David Saxon - Elementos de Mecánica Cuántica-EASO (2000) - Mario Sánchez

Esta es una vista previa del archivo. Inicie sesión para ver el archivo original

ELEMENTOS DE
MECÁNICA
CUÁNTICA
David S. Saxon
Universidad de California, Los Angeles
SEGUNDA EDICIÓN
EDITORIAL EASO, S. A. MÉXICO
vi PREFACIO
Se presentan ciento cincuenta problemas que son muy importantes
pedagógicamente. Los problemas no son exclusivamente del tipo ilus-
trativo del material presentado en el texto; también sirven para am-
pliarlo. Un número importante sirve para ampliar el curso, señalando
nuevos tópicos y nuevos puntos de vista. Muchos problemas son de-
masiado difíciles para que el estudiante los domine al primer intento.
Se le aconseja que vuelva a intentarlos a medida que vaya entendien-
do la teoría. Finalmente podrá resolver cualquiera de ellos. En el
Apéndice III, se exponen respuestas y soluciones completas a cin-
:uenta problemas representativos. Alrededor de cuarenta ejercicios se
sncuentran distribuidos en el libro. En general se refieren a ciertos
Jetalles del texto, pero no todos son triviales.
En UCLA, el material del texto se presenta en una secuencia de
Jos trimestres, pero el curso también se puede usar en un curso de un
¡emestre; cualquiera de las secciones marcadas con asterisco en la ta-
lla del contenido pueden omitirse sin afectar el desarrollo lógico del
•esto. Si se desea, también puede usarse el texto para un curso de un
iflo, pero complementado con otro material. Las representaciones de
íeisenberg y de interacción y, en general, la teoría de transformación,
ion tópicos que surgen a la mente de inmediato. Respecto a las apli-
¡aciones, los efectos Zeeman y Stark, las ondas de Bloch, los méto-
los de Hartree-Fock y Fermi-Thomas, moléculas simples y espín iso-
ópico, son temas adecuados para escoger.
El autor se ha beneficiado de numerosas críticas y sugerencias de
;olegas y estudiantes. A todos ellos expresa su gratitud profunda y
¡specialmente al Dr. Ronald Blum por su cuidadosa lectura de la edi-
:ión preliminar y del manuscrito final. El autor también agradecerá
¡omentarios adicionales así como el señalar las erratas y los errores.
David S. Saxon
Noviembre, 1967
contenido
I. LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIA-
CIÓN
1. El fracaso de la física clásica 1
2. Conceptos cuánticos 3
3. El aspecto ondulatorio de las partículas 5
4. Magnitudes numéricas y dominio cuántico 13
5. El aspecto corpuscular de las ondas 14
6. Complementareidad 17
7. El principio de correspondencia 17
II. FUNCIONES DE ESTADO Y SU INTERPRETACIÓN
1. La idea de función de estado; superposición de estados 19
2. Valores de expectación 25
3. Comparación entre las descripciones cuántica y clásica
de un estado; paquetes de onda 27
III. MOMENTO LINEAL
1. Funciones de estado que corresponden a un momento
lineal definido 30
2. Construcción de paquetes de onda por superposición . 32
3. Transformadas de Fourier; la función delta de Dirac. . 36
4.» Espacios de configuración y de momento lineal 39
5. Operadores de posición y de momento lineal 40
6. Relaciones de conmutación 47
7. El principio de incertidumbre 49
„*,„••,„
VIH CONTENIDO
IV. MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA LIBRE
1. Movimiento de un paquete de ondas;
velocidad de grupo 59
2. El requisito del principio de correspondencia 62
3. Popagación del paquete de ondas de una partícula libre
en el espacio de configuración 64
4. Propagación del paquete de ondas de una partícula libre
en el espacio de momentos; el operador de energía.. . 66
5. Evolución en el tiempo de un paquete
de ondas gausiano 68
6. Ecuación de Schródinger para la partícula libre 70
7. Conservación de la probabilidad 72
8. Notación de Dirac 76
9. Estados estacionarios 78
10. Partícula en una caja 80
11. Resumen . 83
V. ECUACIÓN DE SCHRÓDINGER
1. El requisito de la conservación de la probabilidad . . . . 90
2. Operadores hermitianos 91
3. El requisito del principio de correspondencia 98
4. Ecuación de Schródinger en el espacio de configuración
y en el espacio de momentos 101
5. Estados estacionarios 104
6. Autofunciones y autovalores de operadores
hermitianos 108
7 Observables simultáneos y conjuntos completos
de operadores 111
8. El principio de incertidumbre 113
*9. Movimiento de paquetes de onda 118
10. Resumen: los postulados de la mecánica cuántica... . 119
f l . ESTADOS DE UNA PARTÍCULA EN UNA DIMENSIÓN
1. Características generales 124
2. Clasificación por simetría: el operador de paridad. . . .127
3. Estados ligados en un pozo cuadrado 130
Para un curso de un semestre cualquiera de las secciones con asterisco puede omitirse sin
erjudicar el desarrollo lógico (ver el prefacio).
CONTENIDO ÍX
4. El oscilador armónico 135
*5. La representación del operador de creación 147
*6. Movimiento de un paquete de ondas en
el potencial del oscilador armónico 154
7. Estados continuos en un pozo de potencial
cuadrado 158
8. Estados del continuo; el flujo de probabilidad 163
*9. Paso de un paquete de ondas a través de
un potencial 166
s
 10. Solución numérica de la ecuación de Schródinger.... 169
VII. MÉTODOS APROXIMADOS
1. La aproximación WKB 186
2. La aproximación de Rayleigh-Ritz 196
3. Teoría de perturbación para estados estacionarios. . . .202
4. Matrices 215
5. Estados vecinos o degenerados 218
6. Teoría de perturbación dependiente del tiempo 222
Vffl. SISTEMAS DE PARTÍCULAS EN UNA DIMENSIÓN
1. Formulación 242
2. Dos partículas: coordenadas del centro de masa 245
3. Interacción de partículas en presencia de fuerzas
externas uniformes 249
*4. Osciladores armónicos acoplados 251
5. Interacción débil de partículas en presencia de
fuerzas externas 254
6. Partículas idénticas y degeneración de intercambio. . .257
7. Sistema de dos partículas idénticas 259
8,. Sistemas de muchas partículas, sinietrización
y el principio de exlusión de Pauli 261
*9. Sistemas de tres partículas idénticas 266
10. Partículas idénticas interaccionando débilmente
en presencia de fuerzas externas 272
K. MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONES
1. Formulación: movimiento de una partícula libre .. . .279
CONTENIDO
*2. Potenciales separables en coordenadas rectangulares. .283
3. Potenciales centrales; estados de momento angular. . .286
4. Algunos ejemplos 297
5. El átomo de hidrógeno 304
MOMENTO ANGULAR Y ESPIN
1. Operadores del momento angular orbital y
relaciones de conmutación 318
2. Autofunciones y autovalores del momento angular.. .322
*3. Operadores de rotación y de translación 334
4. Espín; los operadores de Pauli 337
*5. Adición del momento angular 348
ALGUNAS APLICACIONES Y OTRAS GENERALIZACIONES
* 1. El átomo de helio; la tabla periódica 366
*2. Teoría de la dispersión 374
*3. Funciones de Green para la dispersión;
la aproximación de Born 383
*4. Movimiento en un campo electromagnético 396
* 5. Teoría del electrón de Dirac 401
*6. Estados mixtos y matriz de densidad 411
APÉNDICES
I. Cálculo de integrales de funciones gausianas 423
II. Referencias seleccionadas 426
III. Respuestas y soluciones a problemas seleccionados. . .429
"Y ahora lector, afánate, porque siem-
pre te ayudaremos en las dificultades,
ya que no esperamos, como otros, que
uses al arte de la adivinanza para des-
cubrir nuestro significado, pero no se-
remos indulgentes con tu holgazanería
cuando lo único que se te exija sea tu
atención; estarías muy equivocado al
imaginar que empezamos esta gran ta-
rea para no dejar nada a tu sagacidad o
al ejercicio de tu talento recorriendo
estas páginas sin beneficio ni placer.
Henry Fielding
I
La naturaleza dual de la
materia y la radiación
1.- EL FRACASO DE LA FÍSICA CLASICA *
A finales del siglo XIX la mayor parte de los físicos pensaban que
se había completado la descripción de la naturaleza y que solamente
faltaba por desarrollar algunos detalles. Esta creencia se basaba en los
logros espectaculares de la mecánica de Newton que, junto con la ley
de gravitación y la electrodinámica de Maxwell,
describían y prede-
cían las propiedades de sistemas macroscópicos cuyas dimensiones
variaban desde el tamaño de un laboratorio al tamaño del cosmos.
Sin embargo, al desarrollarse las técnicas experimentales para estudiar
sistemas atómicos, surgieron dificultades que no podían explicarse
con las leyes de la física clásica ni con sus conceptos. Las nuevas le-
yes y los nuevos conceptos que fueron necesarios desarrollar durante
la primera cuarta parte del siglo XX fueron los de la mecánica cuán-
tica.
Las dificultades que se encontraron fueron de diferentes tipos. En
primer lugar se encontraron contradicciones con algunas de las pre-
dicciones del teorema de equipartición de la energía. La aplicación
directa de este teorema conduce a resultados absurdos para el espec-
tro de radiación del cuerpo negro y a conclusiones erróneas para los
calores específicos de sistemas materiales. En ambos casos, el resulta-
do empírico predice que sólo algunos de los grados de libertad del sis-
tema participan en los intercambios de energía que llevan al equili-
brio estadístico.
En segundo lugar, se encontraron dificultades para explicar la es-
* Una discusión detallada de las bases históricas y experimentales de la mecánica cuántica, se
encuentran en las referencias del [ 1] al [5], en el apéndice II.
