0 e ∞, por lo cual si
S(z) =
az + b
cz + d
,
se tiene b, c = 0. �
El resultado anterior muestra que cualquier transformación de Möbius es
conjugada a una transformación canónica. El siguiente resultado examina la
conjugación entre estas transformaciones canónicas.
Proposición 1.3.3 Sean k1, k2 complejos no nulos, supóngase también que
k1 6= k2, k−12 , entonces las transformaciones T (z) = k1z y S(z) = k2z no
son conjugadas en PSL(2,C).
Demostración. Si la transformación ϕ ∈ PSL(2,C) conjuga T y S,
digamos S = ϕT ϕ−1, entonces se sigue del Lema 1.3.1 que ϕ preserva
{0,∞}.
Si ϕ fija 0 e ∞, entonces ϕ es de la forma z → αz, α ∈ C, por lo que
ϕ conmuta con T , pero entonces T = S, lo cual contradice las hipótesis.
Por otra parte, si ϕ(0) = ∞ y ϕ(∞) = 0, escribiendo
ϕ(z) =
az + b
cz + d
,
como ϕ(0) = b/d y ϕ(∞) = a/c, se tiene que a, d = 0 y que
ϕ(z) =
b
cz
.
1.4. GEOMETRÍA 23
En este caso ϕ es una involución, es decir, ϕ = ϕ−1 y
ϕT ϕ−1(z) = ϕT
( b
cz
)
= ϕ
(k1 b
cz
)
=
b
c
(
k1 b
cz
) = z
k1
,
lo cual contradice k2 6= 1/k1. �
Podemos ahora obtener una clasificación de los elementos de PSL(2,C),
en relación a las transformaciones canónicas actuando en la esfera de Rie-
mann.
Definición 5 Sea T ∈ PSL(2,C), tal que T fija exactamente 2 puntos en
Ĉ, supóngase también que T es conjugada en PSL(2,C) a la transforma-
ción S(z) = αz. Entonces:
(i) si |α| = 1, a T se le llama eĺıptica;
(ii) si α ∈ R+, a T se le llama hiperbólica;
(iii) si |α| 6= 1 y α /∈ R+, a T se le llama loxodrómica.
La proposición anterior muestra que esta definición no depende de la
transformación conjugante. Más aún, la transformación z → 1/z conjuga
las transformaciones T 1(z) = αz y T 2(z) = z/α.
La definición anterior no es usada de manera general en la literatura, al-
gunos autores denominan a las transformaciones loxodrómicas o hiperbólicas,
simplemente hiperbólicas (cf. ([3] p. 31), otros autores en cambio, consideran
a las hiperbólicas como una subclase de las loxodrómicas (cf. ([2] p. 67).
EJERCICIOS 1.3
1. Demuestre que si una función en PSL(2,C) es de orden finito, entonces
es necesariamente eĺıptica.
2. Demuestre que cualquier traslación z → z + b, b ∈ C, es conjugada en
PSL(2,C) a la traslación z → z + 1.
1.4. Geometŕıa
Para visualizar la acción geométrica de las transformaciones de Möbius en la
esfera de Riemann y en el plano complejo, es útil considerar ciertas familias
24 CAPÍTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS COMPLEJAS
de “ćırculos”. Con este propósito se toman α1, α2 ∈ C distintos y
ϕ(z) =
z − α1
z − α2
. (1.5)
α1
α2
ϕ
Figura 1.8: Configuración de Steiner
Obsérvese que como ϕ es de Möbius, ϕ transforma los “ćırculos” que
pasan por α1 y α2, en rectas por el origen. También los “ćırculos” concéntri-
cos al origen {w ∈ C
∣∣ |w| = r} son la imagen bajo ϕ de los conjuntos
definidos por la siguiente ecuación{
z ∈ C
∣∣∣∣ |z − α1||z − α2| = r
}
.
Estos conjuntos son “ćırculos” ya que ϕ−1 es de Möbius. A estos “ćırculos”
se les llama de Apolonio con respecto a los puntos ĺımite α1 y α2. Nótese
1.4. GEOMETRÍA 25
que estos “ćırculos” están caracterizados por la propiedad de ser el conjunto
de puntos del plano cuyas distancias a dos puntos fijos tienen una razón
constante. No es dif́ıcil probar anaĺıtica y geométricamente que para un solo
valor de r, el “ćırculo” de Apolonio es una recta (ejercicio) .
Denotamos por C1 a la familia de “ćırculos” que pasan por α1 y α2, y
por C2 la familia de los “ćırculos” de Apolonio con respecto a estos puntos
(véase la Figura 1.8). Esta configuración, llamada de Steiner, cumple las
siguientes propiedades:
P1: ∀p ∈ Ĉ, p 6= α1, α2, se tiene que p está exactamente en un “ćırculo”
de la familia C1 y uno de la familia C2.
P2: cada “ćırculo” en C1 intersecta a cada “ćırculo” de C2 ortogonalmente
en dos puntos.
P3: Ĉ − {α1, α2} es la unión ajena de los “ćırculos” de lafamilia C2.
Estas propiedades son evidentes cuando se trata de ćırculos concéntricos
al origen y rectas por el origen, el caso general se sigue por biyectividad y
conformalidad.
z
T (z)
α1 α2
Figura 1.9: Las transformaciones eĺıpticas “rotan” los ćırculos de Apolonio
26 CAPÍTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS COMPLEJAS
1.4.1. Transformaciones eĺıpticas
Sean T eĺıptica con puntos fijos α1, α2, y ϕ como en (1.5), entonces
S(z) = ϕT ϕ−1 = eiθz.
Afirmación 1 Si C es un “ćırculo” de Apolonio con puntos ĺımite α1 y
α2, entonces T (C) = C.
Demostración. Como S preserva ϕ(C), entonces T = ϕ−1 S ϕ preserva
ϕ−1 ϕ(C) = C.
Afirmación 2 Si A es un “ćırculo” por α1 y α2, entonces T (A) es un
“ćırculo” por α1 y α2, que forma con A un ángulo θ en α1, y en α2.
Demostración. Como T fija α1 y α2, T (A) es un “ćırculo” por α1
y α2. Ahora ϕ(A) y S ϕ(A) forman un ángulo θ en el origen y por la
conformalidad de ϕ−1 se tiene que A = ϕ−1 ϕ(A) y T (A) = ϕ−1 S ϕ(A)
también se intersectan en un ángulo θ en α1. Para probar la afimación en
el punto α2, se intercambian los papeles de α1 y α2 en la expresión de ϕ
(véase la Figura 1.11). �
Figura 1.10: Acción de las transformaciones eĺıpticas en la esfera
En resumen, una transformación eĺıptica es una rotación en los “ćırculos”
de Apolonio en la esfera de Riemann, o en el plano complejo. Véase las
Figuras 1.9 y 1.10. La acción geométrica de estas transformaciones en R̂ 3
consiste de una rotación alrededor de un “ćırculo” de puntos fijos, cf. [2]
p. 67. En el siguiente caṕıtulo se analizará de nuevo la geometŕıa de las
transformaciones de Möbius, usando la métrica hiperbólica.
1.4. GEOMETRÍA 27
θ
Sϕ(A)
ϕ(A)
A
T (A)
α1 α2
θ θ
Figura 1.11: Las transformaciones eĺıpticas intercambian los “ćırculos” por
los puntos fijos (rotándolos)
1.4.2. Transformaciones hiperbólicas
α1 α2
C
T (C)
ϕ(C)
Sϕ(C)
Figura 1.12: Las transformaciones hiperbólicas intercambian los “ćırculos”
de Apolonio
Como en el caso eĺıptico consideramos ϕ(z) como en (1.5) y T hiperbólica
con puntos fijos α1 y α2, por lo cual
S(z) = ϕT ϕ−1 = kz, k ∈ R+.
En este caso T preserva los “ćırculos” por α1 y α2 e intercambia los “ćırcu-
los” de Apolonio. La primera afirmación se sigue de manera inmediata (véase
la Figura 1.13). Ahora, si C es un “ćırculo” de Apolonio, entonces ϕ(C) y
S ϕ(C) son ćırculos distintos concéntricos al origen y
ϕ−1 S ϕ(C) = T (C)
28 CAPÍTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS COMPLEJAS
es otro “ćırculo” de Apolonio (véase la Figura 1.12).
α1 α2
z
T (z)
T
n
(z)
z
T (z)
T
n
(z)
Figura 1.13: “Ćırculos” fijos de las transformaciones hiperbólicas
Figura 1.14: Acción de las transformaciones hiperbólicas en la esfera
Obsérvese que al iterar T , si n ∈ N, se tiene
T
n
(z) =
(
ϕ−1 S ϕ
)n
(z) = ϕ−1 S
n
ϕ(z).
Por lo cual, si k > 1 y z 6= α1, entonces T
n
(z) → α2, cuando n → ∞, ya
que S
n
ϕ(z) se acerca a ∞. En este caso los puntos fluyen hacia α2 y se
dice que α2 es el atractor. También, S
n
ϕ(z) se aleja de 0 y T
n
(z) de α1,
se dice que α1 es el repulsor. Si k < 1, es claro que se invierten los papeles,
α1 es ahora el atractor (véase las Figuras 1.13 y 1.14).
1.4. GEOMETRÍA 29
1.4.3. Transformaciones loxodrómicas
Las loxodrómicas son una composición de hiperbólicas y eĺıpticas, por lo que
su dinámica consiste de una rotación de los “ćırculos” de Apolonio, seguida
de una traslación a lo largo de los “ćırculos” por α1 y α2 (o viceversa,
ya que estas funciones conmutan). De manera análoga al caso hiperbólico,
uno de los puntos fijos es un atractor y el otro un repulsor. En este caso, no
hay “ćırculos” fijos, sin embargo, estas transformaciones preservan espirales
que se enrollan en los puntos fijos (véase la Figura 1.15). Si los puntos fijos
son 0 e ∞, esto se sigue al considerar T (z) = az, a = er+iθ, loxodrómica
y z0 ∈ C − {0}; se tiene entonces que las imágenes de este punto bajo las
iteraciones de T son los puntos
z0e
nr+inθ, n ∈ Z,
por lo cual, la espiral
z0e
xr+ixθ, x ∈ R
es invariante bajo T . El caso general se sigue por conjugación, queda como
ejercicio para el lector la verificación de los detalles.
0
z0
z0 e
nr+inθ
0
Figura 1.15: Espirales invariantes bajo las transformaciones loxodrómicas
1.4.4. Transformaciones parabólicas
Las traslaciones de la forma S(z) = z + b tienen como familia de “ćırculos”
fijos a las rectas paralelas al vector b, las cuales se intersectan en ∞ (véase
30 CAPÍTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS COMPLEJAS
la Figura 1.16). Al iterar S los puntos de C se mueven hacia ∞ en la
dirección del vector b.
En el caso general, si T es parabólica y fija α, conjugando con
ϕ(z) =
1
z − α
,
se tiene que la familia de “ćırculos” fijos cubren Ĉ y se intersectan solamente
en α. Al iterar T algunos puntos fluyen a lo largo de estos “ćırculos” hacia α,
otros se “alejan” de este punto, para posteriormente “acercarse” a él (véase
las Figuras 1.16 y 1.17). Estas afirmaciones se pueden probar de manera
análoga a las del caso hiperbólico.
z + b
z
α
Figura 1.16: Ćırculos fijos de las transformaciones parabólicas
La configuración de los “ćırculos” fijos de las parabólicas descrita en la
Figura 1.16 se enriquece al incorporar su familia ortogonal, como se muestra
en la Figura 1.18. Esta nueva configuración describe de manera más detallada
la geometŕıa de las transformaciones parabólicas y se puede pensar como un
caso degenerado de la configuración de Steiner, que se obtiene al juntar los dos
puntos ĺımite α1, α2, en uno solo, que es precisamente el punto α. La familia
de los “ćırculos” fijos, la denotamos por C2, como ya se mencionó consiste
de “ćırculos” tangentes en α, que cubren la esfera de Riemann, es decir,
si F1, F2 ∈ C2, entonces F1 ∩ F2 = {α}. Esta familia se puede pensar como
un caso degenerado de los “ćırculos” de Apolonio que originalmente rodean
los puntos ĺımite α1, α2, y que al deformar estos en un solo punto α, se
transforman en “ćırculos” tangentes en α, que cubren la esfera de Riemann.
1.4. GEOMETRÍA 31
Figura 1.17: Acción de las transformaciones parabólicas en la esfera
En este sentido, las parabólicas se pueden pensar como un caso degenerado
de las eĺıpticas, al conservarse en el ĺımite ese carácter rotacional por los
ćırculos de Apolonio (véase la Figura 2.6). La otra familia, que denotamos
por C1, es la familia ortogonal, esto es, los “ćırculos” obtenidos al rotar
(por multiplicación por i) alrededor de α, los “ćırculos” de la familia C2.
Para el caso α = ∞, la rotación puede ser sobre cualquier punto del plano.
Los “ćırculos” de esta familia C1 son intercambiados por las parabólicas,
esto es, se rotan entre si, alrededor de α (véase la Figura 1.18). Todas estas
afirmaciones son evidentes para el caso de las traslaciones, el caso general se
sigue por biyectividad y conformalidad al conjugar.
α
z
z + b
Figura 1.18: Configuración de Steiner degenerada
32 CAPÍTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS COMPLEJAS
EJERCICIOS 1.4
1. Demuestre análitica y geométricamente que existe solamente una recta de
Apolonio.
2. Demuestre la existencia de espirales invariantes bajo las transformaciones
loxodrómicas.