2 LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIACIÓN
tructura y la existencia misma de los átomos, tomados como sistemas
de partículas cargadas. Para tales sistemas, el equilibrio estático es im-
posible bajo fuerzas exclusivamente electromagnéticas, siendo tam-
bién imposible el equilibrio dinámico, por ejemplo en forma de un
sistema solar en miniatura. Partículas en equilibrio dinámico están
aceleradas y, clásicamente, cargas aceleradas radian energía, lo cual
provoca el colapso de las órbitas independientemente de su naturale-
za. Pero, aunque se acepte la existencia de los átomos, subsiste el pro-
blema de explicar el espectro atómico, es decir, determinar las carac-
terísticas de la radiación causada por la aceleración de las cargas de
un átomo al perturbar su configuración de equilibrio. Clásicamente se
esperaría que dicho espectro consistiera de los armónicos correspon-
dientes a ciertas frecuencias fundamentales. Pero el espectro observa-
do satisface la ley de combinación de Ritz, la cual establece que las
frecuencias del espectro se obtienen como diferencias de ciertas fre-
cuencias fundamentales y no como múltiplos.
Una tercera clase de dificultades proviene del efecto fotoeléctrico.
La fotoemisión de electrones de superficies iluminadas no puede expli-
carse clásicamente. La dificultad esencial es la siguiente: el número
de electrones emitidos es proporcional a la intensidad de la luz inci-
dente y por lo tanto a la energía electromagnética que incide sobre la
superficie, pero la energía transferida a los fotoelectrones no depende
de la intensidad de la iluminación. Esta energía depende de la fre-
cuencia de la luz, creciendo linealmente con ella a partir de cierto va-
lor de umbral, característico de la superficie del material. Para fre-
cuencias menores que la del umbral no se emite ningún fotoelectrón
aunque sea grande la energía electromagnética transmitida a la super-
ficie metálica. Por otra parte, para frecuencias mayores que la del
umbral, aunque la fuente de luz sea débil, siempre se emiten fotoelec-
trones y siempre con la energía total apropiada a la frecuencia.
Las explicaciones a estas dificultades comenzaron en 1901 cuando
Planck supuso la existencia del cuanto de energía para poder obtener
la modificación necesaria del teorema de equipartición. La conse-
cuencia de que la radiación electromagnética es de naturaleza cor-
puscular fue afirmada por Einstein en 1905 al explicar en forma di-
recta y simple las características de la emisión fotoeléctrica. También
fue Einstein, dos años más tarde, el primero en explicar el comporta-
miento del calor específico de los sólidos a bajas temperaturas, cuan ti-
zando los modos de vibración del sólido de acuerdo con las reglas de
Planck. La primera explicación del espectro y estructura atómicos se
dio en 1913 cuando Bohr introdujo la idea revolucionaria de estado
estacionario y estableció las condiciones cuánticas para su determina-
ción. Más tarde, estas condiciones fueron generalizadas por Sommer-
CONCEPTOS CUÁNTICOS 3
feld y Wilson, y la teoría resultante explicó casi perfectamente el es-
pectro y estructura atómicos del hidrógeno. Sin embargo, la teoría de
Bohr tropezó con dificultades muy serias al intentar estudiar proble-
mas más complejos. Por ejemplo, el átomo de helio fue imposible tra-
tarlo con esta teoría. La primera indicación para resolver estos pro-
blemas fue dada en 1924 cuando de Broglie sugirió que las partículas
podrían exhibir un comportamiento ondulatorio, así como las ondas
exhibían un comportamiento corpuscular. Siguiendo estas sugeren-
cias, Schródinger estableció su famosa ecuación de onda en 1926.
Heisenberg, poco antes, partiendo de un punto de vista diferente ha-
bía llegado a establecer resultados matemáticos equivalentes. Aproxi-
madamente al mismo tiempo, Uhlenbeck y Goudsmit introdujeron la
idea de espín o giro del electrón, Pauli enunció su principio de exclu-
sión, y así, esencialmente, se había completado la formulación de la
mecánica cuántica no relativista.
2. CONCEPTOS CUÁNTICOS
Las leyes de la mecánica cuántica no pueden demostrarse, análoga-
mente a lo que sucede con las leyes de Newton y las ecuaciones de
Maxwell. Sin embargo, se espera que estas leyes puedan deducirse,
más o menos directamente, como consecuencias lógicas de ciertos ex-
perimentos seleccionados. Pero la descripción cuántica de la naturale-
za es demasiado abstracta para que esto sea posible: los conceptos bá-
sicos de la teoría cuántica están fuera del alcance de la experiencia
diaria. Estos conceptos son los siguientes:
Funciones de Estado. La descripción de un sistema se hace me-
diante la especificación de una función especial, llamada función de
estado del sistema, la cual no puede observarse directamente. La in-
formación contenida en la función de estado es esencialmente esta-
dística o probabilística.
Observables. La especificación o determinación de una función de
estado es consecuencia de un conjunto de observaciones y medicio-
nes de las propiedades físicas o atributos del sistema estudiado. Pro-
piedades que pueden medirse, tales como energía, momento lineal,
momento angular y otras variables dinámicas, se llaman observables.
Observaciones u observables se representan por objetos matemáticos
abstractos llamados operadores.
El proceso de observación exige que haya cierta interacción entre
el instrumento de medida y el sistema observado. Clásicamente pue-
den suponerse estas interacciones tan pequeñas como se quiera. Ge-
LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIACIÓN
eralmente se toman como infinitesimales, en cuyo caso el sistema
0 se perturba por la observación. Pero, a escala cuántica, la interac-
ión tiene características discretas y no puede disminuir indefinida-
mente sino hasta cierto límite. El acto de observar provoca en el sis-
sma ciertas perturbaciones incontrolables e irreducibles. La observa-
lón de la propiedad A provocará cambios incontrolables en otro ob-
srvable B relacionado con A. La existencia de un límite absoluto pa-
a una interacción o perturbación, permite dar a la idea de tamaño un
[gnificado absoluto. Un sistema puede considerarse grande o peque-
o, y tratarlo clásica o cuánticamente, dependiendo de que la interac-
ión dada pueda considerarse pequeña o no.
La noción de que la observación precisa de una propiedad provoca
ue una segunda propiedad (llamada complementaria de la primera)
sa inobservable, es un concepto exclusivamente cuántico sin analo-
ía en la física clásica. Las características de ser onda o partícula nos
roporciona un ejemplo de un par
de propiedades complementarias.
,a dualidad partícula-onda de sistemas cuánticos, es una afirmación
el hecho de que tales sistemas pueden exhibir cualquiera de las dos
aracterísticas dependiendo de las observaciones realizadas sobre el
ístema. Las variables dinámicas, posición y momento lineal, son un
jemplo más cuantitativo de una pareja de observables compleménta-
los. Al observar la posición de una partícula, por ejemplo iluminán-
ola, necesariamente se provocará una perturbación en su momento
neal. Este resultado es consecuencia de la naturaleza corpuscular de
1 luz; la medida de la posición de una partícula exige que, por lo me-
os, un fotón choque con la partícula, siendo esta colisión la que
rovoca la perturbación. Consecuencia inmediata de esta relación en-
re medición y perturbación es que trayectorias precisas de partículas
0 pueden definirse cuánticamente. La existencia de una trayectoria
,efinida implica el conocimiento de la posición y del momento lineal
e la partícula en el mismo instante. Pero el conocimiento simultá-
eo de ambas propiedades no es posible, si la medición de una de
lias provoca una perturbación incontrolable y apreciable en la otra,
orno es el caso de sistemas cuánticos. Estas perturbaciones mutuas
1 incertidumbres no son debidas a la técnica experimental; son con-
scuencias inevitables de la medición u observación. La existencia
levitable de estos efectos para una pareja de variables compleménta-
las fue enunciada por Heisenberg en su famoso principio de incerti-
'umbre.
Más adelante se estudiarán estos hechos, pero ahora es conveniente
mpezar el desarrollo de las leyes de la mecánica cuántica. El enfoque
[ue se va a seguir no es el histórico y se llevará a cabo en la forma si-
uiente. En el resto del capítulo se intentará hacer plausible algunas
EL ASPECTO ONDULATORIO DE LAS PARTÍCULAS 5
de las ideas de la mecánica cuántica, en particular las ideas de incer-
tidumbre y complementareidad. Se hará considerando algunos expe-
rimentos y observaciones, que resaltan la naturaleza dual de la mate-
ria y de la cual se concluye inmediatamente que las trayectorias pre-
cisas de partículas, como en la mecánica de Newton, no existen. Co-
mo consecuencia se presenta el problema de cómo caracterizar el es-
tado de movimiento de un sistema cuántico y de cómo describirlo.
En el Capítulo II se resolverá este problema introduciendo la función
de estado de un sistema, discutiendo su interpretación probabilísti-
ca. En el Capítulo III se considerarán las propiedades generales de ob-
servables y de variables dinámicas en mecánica cuántica y se obten-
drán reglas para encontrar sus representaciones abstractas como ope-
radores. En los Capítulos IV y V se completará la primera etapa de
esta formulación al introducir la ecuación de Schródinger, que go-
bierna el desenvolvimiento en el tiempo de sistemas cuánticos. Méto-
dos para resolver la ecuación de Schródinger para el sistema más sim-
ple, el movimiento de una partícula en una dimensión, se discutirán
en los Capítulos VI y VIL Únicamente hasta los cuatro capítulos fi-
nales se podrá tratar el problema general de sistemas de partículas in-
teraccionando en tres dimensiones, y así, encontrar la relación con el
mundo real. En todo el desarrollo, siempre se usará el principio de
que las predicciones cuánticas deben de corresponder a las prediccio-
nes de la física clásica en el límite adecuado. Este principio de corres-
pondencia jugará un papel muy importante al determinar la forma de
las ecuaciones en la mecánica cuántica.