3. Demuestre que una transformación loxodrómica tiene como puntos fijos
un atractor y un repulsor.
1.5. Transformaciones que preservan “dis-
cos”
Se denotará por “discos” a discos o semiplanos en el plano complejo (o discos
en la esfera de Riemann). Se describe primero las transformaciones de Möbius
que preservan el semiplano superior,
H2 = {z ∈ C
∣∣ Im(z) > 0}.
Mostraremos en el siguiente caṕıtulo que este semiplano es uno de los mode-
los más importantes del plano hiperbólico y que las transformaciones de
PSL(2,C) que lo preservan, actuan como isometŕıas hiperbólicas.
Al subgrupo de las matrices en SL(2,C) con entradas reales se le denota
por SL(2,R). La misma prueba del caso complejo muestra que el centro de
SL(2,R) es ±Id y que se puede identificara las transformaciones de Möbius
definidas por estas matrices con PSL(2,R), donde este último grupo es el
cociente de SL(2,R) sobre su centro. Esta afirmación se sigue del siguiente
diagrama de sucesiones exactas, donde µR denota las transformaciones de
Möbius definidas por las matrices en SL(2,R).
±Id � SL(2,R) � PSL(2,R).
�
µR '
De ahora en adelante nos referiremos a estas transformaciones como los
elementos de PSL(2,R).
Teorema 1.5.1 Las transformaciones de Möbius que preservan H2 son pre-
cisamente aquéllas definidas por PSL(2,R).
1.5. TRANSFORMACIONES QUE PRESERVAN “DISCOS” 33
Demostración. Sea
T (z) =
az + b
cz + d
, ab− bc = 1, a, b, c, d ∈ R,
se sigue entonces que T (R̂) = R̂. Ahora, como
T (i) =
a i+ b
c i+ d
=
(a i+ b)(−c i+ d)
c 2 + d 2
,
se tiene que
Im(T (i)) =
1
c 2 + d 2
> 0,
y se sigue entonces por conexidad que T preserva H2.
Por otra parte, si una función en PSL(2,C)
T (z) =
az + b
cz + d
, ad− bc = 1,
preserva H2, entonces la continuidad y la biyectividad implican que T tam-
bién preserva la recta real extendida R̂.
Ahora, si
S(z) =
az + b
cz + d
,
resulta que T y S coinciden en R̂, ya que si z ∈ R̂, entonces
T (z) = T (z) = S(z) = S(z).
Por lo tanto, como T y S coinciden en más de dos puntos, T = S y
a = ± a, b = ± b, c = ± c, d = ± d.
Hay que probar que a, b, c y d no son imaginarios puros, si aśı fuera, se
tendŕıa
T (i) =
a i+ b
c i+ d
=
(a i+ b)(−c i+ d)
|c i+ d|2
y
Im T (i) =
a d− b c
|c i+ d|2
= − a d− b c
|c i+ d|2
< 0,
lo cual contradice que T preserva H2. �
34 CAPÍTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS COMPLEJAS
Se quiere describir las transformaciones de Möbius que preservan el disco
unitario
∆ = {z ∈ C | |z| < 1}.
Esto es muy importante, porque este disco, llamado de Poincaré, es un segun-
do modelo del plano hiperbólico, más homogéneo que el semiplano superior,
ya que todos los puntos en la “recta” al infinito, es decir, en el ćırculo uni-
tario, son similares; en contraste con la recta real extendida, en la cual ∞
juega un papel muy particular. Con este objeto, se encuentra una función en
PSL(2,C) que transforme H2 en ∆. Para esto basta mandar tres puntos
distintos de la recta real extendida, a tres puntos distintos del ćırculo unitario
∂∆. Una elección, que resulta muy adecuada, es enviar −1, 0, 1 a i,−1,−i.
Si T ∈ PSL(2, C),
T (z) =
az + b
cz + d
,
tiene esta propiedad, evaluando en 0, se tiene
b/d = −1 y b = −d.
Evaluando ahora en ±1, se sigue que
−a+ b
−c+ d
= i y
a+ b
c+ d
= −i.
Por consiguiente
−a− d = i(−c+ d) y a− d = −i(c+ d),
sumando y restando estas ecuaciones se obtiene
− 2 d = −2 i c y − 2 a = 2 i d.
Finalmente, si d = i se obtiene la transformación buscada
T (z) =
z − i
z + i
,
ya que como T (i) = 0 y por construcción T manda la recta real en el ćırculo
unitario, se sigue por conexidad que
T (H2) = ∆.
Esta transformación llamada de Cayley es una rotación de orden 3 en la
esfera de Riemann (cf. [16]).
1.5. TRANSFORMACIONES QUE PRESERVAN “DISCOS” 35
Teorema 1.5.2 Las transformaciónes de Möbius en PSL(2,C) que preser-
van el disco unitario ∆ son de la forma
S(z) =
αz + β
βz + α
, |α|2 − |β|2 = 1 α, β ∈ C.
Demostración. Obsérvese primero que si
T (z) =
z − i
z + i
y S es una función en PSL(2,C) que preserva ∆, entonces la transforma-
ción
U = T
−1
S T ∈ PSL(2,R)
y
S = T U T
−1
.
Escribiendo
T =
(
1 −i
1 i
)
y U =
(
a b
c d
)
∈ SL(2,R),
basta calcular T U T −1.
Como
T−1 =
(
i/2 i i/2 i
−1/2 i 1/2 i
)
= (1/2) I
(
1 1
i −i
)
,
se tiene
T U T −1 = (1/2) I
(
1 −i
1 i
) (
a b
c d
) (
1 1
i −i
)
= (1/2) I
(
a− ic b− id
a+ ic b+ id
) (
1 1
i −i
)
= (1/2) I
(
a+ d+ i(b− c) a− d− i(b+ c)
a− d+ i(b+ c) a+ d+ i(c− b)
)
,
la cual es una matriz de la forma(
α β
β α
)
, |α|2 − |β|2 = 1, α, β ∈ C.
�
36 CAPÍTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS COMPLEJAS
Denotaremos por M(∆) a este subgrupo de transformaciones de PSL(2,C)
que preservan ∆. La función
z 7−→ az + c
cz + a
, |a|2 − |c|2 = 1,
se puede modificar a otra útil expresión, de la siguiente manera:
az + c
cz + a
=
a
(
z +
c
a
)
cz + a
=
a
|a|
(
z +
c
a
)
c
|a|
z +
a
|a|
=
(
a
|a|
)2 (
z −
(
− c
a
))
ac
|a|2
z +
aa
|a|2
=
e iθ(z − z0)
−z0z + 1
, z0 ∈ ∆, (1.6)
donde e iθ = (a/|a|)2 y z0 = −c/a (como |a|2 − |c|2 = 1, z0 ∈ ∆).
Viceversa, se sigue por biyectividad y conexidad, que toda transformación
de la forma (1.6) preserva ∆, ya que T (z0) = 0 y si |z| = 1, entonces
|z − z0|
| − z0z + 1|
=
|zz − z0z|
| − z0z + 1|
= 1.