Se recalcarán las propiedades cuánticas de sistemas materiales. De-
bido a su complejidad, no se presentará ningún desarrollo sistemático
de las propiedades cuánticas de campos electromagnéticos, aunque se
harán plausibles algunas de sus propiedades cuánticas. '
3. EL ASPECTO ONDULATORIO DE LAS PARTÍCULAS
El experimento que mejor revela los elementos básicos de la des-
cripción cuántica de la naturaleza es la dispersión de un haz de elec-
trones por un cristal metálico, realizado por primera vez por Davisson
y Germer en 1927. Este experimento fue diseñado principalmente
para comprobar la predicción de de Broglie, según la cual, en analo-
1
 En la Sección 5 de este capítulo se recurre a la naturaleza corpuscular de la luz para ex-
plicar la radiación del cuerpo negro y la dispersión de Cpmpton. No será sino hasta la Sec-
ción 6, Capítulo VII, en que se discutirá otra vez la radiación, cuando su emisión y absor-
ción se presenten en forma eurística y semiclásica. Finalmente, en la Sección 4, Capitulo XI,
se discutirá brevemente el movimiento de una partícula cargada en un campo electromagné-
tico clásico.
6 LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIACIÓN
gía a las propiedades corpusculares de la luz, perfectamente estable-
cidas, también puede asociarse a una partícula de momento lineal p
una onda X que se llama longitud de onda de de Broglie expresada
como,
X = h/p.
La constante h es la constante universal de Planck o el cuanto de
acción. La hipótesis anterior fue consecuencia de que de Broglie tra-
tara de acomodar un número entero de semilongitudes de onda en
una órbita de Bohr para entender la condición de cuantización de
Bohr, aparentemente arbitraria. Pero Davisson y Germer observaron
que electrones de momento lineal p, dispersados por un cristal, se dis-
tribuían en un patrón de difracción, exactamente como lo harían
rayos-X de la misma longitud de onda dispersados por el mismo cris-
tal. Por lo tanto, se verificó cuantitativamente y directamente la hi-
pótesis de de Broglie.
El cuanto de acción tiene dimensiones de momento lineal por lon-
gitud o lo que es lo mismo, de energía por tiempo, siendo su valor
numérico.
h = 6.625 X 10-" erg-sec.
En la mayoría de las aplicaciones cuánticas resulta más convenien-
te usar la cantidad h/2tr, que se abreviará h y será denominada "/z
barra". Su valor numérico es,
h = h¡lTT = 1.054 x 10~27 erg-sec.
En términos de t í , la relación de de Broglie puede escribirse como
X = X/27T = hlp,
donde se ha introducido la longitud de onda reducida X (lambda ba-
rra), que, físicamente, caracteriza mejor a la onda que la propia lon-
gitud de onda. También es conveniente definir el número de onda k
(más bien el número de onda reducido), como el recíproco de X . En-
tonces, se puede escribir la relación de de Broglie como,
EL ASPECTO ONDULATORIO DE LAS PARTÍCULAS 7
Reuniendo dichas relaciones en una sola expresión, finalmente, se
tiene que,
p = h¡\ = 277-fc/X = ft/X = hk. (1)
La hipótesis de de Broglie y el experimento de Davisson y Germer
están en conflicto con la física clásica, porque se asignan a la misma
entidad ambas propiedades, la de partícula y la de onda. La naturale-
za y las implicaciones de este conflicto pueden aclararse imaginando
que el experimento se realiza con un haz de electrones tan débil que
un solo electrón se dispersa por el cristal y se registra en cierto instan-
te de tiempo. En este evento, no se obtiene inicialmente un patrón de
difracción; el electrón será dispersado en cierta dirección, aparente-
mente al azar. Sin embargo, a medida que transcurre el tiempo, el nú-
mero de electrones dispersados aumenta a miles y a millones, obser-
vándose que mayor número de electrones se dispersan en ciertas di-
recciones preferentes, y así, se va formando el patrón de difracción.
De los resultados experimentales de Davisson y Germer pueden ob-
tenerse las conclusiones siguientes:
(a) Los electrones poseen propiedades de partícula y de onda. La re-
lación cuantitativa entre ellas está expresada por la relación de
de Broglie; ecuación (1).
(b) No puede predecirse exactamente el comportamiento de un elec-
trón sino únicamente su comportamiento probable.
(c) En mecánica cuántica no existen trayectorias definidas.
(d) La probabilidad de observar a un electrón en una región dada, es
proporcional a
la intensidad de su campo ondulatorio asociado.
(e) El principio de superposición se aplica a las ondas de de Broglie,
tal como se aplica a las ondas electromagnéticas.
Las conclusiones (a) y (b) no necesitan comentarios. La conclusión
(c) se sigue de (b), debido a que, clásicamente, para condiciones ini-
ciales dadas, una partícula se mueve en una trayectoria única bajo la
influencia de fuerzas especificadas. La conclusión (d) se obtiene del
paralelismo entre los patrones de difracción para rayos-X y para elec-
trones, producidos por un determinado cristal. Por último, la conclu-
sión (e) se obtiene de que el patrón de difracción se produce por inter-
ferencia de ondas secundarias, generadas en cada átomo del cristal, o
sea, por combinación lineal o superposición de estas ondas.
Estas, conclusiones forman el punto de partida de todo el desarro-
llo de la mecánica cuántica. Se ha llegado a ellas sin hacer referencia
al tipo de interacción entre los electrones (o rayos-X) y los átomos
del cristal, y sin estudiar las particularidades del patrón de difracción
formado como resultado de esta interacción. Este argumento se basa
8 LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIACIÓN
totalmente en el comportamiento de un cristal como una red de di-
fracción tridimensional, calibrada por la observación de sus efectos
sobre rayos -X de propiedades conocidas. Sin embargo, es poco satis-
factorio, al menos pedagógicamente, llegar a dichas conclusiones sin
explorar todos los detalles. Pero el entender estos detalles requiere
conocer la interacción de un electrón con los átomos de un sólido
cristalino, cuya interacción no puede comprenderse sin antes haber
entendido la mecánica cuántica. Por esta razón, se considerará a con-
tinuación dos experimentos "cruciales", aunque idealizados, de los
cuales se obtienen los mismos resultados en forma más o menos in-
mediata. Estos experimentos son versiones en una dimensión de la di-
fracción y de la dispersión, interviniendo en ellos los sistemas más
simples. Sin embargo, los experimentos se realizan sólo en principio
y no en la práctica.
El primer experimento se muestra en la Figura l(a). Una partícula
de carga positiva e y masa m se lanza con momento lineal p a lo largo
del eje de un tubo, cuyas paredes se encuentran a potencial cero. Se-
parado infinitesimalmente y alineado con él, se encuentra un segundo
tubo a un potencial mayor VQ .
Primer tubo Segundo tubo
y=o v=va
(a)
E...
(b)
Figura 1. (a) El sistema de tubos, (b) la energía potencial U como función de la
distancia a lo largo del eje del sistema de tubos. Por facilidad se ha supuesto que
U varía discontinuamente. Una partícula clásica se refleja si su energía es E± y se
transmite si su energía es EI .
I
EL ASPECTO ONDULATORIO DE LAS PARTÍCULAS
Se supone que la energía de la partícula es EI = pi?/2m y
es menos que eVo, como se muestra en la Fig. 1 (b). Clásicamente, la
partícula se reflejará en la interfase regresando a lo largo del eje del
primer tubo sin cambiar la magnitud de su momento lineal. Si se in-
crementa la energía hasta alcanzar el valor E2 , mayor que eVo, como
también se muestra en la Fig. l(b), clásicamente se predice que el
electrón se desacelera en la interfase y pasa al segundo tubo con mo-
mento lineal p tal que,
Para el caso en que la energía es E± , los resultados de este experi-
mento concuerdan con la predicción clásica, pero no en el caso en
que la energía es EI . Para EI mayor que eV$ , la partícula no siempre
se transmite sino que algunas veces se refleja. Sin embargo, cuando
EI crece, la reflexión decrece, hasta que, prácticamente, la partícula
nunca se refleja coincidiendo con la predicción clásica. Si se define el
coeficiente de transmisión T como el número relativo de veces que la
i.o
R
E eVa E
Figura 2. Coeficientes de transmisión y reflexión como funciones de la energía
en el sistema de tubos. Las líneas punteadas se refieren a las predicciones clásicas.
partícula se transmite y el coeficiente de reflexioné como el número
relativo de veces que la partícula se refleja, entonces, R + T = 1 y los
resultados se muestran en la Figura 2. La predicción clásica está repre-
sentada por la línea punteada y el resultado experimental por la cur-
va continua, la cual no puede explicarse clásicamente. Hay que recal-
car que, en el intervalo de energía donde puede ocurrir la transmisión
o la reflexión, no hay forma de predecir el comportamiento preciso
de la partícula o asociarle una trayectoria bien definida. Lo único
que se puede decir es que la partícula se refleja con probabilidad R, o
bien, que se transmite con probabilidades T = 1 — R.
Otro experimento ideal pero más revelador de las conclusiones an-
teriores se logra al alinear, con el segundo tubo, un tercer tubo a po-
tencial cero. El potencial U se muestra en la Figura 3. La longitud del
tubo intermedio es 2a y el origen se ha colocado a la mitad de este
H t^ek, j^ ^ÉP *^*'
U^^^ LA NATURALLA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIACIÓN
U
y=o
2a
Figura 3. Barrera de potencial cuadrada y repulsiva.
tubo. Un potencial como el de la Figura 3 se llama potencial cuadra-
do repulsivo; si VQ fuera negativo, sería atractivo.
La teoría clásica predice que la partícula se refleja si su energía E\
es menor que eVq y se transmite por encima de la barrera si su ener-
gía es EI excede a eVo, como se muestra en la Figura 3. En ambos
casos la Interpretación es errónea si la barrera es lo suficientemente
estrecha. Sin importar el signo de E — e V0, siempre que esta diferen-
cia no sea muy grande, una fracción de las partículas se transmite y
una fracción se refleja. Definiendo los coeficientes de reflexión y
transmisión como antes, el coeficiente de transmisión experimental
como función de la energía se muestra en la Figura 4. La predicción
clásica también se muestra en la figura.
Estos resultados son sorprendentes. Particularmente notable es el
hecho de que la partícula pueda transmitirse a través de la barrera
cuando su energía no es suficiente para que la sobrepase, o sea, que la
energía cinética sería negativa al encontrarse la partícula en el inte-
rior de la barrera. Clásicamente no se puede asociar un significado fí-
sico a una energía cinética negativa, y el movimiento en tal región re-
sulta imposible. Por lo tanto, se tiene la paradoja de que la partícula
atraviesa dicha región prohibida y aparece del otro lado de la barrera.
Este resultado se conoce como efecto túnel ya que la partícula tiene
que atravesar la barrera de potencial. Por el momento sólo se recalca-
rá que la idea de trayectoria clásica pierde su significado cuando los
efectos cuánticos son importantes.
EL ASPECTO ONDULATORIO DE LAS PARTÍCULAS 11
T
1 O -•
eVH
Resultado experimental
Predicción clásica
Figura 4. Coeficiente de transmisión para la barrera de potencial cuadrada y re-
pulsiva.
Es importante estudiar las oscilaciones del coeficiente de transmi-
sión. Si el primer máximo ocurre a una energía e por encima de la al-
tura de la barrera, el segundo máximo se observará a 4 e , el tercero
a 9 e, etc. Al repetir el experimento variando la anchura de la barre-
ra, se encuentra que el valor de e es inversamente proporcional al
cuadrado de la anchura de la barrera. Entonces, se concluye que la
energía En del máximo n-ésimo es tal que,"^,,- eVo es proporcional
a nja. Si llamamos p al momento lineal de la partícula al pasar por
encima de la barrera, el momento lineal pn del máximo n-ésimo satis-
face la relación
n h2a = = • —2 pn
donde la constante de proporcionalidad resulta ser la constante de
Planck. Dicho de otra manera, cuando la anchura de la barrera, 2a, es
un múltiplo semientero de h/p, la transmisión alcanza su valor máxi-
mo de uno y el coeficiente de reflexión es cero resultando que la ba-
rra es perfectamente transparente únicamente para estos valores par-
ticulares.
Este comportamiento es exactamente análogo al de la transmisión
de la luz a través de una placa delgada de dieléctrico o de una pelícu-
la, cuando el coeficiente de reflexión se anula porque el espesor de la
película es igual a un número entero de semilongitudes de onda. Por
consiguiente lo que se observa es un fenómeno ondulatorio y explí-
12 LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIACIÓN
citamente, existe una onda de longitud de onda X asociada a una par-
tícula de momento lineal p, lo cual concuerda con la predicción de
de Broglie y los resultados experimentales de Davisson y Germer.
La explicación de las observaciones anteriores sería como sigue. A
la partícula incidente en el primer tubo se le asocia una onda que se
llamará onda de de Broglie y expresada como,
(2)
Cuando esta onda choca con la primera cara de la barrera de po-
tencial, parte se transmite al interior de la barrera y parte se refleja.
La onda transmitida al interior de la barrera tiene la forma
i/, = eifxlh.
Parte de esta onda se transmite fuera de la barrera y parte se refleja
en la segunda interfase. La onda reflejada llega a la primera interfase
donde parte se transmite y parte se refleja, volviéndose a repetir el
mismo proceso con la onda reflejada en la segunda interfase y así su-
cesivamente. Por lo tanto, la onda transmitida hacia la derecha será
una superposición de ondas múltiplemente reflejadas. La condición
para que estas ondas interfieran constructivamente para dar un máxi-
mo en la transmisión es que la anchura de la barrera sea un múltiplo
entero de semilongitudes de ondas. En esta explicación se encuentra
implícita la idea de que las intensidades de las ondas transmitidas y
reflejadas deben de asociarse con las probabilidades de transmisión y
reflexión de la partícula.
En esta interpretación no es esencial que la energía cinética sea ne-
gativa o que el momento lineal sea imaginario. Para un momento li-
neal imaginario la longitud de onda de de Broglie también es imagina-
ria, y por lo tanto, las ondas correspondientes son ondas atenuadas y
no ondas que se propagan. Estas ondas existen y pueden explicarse
satisfactoriamente. El efecto túnel podría explicarse cualitativamente
con estos argumentos. La onda que se transmite hacia el interior de la
barrera resulta ser una onda atenuada. Llega a la segunda interfase
con menor amplitud, pero después de transmitirse se convierte de
nuevo en una onda que se propaga. Si la barrera es ancha, la atenua-
ción es grande y la transmisión cae exponencialmente a cero, lo cual
concuerda con la observación, *
1
 Un tratamiento detallado se presenta en la Sección 7 del Capítulo VI.
MAGNITUDES NUMÉRICAS Y DOMINIO CUÁNTICO
4. MAGNITUDES NUMÉRICAS Y DOMINIO CUÁNTICO
13
Es ilustrativo examinar las magnitudes de las ondas de de Broglie
para algunos casos representativos:
(a) Un electrón de energía E (en electrón voltios)
10-" E-"2 cm
P VlmE
(b) Un protón de energía E (en electrón voltios)
X - 5 x 10-10 E~112 cm
(c) Una masa de un gramo moviéndose a una velocidad de un centí-
metro por segundo
X = 10-27 cm.
Estos números nos revelan por qué los efectos cuánticos sólo se
manifiestan a nivel atómico. A nivel macroscópico todas las dimen-
siones son enormes comparadas con las longitudes de onda de de Bro-
glie, por lo cual, las características ondulatorias no son détectables.
En el dominio atómico y subatómico las dimensiones son compara-
bles con las longitudes de onda de de Broglie y, por lo tanto, las ca-
racterísticas ondulatorias predominan.
Estos números también aclaran las dificultades para realizar en el
laboratorio el experimento ideal con los tubos antes mencionados.
Para simplificar se supuso que los potenciales cambiaban discontinua-
mente, aunque, en realidad cambian a lo largo de una distancia, por
ejemplo b, lo cual complica el análisis pero no cambian las caracterís-
ticas cualitativas de los resultados. Sin embargo, la magnitud de los
efectos cuánticos dependen crucialmente del tamaño de b. Los efec-
tos serán apreciables solamente si b es menor que la longitud de onda
o comparable con ella. Considerando el caso más favorable, el del
electrón, se concluye que el espacio entre los tubos debe ser de unos
cuantos anstroms, es decir, de unos cuantos diámetros atómicos.
A escala atómica existen experimentos análogos a los menciona-
dos anteriormente. La emisión de electrones de un metal correspon-
dería al primer experimento y el decaimiento nuclear de partículas,
considerado como efecto túnel, correspondería al segundo. El paso
de un electrón externo a través de un átomo correspondería al
segundo experimento. Se observan resonancias en la transmisión, las
cuales se conocen como efecto Ramsauer. En todos estos experimen-
tos intervienen sistemas físicos muy complejos cuyas propiedades no
LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIACIÓN
edén entenderse sin antes haber comprendido perfectamente la
tánica cuántica.
EL ASPECTO CORPUSCULAR DE LAS ONDAS
Anteriormente se ha demostrado que las partículas clásicas tienen
turaleza dual por exhibir propiedades ondulatorias. A continua-
>n, se describirán algunos experimentos que demuestran cómo las
das electromagnéticas exhiben propiedades corpusculares. Laprime-
indicación de este hecho provino de las propiedades espectrales de
radiación de un absorbedor perfecto o cuerpo negro. Una buena
roximación de él se puede obtener en la forma siguiente. Se toma
recipiente construido de paredes opacas a la radiación electromag-
tica y que tenga un agujero infinitesimal en la superficie. La radia-
in que entra por el agujero tiene una probabilidad grande de no sa-
y así, el agujero se comporta como un cuerpo negro. El campo de
Ilación en el interior del recipiente en equilibrio térmico con éste a
nperatura T, se puede considerar como la radiación de cuerpo ne-
>. Puede estudiarse experimentalmente examinando la radiación
e escapa por el agujero infinitesimal. Su distribución espectral y
isidad de volumen dependen solamente de la temperatura y no de
propiedades particulares de las paredes o de alguna otra causa. De-
io a esta independencia, resulta que la radiación del cuerpo negro
un fenómeno muy importante para entender el intercambio de
;rgía entre la materia y la radiación cuando se encuentran en equi-
no térmico. La física clásica no explica satisfactoriamente el espec-
de esta radiación. El argumento es como sigue.
El campo electromagnético en el interior de una cavidad puede
scribirse completamente como una superposición de modos carac-
isticos de vibraciones armónicas del campo en la cavidad. La am-
tud de cada modo es independiente y, en principio, puede ser asig-
da arbitrariamente. Cada modo representa un grado de libertad del
upo de radiación y estos grados de libertad son de tipo vibracional.
i acuerdo al teorema de equipartición de la mecánica estadística
.sica, cada grado de libertad vibracional tiene la misma energía pro-
ídio kT en el equilibrio térmico. No es difícil demostrar que el nú-
¡ro de modos en el intervalo de frecuencia entre v y (v + dv) es
rr/c3)Kv2c?v, donde V es el volumen de la cavidad. Entonces, se
tiene el resultado paradójico de que el espectro de la densidad de
srgía para el cuerpo negro es (Sir/c^^kTv^dv, lo cual significa
e la densidad de radiación con frecuencia entre v y v + dv crece in-
finidamente con el cuadrado de la frecuencia y que, por lo tanto,
ínergía electromagnética total en la cavidad es infinita.
EL ASPECTO CORPUSCULAR DE LAS ONDAS 15
Ejercicio 1. Considerar una caja cúbica de volumen V con paredes
perfectamente conductoras.
(a) Demostrar que el número de modos de vibración con fre-
cuencias entre v y v + dv está dado por (Sw/c3) Vv2 dv (referencia [3]).
(b) ¿Se comportará esta caja como cuerpo negro a todas las
frecuencias si tiene una partícula de polvo en su interior? ¿Cuales
serán sus propiedades
a frecuencias muy bajas?