Las transformaciones de Möbius que preservan ∆ son conformes en ∆,
ya que los únicos puntos donde una función en PSL(2,C) puede no ser
conforme son ∞ y su preimagen.
EJERCICIOS 1.5
1. Sea f : ∆ → ∆ una biyección conforme, demuestre que f es de Möbius.
Sugerencia: usar la unicidad del teorema del “mapeo” de Riemann.
2. Demuestre que PSL(2,R) está generado por homotecias, traslaciones por
reales y la función z → −1/z.
1.6. CLASIFICACIÓN POR LA TRAZA 37
1.6. Clasificación por la traza
Ahora exhibimos una caracterización de los elementos de PSL(2,C) en
términos de la traza, esta clasificación es de gran utilidad, por ejemplo, per-
mite detectar de manera inmediata de qué tipo es una transformación de
Möbius dada.
Definición 6 Sea T una transformación de Möbius distinta de la identidad.
(i) Si T es parabólica se define su multiplicador como 1.
(ii) Si T es conjugada a una transformación de la forma z → kz, k 6= 0, 1,
a los números k y 1/k se les llama los multiplicadores de T .
Se sigue de la clasificación definida por la conjugación a formas canónicas
que los multiplicadores están bien definidos. El grupo de matrices de 2 × 2
con entradas complejas y determinante distinto de 0 se denota por GL(2,C),
se define la traza de A ∈ GL(2,C) como la suma de los elementos diagonales,
ésta se denota por tr(A). Usaremos el siguiente resultado básico del álgebra
lineal.
Lema 1.6.1 La traza es invariante bajo conjugación en GL(2,C).
Demostración. Basta probar que tr(AB) = tr(BA), A,B ∈ GL(2,C), ya
que entonces tr(ABA−1) = tr(A−1AB) = tr(B). Escribiendo
A =
(
a b
c d
)
, B =
(
α β
γ δ
)
,
se tiene
AB =
(
aα+ bγ ∗
? cβ + dδ
)
y BA =
(
αa+ βc ∗
? γb+ δd
)
,
por lo que tr(AB) = tr(BA). �
La traza de una transformación de Möbius está bien definida salvo un
signo, puesto que existen dos matrices unimodulares que la definen.
Definición 7 Dada T ∈ PSL(2,C),
T (z) =
az + b
cz + d
,
se define la traza de T como ± a+ d√
ad− bc
.
38 CAPÍTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS COMPLEJAS
Denotaremos la traza de T por χ(T ), o simplemente por χ. Para muchas
aplicaciones es útil tener fórmulas expĺıcitas de las coordenadas de los puntos
fijos. Obtenemos ahora una expresión en términos de la traza, para esto
consideramos
T (z) =
az + b
cz + d
, ad− bc = 1, T 6= Id
y se tienen dos casos.
Caso 1: c 6= 0. En este caso, como
T (z) = z ⇐⇒ az + b = (cz + d) z ⇐⇒ cz2 + (d− a)z − b = 0,
los puntos fijos de T están dados por
a− d±
√
(a− d)2 + 4 b c
2c
,
y usando la condición unimodular, esta fórmula se simplifica a
a− d±
√
χ2 − 4
2c
. (1.7)
Caso 2: c = 0. En este caso
T (z) =
a
d
z +
b
d
.
Si T es parabólica, ∞ es el único punto fijo. De otra manera, como
T (z) = z ⇐⇒
(a
d
− 1
)
z = − b
d
,
el segundo punto fijo está dado por
b
d− a
.
Teorema 1.6.2 Sea T ∈ PSL(2,C), T 6= Id, entonces
k +
1
k
+ 2 = χ2,
donde k, 1/k son los multiplicadores de T y χ es su traza.
1.6. CLASIFICACIÓN POR LA TRAZA 39
Demostración.
Caso 1: T es parabólica.
Como el cuadrado de la traza es invariante bajo conjugación, se tiene
χ2(T ) = tr2
(
1 t
0 1
)
= 4
y se sigue el resultado.
Caso 2: T no es parabólica.
En este caso T es conjugada a una transformación de la forma S(z) = kz,
la cual está definida por la matriz
S =
√k 0
0
1√
k
 ∈ SL(2,C).
Por lo cual
χ2(T ) = χ2(S) =
(√
k +
1√
k
)2
= k +
1
k
+ 2.
�
Para transformaciones con dos puntos fijos finitos α1, α2, se tieneuna
expresión de los multiplicadores en términos de estos puntos. Sea
T (z) =
az + b
cz + d
con esta propiedad, S(z) = kz, donde k es uno de los multiplicadores de T
y
ϕ(z) =
z − α1
z − α2
.
Entonces,
S = ϕT ϕ−1 y S ϕ = ϕT .
Por lo cual
T (z)− α1
T (z)− α2
= k
z − α1
z − α2
,
y evaluando en ∞, se tiene
k =
a/c− α1
a/c− α2
y 1/k =
a/c− α2
a/c− α1
.
40 CAPÍTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS COMPLEJAS
Para el caso de una transformacion en PSL(2,C) que fija dos puntos,
uno de los cuales es ∞, es decir, de la forma T (z) = α z + β, los multi-
plicadores se encuentran con facilidad, éstos son precisamente α y 1/α. Lo
cual se sigue, ya que con esta notación el segundo punto fijo está dado por
β
1− α
,
y conjugando con
ϕ(z) = z − β
1− α
,
se obtiene
S(z) = ϕT ϕ−1(z) = ϕT
(
z +
β
1− α
)
= α z
(como el término constante es cero, no es necesario efectuar más cuentas).
Esta facilidad para detectar los multiplicadores de una transformación
que fija ∞, permite también clasificarla de manera inmediata, por ejemplo,
z → i z + 5
es eĺıptica, sin embargo
z → 7 z + 8 + i
es hiperbólica. El siguiente resultado es muy importante, exhibe un criterio,
también sencillo, para clasificar cualquier transformación en PSL(2,C).
Teorema 1.6.3 Sea T ∈ PSL(2,C), T 6= Id y χ la traza de T . Entonces
(i) T es parabólica si y sólo si χ = ±2;
(ii) T es elipt́ıca si y sólo si χ ∈ (−2, 2);
(iii) T es hiperbólica si y sólo si χ ∈ (2,∞) ∪ (−∞,−2);
(iv) T es loxodrómica si y sólo si χ /∈ R.
Demostración. Probamos primero las condiciones de necesidad. El caso
parabólico ya se probó.
Si T es eĺıptica, entonces T es conjugada a una transformación de la
forma S(z) = e iθ z, θ ∈ (0, 2π), la cual está determinada por la matriz(
eiθ/2 0
0 e−iθ/2
)
∈ SL(2, C).