Este resultado clásico, conocido como la ley de Rayleigh-Jeans,
no es totalmente incorrecto; esta ley predice exactamente la parte del
espectro correspondiente a bajas frecuencias. Para altas frecuencias el
espectro observado es menos intenso que el predicho clásicamente y
eventualmente tiende a cero exponencialmente. Se podría expresarlo
de otra manera diciendo que no todos los grados de libertad asocia-
dos con las frecuencias altas participan en el reparto de energía y que
los correspondientes a las más altas no participan.
El misterio de que algunos grados de libertad no participen fue
explicado por primera vez por Planck cuando propuso que la energía
de un modo vibracional de frecuencia v podía tomar únicamente va-
lores discretos y no podía variar continuamente como en mecánica
clásica.3 Supuso que la energía, partiendo de cero, podía crecer sólo
por saltos iguales de magnitud proporcional a la frecuencia. La cons-
tante de proporcionalidad es precisamente la constante de Plank y
la energía de un cuanto de frecuencia v, o frecuencia angular <a, es
E = hv = hu> (3)
y entonces, la energía de un oscilador tendrá solamente los valores
permitidos O, ^ w, 2ftw, . . . .
Es fácil ver que, por lo menos cualitativamente, la idea de Planck
es correcta. Para modos de frecuencia suficientemente baja, los saltos
de energía son muy pequeños comparados con las energías térmicas
y, por lo tanto, el teorema de equipartición clásico no se modifica.
Para modos cuyas frecuencias son suficientemente altas, los saltos de
energía son grandes comparados con las energías térmicas, por lo cual
estos modos no participan en el reparto de energía. Entonces, resulta
que la energía promedio de un grado de libertad vibracional de fre-
cuencia v a temperatura T es,
3
 Se está presentando el argumento desde un punto de vista moderno. Planck asoció caracte-
rísticas cuánticas únicamente a osciladores materiales, los cuales introdujo para representar
las propiedades de las paredes de la caja, y no a los modos de vibración del campo electro-
magnético. Einstein fue el primero que se dio cuenta de que el campo de radiación también
debía de estar cuantizado.
16 LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIACIÓN
j? — hv _ ho>
^
 ahtflkT i ¿tñoill
€ I c
(4)
que recobra el valor clásico kT cuando fua/kT <* 1 y es exponencial
para h<a¡kT > 1. La densidad de energía de la radiación del cuerpo
negro para frecuencias entre v y v •+ dv será entonces,
hv3
C3 ehvlkT _ J dv, (5)
que es la ley de radiación de Planck. Concuerda perfectamente con el
experimento y resulta ser, históricamente, el primer método para de-
terminar con mucha exactitud el valor de h.
Ejercicio 2. (Verlareferencia [3]).
(a) Obtener la ecuación (4) y la ley de radiación de Planck, ecua-
ción (5).
(b) Llamando Xm a la longitud de onda correspondiente al máxi-
mo del espectro del cuerpo negro, demostrar que \mT = constante
(ley de desplazamiento de Wien).
(c) Demostrar que la energía total radiada por un cuerpo negro
a temperatura T es proporcional a T* (ley de Stefan).
Aunque Planck dio una solución completamente satisfactoria a las
dificultades de la radiación del cuerpo negro, su trabajo atrajo poca
atención.4 Fue tomada seriamente en 1905 cuando Einstein aplicó
la idea cuántica al fenómeno de la emisión fotoeléctrica, introdu-
ciendo explícitamente las propiedades corpusculares de la radiación
electromagnética. Estas propiedades corpusculares se observan mejor
ín el efecto Compton. Cuando rayos-X de frecuencia dada se disper-
san por electrones libres en reposo, la frecuencia de los rayos-X dis-
persados decrece al crecer el ángulo de dispersión. Este efecto se des-
cribe con precisión considerando a los rayos-X como partículas rela-
ivistas de energía ña> y momento lineal ñu/c y aplicando, a la coli-
ión, las leyes usuales de conservación de energía y momento lineal.
Ejercicio 3. Demostrar que en la dispersión de Compton
onde A.c = h/mc es la llamada longitud de onda de Compton, m es la
nasa del electrón, A es la longitud de onda de los rayos-X inciden tes y
E. U. Condón, en Physlcs Today. Vol. 15, No. 10, p. 37, Oct. 1962.
COMPLEMENTAREIDAD - EL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA 17
X' es la longitud de onda de los rayos-X dispersados a un ángulo 0. La
longitud de onda de Compton puede tomarse como una longitud fun-
damental asociada con una partícula de masa m. ¿Cuál es su valor nu-
mérico aproximado para un electrón, para un protón, para un mesón
ir y para una bola de billar? (Ver la referencia [3]).
6. COMPLEMENTAREIDAD
Como resultado de las consideraciones anteriores se ha establecido
que, en la naturaleza, existe cierta simetría entre partículas y ondas,
de la cual carece totalmente la física clásica, en donde cierta entidad
tiene exclusivamente una de estas características. Estas conclusiones
llevan a grandes dificultades conceptuales. De alguna manera se tienen
que reconciliar los conceptos clásicos de partícula y onda. En esta re-
conciliación interviene un principio que se conoce como principio de
complementareidad, enunciado por primera vez por Bohr. La duali-
dad partícula-onda es uno de los muchos ejemplos de la complemen-
tareidad.
La idea es la siguiente; los objetos en la naturaleza no son partícu-
las ni son ondas; un experimento o medición que resalte una de estas
propiedades, lo hace necesariamente a expensas de la otra. Un experi-
mento diseñado para aislar o describir las propiedades de partícula,
tales como la dispersión Compton o la observación de trayectorias,
no proporciona información sobre los aspectos ondulatorios. Por otra
parte, un experimento diseñado para aislar las propiedades ondulato-
rias, por ejemplo la difracción, no proporciona información acerca de
las propiedades corpusculares. Este conflicto se resuelve establecien-
do que estos aspectos irreconciliables no pueden, en principio, obser-
varse simultáneamente. Otros ejemplos de complementareidad pue-
den ser, la posición y el momento lineal de una partícula, la energía
de un estado y el tiempo que dura dicho estado, la orientación angu-
lar de un sistema y su momento angular, etc. Ahora se puede estable-
cer en forma general el principio de complementareidad. La descrip-
ción cuántica de las propiedades de un sistema físico se expresa en
términos de parejas de variables mutuamente complementarias. La
precisión en la determinación de una de estas variables, necesariamen-
te implica una imprecisión en la determinación de la otra.
7. EL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA
Hasta aquí la atención se ha concentrado en experimentos que no
pueden explicarse mediante la mecánica clásica y que al mismo tiem-
po ponen de manifiesto ciertos aspectos de la mecánica cuántica. Sin
18 LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIACIÓN
embargo, no hay que olvidar que existe un dominio enorme, el domi-
nio macroscópico, para el cual es válida la mecánica clásica. Enton-
ces, se tiene un requisito obvio que la mecánica cuántica debe satisfa-
cer; en el límite clásico apropiado la mecánica cuántica debe llegar a
las mismas conclusiones a que llega la mecánica clásica. Matemática-
mente, este límite es aquél para el cual h puede considerarse peque-
ña. Por ejemplo, para el campo electromagnético significa que el nú-
mero de cuantos en el campo es muy grande. Para partículas, signifi-
ca que la longitud de onda de de Broglie es muy pequeña comparada
con todas las otras dimensiones importantes del problema. Natural-
mente que los resultados de la mecánica cuántica son probabilísticos
por naturaleza, mientras que los resultados de la mecánica clásica son
completamente determinísticos. Por ello, en el límite clásico, las pro-
babilidades cuánticas deben de convertirse en certidumbres; las fluc-
tuaciones resultan despreciables.
Este principio, o sea que en el límite clásico las predicciones de las
leyes
cuánticas deben de estar en correspondencia de uno a uno con
las predicciones clásicas, se llama el principio de correspondencia. Sus
requisitos son suficientemente rigurosos para que, partiendo de la
idea de ondas de de Broglie y su interpretación probabilística, las le-
yes de la mecánica cuántica puedan determinarse del principio de co-
rrespondencia, como se demostrará más adelante.
Problema 1. Calcular, con dos cifras significativas, las longitudes de
onda de de Broglie siguientes:
(a) Un electrón moviéndose a 107 cm/seg.
(b) Un neutrón térmico a temperatura ambiente, es decir, un
neutrón en equilibrio térmico a 300°K moviéndose con la energía
térmica promedio.
(c) Un protón de SQMeV.
(d) Una pelota de golf de lOOgm. moviéndose a 30 metros/seg.
Problema 2. Considerar un electrón y un protón con la misma ener-
gía cinética T. Calcular la longitud de onda de de Broglie para cada
uno, con una cifra significativa en los casos siguientes:
(a) T=30í?F.
(b) T=3
(c) T=3
(d) T= 30 GeV= 30,000MeV.
Nota: Con bastante exactitud, la energía en reposo de un electrón es
0.5 MeV, y la de un protón es de 1 GeV. La relación entre energía
cinética, momento lineal y masa en reposo puede expresarse como
E = T + me2 = V(mc2)2 + (pe)2.
II
Funciones de estado
y su interpretación
1. LA IDEA DE FUNCIÓN DE ESTADO; SUPERPOSICIÓN DE
ESTADOS
Las consideraciones que se han hecho en el capítulo anterior han
conducido a la idea de que la descripción de cierto tipo de comporta-
miento de las partículas, requiere la introducción de las ondas de de
Broglie. Estas ondas exhiben propiedades de interferencia y la inten-
sidad en una región dada está asociada con la probabilidad de encon-
trar a la partícula en esa región.
A continuación se intentarán generalizar estas ideas y al mismo
tiempo definirlas mejor. Para simplificar las características matemáti-
cas, se considerará el caso del movimiento de una partícula en una so-
la dimensión bajo la influencia de una fuerza externa determinada.
Como primer paso se describirá el estado de movimiento en un ins-
tante de tiempo. En mecánica clásica, dicha descripción se establece
especificando la posición y el momento lineal de la partícula en el
instante de tiempo considerado. Las leyes de Newton suministran la
receta para determinar la evolución del tiempo. Pero se ha recalcado
que tal descripción no es válida en la mecánica cuántica, ya que las
trayectorias de las partículas no están definidas con exactitud. Para
poder empezar el estudio de la mecánica cuántica se hará la hipóte-
sis mínima de que el estado de una partícula al tiempo t se describe
completamente, o por lo menos tan completamente como sea posi-
ble, mediante una función i|» que se llamará la función de estado de
la partícula o del sistema.
20 FUNCIONES DE ESTADO Y SU INTERPRETACIÓN
(2)
(3)
Entonces, se deben de contestar las preguntas siguientes:
(1 ) ¿Cómo se especifica «/» ? ¿O sea, cuáles son las variables de las
que depende?
¿Cómo se interpreta </<? Es decir, cómo pueden deducirse de
\¡¡ las propiedades de los observables de un sistema?
¿Cómo evoluciona \¡> en el tiempo? Es decir, determinar la
ecuación de movimiento del sistema.
A la primera pregunta se podría contestar suponiendo la hipótesis
más sencilla posible, o sea que la función de estado de una partícula
sin estructura ' en una dimensión y en un instante dado t, puede
expresarse como función de las coordenadas espaciales únicamente
i// = ^ t ( x ) , donde el índice t se refiere al instante en el cual es válida
la descripción. Usando una notación más conveniente, se puede
escribir
= fy(x, t ) , (1)
siendo t, en este caso, un parámetro. La suposición de que <// debe
de expresarse de esta forma para una partícula sin estructura, resulta
correcta y significa que cualquier estado físico puede especificarse en
términos de una i/» apropiada que tenga la forma de la ecuación (1).
Surge ahora la pregunta siguiente. ¿Corresponde a algún estado físi-
co una función $ arbitrariamente escogida? La respuesta es negati-
va. Solamente ciertas clases de funciones de estado llamadas física-
mente aceptables, corresponden a estado físicos realizables. Por ejem-
plo, resulta que </< corresponde a un estado físico si es univaluaday
acotada, propiedades que se definirán más adelante.
Respecto a la segunda pregunta, que es el tema principal de este
capítulo, se necesita establecer un significado físico preciso para los
aspectos probabilísticos de la función de estado de la mecánica cuán-
tica. La suposición más plausible y físicamente necesaria establece
que la probabñidad de encontrar a una partícula en una región da-
da del espacio es grande cuando i/> sea grande y pequeña cuando </<
sea pequeña. Ya que las probabilidades nunca pueden ser negativas
y como i// puede tomar valores positivos, negativos o nulos ( de he-
cho es compleja), la asociación más simple que se puede hacer es to-
mar la probabilidad relativa proporcional al valor absoluto cuadrado
de «A, en analogía con la intensidad de un campo ondulatorio ordi-
nario. Entonces, si P(x, t) dx es la probabilidad relativa de encon-
trar a la partícula al tiempo t en un volumen dx centrado en x, se
escribirá
P ( x , t ) dx= \*li(x, t)\* dx = i¡i*(x,t)\li(x,t) O,
1
 Por partícula sin estructura se entiende una masa puntual convencional. Para una partícula
con grados de libertad internos, como el espín, la descripción tendrá que ser modificada.
LA IDEA DE FUNCIÓN DE ESTADO; SUPERPOSICIÓN DE ESTADOS 21
donde i//* es el complejo conjugado de i/>. Se puede convertir la ex-
presión anterior a probabilidades absolutas p(x, t) dx escribiendo,
p(x,t) dx = P(x,t) dxf P ( x , t ) dx (2)
o bien,
p(x,t) =•
donde la integral se extiende a todo el espacio. El hecho de que pdx
sea una probabilidad absoluta se sigue de que
í pdx= 1.
lo cual significa que la probabilidad de encontrar a una partícula en
algún lugar del espacio tiene el valor uno. La cantidad p se llama la
densidad de probabilidad. Si la densidad de probabilidad tiene algún
significado, la integral en el denominador tiene que ser acotada. Por
lo tanto, todas las funciones físicamente aceptables deben de cumplir
la condición de ser cuadráticamente integrables.2
De acuerdo con (2), p no cambia si fy se multiplica por un factor
arbitrario independiente de las coordenadas, o sea, por un factor c(f)
que podría ser complejo y en este sentido i/» está indeterminada por
este factor. Es conveniente escoger este factor en tal forma que
/ i// * i|» <¿v = 1, (3)
que siempre se cumple para funciones de estado físicamente acepta-
bles. Esta condición se llama condición de normalización y las fun-
ciones de estado que la satisfacen se llaman normalizadas. Para fun-
ciones de estado normalizadas i|/*i|/será la densidad de probabilidad,
P(JC,/) = t|/*(jc, í)i//(jc,/), (4)
y i/» puede interpretarse como la amplitud de probabilidad.
El procedimiento para normalizar es el siguiente: sea i// una fun-
ción de estado físicamente aceptable. Se calcula / \\i*fydx, llamando
al resultado M, que es un número real. Entonces,
1
 Aunque esta condición es correcta, los físicos encuentran muy frecuentemente que es con-
veniente trabajar con funciones de estado idealizadas que satisfacen condiciones más débiles
o equivalentes como,
J<li*(x, t)<¡i(x, t) e-"lfl dx = M(a, t),
donde M es finita y a arbitrariamente pequeña pero no cero. Más adelante se verán algunos
ejemplos.
22 FUNCIONES DE ESTADO Y SU INTERPRETACIÓN
define la normalización de la función de estado »//' para 8 arbitra-
ria. Es necesario recalcar el hecho de que se normaliza por conve-
niencia y que no puede atribuirse ningún significado físico a la mag-
nitud numérica absoluta de una función de estado. Sólo magnitudes
relativas son importantes. Dicho de otra manera, si una función de
estado se incrementa en todas partes por un orden
de magnitud, per-
manece inalterada físicamente. Este resultado está en contraposición
con la física clásica. Por ejemplo, un incremento de la misma magni-
tud en la presión de una onda acústica, altera totalmente las condi-
ciones físicas para cualquier observador.
Es importante entender con precisión la naturaleza de las cantida-
des probabilísticas que se han introducido. Se está considerando un
sistema que consiste de una partícula moviéndose en una dimensión
bajo la influencia de alguna fuerza externa prescrita. A continuación,
se supone un conjunto de tales sistemas, idénticos entre sí y que sa-
tisfacen condiciones iniciales idénticas. Además, se supone que en
algún instante t se han Añedido las coordenadas de la partícula de cada
sistema del conjunto. Los valores medidos no serán siempre los mis-
mos, como lo serían clásicamente, sino que se distribuirán en cierto
intervalo de valores. La cantidad p(x,t) dx será la fracción de sistemas
en el conjunto para los cuales los valores medidos de las coordenadas
se encuentran entre x y x + dx.
Es necesario recalcar una propiedad importante de las funciones de
estado, o sea, la existencia de interferencia. La observación de esta
propiedad dio lugar a la asociación de propiedades ondulatorias a las
partículas, lo cual implica que si i//, describe un estado posible del sis-
tema y t/>2 describe un segundo estado posible, entonces
también describe un estado posible del sistema, donde at y a2 son
arbitrarias. Generalizando, se concluye que una superposición arbi-
traria de cualquier conjunto de funciones de estado posibles, también
es una función de estado posible. Este resultado se llama el principio
de superposición. La aplicación de este principio es una de las hipó-
tesis básicas de la mecánica cuántica marcando perfectamente la dife-
rencia entre sus aspectos probabilísticos y los de la mecánica estadís-
tica clásica.
Para aclarar la relación entre interferencia y principio de superposi-
ción se podría calcular, por ejemplo, la densidad de probabilidad que
corresponde a la superposición particular i/»3, definida anteriormente.
Se tiene,
LA IDEA DE FUNCIÓN DE ESTADO; SUPERPOSICIÓN DE ESTADOS 23
Los dos primeros términos son precisamente la suma de las probabili-
dades individuales para cada estado, multiplicado por un factor de
peso indicando la proporción presente de cada estado en la superposi-
ción, exactamente como en el caso clásico. Los dos últimos términos
son los términos de interferencia. Estos términos no se expresan sólo
en función de las probabilidades individuales asociadas con cada esta-
do, sino que son propiedades de ambos estados simultáneamente.
Sus signos están determinados por la fase relativa de al^l y a2i|/2 pu-
diendo ser positivos o negativos, lo cual corresponde a interferencia
positiva o negativa en las probabilidades. Este resultado no debe pa-
sarse por alto, pues significa que un conjunto de estados, cada uno de
los cuales describe independientemente algún evento con probabili-
dad finita, pueden combinarse en tal forma que el evento dado no
pueda ocurrir.
Un ejemplo interesante es el famoso experimento de la rendija do-
ble, en el cual se estudia el patrón de interferencia registrado en una
pantalla opaca producido por un haz de partículas que incide sobre
las rendijas. El experimento se muestra esquemáticamente en la Fi-
gura l(a). La primera pantalla contiene rendijas idénticas en^l y en
B, pudiendo estar abiertas o cerradas cualquiera de ellas. Todo elec-
trón que pase por el sistema de rendijas se registra en la pantalla C.
En la Figura l(b) se muestra a la izquierda la distribución de partícu-
las cuando está abierta la rendija A o la B, y en la derecha se muestra
haz incidente
de partículas
x
- - 0
partículas
transmitidas
pantalla con
rendijas A y B
pantalla de registro C
(a)
rendija A o rendija B abiertas rendijas A y B abiertas
(b)
Figura 1. El experimento de la rendija doble, (a) Esquema del dispositivo ex-
perimental, (b) Distribución de las partículas registrada en la pantalla C.