1.6. CLASIFICACIÓN POR LA TRAZA 41
Por lo tanto, ±χ(T ) = ±χ(S) = ± 2 cos(θ/2) ∈ (−2, 2).
Si T es hiperbólica, entonces T es conjugada a una transformación defini-
da por la matriz (√
k 0
0 1/
√
k
)
∈ SL(2, C), k ∈ R+,
por lo cual
χ2(T ) = χ2(S) =
(√
k +
1√
k
)2
= k + 2 +
1
k
> 4,
puesto que (√
k − 1√
k
)2
> 0.
Ahora, si T es loxodrómica y ρe iθ, ρ 6= 0, 1, θ ∈ (0, 2π), es uno de sus
multiplicadores, se sigue del Teorema 1.6.2 que
ρ(cos θ + i sen θ) +
1
ρ
(cos θ − i sen θ) + 2 = χ2(T ).
Si χ(T ) ∈ R, se tendŕıa χ2(T ) ∈ R+ y (ρ − 1/ρ) sen θ = 0, por lo cual
sen θ = 0 y θ = π. Al tomar la parte real se tiene −(ρ+ 1/ρ) + 2 ∈ R+, lo
que es una contradicción, ya que ρ+ 1/ρ > 2.
Para probar la suficiencia, obsérvese que si χ2(T ) = 4, se sigue de la
primera parte que T no es eĺıptica, ni tampoco hiperbólica o loxodrómica,
por lo que debe ser parabólica. Los otros casos se siguen de manera análoga.
�
El siguiente resultado, que es consecuencia del Teorema 1.6.2, muestra
que χ2 clasifica las clases conjugadas de PSL(2,C); dejamos su verificación
como ejercicio para el lector.
Corolario 1.6.4 Dos transformaciones de Möbius complejas T , S son con-
jugadas en PSL(2,C) si y sólo si
χ2(T ) = χ2(S).
42 CAPÍTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MÖBIUS COMPLEJAS
Damos ahora unos ejemplos, las transformaciones
z 7−→ 2 z + 3
z + 2
y z 7−→ 2 z + 9
−z − 4
son hiperbólica y parabólica, respectivamente. Por otra parte, las funciones
z 7−→ −1
z
y z 7−→ i z − 2
z + i z
son eĺıptica de orden 2 y loxodrómica, respectivamente.
EJERCICIOS 1.6
1. Sea T ∈ PSL(2,C), demuestre que T preserva un “disco” si y sólo si T
no es loxodrómica.
2. Demuestre que una transformación en PSL(2,C) es de orden dos si y sólo
si su traza es 0.
3. Demuestre que los puntos fijos de una transformación eĺıptica en PSL(2,R)
son conjugados.
4. Demuestre que los puntos fijos finitos de una transformación hiperbólica
o parabólica en PSL(2,R) son reales.
5. Demuestre que la función z → z−i
z+i
es eĺıptica de orden 3.
6. Demuestre el Corolario 1.6.4.
Caṕıtulo 2
Métrica hiperbólica
Primeramente se demuestra cómo una densidad induce una métrica y cómo
bajo biyecciones conformes se obtienen isometŕıas. Usando estos resultados
se presentan dos modelos del plano hiperbólico, el del semiplano superior H2
y el del disco de Poincaré ∆. En cada uno de estos modelos, se describen
fórmulas de la distancia, aśı como los grupos de isometŕıas, las geodésicas
o curvas que minimizan la distancia y los ćırculos. También, se muestran
algunas aplicaciones, como el paralelismo. Posteriormente, se estudia el grupo
general de isometŕıas en ambos modelos y se describen los haces parabólicos,
eĺıpticos e hiperbólicos, probando algunas propiedades de éstos. Por último,
se prueban algunos resultados de la geometŕıa hiperbólica 3-dimensional.
2.1. Densidades
Recordamos que si A es un abierto en Rn y f es una función diferenciable
de A en Rn, se dice que f es conforme en x0 ∈ A, si Df(x0) es el producto
de una matriz ortogonal por la matriz k I, k ∈ R+. Al número k se le llama
el factor de conformalidad y se le denota por µf (x0), o simplemente por
µ(x0).
Definición 8 Sea A una región en Rn, una densidad en A es una función
continua λ : A→ R+.
Las densidades nos permiten medir longitudes de curvas de distintas
maneras. Más precisamente, dada una densidad λ en una región A y γ
43
44 CAPÍTULO 2. MÉTRICA HIPERBÓLICA
una curva de clase C 1 en A, se define la λ-longitud de γ como∫ b
a
λ(γ(t)) | γ ′(t) | dt,
donde γ:[a , b]→ A. Esta definición se extiende de manera natural a curvas de
clase C 1 por tramos. Denotamos a esta longitud por lλ(γ). Esta medición
de curvas permite también medir la distancia entre puntos.
Definición 9 Sea λ una densidad en una región A y z1, z2 ∈ A, se define
la λ-distancia de z1 a z2, como
ı́nf
γ
lλ(γ),
donde el ı́nfimo es sobre todas las curvas γ de clase C1 por tramos que unen
z1 con z2. A esta distancia se le denota por ρλ(z1, z2).
Teorema 2.1.1 Sea λ una densidad definida en una región A de Rn, en-
tonces la distancia ρλ define una métrica en A.
Demostración. Probamos primero que ρ es simétrica. Para esto, si se
tiene una curva γ : [a , b] → A de clase C 1 que une z1 con z2, se define
−γ : [a , b] → A como −γ(t) = γ(a+ b− t). Obsérvese que −γ une z2 con
z1, y que usando el teorema fundamental del cálculo se tiene
lλ(−γ) =
∫ b
a
λ
(
− γ(t)
)
|(−γ) ′(t)| dt =
∫ b
a
λ
(
γ(a+ b− t)
)
| γ ′(a+ b− t)| dt
=
∫ b
a
λ
(
γ(s)
)
|γ′(s)| ds = lλ(γ).
Evidentemente, ρ(x, x) = 0, ∀x ∈ A y ρ es no negativa. Además, se
cumple la desigualdad del triángulo: si ρ(x, z) > ρ(x,w) + ρ(w, z), entonces
existe � > 0, tal que ρ(x, z) > ρ(x,w) + ρ(w, z) + �. Sin embargo, en este
caso se podŕıan tomar dos curvas, γ1 y γ2, cuyas longitudes aproximaran
ρ(x,w) y ρ(w, z) por una cantidad menor a �/2 , respectivamente. Esto seŕıa
una contradicción, ya que la curva γ1 +γ2 uniŕıa x con z y tendŕıa longitud
menor a ρ(x, z).
Falta solamente probar que si x 6= y, entonces ρ(x, y) > 0. Para probar
esto, sea D un disco cerrado con centro en x, radio r y tal que y /∈ D. Por
2.1. DENSIDADES 45
compacidad y continuidad existe m tal que λ(z) ≥ m, ∀z ∈ D. Ahora, sea
γ : [a , b] → A una curva que une x con y y t0 ∈ [a , b], tal que γ(t0) es el
primer punto donde la curva sale del disco abierto D (veáse la Figura 2.1).