24 DEBITADO Y SU INTERPRETACIÓN
el resultado cuando están abiertas ambas rendijas, A y B. En el pri-
mer caso, se tiene el patrón típico de Fraunhofer y en el segundo, es-
te patrón está modulado por la interferencia y claramente no es la su-
perposición de las probabilidades individuales de transmisión a través
de cada rendija. Para relacionarlo con el principio de superposición,
sea $A\& función de estado de un electrón cuando A está abierta y B
cerrada, ifB cuando B está abierta y A cerrada y <foB cuando ambas ren-
dijas están abiertas. Sean pA, pB y pAB las densidades de probabili-
dad correspondiente. Entonces, como buena aproximación se tiene
que,
de donde se obtiene que
PAB ^ \<I>AB\2 \<I>B\
Ya que pA = PB, en contraste con el resultado clásico PAB = PA + PB - 2pA
se tiene que,
PAB= ZpAÍl +COS 8 ( x ) ] ,
donde 8(x) es la fase de i/»B relativa a tyA,
El factor de fase 5 crece linealmente con la distancia al origen O a lo
largo de la pantalla opaca C y los mínimos de interferencia ocurren
cuando 8 es un múltiplo impar de ir. Aquí se observa explícitamente
cómo la superposición produce la interferencia. En particular, cuan-
do ambas rendijas están abiertas, la probabilidad de que un elec-
trón llegue a la pantalla en un mínimo de interferencia es cero, aun-
que la probabilidad de llegar al mismo punto de la pantalla sea finita
cuando una sola rendija está abierta.
Merece comentarse otro aspecto de este experimento. La natura-
leza corpuscular del electrón se manifiesta en el hecho de que un
electrón es una entidad que puede localizarse. Cuando se detecta o
se registra, en la forma que sea, siempre se observa como tal y nunca
se observa parte de un electrón. Por lo tanto, un electrón que pasa
por la primera pantalla, pasa por una de las dos rendijas. Si pasa por
la rendija A, ¿cómo puede conocer la existencia de la rendija B y
ajustar su comportamiento para dar el resultado experimental correc-
to? La respuesta es que, en este aspecto, el electrón no está localiza-
do; también tiene atributos que están distribuidos en el espacio a se-
mejanza de una onda. O sea, exhibe ambas propiedades; partícula y
onda. Los aspectos complementarios de esta dualidad se recalcan al
VALORES DE EXPECTACIÓN 25
introducir un detector adicional que determine a través de cual de las
dos rendijas pasa el electrón. Al hacerlo, se observa que cada elec-
trón pasa con seguridad a través de una de las rendijas. Pero el acto
de observar, necesariamente provoca una interacción entre el aparato
de medición y el electrón, lo cual acarrea una perturbación incontro-
lable que destruye la relación de fase necesaria para la interferencia.
Se puede decir que al observar a través de cuál de las rendijas pasa el
electrón, se le está obligando a actuar como partícula, la interferencia
desparece y emerge el resultado clásico correspondiente.
2.- VALORES DE EXPECTACIÓN
Dada la interpretación probabilística de la función de estado <//( v. t)
falta mostrar cómo se obtiene información respecto al comporta-
miento de una partícula. Recordando que p(x, t) se refiere a la dis-
tribución de los valores medidos de la coordenada de una partícula
en un conjunto de sistemas, el valor promedio o valor de expectación
de la posición (x) será
(x) = S x p ( x , t) dx, (5)
donde la integral cubre todo el espacio. Es preciso recalcar que esto
se concluye porque p(x, t) dx es la fracción de los valores medidos
de la posición que se encuentran entre x y x + dx. Pero si se trata
de alguna función de la posición de la partícula como/(x), entonces
p(x, t) dx es la fracción del número de veces que el valor medido
de f(x) se encuentra entre /(x) y f(x + dx). Entonces, usando la
misma notación, se tiene que el promedio o valor de expectación
es
= í f ( x ) P ( x , t ) d x . (6)
Por ejemplo, si una partícula
se mueve en un potencial V(x) y
su densidad de probabilidad es p(x, t), entonces, su energía puede
calcularse según (6) usando/(x) = V(x).
Los valores de expectación se pueden expresar en términos de la
función de estado \{j(x, t) obteniendo que,
(7)
(8)
y si la función de estado está normalizada,
, O
26 FUNCIONES DE ESTADO Y SU INTERPRETACIÓN
Naturalmente que el orden de los factores en el integrando de (8) es
irrelevante. Se podría escribir/i|»*i|/ o bien ifj*\¡>f que son expresiones
más sencillas que el insertar / entre ^* y «/». Pero se ha escogido es-
ta última forma por razones de conveniencia que se aclararán más
adelante.
Hasta aquí se ha visto cómo calcular el análogo cuántico de la posi-
ción de una partícula o de cualquier función de la posición. Queda
por examinar en una dimensión la variable correspondiente al mo-
mento lineal. Una forma de proceder es como sigue. Como <J< = «/>(x, t),
en general, el valor de expectación de x es una función del tiempo
(x) =/(/), entonces, la cantidad md(x)/dt puede calcularse si se co-
noce \l> como función del tiempo. Esta cantidad corresponderá al
momento lineal, al menos en el límite clásico, aunque existen dos
dificultades. La primera es fundamental pues se refiere al momento
lineal como variable dinámica. Clásicamente, la existencia de una
trayectoria asocia un significado preciso a la operación matemáti-
ca de calcular m dx/dt. En mecánica cuántica, no existen trayecto-
rias definidas y la cantidad dx/dt resulta indefinida y, por lo tanto,
no tiene sentido hablar de p si está definida como m dx/dt, o sea,
como una cantidad exclusivamente cinemática. Sin embargo,/? debe
tener un significado físico independiente de las trayectorias. Si se
la considera como variable dinámica, en analogía con la variable de
posición, es preciso dar un significado a su valor de expectación (p),
siendo éste el siguiente objetivo.3
La segunda dificultad es más bien de tipo práctico. Para calcular
una cantidad como d(x)/dt, se necesita contestar a la pregunta ¿có-
mo evoluciona i/> en el tiempo? Todavía no se puede contestar a
esta pregunta. Una vez que se entienda el momento lineal como va-
riable dinámica cuántica, se hará uso de los requisitos del principio de
corresponden cía
. , _md(x)
<p)
-~dT~
d ( p )
 = ldV(x)\
dt \ dx /
para establecer la dependencia en el tiempo de la función de estado.
3
 Clásicamente, la descripción que considera la posición y el momento lineal como variables
dinámicas del mismo tipo, es la descripción hamiltoniana. Puede anticiparse que la función
Hamiltoniana resultará muy importante en la formulación de las leyes cuánticas.
COMPARACIÓN ENTRE LAS DESCRIPCIONES CUÁNTICA Y
CLASICA DE UN ESTADO; PAQUETES DE ONDA 27
3. COMPARACIÓN ENTRE LAS DESCRIPCIONES CUÁNTICA Y
Y CLASICA DE UN ESTADO; PAQUETES DE ONDA
La discusión anterior se ha alejado mucho de la física clásica, en la
cual se determina con precisión la posición y la velocidad de una par-
tícula en un instante dado y no una distribucón de probabilidad, y
mucho menos una amplitud de probabilidad inobservable. Ya que la
mecánica cuántica pretende ser más general que la mecánica clásica,
a la cual incluye como caso particular, es preciso establecer cómo se
puede recobrar la descripción clásica partiendo del concepto de una
función de estado cuántica. Esta meta no es difícil. Una trayectoria
clásica no es mas que cierta curva en el espacio que evoluciona de
cierta manera en el tiempo. La función de estado cuántica tiene co-
mo dominio todo el espacio y el tiempo. Aunque sea una entidad
esencialmente no localizable, puede usarse para describir una trayec-
toria si se escoge una función particular y localizada, por ejemplo,
una que se anule en todas partes excepto en una vecindad infinitesi-
mal de la trayectoria.
Estas funciones de estado localizadas se llaman paquetes de onda.
Juegan un papel muy importante en la explicación de muchos efec-
tos físicos y, naturalmente, en entender la relación entre la mecánica
clásica y la cuántica. Un ejemplo de un paquete de ondas en un ins-
tante determinado sería la función gausiana,
ty = A exp[-U-*0)2/2L2].
La distribución de probabilidad relativa sería,
(9)
(10)
de la cual se concluye que se tiene un estado localizado en la vecin-
dad del punto x = x0 y de dimensión L. Si L decrece, la función de
estado está más localizada; el límite clásico de precisión absoluta co-
rresponde al límite en el cual L tiende a cero.
La especificación de la función de estado en un cierto instante es
análoga a la especificación clásica de la posición inicial de una par-
tícula. Si una parece más vaga y misteriosa que la otra se debe a que,
en el campo clásico, se fijan las condiciones iniciales a través de un
contacto más directo y personal, por lo menos en la imaginación,
como en el caso de tirar un objeto o poner a funcionar el mecanismo
que dispara un'satélite. En ambos puntos de vista la forma de esta-
blecer las condiciones iniciales es irrelevante para la evolución poste-
rior; únicamente se necesita conocer las condiciones iniciales. Aun-
que todavía no se puede discutir cómo se puede preparar inicialmen-
28 FUNCIONES DE ESTADO Y SU INTERPRETACIÓN
te un estado cuántico bien definido, esto no es una dificultad pues
únicamente se necesita conocer el estado inicial y no su origen.
Dado un estado inicial, su evolución en el tiempo se determina me-
diante las ecuaciones de movimiento, ya sean clásicas o cuánticas 4
Si se supone que después de integrar las ecuaciones de movimiento
se obtiene la trayectoria
x = f ( t ) .
es tentador suponer que la forma adecuada que corresponda a la fun-
ción de probabilidad cuántica en el límite clásico sea,
,/,*</> = M I 2 exP{-[*-/(f)]2/L2}
con L suficientemente pequeña. Esta expresión representa un paque-
te de ondas de anchura L, moviéndose a lo largo de la trayectoria cía- •
sica y de acuerdo a las ecuaciones de movimiento clásicas. Esta supo-
sición intuitiva puede verificarse en el caso especial del movimiento
de una partícula libre. Para una partícula de masa m, partiendo del
origen con momento lineal p0, clásicamente se tiene que,
x = p0í/m,
y por lo tanto, se supone que la distribución de probabilidad cuántica
podría estar dada por el movimiento del paquete de ondas,
(U)
El resultado correcto, obtenido en el Capítulo IV (ecuación FV-22),
al integrar las ecuaciones de movimiento cuánticas, coincide con éste,
excepto que la constante L queda reemplazada por la función en el
tiempo
L(t) =
Entonces, el resultado correcto revela que el tamaño del paquete cre-
ce en el tiempo a partir de su valor inicial L. Pero, para partículas
macroscópicas, el segundo término del radicando es despreciable res-
4
 La posición y el momento lineal deben especificarse ambas en el caso clásico. ^ En mecánica
cuántica, ambas no pueden especificarse con precisión arbitraria. La información respecto al
momento lineal está implícitamente contenida en la función de estado. Cómo obtener esta
información será el objeto del capi'tulo siguiente.