En este caso se tiene
lλ(γ) ≥
∫ t0
a
λ(γ(t)) |γ′(t)| dt ≥ mr,
puesto que cualquier curva que une x con un punto en ∂D tiene una longitud
mayor o igual a r. Por lo tanto ρ(x, y) ≥ mr > 0. �
x
y
γ(t0)
Figura 2.1: Positividad de la métrica definida por una densidad
La siguiente observación es de gran utilidad para obtener espacios isométri-
cos, por ejemplo, al exhibir diferentes modelos del plano hiperbólico. Sean A
y B dos regiones en Rn y f : A → B, una biyección conforme, supóngase
también que la región A está provista de una métrica definida por una densi-
dad λ. Bajo estas hipótesis, se puede proveer a la región B con una densidad
σ, de tal manera que f sea una isometŕıa. Esto se obtiene definiendo
σ(f(x)) =
λ(x)
µ(x)
, (2.1)
donde µ(x)es el factor de conformalidad de f en x. Esto se sigue, ya que
si γ : [a , b] → A es una curva de clase C 1, entonces se tiene
lσ (f(γ)) =
∫ b
a
∣∣(f γ) ′(t)∣∣ σ(f (γ(t)) ) dt
46 CAPÍTULO 2. MÉTRICA HIPERBÓLICA
=
∫ b
a
µ(γ(t)) |γ′(t)| λ (γ(t))
µ(γ(t))
dt = lλ(γ).
Como toda curva de clase en C 1 en B es de esta forma, se sigue la obser-
vación, puesto que este análisis se puede generalizar fácilmente a curvas de
clase C 1 por tramos.
Es importante destacar que el argumento funciona también en el sentido
inverso, es decir, si se tienen dos regiones A y B con métricas definidas por
densidades λ y σ respectivamente y una biyección conforme entre ellas que
satisface (2.1), entonces A y B son regiones isométricas.
En particular, si se tiene una región A en Rn provista con una métrica
definida por una densidad λ y una biyección conforme f : A → A, que
satisface la ecuación
λ(f(x)) =
λ(x)
µ(x)
, (2.2)
entonces, f es una isometŕıa.
Si se tiene definida una densidad λ, en una región A ⊂ Rn, es claro
que la λ-longitud de una curva C en A no está uńıvocamente determina-
da, ya que al parametrizarla se puede hacer de tal manera que se recorra
algún segmento de la curva, más de una vez. Sin embargo, si la curva C
está parametrizada por una función C 1 por tramos, de modo que la deriva-
da se anule solamente en un número finito de puntos y recorra la curva en
la misma dirección; entonces la λ-longitud de C es única. Para probar es-
to, obsérvese primero que se tienen dos parametrizaciones γ1 : [a , b] → A,
γ2 : [c , d] → A, de clase C 1, que recorren el mismo segmento de la curva C,
en la misma dirección y con derivada no nula, entonces se sigue del teorema
de parametrización unitaria, que existe un difeomorfismo ϕ : [a , b] → [c , d],
tal que γ2 ϕ = γ1. Ahora, bajo estas hipótesis, se tiene por el teorema de
cambio de variable real, que
lλ(γ1) = lλ(γ2 ϕ) =
∫ b
a
∣∣(γ2 ϕ) ′(t)∣∣ λ(γ2(ϕ(t))) dt
=
∫ b
a
ϕ ′(t)
∣∣γ2 ′(ϕ(t))∣∣ λ(γ2(ϕ(t))) dt = ∫ d
c
∣∣γ2 ′(s)∣∣ λ(γ2(s)) ds = lλ(γ2).
Usando este argumento se sigue facilmente la afirmación en el caso general.
EJERCICIOS 2.1
1. Demuestre formalmente la existencia del punto t0 descrito al final de la
demostración del Teorema 2.1.1.
2.2. EL MODELO DEL SEMIPLANO 47
2. Demuestre formalmente la validez de la desigualdad descrita al final de la
demostración del Teorema 2.1.1:
∫ t0
a
λ(γ(t)) |γ′(t)| dt ≥ mr.
3. Sea f : A→ Rn una función diferenciable en una abierto A de Rn y que
también es conforme en x0 ∈ A, demuestre que ĺımx→x0
|f(x)−f(x0)|
|x−x0| existe y
es precisamente el factor de conformalidad.
2.2. El modelo del semiplano
La discusión sobre densidades nos permite presentar un primer modelo del
plano hiperbólico, donde PSL(2,R) actúa como un grupo de isometŕıas.
Definición 10 El plano superior H2 provisto con la métrica definida por
la densidad
λ(z) =
1
Im z
se le llama el plano hiperbólico y a esta métrica se le llama la métrica
hiperbólica.
En este modelo, llamado del semiplano, es intuitivamente claro que si se
tiene una curva C en H2 y se traslada en dirección vertical, su longitud
hiperbólica puede crecer tanto como se quiera (si se mueve hacia abajo), o
puede decrecer tanto como se quiera (si se mueve hacia arriba); sin embargo
la longitud euclideana siempre es la misma. Viceversa, existen curvas que
euclideanamente miden cualquier valor que se quiera, pero que hiperbóli-
camente siempre miden lo mismo, por ejemplo, los segmentos de ćırculos
concéntricos de la Figura 2.2. Esto se sigue del Teorema 2.2.1, ya que las
homotecias son isometŕıas hiperbólicas, al estar definidas por matrices en
SL(2,R).
Teorema 2.2.1 El grupo PSL(2,R) actúa como un grupo de isometŕıas en
H2 con la métrica hiperbólica.
Demostración. Obsérvese primero que si
T (z) =
az + b
cz + d
está definida por la matriz (
a b
c d
)
∈ SL(2, R),
48 CAPÍTULO 2. MÉTRICA HIPERBÓLICA
entonces
Im
(
T (z)
)
= Im
(
az + b
cz + d
)
= Im
(
(az + b)(cz + d)
|cz + d|2
)
= Im
(
adz + bcz
|cz + d|2
)
=
Im(z)
|cz + d|2
.
También, como
T ′(z) =
1
(cz + d)2
,
se sigue de las ecuaciones de Cauchy-Riemann que
µT (z) =
1
|cz + d|2
.
Estos hechos muestran que se cumple la relación (2.2), ya que
1
Im
(
T (z)
) = |cz + d|2
Im(z)
=
1
Im(z)
(
1
µT (z)
)
,
por lo que se sigue el resultado. �
0
Figura 2.2: Curvas de la misma longitud hiperbólica
Algunos ejemplos de isometŕıas hiperbólicas son las traslaciones por reales
y la función z → −1/z, esto se sigue ya que las matrices(
1 t
0 1
)
,
(
0 −1
1 0
)
, t ∈ R,
2.2. EL MODELO DEL SEMIPLANO 49
pertenecen a SL(2,R). Obsérvese que esto implica que al trasladar cualquier
curva horizontalmente su longitud hiperbólica permanece invariante.
La reflexión en el eje imaginario
ϕ(z) = −z
es también una isometŕıa hiperbólica de H2 (ejercicio). De hecho, probaremos
que el grupo de todas las isometŕıas hiperbólicas del modelo del semiplano
superior está generado por PSL(2,R) y ϕ.
Se establece ahora cómo son las curvas en el modelo del semiplano que
minimizan la distancia. Para ello se considera primero una caso sencillo: se
toman los puntos i, k i, k > 1 y γ : [a , b] → H2, de clase C 1, tal que
γ(a) = i y γ(b) = k i. Si lh(γ) denota la longitud hiperbólica de γ y
γ(t) = (γ1(t), γ2(t)), se tiene
lh(γ) =
∫ b
a
√
(γ1 ′(t))2 + (γ2 ′(t))2
γ2(t)
dt
≥
∫ b
a
√
(γ2 ′(t))2
γ2(t)
dt ≥
∫ b
a
γ2
′(t)
γ2(t)
dt = log(γ2(t))
∣∣∣b
a
= log γ2(b)− log γ(a) = log(k)− log(1) = log k.
En particular, la curva γ : [1 , k] → H2, dada por γ(t) = i t, alcanza esta
cota
lh(γ) =
∫ k
1
1
t
dt = log k.
Como este argumento se generaliza fácilmente a curvas de clase C 1 por
tramos, se sigue que
ρ(i, k i) = log k,
donde ρ denota la distancia hiperbólica. Se tiene también que este segmento
del eje imaginario es la única curva que minimiza la distancia, ya que para
cualquier otra curva con componente real y parametrizada por una función
β, se tiene lh(β) > log k (ejercicio).
Si 0 < k < 1, se aplican los mismos argumentos, considerando ahora que
las curvas inicien en k i y terminen en i, y que el dominio de la curva de
longitud mı́nima sea el intervalo [k , 1], obteniéndose como distancia − log k.
50 CAPÍTULO 2. MÉTRICA HIPERBÓLICA
Alternativamente, como la transformación z → −1/z está en PSL(2,R) y
fija i, se sigue del caso anterior que
ρ(k i , i) = ρ(i/k , i) = log (1/k) = − log k.
Estos resultados implican también, que si t > m > 0, entonces
ρ(t i , m i) = log t− logm
(ejercicio).
De manera análoga se puede definir un modelo del espacio hiperbólico
n-dimensional, usando el semiespacio superior en Rn
Hn = {(x1, x2, ..., xn) ∈ Rn | xn > 0} ,
con la densidad
λ(x) =
1
xn
,
donde x = (x1, x2, ..., xn). Resulta que una prueba, casi idéntica a la del
caso del semiplano superior, muestra que en este caso la longitud hiperbólica
entre puntos alineados verticalmente, es decir, con el eje definido por el vector
en = (0, ..., 0, 1) está también dada por el logaritmo.
Volviendo al contexto bidimensional, se necesita otro resultado para anali-
zar cuáles son las curvas que minimizan la distancia hiperbólica entre dos
puntos en H2, que no estén alineados verticalmente.
Proposición 2.2.2 El grupo PSL(2,R) actúa transitivamente en la familia
de “ćırculos” ortogonales al eje real.
Demostración. Obsérvese primero que por conformalidad cualquier trans-
formación en PSL(2,R) preserva esta familia. Ahora, para probar el teore-
ma, basta mostrar que dado cualquier “ćırculo” ortogonal al eje real C existe
una función en PSL(2,R) que transforma este ćırculo en el eje imaginario.
Si C es una recta paralela al eje imaginario, una traslación la mueve al eje
imaginario. Por otra parte, si C es un ćırculo que intersecta ortogonalmente
al eje real, éste se puede transformar mediante una traslación y una homotecia
en el ćırculo unitario, por lo que basta probar que existe un elemento en
PSL(2,R) que transformeel ćırculo unitario en el eje imaginario. Una opción
es mandar 1 en 0 y −1 en ∞, lo cual sugiere tomar
z 7−→ z − 1
z + 1
,
2.2. EL MODELO DEL SEMIPLANO 51
que es en efecto una transformación en PSL(2,R) que transforma el ćırculo
unitario en el eje imaginario. �
Nótese, que la transformación
z 7−→ z + 1
z − 1
/∈ PSL(2,R),
por lo que es importante checar a nivel matricial las entradas, para detectar
si una transformación pertenece, o no, a PSL(2,R). Obsérvese también que
la Proposición 2.2.2 implica que PSL(2,R) es transitivo en puntos de H2
(evidentemente lo es para los puntos de R̂), ya que cualquier punto puede
trasladarse al eje imaginario, y posteriormente aplicando una homotecia man-
darlo al punto i.
Se puede ahora caracterizar todas las curvas que minimizan distancias,
que en este contexto se les llama también geodésicas. Sean z, w ∈ H2 y C el
“ćırculo” ortogonal a la recta real que pasa por z y w; se tiene entonces que
ρ(z, w) está dada por la longitud hiperbólica del segmento de C que une z
con w (véase la Figura 2.3). Esto se sigue, ya que en virtud de la Proposi-
ción 2.2.2, se puede encontrar una función en PSL(2,R) que transforme
C en el eje imaginario, y estas transformaciones, además de ser isometŕıas,
tienen la propiedad de preservar curvas que minimizan la distancia (la última
afirmación se sigue de la prueba del Teorema 2.2.1).
Este argumento demuestra además que el segmento de C, que denotare-
mos por [z, w], es la única curva que minimiza la distancia; esto se sigue,
ya que si hubiera otra curva de z a w, con dicha propiedad, existiŕıa otra
geodésica, distinta de un segmento vertical, uniendo a dos puntos en el eje
imaginario. Se concluye entonces que los “semićırculos” en H2, ortogonales
a la recta real, contienen todas las geodésicas hiperbólicas. Estos últimos
razonamientos demuestran también el siguiente importante resultado.
Teorema 2.2.3 Sean z, w, v tres puntos distintos en H2, entonces
ρ(z, v) = ρ(z, w) + ρ(w, v) ⇐⇒ w ∈ [z, v].
Obsérvese que el teorema anterior implica que cualquier isometŕıa hiperbó-
lica de H2 necesariamente manda geodésicas en geodésicas. Para obtener una
fórmula general de la distancia hiperbólica, entre dos puntos cualesquiera, se
prueba primero el siguiente resultado de invariabilidad de cierta expresión,
bajo la acción de elementos en PSL(2,R).
52 CAPÍTULO 2. MÉTRICA HIPERBÓLICA
i
ki
z w
i
ki
z
w
Figura 2.3: Geodésicas en H2
Lema 2.2.4 La expresión
|z − w|2
2 Im z Imw
es invariante bajo la acción de transformaciones en PSL(2,R).