PROBLEMAS 29
pecto a intervalos de tiempo cosmológicos1 y, por lo tanto, la ecua-
ción (11) no se devía apreciablemente del resultado correcto por lo
que las apreciaciones intuitivas anteriores pueden considerarse correc-
tas. En el Capítulo IV se volverá a tratar este tema.
Problema 1. Considerar que una partícula está descrita por el paquete
gausiano,
$ = A exp[-U-Jc0)2/2íí2].
(a) Calcular A si i// está normalizada.
(b) Calcular <x>.
(c) Calcular la desviación cuadrada media en la posición de la
partícula, <(x — (x) )2).
(d) Suponer que la partícula se mueve en un potencial V(x).
Calcular (V) para V = mgx; para V = ifoc2. Ver Apéndice I
para el cálculo de integrales gausianas.
Problema 2.
(a) Lo mismo que en el Problema 1 , pero con la función de es-
tado,
i/»,=/l exp[/U - x0)la] exp[-(jc
- x())'2l2a2] .
(b) Considerar la superposición de estados
donde i// es el paquete de ondas del Problema 1 , y *l>t el paquete ante-
rior. Calcular c±. Graficar y comparar la densidad de probabilidad pa-
ra los cuatro casos, \íf*t¡i, i|/i*iK, »K*</>+ y </»_ *i/»-.
3
 Esta conclusión se obtiene debido a que A es pequeña desde el punto de vista macroscópico.
III
Momento lineal
1. FUNCIONES DE ESTADO QUE CORRESPONDEN A UN
MOMENTO LINEAL DEFINIDO
Una vez entendidas algunas de las propiedades de las funciones
de estado, es necesario comprender el momento lineal como variable
dinámica cuántica. La solución la suministra la descripción dada por
de Broglie para una partícula libre con momento lineal definido p. Se
ha argüido que, de alguna manera, se asocia a la partícula una onda
de longitud de onda reducida 4. = h/p. Esta relación indefinida se pue-
de concretar explícitamente suponiendo que, precisamente, la onda
de de Broglie es la función de estado de la partícula. Por lo tanto se
puede escribir que,
\}i(x, t) = exp[/(*M) - iüit}
o bien, escribiendo A. en función de p,
\¡ip(x, t) = e\p[i(pxlh) - , (1)
donde se ha puesto el índice p en $ para especificar que esta función
de estado describe a una partícula que se mueve con momento lineal
p definido y fijo. La frecuencia w de las ondas de de Broglie, todavía
no recibe atención especial y al escribir la ecuación (1) se considera a
w como una función característica de p, aunque desconocida por
ahora.
La asociación de la función de estado anterior con una partícula
de momento lineal bien definido, es un paso crucial en el presente
método de desarrollo que es una deducción directa del experimento
de Davisson y Germer recalcando que la mecánica cuántica queda
FUNCIONES DE ESTADO QUE CORRESPONDEN
A UN MOMENTO LINEAL DEFINIDO 31
fundamentada una vez entendida y aceptada la ecuación (1). Excep-
to por el espín y el principio de exclusión, todo lo demás se obtiene
del principio de correspondencia.
La importancia de este resultado merece comentarse con algún de-
talle. Para empezar, hay que hacer notar que se ha escogido «//p como
una función exponencial compleja. Hay que elaborar esta selección
con más detalle pues una onda viajera representada por una función
trigonométrica, también puede representarse satisfactoriamente por
una función exponencial. De hecho, todos los campos clásicos se
representan por funciones reales, aunque se usa la notación compleja
por conveniencia. Este hecho es esencial en la mecánica cuántica y
puede justificarse de la siguiente forma: para una partícula libre to-
dos los puntos del espacio son físicamente equivalentes y la selección
del origen es irrelevante ya que el sistema no puede depender de esta
lelección. Se puede suponer que el origen se desplaza hacia la iz-
quierda una distancia arbitraria b, o sea, que se substituye* por* + b.
De la ecuación (1), <|»P queda multiplicada por un factor de fase que
es constante y físicamente indetectable e*6"1. Por lo tanto, el estado
le describe sin hacer ninguna referencia física al origen. Este no sería
el caso si se usara una función trigonométrica para representar a »J>p-
Si se usara la forma de la onda viajera más general posible dada por,
i/» = A eos (px/h — tai) + B sin (px/h — <at),
y se impusiera a i/r el requisito de convertirse en un múltiplo de sí
misma bajo una translación arbitraria, el resultado obtenido sería la
forma exponencial de la ecuación (1).'
Ejercicio 1. Demostrar la última afirmación.
Merece comentarse otra propiedad de «/»P. Esta función de estado
corresponde a la falta total de localización en el espacio. La densi-
dad de probabilidad relativa es
lo cual significa que la partícula puede encontrarse en cualquier ele-
mento de volumen. Como consecuencia inmediata, la función de es-
tado i/»P no, es físicamente aceptable excepto en el sentido dado en
U nota que sigue a la ecuación (II-3). Sin embargo, como «J»p sí co-
1
 Elta afirmación puede Juitiflcaiie con el argumento más convencional y quizál mal claro
d« exigir que la probabilidad de encontrar a la partícula en algún lugar del espado debe ter
uno en todo momento. Eite tema N volverá a tratar en la lección 7 del Capitulo IV.
32 MOMENTO LINEAL
rresponde a un valor preciso del momento lineal p, esta función de
estado es una idealización útil como se demuestra a continuación.
2. CONSTRUCCIÓN DE PAQUETES DE ONDA POR SUPER-
POSICIÓN
A continuación se dará un ejemplo importante y muy instructivo
de la utilidad de estos estados idealizados, combinándolos para for-
mar un paquete de ondas, la más intuitiva y física de las funciones de
estado. Este resultado se obtiene construyendo una superposición de
estados de momento lineal <//p. Ya que existe un continuo de valo-
res de p, la superposición resulta ser una integral en lugar de una su-
ma, escribiéndola como,
, t) = dp (2)
donde el factor l/V2_irft aparece por razones de conveniencia. En
esta superposición, la amplitud de la función de estado de i/»P que
corresponde al momento lineal p se escribe como <£(p). Por el mo-
mento no se tomará en cuenta la dependencia en el tiempo de la
función de estado o la relación entre <o y p. Únicamente se estudia-
rá la descripción del estado en un instante determinado, tomándolo
como f = 0 por comodidad. Por lo tanto, en lugar de la ecuación
(2) se tiene que,
1 ípxl
* dp, (3)
donde
Ahora, podría ser útil dar un ejemplo, aunque sea puramente ma-
temático, para mostrar cómo se puede obtener un estado normaliza-
do y físicamente aceptable \l>(x) por superposición de estados del
momento lineal, inaceptables e idealizados exp [ipx/h].Para particu-
larizar a un caso muy simple, sea <i>(p) constante en un intervalo de
anchura A¿> a cada lado del momento lineal fijo p0 e idénticamente
cero fuera de este intervalo. Se escoge <t>(p) como la distribución
cuadrada.
\P - Pol « A/?
\p - pol > A/?, (4)
CONSTRUCCIÓN DE PAQUETES DE ONDA POR SUPERPOSICIÓN 33
siendo c una constante arbitraria. Esto significa que el momento li-
neal del estado considerado no tiene valor numérico preciso sino
que está distribuido uniformemente en una banda de anchura 2Ap
centrada en pc, como se ilustra en la Figura 1.
Figura 1 . Distribución de momentos de la ecuación (4).
Al escoger <£(p) de esta manera, (3) se convierte en,
I f Po+Ap
*U) = 7/= c e*** dpV ¿irnj PO-AP
y factorizando el término eivtxlñ resulta
(5)
Este ejemplo proporciona una función de estado que es una onda de
de Broglie correspondiente al momento lineal p0 modulada por el
factor (1/x) sen (Apx/h). Este factor convierte a </»(x) en una función
normalizable y por lo tanto físicamente aceptable. Para examinar
con más detalle el ejemplo, se normaliza $ para obtener la constan-
te c en las ecuaciones (4) y (5). Se tiene
P ,= iíi
' J_oo
y cambiando a la nueva variable u = &px/h se obtiene que,
|c| = 1/V2A7, (6)
34 MOMENTO LINEAL
donde se ha hecho uso del resultado,
= 7T. (7)
Para resumir, se puede decir que la distribución particular (4) propor-
ciona, por superposición, el paquete normalizado de la ecuación (5)
si c satisface la ecuación (6).
En el límite, cuando Ap tiende a cero, se recobra una onda de de
Broglie pura de momento lineal p0, o sea que,
lim \¡i(x) =
Ap-O
ip
°
xm
La aparición del factor VA/? significa que la amplitud de </; es infi-
nitesimal, lo cual es una consecuencia del hecho de que la función
de estado no puede normalizarse en este límite y por lo tanto no se
puede tender al límite en la forma usual. Pero, si la dimensión física
relevante del sistema considerado es L, entonces, únicamente se ne-
cesita considerar la función de estado en una región de esa dimensión.
Como consecuencia, si ApL/ft < 1, el paquete de ondas normaliza-
do se desvía en forma indetectable del estado puro de de Broglie. Es-
to significa que el límite anterior puede