Demostración. Sea T ∈ PSL(2,R) dada por
T (z) =
az + b
cz + d
, ad− bc = 1,
se tiene entonces que
|T (z)− T (w)|2
2 Im T (z) Im T (w)
=
∣∣∣∣az + bcz + d − aw + bcw + d
∣∣∣∣2 |cz + d|2|cw + d|2
2 Im z Im w
=
|(az + b)(cw + d)− (aw + b)(cz + d)|2
2 Im z Im w
=
|z − w|2
2 Im z Im w
.
�
El lema anterior se puede generalizar a cualquier dimensión, sustituyen-
do la parte imaginaria por la enésima coordenada de un punto en Hn y
reemplazando PSL(2,R) por el grupo de isometŕıas (cf. [2] p. 34). Se puede
ahora exhibir una fórmula general de la distancia hiperbólica en el modelo
del semiplano; ésta mostrará ser de gran utilidad, debido a sus múltiples
aplicaciones.
2.2. EL MODELO DEL SEMIPLANO 53
Teorema 2.2.5 Sean z y w dos puntos en H2, entonces
cosh ρ(z, w) = 1 +
|z − w|2
2 Im z Im w
.
Demostración. Si z = i y w = ki, k > 1, entonces
cosh ρ(i, k i) = cosh (log k) =
k + 1/k
2
=
k + 1/k − 2
2
+ 1 =
(k − 1)2
2k
+ 1
=
|i− k i|2
2 Im i Im(k i)
+ 1.
El caso general se sigue del lema anterior y de los Teoremas 2.2.2 y 2.2.1,
ya que se puede encontrar una transformación en PSL(2,R) que mande z y
w en i y k i, k > 1. Esto último se logra enviando la geodésica por z y w
al eje imaginario, y posteriormente –si es necesario– aplicando una homotecia
y la función z → −1/z. �
Se puede probar que la fórmula del teorema anterior es también válida
en todas las dimensiones (véase [2] p. 35 y el final de este caṕıtulo).
z0
Figura 2.4: Ćırculo hiperbólico con centro en z0
Una primera aplicación de esta fórmula muestra que los ćırculos hiperbóli-
cos son ćırculos euclideanos, donde el centro euclideano se obtiene incremen-
tando la parte imaginaria del centro hiperbólico (véase la Figura 2.4).
54 CAPÍTULO 2. MÉTRICA HIPERBÓLICA
Teorema 2.2.6 El conjunto de los puntos z = x + iy en H2, que equidis-
tan hiperbólicamente una distancia r de un punto z0 = x0 + i y0, están
determinados por la siguiente ecuación
(x− x0)2 + (y − y0 cosh r)2 = y20 senh2 r,
es decir, constituyen un ćırculo euclideano.
Demostración. Sea C = {z ∈ H2 | ρ(z, z0) = r}, entonces
cosh ρ(z, z0) = cosh r = 1 +
|z − z0|2
2 Im z Im z0
,
y se tiene
coshr =
(x− x0)2 + y2 + y20
2 y y0
.
Despejando y completando cuadrados se tiene
2 y y0 cosh r = (x− x0)2 + y2 + y20 (cosh2 r − senh2 r)
y
(x− x0)2 + (y − y0 cosh r)2 = y20 senh2 r.
�
Se ha probado entonces que el ćırculo hiperbólico con centro z0 = x0+iy0
y radio hiperbólico r es el ćırculo euclideano con centro en x0 + iy0 cosh r y
radio y0 senh r (véase la Figura 2.4). De nuevo, esta fórmula de los ćırculos
hiperbólicos se generaliza a esferas hiperbólicas de cualquier dimensión (cf.
[2] p. 35). Mostramos ahora otra manera de probar que los ćırculos hiperbóli-
cos son ćırculos euclideanos. Sean z0 ∈ H2 y r ∈ R+, trazando cualquier
geodésica en H2 por el punto z0, se encuentra otro punto z ∈ H2, tal que
ρ(z, z0) = r. Ahora, si C denota el ćırculo de Apolonio con respecto a z0 y
z0 que pasa por z, como R̂ es también un “ćırculo” de Apolonio con respec-
to a estos puntos ĺımite, se tiene que cualquier transformación eĺıptica, que
fije z0 y z0, está en PSL(2,R) y preserva C. En consecuencia, C consiste
de puntos que equidistan hiperbólicamente una distancia r de z0, esto se
sigue ya que las transformaciones en PSL(2,R) son isometŕıas. Finalmente,
si ρ(z0, w) = r, al trazar la geodésica que une z0 con w, ésta intersecta C
en 2 puntos y es claro que uno de ellos es w (véase la Figura 2.5).
2.2. EL MODELO DEL SEMIPLANO 55
z0
z0
z
w
C
Figura 2.5: Los ćırculos hiperbólicos son de Apolonio
Una consecuencia importante de esta caracterización de los ćırculos hiper-
bólicos es que las métricas hiperbólica y euclideana definen la misma topoloǵıa
en el semiplano superior H2, es decir, los conjuntos abiertos en ambas métri-
cas coinciden. Esto se sigue del hecho de que dado un punto z0 ∈ H2, los
ćırculos de Apolonio en H2 con puntos ĺımite z0 y z0 cubren H2 − {z0}.
En este contexto pueden interpretarse las transformaciones de Möbius en
PSL(2,R) de manera hiperbólica, primero introducimos dos definiciones,
véase además las Figuras 2.6 y 1.13.
Definición 11 Un horociclo basado en un punto α ∈ R̂ es un ćırculo en
H2, tangente en α a la recta real, si α es finito, y es cualquier recta en H2
paralela a la recta real (y distinta de ésta), si α = ∞.
Definición 12 Un hiperciclo por α, β puntos distintos en R̂ es la intersec-
ción de cualquier “ćırculo” por α y β con H2.
Se tiene entonces que las eĺıpticas son rotaciones hiperbólicas en los ćırcu-
los de Apolonio contenidos en H2. Las transformaciones parabólicas son un
caso ĺımite de las eĺıpticas cuando los puntos fijos z0 y z0 se juntan en la
recta real para coincidir en un solo punto, digamos α; se dice que son una
rotación ĺımite, esto es, son rotaciones en los horociclos (véase la Figura 2.6).
Por otra parte, si T es hiperbólica con puntos fijos α, β ∈ R̂, entonces T
preserva los hiperciclos por α y β. Más aún, al iterar T los puntos viajan en
estos hiperciclos hacia el atractor, por lo que T es una traslación hiperbólica
(véase la Figura 1.13). En particular, la geodésica por α y β, llamada el eje,
56 CAPÍTULO 2. MÉTRICA HIPERBÓLICA
es uno de estos hiperciclos. Resulta que en los casos hiperbólico y parabólico
los puntos fijos no pertenecen al plano hiperbólico,